8. Diskretni LTI sistemi

Transcript

1 8. Diskreti LI sistemi. Naloga Določite odziv diskretega LI sistema s podaim odzivom a eoti impulz, a podai vhodi sigal. h[] x[] LI sistem se a vsak eoti impulz δ[] a vhodu odzove z impulzim odzivom h[] a izhodu. Pri diskretih sistemih je vsak vhodi sigal sestavlje iz eotiih impulzov, od katerih je vsak pomože z eko kostato. Ker je sistem lieare, vsak eoti impulz, ki je skalira z eko kostato povzroči impulzi odziv, ki je skalira z isto kostato. orej če se a vhodu LI sistema pojavi eoti impulz z dvojo višio, se bo a izhodu sistema pojavil impulzi odziv z dvojo višio. Če se a vhodu pojavi več eotiih impulzov, se sistem a vsakega odzove z impulzim odzivom. Če se odzivi med sabo prekrivajo, je izhod vsota vseh odzivov (kar sledi iz liearosti sistema). Najprej arišimo odzive za vsakega od eotiih impulzov, ki sestavljajo vhodi sigal: Nato seštejmo vse odzive: y[]

2 . Naloga Določite odziv diskretega LI sistema s podaim odzivom a eoti impulz, a podai vhodi sigal. h[] x[] y[]

3 . Naloga Iz difereče eačbe LI sistema arišite impulzi odziv. y=,5 x+ x x,5 x [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] Določite odziv sistema a sigal x [ ] {,,, } Iz difereče eačbe arišite shemo vezja. =. Impulzi odziv sistema je odziv sistema a eoti impulz. Zato a vhod sistema postavimo eoti impulz x[ ] = δ [ ] Odziv, ki ga dobimo, je impulzi odziv h= y [ ] [ ] x[ ] =δ [ ] [ ],5 δ[ ] δ[ ] δ[ ],5 δ[ ] h= + (6..) o arišemo: h[] Narišimo še x[]: x[] Narišimo vse impulze odzive, ki jih povzroči x[]: Seštejemo vse impulze odzive i arišimo y[]: y[]

4 Narišimo shemo vezja, ki ga opisuje eačba: y=,5 x+ x x,5 x [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] x[],5 - -,5 y[]. Naloga Iz difereče eačbe LI sistema arišite impulzi odziv. y [ ] = x [ ] +,8 y [ ] Narišite shemo vezja, ki ga opisuje eačba. Impulzi odziv sistema je odziv sistema a eoti impulz. Zato a vhod sistema postavimo eoti impulz. Ker so vredosti odziva odvise od prejšjih vredosti odziva, jih ajlaže izračuamo s pomočjo tabele. δ[] h[] - +,8 +,8,8 +,8,8,6 +,8,6,5 +,8,5,96 5 +,8,96, ,8,768,6 7 +,8,6, ,8,975,67776 h[] Vidimo, da se impulzi odziv sistema ves čas zmajšuje, ikoli pa se e eha. ake sisteme imeujemo IIR (Ifiite Impulse Respose). Sisteme s kočim odzivom imeujemo FIR (Fiite Impulse Respose). Shema: x[] y[],8

5 5. Naloga Izpeljite povezavo med spektri sigalov, če velja v [ ] = x [ ] o [ ]. Za izpeljavo moramo pozati eačbi za časovo diskreto Fourierevo trasformacijo i iverzo časovo diskreto Fourierevo trasformacijo ter eačbo za kovolucijo: jω F( Ω ) = f [ ] e (6.6.) = jω f [ ] = F( Ω) e dω π (6.6.) ()* () = ( ) ( ) x t y t x τ y t τ dτ (6.6.) Sigala x[] i o[] izrazimo z juima spektroma: jω x[ ] = X ( ) e d π Ω Ω (6.6.) jω o [ ] = O( ) e d π Ω Ω (6.6.5) Sigal v[] zapišimo z dobljeima izrazoma: jω jω v [ ] = x [ ] o [ ] = X( ) e d O( ) e d π Ω Ω π Ω Ω (6.6.6) Da e bi med sabo zamešali itegracijskih spremeljivk obeh itegralov, ju zamejajmo z drugima črkama. V prvem itegralu aj bo itegracijska spremeljivka α v drugem pa β. jα jβ v [ ] = X( α ) e dα O( β) e dβ π π (6.6.7) Ker sta itegrala med sabo eodvisa, lahko eega vriemo v drugega. jβ jα v [ ] = O( β ) e dβ X( α) e dα π (6.6.8) j( β+ α) v [ ] = O( β ) e dβ X( α) dα π (6.6.9) Uvedimo ovo spremeljivko γ. β + α = γ β = γ α (6.6.) dβ = dγ jγ v [ ] = O( γ α) e dγ X( α) dα π (6.6.) jγ v [ ] = X( α ) O( γ α) dα e dγ π (6.6.)

6 Notraji itegral v (6.6.) predstavlja kovolucijo med X ( γ ) i O ( γ ). Zato lahko zapišemo: jγ v [ ] = ( X( γ )* O( γ) ) e dγ π (6.6.) Spremeljivka γ je le itegralska spremeljivka, zato jo lahko zamejamo s poljubim zakom. Izberimo črko Ω. jω v [ ] = ( X( Ω) * O( Ω) ) e dω π (6.6.) X ( Ω) * O( Ω) jω v [ ] = e d π Ω π (6.6.5) Itegral v (6.6.5) je iverza časovo diskreta Fouriereva trasformacija, izraz v oklepaju pa je spekter V ( Ω) sigala v[]. V ( Ω ) = X ( Ω) * O( Ω ) (6.6.6) π o pomei, da če med sabo pomožimo dva sigala, je spekter dobljeega sigala kovolucija spektrov origialih sigalov. Primer: Za spekter cosiusega sigala bi pričakovali le kompoeti, ki sta za Ω oddaljei od izhodišča. Ker reale sistem e more izračuati spektra za eskočo časa trajajoč sigal, ga je treba skrajšati. Če ga eostavo odsekamo, je to tako, kot bi ga možili s pravokotim impulzom. Spekter pravokotega impulza je fukcija si ( x) oblike. x xt () ot () xs( ) X ( Ω ) X(Ω) Ω t, t, s Spekter vzorčeega i odsekaega sigala je kovolucija spektra origialega sigala s spektrom pravokotega impulza: X ( Ω ) Ω 5 5 Ω