Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na

Transcript

1 . Ispitati tok i skicirati grafik funkcij = Oblast dfinisanosti (domn) Ova funkcija j svuda dfinisana, jr nma razlomka a funkcija j dfinisana za svako iz skupa R. Dakl (, ). Ovo nam odmah govori da funkcija nma vrtikaln asimptot! Nul funkcij = = = Da vas podstimo da j > uvk. Znak funkcij > > > < < < Na skici bi to izgldalo: Funkcija s nalazi samo u plavim oblastima a - osu sč samo u =. Parnost i nparnost f ( ) = = f ( ) Ovo nam govori da funkcija nij ni parna ni nparna, odnosno da nij simtrična ni u odnosu na osu ni u odnosu na koordinatni počtak.

2 Ekstrmn vrdnosti (ma i min) i monotonost ( rašćnj i opadanj) = pazi, mora kao izvod proizvoda `= ` + ( )` `= + ` = ( + ) `= ( + ) + = = Za = - j = ( ) = Dakl, tačka kstrma j M (, ) Od čga nam zavisi znak prvog izvoda? Kako j > uvk, to znak prvog izvoda zavisi samo od ` Tačka M j onda tačka minimuma. Prvojn tačk i konvksnost i konkavnost ` = ( + ) `` = ( )`( + ) + ( + )` `` = ( + ) + `` = ( + ) ``= + = = za = - j = =

3 Dakl, postoji prvoj i to j tačka P (, ). Nadjmo približno da j, i na skici to bi bilo: P(, ) - - Od čga nam zavisi znak drugog izvoda? > to znak drugog izvoda zavisi samo od `` Asimptot funkcij ( ponašanj funkcij na krajvima oblasti dfinisanosti) Kao što smo vć rkli, nma vrtikaln asimptot! Horizontalna asimptota Jdan mali savt : Kod funkcija koj imaju = = Dakl:, radit posbno lims kad + i kad, jr važi da j lim + lim = = =? = = = lim = lim = = = lopital= lim = = ( ) Šta nam ovo govori? Kad + n postoji horizontalna asimptota, ali kad imamo horizontalnu asimptotu =, odnosno, Kad tži, funkcija s približava nuli sa donj, ngativn stran! To j ovo u ršnju.

4 I još da sklopimo konačan grafik: - - P - M

5 . Ispitati tok i skicirati grafik funkcij = Oblast dfinisanosti (domn) (,) (, ) Ovo znači da funkcija u = ima potncijalnu vrtikalnu asimptotu = j - o sa Nul funkcij Kako smo vć rkli >, pa funkcija nma nula, odnosno nigd n sč osu. Znak funkcij Jasno j da znak funkcij zavisi samo od. > > < < nma funkcij nma funkcij Parnost i nparnost f ( ) = = dakl, funkcija nij ni parna ni nparna.

6 Ekstrmn vrdnosti (ma i min) i monotonost ( rašćnj i opadanj) = ( )` ` `= `= ( ) `= `= ( ) = = = Za = j = = M (, ) j tačka kstrmn vrdnosti - - M (,) Dalj razmišljamo od čga nam zavisi znak prvog izvoda? Kako j > i > zaključujmo da znak prvog izvoda zavisi samo od ` Tačka M j onda tačka minimuma! Prvojn tačk i konvksnost i konkavnost ( ) `= [ ( )]` ( )` ( ) `` = pazi ( ) mora kao izvod proizvoda [( )`( ) + ( )` ] ( ) `` = [ ( ) + ] ( ) `` = `` = [ ] ( ) + ``= ( + ) ( ) = ( ( ))

7 = + = `` Ova kvadratna jdnačina nma ršnja, jr j kod nj D< i a>. Možmo zaključiti da j zato + > ( pogldaj fajl kvadratna funkcija iz drug godin) Dakl, funkcija nma prvojnih tačaka! Od čga nam zavisi znak drugog izvoda? Pa samo od, odnosno samo od. - o Asimptot funkcij ( ponašanj funkcij na krajvima oblasti dfinisanosti) Vrtikalna asimptota lim = = =+ + ε + ε (plava crta) lim = = = ε ε ( žuta crta) + ε ε Horizontalna asimptota ( )` lim = = = lopital= lim = lim = = ( crna crtka) + + ` + lim = = = _ (crvna crtka) Dakl, funkcija ima horizontalnu asimptotu = ali samo sa lv stran. Onda nma kos asimptot!

8 Konačan grafik izglda: M(,) Ispitati tok i skicirati grafik funkcij = Oblast dfinisanosti (domn) (,) (, ) =

9 Nul funkcij = = = jr > uvk Znak funkcij Kako j >, zaključujmo da znak funkcij zavisi samo od > kad >, pa j tu > < kad <, pa j tu < = Funkcija s nalazi samo u žutim oblastima. Parnost i nparnost f ( ) = f ( ) funkcija nij ni parna ni nparna. Ekstrmn vrdnosti (ma i min) i monotonost ( rašćnj i opadanj) Θ Θ = moramo kao izvod proizvoda i pazimo da j složna funkcija ( )`= Θ` `= + ( )` ` = + ( )` ( ) ` = + ( ) = = ( ) = ( ) ( ) ( ) ( ) + `= ( ) + `= ( ) Izjdnačimo prvi izvod sa nulom da nadjmo kstrmn vrdnosti. 9

10 b± b ac `= + =, = = ; = a Za = = = = M = (, ) - - M(,/) = M(, ) Za = = = = M = (, ) Od čga nam zavisi znak prvog izvoda? Kako j > i ( ) >, znak zavisi samo od ` Prvojn tačk i konvksnost i konkavnost + `= ( ) + + `` = ( )` + ( )` ( ) ( ) + ( + )`( ) (( ) )`( + ) `` = ( ) + ( ) ( ) ( ) Posl srdjivanja dobijamo: ``= ( )

11 ``= = = Za = = = = Tačka prvoja j dakl : P(, ) = P(, ) Od čga nam zavisi znak drugog izvoda? Samo od izraza `` Asimptot funkcij ( ponašanj funkcij na krajvima oblasti dfinisanosti) Vrtikalna asimptota = + ε + ε + ε lim = = = = (žuta crta) ε ε ε lim = = = = = (plava strlica) =

12 Horizontalna asimptota lim + = = = = = lim = = = = = Nma horizontaln asimptot, pa moramo ispitati da li postoji kosa asimptota! Kosa asimptota = k+n f ( ) k = lim = lim ± ± = lim = = = ± n= lim [ f ( ) k] = lim [ ] = lim ( ) = =? ± ± ± ( ) ( ) lopital ± ± ± ± ± = lim = = = lim = lim = lim lim = = ( ) ( ) Dobili smo kosu asimptotu : = k + n pa j = + Davidimo kako ona izglda: Za = = + = Za = = + = = = I da sklopimo konačan grafik:

13 = =

14