Συνόρθωση κατά στάδια και αναδρομικοί αλγόριθμοι βέλτιστης εκτίμησης

Transcript

1 Ειδικά Θέματα Συνορθώσεων & Εφαρμογές 8 ο εξάμηνο, Ακαδημαϊκό έτος Συνόρθωση κατά στάδια και αναδρομικοί αλγόριθμοι βέλτιστης εκτίμησης Χριστόφορος Κωτσάκης Τμήμα Αγρονόμων και Τοπογράφων Μηχανικών Πολυτεχνική Σχολή, ΑΠΘ

2 Εισαγωγή Πολλές εφαρμογές στη Γεωδαισία απαιτούν την επίλυση μεγάλων προβλημάτων συνόρθωσης, τα οποία εμπεριέχουν έναν πολύ μεγάλο αριθμό άγνωστων παραμέτρων ή/και παρατηρήσεων. Για την επίλυση τέτοιων προβλημάτων απαιτείται η χρήση διαχωρισμένων τεχνικών (distributed processing) ώστε η υλοποίηση της συνόρθωσης να μπορέσει να γίνει σε επιμέρους μικρότερα και απλούστερα αλγοριθμικά βήματα.

3 Παράδειγμα Συνόρθωση ημερήσιων παρατηρήσεων GPS (διπλές διαφορές) σε παγκόσμιο δίκτυο 69 μόνιμων σταθμών IGS για συνολικό χρονικό διάστημα δύο ετών: o 39,936,970 παρατηρήσεις o 1,604,645 άγνωστες παράμετροι 1,422,746 ασάφειες φάσης 4,332 παράμετροι περιστροφής Γης 82,800 τροχιακές παράμετροι 94,353 τροποσφαιρικές παράμετροι 414 συντεταγμένες + ταχύτητες σταθμών

4 Εισαγωγή Διαχωρισμένες τεχνικές συνόρθωσης είχαν ήδη προταθεί από τον F.R. Helmert (1880) για την επίλυση του Ευρωπαϊκού γεωδαιτικού δικτύου από μετρήσεις τριγωνισμού πολλών χωρών. π.χ. Helmert-Wolf blocking method αποτελεί ένα κλασσικό παράδειγμα παράλληλης επεξεργασίας (parallel processing) σε προβλήματα συνόρθωσης. Γενικεύσεις αυτής της μεθόδου χρησιμοποιούνται σήμερα για την επεξεργασία και συνόρθωση μετρήσεων σε μεγάλα παγκόσμια δίκτυα μόνιμων σταθμών GNSS.

5 Τι θα δούμε εδώ; Το βασικό αλγοριθμικό πλαίσιο για την αντιμετώπιση προβλημάτων συνόρθωσης και εκτίμησης παραμέτρων με τεχνικές διαχωρισμένης επεξεργασίας, δηλαδή: Συνόρθωση μέσω συνδυασμού επιμέρους κανονικών εξισώσεων Συνόρθωση μέσω συνδυασμού επιμέρους λύσεων Συνόρθωση κατά στάδια μέσω αναδρομικών αλγορίθμων Δυναμικά προβλήματα συνόρθωσης (Kalman filtering)

6 Γενικό μοντέλο περιγραφής του προβλήματος Βασικές προυποθέσεις: y1 A1 v1 x y A v k k k o Διαχωρισμός παρατηρήσεων σε υπο-ομάδες που θεωρούνται ασυσχέτιστες μεταξύ τους. o Οι παρατηρήσεις σε κάθε υπο-ομάδα y i μπορεί να είναι συσχετισμένες μεταξύ τους.

7 Γενικό μοντέλο περιγραφής του προβλήματος y1 A1 v1 x y A v k k k Πίνακας βάρους των παρατηρήσεων: P P1 0 0 P k block-wise διαγώνιος πίνακας (οι υποπίνακες P i δεν είναι αναγκαστικά διαγώνιοι)

8 Γενικό μοντέλο περιγραφής του προβλήματος y1 A1 v1 x y A v k k k Ο διαχωρισμός των υπο-ομάδων μπορεί να σχετίζεται με: o τον τύπο των παρατηρήσεων o το χρόνο συλλογής των παρατηρήσεων o τη χωρική κατανομή των παρατηρήσεων o συνδυασμός των παραπάνω

9 Γενικό μοντέλο περιγραφής του προβλήματος ΣΗΜΕΙΩΣΗ: y1 A1 v1 x y A v k k k Ο διαχωρισμός του διανύσματος x σε υπο-ομάδες παραμέτρων απαιτείται σε κάποιες τεχνικές διαχωρισμένης συνόρθωσης που θα παρουσιαστούν στη συνέχεια (βλέπε, Helmert-Wolf blocking, Kalman filtering).

10 Συνόρθωση σε ένα στάδιο y1 A1 v1 x y A v k k k Γενική μορφή λύσης (batch algorithm): 1 T T T T k k k k k k xˆ A P A A P A A P y A P y T T 1 k k k C A P A A P A xˆ Ταυτόχρονη χρήση όλων των παρατηρήσεων!

11 Συνόρθωση μέσω συνδυαστικών τεχνικών

12 Συνόρθωση με συνδυασμό επιμέρους λύσεων y1 A1 v1 x y A v k k k συνολικό σύστημα εξισώσεων παρατηρήσεων y1 A1 x v 1 xˆ 1, Cx y A x v k k k xˆ, C ˆ1 k xˆ k λύσεις συνόρθωσης από διαφορετικές ομάδες παρατηρήσεων

13 Συνόρθωση με συνδυασμό επιμέρους λύσεων y1 A1 v1 x y A v k k k συνολικό σύστημα εξισώσεων παρατηρήσεων ˆ 1, Cx x xˆ, C ˆ1 k xˆ k (*) Γενικευμένος μέσος όρος των επιμέρους λύσεων xˆ xˆ xˆ 1 xˆ xˆ C C C xˆ C xˆ 1 k 1 k k 1 1 C C C x ˆ x ˆ 1 x ˆ k 1

14 Συνόρθωση με συνδυασμό επιμέρους κανονικών εξισώσεων y1 A1 v1 x y A v k k k συνολικό σύστημα εξισώσεων παρατηρήσεων y A x v y A x v k k k N xˆ u 1 1 N xˆ u k k επιμέρους κανονικές εξισώσεις από διαφορετικές ομάδες παρατηρήσεων

15 Συνόρθωση με συνδυασμό επιμέρους κανονικών εξισώσεων y1 A1 v1 x y A v k k k συνολικό σύστημα εξισώσεων παρατηρήσεων N xˆ u 1 1 N xˆ u k k (*) Άθροιση κανονικών εξισώσεων (NEQ stacking) 1 ˆ 1 1 k 1 k x Ν Ν u u Ν u N u

16 Συνόρθωση κατά στάδια μέσω αναδρομικών αλγορίθμων

17 Συνόρθωση κατά στάδια Διαδικασία βέλτιστης εκτίμησης παραμέτρων με τμηματική εισαγωγή των παρατηρήσεων μέσω αναδρομικών αλγορίθμων συνόρθωσης. Η τελική λύση είναι ισοδύναμη με τη λύση ενιαίας συνόρθωσης όλων των παρατηρήσεων σε ένα βήμα. Αποτελεί ένα εξαιρετικά χρήσιμο εργαλείο για: επεξεργασία μεγάλου όγκου δεδομένων ενημέρωση εκτιμήσεων με νέα δεδομένα εκτίμηση χρονικά-μεταβαλλόμενων παραμέτρων σε συνθήκες πραγματικού χρόνου

18 Συνόρθωση κατά στάδια Σχετική ξενόγλωσση ορολογία: o o o o o Sequential least-squares adjustment Recursive least-squares adjustment Phased least-squares adjustment Helmert-Wolf blocking (γεωδαιτική ορολογία) Kalman filtering

19 Συνόρθωση κατά στάδια Δεν είναι απαραίτητο να χρησιμοποιούμε ταυτόχρονα όλες τις διαθέσιμες παρατηρήσεις. Αυτό που απαιτείται είναι μία τρέχουσα εκτίμηση των παραμέτρων (με την ακρίβεια της) και οι νέες παρατηρήσεις που θα ληφθούν υπόψη. o απαραίτητη διαδικασία για την real-time εκτίμηση χρονικά-μεταβαλλόμενων παραμέτρων o επιθυμητή διαδικασία για την εκτίμηση παραμέτρων σε μεγάλα προβλήματα συνόρθωσης

20 Σταδιακή συνόρθωση: πως; y1 A1 v1 x y A v k k k Αναδρομικός αλγόριθμος λύσης (recursive algorithm): 1 T (1) T xˆ A P A A P y initialization x ˆ x ˆ K y A x ˆ ( k) ( k1) k k k ( k1) updating

21 Σταδιακή συνόρθωση: πως; y1 A1 v1 x y A v k k k Αναδρομικός αλγόριθμος λύσης (recursive algorithm): 1 T (1) T xˆ A P A A P y initialization x ˆ x ˆ K y A x ˆ ( k) ( k1) k k k ( k1) updating (*) οι σχέσεις αυτές είναι γνωστές ως μορφή Kalman

22 Προσοχή στο συμβολισμό ˆx (1) Εκτίμηση παραμέτρων από το 1 ο σετ παρατηρήσεων ˆx (2) xˆ ( k ) Εκτίμηση παραμέτρων από το 1 ο και 2 ο σετ παρατηρήσεων Εκτίμηση παραμέτρων από το 1 ο, 2 ο,, και k th σετ παρατηρήσεων

23 Αναδρομική διαδικασία Παρατηρήσεις y 1 Αποτελέσματα ˆx (1) y 2 y k ˆx (1) xˆ ( k 1) ˆx (2) xˆ ( k )

24 Σταδιακή συνόρθωση: πως; T y1 A1 v1 x y A v k k k Αναδρομικός αλγόριθμος λύσης (recursive algorithm): 1 T (1) xˆ A P A A P y initialization x ˆ x ˆ K y A x ˆ ( k) ( k1) k k k ( k1) updating Πίνακας κέρδους (gain matrix)

25 Σταδιακή συνόρθωση: πως; T y1 A1 v1 x y A v k k k Αναδρομικός αλγόριθμος λύσης (recursive algorithm): 1 T (1) xˆ A P A A P y initialization x ˆ x ˆ K y A x ˆ ( k) ( k1) k k k ( k1) updating Τι εκφράζει αυτή η ποσότητα;

26 Δύο ισοδύναμοι αναδρομικοί αλγόριθμοι εκτίμησης Initialization 1 T T xˆ (1) A1 P1 A1 A1 P1 y T 1 Cxˆ A1 P1 A1 Updating x ˆ x ˆ K y A x ˆ ( k) ( k1) k k k ( k1) Υπολογισμός πίνακα κέρδους και ακρίβειας εκτίμησης (1) 1 xˆ 1 xˆ ( k) ( k1) T k k k C C A P A T k k k K C A P xˆ ( k ) 1 T 1 T k xˆ k k k xˆ k K C A P A C A xˆ ( k1) ( k1) C I K A C ( k) ( k 1) k k xˆ 1

27 Σύνοψη αλγορίθμων Ταυτόχρονη συνόρθωση όλων των παρατηρήσεων T T T T k k k k k k xˆ A P A A P A A P y A P y Λύση συνδυασμού από επιμέρους κανονικές εξισώσεις Λύση συνδυασμού από επιμέρους λύσεις 1 Λύση αναδρομικής συνόρθωσης σε διαδοχικά στάδια 1 1 xˆ Ν1 Νk u1 uk xˆ xˆ xˆ 1 xˆ k x ˆ C C C x ˆ C x ˆ 1 k k 1 1 xˆ Ν Ν Ν xˆ Ν xˆ 1 T (1) T xˆ A P A A P y x ˆ x ˆ K y A x ˆ ( k) ( k1) k k k ( k1) k k k

28 Σύνοψη αλγορίθμων (συνεχ.) Ταυτόχρονη συνόρθωση όλων των παρατηρήσεων T T 1 k k k C A P A A P A xˆ Λύση συνδυασμού από επιμέρους κανονικές εξισώσεις 1 1 k C N N xˆ Λύση συνδυασμού από επιμέρους λύσεις 1 1 C C C x ˆ x ˆ 1 x ˆk 1 Λύση αναδρομικής συνόρθωσης σε διαδοχικά στάδια 1 C xˆ C ( k) ˆ A P A x( k1) T k k k 1

29 Δυναμικά προβλήματα συνόρθωσης (Kalman filtering)

30 Χαρακτηριστικά δυναμικών προβλημάτων συνόρθωσης Οι υπο-ομάδες των παρατηρήσεων {y 1, y 2,, y k } αντιστοιχούν σε διαφορετικές εποχές μετρήσεων. Οι παρατηρήσεις θεωρούνται ασυσχέτιστες ανάμεσα στις διαφορετικές εποχές. Οι τιμές των αγνώστων παραμέτρων δεν είναι σταθερές σε κάθε εποχή, π.χ. o κινηματικές εφαρμογές προσδιορισμού θέσης/ταχύτητας o ανάλυση και συνόρθωση διαχρονικών/δυναμικών δικτύων

31 Στατική vs. δυναμική περιγραφή των αγνώστων παραμέτρων στο διαχωρισμένο μοντέλο εξισώσεων παρατηρήσεων y1 A1 v1 x y A v k k k y1 A1 0 x( t1) v1 k k ( tk ) y 0 A x vk

32 Συνόρθωση με χρονικάμεταβαλλόμενες παραμέτρους y1 A1 0 x( t1) v1 k k ( tk ) y 0 A x vk Το μόνο εφικτό αποτέλεσμα μέσω του παραπάνω μοντέλου είναι η μεμονωμένη εκτίμηση παραμέτρων σε κάθε εποχή: 1 T t i i i i i i i T xˆ( ) A P A A P y

33 Συνόρθωση με χρονικάμεταβαλλόμενες παραμέτρους y1 A1 0 x( t1) v1 k k ( tk ) y 0 A x vk Μπορούμε να αξιοποιήσουμε μετρήσεις προηγούμενων εποχών για την βέλτιστη εκτίμηση των παραμέτρων σε τρέχουσα εποχή ; Ναι! Για τον σκοπό αυτό όμως χρειάζεται να έχουμε διαθέσιμο κάποιο (θεωρητικό) μοντέλο διαχρονικής σύνδεσης των παραμέτρων ανάμεσα σε διαφορετικές εποχές: x(t j ) = f( x(t i ) )

34 Συνόρθωση με χρονικάμεταβαλλόμενες παραμέτρους Μοντέλο εποχιακών παρατηρήσεων y1 A1 0 x( t1) v1 k k ( tk ) y 0 A x vk Μοντέλο δυναμικής αλλαγής παραμέτρων (για τη μεταβολή των τιμών τους από εποχή σε εποχή) x( t) Φ( t, t) x( t) Transition matrix

35 Παράδειγμα δυναμικού μοντέλου Kινούμενος δέκτης GPS με σταθερή ταχύτητα x( t) 1 0 ( t t) 0 x( t) y( t) ( t t) y( t) x( t) x( t) y( t) y( t) x( t) Φ( t, t) x() t

36 Παράδειγμα δυναμικού μοντέλου Κινούμενος δέκτης GPS με σταθερή επιτάχυνση ( tt) 0 ( tt) ( ) ( t t) 0 ( t t) x t ( ) 2 x t y( t ) y( t) ( t t) 0 x( t) x( t) y( t) y( t) ( t t) x( t) x( t) yt ( ) yt () x( t) x() t Φ( t, t)

37 Μοντέλο δυναμικής συνόρθωσης Συνδυάζοντας το μοντέλο εποχιακών μετρήσεων μαζί με το δυναμικό μοντέλο, παίρνουμε το παρακάτω σύστημα εξισώσεων παρατήρησης που μπορεί να αξιοποιηθεί για την βέλτιστη εκτίμηση των παραμέτρων σε οποιαδήποτε εποχή (t) με χρήση όλων των διαθέσιμων μετρήσεων. y1 A1 Φ( t1, t) v1 x( t) k k ( tk, t) y A Φ vk t t k prediction t tk filtering t tk smoothing

38 Η λύση συνόρθωσης καταλήγει στην παρακάτω αναδρομική διαδικασία εκτίμησης y, A, P k1 k1 k1 yk, Ak, Pk xˆ ( ) t k 1 xˆ ( ) t k 1 Φ( tk, tk 1) xˆ ( ) t k xˆ ( ) t k C xˆ ( ) t k 1 C xˆ ( ) t k 1 (prediction) C xˆ ( ) t k C xˆ ( ) t k tk 1 (filtering) t k (filtering)

39 Διαδικασία Kalman filtering Τime updating (prediction) k k k1 ˆ k1 xˆ ( t ) Φ( t, t ) x ( t ) xˆ T t ( ) k t t k1 t ˆ ( t ) k t x k1 C Φ(, ) C Φ (, ) k k1 Measurement updating (filtering) k k k k k k xˆ ( t ) xˆ ( t ) K y A xˆ ( t ) C 1 xˆ ( t ) ˆ k C x A P A ( tk) T k k k 1 T k k k K C A P xˆ ( tk )

40 Προσοχή στο συμβολισμό xˆ ( ) t k xˆ ( ) t k C C xˆ ( tk ) xˆ ( tk ) Εκτίμηση παραμέτρων και η ακρίβεια τους την εποχή t k χωρίς να ληφθούν υπόψη οι παρατηρήσεις της συγκεκριμένης εποχής προκύπτουν μέσω πρόγνωσης από την εκτίμηση προηγούμενης εποχής, με τη βοήθεια του δυναμικού μοντέλου του προβλήματος Εκτίμηση παραμέτρων και η ακρίβεια τους την εποχή t k λαμβάνοντας υπόψη τις παρατηρήσεις της συγκεκριμένης εποχής προκύπτουν μέσω φιλτραρίσματος τύπου Kalman

41 Συνόρθωση με χρονικάμεταβαλλόμενες παραμέτρους Μοντέλο εποχιακών παρατηρήσεων y1 A1 0 x( t1) v1 k k ( tk ) y 0 A x vk Μοντέλο δυναμικής αλλαγής παραμέτρων (για τη μεταβολή των τιμών τους από εποχή σε εποχή) x( t) Φ( t, t) x( t) w( t) Transition matrix System noise

42 Y (m) Διευρυμένο δυναμικό μοντέλο MODEL TRAJECTORY X (m) x( t) Φ( t, t) x( t) w( t)

43 Η λύση συνόρθωσης καταλήγει στην παρακάτω αναδρομική διαδικασία εκτίμησης y, A, P k1 k1 k1 yk, Ak, Pk xˆ ( ) t k 1 xˆ ( ) t k 1 Φ( tk, tk 1) xˆ ( ) t k xˆ ( ) t k C xˆ ( ) t k 1 C xˆ ( ) t k 1 C w (prediction) C xˆ ( ) t k C xˆ ( ) t k tk 1 (filtering) t k (filtering)

44 Διαδικασία Kalman filtering Τime updating (prediction) k k k1 ˆ k1 xˆ ( t ) Φ( t, t ) x ( t ) xˆ T t ( ) k t t k1 t ˆ ( t ) k t x k1 C Φ(, ) C Φ (, ) C w k k1 Measurement updating (filtering) k k k k k k xˆ ( t ) xˆ ( t ) K y A xˆ ( t ) C 1 xˆ ( t ) ˆ k C x A P A ( tk) T k k k 1 T k k k K C A P xˆ ( tk )

45 Y(m) Παράδειγμα εκτίμησης τροχιάς κινούμενου δέκτη predicted position estimated position true position X(m)

46 Για περισσότερες λεπτομέρειες, βλέπε επίσης Gelb A. (1974) Applied optimal estimation. The Analytic Sciences Coorporation, Reading, MA. Teunissen P.J.G. (2001) Dynamic data processing and recursive least squares. Series on Mathematical Geodesy and Positioning, VSSD, Delft, The Netherlands. Chui C.K., Chen G. (2009) Kalman filtering with real-time applications. 4 th edition, Springer, Berlin. Δερμάνης Α. (1987) Συνορθώσεις παρατηρήσεων & Θεωρία Εκτίμησης (τόμος ΙΙ). Εκδόσεις Ζήτη. βλέπε κεφάλαιο 8.5, σελ Σημειώσεις για το μάθημα Ειδικά Θέματα Συνορθώσεων και Εφαρμογές (8 ο εξάμηνο) Χ. Κωτσάκης, 2018

47 Παράρτημα (Helmert-Wolf blocking)

48 Helmert-Wolf blocking (σύντομη περιγραφή) Μέθοδος διαχωρισμένης συνόρθωσης δικτύων τα οποία αποτελούνται από επιμέρους blocks. Χρησιμοποιήθηκε ευρύτατα στο παρελθόν για την επίλυση μεγάλων γεωδαιτικών δικτύων (π.χ. ΕD50, NAD83), και συνεχίζει να εφαρμόζεται σήμερα στην επεξεργασία δορυφορικών γεωδαιτικών δικτύων. Αποτελεί ένα από τα πρώτα καλά παραδείγματα παράλληλης επεξεργασίας για τη βέλτιστη εκτίμηση παραμέτρων από αριθμητικά δεδομένα.

49 Helmert-Wolf blocking (σύντομη περιγραφή) Οι παρατηρήσεις χωρίζονται σε υπο-ομάδες ανάλογα με το block του δικτύου στο οποίο πραγματοποιήθηκαν οι αντίστοιχες μετρήσεις. Οι άγνωστες παράμετροι (συντεταγμένες σημείων) χωρίζονται επίσης σε υπο-ομάδες ως εξής: o Global για σημεία που συνδέονται μέσω μετρήσεων με διάφορα blocks (junction points). o Local για σημεία που συνδέονται μέσω μετρήσεων μέσα στο ίδιο block (local points).

50 Σχηματική αναπαράσταση του Ηelmert-Wolf blocking

51 Σχηματική αναπαράσταση του Ηelmert-Wolf blocking x 1 x 2 x 4 x 3

52 Σχηματική αναπαράσταση του Ηelmert-Wolf blocking x e

53 Μαθηματικό μοντέλο του Helmert-Wolf blocking πίνακας σχεδιασμού x1 y1 A1 0 B1 v1 x k yk 0 Ak Bk vk x e Διαχωρισμένες ομάδες παρατηρήσεων για κάθε block local parameters (x 1,, x k ) global parameters (x e )

54 Συνολικές κανονικές εξισώσεις T T T xˆ 1 A P A 0 A P B A P y B P A B P A B P B B P y T T T 0 Ak Pk Ak Ak Pk Bk k k k ˆ A P y xk k k T T T xˆ T k k k i i i e i i i i1 i1 Arrow-shaped () normal matrix (ή αλλιώς, bordered block-diagonal normal matrix) (*) Στην πράξη δεν δημιουργείται καθόλου το παραπάνω σύστημα!

55 Βασικά βήματα συνόρθωσης Δημιουργία συστήματος κανονικών εξισώσεων (ΚΕ) για κάθε χωριστό block του συνολικού δικτύου. Απαλοιφή των local παραμέτρων από όλα τα συστήματα ΚΕ που δημιουργήθηκαν στο 1 ο βήμα. Πρόσθεση των ανηγμένων ΚΕ που προέκυψαν στο 2 ο βήμα για όλα τα blocks του δικτύου. Εκτίμηση των global παραμέτρων από τη λύση των συνδυασμένων ΚΕ του προηγούμενου βήματος. Αντικατάσταση των global παραμέτρων στις επιμέρους ΚΕ του 1 ου βήματος και στη συνέχεια υπολογισμός των local παραμέτρων για κάθε block.

56 Βασικά βήματα συνόρθωσης 1. Κανονικές εξισώσεις για κάθε block του δικτύου: T T T A ˆ i Pi Ai Ai Pi B i xi Ai Pi y i T T ˆ e T Bi Pi Ai Bi Pi Bi x Bi Pi yi 2. Απαλοιφή local παραμέτρων για κάθε block του δικτύου: T T 1 T T T 1 T i i i i i i i i i e i i i i i i i i i ˆ B P I A A P A A P B x B P I A A P A A P y i buffer matrix N xˆ u i e i i Ni buffer vector 3. Εκτίμηση global παραμέτρων από όλα τα blocks: Άθροιση των ανηγμένων ΚΕ από όλα τα blocks ui

57 Βασικά βήματα συνόρθωσης 1. Κανονικές εξισώσεις για κάθε block του δικτύου: T T T A ˆ i Pi Ai Ai Pi B i xi Ai Pi y i T T ˆ e T Bi Pi Ai Bi Pi Bi x Bi Pi yi 2. Απαλοιφή local παραμέτρων για κάθε block του δικτύου: T T 1 T T T 1 T i i i i i i i i i e i i i i i i i i i ˆ B P I A A P A A P B x B P I A A P A A P y buffer matrix Ni buffer vector 4. Εκτίμηση local παραμέτρων σε κάθε block: ui T T Ai Pi Ai xˆi Ai Pi yi Bi xˆ e λαμβάνεται από το 3 ο βήμα