Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Ι

Transcript

1 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Ι Ενότητα #10: Σύστηματα και Απόκριση Συχνότητας - Λογαριθμικά Διαγράμματα BODE Δημήτριος Δημογιαννόπουλος Τμήματος Μηχανικών Αυτοματισμού Τ.Ε.

2 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. 2

3 Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 3

4 Σκοποί Ενότητας Η έννοια των διαγραμμάτων BODE Σχεδιασμός από Συνάρτηση Μεταφοράς Εύρεση Συνάρτησης Μεταφοράς από BODE Διαβάζοντας τα BODE 4

5 Περιεχόμενα Ενότητας (1) Διαγράμματα BODE αρμονικής απόκρισης συστημάτων Παρουσίαση των ασυμπτωτικών διαγραμμάτων λογαριθμικών κερδών/ φάσεων συναρτήσει του ω (διαγράμματα BODE) για στοιχειώδη συστήματα 1. Κέρδος Α, G(s)=A 2. Απλός μηδενιστής (ρίζα) στο μηδέν, G(s)=s 3. Απλός μηδενιστής (ρίζα) στο ωω, GG ss = ( ss ωω + 1) 4. Ζεύγος μιγαδικών Μηδενιστών, GG ss = ss2 ωω 2 + 2ζζ ωω ss + 1 5

6 Περιεχόμενα Ενότητας (2) Παρουσίαση των ασυμπτωτικών διαγραμμάτων λογαριθμικών κερδών/ φάσεων συναρτήσει του ω (διαγράμματα BODE) για στοιχειώδη συστήματα 5. Απλός Πόλος στο μηδέν, GG ss = 1 ss 6. Απλός Πόλος στο ωω, GG ss = 1 ( ss ωω +1) 7. Ζεύγος μιγαδικών πόλων, δηλαδή GG ss = 1 ( ss2 2ζζ 2+ ωω ωω +1) Παρατηρήσεις Παραδείγματα, Παραδείγματα-Αντίστροφη πορεία 6

7 Διαγράμματα BODE αρμονικής απόκρισης συστημάτων 7

8 Διαγράμματα BODE Αρμονικής Απόκρισης Συστημάτων - 1 Ημιτονοειδές σήμα εισόδου σε σύστημα δημιουργεί ημιτονοειδή έξοδο με μέτρο και φάση εξαρτώμενες απο τη συχνότητα διέγερσης ω: 8

9 Διαγράμματα BODE Αρμονικής Απόκρισης Συστημάτων - 2 Ημιτονοειδές σήμα εισόδου σε σύστημα δημιουργεί ημιτονοειδή έξοδο με μέτρο και φάση εξαρτώμενες απο τη συχνότητα διέγερσης ω: Έστω σύστημα με συνάρτηση μεταφοράς GG ss = KK ss zz 1 (ss zz mm ) (ss pp 1 ) (ss pp ) mm, µε zz ii, pp ii R 9

10 Διαγράμματα BODE Αρμονικής Απόκρισης Συστημάτων - 3 Ημιτονοειδές σήμα εισόδου σε σύστημα δημιουργεί ημιτονοειδή έξοδο με μέτρο και φάση εξαρτώμενες απο τη συχνότητα διέγερσης ω: Έστω σύστημα με συνάρτηση μεταφοράς GG ss = KK ss zz 1 (ss zz mm ) (ss pp 1 ) (ss pp ) mm, µε zz ii, pp ii R Για συχνότητα διέγερσης ω, η αρμονική συνάρτηση G(jω) δίδεται αν θέσουμε s=jω (όπως έχουμε δείξει παλαιότερα) GG jjjj = KK jjjj zz 1 (jjjj zz mm ) = ΚΚ ΜΜ zz1 ee jjφφzz1 ΜΜ zz mm eejjφφ zzmm (jjjj pp 1 ) (jjjj pp ) ΜΜ pp 1 eejjφφ pp1 ΜΜ pp eejjφφ pp (1) 10

11 Διαγράμματα BODE Αρμονικής Απόκρισης Συστημάτων - 4 Άρα GG jjjj = ΚΚ ΜΜ zz1 ΜΜ zzmm ΜΜ pp 1 ΜΜ pp ee jj(φφ zz 1 +φφ zz2+ +φφzzmm φφ pp 1 φφ ) pp2 φφpp φφ{gg jjjj } (2) GG(jjjj) Για τη δεδομένη συχνότητα ω λοιπόν μπορούμε να βρούμε το μέτρο GG(jjjj) και τη φάση φ{g(jω)} αν γνωρίζουμε τα αντίστοιχα μεγέθη των στοιχειωδών υποσυστημάτων ss zz 1 (ss zz mm ) και 1 (ss pp 1 ) 1 (ss pp )!! 11

12 Διαγράμματα BODE Αρμονικής Απόκρισης Συστημάτων - 5 Μια πλήρης μελέτη του συστήματος G(s) σημαίνει: τη δοκιμή αυτού με ημιτονοειδή είσοδο συχνότητας ω για 0 < ω < 12

13 Διαγράμματα BODE Αρμονικής Απόκρισης Συστημάτων - 6 Μια πλήρης μελέτη του συστήματος G(s) σημαίνει: τη δοκιμή αυτού με ημιτονοειδή είσοδο συχνότητας ω για 0 < ω < και την καταγραφή του μέτρου GG(jjjj) και φάσης φ{g(jω)} σε διαγράμματα 13

14 Διαγράμματα BODE Αρμονικής Απόκρισης Συστημάτων - 7 Μια πλήρης μελέτη του συστήματος G(s) σημαίνει τη δοκιμή αυτού με ημιτονοειδή είσοδο συχνότητας ω για 0 < ω < και την καταγραφή του μέτρου GG(jjjj) και φάσης φ{g(jω)} σε διαγράμματα Nyquist (δηλαδή απεικόνιση του GG(jjjj) συναρτήσει του φ{g(jω)}) λογαριθμικά BODE (δηλαδή απεικόνιση του GG(jjjj) σε λογαριθμική μορφή συναρτήσει του ω, και του φ{g(jω)} συναρτήσει του ω). ή Στα επόμενα Θα ασχοληθούμε με τα ασυμπτωτικά διαγράμματα BODE. 14

15 Διαγράμματα BODE Αρμονικής Απόκρισης Συστημάτων - 8 Έχουμε δύο επιλογές: Είτε δοκιμάζουμε το φυσικό σύστημα του οποίου τα χαρακτηριστικά (συνάρτηση μεταφοράς) είναι άγνωστα και καταγράφουμε τα αποτελέσματα GG(jjjj) και φ{g(jω)} σε διάγραμμα ή Γνωρίζουμε τη συνάρτηση μεταφοράς G(s) και με τη βοήθεια της σχέσης (2) υπολογίζουμε GG(jjjj) και φ{g(jω)} ως επαλληλία των στοιχειωδών υποσυστημάτων. Σε κάθε περίπτωση μόνο το GG(jjjj) θα δίδεται σε λογαριθμική μορφή δηλαδή M db = 20 log 10 GG(jjjj) όπου M db σε decibel. 15

16 Διαγράμματα BODE Αρμονικής Απόκρισης Συστημάτων - 9 Θα μελετήσουμε την περίπτωση που σχεδιάζουμε /αναπτύσσουμε ένα σύστημα οπότε και γνωρίζουμε (αφού το σχεδιάζουμε) τη συνάρτηση μεταφοράς G(s). Φέρνουμε την G(s) στη μορφή: GG ss = AA ss αα PP(ss) QQ(ss) με P(0)=Q(0)=1 (3) Όπως πάντα θα ισχύει GG jjjj = AA ΜΜ zz1 ΜΜ zzmm. Λογαριθμίζοντας έχουμε: ΜΜ pp 1 ΜΜ pp MM db GG jjjj = 20 log 10 GG jjjj = 20 log 10 ΑΑ + 20 log 10 ΜΜ zz log 10 ΜΜ zzmm 20 log 10 ΜΜ pp1 20 log 10 ΜΜ pp = MM db AA + MM db zz MM db zz mm MM db pp 1 MM db pp 16

17 Διαγράμματα BODE Αρμονικής Απόκρισης Συστημάτων - 10 ΑΡΑ: Γνώση των λογαριθμικών κερδών κάθε στοιχειώδους υποσυστήματος για 0 < ω < σε διάγραμμα συναρτήσει του ω και Επαλληλία για κάθε τιμή του ω των αντιστοίχων (λογαριθμικών) κερδών, ώστε να έχουμε το διάγραμμα GG(jjjj) συναρτήσει του ω! Όμοια εργαζόμαστε και για τις (όχι λογαριθμικές) φάσεις των στοιχειωδών υποσυστημάτων. 17

18 Παρουσίαση των ασυμπτωτικών διαγραμμάτων λογαριθμικών κερδών/ φάσεων συναρτήσει του ω (διαγράμματα BODE) για στοιχειώδη συστήματα 18

19 1. Κέρδος Α, δηλαδή G(s)=A Μ(db) Παράδειγμα: 20 log 10 (A) A=1 MM db = 20 log 10 1 = 0 0 ω AA = 1 2 MM db = 20 log 10 2 = 6db AA = 2 MM dddd = 20 log 10 2 = 6dddd Φ Α > 0 Α < 0 ω Η φάση είναι πάντα 0 για A>0 ή -180 για Α<0 19

20 2. Απλός μηδενιστής (ρίζα) στο μηδέν G(s)=s Μ(db) db/oct ω Άνοδος με κλίση 6db/oct (1 Οκτάβα: ω->2ω) Τομή με άξονα του ω στο 1 Φ +90 ο 0 ω Φάση σταθερά +90 ο. 20

21 3. Απλός μηδενιστής (ρίζα) στο ω n, GG ss = ( ss ωω + 1) *Μελετούμε την και όχι την GG ss = ( ss ωω + 1) FF ss = ss + ωω 1 διότι αν F(s) στη μορφή (3) τότε FF ss = ωω 1 1 ωω 1 ss + 1 άρα υπάρχει και απλό κέρδος AA = ωω 11, που είδη μελετήσαμε πριν!! 21

22 3. Απλός μηδενιστής (ρίζα) στο ω n, GG ss = ( ss ωω + 1) Μ(db) 6 db/oct Άνοδος με κλίση 6db/oct ω n 2ω n ω Τομή με άξονα του ω στο ωω Μέχρι τα ωω rr/ss M db =0 Φ 0 έως 0.1ωω φ=0 0.1ωω έως 10ωω Άνοδος με 45 ο /δεκάδα 10ωω έως φ=+90 ο +90 ο +45 ο 0 0.1ω n ω n Ασυμπτωτικό --- πραγματικό 45 o /δεκ. 10ω n ω 0.1ωω ωω : ΜΙΑ δεκαδα ωω 10ωω : ΜΙΑ δεκαδα 10ωω 100ωω : ΜΙΑ δεκαδα 22

23 4. Ζεύγος μιγαδικών Μηδενιστών, GG ss = ss2 ωω 2 + 2ζζ ωω ss + 1 Μ(db) 12 db/oct Άνοδος με κλίση 12db/oct 12 Τομή με άξονα του ω στο ωω 0 ω n 2ω n ω Μέχρι τα ωω rr/ss M db =0 Φ +180 ο 90 o /δεκ. Από 0 έως 0.1ωω : φ=0 0.1ωω έως 10ωω : Άνοδος με 90 ο /δεκάδα +90 ο 0 0.1ω ω n 10ω n ω 10ωω έως : φ=+180 n Ασυμπτωτικό --- πραγματικό 23

24 5. Απλός Πόλος στο μηδέν, GG ss = 1 ss Μ(db) db/oct ω Όπως και με τον αντίστοιχο μηδενιστή αλλά Φ συμμετρικά ως προς τον άξονα των ω! 0 ω -90 ο 24

25 Μ(db) 6. Απλός Πόλος στο ωω, GG ss = 1 ( ss ωω +1) ω n 2ω n ω 6 db/oct Όπως και με τον αντίστοιχο μηδενιστή Φ αλλά συμμετρικά ως προς τον άξονα των ω! 0-45 ο -90 ο 0.1ω n ω n 10ω 45 o /δεκ. n ω 25

26 Μ(db) 7. Ζεύγος μιγαδικών πόλων, GG ss = 1 ( ss2 2ζζ 2+ ωω ωω ss+1) 0-12 ω n 2ω n ω 12 db/oct Όπως και με τον αντίστοιχο μηδενιστή Φ αλλά συμμετρικά ως προς τον άξονα των ω! 0-90 ο -180 ο 0.1ω n ω n 10ω n 90 o /δεκ. ω 26

27 Παρατηρήσεις - 1 Όλα τα παραπάνω διαγράμματα BODE είναι ασυμπτωτικές προσεγγίσεις ων πραγματικών, οι οποίες όμως περιγράφουν επαρκώς την πραγματικότητα. Τα ακριβή διαγράμματα BODE είναι δύσκολο να υπολογιστούν / χαραχθούν, εκτός της περιπτώσεως όπου χρησιμοποιείται κατάλληλο λογισμικό. Οι κύριες διαφορές μεταξύ ασυμπτωτικών και πραγματικών BODE δίδονται στη συνέχεια για την περίπτωση των στοιχειωδών συστημάτων όπου εμπλέκονται πόλοι. Για την περίπτωση των συστημάτων όπου εμπλέκονται μηδενιστές (ρίζες) τα διαγράμματα BODE είναι τα συμμετρικά των προηγούμενων ως προς τον άξονα του ω. 27

28 Παρατηρήσεις - 2 Μ(db) GG ss = 1 ( ss + 1) ωω ω n 2ω n 6 db/oct Μέτρο: Πραγματικό Ασυμπτωτικό = -3db στο ωω Φ 0-45 ο -90 ο 0.1ω n ω n 10ω 45 o /δεκ. n 28

29 Παρατηρήσεις - 3 Μ(db) GG ss = 1 ( ss2 ωω 2 + 2ζζ ωω + 1) 0-12 ω n 2ω n ω 12 db/oct Μέτρο: Πραγματικό Ασυμπτωτικό=Η διαφορά δίδεται από πίνακες ~ ζ! Φ 0-90 ο -180 ο 0.1ω n ω n 10ω n 90 o /δεκ. ω 29

30 Παρατηρήσεις

31 Παράδειγμα - 1 Έστω GG ss = 64(ss+1) ss(ss+2)(ss 2 +8ss+16) Να γίνει το ασυμπτωτικό διάγραμμα BODE Μεταφέρουμε την G(s) στην μορφή GG ss = AA PP(ss) με P(0)=Q(0)=1 ss αα QQ(ss) G ss = 64( ss 1 +1) = 2 16 ss( ss 2 +1)(ss ss+1) 2( ss 1 +1) ss( ss 2 +1)(ss ss+1) Κέρδος AA = 2 => MM db = 20 log 10 2 = 6db Μηδενιστής zz 1 =1, πόλοι ωω pp1 = 2, ωω pp2 = ωω pp3 = 4, ωω pp4 = 0 31

32 Παράδειγμα - 2 Ακολουθώντας την ίδια λογική της επαλληλίας στοιχειωδών όρων (υποσυστημάτων) κατασκευάζουμε το διάγραμμα φάσης [ΠΡΟΣΟΧΗ στον ΠΙΝΑΚΑ!] 32

33 Παράδειγμα Αντίστροφη πορεία 33

34 Αντίστροφη Πορεία - 1 Μας δίδεται το ασυμπτωτικό BODE και αναγνωρίζουμε τη Συνάρτηση Μεταφοράς 0 0.1r/s: Κλίση 0 db/oct, Κέρδος= -6db AA = r/s (1 oct) Κλίση +6 db/oct ( ss ) r/s Κλίση 0 db/oct άρα παράγοντας που δίδει -6 db/oct ( 1 ss ) r/s (1 oct) Κλίση -6 db/oct άρα παράγοντας που δίδει -6 db/oct ( 1 ss ) 1 Κλίση 0 db/oct άρα παράγοντας που δίδει +6 db/oct ( ss 1 + 1) 34

35 Αντίστροφη Πορεία - 2 Απάντηση. GG ss = ss 0.5( )(ss+1) ss +1)( ( ss (ss+0.1)(ss+1) = ) 0.1 (ss+0.2)(ss+0.5) = 0.5(ss+0.1)(ss+1) (ss+0.2)(ss+0.5) 35

36 Διάγραμμα Φάσης Με τα διαγράμματα έτοιμα μπορούμε να γνωρίζουμε την απόκριση του συστήματος για κάθε ω: ω=0.03 r/s y(t)=1sin(0.03t+φ*) (διότι MM db = 0, φφ = φφ για ω=0.03) ω=16r/s y(t)=0.5sin(16t) 36

37 Τέλος Ενότητας