ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ ΠΡΑΞΕΙΣ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ

Transcript

1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ ΠΡΑΞΕΙΣ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ 1. Στο παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ είναι: ΑΒ = α, = β. α) Το διάνυσμα ΑΓ ισούται με Α. α - β Β. β - α Γ. α + β β) Το διάνυσμα ΒΔ ισούται με Α. α + β Β. α + β Γ. α - β Δ. α + β Ε. α - β Δ. β - α Ε. β - α. Στο παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ το Μ είναι μέσο της ΑΒ. Αν = α και ΔΓ = β, τότε: α) Το διάνυσμα ΔΜ ισούται με Α. α + β Β. β - α β) Το διάνυσμα ΜΓ ισούται με Γ. - α + 1 β Δ. α + 1 β Ε. 1 α + β Α. α - 1 β Β. 1 α + β Γ. 1 α - β Δ. α + 1 β Ε. α + β γ) Με α + β ισούται το διάνυσμα Α. ΑΒ Β. ΒΔ Γ. ΔΒ Δ. ΓΑ Ε. ΑΓ δ) Με α - β ισούται το διάνυσμα Α. ΑΓ Β. ΓΑ Γ. ΒΑ Δ. ΔΒ Ε. ΒΔ. Στο διπλανό σχήμα το διάνυσμα x ισούται με Α. α - β - γ - δ Β. α + β + γ - δ Γ. α - β + γ - δ Δ. α + β - γ - δ Ε. α - β - γ + δ 4. Για κάθε τετράδα σημείων Α, Β, Γ, Δ ισχύει Α. ΑΔ + ΑΓ = ΒΓ + ΒΔ Β. ΑΔ + ΒΓ = ΑΓ Γ. ΑΔ + ΒΔ = ΑΓ + ΒΓ Δ. ΑΔ + ΒΓ = ΑΓ + ΒΔ Ε. ΑΔ - ΑΓ = ΒΓ + ΒΔ 1

2 5. Στο κανονικό εξάγωνο ΑΒΓΔΕΖ είναι Α. ΑΓ = ΑΕ Β. ΑΓ = - ΕΑ Γ. ΑΓ = - α Δ. ΑΓ = - 4 α Ε. ΑΓ = ΖΔ 6. Στο παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ είναι: ΑΒ = α, ΑΔ = β. Να αντιστοιχίσετε κάθε διάνυσμα της στήλης Α του πίνακα (Ι) με το ίσο του της στήλης Β, συμπληρώνοντας τον πίνακα (ΙΙ). Πίνακας (Ι) στήλη Α στήλη Β 1. ΑΓ Α. - α. ΓΒ Β. α + β Γ. β - α. ΓΔ Δ. α - β 4. ΒΔ Ε. - β Πίνακας (ΙΙ) Ζ. α - β Σε κάθε σχήμα που βρίσκεται στη στήλη Α του πίνακα (Ι) να αντιστοιχίσετε μια τιμή του διανύσματος x που βρίσκεται στη στήλη Β, συμπληρώνοντας τον πίνακα (ΙΙ). Πίνακας (Ι)

3 στήλη Α στήλη Β 1. Α. α + β - γ. Β. α + β + γ Γ. - ( α + β + γ ) Δ. α - β - γ. Ε. β + γ - α Ζ. β - γ - α 4. Πίνακας (ΙΙ) Στο παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ είναι: ΑΔ = α, ΔΓ = β και Μ μέσο της ΒΓ. Να αντιστοιχίσετε κάθε διάνυσμα της στήλης Α του πίνακα (Ι) με το ίσο του της στήλης Β, συμπληρώνοντας τον πίνακα (ΙΙ).

4 Πίνακας (Ι) στήλη Α στήλη Β 1. ΑΓ Α. β - α Β. α + β. ΒΔ Γ. α - β. ΔΜ Δ. β - 1 α 4. ΑΜ Ε. β + 1 α Ζ. 1 α - β Πίνακας (ΙΙ) 1 4 ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΚΑΙ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ 9. Δίνεται τετράγωνο ΑΒΓΔ.Σε καθεμία από τις παρακάτω περιπτώσεις να βρείτε το άθροισμα 4

5 10. Να γράψετε ως ένα διάνυσμα τα παρακάτω αθροίσματα : i) ii) iii) 11. Να γράψετε ως ένα διάνυσμα τα παρακάτω αθροίσματα : i) ii) iii) 1. Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ. Να βρείτε τα παρακάτω αθροίσματα : i) ii) iii) iv) 1. Έστω παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και Κ,Λ,Μ,Ν τυχαία σημεία. Να γράψετε ως έν α διάνυσμα τα αθροίσματα: i) ii) 14. Nα εκφράσετε το διάνυσμα x του διπλανού σχήματος ως συνάρτηση των διανυσμάτων,, x 15. Να εκφράσετε το άθροισμα ως συνάρτηση των διανυσμάτων και 16. Να αποδείξετε ότι για οποιαδήποτε σημεία Α,Β,Γ,Δ ισχύει : 17. Να αποδείξετε ότι: i) ii) 18. Αν ισχύει,να αποδείξετε ότι τα σημεία Α και Β ταυτίζονται. 19. Αν ισχύει,να αποδείξετε ότι τα σημεία Α και Β ταυτίζονται. 0. Αν ισχύει,να αποδείξετε ότι το Γ είναι μέσο του ευθυγράμμου 5

6 τμήματος ΑΒ. 1. Αν ισχύει,να αποδείξετε ότι το Γ είναι μέσο του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ.. Έστω ότι για τα μη συνευθειακά σημεία Α,Β,Γ,Δ ισχύει.να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΑΒΓΔ είναι παραλληλόγραμμο.. Έστω ότι για τα μη συνευθειακά σημεία Α,Β,Γ,Δ ισχύει.να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΑΒΓΔ είναι παραλληλόγραμμο. 4. Αν ισχύουν,να αποδείξετε ότι 5. Αν ισχύει,να αποδείξετε ότι τα διανύσματα είναι αντίθετα. 6. Έστω τα σημεία Α,Β,Γ,Δ.Να βρεθεί σημείο τέτοιο ώστε 0 7. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ. Να προσδιορίσετε σημείο Μ,ώστε να ισχύει ότι 8. Έστω Μ το μέσο της πλευράς ΒΓ τριγώνου ΑΒΓ και Δ,Ε δύο σημεία του επιπέδου του τριγώνου για τα οποία ισχύει.να αποδείξετε ότι : i) το Μ είναι μέσο του ΔΕ ii) για οποιοδήποτε σημείο Ν του επιπέδου του τριγώνου θα ισχύει 9. Αν τα διανύσματα είναι ίσα,να αποδείξετε ότι τα διανύσματα ΑΔ και ΒΓ έχουν κοινό μέσο και αντιστρόφως. 0. Δίνεται τετράπλευρο ΑΒΓΔ.Να προσδιορίσετε σημείο Μ,ώστε να ισχύει : 1. Έστω παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και έστω Ε και Ζ τα σημεία που ορίζονται από τις ισότητες και.να αποδείξετε ότι. Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και Ε ένα τυχαίο σημείο.να αποδείξετε ότι: i) ii). Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και έστω Μ το μέσο της πλευράς ΑΒ. Να αποδείξετε ότι : 6

7 4. Δίνεται τετράπλευρο ΑΒΓΔ και έστω Μ,Ν τα μέσα των πλευρών ΑΒ,ΓΔ αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι : i) ii) 5. Δίνεται τετράπλευρο ΑΒΓΔ. Αν ισχύουν και να αποδείξετε ότι τα σημεία Μ και Ν ταυτίζονται. 6. Αν ισχύουν και να αποδείξετε ότι τα σημεία Α και Γ ταυτίζονται. 7. Εξωτερικά ενός τριγώνου ΑΒΓ κατασκευάζουμε τα παραλληλόγραμμα ΑΒΔΕ,ΒΓΖΗ και ΑΓΘΙ. Να αποδείξετε ότι 0 8. Έστω Α,Β,Γ,Δ σημεία μη συνευθειακά ανά τρία για τα οποία ισχύει : i)να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΑΒΓΔ είναι παραλληλόγραμμο ii)να βρείτε σημείο Μ για το οποίο ισχύει 9. Να αποδειχθεί ότι τα μέσα των πλευρών τετραπλεύρου είναι κορυφές παραλληλογράμμου. 40. Δίνεται ένα παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και ένα οποιοδήποτε σημείο Ρ του χώρου. Να αποδειχτεί ότι: PA P Δίνεται ορθογώνιο ΑΒΓΔ. Αν Μ και Ν είναι τα μέσα των πλευρών ΓΔ και ΒΓ αντιστοίχως και AB a, και 4, να βρεθούν τα διανύσματα AM και MN. 4. Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και έστω Μ το μέσον της ΑΔ. Να εκφράσετε τα διανύσματα και, ως συνάρτηση των διανυσμάτων AB a και. 4. Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και τα σημεία Ε και Ζ της διαγωνίου ΑΓ, τέτοια ώστε να είναι ΑΕ=ΖΓ= 1 ΑΓ. Να εκφράσετε τα διανύσματα και, ως 4 συνάρτηση των διανυσμάτων παραλληλόγραμμο. AB a και. Να δείξετε ότι το ΕΒΖΔ είναι 44. Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και έστω Ε, Ζ τα μέσα των πλευρών ΒΓ και ΓΔ αντιστοίχως. Να δείξετε ότι: AE AZ A. 7

8 45. Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ. Αν Ε το μέσο της πλευράς ΑΔ και Ζ σημείο της 1 ΑΓ, ώστε AZ, να αποδειχθεί ότι : 1 EZ ZB. ΜΕΤΡΟ ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΟΣ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ 46. Αν ισχύουν 5,να αποδείξετε ότι Αν ισχύουν, και 5,να αποδείξετε ότι τα διανύσματα είναι ομόρροπα 48. Δίνονται τα ομόρροπα,, για τα οποία ισχύουν 1, 4 και 8 Να βείτε : i)το ii) το iii)το 49. Δίνονται τα ομόρροπα για τα οποία ισχύουν 1, 4 και Για οποιαδήποτε διανύσματα,με και.να αποδείξετε ότι για οποιοδήποτε διάνυσμα ισχύει ότι : Δίνονται τα μη μηδενικά διανύσματα,, για τα οποία ισχύει ότι 0 και, 5 να αποδειχτεί ότι i) a ii) 5. Αν για τα μη μηδενικά διανύσματα,, ισχύει ότι 0 και, να αποδειχτεί ότι i) a ii) 5. Αν ισχύουν 4, 5 0, να αποδείξετε ότι 7 ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΙ ΤΟΠΟΙ 54. Δίνεται τετράπλευρο ΑΒΓΔ.Να βρείτε τον γεωμετρικό των σημείων Μ για τα οποία ισχύει ότι : 0 8

9 55. Δίνεται τετράπλευρο ΑΒΓΔ.Να βρείτε τον γεωμετρικό των σημείων Μ για τα οποία ισχύει ότι : Δίνεται τετράπλευρο ΑΒΓΔ,ώστε το διάνυσμα να είναι μοναδιαίο.να βρείτε τον γεωμετρικό των σημείων Μ για τα οποία ισχύει ότι : Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ.Να βρείτε τον γεωμετρικό των σημείων Μ για τα οποία ισχύει ότι : Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και σημείο Ε της πλευράς ΓΔ..Να βρείτε τον γεωμετρικό των σημείων Μ για τα οποία ισχύει ότι : 6 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ 59. Να αποδείξετε ότι για οποιαδήποτε σημεία Α,Β,Γ,Δ ισχύει ότι : Αν ισχύουν να αποδείξετε ότι 61. Αν ισχύει ότι 5 5 να αποδείξετε ότι τα σημεία Α και Β ταυτίζονται. 6. Δίνονται τα διαφορετικά ανά δύο σημεία Β,Γ,Δ,Ε για τα οποία ισχύει η σχέση Να αποδείξετε ότι το Γ είναι μέσο του ΑΒ. 6. Έστω Α,Β,Γ,Δ σημεία μη συνευθειακά για τα οποία ισχύει ότι 5 Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΑΒΓΔ είναι παραλληλόγραμμο. 64. Έστω παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και Kτο κέντρο του. Αν Μ είναι το μέσο του ΚΓ, να αποδείξετε ότι Αν ισχύει, να αποδείξετε ότι. 66. Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και το σημείο Μ για το οποίο ισχύει. Να αποδείξετε ότι. 67. Έστω Α, Β δύο διαφορετικά σημεία. Να βρεθεί η τιμή του x για την οποία ισχύουν x. 68. Θεωρούμε τα διαφορετικά σημεία Α και Β, καθώς και σημείο Γ,για το οποίο ισχύει.να βρείτε την τιμή του λr. 9

10 69. Δίνεται τετράπλευρο ΑΒΓΔ.Να δείξετε ότι διάνυσμα u 6 είναι σταθερό (ανεξάρτητο του Μ). 70. Δίνονται τα σημεία Α,Β,Γ και Δ.Να αποδείξετε ότι για οποιοδήποτε σημείο Μ το διάνυσμα u 5 4 είναι σταθερό (ανεξάρτητο του Μ). 71. Δίνονται τα σημεία Α,Β και Γ.Να βρείτε τις τιμές του λ R για τις οποίες το διάνυσμα u 5 είναι σταθερό (ανεξάρτητο του Μ). 7. Έστω παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ. Να βρείτε σημείο Ρ τέτοιο, ώστε. 7. Έστω παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ. Να βρείτε σημείο Ρ της πλευράς ΒΓ τέτοιο, ώστε ΡΓ=ΡΒ.Να αποδείξετε ότι :. 74. Να βρεθεί σημείο Ρ για το οποίο ισχύει 0, όπου : i) ΑΒΓΔ παραλληλόγραμμο, ii) ΑΒΓΔ τυχαίο κυρτό τετράπλευρο. 75. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημείο Μ της πλευράς ΒΓ τέτοιο ώστε,μβ=μγ.να αποδείξετε ότι 76. Θεωρούμε σημεία Α,Β,Γ για τα οποία ισχύει 5. i)να αποδείξετε ότι 8 5 ii)αν,, είναι οι διανυσματικές ακτίνες των σημείων Α,Β,Γ αντίστοιχα ως προς σημείο Ο, να εκφράσετε το συναρτήσει των και. 77. Έστω Α,Β,Γ,Δ σημεία μη συνευθειακά ανά τρία για τα οποία ισχύει ότι 6 i)να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΑΒΓΔ είναι παραλληλόγραμμο. ii)nα βρείτε σημείο Μ, ώστε να ισχύει ότι : 78. Για τα διακεκριμένα σημεία Α, Β, Γ δίνεται 1. Να βρείτε, συναρτήσει του λ, την αριθμητική τιμή του x για την οποία: i) x ii) AB x iii) x iv) x v) xab 79. Έστω τα σημεία Α, Β, Γ και Δ με Β Γ. Αν ισχύει,κr, να βρεθεί ο πραγματικός αριθμός x για τον οποίο ισχύει x. 10

11 ΠΑΡΑΛΛΗΛΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 80. Να αποδείξετε ότι τα διανύσματα συγγραμμικά. 9 4a είναι 81. Αν ισχύει, να αποδείξετε ότι τα διανύσματα είναι αντίρροπα 8. Αν ισχύει ότι:, να αποδείξετε ότι. 8. Δίνεται τετράπλευρο ΑΒΓΔ.Να αποδείξετε ότι: i)το διάνυσμα v 4 είναι ομόρροπο με το ii) το διάνυσμα w είναι αντίρροπο με το 84. Δίνονται τα διανύσματα u 4 και v. Να αποδείξετε ότι : i)το διάνυσμα u v είναι ομόρροπο με το ii) το διάνυσμα u v είναι αντίρροπο με το 85. Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και σημείο Ρ της πλευράς ΒΓ τέτοιο,ώστε ΡΓ=ΡΒ. i)να γράψετε το διάνυσμα συναρτήσει των και ii)να αποδείξετε ότι το διάνυσμα u 86. Δίνεται τετράπλευρο ΑΒΓΔ και σημείο Ρ της πλευράς ΒΓ τέτοιο,ώστε. Αν επιπλέον ισχύει ότι να αποδείξετε ότι : i) ii)το τετράπλευρο ΑΒΓΔ είναι τραπέζιο με βάσεις τις ΑΒ και ΓΔ 87. Σ ένα τετράπλευρο ΑΒΓΔ έχουμε, 4 5.Να αποδείξετε ότι το ΑΒΓΔ είναι τραπέζιο. 88. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και τα σημεία Δ, Ε του επιπέδου του τέτοια ώστε : 5AB 8 και AE AB 10. Να αποδειχθεί ότι : //. 89. Αν ισχύει ότι 5 και 5, να αποδείξετε ότι // 90. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και τα σημεία Κ,Λ του επιπέδου του τέτοια ώστε : 4 και 4. i)nα εκφράσετε τα διανύσματα και συναρτήσει των και ii)να αποδείξετε ότι : //. 11

12 91. Στο διπλανό σχήμα είναι, και. Να αποδείξετε ότι: i)το τετράπλευρο ΑΒΓΔ είναι τραπέζιο ii)το διάνυσμα u είναι ομόρροπο με το. Δ A B Γ 9. Αν, είναι δύο γνωστά μη συγγραμμικά διανύσματα, να βρεθεί το διάνυσμα x για το οποίο ισχύει ( x) / /( ) ( x ) / / 9. Αν τα διανύσματα δεν είναι συγγραμμικά, να αποδείξετε ότι: i) 4 0 ii) και τα διανύσματα 4 δεν είναι συγγραμμικά. 94. Έστω, δύο μη συγγραμμικά διανύσματα. Να βρείτε τις τιμές του x R για τις οποίες τα διανύσματα ΣΥΝΕΥΘΕΙΑΚΑ ΣΗΜΕΙΑ x 1 4 x είναι συγγραμμικά 95. Αν ισχύει ,να αποδείξετε ότι τα σημεία Α, Β και Γ είναι συνευθειακά 96. Δίνονται σημεία Α,Β,Γ,Δ,Ε για τα οποία ισχύει ότι : Να αποδείξετε ότι τα σημεία Α, Β,Γ,Δ,Ε είναι συνευθειακά. 97. Θεωρούμε σημεία Ο,Α,Β,Γ για τα οποία ισχύει ότι : 4, και. Να αποδείξετε ότι τα σημεία Α, Β και Γ είναι συνευθειακά. 98. Δίνονται τα διανύσματα, 5 4 και Να αποδείξετε ότι τα σημεία Α, Β και Γ είναι συνευθειακά. 99. Αν ισχύει (κ + ) + = (κ + 5), να αποδείξετε ότι τα σημεία Α, Β και Γ είναι συνευθειακά Δίνονται τα διανύσματα OA a, OB 5a 4 και O 1a Να δείξετε ότι τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά. 1

13 101. Να αποδείξετε ότι αν: 4ΚΑ 5ΚB 9 Α, Β, Γ είναι συνευθειακά., όπου α R τότε τα σημεία, 10. Αν ισχύει συνευθειακά. 1, να αποδείξετε ότι τα σημεία Β, Γ και Δ είναι 10. Αν ισχύει = (1 -λ) + λ, λr, να αποδείξετε ότι τα σημεία Α, Β και Γ είναι συνευθειακά Αν ισχύει, να αποδείξετε ότι τα σημεία Κ, Λ και Μ είναι συνευθειακά Έστω παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με. Θεωρούμε το σημείο Ε για το οποίο ισχύει. Να αποδείξετε ότι τα σημεία Γ, Δ και Ε είναι συνευθειακά Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημείο Δ τέτοιο ώστε: AΔ (1 )ΑΒ,με λ R Να αποδείξετε ότι τα σημεία Β,Γ,Δ είναι συνευθειακά Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημείο Μ της πλευράς ΒΓ τέτοιο ώστε:. i)να εκφράσετε το διάνυσμα ως συνάρτηση των και ii)έστω επίσης σημείο Δ για το οποίο ισχύει Να αποδείξετε ότι τα σημεία Α,Δ,Μ είναι συνευθειακά Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και τα σημεία Δ, Ε και Ζ τέτοια ώστε: ΑΒ, 5 και. i) Αν ΑΒ α και AΓ β να εκφράσετε τα ΔΕ και ΔΖ συναρτήσει των α και β. ii) Να αποδείξετε ότι τα σημεία Δ, Ε, Ζ είναι συνευθειακά Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και τα σημεία Δ, Ε και Ζ τέτοια ώστε: και AΖ ΑΓ. 5 i) Αν ΑΒ α και AΓ β να εκφράσετε τα ΔΕ AΔ ΑΒ, ΓΕ ΒΓ και ΔΖ συναρτήσει των α και β.

14 ii) Να αποδείξετε ότι τα σημεία Δ, Ε, Ζ είναι συνευθειακά Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ,η διάμεσος του ΑΜ και σημείο Κ της ΑΜ τέτοιο ώστε:. i)να γράψετε το διάνυσμα σαν γραμμικό συνδυασμό των και ii)έστω επίσης σημείο Λ τέτοιο ώστε 5. Να αποδείξετε ότι τα σημεία Β,Κ,Λ είναι συνευθειακά Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και έστω Ε τομέσο τη ςπλευράς ΑΓ.Θεωρούμε επίσης σημεία Δ και Ζ τέτοια ώστε και 1 i)να αποδείξετε ότι ii)να γράψετε το διάνυσμα σαν γραμμικό συνδυασμό των και iii)να αποδείξετε ότι τα σημεία Δ,E,Z είναι συνευθειακά. 11. Έστω,, τα διανύσματα θέσης των σημείων Α,Β,Γ αντίστοιχα ως προς ένα σημείο Ο.Θεωρούμε επίσης τα σημεία Κ,Λ,Μ για τα οποία ισχύουν, 5 και 8. i) Να γράψετε τα διανύσματα, και σαν συνάρτηση των,, ii) Να αποδείξετε ότι τα σημεία Κ,Λ,Μ είναι συνευθειακά 11. Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και τα σημεία M και N τέτοια, ώστε και 4. Να αποδείξετε ότι τα σημεία M,N,Δ είναι συνευθειακά Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και τα σημεία Ε και Ζ τέτοια, ώστε AE. Να αποδείξετε ότι τα σημεία Δ,Ε,Ζ είναι συνευθειακά. ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗ ΑΚΤΙΝΑ ΜΕΣΟΥ 115. Έστω τρίγωνο ΑΒΓ με διαμέσους ΑΜ,ΒΝ και ΓΚ.Αν, και,να υπολογίσετε τα αθροίσματα : i) ii) BA και 116. Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και έστω Κ το μέσο του ΑΒ και Λ το μέσο του ΔΚ. Να εκφράσετε τα διανύσματα συναρτήσει των Σε τρίγωνο ΑΒΓ έστω Δ, Ε και Ζ τα μέσα των πλευρών ΒΓ, ΑΓ και ΑΒ αντίστοιχα. Έστω επίσης και και Μ το μέσο του ΕΖ. 14

15 i) Να εκφράσετε τα διανύσματα ως συνάρτηση των ii) Τι συμπεραίνετε για τα σημεία Α, Μ και Δ; 118. Σε τρίγωνο ΑΒΓ έστω Δ και Ε τα μέσα των ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι: 1 i), ii) το τμήμα που ενώνει τα μέσα δύο πλευρών του τριγώνου είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και ισούται με το μισό της Αν Ο είναι το σημείο τομής των διαγωνίων ενός παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ, να αποδείξετε ότι για κάθε σημείο Μ του επιπέδου ισχύει η ισότητα Αν ΑΒ είναι ένα ευθύγραμμο τμήμα και Ο ένα σημείο, να βρείτε, συναρτήσει των διανυσματικών ακτινών των Α και Β, τη διανυσματική ακτίνα του μέσου Μ του ΑΒ, καθώς και τη διανυσματική ακτίνα του μέσου Ν του MB. 11. Έστω Α, Β, Γ και Δ σημεία ενός επιπέδου και Μ, Ν τα μέσα των ΑΓ και ΒΔ αντίστοιχα.να αποδείξετε ότι : i) ii) 1. Έστω Α, Β, Γ και Δ σημεία ενός επιπέδου και Μ, Ν τα μέσα των ΑΓ και ΒΔ αντίστοιχα, i) Να γράψετε με τη μορφή ενός διανύσματος τα αθροίσματα και και να αποδείξετε ότι ii) Να βρείτε ποια συνθήκη πρέπει να ικανοποιούν τα ΑΒ και ΓΔ, ώστε: α) β) 0 1. Έστω Α, Β, Γ, Δ σημεία ενός επιπέδου και Μ, Ν τα μέσα των ΑΒ και ΓΔ αντίστοιχα. i) Να εκφράσετε το ως συνάρτηση των ii) Αν Ρ το σημείο για το οποίο ισχύει η σχέση, να αποδείξετε ότι iii) Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΒΓΡΔ είναι παραλληλόγραμμο. 15

16 14. Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και έστω Κ το κέντρο του και Μ το μέσο του ΚΓ. i)να αποδείξετε ότι 4 ii) Να γράψετε το διάνυσμα σαν γραμμικό συνδυασμό των και 15. Σε τετράπλευρο ΑΒΓΔ έστω Κ και Λ τα μέσα των πλευρών ΑΒ και ΓΔ αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι i) ii) και iii) Σε τρίγωνο ΑΒΓ με διάμεσο AM, να αποδείξετε ότι. 17. Έστω ΑΔ η διάμεσος τριγώνου ΑΒΓ. Αν Ε, Ζ είναι τα μέσα των ΔΓ, ΑΒ αντίστοιχα 1 και Θ το σημείο τομής των ΖΕ, ΑΔ, να αποδείξετε ότι και Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και M,N τα μέσα των ΑΒ,ΓΔ αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι : i)το διάνυσμα v είναι παράλληλο στο 19. Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και έστω M το μέσο της ΓΔ. i)να εκφράσετε το διάνυσμα συναρτήσει των και ii) Να αποδείξετε ότι το διάνυσμα u 4 είναι ομόρροπο του 10. Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και Ε το μέσο του ΑΒ. Αν Ζ είναι το σημείο τομής 1 των ΔΕ και ΑΓ, να δείξετε ότι:. 11. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ,το μέσο Μ της πλευράς ΒΓ και Κ το μέσο του ΜΓ. i)nα γράψετε το διάνυσμα συναρτήσει των και ii)για οποιοδήποτε σημείο Ν να αποδείξετε ότι τα διανύσματα v NB 5N 8NA και u είναι παράλληλα. 1. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ,το μέσο Μ της πλευράς ΒΓ και Ν το μέσο του ΑΜ. i)nα γράψετε το διάνυσμα συναρτήσει των και ii)για οποιοδήποτε σημείο Ν να αποδείξετε ότι τα διανύσματα v είναι παράλληλο στο. 1. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημεία Δ,Ε της πλευράς ΒΓ,με ΒΔ=ΔΕ=ΕΓ.Θεωρούμε τα διανύσματα AB, A, x και E y α)nα εκφράσετε τα διανύσματα x και y συναρτήσει των και β)nα αποδείξετε ότι : i) το διάνυσμα x + y είναι ομόρροπο του,όπου Μ το μέσο της ΒΓ 16

17 ii) το διάνυσμα x - y είναι αντίρροπο του. 14. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημεία Κ,Λ της πλευράς ΒΓ αντίστοιχα τέτοια : και.έστω επίσης Μ το μέσο του ΚΛ. i) Nα γράψετε το διάνυσμα συναρτήσει των και ii)αν για το σημείο Δ ισχύει ότι : 4 5,να αποδείξετε ότι τα σημεία Α,Μ,Δ είναι συνευθειακά 15. Έστω Δ, Ε τα μέσα των πλευρών ΑΓ και ΑΒ αντίστοιχα, τριγώνου ΑΒΓ. Θεωρούμε τα σημεία Ζ, Η τέτοια, ώστε. Να αποδείξετε ότι το Α είναι μέσο του ΖΗ. ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΗΣ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ 16. Δίνεται τραπέζιο ΑΒΓΔ,με ΑΒ//ΓΔ και Μ,Ν τα μέσα των ΑΔ,ΒΓ αντίστοιχα.να αποδείξετε ότι : i) ii) το ΜΝ είναι παράλληλο στις βάσεις του τραπεζίου 17. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και τα μέσα Μ και Ν των πλευρών ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα.θεωρούμε σημείο Λ, ώστε.επίσης και i) Να εκφράσετε τα διανύσματα MN,M και συναρτήσει των και ii)τι είδους τετράπλευρο είναι το ΑΜΓΛ; 18. Αν οι διαγώνιες ενός τετραπλεύρου διχοτομούνται,να αποδείξετε ότι το ΑΒΓΔ είναι παραλληλόγραμμο 19. Σε παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ θεωρούμε σημεία Ε και Ζ της διαγωνίου ΑΓ τέτοια 1,ώστε. 4 i)αν και,να εκφράσετε το διάνυσμα συναρτήσει των και ii)να αποδείξετε ότι το ΕΒΖΔ είναι παραλληλόγραμμο 140. Στον κύκλο κέντρου Ο του διπλανού σχήματος οι χορδές ΑΒ και ΓΔ είναι κάθετες και έστω Κ και Λ τα μέσα τους αντίστοιχα. i)να αποδείξετε ότι ii)αν Ε και Ζ τα μέσα των χορδών ΒΓ και ΑΔ αντίστοιχα,να αποδείξετε ότι το ΟΕΜΖ είναι A παραλληλόγραμμο. Ζ O K Γ Λ Μ Ε B Δ 17

18 ΒΑΡΥΚΕΝΤΡΟ ΤΡΙΓΩΝΟΥ 141. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ,η διάμεσος του ΑΜ και έστω G το κέντρο βάρους του.να γράψετε το διάνυσμα GM συναρτήσει των και 14. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και τα σημεία Α,Β Γ των πλευρών ΒΓ,ΑΓ,ΑΒ αντίστοιχα τέτοια ώστε, και.να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα ΑΒΓ και Α Β Γ έχουν το ίδιο κέντρο βάρους. 14. Θεωρούμε τα τρίγωνα ΑΒΓ και Α Β Γ για τα οποία ισχύει η σχέση 0.Να αποδείξετε ότι τα κέντρα βάρους των δύο τριγώνων συμπίπτουν 144. Δίνεται τετράπλευρο ΑΒΓΔ και έστω G το κέντρο βάρους του τριγώνου ΑΒΓ.Να αποδείξετε ότι για οποιοδήποτε σημείο Μ,το διάνυσμα u είναι ομόρροπο με το G ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 145. Αν τα σημεία Α και Β είναι διαφορετικά,να βρείτε τον xr για τον οποίο ισχύει, x x 146. Δίνονται σημεία Α,Β,Γ,Δ, με Β Γ,για τα οποία ισχύει i)να αποδείξετε ότι : ii) Να λύσετε την εξίσωση : x x (x ) 147. Έστω και δύο γνωστά διανύσματα.θεωρούμε επίσης διάνυσμα x για το οποίο ισχύει : 1 ( x ) 1 ( x ) 4 α) Να βρείτε το διάνυσμα x β) Αν επιπλέον ισχύει ότι : 4, 4 και 8 να αποδείξετε ότι : i) x ii) x 148. Θεωρούμε γνωστό διάνυσμα 0.Να λύσετε την εξίσωση x x x Να βρείτε το διάνυσμα x, αν είναι γνωστό ότι 1 ( x a) 1 ( x 6 ) Να λυθεί το σύστημα x y 7a x y 151. Να βρείτε για ποιες τιμές του λ R ισχύει ( ) 5, ó a 0. 18

19 ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΣ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ 15. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημείο Ρ τέτοιο, ώστε. i) Να γράψετε το διάνυσμα σαν γραμμικό συνδυασμό των και ii) Να βρείτε τα κ,λ R για τα οποία ισχύει : Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και έστω Μ το μέσο του ΒΓ. Να βρείτε τα κ,λ R για τα οποία ισχύει : Δίνονται τα διανύσματα v ( 1) και u ( ) ( 5),όπου και μη συγγραμμικά διανύσματα.να βρείτε για ποια τιμή του λ R τα διανύσματα v και u είναι παράλληλα Θεωρούμε τα μη συνευθειακά σημεία Ο,Α,Β και τα διανύσματα v OA OB και u OA OB. Να αποδείξετε ότι για κάθε λ R τα διανύσματα v και u δεν είναι συγγραμμικά Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ,το μέσο Δ της πλευράς ΑΒ και σημείο Ζ της πλευράς ΑΓ τέτοιο,ώστε AZ A.Έστω ότι η ευθεία ΔΖ τέμνει την πλευρά ΒΓ στο Ε.Να 5 βρείτε λ R,για τον οποίο είναι 157. Δίνεται τρίγωνο ΟΑΒ και έστω και.θεωρούμε τα σημεία Γ και Δ τέτοια ώστε : 6 και 4.Αν Ε είναι το σημείο τομής των ευθειών ΑΒ και ΓΔ,να γράψετε το διάνυσμα σαν γραμμικό συνδυασμό των και Στο διπλανό σχήμα είναι και Ε το μέσο της ΟΒ. Έστω ότι ισχύουν οι σχέσεις : και O α)να εκφράσετε τα, και σαν συνάρτηση των και β)αν και,να βρείτε ; i)τους αριθμούς λ και μ ii) τον λόγο A Δ M Α Ε B 19

20 159. Στο διπλανό σχήμα τα σημεία Α και Β έχουν διανύσματα θέσης,ως προς Ο,τα 6 και 6 αντίστοιχα,το Μ είναι μέσο του ΟΑ, ισχύει και Ε είναι το μέσο της ΟΔ. i)να εκφράσετε το σαν συνάρτηση των και ii)να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΜΑΒΕ είναι τραπέζιο iii)αν η ΑΕ τέμνει την ΟΒ στο Γ και είναι :,να υπολογίσετε το κ Ο Μ Ε Γ Δ Β 160. Στο παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ του σχήματος, να γράψετε τα διανύσματα,,,,, συναρτήσει των Στο διπλανό ορθογώνιο ΑΒΓΔ το Μ είναι το μέσο της ΔΓ 1 και επίσης. Να γράψετε το ως γραμμικό συνδυασμό των p q. 16. Έστω ΑΒ ευθύγραμμο τμήμα και Γ ένα σημείο του τέτοιο, ώστε. Αν 4 και, να εκφράσετε ως συνάρτηση των, το διάνυσμα θέσης του Γ ως προς το Ο. 16. Αν 4, να γράψετε το ως γραμμικό συνδυασμό των Αν ισχύει, να βρεθεί το διάνυσμα συναρτήσει του Έστω ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ και Δ ένα σημείο της ευθείας ΑΒ τέτοιο, ώστε 8.. Να βρείτε συναρτήσει των διανυσμάτων και, τα διανύσματα: i) i) ii ) 166. Σε ευθεία ε 1 θεωρούμε τα σημεία Α, Β, Κ και σε ευθεία ε τα σημεία Γ, Δ, Λ έτσι, ώστε να είναι και,με μ 1.Να γράψετε το διάνυσμα ΚΛ ως γραμμικό συνδυασμό των ΑΓ και ΒΔ Έστω παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και ευθεία ε που διέρχεται από το Γ και τέμνει τις ευθείες ΑΔ και ΑΒ στα σημεία Κ και Λ αντίστοιχα. Αν είναι x και y, να αποδείξετε ότι x + y = 1. 0

21 168. Έστω Ε το μέσο της διαμέσου ΒΔ τριγώνου ΑΒΓ και Η το σημείο για το οποίο. Να αποδείξετε ότι 169. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και έστω Μ το μέσο της διαμέσου ΒΔ και Ν το σημείο που 1 ορίζεται από την ισότητα. Να αποδείξετε ότι τα σημεία Α,M, Ν είναι συνευθειακά Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και τα σημεία Κ και Λ για 1 1 τα οποία και 4 Να αποδείξετε ότι τα σημεία Κ, Λ, Β είναι συνευθειακά Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και τα σημεία Δ, Ε, Ζ για τα οποία 5,, 6 i) Να γράψετε καθένα από τα διανύσματα, ως γραμμικό συνδυασμό των δύο μη συγγραμμικών διανυσμάτων,. ii) Να εξετάσετε αν τα σημεία Δ, Ζ, Ε είναι συνευθειακά. 17. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και τα σημεία Δ, Ε και Ζ για τα οποία ισχύουν, 1 1 1,, i) Να γράψετε καθένα από τα διανύσματα ως γραμμικό συνδυασμό των και ii) Να εξετάσετε αν τα σημεία Δ, Ε και Ζ είναι συνευθειακά. 17. Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ και προεκτείνουμε τις διάμεσους ΒΔ και ΓΕ κατά τμήματα ΔΚ = ΒΔ και ΕΛ = ΓΕ. 1

22 Να αποδείξετε ότι το Α είναι το μέσο του ΚΑ Σε τρίγωνο ΑΒΓ έστω Δ και Ε τα μέσα των ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα. Προεκτείνουμε το ΔΕ κατά τμήμα ΕΖ = ΔΕ. Αν και, να εκφράσετε ως συνάρτηση των τα διανύσματα: i) ii) iii ) Ποιο συμπέρασμα προκύπτει για το τετράπλευρο ΑΔΓΖ; 175. Στο επόμενο σχήμα ισχύει 4,. Επίσης είναι ΟΓ = ΓΖ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΙ ΤΟΠΟΙ 176. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ για τα οποία ισχύει: i) ( 1), R ii) ( ) / / iii) ( ) / / iv) 0, R 177. Δίνονται τα σημεία Α, Β, Γ και Δ. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ για τα οποία ισχύει MA MB Δίνονται τα σημεία Α, Β και Γ. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ για τα οποία ισχύει MA MB Έστω τετράπλευρο ΑΒΓΔ. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ του επιπέδου για τα οποία, R.

23 180. Έστω τα σημεία Α, Β, Γ και Δ. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ του επιπέδου για τα οποία ισχύει MA MB 181. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ.. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ του επιπέδου για τα οποία ισχύει M MB 18. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ.. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ του επιπέδου για τα οποία ισχύει MA Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και έστω Μ το μέσο της ΒΓ.. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ του επιπέδου για τα οποία ισχύει M 184. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και η διάμεσος του ΑΔ.Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ του επιπέδου για τα οποία ισχύει MA Έστω και δύο μη μηδενικά διανύσματα. Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ του επιπέδου για τα οποία ισχύει,με λr 186. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ. Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ του επιπέδου για τα οποία ισχύει ( x 1), xr 187. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ. Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ του επιπέδου για τα οποία ισχύει ( 1), R 188. Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ. i ) Να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικό σημείο Ρ για το οποίο ισχύει 4 0 ii) Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ για τα οποία ισχύει ότι : 4, R 189. Σε τρίγωνο ΑΒΓ να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ για τα οποία υπάρχει x R, ώστε x (1 x ) 190. Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και α, β > 0 με α + β = 1. Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ για τα οποία ισχύει Δίνονται τα σημεία Α, Β και Γ. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ για 1 τα οποία ισχύει, R. 19. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημείο Κ της ευθείας ΒΓ. Να αποδείξετε ότι υπάρχει λr τέτοιο, ώστε AK (1 ).

24 19. Δίνεται τραπέζιο ΑΒΓΔ με ΑΒ//ΓΔ. Να αποδείξετε ότι για κάθε σημείο Ο υπάρχει λr, ώστε ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 194. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ, Μ το μέσο της ΒΓ και σημείο Δ τέτοιο,ώστε.αν Ν είναι το μέσο του ΑΔ, τότε : i)να γράψετε το συναρτήσει των και ii)να αποδείξετε ότι για οποιοδήποτε σημείο Ο,το διάνυσμα v είναι ομόρροπο στο 195. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημείο Δ της ΒΓ τέτοιο,ώστε. α) Να γράψετε το διάνυσμα σαν γραμμικό συνδυασμό των και β) Έστω επίσης σημείο Ε για το οποί ισχύει : ( 1) 6,λ -1 i)να γράψετε το διάνυσμα σαν γραμμικό συνδυασμό των και ii)να βρείτε για ποια τιμή του λ τα σημεία Α,Δ,Ε είναι συνευθειακά Έστω και δύο γνωστά μη συγγραμμικά διανύσματα x και y για τα οποία ισχύουν : x y 4 x y α)να εκφράσετε καθένα από τα x και y σαν γραμμικό συνδυασμό των και β) Να αποδείξετε ότι: i)το διάνυσμα u x y είναι ομόρροπο ii) το διάνυσμα v y x είναι αντίρροπο του γ)να βρείτε τα λ,μ R για τα οποία ισχύει : x y ( ) ( 6) 197. Θεωρούμε δύο σημεία Α, Β και έστω, οι διανυσματικές τους ακτίνες ως προς ένα σημείο Ο. Έστω επίσης Μ το μέσο του ΟΑ,σημείο Κ του τμήματος ΟΒ,με ΚΟ=ΚΒ,και σημείο Λ του τμήματος ΑΚ με ΛΑ=4ΛΚ i)να γράψετε συναρτήσει των και τις διανυσματικές ακτίνες (ως προς Ο) των σημείων Μ,Κ,Λ ii)να αποδείξετε ότι τα σημεία Β,Λ,Μ είναι συνευθειακά iii)να βρείτε τους λόγους : και 198. Θεωρούμε ορθογώνιο ΑΒΓΔ. α)να βρείτε τον πραγματικό αριθμό λ για τον οποίο ισχύει : 0 β)σε κάθε σημείο Μ του επιπέδου αντιστοιχούμε τα διανύσματα : v και u i)να βρείτε το πέρας του v ii)να αποδείξετε ότι το u είναι σταθερό 4

25 γ) Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ για τα οποία τα διανύσματα u και v : i)είναι συγγραμμικά ii) έχουν ίσα μέτρα ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΗΜΕΙΩΝ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ 199. Δίνεται το σημείο Α(λ -9, λ -λ) με λr.να βρείτε για ποιες τιμές του λr το σημείο Α ανήκει : i)στον άξονα χ χ ii) στον άξονα y y 00. Δίνεται το σημείο Α(λ+, λ) με λ<0 το οποίο απέχει από τον άξονα y y απόσταση α)να βρείτε την τιμή του λ β)να βρείτε το συμμετρικό του Α ως προς τον : i)τον άξονα χ χ ii) τον άξονα y y iii) την αρχή των αξόνων Π(0.0) iv)τη διχοτόμο 1 ου - ου τεταρτημορίου 01. Δίνεται το σημείο Α(λ+5, λ-1) με λr το οποίο απέχει από τον άξονα y y απόσταση και από τον άξονα χ χ απόσταση 7.Να βρείτε τον αριθμό λ. 0. Ποια είναι η θέση στο καρτεσιανό επίπεδο των σημείων Μ(x,y) για τα οποία ισχύε: i)y= ii)x=-4 iii) x = iv)- y 1 v) x <1 vi) y= και -1<x< ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΣ - ΙΣΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 0. Αν Β(, 5), να βρείτε το σημείο εφαρμογής του διανύσματος AB = (-1, ). 04. Αν το διάνυσμα AB = (, 8) έχει σημείo εφαρμογής το Α(5, 4), να βρείτε το πέρας του. 05. Να βρείτε τις συντεταγμένες : Α)του διανύσματος OA,όταν Α(-5,4),(Ο η αρχή των αξόνων) Β)του σημείου Β.όταν OB (,),(Ο η αρχή των αξόνων) Γ)των διανυσμάτων i) i j ii) 5i iii) j 06. Αν a ( 1, ), (, 1) και (, ), να βρείτε το διάνυσμα u a ( ) και να γράψετε το ως γραμμικό συνδυασμό των και. 07. Να βρείτε για ποιες τιμές των λ, μ το διάνυσμα u = (λ + μ, λ - μ + 8) είναι μηδενικό. 08. Να βρείτε για ποιες τιμές των λ, μ το διάνυσμα = (λ + μ, λ- 1) είναι ίσο με 0. 5

26 ii) Ομοίως για το διάνυσμα x ( i j) (( xi j) 09. Δίνεται το διάνυσμα a ( x 5 x) i ( x 5) j. Να βρείτε για ποιες τιμές του χ ισχύει: i) //x'x ii) // y'y iii) // x'x και 0 iv) // y'y και Δίνονται τα διανύσματα (, 4), (, 6) και (7, 1).Να βρείτε Για ποιες τιμές των λ,μ R ισχύει 11. Δίνονται τα διανύσματα ( 1, ) και (, 1).Να βρείτε τα κ,λ ώστε i)το να είναι το μηδενικό διάνυσμα ii)τα, να είναι ίσα iii) τα, να είναι αντίθετα 1. Δίνεται το διάνυσμα ( 1, ),λr.για ποιες τιμές του λ είναι : i. 0 ii. 0 και // 1. Δίνεται το διάνυσμα (, 9) και ( 5, 1) λr.για ποιες τιμές του λ είναι : i. ii. 0 iii. 0 και // iv. 0 και //y y 14. Αν Α (-, 1), Β (, -) και AM BM 0, να υπολογιστούν οι συντεταγμένες του Μ. 15. Δίνονται τα διανύσματα (4,6), (,1) και ( 1,15).Να γράψετε το σαν γραμμικό συνδυασμό των και. 16. Θεωρούμε τα διανύσματα ( x 1, x y), (x y, y) με x,y R.Αν είναι //χ χ και //y y,τότε : i)nα βρείτε τους αριθμούς x και y ii) Να γράψετε το διάνυσμα v σαν γραμμικό συνδυασμό των (, 1) και (, 5) 17. Θεωρούμε τα διανύσματα ( x, x 4 y), (1 y, y x) και (y,x y),με x,y R.Αν τα διανύσματα και είναι ίσα,τότε : i)nα βρείτε τους αριθμούς x και y ii) Να γράψετε το (1, 1) σαν γραμμικό συνδυασμό των και 18. Θεωρούμε τα διανύσματα ( x, x 4 y), (1 y, y x) και (y,x y),με x,y R.Αν τα διανύσματα και είναι ίσα,τότε : i)nα βρείτε τους αριθμούς x και y 6

27 ii) Να γράψετε το διάνυσμα v σαν γραμμικό συνδυασμό των (, 1) και (, 5) 19. Θεωρούμε τα διανύσματα xi yj, ( y ) i ( x 6) j με x,y R,για τα οποία ισχύει ( 7, 6). i)nα βρείτε τους αριθμούς x και y ii) Να γράψετε το διάνυσμα 10i 4 j σαν γραμμικό συνδυασμό των και 0. Δίνονται τα διανύσματα. (1, ) και (,). i.να βρείτε τις συντεταγμένες των διανυσμάτων και ii.να γράψετε το διάνυσμα σαν γραμμικό συνδυασμό των και 1. i) Να βρείτε για ποιες τιμές του x το διάνυσμα α = (x - 4)i + (x + x)j είναι ίσο με 0.. Έστω ( 1, ), j και τα διανύσματα v και u για τα οποία ισχύει: vu v u. i.να βρείτε τα v και u ii.να αναλύσετε το διάνυσμα (,11) σε δύο συνιστώσες κατά τις διευθύνσεις των v και u. i.αν Α(1,-) και Β(-,1),να βρείτε το διάνυσμα v OA OB,(Ο η αρχή των αξόνων) ii.αν τα διανύσματα θέσης των σημείων Α,Β ως προς Ο είναι τα (1, ) και (,0) αντίστοιχα,να βρείτε το διάνυσμα u OA OB,(Ο η αρχή των αξόνων) 4. Έστω το σημείο Α(-1,).Να βρείτε : i.το διάνυσμα AB,όταν Β(-,0) ii.το σημείο Γ,όταν (, 5) iii. το σημείο Δ,όταν 0 και Ε(,-1) 5. Αν AB =(,-) και A ( 1, ),να βρείτε τις συντεταγμένες του B. 6. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Α(,1),Β(-,0)Γ(-4,4) και το σημείο Δ της πλευράς ΑΓ,τέτοιο ώστε ΔΑ=ΔΓ.Να αναλύσετε το διάνυσμα σε δύο συνιστώσες κατά τις διευθύνσεις των και 7. Αν = (-, ) και = (4,1), να βρείτε:, διάνυσμα u για το οποίο -u =. 8. Να γράψετε το διάνυσμα u = (6,5) ως γραμμικό συνδυασμό των διανυσμάτων = (1,), =(,-). 9. Να γράψετε το διάνυσμα u 10i 4 j ως γραμμικό συνδυασμό των διανυσμάτων 7

28 a i j και i j. 0. Δίνονται τα διανύσματα a =(4λ +λ-, 5λ -λ+1) και =(λ -λ-1, λ -λ+). Να βρείτε το λ ώστε: a =. Υπάρχει τιμή του λ ώστε: a =- ; 1. Δίνονται τα διανύσματα a =(λ+1, -), =(1, ), =(λ, μ), λ, μr. Να βρεθούν τα λ και μ ώστε a 0. ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ ΜΕ ΓΝΩΣΤΑ ΑΚΡΑ. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ,με Α(4,-),Β(-,8) και Γ(-5,-6).Να βρείτε τις συντεταγμένες των διανυσμάτων AB,B.. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ,με Α(-,5),Β(,7) και (7, 6).Να βρείτε τις συντεταγμένες i) του σημείου Γ ii)των διανυσμάτων AB,B. 4. Δίνεται το σημείο A(5,-).Να βρείτε τις συντεταγμένες των σημείων Β και Γ για τα οποία ισχύει (,9) και (,) 5. Δίνονται τα σημεία Α(-5,-1) και Β(4,5).Να βρείτε σημείο Γ του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ τέτοιο ώστε ΓΒ=ΓΑ. 6. Δίνονται τα σημεία Α(λ,μ+) και Β(μ,λ-6) για τα οποία ισχύει ότι (4, 14)..Να βρείτε : i) τις τιμές των λ και μ ii)τις συντεταγμένες του σημείου Μ για το οποίο ισχύει :. 7. Δίνονται τα σημεία Α(x,y),Β(x+y,x+1) και Γ(y-,x-4) με x,yr για τα οποία ισχύει ( 1,10). ii) Να βρείτε τις τιμές των x και y iii) Να γράψετε το διάνυσμα v ( 4,14) σαν γραμμικό συνδυασμό των. ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΜΕΣΟΥ 8. Δίνονται τα σημεία Α(,5) και Β(4,-9).Να βρείτε τις συντεταγμένες του μέσου Μ του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ. 9. Το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ με Α(-1,4) έχει μέσο το σημείο Μ(-4,).Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου Β 40. Δίνονται τα σημεία Α(λ,κ-4),Β(-λ-κ,λ-κ) και Μ(κ,λ-1),με κ,λr..να βρείτε τις τιμές των κ,λ,ώστε το Μ να είναι μέσο του ΑΒ. 8

29 41. Δίνονται τα σημεία Α (-, 4), Β (5, -4),Γ (-9,1) και Δ(1,-8).Αν Μ και Ν είναι τα μέσα είναι αντιστοίχως τα μέσα των ΑΒ και ΓΔ αντίστοιχα,να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος. 4. Αν τα σημεία Δ (-1, 4), Ε (5, 4), Ζ (, -1) είναι αντιστοίχως τα μέσα των πλευρών ΒΓ, ΓΑ και ΑΒ τριγώνου ΑΒΓ, να βρεθούν οι συντεταγμένες των κορυφών του. 4. Δίνονται τα σημεία Α (, -4) και Β (, 1). Να βρεθεί: i) το συμμετρικό του Α ως προς κέντρο συμμετρίας το Β. iiι) το συμμετρικό του Β ως προς κέντρο συμμετρίας το Α. 44. Δίνονται τα σημεία Α(5,-1 και Β(-,).Να βρείτε : i.το μέσο του τμήματος ΑΒ ii.το σημείο Γ,ώστε το Β ν α είναι μέσον του τμήματος ΑΓ. 45. Να βρείτε το αντιδιαμετρικό σημείο Β του Α(-,) ενός κύκλου με κέντρο Κ(5,-4). 46. Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ,με Α(-1,),Β(6,4) και Γ(5,-1).Να βρείτε τις συντεταγμένες : i)του κέντρου Κ του παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ ii)της κορυφής Δ 47. Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ,με Α(1,5)και Β(7,).Επίσης για το σημείο τομής Μ των διαγωνίων ΑΓ και ΒΔ ισχύει ότι : (1, 4) Να βρείτε τις συντεταγμένες : i)του σημείου Μ ii)των κορυφών Γ και Δ 48. Αν το κέντρο του παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ μεα(1,) και Β(-1,0) είναι το Κ(0,),να βρείτε τα Γ,Δ 49. Δίνεται τετράπλευρο ΑΒΓΔ,με Α(1,5) και Δ(,9).Έστω επίσης Κ,Λ,Μ,Ν τα μέσα των ΑΒ,ΒΓ,ΓΔ,ΔΑ αντίστοιχα. Αν είναι Κ(-1,6) και ( 6, 4),να βρείτε τις συντεταγμένες : i)των Ν και Λ ii)των B και Γ iv)του διανύσματος 50. Δίνονται τα σημεία Α (λ,μ), Β (λ+μ,λ-μ),γ (μ,μ+7) και Δ(μ,λ+4).Αν Μ και Ν είναι τα μέσα είναι αντιστοίχως τα μέσα των ΑΒ και ΓΔ αντίστοιχα,να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος. 51. Δίνονται τα σημεία Α (-, 4), Β (5, -4),Γ (-9,1) και Δ(1,-8).Για τα μέσα Μ και Ν των ΑΒ και ΓΔ αντίστοιχα ισχύει ότι ( 5,). i)nα βρείτε τις τιμές των λ και μ ii)αν Κ και Λ είναι τα μέσα των ΑΔ και ΒΓ αντίστοιχα,να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος 9

30 5. Το σημείο Μ είναι το μέσο του τμήματος ΑΒ. i) Αν Α(,4) και Β(1, - 6), να βρείτε το Μ. ii) Αν Μ(, 1) και Β(- 1, ), να βρείτε το Α. 5. Το σημείο Α(4,) ανήκει σε κύκλο κέντρου Κ(, 5). Να βρεθεί το αντιδιαμετρικό σημείο Α. 54. Δίνονται τα σημεία Α (-, -), Β (, 0), Γ (-1, ). Να βρείτε τα μήκη των πλευρών και τα μήκη των διαμέσων του τριγώνου ΑΒΓ. 55. Σε ένα σύστημα συντεταγμένων οι τεταγμένες δύο σημείων Α και Β είναι οι ρίζες της εξίσωσης x ( ) x 0. Να βρείτε την τιμή του λ R,ώστε το μέσον του τμήματος ΑΒ να έχει τεταγμένη ίση με. 56. Οι τεταγμένες των σημείων Α, Β είναι οι ρίζες της εξίσωσης y - (λ + λ+ 10)y - 4 = 0. Να βρεθεί η τιμή του λ για την οποία το μέσο Μ του τμήματος ΑΒ να έχει τεταγμένη ίση με Τα μέσα των πλευρών ΑΒ, ΒΓ και ΓΑ τριγώνου ΑΒΓ είναι τα σημεία Κ(,), Λ(4,-4) και Μ(-1,-) αντίστοιχα. Να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών Α, Β, Γ του τριγώνου. 58. Τα μέσα των πλευρών ΑΒ, ΒΓ και ΓΑ τριγώνου ΑΒΓ είναι τα σημεία Κ(- 1, ), Λ(5, ) και Μ(4,0) αντίστοιχα. Να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών Α, Β, Γ του τριγώνου. ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΚΕΝΤΡΟΥ ΒΑΡΟΥΣ ΤΡΙΓΩΝΟΥ 59. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Α(5,7),Β(4,-) και Γ(-,10). Να βρείτε το βαρύκεντρο Θ του τριγώνου ΑΒΓ 60. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Α(-,0),Β(1,-) και Γ(,1) i.αν και ΑΔ διάμεσος,να βρείτε τις συντεταγμένες του ii.να βρείτε το βαρύκεντρο Θ του τριγώνου ΑΒΓ 61. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Α(x,y),Β(y-x) και Γ(y+1,x+). Να βρείτε τις τιμές των x,y R,ώστε το τρίγωνο ΑΒΓ να έχει κέντρο βάρους το σημείο Θ(-,) 6. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Α(,-) και Β(-5,1).Η κορυφή Γ βρίσκεται στον άξονα y y και το κέντρο βάρους Θ βρίσκεται στον άξονα χ χ. Να βρείτε τις συντεταγμένες των σημείων Θ και Γ 6. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Α(,1),Β(-1,4) και Γ(8,-) καθώς και τρίγωνο ΚΛΜ,με Κ(x,-5),Λ(,y) και Μ(y-,x-6). Να βρείτε για ποιες τιμές των x και,τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΚΛΜ έχουν το ίδιο κέντρο βάρους. 0

31 ΜΕΤΡΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ-ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΣΗΜΕΙΩΝ 64. Αν (, 4) και (5, 1),να υπολογίσετε τα μέτρα : i. ii. 65. Αν ( 1, ) και (, ),να υπολογίσετε τα μέτρα : i. ii. 66. Να βρείτε το μέτρο των διανυσμάτων: i) 6i 8j ii) (συνθ) i +(ημθ) j 67. Να βρείτε το μέτρο των διανυσμάτων: i) 8i j ii) (ημθ) i -(συνθ) j iii) (x - y) i + xy j iv) 1 i 4 4 j 68. Να βρείτε τις αποστάσεις των σημείων Α και Β σε καθεμία από τις παρακάτω περιπτώσεις : i) A(-,7) και B(4,-1) ii) A(,-5) και B(,) ii) A(-4,-) και B(,-) 69. Δίνονται τα σημεία Α(λ,1) και Β(-1,λ+),με λr.να βρείτε για ποιες τιμές του λ η απόσταση των σημείων Α και Β είναι Δίνεται το σημείο Α(,-1).Να βρείτε σημείο Β του άξονα y y,που απέχει από το Α απόσταση Δίνονται τα σημεία Α(,8) και Β(9,4)..Να βρείτε σημείο Γ του άξονα χ χ το οποίο ισαπέχει από τα Α και Β. 7. Αν v (1, ),να βρείτε διάνυσμα u που να έχει μέτρο διπλάσιο του v και να είναι ομόρροπο του v. 7. Να βρείτε διάνυσμα v αντίρροπο του (1,4) με μέτρο Δίνονται τα διανύσματα (,7 ) και (1, ),λr.να βρείτε για ποια τιμή του λ ισχύει 1 και Δίνεται το διάνυσμα (4, 4 ) με θr.να αποδείξετε ότι το είναι ανεξάρτητο από την τιμή του θ. 76. Δίνεται το διάνυσμα (, 1).Να βρείτε διάνυσμα,αντίρροπο του,με

32 77. i.να βρείτε το v, όταν v 4 v 5 ii.να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος,για το οποίο ισχύει ( 4,8) 78. Αν u (1, ), v ( 1,0) και u v,να βρείτε το 79. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Α(,1),Β(,-) και Γ(7,-4) i.να βρείτε το μέτρο του διανύσματος v 4 7 ii.αν Μ είναι το μέσο της πλευράς ΒΓ,να βρείτε το μήκος της διαμέσου ΑΜ 80. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Α(1,-),Β(-,4) και Γ(0,) i.την απόσταση των σημείων Α και Β ii.το μήκος της διαμέσου ΑΜ 81. Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με Α(-1,0),Β(,-) και Γ(,0).Να βρείτε το μήκος της διαγωνίου ΒΔ. 8. Δίνονται τα σημεία Α(-1,) και Β(,1).Να βρείτε σημείο Μ του άξονα: i.χ χ που ισαπέχει από τα Α και Β ii. ψ ψ,ώστε το τρίγωνο ΜΑΒ να είναι ισοσκελές με κορυφή το Μ. 8. Δίνονται τα σημεία Α(-1,) και Β(1,-) και Γ(,).Να βρείτε σημείο Μ στον άξονα ψ ψ,ώστε η παράσταση d MA MB να παίρνει την ελάχιστη τιμή. 84. Να εξετάσετε αν το διάνυσμα a = (ημθ, συνθ) είναι μοναδιαίο. 85. Να βρεθεί το εμβαδόν τετραγώνου ΑΒΓΔ στο οποίο είναι Α(-,1) και Γ(0, 5). 86. Αν u = (-5, 8), να βρείτε το διάνυσμα v το οποίο είναι ομόρροπο προς το u και έχει διπλάσιο μέτρο από αυτό. 87. Αν u = (-7, 84), να βρείτε το διάνυσμα v που έχει μέτρο το μισό του μέτρου του u και είναι συγγραμμικό με το u. 88. Να βρεθεί το μοναδιαίο διάνυσμα στην κατεύθυνση του a = (-,4). 89. Να βρεθεί το μοναδιαίο διάνυσμα στην κατεύθυνση του a = ( - συν θ, ημθ) με 0 < θ < π. 90. Δίνονται τα διανύσματα a =(-1,) και =(,-). Να υπολογιστούν τα: a και a. 91. Αν a =(λ, λ+1), να υπολογιστούν οι τιμές του λ ώστε: a = Δίνονται τα διανύσματα a ( 5, ) και,κ,λ,μr.αν τα διανύσματα είναι ίσα,να βρείτε: i) τους αριθμούς κ,λ,μ. ii) το (4,15 6 )

33 iii) διάνυσμα,που είναι αντίρροπο του και έχει τριπλάσιο μέτρο από το 9. Να βρείτε το διάνυσμα a για το οποίο a ( 4, a ) 94. Να βρείτε το διάνυσμα a για το οποίο, 95. Να βρεθούν τα διανύσματα a, για τα οποία ισχύουν (, ) (1, ). 96. Δίνεται διάνυσμα,μη παράλληλο στον χ χ,για το οποίο ισχύει η σχέση : (4, ) (1, 1).Να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος a 97. Δίνονται τα σημεία Α (-1, ),και Β (-, 0). Να βρείτε σημείο Γ του επιπέδου Οxy τέτοιο ώστε το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισόπλευρο. 98. Δίνονται σημεία Α (-, -5) και Β (, -4). Να βρείτε σημείο Γ του άξονα x x τέτοιο ώστε το τρίγωνο ΑΒΓ να είναι ισοσκελές με βάση την πλευρά ΑΒ. 99. Να αποδειχτεί ότι το τρίγωνο ΑΒΓ με κορυφές Α (, -), Β (-, ) και Γ (0, 4), είναι ορθογώνιο και να υπολογιστούν τα μήκη των πλευρών του. 00. Σε ένα ορθοκανονικό σύστημα αναφοράς Οxy δίνονται τα σημεία Α (1, 1) και Β (4, ). Να βρείτε ένα σημείο Μ του άξονα xx τέτοιο ώστε το τρίγωνο ΑΜΒ να είναι ορθογώνιο στο Μ.,,,1 5,. Να βρείτε σημείο Ρ του επιπέδου, 01. Δίνονται τα σημεία ώστε το άθροισμα των τετραγώνων των αποστάσεων του από τα Α, Β, Γ, να είναι ελάχιστο. 0. Να βρείτε σημείο Μ (x, y) του επιπέδου τέτοιο ώστε το άθροισμα των τετραγώνων των αποστάσεών του από τα σημεία Α (1, 5), Β (5, -) και Γ (-, -) να είναι ελάχιστο. 0. Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με Β(,5),Γ(5,-1) και Δ(-1,-1).Να βρείτε : i)τις συντεταγμένες της κορυφής Α ii)το μέτρο του διανύσματος 7 iv) το μέτρο του διανύσματος w 04. Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με διαγώνιες 9,1, υπολογίσετε τα μέτρα των διανυσμάτων. 05. Δίνονται τα σημεία,5, 6, 0,. Να βρείτε σημείο Γ, ώστε το τετράπλευρο ΑΒΓΔ να είναι ισοσκελές τραπέζιο με βάσεις ΑΒ και ΓΔ. 06. Δίνονται τα σημεία x,, 16, x Γ5, x x ισχύει ότι : AB B.. Να. Να βρείτε για ποιες τιμές του

34 ΠΑΡΑΛΛΗΛΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ-ΣΥΝΕΥΘΕΙΑΚΑ ΣΗΜΕΙΑ 07. Δίνονται τα σημεία,, 1, 4 5, 10 συνευθειακά. 08. Δίνονται τα σημεία,, 1, 4, 1. Να δείξετε ότι είναι. Να δείξετε ότι είναι συνευθειακά. 09. Να δείξετε ότι τα σημεία Α(5,4),Β(,-) και Γ(0,-11) είναι συνευθειακά. 10. i) Να εξετάσετε αν τα σημεία Α(0,1), Β(,4) και Γ(1,1 + ) είναι συνευθειακά. ii) Ομοίως για τα σημεία Α(, 5), Β(1,) και Γ(5,1). 11. Δίνονται τα σημεία 1, 4 4, σημεία Α,Β,Γ είναι συνευθειακά..να βρείτε σημείο Γ του άξονα χ χ,ώστε τα 1. Να βρεθεί η τιμή του x για την οποία τα σημεία Α(0, - ), Β(X, ) και Γ(,1 ) είναι συνευθειακά. 1. Τα σημεία Α,Β και Γ έχουν διανύσματα θέσης ως προς Ο τα ( 1,9), (5, ) και (1,5) αντίστοιχα.να αποδείξετε ότι τα σημεία Α,Β,Γ είναι συνευθειακά Δίνονται τα διανύσματα (, 4) και. ( 5,6) με λr.να βρείτε για ποια τιμή του λ είναι //. 15. Δίνονται τα διανύσματα (, ) και. ( 1,4). i)να αποδείξετε ότι τα δεν είναι παράλληλα ii) Να γράψετε το διάνυσμα (6, 4) σαν γραμμικό συνδυασμό των 16. Να βρεθεί η τιμή του xr για την οποία τα διανύσματα = (,x) και = (6,4) είναι συγγραμμικά (παράλληλα). 17. Να βρείτε για ποιες τιμές του λr τα διανύσματα 4 i 9j και 4i είναι : α.) παράλληλα β ) ομόρροπα j 18. Να βρείτε για ποια τιμή του x R τα διανύσματα = (8,x) και = (x, ) είναι: i) συγγραμμικά ii) ομόρροπα iii) αντίρροπα 19. Να βρείτε ποια από τα παρακάτω διανύσματα είναι συγγραμμικά. 1 i.,, ( 6,1) ii. (,1), (, ) 4

35 0. i.να βρείτε τις τιμές του λ,ώστε τα διανύσματα ( 1,1) και (1, 1) να είναι συγγραμμικά ii.να αποδείξετε ότι τα διανύσματα ( x 1, ) και (, x) είναι μη συγγραμμικά για κάθε x R 1. Να βρείτε τις τιμές του κ,ώστε τα διανύσματα (1, 1) και ( 1,9) να είναι αντίρροπα. Δίνονται τα διανύσματα (4, 1), (, ) και (,6) για τα οποία ισχύει ότι //. i)nα βρείτε την τιμή του λr ii) Αν Ρ(-,7) και Σ(6,-4) να γράψετε το διάνυσμα σαν γραμμικό συνδυασμό των. Δίνονται τα διανύσματα (,), ( 10,) και.να βρείτε : i) το ii) τον αριθμό λ R ώστε το διάνυσμα (,1 ) να είναι παράλληλο στο 4. Δίνονται τα σημεία : Α(κ-,-),Β(7-κ,κ) και Γ(κ-6,-11),με κr.να βρείτε για ποια τιμή του κ: i)το διάνυσμα είναι παράλληλο στον άξονα y y ii)τα σημεία Α,Β,Γ είναι συνευθειακά. 5. Δίνονται τα σημεία : Α(-λ,λ),Β(9,4λ),Γ(,-7) και Δ(1,-4),με λr.να βρείτε το λ ώστε // 6. Να βρείτε τα λ,μr,ώστε : ( )i ( 4) j / /(i j) ( 4)i ( ) j / /(i j) και 7. Δίνονται τα διανύσματα (, 8) και, ( 1, ), με λr. Να βρείτε για ποια τιμή του λ τα διανύσματα είναι ομόρροπα. 8. Δίνονται τα διανύσματα (, ) και, ( 4, 4), με λr. Να βρείτε για ποια τιμή του λ τα διανύσματα είναι αντίρροπα. 9. Δίνεται το παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με Α(1,-) και Δ(,).Αν το Β ανήκει στον άξονα χ χ και το κέντρο Κ του ΑΒΓΔ ανήκει στον άξονα ψ ψ,να βρείτε τις συντεταγμένες των Β,Κ και Γ. 0. Δίνεται το παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με Α(κ,κ+λ),Β(-λ,λ-κ),Γ(λ+κ,λ-κ) και Δ(5λ+5κ,κ-1),όπου κ,λr. i)να βρείτε τους αριθμούς κ και λ ii)να αποδείξετε ότι το ΑΒΓΔ είναι παραλληλόγραμμο. 5

36 1. Δίνονται τα σημεία Α(-, 1) και Β(7, 4). Να βρείτε τα σημεία Μ, Ν για τα οποία ισχύει 1 AM MB 4.. Δίνονται τα σημεία Α(, 1) και Β(1, 7). Να βρεθούν τα σημεία Μ και Ν του τμήματος ΑΒ τα οποία το τριχοτομούν (το χωρίζουν σε τρία ίσα μέρη).. Να αποδείξετε ότι τα σημεία Α(-1,), Β(8,5) και Μ(, ) είναι συνευθειακά και να βρεθεί ο πραγματικός αριθμός λ για τον οποίο ισχύει 4. Έστω δύο διαφορετικά σημεία Α (x 1,y 1 ) και B(x,y ) Να βρείτε συναρτήσει των x 1,y 1, x,y τις συντεταγμένες του σημείου Μ για το οποίο ισχύει, όπου λ Να αποδείξετε ότι: i) det(, ) =det( )+det(,, ) ii) det(, ) = λdet( ), iii) det(, ) = λdet( ), + μdet ( ), 6. Δίνονται τα σημεία Α(0,1) και Β(-,0) και Γ(1,). i.να δείξετε ότι τα σημεία Α,Β,Γ είναι κορυφές τριγώνου. ii.να βρείτε σημείο Δ,ώστε το τετράπλευρο ΑΒΓΔ να είναι παραλληλόγραμμο 7. Αν τα σημεία Α,Β,Γ έχουν διανύσματα θέσης ως προς το Ο τα ( 1,), (,5), (,) αντίστοιχα,τότε: i.να βρείτε τις συντεταγμένες των διανυσμάτων και ii.να αποδείξετε ότι τα σημεία Α,Β,Γ είναι συνευθειακά iii.να βρείτε τη σχετική θέση των Α,Β,Γ 8. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Α(-1,),Β(7,0) και Γ(1,4) και Δ μέσον της διαμέσου ΑΜ.Αν για το σημείο Ε ισχύει,τότε : i.να βρείτε τα σημεία Δ,Ε ii. να αποδείξετε ότι τα σημεία Β,Δ,Ε είναι συνευθειακά 9. Δίνονται τα σημεία,1, 1, 1, 1 κάθε τα Α, Β, Γ αποτελούν κορυφές τριγώνου. 40. Δίνονται τα διανύσματα x y,. Να αποδείξετε ότι για και 4y y x 1, x y τα xy, ώστε τα διανύσματα, να είναι συγγραμμικά.. Να βρείτε 6

37 ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗΣ-ΓΩΝΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ ΜΕ ΤΟΝ χ χ 41. Nα βρείτε το συντελεστή διεύθυνσης των διανυσμάτων : i. (, 6) ii. (8, 4) iii. ( 5,0) iv) (0,7) 4. Nα βρείτε το συντελεστή διεύθυνσης (αν ορίζεται) του διανύσματος AB στις παρακάτω περιπτώσεις: i.a(-1,),b(,-) ii.a(,1),b(-5,1) iii.a(-,),b(-,7) 4. Nα βρείτε το συντελεστή διεύθυνσης (αν ορίζεται) του διανύσματος AB στις παρακάτω περιπτώσεις: i.a(,-4),b(-,6) ii.a(-7,),b(8,8) iii.a(-1,-4),b(,-4) iv) A(0,6),B(0,-) 44. Aν φ η γωνία που σχηματίζει το διάνυσμα με τον άξονα χ χ,να βρείτε τον συντελεστή διεύθυνσης του διανύσματος στις παρακάτω περιπτώσεις : i. ii. 10 iii. iv Να βρείτε την γωνία που σχηματίζει το διάνυσμα AB με τον άξονα χ χ σε κάθε περίπτωση,αν: i.a(,0), (0, ) ii.a(1,5),b(-,5) iii.a(,-),b(,) 46. Να βρείτε τον συντελεστή διεύθυνσης των διανυσμάτων: i) i 1 j ii) i iii) 4 j iv) j1i 47. Να βρείτε τη γωνία ω που σχηματίζουν με τον άξονα χ χ τα διανύσματα : i) (,) ii) ( 6, 1) iii) ( 4, 4) iv) ( 7, 9) 48. Δίνονται τα σημεία Α(7,1) και Β(4,). Να βρείτε τη γωνία που σχηματίζει το διάνυσμα με τον άξονα χ χ 49. Δίνονται τα διανύσματα (,) και 1,. i.να βρείτε τη γωνία που σχηματίζει καθένα από τα, με τον άξονα χ χ ii.να βρείτε τη γωνία, 50. Δίνονται τα σημεία Α(μ-,) και Β(μ,μ-).Να βρείτε το μr,ώστε το AB να σχηματίζει με τον άξονα χ χ γωνία Δίνεται το διάνυσμα (, 6),με λr.να βρείτε για ποια τιμή του λ, το διάνυσμα σχηματίζει με τον άξονα χ χ γωνία. 4 7

38 9 5. Δίνονται τα σημεία Α, και Β(λ,λ ) με λ R. Να βρείτε για ποια τιμή του λ ε το διάνυσμα AB σχηματίζει με τον άξονα χ χ γωνία Δίνονται τα σημεία Α(α,β+) και Β(β,-) με α,β R.Το σημείο Α ανήκει στο ο τεταρτημόριο,ενώ το διάνυσμα AB έχει συντελεστή διεύθυνσης - και μέτρο 5. Να βρείτε τις τιμές των α και β. 54. Δίνονται τα σημεία Α(λ,1) και Β(7,-λ) με λ R-{7} ώστε το AB να έχει συντελεστή διεύθυνσης ίσο με 1 4. i.να βρείτε τον αριθμό λ ii.αν Μ είναι το μέσο του ΑΒ,να βρείτε σημείο Γ του άξονα y y,ώστε Τα διανύσματα (, 4) και (, 9) με κ,μ R * έχουν συντελεστές διεύθυνσης και - αντίστοιχα.να βρείτε : i)τις τιμές των κ και μ ii)τον συντελεστή διεύθυνσης του διανύσματος 56. Έστω ότι τα διανύσματα, έχουν συντελεστές διεύθυνσης τις ρίζες της εξίσωσης x ( 1) x 1 0. Να βρείτε το λ,ώστε τα να, είναι συγγραμμικά. 57. Δίνεται το διάνυσμα v (x, y) το οποίο σχηματίζει με τον άξονα χ χ γωνία ω,με :.Επίσης ισχύει v 10 και το v είναι παράλληλο στο διάνυσμα w (x 9, y 1).Να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος v. ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 58. Δίνονται τα διανύσματα (, 1) και 1, 8. i.να βρείτε το μέτρο του διανύσματος v ii.να βρείτε τη γωνία που σχηματίζει το διάνυσμα u με τον άξονα χ χ iii.να αναλύσετε το διάνυσμα w (0,4) σε δύο συνιστώσες κατά τις διευθύνσεις των και iv.να βρείτε διάνυσμα που να είναι αντίρροπο του και να έχει μέτρο διπλάσιο του. 59. Δίνονται τα διανύσματα (, 1) και,1 λ,ώστε : i.τα διανύσματα και να είναι αντίθετα ii. το διάνυσμα να σχηματίζει με τον άξονα χ χ γωνία 00 iii.τα διανύσματα, να είναι συγγραμμικά.να βρείτε την τιμή του

39 iv. τα διανύσματα και ( 5,) να είναι κάθετα. 60. Δίνονται τα σημεία Α(1,),Β(,-4) και Γ,για το οποίο ισχύει i.να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου Γ ii.να δείξετε ότι τα σημεία Α,Β,Γ είναι κορυφές τριγώνου iii.αν Μ μέσον της πλευράς ΒΓ,να βρείτε το συντελεστή διεύθυνσης του διανύσματος iv.αν το σημείο Ν βρίσκεται στην πλευρά ΑΓ και ισχύει,να βρείτε την απόσταση των σημείων Α και Ν. 61. Θεωρούμε τα διανύσματα: a 1 =(, -), a =(α-β, α+β-4), a =(α-β+, -α+β-), i) Αν τα διανύσματα = a 1 + a + a και v =(-, 4), είναι συγγραμμικά,να εκφραστούν οι συντεταγμένες του ως συνάρτηση του α, ii) Για ποια τιμή των α, β το διάνυσμα είναι το μηδενικό. 6. Δίνονται τα σημεία του επιπέδου Α (1, ) και Β (4, 1). Να βρείτε σημείο Μ του άξονα x x τέτοιο ώστε: i) Το τρίγωνο ΜΑΒ να είναι: α) ισοσκελές με κορυφή το σημείο Μ, β) ορθογώνιο στο Μ, γ) ορθογώνιο στο Μ και ισοσκελές, ii) το άθροισμα των τετραγώνων των αποστάσεων του σημείου Μ από τα Α και Β να γίνεται ελάχιστο. 6. Να βρείτε: i) Όλα τα διανύσματα του επιπέδου τα οποία είναι κάθετα στο διάνυσμα a =(, -4) και έχουν ίσο μέτρο με αυτό. ii) Όλα τα διανύσματα του επιπέδου τα οποία είναι κάθετα στο διάνυσμα =(-, 1) και έχουν μέτρο ίσο 5. iii) Το διάνυσμα xy, ) του επιπέδου το οποίο σχηματίζει γωνία 60 ο με τον άξονα x x και έχει μέτρο ίσο με Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ,με : Α(1,),Β(-5,1) και (, 8).Να βρείτε : i) τις συντεταγμένες του σημείου Γ ii) τις συντεταγμένες των μέσων Μ και Ν των πλευρών ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα iii)το 65. Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ,μεΑ(,4),Β(8,5) και Γ(7,). i)nα βρείτε τις συντεταγμένες της κορυφής Δ ii)να βρείτε σημείο Ε του y y,ώστε // iii) Να βρείτε σημείο Ζ του χ χ,ώστε // iv)αν είναι το μέσο του ΕΖ,να αποδείξετε ότι τα σημεία Α,Γ,Μ είναι συνευθειακά 9

40 66. Δίνονται τα διανύσματα για τα οποία ισχύουν οι σχέσεις : (,9) και (10, 5) i)nα βρείτε τα διανύσματα ii) Να γράψετε το διάνυσμα (4,7) σαν γραμμικό συνδυασμό των iii)να βρείτε το λ R,ώστε το διάνυσμα (,6 ) να είναι παράλληλο στο διάνυσμα 67. Δίνονται τα διανύσματα (, 5) (,6),λR για τα οποία ισχύει ότι 5 α)nα βρείτε τον αριθμό λ β)θεωρούμε το διάνυσμα 4. i)να βρείτε τη γωνία που σχηματίζει το διάνυσμα με τον άξονα χ χ ii)να βρείτε τον κr ώστε το διάνυσμα (, 6) να είναι παράλληλο στο 68. Δίνονται τα διανύσματα για τα οποία ισχύουν οι σχέσεις : (, ) και (4, ) i)nα βρείτε τα διανύσματα ii)να βρείτε τη γωνία που σχηματίζει το διάνυσμα με τον άξονα χ χ iii)αν (, ),να βρείτε το μ R,ώστε να είναι // 69. Δίνονται τα διανύσματα a =x i yj, ( x 1) i ( y ) j, 4 xi ( x 1) j, yi ( y) j. Να βρεθούν τα x, yr ώστε a // και. 70. Να αποδείξετε ότι x y (4 x) ( y) 5. Πότε ισχύει η ισότητα; ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΟΡΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟΥ ΓΙΝΟΜΕΝΟΥ 71. Να υπολογιστεί το εσωτερικό γινόμενο a δύο διανυσμάτων a και αν: ι) a a 5, 7,(, ) 5, ιι) a 5,,( a, ) Το διάνυσμα είναι μοναδιαίο και ισχύουν 6 εσωτερικό γινόμενο και, 60.Να βρείτε το 7. Τα διανύσματα a και είναι ομόρροπα,.με και 7.Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο 40