Η µέθοδος των πεπερασµένων στοιχείων. Βασικές έννοιες.

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Η µέθοδος των πεπερασµένων στοιχείων. Βασικές έννοιες."

Transcript

1 Η µέθοδος των πεπερασµένων στοιχείων. Βασικές έννοιες.. Γενικά Στο κεφάλαιο αυτό θα δοθεί µία εισαγωγή στη µέθοδο των πεπερασµένων στοιχείων ΜΠΣ και στη χρήση της στην ανάλυση και το σχεδιασµό των λεπτότοιχων κατασκευών. Η µέθοδος αυτή αποτελεί ισχυρό εργαλείο στη µελέτη των κατασκευών και βρίσκει µεγάλο αριθµό εφαρµογών. Στο πεδίο της ανάλυσης µπορεί να χρησιµoποιηθεί όχι µόνο στο συµβατικό ελαστικό πεδίο θεωρία µικρών µετατοπίσεων αλλά και για µη-γραµµικά προβλήµατα, λυγισµό, δυναµική συµπεριφορά κ.ά. Η µέθοδος χρησιµοποιείται γενικότερα σε προβλήµατα που επιδέχονται µεταβολική διατύπωση στην µηχανική των συνεχών µέσων. Η σχετική βιβλιογραφία είναι εκτενέστατη, και συνεχώς αυξάνεται µε την πρόταση νέων τεχνικών αλλά και εφαρµογών. Στο παρόν κείµενο η περιγραφή θα περιορισθεί στη µελέτη λεπτότοιχων κατασκευών και θα καλύψει τις βασικές αρχές της µεθόδου µε βάση το περιεχόµενο του Κεφ. και τη θεωρία της µητρωικής άλγεβρας. Η αρχική διατύπωση της µεθόδου έγινε µε βάση την µητρωική ανάλυση, αργότερα όµως δόθηκε ευρύτερη και πιο θεµελιώδης θεωρητική βάση. Αρχικά θα θεωρήσουµε την µέθοδο ως επέκταση της µητρωικής ανάλυσης στην ανάλυση των συνεχών µέσων ελάσµατα, κελύφη. Το χαρακτηριστικό της µεθόδου των πεπερασµένων στοιχείων είναι η χρήση διδιάστατων και τρισδιάστατων στοιχείων για την προσοµοίωση συνεχών µέσων. Μια από τις πρώτες δηµοσιεύσεις στις οποίες παρουσιάσθηκε η ιδέα αυτή είναι των rner, Clogh, Martin, και opp 95, ορισµένα όµως χαρακτηριστικά της είχαν ήδη περιγραφεί από τους Corant 9, renioff 9, Mcenry 9 και άλλους. Ακολούθησαν πολλές δηµοσιεύσεις, συµπεριλαµβανοµένων και αυτών του Αργύρη και των συνεργατών του την περίοδο 95-. Τα πρώτα πεπερασµένα στοιχεία χρησιµοποιήθηκαν σε προβλήµατα επίπεδης εντατικής κατάστασης, αργότερα όµως διατυπώθηκαν στοιχεία και για τρισδιάστατα στερεά, ελάσµατα υπό κάµψη, παχιά κελύφη, και άλλες µορφές κατασκευών. Μετά την καθιέρωσή τους στη γραµµική ελαστική περιοχή εφαρµόσθηκαν και σε δυσκολότερα προβλήµατα όπως η δυναµική συµπεριφορά, ο λυγισµός και η µη-γραµµική απόκριση και συµπεριφορά του υλικού. Για να επιλυθούν δε προβλήµατα µε µη-γραµ- µική συµπεριφορά του υλικού απαιτείται επαναληπτική διαδικασία. 89

2 9 Υπολογιστικές µέθοδοι και εφαρµογές σε λεπτότοιχες κατασκευές Σχήµα Χρήση τριγωνικών στοιχείων για τη διακριτοποίηση αµφιέρειστης δοκού υπό καµπτική φόρτιση Στις αρχές της δεκαετίας του 9 αναγνωρίσθηκε ότι η µέθοδος αποτελεί συγκεκριµένη µορφή της µεθόδου Ritz, και το 9 οι Zieniewicz και Cheng έδειξαν ότι µπορεί να εφαρµοσθεί σε όλα τα προβλήµατα πεδίου που έχουν µεταβολική διατύπωση. Για προβλήµατα κατασκευών υπάρχει τώρα ένας ικανός αριθµός προγραµµάτων γενικής χρήσης και το γεγονός αυτό σε συνάρτηση µε τις δυνατότητες της µεθόδου έχει οδηγήσει στην ραγδαία εξέλιξη και χρήση της τα τελευταία χρόνια.. Βασικές έννοιες της µεθόδου Η βασική έννοια της µεθόδου των πεπερασµένων στοιχείων είναι, όπως και στη µητρωική ανάλυση, η δυνατότητα προσοµοίωσης της πραγµατικής κατασκευής µε συστατικά στοιχεία τα οποία συνδέονται σε ένα πεπερασµένο αριθµό κόµβων. Η µεθοδολογία αυτή αποτελεί φυσιολογική προσοµοίωση των πλαισίων, καθώς αυτά αποτελούνται από δοκούς που είναι συνδεδεµένες στα άκρα τους. Σε µία συνεχή όµως κατασκευή δεν υπάρχουν φυσικοί διαχωρισµοί και συνεπώς απαιτείται να γίνει τεχνητός διαχωρισµός σε στοιχεία, τα οποία να συνδέονται κατά µήκος των άκρων πλευρών τους. Τα τεχνητά αυτά στοιχεία, ή πεπερασµένα στοιχεία είναι συνήθως τετράπλευρα ή τριγωνικά και οι κόµβοι συνήθως βρίσκονται στα άκρα. Το Σχήµα δείχνει τον κορµό δοκού υποδιαιρεµένο σε τριγωνικά στοιχεία. Για να γίνει χρήση µητρωικών µεθόδων απαιτείται να προσοµοιωθεί η συνεχής κατασκευή µε ένα πεπερασµένο αριθµό διακριτών µεταβλητών. Οι µεταβλητές αυτές είναι οι µετατοπίσεις των κόµβων και σε ορισµένες περιπτώσεις και οι παράγωγοί τους. Εάν περιλαµβάνονται και οι παράγωγοι γίνεται λόγος για βαθµούς ελευθερίας αντί για µετατοπίσεις κόµβων. Οι µετατοπίσεις στο εσωτερικό των στοιχείων πρέπει να είναι συµβατές µε τις µετατοπίσεις των κόµβων και όλες οι αλληλεπιδράσεις των στοιχείων εκφράζονται σε σχέση µε τις κοµβικές µετατοπίσεις. Με αυτό τον τρόπο οι µόνοι άγνωστοι είναι οι µετατοπίσεις στους κόµβους και το πρόβληµα µετατρέπεται από συνεχές σε διακριτό. Παρ όλο που µπορεί να υπάρχει µεγάλος αριθµός κοµβικών µετατοπίσεων ο αριθµός τους είναι πεπερασµένος. Το πρόβληµα εκφράζεται τότε ως ένα σύνολο σύστηµα γραµµικών εξισώσεων οι οποίες επιλύονται µε αριθµητικές µητρωικές µεθόδους.

3 Η µέθοδος των πεπερασµένων στοιχείων. Βασικές έννοιες 9 Σχήµα Παραµόρφωση στοιχείων Για να επιτευχθεί ακριβής λύση ενός συγκεκριµένου προβλήµατος στη διακριτοποιηµένη µορφή του, θα πρέπει να ικανοποιούνται οι συνθήκες ισορροπίας και γεωµετρικής συµβιβαστότητας στο εσωτερικό των στοιχείων αλλά και στα σύνορά τους. Οι απαιτήσεις αυτές ανάγονται στην ικανοποίηση τεσσάρων συνθηκών. Ας θεωρηθεί, για παράδειγµα, η συµβιβαστότητα µεταξύ των στοιχείων. Σε µία συνεχή κατασκευή όπως το έλασµα του Σχήµατος ισχύει συνέχεια των µετατοπίσεων στα κοινά όρια των στοιχείων. Συνεπώς στο αριθµητικό µοντέλο πεπερασµένα στοιχεία δεν επαρκεί να ικανοποιείται η συνθήκη της συνέχειας των µετατοπίσεων στους κόµβους και µόνο. Εάν δηλαδή δεν διατυπωθούν περιορισµοί στις µετατοπίσεις κατά µήκος των ορίων των στοιχείων το θεωρητικό µοντέλο της κατασκευής θα είναι περισσότερο εύκαµπτο επειδή θα δηµιουργηθούν κενά, όπως δείχνει το Σχήµα. Ένας τρόπος να περιορισθεί το σφάλµα είναι να χρησιµοποιηθούν µικρότερα και περισσότερα στοιχεία διότι έτσι θα δηµιουργηθούν περισσότεροι κόµβοι και συνεπώς περισσότερα σηµεία στα οποία θα ικανοποιείται η συµβιβαστότητα. Μία διακριτή προσοµοίωση δεν µπορεί όµως να αποδώσει µε απόλυτη ακρίβεια την συµπεριφορά ενός συνεχούς µέσου, ανεξαρτήτως του αριθµού των διακριτών µεταβλητών που χρησιµοποιούνται. Υπάρχει δηλαδή πάντοτε ένα σφάλµα, το οποίο όµως µπορεί να περιορισθεί και να γίνει αµελητέο και τοπικό. εν είναι συνεπώς δυνατόν να ικανοποιηθούν όλες οι προαναφερθείσες συνθήκες µε απόλυτη ακρίβεια, έστω και αν γίνει χρήση µεγάλου αριθµού στοιχείων. Είναι όµως δυνατό, µε σωστή επιλογή των ιδιοτήτων των στοιχείων και κατάλληλη διακριτοποίηση, να περιορισθεί το αριθµητικό σφάλµα. Ο προσδιορισµός των ιδιοτήτων των στοιχείων

4 9 Υπολογιστικές µέθοδοι και εφαρµογές σε λεπτότοιχες κατασκευές αποτελεί ένα από τα βασικότερα στάδια διατύπωσης µιας λύσης. Θα πρέπει τότε να γίνεται αυτό έτσι ώστε να ικανοποιούνται επαρκώς οι συνθήκες συµβιβαστότητας χωρίς να χρειασθεί να γίνει χρήση υπερβολικά µικρών στοιχείων. Η συµπεριφορά των στοιχείων καθορίζεται από συναρτήσεις οι οποίες ορίζουν τον τρόπο µεταβολής των τάσεων ή των µετατοπίσεων στο εσωτερικό τους. Με άλλα λόγια, προκαθορίζεται ο τρόπος συµπεριφοράς των διαφόρων µεταβλητών. Το αποτέλεσµα είναι ότι, παρ όλο που οι συνθήκες ισορροπίας και συµβιβαστότητας ικανοποιούνται µόνο στους κόµβους, η προδιαγεγραµµένη συµπεριφορά στο εσωτερικό κάθε στοιχείου εξασφαλίζει ότι η συµβιβαστότητα ικανοποιείται επαρκώς στο εσωτερικό και στα σύνορά τους. Συµπεραίνεται λοιπόν ότι απαιτείται προσοχή κατά την υποδιαίρεση διακριτοποίηση της κατασκευής, καθώς επίσης και κατά την επιλογή της συνάρτησης που περιγράφει τη συµπεριφορά στο εσωτερικό του κάθε στοιχείου. Θα γίνει αναφορά σε ορισµένα θέµατα σχετικά µε την υποδιαίρεση και σε συνέχεια, για να γίνει κατανοητός ο τρόπος επιλογής της συνάρτησης εσωτερικής συµπεριφοράς θα µελετηθούν ορισµένα απλά στοιχεία τα οποία είναι ευρέως διαδεδοµένα και βρίσκουν εφαρµογή σε προβλήµατα λεπτότοιχων κατασκευών Κεφάλαια, 5 και 8. Όπως έχει ήδη αναφερθεί, η ακρίβεια της µεθόδου αυξάνεται όταν αυξάνεται ο αριθµός των στοιχείων, ή καλύτερα, των κόµβων. Όσο αυξάνεται όµως ο αριθµός των στοιχείων, τόσο αυξάνονται ο χρόνος υπολογισµού και το κόστος. Σε πολλές περιπτώσεις η βαθµιαία µεταβολή του µεγέθους των στοιχείων χρησιµοποιείται για να αποκτηθεί ακριβέστερη εικόνα της τοπικής συµπεριφοράς σε συγκεντρώσεις τάσεων, σε ανοίγµατα, κοντά στο σηµείο εφαρµογής του εξωτερικού φορτίου, κλπ. Η βαθµιαία µεταβολή του µεγέθους των στοιχείων είναι ένας εφικτός τρόπος ελάττωσης του κόστους χωρίς να µειωθεί ακρίβεια της λύσης του προβλήµατος. Λόγω όµως της µεγάλης ποικιλίας κατασκευών και φορτίσεων δεν είναι δυνατό να δοθεί γενικός κανόνας σχετικά µε τον αριθµό ή το µέγεθος των στοιχείων ή τον τρόπο διακριτοποίησης που απαιτούνται για επαρκή ακρίβεια. Σε κάθε περίπτωση ο τρόπος διακριτοποίησης πρέπει να βασίζεται στην εµπειρία συ- µπεριφοράς και µελέτης παρόµοιων κατασκευών. Εάν αυτό δεν είναι εφικτό πρέπει να επιλυθεί σειρά προβληµάτων µε διαφορετικές διακριτοποίησεις και να υπολογισθεί ο βαθµός σύγκλισης στην ακριβή λύση. Με αυτό τον τρόπο διασφαλίζεται η ακρίβεια της λύσης για το συγκεκριµένο πρόβληµα Σχήµα. Στο Σχήµα δείχνεται ότι η εξωτερική φόρτιση παριστάνεται µε σύνολα αντίστοιχων σηµειακών φορτίων τα οποία εφαρµόζονται στους κόµβους των στοιχείων. Στην περίπτωση συγκεντρωµένων φορτίων ο προφανής τρόπος είναι να επιλεγεί κόµβος στο σηµείο εφαρµογής του φορτίου. Για κατανεµηµένα φορτία πρέπει να επιλεγούν στατικά ισοδύναµα σηµειακά φορτία στους αντίστοιχους κόµβους. Τα περισσότερα στοιχεία επίπεδης εντατικής κατάστασης δεν έχουν στρεπτικό βαθµό ελευθερίας και συνεπώς δεν είναι δυνατό να γίνει χρήση αντίστοιχων ροπών στους κόµβους. Αυτό δεν είναι όµως σοβαρό πρόβληµα διότι οι κόµβοι είναι αρκετά κοντά ο ένας στον άλλο και έτσι οι δυνάµεις στους κόµβους αποτελούν ικανοποιητική προσοµοίωση του κατανεµηµένου φορτίου. Για παράδειγµα, το Σχήµα δείχνει

5 Η µέθοδος των πεπερασµένων στοιχείων. Βασικές έννοιες 9 σηµειακό φορτίο Σχήµα Βαθµιαία ελάττωση του µεγέθους των στοιχείων N/,,5 σηµειακά φορτία ,5 Σχήµα Ισοδύναµα επικόµβια φορτία τον κορµό της δοκού που θεωρήθηκε προηγουµένως, µε µήκος και κατανεµη- µένο φορτίο N/. Η επιλογή των ισοδύναµων φορτίων στους κόµβους είναι προφανής και δίνεται στο σχήµα αυτό.. Θεµελίωση της ΜΠΣ µε τη µέθοδο των µετατοπίσεων. Γενικά Ο πλέον διαδεδοµένος τρόπος διατύπωσης της µεθόδου των πεπερασµένων στοιχείων για γραµµικά στατικά προβλήµατα βασίζεται στη µέθοδο των µετατοπίσεων. Άλλοι τρόποι κάνουν χρήση της ισορροπίας δυνάµεων, ή άλλων υβριδικών ή και µικτών µεθόδων. Τα βασικά στάδια της µεθόδου είναι:

6 9 Υπολογιστικές µέθοδοι και εφαρµογές σε λεπτότοιχες κατασκευές. Η προσοµοίωση διακριτοποίηση της κατασκευής µε ένα σύνολο στοιχείων που συνδέονται σε συνοριακούς κόµβους.. Ο προσδιορισµός των γενικευµένων άγνωστων µετατοπίσεων που θα καθορίσουν πλήρως την απόκριση της κατασκευής.. Η διατύπωση των εξισώσεων ισορροπίας που αντιστοιχούν στις άγνωστες κοµβικές µετατοπίσεις και η επίλυσή τους.. Ο υπολογισµός των εσωτερικών κατανοµών των τάσεων των στοιχείων, για δεδοµένες µετατοπίσεις στους κόµβους. 5. Η ερµηνεία των αποτελεσµάτων της ανάλυσης, µετατοπίσεις και τάσεις, µε βάση τις δεδοµένες παραδοχές του προβλήµατος. Κατά την πρακτική µελέτη της συµπεριφοράς κατασκευών, από τα πιο σηµαντικά βήµατα της όλης διαδικασίας είναι η κατάλληλη διακριτοποίηση και ερµηνεία των αποτελεσµάτων της ανάλυσης. Για να επιτευχθεί σωστή διακριτοποίηση πρέπει να θεωρηθούν διάφορα µοντέλα, το οποία σταδιακά γίνονται περισσότερο σύνθετα. Περισσότερες πληροφορίες δίνονται στο Κεφάλαιο 8 όσον αφορά την πρακτική χρήση προγραµµάτων ΠΣ. Το γενικό µητρώο ακαµψίας που αντιστοιχεί στο σύνολο των στοιχείων της κατασκευής, αποκτάται µε τη µέθοδο της άµεσης σύνθεσης των ακαµψιών, σύµφωνα µε την παρακάτω σχέση: K K Για να αποκτηθεί το άθροισµα των ακαµψιών οι ακαµψίες των επί µέρους στοιχείων διατυπώνονται ως µητρώα ίδιας τάξης µε το γενικό µητρώο ακαµψίας της κατασκευής, στα οποία οι όροι που αντιστοιχούν µε τα υπόλοιπα στοιχεία είναι ίσοι µε µηδέν. Παράδειγµα Να συνταχθεί το µητρώο ακαµψίας της κατασκευής του σχήµατος. Σχήµα 5 Κατασκευή αποτελούµενη από τρία στοιχεία

7 Η µέθοδος των πεπερασµένων στοιχείων. Βασικές έννοιες 95 Το διάνυσµα των εξωτερικών δυνάµεων είναι: [ ] y y y ενώ το διάνυσµα των µετατοπίσεων στους κόµβους είναι: [ ] Λύση Η µητρωική εξίσωση ισορροπίας του στοιχείου είναι: y y EA Η µητρωική εξίσωση ισορροπίας του στοιχείου είναι: y y EA 5α Η µητρωική εξίσωση ισορροπίας του στοιχείου είναι:

8 9 Υπολογιστικές µέθοδοι και εφαρµογές σε λεπτότοιχες κατασκευές y y EA 5β Στον παρακάτω πίνακα δίνεται η αντιστοιχία βαθµών ελευθερίας στο τοπικό και το γενικό σύστηµα αναφοράς, σύµφωνα µε τα παραπάνω µητρώα. Στοιχείο Τοπική Γενική αρίθµηση αρίθµηση Επιβάλλουµε τις εξισώσεις ισορροπίας στους κόµβους της κατασκευής. Για παράδειγµα, στον κόµβο θα έχουµε: y y y + [ ] [ ] + + α [ + ] + [ + ] β Σύνθεση του µητρώου ακαµψίας της κατασκευής

9 Η µέθοδος των πεπερασµένων στοιχείων. Βασικές έννοιες 97 y y y Παροµοίως και από τις συνθήκες ισορροπίας στους άλλους κόµβους. Εποµένως, εισάγονται οι όροι στο γενικό µητρώο ακαµψίας κατά τρόπο ώστε να υπάρχει αντιστοιχία µεταξύ της τοπικής και της γενικής αρίθµησης. Στοιχείο Τοπική αρίθµηση Γενική αρίθµηση Σειρά στο διάνυσµα µετατοπίσεων. Εξισώσεις ισορροπίας κατά τη ΜΠΣ 5 5 Θεωρούµε την ισορροπία ενός τρισδιάστατου σώµατος στο οποίο ασκούνται επιφανειακά κατανεµηµένα φορτία f S, σωµατειακά αδρανειακά φορτία f, και συγκεντρωµένα φορτία i. Τα φορτία αυτά περιλαµβάνουν όλα τα εξωτερικά φορτία και αντιδράσεις και κατά κανόνα έχουν τρεις συνισταµένες: f f f f y z f S f f f S S y S z i f i i f y 8α-γ i f z

10 98 Υπολογιστικές µέθοδοι και εφαρµογές σε λεπτότοιχες κατασκευές Z,W i z i f s f z s f i y f z s f y f y X, Y,V z,w y,, Σχήµα Στερεό σώµα υπό την επίδραση γενικευµένων φορτίων Το διάνυσµα των µετατοπίσεων του σώµατος από την αφόρτιστη κατάσταση συµβολίζεται µε, όπου [ V W]. Το αντίστοιχο διάνυσµα των παραµορφώσεων είναι: Όπου Τ ε [ ε ε ε γ γ γ ] yy zz y yz z 9 ε Χ V ε yy Y W ε zz α-γ Z γ y Y V + X γ yz V Z W + Y W γ z + α-γ X Z ο διάνυσµα των τάσεων είναι: [ σ σ σ τ τ τ ] Τ σ yy zz y yz z Υποθέτουµε ότι τα εξωτερικά φορτία είναι γνωστά και ότι ζητούµενα είναι οι µετατοπίσεις, οι παραµορφώσεις και οι τάσεις. Για την επίλυση του προβλήµατος της απόκρισης του σώµατος θα µπορούσαµε να χρησιµοποιήσουµε τις διαφορικές εξισώσεις ισορροπίας οι οποίες θα έπρεπε να επιλυθούν για συγκεκριµένες οριακές συνθήκες και συµβιβαστότητες. Οι διαφορικές εξισώσεις αποκτώνται είτε θεωρώντας όλα τα φορτία που ασκούνται στο σώµα άµεση µέθοδος είτε µε τη µέθοδο

11 Η µέθοδος των πεπερασµένων στοιχείων. Βασικές έννοιες 99 του λογισµού µεταβολών. Μπορούµε όµως να κάνουµε χρήση και της αρχής των δυνατών έργων, η οποία διατυπώνεται ως εξής Κεφάλαιο : Ένα σώµα ισορροπεί, όταν το συνολικό εσωτερικό δυνατό έργο ισούται µε το εξωτερικό δυνατό έργο για µικρές συµβιβαστές δυνατές µετατοπίσεις οι οποίες ικανοποιούν τις οριακές συνθήκες. ηλαδή, i i ε V V S i S σdv f dv + s f ds + Το εσωτερικό δυνατό έργο δίνεται από το αριστερό σκέλος της παραπάνω εξίσωσης και ισούται µε το έργο που παράγεται όταν οι τάσεις σ αντιστοιχούν σε δυνατές παραµορφώσεις ε, οι οποίες οφείλονται σε εξωτερικές δυνατές µετατοπίσεις. Τ ε [ ε ε ε γ γ γ ] yy zz y yz z Το εξωτερικό δυνατό έργο δίνεται από το δεξιό σκέλος της και ισούται µε τα γινόµενα των πραγµατικών φορτίων f, f S, και i µε τις αντίστοιχες δυνατές µετατοπίσεις, όπου: V W 5 [ ] Οι εκθέτες S και i υποδηλώνουν αντίστοιχα τις µετατοπίσεις σε κόµβους της επιφάνειας και τις µετατοπίσεις των σηµείων που εφαρµόζονται φορτία i. Όπως αναφέρθηκε προηγουµένως, κατά τη µέθοδο των πεπερασµένων στοιχείων ένα στερεό συνεχές σώµα αντικαθίσταται από ένα άθροισµα διακριτών πεπερασµένων στοιχείων που συνδέονται µεταξύ τους στους συνοριακούς κόµβους. Υποθέτουµε ότι οι µετατοπίσεις που υπολογίζονται στο τοπικό σύστηµα αναφοράς, y, z στο εσωτερικό κάθε στοιχείου είναι συνάρτηση των µετατοπίσεων στους Ν κόµβους του σώµατος. Συνεπώς για το -οστό στοιχείο:, y, z, y, z Û όπου Η είναι το µητρώο παρεµβολής των µετατοπίσεων, ο εκθέτης υποδηλώνει το -οστό στοιχείο και Û είναι το διάνυσµα των συνιστωσών των µετατοπίσεων i, V i, W i, σε όλους τους κόµβους, στο γενικό σύστηµα αναφοράς. Το µητρώοû είναι συνεπώς διάνυσµα µε Ν όρους, ˆ [ V W V W... V W ] N N N 7

12 Υπολογιστικές µέθοδοι και εφαρµογές σε λεπτότοιχες κατασκευές Συνήθως το παραπάνω διάνυσµα γράφεται ως εξής: [ ] N... ˆ 8 Για ένα δεδοµένο στοιχείο µόνο οι µετατοπίσεις στους κόµβους που γειτονεύουν µε αυτό επηρεάζουν τις µετατοπίσεις στο εσωτερικό του. Οι παραµορφώσεις του -οστού στοιχείου είναι τότε: ε ˆ,,,, z y z y 9 όπου Β είναι το µητρώο συµβιβαστού των παραµορφώσεων. Τα στοιχεία του µητρώου Β λαµβάνονται µε παραγώγιση των όρων του µητρώου σύµφωνα µε τη σχέση, όπου η ανηγµένη µορφή του µητρώου Η περιλαµβάνει τις παραγώγους από τις εξισώσεις συµβιβαστότητας των παραµορφώσεων και µετατοπίσεων. Οι τάσεις σ δίνονται από την παρακάτω σχέση:,,,, i z y z y σ ε Ε σ + όπου Ε είναι το µητρώο ελαστικότητας του στοιχείου και σ i είναι το διάνυσµα των αρχικών προηγούµενων τάσεων του στοιχείου. Από τη σχέση είµαστε σε θέση να αποκτήσουµε τις µετατοπίσεις στους κόµβους. Αρχικά όµως ξαναγράφουµε την ως άθροισµα ολοκληρωµάτων στους χώρους των στοιχείων. + V V dv dv f σ ε + + i i...s S S S q ds f όπου,,..., S... S q είναι οι περιοχές της επιφάνειας του σώµατος και αριθµός στοιχείων. Για τους υπολογισµούς των ολοκληρωµάτων που αντιστοιχούν σε κάθε στοιχείο εξυπηρετεί η χρήση τοπικών συστηµάτων αναφοράς. Εάν αντικαταστήσουµε στη σχέση τις µετατοπίσεις, παραµορφώσεις και τάσεις καταλήγουµε στην παρακάτω µορφή: Û E Û V dv + V dv f Û + S S S S q ds... f ] C V dv σ + ι

13 Η µέθοδος των πεπερασµένων στοιχείων. Βασικές έννοιες Τα µητρώα συµβιβαστού των επιφανειακών µετατοπίσεων Η S δίνονται τώρα από τα µητρώα συµβιβαστού των µετατοπίσεων στο εσωτερικό των στοιχείων Η αντικαθιστώντας τις συντεταγµένες της επιφάνειας των στοιχείων. Το διάνυσµα c περιλαµβάνει τις συγκεντρωµένες φορτίσεις στους κόµβους του σώµατος. Παρατηρούµε ότι η i-οστή συνιστώσα του διανύσµατος c παριστάνει τη συγκεντρω- µένη δύναµη στον κόµβο που αντιστοιχεί στην i-οστή συνιστώσα της µετατόπισης του Û. Τα διανύσµατα των κοµβικών µετατοπίσεων είναι ανεξάρτητα του θεωρού- µενου στοιχείου και γι αυτό δεν συµπεριλαµβάνονται στην άθροιση. Για να λάβουµε τις εξισώσεις των αγνώστων κοµβικών µετατοπίσεων από τη σχέση εφαρµόζουµε την αρχή των δυνατών έργων n φορές επιβάλλοντας µοναδιαίες µετατοπίσεις σε όλες τις συνιστώσες του Û, σε όλους τους κόµβους. Με αυτό τον τρόπο έχουµε, κατά την πρώτη εφαρµογή, ˆ e και ορίζουµε τις µετατοπίσεις µε το µητρώο έχουµε δηλαδή δεύτερη εφαρµογή έχουµε: ˆ e ˆ. Κατά τη κ.ο.κ., µέχρι τη n-οστή, ˆ en. Ορίζουµε τότε τις άγνωστες µετατοπίσεις στους κόµβους ως, δηλαδή ˆ. Οι εξισώσεις ισορροπίας των µετατοπίσεων στους κόµβους είναι τότε: K όπου + + S I C Το µητρώο ακαµψιών Κ για το σύνολο των στοιχείων δίνεται από τη σχέση: K E dv V K K 5 Το διάνυσµα των φορτίων περιλαµβάνει τα σωµατειακά αδρανειακά φορτία, τα επιφανειακά φορτία και τις αρχικές τάσεις. f dv V

14 Υπολογιστικές µέθοδοι και εφαρµογές σε λεπτότοιχες κατασκευές S i S S f ds S,... Sq σ dv V i S i S 7 8 Τα συγκεντρωµένα φορτία είναι C. Σηµειώνεται ότι, όπως φαίνεται από τις παραπάνω σχέσεις, τα διανύσµατα, S, i και C συγκροτούνται µε απευθείας άθροιση των αντίστοιχων διανυσµάτων για κάθε στοιχείο. Εάν οι δυνάµεις µεταβάλλονται στο χρόνο δυναµικές φορτίσεις, πρέπει να συ- µπεριληφθούν και οι αντίστοιχες αδρανειακές δυνάµεις. Χρησιµοποιώντας την αρχή του d Alebert προσθέτουµε τις αδρανειακές δυνάµεις στο µητρώο των σω- µατειακών δυνάµεων. Εάν υποθέσουµε ότι µπορούµε να προσεγγίσουµε τις επιταχύνσεις κατά τον ίδιο τρόπο µε τις µετατοπίσεις, σχέση 9, η συµβολή των αδρανειακών δυνάµεων στο διάνυσµα των φορτίων είναι µε αµετάθετο το σύστηµα αναφοράς Οyz,.. f ρ dv 9 V όπου το διάνυσµα f δεν περιλαµβάνει πλέον αδρανειακές σωµατειακές δυνά- µεις, το διάνυσµα Ü περιλαµβάνει τις επιταχύνσεις σε κάθε κόµβο και ρ είναι η πυκνότητα του -οστού στοιχείου. Η εξίσωση ισορροπίας γράφεται τώρα:.. M + K όπου τα διανύσµατα και εξαρτώνται πλέον από τον χρόνο. Το µητρώο Μ είναι το µητρώο µάζας του σώµατος: M ρ dv M V Για να συµπεριληφθεί και η επίδραση της απόσβεσης προστίθενται οι αντίστοιχοι όροι στο διάνυσµα των σωµατειακών φορτίων : V [ f ρ κ ] dv

15 Η µέθοδος των πεπερασµένων στοιχείων. Βασικές έννοιες όπου τα διανύσµατα f δεν περιλαµβάνουν πλέον όρους αδράνειας και απόσβεσης, το διάνυσµα περιλαµβάνει τις κοµβικές ταχύτητες και κ είναι το διάνυσµα απόσβεσης του -οστού στοιχείου. Η εξίσωση ισορροπίας είναι τότε: M + C + K όπου C είναι το µητρώο απόσβεσης της κατασκευής που δίνεται από τη σχέση: C κ dv C V Επειδή στην πράξη δεν είναι εύκολη η συγκρότηση του µητρώου C από τα χαρακτηριστικά απόσβεσης κάθε στοιχείου, χρησιµοποιούνται τα µητρώα µάζας και ακαµψίας ολόκληρης της κατασκευής σε συνδυασµό µε πειραµατικά δεδοµένα για το βαθµό απόσβεσης των ταλαντώσεων.. Ισορροπία δυνάµεων στη ΜΠΣ Στη ΜΠΣ δεν ικανοποιούνται οι εξισώσεις ισορροπίας στη διαφορική τους µορφή, δηλαδή δεν ισχύουν οι συνθήκες ισορροπίας σε κάθε σηµείο του συνεχούς µέσου. Υπάρχουν όµως δύο βασικές συνθήκες οι οποίες ικανοποιούνται πάντοτε από τη λύση του προβλήµατος, ανεξάρτητα του αριθµού των στοιχείων που έχουν χρησι- µοποιηθεί για τη διακριτοποίηση. Αυτές είναι:. Ισορροπία των δυνάµεων που ασκούνται σε κάθε κόµβο. Ισορροπία των κοµβικών δυνάµεων για κάθε στοιχείο Σχήµα 7 Ισορροπία δυνάµεων σε κόµβο πλέγµατος και στο εσωτερικό στοιχείου

16 Υπολογιστικές µέθοδοι και εφαρµογές σε λεπτότοιχες κατασκευές Σε κάθε κόµβο οι εσωτερικές δυνάµεις δηλαδή οι δυνάµεις που αντιστοιχούν στο εντατικό πεδίο ενός στοιχείου ισορροπούν τις εξωτερικά ασκούµενες δυνά- µεις, οι οποίες περιλαµβάνουν τις αδρανειακές δυνάµεις, τα συγκεντρωµένα φορτία, τις επιφανειακές δυνάµεις, τις δυνάµεις λόγω παραµενουσών τάσεων και τις αντιδράσεις στα σηµεία στήριξης. Στο Σχήµα 7 δείχνονται οι δυνάµεις στο εσωτερικό στοιχείου που ισορροπούν. Παράδειγµα Να διατυπωθούν οι εξισώσεις ισορροπίας πεπερασµένων στοιχείων της κατασκευής δοκού του σχήµατος. Κατά την επίλυση θεωρήσατε α ότι η φόρτιση επιβάλλεται αργά σε σύγκριση µε τις ιδιοσυχνότητες ταλαντώσεων της κατασκευής, β ότι η φόρτιση επιβάλλεται ραγδαία στην κατασκευή και επιφέρει δυναµική απόκριση. Αρχικά η κατασκευή είναι σε κατάσταση ηρεµίας. z 9 c c Y pt N c 8 c α Γεωµετρία της δοκού διακριτοποίηση στο γ.σ.α. p t,p t, p p 5 Χρόνος Στοιχείο : f p t Ν/c Στοιχείο : f p t N/c β ιακριτοποίηση της κατασκευής σε δύο στοιχεία-δοκούς τ.σ.α.

17 Η µέθοδος των πεπερασµένων στοιχείων. Βασικές έννοιες 5 z y c c z y 9 c γ Μεταβολή εξωτερικών φορτίων στο χρόνο Λύση Σχήµα 8 Κατασκευή και διακριτοποιηµένη µορφή της Η γενική διατύπωση των εξισώσεων ισορροπίας των πεπερασµένων στοιχείων περιλαµβάνει όλες τις πιθανές εντατικές καταστάσεις. Στο παράδειγµα αυτό όµως οι µόνες µη-µηδενικές τάσεις είναι οι παράλληλες µε τον άξονα Οy. Θεωρούµε ότι η δοκός υποδιαιρείται σε δύο στοιχεία-δοκούς για τα οποία οι µετατοπίσεις µεταβάλλονται γραµµικά µεταξύ των κόµβων. Κατά τη διατύπωση των εξισώσεων ισορροπίας θεωρούµε ότι η µετατόπιση στο εσωτερικό των στοιχείων µεταβάλλεται γραµµικά µεταξύ των κόµβων στα άκρα τους. Το πρώτο βήµα συνίσταται στη συγκρότηση των µητρώων Η και Β για,. Σε µητρωική µορφή η σχέση γράφεται: 5 Εφόσον για και για, η συνάρτηση παρεµβολής είναι: + Συνεπώς, για το διάνυσµα των µετατοπίσεων [ ] έχουµε: [-/ / ] α [ -/8 /8] β και επειδή για την προκειµένη περίπτωση, έχουµε: Β [-/ / ] 7α Β [ -/8 /8] 7β Τα µητρώα ελαστικότητας είναι Ε Ε, Ε Ε, όπου Ε είναι το µέτρο ελαστικότητας του υλικού. Για τις ολοκληρώσεις στον όγκο των στοιχείων απαιτούνται τα εµβαδά των διατοµών. Έχουµε:

18 Υπολογιστικές µέθοδοι και εφαρµογές σε λεπτότοιχες κατασκευές Α c και Α +/ c Όταν τα φορτία επιβάλλονται αργά, απαιτείται στατική ανάλυση για την οποία υπολογίζεται το µητρώο ακαµψίας Κ και το διάνυσµα των φορτίων. Για το παράδειγµα αυτό: K EdV V A E d + A E d V V / E / [ / / ] d E + 8 d E ή E K +,, E, 5, 8 και / / d d p t p t 9α 8

19 Η µέθοδος των πεπερασµένων στοιχείων. Βασικές έννοιες 7 p t C 9β Για να αποκτηθεί λύση για συγκεκριµένο χρόνο t* πρέπει να υπολογισθούν τα διανύσµατα και C στο χρόνο αυτό. Η εξίσωση: K * * + * b c t t t t t t δίνει τις µετατοπίσεις στο χρόνο t*. Για να επιλύσουµε το δυναµικό πρόβληµα πρέπει να υπολογίσουµε το µητρώο µάζας της κατασκευής. Έχουµε: M ρ [ ] d ρ 8 + [ 8 8]d 8 Συνεπώς, ρ M 58 Επειδή στο παράδειγµα αυτό δεν λαµβάνεται υπόψη η απόσβεση, οι εξισώσεις ισορροπίας γίνονται:.. t K t t t M + + α C Οι αρχικές συνθήκες είναι: β t και για να υπολογισθεί η λύση σε χρόνο t* πρέπει να γίνει ολοκλήρωση των εξισώσεων κίνησης δυναµικής ισορροπίας στο πεδίο <t<t*. Παράδειγµα Να διατυπωθούν τα µητρώα α ελαστικότητας E, β παρεµβολής των µετατοπίσεων Η και γ συµβιβαστού των παραµορφώσεων Β για το έλασµα-πρόβολος του παρακάτω σχήµατος. Επίσης να εξετασθεί η ισορροπία της κατασκευής µε βάση τις δυνάµεις που προκύπτουν στους κόµβους του πλέγµατος. t

20 8 Υπολογιστικές µέθοδοι και εφαρµογές σε λεπτότοιχες κατασκευές 9 P Y,V X, Y,V X, V 7 7 α Έλασµα-πρόβολος β ιακριτοποίηση της κατασκευής Σχήµα 9 Πραγµατική κατασκευή και διακριτοποιηµένη µορφή της Λύση Σηµειώνεται αρχικά ότι σε ένα πραγµατικό πρόβληµα θα γινόταν χρήση περισσοτέρων στοιχείων. α Επειδή ισχύουν συνθήκες επίπεδης εντατικής κατάστασης, χρησιµοποιείται το µητρώο συµβιβαστού για ισοτροπικό γραµµικά ελαστικό υλικό. Έτσι, για για το στοιχείο θα έχουµε: ν E E ν ν β Το µητρώο παρεµβολής των µετατοπίσεων για το στοιχείο, Η, ορίζεται από τη σχέση:, y, y 5 όπου είναι το διάνυσµα των µετατοπίσεων στους κόµβους της κατασκευής: Τ [ 7 8 ]

21 Η µέθοδος των πεπερασµένων στοιχείων. Βασικές έννοιες 9 5 c y, c, c c 9 Σχήµα Στοιχείο δύο διαστάσεων µε κόµβους στα άκρα τοπικό σύστηµα αναφοράς Οι µετατοπίσεις που αφορούν στο στοιχείο είναι αυτές των κόµβων,, και 5. Για διευκόλυνση των υπολογισµών οι κόµβοι αριθµούνται όπως δείχνει το παραπάνω σχήµα. Επειδή υπάρχουν τέσσερις κοµβικές µετατοπίσεις µε συνιστώσες, y,, y η καθεµία µπορούµε να εκφράσουµε τις τοπικές µετατοπίσεις του στοιχείου µε τις ακόλουθες πολυωνυµικές µορφές:, y a + a + a y + a y, y a + a + a y a y α 7β Οι άγνωστοι συντελεστές α,... α 8 καλούνται γενικευµένες συντεταγµένες και εκφράζονται συναρτήσει των αγνώστων κοµβικών µετατοπίσεων,..., και,,.... Θέτοντας: [ ] ˆ 8 γράφουµε τις 7α και 7β σε µητρωική µορφή:, y, y Φα 9 όπου φ φ Φ [ y y] ϕ 5 γενικευµένη συντεταγµένη generalised coordinate

22 Υπολογιστικές µέθοδοι και εφαρµογές σε λεπτότοιχες κατασκευές α 5 και [ a α α α α α α ] 5 7 α8 Επειδή η σχέση 9 ισχύει για όλους τους κόµβους του στοιχείου, κάνοντας χρήση της 8 έχουµε: ˆ Aα 5 όπου και A A A A Επιλύνοντας ως προς α από την 5 έχουµε: A ˆ α Αντικαθιστώντας στη σχέση 9 λαµβάνουµε:, y, y ΦΑ Η άρα, το µητρώο παρεµβολής των µετατοπίσεων δίνεται από τη σχέση: ΦA 5 Το µητρώο Η ορίζεται συναρτήσει των µετατοπίσεων στους κόµβους στη 8: + + y + y y + y y + y y + y Εάν Η i,j είναι το i, j-οστό στοιχείο του µητρώου Η, έχουµε:

23 Η µέθοδος των πεπερασµένων στοιχείων. Βασικές έννοιες γ Το µητρώο του συµβιβαστού των παραµορφώσεων ορίζεται από τη σχέση 5. Για επίπεδες εντατικές καταστάσεις, οι παραµορφώσεις κάθε στοιχείου είναι: [ ε ε γ ] ε yy y 5 όπου ε ε yy y γ y + 57 y Το µητρώο συµβιβαστού των παραµορφώσεων, Β, αποκτάται από τις σχέσεις 9 και 5. [ ΦA ] Εφόσον τα στοιχεία του Α - είναι ανεξάρτητα των και y, έχουµε: [ ΦA ] [ Φ ] A GA 58 Παραγωγίζοντας το µητρώο Φ κάνοντας χρήση των σχέσεων λαµβάνουµε: όπου G Φ y y 59 και y - +y - -y -y + y - +y - -y -y Το µητρώο Β είναι τότε: Β Στο ίδιο αποτέλεσµα καταλήγουµε παραγωγίζοντας το µητρώο Η, που δίνεται από τη σχέση 5. Η λύση του προβλήµατος για P, E,7, ν, και t, δίνεται στο Σχήµα. Παρατηρούµε ότι δεν υπάρχει συνέχεια στις κατανοµές των τάσεων κατά µήκος των συνόρων των στοιχείων. Αναφερόµενοι στην αρίθµηση των κόµβων του Σχήµατος έχουµε:

24 Υπολογιστικές µέθοδοι και εφαρµογές σε λεπτότοιχες κατασκευές α Ισορροπία κόµβων Σχήµα υνάµεις στους κόµβους του πλέγµατος Κόµβος αντιδράσεις R,5 R y, Κόµβος αντιδράσεις R,58-,88 -, R y,79+5,9,7 λόγω στρογγύλευσης Κόµβος αντιδράσεις R -99,85 R y -,9+,9 Κόµβος Οριζόντια κατεύθυνση R -,+, Κατακόρυφη κατεύθυνση R y -,9+,9 Κόµβος 5 Οριζόντια κατεύθυνση R -,7-,+,7+8, Κατακόρυφη κατεύθυνση R y -5,-5,+9,+5,8 Κόµβος

25 Η µέθοδος των πεπερασµένων στοιχείων. Βασικές έννοιες Οριζόντια κατεύθυνση R 57,99-57,99 Κατακόρυφη κατεύθυνση R y -,8+,8 Στους κόµβους 7, 8 και 9 ικανοποιείται η συνθήκη ισορροπίας καθώς στον κόµβο 9 ασκείται η εξωτερική δύναµη P. β Έλεγχος ισορροπίας όλης της κατασκευής Οριζόντια κατεύθυνση R,5-,-99,85 Κατακόρυφη κατεύθυνση R y,+,7+5,9- Ισορροπία ροπών περί τον κόµβο -+,5+99,85 γ Ισορροπία στοιχείου Οριζόντια κατεύθυνση 57,99+8,+9,97 λόγω στρογγύλευσης Κατακόρυφη κατεύθυνση -+,8+5,8+, Ροπή περί τον κόµβο -+57,99+, Άρα οι δυνάµεις που ασκούνται στους κόµβους του στοιχείου ισορροπούν.. Μετασχηµατισµός συστηµάτων αναφοράς y y z z Σχήµα Μετασχηµατισµός συστηµάτων αναφοράς

26 Υπολογιστικές µέθοδοι και εφαρµογές σε λεπτότοιχες κατασκευές Κατά τον υπολογισµό των µητρώων των στοιχείων συνήθως εξυπηρετεί η χρήση τοπικών συστηµάτων αναφοράς τ.σ.α.. Η συγκρότηση των µητρώων στο γενικό σύστηµα αναφοράς γ.σ.α. µπορεί να επιτευχθεί µε τον προσδιορισµό των βαθµών ελευθερίας για τους οποίους αντιστοιχούν βαθµοί ελευθερίας και στα τοπικά συστήµατα αναφοράς. Εάν εξετάσουµε τα µητρώα για παράδειγµα τα Η, Β, στο γενικό σύστηµα αναφοράς παρατηρούµε πως µόνο τα στοιχεία για τα οποία υπάρχουν αντίστοιχα και στο τοπικό σύστηµα αναφοράς είναι µη-µηδενικά. Συνεπώς, εάν το ανηγµένο µητρώο περιλαµβάνει µόνο τους µη-µηδενικούς βαθµούς ελευθερίας, θα έχουµε: και ε Στο τοπικό σύστηµα αναφοράς ισχύουν οι παρακάτω σχέσεις: K E dv V M ρ dv 5 V b b f dv V s s s f ds 7 V σ i i dv 8 V Eάν το γ.σ.α. δε συµπίπτει µε το τ.σ.α. τότε το διάνυσµα των µετατοπίσεων στο εσωτερικό του στοιχείου δίνεται από τη σχέση: û 9 όπου οι συνιστώσες του διανύσµατος εκφράζονται ως προς το τ.σ.α. Oyz. Αντιστοίχως, ισχύουν οι σχέσεις: ε ˆ 7 Το µητρώο µετασχηµατισµού Τ µετασχηµατίζει τους βαθµούς ελευθερίας û στο γ.σ.α. στους βαθµούς ελευθερίας ~ στο τ.σ.α. και αντιστοιχεί σε µετασχηµατισµό τανυστή πρώτου βαθµού. Οι όροι κάθε στήλης j του Τ είναι τα συνηµίτονα διεύθυνσης µοναδιαίου µητρώου που αντιστοιχεί στον j-οστό βαθµό ελευθερίας του û όταν υπολογίζεται στις διευθύνσεις των ~ βαθµών ελευθερίας. Εποµένως,

27 Η µέθοδος των πεπερασµένων στοιχείων. Βασικές έννοιες 5 ~ ~ 7α-β Αντικαθιστώντας τη σχέση 7β στην 7α, έχουµε: ~ 7 Εάν χρησιµοποιήσουµε τότε το σύµβολο ~ για να υποδηλώσουµε µητρώα που αντιστοιχούν στους βαθµούς ελευθερίας ~, λαµβάνουµε από την 7 και τις - 8: K K 7 ~ M M 7 ~ b b 75 ~ s s 7 ~ 77 i ~ i όπου το σύµβολο ~ ορίζει ότι τα µητρώα K ~, M ~ κλπ. αντιστοιχούν στο τ.σ.α. Τέλος, ας σηµειωθεί ότι οι µετασχηµατισµοί 7-77 χρησιµοποιούνται και όταν επιβάλλονται µετατοπίσεις στα σύνορα της κατασκευής οι οποίες δεν αντιστοιχούν στους β.ε. του γ.σ.α. της κατασκευής. Παράδειγµα Να υπολογισθεί το µητρώο παρεµβολής των µετατοπίσεων Η του στοιχείου-ράβδου του παρακάτω σχήµατος. ~ ~ Y / ~ ~ / X Σχήµα Στοιχείο-ράβδος σε γ.σ.α.

28 Υπολογιστικές µέθοδοι και εφαρµογές σε λεπτότοιχες κατασκευές Λύση Έχουµε: και Συνεπώς, / / + / - / + ~ cosa ~ sin a ~ ~ sin a cosa cosa sin a sin a cosa ~ ~ ~ ~ / / + / - / + cos a sin a sin a cosa cosa sin a 8 sin a cos a Σηµειώνεται ότι για τη σύνταξη του µητρώου του συµβιβαστού των παραµορφώσεων Β γραµµική ανάλυση απαιτείται µόνο ο πρώτος όρος του µητρώου Η, εφόσον η σχέση συµβιβαστού που χρησιµοποιείται είναι η ε /..5 Επιβολή οριακών συνθηκών.5. Γενικά Εάν υποθέσουµε ότι το σώµα που απεικονίζεται στο Σχήµα φέρει φορτία τα οποία δεν ισορροπούν, το σώµα θα φέρει µία συνιστώσα φόρτιση. Αν το σώµα δε στηρίζεται επαρκώς, θα προκύψουν γενικευµένες επιταχύνσεις στο χώρο. Θα έχουµε δηλαδή κίνηση άκαµπτου σώµατος και δεν θα αναπτυχθούν εσωτερικά εντατικά πεδία µετατοπίσεων και τάσεων. Το µαθηµατικό ανάλογο αυτής της κατάστασης είναι η ύπαρξη µοναδιαίου µητρώου ακαµψίας Κ. Για να επιλυθεί λοιπόν το στατικό πρόβληµα θα πρέπει να επιβληθούν κατάλληλες συνοριακές συνθήκες έτσι ώστε να αποφευχθεί η κίνηση άκαµπτου σώµατος. Στη ΜΠΣ οι οριακές συνθήκες επιβάλλονται ως προκαθορισµένες µετατοπίσεις ή και περιστροφές που αντιστοιχούν στις αναγκαίες γεωµετρικές οριακές συνθήκες. Όπως θα δειχθεί στο επόµενο κεφάλαιο, µέθοδος των µεταβολών οι φυσικές οριακές συνθήκες προκύπτουν από τη λύση του προβλήµατος.

29 Η µέθοδος των πεπερασµένων στοιχείων. Βασικές έννοιες 7 Όταν η συνιστώσα µιας µετατόπισης σε κάποιο κόµβο τεθεί ίση µε το µηδέν, τότε το γινόµενο της συνιστώσας αυτής µε την αντίστοιχη στήλη του µητρώου Κ θα είναι πάντοτε ίσο µε το µηδέν. Η επιβολή λοιπόν αυτής της οριακής συνθήκης αντιστοιχεί µε την αφαίρεση αυτού του βαθµού ελευθερίας από τα µητρώα των µετατοπίσεων και ακαµψίας της κατασκευής. Η διαδικασία αυτή οδηγεί στην ύπαρξη µίας εξίσωσης ισορροπίας περισσότερο από τον αριθµό των αγνώστων µετατοπίσεων. Επειδή οι εξισώσεις ισορροπίας είναι συµβατές µεταξύ τους, επιτρέπεται η απαλοιφή µίας οποιασδήποτε εξίσωσης. Έτσι και αλλιώς, το εξωτερικό φορτίο στον βαθµό ελευθερίας που περιορίζεται δεν επηρεάζει τη συµπεριφορά της κατασκευής διότι το φορτίο µεταβιβάζεται απευθείας στη στήριξη του κόµβου. Συνεπώς εξυπηρετεί να γίνει απαλοιφή της σειράς του µητρώου Κ που περιλαµβάνει αυτό τον βαθµό ελευθερίας. Η διαδικασία αυτή οδηγεί σε ένα τετράγωνο µητρώο ακαµψίας του οποίου η τάξη έχει ελαττωθεί κατά µία µονάδα. Αφού επιβληθεί επαρκής αριθµός περιορισµών για να αποφευχθεί η κίνηση άκαµπτου σώµατος, το ανηγµένο µητρώο ακαµψίας Κ r αντιστρέφεται για να αποκτηθεί το ανηγµένο µητρώο µετατοπίσεων r, συναρτήσει των ανηγµένων φορτίων f r. ηλαδή, f r K r r 8 άρα, r K r - f r 8 Όταν το µητρώο ακαµψίας Κ περιλαµβάνει πολλούς βαθµούς ελευθερίας, αντί να αφαιρούνται σταδιακά οι µηδενικοί βαθµοί ελευθερίας εξυπηρετεί η αντικατάστασή τους µε µηδέν και µονάδα στην κύρια διαγώνιο. Η ίδια διαδικασία ακολουθείται για τα διανύσµατα των φορτίων και µετατοπίσεων. Η εξίσωση ισορροπίας της κατασκευής, f r K r r γίνεται τότε: f K r r I r 8 ή, f K άρα, K - K r f όπου, K I Η εξίσωση ισορροπίας διατυπώνεται σε διαχωρισµένη µορφή έτσι ώστε να αποκτηθούν οι άγνωστες µετατοπίσεις a : K K aa ba K K ab bb a b a b 8

30 8 Υπολογιστικές µέθοδοι και εφαρµογές σε λεπτότοιχες κατασκευές όπου b είναι οι γνωστές ή επιβεβληµένες, µετατοπίσεις. Επιλύνοντας τότε ως προς a, έχουµε: K aa a K 85 a ab b Παρατηρούµε ότι απαιτείται να συγκροτηθεί µόνο το µητρώο ακαµψίας της κατασκευής που αντιστοιχεί στους άγνωστους βαθµούς ελευθερίας a. Το διάνυσµα των φορτίων a θα πρέπει τώρα να συµπεριλάβει την επίδραση των µη-µηδενικών µετατοπίσεων. Οι αντιδράσεις µπορούν τώρα να υπολογισθούν γράφοντας κατ αρχή: R 8 b b b S b I b C r b b b b όπου, S, I, C είναι οι γνωστές, εξωτερικά επιβαλλόµενες σηµειακές φορτίσεις και R r είναι οι άγνωστες αντιδράσεις. Από την 8 και τη δεύτερη σειρά εξισώσεων της 8 λαµβάνουµε: R r K + K + 87 ba a bb b b b S b I b C Οι τέσσερις τελευταίοι όροι συνιστούν διόρθωση λόγω γνωστών εσωτερικών και επιφανειακών φορτίσεων που ασκούνται στους κόµβους. Παράδειγµα 5 Το τµήµα δικτύου σωληνώσεων που δείχνεται στο Σχήµα παραλαµβάνει ένα τυχαίο, µεγάλο εγκάρσιο φορτίο σε µια συγκεκριµένη σύνδεσή του. Να επιλυθεί η κατασκευή µε τη µέθοδο των πεπερασµένων στοιχείων και να υπολογισθούν οι µετατοπίσεις και οι αντιδράσεις στους κόµβους της διακριτοποιηµένης, ιδεατής κατασκευής. Λύση Η µελέτη µιας τέτοιας κατασκευής µπορεί να γίνει σε διάφορα επίπεδα πολυπλοκότητας, που να λαµβάνουν υπόψη τη µη-γραµµική συµπεριφορά υλικού πλαστικότητα και γεωµετρίας µεγάλες µετατοπίσεις, την ακριβή επιβολή του φορτίου έκταση φόρτισης, κλπ. Σε πρώτο στάδιο φρόνιµο είναι να ξεκινούµε µε µια απλή ανάλυση και να εισάγουµε πιο ακριβή στοιχεία εφόσον αυτό απαιτείται. Θεωρούµε ότι η εξωτερική φόρτιση εφαρµόζεται έτσι ώστε µια στατική ανάλυση είναι επαρκής αµελητέες επιταχύνσεις. Η διακριτοποιηµένη µορφή αποτελείται από δύο στοιχεία-δοκούς, ένα στοιχείο-ράβδος και ένα στοιχείο-ελατήριο. Υπολογίζουµε πρώτα τα µητρώα ακαµψίας του κάθε στοιχείου. Έχουµε:

31 Η µέθοδος των πεπερασµένων στοιχείων. Βασικές έννοιες 9 α ιάταξη κατασκευής β ιακριτοποίηση κατασκευής ΕΙ 7 P, p, γ Ανάλυση προβόλου Σχήµα ιάταξη δικτύου σωληνώσεων

32 Υπολογιστικές µέθοδοι και εφαρµογές σε λεπτότοιχες κατασκευές,,, : EI e K 88α,, 5, : 8 EI e K 88β : s e Κ 88γ 5, 7 : EA e K 88δ Παρατηρούµε ότι το τ.σ.α. συµπίπτει µε το γ.σ.α. και έτσι δεν απαιτείται να γίνουν µετασχηµατισµοί σε κάθε περίπτωση. Για να συγκροτηθεί το µητρώο ακαµψίας της συνολικής κατασκευής εφαρµόζεται η µέθοδος της άµεσης σύνθεσης των ακαµψιών σχέση. Έχουµε τότε, για παράδειγµα, το διευρυµένο µητρώο που περιλαµβάνει την ακαµψία του στοιχείου : ς ελευθερ αςκατασκευ βαθµο ή ί ί 5 7 EA AE EA AE 7 5 K 89

33 Η µέθοδος των πεπερασµένων στοιχείων. Βασικές έννοιες Ενώ το µητρώο ακαµψίας της κατασκευής γράφεται τότε: + + EA EI EA EI AE EI EI EI EI EI EI EI EI EI EI EI EI s συµµετρικό K 9 Η εξίσωση ισορροπίας της κατασκευής είναι: K 9 Σε τρίτο στάδιο απαιτείται η επιβολή των οριακών συνθηκών, 7. Έτσι αποκτιέται µία εξίσωση ισορροπίας ανηγµένων όρων που περιέχει 5 αντί των 7 αγνώστων. Το ανηγµένο µητρώο ακαµψίας αποκτιέται αφαιρώντας την πρώτη και την έβδοµη σειρά και στήλη του αρχικού µητρώου. Για να υπολογίσουµε τις αντιδράσεις και τις µετατοπίσεις στους κόµβους του προβόλου που δείχνεται στο Σχήµα β, θεωρούµε τον πρόβολο ως αποτελούµενο από τα δύο στοιχεία-δοκούς. Κάνοντας χρήση των µητρώων ακαµψίας των στοιχείων και έχουµε: r r R p R p p p P EI 9 Έχουµε b [ 5 ] και b. Από τη σχέση 85 λαµβάνουµε για ΕΙ 7, P, και p,

34 Υπολογιστικές µέθοδοι και εφαρµογές σε λεπτότοιχες κατασκευές [ 5, 7,9,8 ] 9 a και κάνοντας χρήση της 87, έχουµε: R r Λοξή στήριξη Σε πολλές εφαρµογές, εκτός από τις εξωτερικές δυνάµεις επιβάλλονται και προκαθορισµένες µη-µηδενικές µετατοπίσεις ή και περιστροφές. Οι µετατοπίσεις αυτές, µαζί µε τις αντίστοιχες µηδενικές µετατοπίσεις ή και περιστροφές που απαιτούνται για τη στήριξη της κατασκευής, επιβάλλονται από το πρόγραµµα ΠΣ κάνοντας χρήση των τοπικών βαθµών ελευθερίας. Βέβαια, ο χρήστης ορίζει τις µετατοπίσεις αυτές µε βάση τους γενικούς βαθµούς ελευθερίας. Συµβολίζουµε τους τοπικούς βαθµούς ελευθερίας στο γ.σ.α. για το στοιχείο µε το διάνυσµα ŭ και µε ũ το αντίστοιχο διάνυσµα στο τ.σ.α. Εποµένως ισχύει ο µετασχηµατισµός ũ Τŭ. Σε πολλές περιπτώσεις είναι ανάγκη να ορισθούν οι µετατοπίσεις ως προς ένα σύστηµα αναφοράς διαφορετικό του γ.σ.α. και του τ.σ.α. το οποίο επιλέγει ο χρήστης. Σχήµα 5 Κατασκευή µε λοξή στήριξη Το Σχήµα 5 απεικονίζει µια τέτοια περίπτωση για το στοιχείο το οποίο αποτελεί τµήµα µιας κατασκευής. Παρατηρούµε ότι στον κόµβο η συνιστώσα ŭ είναι µηδενική λόγω της συγκεκριµένης άρθρωσης επίσης δε ότι η γωνία β ορίζει λοξή στήριξη sew spport bondary condition

35 Η µέθοδος των πεπερασµένων στοιχείων. Βασικές έννοιες το σύστηµα αναφοράς που πρέπει να χρησιµοποιηθεί για να ορισθεί η συνοριακή αυτή συνθήκη. Ο µετασχηµατισµός µεταξύ του γ.σ.α. και του παραπάνω συστήµατος αναφοράς γίνεται κάνοντας χρήση ενός µητρώου περιστροφών, όπως το Q που περιλαµβάνεται στο προηγούµενο σχήµα. Οι ζητούµενοι βαθµοί ελευθερίας περιλαµβάνουν τώρα τη συνιστώσα εφόσον, και εποµένως, για το στοιχείο, ισχύει ο µετασχηµατισµός: cosβ sinβ sinβ cosβ 95 και παροµοίως για το διάνυσµα που περιλαµβάνει όλους τους βαθµούς ελευθερίας της κατασκευής,. 9 Η σχέση 5 χρησιµοποιείται στην αρχή των δυνατών έργων για τον προσδιορισµό των εξισώσεων της ΜΠΣ, δηλαδή, E V dv 97 όπου το περιλαµβάνει όλες τις εξωτερικές δυνάµεις. Άρα, γράφοντας την αντίστοιχη σχέση µε την 9 για τις δυνατές µετατοπίσεις έχουµε: 98 και αντικαθιστώντας από την 98 και 9 στην 97 βρίσκουµε: E V dv 99 οπότε λαµβάνουµε τις εξής εξισώσεις για τις κοµβικές µετατοπίσεις:

36 Υπολογιστικές µέθοδοι και εφαρµογές σε λεπτότοιχες κατασκευές άρα, K K δηλαδή οι εξισώσεις επιλύονται µε αγνώστους τις µετατοπίσεις στα συστήµατα αναφοράς που απαιτούνται για να επιβληθούν οι οριακές συνθήκες. Έστω ότι τώρα το διάνυσµα των βαθµών ελευθερίας της κατασκευής Ŭ, διαχωρίζεται σε προκαθορισµένους µηδενικούς και µη-µηδενικούς βαθµούς ελευθερίας και σε άγνωστους βαθµούς ελευθερίας, Ŭ b και Ŭ a αντίστοιχα. Το σύστηµα των εξισώσεων 99 γράφεται τώρα ως εξής: K K aa ba K K ab bb a b a Rb όπου a είναι το διάνυσµα των εξωτερικών φορτίων και R b είναι το διάνυσµα των αντιδράσεων στους προκαθορισµένους βαθµούς ελευθερίας από τις σχέσεις επιλύνουµε ως προς το Ŭ a. K aa a K a ab b Άρα, για τον υπολογισµό των άγνωστων βαθµών ελευθερίας συνθέτουµε µόνο το µητρώο ακαµψίας που αντιστοιχεί στο Ŭ a. Το διάνυσµα των φορτίων περιλαµβάνει όµως τώρα και την επίδραση των προκαθορισµένων µετατοπίσεων εκτός εάν Ŭ b. Από τις σχέσεις και υπολογίζονται σε συνέχεια οι αντιδράσεις R b. Βιβλιογραφία. athe K.J. inite Eleent Procedres. Prentice all Inc, New Jersey, 99.. ghes O. Ship Strctral Design: A rationally-based, copter-aided optiization procedre. SNAME, New Yor, 99.

11. Εισαγωγή στις Μεθόδους Πεπερασμένων Στοιχείων

11. Εισαγωγή στις Μεθόδους Πεπερασμένων Στοιχείων 11. Εισαγωγή στις Μεθόδους Πεπερασμένων Στοιχείων Χειμερινό εξάμηνο 2016 Πέτρος Κωμοδρόμος komodromos@ucy.ac.cy http://www.eng.ucy.ac.cy/petros 1 2 Θέματα Εισαγωγή Διατύπωση ΜΠΣ Βάσει Μετακινήσεων Γενική

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδος των Δυνάμεων

Μέθοδος των Δυνάμεων Μέθοδος των Δυνάμεων Εισαγωγή Μέθοδος των Δυνάμεων: Δ07-2 Η Μέθοδος των Δυνάμεων ή Μέθοδος Ευκαμψίας είναι μία μέθοδος για την ανάλυση γραμμικά ελαστικών υπερστατικών φορέων. Ανκαιημέθοδοςμπορείναεφαρμοστείσεπολλάείδηφορέων

Διαβάστε περισσότερα

10. Εισαγωγή στις Μεθόδους Πεπερασμένων Στοιχείων (ΜΠΣ)

10. Εισαγωγή στις Μεθόδους Πεπερασμένων Στοιχείων (ΜΠΣ) 10. Εισαγωγή στις Μεθόδους Πεπερασμένων Στοιχείων (ΜΠΣ) Χειμερινό εξάμηνο 2018 Πέτρος Κωμοδρόμος komodromos@ucy.ac.cy http://www.eng.ucy.ac.cy/petros 1 Θέματα Εισαγωγή Διατύπωση εξισώσεων ΜΠΣ βάσει μετακινήσεων

Διαβάστε περισσότερα

x=l ηλαδή η ενέργεια είναι µία συνάρτηση της συνάρτησης . Στα µαθηµατικά, η συνάρτηση µίας συνάρτησης ονοµάζεται συναρτησιακό (functional).

x=l ηλαδή η ενέργεια είναι µία συνάρτηση της συνάρτησης . Στα µαθηµατικά, η συνάρτηση µίας συνάρτησης ονοµάζεται συναρτησιακό (functional). 3. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΥΣ Η Μέθοδος των Πεπερασµένων Στοιχείων Σηµειώσεις 3. Ενεργειακή θεώρηση σε συνεχή συστήµατα Έστω η δοκός του σχήµατος, µε τις αντίστοιχες φορτίσεις. + = p() EA = Q Σχήµα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6. Εισαγωγή στη µέθοδο πεπερασµένων όγκων επίλυση ελλειπτικών και παραβολικών διαφορικών εξισώσεων

Κεφάλαιο 6. Εισαγωγή στη µέθοδο πεπερασµένων όγκων επίλυση ελλειπτικών και παραβολικών διαφορικών εξισώσεων Κεφάλαιο 6 Εισαγωγή στη µέθοδο πεπερασµένων όγκων επίλυση ελλειπτικών παραβολικών διαφορικών εξισώσεων 6.1 Εισαγωγή Η µέθοδος των πεπερασµένων όγκων είναι µία ευρέως διαδεδοµένη υπολογιστική µέθοδος επίλυσης

Διαβάστε περισσότερα

Το πρόγραµµα ALGOR και εφαρµογές σε ναυπηγικές κατασκευές

Το πρόγραµµα ALGOR και εφαρµογές σε ναυπηγικές κατασκευές Παράρτηµα Γ Το πρόγραµµα ALGOR και εφαρµογές σε ναυπηγικές κατασκευές 1. Εισαγωγή Το σύνολο των προγραµµάτων ALGOR είναι ένα εργαλείο µελέτης (σχεδιασµού και ανάλυσης) κατασκευών και βασίζεται στη µέθοδο

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 Βασικές αρχές µελέτης των κατασκευών 1

Κεφάλαιο 1 Βασικές αρχές µελέτης των κατασκευών 1 Περιεχόµενα Εισαγωγή Σύµβολα Ε1-Ε9 Σ1-Σ10 Κεφάλαιο 1 Βασικές αρχές µελέτης των κατασκευών 1 2. Σύµβαση πρόσηµων 2.1 Συστήµατα αναφοράς 2.2 υνάµεις και ροπές 2.3 Tάσεις 2.4 Τέµνουσες δυνάµεις και καµπτικές

Διαβάστε περισσότερα

4. ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΕ ΜΟΝΟ ΙΑΣΤΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ. φ για την εφαρµογή της µεθόδου Galerkin δεν

4. ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΕ ΜΟΝΟ ΙΑΣΤΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ. φ για την εφαρµογή της µεθόδου Galerkin δεν . ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΕ ΜΟΝΟ ΙΑΣΤΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Η επιλογή των συναρτήσεων βάσης ( ) φ για την εφαρµογή της µεθόδου Galrkn δεν είναι τόσο απλή, και στην γενική περίπτωση είναι µία δύσκολη διαδικασία.

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΤΑΣΤΡΩΣΗ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΠΟΛΥΒΑΘΜΙΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 55

ΚΑΤΑΣΤΡΩΣΗ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΠΟΛΥΒΑΘΜΙΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 55 ΚΑΤΑΣΤΡΩΣΗ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΠΟΛΥΒΑΘΜΙΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 55 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΚΑΤΑΣΤΡΩΣΗ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΠΟΛΥΒΑΘΜΙΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 3.. Εισαγωγή Αναφέρθηκε ήδη στο ο κεφάλαιο ότι η αναπαράσταση της ταλαντωτικής

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογισµός των υδροστατικών δυνάµεων που ασκούνται στη γάστρα του πλοίου

Υπολογισµός των υδροστατικών δυνάµεων που ασκούνται στη γάστρα του πλοίου Παράρτηµα Β Υπολογισµός των υδροστατικών δυνάµεων που ασκούνται στη γάστρα του πλοίου 1. Πρόγραµµα υπολογισµού υδροστατικών δυνάµεων Για τον υπολογισµό των κοµβικών δυνάµεων που οφείλονται στις υδροστατικές

Διαβάστε περισσότερα

υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος : Ε. Μ. Π. Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών ΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι - 17.

υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος : Ε. Μ. Π. Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών ΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι - 17. υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: - ΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι - 7. - υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: - Copyrigh ΕΜΠ - Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών -. Με επιφύλαξη παντός

Διαβάστε περισσότερα

Η µητρωική µέθοδος µελέτης των κατασκευών

Η µητρωική µέθοδος µελέτης των κατασκευών Η µητρωική µέθοδος µελέτης των κατασκευών. ιακριτοποίηση της κατασκευής Ένα σηµαντικό βήµα κατά την ανάλυση κατασκευών µε µητρωικές µεθόδους είναι η απόκτηση ενός διακριτού µαθηµατικού µοντέλου που αναπαριστά

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΛΥΣΗ ΥΠΕΡΣΤΑΤΙΚΩΝ ΦΟΡΕΩΝ Μέθοδος Cross. Διδάσκων: Γιάννης Χουλιάρας

ΕΠΙΛΥΣΗ ΥΠΕΡΣΤΑΤΙΚΩΝ ΦΟΡΕΩΝ Μέθοδος Cross. Διδάσκων: Γιάννης Χουλιάρας ΕΠΙΛΥΣΗ ΥΠΕΡΣΤΑΤΙΚΩΝ ΦΟΡΕΩΝ Μέθοδος Cross Διδάσκων: Γιάννης Χουλιάρας Μέθοδος Cross Η μέθοδος Cross ή μέθοδος κατανομής των ροπών, χρησιμοποιείται για την επίλυση συνεχών δοκών και πλαισίων. Είναι παραλλαγή

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2. Μέθοδος πεπερασµένων διαφορών προβλήµατα οριακών τιµών µε Σ Ε

Κεφάλαιο 2. Μέθοδος πεπερασµένων διαφορών προβλήµατα οριακών τιµών µε Σ Ε Κεφάλαιο Μέθοδος πεπερασµένων διαφορών προβλήµατα οριακών τιµών µε Σ Ε. Εισαγωγή Η µέθοδος των πεπερασµένων διαφορών είναι από τις παλαιότερες και πλέον συνηθισµένες και διαδεδοµένες υπολογιστικές τεχνικές

Διαβάστε περισσότερα

p& i m p mi i m Με τη ίδια λογική όπως αυτή που αναπτύχθηκε προηγουµένως καταλήγουµε στην έκφραση της κινητικής ενέργειας του ρότορα i,

p& i m p mi i m Με τη ίδια λογική όπως αυτή που αναπτύχθηκε προηγουµένως καταλήγουµε στην έκφραση της κινητικής ενέργειας του ρότορα i, Κινητική Ενέργεια Κινητήρων Περνάµε τώρα στη συνεισφορά κινητικής ενέργειας λόγω της κίνησης & ϑ m του κινητήρα που κινεί την άρθρωση µε q& και, προφανώς όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήµα, ευρίσκεται στον

Διαβάστε περισσότερα

Γενικευμένα Mονοβάθμια Συστήματα

Γενικευμένα Mονοβάθμια Συστήματα Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Πολιτικών Μηχανικών Γενικευμένα Mονοβάθμια Συστήματα Ε.Ι. Σαπουντζάκης Καθηγητής ΕΜΠ Δυναμική Ανάλυση Ραβδωτών Φορέων 1 1. Είδη γενικευμένων μονοβαθμίων συστημάτων xu

Διαβάστε περισσότερα

ΕΣΩΤΕΡΙΚΕΣ ΕΛΕΥΘΕΡΩΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΣ ΣΥΝΔΥΑΣΜΕΝΩΝ ΚΟΜΒΩΝ

ΕΣΩΤΕΡΙΚΕΣ ΕΛΕΥΘΕΡΩΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΣ ΣΥΝΔΥΑΣΜΕΝΩΝ ΚΟΜΒΩΝ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΤΑΤΙΚΗΣ & ΑΝΤΙΣΕΙΣΜΙΚΩΝ ΕΡΕΥΝΩΝ ΕΣΩΤΕΡΙΚΕΣ ΕΛΕΥΘΕΡΩΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΣ ΣΥΝΔΥΑΣΜΕΝΩΝ ΚΟΜΒΩΝ Καθηγητής ΕΜΠ ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Πολιτικών Μηχανικών. Πολυβάθμια Συστήματα. Ε.Ι. Σαπουντζάκης. Καθηγητής ΕΜΠ. Δυναμική Ανάλυση Ραβδωτών Φορέων

Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Πολιτικών Μηχανικών. Πολυβάθμια Συστήματα. Ε.Ι. Σαπουντζάκης. Καθηγητής ΕΜΠ. Δυναμική Ανάλυση Ραβδωτών Φορέων Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Πολιτικών Μηχανικών Πολυβάθμια Συστήματα Ε.Ι. Σαπουντζάκης Καθηγητής ΕΜΠ Συστήματα με Κατανεμημένη Μάζα και Δυσκαμψία 1. Εξίσωση Κίνησης χωρίς Απόσβεση: Επιβαλλόμενες

Διαβάστε περισσότερα

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Οι παρούσες σημειώσεις αποτελούν βοήθημα στο μάθημα Αριθμητικές Μέθοδοι του 5 ου εξαμήνου του ΤΜΜ ημήτρης Βαλουγεώργης Καθηγητής Εργαστήριο Φυσικών

Διαβάστε περισσότερα

Σύµβολα. Ελληνικοί χαρακτήρες. γ σταθερά δυναµικής χαλάρωσης

Σύµβολα. Ελληνικοί χαρακτήρες. γ σταθερά δυναµικής χαλάρωσης Σύµβολα Ελληνικοί χαρακτήρες α γωνία (σε µοίρες) του κάθε ελάσµατος µε το οριζόντιο επίπεδο a i, b ι διαστήµατα α 1,α 2..α n γενικευµένες συντεταγµένες (πολυωνύµων µετατοπίσεων) α 1,..., α 5 σταθεροί συντελεστές

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ- 2018

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ- 2018 ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ- 2018 Κώστας Γαλιώτης, καθηγητής Τμήμα Χημικών Μηχανικών galiotis@chemeng.upatras.gr 1 Περιεχόμενα ενότητας Α Βασικές έννοιες Στατική υλικού σημείου Αξιωματικές αρχές Νόμοι Νεύτωνα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΤΑΤΙΚΗΣ & ΑΝΤΙΣΕΙΣΜΙΚΩΝ ΕΡΕΥΝΩΝ ΧΩΡΙΚΑ ΠΛΑΙΣΙΑ Καθηγητής ΕΜΠ ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ Περιεχόμενα. Εισαγωγή. Παρουσίαση

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ A. 1 Εισαγωγή στην Ανάλυση των Κατασκευών 3

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ A. 1 Εισαγωγή στην Ανάλυση των Κατασκευών 3 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ A 1 Εισαγωγή στην Ανάλυση των Κατασκευών 3 1.1 Κατασκευές και δομοστατική 3 1.2 Διαδικασία σχεδίασης κατασκευών 4 1.3 Βασικά δομικά στοιχεία 6 1.4 Είδη κατασκευών 8 1.4.1 Δικτυώματα 8

Διαβάστε περισσότερα

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΤΑΤΙΚΗΣ & ΑΝΤΙΣΕΙΣΜΙΚΩΝ ΕΡΕΥΝΩΝ ΣΤΕΡΕΟΙ ΚΟΜΒΟΙ Καθηγητής ΕΜΠ ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ Περιεχόμενα Εισαγωγή Κινηματικές

Διαβάστε περισσότερα

υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος : Ε. Μ. Π. Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών ΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι - 16.

υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος : Ε. Μ. Π. Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών ΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι - 16. υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: - ΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι - 6. - υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: - Copyright ΕΜΠ - Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών -. Με επιφύλαξη παντός

Διαβάστε περισσότερα

ιαλέξεις Παρασκευή 8 Οκτωβρίου,, Πέτρος Κωµοδρόµος Στατική Ανάλυση των Κατασκευών Ι 1

ιαλέξεις Παρασκευή 8 Οκτωβρίου,, Πέτρος Κωµοδρόµος Στατική Ανάλυση των Κατασκευών Ι 1 ΠΠΜ 220: Στατική Ανάλυση των Κατασκευών Ι ιαλέξεις 13-15 Εισαγωγή στις Παραµορφώσεις και Μετακινήσεις Τρίτη, 5, και Τετάρτη, 6 και Παρασκευή 8 Οκτωβρίου,, 2004 Πέτρος Κωµοδρόµος komodromos@ucy.ac.cy http://www.ucy.ac.cy/~petrosk

Διαβάστε περισσότερα

υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος : Ε. Μ. Π. Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών ΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι - 22.

υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος : Ε. Μ. Π. Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών ΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι - 22. υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: 0-0 ΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι -. - υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: 0-0 Cprigh ΕΜΠ - Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών - 0. Με επιφύλαξη παντός

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΠΟΛΛΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΠΟΛΛΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΠΟΛΛΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε αρχικά µε ένα µεµονωµένο σύστηµα δύο σωµάτων στα οποία ασκούνται µόνο οι µεταξύ τους κεντρικές δυνάµεις, επιτρέποντας ωστόσο και την

Διαβάστε περισσότερα

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΔΟΜΟΣΤΑΤΙΚΗΣ

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΔΟΜΟΣΤΑΤΙΚΗΣ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΔΟΜΟΣΤΑΤΙΚΗΣ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΥΠΕΡΣΤΑΤΙΚΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΩΝ ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΕΩΝ Κ. Β. ΣΠΗΛΙΟΠΟΥΛΟΣ Καθηγητής ΕΜΠ Πορεία επίλυσης. Ευρίσκεται

Διαβάστε περισσότερα

7. Ταλαντώσεις σε συστήµατα µε πολλούς βαθµούς ελευθερίας

7. Ταλαντώσεις σε συστήµατα µε πολλούς βαθµούς ελευθερίας 7 Ταλαντώσεις σε συστήµατα µε πολλούς βαθµούς ελευθερίας Συζευγµένες ταλαντώσεις Βιβλιογραφία F S Crawford Jr Κυµατική (Σειρά Μαθηµάτων Φυσικής Berkeley, Τόµος 3 Αθήνα 979) Κεφ H J Pai Φυσική των ταλαντώσεων

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 12: Υδραυλική ανάλυση δικτύων διανομής

Κεφάλαιο 12: Υδραυλική ανάλυση δικτύων διανομής Κεφάλαιο 12: Υδραυλική ανάλυση δικτύων διανομής Εννοιολογική αναπαράσταση δίκτυων διανομής Σχηματοποίηση: δικτυακή απεικόνιση των συνιστωσών του φυσικού συστήματος ως συνιστώσες ενός εννοιολογικού μοντέλου

Διαβάστε περισσότερα

ιαλέξεις 24-27 Τρίτη, 2, Τετάρτη, 3, Παρασκευή 5 komodromos@ucy.ac.cy http://www.ucy.ac.cy/~petrosk Πέτρος Κωµοδρόµος

ιαλέξεις 24-27 Τρίτη, 2, Τετάρτη, 3, Παρασκευή 5 komodromos@ucy.ac.cy http://www.ucy.ac.cy/~petrosk Πέτρος Κωµοδρόµος ΠΠΜ 220: Στατική Ανάλυση των Κατασκευών Ι ιαλέξεις 24-27 Αρχή υνατών Έργων (Α Ε) Τρίτη, 2, Τετάρτη, 3, Παρασκευή 5 και Τρίτη, 9 Νοεµβρίου, 2004 Πέτρος Κωµοδρόµος komodromos@ucy.ac.cy http://www.ucy.ac.cy/~petrosk

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ ΣΤΗ ΝΑΥΠΗΓΙΚΗ ΚΑΙ ΣΤΗ ΘΑΛΑΣΣΙΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ ΣΤΗ ΝΑΥΠΗΓΙΚΗ ΚΑΙ ΣΤΗ ΘΑΛΑΣΣΙΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ ΣΤΗ ΝΑΥΠΗΓΙΚΗ ΚΑΙ ΣΤΗ ΘΑΛΑΣΣΙΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ Εισαγωγή στη μέθοδο των πεπερασμένων στοιχείων Α. Θεοδουλίδης Η Μεθοδος των Πεπερασμένων στοιχείων Η Μέθοδος των ΠΣ είναι μια

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ- 2015

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ- 2015 ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ- 2015 1. Εισαγωγικές έννοιες στην μηχανική των υλικών Κώστας Γαλιώτης, καθηγητής Τμήμα Χημικών Μηχανικών 1 Περιεχόμενο μαθήματος Μηχανική των Υλικών: τμήμα των θετικών επιστημών που

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΛΥΣΗ ΥΠΕΡΣΤΑΤΙΚΩΝ ΦΟΡΕΩΝ Μέθοδος Castigliano Ελαστική γραμμή. Διδάσκων: Γιάννης Χουλιάρας

ΕΠΙΛΥΣΗ ΥΠΕΡΣΤΑΤΙΚΩΝ ΦΟΡΕΩΝ Μέθοδος Castigliano Ελαστική γραμμή. Διδάσκων: Γιάννης Χουλιάρας ΕΠΙΛΥΣΗ ΥΠΕΡΣΤΑΤΙΚΩΝ ΦΟΡΕΩΝ Μέθοδος Castigliano Ελαστική γραμμή Διδάσκων: Γιάννης Χουλιάρας Επίλυση υπερστατικών φορέων Για την επίλυση των ισοστατικών φορέων (εύρεση αντιδράσεων και μεγεθών έντασης) αρκούν

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ 2016

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ 2016 ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ 2016 Κώστας Γαλιώτης, καθηγητής Τμήμα Χημικών Μηχανικών galiotis@chemeng.upatras.gr 1 Περιεχόμενα ενότητας Α Βασικές έννοιες Στατική υλικού σημείου Αξιωματικές αρχές Νόμοι Νεύτωνα Εξισώσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΩΝΥΜΟ :... ΟΝΟΜΑ :... ΒΑΘΜΟΣ:

ΕΠΩΝΥΜΟ :... ΟΝΟΜΑ :... ΒΑΘΜΟΣ: ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ Μάθημα : Ανάλυση Γραμμικών Φορέων με Μητρώα ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ Διδάσκων: Μ. Γ. Σφακιανάκης ΤΜΗΜΑ ΠΟΛ/ΚΩΝ ΜΗΧ/ΚΩΝ Εξέταση : 8-9-, :-: ΤΟΜΕΑΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΕΠΩΝΥΜΟ :......... ΟΝΟΜΑ :......

Διαβάστε περισσότερα

sin ϕ = cos ϕ = tan ϕ =

sin ϕ = cos ϕ = tan ϕ = Τ.Ε.Ι. ΠΕΙΡΑΙΑ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΟΜΙΚΩΝ ΕΡΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΗ 1 ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 1 ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΙΑΓΡΑΜΜΑΤΩΝ MQN ΣΕ ΟΚΟ ιδάσκων: Αριστοτέλης Ε. Χαραλαµπάκης Εισαγωγή Με το παράδειγµα αυτό αναλύεται

Διαβάστε περισσότερα

1.1.1 Εσωτερικό και Εξωτερικό Γινόμενο Διανυσμάτων

1.1.1 Εσωτερικό και Εξωτερικό Γινόμενο Διανυσμάτων 3 1.1 Διανύσματα 1.1.1 Εσωτερικό και Εξωτερικό Γινόμενο Διανυσμάτων ΑΣΚΗΣΗ 1.1 Να βρεθεί η γωνία που σχηματίζουν τα διανύσματα î + ĵ + ˆk και î + ĵ ˆk. z k i j y x Τα δύο διανύσματα που προκύπτουν από

Διαβάστε περισσότερα

ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΑ ΠΛΑΙΣΙΑ ΜΕ ΣΥΝΔΕΣΜΟΥΣ Υπολογισμός αντιδράσεων και κατασκευή Μ,Ν, Q Γραμμές επιρροής. Διδάσκων: Γιάννης Χουλιάρας

ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΑ ΠΛΑΙΣΙΑ ΜΕ ΣΥΝΔΕΣΜΟΥΣ Υπολογισμός αντιδράσεων και κατασκευή Μ,Ν, Q Γραμμές επιρροής. Διδάσκων: Γιάννης Χουλιάρας ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΑ ΠΛΑΙΣΙΑ ΜΕ ΣΥΝΔΕΣΜΟΥΣ Υπολογισμός αντιδράσεων και κατασκευή Μ,Ν, Q Γραμμές επιρροής Διδάσκων: Γιάννης Χουλιάρας Ισοστατικά πλαίσια με συνδέσμους (α) (β) Στατική επίλυση ισοστατικών πλαισίων

Διαβάστε περισσότερα

Πολυβάθμια Συστήματα

Πολυβάθμια Συστήματα Πολυβάθμια Συστήματα Εισαγωγή Πολυβάθμια Συστήματα: Δ19-2 Η βασική προϋπόθεση για την προσομοίωση μίας κατασκευής ως μονοβάθμιο ταλαντωτή είναι πως η μάζα, ο μηχανισμός απόσβεσης και η ακαμψία μπορούν

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Κολιόπουλος Παναγιώτης

Διδάσκων: Κολιόπουλος Παναγιώτης ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΤΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ Ενότητα 10: ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΔΥΟ ΒΑΘΜΩΝ ΕΛΕΥΘΕΡΙΑΣ (-ΒΕ) Διδάσκων: Κολιόπουλος Παναγιώτης ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ 1 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδοι των Μετακινήσεων

Μέθοδοι των Μετακινήσεων Μέθοδοι των Μετακινήσεων Εισαγωγή Μέθοδοι των Μετακινήσεων: Δ14-2 Στη Μέθοδο των Δυνάμεων (ή Ευκαμψίας), που έχουμε ήδη μελετήσει, επιλέγουμε ως άγνωστα υπερστατικά μεγέθη αντιδράσεις ή εσωτερικές δράσεις.

Διαβάστε περισσότερα

website:

website: Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Τμήμα Φυσικής Μηχανική Ρευστών Μαάιτα Τζαμάλ-Οδυσσέας 31 Μαρτίου 2019 1 Δυνάμεις μάζας και επαφής Δυνάμεις μάζας ή δυνάμεις όγκου ονομάζονται οι δυνάμεις που είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΣΩΤΕΡΙΚΕΣ ΕΛΕΥΘΕΡΩΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΣ ΤΡΟΠΟΠΟΙΗΜΕΝΩΝ ΜΗΤΡΩΩΝ ΣΤΙΒΑΡΟΤΗΤΑΣ

ΕΣΩΤΕΡΙΚΕΣ ΕΛΕΥΘΕΡΩΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΣ ΤΡΟΠΟΠΟΙΗΜΕΝΩΝ ΜΗΤΡΩΩΝ ΣΤΙΒΑΡΟΤΗΤΑΣ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΤΑΤΙΚΗΣ & ΑΝΤΙΣΕΙΣΜΙΚΩΝ ΕΡΕΥΝΩΝ ΕΣΩΤΕΡΙΚΕΣ ΕΛΕΥΘΕΡΩΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΣ ΤΡΟΠΟΠΟΙΗΜΕΝΩΝ ΜΗΤΡΩΩΝ ΣΤΙΒΑΡΟΤΗΤΑΣ Ε.Ι. Σαπουντζάκης Καθηγητής ΕΜΠ ΑΝΑΛΥΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

ιαλέξεις 30-34 Μέθοδοι των δυνάµεων Πέτρος Κωµοδρόµος komodromos@ucy.ac.cy http://www.ucy.ac.cy/~petrosk Στατική Ανάλυση των Κατασκευών Ι 1

ιαλέξεις 30-34 Μέθοδοι των δυνάµεων Πέτρος Κωµοδρόµος komodromos@ucy.ac.cy http://www.ucy.ac.cy/~petrosk Στατική Ανάλυση των Κατασκευών Ι 1 ΠΠΜ 220: Στατική Ανάλυση των Κατασκευών Ι ιαλέξεις 30-34 Μέθοδοι επίλυσης υπερστατικών φορέων: Μέθοδοι των δυνάµεων Τρίτη, 16, Τετάρτη, 17, Παρασκευή 19 Τρίτη, 23, και Τετάρτη 24 Νοεµβρίου 2004 Πέτρος

Διαβάστε περισσότερα

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΤΑΤΙΚΗΣ & ΑΝΤΙΣΕΙΣΜΙΚΩΝ ΕΡΕΥΝΩΝ ΧΩΡΙΚΑ ΔΙΚΤΥΩΜΑΤΑ Καθηγητής ΕΜΠ ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ Περιεχόμενα. Εισαγωγή. Παρουσίαση

Διαβάστε περισσότερα

Αστικά υδραυλικά έργα

Αστικά υδραυλικά έργα Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Τομέας Υδατικών Πόρων και Περιβάλλοντος Αστικά υδραυλικά έργα Υδραυλική ανάλυση δικτύων διανομής Δημήτρης Κουτσογιάννης, Καθηγητής ΕΜΠ Σχολή Πολιτικών Μηχανικών Άδεια Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Q 12. c 3 Q 23. h 12 + h 23 + h 31 = 0 (6)

Q 12. c 3 Q 23. h 12 + h 23 + h 31 = 0 (6) Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Πολιτικών Μηχανικών Τοµέας Υδατικών Πόρων Μάθηµα: Τυπικά Υδραυλικά Έργα Μέρος 2: ίκτυα διανοµής Άσκηση E0: Μαθηµατική διατύπωση µοντέλου επίλυσης απλού δικτύου διανοµής

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδος των Δυνάμεων (συνέχεια)

Μέθοδος των Δυνάμεων (συνέχεια) Μέθοδος των υνάμεων (συνέχεια) Παράδειγμα Π8-1 Μέθοδος των υνάμεων: 08-2 Να υπολογιστούν οι αντιδράσεις και να σχεδιαστεί το διάγραμμα ροπών κάθε μέλους του πλαισίου. [ΕΙ σταθερό] Το πλαίσιο στο σχήμα

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) ( ) Ασκήσεις στην ελαστική γραµµή. Γενικές Εξισώσεις. Εφαρµογές. 1. Η γέφυρα. ΤΜ ΙΙΙ Ασκήσεις : Ι. Βαρδουλάκης & Ι. Στεφάνου, Οκτώβριος

( ) ( ) ( ) Ασκήσεις στην ελαστική γραµµή. Γενικές Εξισώσεις. Εφαρµογές. 1. Η γέφυρα. ΤΜ ΙΙΙ Ασκήσεις : Ι. Βαρδουλάκης & Ι. Στεφάνου, Οκτώβριος ΤΜ ΙΙΙ Ασκήσεις : Ι. Βαρδουλάκης & Ι. Στεφάνου, Οκτώβριος 005 Ασκήσεις στην ελαστική γραµµή Γενικές Εξισώσεις () p w ( x) = x+ M ( x) = w ( x) p w ( ) ( ) ( ) ( ) ( x) = x + x+ onst x p x onst x dm x =

Διαβάστε περισσότερα

6. Κάμψη. Κώστας Γαλιώτης, καθηγητής Τμήμα Χημικών Μηχανικών

6. Κάμψη. Κώστας Γαλιώτης, καθηγητής Τμήμα Χημικών Μηχανικών 6. Κάμψη Κώστας Γαλιώτης, καθηγητής Τμήμα Χημικών Μηχανικών 1 Περιεχόμενα ενότητας Ανάλυση της κάμψης Κατανομή ορθών τάσεων Ουδέτερη γραμμή Ροπές αδρανείας Ακτίνα καμπυλότητας 2 Εισαγωγή (1/2) Μελετήσαμε

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγικές Έννοιες. Οι καλές ταλαντώσεις!

Εισαγωγικές Έννοιες. Οι καλές ταλαντώσεις! Εισαγωγικές Έννοιες Οι καλές ταλαντώσεις! Αντικείμενο της Δυναμικής Εισαγωγικές Έννοιες: Αντικείμενο της Δυναμικής των Κατασκευών: Ανάλυση της απόκρισης των κατασκευών που υπόκεινται σε δυναμική καταπόνηση

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ 2017

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ 2017 ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ 2017 Β5. Κάμψη Κώστας Γαλιώτης, καθηγητής Τμήμα Χημικών Μηχανικών galiotis@chemeng.upatras.gr 1 Περιεχόμενα ενότητας Ανάλυση της κάμψης Κατανομή ορθών τάσεων Ουδέτερη γραμμή Ροπές αδρανείας

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανική ΙI. Μετασχηµατισµοί Legendre. της : (η γραφική της παράσταση δίνεται στο ακόλουθο σχήµα). Εάν

Μηχανική ΙI. Μετασχηµατισµοί Legendre. της : (η γραφική της παράσταση δίνεται στο ακόλουθο σχήµα). Εάν Τµήµα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου 7/5/2000 Μηχανική ΙI Μετασχηµατισµοί Legendre Έστω µια πραγµατική συνάρτηση. Ορίζουµε την παράγωγο συνάρτηση της : (η γραφική της παράσταση δίνεται στο ακόλουθο σχήµα).

Διαβάστε περισσότερα

Ενεργειακές Μέθοδοι Υπολογισμού Μετακινήσεων

Ενεργειακές Μέθοδοι Υπολογισμού Μετακινήσεων Ενεργειακές Μέθοδοι Υπολογισμού Μετακινήσεων Εισαγωγή Ενεργειακές Μέθοδοι Υπολογισμού Μετακινήσεων: Δ03-2 Οι ενεργειακές μέθοδοι αποτελούν τη βάση για υπολογισμό των μετακινήσεων, καθώς η μετακίνηση εισέρχεται

Διαβάστε περισσότερα

QR είναι ˆx τότε x ˆx. 10 ρ. Ποιά είναι η τιµή του ρ και γιατί (σύντοµη εξήγηση). P = [X. 0, X,..., X. (n 1), X. n] a(n + 1 : 1 : 1)

QR είναι ˆx τότε x ˆx. 10 ρ. Ποιά είναι η τιµή του ρ και γιατί (σύντοµη εξήγηση). P = [X. 0, X,..., X. (n 1), X. n] a(n + 1 : 1 : 1) ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ I (22 Σεπτεµβρίου) ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ 1ο ΘΕΜΑ 1. Αφού ορίσετε ακριβώς τι σηµαίνει πίσω ευσταθής υπολογισµός, να εξηγήσετε αν ο υ- πολογισµός του εσωτερικού γινοµένου δύο διανυσµάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΡΕΠΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΝ ΣΤΑΘΕΡΗΣ Η ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΔΙΑΤΟΜΗΣ

ΣΤΡΕΠΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΝ ΣΤΑΘΕΡΗΣ Η ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΔΙΑΤΟΜΗΣ Τ.Ε.Ι. ΠΕΙΡΑΙΑ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ: ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΔΟΜΙΚΩΝ ΕΡΓΩΝ Τομέας Β Δομοστατικού Σχεδιασμού ΣΤΡΕΠΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΝ ΣΤΑΘΕΡΗΣ Η ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΔΙΑΤΟΜΗΣ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΣΦΗΝΑΡΟΛΑΚΗ ΕΛΕΥΘΕΡΙΑ

Διαβάστε περισσότερα

Σημειώσεις του μαθήματος Μητρωϊκή Στατική

Σημειώσεις του μαθήματος Μητρωϊκή Στατική ΑΝΩΤΑΤΗ ΣΧΟΛΗ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Σημειώσεις του μαθήματος Μητρωϊκή Στατική Π. Γ. Αστερής Αθήνα, Μάρτιος 017 Περιεχόμενα Κεφάλαιο 1 Ελατήρια σε σειρά... 1.1 Επιλογή μονάδων και καθολικού

Διαβάστε περισσότερα

ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι

ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι Δυναμική Μηχανών Ι Ακαδημαϊκό έτος: 015-016 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι - 1.1- Δυναμική Μηχανών Ι Ακαδημαϊκό έτος: 015-016 Copyright ΕΜΠ - Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο Δυναμικής και Κατασκευών - 015.

Διαβάστε περισσότερα

3. ΥΝΑΜΙΚΗ ΡΟΜΠΟΤΙΚΩΝ ΒΡΑΧΙΟΝΩΝ

3. ΥΝΑΜΙΚΗ ΡΟΜΠΟΤΙΚΩΝ ΒΡΑΧΙΟΝΩΝ 3. ΥΝΑΜΙΚΗ ΡΟΜΠΟΤΙΚΩΝ ΒΡΑΧΙΟΝΩΝ Η δυναµική ασχολείται µε την εξαγωγή και τη µελέτη του δυναµικού µοντέλου ενός ροµποτικού βραχίονα. Το δυναµικό µοντέλο συνίσταται στις διαφορικές εξισώσεις που περιγράφουν

Διαβάστε περισσότερα

ιάλεξη 7 η, 8 η και 9 η

ιάλεξη 7 η, 8 η και 9 η ΠΠΜ 220: Στατική Ανάλυση των Κατασκευών Ι ιάλεξη 7 η, 8 η και 9 η Ανάλυση Ισοστατικών οκών και Πλαισίων Τρίτη,, 21, Τετάρτη,, 22 και Παρασκευή 24 Σεπτεµβρίου,, 2004 Πέτρος Κωµοδρόµος komodromos@ucy.ac.cy

Διαβάστε περισσότερα

9. ΕΛΕΓΧΟΣ ΑΛΛΗΛΕΠΙ ΡΑΣΗΣ ΜΕ ΤΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ. Εξετάζουµε διάφορα µοντέλα ελέγχου αλληλεπίδρασης του βραχίονα µε το περιβάλλον.

9. ΕΛΕΓΧΟΣ ΑΛΛΗΛΕΠΙ ΡΑΣΗΣ ΜΕ ΤΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ. Εξετάζουµε διάφορα µοντέλα ελέγχου αλληλεπίδρασης του βραχίονα µε το περιβάλλον. 9. ΕΛΕΓΧΟΣ ΑΛΛΗΛΕΠΙ ΡΑΣΗΣ ΜΕ ΤΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ 9.0 Εισαγωγικά Εξετάζουµε διάφορα µοντέλα ελέγχου αλληλεπίδρασης του βραχίονα µε το περιβάλλον. 9.1 Έλεγχος «Συµµόρφωσης» ή «Υποχωρητικότητας» (Comliance Control)

Διαβάστε περισσότερα

A! Κινηµατική άποψη. Σχήµα 1 Σχήµα 2

A! Κινηµατική άποψη. Σχήµα 1 Σχήµα 2 A Κινηµατική άποψη Θεωρούµε στερεό σώµα σε τυχαία κίνηση, η οποία εξέταζεται από ένα αδρα νειακό σύστηµα αναφοράς ΟXYZ. Εφοδιάζουµε το σώµα µε κινητό σύστηµα συντεταγµένων xyz ακλόνητα συνδεδεµένο µε αυτό,

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΚΕΝΤΡΟ ΒΑΡΟΥΣ-ΡΟΠΕΣ Α ΡΑΝΕΙΑΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΚΕΝΤΡΟ ΒΑΡΟΥΣ-ΡΟΠΕΣ Α ΡΑΝΕΙΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΚΕΝΤΡΟ ΒΑΡΟΥΣ-ΡΟΠΕΣ Α ΡΑΝΕΙΑΣ 6.. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΕΣ Για τον υπολογισµό των τάσεων και των παραµορφώσεων ενός σώµατος, που δέχεται φορτία, δηλ. ενός φορέα, είναι βασικό δεδοµένο ή ζητούµενο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ 17 ΔΕΔΟΜΕΝΑ: Δίνονται: = cm ΕΠΙΛΥΣΗ: Ερώτημα α. k = 6000kN m. Μέθοδος των Δυνάμεων:

ΑΣΚΗΣΗ 17 ΔΕΔΟΜΕΝΑ: Δίνονται: = cm ΕΠΙΛΥΣΗ: Ερώτημα α. k = 6000kN m. Μέθοδος των Δυνάμεων: ΑΣΚΗΣΗ 7 ΔΕΔΟΜΕΝΑ: Στο φορέα του σχήματος ζητούνται: α) να χαραχθούν τα διαγράμματα M, Q (2.5 μονάδες) β) να υπολογιστεί το μέτρο και η φορά της κατακόρυφης μετατόπισης στο μέσο του τμήματος (23) ( μονάδα)

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα: Υπολογισμός διατμητικών τάσεων

Ενότητα: Υπολογισμός διατμητικών τάσεων ΔΙΑΜΗΚΗΣ ΑΝΤΟΧΗ ΠΛΟΙΟΥ Ενότητα: Υπολογισμός διατμητικών τάσεων Α. Θεοδουλίδης Υπολογισμός διατμητικών τάσεων Η ύπαρξη διατμητικών τάσεων οφείλεται στην διατμητική δύναμη Q(x): Κατανομή διατμητικών τάσεων

Διαβάστε περισσότερα

υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος : Ε. Μ. Π. Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών ΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι - 21.

υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος : Ε. Μ. Π. Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών ΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι - 21. υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: 00-0 ΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι -. - υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: 00-0 Cpyright ΕΜΠ - Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών - 00. Με επιφύλαξη

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Μηχανών I. Διάλεξη 3. Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ

Δυναμική Μηχανών I. Διάλεξη 3. Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ Δυναμική Μηχανών I Διάλεξη 3 Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ Περιεχόμενα: Διακριτή Μοντελοποίηση Μηχανικών Συστημάτων Επανάληψη: Διακριτά στοιχεία μηχανικών δυναμικών συστημάτων Δυναμικά

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδος των Δυνάμεων (συνέχεια)

Μέθοδος των Δυνάμεων (συνέχεια) Μέθοδος των Δυνάμεων (συνέχεια) Υποχωρήσεις Στηρίξεων Μέθοδος των Δυνάμεων: Οι υποχωρήσεις στηρίξεων, η θερμοκρασιακή μεταβολή και τα κατασκευαστικά λάθη προκαλούν ένταση στους υπερστατικούς φορείς. Η

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 1 ΔΕΔΟΜΕΝΑ: Δίνονται: = cm ΕΠΙΛΥΣΗ: Ερώτημα α. k = 6000kN m. Μέθοδος των Δυνάμεων:

ΘΕΜΑ 1 ΔΕΔΟΜΕΝΑ: Δίνονται: = cm ΕΠΙΛΥΣΗ: Ερώτημα α. k = 6000kN m. Μέθοδος των Δυνάμεων: ΔΕΔΟΜΕΝΑ: ΘΕΜΑ Στο φορέα του σχήματος ζητούνται: α) να χαραχθούν τα διαγράμματα, Q (2.5 μονάδες) β) να υπολογιστεί το μέτρο και η φορά της κατακόρυφης μετατόπισης στο μέσο του τμήματος (23) ( μονάδα) Δίνονται:

Διαβάστε περισσότερα

ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΜΕΣΟΥ

ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΜΕΣΟΥ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ & ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ & ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΜΕΣΟΥ έκδοση DΥΝI-DCMB_2016b Copyright

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. 1. ΟΙ ΓΡΑΜΜΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ Εισαγωγή Συστήματα συντεταγμένων. 7

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. 1. ΟΙ ΓΡΑΜΜΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ Εισαγωγή Συστήματα συντεταγμένων. 7 Στατική των γραμμικών φορέων ix ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ σελ. 1. ΟΙ ΓΡΑΜΜΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ. 1 1.1 Εισαγωγή.. 3 1.2 Συστήματα συντεταγμένων. 7 2. Η ΚΙΝΗΣΗ ΚΑΙ Η ΣΤΗΡΙΞΗ ΤΟΥ ΔΙΣΚΟΥ ΑΝΤΙΔΡΑΣΕΙΣ 13 2.1 Η κίνηση και η στήριξη

Διαβάστε περισσότερα

Προσδιορισµός των χαρακτηριστικών (ιδιο-)συχνοτήτων και κανονικών τρόπων ταλάντωσης µε χρήση συµµετριών

Προσδιορισµός των χαρακτηριστικών (ιδιο-)συχνοτήτων και κανονικών τρόπων ταλάντωσης µε χρήση συµµετριών Μηχανική ΙΙ Τµήµα Ιωάννου-Αποστολάτου 6 Μαϊου 2001 Προσδιορισµός των χαρακτηριστικών (ιδιο-)συχνοτήτων και κανονικών τρόπων ταλάντωσης µε χρήση συµµετριών Θεωρούµε ότι 6 ίσες µάζες συνδέονται µε ταυτόσηµα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΤΑΤΙΚΗΣ & ΑΝΤΙΣΕΙΣΜΙΚΩΝ ΕΡΕΥΝΩΝ ΣΤΑΤΙΚΗ ΣΥΜΠΥΚΝΩΣΗ Ε.Ι. Σαπουντζάκης Καθηγητής ΕΜΠ ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ Περιεχόμενα.

Διαβάστε περισσότερα

7. Δυναμική Ανάλυση ΠΒΣ

7. Δυναμική Ανάλυση ΠΒΣ ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 7. Δυναμική Ανάλυση ΠΒΣ Χειμερινό εξάμηνο 2016 Πέτρος Κωμοδρόμος komodromos@ucy.ac.cy http://www.eng.ucy.ac.cy/petros 1 Θέματα Εισαγωγή στα πολυβάθμια συστήματα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ: ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ

ΜΑΘΗΜΑ: ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑ: ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΔΙΔΑΣΚΩΝ: ΓΚΟΥΝΤΑΣ Δ. ΙΩΑΝΝΗΣ ΤΜΗΜΑ: ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ / ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΤΙΡΡΥΠΑΝΣΗΣ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης CreatveCommons. Για

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανική ΙI Ροή στο χώρο των φάσεων, θεώρηµα Liouville

Μηχανική ΙI Ροή στο χώρο των φάσεων, θεώρηµα Liouville Τµήµα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου 16/5/2000 Μηχανική ΙI Ροή στο χώρο των φάσεων, θεώρηµα Liouville Στη Χαµιλτονιανή θεώρηση η κατάσταση του συστήµατος προσδιορίζεται κάθε στιγµή από ένα και µόνο σηµείο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΩΝΥΜΟ :... ΟΝΟΜΑ :... ΒΑΘΜΟΣ:

ΕΠΩΝΥΜΟ :... ΟΝΟΜΑ :... ΒΑΘΜΟΣ: ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ Μάθημα : Ανάλυση Γραμμικών Φορέων με Μητρώα ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ Διδάσκων: Μ. Γ. Σφακιανάκης ΤΜΗΜΑ ΠΟΛ/ΚΩΝ ΜΗΧ/ΚΩΝ Εξέταση : --, :-: ΤΟΜΕΑΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΕΠΩΝΥΜΟ :......... ΟΝΟΜΑ :......

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ- 2015

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ- 2015 ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ- 015 3. Δοκοί (φορτία NQM) Κώστας Γαλιώτης, καθηγητής Τμήμα Χημικών Μηχανικών 3. Δοκοί (φορτία NQΜ)/ Μηχανική Υλικών 1 Σκοποί ενότητας Να εξοικειωθεί ο φοιτητής με τα διάφορα είδη φορτίων.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ 9 - ΧΩΡΙΚΟ ΠΛΑΙΣΙΟ

ΑΣΚΗΣΗ 9 - ΧΩΡΙΚΟ ΠΛΑΙΣΙΟ ΑΣΚΗΣΗ 9 - ΧΩΡΙΚΟ ΠΛΑΙΣΙΟ Να γίνει στατική επίλυση τoυ χωρικού πλαισίου από οπλισμένο σκυρόδεμα κατηγορίας C/, κάτοψη του οποίου φαίνεται στο σχήμα (α). Δίνονται: φορτίο επικάλυψης πλάκας gεπικ. KN/, κινητό

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική Ολοκλήρωση της Εξίσωσης Κίνησης

Αριθμητική Ολοκλήρωση της Εξίσωσης Κίνησης Αριθμητική Ολοκλήρωση της Εξίσωσης Κίνησης Εισαγωγή Αριθμητική Ολοκλήρωση της Εξίσωσης Κίνησης: Δ18- Η δυναμική μετατόπιση u(t) είναι δυνατό να προσδιοριστεί με απ ευθείας αριθμητική ολοκλήρωση της εξίσωσης

Διαβάστε περισσότερα

Εξίσωση Κίνησης Μονοβάθμιου Συστήματος (συνέχεια)

Εξίσωση Κίνησης Μονοβάθμιου Συστήματος (συνέχεια) Εξίσωση Κίνησης Μονοβάθμιου Συστήματος (συνέχεια) Εξίσωση Κίνησης Μονοβάθμιου Συστήματος: Επιρροή Μόνιμου Φορτίου Βαρύτητας Δ03-2 Μέχρι τώρα στη διατύπωση της εξίσωσης κίνησης δεν έχει ληφθεί υπόψη το

Διαβάστε περισσότερα

Στροβιλισµός πεδίου δυνάµεων

Στροβιλισµός πεδίου δυνάµεων Στροβιλισµός πεδίου δυνάµεων Θεωρείστε ένα απειροστό απλό χωρίο στο χώρο τόσο µικρό ώστε να µπορεί να θεωρηθεί ότι βρίσκεται σε ένα επίπεδο Έστω ότι το χωρίο αυτό περικλείει εµβαδόν µέτρου Το έργο που

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Μηχανών I. Δυναμικά Μοντέλα Συνεχούς Μέσου

Δυναμική Μηχανών I. Δυναμικά Μοντέλα Συνεχούς Μέσου Δυναμική Μηχανών I 8 1 Δυναμικά Μοντέλα Συνεχούς Μέσου 2015 Δημήτριος Τζεράνης, Ph.D Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Ε.Μ.Π. tzeranis@gmail.com Απαγορεύεται οποιαδήποτε αναπαραγωγή χωρίς άδεια Μοντελοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

Physics by Chris Simopoulos

Physics by Chris Simopoulos Στο παρακάτω σχήµα: ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ ο α) Να ορίσετε τις θέσεις των σηµείων (Α), (Β) και (Γ). β) Να υπολογίσετε τη µετατόπιση (ΑΓ). γ) Να υπολογίσετε το διάστηµα (ΑΒΓ).

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Μ. Γ. Σφακιανάκης ΤΜΗΜΑ ΠΟΛ/ΚΩΝ ΜΗΧ/ΚΩΝ Εξέταση : , 12:00-15:00 ΤΟΜΕΑΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ

Διδάσκων: Μ. Γ. Σφακιανάκης ΤΜΗΜΑ ΠΟΛ/ΚΩΝ ΜΗΧ/ΚΩΝ Εξέταση : , 12:00-15:00 ΤΟΜΕΑΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ Μάθημα : Ανάλυση Γραμμικών Φορέων με Μητρώα ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ Διδάσκων: Μ. Γ. Σφακιανάκης ΤΜΗΜΑ ΠΟΛ/ΚΩΝ ΜΗΧ/ΚΩΝ Εξέταση : --, :-: ΤΟΜΕΑΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΕΠΩΝΥΜΟ :......... ΑΡ. ΜΗΤΡ :.......

Διαβάστε περισσότερα

Σ 1 γράφεται ως. διάνυσµα στο Σ 2 γράφεται ως. Σ 2 y Σ 1

Σ 1 γράφεται ως. διάνυσµα στο Σ 2 γράφεται ως. Σ 2 y Σ 1 Στη συνέχεια θεωρούµε ένα τυχαίο διάνυσµα Σ 1 γράφεται ως, το οποίο στο σύστηµα Το ίδιο διάνυσµα µπορεί να γραφεί στο Σ 1 ως ένας άλλος συνδυασµός τριών γραµµικώς ανεξαρτήτων διανυσµάτων (τα οποία αποτελούν

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΛΕΞΕΙΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ. Την Κινηµατική (µελετάει την κίνηση των σωµάτων χωρίς να ενδιαφέρεται για τις δυνάµεις που ενεργούν στα σώµατα)

ΙΑΛΕΞΕΙΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ. Την Κινηµατική (µελετάει την κίνηση των σωµάτων χωρίς να ενδιαφέρεται για τις δυνάµεις που ενεργούν στα σώµατα) ΙΑΛΕΞΕΙΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΤΕΙ / Λ, ΤΜΗΜΑ: ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΒΙΟΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Η Μηχανική, εκτός απο θεωρητικός, είναι και εφηρµοσµένος κλάδος της Φυσικής. Αποτελεί την ραχοκοκαλιά της σύγχρονης Μηχανολογίας και διαιρείται

Διαβάστε περισσότερα

Μάθημα: Στατική ΙΙ 3 Ιουλίου 2012 Διδάσκων: Τριαντ. Κόκκινος, Ph.D. ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ

Μάθημα: Στατική ΙΙ 3 Ιουλίου 2012 Διδάσκων: Τριαντ. Κόκκινος, Ph.D. ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΑΘΗΝΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ Τμήμα Πολιτικών Έργων Υποδομής Μάθημα: Στατική ΙΙ 3 Ιουλίου 202 Διδάσκων: Τριαντ. Κόκκινος, Ph.D. ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ( η περίοδος

Διαβάστε περισσότερα

1. Ανασκόπηση Μεθόδων Ευκαμψίας (δυνάμεων)

1. Ανασκόπηση Μεθόδων Ευκαμψίας (δυνάμεων) ΠΠΜ 325: Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 1. Ανασκόπηση Μεθόδων Ευκαμψίας (δυνάμεων) Εαρινό εξάμηνο 2015 Πέτρος Κωμοδρόμος komodromos@ucy.ac.cy http://www.eng.ucy.ac.cy/petros Πέτρος Κωμοδρόμος 1 Θέματα Μέθοδος

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ 2017

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ 2017 ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ 017 3. Διαγράμματα NQM Κώστας Γαλιώτης, καθηγητής Τμήμα Χημικών Μηχανικών galiotis@chemeng.upatras.gr Α3. Διαγράμματα NQΜ/ Μηχανική Υλικών 1 Σκοποί ενότητας Να εξοικειωθεί ο φοιτητής

Διαβάστε περισσότερα

, όπου οι σταθερές προσδιορίζονται από τις αρχικές συνθήκες.

, όπου οι σταθερές προσδιορίζονται από τις αρχικές συνθήκες. Στην περίπτωση της ταλάντωσης µε κρίσιµη απόσβεση οι δύο γραµµικώς ανεξάρτητες λύσεις εκφυλίζονται (καταλήγουν να ταυτίζονται) Στην περιοχή ασθενούς απόσβεσης ( ) δύο γραµµικώς ανεξάρτητες λύσεις είναι

Διαβάστε περισσότερα

(2) Θεωρούµε µοναδιαία διανύσµατα α, β, γ R 3, για τα οποία γνωρίζουµε ότι το διάνυσµα

(2) Θεωρούµε µοναδιαία διανύσµατα α, β, γ R 3, για τα οποία γνωρίζουµε ότι το διάνυσµα Πανεπιστηµιο Ιωαννινων σχολη θετικων επιστηµων τµηµα µαθηµατικων τοµεας αλγεβρας και γεωµετριας αναλυτικη γεωµετρια διδασκων : χρηστος κ. τατακης υποδειξεις λυσεων των θεµατων της 7.06.016 ΘΕΜΑ 1. µονάδες

Διαβάστε περισσότερα

Παραµόρφωση σε Σηµείο Σώµατος. Μεταβολή του σχήµατος του στοιχείου (διατµητική παραµόρφωση)

Παραµόρφωση σε Σηµείο Σώµατος. Μεταβολή του σχήµατος του στοιχείου (διατµητική παραµόρφωση) Παραµόρφωση σε Σηµείο Σώµατος Η ολική παραµόρφωση στερεού σώµατος στη γειτονιά ενός σηµείου, Ο, δηλαδή η συνολική παραµόρφωση ενός µικρού τµήµατος (στοιχείου) του σώµατος γύρω από το σηµείο µπορεί να αναλυθεί

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 4

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebrai/lai218/lai218html Παρασκευή 23 Νοεµβρίου 218 Ασκηση 1

Διαβάστε περισσότερα

Εξαναγκασμένη Ταλάντωση. Τυχαία Φόρτιση (Ολοκλήρωμα Duhamel)

Εξαναγκασμένη Ταλάντωση. Τυχαία Φόρτιση (Ολοκλήρωμα Duhamel) Εξαναγκασμένη Ταλάντωση Τυχαία Φόρτιση (Ολοκλήρωμα Duhamel) Εξαναγκασμένη Ταλάντωση: Τυχαία Φόρτιση: Απόκριση σε Τυχαία Φόρτιση: Βασική Ιδέα Δ10-2 Το πρόβλημα της κίνησης μονοβάθμιου συστήματος σε τυχαία

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Μηχανών I. Προσέγγιση Galerkin

Δυναμική Μηχανών I. Προσέγγιση Galerkin Δυναμική Μηχανών I 8 2 Προσέγγιση Galerkin Χειμερινό Εξάμηνο 214 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών, ΕΜΠ Δημήτριος Τζεράνης, Ph.D. 215 Δημήτριος Τζεράνης, Ph.D Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Ε.Μ.Π. tzeranis@gmail.com

Διαβάστε περισσότερα

Η έννοια του συναρτησιακού (functional).

Η έννοια του συναρτησιακού (functional). ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΠΟ ΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΛΟΓΙΣΜΟΥ ΤΩΝ ΜΕΤΑΒΟΛΩΝ (CALCULUS OF VARIATIONS) Η έννοια του συναρτησιακού (fnctionl). Ορισµός : Εάν σε κάθε συνάρτηση που ανήκει σε κάποιο χώρο συναρτήσεων A, αντιστοιχεί µέσω κάποιου

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ

ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ ΕΠΕΞΗΓΗΜΑΤΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ... xvii ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΣΥΜΒΟΛΩΝ... xviii 1. ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΚΑΙ Η ΙΣΤΟΡΙΚΗ ΤΟΥΣ ΕΞΕΛΙΞΗ... 1-1 1.1 Η πραγματική κατασκευή και η "Στατική Μελέτη" της... 1-3

Διαβάστε περισσότερα