Galerkin ( ) ( ) συνοριακές συνθήκες L * u ku p x u dx ( ) Για κάθε αποδεκτή συνάρτηση L L L

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Galerkin ( ) ( ) συνοριακές συνθήκες L * u ku p x u dx ( ) Για κάθε αποδεκτή συνάρτηση L L L"

Ἀδελφός Λιακόπουλος
6 χρόνια πριν
Προβολές:

1 Galrkn ( ) Ε Αu ku= p x u ( 0) = 0 συνοριακές συνθήκες u ( L) = q L ( S ) Για κάθε αποδεκτή συνάρτηση u * ( x ) 0 L ( ΕΑ + ( )) u ( 0) = 0 u ( L) = ql * u ku p x u dx ( W ) Για κάθε αποδεκτή συνάρτηση u * ( x) ( ) ( ) Ε Α uu dx+ kuu dx p x u dx ΕΑ q u L = 0 ( W ) L L L * * * * L

2 Galrkn Θεωρώ ( ) φ ( ) *( ) * και u x a φ ( x) u x a x = = ώστε L ( )( * ) ( )( * ) jφ j φ jφ j φ ( * ) * p a φ dx Q a φ( L) ΕΑ a a dx+ k a a dx 0 0 L = 0 * a Kj aj F = j= = 0 όπου L K = ΕΑ φφ dx + k φφ dx j 0 j 0 j L ( ) φ φ ( ) F = p x dx+ EAq L 0 L L

3 ( ) ΕΑu ku= p x u ( 0) = 0 συνοριακές συνθήκες u ( L) = q L 0 x L x=0 x=l 0 j-2 j- j j+ j+2 x φ j (x) j-2 j- j j+ j+2 x

4 φ (x) φ 2 (x) φ 3 (x) φ j (x) φ + (x) x=0 x=l j + x

5 Τοπικό σύστηµα συντεταγµένων x=0 x=l 0 j-2 j- j j+ j+2 x A h = x Β -x A B x, ξ x=x Α ξ = x=x Β ξ = x h 2 ( ξ ) = x + ( + ξ ) A

6 Μορφή συναρτήσεων στο στοιχείο φ A φ B A B x, ξ h = x Β -x A φa ξ φj x ξ ξ 2 ( ) = ( ) = ( ) = ( ) φb ξ φj+ x 2 ξ ξ 2 ( ) = ( ) = ( ) = ( + )

7 ΗΜΙΟΥΡΓΙΑ ΤΟΠΙΚΟΥ ΜΗΤΡΩΟΥ ΑΚΑΜΨΙΑΣ x K 2 2 j = ΕΑ φφ dx x j + k φφ dx j x x A B A ΕΑ kh ΕΑ kh + + h 3 h 6 B ΕΑ + h kh 6 ΕΑ + h kh 3

8 K K K K A B A B

9 F F 2 A B

10 Γενική διαδικασία Χωρίζουµε τοχωρίο σε Ντµήµατα (στοιχεία) µε κόµβους 0,,2,,Ν+, όπου ο πρώτος κόµβος είναι στο x = 0 και ο τελευταίος στο x = L Ορίζουµε τιςγραµµικές συναρτήσεις ("στέγες") σε κάθε στοιχείο Σε κάθε στοιχείο υπολογίζω τα K j F «Φυτεύω» τα τοπικά µητρώα, στο συνολικό "µητρώο ακαµψίας" και το "µητρώο φόρτισης". Λύνω το σύστηµα [ K ] u= F Για κάθε στοιχείο η λύση και η παράγωγός της είναι ( ) = φ( ) + φ + ( ) + u ( x) = φ ( x) u + φ + ( x) u + u x xu xu

11 ΣΥΝΟΡΙΑΚΕΣ ΣΥΝΘΗΚΕΣ Αρχικό πρόβληµα ( ) ΕΑu ku= p x u ( 0) = 0 συνοριακές συνθήκες u ( L) = q L ιακριτοποιηµένο πρόβληµα Kjaj = F [ Κ] a = j= F Φυσική συνοριακή συνθήκη όπου L K = ΕΑ φφ dx + k φφ dx j 0 j 0 j L ( ) φ φ ( ) F = p x dx+ EAq L 0 L L

12 Βασικές συνοριακές συνθήκες Ας υποθέσουµε ότι έχουµε βασική ΣΣ στο κόµβοj. u j = u 0 j K K2 K4 K u F K K K K u F = K j K j2 K jj K j uj Fj K K2 Kj K u F Το θέτω ίσο µε 0 M u j Το θέτω ίσο µε ένα µεγάλο αριθµό M

13 Βασικές συνοριακές συνθήκες Η εξίσωση j γίνεται: K u Μ u K u = Μ u 0 j j j j και επειδή: Μ >> έχω K j ΜΕΘΟ ΟΣ ΠΟΙΝΗΣ (pnalty mthod) Μ u Μ u u = u 0 0 j j j j

14 Πεπερασµένα στοιχεία ανωτέρου βαθµού φ (x) φ 2 (x) φ 3 (x) φ j (x) φ (x) x=0 x j x=l

15 Πεπερασµένα στοιχεία ανωτέρου βαθµού Μονοδιάστατο στοιχείο µε τρεις κόµβους ξ ξ ξ 2 ( ) ( 2 = + ) 2 ( ) = ξ ξ 3 Ν (ξ) Ν 3 (ξ) Ν 2 (ξ) 2 ξ ξ ξ 2 2 ( ) = ( + ) 3 2 Η άγνωστη συνάρτηση στο στοιχείο είναι: 3 ( ξ ) ( ξ ) u u = ξ = - ξ = 0 ξ = Ο µετασχηµατισµός 3 ( ξ) ( ξ) x x = x ξ

16 Φύτεµα στο καθολικό µητρώο ακαµψίας K K K K K K K K K A B C A B C

17 Προβλήµατα 2 ου βαθµού δύο διαστάσεων (, ) 2 u= f x y στο Ω u= u 0 στο Β u = n u qs στο Β q Β=Β Β u u q q Β Β = Β Ω Ασθενής µορφή ( 2 u ) Ω + f wdω= 0 w = 0 στο Βu

18 Συµµετρική ασθενής µορφή θεωρώντας u w dω= q wdβ+ f wdω ( )( ) S Ω Β Ω q u = * αφ( x, y) w a φ( x, y) = καταλήγω στο διακριτό πρόβληµα [ K ] a= F K ( φ )( φ ) = dω j j Ω F f φ d q φ d = Ω+ Β S Ω Β q

19 Το διακριτοποιηµένο πρόβληµα γράφεταιωςεξής όπου [ K ] α = F [ K] = Τ ΒΒdΩ Ω F Ν Ν = Τ fd Ω+ Τ qs d Β Ω Β q και Ν = [ φ φ φ ] 2 φ, x φ2, x φ, x Β = φ, y φ2, y φ, y

20 Συναρτησιακό Π ( u) = ( u) ( u) dω f udω qsudβ 2 Απαιτώντας Ω Ω Β ( u) ( u) d f ud q ud 0 δπ= δ Ω δ Ω S δ Β= όπου Ω Ω Β δ u = 0 στο Βu q q Καταλήγουµε σταεξής: (, ) 2 u= f x y Ω στο = n u qs στο Β q

21 ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑ 0 t κινηµατική ε = + = 2 ( u ) ( ), u, sym u, j j j j Β Ω νόµος υλικού σ = D ε j jkl kl ισορροπία σ + = Συνοριακές συνθήκες j, j b 0 Τελικές διαφορικές εξισώσεις u = u στο Βu 0 ( ) D u + b = 0 jkl k, l, j στο Ω σ n = t στο Βq 0 j j

22 ΕΠΙΠΕ Η ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑ κινηµατική ε x u υ = ε γ y = xy x y u = + y υ x νόµος υλικού και ισορροπία σ x Cxx Cxy ε x σ = C C ε y yx yy y τ xy Ε = 2 σ τ x xy + + b x = 0 x y ( + ν ) γ xy τ xy x σ y + + b y = 0 y σ =Dε Cxx Cxy 0 Cyx Cyy E 2( + ν )

23 ΕΠΙΠΕ Η ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑ Ασθενής µορφή (αρχή των δυνατών έργων) Τ Τ * * 0 * ε σdω= u t dβ+ u bdω Ω Β Ω q Τ Όπου οι δυνατές µετατοπίσεις παραµορφώσεις: ε * x u = x * ε * y * υ = y γ * xy u = + y υ x * * και u = υ = 0 * * στο Β u

24 Galrkn u = φ ( x, y) α u * φ (, ) * x y α = ( x, y) ( xy, ) υ φ β = Το διακριτοποιηµένο πρόβληµα όπου [ K ] α = F * * = υ φ β και Ν [ K] φ = Τ Β DΒ dω Ω 0 φ 0 2 = 0 φ 0 φ 2 = Τ d Ω+ Τ 0 F Ν b Ν t d Β Β φ Ω, x 2, x = 0 φ, y 0 φ2, y Β 0 φ 0 φ φ φ φ, y, x 2, y 2, x q

25 Συναρτήσεις στέγης (πυραµίδας) σε 2 διαστάσεις y φ ( xy, ) x Θεωρήστε το πρόβληµα πεδίου 2 = [ K] (, ) u f x y = Τ ΒΒdΩ Ω

26 φ ( xy, ) nod φ ( xy, )

27 Μόνον 4 στήλες του [Β] είναι µη µηδενικές. 0 φx, 0 φjx, 0 φkx, 0 φlx, 0 Β = 0 φy, 0 φjy, 0 φky, 0 φly, 0 Γράφοντας l k Β φx, φjx, φkx, φlx, = φy, φjy, φky, φ ly, j Το µητρώο ακαµψίας του στοιχείου είναι διάστασης 4 4 K = T Β Β dω Ω Και «φυτεύεται» στην κατάλληλη θέση του συνολικού µητρώου ακαµψίας

28 Θεωρήστε το πρόβληµα επίπεδης ελαστικότητας σ τ x xy + + b x = 0 x y [ K ] = Τ Β DΒ dω Ω τ xy σ y + + b y = 0 x y j µόνον 8 στήλες του [Β] είναι µη µηδενικές. l k Β φ 0 φ 0 φ 0 φ 0 x, jx, kx, lx, = 0 φy, 0 φjy, 0 φky, 0 φly, Γράφοντας φy, φx, φjy, φjx, φky, φkx, φly, φ Lx, Β K = T Β Β dω Ω φ 0 φ 0 φ 0 φ 0 x, jx, kx, lx, = 0 φy, 0 φjy, 0 φky, 0 φly, φ φ φ φ φ φ φ φ y, x, jy, jx, ky, kx, ly, lx, το µητρώο ακαµψίας του στοιχείου είναι διάστασης 8 8 και «φυτεύεται» στην κατάλληλη θέση του συνολικού µητρώου ακαµψίας

29 y l k Τοπικό σύστηµα συντεταγµένων η j - ξ x - Οι συναρτήσεις Galrkn στοτοπικόσύστηµα γράφονται ξ η ξ η 4 2 ( ξ, η) = ( + ξ)( η) 4 3 ( ξ, η) = ( + ξ)( + η) 4 4 ( ξ, η) = ( ξ)( + η) 4 (, ) = ( )( ) Η άγνωστη συνάρτηση (προσεγγιστική): 4 = ( ξη, ) ( ξη, ) u u Ο µετασχηµατισµός γράφεται: 4 = 4 = ( ξη, ) ( ξη, ) x x ( ξη, ) ( ξη, ) y y

30 Ο πίνακας των µερικών παραγώγων [ F ] x x ξ η = y y ξ η Ιακωβιανή Για να είναι ο µετασχηµατισµός - και επί, ( xy, ) ( ξ, n) θα πρέπει [ F] J= dt > 0 ξ x = [ F ] T η y x T ξ = [ F ] y η (, ) Ω= (, ) = ( ξ, η) g x y d g x y dxdy g J dξ dη Ω Ω

31 Τετρακοµβικό επίπεδο στοιχείο

32 Τετρακοµβικό επίπεδο στοιχείο

33 ΙΣΟΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ Έστω ένα στοιχείο και αντίστοιχος µετασχηµατισµός x ξ ( ) ( ) x ξ όπου j= j j ( ξ) ξ x j είναι κάποιες συναρτήσεις. δηλαδή x ξ ( xy, ) ( ξ, η ) ( xyz,, ) ( ξ, ηζ, ) ΑΝ ΥΠΟΘΕΣΩ ΟΤΙ ΚΑΙ Η ΑΓΝΩΣΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΙΝΕΤΑΙ ΑΠΌ ΤΟ ΤΥΠΟ: ( ) ( ) u ξ ξ u j j= j τότε το στοιχείο είναι ισοπαραµετρικό. ( ξ) ηλαδή, χρησιµοποιώ τις ίδιες συναρτήσεις γιαναεκφράσωτηνγεωµετρία και την συνάρτηση x u

34 Σε µονοδιάστατα προβλήµατα j= ( ξ) ( ξ) x x j= ( ξ) ( ξ) j j j u u j Σε διδιάστατα προβλήµατα πεδίου Γεωµετρία στοιχείου Άγνωστη συνάρτηση στο στοιχείο x x = y ξ ξ = η u ( ξ, η ) Γεωµετρία στοιχείου x,, x ( ξη) ( ξη) = ( ξη, ) ( ξη, ) y y = Άγνωστη συνάρτηση στο στοιχείο u,, u ( ξη) ( ξη) =

35 Σε διδιάστατα προβλήµατα ελαστικότητας x x = y ξ ξ = η (, ) (, ) u ξ η u = υ ξη Γεωµετρία στοιχείου Άγνωστη συνάρτηση στο στοιχείο x,, x ( ξη) ( ξη) = ( ξη) ( ξη) = y,, y u,, u ( ξη) ( ξη) υ ( ξη, ) (, ) = = ξηυ

36 Σε τρισδιάστατα προβλήµατα πεδίου x x = y z ξ = η ζ ξ u ( ξ, η, ζ ) Γεωµετρία στοιχείου x,,,, x ( ξηζ) ( ξηζ) = y,,,, y ( ξηζ) ( ξηζ) = Άγνωστη συνάρτηση στο στοιχείο u,,,, u ( ξηζ) ( ξηζ) = z,,,, z ( ξηζ) ( ξηζ) =

37 Σε τρισδιάστατα προβλήµατα ελαστικότητας x ξ u x = y u = υ ξ = η z ζ w Γεωµετρία στοιχείου Άγνωστη συνάρτηση στο στοιχείο x,,,, x ( ξηζ) ( ξηζ) ( ξηζ) ( ξηζ) = y,,,, y ( ξηζ) ( ξηζ) = z,,,, z ( ξηζ) ( ξηζ) = u,,,, u = = (,, ) (,, ) υ ξηζ ξηζ υ w,,,, w ( ξηζ) ( ξηζ) =

38 Ιακωβιανή ορίζουσα x ξ dx dξ x x x ξ η = ξ y y ξ η x x x ξ η ζ x y y y = ξ ξ η ζ z z z ξ η ζ x J = dt ξ DIM DIM = DIM = 2 DIM = 3 DIM

39 Πολυώνυµα Lagrang Ορισµός: l j ( ξ ) = ( ξ ξ ) ( ) ( )( ) ξ ξ2 ξ ξ j ξ ξ j+ ( ξ ξ) ( ξ ) ( ) ( )( ) ( ) j ξ ξ j ξ2 ξ j ξ j ξ j ξ j+ ξ j ξ Ισχύει: l αν = j ( ξ) δj = 0 αν ι j j Θεωρώ, σε µονοδιάστατα στοιχεία j( ξ ) = lj ( ξ ) ξ = - ξ= j-2 j- j j+ j+2 Ν x

40 Σε διδιάστατα στοιχεία θεωρώ ξ, η = l ξ l η ( ) ( ) ( ) j k η ξ Σε τρισδιάστατα στοιχεία θεωρώ ξ, ηζ, = l ξ l η l ζ ( ) ( ) ( ) ( ) j k m ζ η ξ

41 Εννεα-κοµβικό επίπεδο στοιχείο

42 Εννεα-κοµβικό επίπεδο στοιχείο Συναρτήσεις Galrkn Ακραίος κόµβος Κεντρικός κόµβος Μεσαίος κόµβος πλευράς

43 ΤΡΙΓΩΝΙΚΟ ΣΤΟΙΧΕΙΟ Ξεκινώ από το 4-κοµβικό στοιχείο Σύµπτωση του κόµβου 3 και του κόµβου 4

44 ΤΡΙΓΩΝΙΚΟ ΣΤΟΙΧΕΙΟ ( ξ η ) 3, ( ξ η ), Συναρτήσεις Galrkn ( ξ η ) 2, φ ( x A, y )

45 ΕΠΙΠΕ Α ΣΤΟΙΧΕΙΑ Srndpty lmnts Lagrangan lmnts Trangular lmnts

46 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ BDB T dω Ω b t T ( )? db F ξ d ξ = a B Ολοκλήρωση κατά Gauss b T dω Ω ιαλέγω σηµεία ξ ξ2 και συντ. βάρους 2 b a,,..., ξn a, a,..., an ( ξ) ξ ( ξ ) ( ξ ) ( ξ ) F d = af + a2f a F + R n n n

47 Βασικός πίνακας ολοκλήρωσης κατά Gauss ξ a

48 Ολοκλήρωση σε δύο διαστάσεις n (, ) (, ) F ξη dξ dη = α F ξ η dη = = (, ) F(, ) n n n n = α α F ξ η = α ξ η j j j j = j= = j= Ολοκλήρωση σε τρεις διαστάσεις ( ξηζ,, ) F dξdηdζ= = = n n n = j= κ = n n n = j= κ = α α α F α ( ξ, η, ζκ) j κ j F ( ξ, η, ζκ ) jk j

49 Σχήµατα ολοκλήρωσης Gauss 2 2 και 3 3 σε επίπεδα στοιχεία

Σχετικά έγγραφα

κινηµατική καταστατική = k θ ισορροπία στροφικό ελατήριο

κινηµατική καταστατική = k θ ισορροπία στροφικό ελατήριο u Η κινηµατική u= sinθ θ θ καταστατική M ισορροπία = k θ M = H cosθ H στροφικό ελατήριο k Μ H k = u ΕΝΕΡΓΕΙΑΚΗ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ δυναµική ενέργεια Π = U + V Π = 1 + k θ H u ( ) καταστατική M = k θ κινηµατική u=