Σύνδεση µε τα προηγούµενα

Transcript

1 . Τοµέας Τοπογραφίας, Εργ. Ανώτερης Γεωδαισίας Εισαγωγή στο γήινο πεδίο βαρύτητας (Αρχές της Φυσικής Γεωδαισίας) ιδάσκοντες ηµήτρης εληκαράογλου Παρασκευάς Μήλας Γεράσιµος Μανουσάκης 7ο εξάµηνο, Ακαδ. Έτος Αναφερθήκαµε στην πρακτική ανάγκη, οι τρεις συνιστώσες του εκάστοτε διανύσµατος των ελκτικών δυνάµεων F του πεδίου βαρύτητας να µπορούν να αντικατασταθούν από µία µόνο συνάρτηση V, εκείνη του γήινου δυναµικού της βαρύτητας Ειδικά όταν εξετάζουµε την έλξη του συστήµατος σηµειακών µαζών ή στερεών σωµάτων, όπως συµβαίνει στη γεωδαισία µε την πραγµατική Γη, είναι πολύπιοεύκολοναασχοληθούµεµετοδυναµικό V απόότιµετιςτρειςσυνιστώσεςτηςδύναµης F, σε κάθε σηµείο στο χώρο Ησυνάρτηση Vείναιαπλώςτοάθροισµατων δυναµικών κάθε έλκουσας µάζας (σωµατιδίου) π.χ., αν οι σηµειακές µάζες κατανέµονται συνεχώς σε όγκο v µε πυκνότητα ρ, το άθροισµα των δυναµικών των σωµατιδίων γίνεται ολοκλήρωµα (ολοκλήρωµα του Newton).. Ησυνάρτηση Vείναισυνεχήςσε ολόκληρο το χώρο και εξαφανίζεται στοάπειροκατά 1/lγια l. Οι πρώτες παράγωγοι της συνάρτησης V, δηλαδή οι συνιστώσες της ελκτικής δύναµης F, είναι επίσης συνεχείς σε ολόκληρο το χώρο, αλλά όχι οι δεύτερες παράγωγοι. ΣτοεσωτερικότηςΓηςισχύει Οι πρώτες παράγωγοι της συνάρτησης V, δηλαδή οι συνιστώσες της ελκτικής δύναµης F, είναι επίσης συνεχείς σε ολόκληρο το χώρο, αλλά όχι οι δεύτερες παράγωγοι. Στο εσωτερικό της Γης (σε σηµεία όπου η πυκνότητα αλλάζει ασυνεχώς) ισχύει γιαµεγάλεςαποστάσεις lτο σώµα συµπεριφέρεται ως σηµειακή µάζα, µε το αποτέλεσµα τηςέλξηςτηςναδίνεται προσεγγιστικάως V = GM / l... Οι πρώτες παράγωγοι της συνάρτησης V, δηλαδή οι συνιστώσες της ελκτικής δύναµης F, είναι επίσης συνεχείς σε ολόκληρο το χώρο, αλλά όχι οι δεύτερες παράγωγοι. Στο εξωτερικό της Γης (στον κενό χώρο όπου η πυκνότητα είναι µηδέν) ισχύει Οι λύσεις της ονοµάζονται αρµονικές Συνεπώς, το δυναµικό της έλξης είναι αρµονική συνάρτηση στο εξωτερικό των ελκουσών µαζών αλλά όχι στο εσωτερικό τους όπου εκεί ικανοποιεί την εξίσωση του Poisson. Το απλούστερο παράδειγµα αρµονικής συνάρτησης: το αντίστροφο της απόστασης µεταξύ δύο σηµείων Σηµερινή ενότητα του µαθήµατος Σφαιρικές αρµονικές είναι ιδιαίτερα χρήσιµες σε προβλήµατα της Φυσικής όπου υπάρχει σφαιρική συµµετρία Συναρτήσεις και πολυώνυµα P nm, P m Συναποτελούν µέρος των λύσεων της εξίσωσης Laplace, όταν αυτή εκφράζεται σε σφαιρικές συντεταγµένες...

2 Πολυώνυµα και Συναρτήσεις Οφείλουν το όνοµα τους στο γάλλο µαθηµατικό Andrien Marie ( ) Το σύγγραµµα του Nouvelles mé méthodes pour la dé détermination des orbites des comè comètes (του 1806) 1806) Νέες µέθοδοι για τον προσδιορισµό της τροχιάς των κοµητών κοµητών περιέχει την πρώτη ολοκληρωµένη αντιµετώπιση της µεθόδου των ελαχίστων τετραγώνων, τετραγώνων, αν και η πρωτιά για την ανακάλυψή της µεθόδου αποδίδεται στον γερµανό ανταγωνιστή του Carl Friedrich Gauss. Gauss. Πολυώνυµα Εξίσωση Το 1783, στην Ακαδηµία των Επιστηµών στο Παρίσι, ο παρουσιάζει την έρευνα του σχετικά µε την βαρυτική έλξη σωµάτων ελλειψοειδούς σχήµατος, για την οποία προτάθηκε (µετά από την ενθουσιώδη αποδοχή της από τον Laplace) να γίνει µέλος της Ακαδηµίας Andrien Marie Πορτραίτο του Louis Πολυώνυµα πολλά προβλήµατα της φυσικής, όπως στη επίλυση της εξίσωσης Laplace και άλλες συναφείς µερικές διαφορικές εξισώσεις. Όταν m 0 οι λύσεις της αποκαλούνται προσαρτηµένες Όταν m=0 οι λύσεις της είναι τα πολυώνυµα Πολυώνυµα εργασία του Recherches sur la figure des planè planètes tes, εισάγει την κατηγορία των φερώνυµων πολυωνύµων, τα οποία είναι οι κανονικές λύσεις της διαφορικής εξίσωσης Πολυώνυµα Οι δύο πρώτοι όροι της σειράς Taylor δίνουν Πολυώνυµα ύο χρόνια αργότερα, ο στην Στη γενικότερη µορφή της συναντάται σε Ορισµός: Τα πολυώνυµα, Pn(t), n=0,1,2, υπολογίζονται από τη λεγόµενη σχέση του Rodrigues Τα πολυώνυµα που συµβολίζονται ως Pn(t), όπου n είναι ο λεγόµενος βαθµός τους, συχνά απαντώνται και µε τις ονοµασίες 1ου είδους, είδους, συντελεστές ή αρµονικές ζώνης Πολυώνυµα,, n = 0,1,2, 0,1,2,,7,,7, όπου, x = cosθ = sinφ (θ = 90ο φ). Συχνά αντί για τη µεταβλητή x, χρησιµοποιείται ο συµβολισµός t και Pn(t) Προκύπτουν επίσης ως οι συντελεστές αριθµοσειράς Taylor (generating function/γεννήτρια συνάρτηση) Πολυώνυµα,, n = 0,1,2, 0,1,2,,5,,5, Χωρίς να καταφεύγουµε σε άµεσο ανάπτυγµα της σειράς Taylor, η διαφόριση της αντίστοιχης εξίσωσης και στις δύο πλευρές της δίνει Επαναληπτική σχέση του Bonnet

3 Πολυώνυµα Παράδειγµα Πολυώνυµα η ερµηνεία τους Οι σειρές συγκλίνουν όταν r > r ανάπτυγµα σε σειρά Taylor ως προς α=r /r (u=cosψ) Τα πολυώνυµα, είναι χρήσιµα για υπολογισµούς µεγεθών που ακολουθούν τη σχέση του αντιστρόφου της απόστασης όπως π,χ. το ελκτικό δυναµικό της βαρύτητας µεταξύ σηµειακών µαζών P6 Πολυώνυµα η ερµηνεία τους Ζώνες αρνητικών τιµών + Ζώνες θετικών τιµών Πολυώνυµα τι Πολυώνυµα τι + + Πολυώνυµο P6(cosθ) κατά µήκος της περιφέρειας ενός µεσηµβρινού κύκλου, και γύρω από τη σφαίρα Τα Pn (όπου n=ζυγός βαθµός) ικανοποιούν τις συνθήκες Τα πολυώνυµα είναι συµµετρικά ή αντισυµµετρικά Τιµές ίσες µε x = 0. P6(cosθ) Συγκεκριµένες x = 1 Πολυώνυµα τι Πολυώνυµα τι Ικανοποιούν τη συνθήκη ορθογωνικότητας Το ολοκλήρωµα είναι σαν να υπολογίζουµε το εσωτερικό γινόµενο δύο διανυσµάτων: (A1,B1) (A2,B2) = A1A2 + B1B2 (A1,B1) (A2,B2) = 0 εάν τα διανύσµατα είναι κάθετα µεταξύ τους Οι συνιστώσες των Pm, Pn είναι οι τιµές τους σε κάθε x Απλοποιείται ο υπολογισµός των παραγώγων Πολυώνυµα χαρακτηριστικά τους Συνάγεται εύκολα ότι Pn(t) είναι πολυώνυµο βαθµού n. Αν το n είναι άρτιος (ζυγός) αριθµός, το Pn(t) περιέχει όρους µε µόνο άρτιες δυνάµεις της µεταβλητής x, και Αν το n είναι µονός αριθµός, το Pn(t) περιέχει µόνο όρους µε µονές δυνάµεις του x. Ο συντελεστής του όρου της δύναµης xn στο Pn(t) είναι...?

4 Αν n - άρτιος αριθµός, το Pn(t) περιέχει µόνο όρους µε άρτιες δυνάµεις της µεταβλητής x, και Αν το n - µονός αριθµός, το Pn(t) περιέχει µόνο όρους µε µονές δυνάµεις του x n-άρτιος αριθµός n-µονός αριθµός Ο Ο συντελεστής του όρου της δύναµης xn-2 στο Pn(t) είναι : συντελεστής του όρου της δύναµης xn στο Pn(t) είναι : π.χ. στο P4(t) είναι (-15/4) x2 π.χ. στο P5(t) είναι (63/8) x5 ΑΝΑ ΡΟΜΙΚΗ ΣΧΕΣΗ υπολογισµού για τα πολυώνυµα, για n 1 (P0=0, P1=1) ΚΛΕΙΣΤΗ ΣΧΕΣΗ (closed formula) για τα πολυώνυµα ΑΝΑ ΡΟΜΙΚΗ ΣΧΕΣΗ υπολογισµού για τα πολυώνυµα, για n 1 (P0=0, P1=1) Στη πράξη αρκούν να είναι αρχικά γνωστά τα πολυώνυµα Ρ0 και Ρ1, και αυτό Επιτρέπει τον υπολογισµό οποιουδήποτε πολυωνύµου, ανώτερου βαθµού, από τις τιµές των δύο προηγούµενων Σηµαντικό µειονέκτηµα της αναδροµικής διαδικασίας είναι ότι πρέπει προηγουµένως να υπολογιστούν όλα τα χαµηλότερου βαθµού πολυώνυµα προτού υπολογιστεί το εκάστοτε πολυώνυµο επιθυµητού βαθµού Συναρτήσεις Αποτελούν µη µηδενικές λύσεις στο διάστηµα [ 1, 1] της διαφορικής εξίσωσης του Οι δυνάµεις του θ µπορούν να εκφραστούν σε όρους συνηµιτόνων πολλαπλάσιων του θ Όπου j = n/2 για βαθµό n-άρτιο (ζυγό) αριθµό j = (n-1)/2 για βαθµό n-περιττό (µονό) αριθµό έτσι Αποφεύγεται τελείως η αναδροµική διαδικασία, αν απλά επιζητείται η τιµή ενός συγκεκριµένου βαθµού πολυώνυµου Αλλά, ενδεχοµένως ο υπολογισµός των παραγοντικών (για µεγάλες τιµές) µπορεί να προκαλέσει αριθµητικά προβλήµατα όπου οι δείκτες n and m, είναι ακέραιοι αριθµοί, και αναφέρονται ως βαθµός (degree) και τάξη (order) της συνάρτησης Pnm(x) αντίστοιχα. Ισχύει πάντα ότι 0 m n, δηλαδή η τάξη ανάπτυξης δεν µπορεί να υπερβαίνει τον βαθµό ανάπτυξης Συχνά οι συµβολίζονται ως Pnm, Pnm(x), Pn,m(x), ή ως Pnm, Pnm(x)

5 Συναρτήσεις Συναρτήσεις Συναρτήσεις Οι γενικευµένες (ή αλλιώς συναφείς ή Όταν η τάξη m=0, οι Η γενική έκφραση προσαρτηµένες), Pnm(x), βαθµού n=0,1,2, Nmax, και τάξης m=0,1,2,,n υπολογίζονται από τη σχέση του Rodrigues Pnm(x) ανάγονται στα πολυώνυµα Pn0(x) = Pn(x) Επιτρέπει την επέκταση του ορισµού των συναρτήσεων για: n m n. Ο αντίστοιχος ορισµός των Pn±m, είναι και επειδή για τα πολυώνυµα ισχύει m=0 Ο όρος (-1)m αποκαλείται Condon Shortley phase και χρησιµοποιείται κυρίως στην κβαντική Μηχανική. Στη Γεωδαισία και στο Μαγνητισµό, παραλείπεται εντελώς. Συναρτήσεις ορθογωνικότητα Για 0 m ℓ, οι ικανοποιούν την ακόλουθη συνθήκη ορθογωνικότητας για σταθερό m ΠΡΟΣΟΧΗ, ΠΡΟΣΟΧΗ ο δείκτης m στο συµβολισµό της συνάρτησης δεν υποδηλώνει εκθέτη δύναµης Μερικές από τις πρώτες µέχρι βαθµό και τάξη (3,3) Μερικές από τις πρώτες µέχρι βαθµό και τάξη (3,3) Ακολουθώντας το Ακολουθώντας το συµβολισµό Pnm και επίσης ικανοποιούν την ακόλουθη συνθήκη συµβολισµό Pnm x ή t = cosθ x ή t = cosθ ορθογωνικότητας για σταθερό l Μερικές από τις πρώτες µέχρι βαθµό και τάξη (3,3) Μερικές άλλες ΑΝΑ ΡΟΜΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ για τις Ακολουθώντας το συµβολισµό Pnm x ή t = cosθ

6 . Μερικές ΑΝΑ ΡΟΜΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ για τις Ισχύουν επίσης οι ακόλουθες ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ για τις ΚΛΕΙΣΤΗ ΣΧΕΣΗ (closed formula) για τις Η γενική έκφραση Οι αναδροµικές διαδικασίες επιτρέπουν τον υπολογισµό όλων των συναρτήσεων, οποιουδήποτε βαθµού και τάξης, θεωρητικά µέχρι το άπειρο. Όπου το διπλό παραγοντικό υπολογίζεται από τη σχέση Επιτρέπει τoν βολικό υπολογισµό των συναρτήσεων και πολυωνύµων σε εφαρµογές προγραµµατισµού.. ΚΛΕΙΣΤΗ ΣΧΕΣΗ (closed formula) για τις Στη Γεωδαισία, οι σχέσεις της υπολογισµού των παραµέτρων του γήινου πεδίου βαρύτητας απλοποιείται µε την εισαγωγή των πλήρως κανονικοποιηµένων πολυωνύµων και συναρτήσεων Στη Γεωδαισία, οι σχέσεις της υπολογισµού των παραµέτρων του γήινου πεδίου βαρύτητας απλοποιείται µε την εισαγωγή των πλήρως κανονικοποιηµένων πολυωνύµων και συναρτήσεων Αποφεύγεται η χρήση κάποιας αναδροµικής διαδικασίας εφόσον το ζητούµενο είναι να υπολογιστεί µόνο κάποια συγκεκριµένη συνάρτηση Για m = 0, η εν λόγω κλειστή σχέση ανάγεται στην αντίστοιχη µορφή της κλειστής σχέσης για τα πολυώνυµα Έτσι ώστε Πολυώνυµα L. Συναρτήσεις L.... Στη συνέχεια θα συζητήσουµε Τις λύσεις της εξίσωσης Laplace..