Δυναμική Μηχανών Ι. Διδάσκων: Αντωνιάδης Ιωάννης. Aνάλυση Fourier

HTML
DOWNLOAD

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Δυναμική Μηχανών Ι. Διδάσκων: Αντωνιάδης Ιωάννης. Aνάλυση Fourier"

Παραμονος Ταμτάκος
7 χρόνια πριν
Προβολές:

1 Δυναμική Μηχανών Ι Διδάσκων: Αντωνιάδης Ιωάννης Aνάλυση Fourier

2 Άδεια Χρήσης Το παρόν υλικό βασίζεται στην παρουσίαση Aνάλυση Fourier του καθ. Ιωάννη Αντωνιάδη και υπόκειται σε άδεια χρήσης Creative Commons. Για υλικό όπως εικόνες, που υπόκειται σε άδεια χρήσης άλλου τύπου, αυτή πρέπει να αναφέρεται ρητώς.

3 Ανάλυςθ Fourier για Περιοδικζσ υναρτιςεισ Μια περιοδικι ςυνάρτθςθ u(tt) (περίοδο Τ) μπορεί να εκφραςτεί ςαν άκροιςμα αρμονικϊν ςυναρτιςεων όπου uu tt = 1 2 αα 0 + AA nn sin (nn Ω 0 tt + φφ nn ) Ω 0 = 2ππ/Τ AA nn = αα nn 2 + bb nn 2 φφ nn = tttttt 1 ( αα nn bb nn ) nn=1 αα nn = 2 TT bb nn = 2 TT TT 0 TT 0 uu tt cos (nn Ω 0 tt)dddd uu tt sin (nn Ω 0 tt)dddd 3

4 Ανάλυςθ Fourier για Περιοδικζσ υναρτιςεισ Ιςοδφναμα, μια περιοδικι ςυνάρτθςθ u(tt) μπορεί να εκφραςτεί ςαν άκροιςμα μιγαδικϊν εκκετικϊν uu tt = cc nn ee jj nn Ω 0 tt nn= όπου τα cc nn είναι μιγαδικοί αρικμοί Σα cc nn υπολογίηονται από τα αα nn και bb nn Για πραγματικά ςιματα (uu tt R): cc nn = cc nn 4

5 Περιεχόμενο υχνοτιτων Σο Π.. μιασ ςυνάρτθςθσ u(tt) είναι το ςφνολο των ςυχνοτιτων ω των αρμονικϊν ςυναρτιςεων sin (ωωtt) (ιςοδφναμα των ee jjωωtt ) ςτισ οποίεσ μπορεί να αναλυκεί θ u(tt) Παράδειγμα: το Π.. μιασ περιοδικισ ςυνάρτθςθσ u(tt) είναι το ςφνολο n Ω 0, nn = 0,1,2, cc nn uu tt = nn= cc nn ee jj nn Ω 0 tt cc nn 0 ω 3Ω 0 Ω 0 2Ω 0 Ω 0 2Ω0 3Ω 0 5

6 Μεταςχθματιςμόσ Fourier Περιγράφει πωσ μια τυχαία (όχι αναγκαςτικά περιοδικι) ςυνάρτθςθ u(tt) μπορεί να εκφραςτεί ςαν άκροιςμα από άπειρεσ αρμονικζσ ςυναρτιςεισ uu tt = 1 2ππ H ςυνάρτθςθ uu ωω είναι ο μ/χ Fourier τθσ u(tt) Περιγράφει το περιεχόμενο ςυχνοτιτων τθσ u(tt) uu ωω = uu ωω ee jjωωtt ddωω Σο ηευγάρι του μ/χ Fourier ςυμβολίηεται ωσ: uu ωω = F uu tt, uu tt = F 1 [uu ωω ] uu(tt)ee jjωωtt dddd 8 6

7 Μεταςχθματιςμόσ Fourier Παρόμοια με τον μ/χ Laplace Ο μ/χ Fourier υπάρχει ςε ςιματα ςυγκεκριμζνων ιδιοτιτων Τπολογίηεται είτε αναλυτικά είτε μζςω πινάκων/ιδιοτιτων ε αυτό το μάκθμα ΔΕΝ κα ηθτθκεί να υπολογίςετε τον μ/χ Fourier μιασ ςυνάρτθςθσ Περιςςότερα ςτο μάκθμα «Δυναμικι Μθχανϊν ΙΙ» 9 7

8 Εφαρμογζσ του Μ/Χ Fourier Χριςιμοσ τόςο κεωρθτικά όςο και πειραματικά! ε αντίκεςθ με μ/χ Laplace που είναι αναλυτικό εργαλείο Μια διακριτι δειγματολθψία του μ/χ Fourier ενόσ ςιματοσ (π.χ. μιασ μζτρθςθσ) προκφπτει μζςω του αλγορίκμου Fast Fourier Transformation (FFT) Βλζπε Δυναμικι Μθχανϊν ΙΙ

9 Περιεχόμενο υχνοτιτων Όςο πιο γριγορθ/απότομθ είναι μια ςυνάρτθςθ, τόςο μεγαλφτερο εφροσ ςυχνοτιτων περιζχει Ο μ/χ Fourier uu ωω είναι ςθμαντικόσ για μεγαλφτερο εφροσ ωω Παράδειγμα: Μ/χ Fourier ςυνάρτθςθσ παλμοφ Για διάρκεια παλμοφ τ, το uu ωω μεγάλο κυρίωσ για ωω < 2ππ ττ uu(tt) uu ωω 11 9

10 Μ/Χ Fourier και Απόκριςθ υχνότθτασ Ο μ/χ Fourier τθσ απόκριςθσ yy tt ενόσ γραμμικοφ δυναμικοφ ςυςτιματοσ (περιγράφεται από τθν ςυνάρτθςθ μεταφοράσ HH ss ) ςε διζγερςθ uu tt υπολογίηεται ωσ: yy ωω = H(jω) uu ωω μ/χ Fourier τθσ απόκριςθσ yy tt Απόκριςθ ςυχνότθτασ του ςυςτιματοσ μ/χ Fourier τθσ διζγερςθσ u tt H απόκριςθ ςυχνότθτασ ενόσ ςυςτιματοσ είναι ο μ/χ Fourier τθσ απόκριςθσ ςε κρουςτικι διζγερςθ tt HH jjω = F tt 12 10

11 Τπολογιςμόσ Απόκριςθσ Γραμμικϊν υςτθμάτων μζςω Μ/Χ Fourier Η απόκριςθ yy tt ενόσ γραμμικοφ δυναμικοφ ςυςτιματοσ ςε κάποια διζγερςθ uu tt μπορεί να υπολογιςτεί είτε ςτο πεδίο του χρόνου είτε ςτο πεδίο τθσ ςυχνότθτασ uu tt h(t) yy tt = h(t) uu tt F[ ] F 1 [ ] uu ωω H(jω) yy ωω = H(jΩ) uu ωω 11

12 Μοντελοποίθςθ υςτθμάτων υνεχοφσ Μζςου 12

Μοντελοποίθςθ Με Διακριτά τοιχεία τθν περίπτωςθ μοντζλων διακριτϊν ςτοιχείων, θ κινθτικι και δυναμικι ενζργεια υπολογίηεται ωσ ςυνάρτθςθ των Ν βακμϊν

13 Μοντελοποίθςθ Με Διακριτά τοιχεία τθν περίπτωςθ μοντζλων διακριτϊν ςτοιχείων, θ κινθτικι και δυναμικι ενζργεια υπολογίηεται ωσ ςυνάρτθςθ των Ν βακμϊν ελευκερίασ qq (το Ν είναι πεπεραςμζνο) τοιχεία αδράνειασ Τ = Τ(qq ) τοιχεία ελαςτικότθτασ V = V(qq) τοιχεία απόςβεςθσ xx F(tt) Μ g qq = xx θθ θθ L m 15 13

14 Μοντελοποίθςθ Με Διακριτά τοιχεία Μοντζλα διακριτϊν ςτοιχείων βαςίηονται ςε παραδοχζσ θμειακζσ μάηεσ (αμελείται αδράνεια, ελαςτικότθτα) τερεά ςϊματα (αμελείται αδράνεια) «Μικρζσ» μάηεσ αμελϊνται εισ βάροσ μεγάλων Ιδανικά ελατιρια (αμελείται μάηα, αδράνεια) «τυβαρά» εξαρτιματα μοντελοποιοφνται άκαμπτα Σριβζσ μοντελοποιοφνται ςαν γραμμικοί αποςβεςτιρεσ «Μικρζσ» τριβζσ αμελϊνται εισ βάροσ μεγάλων 14

Μοντελοποίθςθ Με Διακριτά τοιχεία Πολλζσ φορζσ θ

Επιλογι βζλτιςτων διακριτϊν ςτοιχείων όχι προφανι

15 Μοντελοποίθςθ Με Διακριτά τοιχεία Πολλζσ φορζσ θ μοντελοποίθςθ με διακριτά ςτοιχεία δεν φτάνει Πολφπλοκο ςφςτθμα. Αδράνεια & ελαςτικότθτα κατανζμονται ςτον χϊρο. Επιλογι βζλτιςτων διακριτϊν ςτοιχείων όχι προφανι Τψθλζσ απαιτιςεισ για ακρίβεια, λεπτομερι ανάλυςθ Ειδικά ςε μθχανικά ςυςτιματα 17 15

16 Μοντελοποίθςθ υςτθμάτων υνεχοφσ Μζςου Περιγράφουν δυναμικι ςυςτθμάτων, όπου τα ςτοιχεία αποκικευςθσ ενζργειασ (μάηα, ελαςτικότθτα) και οι διεγζρςεισ είναι κατανεμθμζνα ςτο χϊρο Περιγράφονται μζςω μερικϊν διαφορικϊν εξιςϊςεων Απλοποιθμζνα (π.χ. εξιςϊςεισ εφελκυςμοφ ι κάμψθσ δοκοφ) Πιο γενικά (εξιςϊςεισ ελαςτικότθτασ) 18 16

17 Παράδειγμα: τρεπτικζσ Σαλαντϊςεισ Ατράκτου Ιςορροπία ροπϊν για κάκε ςτοιχειϊδθ μικοσ τθσ ατράκτου Για Μ(xx) ΔΙ Μ(xx + Δx) μμ(xx, tt) Δx xx Δxx ΔΙ 2 θθ tt 2 = MM = Μ xx + Δx Μ xx + μμ xx, tt Δx = ( MM xx Μ xx = G JJ(xx) θθ χζςθ δυνάμεων-τάςεων: Διαφορικι εξίςωςθ κίνθςθσ ατράκτου: ρ II PP 2 θθ tt 2 = xx xx (G JJ(xx) ) + μμ xx, tt xx + μμ xx ) Δx 19 17

18 Παράδειγμα: τρεπτικζσ Σαλαντϊςεισ Ατράκτου Διαφορικι εξίςωςθ κίνθςθσ ατράκτου: Εξίςωςθ μετάδοςθσ κφματοσ (ΜΔΕ) ρ II PP 2 θθ tt 2 = (G JJ(xx) ) + μμ xx, tt xx xx αδράνεια ελαςτικότθτα διζγερςθ Η γωνία θθ(xx, tt) είναι ςυνάρτθςθ του χϊρου xx και χρόνου t Άπειροι βακμοί ελευκερίασ Καταςτατικι εξίςωςθ υλικοφ Ελαςτικό: Μ xx = G JJ(xx) xx Μζτρο διάτμθςθσ Γεωμετρικόσ παράγων 20 18

19 Απλοποιθμζνα Προβλιματα 2 θσ τάξθσ Γενικι μορφι ΜΔΕ: 2 yy tt 2 = 1 cc 2 2 yy + gg ff xx, tt xx2 Στρεπτικζσ ταλαντώςεισ ατράκτου Αξονικζσ ταλαντώςεισ δοκοφ Εγκάρςιεσ ταλαντώςεισ ςφρματοσ 19

20 Απλοποιθμζνα Προβλιματα 2 θσ τάξθσ Γενικι μορφι ΜΔΕ: 2 yy tt 2 = 1 cc 2 2 yy + gg ff xx, tt xx2 Στρεπτικζσ ταλαντώςεισ ατράκτου Αξονικζσ ταλαντώςεισ δοκοφ Εγκάρςιεσ ταλαντώςεισ ςφρματοσ Μεταβλθτι yy(xx, tt) Γωνία ςτρζψθσ θθ(xx, tt) Αξονικι μετατόπιςθ u(xx, tt) Εγκάρςια μετατόπιςθ w(xx, tt) Σαχφτθτα μετάδοςθσ κυμάτων cc Διζγερςθ ff xx, tt Νόμοσ υλικοφ cc = G JJ ρ II PP cc = EE ρ Ροπι ςτρζψθσ/μικοσ Διαμικθ δφναμθ/μικοσ Μ = G JJ xx F = A EE uu xx cc = SS ρ AA Εγκάρςια δφναμθ/μικοσ Q = S ww xx 22 20

21 Πρόβλθμα 4 θσ τάξθσ: Καμπτικι Σαλάντωςθ Δοκοφ ΜΔΕ (δοκόσ Euler-Bernoulli): ρ Α 2 ww tt xx 2 E II 2 ww xx 2 = qq xx, tt Βακμοί ελευκερίασ ww(xx, tt): εγκάρςια μετατόπθςθ Γωνία φ = ww xx Καμπτικι Ροπι: Μ = E II 2 ww xx 2 Εγκάρςιεσ δυνάμεισ: Q = MM xx Εγκάρςια δφναμθ ανά μονάδα μικουσ: q = QQ xx 21

22 Αναλυτικι Επίλυςθ ΜΔΕ Πρόβλθμα Αρχικϊν και υνοριακϊν υνκθκϊν 2 yy tt 2 = 1 cc 2 2 yy + gg ff xx, tt xx2 yy xx, tt ff 1 (yy ll 1, tt, ) = 0 xx=ll 1 yy xx, tt ff 2 (yy ll 2, tt, ) = 0 xx=ll 2 yy xx, 0 = yy 0 xx yy tt xx, 0 = uu 0(xx) Διαφορικι εξίςωςθ Οριακζσ ςυνκικεσ Αρχικζσ ςυνκικεσ 24 22

23 Yπόκεςθ Fourier: Αναλυτικι Επίλυςθ ΜΔΕ yy xx, tt = XX xx ηη(tt) Αντικατάςταςθ ςτθν ομογενι ΜΔΕ: 1 cc 2 Χ (xx) ηη (tt) = XX xx ηη(tt) = ωω2 Η πρϊτθ εξίςωςθ δίνει: Χ xx + ωω cc 2 XX xx = 0 Μαηί με ςυνοριακζσ ςυνκικεσ ορίηουν πρόβλθμα ςυνοριακϊν ςυνκθκϊν Λφςεισ: nn ωω (ιδιοςυχνότθτεσ) και αντίςτοιχεσ ςυναρτιςεισ nn Χ(x) (ιδιομορφζσ) Ιδιομορφζσ είναι κάκετεσ μεταξφ τουσ Κανονικοποιοφνται LL nnχ(x) mmχ(x) dddd = 1, n = m 0, nn mm

24 Αναλυτικι Επίλυςθ ΜΔΕ Αναηθτοφνται λφςεισ τθσ μορφισ: yy xx, tt = nn=1 nnχ(x) ηη nn (tt) Αντικατάςταςθ ςτθν ΜΔΕ δίνει μια ςειρά από ΔΕ: ηη nn + nn ωω 2 nn ηη nn = gg Χ x Με αρχικζσ ςυνκικεσ: ηη nn 0 = ηη nn 0 = 0 0 LL LL nnχ x nnχ x 0 LL yy xx, 0 dddd xx, 0 dddd ff xx, tt dddd = nn Χ x, yy xx, 0 = nn ψψ(tt) = nn Χ x, yy xx,

25 Επίλυςθ υςτθμάτων υνεχοφσ Μζςου Μζςω Τπόκεςθσ Fourier yy = cc 2 yy + gg ff xx, tt ff 1 yy ll 1, tt, yy ll 1, tt = 0, ff 2 (yy ll 2, tt, yy (ll 2, tt)) = 0 yy xx, 0 = yy 0 xx, yy xx, 0 = uu 0 (xx) ηη ωω 2 ηη 1 = 1 ψψ(tt) 1 ηη 1 0 = Χ x, yy xx, 0 ηη 1 0 = 1 Χ x, yy xx, 0 ηη nn + nn ωω 2 ηη nn = nn ψψ(tt) ηη nn 0 = nn Χ x, yy xx, 0 nn ηη nn 0 = Χ x, yy xx, 0 ηη 1 (tt) ηη nn (tt) yy xx, tt = nn=1 nnχ(x) ηη nn (tt) 27 25

26 Απόκριςθ υςτθμάτων υνεχοφσ Μζςου Η απόκριςθ yy xx, tt είναι επαλλθλία των ιδιομορφϊν μζςω των ςυντελεςτϊν ςυνειςφοράσ ηη nn (tt): Παρατθριςεισ yy xx, tt = nn=1 nnχ(x) ηη nn (tt) Αντίςτοιχο με τθν απόκριςθ διακριτϊν ςυςτθμάτων Ν Β.Ε. μζςω ιδιοανυςματικοφ μεταςχθματιςμοφ Σα ςυςτιματα ςυνεχοφσ μζςου ζχουν άπειρεσ ιδιομορφζσ υνικωσ, θ απόκριςθ yy xx, tt κυριαρχείται από λίγεσ χαμθλζσ ιδιομορφζσ yy xx, tt NN rr nnχ(x) ηη nn (tt) nn=

Γενικευμζνεσ Εξιςϊςεισ Ελαςτικότθτασ Οι μονοδιάςτατεσ εξιςϊςεισ 2 θσ και 4 θσ τάξθσ είναι απλοποιθμζνα μοντζλα των 3D εξιςϊςεων ελαςτικότθτασ: ρρ 2 uu(rr, t) tt 2 = σσ + ff rr, tt

27 Γενικευμζνεσ Εξιςϊςεισ Ελαςτικότθτασ Οι μονοδιάςτατεσ εξιςϊςεισ 2 θσ και 4 θσ τάξθσ είναι απλοποιθμζνα μοντζλα των 3D εξιςϊςεων ελαςτικότθτασ: ρρ 2 uu(rr, t) tt 2 = σσ + ff rr, tt χζςεισ τάςεων-τροπϊν: εε = εε( uu) Καταςτατικζσ εξιςϊςεισ υλικοφ: σσ = σσ(εε) χεδόν πάντα δεν μποροφν να λυκοφν αναλυτικά Λφςθ μζςω αρικμθτικϊν μεκόδων (π.χ. πεπεραςμζνα ςτοιχεία) 29 27

28 Χρηματοδότηση Το Έργο Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα του ΕΜΠ υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρηματικού Προγράμματος Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.

Σχετικά έγγραφα

Δυναμικι Μθχανϊν I. Διάλεξθ 16. Χειμερινό Εξάμθνο 2013 Τμιμα Μθχανολόγων Μθχ., ΕΜΠ

Δυναμικι Μθχανϊν I. Διάλεξθ 16. Χειμερινό Εξάμθνο 2013 Τμιμα Μθχανολόγων Μθχ., ΕΜΠ Δυναμικι Μθχανϊν I Διάλεξθ 16 Χειμερινό Εξάμθνο 2013 Τμιμα Μθχανολόγων Μθχ., ΕΜΠ 1 Ανακοινϊςεισ Office Hours: Δευτζρα 1-3 μμ, Εργαςτιριο Εμβιομθχανικισ, Ιςόγειο Κτθρίου Μ (210 772-1516) DMmeche2013@gmail.com