Α Λυκείου. Γεωμετρία. Γεωμετρία Μίλτος Παπαγρηγοράκης Χανιά

Transcript

1 Λυκείου εωμετρία ίλτος Παπαγρηγοράκης Χανιά εωμετρία

2 Ταξη: ενικού Λυκείου εωμετρία Έκδοση Η συλλογή αυτή διανέμεται δωρεάν σε ψηφιακή μορφή μέσω διαδικτύου προορίζεται για σχολική χρήση και είναι ελεύθερη για αξιοποίηση αρκεί να μην αλλάξει η μορφή της ίλτος Παπαγρηγοράκης αθηματικός M.Ed. Χανιά 016 Ιστοσελίδα: mail : papagrigorakism@gmail.com

3 Λυκείου - εωμετρία 3 1 ΙΣΩΗ ΣΙΚΣ ΝΟΙΣ 1.01 ν είναι το μέσο τμήματος και Ο Σε μια ευθεία παίρνουμε διαδοχικά τα σημεία σημείο της ημιευθείας, να αποδείξετε ότι αν: K,,M και ώστε 4M 3M. Να δειχθεί ότι: ) Το Ο δεν ανήκει στο τότε Ο Ο Ο ) Το Ο ανήκει στο τότε Ο Ο Ο 1.0 Σε μια ευθεία ε παίρνουμε τα διαδοχικά δ ευθύγραμμα τμήματα,,. ν, Ν είναι τα μέσα των και αντίστοιχα, να δείξετε ότι Ν 1.03 Σε μια ευθεία ε παίρνουμε τα διαδοχικά δ τμήματα,,. ν, Ν είναι τα μέσα των τμημάτων και αντίστοιχα, να δείξετε ότι: Ν 1.04 Σε μια ευθεία ε παίρνουμε τα διαδοχικά τμήματα,. ν,, είναι τα μέσα των,, αντίστοιχα, να δειχθεί ότι τα, έχουν κοινό μέσο Στο παρακάτω σχήμα τα σημεία είναι =3M. Να δείξετε ότι: 3Ο=Ο+ +Ο O 7KM 3K 4K πό σημείο Ο ευθείας φέρνουμε προς το ίδιο μέρος της ημιευθείες Ο, Ο τέτοιες, ώστε οι γωνίες ˆΟ, ˆΟ, ˆΟ να είναι εφεξής. ν Ο, Ο είναι οι διχοτόμοι των ˆΟ, ˆΟ αντίστοιχα και ( ΟˆΟ )=1000, να υπολογιστεί η γωνία ˆΟ ίνεται κυρτή γωνίαα ˆΟ και εσωτερική ημιευθεία της Ο Ο τέτοια, ώστε η διαφορά γωνιών ˆΟ και ˆΟ να είναι 900. νν Ο, Ο είναι οι διχοτόμοιι των γωνιών ˆΟ, ˆΟ αντίστοιχα, να δειχτεί δ ότι ( ΟˆΟ )=45ο Θεωρούμε αμβλεία γωνία x ˆΟ y και τις ημιευθείες Ο, Ο με ΟΟx και ΟΟy που περιέχονται στηη x ˆΟ y. Να δειχτεί ότι οι γωνίες x ˆΟ y και ˆΟ έχουν την ίδια διχοτόμο και είναι παραπληρωματικές ίνονται οι διαδοχικές γωνίες ΟˆΟ, ˆΟ, ΟˆΟ με άθροισμα μέτρων μικρότερο των 180ο. ν 1.06 Σε μια ευθεία παίρνουμε διαδοχικά τα σημείαα K,,M και ώστε 3MM 4M Να δειχθεί δ ότι: 7KM 3K 4K 1.07 Οι ημιευθείες Ο, Ο, Ο, Ο σχηματίζουνν τις διαδοχικές γωνίες ˆΟ, ˆΟ, ˆΟ, ˆΟ που έχουν μέτρα ανάλογα με τους αριθμούς 1,, 3, 4.. Να υπολογίσετε τις γωνίες αυτές και να δείξετε ότι οι ι ημιευθείες Ο και Ο είναι αντικείμενες. Οx,Oy είναι οι διχοτόμοι τωνν γωνιών ˆΟ, ˆΟ ˆ αντίστοιχα, να δείξετε δ ότι: x ˆ Ο Ο ˆ xoy Να βρείτε το μέτρο μιας γωνίας φ αν γνωρίζουμε ότι το άθροισμα των μέτρων της τ συμπληρωματικής και της παραπληρωματικής γωνίας της φ είναι ίσοο με το εφταπλάσιο του μέτρου της γωνίας φ

4 4 ΤΡΙΩΝ ΤΡΙΩΝ.01 ύο ισοσκελή τρίγωνα και με κορυφή το έχουν τις γωνίες και ίσες. Να δειχτεί ότι = ή =..0 Έστω τρίγωνο και η ημιευθεία x διχοτόμος της γωνίας. Στην x παίρνουμε σημεία Κ και Λ ώστε να είναι Κ= και Λ= αντίστοιχα. Να αποδειχτεί ότι οι γωνίες Κ και Λ είναι ίσες και ότι Κ=Λ.03 Έστω ένα ισόπλευρο τρίγωνο. Στις προεκτάσεις των πλευρών του,, προς τα,, αντίστοιχα παίρνουμε σημεία,, ώστε ==. είξτε ότι το είναι ισόπλευρο.04 ίνεται η οξεία γωνία ΧΟΨ. Κατασκευάζουμε τις ορθές γωνίες ΧΟ και ΨΟΤ ώστε η κάθε μία από αυτές να περιέχει την γωνία ΧΟΨ. πί των ΟΧ και Ο παίρνουμε δυο ίσα τμήματα Ο και ΟΝ και επί των ΟΨ και ΟΤ παίρνουμε δυο ίσα τμήματα ΟΡ και ΟΣ. Να αποδειχτεί ότι οι γωνίες ΟΡΝ και ΟΣ είναι ίσες..05 ίνεται τρίγωνο και δύο ίσες γωνίες Χ και Ψ που κάθε μία τους είναι εφεξής με την γωνία. Στις ημιευθείες Χ και Ψ παίρνουμε τα σημεία και ώστε να είναι = και = αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι =..06 Στις πλευρές,, ενός ισοπλεύρου τριγώνου παίρνουμε αντίστοιχα τα σημεία,, ώστε να είναι ==. Να δείξετε ότι το τρίγωνο είναι ισόπλευρο..07 ύο ίσα ευθ. τμήματα και τέμνονται στο Κ ώστε να είναι Κ Κ και Κ Κ. ν είναι = να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα Κ και Κ είναι ίσα..08 Στις πλευρές ΟΧ, ΟΨ γωνίας ΧΟΨ παίρνουμε τα σημεία, και, αντίστοιχα ώστε να είναι Ο Ο και Ο =Ο. ν είναι σημείο της διχοτόμου της τότε οι γωνίες και είναι ίσες..09 Έστω ένα ισοσκελές τρίγωνο στο οποίο η βάση είναι μικρότερη από την πλευρά. Στην προέκταση της πλευρά προς το παίρνουμε τμήμα =- και στην προέκταση της πλευράς προς το παίρνουμε τμήμα =. Να αποδείξετε ότι ) Το τρίγωνο είναι ισοσκελές. ) η γωνία ισούται με το ημιάθροισμα των γωνιών και..10 ίνονται δυο ίσες οξείες γωνίες και οι οποίες έχουν κοινή την κορυφή και κοινή την γωνία. πί των και παίρνουμε ίσα ευθ. τμήματα =Ν και επί των και παίρνομε δυο ίσα ευθ. τμήματα Ρ=Σ Να αποδειχτεί ότι Ρ=ΝΣ..11 Να αποδειχτεί ότι δύο οξυγώνια τρίγωνα και που έχουν β=β, γ=γ και μβ=μβ είναι ίσα..1 Στις ίσες πλευρές και ενός ισοσκελούς τριγώνου παίρνουμε αντίστοιχα δύο σημεία και ώστε να είναι =. Τα ευθ. τμήματα και τέμνονται στο. Να δείξετε.ότι ) Τα τρίγωνα και είναι ισοσκελή ) Η ημιευθεία είναι διχοτόμος της γωνίας..13 ίνεται μια γωνία ΧΟΨ. Στην πλευρά ΟΧ παίρνουμε τα τμήματα Ο, Ο και στην πλευρά ΟΨ παίρνουμε τμήματα Ο =Ο και Ο =Ο. Οι ευθείες και τέμνονται στο. Να αποδειχτεί ότι η Ο είναι διχοτόμος της γωνίας ΧΟΨ.

5 Λυκείου - εωμετρία 5.14 Έστω ισοσκελές τρίγωνο,, και oι διχοτόμοι των γωνιών και που τέμνονται στο. ν και είναι τα μέσα των και αντίστοιχα, δείξτε ότι = =..15 Έστω ένα τρίγωνο με >. Στην προέκταση της πλευράς προς το παίρνουμε σημείο ώστε = και στην προέκταση της πλευράς προς το σημείο ώστε =. Οι ευθείες και τέμνονται στο. Να δειχτεί ότι: ) Το τρίγωνο είναι ισοσκελές. ) Η διχοτόμος της γωνίας διέρχεται από το.16 Έστω το μέσο ενός ευθ. τμήματος. Στο ίδιο ημιεπίπεδο ως προς την ευθεία που είναι φορέας του παίρνουμε τα σημεία Κ και Λ ώστε να είναι Κ=Λ και Κ=Λ. Να αποδειχτεί ότι οι γωνίες Κ και Λ είναι ίσες..17 Έστω μία κυρτή γωνία ΧΟΨ. Στην πλευρά της ΟΧ παίρνουμε δύο σημεία και και στην πλευρά της ΟΨ δύο σημεία και ώστε να είναι Ο=Ο καιι Ο=Ο. ν είναι το σημείο τομής των και να αποδειχτεί ότι τα τρίγωνα και είναι ίσα και ότι οι γωνίες Ο και Ο είναι ε ίσες..18 Στις προεκτάσεις των πλευρών, τριγώνου προς το μέρος του παίρνουμε τμήματα = και = αντιστοίχως. Να δειχτεί ότι ο φορέας της διάμεσους του τριγώνου διέρχεται από το μέσον του.19 Θεωρούμε δύο ίσα τρίγωνα και. Η διάμεσος και η διχοτόμος του τριγ τέμνονται στο Θ, ενώ η αντίστοιχη διάμεσος και η αντίστοιχη διχοτόμος του τριγ τέμνονται στο Θ. Να αποδείξετε ότι Θ=Θ και Θ=Θ..0 Να αποδεχτεί ότι δύο οξυγώνια τρίγωνα και που έχουν β=β, δα=δα και τις γωνίες τους και ίσες, είναι ίσα...1 Θεωρούμε ισοσκελές τρίγωνο και στις ίσες πλευρές και ταα σημεία και αντίστοιχαα έτσι ώστε =. ν Ο είναι τυχαίο εσωτερικό σημείο της διχοτόμου (όχι συνευθειακό με τα και ) και οι ευθείες Ο και Ο τέμνουν την ευθεία στα και Η αντίστοιχα, Να αποδείξετε ότι =Η [ή Η=]... Έστω ένα τετράπλευρο με = και τις γωνίες και ίσες. Να αποδειχτεί ότι θα είναι ίσες και οι γωνίες και...3 Στις πλευρές ΟΧ και ΟΨ μιας γωνίας ΧΟΨ παίρνουμε δυο ίσα ευθ. τμήματα Ο=Ο.. Στο εσωτερικό της γωνίας γ ΧΟΨ φέρνουμε τις ημιευθείες Ο και ΟΤ έτσι ώστε να σχηματίζονται δύο ίσες γωνίες ΧΟ και ΨΟΤ που η κάθε μια από αυτές να ν είναι μικρότερη από το ήμισυ της γωνίας ΧΟΨ.. Στις Ο και ΟΤ παίρνουμε δυο δ ίσα ευθ. τμήματα Ο= =ΟΝ. ΟΙ Ν και τέμνονται στο Ρ. Ναα αποδειχτεί ότι ) τα τρίγωνα Ρ και ΡΝ είναι ίσα και ) ΧΟΨ Το P βρίσκεται στηη διχοτόμο της γωνίας..4 Σε τρίγωνο φέρνουμε τις Χ,Ψ κάθετες στις, αντίστοιχα ώστε οι γωνίες Ψ, Χ να περιέχουν την γωνίαα. Στις Χ, Ψ παίρνουμε σημεία, ώστε =, = αντίστοιχα. ν Θ, είναι τα μέσα των,, να δειχτεί ότι = = και =Θ..5 Σε ισοσκελές τρίγων νο, προεκτείνουμε την κατά τμήματα = =. ν, Ν είναι τα μέσα των,, ν αποδειχτεί ότι Ν=...6 Στις πλευρές,, ισοπλεύρου τριγώνου παίρνουμε ταα τμήματα == αντίστοιχα. ν Κ, Λ, είναι τα σημεία τομής των,, ανά δύοο ν αποδειχτεί ότι το τρίγωνο ΚΛ είναι ισόπλευροο

6 6 ΤΡΙΩΝ ΙΣΟΤΗΤ ΟΡΘΟΩΝΙΩΝ ΤΡΙΩΝΩΝ.7 Στο παρακάτω σχήμα ισχύει ===. Να αποδειχθούν: ) =. ) Τα σημεία και ισαπέχουν από τις ευθείες και αντίστοιχα. ) ν οι κάθετες από τα και προς τις και αντίστοιχα τέμνονται στο να αποδείξετε ότι η διχοτομεί τη γωνία.8 Έστω ισοσκελές τρίγωνο με, το μέσο της βάσης. πό το φέρνουμε τη και. Να αποδείξετε ότι:....9 ίνεται ισοσκελές τρίγωνο,. ν τυχαίο σημείο της διχοτόμου της γωνίας και, τα σημεία τομής των και με τις πλευρές και αντίστοιχα, να δείξετε ότι ) = ) = και = ) η διέρχεται από το μέσο του τμήματος.30 Στις ίσες πλευρές, ισοσκελούς τριγώνου θεωρούμε τα σημεία, ώστε να είναι =. Να δειχτεί ότι τα, ισαπέχουν από τη και από τα άκρα της..31 Να αποδειχτεί ότι στις ίσες πλευρές δύο ίσων τριγώνων αντιστοιχούν ίσα ύψη..3 Ν αποδειχτεί ότι δύο οξυγώνια τρίγωνα και είναι ίσα όταν έχουν α α, υβ υβ, υγ υγ.33 Ν αποδειχτεί ότι δύο οξυγώνια τρίγωνα και είναι ίσα όταν έχουν α α, υα υα, μα μα.34 Στην ημιευθεία της διχοτόμου τριγώνου Παίρνουμε τα σημεία και, έτσι ώστε = και =. Να αποδείξετε ότι =..35 ίνεται ευθύγραμμο τμήμα και από το μέσο του φέρνουμε τυχαία ευθεία (ε). ν Κ (ε) και Λ (ε) να αποδείξετε ότι Λ=Κ

7 Λυκείου - εωμετρία 7.36 ίνεται ισοςκελέςς τρίγωνο και τα εσωτερικά σημεία του, Ν της τ τέτοια ώστε =Ν. ν Κ, Λ οι προβολές των, στις, Ν αντίστοιχα να δείξετε ότι το ΚΛΛ είναι ισοσκελές.37 Έστω τρίγωνο με. Στην ημιευθεία θεωρούμε το σημείο τέτοιο ώστεε = και στην ημιευθεία το σημείο τέτοιο ώστε =. ποδείξτε ότι: : ) Τα Τρίγωνα και είναι ίσα ) Το Τρίγωνο είναι ισοσκελές. ) ˆ ˆ ˆ.38 ίνεται ορθογώνιο τρίγωνο, ˆ 90 Ο και η διχοτόμος του. πό το φέρουμε κάθετη στη, που τέμνει την στοο. Να αποδείξετε ότι το Τρίγωνο Τ είναι ιςοσκελές Έστω κύκλος κέντρου και δύο ίσες χορδέςς του και. Στις και παίρνουμε σημεία και Η ώστε =Η αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι: ) = =Η ) οι γωνίες και Η είναι ίσες ) Η απόσταση του σημείου από την είναι ίση με την απόσταση του σημείου από την Η.40 Στο σχήμα οι και είναι διάμετροι τουυ κύκλου και Ο το κέντρο του. Να αποδείξετε ότι: ) Τα σημεία και ισαπέχουν από την ) Οι χορδές και έχουν ίσα αποστήματαα.41 Στο σχήμα η ΚΧ είναι διχοτόμος της γωνίας Κ και η Ν είναι κάθετη στην KΧ. Το K είναι το κέντρο του κύκλου. Να αποδείξετε ότι: ) Π= =Ρ ) Π= =ΡΝ ) = =Ν

8 8 ΤΡΙΩΝ.4 ίνεται ισόπλευρο τρίγωνο. Στην προέκταση της προς το παίρνουμε τμήμα = =. Έστω τυχαίο σημείοο της πλευράς και σημείο της προέκτασης της προς το ώστε =. Να αποδειχτεί ότι =. ν η προέκταση του τέμνει την στο Η, να δειχτεί ότι το τρίγωνο Η είναι ισοσκελές. ν ˆ 0 να υπολογιστεί η γωνία ˆ. Στο διπλανό σχήμα δίνονται τα ισόπλευρα τρίγωνα και όπου τα σημεία, και είναι συνευθειακάά. ν το τμήμαα τέμνει την πλευρά στο σημείο και το τμήμα τ τέμνει την πλευρά στο σημείο Η. Να αποδείξετε ότι η γωνία Η Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα και είναι ίσα. Να γράψετε τα συμπεράσματα που προκύπτουνν από την ισότητα των τριγώνων και. Να αποδείξετε ότι. O.43 Έστω ένα ισοσκελές τρίγωνο Ο (Ο = Ο) και ένα σημείο της πλευράς Ο. Προεκτείνουμε την πλευρά Ο κατά τμήμα =. Το τμήμα τέμνει την στο. Προεκτείνουμε και την κατά τμήμα =. Να αποδείξετε ότι: ) = και ˆ ˆ ) Το τρίγωνο είναι ισοσκελές ) =..44 ίνεται οξυγώνιο τρίγωνο όπου. Φέρνουμε το ύψος. Προεκτείνουμε την προς το τ και στηνν προέκταση παίρνουμε τμήμα. Προεκτείνουμε το τμήμαα που τέμνει την πλευρά στο. Να αποδείξετε ότι: ) ) Το είναι μέσο της. E

9 Λυκείου - εωμετρία 9 ΝΙΣΟΤΙΚΣ ΣΧΣΙΣΣ.45 Σε τρίγωνο φέρνουμε τη διχοτόμο. Να αποδείξετε ότι: 1 ) ) > > ) ν επιπλέον είναι τότε.46 ίνεται τρίγωνο και τυχαίο σημείο της πλευράς. ν καιι είναι οι προβολές του στις πλευρές και αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι: ) < και < ) < ) +<+.47 Στο παρακάτω σχήμα να αποδείξετε ότι ˆ ˆ.48 ίδεται τρίγωνο με και η διάμεσος του. Να αποδείξετε ότι ) Mˆ M ˆ ) β γ β γ μα.49 Σε ορθογώνειο τρίγωνο αποδειχθεί ότι <. ˆ Η διχοτόμος της γωνίας ˆ τέμνει την πλευρά στο. Να 0 ( 90 ).50 Στις κάθετες πλευρές, αποδείξετε ότι: ) < ορθογώνιου τριγώνου θεωρούμε τα τ σημεία, αντίστοιχα.να ) < <..51 ίδεται τμήμα,σημείο Ρ της μεσοκαθέτου του και μία ευθεία ε που διέρχεται από το. ) Να συγκρίνετε τις αποστάσεις του τ Ρ από τηνν ευθεία ε και το σημείο. ) Ποια πρέπει να είναι η θέση τηςς ευθείας ε, ώστε οι αποστάσεις αυτές ναα είναι ίσες;.5 ίνεται τρίγωνο με.θεωρούμε τα σημεία, στις, αντίστοιχα έτσι ώστε: =. Να δείξετε ότι: ) < ) < <..53 Έστω, σημείο της διχοτόμου μιας γωνίας xoy. Φέρνουμε κάθετηη στην Οx, η οποία τέμνει την τ Οy στο. Να αποδείξετε ότι <.54 Στο παρακάτω σχήμα τα τρίγωνα και είναι ισοσκελή. Να δείξετε ότι τα τρίγωνα και είναι ίσα.. ν είναι το μέσο της και Ν το μέσο της, να δείξετε ότι: = Ν.. ν τα τμήματα και Ν τέμνονται στο σημείο Κ, να δείξετε ότι το τρίγωνο Κ είναι ισοσκελές

10 10 ΤΡΙΩΝ ΩΤΡΙΚΟΙ ΤΟΠΟΙ.55 Nα προσδιορίσετε γεωμετρικά το σημείο που έχει την ιδιότητα που περιγράφεται σε κάθε μια από τις περιπτπωσεις: ) Ισαπέχει από τα σημεία και και βρίσκεται στην ευθεία ε ε ) Ισαπέχει από τα σημεία και και K βρίσκεται στον κύκλο κέντρου Κ y e ) Ισαπέχει από τις τεμνόμενες ευθείες Οx και Oy και O βρίσκεται στην ευθεία ε x y ) Ισαπέχει από τις τεμνόμενες ευθείες Οx και Oy και O βρίσκεται στον κύκλο x ) Ισαπέχει από τις κορυφές και και ανήκει στην y C O K ΣΤ) x Ισαπέχει από τις τεμνόμενες ευθείες Οx και Oy και απέχει από το K 1cm y O ) K Ισαπέχει από το σημείο Κ της Οx και την ευθεία Οy x και ανήκει στην ευθεία Οx

11 Λυκείου - εωμετρία 11 ΤΡΙΩΝ - ΚΥΚΛΟΣ.56 ίνονται δύο κύκλοι Κ και Λ που εφάπτονται εξωτερικά στο και η κοινή εξωτερική εφαπτομένηη. Η κοινή εφαπτομένη στο τέμνειι την στο. ποδείξτε ότι: ) = ) ωνία ΚΛ=90ο ) Ο κύκλος διαμέτρου εφάπτεται στην ΚΛΛ.57 Σε κύκλο (Ο,ρ) θεωρούμε χορδή δύο σημεία και αυτής τέτοια ώστε =. Να αποδειχθούν: ) Ο=Ο ) Ο= =Ο ) Τα σημεία, ισαπέχουν από τις τ Ο,Ο αντίστοιχα.58 Σε τρίγωνο φέρνουμε τη διχοτόμο Κ. ν η Η Κ τέμνει την στο Θ να δείξετε ότι Κ ˆ ΚΘ ˆ.59 Να αποδείξετε ότι αν το μέσο μιας πλευράς τριγώνου ισαπέχει από τις άλλες πλευρές του, τότε τοο τρίγωνο είναι ισοσκελές..60 Σε κύκλο Ο,R θεωρούμε τρεις χορδές και τα σημεία τους Κ,Λ, έτσι ώστε Κ Λ. είξτε ότι τα Κ,Λ, ανήκουν σε κύκλο με κέντρο το Ο..61 ίνονται δύο ομόκεντροι κύκλοι με κέντρο Ο και ακτίνες R και r με R>r αντίστοιχα. ια ευθεία τέμνει και τους δύο κύκλους στα σημεία, τον ένα και στα, τον άλλο. Να αποδείξετε ότι =..6 ίνονται δύο ομόκεντροι κύκλοι με κέντρο Ο και ακτίνες R και κ r με R>r αντίστοιχα. Φέρουμε δύο χορδές του μεγαλύτερου κύκλου, οι οποίες εφάπτονται στον μικρότερο. Να αποδείξετε ότι οι χορδές είναι ίσες..63 Θεωρούμε τους ίσους κύκλους (Ο,ρ) και (Ο,ρ) και ευθεία ε που διέρχεται από το μέσο του ΟΟ και τέμνει τους κύκλους (Ο,ρ) και (Ο,ρ) στα σημεία, και, αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι =..64 ν δύοο ίσες χορδές, τέμνονται εκτός κύκλου στο Κ, να αποδείξετεε ότι Κ=Κ και Κ=Κ..65 ν δύοο χορδές και ενός κύκλου (Ο,ρ) τέμνονται σε ένα εσωτερικό σημείο και είναι Ο ˆ Ο ˆ, να ν αποδείξετε ότι =..66 ίνεται κύκλος (Ο,ρ) και σημεία, εσωτερικά του έτσι ώστε Ο=Ο. Οι Ο, Ο τέμνουν τον κύκλο στα Λ, Κ αντίστοιχα. ν Ν μέσο του τόξου ΚΛ και κ μέσο του Ο να αποδείξετε ότι ΟΝ..67 Σε ισοσκελές τρίγωνο (= =) προεκτείνουμε τη βάση προς το μέροςς του παίρνοντας τμήμα = και προς το μέρος του παίρνοντας τμήμα =. Στη συνέχεια φέρνουμε τις διχοτόμους ΚΚ (Κ σημείο της ) και Λ (Λ σημείο της ) των εξωτερικών γωνιών καιι αντίστοιχα του τριγώνου, οι οποίες τέμνονται στο σημείο. ) Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο είναι ισοσκελές ) Να αποδείξετε ότι οι κύκλοι (,) και (,) τέμνονται

12 1 ΠΡΛΛΗΛΣ ΥΘΙΣ 3 ΠΡΛΛΗΛΣ ΥΘΙΣ 3.01 Στα σημεία και ευθείας ε φέρνουμε τις x, y παράλληλες μεταξύ τους και προς το ίδιο ημιεπίπεδο ως προς την ε. ν τυχαίο σημείο «μεταξύ «των x, y να αποδειχτεί ότι η γωνία ισούται με το άθροισμα των γωνιών x και y. 3.0 πό τα άκρα ευθ. Τμήματος φέρνουμε προς το ίδιο ημιεπίπεδο τις παράλληλες x και y. Στο παίρνουμε σημείο, στην χ τμήμα = και στην Ψ τμήμα =. Ν αποδειχτεί ότι η γωνία είναι ορθή Σε τρίγωνο φέρουμε τις διαμέσους και Ν. Προεκτείνουμε τη κατά τμήμα, ώστε = και τη Ν κατά τμήμα Ν ώστε Ν=Ν. Να αποδείξετε ότι : ) // ) // ) Τα σημεία, και είναι συνευθειακά Nα αποδείξετε ότι αν η διχοτόμος εξωτερικής γωνίας τριγώνου είναι παράλληλη προς την τρίτη πλευρά του τότε το τρίγωνο είναι ισοσκελές και αντίστροφα πό την κορυφή τριγώνου φέρνουμε την ευθεία ε παράλληλη στην που τέμνει τις διχοτόμους των γωνιών, στα σημεία και. Ν αποδειχτεί ότι = Έστω τρίγωνο και η διχοτόμος του. πό σημείο της ευθείας, διαφορετικό από το φέρνουμε την παράλληλη προς την η οποία τέμνει την ευθεία στο και την στο Η. Ν αποδειχτεί ότι το τρίγωνο Η είναι ισοσκελές Στο ισοσκελές τρίγωνο φέρνουμε τις διάμεσους και και μια ευθεία ε παράλληλη στη βάση. Να δειχτεί ότι τα τμήματα της ευθείας ε που βρίσκονται μεταξύ των ίσων πλευρών και των αντίστοιχων διαμέσων είναι ίσα Έστω Ο το σημείο τομής των διχοτόμων των γωνιών και ενός τριγώνου. πό το Ο φέρνουμε παράλληλη προς την πλευρά η οποία τέμνει τις και στα και αντίστοιχα. να δειχτεί ότι = ίνεται ισοσκελές τρίγωνο,, η διάμεσος και ένα σημείο Η της διαμέσου. Στο Η φέρνουμε κάθετη προς την που τέμνει την στο και την στο. Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο είναι ισοσκελές Σε τρίγωνο με φέρνουμε την εσωτερική διχοτόμο δ και τη διχοτόμο ε της εξωτερικής γωνίας. πό το φέρνουμε ευθείες 4 παράλληλες προς τις δ και ε αντίστοιχα οι οποίες τέμνουν την ευθεία στα σημεία και. Να δείξετε ότι: 3 ε 1 ) τα τρίγωνα και είναι ισοσκελή ) == ) ε, δ και ε δ δ

13 Λυκείου - εωμετρία 13 ΘΡΟΙΣ ΩΝΙΩΝΝ ΤΡΙΩΝΟΥ 3.11 Στο διπλανό σχήμα να υπολογιστούν οι γωνίες, και του τριγώνουυ. o 70 o Στο διπλανό σχήμα να υπολογίσετε τις γωνίες x και y o 45 x y Να υπολογιστούν οι γωνίες ενός ορθογωνίου τριγώνου του οποίου μια γωνία είναιι ίση με τα /33 μιας άλλης γωνίας του Να υπολογιστούν τα μέτρα τωνν γωνιών ενός τριγώνου αν οι εξωτερικέςς του γωνίες είναι ανάλογεςς προς τους αριθμούς, 3 και Να δείξετε ότι ένα κυρτό ν-γωνο δεν μπορεί να έχει περισότερες από 3 εσωτερικές οξείες γωνίες ) Πόσες πλευρές έχει ένα κυρτό πολύγωνο του οποίου το άθροισμα των γωνιών είναι 1080 ο ; ) Υπάρχει κυρτό πολύγωνο που έχει έ άθροισμαα των γωνιών 13 ορθές; 3.17 Η γωνία ενός ισοσκελούς τριγώνου είναι 78. Στις προεκτάσεις της βάσης του παίρνουμεε τμήματα = και = αντίστοιχα. Να υπολογιστούν οιι γωνίες των τριγώνων και Έστω τρίγωνο. Να αποδείξετε ότι η γωνία που σχηματίζεται ) από τις διχοτόμους των γωνιών και είναι ίση με 90 ) από τις διχοτόμους των εξωτερικών γωνιών και ισούται με 90 ) απο τις διχοτόμους της γωνίας και της εξωτερικής γωνίας ιστούται με 3.19 Στο σχήμα να υπολογίσετε το άθροισμα τωνν γωνιών E+Z+H+Θ Λ Κ Θ Ν Η 3.0 ίνεται τρίγωνο με ˆ 45.ν τα ύψηη και τέμνονται στο Η να αποδείξετε ότι Η= Η

14 14 ΘΡΟΙ ΩΝΙΩΝ ΤΡΙΩΝΟΥ 3.1 Να υπολογίσετε το άθροισμα των γωνιών ++++ του διπλανού σχήματος 3. Σε τρίγωνο με > φέρουμε το ύψος του και τη διχοτόμο της γωνίας Να αποδείξετε ότι : ) Λ Λ Λ 180 ) Λ Λ Λ 3.3 Θεωρούμε τρίγωνο με και τη διχοτόμο του. Σ την ημιευθεία παίρνουμε τμήμα = και στην πλευρά τμήμα =. Να αποδειχτεί ότι τα σημεία,, είναι συνευθειακά. 3.4 Σε ευθεία θεωρούμε τα σημεία, και έτσι ώστε = και στο ίδιο ημιεπίπεδο κατασκευάζουμε τα ισόπλευρα τρίγωνα και. ν είναι το μέςο του, να αποδείξετε ότι το τρίγωνο είναι ισόπλευρο. 3.5 ίνεται τρίγωνο, στο οποίο = και. Φέρνουμε τη διχοτόμο της γωνίας που τέμνει την στο. ν το μέσο της, να δείξετε ότι: ) Το τρίγωνο είναι ισοσκελές. ) H γωνία είναι ορθή. 1 ) < 3.6 Στο διπλανό σχήμα το τρίγωνο είναι ισοσκελές, και τα σημεία και βρίσκονται στην προέκταση της έτσι ώστε =. ν και Η να αποδείξετε ότι: ) Η και ) Η. Η 3.7 Σε κύκλο κέντρου Ο θεωρούμε μια ακτίνα Ο, μια χορδή που είναι μεσοκάθετος της ακτίνας αυτής, και μια ακόμη χορδή που σχηματίζει με την Ο γωνία 30ο. είξτε ότι =. 30 Ο 3.8 ίνεται τρίγωνο στο οποίο είναι ˆ ˆ 90. Να αποδείξετε ότι η διχοτόμος της γωνίας σχηματίζει με την μια γωνία Έστω τρίγωνο και εξωτερικά της κατασκευάζουμε ισόπλευρο. ν η διχοτόμος Ν είναι κάθετη και ίση με την να βρεθούν οι γωνίες του

15 Λυκείου - εωμετρία Έστω ορθογώνιο τρίγωνο πό τυχαίο σημείο του υψώνω κάθετη στη που τέμνει την στο. ν η διχοτός της τ ˆ τέμνει τις, στα Κ, Λ αντίστοιχα να αποδείξετε ότι ΚΛ ισοσκελές τρίγωνο 3.31 Έστω ορθογώνιο τρίγωνο ( ˆ 90 ). ( Â 90 είναι ˆ ˆ. Στο μέσο της υποτείνουσας φέρνουμε μία ευθεία κάθετη στην που τέμνει την στο σημείο. Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα και ΚΚ είναι ίσα 3.3 πό το μέσο της υποτείνουσας ) κα αι Να αποδείξετε ότι όταν δύο απέναντι γωνίες ενός τετραπλεύρου είναι ορθές τότε οι διχοτόμοι των δύο άλλων γωνιών του είναι παράλληλες Σε τετράπλευρο να αποδείξετε ότι ) η γωνία που σχηματίζεται από τιςς διχοτόμους δύο διαδοχικώνν γωνών του, είναι ίση με το ημιάθροισμα των δύο άλλωνν γωνιών του. ) οι διχοτόμοι των γωνιών του, σχηματίζουν τετράπλευρο του οποίου οι απέναντι γωνίες είναι παραπληρωματικές. ) οι διχοτόμοι των εξωτερικών γωνιών του, σχηματίζουν τετράπλευρο του οποίου οι απέναντι ορθογώνιου τρίγωνου ( Â 90 αι > γωνίες είναι παραπληρωματικές. φέρνουμε κάθετη προς την, η οποία τέμνει την ) η γωνία που σχηματίζουν οι διχοτόμοι δύο πλευρά στο σημείο. ν τα τρίγωνα και είναι ίσα, να βρείτε τις γωνίες του τριγώνου τ απέναντι γωνιών του είναι ίση με την ημιδιαφορά των δύο άλλων γωνιών του Να αποδείξετε ότι: ) η γωνία που σχηματίζουν οι διχοτόμοι δύο ) Οι διχοτόμοι δύο γωνιών που έχουν τις διαδοχικών εξωτερικών γωνιών τετραπλεύρου είναι ίση πλευρές τους παράλληλες είναι παράλληλες ή κάθετες. με το ημιάθροισμα των δύο αυτών (εσωτερικών) ) Οι διχοτόμοι δύο γωνιών που έχουν τις γωνιών πλευρές τους κάθετες είναι παράλληλεςς ή κάθετες ίνεται ισόπλευρο τρίγωνο και σημείοο της πλευράς. Στην προέκταση της, προς το, παίρνουμε τμήμαα =. Να αποδείξετε ότι ό = 3.37 Στο διπλανό σχήμα δίνεται κύκλος (Ο,R) και μια διάμετρός του. Οι Ο ευθείες ε 1,ε είναι οι εφαπτόμενες του κύκλου στα σημεία και και η ε είναι εφαπτομένη σε σημείο που τέμνει την ε 1 στοο και την ε στο. Η ΟΟ ε 1 ε είναι η διακεντρική ευθεία του σημείου που τέμνειι την ε 1 στο. Να αποδείξετε ότι: ε O ) ο τρίγωνο είναι ισοσκελές. ) Ο

16 16 ΠΡΛΛΗΛΟΡ 4 ΠΡΛΛΗΛΟΡ 4.01 Στο Παραλληλόγραμμο του διπλανού σχήματος να υπολογίσετε τις γωνίες x και y. 4.0 Θεωρούμε παραλληλόγραμμο και έστω το μέσο της. Στο φέρουμε μια ευθεία κάθετη στη που τέμνει τη στο, και την ευθεία στο Ν. Να αποδείξετε ότι : ) Ν = ) = Έστω τρίγωνο και φέρνουμε το ύψος. Έστω μέσο του και η κάθετη πό το στη τέμνει την στο. Να αποδείξετε ότι = 4.04 ίνεται ιςοσκελές τρίγωνο, και Σ τυχαίο σημείο της. Προεκτείνουμε την προς το μέρος του κατά τμήμα Ρ=Σ. ν ΣΚ//, να αποδείξετε ότι: ) τρίγωνο ΣΚ είναι ισοσκελές. Σ ) Τα τρίγωνα Ρ και ΚΣ είναι ίσα ) Η διχοτομεί την ΡΣ. Ρ Κ 4.05 Θεωρούμε τρίγωνο και στις προεκτάσεις των διαμέσων του, Ν τα σημεία, τέτοια ώστε = και Ν=Ν αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι = και ότι τα σημεία, και είναι συνευθειακά ίνετε ισοσκελές τρίγωνο ( ) και σημείο στην προέκταση της βάσης προς το μέρος του. πό το φέρουμε παράλληλες προς τις πλευρές και, οι οποίες τέμνουν τις ημιευθείες, στα σημεία και αντίστοιχα. Να αποδειχθεί ότι Σε παραλληλόγραμμο από τις κορυφές και φέρνουμε και. Να αποδείξετε ότι το είναι παραλληλόγραμμο.

17 Λυκείου - εωμετρία ίνεται παραλληλόγραμμο ν η διχοτόμος της γων νίας τέμνει την στο και η διχοτόμος της ς γωνίας τέ έμνει την στο Να αποδείξεται ότι : ) Τα τρίγωνα και είναι ισοσκελή ) Τα τμήματα και τέμνονται κάθετα ) Τα τετράπλευρα και είναι παραλληλόγραμμα ίνεται παραλληλόγραμμο και έστω το μέσο της πλευράςς. Φέρνουμε την και στη συνέχεια την κάθετη στην στο που τέμνει τιςς πλευρές και του παρ/μου (ή ή τις προεκτάσεις τους) στα σημεία Κ και Λ αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι: ) και ) Το τρίγωνο ΚΛ είναι ισοσκελές ) Η ΚΛ είναι διχοτόμος της γωνίας Κ. Λ E 4.10 ίνεται τυχαίο τρίγωνο και η διχοτόμος του. πό το φέρνουμε παράλληλη προς την που τέμνει την στο και από τοο φέρνουμε παράλληληη προς την που τέμνειι την στο. ) Να δικαιολογήσετε οτι το τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο. ) Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο είναι ισοσκελές ) Να αποδείξετε ότι τα τμήματα και είναι ίσα ) ν επιπλέον η γωνία είναι ίση με 86 0, να υπολογίσετε τις γωνίες του τριγώνου. Κ 4.11 ίνεται κύκλος με διάμετρο. Στα σημεία και φέρνουμε τιςς εφαπτόμενες x και y, όχι προς το ίδιο μέρος της και παίρνουμε πάνω σε αυτές τμήματα = ==. 1. Να αποδείξετε ότι το είναι παραλληλόγραμμο.. Να βρεθούν οι γωνίες του παραλληλογράμμου. 4.1 π' τα άκρα ενός ευθύγραμμου τμήματος φέρνουμε τις ημιευθείες x και yy έτσι ώστε x//y. ν η διχοτόμος της τέμνει την y στο, στην προέκταση της προς το πάρουμε σημείο, τέτοιο ώστε = και από το φέρουμε παράλληλη στην που τέμνει την yy στο και την x στο, να αποδείξετε ότι: 1. = =. φ=ω 3. ˆ x =

18 18 ΠΡΛΛΗΛΟΡ ΟΡΘΟΩΝΙΟ ΡΟΟΣ 4.13 ίνεται ορθογώνιο και το συμμετρικο του ως προς την. Η ευθεία τέμνει την στο. ν Ν είναι η προβολή του στην, να αποδειχθεί ότι τα σημεία,ν, είναι συνευθεικά 4.14 Το τετράπλευρο του διπλανού σχήματος είναι ρόμβος. ν ˆα 3x και β x 7, τότε να υπολογίσετε το x 4.15 Σε κύκλο (Ο, ρ) φέρνουμε χορδή = ρ και παίρνουμε τυχαίο σημείο του κυρτογώνιου τόξου.ν,,, είναι τα μέσα των Ο, Ο,,, αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι :. Η γωνία 0 O 60. Το τετράπλευρο είναι ρόμβος Το τρίγωνο είναι ισοσκελές με βάση την και. ) ποδείξετε ότι το τρίγωνο είναι ισοσκελές. ) Να δείξετε τα τρίγωνα και είναι ίσα. ) ν προεκτείνουμε την να αποδείξετε ότι διέρχεται από το μέσο της. ) ν =, αποδείξετε ότι το τετράπλευρο είναι ρόμβος ίνεται τετράπλευρο και,, Κ, Λ τα μέσα των,,, αντίστοιχα.. είξτε ότι το τετράπλευρο ΚΛ είναι παραλληλόγραμμο. ν επιπλέον, να δείξετε ότι το ΚΛ είναι ρόμβος.

19 Λυκείου - εωμετρία Πάνω στη διαγώνιο ενός τετραγώνου. ΤΤΡΩΝΟ υ παίρνουμε τμήμα =. Να υπολογίσετε τη γωνία 4.19 Προεκτείνουμε τις πλευρές και τετραγώνου κατά και αντίστοιχα ώστε =. Να αποδείξετε ότι : ) = ) Z 4.0 ίνεται τρίγωνο ορθογώνιο στο και έστω η διάμεσοςς του. Σχηματίζουμε δύο τετράγωνα εξωτερικά του τριγώνου ΗΚ και ΡΘ, να δείξετε ότι ΗΘ 4.1 Θεωρούμε ένα τετράγωνο, το ισόπλευρο τρίγω ωνο εντός του τετραγώνου και το τ ισόπλευρο τρίγωνο εκτός του τετραγώνου. Να αποδείξετε ότι τα σημεία, καιι είναι συνευθειακά. 4. Σε τετράγωνο παίρνουμε τυχαίο σημείο στην πλευρά.. Η διχοτόμος της γωνίαςς E τέμνει την πλευρά στο σημέιο. πό το σημείο φέρουμε (Η σημείο της ) που τέμνει την στο σημείο Θ και την στο σημέιο Ι. Να αποδείξετεε ότι: Το τρίγωνο ΙΘ είναι ισοσκελές = =Ι Τα τρίγωνα και Θ είναι ίσα = =+ 4.3 Θεωρούμε ισοσκελές ορθογώνιο τρίγωνο ο με 90 και =. Στις ίσες πλευρές του και παίρνουμε σημεία και αντίστοιχα, 1 1 έτσι ώστε και 3 3 ν τα και Η είναι τα ίχνη των κάθετων τμημάτων από τα και στην, τότε: Να αποδείξετε ότι το Η είναι ε ορθογώνιο παραλληλόγραμμο. Να αποδείξετε ότι το Η είναι ε τετράγωνο. Να αποδείξετε ότι. o 4.4 ίνεται τετράγωνο. Προεκτείνουμε τη διαγώνιο προς τοο μέρος του κατά τμήμα =. Έστω το μέσο της και Η το σημείο τομής των ευθειών και. Ναα αποδείξετε ε ότι: 1 = Η. κάθετη στην

20 0 ΠΡΛΛΗΛΟΡ 4.5 Σε τετράγωνο κατασκευάζουμε τα ισόπλευρα εσωτερικά και εξωτερικά. Να υπολογίσετε τις γωνίες του τριγώνου Να δείξετε ότι το τρίγωνο είναι ορθογώνιο και ισοσκελές, Να υπολογίσετε την γωνία 4.6 ίνεται τετράγωνο με Ο το κέντροο του. Έστω τυχαίο σημείοο πάνω στην και σημείο πάνω στην τέτοιο ώστε ZO o OE 90. Έστω Κ και τα μέσα των και αντίστοιχα α ) α αποδείξεις ότι τρίγωνο Ο = τρίγωνοο ΟΚ ) Να αποδείξεις ότι το τρίγωνο Ο είναι ισοσκελές και να υπολογίσεις υ τις γωνίες του ) Να αποδείξεις ότι = ) Να προεκτείνεις τις Ο και Ο προς το Ο οι οποίες τέμνουν την στο Ν καιι την στο Λ αντίστοιχα. Να αποδείξεις ότι το ΝΛ είναι επίσης τετράγωνο 4.7 ίνεται τετράγωνο. Προεκτείνουμ με την πλευρά προς τοο μέρος του κατά τμήμα. Να αποδείξετε ότι: ) Η γωνία είναι 45 ) Το τρίγωνο είναι ορθογώνιο και ισοσκελές. Ο κ ) Το τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο. ) ν Ο το κέντρο του τετραγώνου και η τέμνει τη E στο, να δείξετε ότι το Κ είναι το βαρύκεντρο του τριγώνου.

21 Λυκείου - εωμετρία 1 ΦΡΟΣ ΤΩΝ ΠΡΛ/ΩΝ ΘΤ ΞΤΣ ΣΩΝ 4.8 Σε ισόπλευρο τρίγωνο από το μέσον της φέρνουμε. Να αποδείξετε ότιι Στο διπλανό σχήμα δίνεται τρίγωνο με =3. Τα σημεία και βρίσκονται στην πλευρά έτσι, ώστε ==. ν είναι το μέσο του, να αποδείξετε ότι γωνία είναι ορθή ίνεται τρίγωνο και τυχαίο σημείο της. Φέρουμε και. ν Η και Θ τα μέσα των και αντίστοιχα δείξτε ότι: (Η Θ) Z E Η Θ 4.31 Σε τετράπλευρο είναι ο 90. ν είναι το μέσο της και Ν το μέσο της να αποδείξετε ότι: ) To τρίγωνο είναι ισοσκελές. ) ) Ν Ν 4.3 Σε ορθογώνιο τρίγωνο με υποτείνουσα θεωρούμε το ύψος και τα μέσα και των και αντίστοιχα. ποδείξτε ότι το : ) ίναι ορθογώνιο. ) Έχει περίμετρο την ημιπερίμετρο του. ) Έχει διάμεσο ίση με 1 4 ) ν επι πλέον =30ο να αποδείξετε ότι ύο κύκλοι (Κ,R) και (Λ,3R) εφάπτονται εξωτερικά στο σημείο. ν είναι κοινή εξωτερική εφαπτομένηη τους να αποδείξετε ότι η γωνία ΚΛ είναι 10ο. Λ Κ

22 ΠΡΛΛΗΛΟΡ 4.34 Σε τρίγωνο φέρνουμε και σημείο Η στην ώστε η γωνία 0 Η 0, γωνία 0 Η 40 και γωνία 0 Η 30 H ) Να αποδείξετε ότι Η. ) Να υπολογίσετε τη γωνία Η. 0 x Σε παραλληλόγραμμο προεκτείνουμε την πλευρά κατά τμήμα =. ν η τέμνει την στο σημείο και τη στο σημείο Η, να αποδείξετε ότι: ) Το τ είναι παραλληλόγραμμο. ) Η=Η Η γ) Η Περνάει από το μέσο της Σε τρίγωνο η γωνία είναι 45ο. ν και τα δύο ύψη του τριγώνου και το μέσο της να αποδείξετε ότι ME M ίνεται τρίγωνο με γωνία =45 ο, τα ύψη και που τέμνονται στο Η, το μέσο του Η και το μέσο Ν του. Να αποδείξετε ότι: ) EN=Ν ) = Η Ν ) Τα τρίγωνα Η και είναι ίσα. ) Το τετράπλευρο Ν είναι τετράγωνο Έστω Θ το βαρύκεντρο τριγώνου. ν Θ=, να αποδείξετε ότι Θ Θ. Ν Ξ Θ 4.39 Σε κύκλο (Ο,R) προεκτείνουμε τη διάμετρο κατά τμήμα =R και φέρνουμε το εφαπτόμενο τμήμα. Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο είναι ισοσκελές O

23 Λυκείου - εωμετρία ίνεται παραλληλόγραμμο. Η κάθετη προς τη στο και η κάθετη από το προς την τέμνονται στο σημείο. Να αποδείξετε ότι: ). ) ίνεται οξυγώνιο τρίγωνο, τα ύψη και που τέμνονται στο Η, το μέσο του Η και το μέσο Ν της πλευράς.να αποδείξετε ότι: α) Ν=Ν β) = Η γ) Ν Ν o 4.4 Έστω παρ/μο με 10. Κ Η διχοτόμος της γωνίας τέμνει την στο μέσο της. ) είξτε ότι: ) είξτε ότι: Κ Λ ) ν Λ, είναι τα μέσα των τμημάτων και αντίστοιχα δείξτε ότι: Λ Λ 4.43 ίνεται τετράγωνο. Προεκτείνουμε την πλευρά προς το μέρος του κατάά τμήμα =. Να αποδείξετε ότι: ) Η γωνία είναι ) Το τρίγωνο είναι ορθογώνιο και ισοσκελές. Ο ) Το τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο. κ ) ν Ο το κέντρο του τετραγώνου και η Ο τέμνει την στο Κ, να δείξετε ότι το Κ είναι το βαρύκεντρο του τριγώνου. E 4.44 Ένα τρίγωνο έχει =45 ο και =15 ο. Στην προέκταση της πλευράςς προς το παίρνουμε τμήμα =. Να αποδείξετε ότι =75 ο. πό ένα εξωτερικό σημείο Ρ, κύκλου (Ο, R) φέρουμε ταα εφαπτόμενα τμήματα Ρ, Ρ, οπου Ρ=60 0. Προεκτείνουμε το Ο (προς το μέρος του ) κατά τμήμα =Ο. ν η ευθεία ΟΡ τέμνει τον κύκλο στο Κ, να ν αποδείξετε ότι: ) γωνία Ρ=30 0 ) Ρ=R ) Το τετράπλευρο ΟΚ είναι ρόμβοςς

24 4 ΠΡΛΛΗΛΟΡ 4.45 ίνεται κύκλος (Ο,R), μια διάμετρος και χορδή =R. Φέρνουμε ΟΚ κάθετη στη που η προέκταση της τέμνει τον κύκλο στο.. Να δείξετε ότι =.ΟΚ Κ. Να δείξετε ότι το τετράπλευρο Ο είναι ρόμβος. Ο 4.46 ίνεται κύκλος με κέντρο Ο και μία διάμετρος του. Φέρουμε τη μεσοκάθετο του Ο που τέμνει την Ο στο και τον κύκλο στο. Να αποδείξετε ότι: ) Το τρίγωνο Ο είναι ισόπλευρο ) Η Ο είναι διχοτόμος της γωνίας ) =. O 4.47 ίνεται οξυγώνιο τρίγωνο όπου =. Φέρνουμε το ύψος. Προεκτείνουμε την προς το και στην προέκταση παίρνουμε τμήμα =. Προεκτείνουμε το τμήμα που τέμνει την πλευρά στο. Να αποδείξετε ότι : ) = ) Το είναι μέσο της. E 4.48 ίνεται ορθογώνιο τρίγωνο με ( =90 ο ) με =30 ο.ν η μεσοκάθετη της 30 στο μέσο της, τέμνει την στο, να αποδείξετε ότι ) Η είναι διχοτόμος της γωνίας ) = ίνεται κύκλος (Ο,R) και η διάμετρός του. Προεκτείνουμε την διάμετρο προς το μέρος του κατά τμήμα = R. πό το φέρνουμε την εφαπτομένη του κύκλου. Να αποδεί-ξετε ότι:. Τα τρίγωνα και Ο είναι ορθογώνια. Ο. Το τρίγωνο Ο είναι ισόπλευρο.. Τα τρίγωνα Ο και είναι ίσα.

25 Λυκείου - εωμετρία Σε τετράγωνο κατασκευάζουμε τα ισόπλευρα εσωτερικά και εξωτερικά.. Να υπολογίσετε τις γωνίες του τριγώνου. Να δείξετε ότι το τρίγωνο είναι ορθογώνιο και ισοσκελές,. Να υπολογίσετε την γωνία 4.51 Στο παρακάτω σχήμα είναι: ορθογώνιο τρίγωνο με ˆ = 1 κ και ˆ = 30 ο, τα και είναι τα μέσα των και αντίστοιχα, =. Να αποδείξετε ότι :. = = ονάδες 9. /// ονάδες 9. είναι ρόμβος ονάδες Σε τετράπλευρο ονομάζουμε,, Η, Θ τα μέσα των πλευρών,,, και Κ, Λ τα μέσα των διαγωνίων και αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι : ) Τα τετράπλευρα ΚΗΛ και ΚΘΛ είναι παραλληλόγραμμα. ) Οι ευθείες Η, Θ και ΚΛ διέρχονται από τοο ίδιο σημείο είξτε ότι τα μέσα των πλευρώνν ορθογωνίουυ σχηματίζουν ρόμβο, ενώ τα τ μέσα πλευρών τετραγώνου σχηματίζουν τετράγωνο ) Να αποδείξετε ότι η διάμεσος και το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τα μέσα των πλευρών, τριγώνου διχοτομούνται. ) Θεωρούμε τετράπλευρο. ν, ταα μέσα των, αντίστοιχα και Κ, Λ,, Ν τα μέσα των,, και αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΚΛΝ είναι παραλληλόγραπ αμμο ίνεται παραλληλόγραμμο και στις πλευρές του, τα σημεία, ετσι ώστε 3 και 1, αντίστοιχα. ν Η το σημείο τομής των ευθειών και να αποδειχθεί ότι Η και 3 Η ίνεται ισόπλευρο τρίγωνο και στι ημιευθείες, τα σημεία, αντίστοιχα ετσι ώστεε. ν το σημείο τομής των τ ευθειών και να αποδειχθεί ότι Σε τρίγωνο είναι ο 90. ν το ύψος του και το μέσο της, δείξτε ότι =

26 6 ΠΡΛΛΗΛΟΡ 4.58 ίνεται ισοσκελές τρίγωνο ( ) και η μεσοκάθετη της τέμνει το ύψος στο. ν το συμμετρικό του ως προς το μέσο της και η παρράλληλη από το προς την τέμνει την στο Λ, να αποδειχθεί ότι ο Λ Θεωρούμε τρίγωνο, τις διαμέσους, Ν και τα συμμετρικά, των, ως προς τα, Ν αντίστοιχα. Να αποδειχθεί ότι α) τα,,, είναι συνευθειακά β) = 4.60 ίνετε παρ/μο με =10ο.και η διχοτόμος της γωνίας τέμνει την τ στο μέσο της. Να αποδείξετε ότι α) = β) = οπου είναι η απόσταση του από τη γ) Η γωνία =90ο 4.61 ίνεται τριγωνο με o 455 και < o 30.ν είναι το μέσο τηςς να δειχθεί ότι o Σε ένα τρίγωνο είναι =. Έστω το μέσο της και σημεία Ν,Ρ στην πλευρά ώστε Ν=ΝΡ=Ρ. Να αποδειχθεί ότι το τρίγωνο Ρ είναι ορθογώνιο. ίνεται παραλληλόγραμμο με =. Έστωω η προβολή του πάνω στην ευθεία, το μέσο της και το σημείο στο οποίο η ευθεία τέμνει την προέκταση της. Να αποδείξετε ότι: ) τα τρίγωνα και είναι ίσα ) το τρίγωνο είναι ορθογώνιο ) το τρίγωνο είναι ισοσκελές ) 4.63 ίνεται τρίγωνο. Έστω Η το ορθόκεντρό του, Ι, Κ, Λ τα μέσα τωνν τμημάτων, Η και αντίστοιχα. Να δείξετε ότι: : Τα τρίγωνα Κ και Ι είναιι ισοσκελή. Τα σημεία Ι, Κ,Λ είναι συνευθειακά (βρίσκονται στην ίδια ευθεία). Ι H Λ Κ 4.64 ίνεται τετράπλευρο με, ˆ ˆ παραπληρωματικές και ˆ =90 ο. E Οι ευθείες και τέμνονται στο και οι και τέμνονται στο. Έστω Κ, και Λ τα μέσα των και αντί-στοιχα. Να δείξετε ότι:. ˆ=9 90 Τα τρίγωνα Κ και Λ είναι ισοσκελή. Λ. Η ΚΛ μεσοκάθετος του K

27 Λυκείου - εωμετρία Στο τρίγωνο είναι. ν,,, είναι τα μέσα των,,, αντίστοιχα, τότε Να δείξετε ότι // Να δείξετε ότι το ΛΝ είναι ρόμβος. ν Κ το σημείο τομής των Ν και,να δικαιολογήσετεε ότι Κ= Κ. Κ ίνεται κύκλος με κέντρο Ο και μία διάμετρος του. Φέρουμε τη μεσοκάθετο του Ο που τέμνει την Ο στο και τον κύκλο στο. Να αποδείξετε ότι: ) Το τρίγωνο Ο είναι ισόπλευρο. ) Η Ο είναι διχοτόμος της γωνίαςς. ) =. O 4.66 ίνεται παραλληλόγραμμο και έστω, τα μέσα των πλευρών, αντίστοιχα. Οι προεκτάσεις των τμημάτων και τέμνονται στο. Να αποδείξετε ότι: ) Τα τρίγωνα και είναι ίσα ) Το τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο. ) ν η τέμνει τη στο Θ τότε: α) Το Θ είναι βαρύκεντρο του τριγώνου τ. β) 3 Η 4.67 ίνεται παραλληλόγραμμο με γωνία = 10 ο και η διχοτόμος της γωνίας τέμνει την στο μέσο της και, Η τα κάθετα τμήματα από τα τ σημεία, προς την πλευρά. είξτε ότι : ) = = ) = =Η ) = ) το τρίγωνο είναι ορθογώνιο Η

28 8 ΤΡΠΙ ΤΡΠΙ ΘΤ ΞΤΣΩΝ 4.68 Σε πεντάγωνο είναι ====1 0ο. ν // / να αποδείξετε ότι: ) το τετράπλευρο είναι ισοσκελές τραπέζιο. ) += Στο διπλανό σχήμα η ευθεία (ε)( είναι τυχαία ευθεία που διέρχεται από την κορυφή του τριγώνου. Οι και είναι κάθετες στην (ε), το είναι μέσο του και το Ν μέσο της διαμέσου ε Κ. Να δείξετε ότι: Ν K ) MN ) Κ Κ Κ Σε ορθογώνιο κέντρου Ο φέρνουμε E καιι. Να αποδείξετε ότι: ) Το τρίγωνο Ο είναι ισοσκελές. ) Το τετράπλευρο είναι ισοσκελές τραπέζιο. Ο 4.70 Στο διπλανό σχήμα το είναι ύψος του τριγώνου και,,η είναι τα μέσα των ) =Η, καιι αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι: Z H ) Οι γωνίες Η και Η είναι ίσες. M 4.71 ίνεται παραλληλόγραμμο με γωνίαα διπλάσια της Κ γωνίας. Η διχοτόμος της γωνίας τέμνει την πλευρά στο. Να αποδείξετε ότι τα μέσα Κ,Λ, και Ν των τμημάτων,, και 1 Ν Λ είναι κορυφές ρόμβου. 4.7 ίνεται τραπέζιο ισοσκελές με τη τ βάση τριπλάσια από τη βάση. ν, είναι τα μέσα των, αντίστοιχα,να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο είναι ορθογώνιο 4.73 Σε τρίγωνο φέρνουμε το ύψος Η και τη διάμεσο. Στις ημιευθείες Η και παίρνουμε τα σημεία,, αντίστοιχα, έτσι ώστε Η=Η και =. Να δείξετε ότι το τρίγωνο είναι ισοσκελές Η // Το τετράπλευρο με κορυφές,,,και είναι ισοσκελές τραπέζιο.

29 Λυκείου - εωμετρία 9 ( ίνεται ορθογώνιοο τρίγωνο 0 ) και τυχαίο σημείο τηςς πλευράς.. ν,ρ,ν είναι τα μέσα των, και αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι:. Το ΝΡ είναι παραλληλόγραμμο.. Ρ = Ρ. Το ΝΡ είναι ισοσκελές τραπέζιο. τ 4.75 Σε οξυγώνιο τρίγωνο με φέρνουμε το ύψος. ν, Η,, είναι τα μέσα των πλευρών,,, και αντίστοιχα, τότε. Να αποδειχθεί ότι α) Tο είναι ισοσκελές τρίγωνο. β) Tο Η ισοσκελές τραπέζιο. 0. ν επιπλέον η γωνία 60 να αποδείξετε ότι ίνεται ισοσκελές τραπέζιο (// και =), με =3. ν η είναι η διάμεσος του τραπεζίου που τέμνει τις διαγώνιες και στα σημεία Κ και Λ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι : ΚΛ= =. 3. Το ΛΚ είναι ορθογώνιο Κ Λ 4.77 ίνεται τραπέζιο με //, ο 90, ==.ν Κ και Λ είναι τα μέσα τωνν διαγωνίων και αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι ) ΚΛ = ) Λ ) Σε τραπέζιο (//) φέρουμε τη διχοτόμο της γωνίας, η οποία τέμνει την πλευρά στο σημείο Λ. ν Κ το σημείο τομής της διχοτόμου Λ με τη διάμεσο του τραπεζίου, να αποδείξετε ότι: ) τρίγωνο Κ ισοσκελές και Λ= ) γωνία ΛΚ=90 0 ) Κ διχοτόμος της γωνίας 4.79 ίνεται ορθογώνιοο τρίγωνο με 90 o και 30 o. Έστω μέσον του, μέσον του, μέσον του και Η μέσον του. Προεκτείνουμε το κατά ίσο τμήμα Κ. Να αποδείξετε ότι:

30 30 ΤΡΠΙ α) Το τετράπλευρο Κ είναι ορθογώνιο παραλληλόγραμμο. β) Το τετράπλευρο Η είναι ισοσκελές τραπέζιο ίνεται τραπέζιο με ˆ ˆ 90 0, = και κάθετη στη. ) Να αποδειχθεί ότι το είναι παραλληλόγραμμο. ˆ πό την κορυφή φέρουμε τη ) Το είναι τετράγωνο ) ν Ν το μέσο του και το μέσο του να δειχθεί ότι Ν = Σε τραπέζιο θεωρούμε την διάμεσο. Η διχοτόμος της ˆ τέμνει την διάμεσο στο και διέρχεται από την κορυφή και η τέμνει την στο Η. Να αποδείξετε ότι. το τρίγωνο είναι ισοσκελές E M Z. το σημείο είναι μέσο του και το τρίγωνο είναι ορθογώνιο. το τετράπλευρο Η είναι ρόμβος Η 4.8 ίνεται τρίγωνο. Έστω Η το ορθόκεντρό του, Ι, Κ, Λ τα μέσα των τμημάτων, Η και αντίστοιχα. Να δείξετε ότι:. Τα τρίγωνα και είναι ορθογώνια. Τα τρίγωνα Κ και Ι είναι ισοσκελή.. Τα σημεία Ι, Κ,Λ είναι συνευθειακά Ι H Λ Κ 4.83 ίνεται παραλληλόγραμμο με =. Προεκτείνουμε τη πλευρά και προς τα δύο μέρη και παίρνουμε τα σημεία και έτσι ώστε = =.. Να αποδείξετε ότι τα τετράπλευρα και είναι παραλληλόγραμμα. ν τα Κ και Λ είναι τα κέντρα των και αντίστοιχα να δείξετε ότι το ΛΚ είναι ρόμβος. Να δείξετε ότι

31 Λυκείου - εωμετρία ίνεται τετράπλευρο με, ˆ ˆ παρα απληρωματικές και ˆ =90 ο. Οι ευθείες και τέ-μνονται στο και οι και τέμνονται στο. Έστω Κ, και Λ ταα μέσα των και αντί-στοιχα. Να δείξετε ότι: α. ˆ =90 ο β. Τα τρίγωνα Κ και Λ είναι ισοσκελή. γ.. δ. Η ΚΛ μεσοκάθετος του E Λ K 4.85 Σε τετράγωνο κατασκευάζουμε τα ισόπλευρα εσωτερικά και εξωτερικά. Να υπολογίσετε τις γωνίες του τριγώνου Να δείξετε ότι το τρίγωνο είναι ορθογώνιο και ισοσκελές, Να υπολογίσετε την γωνία 4.86 Σε τραπέζιο ( // ) φέρουμε τηη διχοτόμο της γωνίας, η οποία τέμνειι την πλευρά στο σημείο Λ. ν Κ το σημείο τομής της διχοτόμου Λ με τη διάμεσο του τραπεζίου, ναα αποδείξετε ότι: ) τρίγωνο Κ ισοσκελές και Λ= ) γωνία ΛΚ=90 0 ) Κ διχοτόμος της γωνίας 4.87 ίνεται το ισοσκελές τραπέζιο (//). ν Κ, Λ,, Ν μέσα των,,, αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι: ) ΚΝ= =ΚΛ ) το τετράπλευρο ΚΛΝ είναι ρόμβος ) αν επιπλέον =3 τότε το τετράπλευρο ΛΝ είναι ορθογώνιο ίνεται το ορθογώνιο παραλληλόγραμμο και, τα μέσα των πλευρών, αντίστοιχαα. Φέρνουμε Κ κάθετη στην η οποία τέμνει την στο Λ. Να δείξετε ότι Το είναι παραλληλόγραμμο Το τρίγωνο Λ είναι ορθογώνιο Το τετράπλετρο Λ είναι ισοσκελές τραπέζιο ίνεται τραπέζιο με // και = +. Η διχοτόμος της γωνίας τέμνει την στο και την προέκταση της στο. Να αποδείξετε τα επόμενα. Το τρίγωνο είναι ισοσκελές. = Το είναι το μέσο της

32 3 ΤΡΠΙ Στο τραπέζιο (// ),έχουμε = +. ν το μέσο του και Ν το μέσο του, να αποδείξετεε ότι: 1 Ν=Ν. Η γωνία είναι ορθή. 3 ν η τέμνει την στο Κ,ναα δείξετε ότι Κ ισοσκελές 4. Η είναι διχοτόμος της γωνίας. τρίγωνο ίνεται τυχαίο τρίγωνο. ν το ύψος του και Κ,Λ, τα μέσα των τ, και αντίστοιχα,να δείξετε ότι ) Το ευθύγραμμο τμήμα Λ είναι ίσο με το μισό της πλευράς ) Το ΚΛ είναι τραπέζιο. ) Το ΚΛ είναι ισοσκελές τραπέζιο ίνεται ορθογώνιοο τρίγωνο με 90 o o και 30. Έστω μέσον του, μέσον του, μέσον του και Η μέσον του. Προεκτείνουμε το κατά ίσο τμήμα Κ. Να αποδείξετε ότι: ) Το τετράπλευρο Κ είναι ορθογώνιο παραλληλόγραμμο. ) Το τετράπλευρο Η είναι ισοσκελές τραπέζιο. 4.9 ίνεται τραπέζιο με / //, 90,.ν Κ και Λ είναι τα μέσα των διαγωνίων και αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι ) ΚΛ = ) ) 3 E M Η Z 4.93 Σε τραπέζιο θεωρούμε την διάμεσο. Η διχοτόμος της ˆ τέμνει την διάμεσο στο και διέρχεται δ από την κορυφή και η τέμνει την στο Η. Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο είναι ισοσκελές το σημείο είναι μέσο του και το τρίγωνο είναι ορθογώνιο το τετράπλευρο Η είναι ρόμβος

33 Λυκείου - εωμετρία 33 ΝΙΚΣ 5 ΟΥ ΚΦΛΙΟΥ 4.94 ίνεται ορθογώνιο τρίγωνο, ˆ Ο Θ Κατασκευάζουμε εξωτερικά του τριγώνου τα τετράγωνα και ΗΘ. Φέρουμε την Κ κάθετη στη, την ΗΛ κάθετη στη και Η την κάθετη στη. ν είναι το μέσο της Η,, να αποδείξετε ότι: ) Τα σημεία, και Η είναι συνευθειακά. ) Τα τρίγωνα και Κ είναι ίσα. ) Τα τρίγωνα και ΗΛ είναι ίσα. Κ Λ ) Κ=Λ ) Κ+ΗΛ= Στ) Η γωνία είναι ορθή. ) Το τρίγωνο είναι ισοσκελές 4.95 ίνεται ορθογώνιο τρίγωνο με ˆ 90. Φέρνουμε Ο τμήμα και ίσο με έτσι ώστε τα σημεία και να βρίσκονται σε διαφορετικά ημιεπίπεδο σε σχέση με την. ) ποδείξτε ότι η είναι διχοτόμος της γωνίας. Ν ) ν Ν είναι το μέσον του και το μέσον του να αποδείξετε ότι Ν. ) Το τρίγωνο είναι ισοσκελές. ) +=180ο ίνεται παραλληλόγραμμο και το συμμετρικό του ως προς τη διαγώνιο. Να δειχθεί ότι το είναι ισοσκελές τραπέζιο. Σ 4.97 Έστω οι εφεξής και παραπληρωματικές γωνίες xoy και yoz. Θεωρούμε τυχαίο σημείο Σ της Oy και τα τμήματα Σ και Σ κάθετα προς τις διχοτόμους των παραπάνω γωνιών. Να αποδείξετε ότι: α) Σ 90 β) //xz 0 Σ y z O x

34 5 ΡΝ - ΡΨΙ ΤΤΡΠΛΥΡ 5.01 ύο κύκλοι Κ και Λ εφάπτονται στο. ύο ευθείες που περνούν από το τέμνουν τον κύκλο Κ στα και και τον κύκλο Λ στα και αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι //. Κ Λ 5.0 ύο κύκλοι τέμνονται στα σημεία και. ια ευθεία διέρχεται από το και τέμνει τους κύκλους στα σημεία και. Έστω το μέσο του. Η ευθεία τέμνει τους κύκλους στα σημεία και. Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα και είναι ίσα και ότι ξωτερικά ενός ορθογωνίου τριγώνου, ˆ 90 Ο θεωρούμε Τετράγωνο. ν Ο είναι το κέντρο του τετραγώνου αυτού, να αποδειχθεί ότι η Ο διχοτομεί τη γωνία. Ο 5.04 Οι κορυφές, και παραλληλογράμμου είναι σημεία του κύκλου με κέντρο Ο. ν είναι το αντιδιαμετρικό σημείο του να αποδείξετε ότι: Ο ) και. ) 5.05 ύο ορθογώνια τρίγωνα και έχουν κοινή υποτείνουσα και οι κορυφές και βρίσκονται προς το ίδιο μέρος της. ν και οι προβολές των και στην ευθεία να δείξετε = ίνονται οι κύκλοι (Κ,R) και (Λ,ρ) που εφάπτονται εξωτερικά στο σημείο. υθεία που διέρχεται από το τέμνει τους κύκλους στα σημεία και αντίστοιχα. ν ε είναι η εφαπτομένη του κύκλου (Κ,R) ε στο, να αποδείξετε ότι Λ ε Λ Κ

35 Λυκείου - εωμετρία ίνεται κύκλος (Ο,R) και διάμετρος. κατέρωθεν τη ης Κ φέρουμε τυχαίες χορδές και, οι οποίες τέμνουν την εφαπτομένη του κύκλου στα σημεία Κ και Λ αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι ΚΛ είναι εγγράψιμο. Λ 5.08 ίνεται τρίγωνο, ο περιγεγραμμένος κύκλος (Ο,R) και τυχαίο σημείο του τόξου. ν Ν είναι ε το μέσο του τόξου, οι και Ν τέμνονται στο και οι και Ν τέμνονται στο, να αποδείξετε ότι: ) To τετράπλευρο είναι εγγράψιμο. ) // Ν 5.09 ίνεται κύκλος (Κ,R), διάμετρος και η ακτίνα Κ κάθετη στην. Τυχαία ευθεία που διέρχεται από το τέμνει την Κ στο και τον κύκλο στο. ν η εφαπτομένη του κύκλου στο τέμνει την προέκταση της στο σημείο και η κάθετη επί της στο τέμνει την στο σημείο, να αποδείξετε ότι: Κ Τα τετράπλευρα Κ και είναι εγγράψιμα. Η γωνία είναι ορθή ίνεται ορθογώνιο τρίγωνο, ˆ 90 Ο. Φέρνουμε τη διχοτόμο της γωνίας, η οποία τέμνει τη στο. Στο σημείο φέρνουμε την κάθετη στην η οποία τέμνει την στο. ν και H Η είναι οι αποστάσεις του από τις και αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι: ) =Η. Z ) Το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο. ε ) = Έστω το μέσον της πλευράςς ενός τετραγώνου. Φέρνουμε κάθετη στη. Να αποδείξετε ότι: ) Τα τρίγωνα και είναι ίσα. ) Το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο. ε ) =

36 5.1 Ένα τετράπλευρο είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο. Στην ημιευθεία παίρνουμε τμήμα = και στη τμήμα Ν= =. Να Ν αποδείξετε ότι: ) Τα σημεία,,ν και είναι ομοκυκλικά. ) Ν// ίνεται τρίγωνο εγγεγραμμένο σε κύκλο Κ. πό το Κ φέρνουμε ευθεία κάθετη στην η οποία τέμνει την πλευρά στο Κ σημείο. Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο Κ είναι εγγράψιμο ίνεται ισοσκελές τραπέζιο με γωνίες ˆ =60 ˆ 00. Έστω η διάμεσος του και Η το ύψος του. πό το φέρνουμε ευθεία παράλληλη στην πλευρά που τέμνει την πλευρά στο Θ. Να αποδείξετε ότι: ) Το τετράπλευρο ΗΘ είναι ισοσκελές ι τραπέζιο. ) ν Κ, Ι είναι τα μέσα των τμημάτων Η, αντίστοιχα τότε Ι Κ Η Θ το τετράπλευρο ΙΚΗ είναι εγγράψιμο Έστω ορθογώνιο τρίγωνο ( Â 90 ) κα αι η διχοτόμος αυτού. Φέρνουμε Φ από το κάθετη στη που τέμνει την στο και την στο Ρ. Να αποδείξετε ότι = και Ρ= 5.16 ίνεται κύκλος (Κ,ρ).ν μια χορδή του κύκλου (Κ,ρ) και το μέσο του τόξου αποστάσεις του από τις ακτίνες Κ και Κ είναι ίσες με το μισό του μήκους της τ χορδής να αποδείξετε ότι οι 5.17 Έστω ορθογώνιο τρίγωνο ( Â 90 ) κα αι φέρνουμε τη διχοτόμο Κ. ν η κάθετη από το Κ προς τη τέμνει την στο Λ και την στο, να αποδείξετε ότι Κ=ΚΛ και Κ=Κ 5.18 Κύκλος με κέντρο Κ εφάπτεταιι σε άλλον κύκλο με κέντρο Λ στο σημείο. ια ευθεία (ε) εφάπτεται στον κύκλο Κ στο σημείο. ν η τέμνειι τον κύκλο Λ στο σημείο, να αποδείξετε ότι Λ (ε) Το τρίγωνο είναι εγγεγραμμένο σε ε κύκλο και η διχοτόμος του τέμνει τον κύκλο στο. Θεωρούμε ακόμη τα ευθύγραμμα τμήματα Θ και Η ώστε και. ) ποδείξετε ότι το τρίγωνο είναι ι ισοσκελές. ) Να δείξετε την ισότητα. ) ποδείξετε ότι είναι.

37 Λυκείου - εωμετρία 37 ) Να δείξετε την ισότητα 5.0 Στο διπλανό σχήμα, είναι διάμετροι και ε εφαπτομένη του κύκλου. Να υπολογίσετε: α) τη γωνία θ β) τη γωνία φ γ) τη γωνία ω. M 5.1 πό σημείο εξωτερικό κύκλου (Ο, R) φέρνουμε τις εφαπτόμενες, του κύκλου. Προεκτείνουμε το Ο κατά τμήμα =Ο. Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΟE Ο είναι ισοσκελές. E Να αποδείξετε ότι: 3 O Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο Ο είναι εγγράψιμο. 5. Στο διπλανό σχήμα δίνονται δύο κύκλοι (Κ, ρ 1 ) και (Λ, ρ ) με ρ >ρ 1, που τέμνονται στα και. Έστω τυχαίο σημείο του (Κ, ρ 1 ) και η κοινή χορδή. Οι χορδές και προεκτεινόμενες τέμνουνν τον κύκλο (Λ, ρ ) στα και αντίστοιχα, η τέμνει τον (Κ, ρ 1 ) στο και η προέκταση της τέμνει την στο Η. ) Να αποδείξετε ότι :. ) Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο Η είναι εγγράψιμο. Κ Η Λ 5.3 Σε επίπεδο, θεωρούμε ευθ. τμήμα με μήκος 10cm, Ο το μέσο του και τα σημεία και έτσι ώστε : να βρίσκονται εκατέρωθεν της, Ο = Ο = 5cm ˆ = 1 της ορθής και Να δείξετε ότι το είναι εγγράψιμο. = 5cm και = αν το μέσο της τότε Ο ˆ = Ο ˆ = 15 ο. ˆ = 30 ο

38 5.4 Σε ένα τρίγωνο είναι =. Έστω το μέσο της πλευράς. Στην πλευρά παίρνουμε τα σημεία Ν και Ρ έτσι ώστε Ν = ΝΡ = Ρ. Να αποδειχθεί ότι: ) Ρ // Ν ) Η ευθεία Ν διέρχεται από το μέσο του ) Η Ν είναι κάθετη στην. ) Η γωνία Ρ είναι ορθή. ) ν η γωνία είναι ίση με 30 ο, τότε Ν = Ρ. 5.5 Έστω (Κ, ρ) κύκλος και σημείο Ρ, στο επίπεδό του, τέτοιο ώστε ΚΡ =ρ. Φέρνουμε τα εφαπτόμενα τμήματα Ρ και Ρ. _ Να αποδείξετε ότι:. ˆ = 30 ο. ˆ = 10 ο. το Ρ είναι ισόπλευρο _K _Ρ _ 5.6 Σε τρίγωνο είναι 3 και ) Να υπολογίσετε τις γωνίες του τριγώνου ) ν το ύψος του τριγώνου και η διάμεσός του τότε : i) Να αποδείξετε ότι = 30 ο ii) Να αποδείξετε ότι 4 Η Ο 5.7 Στο διπλανό σχήμα είναι (Ο,R) ο περιγεγραμμένος στο τρίγωνο, κύκλος,, τα ύψη του και. Να δείξετε ότι: η διάμετρος του κύκλου το παραλληλόγραμμο, Το 1, το μέσο της