2 Transformări liniare între spaţii finit dimensionale

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "2 Transformări liniare între spaţii finit dimensionale"

Transcript

1 Transformări 1 Noţiunea de transformare liniară Proprietăţi. Operaţii Nucleul şi imagine Rangul şi defectul unei transformări 2 Matricea unei transformări Relaţia dintre rang şi defect Schimbarea matricei unei transformări liniare 3 Diagonalizarea matricei unei transformări Polinom caracteristic

2 Noţiunea de transformare liniară Proprietăţi. Operaţii Nucleul şi imagine Rangul şi defectul unei transformări Fie V şi W spaţii liniare peste Γ, unde Γ = R sau complexe Γ = C. Definiţie Se numeşte transformare (operator) liniară funcţia f : V W dacă satisface 1 f (u + v) = f (u) + f (v), u, v V 2 f (α u) = α f (u), u V, α Γ.

3 Proprietăţi Proprietăţi. Operaţii Nucleul şi imagine Rangul şi defectul unei transformări Propoziţie Dacă f este o transformare liniară, atunci au loc 1. f (0 V ) = 0 W 2. f ( u) = f (u), u V. Demonstraţie. 1. f (0 V ) = f (0 0 V ) = 0 f (0 V ) = 0 W. 2. Din u + ( u) = 0 V deducem f (u) + f ( u) = 0 W, adică f ( u) = f (u).

4 Spaţiul transformărilor liniare Proprietăţi. Operaţii Nucleul şi imagine Rangul şi defectul unei transformări Fie V şi W spaţii liniare peste Γ, unde Γ = R sau complexe Γ = C. Notăm L(V, W ) = {f : V W, f transformare liniară}. Teoremă L(V, W ) este spaţiu liniar peste Γ. Demonstraţie. Definim operaţiile f, g L(V, W ) (f + g)(u) = f (u) + g(u), u V. f L(V, W ), α Γ, (α f )(u) = α f (u).

5 Alte operaţii cu transformări Proprietăţi. Operaţii Nucleul şi imagine Rangul şi defectul unei transformări Teoremă Fie U, V, W spaţii liniare peste Γ şi f L(U, V ), g L(V, W ). Atunci g f L(U, W ) Teoremă Fie f L(U, V ) o transformare liniară bijectivă. Atunci există f 1 şi f 1 L(V, U).

6 Nucleul şi imagine Proprietăţi. Operaţii Nucleul şi imagine Rangul şi defectul unei transformări Definiţie Numim nucleu al transformării liniare f : V W mulţimea Ker f = {u V f (u) = 0 W.} Definiţie Numim imagine a transformării liniare f : V W mulţimea Im f = {v W u V, f (u) = v}.

7 Proprietăţi Proprietăţi. Operaţii Nucleul şi imagine Rangul şi defectul unei transformări Propoziţie Fie f : V W o transformare liniară atunci 1. Ker f este subspaţiu liniar în V. 2. Im f este subspaţiu liniar în W. Propoziţie Fie f : V W o transformare liniară atunci 1. f este injectivă dacă şi numai dacă Ker f = {0 V } 2. f este surjectivă dacă şi numai dacă Im f = W.

8 Proprietăţi. Operaţii Nucleul şi imagine Rangul şi defectul unei transformări Teoremă 1. Dacă f L(V, W ) atunci f transformă un sistem de vectori liniar dependenţi într-un sistem de vectori liniar dependenţi. 2. Dacă f L(V, W ) este injectivă atunci f transformă un sistem de vectori liniar independenţi într-un sistem de vectori liniar independenţi.

9 Proprietăţi. Operaţii Nucleul şi imagine Rangul şi defectul unei transformări Demonstraţie. 1. Presupunem că u 1, u 2,, u n sunt liniar dependenţi; există α i Γ nu toţi nuli astfel ca α i u i = 0 V. Aplicăm f şi avem f ( i=1 α i u i ) = i=1 α i f (u i ) = 0 W. 2. Presupunem că u 1, u 2,, u n sunt liniar independenţi. Fie α i f (u i ) = 0 W, care implică n i=1 f ( i=1 α i u i ) = 0 W, i=1

10 Morfisme Noţiunea de transformare liniară Proprietăţi. Operaţii Nucleul şi imagine Rangul şi defectul unei transformări Definiţie Fie f : V W o transformare liniară atunci f se numeşte izomorfism dacă f este bijectivă. Dacă V = W, atunci f se numeşte endomorfism. Notam L(V ) mulţimea tuturor endomorfismelor. Endomorfismul liniar f : V V se numeşte automorfism, dacă f este bijectivă.

11 Proprietăţi. Operaţii Nucleul şi imagine Rangul şi defectul unei transformări Rangul şi defectul unei transformări Definiţie Numim rangul transformării f : V W liniare dimensiunea subspaţiului Im f. Definiţie Numim defectul transformării f : V W liniare dimensiunea subspaţiului Ker f.

12 Matricea unei transformări Relaţia dintre rang şi defect Schimbarea matricei unei transformări liniare Fie V, W două spaţii liniare finit dimensionale, astfel ca dim V = n, dim W = m, m, n N. Fie B 1 = {e 1, e 2,, e n } o bază în V şi B 2 = {g 1, g 2,, g m } o bază în W. Au loc f (e 1 ) = a 11 f 1 + a 21 f a m1 f m f (e 2 ) = a 12 f 1 + a 22 f a m2 f m. f (e n ) = a 1n f 1 + a 2n f a mn f m Relaţiile sunt echivalente cu: f (e i ) = m a ji g j, i = 1,, n. (1) j=1

13 Matricea unei transformări Relaţia dintre rang şi defect Schimbarea matricei unei transformări liniare Definiţie Matricea A = A B 1,B 2 f = (a ji ), j = 1, m, i = 1,, n se numeşte matricea transformării în perechea de baze B 1, B 2. Observaţie. Matricea are pe coloane coordonatele vectorilor f (e i ) în baza din W.

14 Matricea unei transformări Relaţia dintre rang şi defect Schimbarea matricei unei transformări liniare Teoremă Între mulţimea transformărilor liniare L(V, W ) şi mulţimea matricelor M m,n (Γ) există o corespondenţă bijectivă. Demonstraţie. Fie f L(V, W ), unde dim(v ) = n, dim(w ) = m. Dacă folosim notaţiile predente, avem pentru orice u V, w W u = x i e i w = i=1 m y j f j. (2) j=1

15 Demonstraţie. Matricea unei transformări Relaţia dintre rang şi defect Schimbarea matricei unei transformări liniare Au loc Deducem w = f (u) = f ( x i e i ) = x i f (e i ) = = m x i i=1 j=1 i=1 i=1 a ji f j = m ( a ji x i )f j j=1 i=1 y j = a ji x i, j = 1,, m (3) i=1

16 Matricea unei transformări Relaţia dintre rang şi defect Schimbarea matricei unei transformări liniare Dacă notăm Y = y 1 y 2 y m X = x 1 x 2 x n, relaţia (3) devine Y = A X. (4) Oricare ar fi matricele A M m,n (Γ), X M n,1 (Γ), Y M m,1 (Γ), relaţia (4) defineşte o transformare liniară.

17 Consecinţe Matricea unei transformări Relaţia dintre rang şi defect Schimbarea matricei unei transformări liniare 1. Tranformarea identic nulă, f : V W, f (u) = 0 W, are matricea O m,n 2. Transformarea identică f : V V, f (u) = u are matricea A = I n. 3. Dacă f, g L(V, W ) au matricele A, B M m,n (Γ) atunci f + g are matricea A + B M m,n (Γ). 4. Dacă α Γ, f L(V, W ), iar f are matricea A M m,n (Γ), atunci transformarea α f are matricea α A M m,n (Γ).

18 Compunerea transformărilor Matricea unei transformări Relaţia dintre rang şi defect Schimbarea matricei unei transformări liniare 5. Fie U, V, W spaţii liniare peste Γ cu dim(u) = n, dim(v ) = m, dim(w ) = p, m, n, p N. Fie f L(U, V ), g L(V, W ). Are sens compunerea g f L(U, W ). f g U V W. A M m,n (Γ) B M p,m (Γ) Atunci transformării g f îi corespunde matricea B A M p,n (Γ).

19 Inversarea unei transfromări Matricea unei transformări Relaţia dintre rang şi defect Schimbarea matricei unei transformări liniare 6. Dacă V = W şi f L(V ) cu matricea A M n (Γ) este o transformare inversabilă, atunci transformării f 1 îi corespunde matricea A 1.

20 Relaţia dintre rang şi defect Matricea unei transformări Relaţia dintre rang şi defect Schimbarea matricei unei transformări liniare Fie V, W spaţii liniare peste Γ cu dim(u) = n şi dim(w ) = m. Teoremă Fie f L(U, W ) atunci are loc dim(im(f )) + dim(ker f ) = n. Demonstraţie. Fie A M m,n (Γ) matricea lui f într-o pereche de baze. Atunci f (u) = w înseamnă A X = Y. Dacă w Im(f ) atunci sistemul de mai jos este compatibil a 11 x a 1n = y 1 a 21 x a 2n = y 2. a m1 x a mn = y m

21 Matricea unei transformări Relaţia dintre rang şi defect Schimbarea matricei unei transformări liniare Sistemul este echivalent cu C 1 x C n x n = Y, (5) unde C 1,, C n sunt coloanele matricei A. Relaţia (5) exprimă faptul că Y Sp{C 1,, C n }. Ştim că rang(a) = dim(sp{c 1,, C n }), deci rang(a) = dim(im(f )). Pe de altă parte ker f reprezintă mulţimea soluţiilor unui sistem liniar omogen, cu dimensiunea n rang(a), de unde concluzia.

22 Matricea unei transformări Relaţia dintre rang şi defect Schimbarea matricei unei transformări liniare Teoremă Fie f L(V ) cu dim(v ) = n şi B = {e i,, e n } o bază în V, în care f are matricea A M n (Γ). Fie B = {e i,, e n} o altă bază în V, în care f are matricea A M n (Γ). Fie C matricea de schimbare de la baza B la B. Are loc A = C 1 A C. (6)

23 Demonstraţie. Matricea unei transformări Relaţia dintre rang şi defect Schimbarea matricei unei transformări liniare Calculăm în două moduri f (e j ). Rezultă f (e j ) = f (e j ) = f ( c ij e i ) = c ij f (e i ) = = c ij i=1 k=1 a ij e i = i=1 i=1 a ki e k = a ij i=1 i=1 k=1 ( a ki c ij )e k. k=1 i=1 c ki e k = A C = C A. ( c ki a ij )e k. k=1 i=1

24 Diagonalizarea matricei unei transformări Polinom caracteristic Definiţie Fie V un spaţiu liniar peste Γ, unde Γ = R sau C şi f L(V ). λ Γ se numeşte valoare proprie dacă există u V, u 0 V astfel ca f (u) = λu. (7) Vectorul u se numeşte vector propriu. Mulţimea tuturor vectorilor proprii se numeşte spectrul operatorului şi se notează cu σ(f ).

25 Diagonalizarea matricei unei transformări Polinom caracteristic Teoremă Fie λ Γ o valoare proprie. 1. Mulţimea V λ = {u V f (u) = λu} este subspaţiu liniar în V. 2. Oricare ar fi u V λ are loc f (u) V λ. Demonstraţie. 1. Dacă u, u V λ rezultă că u + u V λ. Dacă α V λ, u V λ atunci αu V λ. 2. Fie u V astfel ca f (u) = λu. Rezultă f (f (u)) = λf (u). V λ se numeşte subspaţiu propriu.

26 Diagonalizarea matricei unei transformări Polinom caracteristic Teoremă Dacă λ, λ Γ sunt valori proprii distincte, iar u, u sunt vectorii proprii corespunzatori, atunci u şi u sunt liniar independenţi. Demonstraţie. Dacă u, u ar fi liniar dependenţi, ar exista α Γ, α 0 astfel ca u = αu, Aplicând f deducem : De unde λ αu = λ u = f (u ) = f (αu) = αf (u) = αλu α(λ λ)u = 0 V ceea ce antrenează, prin absurd, λ = λ.

27 Diagonalizarea matricei unei transformări Polinom caracteristic Teoremă Dacă V este spaţiu liniar n-dimensional peste Γ, atunci orice f L(V ) are cel puţin o valoare proprie în Γ. Demonstraţie. Fie A M n (Γ) matricea transformării într-o bază fixată B = {e 1,, e n }. Dacă u = x 1 e x n e n din condiţia f (u) = λu găsim A x 1 x 2 x n = λ x 1 x 2 x n.

28 Ecuaţia caracteristică Diagonalizarea matricei unei transformări Polinom caracteristic Se obţine a 11 λ a 12 a 1n a 21 a 22 λ a 2n a n1 a n2 a nn λ x 1 x 2 x n = Sistemul are soluţie nebanală dacă a 11 λ a 12 a 1n a 21 a 22 λ a 2n = 0 (8) a n1 a n2 a nn λ Ecuaţia (8) se numeşte ecuaţie caracteristică.

29 Forma diagonală Diagonalizarea matricei unei transformări Polinom caracteristic Definiţie Spunem că o transformare liniară admite forma diagonală, dacă există o bază în care matricea este diagonală. Teoremă Dacă spaţiul liniar V admite o bază de vectori proprii, atunci în această bază transformarea liniară admite formă diagonală. Demonstraţie. Fie λ i Γ valori proprii şi {u 1,, u n } o bază de vectori proprii. Atunci f (u i ) = λ i u i, adică matricea are pe diagonală valorile proprii λ i, iar în rest 0.

30 Lema lui Gersgorin Diagonalizarea matricei unei transformări Polinom caracteristic Lemă Fie A M n (C). Pentru orice i = 1,, n fie r i = a ij D i = {z C z a ii r i }. j=1,j i Are loc n σ(a) D i, unde σ(a) este spectrul transformării liniare de matrice A. i=1

31 Diagonalizarea matricei unei transformări Polinom caracteristic Demonstraţie. Fie λ o valoare proprie, astfel ca există x i, i = 1,, n nu toţi nuli astfel ca A x 1 x n = λ x 1 x n.

32 Diagonalizarea matricei unei transformări Polinom caracteristic Fie i astfel ca x i = max( x 1,, x n ) de unde x i 0. Ecuaţia i este a i1 x (a ii λ)x i + + a in = 0. Deducem de unde Urmează (a ii λ)x i = a ii λ x i a ii λ j=1,j i j=1,j i j=1,j i a ij x j, a ij x j. a ij x j x i r i.

33 Polinom caracteristic Diagonalizarea matricei unei transformări Polinom caracteristic Definiţie Fie A M n (Γ). Polinomul se numeşte polinom caracteristic. Teoremă P(λ) = det(a λi n ) (9) Fie A M n (Γ) şi P(λ) polinomul caracteristic. Atunci au loc: 1. A şi A t au acelaşi polinom carateristic. 2. P(λ) = ( 1) n λ n + ( 1) n 1 λ n 1 (a 11 + a a nn ) + + a n unde a n = det(a). 3. Date A, B M n (Γ) şi C M n (Γ) nesingulară astfel ca B = C 1 AC atunci A şi B au acelaşi polinom caracteristic.

34 Demonstraţie Diagonalizarea matricei unei transformări Polinom caracteristic P(λ) = (a 11 λ)(a 22 λ) (a nn λ)+polinom de grad n 2 = ( 1) n λ n + ( 1) n 1 (a 11 + a a nn )λ n a n. Dacă λ = 0 deducem a n = det(a). Consecinţe. 1 λ 1 + λ λ n = Tr(A) 2. λ 1 λ 2 λ n = det(a).

35 Teorema Cayley-Hamilton Diagonalizarea matricei unei transformări Polinom caracteristic Teoremă Fie A M n (Γ) şi P polinomul caracteristic. Atunci P(A) = 0.

Spatii liniare. Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară. Mulţime infinită liniar independentă

Spatii liniare. Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară. Mulţime infinită liniar independentă Noţiunea de spaţiu liniar 1 Noţiunea de spaţiu liniar Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară 2 Mulţime infinită liniar independentă 3 Schimbarea coordonatelor unui vector la o schimbare

Διαβάστε περισσότερα

Sisteme diferenţiale liniare de ordinul 1

Sisteme diferenţiale liniare de ordinul 1 1 Metoda eliminării 2 Cazul valorilor proprii reale Cazul valorilor proprii nereale 3 Catedra de Matematică 2011 Forma generală a unui sistem liniar Considerăm sistemul y 1 (x) = a 11y 1 (x) + a 12 y 2

Διαβάστε περισσότερα

V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile

V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile Metode de Optimizare Curs V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile Propoziţie 7. (Fritz-John). Fie X o submulţime deschisă a lui R n, f:x R o funcţie de clasă C şi ϕ = (ϕ,ϕ

Διαβάστε περισσότερα

Definiţia generală Cazul 1. Elipsa şi hiperbola Cercul Cazul 2. Parabola Reprezentari parametrice ale conicelor Tangente la conice

Definiţia generală Cazul 1. Elipsa şi hiperbola Cercul Cazul 2. Parabola Reprezentari parametrice ale conicelor Tangente la conice 1 Conice pe ecuaţii reduse 2 Conice pe ecuaţii reduse Definiţie Numim conica locul geometric al punctelor din plan pentru care raportul distantelor la un punct fix F şi la o dreaptă fixă (D) este o constantă

Διαβάστε περισσότερα

Planul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare

Planul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare 1 Planul în spaţiu Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru 2 Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Fie reperul R(O, i, j, k ) în spaţiu. Numim normala a unui plan, un vector perpendicular pe

Διαβάστε περισσότερα

Algebră liniară CAPITOLUL 3

Algebră liniară CAPITOLUL 3 Algebră liniară CAPITOLUL 3 TRANSFORĂRI LINIARE 3.. Definiţia transformării liniare Definiţia 3... Fie V şi W două spaţii vectoriale peste un corp comutativ K. O funcţie u: V W se numeşte transformare

Διαβάστε περισσότερα

Matrice. Determinanti. Sisteme liniare

Matrice. Determinanti. Sisteme liniare Matrice 1 Matrice Adunarea matricelor Înmulţirea cu scalar. Produsul 2 Proprietăţi ale determinanţilor Rangul unei matrice 3 neomogene omogene Metoda lui Gauss (Metoda eliminării) Notiunea de matrice Matrice

Διαβάστε περισσότερα

Seminar Algebra. det(a λi 3 ) = 0

Seminar Algebra. det(a λi 3 ) = 0 Rezolvari ale unor probleme propuse "Matematica const în a dovedi ceea ce este evident în cel mai puµin evident mod." George Polya P/Seminar Valori si vectori proprii : Solutie: ( ) a) A = Valorile proprii:

Διαβάστε περισσότερα

Gheorghe PROCOPIUC PROBLEME DE ALGEBRĂ LINIARĂ GEOMETRIE

Gheorghe PROCOPIUC PROBLEME DE ALGEBRĂ LINIARĂ GEOMETRIE Gheorghe PROCOPIUC PROBLEME DE ALGEBRĂ LINIARĂ ŞI GEOMETRIE IAŞI, 005 CUPRINS 1 MATRICE ŞI SISTEME ALGEBRICE LINIARE 5 1.1 Matrice şi determinanţi.......................... 5 1. Sisteme de ecuaţii algebrice

Διαβάστε περισσότερα

1. Sisteme de ecuaţii liniare Definiţia 1.1. Fie K un corp comutativ. 1) Prin sistem de m ecuaţii liniare cu n necunoscute X 1,...

1. Sisteme de ecuaţii liniare Definiţia 1.1. Fie K un corp comutativ. 1) Prin sistem de m ecuaţii liniare cu n necunoscute X 1,... 1. Sisteme de ecuaţii liniare Definiţia 1.1. Fie K un corp comutativ. 1) Prin sistem de m ecuaţii liniare cu n necunoscute X 1,..., X n şi coeficienţi în K se înţelege un ansamblu de egalităţi formale

Διαβάστε περισσότερα

2.9 Forme biafine Forme pătratice afine. Aducerea la forma canonică Centre de simetrie Varietăţi pătratice...

2.9 Forme biafine Forme pătratice afine. Aducerea la forma canonică Centre de simetrie Varietăţi pătratice... Geometrie Afină Contents 1 Spaţii vectoriale 3 1.1 Spaţii vectoriale peste un corp K........................ 3 1.2 Exemple de spaţii vectoriale........................... 4 1.3 Dependenţă liniară de vectori..........................

Διαβάστε περισσότερα

Spaţii vectoriale. Definiţia 1.1. Fie (K, +, ) un corp şi (V, +) un grup abelian.

Spaţii vectoriale. Definiţia 1.1. Fie (K, +, ) un corp şi (V, +) un grup abelian. Spaţii vectoriale 1. Spaţii vectoriale. Definiţii şi proprietăţi de bază În continuare prin corp vom înţelege corp comutativ. Dacă nu se precizează altceva, se vor folosi notaţiile standard pentru elementele

Διαβάστε περισσότερα

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1 Functii definitie proprietati grafic functii elementare A. Definitii proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi X si Y spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe X cu valori in Y daca fiecarui

Διαβάστε περισσότερα

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi si spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe cu valori in daca fiecarui element

Διαβάστε περισσότερα

Matrici şi sisteme de ecuaţii liniare

Matrici şi sisteme de ecuaţii liniare Matrici şi sisteme de ecuaţii liniare 1. Matrici şi determinanţi Reamintim aici câteva proprietăţi ale matricilor şi determinanţilor. Definiţia 1.1. Fie K un corp (comutativ) şi m, n N. O funcţie A : {1,...,

Διαβάστε περισσότερα

Vectori liberi Produs scalar Produs vectorial Produsul mixt. 1 Vectori liberi. 2 Produs scalar. 3 Produs vectorial. 4 Produsul mixt.

Vectori liberi Produs scalar Produs vectorial Produsul mixt. 1 Vectori liberi. 2 Produs scalar. 3 Produs vectorial. 4 Produsul mixt. liberi 1 liberi 2 3 4 Segment orientat liberi Fie S spaţiul geometric tridimensional cu axiomele lui Euclid. Orice pereche de puncte din S, notată (A, B) se numeşte segment orientat. Dacă A B, atunci direcţia

Διαβάστε περισσότερα

1.3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune

1.3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune .3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune Definiţia.3. Se numeşte bază a spaţiului vectorial V o familie de vectori B care îndeplineşte condiţiile de mai jos: a) B este liniar independentă; b) B este

Διαβάστε περισσότερα

a n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea

a n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea Serii Laurent Definitie. Se numeste serie Laurent o serie de forma Seria n= (z z 0 ) n regulata (tayloriana) = (z z n= 0 ) + n se numeste partea principala iar seria se numeste partea Sa presupunem ca,

Διαβάστε περισσότερα

Orice izometrie f : (X, d 1 ) (Y, d 2 ) este un homeomorfism. (Y = f(x)).

Orice izometrie f : (X, d 1 ) (Y, d 2 ) este un homeomorfism. (Y = f(x)). Teoremă. (Y = f(x)). Orice izometrie f : (X, d 1 ) (Y, d 2 ) este un homeomorfism Demonstraţie. f este continuă pe X: x 0 X, S Y (f(x 0 ), ε), S X (x 0, ε) aşa ca f(s X (x 0, ε)) = S Y (f(x 0 ), ε) : y

Διαβάστε περισσότερα

DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE

DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE ABSTRACT. Materialul prezintă o modalitate de a afla distanţa dintre două drepte necoplanare folosind volumul tetraedrului. Lecţia se adresează clasei a VIII-a Data:

Διαβάστε περισσότερα

Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate.

Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie p, q N. Fie funcţia f : D R p R q. Avem următoarele

Διαβάστε περισσότερα

Integrala nedefinită (primitive)

Integrala nedefinită (primitive) nedefinita nedefinită (primitive) nedefinita 2 nedefinita februarie 20 nedefinita.tabelul primitivelor Definiţia Fie f : J R, J R un interval. Funcţia F : J R se numeşte primitivă sau antiderivată a funcţiei

Διαβάστε περισσότερα

(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a.

(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a. Definiţie Spunem că: i) funcţia f are derivată parţială în punctul a în raport cu variabila i dacă funcţia de o variabilă ( ) are derivată în punctul a în sens obişnuit (ca funcţie reală de o variabilă

Διαβάστε περισσότερα

CURS 5 Spaţii liniare. Spaţiul liniar R n

CURS 5 Spaţii liniare. Spaţiul liniar R n CURS 5 Spaţii liniare. Spaţiul liniar R n A. Arusoaie arusoaie.andreea@gmail.com andreea.arusoaie@info.uaic.ro Facultatea de Informatică, Universitatea Alexandru Ioan Cuza din Iaşi 30 Octombrie 2017 Structura

Διαβάστε περισσότερα

Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii

Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii Problemele neliniare sunt in general rezolvate prin metode iterative si analiza convergentei acestor metode este o problema importanta. 1 Contractii

Διαβάστε περισσότερα

Curs 4 Serii de numere reale

Curs 4 Serii de numere reale Curs 4 Serii de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Criteriul rădăcinii sau Criteriul lui Cauchy Teoremă (Criteriul rădăcinii) Fie x n o serie cu termeni

Διαβάστε περισσότερα

Curs 14 Funcţii implicite. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi"

Curs 14 Funcţii implicite. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică Gh. Asachi Curs 14 Funcţii implicite Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie F : D R 2 R o funcţie de două variabile şi fie ecuaţia F (x, y) = 0. (1) Problemă În ce condiţii ecuaţia

Διαβάστε περισσότερα

Sala: 2103 Octombrie 2014 CURS 1: ALGEBRĂ. Fie K corp comutativ cu elementul neutru la înmulţire notat prin 1 iar 0 la adunare.

Sala: 2103 Octombrie 2014 CURS 1: ALGEBRĂ. Fie K corp comutativ cu elementul neutru la înmulţire notat prin 1 iar 0 la adunare. Sala: 2103 Octombrie 2014 Conf. univ. dr.: Dragoş-Pătru Covei CURS 1: ALGEBRĂ Specializarea: C.E., I.E., S.P.E. Nota: Acest curs nu a fost supus unui proces riguros de recenzare pentru a fi oficial publicat.

Διαβάστε περισσότερα

CURS 11: ALGEBRĂ Spaţii liniare euclidiene. Produs scalar real. Spaţiu euclidian. Produs scalar complex. Spaţiu unitar. Noţiunea de normă.

CURS 11: ALGEBRĂ Spaţii liniare euclidiene. Produs scalar real. Spaţiu euclidian. Produs scalar complex. Spaţiu unitar. Noţiunea de normă. Sala: 2103 Decembrie 2014 Conf. univ. dr.: Dragoş-Pătru Covei CURS 11: ALGEBRĂ Specializarea: C.E., I.E., S.P.E. Nota: Acest curs nu a fost supus unui proces riguros de recenzare pentru a fi oficial publicat.

Διαβάστε περισσότερα

Seminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare

Seminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare Seminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare Noțiuni teoretice Criteriul Hurwitz de analiză a stabilității sistemelor liniare În cazul sistemelor liniare, stabilitatea este o condiție de localizare

Διαβάστε περισσότερα

Nicolae Cotfas ELEMENTE DE EDITURA UNIVERSITĂŢII DIN BUCUREŞTI

Nicolae Cotfas ELEMENTE DE EDITURA UNIVERSITĂŢII DIN BUCUREŞTI Nicolae Cotfas ELEMENTE DE ALGEBRĂ LINIARĂ EDITURA UNIVERSITĂŢII DIN BUCUREŞTI Introducere Pe parcursul acestei cărţi ne propunem să prezentăm într-un mod cât mai accesibil noţiuni si rezultate de bază

Διαβάστε περισσότερα

Algebră liniară CAPITOLUL 1

Algebră liniară CAPITOLUL 1 Algebră liniară CAPITOLUL SPAŢII VECTORIALE FINIT DIMENSIONALE. Definiţia spaţiilor vectoriale Pentru a introduce noţiunea de spaţiu vectorial avem nevoie de noţiunea de corp comutativ de caracteristică

Διαβάστε περισσότερα

Curs 2 Şiruri de numere reale

Curs 2 Şiruri de numere reale Curs 2 Şiruri de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Convergenţă şi mărginire Teoremă Orice şir convergent este mărginit. Demonstraţie Fie (x n ) n 0 un

Διαβάστε περισσότερα

CURS XI XII SINTEZĂ. 1 Algebra vectorială a vectorilor liberi

CURS XI XII SINTEZĂ. 1 Algebra vectorială a vectorilor liberi Lect. dr. Facultatea de Electronică, Telecomunicaţii şi Tehnologia Informaţiei Algebră, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC http://math.etti.tuiasi.ro/maticiuc/ CURS XI XII SINTEZĂ 1 Algebra vectorială

Διαβάστε περισσότερα

III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă.

III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă. III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. Definiţie. O serie a n se numeşte: i) absolut convergentă dacă seria modulelor a n este convergentă; ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar

Διαβάστε περισσότερα

1.4 Schimbarea bazei unui spaţiu vectorial

1.4 Schimbarea bazei unui spaţiu vectorial Algebră liniară, geometrie analitică şi diferenţială. Schimbarea bazei unui spaţiu vectorial După cum s-a văzut deja, într-un spaţiu vectorial V avem mai multe baze, iar un vector x V va avea câte un sistem

Διαβάστε περισσότερα

Sala: Octombrie 2014 SEMINAR 1: ALGEBRĂ. este un Q-spaţiu vectorial, faţă de operaţiile uzuale de adunare şi înmulţire cu un număr raţional.

Sala: Octombrie 2014 SEMINAR 1: ALGEBRĂ. este un Q-spaţiu vectorial, faţă de operaţiile uzuale de adunare şi înmulţire cu un număr raţional. Sala: Octombrie 24 SEMINAR : ALGEBRĂ Conf univ dr: Dragoş-Pătru Covei Programul de studii: CE, IE, SPE Nota: Acest curs nu a fost supus unui proces riguros de recenzare pentru a fi oficial publicat distribuit

Διαβάστε περισσότερα

Functii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011

Functii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011 Functii Breviar teoretic 8 ianuarie 011 15 ianuarie 011 I Fie I, interval si f : I 1) a) functia f este (strict) crescatoare pe I daca x, y I, x< y ( f( x) < f( y)), f( x) f( y) b) functia f este (strict)

Διαβάστε περισσότερα

R R, f ( x) = x 7x+ 6. Determinați distanța dintre punctele de. B=, unde x și y sunt numere reale.

R R, f ( x) = x 7x+ 6. Determinați distanța dintre punctele de. B=, unde x și y sunt numere reale. 5p Determinați primul termen al progresiei geometrice ( b n ) n, știind că b 5 = 48 și b 8 = 84 5p Se consideră funcția f : intersecție a graficului funcției f cu aa O R R, f ( ) = 7+ 6 Determinați distanța

Διαβάστε περισσότερα

, m ecuańii, n necunoscute;

, m ecuańii, n necunoscute; Sisteme liniare NotaŃii: a ij coeficienńi, i necunoscute, b i termeni liberi, i0{1,,..., n}, j0{1,,..., m}; a11 1 + a1 +... + a1 nn = b1 a11 + a +... + an n = b (S), m ecuańii, n necunoscute;... am11 +

Διαβάστε περισσότερα

PROBLEME DE VALORI ŞI VECTORI PROPRII

PROBLEME DE VALORI ŞI VECTORI PROPRII 9 PROBLEME DE VALORI ŞI VECTORI PROPRII 81 Introducere Problema de valori proprii a unui operator liniar A: Ax = λx x vector propriu, λ valoare proprie În reprezentarea unei baze din < n problemă matricială

Διαβάστε περισσότερα

Curs 1 Şiruri de numere reale

Curs 1 Şiruri de numere reale Bibliografie G. Chiorescu, Analiză matematică. Teorie şi probleme. Calcul diferenţial, Editura PIM, Iaşi, 2006. R. Luca-Tudorache, Analiză matematică, Editura Tehnopress, Iaşi, 2005. M. Nicolescu, N. Roşculeţ,

Διαβάστε περισσότερα

Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Sfera prin 4 puncte necoplanare. Elipsoidul Hiperboloizi Paraboloizi Conul Cilindrul. 1 Sfera.

Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Sfera prin 4 puncte necoplanare. Elipsoidul Hiperboloizi Paraboloizi Conul Cilindrul. 1 Sfera. pe ecuaţii generale 1 Sfera Ecuaţia generală Probleme de tangenţă 2 pe ecuaţii generale Sfera pe ecuaţii generale Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Numim sferă locul geometric al punctelor din spaţiu

Διαβάστε περισσότερα

Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane

Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane Subspatii ane Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia VI Subspatii ane Table of Contents 1 Structura de spatiu an E 3 2 Subspatii

Διαβάστε περισσότερα

Ariadna Lucia Pletea Adrian Corduneanu Mircea Lupan LECŢII DE ALGEBRĂ LINIARĂ

Ariadna Lucia Pletea Adrian Corduneanu Mircea Lupan LECŢII DE ALGEBRĂ LINIARĂ Ariadna Lucia Pletea Adrian Corduneanu Mircea Lupan LECŢII DE ALGEBRĂ LINIARĂ IASI, 005 1 Cuprins Capitolul 1 1.1. Matrice şi determinanţi...5 1.1.1. Determinantul unei matrice pătratice...8 1.1.. Matricea

Διαβάστε περισσότερα

Esalonul Redus pe Linii (ERL). Subspatii.

Esalonul Redus pe Linii (ERL). Subspatii. Seminarul 1 Esalonul Redus pe Linii (ERL). Subspatii. 1.1 Breviar teoretic 1.1.1 Esalonul Redus pe Linii (ERL) Definitia 1. O matrice A L R mxn este in forma de Esalon Redus pe Linii (ERL), daca indeplineste

Διαβάστε περισσότερα

Lucian Maticiuc CURS I II. 1 Matrice şi determinanţi. Sisteme de ecuaţii liniare. 1.1 Matrice şi determinanţi

Lucian Maticiuc CURS I II. 1 Matrice şi determinanţi. Sisteme de ecuaţii liniare. 1.1 Matrice şi determinanţi Facultatea de Electronică, Telecomunicaţii şi Tehnologia Informaţiei Algebră, Semestrul I, Lector dr Lucian MATICIUC http://mathettituiasiro/maticiuc/ CURS I II Matrice şi determinanţi Sisteme de ecuaţii

Διαβάστε περισσότερα

1 Preliminarii. M 3, (a b) c = a (b c) (notăm a b c, obţinând astfel şi x 1 x 2... x n

1 Preliminarii. M 3, (a b) c = a (b c) (notăm a b c, obţinând astfel şi x 1 x 2... x n 1 Preliminarii Fie M, A mulţimi nevide şi n N. Se muneşte operaţie n ară (sau lege de compoziţie n-ară) definită pe M orice aplicaţie τ : M n M (M n = } M {{... M } ). In cazul n = 2, obţinem operaţiile

Διαβάστε περισσότερα

METODE NUMERICE: Laborator #7 Calculul valorilor proprii si vectorilor proprii prin metodele puterii. Metoda Householder

METODE NUMERICE: Laborator #7 Calculul valorilor proprii si vectorilor proprii prin metodele puterii. Metoda Householder METODE NUMERICE: Laborator #7 Calculul valorilor proprii si vectorilor proprii prin metodele puterii. Metoda Householder Titulari curs: Florin Pop, George-Pantelimon Popescu Responsabil Laborator: Alexandru

Διαβάστε περισσότερα

5. FUNCŢII IMPLICITE. EXTREME CONDIŢIONATE.

5. FUNCŢII IMPLICITE. EXTREME CONDIŢIONATE. 5 Eerciţii reolvate 5 UNCŢII IMPLICITE EXTREME CONDIŢIONATE Eerciţiul 5 Să se determine şi dacă () este o funcţie definită implicit de ecuaţia ( + ) ( + ) + Soluţie ie ( ) ( + ) ( + ) + ( )R Evident este

Διαβάστε περισσότερα

Cursul de recuperare Algebra. v n. daca in schimb exista coecienti λ 1, λ 2,..., λ n nu toti nuli care satisfac relatia (1), de exemplu λ i 0 = A =

Cursul de recuperare Algebra. v n. daca in schimb exista coecienti λ 1, λ 2,..., λ n nu toti nuli care satisfac relatia (1), de exemplu λ i 0 = A = Matrice, determinanti Un punct de vedere liniar independent "A judeca matematic nu înseamn a gândi losoc, a judeca losoc nu înseamn a liber, a gândi liber nu înseamn a losof " Blaise Pascal Liniar independenta:

Διαβάστε περισσότερα

Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. Se acordă din oficiu 10 puncte. SUBIECTUL I.

Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. Se acordă din oficiu 10 puncte. SUBIECTUL I. Modelul 4 Se acordă din oficiu puncte.. Fie numărul complex z = i. Calculaţi (z ) 25. 2. Dacă x şi x 2 sunt rădăcinile ecuaţiei x 2 9x+8 =, atunci să se calculeze x2 +x2 2 x x 2. 3. Rezolvaţi în mulţimea

Διαβάστε περισσότερα

Contract POSDRU/86/1.2/S/ POSDRU ID * Bucureşti 2012

Contract POSDRU/86/1.2/S/ POSDRU ID * Bucureşti 2012 Contract POSDRU/86/1.2/S/62485 Algebră Liniară POSDRU ID 62485 * Bucureşti 212 Prefaţă Algebra liniară şi geometria analitică stau la baza pregătirii matematice universitare, oferind modelări bazate pe

Διαβάστε περισσότερα

Concurs MATE-INFO UBB, 1 aprilie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ

Concurs MATE-INFO UBB, 1 aprilie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ Concurs MATE-INFO UBB, aprilie 7 Proba scrisă la MATEMATICĂ SUBIECTUL I (3 puncte) ) (5 puncte) Fie matricele A = 3 4 9 8

Διαβάστε περισσότερα

Lucrare. Varianta aprilie I 1 Definiţi noţiunile de număr prim şi număr ireductibil. Soluţie. Vezi Curs 6 Definiţiile 1 şi 2. sau p b.

Lucrare. Varianta aprilie I 1 Definiţi noţiunile de număr prim şi număr ireductibil. Soluţie. Vezi Curs 6 Definiţiile 1 şi 2. sau p b. Lucrare Soluţii 28 aprilie 2015 Varianta 1 I 1 Definiţi noţiunile de număr prim şi număr ireductibil. Soluţie. Vezi Curs 6 Definiţiile 1 şi 2 Definiţie. Numărul întreg p se numeşte număr prim dacă p 0,

Διαβάστε περισσότερα

f(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl, x U 0 D\{x 0 }. < f(x) < l +

f(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl, x U 0 D\{x 0 }. < f(x) < l + Semnul local al unei funcţii care are limită. Propoziţie. Fie f : D (, d) R, x 0 D. Presupunem că lim x x 0 f(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl,

Διαβάστε περισσότερα

SERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0

SERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 SERII NUMERICE Definiţia 3.1. Fie ( ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 şirul definit prin: s n0 = 0, s n0 +1 = 0 + 0 +1, s n0 +2 = 0 + 0 +1 + 0 +2,.......................................

Διαβάστε περισσότερα

Adriana-Ioana Lefter DIFERENŢIALE) Anul I, Facultatea de Chimie Note de curs

Adriana-Ioana Lefter DIFERENŢIALE) Anul I, Facultatea de Chimie Note de curs Adriana-Ioana Lefter MATEMATICĂ (ALGEBRĂ ŞI ECUAŢII DIFERENŢIALE) Anul I, Facultatea de Chimie Note de curs Cuprins Partea 1 ALGEBRĂ 1 Capitolul 1 Matrice şi determinanţi 3 11 Corpuri 3 12 Matrice 4 13

Διαβάστε περισσότερα

Cursul Măsuri reale. D.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 15

Cursul Măsuri reale. D.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 15 MĂSURI RELE Cursul 13 15 Măsuri reale Fie (,, µ) un spaţiu cu măsură completă şi f : R o funcţie -măsurabilă. Cum am văzut în Teorema 11.29, dacă f are integrală pe, atunci funcţia de mulţime ν : R, ν()

Διαβάστε περισσότερα

Conice. Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea. U.T. Cluj-Napoca

Conice. Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea. U.T. Cluj-Napoca Conice Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea U.T. Cluj-Napoca Definiţie: Se numeşte curbă algebrică plană mulţimea punctelor din plan de ecuaţie implicită de forma (C) : F (x, y) = 0 în care funcţia F este

Διαβάστε περισσότερα

Geometrie afină. Conf. Univ. Dr. Cornel Pintea

Geometrie afină. Conf. Univ. Dr. Cornel Pintea Geometrie afină Conf Univ Dr Cornel Pintea E-mail: cpintea mathubbclujro Cuprins 1 Săptămâna 13 1 2 Endomorfismele unui spaţiu afin 1 21 Translaţia 1 22 Subspaţii invariante 2 23 Omotetii 2 24 Proiecţii

Διαβάστε περισσότερα

GEOMETRIE ANALITICĂ. Mihai-Sorin Stupariu

GEOMETRIE ANALITICĂ. Mihai-Sorin Stupariu GEOMETRIE ANALITICĂ Mihai-Sorin Stupariu Sem. al II-lea, 007-008 Cuprins 1 Elemente de algebră liniară 3 1.1 Spaţii vectoriale. Definiţie. Exemple................ 3 1. Combinaţii liniare. Baze şi repere..................

Διαβάστε περισσότερα

Vladimir BALAN. Algebră Liniară, Geometrie Analitică, şi Elemente de Geometrie Diferenţială. Student Web Copy. = Bucureşti 2011 =

Vladimir BALAN. Algebră Liniară, Geometrie Analitică, şi Elemente de Geometrie Diferenţială. Student Web Copy. = Bucureşti 2011 = Vladimir BALAN Algebră Liniară, Geometrie Analitică, şi Elemente de Geometrie Diferenţială = Bucureşti 2011 = Prefaţă Acest material include noţiunile, rezultatele teoretice de bază, precum şi probleme

Διαβάστε περισσότερα

Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006

Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006 Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 006 Mircea Lascu şi Cezar Lupu La cel de-al cincilea baraj de Juniori din data de 0 mai 006 a fost dată următoarea inegalitate: Fie x, y, z trei numere reale

Διαβάστε περισσότερα

Conice - Câteva proprietǎţi elementare

Conice - Câteva proprietǎţi elementare Conice - Câteva proprietǎţi elementare lect.dr. Mihai Chiş Facultatea de Matematicǎ şi Informaticǎ Universitatea de Vest din Timişoara Viitori Olimpici ediţia a 5-a, etapa I, clasa a XII-a 1 Definiţii

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 4. Integrale improprii Integrale cu limite de integrare infinite

Capitolul 4. Integrale improprii Integrale cu limite de integrare infinite Capitolul 4 Integrale improprii 7-8 În cadrul studiului integrabilităţii iemann a unei funcţii s-au evidenţiat douăcondiţii esenţiale:. funcţia :[ ] este definită peintervalînchis şi mărginit (interval

Διαβάστε περισσότερα

SEMINAR 14. Funcţii de mai multe variabile (continuare) ( = 1 z(x,y) x = 0. x = f. x + f. y = f. = x. = 1 y. y = x ( y = = 0

SEMINAR 14. Funcţii de mai multe variabile (continuare) ( = 1 z(x,y) x = 0. x = f. x + f. y = f. = x. = 1 y. y = x ( y = = 0 Facultatea de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC SEMINAR 4 Funcţii de mai multe variabile continuare). Să se arate că funcţia z,

Διαβάστε περισσότερα

ALGEBRĂ LINIARĂ, GEOMETRIE ANALITICĂ ŞI GEOMETRIE. Teorie şi probleme

ALGEBRĂ LINIARĂ, GEOMETRIE ANALITICĂ ŞI GEOMETRIE. Teorie şi probleme ALGEBRĂ LINIARĂ, GEOMETRIE ANALITICĂ ŞI GEOMETRIE DIFERENŢIALĂ. Teorie şi probleme Florian MUNTEANU Departamentul de Matematici Aplicate, Universitatea din Craiova Al. Cuza 3, 585 Craiova, Dolj, România

Διαβάστε περισσότερα

Pseudoinversă şi inversă generalizată ale unei aplicaţii liniare

Pseudoinversă şi inversă generalizată ale unei aplicaţii liniare Pseudoinversă şi inversă generalizată ale unei aplicaţii liniare Adrian REISNER 1 1. Pseudoinversă a unui endomorfism într-un spaţiu vectorial de dimensiune finită. Fie S un R-spaţiu vectorial de dimensiune

Διαβάστε περισσότερα

Seminariile Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reziduurilor

Seminariile Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reziduurilor Facultatea de Matematică Calcul Integral şi Elemente de Analiă Complexă, Semestrul I Lector dr. Lucian MATICIUC Seminariile 9 20 Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reiduurilor.

Διαβάστε περισσότερα

Profesor Blaga Mirela-Gabriela DREAPTA

Profesor Blaga Mirela-Gabriela DREAPTA DREAPTA Fie punctele A ( xa, ya ), B ( xb, yb ), C ( xc, yc ) şi D ( xd, yd ) în planul xoy. 1)Distanţa AB = (x x ) + (y y ) Ex. Fie punctele A( 1, -3) şi B( -2, 5). Calculaţi distanţa AB. AB = ( 2 1)

Διαβάστε περισσότερα

CAPITOLUL 4 FUNCŢIONALE LINIARE, BILINIARE ŞI PĂTRATICE

CAPITOLUL 4 FUNCŢIONALE LINIARE, BILINIARE ŞI PĂTRATICE CAPITOLUL FUNCŢIONALE LINIAE BILINIAE ŞI PĂTATICE FUNCŢIONALE LINIAE BEIA TEOETIC Deiniţia Fie K X un spaţiu vecorial de dimensiune iniă O aplicaţie : X K se numeşe uncţională liniară dacă: ese adiivă

Διαβάστε περισσότερα

Lectia III Produsul scalar a doi vectori liberi

Lectia III Produsul scalar a doi vectori liberi Produsul scalar: denitie, proprietati Schimbari de repere ortonormate in plan Aplicatii Lectia III Produsul scalar a doi vectori liberi Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia III Produsul scalar:

Διαβάστε περισσότερα

CONCURSUL DE MATEMATICĂ APLICATĂ ADOLF HAIMOVICI, 2017 ETAPA LOCALĂ, HUNEDOARA Clasa a IX-a profil științe ale naturii, tehnologic, servicii

CONCURSUL DE MATEMATICĂ APLICATĂ ADOLF HAIMOVICI, 2017 ETAPA LOCALĂ, HUNEDOARA Clasa a IX-a profil științe ale naturii, tehnologic, servicii Clasa a IX-a 1 x 1 a) Demonstrați inegalitatea 1, x (0, 1) x x b) Demonstrați că, dacă a 1, a,, a n (0, 1) astfel încât a 1 +a + +a n = 1, atunci: a +a 3 + +a n a1 +a 3 + +a n a1 +a + +a n 1 + + + < 1

Διαβάστε περισσότερα

Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro

Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM Seminar S ANALA ÎN CUENT CONTNUU A SCHEMELO ELECTONCE S. ntroducere Pentru a analiza în curent continuu o schemă electronică,

Διαβάστε περισσότερα

Lectia IV Produsul vectorial a doi vectori liberi

Lectia IV Produsul vectorial a doi vectori liberi Orientarea spatiului E 3 Denitia produsului vectorial. Proprietati Rezolvari de ecuatii vectoriale Schimbari de baze ortonormate in spatiu Aplicatii Lectia IV Produsul vectorial a doi vectori liberi Oana

Διαβάστε περισσότερα

OANA CONSTANTINESCU. ( a carei ecuatie matriceala este data in raport cu un reper cartezian R = {O; ē 1,, ē n }.

OANA CONSTANTINESCU. ( a carei ecuatie matriceala este data in raport cu un reper cartezian R = {O; ē 1,, ē n }. ELEMENTE DE SIMETRIE ALE UNEI HIPERCUADRICE IN SPATII AFINE EUCLIDIENE OANA CONSTANTINESCU 1. Centru de simetrie pentru o hipercuadrica afina Pentru inceput cadrul de lucru este un spatiu an real de dimensiune

Διαβάστε περισσότερα

Exemplu de lucrare de licenţă

Exemplu de lucrare de licenţă Universitatea,, Aurel Vlaicu din Arad Facultatea de Ştiinţe Exacte Specializarea Informatică Lucrare de licenţă Exemplu de lucrare de licenţă Absolvent: Ion Ionescu Coordonator: Prof. dr. Octavian Cira

Διαβάστε περισσότερα

COLEGIUL NATIONAL CONSTANTIN CARABELLA TARGOVISTE. CONCURSUL JUDETEAN DE MATEMATICA CEZAR IVANESCU Editia a VI-a 26 februarie 2005.

COLEGIUL NATIONAL CONSTANTIN CARABELLA TARGOVISTE. CONCURSUL JUDETEAN DE MATEMATICA CEZAR IVANESCU Editia a VI-a 26 februarie 2005. SUBIECTUL Editia a VI-a 6 februarie 005 CLASA a V-a Fie A = x N 005 x 007 si B = y N y 003 005 3 3 a) Specificati cel mai mic element al multimii A si cel mai mare element al multimii B. b)stabiliti care

Διαβάστε περισσότερα

2.1 Sfera. (EGS) ecuaţie care poartă denumirea de ecuaţia generală asferei. (EGS) reprezintă osferă cu centrul în punctul. 2 + p 2

2.1 Sfera. (EGS) ecuaţie care poartă denumirea de ecuaţia generală asferei. (EGS) reprezintă osferă cu centrul în punctul. 2 + p 2 .1 Sfera Definitia 1.1 Se numeşte sferă mulţimea tuturor punctelor din spaţiu pentru care distanţa la u punct fi numit centrul sferei este egalăcuunnumăr numit raza sferei. Fie centrul sferei C (a, b,

Διαβάστε περισσότερα

Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal

Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal Principiul I al termodinamicii exprimă legea conservării şi energiei dintr-o formă în alta şi se exprimă prin relaţia: ΔUQ-L, unde: ΔU-variaţia

Διαβάστε περισσότερα

Criterii de comutativitate a grupurilor

Criterii de comutativitate a grupurilor Criterii de comutativitate a grupurilor Marius Tărnăuceanu 10.03.2017 Abstract În această lucrare vom prezenta mai multe condiţii suficiente de comutativitate a grupurilor. MSC (2010): 20A05, 20K99. Key

Διαβάστε περισσότερα

Ion CRĂCIUN CAPITOLE DE MATEMATICI SPECIALE EDITURA PIM

Ion CRĂCIUN CAPITOLE DE MATEMATICI SPECIALE EDITURA PIM Ion CRĂCIUN CAPITOLE DE MATEMATICI SPECIALE EDITURA PIM IAŞI 2007 2 Cuprins 1 Ecuaţii diferenţiale liniare de ordin superior 7 1.1 Ecuaţii diferenţiale liniare de ordinul n cu coeficienţi variabili 7 1.2

Διαβάστε περισσότερα

CONCURS DE ADMITERE, 17 iulie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ

CONCURS DE ADMITERE, 17 iulie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ CONCURS DE ADMITERE, 7 iulie 207 Proba scrisă la MATEMATICĂ SUBIECTUL I (30 puncte) ) (0 puncte) Să se arate că oricare ar

Διαβάστε περισσότερα

Sisteme de ecuaţii diferenţiale

Sisteme de ecuaţii diferenţiale Curs 5 Sisteme de ecuaţii diferenţiale 5. Sisteme normale Definiţie 5.. Se numeşte sistem normal sistemul de ecuaţii diferenţiale de ordinul întâi dx dt = f (t, x, x 2,..., x n ) dx 2 dt = f 2(t, x, x

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTE DE GEOMETRIE. Dorel Fetcu

ELEMENTE DE GEOMETRIE. Dorel Fetcu ELEMENTE DE GEOMETRIE ANALITICĂ ŞI DIFERENŢIALĂ Dorel Fetcu Acest curs este un fragment din manualul D. Fetcu, Elemente de algebră liniară, geometrie analitică şi geometrie diferenţială, Casa Editorială

Διαβάστε περισσότερα

Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate

Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate Radu Trîmbiţaş 4 octombrie 2005 1 Forma Newton a polinomului de interpolare Lagrange Algoritmul nostru se bazează pe forma Newton a polinomului de interpolare

Διαβάστε περισσότερα

O generalizare a unei probleme de algebră dată la Olimpiada de Matematică, faza judeţeană, 2013

O generalizare a unei probleme de algebră dată la Olimpiada de Matematică, faza judeţeană, 2013 O generalizare a unei probleme de algebră dată la Olimpiada de Matematică, faza judeţeană, 2013 Marius Tărnăuceanu 1 Aprilie 2013 Abstract În această lucrare vom prezenta un rezultat ce extinde Problema

Διαβάστε περισσότερα

Criptosisteme cu cheie publică III

Criptosisteme cu cheie publică III Criptosisteme cu cheie publică III Anul II Aprilie 2017 Problema rucsacului ( knapsack problem ) Considerăm un număr natural V > 0 şi o mulţime finită de numere naturale pozitive {v 0, v 1,..., v k 1 }.

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a VIII-a

Subiecte Clasa a VIII-a Subiecte lasa a VIII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul

Διαβάστε περισσότερα

riptografie şi Securitate

riptografie şi Securitate riptografie şi Securitate - Prelegerea 12 - Scheme de criptare CCA sigure Adela Georgescu, Ruxandra F. Olimid Facultatea de Matematică şi Informatică Universitatea din Bucureşti Cuprins 1. Schemă de criptare

Διαβάστε περισσότερα

Funcţii Ciudate. Beniamin Bogoşel

Funcţii Ciudate. Beniamin Bogoşel Funcţii Ciudate Beniamin Bogoşel Scopul acestui articol este construcţia unor funcţii neobişnuite din punct de vedere intuitiv, care au anumite proprietăţi interesante. Construcţia acestor funcţii se face

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a VII-a

Subiecte Clasa a VII-a lasa a VII Lumina Math Intrebari Subiecte lasa a VII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate

Διαβάστε περισσότερα

Geometrie computationala 2. Preliminarii geometrice

Geometrie computationala 2. Preliminarii geometrice Platformă de e-learning și curriculă e-content pentru învățământul superior tehnic Geometrie computationala 2. Preliminarii geometrice Preliminarii geometrice Spatiu Euclidean: E d Spatiu de d-tupluri,

Διαβάστε περισσότερα

GEOMETRIE ANALITICĂ. Gheorghe MUNTEANU, Adelina MANEA

GEOMETRIE ANALITICĂ. Gheorghe MUNTEANU, Adelina MANEA GEOMETRIE ANALITICĂ Gheorghe MUNTEANU, Adelina MANEA 2 Cuprins Prefaţă 7 I Consideraţii teoretice 9 1 Spaţii vectoriale 11 1.1 Definiţie, exemple......................... 12 1.2 Subspaţii..............................

Διαβάστε περισσότερα

Calculul valorilor şi vectorilor proprii

Calculul valorilor şi vectorilor proprii Capitolul 4 Calculul valorilor şi vectorilor proprii Valorile şi vectorii proprii joacă un rol fundamental în descrierea matematică a unor categorii foarte largi de procese tehnice, economice, biologice

Διαβάστε περισσότερα

SEMINAR TRANSFORMAREA FOURIER. 1. Probleme

SEMINAR TRANSFORMAREA FOURIER. 1. Probleme SEMINAR TRANSFORMAREA FOURIER. Probleme. Să se precizeze dacă funcţiile de mai jos sunt absolut integrabile pe R şi, în caz afirmativ să se calculeze { transformata Fourier., t a. σ(t), t < ; b. f(t) σ(t)

Διαβάστε περισσότερα

Activitatea A5. Introducerea unor module specifice de pregătire a studenţilor în vederea asigurării de şanse egale

Activitatea A5. Introducerea unor module specifice de pregătire a studenţilor în vederea asigurării de şanse egale Investeşte în oameni! FONDUL SOCIAL EUROPEAN Programul Operaţional Sectorial pentru Dezvoltarea Resurselor Umane 2007 2013 Axa prioritară nr. 1 Educaţiaşiformareaprofesionalăînsprijinulcreşteriieconomiceşidezvoltăriisocietăţiibazatepecunoaştere

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) ( ) Funcţii diferenţiabile. cos x cos x 2. Fie D R o mulţime deschisă f : D R şi x0 D. Funcţia f este

( ) ( ) ( ) Funcţii diferenţiabile. cos x cos x 2. Fie D R o mulţime deschisă f : D R şi x0 D. Funcţia f este o ( ) o ( ) sin π ( sec ) = = ; R 2 + kπ k Z cos cos 2 cos ( cosec ) = = ; R 2 { kπ k Z} sin sin ( arcsec ) = ; (, ) (, ) 2 ( arcosec ) = ; (, ) (, ) 2 Funcţii dierenţiabile. Fie D R o mulţime deschisă

Διαβάστε περισσότερα

Proiectarea filtrelor prin metoda pierderilor de inserţie

Proiectarea filtrelor prin metoda pierderilor de inserţie FITRE DE MIROUNDE Proiectarea filtrelor prin metoda pierderilor de inserţie P R Puterea disponibila de la sursa Puterea livrata sarcinii P inc P Γ ( ) Γ I lo P R ( ) ( ) M ( ) ( ) M N P R M N ( ) ( ) Tipuri

Διαβάστε περισσότερα