USHTRIMET PËR LËNDËN E DINAMIKËS MUND TË SHKARKOHET NGA VEGËZA: Ose

Transcript

1 USHTIMT Ë LËNDËN DINMIKËS MUND TË SHKKOHT N VËZ: wwwshalaahe Ose LII I USHTIM TË OF SO HMT SHL I SHKKU N VZ TIJ ËSHTË DHËNË NË VIJIM

2 ëbledhje deash ë zjidhua na DINMIK dhe apliii i sfei Malab I II M III IV ishinë

3 D sc he Shala T H Ë N I K libë pëban ushie na Meania III Dinaia e piës Meania IV Dinaia e sisei aeial si edhe na Dinaia në ëësi ë cila i a baju që na ii shll 99/95 në Faulein e Maineisë në ishinë ëbajja dhe ëndija e ëij libi ëshë pëafësish e njëjë e planpain e lëndës Dinaia e cila ndëjhe në seesin e III -ë në ë jiha dejie e Faulei ë Maineisë pë sudie achel sipas Delaaës së lnjës Qëllii i haii ë ëij libi ëshë që ë lehëshe pëehësii i ësaj lënde dhe ë nie cilësia dhe nieli i sudiee due aë paassh se pë lëndën e Dinaiës në ëësi aq sa a infaa unë j ëshë pëbledhja e paë në juhën shqipe Me ëë libë a bëë një nibu pë plësiin e zbazësiës dhe unesës së adhe që ndihe pë ese në juhën shqipe jihashu në ëë libë a bëë pëpjeje që ë paqes undësinë e shfëzii ë pjuei në sudiin e siseee aeiale Një undësi ë illë e a paaqiu e shfëziin e sfei Malab i cili llaie si juhë pauese jaf e pëpaua dhe jaf e pëfesinua pë analiza dhe sineza siulie ë siseee aeiale pëaësish edelee dinaie ë e K libë und iu shëbejë sudenëe ë aineisë ndëiaisë ehaisë si dhe inhinieëe e punëëe shencë pa ë jihë ae që ien e sudiin e siseee në pëjihësi Në ëë libë janë dhënë dhe zjidhu dea aaeisie pë neiziin e pjesës eie Me ëë as pëzeësish e falëndej pfesin D sc he eca pfes dina në Faulein e Maineisë pë ëejje sjeie dhe ndihesën që ë a dhënë jaë pëaijes së ëij libi K libë und ë ëë lëshie dhe ë ea unë ja i hapu ndaj ë jihë ae që pë ëë d ë a eheqin ëejjen e sujeie e e qëlli ia e ëshu në as ibii ë pëeëshen ishinë Jana ui

4 ëbledhje deash ë zjidhua na DINMIK dhe apliii i sfei Malab ebajja Dinaia e piës aeiale5 blei i paë dhe i dë i Dinaiës5 Dea : blei i paë i Dinaiës5 Dea : Fca funsin i hës F f 7 Dea : ënia e lië fca funsin i dinaës F fz 9 Dea : Saelië aificial ë Tës Dea 5 Hedhja e pjeë: Dea 6: Lëizja e piës nën epiin e fcae ëheqëse6 Lije e pëjihshe ë dinaiës 8 Dea Sasia e lëizjes8 Dea Sasia e lëizjes9 Dea : Meni inei 9 Dea Lëizja e piës nën epiin e fcës qende euacini i ineu Dea 5: nejia ineie puna e fcae Dea 6:nejia ineie sasia e lëizjes puna e fcae 5 Dea 7: Lajeësi aeai9 Dea 8: aii Dalabei pë pië aeiale Lëundje dejize ë piës aeiale5 Dea : Lëundje e lia që nu shuhen5 Dea : Lëundje e lia që shuhen7 Dea : Lëundje e deuaa që nu shuhen8 Dea : Lëundje e deuaa në abien e ezisencë 9 Lëizja e pëbëë e piës Dea : asi u lëizja zhendsësh dhe aj elaie janë anslaie T-T Dea : lëizja zhendsëse ulluese use aj elaie anslaie -T Dea : lëizja zhendsëse anslaie use aj elaie ulluese T- 7 Dea : lëizja zhendsëse dhe aj elaie janë ulluese -5 Dinaia e sisei aeial 5 Lëizja e qendës së asës së inecisë ë sisei aeial5 Dea :5 Dea :5 Dea :57 Dea :6 Dea 5:6

5 D sc he Shala Lëizja e upi e asë ë ndshueshe aiabël 65 Dea :65 Dea :67 Sasia e lëizjes Meni i sasisë së lëizjes eni inei i sisei aeial69 Tabela e enee ë inecisë ë disa upae hjen 69 zia e asee dhe fa e upi 69 Dea :7 Dea :7 Dea :76 DTY : 78 Dea 5:8 Lëizja plane e upi ë nuë 8 Dea :8 Dea :8 Dea :87 DTY : 89 nejia ineie e sisei aeial una e fcae ë jashe9 Dea :9 Dea :9 Dea :97 Dea : uacini i pëjihshë i dinaiës aii i Dalabe-laanzhi pë sise aeial Dea : Dea :6 uacine e Laanzhi ë llji ë dë pë sise aeial8 Dea :8 Dea : Dea : Dea :7 Dea 5:9 Mdelii dinai i siseee aeiale Vaiabla e jendjes naliza e deli dinai due shfëzua sfein MTL5 Lieaua:

6 ëbledhje deash ë zjidhua na DINMIK dhe apliii i sfei Malab DINMIK IKËS MTIL OLMI I Ë DH I DYTË I DINMIKËS DTY : blei i paë i Dinaiës ia aeiale M e asë lëiz nëpë ajeen në fë spiale e cila ëshë dhënë e euacinin e u ρ paaqesin dinaa plae ë piës M Due e diu që pia aeiale jaë ëë hës lëiz nëpë ajee e shpejësi nsane ë cahe fca që e shan ëë lëizje Zjidhje: F M n F Fc c Sipas liji ë dë ë Dinaiës ei: F a Dië se niii në dinaa plae ëshë: a a a c a d a c d ajë dinaa dhe d s d M d M M ds Na ai i jaësisë eleenae ë hau shih eëndëshin e pëafë MM M në fiuën paapae ei: ds d d use na e jedhë që: d e d d Zëendësjë në euacinin : ds d d d pej na: ds d ds Na: ds d d d Na d shpehje e fundi ai: 5

7 d d / d d D sc he Shala ë ei pej na e e aëheë: Na d d d ei: d e inei ei: d d d pëaësish: d dhe ai: ln ln ln ln d Na jedhë që: d d Na jedhë që: ln d ëheë pnenë e niii d ë jenë: a d d ac d d Na shpehja jedhë që: F a a a c Meqë F a ëshë nal e Fc ac aëheë inensiei i fcës F ëshë: F a ac Meqë shpejësia ëshë nsane pa ns aëheë: d a d T a an që d ë hë se fca a dejiin e niii nal pëaësish dejiin e nales në ajee 6

8 ëbledhje deash ë zjidhua na DINMIK dhe apliii i sfei Malab DTY : Fca funsin i hës F f ia aeiale e asë lëiz në afshin hiznal nën epiin e fcës F F sin i F cs j u F janë nsane Të cahen lije e lëizjes së ësaj pie aeiale nëse në çasin fillesa pa: ei: dhe Zjidhje: F Y j i X Sipas liji ë dë ë Dinaiës ei; a F F pjejë në dhe ei: : X F sin i F sin d F sin d / d F d sin d / F d sin d F F cs cs F cs d F cs / d d F d d cs d / F d d cs d d F sin as zëendësii ë ushee fillesae ei: 7

9 D sc he Shala F F sin sin : Y F cs F cs d F cs d / d F d cs d / F d cs d F F sin sin F sin d F sin / d d F d d sin d / d d F sin d F F cs cs as zëendësii ë ushee fillesae ei: F F cs cs 8

10 ëbledhje deash ë zjidhua na DINMIK dhe apliii i sfei Malab DTY : ënia e lië fca funsin i dinaës F fz Një up e asë i cili und ë nsidehe si pië aeiale bie liish në sipëfaqe ë Tës na laësia H Të cahe shpejësia e ënies së ëij upi në sipëfaqen e Tës due aë që fca ëheqëse e Tës në up ëshë e shpehu nëpëes liji ë dë ë Dinaiës bi M aiacinin e pëjihshë pa: F u: M asa e Tës disanca e upi na qenda e Tës nsane e pëjihshe e aiacini që duhe caua Zjidhje: H F Ku upi nddhe në sipëfaqe ë Tës pzicini ei: F pa pej na jedhë se: M pëaësish: M Due e diu se: H aëheë fca e aiacini ë pëjihshë d ë jeë: M F f H Këshu pa fca e cila epn në upin piën aeiale ëshë funsin i dinaës Sipas liji ë dë ë Dinaiës pë pzicinin e çfaëdshë ei: a F pjejë në deji ë asi ë lëizjes dhe fijë: F /: H 9

11 D sc he Shala d d d / d d d d H d d / H d d H H H H H H ë H upi bie bi sipëfaqe ë Tës aëheë: H H H H H H H H Shpehja e fundi paaqe shpejësinë e ënies së lië ë upi bi sipëfaqe ë Tës ap ndshe quhe edhe shpejësia e ënies së lië e llaiu sipas Njuni Nëse laësia H na e cila bie upi nu ëshë aq e adhe në ap e ezen e Tës aëheë: H << d ë ei: H H H Shpehja e fundi quhe shpejësia e ënies së lië e llaiu sipas alileu Këshu pë 67 98/s dhe H ei: H Sipas Njuni: 59 H 67 s Sipas alileu: H s Kuse pë H d ë ei: Sipas Njuni: Sipas alileu: H H 67 s H s Na analiza e fundi und ë nludhe se shpehje ë e saë ëshë shpehja e dhënë sipas Njuni p pë laësi ë la ë ënies H ë d shpehje janë ë pëafëa DTY : Saelië aificial ë Tës Due e diu se ezja e Tës ëshë 67 dhe shpejësia ënde e ullii ë saj eh 5 ad bshi ë e qendës ëshë 7 ë cahe laësia bi sipëfaqe ë Tës në ë s

12 ëbledhje deash ë zjidhua na DINMIK dhe apliii i sfei Malab cilën duhe ë endse një up pië aeiale e asë ashu që ai ë jeë saeli aificial i Tës psh panuesi-dhënësi ë sinjali eleizië saeli Zjidhje: s S a s F h Një pië në sipëfaqen e Tës e a shpejësinë: Një up pië aeiale nëse ëshë saeli aificial i Tës aëheë d ë eë shpejësinë ndaj qendës së Tës: s h Sipas deës paapae në ëë up saeli aificial ë Tës epn fca e aiacini ë pëjihshë e cila ëshë: F h h u ëshë caua na F dhe h pej ë cilës jedhë: Meqë Ta dihe se ullhe e shpejësi ënde nsane aëheë niii i upi - saelii ëshë i baabaë e niiin nal pa: a s a N s L as h Sipas liji ë Njuni pë ëë saeli ei: a s F pjejë në deji ë nales asi dhe fijë: a N F s h h h h h h

13 D sc he Shala h h h h

14 ëbledhje deash ë zjidhua na DINMIK dhe apliii i sfei Malab DTY 5 Hedhja e pjeë: Na një aë ushaae TO aileie i endsu në laësinë bideae h ëshë bëë një juajje e një pedhe në deji ë një cau në sipëfaqen e dei edha në enin e daljes na pi i Tpi a shpejësinë fillesae dejii i ë cilës e hiznalen fn ëndin α Të cahen euacine e lëizjes euacini i ajees laësia H dhe laësia L e ënies së pedhës M M O α H h L Sipas lijin ë dë ë dinaiës ei: a F e pjejë në dhe fijë: d d a X a Y d d Ndajë ndshe: d ns d d / dhe ejë ineiin e paë: d d / d d d / d Ndajë ndshe: d / d d dhe ejë ineiin e dë: ë ei: h csα sinα Na ë ushe fillesae cajë nsane e ineii: csα h sinα

15 D sc he Shala Këshu pjesine e shpejësisë d ë jenë: sin cs α α Lije e lëizjes së piës d ë jenë: csα h α sin Tajeja e piës Tajeja cahe due eliinua hën na shpehje e euacinee ë lëizjes ashu që fijë euacinin f pa: α α cs cs h α sin h α α α sin cs cs cs h α α Shpehja e fundi paaqe euacinin e ajees së pedhës Laësia e ënies së pedhës Laësia e ënies së pedhës L cahe pë dhe L pa: cs cs α α L h h α α sin sin pej na ha e nejshe pë ë aiu në laësinë L pia ëshë: sin sin h ± α α h sin sin α α Mee sepse > Kuse laësia asiale ëshë: α α α cs sin sin h L Laësia ë e adhe Laësia ë e adhe H dinaa M e piës M cahe na shpejësia në deji eial në piën ë ë laë ëshë ze pa: sin sin α α

16 ëbledhje deash ë zjidhua na DINMIK dhe apliii i sfei Malab u ëshë: sinα ha e nejshe pë ë aiu laësinë ë ë adhe as zëendësii ë hës në euacinin e lëizjes pë : sinα h fijë laësinë H ë ë adhe: H sinα h sinα H sinα sinα h H h sin α H h sin α 5

17 D sc he Shala DTY 6: Lëizja e piës nën epiin e fcae ëheqëse ia aeiale M e asë lëiz nën epiin e d fcae ëheqëse F dhe F qenda e ëheqjes së ë cilae janë pia a dhe b Inensiei i fcae ëshë ppcinal e disancën e piës M na qenda e ëheqjes e eficien ppcinaliei Të cahen euacine e lëizjes së piës Në çasin fillesa pia aeiale nddhej në pzicinin dhe a shpejësinë fillesae e cila ëshë paalel e asin hiznal Zjidhje: M b F F O a Sipas liji ë Njuni ei: a F F Fca ëheqëse ah si e ëshë: F M use F M u: M a i j use M i b j aëheë F M a i j use F M i b j uacinin e pjejë në deji ë asee dhe : : a : b a b h h h cs sin h cs sin K ns K ns a a b b K K K K cs a b sin cs sin Knsane dhe cahen na ushe fillesae: a dhe dhe ajë deiae: 6

18 ëbledhje deash ë zjidhua na DINMIK dhe apliii i sfei Malab cs sin cs sin Zëendësjë ushe fillesae në euacine dhe : a a b pej na ai: a b Këshu pëfundiish fijë euacine e lëizjes: sin cs a a dhe cs b b 7

19 D sc he Shala LIJT ËJITHSHM TË DINMIKËS DTY Sasia e lëizjes eplani e peshë 985 N filln lëizjen në pisë e ç as ndshii ndëje fcës ëheqëse dhe fcës së ezisencës ëshë nsan dhe aë F N Të cahe: a sa hë i nejie aeplani që ë shëpue na sipëfaqja e Tës nëse shpejësia në ë cilën ai e ain ëë ëshë 6/s dhe b sa hë i nejie aeplani që ë shëpue na sipëfaqja e Tës nëse senda e paë aiizhen ë ndihës ë cilën anë fcë shëse nsane dhe aë 5N O F pisa Zjidhje: Lëizjen e aeplani nëpë pisë d a nsidejë si lëizje anslaie dejize pëaësish si lëizje dejize ë piës aeiale a ë ë caua hën e shëpujes nisei na liji bi ndshiin e sasisë së lëizjes: T sh F d pjejë në deji ë lëizjes : F d u: aëheë: T sh 6 / s F N ns Tsh F d F T sh pej na: Tsh s F 985 b Kha e shëpujes edhe në ëë as cahe na liji bi ndshiin e sasisë së lëizjes: T sh Fpd F d pjejë në deji ë lëizjes : Fpd F d u: F p 5N ns e cila epn seunda e paë aëheë: pej na: T 6 / s F N ns Tsh p d F d Fp F sh F T Fp s F F 985 sh T sh 8

20 ëbledhje deash ë zjidhua na DINMIK dhe apliii i sfei Malab DYT Sasia e lëizjes Një pedhë e asë ëshë lansua e shpejësi fillesae dejii i ë cilës e hiznalen fn ëndin α ani hën e nejshe që pedha ë aijë laësinë ë ë adhe dhe shpejësinë pë ëë pzicin Zjidhje: M M H O α Zbaj lijin bi ndshiin e sasisë së lëizjes pej pzicini O në M: M T d pjejë në deji ë asi : sinα T pej na ha e aijes së laësisë ë ë adhe d ë jeë: sinα T Nëse pjejë në deji ë asi ei: M cs α pej na shpejësia në pzicinin u pedha ain laësinë asiale ëshë: M csα DTY : Meni inei Nëpë pllaën e lëua hiznale ëshqe sfea M e asë e cila ëshë e lidhu e një lia Liai aln nëpë një ië ë hapu në pllaë dhe ëhiqe e shpejësi nsane Në çasin fillesa sfea jende në disancën na ia O dhe a një shpejësi fillesae e cila a deji nal në disancën Të cahe liji i lëizjes së sfeës dhe fca në lia z M O M Zjidhje: ë pzicinin e çfaëdshë ë sfeës M bëjë liiin na lidhje dhe zbajë lijin bi ndshiin e eni inei pë piën O 9

21 dl d n i M j Fi O D sc he Shala n j F Na fiua e ëpshe shihe se M i ëshë e baabaë e ze pasi që asnjë fcë nu jep en pë piën O i O z N S O M M Na shpehja paapae jedhë që: L ns pëaësish eni inei në çfaëd çasi ë hës ëshë i baabaë e enin inei në çasin fillesa pa: L L L L ëshu: Me deë ëshë dhënë se shpejësia e ë cilën ëhiqe liai ëshë nsane dhe aë e inensie aëheë: ëshu: d d d d pëaësish: d d Zëendësjë në shpehjen pë shpejësi ënde dhe fijë:

22 ëbledhje deash ë zjidhua na DINMIK dhe apliii i sfei Malab d d d d d d Nëse zbajë lijin e Njuni ë pjeua në deji ë ei pëaësish disancës OM d ë ei: a S a u: d d eqë ns d d aëheë: S S DTY Lëizja e piës nën epiin e fcës qende euacini i ineu Të cahe fca qende F nën epiin e ë cilës lëiz pia aeiale e asë nëse p ajeja e saj ëshë dhënë në dinaa plae e shpehjen u p dhe e janë ecs nsane Zjidhje Na eia dië se euacini i ineu pë lëizje ë piës nën epiin e fcës qende a fën: d F d c u: F fca qende - dinaa plae ë piës aeiale e asë c - shpejësia seiale e piës Na shpehja e ajees ai që: ecs p pëaësish:

23 D sc he Shala d d e e cs cs d d p p as zëendësii në euacin ë ineu fijë: e F cs e cs p p c pej na: c e e e F cs cs p p p pëaësish fca qende d ë jeë: e c F p DTY 5: nejia ineie puna e fcae Sa duhe ë jeë h pë ë cilën duhe shpu shuua susën e nuësi c 5N/ dhe jaësi fillesae e cila ëshë e endsu në pin e pjeë ashu që sfea e asë që und ë nsidehe si pië aeiale ë alj penesën e cila e a laësinë asiale 5 në piën 9; Keficieni i fëii ndëje pi dhe sfeës ëshë µ jihashu cani laësinë D u bie sfea ezisenca jea ë nelizhhen 8 c h M 9; 5 D 6 Zjidhje:

24 8 ëbledhje deash ë zjidhua na DINMIK dhe apliii i sfei Malab c α h 6 α M F c F µ 9; 5 D Së pai analizjë pin Me qëlli ë caii ë shpejësisë në pzicinin zbajë lijin bi ndshiin e enejisë ineie pej pzicini M ai që susa ëshë shpu pë adhësinë h ë cilën duhe caua pasaj dei në pzicinin që ëshë i baabaë e punën e fcae që epjnë në aë pjesë e që janë puna e peshës puna e fcës së susës F c dhe puna e fcës së fëii F µ pa: M µ M F F c eqë sfea lëshhe liish pa shpejësi fillesae H H h sinα h h h h h 5 F F F µ N µ µ h µ na N csα csα N cs α 5 Fµ Fµ h µ h 5 F c ch as zëendësii në shpehjen fijë: h µ h ch 5 5 pej na: 8 6 c µ h h 5 5

25 D sc he Shala ë lëizjen e sfeës pas daljes na pi zbajë lijin e dë ë Dinaiës hedhja e pjeë dhe ei: a pëaësish ë pjeua në deji ë asee dhe : dhe pas zjidhjes së ëe euacinee difeenciale dhe zëendësii ë ushee fillesae: csα dhe sinα euacine e lëizjes së sfeës d ë jenë: csα sinα Laësia ë e adhe H 5 cahe e shpehjen: H sinα u: ha pë ë cilën sfea ain laësinë ë ë adhe H dhe aë H 5 aëheë: 5 5 Na ushi që laësia ë e adhe ëshë në piën 9; pa pë 9 ei: csα 5 9 pej na: 5 Zëendësjë në euacinin dhe fijë: due e ahasua e shpehjen ei: 8 6 c 5 µ h h 5 5 c h µ h 5 5 as zëendësii ë ë dhënae fijë ëë euacin uadai sipas h pa: 5h 6865 h pej na ei d zjidhje: h pëeëshe shuii i susës ë i adh se ze si 758 undësi eale pa h 7 58 jihashu dihe se pë hedhje ë pjeë laësia ë e adhe cahe na: sinα csα L pas zëendësiee fijë laësinë u bie sfea: sinα csα L

26 ëbledhje deash ë zjidhua na DINMIK dhe apliii i sfei Malab DTY 6:nejia ineie sasia e lëizjes puna e fcae Sfea e asë lëizë nëpë një p asi i ë cili shihe në afshin eial Në çasin fillesa aj nddhej në pzicinin e cila nddhe në laësinë H Nëse sfea lëshhe pa shpejësi fillesae ë cahe shpejësia e sfeës u aj ain në pzicine D dhe adhësia e shuii asial h ë susës e nuësi c në ahasi e jaësinë e saj fillesae ë padefua l ë pzicinin ë cahe shpja e sfeës në p jesën D ë anali sfea e aln pë hen τ Fëii ë nelizhhe në pjesën ehe use në aë ijëdejë ë ee µ H h F Zjidhje: α α β β D H F µ α N α α β β D h h N jesa Në ëë pjesë e qëlli ë caii ë shpejësisë së sfeës në pzicinin eqë dihe ua jaësia zbajë lijin bi ndshiin e enejisë ineie pej pzicini në që ëshë i baabaë e shuën e punëe ë ë jiha fcae që epjnë në aë pjesë pa: Fµ N n h F h N F µ F c β 5

27 D sc he Shala pasi që sfea lëshhe ë lëiz pa shpejësi fillesae H H Fµ Fµ µ N sinα Na: N csα N csα eqë sfea nu und ë lëizë në deji nal e asin e pi aëheë: H Fµ Fµ µ csα µ H cα sinα N eqë pjesini i fcës së easini N në deji ë lëizjes ëshë ze as zëendësii ei: H µ H cα pej na: H µ H cα pëaësish H µ cα jesa Së pai cajë shpejësinë e sfeës në pzicinin pëes liji bi ndshiin e enejisë ineie pej pzicini në pa: h csα as zëendësii ei: csα pej na: csα pëaësish csα Sipas liji ë dë ë Njuni pë pzicinin ë pjeua në deji ë nales n ei: a N N u: an aëheë shpja easini e pi në sfeë në pzicinin d ë jeë: N jesa D Me qëlli ë caii ë shpejësisë së sfeës u aj ain në pzicinin D zbajë lijin bi ndshiin e enejisë ineie pej pzicini në D pa: 6 D

28 ëbledhje deash ë zjidhua na DINMIK dhe apliii i sfei Malab D D h cs β as zëendësii ei: D csβ pej na: D csβ pëaësish D csβ jesa D Meqë pë pjesën D dihe se aë sfea e aln pë hën τ zbajë lijin bi ndshiin e sasisë së lëizjes pej pzicini D në që ëshë i baabaë e ipulsin e fcae pë ë njëjën hë pëaësish ë pjeua në deji ë lëizjes asi pa: I I F D µ D D F µ µ N µ cs β Na: N cs β N cs β eqë sfea nu und ë lëizë në deji nal e asin e pi I sin β τ I F F τ µ cs β τ µ µ as zëendësii fijë shpehjen pë shpejësinë e sfeës në pzicinin e ë cilën aj e de susën pa: D sin β τ µ cs β τ pëaësish: D sin β µ cs β τ jesa F Shënjë e F pzicinin në ë cilën supzjë se d ë aijë sfea pas dijes së susës në pzicinin e shpejësi Kuphe që pzicinin F e ei aë ashu që në aë pzicin sfea ndale pa shpejësinë e a ze dhe susën e shp shun pë adhësinë h ë cilën duhe caua Kushiish und ë ai që në ëë as dihe ua h ë cilën e aln sfea aëheë zbajë lijin bi ndshiin e enejisë ineie pej pzicini në F pa: F µ F F F F F c pasi që sfea ndale h h sin β F F F µ N h µ µ Na: N cs β N cs β eqë sfea nu und ë lëizë në deji nal e asin e pi 7

29 D sc he Shala aëheë: Fµ Fµ F µ cs β h µ h csβ F c h h Fc d c d c c h shenja - eqë fca në susë në ëë as e penn lëizjen as zëendësii ei: h h sin β µ h csβ c pej na ei fiua një euacin uadai sipas h pa: c h sin β µ csβ h pej na ei zjidhje: h / pëaësish: h / sin β µ csβ ± sin β µ csβ ± h sin β µ csβ c sin β µ csβ c Meqë eale ëshë që adhësia h ëshë ë e adhe se e baabaë e ze aëheë adhësia asiale pë ë cilën ëshë shpu shuua susa ëshë: sin β µ csβ h sin β µ csβ c pëaësish: c h sin β µ csβ sin β µ csβ c dhe uphe se duhe ë plëshe ushi: c sin β µ csβ sin β µ csβ c c c 8

30 ëbledhje deash ë zjidhua na DINMIK dhe apliii i sfei Malab DTY 7: Lajeësi aeai ia aeiale M e asë ëshë e lidhu pëes liai ë pazjashë pë piën O dhe lëshhe na pzicini M e shpejësi fillesae u M O L e eialen fn ëndin α jaë lëizjes në afshin eial liai e de një penesë që jende në piën O u O O l dhe e eialen fn ëndin β Të cahe sa duhe ë jeë jaësia l ashu që jaë dijes së liai në penesën O fca në lia ë ie pë d heë dhe pë ëë l ë caua sa duhe ë jeë shpejësia fillesae e piës aeiale M ashu që liai pas dijes në penesën O ë bëshille pëeh ësaj pie O M O ψ β α M Zjidhje: M O M βψ S O ψ n β α n S a T a N M M Lëizja e piës pë α β ëshë lëizje ulluese nëpë ehin e eze L aëheë shpejësia e piës M ëshë: d L u d Niii i piës eqë aj bën lëizje ehe ëshë: a a T a N u: a T L dhe a L N 9

31 D sc he Shala uacini heel i Dinaiës së piës j ë lië ë lidhu ëshë: a S ap ë pjeua në deji ë anjenes dhe nales n fijë: a a T L sin α b a N L cs α S Na shpehja b S L cs α pa cahe fca në lia në funsin ë ëndi dhe shpejësisë ënde ë cila cahen na shpehja a: d d d d L L L sin α / d d d d d d sin α d / L d sin α d L cs α L L cs α csα L L as zëendësii fca në lia d ë jeë: S L cs α cs α cs α csα cs α L cs α csα S cs α csα Këshu në çasin u liai e de penesën O ëndi α β aëheë fca në lia d ë jeë: S α β cs α α β csα S α β cs β csα as dijes në penesën O pia aeiale M d ë azhdjë lëizjen p si lajeës aeai e jaësi L l Lëizjen e lajeësi në ëë as e pëcan ndshii i ëndi ψ dhe pë ψ π β liji i pëjihshë i Dinaiës d ë jeë: a S ap i pjeua në deji ë nales n a N cs β ψ S L l pej na: S cs β ψ L l Shpejësinë und ë cajë due pjeua në deji ë anjenes se ndsha ë lehë ëshë due zbaua lijin bi ndshiin e enejisë ineie pej pzicini dei në pzicinin M ë pëcaua e ëndin ψ pa: [ L cs β l cs β L lcs β ψ ]

32 ëbledhje deash ë zjidhua na DINMIK dhe apliii i sfei Malab [cs β cs β ψ ] L l L l aëheë e baaziin e e ai: S cs β ψ [cs β cs β ψ ] L l S cs β ψ cs β L l Me deë ëshë dhënë se j fcë duhe ë ie pë d heë aëheë na ush jejë se sa duhe ë jeë jaësia l pa: S ψ S α β β S ψ cs β cs β cs L l L l S α β [ cs β csα] aëheë: cs β [ cs β csα] L l L l 8 cs β 6 csα L l 8 cs β 6 csα l L 8 cs β 6 csα Në enin e dijes ëndi ψ aëheë: [ L cs β l cs β L lcs β ] Na: L cs α csα L L pë α β ei: L aëheë: cs β csα L L L Lcsβ csα as zëendësii në fijë jaësinë e nejshe l: L Lcs β csα l L 8 cs β 6 csα l L cs β csα L L 8 cs β 6 csα cs β csα 8 cs β 6 csα

33 D sc he Shala 6 cs β csα l L 8 cs β 6 csα Në ënë që liai ë bëshille pëeh penesës O ush i nejshë ëshë që pë ψ π β pzicini ë i laë i piës aeiale fca në lia ë jeë ë e adhe se baas e ze pa: S ψ π β pëaësish: cs β π β cs β L l csπ cs L l β L l cs β Liji bi ndshiin e enejisë ineie pej pzicini fillesa M dei në pzicinin ëshë: Lcs β csα Lcs β csα pëaësish: L l cs β Lcs β csα DTY 8: aii Dalabei pë pië aeiale zia fillesae e eanizi aëhallësh O O ë endsu në afshin eial si në fiuën e ëpshe ëshë e pëcaua e ëndin Shufa e ëij eanizi anë asa ë la që nelizhhen use O O l Në fundin e shufës ëshë e endsu naesa e peshë e cila und ë nsidehe si pië aeiale Nëse eanizi na pzicini fillesa filln lëizjen na qeësia ë cahen fca në shufa O dhe O në funsin ë ndshii ë O O Zjidhje: N a S O O in F T N a T a T S a n in F N Meqë O O l shufa bën lëizje anslae aëheë shpejësië e piae dhe janë ë baabaa pa:

34 ëbledhje deash ë zjidhua na DINMIK dhe apliii i sfei Malab O l jihashu edhe niie: N T a a a aëheë: N N N a a a O l T T T a a O l a Sipas paii ë Dalabei pë shufën pëaësish piën aeiale ei: in S S F in in in in N u: F FN FT F a l in T N dhe FT a l se ë pjeua në deji ë asee n dhe : in N n: cs S S F F in T : sin Meqë shufa bën lëizje anslae aëheë shua e enee ë ëe fcae duhe ë jeë ze në cilënd pië le ë ai pë piën pa: S cs S cs Na shpehja cajë niiin ënd dhe shpejësinë ënde ë shufës funsin ë ëndi pa: sin l pej na: sin l d d d sin / d d d d l sin d d / l sin d d l cs cs cs l l l pëaësish: cs cs l l Na shpehja jedhë që: S cs l S cs l pëaësish: S S Zëendësjë në shpehjen dhe ei: S cs S l S cs l O në

35 D sc he Shala S cs l l cs cs use: S S cs Këshu psh pë 6 fijë: S cs 6 use: S

36 ëbledhje deash ë zjidhua na DINMIK dhe apliii i sfei Malab LËKUNDJT DJTVIZO TË IKËS MTIL DTY : Lëundje e lia që nu shuhen ë naesën e asë që ëshë e au në një susë e nuësi c dhe jaësi fillesae l ë cahe zjaja saie e susës pzicini i euilibi sai liji i lëundjee ndaj ëij pzicini feuenca ehe dhe peida e lëundjee ë lia due aë që lëundje lëizja e naesës pshë-laë janë dejize dhe pëeç fcës në susë dhe peshës së naesës jeë ezisencë nu a Në çasin fillesa naesa ëhiqe pshë pë adhësinë dhe a shpejësinë Zjidhje: Nëse zbajë lijin heel ë dinaiës në piën e au në susën eiale si në fiuën e ëpshe d ë ei: F e u: dhe Fe c fs asa e naesës së au në susë pesha e naesës aiei ës c nuësia e susës f s zjaja saie e susës zjaja pë sha ë peshës së naesës quhe saie sepse nu ei lëizje l jaësia e susës në jendje ë panaua paaqe zjajen enale ë susës pej pzicini euilibues l c l l f s f s F e ëheë e zëendësiin e shpehjee paapae në euacinin ei: c cf s Zjaja saie f s cahe na ushe e euilibi sai pa: dhe u e zëendësi ë ëe ushee në euacinin fijë: f s c c 5

37 D sc he Shala dhe ëë adhësi ë f s e zëendësjë në fijë: c pëaësish: u: c Këshu pa nëse fillii i dinaës ee në pzicinin e euilibi sai pesha e naesës nu ee në euacinin difeencial e zjaja e susës llaie pej ëij pzicini Në ëë as feuencën und a shpehi pëes zjajes saie pa: f s c f s c c f s c f s eida e ëe lëundjee d ë jeë: π f s T π π c Me qëlli ë caii ë liji ë lëundjee duhe ë zjidhi euacinin difeencial Supzhe zjidhja: λ λ λ e pej na: λe dhe λ e ë cila i zëendësjë në dhe fijë euacinin aaeisi: λ λ λ e / : e pëaësish: λ zjidhje e ë cili janë: λ / ± i Këshu zjidhja e pëjihshe e euacini difeencial d ë jeë: i i e e cs isin ai nsane e eja: dhe i aëheë zjidhja e pëjihshe eë fën: cs sin pej na: sin cs 5 Knsane dhe cahen na ushe fillesae ë cila i zëendësjë në shpehje dhe 5 pa: aëheë: aëheë liji i lëundjee ë naesës d ë jeë: cs sin 6

38 ëbledhje deash ë zjidhua na DINMIK dhe apliii i sfei Malab DTY : Lëundje e lia që shuhen Një pië aeiale e asë und ë lëunde nëpë afshin e lëua hiznal Kë lëundje shahe na susa e nuësi c dhe aizhen zëlhen na shuaësi aizei i cili a eficien ë shuajes b u fca e ezisencës isze ë shuaësi ëshë ppcinale e shallën e paë ë shpejësisë së piës aeiale e eficien ppcinaliei b Të cahe ushi që duhe ë plësjë eficieni i shuajes b ashu që ë ei lëundje peidie benda apliudae Zjidhje: Fcën elasie në susë ëshë: F e c Fca e ezisencës në shuaës: b e cila siç p shihe a ahen e undë e shpejësinë c l b Na fiua paapae shihe se nëse zbajë lijin heel ë dinaiës: a FN F e dhe e pjejë në deji ë lëizjes fijë: F e u: b b F e c dhe pas zëendësii dhe eullii ë euacini fijë: n u: b c n dhe uacini paaqe euacin difeencial hjen ë plë ë endi ë dë linea e eficien nsan jejësish paaqe lëundje e lia në abien e ezisencë se lëundje e lia që shuhen aizhen Zjidhjen e ëij euacini difeencial e supzjë në fën: λ e pej na: λ λ e λ λ e as zëendësii në euacinin ei: λ λ e λ n λ / e pëaësish euacinin aaaeisi ë euacini difeencial : λ n λ na i cili ei d ënjë ë ij: λ ± n n Në ashëi na api i n dhe i ënjë e euacini aaeisi ndshjnë dhe pë asin në duhe që lëundje ë jenë peidie aëheë duhe ë plëshe ushi ezisenca e la n < pej na ai që: O F e M F N 7

39 D sc he Shala b c n < pëaësish ushi që duhe ë plësjë eficieni i shuajes b ashu që ë ei lëundje peidie benda apliudae ëshë: b < c Ëshë e ëndësi ë cee se pë b c paaqie asi i ezisencae ufiae use pë b > c ei asin e ezisencae ë ëdha aëheë në ë d ase ei lëizje apeidie jlëundëse DTY : Lëundje e deuaa që nu shuhen Nëse në një pië aeiale e asë pëeç fcës elasie ë susës F e c epn edhe fca e cila ëshë funsin peidi i hës pa FΩ F sinω u F dhe Ω janë nsane ë shuhe liji i lëundjee dhe ë cahe apliuda e lëundjee ë deuaa O Zjidhje: Zbajë lijin e dë ë Njuni dhe e pjejë në deji ë lëizjes aëheë fijë euacinin difeencial: Fe FΩ c F sin Ω jedhiish c F sin Ω dhe së fundi h sin Ω u: asa e piës niii c eficieni i nuësisë së susës disanca e piës na pzicini i euilibi F c h c F e F N F Ω - quhe feuenca ehe e lëundjee ë lia Ω - feuenca ehe e lëundjee ë deuaa e njejë e feuencën e fcës nacuese Zjidhja e euacini pëbëhe na pjesa hjene dhe pjesa e eçanë j hjene pa: h Zjidhja e pjesës hjene nënupn zjidhjen e euacini difeencial në fën: h h që në analji e ase e ëpae ë lëundjee ë lia që nu shuhen dihe që zjidhja e pëjihshe e ij d ë jeë: h cs sin Zjidhjen e eçanë e supzjë në fën: 8

40 ëbledhje deash ë zjidhua na DINMIK dhe apliii i sfei Malab sin Ω Ω csω dhe Ω sin Ω as zëendësii në euacinin ei: Ω sin Ω h sin Ω na u jedhë se apliuda e lëundjee ë deuaa që nu shuhen ëshë: h F Ω c Ω na ai që zjidhja e eçanë që paaqe lëundje e deuaa që nu shuhen ëshë: h d sinω sinω Ω Këshu zjidhja e pëjihshe e euacini ëshë: h cs sin sin Ω Ω dhe deiai i ij: h sin cs ΩcsΩ Ω u dhe janë nsane ë ineii që cahen na ushe fillesae: pas zëendësii ë ëe ushee fillesae ei: h h Ω Ω dhe h Ω h Ω Ω Ω Ku i zëendësjë shpehje e fiuaa pë ë nsane ë ineii fijë lijin e lëundjee ë deuaa që nu shuhën pa: h h Ω c F cs sin sin Ω u: h Ω Ω DTY : Lëundje e deuaa në abien e ezisencë Nëse në një pië aeiale e asë e cila bën lëizje dejize në afshin e lëua hiznal epjnë fca elasie F e c fca nacuese FΩ F cs Ω dhe shuaësi e fcë ë ezisencës e cila ëshë ppcinale e shallën e paë ë shpejësisë e eficien ppcinaliei b b ë cahe liji i lëundjee dejize ë ësaj pie aeiale due aë që ezisenca janë ë la n < e cila në çasin fillesa nddhe në qeësi Zjidhje: Mdeli eani ëshë paaqiu në fiuën e ëpshe 9

41 D sc he Shala b F e F N F Ω uacini difeencial që i pëshuan ë lëundje d ë jeë: Fe FΩ b c F csω b c F csω n h csω u: b c F n dhe h Shpehja paaqe euacinin difeencial ë lëundjee ë deuaa në abien e ezisencë që ëshë euacin difeencial jhjen i endi ë dë linea e eficien nsanë Zjidhja e euacini pëbëhe na pjesa hjene dhe e eçanë pa: h Zjidhja e pjesës hjene në aësi ë api n e und ë jeë si ë lëundje e lia që shuhen: n a e cs p sin p nëse n < h p n n b e nëse n dhe h c h λ e e λ nëse n > Zjidhjen e eçanë e supzjë në fën: cs Ω β Ωsin Ω β dhe Ω cs Ω β u: d - paaqe zjidhjen e eçanë pëaësish lëundje e deuaa që shuhen paaqe apliudën e lëundjee ë deuaa që shuhen β - quhe ëndi i ndshii faz as zëendësii në euacinin ei: Ω cs Ω β n Ωsin Ω β cs Ω β h csω dhe due diu se: Ω β ψ u ψ paaqe fazën e lëundjee ë deuaa aëheë ei: Ω csψ n Ωsinψ hcs ψ β pëaësish: Ω na u jedhë se: csψ n Ωsinψ h csβ csψ h sin β sinψ

42 ëbledhje deash ë zjidhua na DINMIK dhe apliii i sfei Malab Ω h csβ n Ω h sin β aëheë ei: [ Ω n Ω ] h na u jedhë se: Ω h n Ω / / që paaqe apliudën e lëundjee ë deuaa që shuhen Këndi i ndshii faz β cahe due i pjesëua shpehje pa: n Ω n Ω an β Ω Ω Këshu zjidhja e pëjihshe nëse n < ëshë: n e cs p sin p cs Ω dhe deiai i ij: n β n ne cs p sin p e psin p p cs p Ωsin Ω β u dhe cahen na ushe fillesae: pas zëendësii ë ëe ushee fillesae në shpehje 5a dhe 5b ei: cs β cs β dhe n p Ω sin β pëaësish: n Ωsin β n cs β Ω sin β p p as zëendësii ë nsanee ë ineii dhe në zjidhjen e pëjihshe fijë lëundje e deuaa që shuhen në ezisenca ë la n < : n ncs β Ωsin β e csβ cs p sin p cs Ω β p

43 D sc he Shala LËVIZJ ËËË IKËS DTY : asi u lëizja zhendsësh dhe aj elaie janë anslaie T-T llaa dejëndëshe lëiz nëpë afshin hiznal pëes d shufae ë lidhua e nje O dhe O u O O l Në pllaë ëshë i hapu anali paalel e nëpë ë cilën lëiz sfea M e asë due fillua na pia O Nëse shufa O ullhe e shpejësi ënde nsane cani lijin e lëizjes së sfeës nëpë anal dhe shpjen easinin e pllaës në sfeë Fëii ë nelizhhe O M O O Zjidhje: O a a e n N M e in F e a O O uacini eial i lëizjes elaie në asin e pëjihshë a fën: in in a Fi Fe Fc ë asin në deën në ei: a a F i N N easini shpja e pllaës në sfeë in N in Fe ae ae a a l Fe ae l in Fc e e sepse pllaa nu ullhe Këshu euacini eial i lëizjes elaie pë asin në d ë jeë:

44 ëbledhje deash ë zjidhua na DINMIK dhe apliii i sfei Malab in a N F e jejë në deji ë asi dhe : in : a F sin l sin e in e : N F cs N l cs d Na ns ai që aëheë euacine paapae ain fën: d : l sin d l sin d d l sin d d l sin d l cs l cs l cs d l cs d d l cs d d l d cs d as zjidhjes së inealee fijë lijin e lëizjes së sfeës nëpë anal: l sin Shpja e pllaës në sfeë cahe na: : N l cs N l cs

45 D sc he Shala DTY : lëizja zhendsëse ulluese use aj elaie anslaie -T pi i dejë e jaësi l që shihe në afshin hiznal ëshë i lidhu nuësish pë shufën O e jaësi l e cila ullhe eh çënieës O e shpejësi ënde nsane Sfea M e asë e cila jende në p në çasin fillesa nddhej në pzicin dhe a shpejësinë fillesae l ndaj pi Të cahe liji i lëizjes së sfeës nëpë p dhe pë pzicinin : ha e aijes së sfeës shpejësia abslue dhe shpja easini e pi në sfeë M l l O Zjidhje: O l z F N a e a c F N in F c M e in F e a uacini eial i lëizjes elaie në asin e pëjihshë a fën: in in a Fi Fe Fc ë asin në deën në ei: a a Fi F N FN FN FN easini shpja e pi në sfeë in N in Fe ae ae ae OM l F ae l in Fc e e 9 aëheë: in Fc e sin sin 9 Këshu euacini eial i lëizjes elaie pë asin në d ë jeë: e

46 ëbledhje deash ë zjidhua na DINMIK dhe apliii i sfei Malab in c in e N F F F a jejë në deji ë asi dhe z: : sin in e l l F a : l l l F F F F N in c in e N cs l F N pej na: l F N z: N F pej na: F N Na shpehja pë fijë: supzjë: aëheë dhe fijë euacinin aaeisi: e λ e λ λ λ pej na: λ ± / aëheë zjidhja e pëjihshe d ë jeë: e e e e λ λ pëaësish deiai i saj: e e nsane dhe cahen na ushe fillesae: Këshu liji i lëizjes së sfeës nëpë p d ë jeë: e e l e e e e e e se due diu se sinus hipebli sinh ëshë: sinh α α α e e aëheë: sinh l e e l e e l Shpejësia elaie e sfeës shpejësia e sfeës ndaj pi d ë jeë: e e e e se due diu se sinus hipebli csh ëshë: csh α α α e e aëheë: 5

47 D sc he Shala e e csh Shpejësinë elaie ë sfeës në çasin u aj ain në pzicin e cajë na: - pë pzicinin dinaa ëshë: l pej na: l l sinh pej na cahe ha pë ë cilën sfea ain në pzicinin : asinh sinh e e e e e e zëendësjë s s s e s s s s aëheë: ± ± s / ± eqë ha duhe ë jeë ë e adhe se ze aëheë: s e s pej na: ln Shpehjen e fiua pë e zëendësjë në shpehjen pë dhe fijë: csh csh ln csh ln ln ln e e ë l pzicini ëndi 5 dhe: e l l l use dihe se: u: 6 e cs 5 e sin 5

48 ëbledhje deash ë zjidhua na DINMIK dhe apliii i sfei Malab aëheë shpejësia abslue në pzicinin ëshë: Shpja e pi në sfeë d ë jeë: FN l l l l l F N aëheë: N N F N F F l DTY : lëizja zhendsëse anslaie use aj elaie ulluese T- ia e ajes së lajeësi aeai O M l lëiz nëpë analin hiznal sipas liji a sin p u a dhe p janë adhësi nsane Të cahe liji i lëundjee ë lajeësi aeai due aë që ai bën lëundje ë la pa due apsiua që sin dhe cs sipas neje dhe ë cahe fca në lia Lajeësi në çasin fillesa jendej në qeësi O O l M Zjidhje: O O n e l in F e ae S a N M a T e a e uacini eial i lëizjes elaie në asin e pëjihshë a fën: 7

49 a F F F i in e in c D sc he Shala ë asin në deën në ei: a an at u: a l N a T l F i S S fca në lia in d Fe ae a e in asin p ap sin p F a ap p e e sin d in Fc e e eqë lëizja zhendsëse ëshë anslaie Këshu euacini eial i lëizjes elaie pë asin në d ë jeë: in a S F e jejë euacinin në deji ë nales n: n: a l cs S in sin T F e l cs S ap sin p sin S l cs ap sin p sin ëshu pë ë pëcaua plësish fcën në lia S duhe ë cajë lijin e lëundjee ë lajeësi dhe shpejësinë ënde ë lajeësi pëaësish ain e saj ë ëë azhdjë e pjei ë euacini eial në deji ë anjenes : in : a l sin cs T F e l sin ap sin p cs ap sin sin p cs l l ap sin sin p cs l l Due apsiua pë lëundje ë la < ± 6 sin dhe cs shpehje e fundi ain fën: S ap sin p l l l ap sin p l l ap zëendësjë: h aëheë: l l hsin p ë euacinin difeencial ë fundi dihe se zjidhja e pjesës hjene ëshë: h cs sin use aj e eçanë cahe aësish na fa e pjesës jhjene në asin në supzhe: sin p pej na: p sin p dhe zëendësjë në euacinin : p sin p sin p hsin p pej na: h p ëshu zjidhja e eçanë ëshë: 8

50 ëbledhje deash ë zjidhua na DINMIK dhe apliii i sfei Malab h sin p sin p p Zjidhja e pëjihshe e euacini eë fën: h h cs sin sin p p pëaësish deiai i saj: h sin cs p cs p p Knsane e ineii dhe cahen na ushe fillesae: h p h ph p p p Këshu liji i lëundjee ë lajeësi d ë jeë: ph h sin sin p p p h p sin p sin p ap se u zëendësjë: h fijë lijin e lëundjee ë la ë lajeësi: l ap p sin p sin l p pëaësish deiai i saj: ap cs p cs u: l p l 9

51 D sc he Shala DTY : lëizja zhendsëse dhe aj elaie janë ulluese - pi në fë ë jsëehi e eze ullhe eh asi eial e shpejësi ënde nsane Në çasin fillesa në p jende një sfeë e asë në pzicinin ë ë ulë ë pi e ças i jepe një shpejësi fillesae Të cahe liji i ndshii ë shpejësisë së sfeës nëpë p shpejësia e ë cilën aj del na pi dhe shpja easini i pi në sfeë pë ëë pzicin Fëii ndëje sfeës dhe pi ë nelizhhe O M M Zjidhje: M O n M F N a N a e b M c a T in F e F N a c in F c uacini eial i lëizjes elaie në asin e pëjihshë a fën: in in a Fi Fe Fc ë asin në deën në ei: a an at u: a N a T Fi F N FN FN FN easini shpja e pi në sfeë in N T F a a a MM ' sin a MM ' ε e e e e e e b 5

52 ëbledhje deash ë zjidhua na DINMIK dhe apliii i sfei Malab d in ε e ns Fe ae sin d in Fc e e 9 aëheë: in Fc sin sin9 cs Këshu euacini eial i lëizjes elaie pë asin në d ë jeë: in in a FN FN Fe Fc jejë në deji ë asi n dhe b: in n: an cs FN Fe sin N in T F e cs F N sin sin F cs sin : a sin cs sin sin cs sin d d d d d d d d sin sin d sin sin d sin sin d sin d cs cs cs cs ë pzicinin ëndi 9 shpehja d ë jeë: 9 cs9 cs 9 9 Shpejësia e sfeës nëpë p në funsin ë ëndi ëshë: cs cs cs cs Ku sfea ain në pzicinin ëndi ëshë 9 aëheë shpejësia elaie e sfeës në dalje ë pi pzicini ëshë: 5

53 c c c 9 D sc he Shala cs9 Shpejësia zhendsëse e sfeës në pzicinin d ë jeë: c e cs 9 Na fiua paapae shihe se ë d pnene janë nale në njëa jeën aëheë: c c c e pëaësish inensiei i shpejësisë së sfeës në pzicinin d ë jeë: c c c ce > Shpja easini i pi në sfeë pë pzicinin na shpehja dhe due zëendësua shpehjen d ë jeë: F cs sin N cs9 sin FN 9 F N N F Kpnenen F N ë shpjes easini së pi në sfeë e cajë due e pjeua euacinin eial ë lëizjes elaie në deji ë binal b pa: a FN F in c a sepse sfea nu und ë lëizë në ëë deji in FN Fc 9 cs9 Këshu pëfundiish shpja easini i pi në sfeë u aj ain në pzicinin d ë jeë: F N N F 5

54 ëbledhje deash ë zjidhua na DINMIK dhe apliii i sfei Malab DINMIK SISTMIT MTIL LËVIZJ QNDËS SË MSËS SË INISË TË SISTMIT MTIL DTY : ë eanizin e eua në fiuë ë shuhen euacine e lëizjes së qendës ë asës së inecisë dhe euacini i ajees së saj nëse: Shufa O ëshë e jaësi a dhe asë shufa D e jaësi a dhe asë use ëshqiësi dhe D që und ë een si pia aeiale anë asa ë njëja ia paaqe esin e shufës D D Zjidhje: Qenda e asës së inecisë pë shufën O ëshë pia e dinaa: a a cs dhe sin Qenda e asës së inecisë pë shufën D ëshë pia e dinaa: a cs dhe a sin Qenda e asës së inecisë pë ëshqiësin ëshë eë pia e dinaa: a cs dhe eqë O aëheë edhe O Qenda e asës së inecisë pë ëshqiësin D ëshë eë pia D e dinaa: D dhe D a sin Qenda e asës së inecisë në deji ë asi cahe e shpehjen: i i D D c i a 9 cs a cs a cs a cs 9 c a cs 5 Qenda e asës së inecisë në deji ë asi cahe e shpehjen: i i D D c i D D a 9 sin asin asin asin 9 c a sin 5 uacinin e ajees e cajë due eleinua ëndin na shpehje pë c dhe c pa due i niu në aë dhe bledhu anë pë anë euacine dhe : 5

55 D sc he Shala c c a cs a sin a pa ajeja e qendës së asës së ëij eanizi paaqe ehin e qendë në filli ë sisei 9 dinai dhe eze a ajeja c f c 9 a O DTY : ë eanizin e eua në fiuën e ëpshe ë shuhen euacine e lëizjes së qendës ë asës së inecisë nëse: Shufa O ëshë e jaësi l dhe asë shufa O e jësi l dhe asë shufa e jaësi l dhe asë shufa D e jaësi l dhe asë use ëshqiësi D që und ë ee si pië aeiale a asë 5 Shufa D ëshë e lidhu pë esin e shufës dhe ëshqiësin D e çëniea O O l ca euacinin e ajees së qendës së asës së inecisë l Zjidhje: 5

56 ëbledhje deash ë zjidhua na DINMIK dhe apliii i sfei Malab θ ψ l Sisei i dhënë aeial pëbëhe na pesë upa Shufa O e qendë ë asë në ë cila cahen na: l O cs cs dhe sin sin l O Shufa O e qendë ë asë në ë cila cahen na: eqë O O l aëheë ëndi që fn shufa O e asin ëshë ψ pa: l l OO O cs l cs dhe O sin sin Shufa e qendë ë asë në ë cila cahen na: O cs l l cs dhe O sin l sin Shufa D e qendë ë asës në ë cila cahen na: eqë: O cs D csθ l l cs l l csθ l csθ cs θ aëheë ëndi që fn shufa D e asin ëshë θ pa: l l l l D cs l cs dhe O sin sin l sin sin sin ëshqiësi D e qendë ë asës në D 5 5 ë cila cahen na: 5 l i dhënë e deë dhe O sin D sin l sin l sin l sin Qenda e asës së inecisë në deji ë asi cahe e shpehjen: i i 55 c i l l l cs l cs l l cs l cs l c 5 55

57 D sc he Shala l l cs c 6 7 6l l cs c 6 ëshu liji i lëizjes së qendës së asës së ëij sisei në deji ë asi d ë jeë: 7 c l l cs Qenda e asës së inecisë në deji ë asi cahe e shpehjen: i i 5 5 c i l l l sin sin l sin sin l sin c l sin l sin c c 6 6 ëshu liji i lëizjes së qendës së asës së ëij sisei në deji ë asi d ë jeë: c l sin uacinin e ajees e cajë due eliinua ëndin na shpehje pë c dhe c pa due i niu në aë dhe bledhu anë pë anë euacine dhe : c l c cs sin 7 l l pa ajeja e qendës së asës së ëij eanizi paaqe elipsën e qendë në piën Ql dhe e jsëbshe: 7 - në deji ë asi : a l në deji ë asi : b l 5 l ajeja c f c O l Q 7 l 56

58 ëbledhje deash ë zjidhua na DINMIK dhe apliii i sfei Malab DTY : lei e peshë ëshë i endsu në bazaenin e lëua hiznal ë bsh ë elei nën ënd ë dejë ëshë i lidhu njëi saj i shufës O e jaësi l dhe peshë Q use në sajin jeë ë shufës jende naesa e peshë e cila und ë nsidehe si pië aeiale Nëse bshi i elei në filli ishe në qeësi pasaj filln ë ullhe e shpejësi ënde nsane ë cahe: a Liji sipas ë cili elei lëiz në deji ë hiznales nëse ai nu ëshë i lidhu pë bazaen e bulna b Fcën asiale në deji hiznal e cila epn në bulna pëes ë cilëe lidhe elei e bazaen c ani shpejësinë ënde ë ë ël ë elei e ë cilën ai d ë fillj ë ëcej shëpue bi bazaen nëse nu ëshë i lidhu e bulna l O Zjidhje: O Q F a Sisei i dhënë pëbëhe na e upa le ë i cajë dinaa e qendae ë asae: lei qendën e asës e a në piën O u: dhe Shufa O qendën e asës e a në esin e jaësisë së saj pa pia u: l l sin dhe cs Naesa si pië aeiale qendën e asës e a në piën u: l sin dhe l cs F N 57

59 D sc he Shala Sisei në ëësi qendën e asës e a në piën c c ë cila cahen na: i i el sh n i el sh n l Q sin l sin c Q due e diu se: d aëheë: pa: d l Q sin l sin c Q Q Q l sin c Q Nëse shpehjen e deijë d heë aëheë fijë: Q Q l sin c Q Në bazë ë liji ë dë ë Njuni ei se: M a c F i i pë deën në nëse ëë euacin e pjejë në deji ë asi X sepse ë jiha fca pesha janë eiale elei ende nu ëshë i lidhu e bulna pë bazaen F nu ezisn u nu a bulna aëheë: M c X i i pej na: c Këshu pa shpehja duhe ë baazhe e ze pa: Q Q l sin c Q pej na: Q Q l sin Q l sin Q pas ineii fijë: Q l cs Q pas edhe një ineii: Q l sin Q Knsane e ineii dhe cahen na ushe fillesae u eqë sisei në çasin fillesa ishe në qeësi aëheë: 58 i i

60 ëbledhje deash ë zjidhua na DINMIK dhe apliii i sfei Malab Q Q l l Q Q Këshu liji i lëizjes së elei nëpë afshin e lëua hiznal d ë jeë: Q Q l l sin Q Q b Ku janë ë endsu bulna pë pëfci ë elei e bazaen aëheë shpehja e pjeua në deji ë asi d ë jeë: M X F c i i Në ëë as niii i qendës së elei ëshë ze pa: aëheë në bazë ë shpehjes ei: Q l sin Q pëaësish e zëendësi në fijë: Q l sin Q F M c Q Q F l sin shenja - en se fca eale në bulna a ahen e undë e aë ë supzua pa inensiei eal i fcës F ëshë: Q F l sin lea ë e adhe e ë cilës aihe pë sin 9 pa: Q F a l c Në enin u elei d ë fillj ë shëpue na bazaeni nëse nu a bulna lidhës aëheë easini inial i bazaeni në ele d ë jeë ë i ël se baas e ze pej na d ë pjë ë cajë ushin e shpejësisë ënde ë elei pa: F 5 N in Sipas shpehjes ë pjeua në deji ë asi ei: M Y F Q c i i N F N Q M c 6 Kdinaën c e qendës së asës së ëij sisei e cajë e shpehjen: i i el sh n c i el sh n l Q cs l cs c Q d due e diu se aëheë: pa: d 59

61 D sc he Shala l Q cs l cs c Q Q Q l cs c 7 Q Nëse shpehjen 7 e deijë d heë aëheë fijë: Q Q l cs c Q dhe eqë elei nu bën ë lëiz në deji ë asi aëheë pa: Q l cs Q c l cs 8 Q Q Nëse e zëendësjë shpehjen 8 në 6 dhe due aë në nsidei ushin 5 fijë: F Q M N in c Q Q Q l cs cs ee pë F Nin Q Q Q l pej na shpejësia ënde iie e elei nëse e plësn ushin: Q Q l elei d ë fillj ë ëcej shëpue na bazaeni në ëë as nejie endsja e bulnae pë lidhje e bazaen DTY : Meanizi anielë-bielë pëbëhe na shufa O e asë dhe jaësi l në ë cilën epn eni ai M ashu që shufa ullhe e shpejësi ënde nsane shufa e asë dhe jaësi l ëshqiësi e asë eanizë ëshë i endsu bi pllaën e peshë Nëse pllaa ëshë e endsu bi bazaen e ças eficieni i fëii ndëje pllaës dhe bazaeni ëshë µ ë cahe: a Fca e fëii dhe fca e shpjes easini nale ë bazaeni në pllaë në funsin ë ëndi ë ullii ë anielës O dhe b ani peshën iniale ë pllaës ashu që ë s ije dei e ëshqija e pllaës ndaj bazaeni O M Zjidhje: 6

62 ëbledhje deash ë zjidhua na DINMIK dhe apliii i sfei Malab O M F µ a Nisei na ushi që pllaa nu lëiz pa liji i dë i Dinaiës d ë jeë: j a c F i i Në asin në sisei pëbëhe na aë upa pa: a a a a F F N p N F µ se ë pjeua në deji ë asee dhe : : : p p F µ F Kdinaa e qendae ë asae pë secilin up eç e eç janë: Maniela O a qendën e asës ë cila në funsin ë ëndi janë: O cs l cs eqë ns aëheë pa: l cs pëaësish pas deiii d heë: l cs N l sin pëaësish pas deiii d heë: l sin iela a qendën e asës ë cila në funsin ë ëndi janë: eqë O aëheë ëndi O Ocs cs l cs l cs l cs l cs pëaësish pas deiii d heë: l cs l sin pëaësish pas deiii d heë: l sin ëshqiësi si pië aeiale a qendën e asës ë cila në funsin ë ëndi janë: Ocs cs l cs l cs l cs l cs pëaësish pas deiii d heë: l cs pëaësish pas deiii d heë: ëshqiësi nu und ë lëiz në deji ë asi llaa si up nu duhe ë lëiz aëheë dinaa e qendës së saj janë adhësi nsane pa: p ns pëaësish pas deiii d heë: p p ns pëaësish pas deiii d heë: p 6

63 D sc he Shala Me zëendësi në shpehje dhe fijë: pej na: l cs l cs l cs F l sin l sin Fµ 8l cs F N F N l sin u: b Që ë s ie dei e ëshqija e pllaës nëpë bazaen duhe që ë plëshe jbaazii: F µ F µ < N u: µ - paaqe eficienin e fëii ndëje pllaës dhe bazaeni Nëse zëendësjë shpehje e fiuaa ë paë jbaazii eë fën: 8l cs < µ l sin 8l cs > l sin µ 8l > cs l sin µ p ej na le ë jejë deiain sipas hës ë dhe i cili duhe ë baazhe e ze ashu që ë cahe pesha iniale dhe në end ë > ai pa: d 8l sin l cs d µ pëaësish: sin cs µ µ an an aëheë pesha iniale e pllaës pë ë cilën d ë fillj ëshqija d ë jeë: l 8 cs l sin µ dhe pë çd > nu d ë ei ëshqije ë pllaës nëpë bazaen µ 6

64 ëbledhje deash ë zjidhua na DINMIK dhe apliii i sfei Malab DTY 5: iza në fë ë paalelai ënddejë e peshë ëshë i bësheu në afshin e lëua hiznal dhe a një sipëfaqe ë bendshe në fë jsësfeës e eze nëpë ë cilën lëiz sfea e peshë dhe eze due fillua na pzicini pa shpejësi fillesae Të cahe pë sa d ë zhendse piza u sfea ain në pzicinin Zjidhje: c c Siç shihe na fiua lëizja he nën epiin e peshae ë cila anë deji eialish pshë Le ë zbajë lijin bi ndshiin e sasisë së lëizjes së ëij sisei: dk j Fi d i jejë në deji hiznal : dk X i d i pej na jedhë se: K ns pëaësish K K eqë lëizja filln na qeësia pa sasia e lëizjes në deji ë asi uhe dhe aj ëshë e njëjë si në çasin u sfea ëshë në pzicinin ashu edhe u aj ain në pzicinin Sasia e lëizjes u sfea ëshë në pzicinin : K M c Le ë llaisi sasinë e lëizjes së ëij sisei pë çasin u sfea ain në pzicinin si në fiuën paapae pa: 6

65 K M c Këshu pa: M M c c c c c d c c c c inejë: D sc he Shala shuëzjë e asën e ëë sisei M: M c M c ë pzicinin fillesa ei: M c ë pzicinin ei: Mc c c Due zëendësua në shpehjen fijë: Na fiua shihe se > aëheë shenja - en se pllaa d ë lëizë në ahe ë undë e aë ë supzua 6

66 ëbledhje deash ë zjidhua na DINMIK dhe apliii i sfei Malab LËVIZJ TUIT M MSË TË NDYSHUSHM VIËL DTY : aea e asë në çasin fillesa lëiz në fushën hjene ë aiei ë Tës eialish la ë e nii nsan a Shpejësia e jedhjes së azae hahii ë abuani ëshë nsan e ns Të cahe liji i ndshii ë asës së aeës ha pë ë cilën asa e aeës zëlhe pëjsë jihashu pë ëë hë ë cahe se sa ëshë adhësia e shpejësisë së aeës d he laësia në ë cilën ain ezisenca e abieni ë nelizhhe Zjidhje: a Φ uacini i Meshqesi pë lëizje ë upi e asë ë ndshueshe ëshë: d j d F Φ d d F j u: - paaqe peshën e aeës d Φ - paaqe fcën eaie d asa e aeës në një ças ë hës Nëse euacinin e pjejë në deji ë lëizjes fijë: d d d d d a d O 65

67 d a d inejë d a a ln d a D sc he Shala e Le ë ai se asa fillesae e aeës pas një he T d ë zëlhe pëjsë pa: pej na: a T e a T e a T ln ln ln ëshu ha pë ë cilën pëjshe asa e aeës ëshë: T ln a uphe nu ëshë eale që në ëë as asa e abuani në çasin fillesa ë eë qenë ë e ël se jsa e asës së pëjihshe ë aeës Meqë aea lëiz e nii nsan a aëheë: a ns pej na: d a ns a d d a d ëshu nëse e zëendësjë hën T pë ë cilën asa e aeës ëshë pëjsua fijë shpejësinë e aeës në aë ças: T a T a ln azhdjë a d ad d a d T H T H a pëaësish e zëendësi ë hës T pë ë cilën asa e aeës ëshë pëjsua fijë laësinë në ë cilën a aiu aea: ln H a T a a 66

68 ëbledhje deash ë zjidhua na DINMIK dhe apliii i sfei Malab DTY : aea lëizë në fushën e fcës së aiei sipas ijës hiznale Shpejësia e elaie e jedhjes së azae abuani ëshë e inensie nsan dhe dejii i saj e hiznalen fn ëndin α Nëse ëshë nui i ialsi api ndëje asës fillesae ë abuani dhe asës së aeës pa lëndë djeëse abuan jeni adhësinë e shpejësisë së aeës në çasin u ëshë hahua lënda djeëse abuani dhe uën ë cilën aj e a alua dei në aë ças Në çasin fillesa aea a qenë në qeësi ezisenca e aji ë nelizhhe Zjidhje: s O α uacini i Meshqesi pë lëizje ë upi e asë ë ndshueshe ëshë: d d d d Nëse ëë euacin e pjejë në deji ë asee dhe fijë: : d d cs α d d : d sinα d N a jedhë: d d sinα aa se ë inejë le ë ai ë shënie: - asa e aeës e lëndë djeëse në çasin fillesa ns l d ns l d - asa e aeës e lëndë djeëse në çasin ë hës ns - asa nsane e aeës asa e nsusini ë aeës - asa e lëndës djeëse abuani në çasin fillesa ld ld - asa e lëndës djeëse abuani në çasin ë hës Nëse inejë anë pë anë euacinin ei: d d sinα ln pej na: sinα 67

69 sinα sinα ln ln sinα ln ns ns l d l d D sc he Shala l d Madhësia quhe nui i ialsi aëheë ha pë ë cilën hahhe e ëë lënda ns djeëse abuani ëshë: l d ns l d ns l d l d l d sinα T ln Na jedhë se: d d csα d d d d csα due zëendësua na fijë: d d csα d cα d sinα anα inejë d cα d c α Këshu pë T në enin e hahii ë lëndës djeëse abuani shpejësia e aeës d ë jeë: sinα csα T cα T cα ln sinα ln csα ln sinα Due e diu se: ds c α d aëheë ds c α d inejë s T ds cα d aëheë ua e alua dei në çasin e hahii ë lëndës djeëse abuani ëshë: T sin α csα sin α s T cα cα ln ln sinα sinα csα sin α s T ln ln 68

70 ëbledhje deash ë zjidhua na DINMIK dhe apliii i sfei Malab SSI LËVIZJS MOMNTI I SSISË SË LËVIZJS MOMNTI KINTIK I SISTMIT MTIL Tabela e enee ë inecisë ë disa upae hjen Fa upi e OZIT KSV DH FOM TUIT Meni i inecisë Shufa e hllë Unaza ehe eli në fë ë ehi z O z l/ l/ J l J z J l J z J J J J z llaa në fë ë unazës ehe llaa ënddej b a J J J z llaa ehe J J J z b J a J J z a b 69

71 D sc he Shala llaa në fë ë elipsës b a b J a J J z a b llaa në fë ë eëndshi llaa e hllë ënddejë h b z a a b h/ h/ J h 8 J h 6 J h b J J a b a J z z z aalelpipedi ënddej c a b ubi e binjë a: J J J z 6 a J J J z a J b c J c a J z a b J b c J c a J z a b 7

72 ëbledhje deash ë zjidhua na DINMIK dhe apliii i sfei Malab ull iaida e bazë ë e h/ z h/ b a z J a h 8 J b h 8 J z a b iaida e eull aëfaqëse ab: h J J a J a z h ilind i i d ejë e H J J H J J H J z J H z pi cilindi H J z ilindi e ue ë hlla: J J 6 H J z 7

73 D sc he Shala Kni i dejë eh h/ h/ z H J J h 8 J z Kni i dejë i cunua e laësi H: 5 5 J z z Sfea J J J z 5 J 5 z jsë sfea /8 O J J J J z 5 8 J z lipsidi eas z c b a J b c 5 J c a 5 J z a b 5 J b 6c 5 7

74 ëbledhje deash ë zjidhua na DINMIK dhe apliii i sfei Malab DTY : ë eh cilindi e peshë dhe eze i cili und ë ullhe eh asi hiznal Oz ëshë i pëshjellu një lia Në d saje dhe ë liai bahen e dua d njeëz e pesha ë njëja çd ë bëhe e njeiun sa d ë jeë shpejësia e ij nëse njeiu filln ë nië la nëpë lia e shpejësi Masa e liai dhe fëii ë nelizhhen Zjidhje: O z Siç shihe na fiua ei ë bëjë e ulliin e sisei ë upae eh asi ë palëizshë në asin në asi hiznal O z Liji bi ndshiin e eni inei pë asin Oz a fën: dl j z F i M d i në deën në ei: dl j z F M i d i pej na: Lz ns pa ei ë bëjë e uajjen e eni inei ëshu: L z L z L sepse lëizja a fillua na qeësia aëheë: z z L z L Llaisi enin inei pë një ças ë hës u ei i pjesë ë ij dhe aë pë cilindë pë njeiun dhe njeiun : Lz J z J z - eni i inecisë së cilindi pë asin z - shpejësia ënde e ullii ë cilindi eh asi z 7

75 D sc he Shala - asa e njeiu - asa e njeiu na fiua shihe se: as zëendësii në shpehjen dhe due aë paassh shpehjen ei: pej na: ëshu shpejësia e njeiu nëse njeiu nië laë liai e shpejësi d ë jeë: DTY : Unaza pe ehe e peshë dhe eze e cila shihe në afshin eial i ëshë dhënë një shpejësi ënde fillesae Nëpë unazë lëizë sfea M e asë due fillua na pzicini ë i laë Të cahe api ndëje shpejësisë ënde asiale dhe asaj iniale ë unazës Zjidhje: z X Y M e Z O X O O Y O Liji bi ndshiin e eni inei pë asin Oz a fën: dl j z F i M d në deën në ei: i 7

76 dl d ëbledhje deash ë zjidhua na DINMIK dhe apliii i sfei Malab z j M F i i sepse ë jiha pesha janë paalele e asin z use dejie e easinee aljnë nëpë asin z K ëshu: L z ns pa e i ë bëjë e uajjen e eni inei: L z Lz Meni inei në çasin fillesa ëshë: Lz J z Sipas abelës së enee ë inecisë ai unazën pe si një el i hllë eh dhe a pëjije eni i inecisë pë asin use në deën në ëshë i eëua z pa: J z - eni i inecisë së unazës pe pë asin z - shpejësia ënde e ullii ë pllaës në çasin fillesa Zëendësjë në : Lz Meni inei i ëij sisei në çasin u pzicini i sfeës pëcahe e ëndin d ë jeë: Lz J z e sin e sin aëheë: L z sin sin L z sin Zëendësjë në shpehjen dhe fijë: L z L z sin aëheë shpejësia ënde e unazës në funsin ë ëndi d ë jeë: sin Na shpehja shihe se shpejësia ënde e unazës d ë eë leë asiale pë ëndin pa: a sin 5 a use leën iniale d a eë pë ëndin 9 pa: in sin 9 in 6 Due i pjesëua ndëje ei shpehje 5 dhe 6 cajë apin ndëje shpejësisë ënde asiale dhe iniale ë unazës pa: a in 75

77 D sc he Shala DTY : lafa ehe e peshë dhe eze hiznale ullhe eh asi eial ë aiei e shpejësi ënde nsane jaë ësaj në plafë jenden aë njeëz e pesha ë njëja D në pia dhe në saje ë plafës e d jeë në pia dhe D në laësi / na bshi ë ullii Të cahe ndshii i shpejësisë ënde ë plafës nëse njeëzi dhe filljnë ë lëizin nëpë peifei ë plafës e shpejësi use njeëzi në pia dhe D filljnë ë lëizin e shpejësi nëpë ajeen e eze / Të jihë njeëzi lëizin në ahe ë njëjë e ulliin e plafës jihashu ë cahe adhësia e shpejësisë elaie pë ë cilën plafa d ë ndale lafa ë nsidehe pllaë ehe hjene use njeëzi si pia aeiale Zjidhje: z O z D Liji bi ndshiin e eni inei pë asin Oz a fën: dl j z F i M d i në deën në ei: F dl j z M i sepse ë jiha pesha janë paalele e asin z d i pej na: L z ns pa ei ë bëjë e uajjen e eni inei ëshu: L L 76 z z

78 ëbledhje deash ë zjidhua na DINMIK dhe apliii i sfei Malab Meni inei në çasin fillesa ëshë: J L D z z J - eni i inecisë së pllaës pë asin z z - shpejësia ënde e ullii ë pllaës në çasin fillesa shpejësia fillesae e njeiu shpejësia fillesae e njeiu shpejësia fillesae e njeiu D shpejësia fillesae e njeiu D Zëendësjë në : L z z L Meni inei L z ëshë: D z z J L - shpejësia ënde e ullii ë pllaës në çfaëd çasi shpejësia abslue e njeiu shpejësia abslue e njeiu shpejësia abslue e njeiu D shpejësia abslue e njeiu D Zëendësjë në : L z z L 5 Sipas shpehjes shpehje 5 dhe janë ë baabaa pa: ëshu shpejësia ënde e plafës në funsin ë shpejësisë elaie d ë jeë: ë u ndalu plafa duhe që pej na caj : ë ' pëaësish: ' 77

79 D sc he Shala DTY : Shufa D e jaësi l dhe asë M ullhe eh asi eial Oz nën epiin e eni ë qifi ë fcae M F u l -ha Nëpë shufë und ë lëizin unaza dhe e asa Nëse shufa D ullhe eh esi ë saj asi Oz use unaza nu zhendsen na laësia l/ na asi Oz pasaj epii i eni M F ndëpie pas sendës së dë ë cahe shpejësia ënde e shufës në enin u unaza ain në pia saje pëaësish D due e diu se a lëizin e shpejësi ë njëja ns nëpë shufë M F D l/ l/ Zjidhje: M F D e e l/ l/ M nalizjë lëizjen e ëij sisei pë hën dei në s: 78

80 ëbledhje deash ë zjidhua na DINMIK dhe apliii i sfei Malab Liji bi ndshiin e eni inei pë asin Oz a fën: dl j z F M i d i në deën në ei: dl j z F M i M F l d i Meni inei pë asin z d ë jeë: l l Lz J z J Ml z - eni i inecisë së shufës pë asin Oz l shpejësia e unazës në pzicinin pëaësish Zëendësjë në : l l l L l z Ml L z M l pëaësish deiai i ij: dl z d M l d d zëendësjë në shpehjen dhe fijë: d M l l d d d M inejë anë pë anë d d M M pë hën s cajë shpejësinë ënde ë shufës në çasin u ndale epii i eni pa: M 8 M ë inealin e hës pas d sendae epii i eni ndale aëheë liji bi ndshiin e eni inei pë asin Oz a fën: dl j z F M i d i pej na ai: L z ns pëaësish eni inei u unaza nddhen në pzicine pëaësish ëshë i njëjë e aë u unaza aijnë në pzicine pëaësish D pa: L L z z D 79

81 D sc he Shala Meni inei u unaza janë në pzicine pëaësish llaie sipas shpehjes pë pa: 8 Lz Lz M l M l M Lz l 5 Meni inei u unaza aijnë në pzicine pëaësish D llaie e shpehjes: l l Lz D J z e e l e aëheë: l l l L l z D Ml Lz D M 6 l 6 Sipas shpehjes shpehje 5 dhe 6 janë ë baabaa pa: l M 6 l ëshu shpejësia ënde u unaza aijnë në pzicine pëaësish D d ë jeë: M 6 DTY 5: llaa ehe hjene e eze dhe peshë und ë ullhe eh asi eial Oz i cili ëshë nal në afshin e pllaës Në pllaë jende anali O në fë ë jsëehi nëpë ë cilin und ë lëiz pia aeiale M e peshë Në çasin fillesa në pllaë filln ë epi eni i çifi ë fcae M F u / dhe në fund ë sendës së eë epii i eni ndale use pia filln lëizjen nëpë anal pej pzicini ah sipas liji s /π Në çasin fillesa sisei nddhej në qeësi Të cahe shpejësia ënde e pllaës në çasin u pia aeiale ain në pzicinin 8

82 Zjidhje: ëbledhje deash ë zjidhua na DINMIK dhe apliii i sfei Malab e Lëizjen e ëij sisei e analizjë në d pjesë ë hën s ei: dl j z F M i M F d Llaisi enin inei pë asin z pëaësish pë piën O: Lz J z O J z O O L z J z O deijë sipas hës: dl z d d d pej n a due zëendësua në shpehjen fijë: d d d 6 d inejë: 6 d d 8

83 D sc he Shala pëaësish shpejësia ënde e pllaës pas e sendae d ë jeë: 6 7 ë inealin pas e sendae eni pushn së epuai pia aeiale filln lëizjen ëshu ei: dlz F M i j d pej na: L z ns pa: L L z z Meni inei u sfea jende në pzicin use pllaa ullhe e shpejësi d ë jeë: 7 7 Lz 7 L z Meni inei u sfea ain në pzicinin use pllaa ullhe e shpejësi d ë jeë: e L z J z O ds d d d π π p ë ei: π hën e cajë na baazii i jaësisë së hau pa: π π na ëu ei: π π [ s] Lz π L z Na L z Lz ei: 7 pëaësish shpejësia ënde e pllaës u pia aeiale ain në pzicinin : 58 8

84 ëbledhje deash ë zjidhua na DINMIK dhe apliii i sfei Malab LËVIZJ LN TUIT TË NUTË DTY : Nën epiin e eni M cilindi e peshë dhe eze ullise pa ëshqije nëpë afshin hiznal Të cahe liji i lëizjes së qendës së asës së cilindi dhe fca e fëii ndëje cilindi dhe afshi ë pjeë Keficieni i fëii në ullisje ëshë Lëizja a fillua na qeësia M Zjidhje: M c F µ F N Shjë euacine e lëizjes plane pë ëë cilindë: F µ c c F N c sepse qenda e asës së cilindi nu lëiz në deji ë asi aëheë na euacini ai që: F F J N N c M Fµ F N 8

85 D sc he Shala u eni i inecisë së cilindi pë qendën e asës c ëshë: J c use na lidhje ineaie: c c c pëaësish e deii: c Zëendësjë në euacinin : c M Fµ M c Fµ N a euacini fijë: c F µ 5 zëendësjë në euacinin dhe cajë fcën e fëii: M F F µ µ M Fµ M Fµ Zëendësjë në euacinin 5 dhe fijë niiin e qendës së asës ë cilindi : M c pas d heë ineii fijë lijin e lëizjes së qendës së asës ë cilindi : M c DTY : ilindi e ue ë hlla e peshë dhe eze nië e ndihën e liai i cili aln nëpë aaaë dhe siç ëshë paaqiu në fiuë Në saje e liai epjnë fca pëaëse F dhe F Due e nelizhua asën e liai ë cahe niii i qendës ë asës së inecisë së cilindi shpejësia ënde dhe ha pë ë cilën qenda e ij nië pë laësinë h F F 8

86 Zjidhje: ëbledhje deash ë zjidhua na DINMIK dhe apliii i sfei Malab F F F F c Shjë euacine e lëizjes plane pë unazën e hllë : c pej na: c sepse qenda e unazës nu lëiz në deji ë asi c F F J c F F u eni i inecisë së unazës pë qendën e asës ëshë: J c Na euacini ai: F F F F pej na: d F F d d F F d inejë: d F F d aëheë shpejësia ënde e unaz ës së hllë d ë jeë: F F 85

87 Na euaci ni ai: F c F pej na: d c F F d F F d c d inejë: c F F d c d pej na: F F c d c F F d F F d c d inejë: c d c F F d D sc he Shala pej na liji i lëizjes së qendës së asës së unazës ëshë: F F c K hën pë ë cilën qenda e unazës a alua uën h e cajë na: c h h pa: F F h c h h pej na ha pë ë cilën qenda e unazës nië pë laësinë h ëshë: h h F F 86

88 ëbledhje deash ë zjidhua na DINMIK dhe apliii i sfei Malab DTY : Sisei i eua në fiuë pëbëhe na ëndi e asë dhe disu hjen eh e asë dhe eze Këndi jende bi afshin hiznal ndësa disu b bi ënd Në dis ëshë bëshjell liai i cili në njëin saj ëshë i lidhu pë piën ë ëndi liai pej disu dei ëndi ëshë hiznal Të cahe fca në lia nëse në dis epn eni ai M Keficieni i fëii në ëshqije ndëje disu dhe ëndi ëshë µ Masa e liai ë nelizhhe M Zjidhje: S F µ M S N N F µ N uacine e lëizjes plane pë disun hjen : c S F µ c N c sepse qenda e disu nu lëiz në deji ë asi aëheë pej euacini cajë easinin e ëndi në disun : N J c M S Fµ u eni i inecisë pë qendë ë disu ëshë: 87

89 D sc he Shala J c uacine e lëizjes plane pë ëndin janë eë d pasi që ai bënë lëizje anslaie: S F µ N N 5 sepse ëndi bënë lëizje dejize eë në deji ë asi aëheë pej euacini 5 cajë easinin e afshi hiznal në ëndin : N N N N Na lidhje ineaie ei: K K K K Nëse pjesëjë ë d shpehje fijë: c K K pej na: K c K c pëaësish shpejësia ënde e disu : c K K c pej na pas deiii: c Due e diu se eficieni i fëii ëshë µ aëheë sipas liji ë Kulni ei: Fµ µ N aëheë: F µ µ as zëendësii fijë: S : µ c : M S µ : S µ 88

90 ëbledhje deash ë zjidhua na DINMIK dhe apliii i sfei Malab Nëse zëendësjë në fijë: µ c µ aëheë fca në lia na ëshë: M M S µ c µ Due e diu se e ei ë dhënë M aëheë: S µ due e baazua ëë dhe shpehjen fijë niiin e ëndi : µ 7 use niii i qendës së disu d ë jeë: µ 7 dhe pëfundiish fca në lia d ë jeë: S µ µ S 7 DTY : S isei aeial i eua në fi pëbëhe na: Disu e eze dhe peshë pë ë cilin ëshë i bëshjellu njëi saj i liai use saji jeë që aln nëpë aaanë dhe bëshille pë disun e dfishë e eze pëaësish dhe peshë Due s e pëfillu asën e liai fëiin në lia diensine e aaasë ë cahe easini i afshee ë pjeëa në cilinda dhe fca në lia dhe niii i qendës së disu α α 89

91 Zjidhje: D sc he Shala S S F α F µ N F µ N α F α α Sisei a një shallë liie uacine e lëizjes plane pë disun janë: S Fµ sinα N csα sepse qenda e disu nu lëiz në deji ë asi aëheë pej euacini caj ë easinin e afshi ë pjeë në disun : N csα J S F µ u eni i inecisë pë qendën e disu ëshë: J uacine e lëizjes plane pë disun janë: S Fµ sinα N csα 5 sepse qenda e disu nu lëiz në deji ë asi aëheë pej euacini 5 cajë easinin e afshi ë pjeë në disun : N csα J S F 6 µ u eni i inecisë ë disun ëshë: J Na lidhje ineaie ei: F 9

92 ëbledhje deash ë zjidhua na DINMIK dhe apliii i sfei Malab na ëu ei: pëaësish: pëaësish: 8 8 pëaësish: as zëendësii në euacine dhe 6 ei: : S Fµ sinα : 8 S Fµ : S Fµ sinα 6: S Fµ Këshu ei fiua sise pej aë euacinesh e aë ë panjhua S F F µ µ e zjidhje ë ë cili fijë: ej ei: S Fµ 8 zëendësjë në fijë: Fµ sinα a 6 aëheë fca në lia d ë jeë: 9 S sinα sinα b Na euacini 6 fijë: 9 F µ S sinα 6 Fµ sinα c zëendësjë në dhe fijë: 9 : sinα sinα sinα 6 9 sinα 6 5 sinα pëfundiish niii i qendës së disu d ë jeë: sinα Zëendësjë në shpehjen a dhe cajë fcën e fëii ndëje disu dhe afshi ë pjeë: 9

93 D sc he Shala sinα F µ sinα α 6 6 sin F µ sinα Na shpehja b fca në lia d ë jeë: 9 sinα 9 α S sin sin α S sinα Na shpehja c fcën e fëii ndëje disu dhe afshi ë pjeë d ë jeë: sinα µ sinα F sinα sinα F µ sinα NJI KINTIK SISTMIT MTIL UN FOV TË JSHTM DTY : Qendës së cilindi eh e eze dhe peshë i cili und ë ullise sipas sipëfaqes ehe e eze i jepe një shpejësi fillesae Nëse në çasin fillesa cilindi jendej në pzicinin ë ë ulë ë sipëfaqes ehe ë cahe liji i ndshii ë shpejësisë ënde ë ij O θ Zjidhje: 9

94 ëbledhje deash ë zjidhua na DINMIK dhe apliii i sfei Malab O θ h M M F µ F N Meqë duhe ë cahe liji i ndshii ë shpejësisë ënde due diu shpejësinë fillesae ë qendës së cilindi aëheë zbajë lijin bi ndshiin e enejisë ineie pej pzicini filles a dei në pzicinin e caua e ëndin θ pa: j F nejia ineie në çasin fillesa i ëshë: J c eni i inecisë së cilindi pë qendën e asës së ij: J c use shpejësia ënde fillesae e cilindi ëshë: aëheë: nejia ineie në çasin e pëcaua e ëndinθ ëshë: c J c shpejësinë e qendës së cilindi e cajë na: c aëheë: c 9

95 D sc he Shala j una e fcae ë jashe paaqe punën e peshës së eë cilindi use fca jea F dhe F µ nu ejnë punë pasi që epjnë në qendë ë çasi ë shpejësie e cila e a inensiein ze ëshu puna e peshës së cilindi ëshë: j F h csθ i F i csθ Zëendësjë shpehje dhe në euacinin dhe d ë ei: csθ cs θ csθ 5 Nëse dua që shpejësinë ënde ë shpehi pëes ëndi eja ë ullii ë cilindi aëheë nisei na ushi që nu a ëshqije aëheë hau M duhe ë jeë i baabaë e haun M pa: θ θ zëendësjë në 5: cs DTY : Naesa dhe e asa ihen në lëizje nëpëje d aaae u qenda e aaasë O ëshë e palëizshe use e asaj e lëizshe Naesa në një ças ë hës a shpejësinë Sa uë duhe ë alj naesa që shpejësia e saj ë ie d heë nëse aaaë anë asa pëaëse / dhe eze Fëii në liaë ë s pëfille use eficieni i fëii ndëje naesës dhe afshi hiznal ë ee µ N 9

96 ëbledhje deash ë zjidhua na DINMIK dhe apliii i sfei Malab Zjidhje: K sise i upae a një shallë liie ëeësjë pë dinaë ë pëjihësua zhendsjen e naesës pëaësish shpejë sinë e saj eialish pshë si në fiuën ijuese D F µ D N D Liji bi ndshiin e enejisë ineie pej një pzicini në një pzicin jeë ëshë: j F i pzicini nënupn çasin u naesa a shpejësinë use pzicini nënupn çasin u shpejësia e naesës ie d heë në ahasi e aë paapae Supzjë se ua e alua ëshë s e cila duhe ë cahe Le ë llaisi enejinë ineie pë ëë sise në funsin ë shpejësisë së naesës : O u: nejia ineie e naesës : nejia ineie e aaasë : J J u enin e inecisë pë qendë ë aaasë p e ai si pë dis: J na fiua shihe se: në anën jeë: aëheë enejia ineie e aaasë d ë jeë: 8 95

97 D sc he Shala nejia ineie e aaasë O: O J u enin e inecisë pë qendë ë aaasë O papë e ai si pë dis: J O na fiua shihe se: D në anën jeë: D D aëheë enejia ineie e aaasë O d ë jeë: O nejia ineie e naesës : u na fiua shihe se: D aëheë ei: Këshu pas zëendësii në shpehja pë eneji ineie ë ëij sisei në funsin ë e fën: ë pzicinin ei ë dhënë se shpejësia e naesës ëshë aëheë na : ëshu enejia ineie pë pzicinin d ë jeë: use pë pzicinin duhe që shpejësia e naesës ë ie pë d heë aëheë d ë jeë: ëshu enejia ineie pë pzicinin d ë jeë: Në deën në punë ejnë pesha e naesës pesha e aaasë dhe fca e fëii ndëje naesës dhe afshi hiznal pa due e diu se ua e alua e naesës d ë jeë njëfaë s fijë: j Fi s s Fµ s u fca e fëii cahe na liji i dë i Njuni i pjeua në deji eial pë naesën pa: N N sepse naesa nu lëiz në deji eial use due e diu se sipas liji ë Kulni ei apin: 96

98 F ëbledhje deash ë zjidhua na DINMIK dhe apliii i sfei Malab µ µ N u µ ëshë eficieni i dhënë i fëii ndëje naesës dhe afshi hiznal aëheë fca e fëii ëshë: F µ µ Na shpehja pë shpejësinë e naesës : pas ineii ai se: s s s s ëshu pas zëendësii puna e fcae d ë eë fën: j Fi s s µ s µ s Nëse ë jiha ë llaije i zëendësjë në shpehjen : j F i 7 7 µ s 8 pej na ua ë cilën e aln naesa d ë jeë: 8 s 6 µ DTY : Sisei aeial pëbëhe na cilindi hjen e peshë dhe eze cilindi jihashu e peshë dhe eze si dhe aaaja Njëi saj i liai ëshë i bëshjellu pëeh cilindi dhe pasaj aln nëpë aaanë e peshë / dhe eze dhe saji jeë bëshille pë cilindin ilindi und ë ullise pa ëshqije nëpë afshin e pjeësi α në ë cilin epn eni ai ullues M b pa i cili ëshë ppcinal e ëndin e ullii cilindi b - nsane use cilindi und ë ullise pa ëshqije nëpë afshin e pjeësi β6 e ças eficieni i fëii në ullisje pë ë d cilinda ëshë ε Due e nelizhua fëiin në lia ë cahe shpejësia e qendës së cilindi në çasin u aj a alua uën s Sisei në çasin fillesa nddhej në qeësi M α β 97

99 Zjidhje: D sc he Shala M N ε α F µ α N ε F µ β β K sise i upae a një shallë liie ëeësjë pë dinaë ë pëjihësua zhendsjen e naesës pëaësish shpejësinë e saj si në fiuën paapae Liji bi ndshiin e enejisë ineie pej një pzicini fillesa në një pzicin jeë ë çfaëdshë ëshë: j Fi nejia ineie në çasin fillesa ëshë ze sepse sisei nddhej në qeësi pa: neji në ineie pë ëë sise në një ças ë hës ëshë: u: nejia ineie e cilindi : J u enin e inecisë pë qendë ë cilindi ëshë: J na fiua shihe se: aëheë enejia ineie e cilindi d ë jeë: nejia ineie e cilindi : J u enin e inecisë pë qendë ë cilindi ëshë: J na fiu a shihe se: 98

100 ëbledhje deash ë zjidhua na DINMIK dhe apliii i sfei Malab aëheë enejia ineie e cilindi d ë jeë: nejia ineie e aaasë : J u enin e inecisë pë qendë ë aaasë : J na fiua shihe se: aëheë enejia ineie e aaasë d ë jeë: Këshu pas zëendësii në shpehja pë eneji ineie ë ëij sisei në funsin ë e fën: 7 Në sisein e dhënë punë ejnë pesha e cilindi dhe fca e easini eqë a shajnë en në ullisje pë qenda e asae ë cilindae dhe eni ai M pa: j N F M M i M 5 una e peshës së cilindi : sinα s una e eni ë fcës së easini N : N M N ε na liji i Njuni i pjeua në deji nal e lëizjen e qendës së cilindi cajë fcën e easini N pa: N csα N csα sepse qenda e cilindi nu lëiz në deji ë asi aëheë: N M ε csα una e peshës së cilindi : sin β s u zhendsjen e qendës ë cilindi e cajë e inei ë: pej na: s s pa puna e pe shës së cilindi d ë jeë: sin β s una e eni ë fcës së easini N : N M N ε N 99

101 D sc he Shala na liji i Njuni i pjeua në deji nal e lëizjen e qendës së cilindi cajë fcën e easini N pa: N cs β N N cs β sepse qenda e cilindi nu lëiz në deji ë asi aëheë: N M ε cs β una e eni ai M ëshë: M M b u ëndi ullii ë cilindi cahe e inei ë shpehjes: s pej na: s s ëshu puna e eni ai M d ë jeë: b M b s Me zëendësi në shpehjen 5 fijë: j s s b Fi sinα s ε csα sin β s ε cs β s j ε b Fi [ sinα sin β csα cs β s ] s 6 Me zëendësi ë shpehjee dhe 6 në shpehjen fijë: 7 ε b [ sinα sin β csα cs β s ] s ε b [ sinα sin β csα cs β s ] s 7 pë ëndin α β6 dhe pë uën e alua s ë qendës së cilindi d ë fijë ëë shpejësi ë qendës : b [ ε s] s 7 ε b [ s] s 7

102 ëbledhje deash ë zjidhua na DINMIK dhe apliii i sfei Malab DTY : S isei aeial pëbëhe na piza e peshë e cila und ë lëiz nëpë afshin e lëua hiznal naesa e peshë / e cila und ë lëiz nëpë afshin e pjeë ë pizës c ilindi e peshë / dhe eze i cili nën epiin e eni M ullhe eh qendës së ij ë lidhu pë pizën dhe cilindi D e peshë dhe eze i cili und ë ullise pa ëshqije nëpë afshin e pjeë ë pizës e pjeësi α Due e diu se sisein në çasin fillesa nddhej në qeësi ë cahe niii i naesës ndaj pizës M D z α α Zjidhje: z M z z D α α / z α α α / α F N Meqë sisei jende nën epiin e fcae ë peshae dhe eni ai i cili si e ëshë nal në afsh ë lëizjes ë cila në deji ë asi pjesinin e anë ze aëheë sasia e lëizjes në deji ë ëij asi uhe pa: K K Le ë cajë sasinë e lëizjes së ëij sisei ë pjeua në deji ë asi : K z csα z csα K z csα z csα D

103 D sc he Shala z csα z csα z csα 8 z csα pej na pas deiii: z csα 8 Nii e naesës d a cajë na liji bi ndshi e enejisë ineie në fën: d δ d d Llaisi enejinë ineie ë sisei nejia ineie e pizës eqë aj bën lëizje anslaie ëshë: nejia ineie e naesës eqë aj bën lëizje ë pëbëë d anslaie ëshë: [ ] [ z csα z sinα ] z cs z α nejia ineie e cilindi eqë ai bën lëizje ë pëbëë qenda lëizje anslaie dhe ulli ndaj qendës ëshë: J z z u: z z - nejia ineie e cilindi D eqë ai bën lëizje ë pëbëë qenda lëizje anslaie dhe ulli ndaj qendës ëshë: D DD J D D [ csα sinα ] D z z D D [ z csα z ] z

104 ëbledhje deash ë zjidhua na DINMIK dhe apliii i sfei Malab Këshu enejia ineie e ëij sisei d ë jeë: D [ z csα z ] z [ z csα z ] z 9 z csα z 8 pas deiii sipas hës ei: d 9 [ z z csα z z ] d una eleenae e fcae që epjnë në ëë sise ëshë puna eleenae e fcae ë peshae dhe aë ë peshës së naesës cilindi D dhe puna eleenae e eni M pa: δ δ δ D δ M δ δz sin α D δz sin α M δ δz δ δz sinα δz sinα M M δ sinα δz pëaësish: δ M δz sinα d d δ M sinα z d as baazii ë shpehjee dhe sipas ei: 9 M [ z z csα zz ] sinα z 9 M z z csα zz sinα z Zëendësjë shpehjen pëaësish edhe z csα dhe fijë: 8 9 M z csα z csα z csα z z csα z csα zz sinα z M z cs α cs α z sinα z / : z / M 6M 8sinα 8sinα z 6 9 cs α 7 9sin α

105 D sc he Shala KUIONI I ËJITHSHËM I DINMIKËS IMI I DLMT-LNZHIT Ë SISTM MTIL DTY : ilindi hjen e peshë Q dhe eze due u ullisu pa ëshqije nëpë afshin e pjeësi α nië laë nëpëje liai ë pazjashë naesën e peshë Liai aln nëpë aaanë e peshë Q dhe eze Due s e pëfillu asën e liai dhe fëiin në lia jeni niiin e cilindi e qendës së cilindi Maaaja ë nsidehe si dis hjen Zjidhje: α δ in M M in δ Q α in F α δ aii i Dalabe-Laanzhi pë sise aeial e lidhje ideale a fën: n n i i n i i i i n in F in F F i δ δ δ iδi i i i i pa pë çfaëd llj ë lëizjes së sisei e lidhje ideale shua e punëe eleenae ë ë jiha fcae dhe enee aie që epjnë bi sise dhe fcae dhe enee ë inecisë jaë zhendsjes eleenae ë undshe ë çfaëdshe pë çd ças ëshë ze Shpehja duhe ë pjehe në deji ë lëizjes së qendës së upi pëaës ëshu pë deën në d ë jeë: in in in in Q sinα δ δ F δ F δ M δ M δ Meqë sisei a një shallë liie aëheë ë jiha zhendsje e undshe duhe i shpehi në funsin ë zhendsjes së undshe δ na lidhje ineaie fijë: Q δ in F

106 ëbledhje deash ë zjidhua na DINMIK dhe apliii i sfei Malab na j ai: δ δ δ δ δ δ δ δ a n j ai: na j ai: δ δ Fca e inecisë janë: in Q F in F u e deii ë ei fiua Mene e inecisë janë: in J M u e deii ë Q Q ei Q Q M in J ii ë ei u e de Zëendësjë në shpehjen : sin Q Q Q Q δ δ δ δ δ δ α Q Q α sin Q Q δ : δ / sin Q Q Q Q α sin Q Q α pëfundiish niii i qendës së cilindi d ë jeë: Q Q sinα 5

107 D sc he Shala DTY : Shufa D e peshë Q shihe bi e cilinda dhe e pesha ë njëja dhe eze Në s hufë epn fca F e deji hiznal që ënë në lëizje shufën dhe cilinda Due e nelizhua fëiin ndëje shufës dhe cilindae dhe cilindae dhe afshi hiznal ë cahe niii shufës u shufa dhe cilinda nsidehen upa hjen D F Zjidhje: in F D Q D δ D in in in F F F in M δ in M δ in M δ F δ δ δ aii i Dalabe-Laanzhi pë sise aeial e lidhje ideale a fën: n n n n in F in Fi i Fi i i δ δ i δi iδi i i i i Nëse shpehja zbahe pë deën në dhe aë ë pjeua në deji ë lëizjes së qendës së upi pëaës d ë ei: in in in in in in in FδD F δ F δ F δ FD δd M δ M δ M δ Meqë sisei a një shallë liie aëheë ë jiha zhendsje e undshe duhe i shpehi në funsin ë zhendsjes së undshe δ D na lidhje ineaie fijë: D D jihashu pë niie e qendae len: D 6

108 ëbledhje deash ë zjidhua na DINMIK dhe apliii i sfei Malab ë shpejësië ënde ei: D na j D δ δ δ δ ai: D δ δ δ na j ai: na j ai: D δ δ δ na j ai: D δ δ δ Fca e inecisë janë: F D in D in F D F in D D D in D Q F Mene e inecisë janë: D D in J M D D in J M D D in Z J M ëendësjë në shpehjen : Q F D D D D D D D D D D D D D D D δ δ δ δ δ δ δ δ D D D Q F [ δ δ : / ] D Q F 8 pëfundiish niii i shufës D d ë jeë: Q F D

109 D sc he Shala KUIONT LNZHIT TË LLOJIT TË DYTË Ë SISTM MTIL DTY : ilindi I e peshë dhe eze und ë ullhe eh çënieës O ëes liai lëizja pëcille në cilindin e dfishë II e peshë dhe eze pëaësish i cili und ë ullhe eh qendës së ij O ë cilindin II bëshille liai njëin saj i ë cili ëshë i lidhu pë qendën O ë aaasë III e peshë dhe eze Nëpë aaanë III bëshille një lia në sajin e ë cili ëshë e au naesa IV e peshë Nëse në cilindin I epn eni ai MHsinΩ u -ha dhe due s e pëfillu fëiin në lia ë shuhen euacine difeenciale ë lëizjes së ëij sisei I II M II III IV Zjidhje: I II M II III IV Sisei a d shallë liie le ë ai pë dinaa ë pëjihësuaa ulliin e cilindi I dhe zhendsjen eiale ë naesës IV pa: q dhe q pëaësish shpejësië e pëjihësuaa: q dhe q 8

110 ëbledhje deash ë zjidhua na DINMIK dhe apliii i sfei Malab uacine e Laanzhi ë llji ë dë anë fën: d δ d δ d δ d δ Lidhje ineaie: Na fiua paapae shihe se shpejësia e piës dhe ëshë e baabaë pa: pej na: use shpejësia e piës që ëshë e baabaë edhe e shpejësinë e qendës së aaasë III d ë jeë: O Meqë zhendsjen e naesës IV e ei aë dinaë ë pëjihësua aëheë shpejësia e naesës IV dhe shpejësia e piës së shënua e ëshë e njëjë dhe aë: Këshu pë aaanë III ei fiua se dihen shpejësië e d piae ë saja aëheë siç ëshë paaqiu në fiuën ijuese und ë cajë shpejësinë ënde ë saj pa: O Na fijë: nejia ineie e ëij sisei d ë jeë: I II III IV nejia ineie e cilindi I eqë ai bën lëizje ulluese ëshë: I 9 J O nejia ineie e cilindi II eqë ai bën lëizje ulluese ëshë: II 9 J O nejia ineie e aaasë III eqë aj bën lëizje plane ëshë: 9

111 D sc he Shala J O O III III nejia ineie e naesës IV eqë ai bën lëizje anslaie ëshë: Zëendësjë në shpehjen dhe fijë: IV Deiae e nejshe pë zëendësi në euacine ë Laanzhi ë llji ë dë janë: d d d d una eleenae e eni M dhe peshae dhe d ë jeë: M δ δ δ δ na ai δ δ aëheë: M δ δ δ δ M δ δ δ pej na: M δ δ δ δ as zëendësii në shpehje - euacine e Laanzhi ë llji ë dë fijë ë euacine ifeenciale ë lëizjes së ëij sisei: d H M Ω sin 8 9

112 ëbledhje deash ë zjidhua na DINMIK dhe apliii i sfei Malab DTY : Tupi e asë und ë lëizë në afshin eial sipas udhëzueses eiale eh piës ë ëij upi und ë ullhe cilindi e eze dhe asë në peifeinë e ë cili ëshë i bëshjellu saji i një liai i cili aln nëpë aaanë dhe saji jeë bëshille në cilindin O e asë dhe eze i cili und ë ullhe eh piës O Në qfë se lëizja e ëij sisei në afshin eial shahe na epii i peshae ë ëe upae si dhe eni ullues M në cilindin O due spëfillu fëiin në lia dhe diensine e aaasë ë shuhen euacine difeenciale ë lëizjes së ëij sisei dhe pë asin u ee që upi bënë lëizje ë njëajshe cns ë cahe eni M Zjidhje: Sisei a d shallë liie le ë ai pë dinaa ë pëjihësuaa ulliin e cilindi O dhe zhendsjen eiale ë upi pa: q dhe q pëaësish shpejësië e pëjihësuaa: q dhe q uacine e Laanzhi ë llji ë dë anë fën: d δ d δ d δ d δ

113 D sc he Shala Lidhje ineaie: Na fiua paapae shihe se shpejësië e piae dhe janë ë baabaa pa: në anën jeë shpejësia e eëua si ëshë njëheësh edhe shpejësia e piës së eëua D pa: D Këshu pë disun ei fiua se dihen shpejësië e d piae ë ij aëheë siç ëshë paaqiu në fiuën ijuese und ë cajë shpejësinë ënde ë ij pa: D Na dhe D fijë: i d ë jeë: O nejia ineie e ëij sise nejia ineie e upi eqë ai bënë lëizje anslaie sipas udhëzueses eiale ëshë: nejia ineie e disu eqë ai bën lëizje plane ëshë: J nejia ineie e cilindi O eqë ai bën lëizje ulluese ëshë: J O Zëendësjë në shpehjen dhe fijë: Deiae e nejshe pë zëendësi në euacine ë Laanzhi ë llji ë dë janë: d d

114 ëbledhje deash ë zjidhua na DINMIK dhe apliii i sfei Malab d d una eleenae e eni M dhe peshae dhe d ë jeë: M δ δ δ δ M δ δ δ pej na: M δ δ δ δ as zëendësii në shpehje - euacine e Laanzhi ë llji ë dë fijë ë euacine di enciale ë lëizjes së ëij sisei: fe M ns Na ushi që upi bën lëizje ë njëajshe aëheë: a zëendësjë në euacine difeenciale ë lëizjes dhe fijë: M M aëheë eni M duhe ë jeë: M M

115 D sc he Shala DTY : Kaca e peshë lëiz bi aë a që und ë nsidehen si disqe hjene e pesha Q dhe eze nëpë afshin hiznal u eficieni i fëii në ullisje ndëje ae ë acës dhe afshi hiznal ëshë ε Mbi acë jende cilindi e peshë dhe eze i cili und ë ullise pa ëshqije nëpë sipëfaqen hiznale ë acës Nëse aca ihe në lëizje nëpëje fcës hiznale F ë cahe niii i qendës së cilindi ndaj acës dhe shpejësia ënde e ullii ë ae ë acës F Zjidhje: F µii F µi F Q N II ε Q N I Sisei a d shallë liie le ë ai pë dinaa ë pëjihësuaa ëndin ullii ë ae dhe lëizjen dejize ë qendës së cilindi lëizjen elaie pa: q dhe q pëaësish shpejësië e pëjihësuaa: q dhe q uacine e Laanzhi ë llji ë dë anë fën:

116 ëbledhje deash ë zjidhua na DINMIK dhe apliii i sfei Malab d d δ δ δ d d δ ë ë Lidhje ineaie: Na fiua paapae shihe se shpejësië e qendae ë ae dhe shpejësia e acës jan baabaa pa: Këshu pë cilindin ei fiua se dihe shpejësia abslue e piës së nai e acë që ëshë e njëjë e aë ë acës sepse aca bën lëizje anslaie dhe jihashu dihe shpejësia elaie e qend ës së cilindi aëheë sipas fiuës paapae und ë cajë shpejësinë ënde ë cilindi pa: use shpejësia abslue e qendës së cilindi ëshë: nejia ineie e ëij sisei d ë jeë: nejia ineie e ae eqë a bëjnë lëizje plane ëshë: Q Q Q J Q nejia ineie e acës eqë aj bën lëizje anslaie ëshë: nejia ineie e cilindi eqë ai bën lëizje plane ëshë: J Zëendësjë në shpehjen dhe fijë: Q Q Deiae e nejshe pë zëendësi në euacine ë Laanzhi ë llji ë dë janë: Q Q Q d d d d 5

117 D sc he Shala una eleenae e eni M dhe peshae dhe d ë jeë: δ Fδ N I N II εδ Shuën e easinee N I N II e cajë na shua e pjesinee ë ë jiha fcae që epjnë në ëë sise ë pjeua në deji ë asi eial që duhe ë jeë ze pasi që qenda e asae ë ëij sisei nu lëizin në ëë deji pa: N I N II Q dhe na pej na ai: δ δ aëheë puna eleenae d ë eë fën: δ Fδ Q εδ [ F Q ε ] δ pej na: δ F Q ε δ δ δ as zëendësii në shpehje - euacine e Laanzhi ë llji ë dë fijë ë euacine difeenciale ë lëizjes së ëij sisei: Q F Q ε 6

118 ëbledhje deash ë zjidhua na DINMIK dhe apliii i sfei Malab DTY : ilindi hjen e peshë dhe eze due u ullisu pa ëshqije nëpë pizën e peshë Q e cila undë ë ëshqasë nëpë afshin e pjeësi α nië laë nëpëje liai ë pazjashë naesën D e peshë Liai aln nëpë cilindin e peshë dhe eze Due s e pëfillu asën e liai dhe fëiin në lia ë shuhen euacine difeenciale ë lëizjes së ëij sisei D α Zjidhje: D D α D D α α Q Sisei a d shallë liie le ë ai pë dinaa ë pëjihësuaa lëizjen dejize ë pizës nëpë afshin e pjeë dhe nijen eialish laë ë naesës D: q dhe q pëaësish shpejësië e pëjihësuaa: q dhe q uacine e Laanzhi ë llji ë dë anë fën: d δ d δ d δ d δ Lidhje ineaie: Na fiua paapae shihe se shpejësia e naesës D dhe shpejësia e qendës së disu janë ë baabaa pa: D si dhe: 7

119 D sc he Shala 8 D iza bën lëizje anslaie dejize aëheë shpejësia e saj ëshë: Këshu pë cilindin ei fiua se dihen shpejësia abslue ë d piae ë ij aëheë sipas fiuës ijuese und ë cahe shpejësia ënde e ij pa: Na ë d euacine ai që: nejia ineie e ëij sisei d ë jeë: D nejia ineie e cilindi eqë ai bën lëizje plane ëshë: J nejia ineie e pizës eqë aj bën lëizje anslaie ëshë: Q Q nejia ineie e cilindi eqë ai bën lëizje ulluese ëshë: J nejia ineie e naesës eqë aj bën lëizje anslaie ëshë: D D Zëendësjë në shpehjen dhe fijë: Q Q Deiae e nejshe pë zëendësi në euacine ë Laanzhi ë llji ë dë janë: Q Q Q d d

120 ëbledhje deash ë zjidhua na DINMIK dhe apliii i sfei Malab d d una eleenae e peshae Q dhe d ë jeë: δ sin α δ Qsinα δ δd na ai: δ δ na ai: δ δ na D D ai: δ D δ aëheë puna eleenae d ë eë fën: δ sin α δ Q sinα δ δ Q sinα δ sinα δ pej na: δ δ Q sinα sin α δ δ as zëendësii në shpehje - euacine e Laanzhi ë llji ë dë fijë ë euacine difeenciale ë lëizjes së ëij sisei: Q Qsinα sinα DTY 5: ilindi e asë dhe eze ullise pa ëshqije nëpë sipëfaqen e bendshe ë një pi cilindi e asë M dhe eze ë bendshe i cili und ë ullhe eh asi hiznal O Due e aë që eni i inecisë së pi cilindi ëshë M ë shuhen euacine difeenciale ë lëizjes së ëij sisei O 9

121 Zjidhje: D sc he Shala O M θ ψ Sisei a d shallë liie le ë ai ënde θ ë paaqiua në fiuën paapae pë dinaa ë pëjihësuaa pa: q dhe q θ pëaësish shpejësië e pëjihësuaa: q dhe q θ uacine e Laanzhi ë llji ë dë anë fën: d δ d δ d δ d θ θ δθ Lidhje ineaie: Na fiua paapae shihe se shpejësia e piës qendës së cilindi ëshë: Due e diu se hau dhe hau janë ë baabaë eqë nu a ëshqije pa: θ ψ pej na ai se: ψ θ u e deii ë ësaj shpehje fijë: ψ θ nejia ineie e ëij sisei d ë jeë: O nejia ineie e cilindi eqë ai bën lëizje plane ëshë: ψ J θ

122 ëbledhje deash ë zjidhua na DINMIK dhe apliii i sfei Malab θ nejia ineie e pi cilindi O eqë ai bën lëizje ulluese ëshë: θ θ M J O O Zëendësjë në shpehjen dhe fijë: θ θ M Deiae e nejshe pë zëendësi në euacine ë Laanzhi ë llji ë dë janë: θ θ θ θ d d θ θ M θ θ M d d una eleenae e peshës d ë jeë: ] cs [ p δ δ sin p use θ δθ δ p as zëendësii në shpehje - euacine e Laanzhi ë llji ë dë fijë ë euacine difeenciale ë lëizjes së ëij sisei: θ sin θ M

123 D sc he Shala MODLIMI DINMIK I SISTMV MTIL Mdelii dinai i një sisei aeial nënupn pëshiin e aij sisei pëes shpehjee aeaie Një epi i illë ëshë i nejshë e qëlli ë analizës dhe sinezës së siseee në pëjihësi ëes deli dinai ë sisei aeial ijhe undësia e sudii ë jihanshë ei dhe pai ë sisei eal due e shfëzua ainën ë ë fashe që a ijua njeiu jeë ë s pjuein Shqie që i ei bëë jeë ë ani në lëin e Dinaiës anë ealizua një qëlli ë illë pa e ë shqie ei aie ë fijë delin dinai ë sisei aeial Këshu due shfëzua paie e pëjihshe dhe ë eçana ë Dinaiës si lijin e pëjihshë ë Dinaiës ë njhu si Liji i dë i Njuni lije e jea ë pëjihshe ë Dinaiës si aii i Dalabei ej që në fa janë jedhie na ai i pai pasaj në fund due shfëzua euacine e Laanzhi ë llji ë dë që në ealie paaqesin euacine ë së shui ë pëdua në paia e huluuese shencë fihe deli dinai i sisei aeial Në asin e pëjihshë një del dinai i illë paaqie pëes sisei ë euacinee difeenciale Nui i euacinee ae na nui i shallëe ë liisë ë sisei aeial Me qëlli ë sudii ë siseee aeiale si hap i paë ëshë definii i ë ashuquajuae aiablae ë jendjes

124 ëbledhje deash ë zjidhua na DINMIK dhe apliii i sfei Malab VILT JNDJS Me qëlli ë upii sa ë ë lehë ë ncini aiabla ë jendjes shpjeiin e e d a bëjë due aë shebuj ne dhe aë delin dinai ë siseee aeiale ë fiuaa pëes euacinee ë Laanzhi ë llji ë dë Le ë ai Deën Në ëë as pëes euacinee ë Laanzhi ë llji ë dë ei fiua delin dinai ë sisei aeial i cili paaqe euacine difeenciale ë lëizjes në iji: 9 8 H sin Ω Shpehja paaqe sise ë euacinee difeenciale lineae jhjene ë endi ë dë e eficien nsan Në shpehjen adhësi ë dhëna ë njhua janë: - pesha e upae H Ω adhësi jeeie ap dinaie ha në senda dhe nsana e aiacini eqë shqhen sisee që jenden nën epiin e aiacini ës aëheë ai ee nsan dhe aë 985 /s Me qëlli ë uljes së endi ë euacinee difeenciale bëhe ansfii i shpehjes na aiabla ineai-dinaie në aiabla ë jendjes Madhësië: dhe dhe dhe paaqesin aiabla ineai-dinaie pëaësish: dinaa shpejësië niie e pëjihësuaa pej ë cilae jedhin aiabla e jendjes ëes aiablae ë jendjes duhe ë bëhe ansfii i deli dinai ë dhënë e shpehjen na aiabla adhësië ineai-dinaie dhe dhe dhe në aiabla e eja ë ashuquajua aiabla ë jendjes që due i u pëshau sfei Malab i shënjë e i i ëshu pëden zëendësie:

125 D sc he Shala ëshu pa dinaa dhe shpejësië e pëjihësuaa janë zëendësua e aë aiabla ë jendjes i i Niie e pëjihësuaa që paaqesin deiae difeenciale e aiablae ë jendjes dhe aëheë janë: d d Me ali na aiabla ineai-dinaie në aiabla ë jendjes bëhe ulja e endi ë euacinee difeenciale ëshu na d euacine ë endi ë dë fijë aë euacine ë endi ë paë Nëse aiabla neai-dinaie i zëendësjë e aiabla e jendjes aëheë shpehja eë fën: d d 9 8 d ap në fë aice: 9 8 d se shuë: dx U pej na: dx U ap në Malab shuhe: d H sin Ω d d d sin d H Ω d dx in * U Shpehja paaqe fën e pëshashe pë ealizi ë zjidhjes së euacinee difeenciale ë sisei aeial due shfëzua sfein Malab

126 ëbledhje deash ë zjidhua na DINMIK dhe apliii i sfei Malab NLIZ MODLIT DINMIK DUK SHFYTËZU SOFTVIN MTL Në iji ëshë paaqiu hap pas hapi ijii i File-i esë ë ealizua në Malab- Siulin pë zjidhjen e ëij sisei ë euacinee difeenciale Sajë sfein Malab na file ezeui i ij Malabee dhe hape diaja e quaju and windw : në ëë diae shuajë udhin siulin dhe ezeujë e shpje ë asi ne dhe hape diaja: Na enja ese në File hapi një file ë i: që d ë hape një diae si në iji: 5

127 D sc he Shala Këë file e uajë psh e ein zjidhja : aja e diaee ë hapua dei ani due si në iji: lijë në dulin Nnlinea dhe ei ëë diae: 6

128 ëbledhje deash ë zjidhua na DINMIK dhe apliii i sfei Malab në ëë diae ai dulin S-Funcin dhe ëheqi e anë ë iu se e di-cp dhe e ali në diaen e file-i zjidhja e di-pase e pjjë aë dhe diaja e file-i esë zjidhja a ëë paje: Mduli S-Funcin e ealizn hijen e nënpai pë zjidhje ë sisei ë euacinee difeenciale sipas shpehjes Nënpai und ia endsi çfaëd ei psh deli aëheë e lii në dulin S-Funcin na hape j diae: dh në end ë sse e shuajë deli dhe shpi OK aëheë diaja e file-i zjidhja d ë due: 7

129 D sc he Shala Këshu duli S-Funcin a pë deë ë hëe nënpain deli i cili duhe ë ijhe dhe ë uhe e ein deli Vendi u duhe ë uhe file ëshë :\Malab\in\ pëndshe nu d ë funsinjë Në file-n zjidhja si hje endsi naciin në sise pa në asin në enin ai M H sin Ω Këë e ealizjë pëes duli F Wspace që jende në siulin- Suces dhe ëheqi në file-n zjidhja pa: Këë dul F Wspace e lidhi si sinjal hës në dulin S-Funcin Lidhja bëhe pëes iu Në ëë as [T U] und iu ndshhe eëii pë asin në 8

130 ai ëbledhje deash ë zjidhua na DINMIK dhe apliii i sfei Malab T që paaqe hën në senda dhe aë zanish pë siuli ap ezeui ë zjidhjes së deli dinai ee 7 senda pa pa ë shuë se π use U M pa e enin e dhënë ai - nacues Ëshë e ëndësi ë cee se dhe M duhe ë shuhen në and Windw paa siulii ë deli dhe aë në fën: >> H ; O ; ::7 ; M H*sinO*; Në dalje na duli S-Funcin d ë ei zjidhjen e euacinee difeenciale dhe aë dhe pëaësish afe e e due e ndaë sinjalin në aë deë e një dul Deu që ee në Siulin-nnecins dhe due i aë aë dule pë paaqije afie që een na Siulin-Sins ëshu pëfundiish diaja e file-i esë zjidhja d ë due: aa se ë filljë siuliin duhe ë shuajë nënpain deli pë zjidhje ë euacinee difeenciale Në iji ëshë dhënë ai nenpa i cili shuhe e Nepad se Wdpad që e psedn çd Windws dhe uhe e esenzin pa si M-file 9

131 D sc he Shala Me shpjen në File-n esë zjidhja në Siulain-Sa fihen ë diaae: