Οι τύποι της εκτίμησης, οι οποίοι παρουσιάζονται στον Πίνακα 1.1, προσδιορίζονται από τη σχέση των χρονικών στιγμών και k :

Transcript

1 ΦΙΛΤΡΑ KALMAN ΚΑΙ ΛΑΪΝΙΩΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΕΚΤΙΜΗΣΗΣ 1.1. ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΤΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΕΚΤΙΜΗΣΗΣ Η θεωρία εκτίμησης (estimation theory) έχει ως αντικείμενο τον υπολογισμό της βέλτιστης εκτίμησης μίας κατάστασης δεδομένου ενός συνόλου μετρήσεων. Η κατάσταση (state) είναι η τιμή xk ( ) της στοχαστικής διαδικασίας { xk ( )} τη χρονική στιγμή k (ο χρόνος θεωρείται διακριτός). Η μέτρηση (measurement) είναι η τιμή zk ( ) της στοχαστικής διαδικασίας { zk ( )} τη χρονική στιγμή k. Το πρόβλημα της θεωρίας εκτίμησης είναι να υπολογιστεί η εκτίμηση (estimation) x( / k ) της κατάστασης τη χρονική στιγμή δεδομένου του συνόλου των μετρήσεων Z { z(1), z(2),..., z( k)} μέχρι και τη k χρονική στιγμή k, χρησιμοποιώντας ένα προκαθορισμένο βέλτιστο κριτήριο. Οι τύποι της εκτίμησης, οι οποίοι παρουσιάζονται στον Πίνακα 1.1, προσδιορίζονται από τη σχέση των χρονικών στιγμών και k : πρόβλεψη (prediction), όταν η εκτίμηση της κατάστασης αφορά σε κάποια χρονική στιγμή μετά από αυτήν της τελευταίας μέτρησης,

2 ΦΙΛΤΡΑ KALMAN ΚΑΙ ΛΑΪΝΙΩΤΗ 12 φιλτράρισμα (filtering) όταν η εκτίμηση της κατάστασης αφορά σε κάποια χρονική στιγμή που ταυτίζεται με αυτήν της τελευταίας μέτρησης, λείανση (smoothing) όταν η εκτίμηση της κατάστασης αφορά σε κάποια χρονική στιγμή πριν από αυτήν της τελευταίας μέτρησης. Πίνακας 1.1. Τύποι εκτίμησης. Εκτίμηση x( / k ) Πρόβλεψη k μέλλον Φιλτράρισμα k παρόν Λείανση k παρελθόν Για την επίλυση του προβλήματος της θεωρίας εκτίμησης είναι αναγκαίο να προσδιοριστεί ένα μαθηματικό μοντέλο που αποτελείται από: - το δυναμικό μοντέλο, που εκφράζει τη σχέση κατάστασης και μέτρησης - το στατιστικό μοντέλο, που εκφράζει τη φύση της κατάστασης και των μετρήσεων. Επίσης, πρέπει να προσδιοριστεί ένα κριτήριο βέλτιστης εκτίμησης. Η διαφορά της εκτίμησης από την πραγματική κατάσταση είναι το λάθος εκτίμησης (estimation error). Όσο μικρότερο είναι το λάθος εκτίμησης, τόσο καλύτερη είναι η εκτίμηση της πραγματικής κατάστασης. Επομένως, το κριτήριο βέλτιστης εκτίμησης είναι η ελαχιστοποίηση της μέσης τιμής κάποιας συνάρτησης του λάθους

3 ΦΙΛΤΡΑ KALMAN ΚΑΙ ΛΑΪΝΙΩΤΗ 13 εκτίμησης, που πρέπει να προσδιοριστεί. Η επιλογή του τετραγώνου του λάθους εκτίμησης ως συνάρτησης λάθους εκτίμησης, έχει φυσική σημασία, γιατί η μέση τιμή του τετραγώνου του λάθους εκτίμησης είναι η διασπορά λάθους εκτίμησης ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΜΟΝΤΕΛΟ Το γραμμικό μοντέλο διακριτού χρόνου αποτελείται από το δυναμικό και το στατιστικό μοντέλο. Δυναμικό μοντέλο Το δυναμικό μοντέλο εκφράζει τη σχέση κατάστασης και μέτρησης και περιγράφεται από τις εξισώσεις χώρου κατάστασης (state space equations) που είναι: x( k 1) F( k 1, k) x( k) w( k) (1.1) z( k 1) H( k 1) x( k 1) v( k 1) (1.2) για k 0, όπου xk ( ) είναι το διάνυσμα κατάστασης διαστάσεων n x1 τη χρονική στιγμή k zk ( ) είναι το διάνυσμα μετρήσεων διαστάσεων στιγμή k m x1 τη χρονική

4 ΦΙΛΤΡΑ KALMAN ΚΑΙ ΛΑΪΝΙΩΤΗ 14 F( k 1, k) είναι η μήτρα μεταφοράς διαστάσεων nn, x που εξαρτάται από δύο διαδοχικές χρονικές στιγμές k και k 1 Hk ( ) είναι η μήτρα εξόδου διαστάσεων k mn x τη χρονική στιγμή y( k) H( k) x( k) είναι η έξοδος του συστήματος τη χρονική στιγμή k wk ( ) είναι ο θόρυβος στην κατάσταση τη χρονική στιγμή k και είναι η είσοδος του συστήματος vk ( ) είναι ο θόρυβος στις μετρήσεις τη χρονική στιγμή k Στατιστικό μοντέλο Το στατιστικό μοντέλο εκφράζει τη φύση της κατάστασης και των μετρήσεων. Βασική προϋπόθεση είναι ο θόρυβος στην κατάσταση και ο θόρυβος στις μετρήσεις να είναι λευκός θόρυβος (white noise). Λευκός θόρυβος είναι μία λευκή διαδικασία (white process), δηλαδή μία στοχαστική διαδικασία με τιμές ασυσχέτιστες από χρονική στιγμή σε χρονική στιγμή. Η στοχαστική διαδικασία λευκού θορύβου έχει σταθερή μέση τιμή (συνήθως μηδενική μέση τιμή). Ισχύουν οι υποθέσεις (assumptions):

5 ΦΙΛΤΡΑ KALMAN ΚΑΙ ΛΑΪΝΙΩΤΗ Η στοχαστική διαδικασία { wk ( )} ακολουθεί την κανονική κατανομή (Gaussian distribution), έχει μηδενική μέση τιμή και είναι λευκή διαδικασία (white process) με διασπορά Qk ( ) διαστάσεων nn, x οπότε 0, k E[ w( k) w ( )] Q( k), k δηλαδή { w( k)} N(0, Q( k )) όπου Q( k) E[ w( k) w ( k)] (1.3) Με A συμβολίζεται η ανάστροφη μήτρα της μήτρας A. 2. Η στοχαστική διαδικασία { vk ( )} ακολουθεί την κανονική κατανομή (Gaussian distribution), έχει μηδενική μέση τιμή και είναι λευκή (white process) με διασπορά Rk ( ) διαστάσεων mm, x οπότε 0, k E[ v( k) v ( )] R( k), k δηλαδή { v( k)} N(0, R( k )) όπου R( k) E[ v( k) v ( )] (1.4)

6 ΦΙΛΤΡΑ KALMAN ΚΑΙ ΛΑΪΝΙΩΤΗ Η αρχική τιμή της κατάστασης x (0) είναι τυχαία μεταβλητή που ακολουθεί την κανονική κατανομή (Gaussian distribution), έχει μέση τιμή x 0 και διασπορά P 0 δηλαδή x(0) N( x0, P 0) όπου x0 E[ x(0)] (1.5) P E[[ x(0) x ][ x(0) x ] ] (1.6) Οι στοχαστικές διαδικασίες { wk ( )}, { vk ( )} και η τυχαία μεταβλητή x (0) είναι ανεξάρτητες μεταξύ τους ΒΕΛΤΙΣΤΗ ΕΚΤΙΜΗΣΗ Το πρόβλημα της εκτίμησης είναι να υπολογιστεί η εκτίμηση x( / k) της κατάστασης τη χρονική στιγμή δεδομένου του συνόλου των μετρήσεων Z { z(1), z(2),..., z( k)} μέχρι και τη χρονική στιγμή k k, δηλαδή η δεσμευμένη μέση τιμή του διανύσματος κατάστασης: x( / k) E[ x( )/ Z k ] (1.7) Το λάθος εκτίμησης (estimation error) ορίζεται ως η διαφορά της εκτίμησης από την πραγματική κατάσταση: x ( / ) ( ) ( / ) e k x x k (1.8)

7 ΦΙΛΤΡΑ KALMAN ΚΑΙ ΛΑΪΝΙΩΤΗ 17 Είναι προφανές ότι όσο μικρότερο είναι το λάθος εκτίμησης, τόσο καλύτερη είναι η εκτίμηση της πραγματικής κατάστασης. Επομένως, το κριτήριο βέλτιστης εκτίμησης αφορά στο λάθος εκτίμησης και είναι η ελαχιστοποίηση του τετραγώνου του λάθους εκτίμησης, δηλαδή της διασποράς λάθους εκτίμησης: E[[ x ( / k)][ x ( / k)]/ Z ] (1.9) e e k 1.4. ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΕΚΤΙΜΗΣΗΣ Ανάλογα με τον τύπο της εκτίμησης υπάρχουν διάφοροι αλγόριθμοι εκτίμησης: αλγόριθμοι για εκτίμηση (φίλτρα), αλγόριθμοι για πρόβλεψη και αλγόριθμοι για λείανση. Αλγόριθμοι για εκτίμηση (φίλτρα) Το πρόβλημα του φιλτραρίσματος είναι να υπολογιστεί η βέλτιστη εκτίμηση (φιλτράρισμα) x( k / k ) της κατάστασης τη χρονική στιγμή δεδομένου του συνόλου των μετρήσεων Z { z(1), z(2),..., z( k)} μέχρι και τη χρονική στιγμή k. k Ο πρώτος ολοκληρωμένος αλγόριθμος εκτίμησης (φίλτρο) προτάθηκε από τον Rudolf E. Kalman στις αρχές της δεκαετίας του 60 και είναι γνωστός ως φίλτρο Kalman (Kalman filter) [Kalman (1960)]. Στα μέσα της δεκαετίας του 70 o Δημήτριος Γ. Λαϊνιώτης πρότεινε τον αλγόριθμο διαμερισμού (partitioning algorithm), που

8 ΦΙΛΤΡΑ KALMAN ΚΑΙ ΛΑΪΝΙΩΤΗ 18 είναι γνωστός ως φίλτρο Λαϊνιώτη (Lainiotis filter) [Lainiotis (1975)]. Τα φίλτρα Kalman και Λαϊνιώτη υπολογίζουν αναδρομικά την εκτίμηση x( k / k ) διαστάσεων εκτίμησης P( k / k ) διαστάσεων nn. x n x1 και τη διασπορά λάθους Αλγόριθμοι για πρόβλεψη Το πρόβλημα της πρόβλεψης είναι να υπολογιστεί η βέλτιστη πρόβλεψη x( / k ) της κατάστασης τη χρονική στιγμή δεδομένου του συνόλου των μετρήσεων Z { z(1), z(2),..., z( k)} μέχρι και τη χρονική στιγμή k, όπου k. k Η βέλτιστη πρόβλεψη διαστάσεων n x1 είναι: x( / k) F(, k) x( k / k) (1.10) και η αντίστοιχη διασπορά λάθους πρόβλεψης διαστάσεων nnείναι: x P( / k) F(, 1) P( 1, k) F (, 1) Q( 1) (1.11) όπου F(, k) F(, 1) F( 1, 2) F( k 1, k) (1.12) βήμα: Όταν k 1 προκύπτει ο αλγόριθμος πρόβλεψης κατά ένα

9 ΦΙΛΤΡΑ KALMAN ΚΑΙ ΛΑΪΝΙΩΤΗ 19 x( k 1/ k) F( k 1, k) x( k / k) (1.13) P( k 1/ k) F( k 1, k) P( k / k) F ( k 1, k) Q( k) (1.14) για k 0,1,... με αρχικές συνθήκες x(0/0) x 0 P(0/0) P 0 Για τον υπολογισμό της πρόβλεψης και της διασποράς λάθους πρόβλεψης απαιτείται ο υπολογισμός της εκτίμησης x( k / k ) και της διασποράς λάθους εκτίμησης P( k / k ). Είναι προφανές ότι η πρόβλεψη απαιτεί φιλτράρισμα, το οποίο μπορεί να γίνει με το φίλτρο Kalman ή με το φίλτρο Λαϊνιώτη. Αλγόριθμοι για λείανση Το πρόβλημα της λείανσης είναι να υπολογιστεί η βέλτιστη εκτίμηση x( / k ) της κατάστασης τη χρονική στιγμή δεδομένου του συνόλου των μετρήσεων Z { z(1), z(2),..., z( k)} μέχρι και τη χρονική στιγμή k, όπου k. k Οι πλέον γνωστοί αλγόριθμοι λείανσης είναι ο αλγόριθμος Meditch και ο αλγόριθμος λείανσης Λαϊνιώτη.

10 ΦΙΛΤΡΑ KALMAN ΚΑΙ ΛΑΪΝΙΩΤΗ 20 Ο αλγόριθμος Meditch υπολογίζει αναδρομικά τη βέλτιστη λείανση διαστάσεων n x1: x( / k) x( / k 1) B( k)[ x( k / k) x( k / k 1)] (1.15) και την αντίστοιχη διασπορά λάθους λείανσης διαστάσεων nn: x P( / k) P( / k 1) B( k)[ P( k / k) P( k / k 1)] B ( k) (1.16) όπου B( k) B( k 1) A( k 1) (1.17) 1 A( 1) P( 1/ 1) F ( / 1) P ( / 1) (1.18) με αρχική τιμή B( 1) A( ) για k 1, 2,... Για τον υπολογισμό της λείανσης και της διασποράς λάθους λείανσης απαιτείται ο υπολογισμός της εκτίμησης x( k / k ) και της διασποράς λάθους εκτίμησης P( k / k ) καθώς και ο υπολογισμός της πρόβλεψης x( k / k 1) και της διασποράς λάθους πρόβλεψης P( k / k 1). Είναι προφανές ότι η λείανση απαιτεί φιλτράρισμα, το οποίο μπορεί να γίνει με το φίλτρο Kalman ή με το φίλτρο Λαϊνιώτη.

11 ΦΙΛΤΡΑ KALMAN ΚΑΙ ΛΑΪΝΙΩΤΗ 21 Είναι σαφές ότι όλοι οι αλγόριθμοι εκτίμησης (πρόβλεψης, φιλτραρίσματος, λείανσης) απαιτούν φιλτράρισμα, το οποίο μπορεί να γίνει με το φίλτρο Kalman ή με το φίλτρο Λαϊνιώτη. Το Φίλτρο Kalman Οι ρίζες του φίλτρου Kalman [Sorenson (1970)] βρίσκονται στη χρήση της μεθόδου των ελαχίστων τετραγώνων κατά τη μελέτη των πλανητικών τροχιών από τον Gauss τον 19 ο αιώνα [Gauss (1963)]. Η στάσιμη θεωρία εκτίμησης Wiener-Kolmogorov (stationary filtering theory) οφείλεται στον Kolmogorov [Kolmogorov (1941)] και στον Wiener [Wiener (1949)] και σχετίζεται με στάσιμες διαδικασίες (δηλαδή διαδικασίες των οποίων οι στατιστικές ιδιότητες είναι χρονικά αμετάβλητες). Η ιδέα της χρήσης μεταβλητής κατάστασης στην περιγραφή γραμμικών συστημάτων προτάθηκε από τον Swerling [Swerling (1959)] και τον Kalman [Kalman (1960)]. Η μη στάσιμη θεωρία εκτίμησης (nonstationary filtering theory), η οποία αντιμετωπίζει προβλήματα και με μη στάσιμες διαδικασίες, οφείλεται στον Kalman και στον Bucy [Kalman (1960), Kalman and Bucy (1961), Kalman (1963)]. Το 1960 ο Kalman πρότεινε [Kalman (1960)] το φίλτρο Kalman, έναν αναδρομικό αλγόριθμο επίλυσης του γραμμικού προβλήματος φιλτραρίσματος διακριτού χρόνου. Από τότε μέχρι σήμερα το φίλτρο Kalman έχει γίνει αντικείμενο επιστημονικής έρευνας. Επίσης, το φίλτρο Kalman έχει χρησιμοποιηθεί με επιτυχία σε ένα ευρύτατο

12 ΦΙΛΤΡΑ KALMAN ΚΑΙ ΛΑΪΝΙΩΤΗ 22 φάσμα εφαρμογών [Anderson and Moore (1979), Anderson and Moore (2005), Grewal, Weill, Andrews (2007), Jones, MacGregor, Murphy (1989), Newland, Gray (2005), Nishi (2001), Ristic, Arulampalam and Gordon (2004), Sorenson (1985)]: στην αεροναυπηγική (από τις πρώτες εφαρμογές, στις διαστημικές αποστολές Apollo) στον έλεγχο χημικών διεργασιών στη σχεδίαση τηλεπικοινωνιακών συστημάτων στην πρόβλεψη ρύπανσης σε ενεργειακά συστήματα στην παρακολούθηση στόχου στην επεξεργασία εικόνας στην επεξεργασία ήχου σε GPS στην οικονομετρία στην παρακολούθηση δορυφόρων στην πλοήγηση πλοίων.

13 ΦΙΛΤΡΑ KALMAN ΚΑΙ ΛΑΪΝΙΩΤΗ ΦΙΛΤΡΟ KALMAN 2.1.ΧΡΟΝΙΚΑ ΜΕΤΑΒΑΛΛΟΜΕΝΟ ΦΙΛΤΡΟ KALMAN Το πρόβλημα του φιλτραρίσματος είναι να υπολογιστεί η βέλτιστη εκτίμηση (φιλτράρισμα) x( k / k ) της κατάστασης τη χρονική στιγμή δεδομένου του συνόλου των μετρήσεων Z { z(1), z(2),..., z( k)} μέχρι και τη χρονική στιγμή k. Η εκτίμηση είναι: k x( k / k) E[ x( k)/ Z k ] (2.1) και η αντίστοιχη διασπορά λάθους εκτίμησης είναι: P( k / k) E[[ x( k) x( k / k)][ x( k) x( k / k)] / Z k ] (2.2) Επίσης, η πρόβλεψη (κατά ένα βήμα) διαστάσεων nx1είναι: x( k 1/ k) E[ x( k 1)/ Z k ] (2.3) και η αντίστοιχη διασπορά λάθους πρόβλεψης διαστάσεων nnείναι: x P( k 1/ k) E[[ x( k 1) x( k 1/ k)][ x( k 1) x( k 1/ k)] / Z ] k (2.4)

14 ΦΙΛΤΡΑ KALMAN ΚΑΙ ΛΑΪΝΙΩΤΗ 24 Για το χρονικά μεταβαλλόμενο μοντέλο, όπου οι μήτρες F( k 1, k), Hk ( 1), Qk ( ) και Rk ( 1) είναι χρονικά μεταβαλλόμενες, προκύπτει το χρονικά μεταβαλλόμενο φίλτρο Kalman (ime Varying Kalman Filter): Χρονικά μεταβαλλόμενο φίλτρο Kalman ime Varying Kalman Filter (VKF) x( k 1/ k) F( k 1, k) x( k / k) (2.5) P( k 1/ k) F( k 1, k) P( k / k) F ( k 1, k) Q( k) (2.6) K( k 1) = P( k 1 /k) H ( k 1) [ H( k 1) P( k 1 /k) H ( k 1) + R( k 1)] x( k 1/ k 1) [ I K( k 1) H( k 1)] x( k 1/ k) K( k 1) z( k 1) 1 (2.7) (2.8) P( k 1/ k 1) [ I K( k 1) H( k 1)] P( k 1/ k) (2.9) για k 0,1,... με αρχικές συνθήκες x(0/ 0) x 0 P(0/0) P 0

15 ΦΙΛΤΡΑ KALMAN ΚΑΙ ΛΑΪΝΙΩΤΗ 25 Οι μήτρες Qk ( ), Rk ( 1), P( k 1/ k) και P( k / k ) είναι συμμετρικές (symmetric) και θετικά ημιορισμένες (nonnegative definite), ως μήτρες διασπορών. Η ύπαρξη των αντίστροφων μητρών που εμφανίζονται στην εξίσωση (2.7) εξασφαλίζεται στην περίπτωση που οι μήτρες Rk ( 1) είναι θετικά ορισμένες (positive definite), γεγονός που συμβαίνει στην περίπτωση που καμμία μέτρηση δεν είναι ακριβής. Σε διαφορετική περίπτωση μπορεί να γίνει χρήση της ψευδοαντίστροφης μήτρας (pseudo-inverse). Από τη θεωρία μητρών είναι γνωστοί οι παρακάτω ορισμοί: - Μία μήτρα A διαστάσεων nnορίζεται x ως συμμετρική (symmetric), αν ισχύει η σχέση A A. Μία συμμετρική μήτρα έχει πραγματικές ιδιοτιμές. - Μία συμμετρική μήτρα A διαστάσεων nnορίζεται x ως θετικά ορισμένη (positive definite), αν ισχύει η σχέση x Ax 0 για κάθε διάνυσμα x 0. Μία θετικά ορισμένη μήτρα έχει όλες τις ιδιοτιμές της θετικές. - Μία συμμετρική μήτρα A διαστάσεων nnορίζεται x ως θετικά ημιορισμένη (nonnegative definite), αν ισχύει η σχέση x Ax 0 για κάθε διάνυσμα x 0. Μία θετικά ημιορισμένη μήτρα έχει μη αρνητικές ιδιοτιμές.

16 ΦΙΛΤΡΑ KALMAN ΚΑΙ ΛΑΪΝΙΩΤΗ 26 Η μήτρα Kk ( ) διαστάσεων nm x καλείται κέρδος (gain) του φίλτρου Kalman. Η διασπορά λάθους εκτίμησης, η διασπορά λάθους πρόβλεψης και το κέρδος δεν εξαρτώνται από τις μετρήσεις. Επομένως, μπορούν είτε να υπολογιστούν σε πραγματικό χρόνο (real time) είτε να υπολογιστούν εκ των προτέρων (off-line) χρησιμοποιώντας τις εξισώσεις (2.6), (2.7) και (2.9). Από τις εξισώσεις (2.7) και (2.8) προκύπτει ότι: - Όσο ο θόρυβος των μετρήσεων τείνει στο μηδέν, τόσο η εκτίμηση βασίζεται περισσότερο στη μέτρηση και λιγότερο στην πρόβλεψη. Όταν ο θόρυβος των μετρήσεων είναι μηδέν: Rk ( 1) 0, τότε είναι: I K( k 1) H( k 1) 0, οπότε: x( k 1/ k 1) K( k 1) z( k 1) - Όσο η διασπορά λάθους πρόβλεψης τείνει στο μηδέν, τόσο η εκτίμηση βασίζεται λιγότερο στη μέτρηση και περισσότερο στην πρόβλεψη. Όταν η διασπορά λάθους πρόβλεψης είναι μηδέν P( k 1/ k ) 0, τότε είναι : Kk ( 1) 0, οπότε: x( k 1/ k 1) x( k 1/ k )

17 ΦΙΛΤΡΑ KALMAN ΚΑΙ ΛΑΪΝΙΩΤΗ ΧΡΟΝΙΚΑ ΑΜΕΤΑΒΛΗΤΟ ΦΙΛΤΡΟ KALMAN Για το χρονικά αμετάβλητο μοντέλο, όπου οι μήτρες F( k 1, k) F, H( k 1) H, Q( k) Q και R( k 1) R είναι σταθερές (χρονικά αμετάβλητες), προκύπτει το χρονικά αμετάβλητο φίλτρο Kalman (ime Invariant Kalman Filter): Χρονικά αμετάβλητο φίλτρο Kalman ime Invariant Kalman Filter (IKF) x( k 1/ k) Fx( k / k) (2.10) P( k 1/ k) FP( k / k) F Q (2.11) K( k 1) = P( k 1 /k) H [ HP( k 1 /k) H + R] 1 (2.12) x( k 1/ k 1) [ I K( k 1) H] x( k 1/ k) K( k 1) z( k 1) (2.13) P( k 1/ k 1) [ I K( k 1) H] P( k 1/ k) (2.14) για k 0,1,... με αρχικές συνθήκες x(0/ 0) x 0 P(0/0) P 0

18 ΦΙΛΤΡΑ KALMAN ΚΑΙ ΛΑΪΝΙΩΤΗ 28 Το φίλτρο Kalman είναι ένα αναδρομικό φίλτρο ακόμη και στην περίπτωση του χρονικά αμετάβλητου μοντέλου, γιατί το κέρδος είναι χρονικά μεταβαλλόμενο. Παρατήρηση. Η περίπτωση του άπειρου θορύβου μετρήσεων. Εξετάζοντας την περίπτωση του άπειρου θορύβου μετρήσεων, μπορούμε να θεωρήσουμε ότι η διασπορά θορύβου μετρήσεων είναι άπειρη, δηλαδή R. Τότε προκύπτουν τα ακόλουθα: - από την εξίσωση (2.12) το κέρδος είναι μηδέν: Kk ( 1) 0 - από την εξίσωση (2.13) η εκτίμηση είναι ίση με την πρόβλεψη: x( k 1/ k 1) x( k 1/ k) - από την εξίσωση (2.14) η διασπορά λάθους εκτίμησης είναι ίση με τη διασπορά λάθους πρόβλεψης: P( k 1/ k 1) P( k 1/ k) Οπότε η εκτίμηση είναι: x( k 1/ k 1) Fx( k / k) (2.15) και η αντίστοιχη διασπορά λάθους εκτίμησης είναι: P( k 1/ k 1) FP( k / k) F Q (2.16)

19 ΦΙΛΤΡΑ KALMAN ΚΑΙ ΛΑΪΝΙΩΤΗ ΦΙΛΤΡΟ KALMAN ΣΤΗ ΜΟΝΙΜΗ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗ Για το χρονικά αμετάβλητο μοντέλο, όπου οι μήτρες F( k 1, k) F, H( k 1) H, Q( k) Q και R( k 1) R είναι σταθερές (χρονικά αμετάβλητες), είναι γνωστό [Anderson and Moore, 1979] ότι: αν για κάθε G με GG Q το ζεύγος [ FG, ] είναι πλήρως σταθεροποιήσιμο (completely stabilizable) και αν το ζεύγος [ FH, ] είναι πλήρως ανιχνεύσιμο (completely detectable), τότε το φίλτρο τείνει σε μόνιμη κατάσταση (steady state), δηλαδή η διασπορά λάθους πρόβλεψης τείνει σε μία σταθερή τιμή P p, η οποία είναι μοναδική (unique) και καλείται διασπορά λάθους πρόβλεψης στη μόνιμη κατάσταση. Σημειώνεται ότι: - το ζεύγος [ FG, ] είναι πλήρως σταθεροποιήσιμο (completely stabilizable), αν ισχύει η πρόταση: αν wg 0 και w F λ w για κάποια σταθερά λ, τότε λ 1 ή w 0 - το ζεύγος [ FH, ] είναι πλήρως ανιχνεύσιμο (completely detectable), αν το ζεύγος [ F, H ] είναι πλήρως σταθεροποιήσιμο (completely stabilizable).

20 ΦΙΛΤΡΑ KALMAN ΚΑΙ ΛΑΪΝΙΩΤΗ 30 Επίσης, αν το μοντέλο είναι ασυμπτωτικά ευσταθές (asymptotically stable), που σημαίνει ότι οι ιδιοτιμές (eigenvalues) της μήτρας F βρίσκονται εντός του μοναδιαίου κύκλου, τότε οπωσδήποτε το μοντέλο είναι πλήρως ανιχνεύσιμο και πλήρως σταθεροποιήσιμο. Επομένως, αν το μοντέλο είναι ασυμπτωτικά ευσταθές, τότε το φίλτρο τείνει σε μόνιμη κατάσταση. Το φίλτρο μπορεί να τείνει σε μόνιμη κατάσταση ακόμη και όταν το μοντέλο δεν είναι ασυμπτωτικά ευσταθές. Από τις εξισώσεις (2.11), (2.12) και (2.14) προκύπτει η εξίσωση Riccati για το φίλτρο Kalman: P( k 1/ k) FP( k / k 1) F Q FP k k H HP k k H R HP k k F 1 ( / 1) [ ( / 1) ] ( / 1) (2.17) Η εξίσωση Riccati είναι μία μη γραμμική αναδρομική εξίσωση. Η διασπορά λάθους πρόβλεψης τείνει στη διασπορά λάθους πρόβλεψης στη μόνιμη κατάσταση όταν P( k 1/ k ) P( k / k 1) (2.18) ss ss ss ss όπου είναι ένας μικρός θετικός αριθμός και μόνιμης κατάστασης (steady state time). k ss είναι ο χρόνος Με A συμβολίζεται η φασματική νόρμα (norm) της μήτρας A, δηλαδή η τετραγωνική ρίζα της μέγιστης ιδιοτιμής της μήτρας AA.

21 ΦΙΛΤΡΑ KALMAN ΚΑΙ ΛΑΪΝΙΩΤΗ 31 Έτσι, προκύπτει η εξίσωση Riccati μόνιμης κατάστασης: P FP F Q FP H [ HP H R] HP F (2.19) 1 p p p p p η μοναδική λύση (unique solution) της οποίας είναι η διασπορά λάθους πρόβλεψης στη μόνιμη κατάσταση. Από τις εξισώσεις (2.11), (2.12) και (2.14) είναι φανερό ότι το κέρδος τείνει σε μία σταθερή τιμή K που καλείται κέρδος στη μόνιμη κατάσταση και υπολογίζεται ως συνάρτηση της διασποράς λάθους πρόβλεψης στη μόνιμη κατάσταση: K P H HP H R 1 p [ p ] (2.20) Επίσης, είναι φανερό ότι η διασπορά λάθους εκτίμησης τείνει σε μία σταθερή τιμή P e, η οποία καλείται διασπορά λάθους πρόβλεψης στη μόνιμη κατάσταση και υπολογίζεται ως συνάρτηση της διασποράς λάθους πρόβλεψης στη μόνιμη κατάσταση: P I P H HP H R H P (2.21) 1 e [ p [ p ] ] p Στη μόνιμη κατάσταση, προκύπτει το φίλτρο Kalman μόνιμης κατάστασης (Steady State Kalman Filter):

22 ΦΙΛΤΡΑ KALMAN ΚΑΙ ΛΑΪΝΙΩΤΗ 32 Φίλτρο Kalman μόνιμης κατάστασης Steady State Kalman Filter (SSKF) x( k 1/ k 1) A x( k / k) B z( k 1) (2.22) KF KF A [ I KH ] F (2.23) KF BKF K (2.24) για k k, k 1,... ss ss Η υλοποίηση του φίλτρου Kalman μόνιμης κατάστασης απαιτεί τη γνώση: - της εκτίμησης x( k / k ) για την εφαρμογή της αναδρομής και ss ss - της διασποράς λάθους εκτίμησης P( k / k ) για τον υπολογισμό των μητρών A KF και B KF. ss ss Επομένως, η υλοποίηση του φίλτρου Kalman μόνιμης κατάστασης προϋποθέτει την υλοποίηση του χρονικά αμετάβλητου φίλτρου Kalman για k 0,1,..., kss με αρχικές συνθήκες x(0/ 0) x0 και P(0/0) P0. Οι μήτρες A KF και B KF μπορούν να υπολογιστούν εκ των προτέρων (off-line) χρησιμοποιώντας τις εξισώσεις (2.19), (2.20), (2.23) και (2.24).

23 ΦΙΛΤΡΑ KALMAN ΚΑΙ ΛΑΪΝΙΩΤΗ 33 Παρατήρηση. Η περίπτωση του άπειρου θορύβου μετρήσεων. Εξετάζοντας την περίπτωση του άπειρου θορύβου μετρήσεων, μπορούμε να θεωρήσουμε ότι η διασπορά θορύβου μετρήσεων είναι άπειρη, δηλαδή R. Τότε για το χρονικά αμετάβλητο μοντέλο είναι γνωστό [Anderson and Moore, 1979] ότι: αν για κάθε G με GG Q το ζεύγος [ FG, ] είναι πλήρως προσβάσιμο (completely reachable) και αν οι ιδιοτιμές (eigenvalues) της μήτρας βρίσκονται εντός του μοναδιαίου κύκλου, τότε το φίλτρο τείνει σε μόνιμη κατάσταση (steady state), δηλαδή η διασπορά λάθους πρόβλεψης τείνει σε μία σταθερή τιμή F P p, η οποία είναι μοναδική (unique) και καλείται διασπορά λάθους πρόβλεψης στη μόνιμη κατάσταση. Σημειώνεται ότι: - το ζεύγος [ FG, ] είναι πλήρως προσβάσιμο (completely reachable), αν ισχύει η πρόταση: αν wg 0 και w F λ w για κάποια σταθερά λ, τότε w 0. Επίσης, το κέρδος στη μόνιμη κατάσταση είναι μηδέν: K 0. Οπότε η διασπορά λάθους εκτίμησης στη μόνιμη κατάσταση είναι ίση με τη διασποράς λάθους πρόβλεψης στη μόνιμη κατάσταση: Pe Pp. Στην περίπτωση αυτή από τις εξισώσεις του φίλτρου Kalman προκύπτει η

24 ΦΙΛΤΡΑ KALMAN ΚΑΙ ΛΑΪΝΙΩΤΗ 34 εξίσωση Lyapunov (Lyapunov equation) ως ειδική μορφή της εξίσωσης Riccati (για R ): P( k 1/ k) FP( k / k 1) F Q (2.25) Έτσι, προκύπτει η εξίσωση Lyapunov μόνιμης κατάστασης: Pp FPpF Q (2.26) η μοναδική λύση (unique solution) της οποίας είναι η διασπορά λάθους πρόβλεψης στη μόνιμη κατάσταση ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΦΙΛΤΡΟΥ KALMAN Παράδειγμα 2.1. Μη αναδρομική μορφή φίλτρου Kalman. Στο παράδειγμα αυτό θεωρείται ένα βαθμωτό ( n 1 και m 1) χρονικά αμετάβλητο μοντέλο, όπου ισχύουν όλες οι υποθέσεις, με παραμέτρους: F 1 H 1 Q 0 R 1

25 ΦΙΛΤΡΑ KALMAN ΚΑΙ ΛΑΪΝΙΩΤΗ 35 Οι εξισώσεις του χρονικά αμετάβλητου φίλτρου Kalman (2.10)-(2.14) γράφονται: x( k 1/ k) x( k / k) P( k 1/ k) P( k / k) P( k 1/ k) Kk ( 1) P( k 1/ k) 1 P( k 1/ k) x( k 1/ k 1) 1 x( k 1/ k) P( k 1/ k) 1 P( k 1/ k) zk ( 1) P( k 1/ k) 1 P( k 1/ k) P( k 1/ k 1) 1 P( k 1/ k) P( k 1/ k) 1 Επομένως, υπολογίζονται αναδρομικά η εκτίμηση και η διασπορά λάθους εκτίμησης: 1 P( k / k) x( k 1/ k 1) x( k / k) z( k 1) P( k / k) 1 P( k / k) 1 P( k / k) P( k 1/ k 1) P( k / k) 1

26 ΦΙΛΤΡΑ KALMAN ΚΑΙ ΛΑΪΝΙΩΤΗ 36 Με χρήση των αναδρομικών εξισώσεων του φίλτρου Kalman, η εκτίμηση και η διασπορά λάθους εκτίμησης υπολογίζονται ως συναρτήσεις των αρχικών συνθηκών x 0 και P 0 (μη αναδρομική μορφή του φίλτρου Kalman): P0 P( k 1/ k 1) ( k 1) P P x k k x z i k 1 0 ( 1/ 1) 0 ( ) ( k 1) P0 1 ( k 1) P0 1 i 1 Παρατήρηση 1. Όταν η αρχική αβεβαιότητα είναι πολύ μικρή ( P 0 0 ) τότε x( k 1/ k 1) x0 δηλαδή το φίλτρο βασίζεται στην αρχική συνθήκη x 0 (λόγω της μικρής αρχικής αβεβαιότητας) και ουσιαστικά αγνοούνται οι μετρήσεις. Παρατήρηση 2. Όταν η αρχική αβεβαιότητα είναι πολύ μεγάλη ( P 0 )

27 ΦΙΛΤΡΑ KALMAN ΚΑΙ ΛΑΪΝΙΩΤΗ 37 τότε k 1 1 x( k 1/ k 1) z( i) 1 k i 1 δηλαδή το φίλτρο αγνοεί την αρχική συνθήκη x 0 (λόγω της μεγάλης αρχικής αβεβαιότητας) και η εκτίμηση είναι η μέση τιμή των μετρήσεων. Παράδειγμα 2.2. Χρονικά αμετάβλητο φίλτρο Kalman. Στο παράδειγμα αυτό θεωρείται ένα βαθμωτό ( n 1 και m 1) χρονικά αμετάβλητο μοντέλο, όπου ισχύουν όλες οι υποθέσεις, με παραμέτρους: F 0.8 H 1 Q 2 R 5 και αρχικές συνθήκες x0 0 P0 1

28 ΦΙΛΤΡΑ KALMAN ΚΑΙ ΛΑΪΝΙΩΤΗ 38 Στο Σχήμα 2.1 παρουσιάζονται η κατάσταση, η πρόβλεψη και η εκτίμηση. Σχήμα 2.1. Χρονικά αμετάβλητο φίλτρο Kalman. Κατάσταση, πρόβλεψη και εκτίμηση για το Παράδειγμα 2.2. Στο Σχήμα 2.2 παρουσιάζονται η διασπορά λάθους πρόβλεψης και η διασπορά λάθους εκτίμησης. Η διασπορά λάθους εκτίμησης είναι μικρότερη από τη διασπορά λάθους πρόβλεψης. Αυτό σημαίνει ότι η

29 ΦΙΛΤΡΑ KALMAN ΚΑΙ ΛΑΪΝΙΩΤΗ 39 εκτίμηση είναι πιο κοντά στην πραγματική κατάσταση από ότι είναι η πρόβλεψη. Σχήμα 2.2. Χρονικά αμετάβλητο φίλτρο Kalman. Διασπορά λάθους πρόβλεψης και διασπορά λάθους εκτίμησης για το Παράδειγμα 2.2. Παράδειγμα 2.3. Άπειρος θόρυβος μετρήσεων στο φίλτρο Kalman.

30 ΦΙΛΤΡΑ KALMAN ΚΑΙ ΛΑΪΝΙΩΤΗ 40 Στο παράδειγμα αυτό θεωρείται ένα βαθμωτό χρονικά αμετάβλητο μοντέλο, με παραμέτρους: F 0.5 H 1 Q 30 R Στην περίπτωση αυτή ο θόρυβος μετρήσεων είναι άπειρος ( R ) και η εξίσωση Lyapunov μόνιμης κατάστασης (2.26) παίρνει τη μορφή: P 1 p Pp 4 30 Οπότε η λύση της εξίσωσης Lyapunov δίνει τη διασπορά λάθους εκτίμησης στη μόνιμη κατάσταση, που είναι: P P 40 e p Στο Σχήμα 2.3 παρουσιάζεται η διασπορά λάθους εκτίμησης για μικρή αρχική αβεβαιότητα ( P 0 10 ) και για μεγάλη αρχική αβεβαιότητα ( P ).

31 ΦΙΛΤΡΑ KALMAN ΚΑΙ ΛΑΪΝΙΩΤΗ 41 Σχήμα 2.3. Άπειρος θόρυβος μετρήσεων στο φίλτρο Kalman. Διασπορά λάθους εκτίμησης για μικρή και μεγάλη αρχική αβεβαιότητα για το Παράδειγμα 2.3. Παρατήρηση 1. Η διασπορά λάθους εκτίμησης τείνει στη διασπορά λάθους εκτίμησης στη μόνιμη κατάσταση ανεξάρτητα από την αρχική αβεβαιότητα. Παρατήρηση 2. Όταν η αρχική αβεβαιότητα είναι μικρή ( P 0 0 ), τότε η εκτίμηση της κατάστασης γίνεται χειρότερη όσο περνάει ο χρόνος και μέχρι το χρόνο μόνιμης κατάστασης.

32 ΦΙΛΤΡΑ KALMAN ΚΑΙ ΛΑΪΝΙΩΤΗ 42 Όταν η αρχική αβεβαιότητα είναι μεγάλη ( P ), τότε η εκτίμηση της κατάστασης γίνεται καλύτερη όσο περνάει ο χρόνος και μέχρι το χρόνο μόνιμης κατάστασης. Παράδειγμα 2.4. Φίλτρο Kalman μόνιμης κατάστασης. Στο παράδειγμα αυτό θεωρείται ένα βαθμωτό χρονικά αμετάβλητο μοντέλο, με παραμέτρους: F 0.5 H 1 Q 1 R 2 Στο Σχήμα 2.4 παρουσιάζονται η κατάσταση και η εκτίμηση. Ο χρόνος μόνιμης κατάστασης είναι kss 8 για εξισώσεις (2.19)-(2.21) υπολογίζονται τα ακόλουθα: Από τις - η διασπορά λάθους πρόβλεψης στη μόνιμη κατάσταση είναι P p - το κέρδος στη μόνιμη κατάσταση είναι K

33 ΦΙΛΤΡΑ KALMAN ΚΑΙ ΛΑΪΝΙΩΤΗ 43 - η διασπορά λάθους εκτίμησης στη μόνιμη κατάσταση είναι P Από τις εξισώσεις (2.23)-(2.24) υπολογίζονται οι e συντελεστές του φίλτρου Kalman μόνιμης κατάστασης: AKF και BKF Σχήμα 2.4. Φίλτρο Kalman μόνιμης κατάστασης. Κατάσταση και εκτίμηση για το Παράδειγμα 2.4. Παράδειγμα 2.5. Ευαισθησία φίλτρου Kalman. Στο παράδειγμα αυτό θεωρείται ένα βαθμωτό χρονικά αμετάβλητο μοντέλο, με παραμέτρους:

34 ΦΙΛΤΡΑ KALMAN ΚΑΙ ΛΑΪΝΙΩΤΗ 44 F 0.75 H 1 Q 2 R 1 και αρχικές συνθήκες x0 0 P0 0 Θεωρείται επίσης μία μεταβολή της τάξης του 10% στη μήτρα εξόδου H, δηλαδή H 1.1. Θα εξεταστεί η ευαισθησία του φίλτρου Kalman στη μεταβολή αυτή. Η διασπορά λάθους εκτίμησης εκφράζει την απόδοση του φίλτρου. Επομένως, η διαφορά των διασπορών λάθους εκτίμησης, που οφείλεται σε μεταβολή παραμέτρων, εκφράζει την ευαισθησία του φίλτρου στις μεταβολές αυτές. Στο Σχήμα 2.5 παρουσιάζεται η διασπορά λάθους εκτίμησης για H 1 και H 1.1. Η διαφορά των διασπορών λάθους εκτίμησης διατηρείται σταθερή και σε σημαντικά επίπεδα όσο περνάει ο χρόνος.

35 ΦΙΛΤΡΑ KALMAN ΚΑΙ ΛΑΪΝΙΩΤΗ 45 Το φίλτρο Kalman είναι αρκετά ευαίσθητο στη μεταβολή της μήτρας εξόδου. Σχήμα 2.5. Ευαισθησία φίλτρου Kalman. Διασπορά λάθους εκτίμησης για μεταβολή της μήτρας εξόδου για το Παράδειγμα 2.5. Παράδειγμα 2.6. Φίλτρο Kalman για περιοδικό μοντέλο.

36 ΦΙΛΤΡΑ KALMAN ΚΑΙ ΛΑΪΝΙΩΤΗ 46 Στο παράδειγμα αυτό θεωρείται ένα βαθμωτό ( n 1 και m 1) χρονικά μεταβαλλόμενο περιοδικό μοντέλο, όπου ισχύουν όλες οι υποθέσεις και οι μήτρες F( k 1, k) F, H( k 1) H, Q( k) και R( k 1) R είναι περιοδικές. Q Το μοντέλο είναι περιοδικό με περίοδο p 2, με παραμέτρους: F(1,0) 0.8, H(1) 1, Q(0) 2, R(1) 1, F(2,1) 0.6, H(2) 2, Q(1) 5, R(2) 2 και αρχικές συνθήκες x0 0 P0 0 Στο περιοδικό μοντέλο μπορεί να εφαρμοστεί το χρονικά μεταβαλλόμενο φίλτρο Kalman. Στο Σχήμα 2.6 παρουσιάζονται η κατάσταση και η εκτίμηση.

37 ΦΙΛΤΡΑ KALMAN ΚΑΙ ΛΑΪΝΙΩΤΗ 47 Σχήμα 2.6. Φίλτρο Kalman για περιοδικό μοντέλο. Κατάσταση και εκτίμηση για το Παράδειγμα 2.6. Παράδειγμα 2.7. Χρονικά μεταβαλλόμενο φίλτρο Kalman. Στο παράδειγμα αυτό θεωρείται ένα βαθμωτό ( n 1 και m 1) χρονικά μεταβαλλόμενο περιοδικό μοντέλο με παραμέτρους: F( k 1, k) 0.9 k /100 Hk ( 1) 2 Qk ( ) 1

38 ΦΙΛΤΡΑ KALMAN ΚΑΙ ΛΑΪΝΙΩΤΗ 48 Rk ( 1) 1 και αρχικές συνθήκες x0 0 P0 0 Στο Σχήμα 2.7 παρουσιάζονται η κατάσταση και η εκτίμηση. Σχήμα 2.7. Χρονικά μεταβαλλόμενο φίλτρο Kalman. Κατάσταση και εκτίμηση για το Παράδειγμα 2.7.

39 ΦΙΛΤΡΑ KALMAN ΚΑΙ ΛΑΪΝΙΩΤΗ 49 Παράδειγμα 2.8. Φίλτρο Kalman με ακριβείς μετρήσεις. Στο παράδειγμα αυτό θεωρείται ένα βαθμωτό χρονικά αμετάβλητο μοντέλο, με παραμέτρους: F 0.9 H 2 Q 1 R 0 και αρχικές συνθήκες x0 0 P0 0 Στην περίπτωση αυτή ο θόρυβος μετρήσεων είναι μηδέν ( R 0 ), γεγονός που σημάινει ότι όλες οι μετρήσεις είναι ακριβείς. Από τις εξισώσεις του φίλτρου Kalman προκύπτει ότι η διασπορά λάθους εκτίμησης είναι P( k 1/ k 1) 0. Στο Σχήμα 2.8 παρουσιάζονται η κατάσταση και η εκτίμηση, που είναι ίσες μεταξύ τους.

40 ΦΙΛΤΡΑ KALMAN ΚΑΙ ΛΑΪΝΙΩΤΗ 50 Σχήμα 2.8. Φίλτρο Kalman με ακριβείς μετρήσεις. Κατάσταση και εκτίμηση για το Παράδειγμα 2.8.

41 ΦΙΛΤΡΑ KALMAN ΚΑΙ ΛΑΪΝΙΩΤΗ 51 function [x,z,tk]=model(f,h,q,r,x0,kmax) % LINEAR MODEL % IME INVARIAN [n,m]=size(h'); w=[]; v=[]; for i=1:n W=sqrt(q(i,i))*randn(1,kmax+1); w=[w W]; end; for i=1:m V=sqrt(r(i,i))*randn(1,kmax+1); v=[v V]; end; X=f*x0+w(:,1:1); Z=h*X+v(:,1:1); x=[x]; z=[z]; for k=2:kmax X=f*X+w(:,k:k); Z=h*X+v(:,k:k); x=[x X]; z=[z Z]; end; Z=h*X+v(:,kmax+1:kmax+1); z=[z Z]; x=[x0 x]; tk=[0:kmax];

42 ΦΙΛΤΡΑ KALMAN ΚΑΙ ΛΑΪΝΙΩΤΗ 52 function [xest,pest,xpred,ppred,gain] =kalmanfilter(f,h,q,r,x0,p0,kmax,z) % KALMAN FILER % IME INVARIAN [n,m]=size(h'); xe=x0; pe=p0; xest=[xe]; pest=[pe]; xpred=zeros(n,1); ppred=zeros(n,n); gain=zeros(n,m); for k=2:kmax+1 xp=f*xe; pp=q+f*pe*f'; g=pp*h'*inv(h*pp*h'+r); xe=(eye(n)-g*h)*xp+g*z(:,k-1:k-1); pe=(eye(n)-g*h)*pp; xest=[xest xe]; pest=[pest pe]; xpred=[xpred xp]; ppred=[ppred pp]; gain=[gain g]; end;

43 ΦΙΛΤΡΑ KALMAN ΚΑΙ ΛΑΪΝΙΩΤΗ 53 RUDOLF KALMAN O Rudolf Kalman γεννήθηκε στη Βουδαπέστη της Ουγγαρίας το Έλαβε δίπλωμα Ηλεκτρολόγου Μηχανικού από το Massachusetts Institute of echnology το 1953 και μεταπτυχιακό δίπλωμα Ηλεκτρολόγου Μηχανικού από το Massachusetts Institute of echnology το Έλαβε διδακτορικό δίπλωμα από το Columbia University το Διατέλεσε Ερευνητής Μαθηματικός στο Research Institute for Advanced Study στη Baltimore ( ), Καθηγητής στο Stanford University ( ), Διευθυντής στο Center for Mathematical System heory του University of Florida ( ) και κατέχει (από το 1973) την έδρα Mathematical System heory στο Swiss Federal Institute of echnology. Βραβεύτηκε με το IEEE Medal of Honor (1974), το IEEE Centennial Medal (1984), το Kyoto Prize in High echnology (1985), το Steele Prize (1987), το Bellman Prize (1997) και το NAE Charles Stark Draper Prize (2008). Είναι μέλος της Ακαδημίας Επιστημών των Η.Π.Α, της Ουγγαρίας, της Γαλλίας και της Ρωσίας.