ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ. Εστω f πραγµατική συνάρτηση, της οποίας είναι γνωστές µόνον οι τιµές f(x i ) σε n+1 σηµεία xi

Transcript

1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ 5 Πολυωνυµική παρεµβολή Εστω f πραγµατική συνάρτηση της οποίας είναι γνωστές µόνον οι τιµές f(x ) σε + σηµεία x = του πεδίου ορισµού της Το πρόβληµα εύρεσης µιας συνάρτησης φ (από ένα ορισµένο σύνολο συναρτήσεων Σ) έτσι ώστε η φ να προσδιορίζεται µόνον από τις τιµές f(x ) και να πληροί τις συνθήκες ϕ ( x) = f( x) = καλείται παρεµβολή Αν το σύνολο Σ είναι αρκετά «πλούσιο» τότε η τιµή της συνάρτησης φ(x) για x x µπορεί να θεωρηθεί ότι προσεγγίζει την τιµή f(x) Σχήµα 5: Πολυωνυµική παρεµβολή Στο Κεφάλαιο αυτό θα προσεγγίσουµε συναρτήσεις µε παρεµβολή µε πολυώνυµα ή µε τµηµατικά πολυωνυµικές συναρτήσεις O λόγος είναι ότι κατασκευάζονται πολύ εύκολα µε πολ/σµούς και προσθαφαιρέσεις παραγωγίζονται και ολοκληρώνονται πολύ εύκολα και έχουν καλές προσεγγιστικές ιδιότητες Πράγµατι: Θεώρηµα 5 (Weerstrass) Εστω f Cab [ ] όπου Cab [ ] είναι το σύνολο των συνεχών συναρτήσεων στο κλειστό διάστηµα [αb] τότε για κάθε ε > υπάρχει πολυώνυµο π ( x) τέτοιο ώστε: max x [ a b] f( x) π ( x) < ε Θεώρηµα 5 (Yπαρξης και µοναδικότητας του πολυωνύµου παρεµβολής) Εστω + σηµεία του επιπέδου ( x y) = τότε υπάρχει µοναδικό πολυώνυµο p(x) βαθµού το πολύ τέτοιο ώστε: 74

2 p( x ) = y = (5) Aπόδειξη: Εστω p( x) = a + ax+ + ax πολυώνυµο βαθµού το πολύ µε αγνώστους τους συντελεστές a a a τότε από την (5) προκύπτει ένα γραµµικό σύστηµα + εξισώσεων µε + αγνώστους Το αντίστοιχο οµογενές σύστηµα p( x) = = έχει προφανώς ως µοναδική λύση την τετριµµένη µηδενική λύση διότι το p ως πολυώνυµο το πολύ βαθµού έχει το πολύ ρίζες και όχι + που υπονοεί το παραπάνω οµογενές σύστηµα Εφόσον το οµογενές σύστηµα έχει µόνον την τετριµµένη λύση το γραµµικό σύστηµα (5) έχει µοναδική λύση Εστω f είναι µια πραγµατική συνάρτηση και p ένα πολυώνυµο βαθµού το πολύ τέτοιο ώστε p( x) = f( x) = τότε το µοναδικό πολυώνυµο p καλείται πολυώνυµο παρεµβολής της f στα σηµεία x x Ισχύει δε: Θεώρηµα 53 (Σφάλµα προσέγγισης) Εστω = και + f C [ a b ] + όπου C [ a b] είναι το σύνολο των συναρτήσεων που είναι + φορές συνεχώς παραγωγίσιµες στο κλειστό διάστηµα [αb] Αν p είναι το πολυώνυµο παρεµβολής της f στα σηµεία x [ ] x a b τότε: ( + ) f x [ a b] ( )! = f p max x x + όπου: f = max x [ a b] f( x) + Απόδειξη: Eστω f C [ a b] x [ ] x a b και x x θέτουµε ( ) και ορίζουµε µία βοηθητική συνάρτηση φ (t) ως εξής: Φ () t = t x = f( x) p( x) ϕ() t = f() t p() t Φ() t t [ a b] Φ( x) Είναι εύκολο να δει κανείς ότι ϕ + () [ ] t C a b και 75

3 ϕ ( x ) = = και ϕ ( x) = άρα η φ έχει στο διάστηµα [αb] τουλάχιστον + διαφορετικές ρίζες Mε χρήση του Θεωρήµατος Rolle προκύπτει ότι η ϕ έχει στο ανοικτό διάστηµα (αb) τουλάχιστον + διαφορετικές ρίζες η ϕ έχει στο ανοικτό διάστηµα (αb) τουλάχιστον διαφορετικές ρίζες κλπ και τέλος η ( ) έχει στο ανοικτό διάστηµα (αb) τουλάχιστον ρίζα ξ Επειδή ϕ + έχουµε: ( ) ( ) f( x) p( x) ϕ + () t = f + () t ( +! ) Φ( x) ( + ) ( + ) f( x) p( x) = ϕ ( ξ) = f ( ξ) ( + )! Φ( x) ( + f ) ( ξ ) f ( x) p( x) = Φ( x)! ( + ) 5 Kατασκευή πολυωνύµου παρεµβολής (α) Πολυώνυµο Lagrage Εστω + σηµεία του επιπέδου (x y ) = τότε το πολυώνυµο Lagrage που διέρχεται από τα σηµεία (x y ) έχει τη µορφή: p ( x) y L( x) = (5) = όπου τα πολυώνυµα: ( x x) ( x x )( x x+ ) ( x x) ( x x )( x x )( x x )( x x ) L ( x) = = καλούνται συντελεστές Lagrage + Παράδειγµα 5 Υπολογίστε το πολυώνυµο παρεµβολής του Lagrage που διέρχεται από τα σηµεία: (--3) (-) (-) 76

4 Λύση Αριθµoύµε τα σηµεία µας ξεκινώντας πάντοτε από την τιµή = και έχουµε: x x x x - y y y y Aπό τον τύπο (5) έχουµε: p( x) = y L( x) = 3 L( x) L( x) L( x) Yπολογίζουµε: = ( )( ) ( x x )( x x ) ( )( ) ( )( ) x x x x x x x x L ( x) = = = ( )( ) ( x x )( x x ) ( )( ) ( )( ) x x x x x+ x x L ( x) = = = + ( )( ) ( x x )( x x ) ( )( ) ( )( ) x x x x x+ x x + x L ( x) = = = + Aντικαθιστούµε στον τύπο του πολυωνύµου p (x) και υπολογίζουµε: (β)-πολυώνυµο Newto x x x x + x p( x) = 3 = x Εστω + σηµεία του επιπέδου (x y ) = τότε τo πολυώνυµο του Newto που διέρχεται από τα σηµεία (x y ) έχει τη µορφή: p( x) a a( x x) a( x x)( x x) a( x x)( x x ) = (53) όπου οι συντελεστές a a a υπολογίζονται µε τη µέθοδο των διαιρεµένων ή προσαρτηµένων διαφορών ως εξής: Κατασκευάζουµε τον ακόλουθο πίνακα: 77

5 x y ιαιρεµένες ης τάξης διαφορές ιαιρεµένες διαφορές ης τάξης ιαιρεµένες διαφορές τάξης x y = (y -y ) / (x -x ) = ( - ) / (x -x ) = ( ) / (x -x ) x y = (y -y ) / (x -x ) = ( 3 - ) / (x 3 -x ) x - y - = (y -y - ) / (x -x - ) - = ( - - ) / (x -x - ) x y ακολουθώντας τους εξής κανόνες: () οι δύο πρώτες στήλες είναι οι στήλες των δεδοµένων x και y όπου τα x διατάσσονται από το µικρότερο στο µεγαλύτερο δηλαδή: x < x < < x () Oρίζουµε τις διαιρεµένες διαφορές ης τάξης από τη σχέση: y y = = x x (3) Oρίζουµε τις διαιρεµένες διαφορές -τάξης = από τη σχέση: j+ j j = j = + xj+ xj (4) Oι συντελεστές α = του πολυωνύµου του Newto υπολογίζονται ως εξής: a y = = = Παράδειγµα 5 Να υπολογισθεί το πολυώνυµο του Newto που παρεµβάλλει µία συνάρτηση f(x) στα σηµεία: x y Λύση Kατασκευάζουµε τον ακόλουθο πίνακα διαιρεµένων διαφορών: x y ης τάξης δδ ης τάξης δδ 3 ης τάξης δδ 4 ης τάξης δδ - 3 (5-3)/(--(-))= (-7-)/(-(-))=-9/ (/3+9/)/(-(-))=47/4 (-7/-47/4)/5=-8/ - 5 (--5)/(-(-))=-7 (3-(-7))/(-(-))=/3 (-7/3-/3)/(3-(-))=-7/ 78

6 - (4-(-))/(-)=3 (-4-3)/(3-)=-7/3 4 (-4)/(3-)=-4 3 Aρα το πολυώνυµο του Newto είναι το εξής: p4( x) = 3+ ( x+ ) ( x+ )( x+ ) + ( x+ )( x+ ) x ( x+ )( x+ ) x( x ) 4 και προκύπτει από τον τύπο (53) για x = - x = - x = x 3 = µε τους συντελεστές α α α 4 να προκύπτουν από τη σχέση (53) σε συνδυασµό µε τον πίνακα διαιρεµένων διαφορών (βλέπε αριθµούς µε κόκκινη απόχρωση) που κατασκευάσαµε: α =3 α = α =-9/ α 3 =47/4 α 4 =-8/ Σηµείωση Για πολλές συναρτήσεις f το µέγιστο σφάλµα f p κατά την προσέγγιση της f µε ένα πολυώνυµο παρεµβολής p τείνει στο µηδέν Αυτό όµως δε συµβαίνει πάντα Από τον Ruge δόθηκε το παράδειγµα της συνάρτησης f( x) = + 5x η οποία είναι απειροδιαφορίσιµη στο κλειστό διάστηµα [-] και για την οποία ισχύει f p Γενικότερα ο Faber απέδειξε το 94 ότι για οποιαδήποτε επιλογή των σηµείων παρεµβολής υπάρχει συνεχής συνάρτηση για την οποία η παρεµβολή αποτυγχάνει 53 Παρεµβολή Hermtte Εστω f µία πραγµατική συνάρτηση και ας υποθέσουµε ότι ζητούµε από την παρεµβάλλουσα συνάρτηση φ(x) της f να έχει εκτός της ταύτισης µε την f στα σηµεία παρεµβολής x x και τις ίδιες παραγώγους µέχρι κάποια τάξη µε την f όπου η τάξη µπορεί να διαφέρει από σηµείο σε σηµείο Τότε µιλούµε για παρεµβολή τύπου Ηermtte Θεώρηµα 53 (Yπαρξης και µοναδικότητας του πολυωνύµου παρεµβολής) Εστω m m φυσικοί αριθµοί Ν = + m + +m p N M πολυώνυµο βαθµού Ν και Μ = max{m m } Aν f C [ a b] και ( x f( x)) = + σηµεία του επιπέδου τότε υπάρχει µοναδικό πολυώνυµο p Ν (x) βαθµού το πολύ Ν τέτοιο ώστε: 79

7 p ( x ) = f ( x ) = m () () N () () N = = p ( x ) f ( x ) m p ( x ) = f ( x ) = m () () N (54) Η πιο συνηθισµένη περίπτωση είναι αυτή κατά την οποία ζητούµε να υπολογίσουµε το πολυώνυµο Hermtte που ικανοποιεί τα δεδοµένα: p ( x ) = f( x ) p ( x ) = f ( x ) = (55) N N Θεώρηµα 53 (Σφάλµα προσέγγισης) Εστω = + f C [ a b] και p + είναι το πολυώνυµο παρεµβολής Hermtte που ικανοποιεί την (55) στα σηµεία x [ ] x a b τότε: (+ ) f x [ a b] ( )! = f p max x x + Κατασκευή του πολυωνύµου Hermtte Θεωρούµε τη σχέση (54) όπου χωρίς περιορισµό της γενικότητας έχουµε υποθέσει ότι x < <x Ορίζουµε µία νέα ακολουθία σηµείων ως εξής: x x x x x x x x x (56) m + φορες m + φορες m + φορες και για την ακολουθία (56) κατασκευάζουµε το πολυώνυµο Hermtte να είναι το πολυώνυµο Newto (53) όπου οι συντελεστές του υπολογίζονται όπως είδαµε στις σελ µε µία µόνον επιπλέον συνθήκη: (Σ) όποτε βρίσκουµε στις διαιρεµένες διαφορές -τάξης την ποσότητα / (µηδέν διά µηδέν) θα την αντικαθιστούµε µε την ποσότητα: () f ( xk ) k! Παράδειγµα 53 Να υπολογισθεί το πολυώνυµο του Ηermtte που ικανοποιεί τα δεδοµένα: 8

8 f() = f () = 4 f() = 4 f () = 4 f () = 4 f(4) = 6 Λύση Kατασκευάζουµε την ακολουθία (56) ως εξής: προφανώς έχουµε 3 σηµεία τα f() = f() = 4 f(4) = 6 τις τετµηµένες των οποίων διατάσσουµε κατ αύξουσα τάξη λόγω του κανόνα () της σελ 78 Ετσι έχουµε x = x = x = 4 Στη συνέχεια κάθε σηµείο επαναλαµβάνεται τόσες φορές όσο είναι η µέγιστη τάξη της παραγώγου του άρα το x = θα επαναληφθεί µία φορά το x = θα επαναληφθεί φορές ενώ το x = δεν θα επαναληφθεί Ετσι κατασκευάζουµε την ακολουθία (56): 4 { 4 } Το πολυώνυµο του Hermtte κατασκευάζεται όπως το πολυώνυµο Newto µε την επιπλέον συνθήκη (Σ) (βλέπε σελ 8) Κατασκευάζουµε πρώτα τον πίνακα διαιρεµένων διαφορών: x y ης τάξης δ δ ης τάξης δ δ 3 ης τάξης δ δ 4 ης τάξης δ δ / f () = 4 (-4)/(-)=- (-(-))/(-) = (3/-)/(-)=/4 (4-)/(-) = (4-)/(-)= (4-)/(-) = 3/ (5/4-3/)/(4-)=-/6 4 / f () = 4 / f ()/ = 4 (-(-3/))/(4-)=5/4 4 / f () = 4 (-4)/(4-) = -3/ 4 (6-4)/(4-) = ης τάξης δ δ (-/6-/4)/(4-)=-5/64 Aρα το πολυώνυµο του Hermtte είναι το εξής: p ( x ) = + 4( x ) ( x )( x ) + ( x )( x )( x ) ( x )( x )( x )( x ) ( x )( x )( x )( x )( x ) 4 64 και προκύπτει από τον τύπο (53) για x = x = x = x 3 = x 4 = µε τους συντελεστές α α α 4 α 5 να προκύπτουν από τη σχέση (53) σε συνδυασµό µε τον πίνακα διαιρεµένων διαφορών (βλέπε αριθµούς µε κόκκινη απόχρωση) που κατασκευάσαµε: α = α =4 α =- α 3 = α 4 =/4 α 5 = -5/64 8

9 54 Sples Eστω a= x < x < < x = b είναι ένας διαµερισµός του κλειστού διαστήµατος [αb] τότε sples ως προς αυτό το διαµερισµό καλούνται γενικά εκείνες οι συναρτήσεις που σε κάθε υποδιάστηµα [x x + ] έχουν µία ορισµένη µορφή είναι πχ πολυώνυµα βαθµού m Ορισµός 54 Eστω a x x x b = < < < = είναι ένας διαµερισµός του m κλειστού διαστήµατος [αb] Κάθε συνάρτηση s C [ a b] τέτοια ώστε ο περιορισµός s [ x ] x = να είναι πολυώνυµο βαθµού m καλείται + πολυωνυµική sple βαθµού m Για παράδειγµα οι πολυωνυµικές sples βαθµού είναι οι συνεχείς τεθλασµένες γραµµές Σηµαντικό ρόλο στις εφαρµογές παίζουν οι κυβικές sples δηλαδή οι συναρτήσεις που είναι φορές παραγωγίσιµες στο κλειστό διάστηµα [αb] και είναι κυβικά πολυώνυµα σε κάθε υποδιάστηµα ενός οποιουδήποτε διαµερισµού του [αb] Εστω a= x < x < < x = b οποιοδήποτε διαµερισµός του [αb] για τον προσδιορισµό µιας κυβικής sple απαιτείται η εύρεση συνολικά 4 σταθερών δηλαδή των συντελεστών του αντιστοίχου κυβικού πολυωνύµου s ( x) = a + a x+ a x + a x () () () () () 3 3 σε κάθε υποδιάστηµα [x x + ] = - Eχουµε λοιπόν + σχέσεις από τις συνθήκες παρεµβολής () s ( x ) = f( x ) = - σχέσεις από τις συνθήκες συνέχειας στους εσωτερικούς κόµβους s ( x ) = s ( x ) = ( ) ( ) και (-) σχέσεις από τις συνθήκες παραγωγισιµότητας στους εσωτερικούς κόµβους ( ) ( ) ( ) ( ) s ( x) = s ( x ) = 8

10 ( ) ( ) ( ) ( ) s ( x ) = s ( x) = συνολικά δηλαδή µπορούµε να προσδιορίσουµε (-) εξισώσεις Οι υπόλοιπες δύο είναι συνήθως διαφόρων τύπων συνοριακές εξισώσεις που αφορούν τους συνοριακούς κόµβους α και b Για παράδειγµα αν ισχύει ( ) = ( ) = s x s x τότε λέµε ότι έχουµε φυσικές κυβικές sples Ισχύει µάλιστα: Θεώρηµα 54 Εστω f C 4 [ a b] και έστω s η κυβική πολυωνυµική sple που παρεµβάλλει την f στα σηµεία a= x < x < < x = b τότε υπάρχουν σταθερές C m m = 3 τέτοιες ώστε: ( ) ( ) 4 (4) m m f s m Cm h f όπου h είναι η µέγιστη τιµή του εύρους µεταξύ των υποδιαστηµάτων [x x + ] = - Για να υπολογίσουµε τις κυβικές sples εργαζόµαστε ως εξής: εφόσον η s είναι κυβική sple η s είναι συνεχής συνάρτηση και µάλιστα θα είναι µία τεθλασµένη γραµµή οπότε κάθε ευθύγραµµο ( j) τµήµα αυτής της γραµµής είναι η ( s ) ( x) j = η οποία µε χρήση του πολυωνύµου Lagrage που διέρχεται από τα σηµεία µπορεί να γραφεί ως εξής: x x x x s x = a + a x x x x ( j) j+ ( ) ( ) j j j+ j j+ j+ j όπου α j α j+ άγνωστοι τους οποίους θέλουµε να προσδιορίσουµε Mε αυτή τη γραφή ισχύει ότι ( s ( j) ) ( x ) ( ( j) ) ( ) ( ( ) ) ( ) ( ( ) j j j aj s xj aj s xj aj s + + ) ( xj) = = = = Ολοκληρώνοντας φορές και χρησιµοποιώντας τις συνθήκες παρεµβολής προσδιορίζουµε τις άγνωστες σταθερές 83

11 Σηµειώνουµε ότι στα περισσότερα µαθηµατικά λογισµικά υπάρχουν ειδικές εντολές που υπολογίζουν άµεσα τις κυβικές sples Παράδειγµα 4 Eστω {x = - x = x = } ένας οµοιόµορφος διαµερισµός του διαστήµατος [-] Προσδιορίστε τη φυσική κυβική sple που παρεµβάλλεται σε µία συνάρτηση f στα σηµεία x = έτσι ώστε f(x ) = f(x ) = f(x ) = 6 () () Λύση Εστω s( x ) η φυσική κυβική sple και s ( x) s ( x ) τα κυβικά πολυώνυµα στα υποδιαστήµατα [-] και [] αντίστοιχα Προφανώς ( j) κάθε συνάρτηση ( s ) ( x) είναι ένα πολυώνυµο ου βαθµού δηλαδή ένα ευθύγραµµο τµήµα οπότε αν α jk jk = είναι άγνωστες σταθερές έχουµε: () ( ) () ( ) s ( x) = a x+ a s ( x) = a x+ a ( ) = () = () = () oπότε Προφανώς ( s () ) ( s () ) ( s () ) ( s () ) βρίσκουµε ότι: a = a a = a a = a δηλαδή: () ( ) s ( x) = a x+ a () ( s ) ( x) = a x+ a άρα η συνάρτηση s ( x) είναι συνεχής (όπως απαιτείται) Ολοκληρώνοντας παίρνουµε: () x ( s ) ( x) = a + ax+ c () x ( s ) ( x) = a + ax+ c 84

12 () () Eπειδή πρέπει ( s ) ( s ) () = () παίρνουµε εύκολα ότι c = c οπότε: () x ( s ) ( x) = a + ax+ c () x ( s ) ( x) = a + ax+ c άρα η συνάρτηση s ( x) είναι συνεχής (όπως απαιτείται) Ολοκληρώνοντας παίρνουµε: x x 6 x x = () s ( x) = a + a + cx+ d 3 () s ( x) a a cx d (5) Eπειδή πρέπει οπότε: s () = s () = παίρνουµε εύκολα ότι d = d = () () 3 () x x s ( x) = a + a + cx+ 6 3 () x x s ( x) = a + a + cx+ 6 άρα η συνάρτηση s( x ) είναι συνεχής (όπως απαιτείται) Τέλος επειδή s ( ) = s () = 6 λύνουµε το σύστηµα: () () 3 () ( ) ( ) s ( ) = a + a + c( ) () s () a a c = ως προς a c Εχουµε: 85

13 απ όπου προκύπτει εύκολα ότι: a = a + a c = a + a + c + 6 = 3 c = 3 και τελικά από την (5) παίρνουµε: sx ( ) 3 ( ) = [ ) ( ) 3 [] () 3 s x x x x x = () 3 3 s x = x + x + x+ x AΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Να προσδιορισθεί το πολυώνυµο Lagrage που διέρχεται από τα δεδοµένα: () (--9) (--) (-) () () (-) ( ) ( -4) () (-3) (57) Aπάντ () y = x 3 - () y = x -9x+ () y = x-3 Να προσδιορισθεί το πολυώνυµο Νewto που διέρχεται από τα δεδοµένα: () (--3) () (5) (3) () (-9) ( 5) ( 9) Aπάντ () y = x 3 - x +x+ () y = x -9x+ 3 Να προσδιορισθεί το πολυώνυµο Ηermtte που ικανοποιεί τα δεδοµένα: () f()= f ()= f ()=4 f()=6 f()=8 f(4)=6 () f()=3 f ()=4 f()=6 f ()=4 f ()= f ()=6 Aπάντ () y = 4/48 x 5 8/6 x /4 x 3 + x +x () y = 3x 5-6 x x 3-49x +4 x-38 4 Eστω {x = - x = - x = x 3 = x 4 = } ένας οµοιόµορφος διαµερισµός του διαστήµατος [-] Προσδιορίστε τη φυσική κυβική 86

14 sple που παρεµβάλλεται σε µία συνάρτηση f στα σηµεία x = έτσι ώστε f(x ) = f(x ) = 4 f(x ) = f(x 3 ) = - f(x 4 ) = -6 5 Εστω f(x) = x 3 - Nα βρεθεί ένα πολυώνυµο παρεµβολής που παρεµβάλλει την f στα σηµεία x = - x = - x = Να υπολογίσετε το σφάλµα της παρεµβολής 6 Εστω f(x) = e x Θεωρούµε έναν πίνακα τιµών της f(x) στα σηµεία x = h = N- όπου Ν = /h Nα προσδιορίσετε το βήµα h έτσι ώστε η προσέγγιση της f(x) µε ένα πολυώνυµο παρεµβολής ου βαθµού να δίνει ακρίβεια 3 δεκαδικών ψηφίων 87