ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΕΥΦΥΗΣ ΕΛΕΓΧΟΣ. Ενότητα #7: Σύστημα Ασαφούς Λογικής Μαθηματικές Εκφράσεις

Transcript

1 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΕΥΦΥΗΣ ΕΛΕΓΧΟΣ Ενότητα #7: Σύστημα Ασαφούς Λογικής Μαθηματικές Εκφράσεις Αναστάσιος Ντούνης Τμήμα Μηχανικών Αυτοματισμού Τ.Ε.

2 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. 2

3 Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα» έχει χρηματοδοτήσει μόνο την αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 3

4 Σκοποί ενότητας Μαθηματικοί τύποι Συστήματος Ασαφούς Λογικής, αριθμητικά παραδείγματα. 4

5 Περιεχόμενα ενότητας Μαθηματικός τύπος Συστήματος Ασαφούς Λογικής (FLS ) Αριθμητικά παραδείγματα Ασκήσεις στον συλλογισμό ασαφούς συμπεράσματος 5

6 Μαθηματικός τύπος Συστήματος Ασαφούς Λογικής (FLS )

7 Μαθηματικός τύπος του FLS kk nn ii=1 ) yy = ff(xx) = zzll ll ll=1 ( μμ AAii (xx ii ) kk nn ll ( μμ AAii (xx ii ) ll=1 ii=1 ) (1) ΘΘ ll = nn ll ii=1 μμ AAii (xx ii ) kk nn ll ( μμ AAii (xx ii ) ll=1 ii=1 ) kk ff(xx) = zz ll ll=1 θθ ll (xx) = h CC ll (zz ll ) kk h CC ll (zz ll ) ll=1 ff(xx) = [ΘΘ 1, ΘΘ 2,, ΘΘ ll ] [zz 1, zz 2,, zz ll ] TT (3) ff(xx) = [ΘΘ 1 zz 1 + ΘΘ 2 zz ΘΘ ll zz ll ] (4) 7

8 Κανόνες Παραδείγματα ασαφούς λογικής

9 Κανόνες Παραδείγματα ασαφούς λογικής (1) RR (1) : IIII PPPPPP iiii OOOO 1 aaaaaa TT aaaaaa iiii MMMMMMMMMMMM (MM) TTheeee CCCCCCCCCCCC iiii zz 1 = 400WW RR (2) : IIII PPPPPP iiii OOOO 3 aaaaaa TT aaaaaa iiii BBBBBB (MM) TTheeee CCCCCCCCCCCC iiii zz 2 = 1000WW RR (3) : IIII PPPPPP iiii OOOO 2 aaaaaa TT aaaaaa iiii vvvvvvvv BBBBBB (VVVV) TTheeee CCCCCCCCCCCC iiii zz 2 = 1200WW 9

10 Διαγράμματα Κανόνων ασαφούς λογικής 10

11 Αριθμητικά παραδείγματα

12 Αριθμητικά παραδείγματα (1) Υπολογισμός της σαφούς εξόδου του συστήματος ασαφούς λογικής με τη μηχανή συμπεράσματος γινόμενο (max- product: τον τελεστή product τον χρησιμοποιούμε για την σύνθετη ασαφή πρόταση της υπόθεσης του κανόνα και τον τελεστή max διότι χρησιμοποιούμε την τιμή του ασαφούς συνόλου της εξόδου με βαθμό συμμετοχής «1») ff(xx) = ( ) ( ) ( ) + ( ) = 1160WW = ff(xx) = = 1160WW 5 12

13 Αριθμητικά παραδείγματα (2) Υπολογισμός της σαφούς εξόδου του συστήματος ασαφούς λογικής με τη μηχανή συμπεράσματος ελάχιστο (max-min: τον τελεστή min τον χρησιμοποιούμε για την σύνθετη ασαφή πρόταση της υπόθεσης του κανόνα και τον τελεστή max διότι χρησιμοποιούμε την τιμή του ασαφούς συνόλου της εξόδου με βαθμό συμμετοχής «1») Υπολογισμός των τριών FBF s θθ 1 (xx) = = 0, θθ 2(xx) = = 1 5, θθ 3(xx) = = 4 5 Από το παράδειγμα παρατηρούμε ότι ο κανόνας RR (1) συμμετέχει στη διαμόρφωση του τελικού αποτελέσματος κατά 0%, ο κανόνας RR (2) κατά 20% και ο κανόνας RR (3) κατά 80%. 13

14 Αριθμητικά παραδείγματα (3) ff(xx) = = WW Πρακτικά το αποτέλεσμα της εξόδου του συστήματος ασαφούς λογικής σημαίνει ότι σύστημα ψύξης λειτουργεί και πρέπει να προσφέρει ψυκτική ισχύ στο χώρο 1160W με την πρώτη μέθοδο συμπεράσματος και 1143W με τη δεύτερη μέθοδο συμπεράσματος. 14

15 Επαναληπτικές ασκήσεις στο συλλογισμό ασαφούς συμπεράσματος

16 Επαναληπτικές ασκήσεις στο συλλογισμό ασαφούς συμπεράσματος (1) 1. Να υπολογιστεί η τιμή που προκύπτει από την αποασαφοποίηση του τραπεζοειδούς ασαφούς συνόλου Α με τις μεθοδολογίες: a) COA b) το μικρότερο των μεγίστων, c) το μεγαλύτερο των μεγίστων, d) μέσος όρος των μεγίστων και 16

17 Επαναληπτικές ασκήσεις στο συλλογισμό ασαφούς συμπεράσματος (2) e) με τη μέθοδο της διχοτόμου (Bisector of Area) Μ αυτήν τη μέθοδο η τιμή της αποσαφοποίησης είναι η τομή του άξονα των x και της ευθείας που χωρίζει το εμβαδόν που περικλείει η συνάρτηση συμμετοχής σε δύο ισοεμβαδικούς χώρους. 17

18 Επαναληπτικές ασκήσεις στο συλλογισμό ασαφούς συμπεράσματος (3) 2. Έστω ένα σύστημα που περιγράφεται με τρείς κανόνες τύπου Mamdani. R1: Εάν x είναι Μικρό τότε το y είναι Μεσαίο R2: Εάν x είναι Μεσαίο τότε το y είναι Μεγάλο R3: Εάν x είναι Μεγάλο τότε το y είναι Μικρό Όπου οι γλωσσικές μεταβλητές μικρό, μεσαίο και μεγάλο εκφράζονται από τα παρακάτω διακριτά ασαφή σύνολα: Μικρό = {1/1+0.5/2} Μεσαίο = {0.5/2+1/3+0.6/4+0.3/5} Μεγάλο = {0.4/4+0.7/5+1/6} 18

19 Επαναληπτικές ασκήσεις στο συλλογισμό ασαφούς συμπεράσματος (4) a) Να βρεθούν οι σχεσιακοί πίνακες RR 1, RR 2, RR 3 των τριών κανόνων με συνεπαγωγή Mamdani-min. b) Να υπολογιστεί η ολική μήτρα R της βάσης των κανόνων με τον κανόνα του Mamdani-max (RR = RR 1 RR 2 RR 3 ) 3. Έστω ένα γεγονός x =0.3/3+1/4+0.5/6. a) Χρησιμοποιώντας το συνθετικό κανόνα συμπεράσματος να υπολογιστεί η έξοδος του συστήματος πριν την αποασαφοποίηση. b) Με τη μέθοδο COA υπολογίστε την τιμή της αποασαφοποιημένης εξόδου. 19

20 Επαναληπτικές ασκήσεις στο συλλογισμό ασαφούς συμπεράσματος (5) 20

21 Επαναληπτικές ασκήσεις στο συλλογισμό ασαφούς συμπεράσματος (6) X 1 X 2 y Α 1 Β1 C1 μμ ΑΑ1 = tttttttttttttttt(xx 1 ; 0,0.5,1) μμ BB1 = tttttttttttttttt(xx 2 ; 0,1,2) μμ CC1 = tttttttttttttttt(yy; 1,2,3) A 2 B2 C2 μμ ΑΑ2 = tttttttttttttttt(xx 1 ; 0.5,1,1.5) μμ BB2 = tttttttttttttttt(xx 2 ; 1,2,3) μμ CC2 = tttttttttttttttt(yy; 2,3,4) A 3 B3 C3 μμ ΑΑ3 = tttttttttttttttt(xx 1 ; 1,1.5,2) μμ BB3 = tttttttttttttttt(xx 2 ; 2,3,4) μμ CC3 = tttttttttttttttt(yy; 3,4,5) Όπως γνωρίζουμε: xx aa tttttttttttttttt(xx; aa, bb, cc) = max (min bb aa cc xx,, 0) cc bb και a,b και c,είναι οι τετμημένες των γωνιών του τριγώνου από αριστερά προς τα δεξιά. 21

22 Επαναληπτικές ασκήσεις στο συλλογισμό ασαφούς συμπεράσματος (7) Οι κανόνες μπορούν να παρουσιαστούν και σε μορφή πίνακα: 22

23 Επαναληπτικές ασκήσεις στο συλλογισμό ασαφούς συμπεράσματος (8) 23

24 Επαναληπτικές ασκήσεις στο συλλογισμό ασαφούς συμπεράσματος (9) 24

25 Ασκήσεις (1) 1. Έστω ένα σύστημα που περιγράφεται με δύο κανόνες τύποι Mamdani. R1: Εάν x είναι ΑΑ 1 και το y είναι ΒΒ 1 Τότε z είναι ΓΓ 1 R2: Εάν x είναι ΑΑ 2 και το y είναι ΒΒ 2 Τότε z είναι ΓΓ 2 ΑΑ 1, ΑΑ 2 XX = {xx 1, xx 2, xx 3 }, BB 1, BB 2 YY = {yy 1, yy 2, yy 3 } κκκκκκ ΓΓ 1, ΓΓ 2 ZZ = {zz 1, zz 2, zz 3 } ΑΑ 1 = , ΑΑ 2 = , ΒΒ xx 1 xx 2 xx 2 xx 1 = , ΒΒ 3 yy 1 yy 2 = yy 2 yy 3 ΓΓ 1 = , ΓΓ zz 1 zz 2 zz 2 = zz 1 zz 2 zz 3 25

26 Ασκήσεις (2) a) Να βρεθούν οι σχεσιακοί πίνακες RR 1, RR 2, RR 3 των δύο κανόνων με συνεπαγωγή Mamdani-min b) Να υπολογιστεί η ολική μήτρα R της βάσης των κανόνων με τον κανόνα του Mamdani (max)(rr = RR 1 RR 2 ) c) Έστω τα ασαφή σύνολα της εισόδου ΑΑ = xx 1 xx 2 και ΒΒ = 0.5 d) Χρησιμοποιώντας το συνθετικό κανόνα συμπεράσματος να υπολογιστεί η έξοδος του συστήματος πριν την αποασαφοποίηση. yy Υπόδειξη: Στην περίπτωση δύο εισόδων και μιας εξόδου το τελικό συμπέρασμα προκύπτει από τη σχέση ΓΓ = ΒΒ (ΑΑ RR), η οποία με συναρτήσεις συμμετοχής γράφεται ως εξής: μμ ΓΓ (xx, yy) = max {μμ ΒΒ (yy) max [μμ AA (xx) μμ RR (xx, yy, zz)]} yy xx e) Με τη μέθοδο COA υπολογίστε την τιμή της αποασαφοποιημένης εξόδου. yy 2 26

27 Τέλος Ενότητας