XV. Difuzija in prevajanje toplote Difuzijski koeficient

Transcript

1 XV Difuzija i pvajaj oplo 5 Difuzijski kofici V pjšjih poglavjih smo obavavali lasosi ls v modiamskm avovsju V m poglavju bomo opisali diamič pocs ki lo pivdjo v avovso saj Kako smo ţ povdali so spmmb pi kaih lo ali sov dosţ saj oploga avovsja ivzibil spmmb Vzmimo azopio v kai j kocacija opljca a azličih msih azliča mičo gibaj molkul povzoči mšaj azopi i s m spmijaj kocacij opljca: opljc s pazdli z ms z visoko kocacijo a msa z izko kocacijo ocs č oliko časa dokl kocacija i aka po cloi azopii mu pojavu pavimo difuzija Da bo mamaiča obavava difuzij čim bolj osava pivzmimo da s kocacija azopi c spmija l vzdolţ koodia osi Gosoo difuzijskga oka j dfiiamo ko moţio opljca ki s v časovi oi ps skozi oo povši ki j pavokoa a os Difuzijski ok v smi poziiv osi bomo šli poziivo v aspoi smi pa gaivo K sov č od msa z višjo kocacijo a mso z iţjo kocacijo j pdzak difuzijskga oka aspo pdzaku kocacijskga gadia dc/d Č kocacija aašča od lv poi dsi j difuzijski ok v aspoi smi od ds poi lvi Č j dc/d = j kocacija azopi povsod aka i i difuzij Ka smo povdali zgoaj zapišmo v mamaiči obliki z asldjo ačbo: dc j D 5 d Kosaa D s imuj difuzijski kofici Gosoo difuzijskga oka lahko dfiiamo a vč ačiov: a pim ko maso opljca ki s v časovi oi ps skozi oo povši ali ko švilo molkul opljca i podobo i m moamo dfiiai kocacijo a ak ači j ko maso ali švilo molkul opljca a oo posoi azopi i podobo Na a ači difuzijski kofici i odvis od ga kako dfiiamo difuzijski ok i kocacijo azopi Eoo za difuzijski kofici določimo a asldji ači Naj bo gosoa difuzijskga oka j dfiiaa ko švilo molkul opljca ki s ps v časovi oi skozi oo povši ki j pavokoa a sm oka oj j [j] = /m s Kocacijo pom izazimo ko švilo molkul a oo posoi j [c] = /m 3 ako imamo j D m s dc/ d / m s / m Upošvali smo da j dii mhaizm ki povzoča spmijaj kocacij mičo gibaj molkul ako da v azopii i obih makoskopskih okov ali kakšga dugga mšaja azopi Do akšga mšaja lahko pid zaadi sil ţ Č alkohol ki j laţji od vod pvido zlijmo v posodo v kai j voda s bosa kapljvii mšali z difuzijo Č pa vodo zlijmo a alkohol s bosa kapljvii vliko hij zmšali zaadi sil ţ kako zaadi

2 difuzij Zaadi ţ s amč ţja voda spušča laţji alkohol pa dviga i v posodi s pojavijo kovkcijski okovi 5 vajaj oplo haizm pvajaja oplo j podob difuziji Č j mpaua azličih dlov lsa azliča s pojavijo oploi okovi i oploa č s opljših ms k hladjšim oliko časa dokl s mpaua izači haizm pvajaja oplo j zop mičo gibaj molkul: molkul a oplih dlih lsa kj j mičo gibaj bolj ţivaho kajo z molkulami sosdjih hladjših dlov i jim pi m oddajajo dl svoj kiič gij ako s kiiča gija mičga gibaja paša s opljših dlov k hladjšim dlom lsa ako ko pi difuziji bomo pivzli da sov ko cloa miuj i da v jj i kovkcijskih okov Bz škod lahko udi pivzammo da s mpaua spmija l v i smi ki jo izbmo ko sm osi Gosoa oploga oka j dfiiaa ko moţia oplo ki s ps v časovi oi skozi oo povši ki j pavokoa a sm v kai s spmija mpaua o j a sm osi ako ko j difuzijski ok soazm z gadiom kocacij j udi oploi ok soazm z gadiom mpau d/d d 5 d dzak mius v zgoji ačbi as zop opozaja da j sm oploga oka aspoa smi v kai aašča mpaua o j v skladu s m ka smo ţ povdali da amč oploa č sama od sb v smi pojmajoč mpau Kofici j lasosi sovi i s imuj oploa pvodos Čim včji j m bolj sov pvaja oploo K j oa za gosoo oploga oka [] = J/m s = W/m sldi [] = W m W d / d K m mk oploa pvodos določa hios pvajaja oplo s oplih k hladjšim dlom lsa Č mpauih azlik v lsu vzdţujmo z zuajimi vii s s časom majšajo i slj ko pj dosţjo vsi dli lsa ako mpauo V splošm oj vlja da j mpaua odvisa ako od koodia kako udi od časa o j = i odvod v ačbi 5 bi pavzapav moali apisai ko paciali odvod / Vzmimo palico s kosaim pskom ki lţi vzdolţ osi Izbimo si odsk palic md i + d oţia oplo ki jo a dl palic dobi v časovi oi j [ + d ] Na aču pj oplo s mpaua ga dla palic spmi v časovi oi za c p d kj j gosoa palic c p pa spcifiča oploa pi salm laku ako imamo d c p d Izaz v oklpaju a dsi sai ppišimo v asldji obliki

3 3 d d d d Ko o vsavimo v pjšjo ačbo i ob sai ačb dlimo z ρc p d sldi c p 53 Eačba 53 am pov kako s mpaua v palici spmija zaadi pakaja oplo od opljših ms k hladjšim Kako hio s mpau izačijo določa kvoci c p ki ga imujmo miča difuzivos sovi Eoa za o količio j aka kako za difuzijski kofici o j [] = m /s i iga podobo vlogo pi izačvaju mpauih azlik v sovi kako difuzijski kofici pi izačvaju kocacij opljca v azopii ako kako pi difuziji lahko udi pi pvajaju oplo sila ţ povzoči kovkcijsk okov v akomo sgih kočiah akši okovi s pojavijo č kočio sgvamo a spodji sai ali jo ohlajamo ob vhjih plash i m s opljši i zaadi ga laţji dli koči dvigajo a jihovo mso pa s spuščajo hladjš zgoj plasi akš pos oplo j svda vliko hijši kako oploo pvajaj ali kodukcija abla : oploa pvodos [W/mK] kaih sovi pi sobi mpaui Zak 6 Voda 6 d ºC klo 8 Alumiij Bak 38 Ţlzo 75 vic 35 bo Opka 53 Kako lahko azbmo iz goj abl imajo kovi vliko oploo pvodos o j zao k s pi koviah oploa v glavm paša s mičim gibajm posih lkoov

4 kaih mič hiosi so da vlikosi 6 m/s mdm ko so mič hiosi aomov i molkul od kaj m/s do m/s 53 oploi ok v sacioam saju Vzmimo homogo palico z dolţio l i salim pčim pskom slika 5 Nadalj bomo pivzli da j mpaua a koch palic sala a m kocu aj bo a dugm pa < oploa pvodos sovi j v splošm odvisa od mpau a č azlika mpau i pvlika lahko čmo da j kosa po cloi dolţii palic lika 5 acioao saj pi pvajaju oplo v oplo v palici ki ima koca pi mpauah i < a obodu pa j oploo izoliaa Na gafu spodaj j pikazaa mpaua v odvisosi od koodia Koodiaa os aj bo vzdolţ palic koodiao izhodišč posavimo a koc kj j mpaua K sa mpaui a m i dugm kocu sali s v palici slj ko pj vzposavi sacioao saj za kaga j začilo da j mpaua v palici odvisa l od koodia ič pa od časa ako da j = = i l = kozi palico daj č oploi ok d 5 d ki j odvis od koodia K j amč mpaua v plasi odvisa od časa moa bii oploi ok skozi vsak pči psk plasi ak oploa s ikj ii absobia ii usvaja V aspom pimu bi s mpaua spmijala s časom Č ačbo 5 igiamo dobimo + cos 55a

5 5 ki am pov da mpaua v plasi pojma akomo liao o sldi udi iz ačb 53 ki s za sacioao saj poosavi v d /d = Od od sldi šiv a b kj sa a i b kosai Iz obga pogoja = sldi cos = i gojo ačbo ppišmo v obliki 55b Č upošvamo š dugi obi pogoj l = imamo I l 55c 56 l oploi ok skozi plas j oj soazm s mpauo azliko md o i dugo povšio plasi Eačbo za pvajaj oplo v sacioam saju5 lahko ppišmo v asldji obliki: d d kj smo zapisali d d 57 d d 58 o količio imujmo oploo upoos ifiizimal plasi z dblio d oploi ok skozi plas j oj ak kvociu mpau azlik v plasi d i j oplo upoosi d podobo ko o vlja za lkiči ok Ohmov zako Eačbo 57 pomoţimo z d i igiajmo i dobimo d l d d 59 5 l o svda i ič dugga kako ačba 56 zapisaa a dug ači oploi upo homog palic z dblio l i pčim pskom j oj ak = l/ Eoa za oploi

6 6 upo pa j [] = [l]/[] = m/wm - K - m = K/W oploa upoos palic am pov kolikša moa bii mpaua azlika md jima kocma da skozjo č oploi ok W Kolikš j oploi ok skozi plapaallo hogo plas ki j ssavlja iz vč zapodih homogih plasi z dbliami l i i oploimi pvodosmi i ki s sikajo i imajo vs ak pči psk slika 5a mpaua azlika v cloi plasi j lika 5 a lapaalla hoga včplasa sa b mpaua v si v odvisosi od koodia K j v sacioam saju oploi ok skozi vs plasi ak alogo hio šimo z upoabo ačb 59 ldi l l l l N l d d d d N N ka am da l l N N N Iz gojga zulaa sldi da s oploi upoi zapodih plasi sšvajo Clo oploi upo hog plasi j ak vsoi oploih upoov posamzih homogih plasi N i i i N i i l

7 7 ok mpau v plasi j š vdo lia vda j hios pojmaja azliča v azličih plash slika 5b K j oploi ok skozi vsako plas ak ga lahko zapišmo udi a asldji ači kj smo z i i li i i i ozačili mpauo azliko v i-i plasi oj i i l i ka am pov da mpaua v plasi pojma m hij čim majša j oploa pvodos plasi Na ak ači lahko obavavamo udi phod oplo skozi koglo lupio z oajim polmom zuajim polmom i oploo pvodosjo slika 53 mpaua a oaji povšii kogl lupi aj bo a zuaji pa < i i lika 53 Kogla lupia; a oaji si s polmom j sala mpaua a zuaji si s polmom pa j sala mpaua d oajo i zuajo so č v adiali smi oploi ok Zaadi kogl simij vlja = i oploi ok skozi povšio poljub kogl s polmom < < j ak Eačbo pudimo i igiamo pa dobimo d d d d d d d d

8 8 i Od od azbmo da j oploi upo kogl lupi ak Č j lupia zlo dbla j = lika 5 Dvoplaa kogla lupiam ssavlja iz oaj plasi s oploo pvodosjo λ i zuaj s oploo pvodosjo λ Na oaji si s polmom j sala mpaua a zuaji si s polmom 3 pa j sala mpaua ahko si zamislimo udi koglo lupio ki j ssavlja iz dvh kocičih koglih lupi z azličima oploima pvodosma i slika 5 Na ak ači kako zgoaj dobimo 3 d d i 3 Zadjga ačua sploh bi bilo ba dlai saj ţ od pj vmo da s oplo upoosi zapodih plasi sšvajo

9 9 Vzmimo kos ldu ki smo ga poopili v vodo s mpauo > ºC Določi hios aljja ldu ob pdposavki da i kovkcij K sa ld i voda pi amosfskm laku v avovsju pi = ºC sldi da ima plas vod ik ob povšii ldu mpauo ºC Na vliki oddaljosi od ldu j mpaua vod aka oploa oj č od vod k ldu oploa ki jo ld pjm od vod s poabi za aljj ako da vlja d = dm kj j oploi ok i spcifiča alila oploa ldu Hios aljja j oj aka dm d Vzmimo da ima ld v km uku obliko kogl s polmom V m pimu j oploi ok poda z izazom ki smo ga izačuali zgoaj kj smo dobili = Hios aljja ldu oj določa oploa pvodos vod v skladu z ačbo dm d Za = cm i = ºC č upošvamo da j oploa pvodos vod 6 W/mK sldi dm/d = g/s Eaki zulai vljajo udi za difuzijo v azopii md dvma plapaallima sama ali md dvma kocičima koglima povšiama a kaih vzdţujmo kosai kocaciji c i c V zgojih ačbah moamo samo zamjai mpauo s kocacijo gosoo oploga oka z gosoo difuzijskga oka j i oploo pvodos z difuzijskim koficiom D Ko pim si ogljmo azapljaj sovi v opilu Hios azapljaja določa difuzija opljca v azopii Ob povšii lsa ki s azaplja v opilu s ab aka plas asič azopi s kocacijo c Zaadi azlik v kocaciji opljc difudia v okoliško azopio ka omogoča adaljj azapljaj sovi Č sp vzammo lo v obliki kogl s polmom j hios azapljaja v kg/s aka clomu difuzijskmu oku J = j s povši lsa v opilo ako imamo J = πd c i m smo vzli da j kocacija azopi a vliki oddaljosi od lsa c = Oba pojava o j difuzija i pvajaj oplo pa hkai določaa a pim hios izhlapvaja vod kapljic v zaku Voda kapljica j obkoţa s ako plasjo asič pa ki počasi difudia v okoliški zak o povzoča adaljj izhlapvaj kapljic oploo pobo za izhlapvaj dobiva kapljica od zaka i m iga pommbo vlogo mhaizm psopa oplo iz zaka a kapljico 5 sop oplo z povši lsa a okoliški zak i obao V paksi vlikoka sčamo pim psopa oplo s povši lsa a okoliško kočio i obao Da bo opis bolj osav vzmimo avo so obdao z zakom mpaua povši s ki mji a zak aj bo kosaa i aka mpaua zaka a vliki

10 oddaljosi od s aj bo udi sala i aka < V sacioam saju j pok mpau v bliţii s pikaza a sliki 55 lika 55 a s salo mpauo obdaa z zakom ki ima dalč od s salo mpauo < Z δ smo zazamovali dblio mal mj plasi koaj cloa mpaua azlika j omja a ako plas zaka ob si ako imovao malo mjo plas Zak ik ob si miuj ako da j gosoa oploga oka podaa z ačbo 5 d 5 d kj j oploa pvodos zaka i koodiao izhodišč smo izbali ik ob si V splošm s oploa paša od s a okoliški zak az v aki plasi ik ob si ako s pvajajm kako udi s kovkcijo o j s pakajm začih plasi Hladjši zak s ob si sgj posa laţji i s ob jj dviga voi ako imovao lamiao mjo plas mu pojavu pavimo aava kovkcija ahko pa gibaj zaka pospšujmo udi a pim z vilaoji i daj govoimo o pisili vsilji kovkciji K mpaui gadi d / d i ako osavo izačuai zapišmo oploi ok 5 običajo v obliki = h 5 kj kofici h imujmo psopi kofici oplo Eoa zaj j azvida iz sam dfiicij i j aka [h] = W/m K sopi kofici am oj pov koliko oplo v časovi oi odda vsak m s okoliškmu zaku č j mpaua azlika K Zlo pipavo j č psopi kofici zapišmo v obliki h Nu 53 H

11 kj j oploa pvodos zaka H kaakisiča azsţos s i Nu ako imovao Nusslovo švilo ki opdljuj psop oplo s s v zak ali obao Za pim avpič av s z višio H i za aavo kovkcijo vlja Nu / 3 gh / 8 8 G ; 5 3 gh pi m j G Gashofovo švilo ν = η/ρ j kimaiča viskozos zaka η j viskozos ρ pa gosoa zaka i g ţi pospšk Č j mpaua s = 33 K 3 ºC i = 93 K višia s H = 3 m i č vzammo da j kimaiča viskozos zaka aka ν = 5 - m s - dobimo za Gashofovo švilo vdos G i uszo Nusslovo švilo j 5 sopi kofici j v m pimu ak h = 5 6 Wm - K - /3m W/m Č v ačbi 5 mpaui gadi izazimo ko d / d smmo či da pdsavlja δ oco za šiio mal plasi ob si glj sliko 55 Č izačimo izaza 5 i 5 upošvamo 53 imamo i Nu H H H 55 / Nu 8 G Č vzammo goj vdosi za H i Nu dobimo cm i pakičih pimih zlasi v gadbišvu ajvčka alimo a azm ki jih pikazuj slika 56 mpaua i dug s paviloma i zaa i v splošm udi i aka po vsj višii s za ka bomo v adaljvaju pivzli da so av i avpič Ka j avado zao j mpaua zaka dalč od s j a azdaljah ki so vlik v pimjavi z dblio malih plasi; so ako kako smo vidli zgoaj da vlikosi kaj cm

12 lika 56 Dalč od lv povši s s mpauo j zak s mpauo dalč od ds povši s s mpauo j zak s mpauo D Naj bo mpaua zaka a lvi sai s a dsi pa D < Izkaţ s da adimo vlik apak maj ko % č zamaimo da s mpaua s z višio ahlo spmija i pi ačuu upošvamo l povpčo mpauo i dug s Naj bo povpča mpaua lv povši s ds pa < Č pdposavimo sacioao saj lahko oploi ok skozi so ki č od lv poi dsi zapišmo a i ači: h 56a U 56b h 56c D D kj sa h i h D usza psopa koficia U = / pa j oploa ppusos s s pčim pskom Vsako od gojih ačb dlimo s koficiom a dsi sai i doblj ačb sšjmo Iz dobljga zulaa bz ţav določimo gosoo oploga oka ki j h U h D 57 D Č zadji izaz vsavimo v ačbi 56ac dobimo mpau skok ob povšiah s i sic i D 58a h h U h D D D 58b hd hd h U

13 3 mpaui skoki ob oajih povšiah s so š posbj pommbi k lahko povzočajo kodzacijo vod pa a sah i posldičo asak plsi sopa koficia h i h D za pim aav kovkcij i lamia mj plasi zaka lahko izačuamo podobo kako smo o opisali zgoaj Z upošvajm povpčih mpau povši s dobimo D i D h D Nu 59a H Nu D / 3 gh 7 D D 59b /5 D D Nu Nu 59c om simbolov j ak kako zgoaj Vzmimo so iz opk dbli l = 3 cm viši H = 3 m i s oploo pvodosjo opka = 53 W/mK mpaua zaka aj bo = 33 K D = 88 K Iz ačb 59 sldi Nu D 35 Nu i h h D W/m K podobo kako v pjšjm pimu oploa ppusos s j U = opka /l = 8 W/m K Iz ačb 57 i 58 sldi W/m = D 8 K mpaui skoki ob si so laivo vliki k so psopi koficii pibliţo aki oploi ppusosi s Empiič vdosi psopih koficiov so avado pcj včj od zgojih izačuov o j zao k imamo v paksi vlikoka opavka s pisilo kovkcijo k povši s iso povsm gladk i j gibaj zaka ik ob si ajvčka ubulo Kaakisič vdosi psopih koficiov so kj md i 5 W/m K Običajo j psopi kofici za zuajo povšio včji kako za oajo povšio s Č vzammo a pim h = h D = W/m K dobimo pi spmjih osalih paamih za zgoji pim = D K o pai cvi z oajim polmom i zuajim polmom s paka paa s mpauo oploa pvodos cvi j psopi kofici oplo z povši cvi a okoliški zak pa h Kolikš so oplo izgub č j mpaua okoliškga zaka? Vzmimo da j mpaua a povšii pa cvi om j oploi ok ki ga oddaja odsk cvi z dolţio ak kj j oploi upo ak d l

14 Gosoa oploga oka a povšii cvi j oj aka l o dugi sai pa j gosoa oka aka h Iz gojih dvh ačb izazimo pa imamo / / l h Naj bo mpaua pa 5 ºC mpaua zaka ºC oploa pvodos pa cvi W/mK i psopi kofici h = W/m K Noaji pm cvi j = 5 cm i zuaji = 5 cm oplo izgub v m pimu so Wm K / 5 m 6 K 5 = 5 W/m oplo izgub a vsak dolţiski m cvi so = 65 W/m V gadbi paksi j pommbo pvajaj oplo skozi azlič kosukcijsk lm Ko pim si ogljmo pos oplo skozi dv avi homogi si ki s sikaa pod pavim koom Da bo aču bolj osav pivzmimo da sa si v avpiči smiz os koči ako da j v sacioam saju mpaua v si odvisa odvisa l od lg očk v vodoavi avii o j = y mpaua a oaji si aj bo kosaa i aka a zuaji pa < ako da oploi ok č od oajosi avzv Določi oploi ok skozi vogal a oo jgov viši č j dblia s oploa pvodos pa l57 osplošiv ačb 53 a i dimzij j očia ldi kj smo ozačili y z V sacioam saju i pi skočo visokm vogalu mpaua v si pdsavlja šiv aplacov ačb v avii z pdpisaimi obimi pogoji y

15 5 y č y oaji si č y zuaji si Izkaţ s ko zlo pipavo č aplacovo ačbo v avii šujmo z upoabo aaliičih fukcij i kofom pslikav Naj bosa y i y dv ali fukciji ako da vlja i f iy f z kj smo ozačili z = + iy Z gojo ačbo smo v gobm dfiiali aaliičo fukcijo fz Č gojo ačbo odvajamo pacialo ka po -u i dugič po y-u s hio ppičamo da vljajo akoimovai Cauchy- imaovi pogoji y i y Eačbi y = cos i y = cos pdsavljaa kivulj v avii -y ki so v vsaki očki pavoko a a dugo Nadalj sldi iz Cauchy-imaovih pogojv da fukciji i zadoščaa aplacovi ačbi i Vzmimo fukcijo v za kao vlja y y v v Č izazimo v v v id lahko pokaţmo da vlja udi v v y o pomi da č pozamo šiv za v v avii - ki zadošča daim obim pogojm pi = = i = = pom smo hkai dobili šiv aplacov ačb v -y avii ki zadošča akim obim pogojm a obu območja ki ga določa asfomacija i f iy kivulj = id dos akšga pisopa k švaju aplacov ačb s pokaţ v pimih ko j oblika območja a kam iščmo šiv v -y avii v avii - bolj pposa Izkaţ s da obsaja akoimovaa chwaz-chisofflova asfomacija ki poljub mogokoik v avii -y asfomia v zgojo polovico avi - ob mogokoika pa s pslika v absciso os = Za kosukcijski lm a sliki 57 j pslikava pikazaa a sliki 58 Usza chwaz-chisofflova asfomacija za a pim j l l iy z a

16 6 kj smo ozačili / i obi pogoj za mpauo v - avii j v K j gosoa oploga oka soazma z gadiom mpau lahko bz škod mpauo dfiiamo ko pi čm s obi pogoj poosavi ako da imamo v Č pivzammo da j v imagiai dl k fukcij w + i u + iv ki j aaliiča v zgoji polovici komplks avi - sldi Upošvamo obi pogoj i imamo v d v d v a Nadalj upoabimo zao zvzo i imamo zula iz a z l i iz w l v ml Usz šiv v -y avii vy i uyzaadi osavosi bomo upoabili is fukcijsk ozak u y iv y w z z iy lahko ačloma dobimo iz gojih izazov ako da za vsako očko v - avii s pomočjo chwaz- Chisofflov asfomacij izačuamo uszo očko v -y avii Vda č as zaima l oploi ok skoz dl vogala lahko pidmo do zulaa a bolj ppos ači Kivulj vy = cos pdsavljajo izom v avii -y Kivulj uy = cos ki so v vsaki očki pavoko a izom pa oj pdsavljajo okovic goso oploga oka j v Vlikos goso oploga oka v dai očki oj lahko zapišmo v v v j v cos si y

17 kj j cos si vko omal a okovico v izbai očkil59 Č upoabimo Cauchy- imaov pogoj ki vljajo za fukciji u i v k j w aaliiča fukcija lahko vlikos goso oploga oka zapišmo š a asldji ači u u u j si cos s u y s kj j s si cos oski vko v smi ag a izomo v izbai očki oploi ok skozi dl izomal ploskv z višio h md očkama s i s glj l59 ki lţia a izbai izomi j h s jds h ds h u s s u u s s kj sa u i u vdosi fukcij u v očkah s i s K j v sacioam saju oploi ok skozi usz ploskv a azličih izomah ak ga smmo izačuai a poljubo izbai izomi Najbolj pipavo j č izačuamo oploi ok skozi izbai dl oaj s z višio h i dolţio v smi osi i dolţio y vzdolţ osi yl57 V - avii a izoma pdsavlja absciso os a odsku < << kj usza izbai vdosi vdos y pa vdosi i ju določimo s pomočjo chwaz-chisofflov asfomacij Usz vdosi fukcij u določimo iz ačb w u iv l ki smo jo izpljali zgoaj Najpj izačuajmo oploi ok skozi dl s ki lţi vzdolţ osi očka s aj bo a vogaluočka E a sliki 58 kj j + i = = K j v> = sldi u = odobo vlja l določimo iz ačb u l l a l l ki sldi iz chwaz-chisofflov asfomacij Naj bo / >> i posldičo j >> V m pimu smmo zapisai 7 i ako imamo i l l l l l oploi ok skozi dl s z šiio i višio h ki lţi vzdoţ osi j oj ak

18 8 h u h l h h l Na ak ači izačuamo udi oploi ok skozi odsk s z dolţio y vzdolţ osi y ldi y h u u kj oka očko s posavimo v vogaločka E = i u = očka s pa aj pa aj usza očki ako da vlja y hu h l Iz chwaz-chisofflov asfomacij ob upošvaju izbi -y koodiaga sisma l57 adalj sldi l iy a l K vliki vdosi za y/ >> sdaj usza << moamo zapisai v obliki daj imamo a / / ~ i i ~ ~ i l l ~ l i i ~ i i ~ ~ Č j << j i / ka am da Upošvajmo š a l l i ~ ~ l l i l i i l i l l l dobimo i iy l l i i i y l l Zadji izaz vsavimo v ačbo za y pa imamo y hy h l Clo oploi ok skozi izbai vogali dl s j oj ak

19 9 ali y h l h y h y 559 Iz gojga zulaa sldi da pisoos vogala povča oploi ok a oo viši za 559 i gojm ačuu ismo upošvali mal plasi a sah V paksi amč mpaua i dug s v splošm i pozaa ii i kosaa iso ka pozamo j mpaua zaka kaj cm poč od s Da oploa lahko psopa iz zaka a oajo so a pim j mpaua s iţja od zaka dalč poč od s d zako i so s vzposavi mpaui skok K j oploi ok v vogalu povča sklpamo da j am mpaui skok včji ko a avih dlih s mpaua s v vogalu j iţja ko a avih dlih s ako azummo zakaj s pozimi pls pič abiai ajpj v vogalu i š pj v koih posoa 55 Nsacioai pojavi Č j kocacija azopi a azličih msih azliča s slj ko pj zaadi difuzij povsod izači i dobimo homogo azopio Zaima as kaj določa časovo skalo ga pocsa Čas ki j pob za homogizacijo azopi očio i odvis od kocacij Kaji č kocacij a azličih msih povčamo za ak fako s za ak fako povča udi difuzijski ok i smo a ism kako pj Edii fizikali količii ki vplivaa a hios homogizacij sa difuzijski kofici D i gadi kocacij ali z dugimi bsdami kaakisiča azdalja a kaih s kocacija zazavo spmi Ozačimo d vlikosi azdalj z K j oa za difuzijski kofici m /s i za azdaljo m iz dimzijsk aaliz sldi da j dia kombiacija h dvh količi ki ima oo časa /D Zao sklpamo da j časova skala ki določa hios homogizacij azopi da vlikosi /D 5a jšj vpašaj lahko zasavimo š dugač Vzmimo da j v km uku daa moţia opljca akopiča v majhm pososkm lmu časoma s zaadi difuzij opljc poazdli po vsj azopii Kolikša j povpča azdalja za kao s pmak dlčk opljca v času? oka j poudak a odvisosi azdalj od časa Odgovo sldi iz pjšj ačb ki jo sdaj ppišmo v obliki D 5b V času s opljc azšii po območju kaga liaa azsţos j soazma s a zula lahko poazoimo a asldji ači Izbimo si molkulo opljca v azopii i opazujmo jo mičo gibaj Zaima as azdalja za kao s molkula v času oddalji od svoj lg ob času = Vzmimo da j ob času = zbaih skupaj vliko švilo molkul opljca ki s ao zaadi mičga gibaja azlzjo bolj ali maj akomo v vsh smh E s oddaljijo za včjo azdaljo dug za majšo a ako da j povpča azdalja da vlikosi D Ugooviv vlja l za molkul opljca v

20 azopii ampak udi za mikoskopsk dlc v kapljvii V m pimu govoimo o Bowovm gibaju Vs ka smo zgoaj povdali za difuzijo vlja v aki mi udi za pvajaj oplo v sovi Vzmimo palico z dolţio v kai a začku i povsod aka mpaua Difuzijski kofici adomsimo z mičo difuzivosjo i dobimo oco za čas ki j pob da s v palici mpau izačijo: c p / 5a udi o ačbo lahko obmo a ači kako smo o adili pi difuziji Vzmimo da mpaua a povšii lsa zaadi zuajih vzokov iha z koţo fkvco ω o ihaj s paša v oajos lsa pi čm asa malo valovaj Ampliuda ihaja z azdaljo od povši lsa pojma i zaima as kako globoko v lo sţjo a ihaja Časovo skalo pojava določa ihaji čas ozioma / Iz ačb 5a ako dobimo 5b E koc av palic z dolţio i pčim pskom s sika z oploim zvoajm s mpauo a dugm kocu pa vzdţujmo salo mpauo < V času = aj bo mpaua palic aka Oci po kolikšm času s v palici vzposavi sacioao saj č j oploa pvodos palic gosoa i spcifiča oploa c alica j ob sah oploo izoliaa ako da č oploi ok l vzdolţ palic Koodiao os usmimo vzdolţ palic i izhodišč posavimo v j lvi koc Ko s vzposavi sacioao saj j pok mpau v palici lia ako da j mpaua lvga koca dsga pa Opišimo mpauo a msu i v uku z izazom kj zadošča ačbi 53 o j Da bo šiv goj ačb določa moamo povdai š zač i ob pogoj Na začku = j mpaua po vsj palici aka V mamaiči obliki o zapišmo ko ka am da ob pogoj pa zapišmo akol:

21 od kod dobimo šiv za iščmo s spaacijo kajv spmljivk i časov spmljivk j z asavkom f g ako dobimo df d g g f d d Č ob sai ačb dlimo z fg sldi f df d g d g d cos Da sa izaza a obh sah ačb kosai sldi iz ga da j lva sa odvisa samo od časa dsa pa samo od kaja Nadalj vmo da j = zao kosao zapišmo v obliki cos = χk Fukciji f i g ako zadoščaa avadim difcialim ačbam i df k f d d g d k vo ačbo lahko pposo igiamo dugo pa ppozamo ko ačbo za hamoičo ihaj ako da imamo k A si k B cos k k Kosa A k B k i k določimo s pomočjo začga i obih pogojv ldi k k B k A si k B cos k k Gojim ačbam usţmo ako da izbmo B k = i si k = oj Dobimo k 3 / A si k k plošo šiv zapišmo ko vsoo šiv za posamz dovolj vdosi k-jv oj

22 A / si Kosa A določimo iz začga pogoja a asldji ači A si Gojo ačbo pomoţimo s siπ/ i ob sai igiamo gld a od do Dobimo m si si d m si d Am Igal a lvi j ak /π igal a dsi pa j m si si d kj j m Kockjv dla dfiia a asldji ači: m ako imamo č j č j m m m A i mpaua v palici ko fukcija kaja i časa j aka / si / Vsoa v izazu za mpauo hio kovgia a aču fakoja v kspou ako da j domia pvi čl v vsoi V skladu s m ka smo povdali a začku ga azdlka j sacioao saj dosţo pakičo po času za kaga vlja = V m pimu j poi fako v pvm člu ak -3 = 5-5 Č imamo m dolgo bako palico s oploo pvodosjo = 38 W/mK gosoo = 89 3 kg/m 3 i spcifičo oploo c = 385J/kgK pom j miča difuzivos = /c = -6 m /s Čas v kam s vzposavi sacioao saj pa j ak = / s = 8 h ogljmo š koliko oplo dobi palica v času pd s vzposavi sacioao saj K j mpaua palic a začku a kocu pa = / j oploa ki jo pjm palica aka Q c m = j masa palic d c d c mc ;

23 3 oploo ki jo palica pjm pa lahko izačuamo š a asldji ači: d Q Usza oploa okova sa / i cos / ako dobimo / cos d Q Upošvamo da j i = /c pa dobimo ak zula kako a pjšji ači Določi poazdliv mpau v odvisosi od časa v dvh skočo dolgih palicah z akim pčim pskom ki s sikaa a m kocu Zača mpaua palic aj bo dug pa < Koodiao os usmimo vzdolţ palic i koodiao izhodišč posavimo v juo sičišč oazdliv mpau v dvh skočo dolgih palicah lahko določimo a vč ačiov Najvčka s v m pimu upoabi aplacova asfomacija A č upošvamo da j v limii dia količia ki ima polg koodia oo dolţi sldi da j dia bzdimzijska količia ki jo lahko dfiiamo za a pim / K j difuzijska ačba liaa i homoga gld a mpauo lahko oo za mpauo izbmo poljubo Š bolj pposo j č amso mpau vpljmo kvoci / kj j ka kosaa mpaua kaakisiča za zasavljo alogo oazdliv mpau / v i i dugi palici smmo zao zapisai v obliki / f kj smo dodali fako zao k s kasj pokajša Z upoabo ga asavka lahko azmoma pposo določimo mpaui za < i za > Izaz / f vsavimo v difuzijsko ačbo i dobimo f f kj j / i d df f / Gojo ačbo pudimo d f df i igiamo o am da

24 B f kj smo z B ozačili igacijsko kosao Dobljo ačbo š ka igiamo i za > dobimo B f A d B A / ; A i B sa igacijski kosai i d f f = Za < dobimo a ak ači B f A d B A d B A / / Igacijsk kosa določimo s pomočjo začih i obih pogojv i ldi B B A A B A B A Iz zadj ačb izazimo B B i vsavimo v dugo ačbo upošvamo š jo pa imamo B A B A i B A

25 5 Dfiiali smo i sa oploi pvodosi lv < i ds > palic ldi koči zula: f f Iz gojih ačb azbmo asldj vič mpaua a siku = j kosaa i j aka Eako vdos ima udi avovsa mpaua o j mpaua ki jo imaa palici ko s vzposavi oploo avovsj am po sbi a zula i avad j pa psljiv č ga pimjamo z avovso mpauo dvh ako dolgih palic z dolţio pos aču z upoabo zakoa o ohaivi gij am da zula c c c c / / ki s očio azlikuj od zulaa za skoči palici čpav avovsa mpaua v ako dolgih kočih palicah i odvisa od ju dolţi z i c smo ozačili gosoo i spcifičo oploo palic Za pimjavo izačuajmo avovso mpauo š za pim ko sa dolţii palic azliči opoloma ak aču kako zgoaj am v m pimu da c c c c / / / / Ka j zaimivo pi zadjm zulau j asldj Izbimo azmj dolţi palic ako da j / / Č o vsavimo v pjšjo ačbo sldi da j avovsa mpaua v akših palicah aka avovsi mpaui v dvh skočo dolgih palicah

26 6 lika 57 mpaua v dvh skočo dolgih palicah v kaj azličih časih Vzli smo da j lva palica iz baka i ima začo mpauo ºC dsa pa iz alumiija z začo mpauo ºC ikaza so mpau v zapodih časih s s s 8 h 56 h 39 h i 8 h mpaua a siku j vs čas 9 ºC lika 58 mpaua v dvh palicah z azmjm dolţi / = χ /χ / za kaj azličih časov Na lvi j alumiijasa palica dolţi 5 m i z začo mpauo ºC a dsi j baka palica z dolţio 5 m i začo mpauo ºC; azmj dolţi palic j Al / Cu = χ Al /χ Cu / = 5 oazdliv mpau v dvh skočo dolgih palicah v odvisosi od časa pikazuj slika 57 Zlo / / podoba j poazdliv mpau v kočih palicah z azmjm dolţi ki jo pikazuj slika 58 aču za a pim ajlaţ adimo z upoabo aplacov asfomacij udi v m pimu j mpaua a siku sala i j aka avovsi mpaui V vsh dugih pimih pa s izkaţ da j mpaua a siku v začku aka kako pi dvh skočih palicah vda i sala i slj ko pj dosţ vdos ki j aka avovsi mpaui o j azumljivo saj j oploi ok v palicah a začku ko vlja << odvis od dolţi palic i mpau azm ob siku so oj v vsh pimih ak mpauo a siku v m časovm ivalu dobimo iz izaza za č vaj vsavimo i

27 7 i skočo dolgih palicah j pogoj vs čas izpolj zao j mpaua a siku vs čas aka odobo vlja za koči palici pi kaih j azmj dolţi akšo da j avovsa mpaua aka zači siči mpaui lika 59 iča mpaua za dv ako dolgi koči palici v odvisosi od časa oz paama χ / Gaf kaţ pim za m dolgo alumiijaso i ako dolgo bako palico z začima mpauama ºC i ºC Zača mpaua a siku j 65 ºC koča zmsa mpaua j 9 ºC Časovo odvisos sič mpau za dv ako dolgi koči palici kaţ slika 59 Na začku j mpaua a siku aka po dolgm času pa j / / lika 5 kaţ poazdliv mpau v dvh ako dolgih kočih palicah za azlič vdosi časa udi o poazdliv ajhij dobimo z upoabo aplacov asfomacij avovso mpauo za skoči palici moamo oj pimjai z avovso mpauo dvh kočih palic ki imaa dolţii v azmju / / imii pocs ki ga določa difuzijska ačba sama j akš da j azmj dolţi vs čas ako /

28 8 lika 5 ok mpau v dvh ako dolgih kočih palicah za kaj azličih časov p smo vzli palici iz alumiija i baka dolţi 5 m zači mpaui sa ºC i ºC Ko oj sakmo dv poljubi palici ali dv lsi z azličima začima mpauama majhi območji a obh sah sika kaih liai azsţosi v smi pavokoo a sik sa pibliţo i zlo hio dosţa kaakisičo sičo mpauo sik ičo območj lsa s mpauo > s pi m ohladi za sik hladjš lo s pa ogj za sik Ko a pim sopimo z bosimi ogami s mpauo a hlada la mpaua s aša sopala ohladijo m bolj čim majši j kofici κ = / / = c / c ovši za ka j κ majh s am zdijo hladjš kako povši z včjim κ čpav j mpaua i dug povši aka Bako koglo s polmom = cm i mpauo vţmo v sg s mpauo = ºC Oci v kolikšm času s kogla ohladi a mpauo okolic? Kako hio s ohladi kogla j odviso od ga a kakš ači oddaja oploo okolici dposavimo da s povšia kogl v hipu ohladi a mpauo sga i s pom vč spmija ako imamo zaadi kogl simij

29 9 i Difuzijsko ačbo v koglih koodiaah pi gojih pogojih dobimo s pomočjo zakoa o ohaivi gij za ako koglo lupio md i + d Vlja c p d d d ali cp d d d 8 d pi čm smo zamaili čl z d Ob sai ačb dlimo z d pa dobimo v limii d zula Č upošvamo da j / = / + / i / = / lahko zgojo ačbo ppišmo v bolj ppozavo obliko i jo lahko šimo a ak ači kako v pimu palic a s ako imamo k A si k B cos k k k K j mpaua v sdišču kogl koča sldi ako zadošča goji ačbi smmo zapisai lim i izbmo B k = K pav k A si k Da zadosimo obmu pogoju = moamo zahvai si k = ka am da pogoj za vdosi k k = π = 3 plošo šiv zao zapišmo v obliki vs k / A si

30 3 Kosa A določimo ako da j izpolj zači pogoj j = oj j si A Zadjo ačbo a obh sah pomoţimo s siπ/ igiamo od do upošvamo m d m si si d si ako dobimo A oazdliv mpau v kogli j oj aka / si Zgoja vsa zaadi kspoih fakojv hio kovgia i = imamo si / Kogla s pi opisaih pogojih ohladi a mpauo okolic v času = /χ ka j v skladu s splošimi ugoovivami ki smo jih podali ţ zgoaj Za bako koglo s polmom = cm i mičo difuzivosjo - m /s j a čas ak s i gojm ačuu smo pivzli da j mpaua a povšii kogl sala i aka mpaui sga ahko pa obi pogoj a povšii kogl opdlimo udi s oploim okom ki ga oddaja kogla i ki j določ s koficiom h za psop oplo s kogl a okoliško sov Ob kogli s usvai plas vod pivzmimo da zača mpaua kogl i pvlika ako da asa udi paa v kai s usvai mpaui skok Voda ki s doika kogl ima mpauo kogl voda ki j v avovsju z sgom pa mpauo V m pimu zapišmo obi pogoj a povšii kogl ko h pomočjo ačb lahko ocimo mpauo azliko md sdio kogl i jo povšio ldi h Č pivzammo da j h W/m K sldi - kj smo upošvali da j oploa pvodos baka = 38 W/mK Cloa mpaua azlika j pakičo v vodi plasi md koglo i

31 3 sgom mpaua po cloi kogli j pibliţo kosaa i s s časom spmija ako kako o zahva oploi ok s povšja kogl v okolico Iz zakoa o ohaivi gij sldi ali 3 d c h 3 d d 3h d c i d 3h c ka am da koči zula 3h/ c V m pimu s kogla ohladi a mpauo + v času = π c/3h 3 h Vzmimo avpičo so z dblio i oploo pvodosjo mpaua zaka a zuaji i oaji sai aj bo aka V oplom avovsju j akša udi mpaua s V km uku mpaua zuajga zaka pič hamoičo ihai ako ko vlva ačba Z cos ivzmimo da j mpaua zuaj s vs čas aka mpaui zuajga zaka mpaua oaj s pa j sala i aka Določi poazdliv mpau v si v odvisosi od časa Koodiai sism izbmo ako da j os pavokoa a so i koodiao izhodišč posavimo a oajo so Za mpauo v si sdaj vlja Za adaljj ačuaj j zlo piklado č ačuamo s komplksimi količiami ako da zapišmo ~ Z pi m pa smmo pozabii da djasko mpauo pdsavlja samo ali dl gojga izaza Na ak ači sdaj zapišmo mpauo v si ~ ~ i i a izaz vsavimo v difuzijsko ačbo / / i dobimo ~ d i ~ d Ozačimo / ~ i i / k l l i i k i ~ kj j ihaji čas s kaim iha mpaua i l ploša šiv ačb za j

32 3 ~ ~ ~ A ~ si k B ~ cos k i kosai A ~ i B ~ ~ ~ določimo s pomočjo obih pogojv i daj upošvamo ačbo kj j i imamo ~ ~ si k ~ si k si si k ik si k ik i i i k ik si k sh k g cgk hk si si k sh k k sh k ~ i si k sh k cos si k sh k cos i dobimo Na zuaji si mpaua iha ako ko ţ vmo o j a oaji si pa j mpaua sala ali iso ka j v m pimu bolj zaimivo j oploi ok ki ga oddaja oaja sa Iz zakoa za pvajaj sldi da j gosoa oploga oka skozi poljub pči psk s aka k Iz gojga izaza hio dobimo si k sh ksi k sh k k si k shk si k ch k pi čm smo upošvali da j / Iz goj ačb azbmo: si k shk si si cos k sh k si k sh k k cos / si k sh k i k << ali << l cos oploi ok j vlik iha v fazi z zuajo mpauo i izkih fkvcah i vliki oploi pvodosivlika miča difuzivos s s v si vzposavi kvazi sacioao saj ki počasi iha v imu z ihajm mpau zuajga zaka ii k >> >> l i visokih fkvcah i majhi oploi pvodosi j mhaizm posa oplo ppočas da bi s v si vzposavilo kvazi sacioao saj d oploa pod globoko v so s pdzak mpau a zuaji si ţ spmi i v si s pojavijo kakši oploi valovi V m pimu ko vlja k >> dobimo k

33 33 i k 8 cos k / l Č upošvamo povdi obliki k / / l / i k lahko goji izaz zapišmo v bolj l 8 k cos kj ppozamo fazo hios mičih valov ko Faza hios j odvisa od fkvc oploo valovaj j oj pi phodu skozi sov močo dušo i hkai kaţ vliko sopjo dispzijza podobosi o valovaju glj poglavj XVII Na kocu ga azdlka si ogljmo š pos oplo skozi sov ki ima ako izko mpauo ališča da lahko pid do aljja ali sjvaja sovi Ko pim vzmimo kapljvio pi mpaui > kj j mpaua ališča sovi Kapljvia aj zapoljuj polposo V uku = s mpaua kapljvi a povšii = adoma ziţa a mpauo ki j pom sala V kapljvii s vzposavi mpaui gadi i oploi ok č v smi gaiv osi l5 Zaadi ga kapljvia pič zmzovai a povšii = i mja md do i kočo fazo s pomika v smi poziiv osi Za vsako fazo posbj vlja difuzijska ačba da faza: 5 kapljviska faza: 53 a mji md fazama = pa vlja zako o ohaivi gij d d kj smo pdposavili da sa gosoi kapljvi i d sovi pibliţo aki ako da i ba upošvai š spmmb posoi pi aljju ali sjvaju Č zadjo ačbo a obh sah dlimo z d i jo pudimo dobimo d d 5 Obm vlja i = = = Naloga ki smo jo pavka opisali j ako imovai faov poblm i jo lahko šimo a podob ači ko smo švali dv skoči sakji palici l da moamo sdaj upošvai š ačbo 5 ploša šiv ako imovaa Numaova šiv j dobo pozaa i

34 3 dosopa v liaui Zao si bomo v adaljvaju bolj podobo ogldali kaj pposjših pimov Ed od akih j pikaza a sliki 5 Imamo do sov pi mpaui ališča ki zapoljuj polposo > Ko mpauo a povšii = adoma povčamo a > s sov pič alii Č s sov ali počasi lahko pivzammo da s v kapljvii vzposavi kvazisacioao saj z mpauo ki jo podaja ačba mpaua d faz pa j sala i aka mpaui ališčal5 oploa ki pika iz kapljvias faz s v cloi poablja za aljj Iz zakoa o ohaivi gij ali pa iz ačb 5 v kai upošvamo = = cos sldi d d 55 d d Eačbo ppišmo v obliki Ob sai ačb igiamo d d pa imamo d d Eačbo lahko obmo i zapišmo / 56a 56b Da bomo lahko kvaiaivo opdlili vljavos zač pdposavk o liam poku mpau v kapljviski fazi izačuajmo asldjo količio l c c / kj smo vpljali faovo švilo za kapljvisko fazo c 57

35 35 Č j faovo švilo << sldi da j l >> i mhaizm posa oplo v kapljviski fazi ima dovolj časa da s vzposavi kvazisacioao saj oj aša zača pdposavka zahva da j faovo švilo kapljvisk faz majho Na ak ači lahko izačuamo udi dblio zmzj plasi č imamo a začku kapljvio pi mpaui ališča i ao hipoma zmajšamo mpauo a povšii = pod mpauo ališča Č s mpaua a povšii = spmija s časom a za ači i č o spmijaj i phio ako da j kj j kaakisič čas v kam s mpaua a povšii zao spmi lahko šiio kapljvisk plasi izačuamo a ak ači kako zgoaj V igalu upošvamo da j = i imamo / d 56c Določi čas aljja za pim a sliki 5 č povšia = mji a zak s mpauo Z > i č j psopi kofici oplo iz zaka a alio ak hl53 mpauo > a povšii = določimo iz ačb Z h Z h h a zula vsavimo v ačbo 55 i dobimo Z h h d d ki jo pudimo v obliko Z h d d i d d h Z Eačbo igiamo pa imamo h Z Nalogo šimo š hij č izačuamo posdo gosoo oploga oka ki pika a mjo md kočo i do fazo Imamo dv zapodi plasi z zaima upoosima ako da vlja

36 36 Z h o sdaj vsavimo amso izaza a dsi sai ačb 55 pudimo i imamo zula ki smo ga dobili zgoaj a dalši ači V limii h iz ačb za sldi da Z i dobimo zula 56b V aspom pimu ko j h zlo majh j l malkoso včji od ako da j cloa mpaua azlika Z skociaa v mali plasi ob povšii = i Z h a mji zula sldi udi posdo iz zakoa o ohaivi gij ki ga zapišmo Z h Nad gladio jza piha v z mpauo zaka Z = o C mpaua vod ob gladii j C Č j psopi kofici za pos oplo iz zaka v vodo W/m K določi čas ki j pob da s a gladii usvai m dbla plas ldu Določi udi mpauo zgoj povši ldul5 faovo švilo za ldo plas jc j spcifiča oploa ldu c 3 c Z Jkg K K 3 33 Jkg 63 K j << s v ldi plasi usvai kvazisacioao sajl5 i smmo upoabii zula iz pjšj alog ki ga pidimo za o alogo ako imamo =W/mK j oploa pvodos ldu = 97kg/m 3 pa gosoa ldu h Z Vsavimo podak i sldi kgm 33 Jkg Wm K m 6 m 86 s 93 3di Wm K K Wm K mpauo a zgoji povšii ldu lahko določimo z upoabo ačb za iz pjšj alog ali pa posdo z upoabo zakoa o ohaivi gij o j i dobimo h Z h h Z h / = Wm - K - m/wm - K - = 9 i = o C9/ = 95 o C mpaui skok v mali plasi ad ldom j oj l 5 o C i ga pakičo lahko zamaimo

37 37 las sovi z dblio ima mpauo < Na i povšii mpaua hipoma aas a > i j sala ako ko mpaua a dugi povšii Določi dlţ salj sovi pom ko s vzposavi sacioao saj i oci čas ki j za o pob Gosoi obh faz sa pibliţo aki Koodiao os usmimo pavokoo a plas i koodiao izhodišč posavimo a povšio z višjo mpauo V sacioam saju aj bo mja md fazama pi ~ ok mpau v i i dugi fazi j lia i ga podajaa ačbi ~ ~ ~ daj upoabimo ačbo 5 v kai upošvamo d /d = i dobimo d d d d Ko vsavimo izaz za i sldi ~ ~ ~ ~ i od od izačuamo ~ Čas aljja ocimo s pomočjo ačb 5 kj pdposavimo da s ako v koči kako udi v di fazi vzposavi kvazisacioao saj V m pimu vljal55 d d Eačbo pudimo v obliko d d i d Igal hio šimo č vpljmo ovo spmljivko u = + ldi ~ l ~ ~ ~

38 38 Ko j = dobimo ţ zai zula 56b i pa g ko g ~ o j zao k g d /d ko g ~ Za vlik čas ko j ~ smmo v izazu z obdţai l čl z logaimom ka am da i l ~ kj smo ozačili ~ / vdosi ~ j ~ / oj kaakisič čas s kaim s pibliţuj k 56 vaj sgih ls Vsa sga lsa zaadi mičga gibaja gadikov oddajajo gijo v obliki lkomagga valovaja mu pojavu pavimo mičo svaj ivzmimo da lahko lo izmjuj gijo z okolico l z svajm V oplom avovsju lo odda v časovi oi ako moţio gij v obliki lkomagga valovaja kako jo pjm iz okolic Elkomago valovaj ki pihaja iz okolic s a povšii lsa dloma absobia posak pa s odbij o vlja č lo ič valovaja ppušča Za lo v oplom avovsju daj vlja da j moţia izsva gij v časovi oi aka moţii absobia gij v časovi oi oskusi pokaţjo da j moţia izsva gij ki jo lo odda v časovi oi odvisa od absolu mpau lsa i v splošm udi od fizikalih lasosi povši lsa Vzmimo vliko volo koglo ki jo vzdţujmo pi sali mpaui V sdišču aj visi a aki iki majha koglica slika 55 poskusom s lahko ppičamo da s slj ko pj vzposavi oploo avovsj ako da ima koglica ako mpauo kako s vol kogl lika 55 V sdišču vlik vol paz kogl pi sali mpaui j majha koglica ki ima a začku poljubo mpauo o dovolj dolgm času ima udi koglica mpauo Egijski ok o j gijo ki jo koglica izsva v časovi oi ozačimo s ; j aj pdsavlja moţio gij ki jo dobi oa povši koglic v časovi oi iz okolic

39 39 Zaadi kogl simij j j ak za vsak povšiski lm koglic i v oplom avovsju imamo aj 57 kj j povšia koglic a pa ja vpojos ali absopivos i pdsavlja dlţ vpadl gij j ki jo koglica absobia pišimo gojo ačbo v obliki / a j 58 Gosoa vpadlga oka j j odvisa l od mpau vol kogl ič pa od vs koglic Zao sklpamo da vlja goja zvza v oplom avovsju za vsako koglico gld a o iz kakš sovi j i kakša j ja povšia a ugooviv pdsavlja Kichhoffov zako Iz sam dfiicij absopivosi sldi a 59 lo pi kam j a = imujmo čo lo Č ozačimo / = j * dobimo a osovi Kichhoffovga zakoa j č j 53 a * ali j aj č jč Z bsdami: moţia gij ki jo izsva oa povši lsa j pi dai mpaui ajvčja za čo lo i m smo ozačili z j * povšisko gosoo izsvaga gijskga oka za poljubo lo z j * č pa uszo gosoo čga lsa Vzmimo sp volo koglo ki jo vzdţujmo pi sali mpaui slika 56 Kogla j lahko aja iz poljub sovi l majh pomj dl B aj sva kako čo lo o pomi da oaja povšia dla B absobia vs valovaj ki pad aj K imamo oploo avovsj j moţia gij ki pad v časovi oi a B aka moţii ki jo v ism časovm ivalu izsva čo lo pi mpaui Č sdaj odsaimo dlčk B s bo asala odpia ka s ič absopcij obašala ako kako čo lo Edia azlika j v m da oajos kogl dobiva dlţa gij ki ga j pj izsval dlčk B Č j dlčk B dovolj majh j a azlika zamaljiva ako j moţia gij ki uid v časovi oi skozi lukjico aka moţii gij ki bi jo izsvalo v akm času čo lo s povšio ki j aka povšii lukjic i mpauo ki j aka mpaui oaj povši vol kogl Na a ači lahko v paksi adimo čo lo čpav s vol kogl svajo ako kako čo lo

40 lika 56 ajha odpia v vliki pazi kogli pi mpaui sva ko čo lo pi isi mpaui Iso vlja za lkomago valovaj ki pada a lukjico z zuaj sai udi v m pimu s lukjica vd ko čo lo i absobia vs valovaj ki pad ajo Č j lukjica dovolj majha j vjos da bi kaj vpadlga valovaja po včkam odboju a oaji si pišlo azaj v zlo majha Za gijo ki jo izsva čo lo v časovi oi sa fa i Bolzma ugoovila da vlja fa-bolzmaov zako = ζ 53 kj j ζ = W/m K fa-bolzmaova kosaa Č lo i čo i ima mpauo sldi iz 53 da j izsvai gijski ok ak = aζ ; 53 absopivos lsa a = //ζ = j / j č zapišmo ko kvoci goso izsvaga gijskga oka čga lsa i usz goso izsvaga gijskga oka čga lsa z ako mpauo V j zvzi j v avadi da a ozačimo z i ga imujmo misivos lsa ako imamo = a = 533 kj pdsavlja odbojos dlţ vpadlga gijskga oka ki s odbij a povšii lsa Eačbo 53 zao ajvčka zapišmo v obliki = ζ 53 lo ki sva ako kako vlva goja ačba i č j = cos imujmo sivo lo oc sva pibliţo kako čo lo m povši Zmlj ki j pavokoa a sm sočih ţakov pjm gijski ok okog 36W č zamaimo absopcijo v amosfi j Z = 36W/m Oci mpauo povši oca ovpča oddaljos Zmlj od oca = 5 m polm oca pa pibliţo = 7 8 m Clo gijski ok ki ga oddaja oc j ak

41 = π ζ = π j Z ldi ζ = / j Z i jz / / K 576 K V splošm lo polg gij ki jo izgublja zaadi svaja o udi dobiva od okoliških ls ki pav ako svajo Dl gij s a povšii lsa absobia i s spmi v oajo gijo lsa Ali s bo lo ohlajalo ali sgvalo j oj odviso od azlik md izsvaim gijskim okom i absobiaim gijskim okom ki pihaja iz okolic Izkaţ s da j svaj pommb djavik pi posu oplo š zlasi pi višjih mpauah Določi pos gij s svajm md dvma kocičima koglama s polmoma i ki imaa mpaui i slika 57 Emisivosi kogl sa i lika 57 vaj md kocičima koglama i švaju alog j zlo pommbo kako s j loimo V posou md zuajo povšio oaj kogl i oajo povšio včj kogl j amč zapl pocs včkaih odbojv i vsakoka dl absopcij lkomagga valovaja ačuaju s mi odboji s izogmo č pimo dfiiamo usz gijsk okov Ozačimo clo gijski ok ki ga oddaja povšia posamz kogl s gijski ok ki ga pjma s o o p i p p i = daj imamo kj smo upošvali da j odbojos povši aka a i o i i o i = π i = π ok i clo ki ga pjma povšia majš kogl j dlţ oka ki ga oddaja včja kogla oazmosi fako F ki ga avado imujjo gomijski fako j odvis l od oblik i vlikosi ls ju mdsboj lg oj bomo zapisali F p o p

42 i podobo p o o F V j zadji ačbi smo upošvali da clo ok o hkai psţ udi dlţ F svojga lasga oddaga oka določajo za okov o i i p i povšia pjm v časovi oi Ozačimo jo s i i zapišimo p p o o ki ga oddaja oaja kogla psţ zuaja ki o Na a ači smo dobili šii ačb ki iso ka as zaima j djaska moţia gij ki jo posamza 3 Č upošvamo pjšja izaza za pj okov lahko zadji dv ačbi ppišmo v obliki F o o o o o o o F F o pomi da č s a od kogl ohlaja s duga sgva i pi m pjma gijski ok ki j ak oku ki ga pva izgublja pomočjo ačb 3 i izazimo pj okov i vsavimo doblj izaz v ačbi i Dobimo 6 o 5 o kupaj z ačbama o o F 7 8 imamo koči sism ačb ki am omogoča da določimo a pim ok Eačbi 5 i 6 vsavimo v 7 upošvamo 8 pa dobimo F F 9 Določimo š gomijski fako Kako smo ţ omili ga lahko v vsakm pimu določimo z ačuom ako da podobo opdlimo goso posamzih gijskih okov ki jih posamzi povšiski lmi d i pjmajo ali oddajajo V liaui ki s ukvaja s posom oplo s svajm so i fakoji za sadada lsa v ipičih mdsbojih lgah ţ izačuai ako udi za obavavai pim Vda lahko za pim dvh kocičih kogl gomijski fako določimo zlo pposo z asldjim azmislkom K j F čisa gomijska količia ima ako vdos udi ko sa kogli v oplom avovsju pi kam vlja = i = = Iz ačb 9 ako dobimo F i F

43 3 Č o vsavimo v izaz za sldi Č j polm oaj kogl vliko majši od polma zuaj << sldi i oploi ok ki ga kogla izgublja ali dobiva j odvis od misivosi včj kogl ka smo ugoovili ţ pj Zaimiv j udi pim ko sa kogli skoaj ako vliki ako da j V m pimu imamo Gosoa gijskga oka j = / = j j j Gosoa gijskga oka v j obliki pdsavlja udi moţio gij a oo povši ki s v časovi oi ps z svajm md dvma vzpodima povšiama Zadji zula lahko pokaţmo udi ako da posdo izačuamo goso oddaga i pjga gijskga oka o j i p j a pim za povšio ako imamo j o Gosoa pjga gijskga oka pa j v pimu dvh vzpodih povši aka o o p j Fj j k j v m pimu F = j j o p Zadji izaz smo dobili ako da smo v izazu za o j zamjali idks V skladu z ačbo 3 sldi j j j o p Ka s ujma s pjšjim zulaom

44 d dvma vzpodima sama kaih oploi ppusosi sa U i U vzdţujmo salo mpauo N slika 58 mpaua a zuaji sai s aj bo Z > N Kolikša j gosoa cloga oploga oka ki pika v poso md sama č sa misivosi oajih povši s aki i i kolikši so mpaui skoki a sah? lika 58 mpau ob sah i oploa okova skozi si aču zasavimo podobo kako v m od pjšjih pimov glj ačb 56 l s o azliko da sdaj upošvamo udi gijsk okov ki jih povši s pjmajo ali oddajajo ako lahko zapišmo Z j h U h N i Z j h U h N kj smo zaadi osavosi ačuaja pivzli da so vsi psopi koficii aki h zuaji sai i- s si j j i i j povšia a pa a oaji sai Gosoa svalga gijskga oka ki č od k dugi vali okovi a zuajih povšiah s as pi m ačuu zaimajo vda jih lahko upošvamo s pimo izbio zuaj mpau Z ki bi bila v m pimu v splošm azliča za azlič s Iz gojih ačb dobimo

45 5 U h j U h h N Z U h j U h h N Z U h U h U h N Z N a i U h U h U h N Z N b Cloa gosoa oploga oka ki pika v poso md sama j oj aka j U h U h U U h U h U h h N Z c Iz ačb a i b umičo določimo mpau skok a oajih povšiah s Doblj vdosi ao upoabimo za izaču izsvaga gijskga oka j zula vsavimo v ačbo c s kao določimo moţio oplo ki v časovi oi pič skozi oo povši s v vmsi poso Iz ačb c j azvido da svaj pispva k oplomu oku č sa oploi ppusosi s aki U = U V m pimu slidi da sa udi mpaui oajih povši obh s aki i j = Eak zula dobimo udi č sa zuaji mpaui a i i dugi sai azliči Vzmimo čo lo s mpauo > kj j mpaua okolic Iz ga ka smo povdali zgoaj sldi da čo lo v časovi oi a oo povši oddaja v obliki lkomagga valovaja gijski ok j Določi ksgijo svalga oka j pi mpaui okolic K sa izsvai gijski ok i pososka gosoa lkomag gij w ki j v oplom avovsju z čim lsom povzaa z ačboglj pim a kocu poglavja / wc c j hios svlob smmo pi izpljavi ksgij ozioma maksimalga dla ačuai amso z gijami ka z gijskimi ali oploimi okovi i m moamo ksgijo adomsii z gosoo ksgijskga oka ~ ad i maksimalo dlo z močjo pačuao a oo povši lsasimbol XY ki smo jih upoabljali pi azpavi o ksgiji v poglavju bomo zao ozačvali z ~ ~ Y X vi hip bi kdo moda pomislil da smmo upoabii fomulo 39 iz ka sldi

46 6 ad ~ Ko bomo pokazali v adaljvaju zula i čiso pavil Da bo aču bolj osav vzmimo dv vliki vzpodi či plošči s mpauama i < ki sa blizu a dug Ko vmo hladjša plošča pjma od opljš gijski ok j ali kvival opoloi ok [ j ] = [ ] = W/m j Č izbmo = i = d sldi d d 3 ki pdsavlja oploo ki jo v obliki svaja dobi hladjša plošča v časovi oi a oo povši Dl oplo pvoimo v mhasko dlo s pomočjo Caoovga oploga soja ki dla md mpauama d i ko kaţ slika 55 Dlo ki ga pi m soj odda j v skladu z Caoovim izkoiskom ako d d d A d 3 ma ~ Vda a a ači smo izkoisili samo majh dl svalga oka ki ga oddaja ča plošča s mpauo v smi avzdol Da bomo izkoisili clo svali ok ki ga plošča oddaja v okolico z mpauo i da bodo vsi pocsi vzibili moamo vsavii š clo vsoskočo plošč z pojmajočimi mpauami a ka so piključi oploi soji ako kako kaţ slika 56 ldi d A ma ~ avil zula j oj 3 3 ma ~ ~ A ad Č vzammo oc ko čo lo s mpauo 58 K z mpauo okolic povšia Zmlj 88 K 5 o C dobimo 93 ~ ad ali 95 č upošvamo samo Caoov faco / V pimu oca j ksgijski ok gld a Zmljo pakičo ak gijskmu oku Vzmimo volio z posoio V i sami s mpauo Ko s vzposavi oploo avovsj j gija svaja v volii aka V c W ad Eksgija ad gij j v skladu s m ka smo pokazali zgoaj aka V c W V c W V c ad ad ad ad ~

47 7 Goji izaz j sklad z zulaom č vlja da j opija svaja v volii aka 6 V 3 c 3 ad Da j mu s ako s ppičamo z asldjim ačuom Za Caoov koţi pocs vljaglj l 56 i ačbo 33 d ka am da za oploi ok ki ga soj odda v okolico d d d d K okolica pjma oploo ob sali mpaui s ja opija ~ povča za V cloi s opija okolic povča za ~ d d d ~ 3 3 d 3 ~ ad Za avo oliko pa s j zmajšala udi opija svaja Č upošvamo ad V imamo zula ki c smo ga ugaili zgoaj ako da izaz za ksgijo svaja čga lsa lahko zapišmo v koči obliki ko W W ad ad ad ad ad 57 pk svaja čga lsa V m azdlku as zaima kako j gija ki jo izsva čo lo poazdlja po valovih dolţiah Elkomago valovaj ki ga zazava človško oko ima a pim valov dolţi od pibliţo do 7 m m = -9 m o lkomago valovaj a kako imujmo vida svloba Elkomago valovaj z valovimi dolţiami ki so včj od 7 m bomo gobo imovali ifadča svloba i valovaj z valovimi dolţiami ki so majš od m ulavijoliča svloba osbj as zaima kolikš dlţ izsva gij odpad a vido ifadčo i ulavijoličo svlobo Ozačimo z dj dlţ izsvaga gijskga oka a oo povši čga lsa ki * č odpad a ival valovih dolţi md i + d oj

48 8 * * djč dj d d č 535 oazdliv izsvaga gijskga oka po valovih dolţiah ajlpš pikaţmo a gafu * kj a absciso os aašamo valovo dolţio a odiao os pa dj č / d m pikaţmo spk svaja čga lsa ovšia ki jo gaf oklpa z absciso osjo ako pdsavlja v skladu z ačbo 535 povšisko gosoo izsvaga gijskga oka / = Kakša j a poazdliv v okviu klasič fizik momo aačo apovdai * vi ki mu j usplo zapisai dj č / d v mamaiči obliki j bil a lack la 9 ki j s m pdsavil kvao hipozo i začl obdobj kva mhaik ako imovai lackov zako za svaj čga lsa s glasi * djč hc 5 d hc/ k 536 kj j c hios lkomagga valovaja v pazm posou svloba hios 3 8 m/s k = 39-3 J/K j Bolzmaova kosaa i h = Js lackova kosaa pk svaja čga lsa za azlič mpau pikazuj slika 59 lika 59 vo: spk E valovaja pi svaju čga lsa za mpau K K K 6 K i 8 K Dso: pk kozmičga svaja ki usza mpaui 75 K? Da dobimo gosoo cloga izsvaga gijskga oka valovih dolţiah Č vpljmo ovo spmljivko = hc/k lahko zapišmo j * č moamo sši po vsh

49 9 j * č d k d 5 3 hc hc/ k 3 h c Določi igal dobimo 3 d lahko hio izačuamo: č azvijmo imovalc v vso i dobimo 3 3 d 3 3 d d 6 5 daj lahko zapišmo * j č = ζ pi čm smo uvdli fa-bolzmaovo kosao 5 k ζ = 3 5h c Dlţ izsvaga gijskga oka ki lţi a ivalu = j ak hc/ k 3 k d h c hc/ k kj igal izačuamo umičo Na a ači ugoovimo da j dlţ gijskga oka ki ga oc s mpauo a povšju = 576 K izsva ko ifadčo svlobo vido svlobo ali ulavijoličo svlobo ak I I576 K % V V576 K 6% UV UV576K % Na ak ači lahko izačuamo udi a pim dlţ za avado ţaico ki ima mpauo ik okog 5 K i za kao vzammo da sva kako čo lo ako dobimo I 5K 9% V5K 6% i UV5K % pomočjo lackovga zakoa določi valovo dolţio m pi kai čo lo z dao mpauo ajmočj sva Iz slik 59 azbmo da ima pi j valovi dolţii gaf * dj č / d vodoavo ago oj vlja

50 5 d dj d d 5 6 hc 5 * hc/ k č hc hc/ k hc/ k Ozačimo hc/k = i ppišimo gojo ačbo v obliki 3 5 hc / k Zadja ačba as apljuj da šiv zapišmo ko = 5 + ε z domvo da j ε << Nasavk smo v pjšjo ačbo i dobimo 5 ka am da 5 5 ε 5 5 = 3 i = 5 + ε 965 Koči zula j oj 3 8 hc 663 Js 3 ms 3 m 9 mk 3 965k JK Eačba λ m = 9-3 mk = cos 538 s imuj Wiov zako Č ko pim vzammo oc s mpauo povšja = 576 K am Wiov zako pov da oc ajmočj sva svlobo z valovo dolţio m = 9/58-6 m = 5 m ki jo človško oko zaza ko modo-zlo lo pi sobi mpaui 3 K pa sva ajmočj pi valovi m -5 m = m ki j ţ dalč v ifadčm dlu spka daj ko vmo da izsvaa gija i akomo poazdlja po valovih dolţiah moamo mu pimo posplošii udi Kichhoffov zako Vzmimo volio ka s imajo salo mpauo K s svajo s v volii usvai lkomago valovaj ali a kako svloba ki slj ko pj dosţ avovso saj daj j spkali ssav svlob akš da j gosoa gijskga oka ki pada a vsak povšiski lm s aka ζ Egijska gosoa i spkali ssav svlob v volii sa v avovsju sala o pomi da vlja i * * djč dj a d d 539 d d * * dj / d djč 5 a d

51 5 o j posploši Kichhoffov zako a j absopivos lsa pi dai valovi dolţii azmj md gosoo izsvaga gijskga oka a ivalu md i + d i misijsko vpojosjo ali absopivosjo lsa a ism ivalu j ako za vsa lsa Nkaj zgldov ki pikazujjo vlogo mičga svaja pi posu oplo smo ţ avdli V adaljvaju bomo a kako opisali š kaj pimov iz vsakdajga ţivljja Č smo pozimi v zakuji sobi am j hlado dokl s s sgjjo čpav j mpaua zaka ţ zadosa Za o j kivo svaj k aš lo oddaja sam vč oplo s svajm kako j od jih pjma odobo lahko azloţimo zakaj j včja vjos za asak sla kada so oči jas kako daj ko j bo pkio z oblaki K zak pi omalih mpauah pakičo ič sva pdsavlja bo čo lo s mpauo kaj sopij klvia 3K Ob jasih očh zmlja oj oddaja v bo pcj oplo v obliki svaja v zamo pa j dobiva l malo Č i va s zao povšia Zmlj hio ohladi udi pod ič sopij Clzija čpav j mpaua zaka lahko pcj ad ičlo Dugač j č so oči oblač Voda v oblakih amč pcj izsva ifadč svlob absobia i jo pcjš dlţ udi izsva azaj a Zmljo ovšia Zmlj zaadi ga izgublja v cloi pcj maj oplo i s zao maj ohladi V zvzi s Kichhoffovim zakoom včka slišimo asldjo div: dobi absobji so dobi svalci a = Vda pi m smmo pozabii da o dţi l za absopcijo i misijo pi aki valovi dolţii i aki mpaui Vpojos kaih sovi j močo odvisa od valov dolţi absobia svlob klo a pim ki j pozoo za vido svlobo močo absobia ifadčo svlobo o j azlog zakaj j lahko mpaua v opli gdi pcj višja od zuaj mpau očo svaj v vidm dlu spka g z lahkoo skozi sklo i s absobia v zmlji i a dugih povšiah v oajosi opl gd i jih ako sgva povši svda udi svajo; a k j jihova mpaua vliko iţja od soč svajo ajmočj v ifadčm dlu spka Za o svaj pa j sklo pakičo ppuso i včio pj soč gij osa v opli gdi ka oajos s zao sgva V m pimu s absopcija odvija pi kakih valovih dolţiah misija pa pi dolgih i posldica j skoaj osm ok gij Kako smo ţ omili j gosoa gijskga oka oca a obu zmljsk amosf pibliţo 36 W/m ovpča absopivos amosf j okog 7 ako lahko čmo da j v povpčju čz cloo povšio oba amosf gosoa gijskga oka aka j W 7 36 m W 38 m kj lahko čmo da j ka pibliţo ak polmu Zmlj Č sdaj pivzammo da j Zmlja ko pla v oplom avovsju z okolico v povpčju čz kaj l o pomi da moa vsak m zmljsk povši oddajai gijski ok 38 W Č adalj pivzammo š da povšj Zmlj sva kako čo lo dobimo za avovso mpauo Zmlj 38 Wm 38 W / m 55 K Wm K avovsa mpaua Zmlj j oj 8 ºC i m ačuu svda ismo upošvali da s pcjš dlţ dolgovalovga svaja ki ga povšia Zmlj oddaja absobia pdvsm v vodi pai i molkulah CO v amosfi Amosfa absobiao gijo ao zop izsva v obliki dolgovalov ifadč svlob Dlţ ki ga amosfa izsva poi Zmlji s absobia a povšii i jo sgva Zao j djaska povpča mpaua zmljsk povši včja od goj vdosi i j aka pibliţo p = 88 K ali 5ºC o j ako imovai učik opl gd ki po zgojm ačuu zaša = p 33 K i mpaui povši 88 K pa Zmlja /

52 5 ko čo lo izsva 39 W/m ako da v pimu avovsja amosfa v pibliţo 39 W/m 38 W/m =5 W/m Č dobi Zmlja maj od vdosi s pič ohlajai č dobi vč pa sgvai 58 vajaj oplo i difuzija v pliih d s loimo h pojavov v pliih moamo bolj aačo opdlii iakcij md molkulami v pliu Zaadi kakga dosga mdmolkulaih sil lahko čmo da molkul učikujjo a a dugo pakičo l v kakm časovm ivalu ob kih ko s duga dugi dovolj pibliţajo Vs posali čas s molkul v pliu poso gibljjo V m s azlikujjo od molkul v kapljviah ki psao mdsbojo učikujjo i v m pimu momo azločii k md posamzimi pai molkul Ko k bomo dfiiali vsak dogodk ko s dv molkuli oliko pibliţaa a dugi da s juo gibaj v pimjavi z akomim pmim gibajm zao spmi kli bomo da s ob kih sm i vlikos hiosi molkul opazo spmia ki md molkulami so popoloma aključi Zao j azdalja ki jo molkula ppouj md dvma zapodima koma lahko poljubo vlika ommba kiiča kaakisika plia j ako imovaa povpča posa po ki jo bomo ozačili z l i j dfiiaa ko povpča azdalja ki jo ka poljubo izbaa molkula ppouj md dvma zapodima koma Iz sam dfiicij j azvido da j a količia za vs molkul da vs aka ovpčo poso po lahko zapišmo ko l v 5 kj j v povpča hios ki jo imajo molkul zaadi mičga gibaja m smo dfiiali povpči čas md dvma zapodima koma da molkul Opazujmo k dvh molkul od kaih aj a miuj Izbimo avio ki g skozi miujočo molkulo i j pavokoa a sm gibaja dug molkul V skladu s m ka smo povdali zgoaj bosa molkuli čili l č duga molkula pčka avio v dovolj majhi okolici ζ miujoč molkul slika 5 o količio ki ima oo povši imujmo psk za k Č ozačimo švilo molkul a oo posoi z i upošvamo dfiicijo povpč pos poi sldi lζ = 5a i l 5b o da s v sici vs molkul vs čas gibljjo lahko upošvamo v dfiiciji pska ζ

53 53 lika 5 sk za k dvh akih okoglih molkul sk ζ j avidz kog zvza z o od molkul s ploščio π Vzmimo a pim da s molkul obašajo ko og koglic s polmom o pomi da j dosg mdmolkulaih sil ak vlikosi molkul Dv molkuli bosa čili č lia a mimo dug a azdalji ki j majša od sk j v m pimu ak ζ = π = π i povpča posa po j l = / π Č upošvamo š gibaj dugih molkul dobimo po daljšm ačuu l / ako da j V sici s molkul obašajo ko og koglic K pa sil md molkulami zlo hio pojmajo z azdaljo md jimi lahko govoimo o ku šl ko molkuli skoaj oplazia duga dugo Zao j psk za k v m ali dugm pimu da vlikosi pčga pska molkul i j odvis l od vs molkul a zadja div i čiso s k md molkulami a včjih azdaljah dlujjo šibk pivlač sil Ko j povpča hios molkul vlika sil imajo dosi vpliva a k Dugač pa j pi iţjih mpauah ko so povpč hiosi molkul majh daj molkuli ki lia a mimo dug pţivia laivo daljši čas v posdi bliţii ako da lahko mdmolkula sil zao spmijo juo gibaj udi a včjih azdaljah Zao pičakujmo da s psk za k vča z iţajm mpau plia V dušiku ali kisiku s psk povča za okog 3 % č s mpaua ziţa od ºC a ºC v vodiku pa za % V zaku pi ºC i omalm laku ba j k Nm JK 3 73K 9 /cm 3 i psk ζ 5-5 cm ovpča posa po molkul v zaku pi h pogojih j oj 5 l cm m cm 5 cm ovpča hios molkul j 8k 8 883JK 73K v 5 ms m 9kg

54 5 ka am da za povpč čas md dvma zapodima koma 7 l m s v 5 ms Z majšajm laka povpča posa po hio aašča - cm l / ako da j pi laku = -3 ba ţ aka l daj ko smo dfiiali povpčo poso po molkul lahko pibliţo ocimo vlikos difuzijskga koficia D i oploo pvodos v pliih Ogljmo si ajpj difuzijo V a am vzmimo mšaico dvh pliov v kai j lak povsod ak ssava mšaic pa aj s spmija l v i smi ki jo izbmo ko sm koodia osi Naj bo švilo molkul a oo posoi od kompo v mšaici = Difuzijski ok v smi poziiv osi j po dfiiciji ak švilu molkul kompo ki v časovi oi pčkajo oo povši pavoko a os i m šjmo hios v smi poziiv osi poziivo v aspoi smi pa gaivo Švilo molkul ki v časovi oi pčkajo povšisko oo v poziivi smi osi j 6 v pi čm smo upošvali da so vs smi gibaja akovd K j odvis od koodia s moamo odločii kao vdos pipišmo j količii Vzmimo da j povšia skozi kao opazujmo difuzijski ok a oddaljosi vzdolţ koodia osi om vzammo za ok v smi poziiv osi vdos l kj j l v povpčju mso zadjga ka molkul pd j pčkala izbao ploskv odobo vzammo za ok v aspoi smi vdos + l Gosoo difuzijskga oka ako zapišmo lv lv j K j povpča posa po majha smmo zapisai a pim + l = + d /dl + i gojo ačbo ppišmo ko d d v l D 5 3 d d j Difuzijski kofici j pomakm D vl 55 3 Č upošvamo da j l = /ζ kj j cloo švilo molkul a oo posoi i plisko ačbo v obliki = k lahko difuzijski kofici zapišmo ko vk D 56 3 i dai mpaui j oj difuzijski kofici v pliih obao soazm s lakom Nadalj k j povpča hios soazma s / o pomi da difuzijski kofici z višajm mpau aašča ko 3/ č pivzammo da j psk ζ sal

55 55 i gojih izpljavah bi moali bolj aačo opdlii kako v pliski mšaici določimo vdosi za v i ζ K as zaima l d vlikosi iskaih količi a azločk i pommb č imajo molkul podob mas i vlikosi V pimu ko s molkul zao azlikujjo ako po vlikosi kako udi po masi pa bolj aač aču pokaţ da pdsavlja v hios laţjih molkul ζ pa isi psk za k ki j včji Ko posb pim vzmimo mšaico dvh izoopov isga lma Edia azlika md molkulami j daj malkosa azlika v masi ako da imamo pavzapav opavka z difuzijo v pliu z akimi molkulami azlika v masi j u samo ozaka s kao azločimo ob vsi molkul ako da lahko zasldujmo jihovo gibaj om povpč hiosi i pska v izazu za difuzijski kofici j ukaj jas i s aaša a ali dug izoop v mšaici Vzmimo dušik pi sobi mpaui i omalm laku ovpča hios j podobo kako pi zaku v 5 ms - i ζ = -5 cm kj smo vzli -8 cm Č upošvamo da j 3 9 cm -3 sldi da j l =/ -5 cm i 5 D v l 5 cms cm 3cm / s 3 3 Vdos ki jo da kspim j 8 cm /s Kaakisiča azdalja ki jo ppouj molkula v času v dai smi sldi iz dimzijsk aaliz i j da vlikosi D V i skudi j o okog cm s s 5 cm ka j zlo malo v pimjavi z djasko pojo v 5 cm s - s = 5 cm ki jo v m času adi molkula plia Upoabi awllovo poazdliv molkul po hiosih 3 i izplji izaz za švilo molkul ki v časovi oi pčkajo v poziivi smi osi ploskvico s povšio ki j pavokoa a os lika 5 olkul ki pilijo skozi ploskvico ki j pavokoa a os ldi slika 5 d v d V dn f v vy vz dvdv ydvz kj j V posoia plia Goji izaz igiamo po hiosih i dlimo z d pa imamo