Biochimia moleculelor informaţionale 14. XII XII Metabolismul ADN-ului
|
|
|
- Λύσανδρος Κοτζιάς
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Biochimia moleculelor informaţionale 14. XII XII Metabolismul ADN-ului
2 Experimente ce indică localizarea și natura materialului genetic 1. Experimentele lui Hammerling (1930) demonstrează că informația genetică necesară funcționării întregii celule a algei unicelulare Acetabulata este stocată în nucleul acesteia Acetabularia crenulata 2. Experimentele de transplantare a nucleului nucleul unuei celule conține informația necesară dezvoltării și funcționării tuturol celulelor unui organism. Acetabularia mediterranea Embrion anormal Celula moare Embrion Celulă ou Nucleul din picior dictează ce tip de vârf se formeză Mormoloc Nucleul este eliminat (celulă anucleată) Celule epiteliale Nucleul este izolat cu o micropipetă Nucleul celulei epiteliale este introdus în celula anucleată Embrion Mormoloc Broască adultă
3 Experimente ce indică localizarea și natura materialului genetic 3. Experimentele lui Griffith (anii 1930) demonstrează că informația genetică poate fi transferată de la o celulă la alta în mod natural printr-un proces numit transformare. Streptococcus pneumoniae Tulpină patogenă tip R, vie Tulpină nepatogenă tip S, vie Tulpină patogenă tip R, moartă Tulpină patogenă tip R, moartă, Tulpină nepatogenă tip S, vie Capsulă polizaharide (patogenitate) În sangele soarecelui mort apar celule de S. pneumoniae patogene tip S vii
4 Experimente ce indică localizarea și natura materialului genetic 4. Experimentele lui Avery și Hershey-Chase (1944) demonstrează că informația genetică este codificată de moleculele de ADN. ADN-ul marcat cu 32P Proteinele marcate cu 35S Bacteriofagul T2 marcat radioactiv Bacteriofagul T2 infectează celule de Escherichia coli Celulele bacteriene sunt agitate Radioactivitatea specifică 35S se regăsește în mediu Radioactivitatea specifică 32P se regăsește în celule
5 Structura chimică ADN-ului - în 1869 Friedrich Miescher izolează din nuclei o substanță albă pe care o denumește nucleină. Datorită caracterului ușor acid capătă mai apoi denumirea de acid nucleic. - funcția și structura acestei substanțe rămane necunoscută pană în jurul anilor Acizii nucleici sunt polimeri rezultați în urma legării prin legături fosfodiesterice unui număr mare de nucleotide. Funcţie de tipul de nucleotide, acizii nucleici se clasifică în: - acid ribonucleic (ARN) conține în structura sa riboză - acid dezoxiribonucleic (ADN) - conține în structura sa deoxiriboză 2`-dezoxi-β-D-ribofuranoză (ADN) O nucleotidă este alcătuită din un glucid cu 5 atomi de C (riboza sau deoxiriboza) în formă furanozică; o grupare fosfat (PO4) legată de atomul C 5 al glucidului; bază azotată legată de atomul C 1 al glucidului; Bază azotată se leagă printr-o legătură glicozidică de pentoză formând un nucleozid. O nucleotidă se defineşte astfel ca fiind un ester fosforic al nucleozidului corespunzător. În acizii nucleici se întâlnesc două tipuri de baze azotate: purinice - două heterocicluri cu N: Adenina (A) şi Guanina (G) în ADN şi ARN pirimidinice un heterociclu cu N: Citozină (C) şi Timină (T) în ADN şi C şi Uracil (U) în ARN β-d-ribofuranoză (ARN) Grupă fosfat Adenina Guanina Purine Citozina Uracil (doar în ARN) Pirimidine Timina (doar în ADN)
6 Structura chimică a principalelor nucleotide ` 5` 1` 1` 4` 4` 3` 2` 3` 2` Nucleotid Simbol Nucleozid Deoxiribonucleotide Nucleotid Ribonucleotide Simbol Nucleozid
7 Structura primară a ADN-ului Între gruparea -PO4 de pe carbonul 5 (poziția 5') al unei nucleotide și gruparea -OH de pe carbonul 3 (poziția 3') al altei nucleotide se poate elimina o moleculă de apă cu formarea unei legături fosfodisterice (-O-P-O-). Se pot astfel forma astfel catene lungi de nucleotide al căror schelet are structura: PO4-C5'-C4'-C3'-O-P-O-C5'-C4'-C3'-O...P-O-C5'-C4'-C3'-OH Nucleotida 1 Nucleotida 2 Nucleotida n Aproape toate moleculele de ADN au două capete diferite: - capătul 3' cu o grupare -OH liberă Ce molecule de ADN nu respectă această regulă? - capătul 5' cu o grupa -PO4 liberă. Prin convenție, secvența de nucleotide a ADN-ul se notează în direcția 5' 3' Secvența de nucleotide GTCCAT se referă la o catenă cu structura: 5' PO4-G-PO4-T-PO4-C-PO4-C-PO4-A-PO4-T-OH 3' Și nu la 5' PO4-T-PO4-A-PO4-C-PO4-C-PO4-T-PO4-G-OH 3' care este o moleculă diferită
8 Compoziția în baze azotate a ADN-ului Analiza lui Chargaff privind compoziția în baze azotate a ADN-ului Procente molare Escherichia coli tulpina K12 Mycobacterium tuberculosis Drojdia de bere Hering Șobolan Om Date din E. Chargaff and J. Davidson (editori), The Nucleic Acids, 1955, Academic Press, New York, NY. Regulile lui Chargaff: Într-o moleculă de ADN au loc întotdeauna următoarele relații: proporția de A este întodeauna egală cu cea de T, iar cea de G cu cea de C A=T; G=C proporția de baze azotate purinice este întotdeauna egală cu cea de baze pirimidinice A+G=T+C De ce procentele nu sunt perfect egale? ADN ARN
9 Structura tridimensională a ADN-ului Analizând modul în care razele X sunt difractate de o fibră cristalizată de ADN, Franklin propune în 1953 că molecula de ADN are forma de tirbușon, cu diametrul de 2 nm și o spiră de 3.4 nm. Watson and Crick propun in 1953 un model al structurii ADN-ului ce are la bază un dublu helix Rosalind Elsie Franklin ( ) Watson, J. D. & Crick, F. H. C. Molecular structure of nucleic acids: A structure for deoxyribose nucleic acid. Nature 171, (1953)
10 2 nm Structura tridimensională a ADN-ului Scheletul moleculei este reprezentat de catenele cu legături fosfodiesterice ce formează un dublu helix spre dreapta. Catenele sunt antiparalele, una are orientare 5' 3' iar cealaltă 3' 5' Bazele azotate sunt orientate spre interior. Între bazele de pe o catenă și formează legături de hidrogen pe bază de complementaritate: A-T (2 legături); G-C (3 legături). O pereche de baze azotate complementare formează un plan perpendicular pe catenă. Distanța dintre 2 perechi de baze (pb) consecutive este de 0.34 nm. Legăturile se formează întotdeauna între o bază purinică și una pirimidinică dimensiunea unei perechi de baze complementare (pb) și deci diametrul helix-ului dublu este constant 2 nm O spiră completă a dublul helix-ului are 10 pb nm Au fost descrise două sanțuri: șanțul mare larg de 22 Å - șanțul mic larg de 12 Å Cat de lungi sunt cele 2 șanțuri? 3,4 nm Șanțul mic 0,34 nm Șanțul mare
11 Anabolismul ADN-ului. A) Biosinteza nucleotidelor Nucleotidele sunt încorporate în ADN plecând de la deoxiribonucleotide trifosfaţi (datp, dttp, dctp, dgtp). Acestea sunt produse prin 2 căi distincte: 1)- căi metabolice de sinteză de nuovo 2)- căi anaplerotice de reutilizare a nucleotidelor rezultate în urma degradării acizilor nucleici Căile metabolice de de sinteză de nuovo a nucleotidelor Se diferenţiază în căi de sinteză a nucleotidelor pirimidinice si căi de sinteză a nucleotidelor purinice. Ambele căi au în comun o serie de intermediari: 1. fosforibozil-pirofosfat sursa restului de riboză 2. glicina pentru sinteza purinelor; acidul aspartic pentru sinteza pirimidinelor; 3. glutamina sursă de grupe amino în ambele căi; Cu excepţia dtcp, deoxinucleotidele se sintetisează mai întăi sub formă de ribonucleotide ce sunt apoi reduse. Nivelele celulare de nucleotide libere (exceptând ATP-ul) reprezintă 1% sau mai puţin din cantitatea necesară pentru a sintetiza ADN-ului. Sinteza nucleotidelor este deci un factor limitant al replicării ADN-ului.
12 1. Calea de biosinteza de nuovo a ribo-nucleotidelor purinice 5-fosforibozilpirofosfat 5-fosforibozil-1amină Glicinamidribonucleotid (GAR) N-formil-glicinamidribonucleotid (FGAR) N-formilglicinamidineribonucleotid (FGAM) 5-amino-imidazolribonucleotid (AIR) N5-carboxiaminoimidazolribonucleotid 5-amino-imidazol 4-carboxiribonucleotid (CAIR) 5-amino-imidazol4-N-succinocarboxiamidoribonucleotid 5-amino-imidazol4-carboxamidribonucleotid 5-formamidoimidazol-4carboxamidribonucleotid Acid Inozinic (IMP) Bazele azotate (Adenina,Guanina) nu sunt intermediari (bazele nu sunt sintetizate şi ataşate pe pentoză), ci inelele sunt construite treptat, atom cu atom. Sinteza începe de la 5-fosforibozilpirofosfat (PRPP). Cuprinde 3 etape: a) formarea IMP b) sinteza din IMP a AMP si GMP-ului c) sinteza ATP si GTP. A. formarea inosin mono fosfatului (IMP; acidului inozinic) 1. Amino-fosforibozil transferaza 2. GAR sintetaza 3. GAR transformilază 4. FGAR amidotransferază 5. FGAM ciclază (AIR sintetază) 6a. AIR carboxilază 8. sintetază 9. liază 10. transformilază 11. IMP sintază In eucariote, etapele 1, 3, 5 sunt catalizate de o singură proteină multifunctională, iar etapele 10 şi 11 de o alta. La bacterii, fiecare etapă este catalizată de proteine individuale.
13 1. Calea de biosinteza de nuovo a ribo-nucleotidelor purinice B. sinteza AMP şi GMP liază ă etaz sint Acid adenilosuccinic Acid adenilic (adenilmonofosfat; AMP) Acid inozinic (IMP) IMP deh idro gen ază Lehninger, pg 867 Amidotransferază Acid xantilic Nucleozid difosfat kinază Acid guanilic (guanin mono fosfat; GMP)
14 1. Calea de biosinteza de nuovo a ribo-nucleotidelor purinice C. sinteza ATP şi GTP Adenilat kinaza Nucleozid difosfat kinază Nucleozid monofosfat kinază - Fosforilarea AMP în ADP este realizată de adenilat kinaza. ADP-ul rezultat este apoi fosforilat la ATP prin fosforilare oxidativă sau glicoliză (sursa de energie a întregului proces). - ATP-ul este utilizat pentru fosforilarea celorlalte nucleozide difosat de către nucleozid monofosfat kinaze, enzime cu specificitate pentru a anumită bază azotată (există o enzimă ce fosgorilează numai GMP, una numai UMP si alta numai CMP) dar fară specificitate faţă de glucid (toate fosforilează în egală măsură şi deoxi-ribonuclezide şi şi ribonucleozide monofosfat). - Nucleozidele difosfat sunt fosforilate la trifosfati de nucleozid difosfokinază enzimă fără specificitate faţă bazele azotate sau glucid (aceeasi proteină foforilează şi ADP, şi GDP, şi UDP şi CDP precum şi dadp, dgdp, dudp, dcdp). Ca sursă de grupe fosfat, enzima poate folosi orice (d)ntp, însă cel mai frecvent foloseşte ATP pentru că acest nucleotid se află într-o conc mai mare în celulă.
15 2. Calea de biosinteza de nuovo a ribo-nucleotidelor pirimidinice Spre deosebire de calea anterioară, mai întâi sunt sintetizate inelele bazelor azotate (C şi U) care apoi se atasează de 5-fosfo-riboză. Acid aspartic Orotidil-5 -fosfat Sinteza pleacă de la acidul aspartic si carbamil-fosfat. Aspartat transcaramilază Carbamil-fosfat Decarboxilază Acid-N-carbamil-aspartic Dihidroorotidază Acid-L-dihidro-orotic Acid uridinilic (uridin mono-fosfat; UMP) Kinaze Dihidroorotat dehidrogenză Uridin trifosfat; UTP Acid orotic Pirofosforilază Orotidil-5 -fosfat (orotidil mono-fosfat; OMP) Citidin sintetază Citidin trifosfat; CTP
16 3. Sinteza dezoxiribonucleotidelor dntp necesari pentru sinteza ADN-ului (exceptând dctp) se produc sub formă de dndp prin reducerea directă a ribonucelotidelor difosfat corespunzătoare (ADP, GDP, CDP). Reacţia este catalizată de ribonucleotid-reductaza oenzimă alcătuită din 4 subunităţi, 2 subunităţi mari (R1) şi 2 subunităţi mici (R2) associate sub forma unui tetramer heterodimeric şi care prezintă: a)2 situsuri catalitice la interfaţa dintre subunităţile R1 şi R2 în care sunt amplasate 2 resturi SH ce participă la reacţia enzimatică: NDP dndp + H2O ribonucleotid-reductaza-(sh)(sh) ribonucleotid-reductaza-(s-s) Lehninger, pg 871 Situs-uri De reglaj al NADP+ NADPH + H+ specificităţii b) 2 situsuri de reglare a activităţii (câte unul pe fiecare subunitate R1) la care se pot lega ATP-ul ce funcţioneză ca De reglaj al activităţii activator şi datp, dgtp si dttp-ul ce inhibă enzima; Se reglează raportul în ribonucleotide si dezoxiribonucleotide Situs catalitic c) 2 situsuri alosterice de reglare a specificităţii (câte unul pe fiecare subunitate R1) la care se pot lega datp, ATP, dttp, dgtp. Legarea ATP sau datp - enzima produce dudp şi dcdp dttp - enzima produce dgdp dgtp - enzima produce dadp Se reglează raportul dintre nucleotidele purinice şi pirimidinice Efectori
17 3. Sinteza dttp dttp necesar sintezei ADN-ului este produs din dump. Acesta provine din: 1. dcdp care este fosforilat la dctp si apoi deaminat cu formare de dutp; 2. dudp care este fosforilat la dutp. dutp este converit la dump de către o dutp-ază extrem de activă. Sinteza propriu-zisă a dttp este catalizată de o timidilat-sintetază după reacţia:
Curs 5 Structura acizilor nucleici
BIOINFORMTICĂ PLICTĂ ÎN BIOLOI STRUCTURLĂ 3/28/2018 Curs V - Structura acizilor nucleici 1 29.03.2018 Curs 5 Structura acizilor nucleici Structura chimică a DN-ului - în 1869 Friedrich Miescher izolează
Planul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare
1 Planul în spaţiu Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru 2 Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Fie reperul R(O, i, j, k ) în spaţiu. Numim normala a unui plan, un vector perpendicular pe
I. Scrie cuvântul / cuvintele dintre paranteze care completează corect fiecare dintre afirmaţiile următoare.
Capitolul 3 COMPUŞI ORGANICI MONOFUNCŢIONALI 3.2.ACIZI CARBOXILICI TEST 3.2.3. I. Scrie cuvântul / cuvintele dintre paranteze care completează corect fiecare dintre afirmaţiile următoare. 1. Reacţia dintre
a n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea
Serii Laurent Definitie. Se numeste serie Laurent o serie de forma Seria n= (z z 0 ) n regulata (tayloriana) = (z z n= 0 ) + n se numeste partea principala iar seria se numeste partea Sa presupunem ca,
(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a.
Definiţie Spunem că: i) funcţia f are derivată parţială în punctul a în raport cu variabila i dacă funcţia de o variabilă ( ) are derivată în punctul a în sens obişnuit (ca funcţie reală de o variabilă
DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE
DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE ABSTRACT. Materialul prezintă o modalitate de a afla distanţa dintre două drepte necoplanare folosind volumul tetraedrului. Lecţia se adresează clasei a VIII-a Data:
Capitolul 2 - HIDROCARBURI 2.3.ALCHINE
Capitolul 2 - HIDROCARBURI 2.3.ALCHINE TEST 2.3.3 I. Scrie cuvântul / cuvintele dintre paranteze care completează corect fiecare dintre afirmaţiile următoare. 1. Acetilena poate participa la reacţii de
Capitolul 2 - HIDROCARBURI 2.5.ARENE
Capitolul 2 - HIDROCARBURI 2.5.ARENE TEST 2.5.2 I. Scrie cuvântul / cuvintele dintre paranteze care completează corect fiecare dintre afirmaţiile următoare. 1. Radicalul C 6 H 5 - se numeşte fenil. ( fenil/
Curs 4 Serii de numere reale
Curs 4 Serii de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Criteriul rădăcinii sau Criteriul lui Cauchy Teoremă (Criteriul rădăcinii) Fie x n o serie cu termeni
Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal
Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal Principiul I al termodinamicii exprimă legea conservării şi energiei dintr-o formă în alta şi se exprimă prin relaţia: ΔUQ-L, unde: ΔU-variaţia
Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor
Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi si spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe cu valori in daca fiecarui element
4. CIRCUITE LOGICE ELEMENTRE 4.. CIRCUITE LOGICE CU COMPONENTE DISCRETE 4.. PORŢI LOGICE ELEMENTRE CU COMPONENTE PSIVE Componente electronice pasive sunt componente care nu au capacitatea de a amplifica
Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate.
Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie p, q N. Fie funcţia f : D R p R q. Avem următoarele
3. Noţiuni de biochimie
3. Noţiuni de biochimie În acest capitol vom trece în revistă structura şi proprietăţile a două mari clase de molecule ce constituie de fapt obiect de studiu pentru bioinformatică:. proteinele, compuse
Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1
Functii definitie proprietati grafic functii elementare A. Definitii proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi X si Y spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe X cu valori in Y daca fiecarui
5.4. MULTIPLEXOARE A 0 A 1 A 2
5.4. MULTIPLEXOARE Multiplexoarele (MUX) sunt circuite logice combinaţionale cu m intrări şi o singură ieşire, care permit transferul datelor de la una din intrări spre ieşirea unică. Selecţia intrării
MARCAREA REZISTOARELOR
1.2. MARCAREA REZISTOARELOR 1.2.1 MARCARE DIRECTĂ PRIN COD ALFANUMERIC. Acest cod este format din una sau mai multe cifre şi o literă. Litera poate fi plasată după grupul de cifre (situaţie în care valoarea
Seminariile Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reziduurilor
Facultatea de Matematică Calcul Integral şi Elemente de Analiă Complexă, Semestrul I Lector dr. Lucian MATICIUC Seminariile 9 20 Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reiduurilor.
III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă.
III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. Definiţie. O serie a n se numeşte: i) absolut convergentă dacă seria modulelor a n este convergentă; ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar
Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii
Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii Problemele neliniare sunt in general rezolvate prin metode iterative si analiza convergentei acestor metode este o problema importanta. 1 Contractii
a. 11 % b. 12 % c. 13 % d. 14 %
1. Un motor termic funcţionează după ciclul termodinamic reprezentat în sistemul de coordonate V-T în figura alăturată. Motorul termic utilizează ca substanţă de lucru un mol de gaz ideal având exponentul
Subiecte Clasa a VII-a
lasa a VII Lumina Math Intrebari Subiecte lasa a VII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate
Curs 1 Şiruri de numere reale
Bibliografie G. Chiorescu, Analiză matematică. Teorie şi probleme. Calcul diferenţial, Editura PIM, Iaşi, 2006. R. Luca-Tudorache, Analiză matematică, Editura Tehnopress, Iaşi, 2005. M. Nicolescu, N. Roşculeţ,
riptografie şi Securitate
riptografie şi Securitate - Prelegerea 12 - Scheme de criptare CCA sigure Adela Georgescu, Ruxandra F. Olimid Facultatea de Matematică şi Informatică Universitatea din Bucureşti Cuprins 1. Schemă de criptare
Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro
Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM Seminar S ANALA ÎN CUENT CONTNUU A SCHEMELO ELECTONCE S. ntroducere Pentru a analiza în curent continuu o schemă electronică,
R R, f ( x) = x 7x+ 6. Determinați distanța dintre punctele de. B=, unde x și y sunt numere reale.
5p Determinați primul termen al progresiei geometrice ( b n ) n, știind că b 5 = 48 și b 8 = 84 5p Se consideră funcția f : intersecție a graficului funcției f cu aa O R R, f ( ) = 7+ 6 Determinați distanța
Integrala nedefinită (primitive)
nedefinita nedefinită (primitive) nedefinita 2 nedefinita februarie 20 nedefinita.tabelul primitivelor Definiţia Fie f : J R, J R un interval. Funcţia F : J R se numeşte primitivă sau antiderivată a funcţiei
5.5. REZOLVAREA CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE
5.5. A CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE PROBLEMA 1. În circuitul din figura 5.54 se cunosc valorile: μa a. Valoarea intensității curentului de colector I C. b. Valoarea tensiunii bază-emitor U BE.
BIOCHIMIA ACIZILOR NUCLEICI
BIOCHIMIA ACIZILOR NUCLEICI Baze pirimidinice: pirimidina; citozina (2-oxo-4-amino-pirimidina); uracilul (2,4-dioxo-pirimidina); timina (5-metil-2,4-dioxo-pirimidina). Baze purinice: purina (imidazolpirimidină);
Subiecte Clasa a VIII-a
Subiecte lasa a VIII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul
REACŢII DE ADIŢIE NUCLEOFILĂ (AN-REACŢII) (ALDEHIDE ŞI CETONE)
EAŢII DE ADIŢIE NULEFILĂ (AN-EAŢII) (ALDEIDE ŞI ETNE) ompușii organici care conțin grupa carbonil se numesc compuși carbonilici și se clasifică în: Aldehide etone ALDEIDE: Formula generală: 3 Metanal(formaldehida
V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile
Metode de Optimizare Curs V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile Propoziţie 7. (Fritz-John). Fie X o submulţime deschisă a lui R n, f:x R o funcţie de clasă C şi ϕ = (ϕ,ϕ
2.1 Sfera. (EGS) ecuaţie care poartă denumirea de ecuaţia generală asferei. (EGS) reprezintă osferă cu centrul în punctul. 2 + p 2
.1 Sfera Definitia 1.1 Se numeşte sferă mulţimea tuturor punctelor din spaţiu pentru care distanţa la u punct fi numit centrul sferei este egalăcuunnumăr numit raza sferei. Fie centrul sferei C (a, b,
Teoria mecanic-cuantică a legăturii chimice - continuare. Hibridizarea orbitalilor
Cursul 10 Teoria mecanic-cuantică a legăturii chimice - continuare Hibridizarea orbitalilor Orbital atomic = regiunea din jurul nucleului în care poate fi localizat 1 e - izolat, aflat într-o anumită stare
5.1. Noţiuni introductive
ursul 13 aitolul 5. Soluţii 5.1. oţiuni introductive Soluţiile = aestecuri oogene de două sau ai ulte substanţe / coonente, ale căror articule nu se ot seara rin filtrare sau centrifugare. oonente: - Mediul
RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii transversale, scrisă faţă de una dintre axele de inerţie principale:,
REZISTENTA MATERIALELOR 1. Ce este modulul de rezistenţă? Exemplificaţi pentru o secţiune dreptunghiulară, respectiv dublu T. RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii
ORGANIZAREA CHIMICĂ A MATERIEI VII
2 Capitolul 2 ORGANIZAREA CHIMICĂ A MATERIEI VII Elementele chimice cel mai frecvent întâlnite în materia vie sunt H, C, N, O, P, S (numite elemente organogene) care reprezintă în medie 99% din masa organismelor
Problema a II - a (10 puncte) Diferite circuite electrice
Olimpiada de Fizică - Etapa pe judeţ 15 ianuarie 211 XI Problema a II - a (1 puncte) Diferite circuite electrice A. Un elev utilizează o sursă de tensiune (1), o cutie cu rezistenţe (2), un întrerupător
COLEGIUL NATIONAL CONSTANTIN CARABELLA TARGOVISTE. CONCURSUL JUDETEAN DE MATEMATICA CEZAR IVANESCU Editia a VI-a 26 februarie 2005.
SUBIECTUL Editia a VI-a 6 februarie 005 CLASA a V-a Fie A = x N 005 x 007 si B = y N y 003 005 3 3 a) Specificati cel mai mic element al multimii A si cel mai mare element al multimii B. b)stabiliti care
Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate
Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate Radu Trîmbiţaş 4 octombrie 2005 1 Forma Newton a polinomului de interpolare Lagrange Algoritmul nostru se bazează pe forma Newton a polinomului de interpolare
SERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0
SERII NUMERICE Definiţia 3.1. Fie ( ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 şirul definit prin: s n0 = 0, s n0 +1 = 0 + 0 +1, s n0 +2 = 0 + 0 +1 + 0 +2,.......................................
5. FUNCŢII IMPLICITE. EXTREME CONDIŢIONATE.
5 Eerciţii reolvate 5 UNCŢII IMPLICITE EXTREME CONDIŢIONATE Eerciţiul 5 Să se determine şi dacă () este o funcţie definită implicit de ecuaţia ( + ) ( + ) + Soluţie ie ( ) ( + ) ( + ) + ( )R Evident este
Capitolul 2 - HIDROCARBURI 2.4.ALCADIENE
Capitolul 2 - HIDROCARBURI 2.4.ALCADIENE TEST 2.4.1 I. Scrie cuvântul / cuvintele dintre paranteze care completează corect fiecare dintre afirmaţiile următoare. Rezolvare: 1. Alcadienele sunt hidrocarburi
Valori limită privind SO2, NOx şi emisiile de praf rezultate din operarea LPC în funcţie de diferite tipuri de combustibili
Anexa 2.6.2-1 SO2, NOx şi de praf rezultate din operarea LPC în funcţie de diferite tipuri de combustibili de bioxid de sulf combustibil solid (mg/nm 3 ), conţinut de O 2 de 6% în gazele de ardere, pentru
Curs 14 Funcţii implicite. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi"
Curs 14 Funcţii implicite Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie F : D R 2 R o funcţie de două variabile şi fie ecuaţia F (x, y) = 0. (1) Problemă În ce condiţii ecuaţia
Laborator 11. Mulţimi Julia. Temă
Laborator 11 Mulţimi Julia. Temă 1. Clasa JuliaGreen. Să considerăm clasa JuliaGreen dată de exemplu la curs pentru metoda locului final şi să schimbăm numărul de iteraţii nriter = 100 în nriter = 101.
Activitatea A5. Introducerea unor module specifice de pregătire a studenților în vederea asigurării de șanse egale
Investește în oameni! FONDUL SOCIAL EUROPEAN Programul Operațional Sectorial pentru Dezvoltarea Resurselor Umane 2007 2013 Axa prioritară nr. 1 Educația și formarea profesională în sprijinul creșterii
1.7. AMPLIFICATOARE DE PUTERE ÎN CLASA A ŞI AB
1.7. AMLFCATOARE DE UTERE ÎN CLASA A Ş AB 1.7.1 Amplificatoare în clasa A La amplificatoarele din clasa A, forma de undă a tensiunii de ieşire este aceeaşi ca a tensiunii de intrare, deci întreg semnalul
Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006
Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 006 Mircea Lascu şi Cezar Lupu La cel de-al cincilea baraj de Juniori din data de 0 mai 006 a fost dată următoarea inegalitate: Fie x, y, z trei numere reale
Capitolul ASAMBLAREA LAGĂRELOR LECŢIA 25
Capitolul ASAMBLAREA LAGĂRELOR LECŢIA 25 LAGĂRELE CU ALUNECARE!" 25.1.Caracteristici.Părţi componente.materiale.!" 25.2.Funcţionarea lagărelor cu alunecare.! 25.1.Caracteristici.Părţi componente.materiale.
Tema 5 (S N -REACŢII) REACŢII DE SUBSTITUŢIE NUCLEOFILĂ. ŞI DE ELIMINARE (E - REACŢII) LA ATOMULDE CARBON HIBRIDIZAT sp 3
Tema 5 REACŢII DE SUBSTITUŢIE NUCLEOFILĂ (S N -REACŢII) ŞI DE ELIMINARE (E - REACŢII) LA ATOMULDE CARBON IBRIDIZAT sp 3 1. Reacții de substituție nucleofilă (SN reacții) Reacţiile de substituţie nucleofilă
Capitolul 2 - HIDROCARBURI 2.4.ALCADIENE
Capitolul 2 - HIDROCARBURI 2.4.ALCADIENE Exerciţii şi probleme E.P.2.4. 1. Scrie formulele de structură ale următoarele hidrocarburi şi precizează care dintre ele sunt izomeri: Rezolvare: a) 1,2-butadiena;
Definiţia generală Cazul 1. Elipsa şi hiperbola Cercul Cazul 2. Parabola Reprezentari parametrice ale conicelor Tangente la conice
1 Conice pe ecuaţii reduse 2 Conice pe ecuaţii reduse Definiţie Numim conica locul geometric al punctelor din plan pentru care raportul distantelor la un punct fix F şi la o dreaptă fixă (D) este o constantă
Fig Impedanţa condensatoarelor electrolitice SMD cu Al cu electrolit semiuscat în funcţie de frecvenţă [36].
![Fig Impedanţa condensatoarelor electrolitice SMD cu Al cu electrolit semiuscat în funcţie de frecvenţă [36].](/thumbs/72/67648751.jpg "Fig Impedanţa condensatoarelor electrolitice SMD cu Al cu electrolit semiuscat în funcţie de frecvenţă [36].")
Componente şi circuite pasive Fig.3.85. Impedanţa condensatoarelor electrolitice SMD cu Al cu electrolit semiuscat în funcţie de frecvenţă [36]. Fig.3.86. Rezistenţa serie echivalentă pierderilor în funcţie
Biochimia moleculelor informaţionale. 11.I Metabolismul ADN-ului 3 Degradarea ADN-ului si a nucleotidelor
Biochimia moleculelor informaţionale 11.I. 2018-1100-1500 Metabolismul ADN-ului 3 Degradarea ADN-ului si a nucleotidelor Catabolismul ADN-ului Structura şi mecanismele de reparaţie fac ca molecula de ADN
BIOLOGIE GENERALĂ. - moleculară şi celulară CURS II. Bazele chimice ale organizării materiei vii
BILGIE GENERALĂ - moleculară şi celulară CURS II Bazele chimice ale organizării materiei vii Bazele chimice ale organizării lumii vii rice substanţă din natură care are masă se defineşte ca fiind materie.
Sisteme diferenţiale liniare de ordinul 1
1 Metoda eliminării 2 Cazul valorilor proprii reale Cazul valorilor proprii nereale 3 Catedra de Matematică 2011 Forma generală a unui sistem liniar Considerăm sistemul y 1 (x) = a 11y 1 (x) + a 12 y 2
10. STABILIZATOAE DE TENSIUNE 10.1 STABILIZATOAE DE TENSIUNE CU TANZISTOAE BIPOLAE Stabilizatorul de tensiune cu tranzistor compară în permanenţă valoare tensiunii de ieşire (stabilizate) cu tensiunea
Esalonul Redus pe Linii (ERL). Subspatii.
Seminarul 1 Esalonul Redus pe Linii (ERL). Subspatii. 1.1 Breviar teoretic 1.1.1 Esalonul Redus pe Linii (ERL) Definitia 1. O matrice A L R mxn este in forma de Esalon Redus pe Linii (ERL), daca indeplineste
BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 28 mai 2012 (barajul 3)
BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 8 mi 0 (brjul ) Problem Arătţi că dcă, b, c sunt numere rele cre verifică + b + c =, tunci re loc ineglitte xy + yz + zx Problem Fie şi b numere nturle nenule Dcă numărul
Activitatea A5. Introducerea unor module specifice de pregătire a studenţilor în vederea asigurării de şanse egale
POSDRU/156/1.2/G/138821 Investeşte în oameni! FONDUL SOCIAL EUROPEAN Programul Operaţional Sectorial pentru Dezvoltarea Resurselor Umane 2007 2013 Axa prioritară nr. 1 Educaţiaşiformareaprofesionalăînsprijinulcreşteriieconomiceşidezvoltăriisocietăţiibazatepecunoaştere
Foarte formal, destinatarul ocupă o funcţie care trebuie folosită în locul numelui
- Introducere Αξιότιμε κύριε Πρόεδρε, Αξιότιμε κύριε Πρόεδρε, Foarte formal, destinatarul ocupă o funcţie care trebuie folosită în locul numelui Αγαπητέ κύριε, Αγαπητέ κύριε, Formal, destinatar de sex
Conice. Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea. U.T. Cluj-Napoca
Conice Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea U.T. Cluj-Napoca Definiţie: Se numeşte curbă algebrică plană mulţimea punctelor din plan de ecuaţie implicită de forma (C) : F (x, y) = 0 în care funcţia F este
II. 5. Probleme. 20 c 100 c = 10,52 % Câte grame sodă caustică se găsesc în 300 g soluţie de concentraţie 10%? Rezolvare m g.
II. 5. Problee. Care ete concentraţia procentuală a unei oluţii obţinute prin izolvarea a: a) 0 g zahăr în 70 g apă; b) 0 g oă cautică în 70 g apă; c) 50 g are e bucătărie în 50 g apă; ) 5 g aci citric
ŞTIINŢA ŞI INGINERIA. conf.dr.ing. Liana Balteş curs 7
ŞTIINŢA ŞI INGINERIA MATERIALELOR conf.dr.ing. Liana Balteş baltes@unitbv.ro curs 7 DIAGRAMA Fe-Fe 3 C Utilizarea oţelului în rândul majorităţii aplicaţiilor a determinat studiul intens al sistemului metalic
Seminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare
Seminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare Noțiuni teoretice Criteriul Hurwitz de analiză a stabilității sistemelor liniare În cazul sistemelor liniare, stabilitatea este o condiție de localizare
Capitolul 2 - HIDROCARBURI 2.5.ARENE
Capitolul 2 - HIDROCARBURI 2.5.ARENE TEST 2.5.3 I. Scrie cuvântul / cuvintele dintre paranteze care completează corect fiecare dintre afirmaţiile următoare. 1. Sulfonarea benzenului este o reacţie ireversibilă.
ΒΙΟΛΟΓΙΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Β ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΒΙΟΛΟΓΙΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Β ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕ ANIMATIONS ΚΑΙ ΣΧΕΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ Παν. Πάλλα - ΕΚΦΕ Ν. ΣΜΥΡΝΗΣ 1 ΜΙΑ ΕΙΚΟΝΑ ΧΙΛΙΕΣ ΛΕΞΕΙΣ Η παρουσίαση ακολουθεί τη σειρά των περιεχομένων του βιβλίου Βιολογίας
Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Sfera prin 4 puncte necoplanare. Elipsoidul Hiperboloizi Paraboloizi Conul Cilindrul. 1 Sfera.
pe ecuaţii generale 1 Sfera Ecuaţia generală Probleme de tangenţă 2 pe ecuaţii generale Sfera pe ecuaţii generale Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Numim sferă locul geometric al punctelor din spaţiu
Componente şi Circuite Electronice Pasive. Laborator 3. Divizorul de tensiune. Divizorul de curent
Laborator 3 Divizorul de tensiune. Divizorul de curent Obiective: o Conexiuni serie şi paralel, o Legea lui Ohm, o Divizorul de tensiune, o Divizorul de curent, o Implementarea experimentală a divizorului
Capitolul 4-COMPUŞI ORGANICI CU ACŢIUNE BIOLOGICĂ-
Capitolul 4 COMPUŞI ORGANICI CU ACŢIUNE BIOLOGICĂ 4.1.ZAHARIDE.PROTEINE. TEST 4.1.2. I. Scrie cuvântul / cuvintele dintre paranteze care completează corect fiecare dintre afirmaţiile următoare. Rezolvare
Vectori liberi Produs scalar Produs vectorial Produsul mixt. 1 Vectori liberi. 2 Produs scalar. 3 Produs vectorial. 4 Produsul mixt.
liberi 1 liberi 2 3 4 Segment orientat liberi Fie S spaţiul geometric tridimensional cu axiomele lui Euclid. Orice pereche de puncte din S, notată (A, B) se numeşte segment orientat. Dacă A B, atunci direcţia
Capitolul 14. Asamblari prin pene
Capitolul 14 Asamblari prin pene T.14.1. Momentul de torsiune este transmis de la arbore la butuc prin intermediul unei pene paralele (figura 14.1). De care din cotele indicate depinde tensiunea superficiala
a. 0,1; 0,1; 0,1; b. 1, ; 5, ; 8, ; c. 4,87; 6,15; 8,04; d. 7; 7; 7; e. 9,74; 12,30;1 6,08.
1. În argentometrie, metoda Mohr: a. foloseşte ca indicator cromatul de potasiu, care formeazǎ la punctul de echivalenţă un precipitat colorat roşu-cărămiziu; b. foloseşte ca indicator fluoresceina, care
Să se arate că n este număr par. Dan Nedeianu
Primul test de selecție pentru juniori I. Să se determine numerele prime p, q, r cu proprietatea că 1 p + 1 q + 1 r 1. Fie ABCD un patrulater convex cu m( BCD) = 10, m( CBA) = 45, m( CBD) = 15 și m( CAB)
Geometrie computationala 2. Preliminarii geometrice
Platformă de e-learning și curriculă e-content pentru învățământul superior tehnic Geometrie computationala 2. Preliminarii geometrice Preliminarii geometrice Spatiu Euclidean: E d Spatiu de d-tupluri,
Capitolul 4 PROPRIETĂŢI TOPOLOGICE ŞI DE NUMĂRARE ALE LUI R. 4.1 Proprietăţi topologice ale lui R Puncte de acumulare
Capitolul 4 PROPRIETĂŢI TOPOLOGICE ŞI DE NUMĂRARE ALE LUI R În cele ce urmează, vom studia unele proprietăţi ale mulţimilor din R. Astfel, vom caracteriza locul" unui punct în cadrul unei mulţimi (în limba
UNIVERSITATEA DIN BUCURESTI CICLUL 1. LICENTA IN BIOCHIMIE. Biochimie metabolica
UNIVERSITATEA DIN BUCURESTI CICLUL 1. LICENTA IN BIOCHIMIE Biochimie metabolica Sinteza glicogenului 2 1957 Luis Leloir (1) Glc + ATP glucokinaza (ficat) Glc 6-P + ADP hexokinaza (muschi) (2) Glc 6-P fosfoglucomutaza
Functii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011
Functii Breviar teoretic 8 ianuarie 011 15 ianuarie 011 I Fie I, interval si f : I 1) a) functia f este (strict) crescatoare pe I daca x, y I, x< y ( f( x) < f( y)), f( x) f( y) b) functia f este (strict)
T R A I A N ( ) Trigonometrie. \ kπ; k. este periodică (perioada principală T * =π ), impară, nemărginită.
Trignmetrie Funcţia sinus sin : [, ] este peridică (periada principală T * = ), impară, mărginită. Funcţia arcsinus arcsin : [, ], este impară, mărginită, bijectivă. Funcţia csinus cs : [, ] este peridică
Muchia îndoită: se află în vârful muchiei verticale pentru ranforsare şi pentru protecţia cablurilor.
TRASEU DE CABLURI METALIC Tip H60 Lungimea unitară livrată: 3000 mm Perforaţia: pentru a uşura montarea şi ventilarea cablurilor, găuri de 7 30 mm în platbandă, iar distanţa dintre centrele găurilor consecutive
Capitolul 1-INTRODUCERE ÎN STUDIUL CHIMIEI ORGANICE Exerciţii şi probleme
Capitolul 1- INTRODUCERE ÎN STUDIUL CHIMIEI ORGANICE Exerciţii şi probleme ***************************************************************************** 1.1. Care este prima substanţă organică obţinută
Electronegativitatea = capacitatea unui atom legat de a atrage electronii comuni = concept introdus de Pauling.
Cursul 8 3.5.4. Electronegativitatea Electronegativitatea = capacitatea unui atom legat de a atrage electronii comuni = concept introdus de Pauling. Cantitativ, ea se exprimă prin coeficienţii de electronegativitate
Criptosisteme cu cheie publică III
Criptosisteme cu cheie publică III Anul II Aprilie 2017 Problema rucsacului ( knapsack problem ) Considerăm un număr natural V > 0 şi o mulţime finită de numere naturale pozitive {v 0, v 1,..., v k 1 }.
4. Elemente de biologie celulară şi moleculară
4. Elemente de biologie celulară şi moleculară O caracteristică esenţială a materiei vii este reprezentată de structura sa celulară, alături de încă două proprietăţi fundamentale: metabolismul şi reproducerea.
2. Circuite logice 2.4. Decodoare. Multiplexoare. Copyright Paul GASNER
2. Circuite logice 2.4. Decodoare. Multiplexoare Copyright Paul GASNER Definiţii Un decodor pe n bits are n intrări şi 2 n ieşiri; cele n intrări reprezintă un număr binar care determină în mod unic care
Tipuri de celule sub microscopul optic
Tipuri de celule sub microscopul optic Termenul de celulă a fost introdus de R. Hooke în cartea sa Micrographia publicată în 1665 în care descrie observaţii făcute cu microscopul şi telescopul. Microscopul
Unitatea atomică de masă (u.a.m.) = a 12-a parte din masa izotopului de carbon
ursul.3. Mării şi unităţi de ăsură Unitatea atoică de asă (u.a..) = a -a parte din asa izotopului de carbon u. a.., 0 7 kg Masa atoică () = o ărie adiensională (un nuăr) care ne arată de câte ori este
Curs 4 Nucleul. Acizi nucleici. Notiuni de genetica moleculara
Biologie Celulara si Histologie Curs 4 Nucleul. Acizi nucleici. Notiuni de genetica moleculara Cuprins Nucleul celular structura Acizi nucleici Transcriptia, translatia informatiei genetice; sinteza de
Reflexia şi refracţia luminii.
Reflexia şi refracţia luminii. 1. Cu cat se deplaseaza o raza care cade sub unghiul i =30 pe o placa plan-paralela de grosime e = 8,0 mm si indicele de refractie n = 1,50, pe care o traverseaza? Caz particular
V O. = v I v stabilizator
Stabilizatoare de tensiune continuă Un stabilizator de tensiune este un circuit electronic care păstrează (aproape) constantă tensiunea de ieșire la variaţia între anumite limite a tensiunii de intrare,
z a + c 0 + c 1 (z a)
1 Serii Laurent (continuare) Teorema 1.1 Fie D C un domeniu, a D şi f : D \ {a} C o funcţie olomorfă. Punctul a este pol multiplu de ordin p al lui f dacă şi numai dacă dezvoltarea în serie Laurent a funcţiei
Algebra si Geometrie Seminar 9
Algebra si Geometrie Seminar 9 Decembrie 017 ii Equations are just the boring part of mathematics. I attempt to see things in terms of geometry. Stephen Hawking 9 Dreapta si planul in spatiu 1 Notiuni
REPLICAREA ŞI REPARAREA ADN
1 Capitolul 7 7 REPLICAREA ŞI REPARAREA ADN Replicarea ADN este procesul molecular prin care se realizează copierea exactă a moleculelor de ADN (a secvenţei nucleotidice). Datorită replicării are loc transmiterea
Reactia de amfoterizare a aluminiului
Problema 1 Reactia de amfoterizare a aluminiului Se da reactia: Al (s) + AlF 3(g) --> AlF (g), precum si presiunile partiale ale componentelor gazoase in functie de temperatura: a) considerand presiunea
MULTIMEA NUMERELOR REALE
www.webmteinfo.com cu noi totul pre mi usor MULTIMEA NUMERELOR REALE office@ webmteinfo.com 1.1 Rdcin ptrt unui numr nturl ptrt perfect Ptrtul unui numr rtionl este totdeun pozitiv su zero (dic nenegtiv).
* K. toate K. circuitului. portile. Considerând această sumă pentru toate rezistoarele 2. = sl I K I K. toate rez. Pentru o bobină: U * toate I K K 1
FNCȚ DE ENERGE Fie un n-port care conține numai elemente paive de circuit: rezitoare dipolare, condenatoare dipolare și bobine cuplate. Conform teoremei lui Tellegen n * = * toate toate laturile portile
TEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE. Obiective:
TEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE 77 TEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE Obiective: Deiirea pricipalelor proprietăţi matematice ale ucţiilor de mai multe variabile Aalia ucţiilor de utilitate şi
TEMA 6.- BIOMOLÉCULAS ORGÁNICAS IV: ÁCIDOS NUCLEICOS
TEMA 6.- BIMLÉCULAS RGÁNICAS IV: ÁCIDS NUCLEICS A.- Características generales de los Ácidos Nucleicos B.- Nucleótidos y derivados nucleotídicos El esqueleto covalente de los ácidos nucleicos: el enlace
2 Transformări liniare între spaţii finit dimensionale
Transformări 1 Noţiunea de transformare liniară Proprietăţi. Operaţii Nucleul şi imagine Rangul şi defectul unei transformări 2 Matricea unei transformări Relaţia dintre rang şi defect Schimbarea matricei