P (A 1 A 2... A n ) = P (A 1 )P (A 2 A 1 )P (A 3 A 1 A 2 ) P (A n A 1 A 2 A n 1 ).
|
|
|
- ÍΘεριστής Μιαούλης
- 9 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Υπενθυμίσεις Παραδείγματα Ασκήσεις Μελέτη 31 Οκτωβρίου 2014 Πιθανότητες και Στατιστική Διάλεξη 7 Ασκήσεις ΙΙ Δεσμευμένη πιθανότητα, Συνδυαστικά επιχειρήματα Αντώνης Οικονόμου Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Αθηνών
2 Υπενθυμίσεις Παραδείγματα Ασκήσεις Μελέτη Θεωρήματα δέσμευσης Απαρίθμηση Βασικά θεωρήματα δέσμευσης Πολλαπλασιαστικός Νόμος:
3 Υπενθυμίσεις Παραδείγματα Ασκήσεις Μελέτη Θεωρήματα δέσμευσης Απαρίθμηση Βασικά θεωρήματα δέσμευσης Πολλαπλασιαστικός Νόμος: P (A 1 A 2... A n ) = P (A 1 )P (A 2 A 1 )P (A 3 A 1 A 2 ) P (A n A 1 A 2 A n 1 ).
4 Υπενθυμίσεις Παραδείγματα Ασκήσεις Μελέτη Θεωρήματα δέσμευσης Απαρίθμηση Βασικά θεωρήματα δέσμευσης Πολλαπλασιαστικός Νόμος: P (A 1 A 2... A n ) = P (A 1 )P (A 2 A 1 )P (A 3 A 1 A 2 ) P (A n A 1 A 2 A n 1 ). Θεώρημα Ολικής Πιθανότητας:
5 Υπενθυμίσεις Παραδείγματα Ασκήσεις Μελέτη Θεωρήματα δέσμευσης Απαρίθμηση Βασικά θεωρήματα δέσμευσης Πολλαπλασιαστικός Νόμος: P (A 1 A 2... A n ) = P (A 1 )P (A 2 A 1 )P (A 3 A 1 A 2 ) P (A n A 1 A 2 A n 1 ). Θεώρημα Ολικής Πιθανότητας: A 1, A 2,... ξένα ανά δύο (ασυμβίβ.) και i=1a i = Ω P (B) = P (A i )P (B A i ). i=1 Κανόνας του Bayes:
6 Υπενθυμίσεις Παραδείγματα Ασκήσεις Μελέτη Θεωρήματα δέσμευσης Απαρίθμηση Βασικά θεωρήματα δέσμευσης Πολλαπλασιαστικός Νόμος: P (A 1 A 2... A n ) = P (A 1 )P (A 2 A 1 )P (A 3 A 1 A 2 ) P (A n A 1 A 2 A n 1 ). Θεώρημα Ολικής Πιθανότητας: A 1, A 2,... ξένα ανά δύο (ασυμβίβ.) και i=1a i = Ω P (B) = P (A i )P (B A i ). i=1 Κανόνας του Bayes: P (A B) = P (A)P (B A). P (B)
7 Υπενθυμίσεις Παραδείγματα Ασκήσεις Μελέτη Θεωρήματα δέσμευσης Απαρίθμηση Συνδυαστικά αποτελέσματα Πλήθος διατάξεων n ανά k =
8 Υπενθυμίσεις Παραδείγματα Ασκήσεις Μελέτη Θεωρήματα δέσμευσης Απαρίθμηση Συνδυαστικά αποτελέσματα Πλήθος διατάξεων n ανά k = n(n 1)(n 2) (n k + 1) =
9 Υπενθυμίσεις Παραδείγματα Ασκήσεις Μελέτη Θεωρήματα δέσμευσης Απαρίθμηση Συνδυαστικά αποτελέσματα Πλήθος διατάξεων n ανά k = n(n 1)(n 2) (n k + 1) = n! (n k)!.
10 Υπενθυμίσεις Παραδείγματα Ασκήσεις Μελέτη Θεωρήματα δέσμευσης Απαρίθμηση Συνδυαστικά αποτελέσματα Πλήθος διατάξεων n ανά k = n(n 1)(n 2) (n k + 1) = n!. (n k)! Πλήθος μεταθέσεων n στοιχείων =
11 Υπενθυμίσεις Παραδείγματα Ασκήσεις Μελέτη Θεωρήματα δέσμευσης Απαρίθμηση Συνδυαστικά αποτελέσματα Πλήθος διατάξεων n ανά k = n(n 1)(n 2) (n k + 1) = n!. (n k)! Πλήθος μεταθέσεων n στοιχείων = n(n 1)(n 2) 1 =
12 Υπενθυμίσεις Παραδείγματα Ασκήσεις Μελέτη Θεωρήματα δέσμευσης Απαρίθμηση Συνδυαστικά αποτελέσματα Πλήθος διατάξεων n ανά k = n(n 1)(n 2) (n k + 1) = n!. (n k)! Πλήθος μεταθέσεων n στοιχείων = n(n 1)(n 2) 1 = n!.
13 Υπενθυμίσεις Παραδείγματα Ασκήσεις Μελέτη Θεωρήματα δέσμευσης Απαρίθμηση Συνδυαστικά αποτελέσματα Πλήθος διατάξεων n ανά k = n(n 1)(n 2) (n k + 1) = n!. (n k)! Πλήθος μεταθέσεων n στοιχείων = n(n 1)(n 2) 1 = n!. Πλήθος επαναληπτικών διατάξεων n ανά k =
14 Υπενθυμίσεις Παραδείγματα Ασκήσεις Μελέτη Θεωρήματα δέσμευσης Απαρίθμηση Συνδυαστικά αποτελέσματα Πλήθος διατάξεων n ανά k = n(n 1)(n 2) (n k + 1) = n!. (n k)! Πλήθος μεταθέσεων n στοιχείων = n(n 1)(n 2) 1 = n!. Πλήθος επαναληπτικών διατάξεων n ανά k = n n n n =
15 Υπενθυμίσεις Παραδείγματα Ασκήσεις Μελέτη Θεωρήματα δέσμευσης Απαρίθμηση Συνδυαστικά αποτελέσματα Πλήθος διατάξεων n ανά k = n(n 1)(n 2) (n k + 1) = n!. (n k)! Πλήθος μεταθέσεων n στοιχείων = n(n 1)(n 2) 1 = n!. Πλήθος επαναληπτικών διατάξεων n ανά k = n n n n = n k.
16 Υπενθυμίσεις Παραδείγματα Ασκήσεις Μελέτη Θεωρήματα δέσμευσης Απαρίθμηση Συνδυαστικά αποτελέσματα Πλήθος διατάξεων n ανά k = n(n 1)(n 2) (n k + 1) = n!. (n k)! Πλήθος μεταθέσεων n στοιχείων = n(n 1)(n 2) 1 = n!. Πλήθος επαναληπτικών διατάξεων n ανά k = n n n n = n k. Πλήθος συνδυασμών n ανά k =
17 Υπενθυμίσεις Παραδείγματα Ασκήσεις Μελέτη Θεωρήματα δέσμευσης Απαρίθμηση Συνδυαστικά αποτελέσματα Πλήθος διατάξεων n ανά k = n(n 1)(n 2) (n k + 1) = n!. (n k)! Πλήθος μεταθέσεων n στοιχείων = n(n 1)(n 2) 1 = n!. Πλήθος επαναληπτικών διατάξεων n ανά k = n n n n = n k. Πλήθος συνδυασμών n ανά k = ( ) n k
18 Υπενθυμίσεις Παραδείγματα Ασκήσεις Μελέτη Θεωρήματα δέσμευσης Απαρίθμηση Συνδυαστικά αποτελέσματα Πλήθος διατάξεων n ανά k = n(n 1)(n 2) (n k + 1) = n!. (n k)! Πλήθος μεταθέσεων n στοιχείων = n(n 1)(n 2) 1 = n!. Πλήθος επαναληπτικών διατάξεων n ανά k = n n n n = n k. Πλήθος συνδυασμών n ανά k = ( ) n Πλήθος διατάξεων n ανά k k = k!
19 Υπενθυμίσεις Παραδείγματα Ασκήσεις Μελέτη Θεωρήματα δέσμευσης Απαρίθμηση Συνδυαστικά αποτελέσματα Πλήθος διατάξεων n ανά k = n(n 1)(n 2) (n k + 1) = n!. (n k)! Πλήθος μεταθέσεων n στοιχείων = n(n 1)(n 2) 1 = n!. Πλήθος επαναληπτικών διατάξεων n ανά k = n n n n = n k. Πλήθος συνδυασμών n ανά k = ( ) n Πλήθος διατάξεων n ανά k k = = k! n!. k!(n k)!
20 Υπενθυμίσεις Παραδείγματα Ασκήσεις Μελέτη Θεωρήματα δέσμευσης Απαρίθμηση Συνδυαστικά αποτελέσματα Πλήθος διατάξεων n ανά k = n(n 1)(n 2) (n k + 1) = n!. (n k)! Πλήθος μεταθέσεων n στοιχείων = n(n 1)(n 2) 1 = n!. Πλήθος επαναληπτικών διατάξεων n ανά k = n n n n = n k. Πλήθος συνδυασμών n ανά k = ( ) n Πλήθος διατάξεων n ανά k k = = k! n!. k!(n k)! Πλήθος διαμερίσεων τύπου (n 1, n 2,..., n k ) ενός συνόλου με n στοιχεία =
21 Υπενθυμίσεις Παραδείγματα Ασκήσεις Μελέτη Θεωρήματα δέσμευσης Απαρίθμηση Συνδυαστικά αποτελέσματα Πλήθος διατάξεων n ανά k = n(n 1)(n 2) (n k + 1) = n!. (n k)! Πλήθος μεταθέσεων n στοιχείων = n(n 1)(n 2) 1 = n!. Πλήθος επαναληπτικών διατάξεων n ανά k = n n n n = n k. Πλήθος συνδυασμών n ανά k = ( ) n Πλήθος διατάξεων n ανά k k = = k! n!. k!(n k)! Πλήθος διαμερίσεων τύπου (n 1, n 2,..., n k ) ενός συνόλου με n στοιχεία n! =. n 1!n 2! n k!
22 Υπενθυμίσεις Παραδείγματα Ασκήσεις Μελέτη Θεωρήματα δέσμευσης Απαρίθμηση Συνδυαστικά αποτελέσματα Πλήθος διατάξεων n ανά k = n(n 1)(n 2) (n k + 1) = n!. (n k)! Πλήθος μεταθέσεων n στοιχείων = n(n 1)(n 2) 1 = n!. Πλήθος επαναληπτικών διατάξεων n ανά k = n n n n = n k. Πλήθος συνδυασμών n ανά k = ( ) n Πλήθος διατάξεων n ανά k k = = k! n!. k!(n k)! Πλήθος διαμερίσεων τύπου (n 1, n 2,..., n k ) ενός συνόλου με n στοιχεία n! =. n 1!n 2! n k! Πλήθος μεταθέσεων k ειδών στοιχείων τύπου (n 1, n 2,..., n k ) με n = n 1 + n n k =
23 Υπενθυμίσεις Παραδείγματα Ασκήσεις Μελέτη Θεωρήματα δέσμευσης Απαρίθμηση Συνδυαστικά αποτελέσματα Πλήθος διατάξεων n ανά k = n(n 1)(n 2) (n k + 1) = n!. (n k)! Πλήθος μεταθέσεων n στοιχείων = n(n 1)(n 2) 1 = n!. Πλήθος επαναληπτικών διατάξεων n ανά k = n n n n = n k. Πλήθος συνδυασμών n ανά k = ( ) n Πλήθος διατάξεων n ανά k k = = k! n!. k!(n k)! Πλήθος διαμερίσεων τύπου (n 1, n 2,..., n k ) ενός συνόλου με n στοιχεία n! =. n 1!n 2! n k! Πλήθος μεταθέσεων k ειδών στοιχείων τύπου (n 1, n 2,..., n k ) με n = n 1 + n n k n! =. n 1!n 2! n k!
24 Παράδειγμα 1: Ασφάλεια αυτοκινήτου
25 Παράδειγμα 1: Ασφάλεια αυτοκινήτου Οι ασφαλισμένοι στον κλάδο αυτοκινήτου μιας ασφαλιστικής εταιρείας μπορεί να είναι επιρρεπείς ή όχι σε ατυχήματα.
26 Παράδειγμα 1: Ασφάλεια αυτοκινήτου Οι ασφαλισμένοι στον κλάδο αυτοκινήτου μιας ασφαλιστικής εταιρείας μπορεί να είναι επιρρεπείς ή όχι σε ατυχήματα. Το 30% είναι επιρρεπείς σε ατυχήματα.
27 Παράδειγμα 1: Ασφάλεια αυτοκινήτου Οι ασφαλισμένοι στον κλάδο αυτοκινήτου μιας ασφαλιστικής εταιρείας μπορεί να είναι επιρρεπείς ή όχι σε ατυχήματα. Το 30% είναι επιρρεπείς σε ατυχήματα. Το 70% είναι μη-επιρρεπείς σε ατυχήματα.
28 Παράδειγμα 1: Ασφάλεια αυτοκινήτου Οι ασφαλισμένοι στον κλάδο αυτοκινήτου μιας ασφαλιστικής εταιρείας μπορεί να είναι επιρρεπείς ή όχι σε ατυχήματα. Το 30% είναι επιρρεπείς σε ατυχήματα. Το 70% είναι μη-επιρρεπείς σε ατυχήματα. Ενας επιρρεπής σε ατυχήματα πελάτης προκαλεί ατύχημα με πιθανότητα 40% μέσα σε 5 χρόνια.
29 Παράδειγμα 1: Ασφάλεια αυτοκινήτου Οι ασφαλισμένοι στον κλάδο αυτοκινήτου μιας ασφαλιστικής εταιρείας μπορεί να είναι επιρρεπείς ή όχι σε ατυχήματα. Το 30% είναι επιρρεπείς σε ατυχήματα. Το 70% είναι μη-επιρρεπείς σε ατυχήματα. Ενας επιρρεπής σε ατυχήματα πελάτης προκαλεί ατύχημα με πιθανότητα 40% μέσα σε 5 χρόνια. Ενας μη-επιρρεπής σε ατυχήματα πελάτης προκαλεί ατύχημα με πιθανότητα 20% μέσα σε 5 χρόνια.
30 Παράδειγμα 1: Ασφάλεια αυτοκινήτου Οι ασφαλισμένοι στον κλάδο αυτοκινήτου μιας ασφαλιστικής εταιρείας μπορεί να είναι επιρρεπείς ή όχι σε ατυχήματα. Το 30% είναι επιρρεπείς σε ατυχήματα. Το 70% είναι μη-επιρρεπείς σε ατυχήματα. Ενας επιρρεπής σε ατυχήματα πελάτης προκαλεί ατύχημα με πιθανότητα 40% μέσα σε 5 χρόνια. Ενας μη-επιρρεπής σε ατυχήματα πελάτης προκαλεί ατύχημα με πιθανότητα 20% μέσα σε 5 χρόνια. Επιλέγεται τυχαία ένας πελάτης.
31 Παράδειγμα 1: Ασφάλεια αυτοκινήτου Οι ασφαλισμένοι στον κλάδο αυτοκινήτου μιας ασφαλιστικής εταιρείας μπορεί να είναι επιρρεπείς ή όχι σε ατυχήματα. Το 30% είναι επιρρεπείς σε ατυχήματα. Το 70% είναι μη-επιρρεπείς σε ατυχήματα. Ενας επιρρεπής σε ατυχήματα πελάτης προκαλεί ατύχημα με πιθανότητα 40% μέσα σε 5 χρόνια. Ενας μη-επιρρεπής σε ατυχήματα πελάτης προκαλεί ατύχημα με πιθανότητα 20% μέσα σε 5 χρόνια. Επιλέγεται τυχαία ένας πελάτης. P (επιρρεπής και προκαλεί ατύχημα)=;
32 Παράδειγμα 1: Ασφάλεια αυτοκινήτου Οι ασφαλισμένοι στον κλάδο αυτοκινήτου μιας ασφαλιστικής εταιρείας μπορεί να είναι επιρρεπείς ή όχι σε ατυχήματα. Το 30% είναι επιρρεπείς σε ατυχήματα. Το 70% είναι μη-επιρρεπείς σε ατυχήματα. Ενας επιρρεπής σε ατυχήματα πελάτης προκαλεί ατύχημα με πιθανότητα 40% μέσα σε 5 χρόνια. Ενας μη-επιρρεπής σε ατυχήματα πελάτης προκαλεί ατύχημα με πιθανότητα 20% μέσα σε 5 χρόνια. Επιλέγεται τυχαία ένας πελάτης. P (επιρρεπής και προκαλεί ατύχημα)=; ;
33 Παράδειγμα 1: Ασφάλεια αυτοκινήτου Οι ασφαλισμένοι στον κλάδο αυτοκινήτου μιας ασφαλιστικής εταιρείας μπορεί να είναι επιρρεπείς ή όχι σε ατυχήματα. Το 30% είναι επιρρεπείς σε ατυχήματα. Το 70% είναι μη-επιρρεπείς σε ατυχήματα. Ενας επιρρεπής σε ατυχήματα πελάτης προκαλεί ατύχημα με πιθανότητα 40% μέσα σε 5 χρόνια. Ενας μη-επιρρεπής σε ατυχήματα πελάτης προκαλεί ατύχημα με πιθανότητα 20% μέσα σε 5 χρόνια. Επιλέγεται τυχαία ένας πελάτης. P (επιρρεπής και προκαλεί ατύχημα)=; ; ;
34 Παράδειγμα 1: Ασφάλεια αυτοκινήτου Οι ασφαλισμένοι στον κλάδο αυτοκινήτου μιας ασφαλιστικής εταιρείας μπορεί να είναι επιρρεπείς ή όχι σε ατυχήματα. Το 30% είναι επιρρεπείς σε ατυχήματα. Το 70% είναι μη-επιρρεπείς σε ατυχήματα. Ενας επιρρεπής σε ατυχήματα πελάτης προκαλεί ατύχημα με πιθανότητα 40% μέσα σε 5 χρόνια. Ενας μη-επιρρεπής σε ατυχήματα πελάτης προκαλεί ατύχημα με πιθανότητα 20% μέσα σε 5 χρόνια. Επιλέγεται τυχαία ένας πελάτης. P (επιρρεπής και προκαλεί ατύχημα)=; ; ; P (προκαλεί ατύχημα)=;
35 Παράδειγμα 1: Ασφάλεια αυτοκινήτου Οι ασφαλισμένοι στον κλάδο αυτοκινήτου μιας ασφαλιστικής εταιρείας μπορεί να είναι επιρρεπείς ή όχι σε ατυχήματα. Το 30% είναι επιρρεπείς σε ατυχήματα. Το 70% είναι μη-επιρρεπείς σε ατυχήματα. Ενας επιρρεπής σε ατυχήματα πελάτης προκαλεί ατύχημα με πιθανότητα 40% μέσα σε 5 χρόνια. Ενας μη-επιρρεπής σε ατυχήματα πελάτης προκαλεί ατύχημα με πιθανότητα 20% μέσα σε 5 χρόνια. Επιλέγεται τυχαία ένας πελάτης. P (επιρρεπής και προκαλεί ατύχημα)=; ; ; P (προκαλεί ατύχημα)=; ;
36 Παράδειγμα 1: Ασφάλεια αυτοκινήτου Οι ασφαλισμένοι στον κλάδο αυτοκινήτου μιας ασφαλιστικής εταιρείας μπορεί να είναι επιρρεπείς ή όχι σε ατυχήματα. Το 30% είναι επιρρεπείς σε ατυχήματα. Το 70% είναι μη-επιρρεπείς σε ατυχήματα. Ενας επιρρεπής σε ατυχήματα πελάτης προκαλεί ατύχημα με πιθανότητα 40% μέσα σε 5 χρόνια. Ενας μη-επιρρεπής σε ατυχήματα πελάτης προκαλεί ατύχημα με πιθανότητα 20% μέσα σε 5 χρόνια. Επιλέγεται τυχαία ένας πελάτης. P (επιρρεπής και προκαλεί ατύχημα)=; ; ; P (προκαλεί ατύχημα)=; ; ;
37 Παράδειγμα 1: Ασφάλεια αυτοκινήτου Οι ασφαλισμένοι στον κλάδο αυτοκινήτου μιας ασφαλιστικής εταιρείας μπορεί να είναι επιρρεπείς ή όχι σε ατυχήματα. Το 30% είναι επιρρεπείς σε ατυχήματα. Το 70% είναι μη-επιρρεπείς σε ατυχήματα. Ενας επιρρεπής σε ατυχήματα πελάτης προκαλεί ατύχημα με πιθανότητα 40% μέσα σε 5 χρόνια. Ενας μη-επιρρεπής σε ατυχήματα πελάτης προκαλεί ατύχημα με πιθανότητα 20% μέσα σε 5 χρόνια. Επιλέγεται τυχαία ένας πελάτης. P (επιρρεπής και προκαλεί ατύχημα)=; ; ; P (προκαλεί ατύχημα)=; ; ; P (επιρρεπής προκάλεσε ατύχημα)=;
38 Παράδειγμα 1: Ασφάλεια αυτοκινήτου Οι ασφαλισμένοι στον κλάδο αυτοκινήτου μιας ασφαλιστικής εταιρείας μπορεί να είναι επιρρεπείς ή όχι σε ατυχήματα. Το 30% είναι επιρρεπείς σε ατυχήματα. Το 70% είναι μη-επιρρεπείς σε ατυχήματα. Ενας επιρρεπής σε ατυχήματα πελάτης προκαλεί ατύχημα με πιθανότητα 40% μέσα σε 5 χρόνια. Ενας μη-επιρρεπής σε ατυχήματα πελάτης προκαλεί ατύχημα με πιθανότητα 20% μέσα σε 5 χρόνια. Επιλέγεται τυχαία ένας πελάτης. P (επιρρεπής και προκαλεί ατύχημα)=; ; ; P (προκαλεί ατύχημα)=; ; ; P (επιρρεπής προκάλεσε ατύχημα)=; ;
39 Παράδειγμα 1: Ασφάλεια αυτοκινήτου Οι ασφαλισμένοι στον κλάδο αυτοκινήτου μιας ασφαλιστικής εταιρείας μπορεί να είναι επιρρεπείς ή όχι σε ατυχήματα. Το 30% είναι επιρρεπείς σε ατυχήματα. Το 70% είναι μη-επιρρεπείς σε ατυχήματα. Ενας επιρρεπής σε ατυχήματα πελάτης προκαλεί ατύχημα με πιθανότητα 40% μέσα σε 5 χρόνια. Ενας μη-επιρρεπής σε ατυχήματα πελάτης προκαλεί ατύχημα με πιθανότητα 20% μέσα σε 5 χρόνια. Επιλέγεται τυχαία ένας πελάτης. P (επιρρεπής και προκαλεί ατύχημα)=; ; ; P (προκαλεί ατύχημα)=; ; ; P (επιρρεπής προκάλεσε ατύχημα)=; ; ;
40 Παράδειγμα 1: Ασφάλεια αυτοκινήτου Οι ασφαλισμένοι στον κλάδο αυτοκινήτου μιας ασφαλιστικής εταιρείας μπορεί να είναι επιρρεπείς ή όχι σε ατυχήματα. Το 30% είναι επιρρεπείς σε ατυχήματα. Το 70% είναι μη-επιρρεπείς σε ατυχήματα. Ενας επιρρεπής σε ατυχήματα πελάτης προκαλεί ατύχημα με πιθανότητα 40% μέσα σε 5 χρόνια. Ενας μη-επιρρεπής σε ατυχήματα πελάτης προκαλεί ατύχημα με πιθανότητα 20% μέσα σε 5 χρόνια. Επιλέγεται τυχαία ένας πελάτης. P (επιρρεπής και προκαλεί ατύχημα)=; ; ; P (προκαλεί ατύχημα)=; ; ; P (επιρρεπής προκάλεσε ατύχημα)=; ; ;
41 Παράδειγμα 2: Οδήγηση σε κατάσταση μέθης Πολιτικός Α: Να καταργηθούν τα πρόστιμα για οδήγηση σε κατάσταση μέθης.
42 Παράδειγμα 2: Οδήγηση σε κατάσταση μέθης Πολιτικός Α: Να καταργηθούν τα πρόστιμα για οδήγηση σε κατάσταση μέθης. Μόνο το 10% των ατυχημάτων γίνονται από μεθυσμένους οδηγούς!
43 Παράδειγμα 2: Οδήγηση σε κατάσταση μέθης Πολιτικός Α: Να καταργηθούν τα πρόστιμα για οδήγηση σε κατάσταση μέθης. Μόνο το 10% των ατυχημάτων γίνονται από μεθυσμένους οδηγούς! Πολιτικός Β: Μα τί λέτε;
44 Παράδειγμα 2: Οδήγηση σε κατάσταση μέθης Πολιτικός Α: Να καταργηθούν τα πρόστιμα για οδήγηση σε κατάσταση μέθης. Μόνο το 10% των ατυχημάτων γίνονται από μεθυσμένους οδηγούς! Πολιτικός Β: Μα τί λέτε; Μόνο το 1% των οδηγών οδηγούν μεθυσμένοι.
45 Παράδειγμα 2: Οδήγηση σε κατάσταση μέθης Πολιτικός Α: Να καταργηθούν τα πρόστιμα για οδήγηση σε κατάσταση μέθης. Μόνο το 10% των ατυχημάτων γίνονται από μεθυσμένους οδηγούς! Πολιτικός Β: Μα τί λέτε; Μόνο το 1% των οδηγών οδηγούν μεθυσμένοι. Πολιτικός Α: Ε και;
46 Παράδειγμα 2: Οδήγηση σε κατάσταση μέθης Πολιτικός Α: Να καταργηθούν τα πρόστιμα για οδήγηση σε κατάσταση μέθης. Μόνο το 10% των ατυχημάτων γίνονται από μεθυσμένους οδηγούς! Πολιτικός Β: Μα τί λέτε; Μόνο το 1% των οδηγών οδηγούν μεθυσμένοι. Πολιτικός Α: Ε και; Πολιτικός Β: Είναι πολύ πιο πιθανό ένας μεθυσμένος να προκαλέσει ατύχημα!
47 Παράδειγμα 2: Οδήγηση σε κατάσταση μέθης Πολιτικός Α: Να καταργηθούν τα πρόστιμα για οδήγηση σε κατάσταση μέθης. Μόνο το 10% των ατυχημάτων γίνονται από μεθυσμένους οδηγούς! Πολιτικός Β: Μα τί λέτε; Μόνο το 1% των οδηγών οδηγούν μεθυσμένοι. Πολιτικός Α: Ε και; Πολιτικός Β: Είναι πολύ πιο πιθανό ένας μεθυσμένος να προκαλέσει ατύχημα! Πολιτικός Α: Αποδείξτε το!
48 Παράδειγμα 2: Οδήγηση σε κατάσταση μέθης Πολιτικός Α: Να καταργηθούν τα πρόστιμα για οδήγηση σε κατάσταση μέθης. Μόνο το 10% των ατυχημάτων γίνονται από μεθυσμένους οδηγούς! Πολιτικός Β: Μα τί λέτε; Μόνο το 1% των οδηγών οδηγούν μεθυσμένοι. Πολιτικός Α: Ε και; Πολιτικός Β: Είναι πολύ πιο πιθανό ένας μεθυσμένος να προκαλέσει ατύχημα! Πολιτικός Α: Αποδείξτε το! Πολιτικός Β: P (προκαλ. ατύχημα μεθυσμένος) P (προκαλ. ατύχημα νηφάλιος) =;
49 Παράδειγμα 2: Οδήγηση σε κατάσταση μέθης Πολιτικός Α: Να καταργηθούν τα πρόστιμα για οδήγηση σε κατάσταση μέθης. Μόνο το 10% των ατυχημάτων γίνονται από μεθυσμένους οδηγούς! Πολιτικός Β: Μα τί λέτε; Μόνο το 1% των οδηγών οδηγούν μεθυσμένοι. Πολιτικός Α: Ε και; Πολιτικός Β: Είναι πολύ πιο πιθανό ένας μεθυσμένος να προκαλέσει ατύχημα! Πολιτικός Α: Αποδείξτε το! Πολιτικός Β: P (προκαλ. ατύχημα μεθυσμένος) P (προκαλ. ατύχημα νηφάλιος) =; ;
50 Παράδειγμα 2: Οδήγηση σε κατάσταση μέθης Πολιτικός Α: Να καταργηθούν τα πρόστιμα για οδήγηση σε κατάσταση μέθης. Μόνο το 10% των ατυχημάτων γίνονται από μεθυσμένους οδηγούς! Πολιτικός Β: Μα τί λέτε; Μόνο το 1% των οδηγών οδηγούν μεθυσμένοι. Πολιτικός Α: Ε και; Πολιτικός Β: Είναι πολύ πιο πιθανό ένας μεθυσμένος να προκαλέσει ατύχημα! Πολιτικός Α: Αποδείξτε το! Πολιτικός Β: P (προκαλ. ατύχημα μεθυσμένος) P (προκαλ. ατύχημα νηφάλιος) =; ; ;
51 Παράδειγμα 2: Οδήγηση σε κατάσταση μέθης Πολιτικός Α: Να καταργηθούν τα πρόστιμα για οδήγηση σε κατάσταση μέθης. Μόνο το 10% των ατυχημάτων γίνονται από μεθυσμένους οδηγούς! Πολιτικός Β: Μα τί λέτε; Μόνο το 1% των οδηγών οδηγούν μεθυσμένοι. Πολιτικός Α: Ε και; Πολιτικός Β: Είναι πολύ πιο πιθανό ένας μεθυσμένος να προκαλέσει ατύχημα! Πολιτικός Α: Αποδείξτε το! Πολιτικός Β: P (προκαλ. ατύχημα μεθυσμένος) P (προκαλ. ατύχημα νηφάλιος) =; ; ;
52 Παράδειγμα 3: Εξαγωγή σφαιριδίων από κάλπη
53 Παράδειγμα 3: Εξαγωγή σφαιριδίων από κάλπη Κάλπη περιέχει w + b σφαιρίδια: w λευκά, b μαύρα.
54 Παράδειγμα 3: Εξαγωγή σφαιριδίων από κάλπη Κάλπη περιέχει w + b σφαιρίδια: w λευκά, b μαύρα. n σφαιρίδια εξάγονται χωρίς επανάθεση.
55 Παράδειγμα 3: Εξαγωγή σφαιριδίων από κάλπη Κάλπη περιέχει w + b σφαιρίδια: w λευκά, b μαύρα. n σφαιρίδια εξάγονται χωρίς επανάθεση. p 1 = P (1ο λευκό και συνολικά k λευκά)=;
56 Παράδειγμα 3: Εξαγωγή σφαιριδίων από κάλπη Κάλπη περιέχει w + b σφαιρίδια: w λευκά, b μαύρα. n σφαιρίδια εξάγονται χωρίς επανάθεση. p 1 = P (1ο λευκό και συνολικά k λευκά)=; ;
57 Παράδειγμα 3: Εξαγωγή σφαιριδίων από κάλπη Κάλπη περιέχει w + b σφαιρίδια: w λευκά, b μαύρα. n σφαιρίδια εξάγονται χωρίς επανάθεση. p 1 = P (1ο λευκό και συνολικά k λευκά)=; ; ;
58 Παράδειγμα 3: Εξαγωγή σφαιριδίων από κάλπη Κάλπη περιέχει w + b σφαιρίδια: w λευκά, b μαύρα. n σφαιρίδια εξάγονται χωρίς επανάθεση. p 1 = P (1ο λευκό και συνολικά k λευκά)=; ; ; p 2 = P (συνολικά k λευκά)=;
59 Παράδειγμα 3: Εξαγωγή σφαιριδίων από κάλπη Κάλπη περιέχει w + b σφαιρίδια: w λευκά, b μαύρα. n σφαιρίδια εξάγονται χωρίς επανάθεση. p 1 = P (1ο λευκό και συνολικά k λευκά)=; ; ; p 2 = P (συνολικά k λευκά)=; ;
60 Παράδειγμα 3: Εξαγωγή σφαιριδίων από κάλπη Κάλπη περιέχει w + b σφαιρίδια: w λευκά, b μαύρα. n σφαιρίδια εξάγονται χωρίς επανάθεση. p 1 = P (1ο λευκό και συνολικά k λευκά)=; ; ; p 2 = P (συνολικά k λευκά)=; ; ;
61 Παράδειγμα 3: Εξαγωγή σφαιριδίων από κάλπη Κάλπη περιέχει w + b σφαιρίδια: w λευκά, b μαύρα. n σφαιρίδια εξάγονται χωρίς επανάθεση. p 1 = P (1ο λευκό και συνολικά k λευκά)=; ; ; p 2 = P (συνολικά k λευκά)=; ; ; p 3 = P (1ο λευκό συνολικά k λευκά)=;
62 Παράδειγμα 3: Εξαγωγή σφαιριδίων από κάλπη Κάλπη περιέχει w + b σφαιρίδια: w λευκά, b μαύρα. n σφαιρίδια εξάγονται χωρίς επανάθεση. p 1 = P (1ο λευκό και συνολικά k λευκά)=; ; ; p 2 = P (συνολικά k λευκά)=; ; ; p 3 = P (1ο λευκό συνολικά k λευκά)=; ;
63 Παράδειγμα 3: Εξαγωγή σφαιριδίων από κάλπη Κάλπη περιέχει w + b σφαιρίδια: w λευκά, b μαύρα. n σφαιρίδια εξάγονται χωρίς επανάθεση. p 1 = P (1ο λευκό και συνολικά k λευκά)=; ; ; p 2 = P (συνολικά k λευκά)=; ; ; p 3 = P (1ο λευκό συνολικά k λευκά)=; ; ;
64 Παράδειγμα 3: Εξαγωγή σφαιριδίων από κάλπη Κάλπη περιέχει w + b σφαιρίδια: w λευκά, b μαύρα. n σφαιρίδια εξάγονται χωρίς επανάθεση. p 1 = P (1ο λευκό και συνολικά k λευκά)=; ; ; p 2 = P (συνολικά k λευκά)=; ; ; p 3 = P (1ο λευκό συνολικά k λευκά)=; ; ;
65 Παράδειγμα 4: Πρώτα ζάρι, μετά νόμισμα
66 Παράδειγμα 4: Πρώτα ζάρι, μετά νόμισμα Ρίχνω συνηθισμένο ζάρι.
67 Παράδειγμα 4: Πρώτα ζάρι, μετά νόμισμα Ρίχνω συνηθισμένο ζάρι. Ρίχνω δίκαιο νόμισμα όσες φορές έδειξε το ζάρι.
68 Παράδειγμα 4: Πρώτα ζάρι, μετά νόμισμα Ρίχνω συνηθισμένο ζάρι. Ρίχνω δίκαιο νόμισμα όσες φορές έδειξε το ζάρι. p 1 = P (ζαριά = 3, μόνο γράμματα)=;
69 Παράδειγμα 4: Πρώτα ζάρι, μετά νόμισμα Ρίχνω συνηθισμένο ζάρι. Ρίχνω δίκαιο νόμισμα όσες φορές έδειξε το ζάρι. p 1 = P (ζαριά = 3, μόνο γράμματα)=; ;
70 Παράδειγμα 4: Πρώτα ζάρι, μετά νόμισμα Ρίχνω συνηθισμένο ζάρι. Ρίχνω δίκαιο νόμισμα όσες φορές έδειξε το ζάρι. p 1 = P (ζαριά = 3, μόνο γράμματα)=; ; ;
71 Παράδειγμα 4: Πρώτα ζάρι, μετά νόμισμα Ρίχνω συνηθισμένο ζάρι. Ρίχνω δίκαιο νόμισμα όσες φορές έδειξε το ζάρι. p 1 = P (ζαριά = 3, μόνο γράμματα)=; ; ; p 2 = P (μόνο γράμματα)=;
72 Παράδειγμα 4: Πρώτα ζάρι, μετά νόμισμα Ρίχνω συνηθισμένο ζάρι. Ρίχνω δίκαιο νόμισμα όσες φορές έδειξε το ζάρι. p 1 = P (ζαριά = 3, μόνο γράμματα)=; ; ; p 2 = P (μόνο γράμματα)=; ;
73 Παράδειγμα 4: Πρώτα ζάρι, μετά νόμισμα Ρίχνω συνηθισμένο ζάρι. Ρίχνω δίκαιο νόμισμα όσες φορές έδειξε το ζάρι. p 1 = P (ζαριά = 3, μόνο γράμματα)=; ; ; p 2 = P (μόνο γράμματα)=; ; ;
74 Παράδειγμα 4: Πρώτα ζάρι, μετά νόμισμα Ρίχνω συνηθισμένο ζάρι. Ρίχνω δίκαιο νόμισμα όσες φορές έδειξε το ζάρι. p 1 = P (ζαριά = 3, μόνο γράμματα)=; ; ; p 2 = P (μόνο γράμματα)=; ; ; p 3 = P (ζαριά = 3 μόνο γράμματα)=;
75 Παράδειγμα 4: Πρώτα ζάρι, μετά νόμισμα Ρίχνω συνηθισμένο ζάρι. Ρίχνω δίκαιο νόμισμα όσες φορές έδειξε το ζάρι. p 1 = P (ζαριά = 3, μόνο γράμματα)=; ; ; p 2 = P (μόνο γράμματα)=; ; ; p 3 = P (ζαριά = 3 μόνο γράμματα)=; ;
76 Παράδειγμα 4: Πρώτα ζάρι, μετά νόμισμα Ρίχνω συνηθισμένο ζάρι. Ρίχνω δίκαιο νόμισμα όσες φορές έδειξε το ζάρι. p 1 = P (ζαριά = 3, μόνο γράμματα)=; ; ; p 2 = P (μόνο γράμματα)=; ; ; p 3 = P (ζαριά = 3 μόνο γράμματα)=; ; ;
77 Παράδειγμα 4: Πρώτα ζάρι, μετά νόμισμα Ρίχνω συνηθισμένο ζάρι. Ρίχνω δίκαιο νόμισμα όσες φορές έδειξε το ζάρι. p 1 = P (ζαριά = 3, μόνο γράμματα)=; ; ; p 2 = P (μόνο γράμματα)=; ; ; p 3 = P (ζαριά = 3 μόνο γράμματα)=; ; ;
78 Παράδειγμα 5: Μονομαχία... με τη σειρά
79 Παράδειγμα 5: Μονομαχία... με τη σειρά Οι A και B μονομαχούν πυροβολώντας εναλλάξ ο ένας τον άλλο.
80 Παράδειγμα 5: Μονομαχία... με τη σειρά Οι A και B μονομαχούν πυροβολώντας εναλλάξ ο ένας τον άλλο. P (ευστοχίας A σε μια ρίψη) = 1 2.
81 Παράδειγμα 5: Μονομαχία... με τη σειρά Οι A και B μονομαχούν πυροβολώντας εναλλάξ ο ένας τον άλλο. P (ευστοχίας A σε μια ρίψη) = 1 2. P (ευστοχίας B σε μια ρίψη) = 2 3.
82 Παράδειγμα 5: Μονομαχία... με τη σειρά Οι A και B μονομαχούν πυροβολώντας εναλλάξ ο ένας τον άλλο. P (ευστοχίας A σε μια ρίψη) = 1 2. P (ευστοχίας B σε μια ρίψη) = 2 3. P (επιβίωσης A άρχισε ο A) = ;
83 Παράδειγμα 5: Μονομαχία... με τη σειρά Οι A και B μονομαχούν πυροβολώντας εναλλάξ ο ένας τον άλλο. P (ευστοχίας A σε μια ρίψη) = 1 2. P (ευστοχίας B σε μια ρίψη) = 2 3. P (επιβίωσης A άρχισε ο A) = ; ;
84 Παράδειγμα 5: Μονομαχία... με τη σειρά Οι A και B μονομαχούν πυροβολώντας εναλλάξ ο ένας τον άλλο. P (ευστοχίας A σε μια ρίψη) = 1 2. P (ευστοχίας B σε μια ρίψη) = 2 3. P (επιβίωσης A άρχισε ο A) = ; ; ;
85 Παράδειγμα 5: Μονομαχία... με τη σειρά Οι A και B μονομαχούν πυροβολώντας εναλλάξ ο ένας τον άλλο. P (ευστοχίας A σε μια ρίψη) = 1 2. P (ευστοχίας B σε μια ρίψη) = 2 3. P (επιβίωσης A άρχισε ο A) = ; ; ;
86 Παράδειγμα 6: Χέρι πόκερ
87 Παράδειγμα 6: Χέρι πόκερ Θεωρούμε συνήθη τράπουλα με 52 φύλλα, μοιρασμένα σε 4 χρώματα (,,, ) καθένα εκ των οποίων έχει 13 αριθμούς (2, 3,..., 10, J, Q, K, A).
88 Παράδειγμα 6: Χέρι πόκερ Θεωρούμε συνήθη τράπουλα με 52 φύλλα, μοιρασμένα σε 4 χρώματα (,,, ) καθένα εκ των οποίων έχει 13 αριθμούς (2, 3,..., 10, J, Q, K, A). Επιλέγεται 1 χέρι πόκερ (= μια επιλογή 5 φύλλων χωρίς επανάθεση).
89 Παράδειγμα 6: Χέρι πόκερ Θεωρούμε συνήθη τράπουλα με 52 φύλλα, μοιρασμένα σε 4 χρώματα (,,, ) καθένα εκ των οποίων έχει 13 αριθμούς (2, 3,..., 10, J, Q, K, A). Επιλέγεται 1 χέρι πόκερ (= μια επιλογή 5 φύλλων χωρίς επανάθεση). Καρέ = 4 όμοια νούμερα - 1 διαφορετικό, π.χ. K K K K A.
90 Παράδειγμα 6: Χέρι πόκερ Θεωρούμε συνήθη τράπουλα με 52 φύλλα, μοιρασμένα σε 4 χρώματα (,,, ) καθένα εκ των οποίων έχει 13 αριθμούς (2, 3,..., 10, J, Q, K, A). Επιλέγεται 1 χέρι πόκερ (= μια επιλογή 5 φύλλων χωρίς επανάθεση). Καρέ = 4 όμοια νούμερα - 1 διαφορετικό, π.χ. K K K K A. Φουλ = 3 όμοια νούμερα - 2 δαιφορετικά, π.χ. K K K A A.
91 Παράδειγμα 6: Χέρι πόκερ Θεωρούμε συνήθη τράπουλα με 52 φύλλα, μοιρασμένα σε 4 χρώματα (,,, ) καθένα εκ των οποίων έχει 13 αριθμούς (2, 3,..., 10, J, Q, K, A). Επιλέγεται 1 χέρι πόκερ (= μια επιλογή 5 φύλλων χωρίς επανάθεση). Καρέ = 4 όμοια νούμερα - 1 διαφορετικό, π.χ. K K K K A. Φουλ = 3 όμοια νούμερα - 2 δαιφορετικά, π.χ. K K K A A. P (Καρέ) = ;
92 Παράδειγμα 6: Χέρι πόκερ Θεωρούμε συνήθη τράπουλα με 52 φύλλα, μοιρασμένα σε 4 χρώματα (,,, ) καθένα εκ των οποίων έχει 13 αριθμούς (2, 3,..., 10, J, Q, K, A). Επιλέγεται 1 χέρι πόκερ (= μια επιλογή 5 φύλλων χωρίς επανάθεση). Καρέ = 4 όμοια νούμερα - 1 διαφορετικό, π.χ. K K K K A. Φουλ = 3 όμοια νούμερα - 2 δαιφορετικά, π.χ. K K K A A. P (Καρέ) = ; ;
93 Παράδειγμα 6: Χέρι πόκερ Θεωρούμε συνήθη τράπουλα με 52 φύλλα, μοιρασμένα σε 4 χρώματα (,,, ) καθένα εκ των οποίων έχει 13 αριθμούς (2, 3,..., 10, J, Q, K, A). Επιλέγεται 1 χέρι πόκερ (= μια επιλογή 5 φύλλων χωρίς επανάθεση). Καρέ = 4 όμοια νούμερα - 1 διαφορετικό, π.χ. K K K K A. Φουλ = 3 όμοια νούμερα - 2 δαιφορετικά, π.χ. K K K A A. P (Καρέ) = ; ; ;
94 Παράδειγμα 6: Χέρι πόκερ Θεωρούμε συνήθη τράπουλα με 52 φύλλα, μοιρασμένα σε 4 χρώματα (,,, ) καθένα εκ των οποίων έχει 13 αριθμούς (2, 3,..., 10, J, Q, K, A). Επιλέγεται 1 χέρι πόκερ (= μια επιλογή 5 φύλλων χωρίς επανάθεση). Καρέ = 4 όμοια νούμερα - 1 διαφορετικό, π.χ. K K K K A. Φουλ = 3 όμοια νούμερα - 2 δαιφορετικά, π.χ. K K K A A. P (Καρέ) = ; ; ; P (Φουλ) = ;
95 Παράδειγμα 6: Χέρι πόκερ Θεωρούμε συνήθη τράπουλα με 52 φύλλα, μοιρασμένα σε 4 χρώματα (,,, ) καθένα εκ των οποίων έχει 13 αριθμούς (2, 3,..., 10, J, Q, K, A). Επιλέγεται 1 χέρι πόκερ (= μια επιλογή 5 φύλλων χωρίς επανάθεση). Καρέ = 4 όμοια νούμερα - 1 διαφορετικό, π.χ. K K K K A. Φουλ = 3 όμοια νούμερα - 2 δαιφορετικά, π.χ. K K K A A. P (Καρέ) = ; ; ; P (Φουλ) = ; ;
96 Παράδειγμα 6: Χέρι πόκερ Θεωρούμε συνήθη τράπουλα με 52 φύλλα, μοιρασμένα σε 4 χρώματα (,,, ) καθένα εκ των οποίων έχει 13 αριθμούς (2, 3,..., 10, J, Q, K, A). Επιλέγεται 1 χέρι πόκερ (= μια επιλογή 5 φύλλων χωρίς επανάθεση). Καρέ = 4 όμοια νούμερα - 1 διαφορετικό, π.χ. K K K K A. Φουλ = 3 όμοια νούμερα - 2 δαιφορετικά, π.χ. K K K A A. P (Καρέ) = ; ; ; P (Φουλ) = ; ; ;
97 Παράδειγμα 6: Χέρι πόκερ Θεωρούμε συνήθη τράπουλα με 52 φύλλα, μοιρασμένα σε 4 χρώματα (,,, ) καθένα εκ των οποίων έχει 13 αριθμούς (2, 3,..., 10, J, Q, K, A). Επιλέγεται 1 χέρι πόκερ (= μια επιλογή 5 φύλλων χωρίς επανάθεση). Καρέ = 4 όμοια νούμερα - 1 διαφορετικό, π.χ. K K K K A. Φουλ = 3 όμοια νούμερα - 2 δαιφορετικά, π.χ. K K K A A. P (Καρέ) = ; ; ; P (Φουλ) = ; ; ; P ( Ολα διαφορετικά νούμερα ) = ;
98 Παράδειγμα 6: Χέρι πόκερ Θεωρούμε συνήθη τράπουλα με 52 φύλλα, μοιρασμένα σε 4 χρώματα (,,, ) καθένα εκ των οποίων έχει 13 αριθμούς (2, 3,..., 10, J, Q, K, A). Επιλέγεται 1 χέρι πόκερ (= μια επιλογή 5 φύλλων χωρίς επανάθεση). Καρέ = 4 όμοια νούμερα - 1 διαφορετικό, π.χ. K K K K A. Φουλ = 3 όμοια νούμερα - 2 δαιφορετικά, π.χ. K K K A A. P (Καρέ) = ; ; ; P (Φουλ) = ; ; ; P ( Ολα διαφορετικά νούμερα ) = ; ;
99 Παράδειγμα 6: Χέρι πόκερ Θεωρούμε συνήθη τράπουλα με 52 φύλλα, μοιρασμένα σε 4 χρώματα (,,, ) καθένα εκ των οποίων έχει 13 αριθμούς (2, 3,..., 10, J, Q, K, A). Επιλέγεται 1 χέρι πόκερ (= μια επιλογή 5 φύλλων χωρίς επανάθεση). Καρέ = 4 όμοια νούμερα - 1 διαφορετικό, π.χ. K K K K A. Φουλ = 3 όμοια νούμερα - 2 δαιφορετικά, π.χ. K K K A A. P (Καρέ) = ; ; ; P (Φουλ) = ; ; ; P ( Ολα διαφορετικά νούμερα ) = ; ; ;
100 Παράδειγμα 6: Χέρι πόκερ Θεωρούμε συνήθη τράπουλα με 52 φύλλα, μοιρασμένα σε 4 χρώματα (,,, ) καθένα εκ των οποίων έχει 13 αριθμούς (2, 3,..., 10, J, Q, K, A). Επιλέγεται 1 χέρι πόκερ (= μια επιλογή 5 φύλλων χωρίς επανάθεση). Καρέ = 4 όμοια νούμερα - 1 διαφορετικό, π.χ. K K K K A. Φουλ = 3 όμοια νούμερα - 2 δαιφορετικά, π.χ. K K K A A. P (Καρέ) = ; ; ; P (Φουλ) = ; ; ; P ( Ολα διαφορετικά νούμερα ) = ; ; ;
101 Υπενθυμίσεις Παραδείγματα Ασκήσεις Μελέτη Άσκ. 1 Άσκ. 2 Άσκ. 3 Άσκηση 1: Μοίρασμα τράπουλας σε 4 παίκτες
102 Υπενθυμίσεις Παραδείγματα Ασκήσεις Μελέτη Άσκ. 1 Άσκ. 2 Άσκ. 3 Άσκηση 1: Μοίρασμα τράπουλας σε 4 παίκτες Θεωρούμε συνήθη τράπουλα με 52 φύλλα, μοιρασμένα σε 4 χρώματα (,,, ) καθένα εκ των οποίων έχει 13 αριθμούς (2, 3,..., 10, J, Q, K, A).
103 Υπενθυμίσεις Παραδείγματα Ασκήσεις Μελέτη Άσκ. 1 Άσκ. 2 Άσκ. 3 Άσκηση 1: Μοίρασμα τράπουλας σε 4 παίκτες Θεωρούμε συνήθη τράπουλα με 52 φύλλα, μοιρασμένα σε 4 χρώματα (,,, ) καθένα εκ των οποίων έχει 13 αριθμούς (2, 3,..., 10, J, Q, K, A). Η τράπουλα μοιράζεται σε 4 παίκτες
104 Υπενθυμίσεις Παραδείγματα Ασκήσεις Μελέτη Άσκ. 1 Άσκ. 2 Άσκ. 3 Άσκηση 1: Μοίρασμα τράπουλας σε 4 παίκτες Θεωρούμε συνήθη τράπουλα με 52 φύλλα, μοιρασμένα σε 4 χρώματα (,,, ) καθένα εκ των οποίων έχει 13 αριθμούς (2, 3,..., 10, J, Q, K, A). Η τράπουλα μοιράζεται σε 4 παίκτες - Ο καθένας παίρνει 13 φύλλα.
105 Υπενθυμίσεις Παραδείγματα Ασκήσεις Μελέτη Άσκ. 1 Άσκ. 2 Άσκ. 3 Άσκηση 1: Μοίρασμα τράπουλας σε 4 παίκτες Θεωρούμε συνήθη τράπουλα με 52 φύλλα, μοιρασμένα σε 4 χρώματα (,,, ) καθένα εκ των οποίων έχει 13 αριθμούς (2, 3,..., 10, J, Q, K, A). Η τράπουλα μοιράζεται σε 4 παίκτες - Ο καθένας παίρνει 13 φύλλα. P (κάθε παίκτης παίρνει 1 Α)=;
106 Υπενθυμίσεις Παραδείγματα Ασκήσεις Μελέτη Άσκ. 1 Άσκ. 2 Άσκ. 3 Άσκηση 1: Μοίρασμα τράπουλας σε 4 παίκτες Θεωρούμε συνήθη τράπουλα με 52 φύλλα, μοιρασμένα σε 4 χρώματα (,,, ) καθένα εκ των οποίων έχει 13 αριθμούς (2, 3,..., 10, J, Q, K, A). Η τράπουλα μοιράζεται σε 4 παίκτες - Ο καθένας παίρνει 13 φύλλα. P (κάθε παίκτης παίρνει 1 Α)=; ;
107 Υπενθυμίσεις Παραδείγματα Ασκήσεις Μελέτη Άσκ. 1 Άσκ. 2 Άσκ. 3 Άσκηση 1: Μοίρασμα τράπουλας σε 4 παίκτες Θεωρούμε συνήθη τράπουλα με 52 φύλλα, μοιρασμένα σε 4 χρώματα (,,, ) καθένα εκ των οποίων έχει 13 αριθμούς (2, 3,..., 10, J, Q, K, A). Η τράπουλα μοιράζεται σε 4 παίκτες - Ο καθένας παίρνει 13 φύλλα. P (κάθε παίκτης παίρνει 1 Α)=; ; ;
108 Υπενθυμίσεις Παραδείγματα Ασκήσεις Μελέτη Άσκ. 1 Άσκ. 2 Άσκ. 3 Άσκηση 1: Μοίρασμα τράπουλας σε 4 παίκτες Θεωρούμε συνήθη τράπουλα με 52 φύλλα, μοιρασμένα σε 4 χρώματα (,,, ) καθένα εκ των οποίων έχει 13 αριθμούς (2, 3,..., 10, J, Q, K, A). Η τράπουλα μοιράζεται σε 4 παίκτες - Ο καθένας παίρνει 13 φύλλα. P (κάθε παίκτης παίρνει 1 Α)=; ; ;
109 Υπενθυμίσεις Παραδείγματα Ασκήσεις Μελέτη Άσκ. 1 Άσκ. 2 Άσκ. 3 Άσκηση 2: Δοκιμή κλειδιών
110 Υπενθυμίσεις Παραδείγματα Ασκήσεις Μελέτη Άσκ. 1 Άσκ. 2 Άσκ. 3 Άσκηση 2: Δοκιμή κλειδιών Άνθρωπος έχει n κλειδιά στο μπρελόκ του.
111 Υπενθυμίσεις Παραδείγματα Ασκήσεις Μελέτη Άσκ. 1 Άσκ. 2 Άσκ. 3 Άσκηση 2: Δοκιμή κλειδιών Άνθρωπος έχει n κλειδιά στο μπρελόκ του. Τα δοκιμάζει, χωρίς επανάληψη για να ανοίξει μια πόρτα.
112 Υπενθυμίσεις Παραδείγματα Ασκήσεις Μελέτη Άσκ. 1 Άσκ. 2 Άσκ. 3 Άσκηση 2: Δοκιμή κλειδιών Άνθρωπος έχει n κλειδιά στο μπρελόκ του. Τα δοκιμάζει, χωρίς επανάληψη για να ανοίξει μια πόρτα. P (η πόρτα ανοίγει μέχρι την k δοκιμή) = ;
113 Υπενθυμίσεις Παραδείγματα Ασκήσεις Μελέτη Άσκ. 1 Άσκ. 2 Άσκ. 3 Άσκηση 2: Δοκιμή κλειδιών Άνθρωπος έχει n κλειδιά στο μπρελόκ του. Τα δοκιμάζει, χωρίς επανάληψη για να ανοίξει μια πόρτα. P (η πόρτα ανοίγει μέχρι την k δοκιμή) = ; ;
114 Υπενθυμίσεις Παραδείγματα Ασκήσεις Μελέτη Άσκ. 1 Άσκ. 2 Άσκ. 3 Άσκηση 2: Δοκιμή κλειδιών Άνθρωπος έχει n κλειδιά στο μπρελόκ του. Τα δοκιμάζει, χωρίς επανάληψη για να ανοίξει μια πόρτα. P (η πόρτα ανοίγει μέχρι την k δοκιμή) = ; ; ;
115 Υπενθυμίσεις Παραδείγματα Ασκήσεις Μελέτη Άσκ. 1 Άσκ. 2 Άσκ. 3 Άσκηση 2: Δοκιμή κλειδιών Άνθρωπος έχει n κλειδιά στο μπρελόκ του. Τα δοκιμάζει, χωρίς επανάληψη για να ανοίξει μια πόρτα. P (η πόρτα ανοίγει μέχρι την k δοκιμή) = ; ; ;
116 Υπενθυμίσεις Παραδείγματα Ασκήσεις Μελέτη Άσκ. 1 Άσκ. 2 Άσκ. 3 Άσκηση 3: Διαδοχικές ρίψεις νομίσματος
117 Υπενθυμίσεις Παραδείγματα Ασκήσεις Μελέτη Άσκ. 1 Άσκ. 2 Άσκ. 3 Άσκηση 3: Διαδοχικές ρίψεις νομίσματος Οι A και B ρίχνουν εναλλάξ νόμισμα με πιθανότητα κορώνας p.
118 Υπενθυμίσεις Παραδείγματα Ασκήσεις Μελέτη Άσκ. 1 Άσκ. 2 Άσκ. 3 Άσκηση 3: Διαδοχικές ρίψεις νομίσματος Οι A και B ρίχνουν εναλλάξ νόμισμα με πιθανότητα κορώνας p. Κερδίζει ο πρώτος που φέρνει κορώνα.
119 Υπενθυμίσεις Παραδείγματα Ασκήσεις Μελέτη Άσκ. 1 Άσκ. 2 Άσκ. 3 Άσκηση 3: Διαδοχικές ρίψεις νομίσματος Οι A και B ρίχνουν εναλλάξ νόμισμα με πιθανότητα κορώνας p. Κερδίζει ο πρώτος που φέρνει κορώνα. P (κερδίζει ο A αρχίζει ο A) = ;
120 Υπενθυμίσεις Παραδείγματα Ασκήσεις Μελέτη Άσκ. 1 Άσκ. 2 Άσκ. 3 Άσκηση 3: Διαδοχικές ρίψεις νομίσματος Οι A και B ρίχνουν εναλλάξ νόμισμα με πιθανότητα κορώνας p. Κερδίζει ο πρώτος που φέρνει κορώνα. P (κερδίζει ο A αρχίζει ο A) = ; ;
121 Υπενθυμίσεις Παραδείγματα Ασκήσεις Μελέτη Άσκ. 1 Άσκ. 2 Άσκ. 3 Άσκηση 3: Διαδοχικές ρίψεις νομίσματος Οι A και B ρίχνουν εναλλάξ νόμισμα με πιθανότητα κορώνας p. Κερδίζει ο πρώτος που φέρνει κορώνα. P (κερδίζει ο A αρχίζει ο A) = ; ; ;
122 Υπενθυμίσεις Παραδείγματα Ασκήσεις Μελέτη Άσκ. 1 Άσκ. 2 Άσκ. 3 Άσκηση 3: Διαδοχικές ρίψεις νομίσματος Οι A και B ρίχνουν εναλλάξ νόμισμα με πιθανότητα κορώνας p. Κερδίζει ο πρώτος που φέρνει κορώνα. P (κερδίζει ο A αρχίζει ο A) = ; ; ;
123 Υπενθυμίσεις Παραδείγματα Ασκήσεις Μελέτη Μελέτη
124 Υπενθυμίσεις Παραδείγματα Ασκήσεις Μελέτη Μελέτη Μπερτσεκάς, Δ.Π. και Τσιτσικλής, Γ.Ν. (2013) Εισαγωγή στις Πιθανότητες με Στοιχεία Στατιστικής, Εκδόσεις Τζιόλα. Θεωρία: Ασκήσεις: 1.3 Δεσμευμένη Πιθανότητα 1.4 Θεώρημα Συνολικής Πιθανότητας και ο Κανόνας του Bayes 1.5 Ανεξαρτησία 1.6 Αρίθμηση 1.7 Σύνοψη και Συζήτηση Προβλήματα Οι ασκήσεις που περιέχονται σε αυτές τις διαφάνειες και δεν λύθηκαν στην τάξη.
P (B) P (B A) = P (AB) = P (B). P (A)
Πιθανότητες και Στατιστική Ενότητα 2: Δεσμευμένη πιθανότητα και στοχαστική ανεξαρτησία Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Αθήνα 2015 Διαισθητική έννοια ανεξαρτησίας Διαισθητική
ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών
ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών ΕΝΝΟΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ Μαθηματική περιγραφή συστημάτων με αβεβαιότητα Παραδείγματα από την οργάνωση παραγωγής Διάρκεια παραγωγής προϊόντων
Περιεχόμενα 2ης Διάλεξης 1 Σύνοψη προηγούμενου μαθήματος 2 Αξιωματικός ορισμός και απαρίθμηση 3 Διατάξεις - Συνδυασμοί 4 Παραδείγματα υπολογισμού πιθα
Πιθανότητες και Αρχές Στατιστικής (2η Διάλεξη) Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Πανεπιστήμιο Πατρών Ακαδημαϊκό Ετος 2017-2018 Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 1 / 54 Περιεχόμενα
ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ
ΤΕΙ ΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ Η/Υ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 6o ΜΑΘΗΜΑ Ι ΑΣΚΩΝ ΒΑΣΙΛΕΙΑ ΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ Email: gvasil@math.auth.gr Ιστοσελίδα Μαθήματος: users.auth.gr/gvasil
Πιθανότητες και Στατιστική Ενότητα 2: Δεσμευμένη πιθανότητα και στοχαστική ανεξαρτησία Αντώνιος Οικονόμου Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Πληροφορικής κ
Πιθανότητες και Στατιστική Ενότητα 2: Δεσμευμένη πιθανότητα και στοχαστική ανεξαρτησία Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Αθήνα 2015 Παράδειγμα δεσμευμένης κλασικής πιθανότητας
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ, ΜΕΤΑΘΕΣΕΙΣ, ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ ΜΕΤΑΘΕΣΕΙΣ ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ Εισαγωγή. Οι σχηματισμοί που προκύπτουν με την επιλογή ενός συγκεκριμένου αριθμού στοιχείων από το ίδιο σύνολο καλούνται διατάξεις αν μας ενδιαφέρει η σειρά καταγραφή
ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ
ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Έστω ότι επιθυμούμε να μελετήσουμε ένα τυχαίο πείραμα με δειγματικό χώρο Ω και έστω η πιθανότητα να συμβεί ένα ενδεχόμενο Α Ω Υπάρχουν περιπτώσεις όπου ενώ δεν γνωρίζουμε
Στατιστική Ι. Ενότητα 5: Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών
Στατιστική Ι Ενότητα 5: Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.
Θεωρία Πιθανοτήτων & Στατιστική
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ & Στατιστική Ενότητα 2 η : Δεσμευμένη Πιθανότητα. Ολική Πιθανότητα-Θεώρημα Bayes, Ανεξαρτησία και Συναφείς Έννοιες. Γεώργιος Ζιούτας Τμήμα
Περιεχόμενα 3ης Διάλεξης 1 Σύνοψη Προηγούμενου Μαθήματος 2 Δεσμευμένη Πιθανότητα 3 Bayes Theorem 4 Στοχαστική Ανεξαρτησία 5 Αμοιβαία (ή πλήρης) Ανεξαρ
Πιθανότητες και Αρχές Στατιστικής (3η Διάλεξη) Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Πανεπιστήμιο Πατρών Ακαδημαϊκό Ετος 2017-2018 Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 1 / 38 Περιεχόμενα
Περιεχόμενα 3ης Διάλεξης 1 Σύνοψη Προηγούμενου Μαθήματος 2 Δεσμευμένη Πιθανότητα 3 Bayes Theorem 4 Στοχαστική Ανεξαρτησία 5 Αμοιβαία (ή πλήρης) Ανεξαρ
3ο Μάθημα Πιθανότητες Σωτήρης Νικολετσέας, αναπληρωτής καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Πανεπιστήμιο Πατρών Ακαδημαϊκό Ετος 2016-2017 Σωτήρης Νικολετσέας, αναπληρωτής καθηγητής 3ο Μάθημα Πιθανότητες
Στατιστική. Ενότητα 1 η : Δεσμευμένη Πιθανότητα, Ολική Πιθανότητα, Ανεξαρτησία. Γεώργιος Ζιούτας Τμήμα Χημικών Μηχανικών Α.Π.Θ.
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 1 η : Δεσμευμένη Πιθανότητα, Ολική Πιθανότητα, Ανεξαρτησία Γεώργιος Ζιούτας Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται
Κεφάλαιο 2 Πιθανότητες. Πέτρος Ε. Μαραβελάκης, Επίκουρος Καθηγητής, Πανεπιστήμιο Πειραιώς
Κεφάλαιο 2 Πιθανότητες Πέτρος Ε. Μαραβελάκης, Επίκουρος Καθηγητής, Πανεπιστήμιο Πειραιώς 2-2 2 Πιθανότητες Χρησιμοποιώντας την Στατιστική Βασικοί ορισμοί: Ενδεχόμενα, Δειγματικός χώρος και Πιθανότητες
P (A B) = P (AB) P (B) P (A B) = P (A) P (A B) = P (A) P (B)
Πιθανότητες και Αρχές Στατιστικής (4η Διάλεξη) Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Πανεπιστήμιο Πατρών Ακαδημαϊκό Ετος 2017-2018 Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 1 / 39 Περιεχόμενα
ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ στη Ναυτιλία και τις Μεταφορές
ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ στη Ναυτιλία και τις Μεταφορές ΠΜΣ στη «Ναυτιλία» Τμήμα Β art time Χαράλαμπος Ευαγγελάρας hevangel@unipi.gr Η έννοια της Πιθανότητας Ο όρος πιθανότητα είναι συνδέεται άμεσα με τη μελέτη
Λύσεις 1ης Ομάδας Ασκήσεων
ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Γ. ΚΟΝΤΟΓΙΑΝΝΗΣ Λύσεις ης Ομάδας Ασκήσεων Τμήμα Α Λ. Ισότητα συνόλων Έστω C = A i= B i και D = i= A B i. Θα αποδείξουμε ότι τα C, D ταυτίζονται,
ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ
ΤΕΙ ΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ Η/Υ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 5o ΜΑΘΗΜΑ Ι ΑΣΚΩΝ ΒΑΣΙΛΕΙΑ ΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ Email: gvasil@math.auth.gr Ιστοσελίδα Μαθήματος: users.auth.gr/gvasil
ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 η Ημερομηνία Αποστολής στο Φοιτητή: 23 Απριλίου 2012
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 η Ημερομηνία Αποστολής στο Φοιτητή: Απριλίου 0 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 8 Μαΐου 0 Πριν από τη
ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ
ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ
ΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ
Τµ. Επιστήµης των Υλικών εσµευµένες Πιθανότητες Εστω (Ω, A, P) ένας πιθανοθεωρητικός χώρος. Αξιωµατικός Ορισµός της Πιθανότητας (Kolmogorov) Θεωρούµε (Ω, A) έναν µετρήσιµο χώρο. Ενα πιθανοθεωρητικό µέτρο
ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ (Συνέχεια)
ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ (Συνέχεια) Χαράλαµπος Α. Χαραλαµπίδης 2 Νοεµβρίου 2009 1.3. Ας ϑεωρήσουµε ένα σύνολο 11 ατόµων {α 0, α 1,..., α 10 } των οποίων καταγράφουµε τα γενέθλια. Να υπολογισθεί
Συνδυαστική Απαρίθμηση Υπολογισμός αριθμού διαφορετικών αποτελεσμάτων πειράματος (με συνδυαστικά επιχειρήματα)
Συνδυαστική Απαρίθμηση Υπολογισμός αριθμού διαφορετικών αποτελεσμάτων πειράματος (με συνδυαστικά επιχειρήματα) Πείραμα: διαδικασία που παράγει πεπερασμένο σύνολο αποτελεσμάτων Πληθικός αριθμός συνόλου
Εισαγωγή Η Θεωρία Πιθανοτήτων παίζει μεγάλο ρόλο στη μοντελοποίηση και μελέτη συστημάτων των οποίων δεν μπορούμε να προβλέψουμε ή να παρατηρήσουμε την
Μαθηματικά Πληροφορικής 8ο Μάθημα Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήμιο Αθηνών Εισαγωγή Η Θεωρία Πιθανοτήτων παίζει μεγάλο ρόλο στη μοντελοποίηση και μελέτη συστημάτων των οποίων δεν μπορούμε
ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ
ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ υ ν δ υ α σ τ ι κ ή Πειραιάς 2007 1 Μάθημα 2ο Κανόνες Απαρίθμησης (συνέχεια) 2 ΙΣΤΟΣΕΛΙΔΑ ΜΕ ΔΙΑΦΑΝΕΙΕΣ, ΒΙΒΛΙΟ & ΔΕΙΓΜΑ ΘΕΜΑΤΩΝ www.unipi.gr/faculty/mkoutras/index.htm
ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ. 1. Συνδυαστική ανάλυση. 1.1. Μεταθέσεις
1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ 1 Συνδυαστική ανάλυση Η συνδυαστική ανάλυση είναι οι διάφοροι μέθοδοι και τύποι που χρησιμοποιούνται στη λύση προβλημάτων εκτίμησης του πλήθους των στοιχείων ενός πεπερασμένου συνόλου
Στοχαστικές Στρατηγικές
Στοχαστικές Στρατηγικές 3 η ενότητα: Εισαγωγή στα στοχαστικά προβλήματα διαδρομής Τμήμα Μαθηματικών, ΑΠΘ Ακαδημαϊκό έτος 2018-2019 Χειμερινό Εξάμηνο Παπάνα Αγγελική Μεταδιδακτορική ερευνήτρια, ΑΠΘ & Πανεπιστήμιο
#(A B) = (#A)(#B). = 2 6 = 1/3,
Κεφάλαιο 4 Πιθανότητες και συνδυαστική Οπως είδαμε σε κάποια παραδείγματα των προηγουμένων κεφαλαίων, συχνά συναντάμε καταστάσεις όπου όλες οι δυνατές εκφάνσεις ενός τυχαίου πειράματος έχουν την ίδια πιθανότητα.
Συνδυαστική Απαρίθμηση
Συνδυαστική Απαρίθμηση ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Συνδυαστική Απαρίθμηση Υπολογισμός
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών. HY-217: Πιθανότητες - Χειµερινό Εξάµηνο 2015 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-: Πιθανότητες - Χειµερινό Εξάµηνο 0 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Φροντιστήριο - Συνδυαστική Ανάλυση Επιµέλεια : Σοφία Σαββάκη Θεωρία. Η ϐασική αρχή της απαρίθµησης
Συνδυαστική Ανάλυση. Υπολογισμός της πιθανότητας σε διακριτούς χώρους με ισοπίθανα αποτελέσματα:
Συνδυαστική Ανάλυση Υπολογισμός της πιθανότητας σε διακριτούς χώρους με ισοπίθανα αποτελέσματα: P( A) N( A) N ( ) Ν(Α): πλήθος ευνοϊκών αποτελεσμάτων του Α Ν(Ω): πλήθος συνολικών αποτελεσμάτων του Ω Χρειαζόμαστε
Θεωρία Πιθανοτήτων και Στατιστική
Θεωρία Πιθανοτήτων και Στατιστική 2 ο Εξάμηνο Ασκήσεις Πράξης 1 Θεωρία Συνόλων - Δειγματικός Χώρος Άσκηση 1: Να βρεθούν και να γραφούν με συμβολισμούς της Θεωρίας Συνόλων οι δειγματοχώροι των τυχαίων πειραμάτων:
ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ
κεφ - ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Σε ένα συρτάρι υπάρχουν δύο κάρτες, μία άσπρη και μία κόκκινη Παίρνουμε στην τύχη μία κάρτα από το συρτάρι, καταγράφουμε το χρώμα της και την ξαναβάζουμε
Βιομαθηματικά BIO-156. Θεωρία Πιθανοτήτων. Ντίνα Λύκα. Εαρινό Εξάμηνο, 2016
Βιομαθηματικά IO-56 Θεωρία Πιθανοτήτων Ντίνα Λύκα Εαρινό Εξάμηνο, 06 lika@biology.uo.gr Ορισμοί Τυχαίο Πείραμα: κάθε πείραμα που είναι δυνατόν να επαναληφθεί με το ίδιο σύνολο υποθέσεων και του οποίου
ε. Το μέλος δεν έχει επιλέξει κανένα από τα δύο προγράμματα. Το μέλος έχει επιλέξει αυστηρά ένα μόνο από τα δύο προγράμματα.
1. Τα μέλη ενός Γυμναστηρίου έχουν τη δυνατότητα να επιλέξουν προγράμματα αεροβικής ή γυμναστικής με βάρη. Θεωρούμε τα ενδεχόμενα: Α = Ένα μέλος έχει επιλέξει πρόγραμμα αεροβικής. Β = Ένα μέλος έχει επιλέξει
Συνδυαστική Απαρίθμηση
Συνδυαστική Απαρίθμηση ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Συνδυαστική Απαρίθμηση
Συνδυαστική Απαρίθμηση
Συνδυαστική Απαρίθμηση ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Συνδυαστική Απαρίθμηση Υπολογισμός
Μέση τιμή, διασπορά, τυπική απόκλιση. 1) Για την τυχαία διακριτή μεταβλητή Χ ισχύει Ρ(Χ=x i)=
Μέση τιμή, διασπορά, τυπική απόκλιση Όπου χρειάζεται να γίνει χρήση του μικροϋπολογιστή 3x 1) Για την τυχαία διακριτή μεταβλητή Χ ισχύει Ρ(Χ=x i)= i-2 22, xi=1,2,3,4. α) Να συμπληρωθεί ο παρακάτω πίνακας:
Έντυπο Υποβολής Αξιολόγησης Γ.Ε.
Έντυπο Υποβολής Αξιολόγησης Γ.Ε. O φοιτητής συμπληρώνει την ενότητα «Υποβολή Εργασίας» και αποστέλλει το έντυπο σε δύο μη συρραμμένα αντίγραφα (ή ηλεκτρονικά) στον Καθηγητή-Σύμβουλο. Ο Καθηγητής-Σύμβουλος
ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗ ΧΗΜΕΙΑ Ι ΘΕΜΑΤΑ B Σεπτέμβριος 2008
ΘΕΜΑΤΑ B Σεπτέμβριος 8. Να προσδιοριστούν με τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων οι συντελεστές a και b της εξίσωσης y = be a, ώστε να περιγράφει τα πειραματικά σημεία ( i, y i ), i =,,, N.. Να υπολογιστούν
Συνδυαστική Απαρίθμηση
Συνδυαστική Απαρίθμηση ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Συνδυαστική Απαρίθμηση Υπολογισμός
Συνδυαστική Απαρίθμηση
Συνδυαστική Απαρίθμηση ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Συνδυαστική Απαρίθμηση
Γνωστό: P (M) = 2 M = τρόποι επιλογής υποσυνόλου του M. Π.χ. M = {A, B, C} π. 1. Π.χ.
Παραδείγματα Απαρίθμησης Γνωστό: P (M 2 M τρόποι επιλογής υποσυνόλου του M Τεχνικές Απαρίθμησης Πχ M {A, B, C} P (M 2 3 8 #(Υποσυνόλων με 2 στοιχεία ( 3 2 3 #(Διατεταγμένων υποσυνόλων με 2 στοιχεία 3 2
ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 7. Τυχαίες Μεταβλητές και Διακριτές Κατανομές Πιθανοτήτων
ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ
Συνδυαστική Απαρίθμηση
Συνδυαστική Απαρίθμηση ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Συνδυαστική Απαρίθμηση Υπολογισμός
1 ο Κεφάλαιο : Πιθανότητες. 1. Δειγματικοί χώροι 2. Διαγράμματα Venn. Φυσική γλώσσα και ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. 3. Κλασικός ορισμός. 4.
ο Κεφάλαιο : Πιθανότητες. Δειγματικοί χώροι. Διαγράμματα Venn Φυσική γλώσσα και ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. Κλασικός ορισμός πιθανότητας 4. Κανόνες λογισμού πιθανοτήτων η Κατηγορία : Δειγματικοί χώροι ) Ρίχνουμε
P (D) = P ((H 1 H 2 H 3 ) c ) = 1 P (H 1 H 2 H 3 ) = 1 P (H 1 )P (H 2 )P (H 3 )
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-27: Πιθανότητες - Χειµερινό Εξάµηνο 205 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Φροντιστήριο 2 Επιµέλεια : Κατερίνα Καραγιαννάκη Ασκηση. Μία κότα ϑέλει να διασχίσει το
HY118-Διακριτά Μαθηματικά
HY118-Διακριτά Μαθηματικά Τρίτη, 17/04/2018 Το υλικό των Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr 1 Συνδυαστική 2 Πείραμα Πείραμα: Οποιαδήποτε διαδικασία που μπορεί να οδηγήσει σε ένα αριθμό παρατηρήσιμων
Συνδυαστική Απαρίθμηση
Συνδυαστική Απαρίθμηση Διδάσκοντες: Δ. Φωτάκης, Δ. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Συνδυαστική Απαρίθμηση Υπολογισμός
Συνδυαστική Απαρίθμηση
Συνδυαστική Απαρίθμηση Υπολογισμός αριθμού διαφορετικών αποτελεσμάτων «πειράματος» ή «γεγονότος» (με συνδυαστικά επιχειρήματα). «Πείραμα» ή «γεγονός»: διαδικασία με συγκεκριμένο (πεπερασμένο) σύνολο παρατηρήσιμων
P (X = x) = (0.001) x (0.999) 1000 x
Τμημα Επιστημης Υπολογιστων, Πανεπιστημιο Κρητης ΗΥ-7: Πιθανότητες 5ο Φροντιστήριο Επιμέλεια: Καράλας Κώστας 9 Οκτωβρίου 04 Πρόβλημα Παρακολουθείτε ένα βίντεο στο YouTube το οποίο περιέχει 0 καρέ το δευτερόλεπτο.
1. Βασικές Έννοιες - Προτάσεις Θεωρίας Πιθανοτήτων
. Βασικές Έννοιες - Προτάσεις Θεωρίας Πιθανοτήτων Tα διάφορα επιστημονικά μοντέλα ή πειράματα ή γενικότερα τα φυσικά φαινόμενα μπορεί να θεωρηθεί ότι εντάσσονται σε δύο μεγάλες κατηγορίες: τα προσδιοριστικά
Διακριτά Μαθηματικά. Απαρίθμηση: Γενικευμένες Μεταθέσεις και Συνδυασμοί
Διακριτά Μαθηματικά Απαρίθμηση: Γενικευμένες Μεταθέσεις και Συνδυασμοί Διατάξεις και Συνδυασμοί όταν υπάρχουν πολλαπλά αντίγραφα των αντικειμένων Μέχρι τώρα Μετράγαμε τρόπους να διαλέξουμε (συνδυασμούς)
Θεωρία Πιθανοτήτων & Στατιστική
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ & Στατιστική Ενότητα 1 η : Βασικές Έννοιες Πιθανότητας Γεώργιος Ζιούτας Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών Α.Π.Θ. Άδειες
Διακριτά Μαθηματικά. Απαρίθμηση: Γενικευμένες Μεταθέσεις και Συνδυασμοί
Διακριτά Μαθηματικά Απαρίθμηση: Γενικευμένες Μεταθέσεις και Συνδυασμοί Διατάξεις και Συνδυασμοί με απλά ή πολλαπλά αντίγραφα στοιχείων Διατάξεις Διάλεξε και βάλε σε σειρά 1 αντίγραφο κάθε στοιχείου n*n-1*n-2*
pdf: X = 0, 1 - p = q E(X) = 1 p + 0 (1 p) = p V ar(x) = E[(X µ) 2 ] = (1 p) 2 p + (0 p) 2 (1 p) = p (1 p) [1 p + p] = p (1 p) = p q
![pdf: X = 0, 1 - p = q E(X) = 1 p + 0 (1 p) = p V ar(x) = E[(X µ) 2 ] = (1 p) 2 p + (0 p) 2 (1 p) = p (1 p) [1 p + p] = p (1 p) = p q](/thumbs/99/140112502.jpg "pdf: X = 0, 1 - p = q E(X) = 1 p + 0 (1 p) = p V ar(x) = E[(X µ) 2 ] = (1 p) 2 p + (0 p) 2 (1 p) = p (1 p) [1 p + p] = p (1 p) = p q")
Πιθανότητες και Αρχές Στατιστικής (7η Διάλεξη) Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Πανεπιστήμιο Πατρών Ακαδημαϊκό Ετος 2018-2019 Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 1 / 39 Περιεχόμενα
ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ (Δείγμα θεμάτων)
ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ (Δείγμα θεμάτων) Μέρος Ι (μέγιστος αριθμός μονάδων=40) Δώστε την κατάλληλη απάντηση (ΣΩΣΤΗ ή ΛΑΘΟΣ ) στις παρακάτω προτάσεις. Κάθε σωστή επιλογή παίρνει 5 μονάδες. Για κάθε λανθασμένη επιλογή
ΘΕΜΑ 3 Το ύψος κύματος (σε μέτρα) σε μία συγκεκριμένη θαλάσσια περιοχή είναι τυχαία μεταβλητή X με συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας
ΣΧΟΛΗ ΝΑΥΤΙΚΩΝ ΔΟΚΙΜΩΝ TOMEAΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΓΙΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΣΤΟ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ - ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 26 Σεπτεμβρίου 2014 Ομάδα Θεμάτων Α ΘΕΜΑ 1 Ρίχνουμε ένα αμερόληπτο νόμισμα (δύο δυνατά
Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά
Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 6: Πιθανότητες Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες,
Θεωρία Πιθανοτήτων & Στατιστική
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ & Στατιστική Ενότητα 2 η : Δεσμευμένη Πιθανότητα. Ολική Πιθανότητα-Θεώρημα Bayes, Ανεξαρτησία και Συναφείς Έννοιες. Γεώργιος Ζιούτας Τμήμα
Βιομαθηματικά BIO-156
ιομαθηματικά IO-56 Θεωρία Πιθανοτήτων Ντίνα Λύκα Εαρινό Εξάμηνο, 03 lika@biology.uo.gr Ορισμοί Τυχαίο Πείραμα: κάθε πείραμα που είναι δυνατόν να επαναληφθεί με το ίδιο σύνολουποθέσεωνκαιτουοποίουτο αποτέλεσμα
ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Π
ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Π ι θ α ν ό τ η τ ε ς Ι Πειραιάς 2008 Πιθανότητες Ι-Μ. Κούτρας 2 Δοκιμές Bernoulli Ας θεωρήσουμε μία ακολουθία (σειρά) πειραμάτων στην οποία ισχύουν τα επόμενα
ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Π
ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Π ι θ α ν ό τ η τ ε ς Ι Πειραιάς 2008 Πιθανότητες Ι-Μ. Κούτρας 2 Κατανομές χρόνου αναμονής (... μέχρι να συμβεί ηπρώτη επιτυχία) 3 Ας θεωρήσουμε μία ακολουθία
HY118-Διακριτά Μαθηματικά
HY118-Διακριτά Μαθηματικά Παρασκευή, 04/05/2018 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr 07-May-18 1 1 Θεωρία πιθανοτήτων 07-May-18 2 2 Τι είδαμε την προηγούμενη φορά Μία τυχαία μεταβλητή Vείναι κάθε
Συνδυαστική Απαρίθμηση
Συνδυαστική Απαρίθμηση ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Συνδυαστική Απαρίθμηση Υπολογισμός
ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 7. Τυχαίες Μεταβλητές και Διακριτές Κατανομές Πιθανοτήτων
ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ
Θεωρία Πιθανοτήτων, εαρινό εξάμηνο Λύσεις του πέμπτου φυλλαδίου ασκήσεων.. Δηλαδή:
Θεωρία Πιθανοτήτων, εαρινό εξάμηνο 2017-18 Λύσεις του πέμπτου φυλλαδίου ασκήσεων 1 Σε ένα πρόβλημα πολλαπλής επιλογής προτείνονται n απαντήσεις από τις οποίες μόνο μία είναι σωστή Αν η σωστή απάντηση κερδίζει
Διακριτά Μαθηματικά. Απαρίθμηση: μεταθέσεις και συνδυασμοί
Διακριτά Μαθηματικά Απαρίθμηση: μεταθέσεις και συνδυασμοί Μεταθέσεις (permutations) Μετάθεση διακεκριμένων στοιχείων ενός συνόλου = Ανακάτεμα κάποιων ή όλων των στοιχείων του συνόλου S={1,2,3} Μεταθέσεις
pdf: X = 0, 1 - p = q E(X) = 1 p + 0 (1 p) = p V ar(x) = E[(X µ) 2 ] = (1 p) 2 p + (0 p) 2 (1 p) = p (1 p) [1 p + p] = p (1 p) = p q
![pdf: X = 0, 1 - p = q E(X) = 1 p + 0 (1 p) = p V ar(x) = E[(X µ) 2 ] = (1 p) 2 p + (0 p) 2 (1 p) = p (1 p) [1 p + p] = p (1 p) = p q](/thumbs/62/47321496.jpg "pdf: X = 0, 1 - p = q E(X) = 1 p + 0 (1 p) = p V ar(x) = E[(X µ) 2 ] = (1 p) 2 p + (0 p) 2 (1 p) = p (1 p) [1 p + p] = p (1 p) = p q")
7ο Μάθημα Πιθανότητες Σωτήρης Νικολετσέας, αναπληρωτής καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Πανεπιστήμιο Πατρών Ακαδημαϊκό Ετος 2016-2017 Σωτήρης Νικολετσέας, αναπληρωτής καθηγητής 7ο Μάθημα Πιθανότητες
ΙΙΙ εσµευµένη Πιθανότητα
ΙΙΙ εσµευµένη Πιθανότητα 1 Λυµένες Ασκήσεις Ασκηση 1 Στρίβουµε ένα νόµισµα δύο ϕορές. Υποθέτοντας ότι και τα τέσσερα στοιχεία του δειγµατοχώρου Ω {(K, K, (K, Γ, (Γ, K, (Γ, Γ} είναι ισοπίθανα, ποια είναι
Τι είδαμε την προηγούμενη φορά
HY118-Διακριτά Μαθηματικά Παρασκευή, 04/05/2018 Θεωρία πιθανοτήτων Αντώνης Α. Αργυρός e-mal: argyros@csd.uoc.gr 07-May-18 1 1 07-May-18 2 2 Τι είδαμε την προηγούμενη φορά Μίατυχαία μεταβλητήvείναι κάθε
Συνδυαστική. Σύνθετο Πείραμα. Πείραμα Συνδυαστική. Το υλικό των. ΗΥ118 Διακριτά Μαθηματικά, Άνοιξη Τρίτη, 17/04/2018
HY118-Διακριτά Μαθηματικά Τρίτη, 17/04/2018 Συνδυαστική Το υλικό των Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr 1 2 Πείραμα Σύνθετο Πείραμα Πείραμα:Οποιαδήποτε διαδικασίαπου μπορεί να οδηγήσει σε ένα
ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ
ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ υ ν δ υ α σ τ ι κ ή Πειραιάς 2007 1 Μάθημα 5ο Σχηματισμοί όπου επιτρέπεται η επανάληψη στοιχείων 2 Παράδειγμα 2.4.1 Πόσα διαφορετικά αποτελέσματα μπορούμε
Μαθηματικά Πληροφορικής Πιθανοτικά Εργαλεία. Υποπροσθετικότητα. Η Πιθανοτική Μέθοδος (The Probabilistic Method)
Μαθηματικά Πληροφορικής Πιθανοτικά Εργαλεία Δύο βασικά εργαλεία από τη Θεωρία Πιθανοτήτων. 1 Υποπροσθετικότητα (Union Bound). 2 Γραμμικότητα Αναμενόμενης Τιμής (Linearity of Expectation). Τμήμα Πληροφορικής
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Εξετάσεις στο μάθημα ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Ι
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Εξετάσεις στο μάθημα ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Ι Ονοματεπώνυμο: Όνομα Πατρός:... ΑΜ:. Ημερομηνία: Σ Παρακαλώ μη γράφετε στα παρακάτω τετράγωνα Μέρος
36 = Pr(B) = Pr(Γ E) = Pr(Γ) Pr(E) = = Pr(B) = Pr(B Γ) Pr(B) Pr(Γ) = 1 6. Pr(A B) = Pr(A) Pr(B).
Κεφάλαιο 5 Ανεξαρτησία και δεσμευμένη πιθανότητα Ας πούμε πως ένας μετεωρολόγος μάς πληροφορεί ότι, με βάση τα ιστορικά στατιστικά στοιχεία του καιρού στην Αθήνα, βρέχει μία στις 9 μέρες. Αν για κάποιο
Διωνυμική Κατανομή. x Αποδεικνύεται ότι για την διωνυμική κατανομή ισχύει: Ε(Χ)=np και V(X)=np(1-p).
Διωνυμική Κατανομή Ορισμός: Μια τυχαία μεταβλητή Χ λέγεται ότι ακολουθεί την διωνυμική κατανομή αν πληρούνται οι ακόλουθες τρεις συνθήκες: α) Υπάρχουν n επαναλαμβανόμενες δοκιμές οι οποίες είναι στατιστικώς
ΑΝΕΣΤΗΣ ΤΣΟΜΙΔΗΣ - ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ
ΑΝΕΣΤΗΣ ΤΣΟΜΙΔΗΣ - ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ 1) ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 1. Οι παρακάτω αριθμοί παρουσιάζουν τις ενδείξεις ενός ζαριού το οποίο ρίξαμε 20 φορές. 5 5 5 1 2 5 4 3 2 3 1 3 6 4 1 4 6 6 5 4 i) Να κατασκευάσετε πίνακα α)
Γενικευμένες Μεταθέσεις και Συνδυασμοί
Γενικευμένες Μεταθέσεις και Συνδυασμοί Διατάξεις και Συνδυασμοί όταν υπάρχουν πολλαπλά αντίγραφα των αντικειμένων Μέχρι τώρα Μετράγαμε τρόπους να διαλέξουμε (συνδυασμούς) ή να διαλέξουμε και να βάλουμε
n ίδια n διαφορετικά n n 0 n n n 1 n n n n 0 4
Διακριτά Μαθηματικά Ι Επαναληπτικό Μάθημα 1 Συνδυαστική 2 Μεταξύ 2n αντικειμένων, τα n είναι ίδια. Βρείτε τον αριθμό των επιλογών n αντικειμένων από αυτά τα 2n αντικείμενα. Μεταξύ 3n + 1 αντικειμένων τα
Στατιστική Περιγραφή Φυσικού Μεγέθους - Πιθανότητες
Στατιστική Περιγραφή Φυσικού Μεγέθους - Πιθανότητες Είπαμε ότι γενικά τα συστηματικά σφάλματα που υπεισέρχονται σε μια μέτρηση ενός φυσικού μεγέθους είναι γενικά δύσκολο να επισημανθούν και να διορθωθούν.
Ασκήσεις Κεφαλαίου 1
Ασκήσεις Κεφαλαίου 1 1. Αν συμβολίζει τη συμμετρική διαφορά των γεγονότων Α και Β, δηλ. δείξτε ότι ισχύει 0 και επαληθεύστε με αριθμητικό παράδειγμα ότι δεν ισχύει το αντίστροφο. 2. Για τα γεγονότα Α και
Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες
Ορισμός Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες αβεβαιότητας. Βασικές έννοιες Η μελέτη ενός πληθυσμού
Α ΕΝΟΤΗΤΑ. Πιθανότητες. Α.1 (1.1 παρ/φος σχολικού βιβλίου) Α.2 (1.2 παρ/φος σχολικού βιβλίου) Δειγματικός χώρος - Ενδεχόμενα. Η έννοια της πιθανότητας
Α ΕΝΟΤΗΤΑ Πιθανότητες Α.1 (1.1 παρ/φος σχολικού βιβλίου) Δειγματικός χώρος - Ενδεχόμενα Α.2 (1.2 παρ/φος σχολικού βιβλίου) Η έννοια της πιθανότητας Α.1 Δειγματικός Χώρος. Ενδεχόμενα. Απαραίτητες γνώσεις
Τ Ε Ι Ιονίων Νήσων Τμήμα Εφαρμογών Πληροφορικής στη Διοίκηση και την Οικονομία. Υπεύθυνος: Δρ. Κολιός Σταύρος
Τ Ε Ι Ιονίων Νήσων Τμήμα Εφαρμογών Πληροφορικής στη Διοίκηση και την Οικονομία Υπεύθυνος: Δρ. Κολιός Σταύρος Θεωρία Συνόλων Σύνολο: Το σύνολο εκφράζει μία συλλογή διακριτών μονάδων οποιασδήποτε φύσης.
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 2014-2015 ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ. Βασικά Εργαλεία και Μέθοδοι για τον Έλεγχο της Ποιότητας [ΔΙΠ 50]
![ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 2014-2015 ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ. Βασικά Εργαλεία και Μέθοδοι για τον Έλεγχο της Ποιότητας [ΔΙΠ 50]](/thumbs/20/597856.jpg "ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 2014-2015 ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ. Βασικά Εργαλεία και Μέθοδοι για τον Έλεγχο της Ποιότητας [ΔΙΠ 50]")
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 2014-2015 ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ Βασικά Εργαλεία και Μέθοδοι για τον Έλεγχο της Ποιότητας [ΔΙΠ 50] 1η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Προσοχή: Η καταληκτική ημερομηνία για την παραλαβή
Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής. Θεωρία Πιθανοτήτων. Δρ. Αγγελίδης Π. Βασίλειος
Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής 1 Θεωρία Πιθανοτήτων Δρ. Αγγελίδης Π. Βασίλειος 2 Περιεχόμενα Έννοια πιθανότητας Ορισμοί πιθανότητας Τρόπος υπολογισμού Πράξεις πιθανοτήτων Χρησιμότητα τους 3 Πείραμα
ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Π
ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Π ι θ α ν ό τ η τ ε ς Ι Πειραιάς 2008 Πιθανότητες Ι-Μ. Κούτρας 2 ΗΔιωνυμική κατανομή για (πολύ) μεγάλα ν και (πολύ) μικρά p Η χρήση του τύπου ν x ν x f ( x)
1.7 Διατάξεις 1. Στην ελληνική βιβλιογραφία επικρατεί ο συμβολισμός. Permutations
.7 Διατάξεις Είναι το σύνολο των συμπλεγμάτων που μπορεί να προκύψουν όταν επιλέγονται υποσύνολα που περιέχουν διακεκριμένα στοιχεία από ένα υπερσύνολο διακεκριμένων στοιχείων. Εδώ δεν ενδιαφέρουν οι θέσεις
ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών
ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ Σε κάθε αποτέλεσμα του πειράματος αντιστοιχεί μία αριθμητική τιμή Μαθηματικός ορισμός: Τυχαία μεταβλητή X είναι
ΣΥΝ ΥΑΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ. Θεωρία Πιθανοτήτων και Στοχαστικές ιαδικασίες, Κ. Πετρόπουλος. Τµ. Επιστήµης των Υλικών
Τµ. Επιστήµης των Υλικών Χώρος Πιθανότητας Συµµετρικός Χώρος Πιθανότητας 1 Θεωρούµε ότι ο δειγµατοχώρος Ω είναι πεπερασµένος, Ω= {ω 1,ω 2,...,ω n }. 2 Κάθε δειγµατοσηµείο έχει τις ίδιες ευκαιρίες εµφάνισης
Γιατί πιθανότητες; Γιατί πιθανότητες; Θεωρία πιθανοτήτων. Θεωρία Πιθανοτήτων. ΗΥ118, Διακριτά Μαθηματικά Άνοιξη 2017.
HY118-Διακριτά Μαθηματικά Τρίτη, 02/05/2017 Θεωρία πιθανοτήτων Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr 04-May-17 1 1 04-May-17 2 2 Γιατί πιθανότητες; Γιατί πιθανότητες; Στον προτασιακό και κατηγορηματικό
Διακριτά Μαθηματικά. Ενότητα 4: Απαρίθμηση: Μεταθέσεις και Συνδυασμοί
Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 4: Απαρίθμηση: Μεταθέσεις και Συνδυασμοί Εύη Παπαϊωάννου Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διαχείρισης Πολιτισμικού Περιβάλλοντος και Νέων Τεχνολογιών Σκοποί
ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ
ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ Χαράλαµπος Α. Χαραλαµπίδης 12 Οκτωβρίου 2009 ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΑ ΕΝ ΕΧΟΜΕΝΑ Ενωση ενδεχοµένων Η ένωση δύο ενδεχοµένων A και B (ως προς ένα δειγµατικό χώρο Ω), συµβολιζόµενη
ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 11/01/2018
ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 11/01/2018 Διδάσκουσα: Β. Πιπερίγκου Σε μια ενδονοσοκομειακή έρευνα, καταγράφηκε ο χρόνος ύπνου, μετά τη χορήγηση ενός συγκεκριμένου αναισθητικού, σε 33 ασθενείς και πήραμε
ΒΑΣΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΠΑΡΙΘΜΗΣΗΣ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΒΑΣΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΠΑΡΙΘΜΗΣΗΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΠΑΡΙΘΜΗΣΗΣ Πολλαπλασιαστική αρχή (multiplicatio rule). Έστω ότι ένα πείραμα Ε 1 έχει 1 δυνατά αποτελέσματα. Έστω επίσης ότι για κάθε ένα από αυτά τα δυνατά
Πιθανότητες και Αρχές Στατιστικής (5η Διάλεξη) Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Πανεπιστήμιο Πατρών Ακαδημαϊκό Ετος
Πιθανότητες και Αρχές Στατιστικής (5η Διάλεξη) Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Πανεπιστήμιο Πατρών Ακαδημαϊκό Ετος 2018-2019 Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 1 / 30 Περιεχόμενα
ΟΜΑΔΕΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ (ΤΜΗΜΑ Μ-Ω)
ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Σ. ΤΟΥΜΠΗΣ Οδηγίες (Διαβάστε τες!) 1. Περίληψη: ΟΜΑΔΕΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 2016-2017 (ΤΜΗΜΑ Μ-Ω) (αʹ) Υπάρχει μια ομάδα ασκήσεων για περίπου κάθε 2 κεφάλαια
Θεωρία Πιθανοτήτων, εαρινό εξάμηνο Λύσεις του τέταρτου φυλλαδίου ασκήσεων.
Θεωρία Πιθανοτήτων, εαρινό εξάμηνο 207-8 Λύσεις του τέταρτου φυλλαδίου ασκήσεων 2 2 = 8 Ίδια Ρίχνουμε ένα νόμισμα τρεις φορές και θεωρούμε το ενδεχόμενο να προκύψουν και οι δυο όψεις του νομίσματος καθώς
Ασκήσεις στην διωνυμική κατανομή
Ασκήσεις στην διωνυμική κατανομή Όπου χρειάζεται να γίνει χρήση του μικροϋπολογιστή 1) Επιλέγουμε ένα τυχαίο δείγμα τεσσάρων μεταχειρισμένων ραδιοφώνων. Αν γνωρίζουμε ότι η πιθανότητα να μην υπάρχει ελαττωματικό
Διακριτά Μαθηματικά. Απαρίθμηση: Διωνυμικοί συντελεστές
Διακριτά Μαθηματικά Απαρίθμηση: Διωνυμικοί συντελεστές Συνδυασμοί Το πλήθος των συνδυασμών r από n στοιχεία, C(n,r) συμβολίζεται και ως Ο αριθμός αυτός λέγεται και διωνυμικός συντελεστής Οι αριθμοί αυτοί