ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. z x y 2xyi. Re z x y. Θα δείξουμε ότι για τους μιγαδικούς αριθμούς z για τους οποίους ισχύει ότι. z z zz. zz zz z z 1 0 z z 1 (1)

Transcript

1 Αριθμός Εξέτασης 7 α.α) ος τρόπος: Έστω z i. Τότε ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ z i και Re z. Θα δείξουμε ότι για τους μιγαδικούς αριθμούς z για τους οποίους ισχύει ότι z z,ισχύει επίσης ότι. Είναι z z z z z z z z z z z z.... ος τρόπος: Είναι (σελ. 6, τόμος Β) z z z z zz z z z z z z z z zz zz z z z z () z z zz Αλλά για κάθε μιγαδικό αριθμό και τον συζυγή του ισχύει z z Re( z) οπότε για τον μιγαδικό αριθμό z ισχύει επίσης Re και λόγω της () z z Re z Re z z z z. β) (i) Είναι λ +5λ+ λ +λ+ α β (λ +5λ+, ) (λ +λ+, λ ) =λ λ +λ. = ή (ii) Για αυτή τη τιμή του λ είναι (,) και γ (, ). Έστω θ η γωνία μεταξύ των δύο διανυσμάτων και γ. Το εμβαδόν του παραλληλογράμμου με πλευρές τα α, γ είναι (σελ. 75, τόμος Α) i j k E si k (iii) Η προβολή του διανύσματος α στο διάνυσμα γ (σελ. 6, τόμος Α)είναι 5

2 . (α) Η εξίσωση log 5 log ορίζεται για εκείνα τα για τα οποία ισχύουν συγχρόνως 5 και. Οι ρίζες του τριωνύμου είναι και το τριώνυμο γίνεται θετικό εκτός των ριζών, άρα η εξίσωση ορίζεται για. Τότε, log 5 log log 5 log log log 5 log () και επειδή η λογαριθμική συνάρτηση είναι αμφιμονοσήμαντη (-), η () είναι ισοδύναμη με 5. Η λύση απορρίπτεται ενώ η λύση = είναι δεκτή. (β) Η συνάρτηση f () l l( ) l( 9) ορίζεται για εκείνα τα για τα οποία ισχύουν συγχρόνως, - και - 9 < - ή. A,. Άρα το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f είναι Για να βρούμε το πεδίο τιμών της f θα λύσουμε τον τύπο της ως προς. Είναι f () l l( ) l( ( ) l ( 9). () Από τον ορισμό του λογαρίθμου έχουμε l e () e e e e Η () γίνεται Επειδή, έπεται ότι e e αλλά και ότι, λόγω και της (), e e. (5) Τότε η () έπεται e e e και επειδή η λογαριθμική συνάρτηση είναι αύξουσα, έχουμε l e l l. (6) Επιπλέον, από την (5) και για τον ίδιο λόγο, έχουμε e e l e l (7) Από τις (6) και (7) έπεται ότι το πεδίο τιμών της f είναι B l,. - Η αντίστροφη συνάρτηση f ορίζεται από την (), και ο τύπος της προκύπτει με e εναλλαγή των συμβόλων για το πρότυπο και την εικόνα: f. e () ()

3 Το πεδίο ορισμού της είναι το πεδίο τιμών της f δηλαδή το τιμών της - f είναι το, A. B l, και το πεδίο. (α) Έστω,. Επειδή,, και η σειρά συγκλίνει γιατί είναι γεωμετρική με λόγο, από το κριτήριο σύγκρισης, (σελ. 6. τόμος Β), έπεται ότι και η σειρά συγκλίνει. (β) Έστω,. ος τρόπος: Είναι, Τότε, lim lim lim Άρα, σύμφωνα με το κριτήριο του λόγου (σελ. 7. τόμος Β), η σειρά συγκλίνει., ος τρόπος: Είναι και lim lim. Άρα, σύμφωνα με το κριτήριο της ρίζας, (σελ. 9. τόμος Β), η σειρά (γ) Έστω συγκλίνει.,. Κάνουμε ανάλυση σε απλά κλάσματα στον πρώτο παράγοντα της ακολουθίας. A B Είναι A B A B A A B και.

4 Τότε Έστω,. Τότε,, και η σειρά είναι τηλεσκοπική. Τότε, (σελ.. τόμος Β), Άρα η lim lim συγκλίνει, και το άθροισμά της είναι ίσο με.. Η συνάρτηση f είναι περιττή, αφού το πεδίο ορισμού της είναι, συμμετρικό ως προς την αρχή των αξόνων, και, ισχύει f ( ) f ( ),, όπως φαίνεται από τον τύπο της. Ειδικά, για, είναι f ( ) f ( ), ενώ για ισχύει f ( ) f ( ) και επιπλέον, f (), άρα πράγματι η f είναι περιττή συνάρτηση. Τότε, η σειρά Fourier της f δίνεται, (σελ. 9, τόμος Β) f ( ) cos si όπου f ( ) d, f ( )cos d,, και f ( )si d,. Λόγω περιττότητας της f, οι συντελεστές,,,,... και () si d ( ) si d cos cos cos cos cos Άρα f ( ) si 5. Υπολογίζουμε την F(t). Θέτουμε u() +, οπότε du du d d και t το τα όρια ολοκλήρωσης γίνονται: Για το u( ) και για u(t ) +t Τότε,

5 t +t +t. () - F(t) d du l u l +t l + u α) ος τρόπος: Κατασκευαστικά: Είναι+t και η λογαριθμική συνάρτηση είναι αύξουσα, οπότε, l +t l l +t l +t l l F(t) l. ος τρόπος: t Από την () έχουμε F (t). Είναι προφανές ότι η F (), ενώ F (t) για +t t και F (t) για t, οπότε στο t η F παρουσιάζει ελάχιστο, δηλαδή F(t) F() l, t. β) Είναι +t +t lim F(t) lim l +t l lim l lim l t t t t +t +t Θέτουμε u t. Είναι lim u t lim. t t +t Τότε, lim F(t) lim l lim l u t. t t u Αφού lim F(t) και lim t, από το θεώρημα L Hospital έχουμε t t F(t) F (t) t lim lim lim t t t t t t lim t lim t οπότε από εφαρμογή ξανά του θεωρήματος του Αλλά t t F(t) t L Hospital έχουμε lim lim lim. t t t t t t F () F () γ) Ζητάμε το πολυώνυμο P (t) F() t t.!! Είναι F() l + l t Ακόμα, F (t), οπότε F () και +t + 6t 6 +t t t t 6t F (t) και F () +t +t + Τότε, P (t) t t t.! 5

6 6. α) Έχουμε t t t t L F(t) () e F(t) dt e e dt e dt s Αν η () δίνει s t lim e dt () s t s LF(t) () lim e lim e s t s s Αν τότε lim e και s γενικευμένο ολοκλήρωμα () αποκλίνει. s Αν τότε lim e και η () δίνει s t s Le () lim e s Τέλος, αν, το γενικευμένο ολοκλήρωμα () αποκλίνει, γιατί L F(t) ( ) s t lim e dt lim (s s s ) t Συνεπώς L e (), t β) Είναι () από τη () φαίνεται ότι το L () L e () και από τα αποτελέσματα του (α) ερωτήματος, για α= παίρνουμε ότι L () L e (),. t 6