( ) 2. TRANSMITEREA SEMNALELOR PE LINII Transferul maxim de putere. Z g Z sarc U g

Transcript

1 TRANSMITEREA SEMNALELOR PE LINII Tanfel maxm de ptee De mlte dm ca tanfel de ptee de la ă de enee (eneat de emnal) căte n cnmat (nă) ă e ealzeze c andament maxm. Se pne că na ete adaptată la eneat. În cazl cel ma eneal, atât mpedanţa de eşe a eneatl cât ş na nt cmplexe, având atât cmpnentă actvă (eztvă, R), cât ş na eactvă (ndctvă a capactvă, X): R + jx (1) R + jx () U F.1 Dacă na ete cnectată dect la bnele de eşe ale eneatl de emnal (f.1), atnc ntentatea centl pn nă ete: U I (3) ( R + jx ) + ( R + jx ) Pteea actvă tanmă n ete pteea cnmată pe patea e eztvă: P I R (4) a, ţnând cnt de expea centl: U R P (5) ( R + R ) + ( X + X ) Având în vedee faptl că eactanţă pate f atât pztvă (cmptament ndctv), cât ş neatvă (cmptament capactv), e pate beva că pmă maxmzae a pte pate f ealzată dacă: X + X 0 (6) Aceata îneamnă că, dn pnct de vedee eactv, eneatl de emnal ş na tebe ă abă cmptamente cmplementae: dacă na ae cmptament ndctv, cealaltă tebe ă abă n cmptament capactv cae ă-l anleze pe pml. Dacă aceată pmă cndţe ete atfăctă, pteea tanmă n va depnde exclv de patea eztvă a a: U R P( R ) (7) R + R ( ) Fncţa pezntă n maxm pent: R R (8) 1

2 maxm cae ae valaea: U P max 4R (9) Având în vedee cele dă cenţe menţnate ante, e pate cnclzna că: tanfel de ptee de la eneatl de emnal căte na cnectată la bnele ale ete maxm atnc când mpedanţa n ete cmplex cnjata mpedanţe de eşe a eneatl De fate mlte mpedanţa de eşe a eneatl de emnal ete p eztvă (, 600Ω,...), a na ae caacte eactv. În acet caz, pent ealzaea adaptă, înte eneat ş nă e ntepne n cct alcătt dn elemente pave (bbne, cndenat, eztenţe), atfel dmennat încât pe de pate ă cmpeneze cmptamentl eactv al n ş pe de alta ă adcă patea eztvă mţtă de eneat că ma apape de îndeplnea cndţe (8). Un atfel de cct pată denmea de eţea de adaptae (matchn netwk). Lna de tanme Ecaţle teleafştl Tanmteea emnalel de la ele l căte cnmat e face, în majtatea aplcaţl, pn ntemedl cabll de cnexne (ln de tanme). Atnc cînd acetea nt caxale a bflae (tp panlcă), n f ete cnectat la bna de maă (fl ece ) a celălalt ete cnct b denmea de f cald, ptenţall ă vand în apt c cel al mae. Atâta tmp cât lnmea de ndă a emnall tanm pe lne ete mlt ma mae decât lnmea acetea, e pate apxma că lna e cmptă ca ş faţă de n emnal de cent cntn. Dacă înă lnmea lne de tanme ete cmpaablă c lnmea de ndă a emnall tanm pn ea, ppaaea aceta tebe analzată ma atent. Se şte că cae bcăţcă de cndct lna ae ndctanţă ş că l e pate aca capactate faţă de pafaţă cndctae c ptenţal electc dfet de al l. Ttdată, el ae eztenţă electcă cae, la fecvenţe de dnl 10 6 Hz a ma ma, dattă efectl pelcla (Skn), ceşte dată c ceşteea fecvenţe. Având în vedee acete adevă fzce, pent analza ppaă n emnal electc pe lne de tanme tebe ă î acem acetea n mdel electc. În el tebe ă eăm eztenţa electcă a cndctl ş ndctanţa l, capactatea dnte aceşta pecm ş eztenţa de pede a medl dnte e (mateal platc, tefln etc.). Atfel, n tnn de lne pate f mdelat ca în f., în cae R, L, C ş R c e efeă la ntatea de lnme. dx R L -d C R C -d F.

3 Dacă e ntdc ntaţle: R + jx L (10) Y G + jb C (11) în cae: X L ωl, G 1/R C ş B C ωc 1/X c (1) atnc, vaaţle tenn ş centl pe lna de tanme nt date de ecaţle dfeenţale: d dx d Y dx d d dx dx d d Y dx dx Cmbnând vaaţle de dnl 1 ş ale cel dă măm, e bţn ecaţle dfeenţale cae dec ppaaea pe lna de tanme a emnall caactezat pn dfeenţa de ptenţal dnte cndct ş centl înt-n pnct dat. Ele nt cncte ca ecaţle teleafştl. (13) d Y 0 dx (14) d (15) Y 0 dx Ecaţa caactetcă pent ambele ecaţ ale teleafştl ete: γ Y 0, c lţa γ ± Y. γ ete cntanta de ppaae, ea depnzând de caactetcle electce ale lne de tanme: γ ( R + jx )( G + ) L jb C. Expea e e pate adce b fma γ α + jβ, α epezentând atenaea pe lna de tanme a β, mdfcaea faze emnall tanm pe lne. Atfel, lţa ecaţe (14), cae epezntă tennea pe lne la dtanţă x de a de emnal, e pate ce b fma: Ae + Be (16) în cae pml temen epezntă nda de tenne dectă (cea cae e ppaă de la a de emnal pe nă) c ampltdnea A a cel de al dlea epezntă nda eflectată (cea cae e ppaă de la nă pe a de emnal) c ampltdnea B. Vaaţa tenn în lnl lne de tanme (d/dx) va f expmată de ecaţa: d dx ( Ae Be γ ) (17) Expmând ntentatea centl dn ecaţa (13) 1 d (18) dx ş înlcnd în ea expea vaaţe tenn (17), e bţne pent ntentatea centl înt-n pnct aflat la dtanţa x de a de emnal: γ ( Ae Be ) (19) 3

4 Având acm expele tenn ş ntentăţ centl înt-n pnct pe lna de tanme (ec. (16) ş (19)), e pate ce aptl dnte ele: Y Ae Ae + Be Be (0) Expee cae epezntă mpedanţă. În ea, γ a ft înlct c expea a γ Y. Dacă pe lna de tanme n e ppaă nc ndă eflectată, ceea ce e întâmplă în cazl lne nfnte a când extă adaptae la capătl dnpe nă al lne tanme, atnc ampltdnea B a nde eflectate va f nlă (B 0) ş aptl / va defn mpedanţa caactetcă a lne de tanme: (1) Y C aceată expee, aptl -γ/ dn expea l pate f c: Y Y 1 γ () Dacă lna de tanme ete ş făă pede, ceea ce îneamnă că R 0 ş G 0 (R C ), atnc mpedanţa caactetcă a lne va depnde da de ndctanţa ş capactatea pe ntatea de lnme a lne: L C (3) Reflexa la capătl dnpe nă al lne Pent a şa analza matematcă a fenmenel de ppaae ş eflexe pe lne ete tl ă cndeăm axa de cdnate entată de la nă pe ă, c nea la capătl dnpe nă al lne de tanme (f.3). U x l F.3 0 Ecaţle tenn ş centl pe lne e v bţne dn ecaţle (16) ş (19) bttnd vaabla x c x. Atfel e bţn nle ecaţ: ( x) Ae + Be (4) x) 1 ( Ae Be ( ) (5) La ceea ecaţe (5) am lat în cndeae elaţa (). La capătl lne dnpe nă x 0 ş ecaţle pecedente devn: 4

5 ( 0) A + B (6) A B ( 0) (7) Deaece A epezntă ampltdnea tenn emnall cae e ppaă de la ă pe nă ş B epezntă epezntă ampltdnea tenn emnall cae e ppaă de la nă pe ă, cefcentl (factl) de eflexe al tenn pate f defnt ca: B (8) A Rezlvând teml fmat dn ec. (6) ş (7) ş calclând cefcentl de flexe, e bţne pent el ecaţa: (0) (0) (0) (0) (0) + (0) (0) + (0) Deaece aptl (0)/(0) epezntă mpedanţa de nă, expea cefcentl de eflexe al tenn devne: + Dn ecaţa centl (5) ezltă că ampltdnea nde decte de cent ete A/ a a cele eflectate ete -B/. Dec cefcentl de eflexe al centl va f -B/A. Aşada, (9) (30) (31) Impedanţa de ntae a lne Impedanţa de ntae a lne de tanme ete mpedanţa pe cae mte eneatl de emnal. Dacă lnmea lne ete l, mpedanţa de ntae pate f că ca: n ( l) ( l) Ae Ae + Be Be Dacă în elaţa de ma e dă A fact cmm ş e înlceşte la nmăăt ş nmt aptl B/A c expea (30) a cefcentl de eflexe, e bţne: n a n (3) ( e + e ) + ( e e ) ch + h ( e e ) + ( e + e ) h + ch + th (34) + th Dacă lna pate f cndeată făă pede, atnc α 0 ş γ jβ. β epezntă nmăl de ndă eal c π/ ş: π π th th j jt l (35) (33) 5

6 Atfel, expea mpedanţe de ntae a lne făă pede, la capătl căea ete cnectată mpedanţă de nă, va f: n + j + j π t l π t l (36) Se pate beva că mpedanţa de ntae a lne de tanme depnde de caactetcle e electce (pn ) ş emetce (pn l), da ş de mămea n cnectate la capătl e. În fncţe de lnmea lne, e dtn dă caz patclae: Cazl 1 l n Lnmea lne ete n mltpl înte de emlnm de ndă ale emnall cae e ppaă pn ea. În aceată taţe: π π t l t n tnπ 0 ş n (37) În acet caz e pne că mpedanţa de ntae lndeşte mpedanţa de nă. Steml e cmptă ca ş cm na a f cnectată dect la bnele e de emnal. Cazl l (n + 1) 4 Lnmea lne ete n mltpl mpa de fet de ndă ale emnall cae e ppaă pn ea. În aceată taţe: π π π t l t (n + 1) t(n + 1) 4 ş n (38) Inflenţa lnl apa tanme datel dtale Pbleme leate de tanma datel pn cabl a taee ale cctel mpmate apa atnc când fecvenţa emnall tanm devne ma mae de 10 MHz. La aceată fecvenţă lnmea de ndă în vd ete: 8 c m (39) f Dacă ppaaea e face înt-n med delectc aecae, lnmea de ndă devne ş ma mcă ş pblemele e accentează. De exempl, pent n cabl caxal făă pede (R 0, R c ) c mpedanţa caactetcă ş c capactatea C 100 pf/met, vteza de ppaae a emnall ete: 6

7 1 v 0,65c (40) LC a lnmea de ndă pe lne la 10 MHz va f de 19,5 m. Indctanţa ş capactatea pe ntatea de lnme a lne de tanme depnde în pml ând de emeta aceta ş în al dlea, de nata medl delectc dnte cndctaele metalce. Relaţ de calcl a paametl caactetc în fncţe de tpl de lne R TIP LINIE D ε ε h PARAMETRI C [F/m] L [H/m] ε cabl caxal πε ε R ln µ µ R ln π lne bflaă πε D ln µ 1 + ln D π 4 cabl tnd paalel c pafaţă pământată πε h ln h nh 11,7 l10 n Pblemele cae pt ă apaă la ppaaea n emnal pe lne nt leate de: întăzee atenae tnjea mpll apaţa n şpţ de tenne Cazele apaţe acet pbleme nt: cmptament eactv al lnl pede cecte în cndct (efectl Skn) ş delectc zlat neadaptă ale mpedanţel la capetele lnl a la cnexnle ntemedae În temele dtale nfmaţle e tanmt b fmă de mpl deptnhlae. Pe data n atfel de mpl ae lc tanzţa de la 0 la tenne dcată de câţva vlţ, menţneea la acet nvel de tenne n tmp fate ct (fncţe de fecvenţa emnall de tact (cea, clck)) ş ap evenea la 0. Pe lne de tanme făă pede ş cae n ntdce dtn, ndă 1 tanzte e ppaă c vteza v. Pe lnle caxale zale aceată vteză ete cpnă LC înte 65% ş 83% dn vteza lmn. Când nda ajne la capătl lne e pate pdce eflexe pe nă, c epectaea cndţl la lmtă. Ampltdnea nde eflectate depnde de cefcentl de eflexe, defnt cnfm elaţl (30) ş (31). Pma ndă eflectată e va ppaa c vtez v pe capătl lne cnţnând a de emnal. Ea e va cmpne c nda dectă. Când ajne la capăt ea e pate eflecta pe mpedanţa e dpă aceleaş el. Fenmenl e epetă până la ateea n em taţna. Să cndeăm pe exemplfcae cctl dn f.4, în cae lna ete făă pede, având mpedanţa eală c mpedanţa caactetcă,. Semnall fnzat de ă ete nl de tp teaptă, c ampltdnea. Dpă aplcaea l, n fnt de ndă c ampltdnea d (nda dectă) e va l ppaa în tmpl τ până la capătl dnpe nă al lne. Dpă n nteval de tmp v τ, pe înteaa lne e va tabl tenne d. În ma eflexe pe nă, ndă c ampltdnea (nda eflectată) e va ppaa c aceaş vteză pe ă, înmând-e c nda dectă. Atfel, pe lne e va tabl pev, în ntevall de tmp (τ, τ), tenne: 7

8 lne d (t) (t) lne d t 0 lne l x F.4 lne d + (41) La mmentl de tmp τ, înteaa lne va f pă acete tenn a ntentatea centl pn lne va f: + lne d lne (4) Ca mae a eflexe pe nă, în ntevall de tmp (τ, τ) d - (43) a centl pn nă va f: d (44) Având în vedee necetatea atface cndţl la lmtă, tebe ca lne. Aceată cndţe va cndce la ealtatea: 1+ 1 d d (45) Se şte că aptl / d epezntă cefcentl de eflexe al tenn. Atfel, la capătl dnpe nă al lne de tanme, cefcentl de eflexe al tenn va f: + (46) elaţe dentcă c elaţa (30) de defne a l, dedă dpă n alt aţnament. O eflexe a nde cae e ppaă dnpe nă înpe ă e pate pdce ş la capătl dnpe ă al lne de tanme. Aplcând n aţnament anal cel ante, cefcentl de eflexe la ă va f: + (47) Analzând expele cefcenţl de eflexe la cele dă capete ale lne vm beva medat că: 8

9 pent a n avea eflex la capetele lne ete necea ca mpedanţa de eşe a e de emnal, mpedanţa caactetcă a lne de tanme ş mpedanţa de nă ă fe eale: ş Vm dcta acm (pe exemple nmece) câteva caz dnte cele cae e întâlnec fecvent în pactcă. Exempll 1 lna adaptată ( ) temnată în l 5V la t 0 75 Ω 75 Ω F.5 (t) 5V,5V la t τ 5V dpa t τ Schema echvalentă a acet cct ete pezentată în f.5. C valle peczate ante, cefcenţ de eflexe pent nda dectă (la capătl temnat în l) ş pent nda efelectată (la capătl dnpe nă) v f: 75 lm Cndeând dvzl de tenne dn f.5, e vede medat că la mmentl t 0 pe lne începe ă e ppae ndă dectă c ampltdnea de,5v. Dpă tmpl τ, nda ajne la capătl temnat în l al lne, nde ete eflectată ttal ( 1). În ntevall de tmp (τ, τ) pe lne a va tabl pev tenne c măme epezentând ma dnte tennea nde decte ş tennea nde eflectate, adcă,5v +,5V 5V. Dpă tmpl τ, pma ndă eflectată ajne la capătl dnpe ă al lne. Ac 0 ş n va ma avea lc nc n fel de eflexe. Atfel, dpă n nteval de tmp τ de la cnectaea emnall, e ajne la eml taţna, tennea pe înteaa lne fnd eală c tennea de me în l a e de emnal, adcă 5V. Exempll lna adaptată ( ) temnată c n ctcct (f.6). (t) 5V 0Ω F Ca ş în cazl pecedent, la mmentl t 0 pe lne începe ă e ppae ndă dectă c ampltdnea de,5v. Dpă tmpl τ, nda ajne la capătl lne temnat în ctcct, nde ete eflectată ttal ( -1). În ntevall de tmp (τ, τ) pe lne a va tabl pev 9

10 tenne c măme epezentând ma alebcă dnte tennea nde decte ş tennea nde eflectate, adcă,5v -,5V 0V. Dpă tmpl τ, nda eflectată ajne la capătl dnpe ă al lne. Ac 0 ş n va ma avea lc nc n fel de eflexe. Atfel, dpă n nteval de tmp τ de la cnectaea emnall, e ajne la eml taţna, tennea pe înteaa lne ş pe nă fnd eală c 0V. Dacă ccctl a f ft cnectat dect la bnele e, ezltatl a ft acelaş, da n dpă n nteval de tmp eal c τ c cha dn mmentl cnectă e de emnal (t 0). Exempl 3 lna adaptată la ambele capete (f.7) (t) 5V F La mmentl t 0 pe lne începe ă e ppae ndă dectă c ampltdnea de,5v. Dpă tmpl τ, nda ajne la capătl lne temnat c nă având mpedanţa eală c mpedanţa caactetcă a lne. Dattă adaptă n la lna de tanme, la capătl dnpe nă al lne n e va pdce nc n fel de eflexe, atfel că la mmentl de tmp t τ pe înteaa lne e va tabl tennea de,5v, aceata epezentând ş tennea cepnzătae eml taţna. Aceata ete ş valaea pe cae a avea- tennea pe nă cha de la t 0 dacă ea a f cnectată dect la bnele e de emnal. Se pate beva că în acet caz patcla ( ) ete îndeplntă ş cndţa de tanfe maxm de ptee. Se ma pne că cctl lcează în em adaptat. Exempll 4 lna temnată c nă aecae F.8 5Ω (t) 5V 100Ω Atnc când lna de tanme ete temnată c nă aecae ş mpedanţa de eşe a e de emnal ete dfetă de mpedanţa caactetcă a lne, e v pdce eflex la ambele capete ale lne. În f.8 nt aătate ş valle cefcenţl de eflexe la cele dă capete ale lne. Dpă n nmă de eflex e va ajne în em taţna. Să examnăm mdl în cae e pdce ppaaea până la tablea aceta. La mmentl t 0 a de mnal mte da mpedanţa caactetcă a lne, atfel încăt: 50 ( 0) 5 3,333V Dpă n tmp τ l/v fntl de ndă ajne la capătl dnpe nă a lne, c ampltdnea de 3,333V. Ac ae lc pma eflexe ( +1/3). Unda eflectată va avea ampltdnea de 3,333x 1/3 1,111V. Ea e adnă c nda ncdentă, atfel încât: 10

11 ( τ ) 3, ,111 4,444V Dpă încă n nteval de tmp τ pma ndă eflectată de nă ajne la capătl dnpe ă al lne, tennea pe înteaa lne fnd de 4,444V. Ac 1/3 dn pma ndă eflectată pe nă e va eflecta pe mpedanţa e c ampltdne neatvă ( -1/3), cae e va înma alebc c tennea de pe lne ân acel mment (4,444V). Atfel: 1 ( τ ) 4, ,111 4,444 0,370 4,074V 3 În ntevall de tmp (τ,3τ) nda c ampltdnea 0,370V e va ppaa pe lne până la nă, atfel încât la mmentl de tmp 3τ tennea pe înteaa lne va f 4,074V. Ajă la nă, nda c ampltdnea de 0,370V e va eflecta ş e va înma alebc c tennea lne în acel mment de tmp. Atfel: 1 ( 3τ ) 4,074 + ( 0,370) 4,074 0,13 3,951V 3 Umând acelaş aţnament, e pate calcla tennea la capătl lne dnpe ă dpă ce nda eflectată c ampltdnea 0,13V ajne acl: ş 1 ( 4 τ ) 3,951 + ( 0,13) 3,951+ 0,041 3,991V 3 1 ( 5τ ) 3,991+ 0,041 3,991+ 0,0137 4,0047V 3 Se bevă fate ş că ampltdnle ndel eflectate la capetele lne cad la fecae eflexe ş că pactc, dpă 3-4 eflex cceve tennea pe lne e va tablza la 4V. Se pate cnclzna că în em taţna tennea pe nă e pate calcla ca ş cm mpedanţa de nă a f cnectată dect la bnele e: V