ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΗΡΙΑ ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΣΤΕΡΕΟ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:Ν.ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ

Transcript

1 ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΗΡΙΑ ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΣΤΕΡΕΟ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:Ν.ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ

2

3 ΘΕΩΡΙΑ 3

4 ΣΤΕΡΕΟ 4-1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ 1.Τι είναι το υλικό σημειο και τι κινήσεις κάνει; Το υλικό σημείο ορίζεται ως σώμα που έχει όλες τις άλλες ιδιότητες της ύλης εκτός από διαστάσεις. Ένα υλικό σημείο, μη έχοντας διαστάσεις, έχει τη δυνατότητα να εκτελεί μόνο μεταφορικές κινήσεις..τι είναι στερεό και τι τι κινήσεις κάνει; Στερεά είναι όλα τα σώματα που έχουν διαστάσεις και γι αυτό, εκτός από το να εκτελούν μεταφορική κίνηση, μπορούν να αλλάζουν προσανατολισμό στο χώρο, να εκτελούν δηλαδή περιστροφική (στροφική) ή, ακόμη, σύνθετη κίνηση, δηλαδή συνδυασμό μεταφορικής και στροφικής κίνησης. Ένα στερεό σώμα μπορεί να κάνει μεταφορική, στροφική και σύνθετη κίνηση..τι είναι μηχανικο στερεο; Τα υποθετικά στερεά που δεν παραμορφώνονται όταν τους ασκούνται δυνάμεις λέγονται μηχανικά στερεά. 4- ΟΙ ΚΙΝΗΣΕΙΣ ΤΩΝ ΣΤΕΡΕΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ 1. Πότε λέμε ότι ένα σώμα εκτελεί μεταφορική κίνηση;να αναφέρετε και παραδείγματα Στη μεταφορική κίνηση κάθε στιγμή όλα τα σημεία του σώματος έχουν την ίδια ταχύτητα. Παράδειγμα τέτοιας κίνησης είναι η κίνηση ενός κιβω τίου που ολισθαίνει πάνω σε οριζόντιο επίπεδο. Στη μεταφορική κίνηση των στερεών ισχύουν οι νόμοι που διέπουν την κίνηση των υλικών σημείων.μεταφορική μπορεί να είναι και μια καμπυλόγραμμη κίνηση. Το σώμα του σχήματος 4.α κάνει μεταφορική κίνηση αν η ταχύτητα του σημείου Α είναι ίση με την ταχύτητα του σημείου Β. Αυτό είναι δυνατό. Όταν ένα στερεό κάνει μεταφορική κίνηση, το ευθύγραμμο τμήμα που συνδέει δύο τυχαία σημεία του μετατοπίζεται παράλληλα προς τον εαυτό του. Μεταφορική είναι και η κίνηση που εκτελούν οι θαλαμίσκοι στον τροχό του λούνα πάρκ (σχ.4.β). 4

5 . Πότε λέμε ότι ένα σώμα εκτελεί στροφική κίνηση; Στη στροφική κίνηση το σώμα αλλάζει προσανατολισμό. Στη στροφική κίνηση υπάρχει μια ευθεία ο άξονας περιστροφής - που όλα της τα σημεία παραμένουν ακίνητα ενώ τα υπόλοιπα σημεία του σώματος κάνουν κυκλική κίνηση. 3. Πως ορίζεται η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής; Είναι το φυσικό διανυσματικό μέγεθος που εκφράζει το πόσο γρήγορα περιστρέφεται ένα σώμα και ορίζεται με το πηλίκο της γωνίας που διαγράφει το σώμα καθώς στρέφεται, προς τον αντίστοιχο χρόνο που απαιτείται. Η διεύθυνση είναι κάθετη στο επίπεδο περιστροφής και η φορά καθορίζεται με τον κανόνα του δεξιού χεριού. Μονάδα είναι το lrad/s. 4. Πως ορίζεται η γωνιακή επιτάχυνση; Ας υποθέσουμε ότι ο δίσκος του σχήματος 4.3 τη χρονική στιγμή t1 έχει γωνιακή ταχύτητα ω1 ενώ τη χρονική στιγμή t=t1+dt η γωνιακή του ταχύτητα γίνεται ω=ω1+dω 5

6 Ο ρυθμός μεταβολής της γωνιακής ταχύτητας του σώματος τη στιγμή t, ονομάζεται γωνιακή επιτάχυνση του σώματος. α γων = ddωω dddd Η γωνιακή επιτάχυνση έχει την κατεύθυνση του διανύσματος dω και μονάδα 1 rad/s. 5.Πότε λέμε ότι ένα σώμα εκτελεί σύνθετη κίνηση; Όταν ένα σώμα μετακινείται στο χώρο και ταυτόχρονα αλλάζει ο προσανατολισμός του λέμε ότι κάνει σύνθετη κίνηση. Τέτοια κίνηση κάνει π.χ. ο τροχός ενός αυτοκινήτου, όταν κινείται το αυτοκίνητο. Όπως συμβαίνει και με το υπόλοιπο αυτοκίνητο, ο τροχός αλλάζει θέση στο χώρο (μεταφορική κίνηση) και ταυτόχρονα περιστρέφεται γύρω από τον άξονά του. Σύνθετη κίνηση είναι και η κίνηση που κάνει μια ρακέτα αν κρατώντας τη από τη λαβή την πετάξουμε ψηλά. 6.. Πως μελετάται η σύνθεση περιστροφικής και μεταφορικής κίνησης στην περίπτωση ενός τροχού που κυλίεται; Η σύνθετη κίνηση μπορεί να μελετηθεί ως το αποτέλεσμα της επαλληλίας μιας μεταφορικής και μιας περιστροφικής κίνησης. Το σχήμα 4.4 δείχνει ένα τροχό που κυλίεται. Η κίνησή του μπορεί να θεωρηθεί ως το αποτέλεσμα της επαλληλίας μιας μεταφορικής κίνησης, στην οποία όλα τα σημεία του τροχού, κάθε στιγμή, έχουν την ίδια ταχύτητα υcm (σχ. 4.4α) και μιας περιστροφικής κίνησης, γύρω από άξονα που περνάει από το κέντρο του τροχού και είναι κάθετος σ αυτόν (σχ. 4.4β). Στην περιστροφική κίνηση όλα τα σημεία του τροχού που απέχουν το ίδιο από τον άξονα περιστροφής έχουν ταχύτητες με το ίδιο μέτρο υ, εφαπτόμενες στην κυκλική τουςτροχιά. Η ταχύτητα κάθε σημείου του τροχού είναι η συνισταμένη της ταχύτητας υcm λόγω μεταφορικής κίνησης και της υ λόγω της περιστροφικής (σχ. 4.4γ). 7. Τι ονομάζουμε κέντρο μάζας ενός στερεού σώματος; Κέντρο μάζας (cm) ενός στερεού σώματος ονομάζεται το σημείο εκείνο του σώματος που κινείται όπως ένα υλικό σημείο με μάζα 6

7 ίση με τη μάζα του σώματος, αν σε αυτό ασκούνταν όλες οι δυνάμεις που ασκούνται στο σώμα. 8.Τι γνωρίζετε για το κέντρο μάζας ενός σώματος; Α)Το κέντρο μάζας ομογενών και συμμετρικών σωμάτων συμπίπτει με το κέντρο συμμετρίας τους. Π.χ. το κέντρο μάζας ενός κύβου είναι το σημείο τομής των διαγωνίων του, το κέντρο μάζας μιας σφαίρας είναι το κέντρο της σφαίρας. Β)Το κέντρο μάζας ενός σώματος μπορεί να βρίσκεται και έξω από το σώμα. Τέτοια είναι η περίπτωση ισοπαχούς ομογενούς δακτυλίου, το κέντρο μάζας του οποίου βρίσκεται στο κέντρο του. Γ) Αν ένα σώμα βρίσκεται μέσα σε ομογενές πεδίο βαρύτητας το κέντρο μάζας του συμπίπτει με το κέντρο βάρους, το σημείο δηλαδή από το οποίο περνάει πάντα το βάρος του σώματος, όπως και να τοποθετηθεί. 7.Ποια η σχέση γωνίας και τόξου εγγεγραμμένου σε κύκλο ακτίνα; Το τόξο ds και η γωνία dφ συνδέονται με τη σχέση 7

8 8. Ποια η σχέση της γραμμικής ταχύτητας v cm του κέντρου μάζας με τη γωνιακή ταχύτητα περιστροφής του τροχού (στην κύλιση χωρις ολίσθηση); Ας επανέλθουμε στην κύλιση του τροχού (σχ. 4.5). Κατά την κύλιση κάθε σημείο του τροχού έρχεται διαδοχικά σε επαφή με το δρόμο. Έτσι, όταν ο τροχός σε χρόνο dt μετακινηθεί κατά ds, ένα σημείο Α της περιφέρειας του θα έχει στραφεί κατά τόξο μήκους ds, στο οποίο αντιστοιχεί η επίκεντρη γωνία dθ. H ταχύτητα υcm του κέντρου μάζας του τροχού είναι 9. Ποια η σχέση της γραμμικής επιτάχυνσης a cm του κέντρου μάζας με τη γωνιακή επιτάχυνση περιστροφής του τροχού; Έστω ένας τροχός που κυλίεται πάνω σε πλάγιο επίπεδο (σχ. 4.6). Η γωνιακή ταχύτητα του τροχού αυξάνεται, δηλαδή έχει γωνιακή επιτάχυνση. Το κέντρο μάζας του τροχού εκτελεί ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση. Αν η ταχύτητα του κέντρου μάζας του τροχού κάποια στιγμή είναι υcm, θα ισχύει 8

9 4-3 ΡΟΠΗ ΔΥΝΑΜΗΣ 1.Απο τι εξαρτάται η ικανότητα μιας δύναμης να περιστρέψει ένα στερεό; Αν ασκήσουμε μια δύναμη σε ένα σώμα που έχει τη δυνατότητα να στρέφεται γύρω από σταθερό άξονα το σώμα περιστρέφεται εκτός αν ο φορέας της δύναμης περνάει από τον άξονα περιστροφής. Από την εμπειρία μας γνωρίζουμε ότι η περιστροφή που προκαλεί μια δύναμη εξαρτάται όχι μόνο από την κατεύθυνση και το μέγεθος της δύναμης αλλά και από το σημείο στο οποίο ασκείται η δύναμη. Για να κλείσουμε μια πόρτα τη σπρώχνουμε κοντά στο πόμολο και όχι κοντά στον άξονα περιστροφής της (μεντεσέδες), γιατί ακόμα και μικρή δύναμη μπορεί να προκαλέσει στροφή της πόρτας όταν εφαρμόζεται μακριά από τον άξονα περιστροφής. Το μέγεθος το οποίο περιγράφει την ικανότητα μιας δύναμης να στρέφει ένα σώμα ονομάζεται ροπή της δύναμης και συμβολίζεται με το ελληνικό τ. Α) Ροπή δύναμης ως προς άξονα.πως ορίζεται η ροπή δύναμης; Έστω ένα σώμα που έχει τη δυνατότητα να στρέφεται γύρω από τον άξονα z z. Στο σώμα ασκείται δύναμη F που βρίσκεται σε επίπεδο κάθετο στον άξονα περιστροφής. Ροπή της δύναμης F, ως προς τον άξονα περιστροφής ονομάζεται το διανυσματικό μέγεθος που έχει μέτρο ίσο με το γινόμενο του μέτρου της δύναμης επί την κάθετη απόσταση l της δύναμης από τον άξονα περιστροφής (μοχλοβραχίονας). τ = Fl Η ροπή έχει τη διεύθυνση του άξονα περιστροφής και η φορά της δίνεται από τον κανόνα του δεξιού χεριού. Μονάδα ροπής είναι το 1 Ν m. Για να προσδιορίσουμε τη φορά της ροπής κλείνουμε τα δάχτυλα του δεξιού χεριού και τα τοποθετούμε έτσι ώστε να δείχνουν τη φορά κατά την οποία τείνει να περιστρέψει το σώμα η δύναμη. Ο αντίχειρας τότε δίνει τη φορά του διανύσματος της ροπής. 9

10 Κατά σύμβαση θεωρούμε θετική τη ροπή της δύναμης που τείνει να περιστρέψει το σώμα αντίθετα από τη φορά των δεικτών του ρολογιού και αρνητική τη ροπή της δύναμης που τείνει να το περιστρέψει κατά τη φορά κίνησης των δεικτών του ρολογιού. 3..Πως ορίζεται η ροπή δύναμης που δεν βρίσκεται πάνω σε επίπέδο κάθετο στον άξονα περιστροφής; Αν η δύναμη F δε βρίσκεται σε επίπεδο κάθετο στον άξονα περιστροφής, η ροπή της είναι ίση με τη ροπή που δημιουργεί η συνιστώσα της που βρίσκεται πάνω στο κάθετο επίπεδο (σχ. 4.9) Β) Ροπή δύναμης ως προς σημείο 4.Τι κίνηση θα κάνει ένα στερεο σώμα όταν του ασκηθεί δύναμη με διεύθυνση που περνά από το κέντρο μάζας του; Αν σ' ένα ελεύθερο σώμα ασκηθεί δύναμη που ο φορέας της διέρχεται από το κέντρο μάζας του, το σώμα δεν περιστρέφεται (θα εκτελέσει μεταφορική κίνηση). 4.Τι κίνηση θα κάνει ένα στερεο σώμα όταν του ασκηθεί δύναμη με διεύθυνση που δεν περνά από το κέντρο μάζας του; Αν όμως ο φορέας της δύναμης δε διέρχεται από το κέντρο μάζας του, το σώμα μαζί με τη μεταφορική κίνηση θα εκτελέσει και περιστροφική γύρω από ένα νοητό άξονα (ελεύθερος άξονας) που διέρχεται από το κέντρο μάζας του σώματος και είναι κάθετος στο επίπεδο που ορίζεται από τη δύναμη και το κέντρο μάζας του σώματος. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ:Μπορείτε να διαπιστώσετε τα παραπάνω με ένα μολύβι που βρίσκεται πάνω σε ένα τραπέζι. Ωθώντας το μολύβι στο κέντρο μάζας του, το μολύβι κάνει μόνο μεταφορική κίνηση. Αν όμως ασκήσετε δύναμη στη μια του άκρη (ο φορέας της δεν πρέπει να διέρχεται από το κέντρο μάζας του) τότε το μολύβι στρέφεται γύρω από έναν νοητό άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας του και ταυτόχρονα μετακινείται. Η μεταφορική κίνηση μπορεί να μην είναι εμφανής αν η τριβή ανάμεσα στο μολύβι και το τραπέζι είναι σημαντική. 5. Πως ορίζεται η ροπή δύναμης όταν δεν υπάρχει σταθερός άξονας περιστροφής; Στις περιπτώσεις που δεν υπάρχει σταθερός άξονας περιστροφής χρησιμοποιείται η έννοια της ροπής της δύναμης ως προς σημείο. 10

11 Ροπή δύναμης F ως προς σημείο Ο ονομάζουμε το διανυσματικό μέγεθος που έχει μέτρο ίσο με το γινόμενο του μέτρου της δύναμης επί την απόσταση της από το σημείο Ο τ = Fl διεύθυνση κάθετη στο επίπεδο που ορίζεται από τη δύναμη και το σημείο Ο και φορά που δίνεται από τον κανόνα του δεξιού χεριού. 6.Πως ορίζεται η ροπή ζεύγους δυνάμεων ; Αξιοσημείωτη είναι η περίπτωση που σε ένα σώμα δρουν δύο αντίρροπες δυνάμεις F1 και F με ίσα μέτρα. Δυο τέτοιες δυνάμεις αποτελούν ζεύγος δυνάμεων. Αν η απόσταση των φορέων των δυο δυνάμεων είναι d, η αλγεβρική τιμή της ροπής του ζεύγους ως προς κάποιο σημείο Α (σχ. 4.1) που απέχει απόσταση x1 από τη δύναμη F1 και x από την F, είναι Το ίδιο αποτέλεσμα θα είχαμε και ως προς οποιοδήποτε άλλο σημείο. Επομένως, η ροπή ζεύγους δυνάμεων είναι ίδια ως προς οποιοδήποτε σημείο. 4-4 ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ 1.Τι κίνηση μπορεί να κάνει σώμα που έχει σταθερό άξονα; Αν το στερεό έχει σταθερό άξονα μπορεί να κάνει μόνο στροφική κίνηση. Επομένως, για να ισορροπεί, αρκεί η συνισταμένη των ροπών ως προς τον άξονα να είναι μηδέν..τι κίνηση μπορεί να κάνει ένα ελεύθερο στερεο; Ένα ελεύθερο στερεό, όμως, μπορεί να εκτελέσει και μεταφορική και στροφική κίνηση. Αν η συνισταμένη των δυνάμεων που ασκούνται στο σώμα είναι μηδέν το σώμα δε θα εκτελέσει μεταφορική κίνηση. Αυτό όμως δεν εξασφαλίζει ότι δε θα στραφεί. Αν υπάρχουν ροπές το σώμα θα στραφεί. Όταν η συνισταμένη δύναμη είναι μηδέν, αν υπάρχουν ροπές, αυτές θα οφείλονται σε ζεύγη δυνάμεων. Η ροπή ζεύγους, όμως, είναι ίδια ως προς όλα τα σημεία. Επομένως, για να μη στραφεί το σώμα θα πρέπει η συνισταμένη ροπή να είναι μηδέν ως προς ένα οποιοδήποτε σημείο (τότε θα είναι μηδέν και ως προς κάθε άλλο). 3.Ποιες είναι οι συνθήκες ισορροπίας ενός στερεου; 11

12 Επομένως για να ισορροπεί ένα αρχικά ακίνητο στερεό σώμα στο οποίο ασκούνται πολλές ομοεπίπεδες δυνάμεις θα πρέπει πρώτον η συνισταμένη δύναμη να είναι μηδέν και δεύτερον το αλγεβρικό άθροισμα των ροπών ως προς οποιοδήποτε σημείο να είναι μηδέν 4-5 ΡΟΠΗ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ 1.Τι ονομάζουμε ροπή αδράνειας ενός στερεού Έστω ένα στερεό το οποίο στρέφεται γύρω από το σταθερό άξονα zz (σχ.4.17). Χωρίζουμε το σώμα σε στοιχειώδη τμήματα με μάζες m1, m., τόσο μικρά ώστε καθένα από αυτά να μπορεί να θεωρηθεί υλικό σημείο. Οι μάζες m1,m κινούνται κυκλικά γύρω από τον άξονα, σε κύκλους ακτίνων r1, r Ονομάζουμε ροπή αδράνειας ενός στερεού ως προς κάποιο άξονα το άθροισμα των γινομένων των στοιχειωδών μαζών από τις οποίες αποτελείται το σώμα επί τα τετράγωνα των αποστάσεων τους από τον άξονα περιστροφής. Η ροπή αδράνειας είναι μονόμετρο μέγεθος και έχει μονάδα το 1 kg m..τι λέει το θεώρημα του Steiner; Αν cm I η ροπή αδράνειας ενός σώματος μάζας Μ, ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας, η ροπή αδράνειάς του ως προς ένα άξονα που είναι παράλληλος και απέχει απόσταση d από τον πρώτο είναι ίση με το άθροισμα της ροπής αδράνειας ως προς τον άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας του σώματος και του γινομένου της μάζας του σώματoς επί το τετράγωνο της απόστασης d 1

13 4-6 ΘΕΜΕΛΙΩΔΗΣ ΝΟΜΟΣ ΤΗΣ ΣΤΡΟΦΙΚΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ 1.Διατυπώστε τον θεμελιώδη νόμο της στροφικής κίνησης. Η σχέση ανάμεσα στην αιτία (ροπή) και το αποτέλεσμα (μεταβολή της γωνιακής ταχύτητας) είναι Η παραπάνω σχέση είναι γνωστή ως ο θεμελιώδης νόμος της στροφικής κίνησης, δηλαδή,το αλγεβρικό άθροισμα των ροπών που δρουν πάνω σε ένα στερεό σώμα το οποίο περιστρέφεται γύρω από σταθερό άξονα ισούται με το γινόμενο της ροπής αδράνειας (υπολογισμένης ως προς τον άξονα περιστροφής) και της γωνιακής επιτάχυνσης του σώματος..τι εκφράζει η ροπή αδράνειας ενός στερεου και από τι εξαρτάται; Από τη σχέση (4.7) φαίνεται ότι όσο μεγαλύτερη είναι η ροπή αδράνειας ενός σώματος τόσο πιο δύσκολα αλλάζει η περιστροφική κατάσταση του σώματος. Η ροπή αδράνειας εκφράζει στην περιστροφή, ό,τι εκφράζει η μάζα στη μεταφορική κίνηση, δηλαδή την αδράνεια του σώματος στη στροφική κίνηση. Ενώ όμως η μάζα ενός σώματος είναι σταθερό μέγεθος η ροπή αδράνειας εξαρτάται κάθε φορά από τη θέση του άξονα περιστροφής και τηνκατανομή της μάζας ως προς αυτόν. 3.Τι συμβαίνει σε ένα στερεό όταν η συνισταμένη των ροπών είναι μηδέν; Αν το αλγεβρικό άθροισμα των ροπών είναι μηδέν, από τη σχέση (4.7) προκύπτει ότι και η γωνιακή επιτάχυνση του σώματος είναι μηδέν, επομένως το σώμα διατηρεί την προηγούμενη περιστροφική του κατάσταση, δηλαδή αν το σώμα είναι ακίνητο θα εξακολουθήσει να ηρεμεί, ενώ αν στρέφεται θα συνεχίσει να στρέφεται με σταθερή γωνιακή ταχύτητα. 4.Πότε ισχύει ο θεμελιώδης νόμος της στροφικής κίνησης όταν ο άξονας περιστροφής δεν είναι σταθερος; Ο θεμελιώδης νόμος της στροφικής κίνησης ισχύει και στις περιπτώσεις αυτές, αρκεί ο άξονας γύρω από τον οποίο περιστρέφεται το σώμα να διέρχεται από το κέντρο μάζας του σώματος, να είναι άξονας συμμετρίας και 1.Τι ονομάζουμε στροφορμή υλικού σημείου που κάνει κυκλική κίνηση; Ονομάζουμε στροφορμή του υλικού σημείου ως προς ένα άξονα z z που διέρχεται από το κέντρο της κυκλικής τροχιάς και είναι 13

14 κάθετος στο επίπεδό της το διανυσματικό μέγεθος που έχει μέτρο διεύθυνση αυτή του άξονα z z και φορά του καθορίζεται από τον κανόνα του δεξιού χεριού. Μονάδα στροφορμής είναι το 1kg m /s..τι ονομάζουμε στροφορμή στερεού που κάνει στροφική κίνηση; Η στροφορμή ενός στερεού σώματος που περιστρέφεται γύρω από άξονα ισούται με L =Iω έχει τη διεύθυνση του άξονα και η φορά της ορίζεται από τον κανόνα του δεξιού χεριού. Μονάδα στροφορμής είναι το 1kg m /s. 3.Τι ονομάζουμε ιδιοστροφορμή στερεού που κάνει στροφική κίνηση; Τη στροφορμή που σχετίζεται με την περιστροφική κίνηση ενός σώματος γύρω από άξονά που περνάει από το κέντρο μάζας του συχνά την ονομάζουμε σπιν, για να τη διακρίνουμε από τη στροφορμή που μπορεί να έχει το σώμα λόγω άλλης κίνησης. 4.Να αναφέρετε δύο παραδείγματα ιδιστροφορμής. Α)Για παράδειγμα, η Γη έχει σπιν εξαιτίαςτης περιστροφής της γύρω από τον άξονά της και στροφορμή εξαιτίας τηςκίνησής της γύρω από τον Ήλιο, δηλαδή της τροχιακής της κίνησης. Β)Τα στοιχειώδη σωματίδια - ηλεκτρόνια, πρωτόνια και νετρόνια - έχουν σπιν μέτρου 0, Js. Αυτή η στροφορμή σπιν συνήθως εκφράζεται ως όπου h=1, J s (προφέρεται έιτς μπάρ) και είναι μια θεμελιώδης ποσότητα στροφορμής που εμφανίζεται συχνά στη κβαντική φυσική. 5.Τι ονομάζεται στροφορμή συστήματος σωμάτων; 14

15 Σε ένα σύστημα σωμάτων, στροφορμή ονομάζεται το διανυσματικό άθροισμα των στροφορμών των σωμάτων που απαρτίζουν το σύστημα. Εάν δηλαδή οι στροφορμές των σωμάτων του συστήματος είναι L1, L,.., η στροφορμή L του συστήματος είναι L=L1+L+ 6.Τι λέει η γενικότερη διατύπωση του θεμελιώδη νόμου της στροφικής κίνησης για ένα σώμα; Tο αλγεβρικό άθροισμα των ροπών που δρουν σε ένα στερεό που περιστρέφεται γύρω από σταθερό άξονα, είναι ίσο με την αλγεβρική τιμή του ρυθμού μεταβολής της στροφορμής του 7.Τι λέει η γενικότερη διατύπωση του θεμελιώδη νόμου της στροφικής κίνησης για ένα σύστημα σωμάτων; O νόμος αυτός ισχύει και σε σύστημα σωμάτων. Σε ένα σύστημα σωμάτων, το αλγεβρικό άθροισμα όλων των ροπών, δηλαδή των ροπών που οφείλονται στις εξωτερικές δυνάμεις καθώς και εκείνων που οφείλονται στις εσωτερικές δυνάμεις, είναι ίσο με το ρυθμό μεταβολής της στροφορμής του συστήματος. Η ολική ροπή των εσωτερικών δυνάμεων είναι μηδενική. Σύμφωνα με τον τρίτο νόμο του Newton οι εσωτερικές δυνάμεις απαντούν κατά ζεύγη (δράση - αντίδραση). Σε κάθε τέτοιο ζεύγος οι δυνάμεις είναι αντίθετες. Η ροπή κάθε τέτοιου ζεύγους ως προς οποιοδήποτε σημείο είναι μηδενική και επομένως το αλγεβρικό άθροισμα των ροπών όλων των εσωτερικών δυνάμεων να είναι μηδέν. Έτσι για σύστημα σωμάτων έχουμε όπου Στ εξ η ροπή μιας εξωτερικής δύναμης και L η στροφορμή του συστήματος. 8.Τι λέει η διατήρηση της στροφορμής σε ένα σώμα 15

16 Αν σε ένα σώμα το αλγεβρικό άθροισμα των ροπών είναι μηδέν, από. Η στροφορμή του σώματος παραμένει σταθερή. Για παράδειγμα, κατά την περιστροφή της Γης γύρω από τον εαυτό της (ιδιοπεριστροφή), επειδή η ελκτική δύναμη που δέχεται από τον Ήλιο δε δημιουργεί ροπή, αφού ο φορέας της διέρχεται από το κέντρο μάζας της, η στροφορμή της Γης παραμένει σταθερή. Επομένως η χρονική διάρκεια περιστροφής της Γης γύρω από τον εαυτό της παραμένει σταθερή 4 ώρες. 9.Τι λέει η διατήρηση της στροφορμής σε ένα σύστημα σωμάτων; Ο δεύτερος νόμος του Νewton για τη στροφική κίνηση στην περίπτωση συστήματος σωμάτων έχει τη μορφή Στ εξ =dl /dt Από τη σχέση αυτή προκύπτει ότι αν το αλγεβρικό άθροισμα των ροπών των εξωτερικώνδυνάμεων στο σύστημα είναι μηδέν, η στροφορμή του συστήματος διατηρείται σταθερή. Η πρόταση αυτή είναι γνωστή ως αρχή τηςδιατήρησης της στροφορμής Εάν η συνολική εξωτερική ροπή σε ένα σύστημα είναι μηδέν η ολική στροφορμή του συστήματος παραμένει σταθερή. 10.Τι ισχύει στην ανακατανομή της μάζας ενός συστήματος στερεων; Αν, λόγω ανακατανομής της μάζας (εξαιτίας εσωτερικών δυνάμεων), μεταβληθεί η ροπή αδράνειας ενός σώματος ως προς τον άξονα περιστροφής του, μεταβάλλεται και η γωνιακή ταχύτητά του αλλά η στροφορμή του διατηρείται σταθερή. Μπορούμε επομένως να γράψουμε: ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ I 1 ω 1 =I ω Α)Αθλήτρια του καλλιτεχνικού πατινάζ, που στριφογυρίζει στο παγοδρόμιο. Η αθλήτρια μπορεί, συμπτύσσοντας τα χέρια και τα πόδια της, να αυξήσει τη γωνιακή ταχύτητα περιστροφής της. Εάν η τριβή των παγοπέδιλων με τον πάγο θεωρηθεί αμελητέα, οι εξωτερικές δυνάμεις - όπως το βάρος και η δύναμη που δέχεται από το έδαφος - δε δημιουργούν ροπή ως προς τον άξονα περιστροφής της, 16

17 επομένως η στροφορμή της διατηρείται, δηλαδή το γινόμενο I 1 ω 1 παραμένει σταθερό. Συμπτύσσοντας τα χέρια και τα πόδια της η ροπή αδράνειας μειώνεται, οπότε, αφού το γινόμενοi ω μένει σταθερό, αυξάνεται η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής της. β)οι ακροβάτες που κάνουν στροφές στον αέρα Όταν οι ακροβάτες θέλουν να κάνουν πολλές στροφές στον αέρα συμπτύσσουν τα χέρια και τα πόδια τους. Κ ατά την κίνηση του ακροβάτη στον αέρα, μοναδική εξωτερική δύναμη είναι το βάρος του, το οποίο, επειδή διέρχεται από το κέντρο μάζας, δε δημιουργεί ροπή και η στροφορμή του διατηρείται. Με τη σύμπτυξη των άκρων μειώνεται η ροπή αδράνειας, επομένως αυξάνεται η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής. Στο σχήμα φαίνεται πως, με την τεχνική αυτή, μια κατάδυση μπορεί να γίνει πολύ θεαματική. γ)αστέρια νετρονίων Τα αστέρια τα οποία στο τελευταίο στάδιο της ζωής τους έχουν μάζα από 1,4 έως,5 φορές τη μάζα του Ήλιου, μετατρέπονται σε αστέρες νετρονίων ή pulsars. Τα αστέρια αυτά, όταν εξαντλήσουν τις πηγές ενέργειας που διαθέτουν, συρρικνώνονται λόγω της βαρύτητας μέχρις ότου η πυρήνες των ατόμων τους αρχίσουν να εφάπτονται, με αποτέλεσμα η ακτίνα ενός τέτοιου αστεριού να είναι μόνο 15-0 km. Επειδή η συρρίκνωση οφείλεται σε εσωτερικές δυνάμεις η στροφορμή διατηρείται σταθερή και επειδή η ροπή αδρά-νειας του αστεριού μειώνεται δραματικά έχουμε μια αντίστοιχη αύξηση της ταχύτητας περιστροφής. Υπολογίζεται ότι ένας αστέρας νετρονίων περιστρέφεται με συχνότητα 3000 στροφές το δευτερόλεπτο. Για σύγκριση, να αναφέρουμε ότι η περίοδος περιστροφής του Ήλιου είναι 5 μέρες. 17

18 11.Πως υπολογίζουμε την κινητική ενέργεια λόγω στροφικής κίνησης; Προκειμένου να υπολογίσουμε την κινητική ενέργεια του σώματος, το χωρίζουμε σε στοιχειώδεις μάζες Οι μάζες αυτές έχουν την ίδια γωνιακή ταχύτητα ω και γραμμικές ταχύτητες που δίνονται από τις σχέσεις Η κινητική ενέργεια του σώματος είναι ίση με το άθροισμα των κινητικών ενεργειών των μαζών από τις οποίες αποτελείται, 1.Πως υπολογίζουμε την κινητική ενέργεια λόγω σύνθετης κίνησης; όπου M η μάζα του σώματος και ucm η ταχύτητα του κέντρου μάζας του. 13.Πως υπολογίζουμε το έργο μιας δύναμης καθώς ένα σώμα στρέφεται κατά γωνία θ; Έστω ότι η δύναμη F ασκείται στην περιφέρεια ενός τροχού ακτίνας R, κατά τη διεύθυνση της εφαπτομένης. Κατά την απειροστά μικρή στροφή του τροχού κατά γωνία θ η δύναμη παράγει έργο 18

19 Για να υπολογίσουμε το έργο μιας δύναμης καθώς ένα σώμα στρέφεται κατά γωνία θ χωρίζουμε τη γωνία σε απειροστά μικρές γωνίες Θ1,Θ και αθροίζουμε τα αντίστοιχα έργα. Αν η ροπή της δύναμης είναι σταθερή, όπως στην περίπτωση του σχήματος, από το άθροισμα προκύπτει 14.Πως υπολογίζουμε την ισχύ μιας δύναμης καθώς ένα σώμα στρέφεται κατά γωνία θ; Ο ρυθμός παραγωγής έργου dw / dt είναι η ισχύς P της δύναμης και τοdθ / dt είναι η γωνιακή ταχύτητα του σώματ 14.Ποια μορφή παίρνει το θεώρημα εργου - ενέργειας στη στροφική κίνηση; δηλαδή το αλγεβρικό άθροισμα των έργων των ροπών που ασκούνται στο σώμα είναι ίσο με τη μεταβολή της κινητικής ενέργειας περιστροφής του σώματος. 19

20 ΤΥΠΟΛΟΓΙΑ-ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ 0

21 ΣΤΕΡΕΟ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΤ=0 ΚΑΙ ΣFX=0 KAI ΣFy=0 ΟΤΑΝ ΧΡΗΣΙΜΟΠΟΙΩ ΡΟΠΗ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ ΣΚΕΦΤΟΜΑΙ ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΟΥ STEINER ΘΝΜ,ΘΝΣ ΓΙΑ ΚΑΘΕ ΣΩΜΑ ΑΝΑΛΟΓΑ ΜΕ ΤΙΣ ΚΙΝΗΣΕΙΣ ΠΟΥ ΚΑΝΕΙ ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ΚΙΝΗΣΗ ΣΤΕΡΕΟΥ ΧΡΟΝΟΣ-ΤΑΧΥΤΗΤΑ ΜΕ ΣΤΑΘΕΡΗ ΣF KAI ΣΤ ΔΔ ΡΡ ΣF= ΔΔΔΔ ΔΔ LL ΣT= ΔΔΔΔ ΕΝΕΡΓΕΙΑΚΑ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ Α)ΘΜΚΕ (ΓΙΑ ΕΝΑ ΣΩΜΑ ΚΑΙ ΟΛΕΣ ΤΙΣ ΔΥΝΑΜΕΙΣ) ANAKATANOMH MAZAΣ ΣΤΕΡΕΟΥ-ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΥΓΚΡΟΥΣΗ ΣΤΕΡΕΟΥ-ΥΛΙΚΟΥ ΣΗΜΕΙΟΥ ΕΚΡΗΞΗ Η ΑΠΟΚΟΛΛΗΣΗ ΜΑΖΑΣ Β)ΑΔΜΕ(ΕΙΤΕ ΓΙΑ ΕΝΑ ΣΩΜΑ ΕΙΤΕ ΓΙΑ ΣΥΣΤΗΜΑ ΣΩΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΜΟΝΟ ΓΙΑ ΣΥΝΤΗΡΗΤΙΚΕΣ ΔΥΝΑΜΕΙΣ Lαχικη=Lτελικη(ΣΤΑΘΕΡΟΣ ΑΞΟΝΑΣ ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗΣ ΤΟΥ ΣΤΕΡΕΟΥ) Ραχικη=Ρτελικη(ΚΙΝΗΤΟΣ ΑΞΟΝΑΣ ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗΣ ΤΟΥ ΣΤΕΡΕΟΥ) 1

22 ΕΥΘΎΓΡΑΜΜΗ ΚΙΝΗΣΗ CM ΚΥΚΛΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ ΣΗΜΕΙΟΥ ΤΟΥ ΣΤΕΡΕΟΥ,ΟΤΑΝ ΑΥΤΟ ΣΤΡΕΦΕΤΑΙ METΑΤΟΠΙΣΗ ΤΟΥ CM dddd cccc X αρχ τελ x ΤΑΧΥΤΗΤΑ ΤΟΥ CM υ=dddd /dt cccc ΓΩΝΙΑΚΗ ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΗ dφ ds=d φr Γωνιακή ταχύτητα dθ ω = dt υ= ωr ΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗ ΤΟΥ CM α cm=dυ cm /dt Γραμμικη επιταχυνση

23 ΕΥΘΎΓΡΑΜΜΗ ΟΜΑΛΗ ΚΙΝΗΣΗ ΤΟΥ CM ΟΜΑΛΗ ΚΥΚΛΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ ΣΗΜΕΙΟΥ ΤΟΥ ΣΤΕΡΕΟΥ ΟΤΑΝ ΑΥΤΟ ΣΤΡΕΦΕΤΑΙ ΜΕ ω ΣΤΑΘΕΡΗ dx cm=υ cm t ds =υ t dφ =ω t ΕΥΘΎΓΡΑΜΜΗ ΟΜΑΛΑ ΕΠΙΤΑΧΥΝΟΜΕΝΗ ΚΙΝΗΣΗ ΤΟΥ CM υ = υ ± α cm ο cmt 1 dxcm = υοt ± αcmt υ= υο ± αεt 1 ds = υοt ± α t ΟΜΑΛΑ ΜΕΤΑΒΑΛΟΜΕΝΗ ΚΥΚΛΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ ΣΗΜΕΙΟΥ ΤΟΥ ΣΤΕΡΕΟΥ ΟΤΑΝ ΑΥΤΟ ΣΤΡΕΦΕΤΑΙ ΜΕ ω ΜΕΤΑΒΑΛΟΜΕΝΗ ε ω = ω t ο ± αγων 1 dθ = ωοt± α t γων ΜΕΧΡΙ ΝΑ ΣΤΑΜΑΤΗΣΕΙ ΜΕΧΡΙ ΝΑ ΣΤΑΜΑΤΗΣΕΙ ΜΕΧΡΙ ΝΑ ΣΤΑΜΑΤΗΣΕΙ Κύλιση τροχού ακτίνας R (Συνθήκες Κύλισης) Σχέση μετατόπισης, τόξου με επίκεντρη γωνία ds = Rdθ 1 η Συνθήκη κύλισης χωρίς ολίσθηση Ταχύτητα κέντρου μάζας υcm ωr Επιτάχυνση κέντρου μάζας cm a R γων = η Συνθήκη κύλισης χωρίς ολίσθηση a = 3 η Συνθήκη κύλισης χωρίς ολίσθηση 3

24 4

25 5

26 6

27 Γ.ΡΟΠΗ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ- ος ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ ΝΕΥΤΩΝΑ Ροπή Αδράνειας Ροπή αδράνειας ως προς κάποιο άξονα Θεώρημα Παράλληλων Αξόνων (Steiner) Ι= mr mr cm I = ο I + Md 7

28 Θεμελιώδης Νόμος της Στροφικής Κίνησης Θεμελιώδης Νόμος της Στροφικής Κίνησης Σ τ =Ι a γων Γενικότερη Διατύπωση του Θεμελιώδους Νόμου της Στροφικής Κίνησης Σ t = dl dt 8

29 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Θ.Ν.Σ. Α ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ : Η ΣΤΑΤΙΚΗ ΤΡΙΒΗ ΕΙΝΑΙ Η ΜΟΝΗ ΠΟΥ ΠΡΟΚΑΛΕΙ ΡΟΠΗ α γων υcm αcm Κ.χ.ο. α cm = α γων R F ΘΝΜ: F-T S =m α cm α γων Ts αcm υcm ΘΝΣ: T S R= I α γων Ν=mg Κ.χ.ο. α cm = α γων R F Ts ΘΝΜ: F-T S =m α cm ΘΝΣ: T S R= I α γων Ν=mg α γων υcm αcm F Κ.χ.ο. α cm = α γων R ΘΝΜ: F-T S -mg ημθ=m α cm mg ημθ Ts ΘΝΣ: T S R= I α γων Ν=mgσυνθ υcm αcm Κ.χ.ο. α cm = α γων R α γων Ts ΘΝΜ: mg ημθ -T S =m α cm mg ημθ ΘΝΣ: T S R= I α γων Ν=mgσυνθ αcm Κ.χ.ο. α cm = α γων R α γων Ts ΘΝΜ: mg ημθ -T S =m α cm mg ημθ ΘΝΣ: T S R= I α γων Ν=mgσυνθ 9

30 Κχο Τs μ Ν 30

31 ΔΗΜΙΟΥΡΓΟΥΝ ΡΟΠΗ ΚΑΙ ΑΛΛΕΣ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΕΚΤΟΣ ΤΗΣ Τ S υcm Κ.χ.ο. α cm = α γων R α γων αcm r R Ts F ΘΝΜ: F+T S =m α cm ΘΝΣ: F r-t S R= I α γων Ν=mg υcm Κ.χ.ο. α cm = α γων R α γων αcm ΘΝΜ: F-T S =m α cm Ts R r F ΘΝΣ: T S R- F r = I α γων Ν=mg υcm Κ.χ.ο. α cm = α γων R α γων F αcm ΘΝΜ: T S =m α cm R Ts ΘΝΣ: F R- T S R = I α γων ΕΔΩ Η ΤS ΕΙΝΑΙ Η ΜΟΝΗ ΠΟΥ ΠΡΟΚΑΛΕΙ ΤΗΝ α cm Ν=mg 31

32 ΤΡΟΧΑΛΙΕΣ N α γων ΝΗΜΑ ΜΗ ΕΚΤΑΤΟ ΠΟΥ ΔΕΝ ΓΛΥΣΤΡΑ ΣΤΗΝ ΠΡΙΦΕΡΕΙΑ ΤΗΣ ΤΡΟΧΑΛΙΑΣ ΟΠΟΤΕ S=dx,υ=ωr,α=α γων r ΘΝΜ: mg T α =m α cm Mg Tαση ΘΝΣ: T α R= I α γων Tαση Ν-Τα-Μg=0 αcm mg Ν α γων ΝΗΜΑ ΜΗ ΕΚΤΑΤΟ ΠΟΥ ΔΕΝ ΓΛΥΣΤΡΑ ΣΤΗΝ ΠΡΙΦΕΡΕΙΑ ΤΗΣ ΤΡΟΧΑΛΙΑΣ ΟΠΟΤΕ S=dx,υ=ωr, α 1 =α γων r= α Tαση Tαση Μg Tαση1 ΘΝΜ:m 1 g T 1 =m 1 α 1 Και T - m g =m α αcm mg m1g Tαση1 αcm1 ΘΝΣ:( T 1 - T )R= Iα γων N-T1-T-Mg=0 3

33 ΝΗΜΑ ΜΗ ΕΚΤΑΤΟ ΠΟΥ ΔΕΝ ΓΛΥΣΤΡΑ ΣΤΗΝ ΠΡΙΦΕΡΕΙΑ ΤΗΣ ΤΡΟΧΑΛΙΑΣ ΟΠΟΤΕ S 1 =dφ r 1,υ 1 =ωr 1, Ν α γων α 1 =α γων r 1 α = α γων r Tαση Μg Tαση1 αcm Tαση Tαση1 ΘΝΜ:m 1 g T 1 =m 1 α 1 Και T - m g =m α mg m1g αcm1 ΘΝΣ:T 1 r 1 - T r = Iα γων N-T1-T-Mg=0 ΡΑΒΔΟΣ ΘΝΣ: mg ημθ ll = Iα γων Fαρθρωσης Fx Fy ΘΝΜ Χ: θ ακεντρομολος Fx-mgσυνθ=mα κ ΘΝΜ y: mgημθ α cm θ mg mgσυνθ α γων mgημθ-fy=mα cm 33

34 ΓΙΟΓΙΟ ΝΗΜΑ ΜΗ ΕΚΤΑΤΟ ΠΟΥ ΔΕΝ ΓΛΥΣΤΡΑ ΣΤΗΝ ΠΡΙΦΕΡΕΙΑ ΤΗΣ ΤΡΟΧΑΛΙΑΣ ΟΠΟΤΕ: αβ=0= α γων r- α cm =0 Tαση α γων α γων r= α cm α γων r Tαση αβ ΘΝΜ: mg T α =m α cm αcm Tαση αcm ΘΝΣ: T α R= I α γων ΝΗΜΑ ΜΗ ΕΚΤΑΤΟ ΠΟΥ ΔΕΝ ΓΛΥΣΤΡΑ ΣΤΗΝ ΠΡΙΦΕΡΕΙΑ ΤΗΣ ΤΡΟΧΑΛΙΑΣ ΟΠΟΤΕ: αβ= α γων r- α cm ΘΝΜ: mg T α =m α cm ΘΝΣ: T α R= I α γων 34

35 35

36 36

37 (m 1 R 1 + m R +ML /1)ω 1 =( m 1 R 1 /4+ m R /4+ML /1)ω 1 ω1 ω 55 MR 1 ω 1 = 55 MR ω 37

38 M m υ1 ω1 υ ω mυ 1 L- MMLL 33 ω1=mmll 33 ω- mυ L 11 ΜR ω 1 =( 11 ΜR+ m R ) ω 38

39 υ ω1 ω mυr- 11 MR ω 1 =( mr + 11 MR )ω υ ω1 ω ( mr + 11 MR )ω1= mυr- 11 MR ω 39

40 ΠΡΟΣΟΧΗ ΤΟ ΕΡΓΟ ΤΗΣ ΣΤΑΤΙΚΗΣ ΤΡΙΒΗΣ ΕΙΝΑΙ ΜΗΔΕΝ 40

41 41

42 ΑΔΜΕ: 11 I ω m υ 1 +m g h= 11 I ω + 11 m υ 4

43 .m 1 g h 1 +m g h + 11 m 1υ m υ 1 = m g h m 1υ + 11 m υ ΘΜΚΕ: 11 I ω - 11 I ω 1 = F S=F R Θ 43

44 Εδώ έχουμε κχο οπότε S=R Θ(τόσο ξετυλίχθηκε το νήμα) 11 I ω + 11 mυ - 11 I ω 1 _ 11 mυ 1 = F S+F R Θ Η μετατόπιση της άκρης του νήματος είναι dx cm + R Θ 44

45 . Η ελάχιστη τιμή της ταχύτητας, στην ανώτερη θέση, θα είναι εκείνη για την οποία Ν=0. Δηλαδή η ταχύτητα για την οποία το βάρος παίζει τον ρόλο της κεντρομόλου. Έτσι: Αν ακτίνα της σφαίρας είναι αμελητέα, R-r R και η σχέση μπορεί να γραφτεί: Έστω ότι το σώμα, που το θεωρούμε υλικό σημείο, είναι δεμένο στο άκρο νήματος και διαγράφει κατακόρυφο κύκλο Για την ανώτερη θέση έχουμε: Από την παραπάνω σχέση προκύπτει ότι όταν μειώνεται η ταχύτητα του σώματος, μειώνεται και η τάση του νήματος. Η ελάχιστη τιμή της ταχύτητας, στην θέση αυτή, θα είναι εκείνη για την οποία Τ=0. Δηλαδή η ταχύτητα για την οποία το βάρος, παίζει τον ρόλο της κεντρομόλου. Έτσι: 45

46 46

47

48

49

50

51

52

53

54

55

56

57

58

59

60

61

62

63

64

65

66

67

68

69

70

71

72

73

74

75

76

77

78

79

80

81

82

83

84

85

86

87

88

89

90

91

92

93

94

95

96

97

98

99

100

101

102

103

104

105

106

107

108

109

110

111

112

113

114

115

116

117

118

119

120

121

122

123

124

125

126

127

128

129

130

131 1.Ένα στερεό σώμα κάνει μεταφορική κίνηση, όταν : α. Όλα τα σημεία του βρίσκονται σε κίνηση. β. Κινείται σε ευθεία τροχιά. γ. Δεν δέχεται εξωτερικές δυνάμεις. δ. Κάθε ευθύγραμμο τμήμα που συνδέει δύο τυχαία σημεία του κινείται παράλληλα προς τον εαυτό του..ένα στερεό σώμα κάνει στροφική κίνηση γύρω από σταθερό άξονα, όταν: α. Το κέντρο μάζας του διαγράφει καμπυλόγραμμη τροχιά. β. Το κέντρο μάζας του κάνει κυκλική κίνηση. γ. Όλα του τα σημεία βρίσκονται σε κίνηση. δ. Όσα του σημεία κινούνται διαγράφουν κυκλική τροχιά. 3.Ένα στερεό σώμα κάνει σύνθετη κίνηση όταν: α. Όλα του τα σημεία διαγράφουν κυκλική τροχιά. β. Το κέντρο μάζας του διαγράφει ευθύγραμμη τροχιά. γ. Εκτελεί ταυτόχρονα μεταφορική και περιστροφική κίνηση. δ. Υπάρχουν σημεία του σώματος που μένουν ακίνητα. 4. Κατά τη μεταφορική κίνηση ενός στερεού σώματος: α. Όλα του τα σημεία του βρίσκονται σε κίνηση. β. Όλα του τα σημεία έχουν, την ίδια χρονική στιγμή, την ίδια ταχύτητα. γ. Κάποια σημεία του έχουν, την ίδια χρονική στιγμή, διαφορετική γραμμική επιτάχυνση. δ. Η τροχιά μπορεί να είναι και καμπυλόγραμμη. ε. Ένα τυχαίο τμήμα ΑΒ του σώματος μετατοπίζεται παράλληλα με τον εαυτό του. Ποιες από τις προηγούμενες προτάσεις είναι σωστές; 5. Κατά τη στροφική κίνηση ενός σώματος γύρω από σταθερό άξονα όλα τα σημεία του εκτός από τα σημεία του άξονα: α. κάνουν κυκλική κίνηση. β. έχουν την ίδια γωνιακή ταχύτητα. γ. έχουν την ίδια γραμμική ταχύτητα. δ. έχουν την ίδια κεντρομόλο επιτάχυνση. Ποιες από τις προηγούμενες προτάσεις είναι σωστές; 6. Κατά τη σύνθετη κίνηση ενός στερεού σώματος: α. Το σώμα υποχρεωτικά κυλίεται. β. Το σώμα μετακινείται στο χώρο και ταυτόχρονα αλλάζει συνεχώς προσανατολισμό. γ. Το κέντρο μάζας του διαγράφει, υποχρεωτικά, ευθεία τροχιά. δ. Όλα τα σημεία του έχουν ταυτόχρονα γραμμική και γωνιακή ταχύτητα. ε. Το κέντρο μάζας εκτελεί μόνο μεταφορική κίνηση. Ποιες από τις προηγούμενες προτάσεις είναι σωστές; 7. Το κέντρο μάζας ενός στερεού σώματος: 47

132 α. Είναι το σημείο εκείνο που κινείται όπως ένα υλικό σημείο με μάζα ίση με τη μάζα του σώματος αν δεχότανε αυτό όλες τις δυνάμεις που ασκούνται στο στερεό σώμα. β. Είναι αδύνατο να βρίσκεται εκτός σώματος. γ. Ταυτίζεται με το κέντρο συμμετρίας μόνο για ομογενή και συμμετρικά σώματα. δ. Συμπίπτει με το κέντρο βάρους, αν το σώμα βρίσκεται μέσα σε ομογενές βαρυτικό πεδίο. Ποιες από τις προηγούμενες προτάσεις είναι σωστές; 8.Στερεό σώμα εκτελεί στροφική κίνηση. Η γωνιακή του ταχύτητα, : α. Ορίζεται ως ο ρυθμός μεταβολής της γωνιακής θέσης του κινητού. β. Έχει διεύθυνσή που είναι κάθετη στον άξονα περιστροφής. γ. Έχει ίδια διεύθυνση με τον άξονα περιστροφής. δ. Έχει μονάδα μέτρησης το 1m/s. ε. Έχει φορά που καθορίζεται από τον κανόνα του δεξιόστροφου κοχλία. Ποιες από τις προηγούμενες προτάσεις είναι σωστές; 9.Η γωνιακή επιτάχυνση στερεού σώματος : α. Εκφράζει το ρυθμό μεταβολής της γωνιακής θέσης του κινητού. β. Ορίζεται ως ο ρυθμός μεταβολής της γωνιακής του ταχύτητας, γ. Έχει μονάδα μέτρησης το 1rad/s. δ. Έχει την κατεύθυνση του διανύσματος d ω. ε. Είναι ίδια για όλα τα σημεία του σώματος που κινούνται. Ποιες από τις προηγούμενες προτάσεις είναι σωστές; 10.Στερεό σώμα κάνει ομαλή στροφική κίνηση με γωνιακή ταχύτητα ω, γύρω από ακλόνητο άξονα. Η κεντρομόλος επιτάχυνση, α κ, ενός σημείου του που απέχει απόσταση r από τον άξονα περιστροφής: α. Είναι μηδέν, αφού η κίνηση είναι ομαλή. β. Είναι διάφορη του μηδενός και οφείλεται μόνο στη μεταβολή της διεύθυνσης της γραμμικής ταχύτητας του σημείου. γ. Είναι ανάλογη της γραμμικής ταχύτητας του σημείου. δ. Έχει κατεύθυνση προς το κέντρο της κυκλικής τροχιάς. ε. Έχει μέτρο ίσο με, α κ =ω r. Ποιες από τις προηγούμενες προτάσεις είναι σωστές; 11. Στερεό σώμα κάνει ομαλή στροφική κίνηση με σταθερή περίοδο Τ, γύρω από ακλόνητο άξονα. α. Το μέτρο της γωνιακής του ταχύτητας είναι ανάλογο της περιόδου, Τ. β. Το μέτρο της γραμμικής ταχύτητας ενός σημείου που απέχει απόσταση r από τον άξονα περιστροφής ισούται με υ=πr/τ. γ. Η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής είναι ανάλογη της συχνότητας περιστροφής. δ. Όλα τα σημεία του στερεού που κινούνται έχουν την ίδια γραμμική ταχύτητα. ε. Όλα τα σημεία του στερεού που κινούνται έχουν την ίδια κεντρομόλο επιτάχυνση. Ποιες από τις προτάσεις που ακολουθούν είναι σωστές; 1. Δίσκος κάνει στροφική κίνηση γύρω από ακλόνητο άξονα. Ποιες από τις προτάσεις που ακολουθούν είναι σωστές; α. Όλα τα σημεία του δίσκου, εκτός από τα σημεία του άξονα, κάνουν κυκλική κίνηση με κέντρο ένα σημείο του άξονα σε επίπεδο κάθετο σ αυτόν, με την ίδια γωνιακή ταχύτητα ω. β. Όσο μακρύτερα από τον άξονα περιστροφής βρίσκεται ένα σημείο τόσο μεγαλύτερη γραμμική ταχύτητα έχει. γ. Αν ο δίσκος επιταχύνεται, όλα του τα σημεία έχουν την ίδια γωνιακή επιτάχυνση. δ. Είναι δυνατόν σε κάποια χρονική στιγμή που ο δίσκος έχει γωνιακή ταχύτητα μηδέν, η γωνιακή του επιτάχυνση να είναι διάφορη του μηδενός. 48

133 13.Ομογενής τροχός περιστρέφεται γύρω από σταθερό άξονα που περνάει από το κέντρο του και είναι κάθετος σ αυτόν με σταθερή γωνιακή ταχύτητα ω. Δύο σημεία Α και Β απέχουν από τον άξονα περιστροφής αποστάσεις r 1 και r. Η σχέση που συνδέει τα μέτρα των γραμμικών τους ταχυτήτων είναι: α. υ 1 =υ β. υ 1 r =υ r 1 γ. υ 1 r 1 =υ r δ. υ 1 r =υ r 1 Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. 14.Ομογενής τροχός περιστρέφεται γύρω από ακλόνητο άξονα που περνάει από το κέντρο του και είναι κάθετος σ αυτόν με σταθερή γωνιακή ταχύτητα. Δύο σημεία Α και Β απέχουν από τον άξονα περιστροφής αποστάσεις r 1 =R και r =R/3, αντίστοιχα, όπου R η ακτίνα του τροχού. Ποιες από τις ακόλουθες σχέσεις μεταξύ των μεγεθών των δύο σημείων είναι σωστές; Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας. i. Για τις γραμμικές ταχύτητες ισχύει: α. υ Α =3υ Β β. υ Α =υ Β γ. υ Β =3υ Α ii. Για τις συχνότητες περιστροφής ισχύει: α. f Α =3f Β β. f Α =f Β /3 γ. f Α =f Β iii Για τις κεντρομόλους επιταχύνσεις ισχύει: α. α κ,α = 3α κ,β β. α κ,α = α κ,β γ. α κ,β = 3α κ,α ε. Στο χρονικό διάστημα (t t 3 ) ισχύει dω/dt=0. Να αιτιολογήσετε τις απαντήσεις σας. 15. Η ομογενής ράβδος ΟΑ του σχήματος περιστρέφεται γύρω από άξονα που διέρχεται από το σημείο Ο και είναι κάθετος σ αυτήν με σταθερή γωνιακή επιτάχυνση α γν. Το σημείο Μ είναι το μέσον της. Ι. Τα βέλη που βλέπετε στο σχήμα αναφέρονται στην ίδια χρονική στιγμή και μπορεί να αφορούν: α. Γωνιακές ταχύτητες. β. Γραμμικές ταχύτητες λόγω περιστροφής. γ. Γωνιακές επιταχύνσεις. ΙΙ. Για τα σημεία Α και Μ και για μια δεδομένη χρονική στιγμή είναι σωστές οι σχέσεις: α. υ Α =υ Μ β. ω Α =ω Μ γ. α γ,α =α γ,μ δ. α Α =α Μ ΙΙΙ. Αν για t 0 =0 είναι ω 0 =0 και θ 0 =0 τότε, όταν η ράβδος έχει διαγράψει γωνία θ=4rad η κεντρομόλος επιτάχυνση, α κ, του σημείου Α, με την επιτρόχια επιτάχυνση, α, του ίδιου σημείου συνδέεται με τη σχέση: α. α κ =α β. α κ =4α γ. α κ =8α δ. α κ =α Να αιτιολογήσετε τις απαντήσεις σας. 16.Στο διπλανό διάγραμμα φαίνεται η μεταβολή της γωνιακής ταχύτητας ενός τροχού που κάνει στροφική κίνηση, γύρω από ακλόνητο άξονα. Ποιες από τις προτάσεις που ακολουθούν είναι σωστές και ποιες λανθασμένες. Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας. α. Από 0 έως 5s η γωνιακή ταχύτητα αυξάνεται με ρυθμό 10rad/s. β. Το διάνυσμα της 49

134 γωνιακής ταχύτητας από 0 έως 15s δεν αλλάζει φορά. γ. Τη χρονική στιγμή t=5s το διάνυσμα της γωνιακής επιτάχυνση αλλάζει φορά. δ. Τη χρονική στιγμή t=1s η γωνιακή επιτάχυνση είναι μηδέν. ε. Από 0 έως 10s η γωνιακή μετατόπιση του τροχού είναι 6,5rad. στ. Τη χρονική στιγμή t=7s η γωνιακή επιτάχυνση είναι 1rad/s. 17.Τροχός κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει με σταθερή ταχύτητα κέντρου μάζας, υ cm. Όλα τα σημεία του τροχού, εκτός του κέντρου μάζας: α. Μόνο περιστρέφονται. β. Περιστρέφονται και μεταφέρονται ταυτόχρονα. γ. Μόνο μεταφέρονται. 18. Τροχός κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει με σταθερή ταχύτητα κέντρου μάζας, υ cm. Όλα τα σημεία του τροχού έχουν την ίδια: α. Γωνιακή ταχύτητα, ω. β. Γραμμική ταχύτητα λόγω περιστροφής. γ. Ταχύτητα λόγω μεταφοράς, υ cm. δ. Συνισταμένη ταχύτητα. 19. Τροχός κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει με σταθερή ταχύτητα κέντρου μάζας, υ cm. Ένα σημείο της περιφέρειας του τροχού που έχει ακτίνα, R: α. Περιστρέφεται με γωνιακή ταχύτητα ω=υ cm /R. β. Έχει ταχύτητα λόγω μεταφοράς ίση με υ cm. γ. Έχει κάθε χρονική στιγμή συνολική ταχύτητα υ cm. δ. Κάνει σύνθετη κίνηση με συνολική ταχύτητα που κυμαίνεται από 0 έως υ cm. ε. Έχει κεντρομόλο επιτάχυνση υ cm /R. Ποιες από τις προηγούμενες προτάσεις είναι σωστές; 0. Τροχός ακτίνας R κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει με σταθερή γωνιακή ταχύτητα, ω. Ποιες από τις προτάσεις που ακολουθούν είναι σωστές και ποιες λανθασμένες; α. Κάθε σημείο του τροχού κάνει σύνθετη κίνηση. β. Όλα τα σημεία της περιφέρειας έχουν γραμμική ταχύτητα λόγω περιστροφής ίση με ω R. γ. Το κέντρο μάζας μεταφέρεται με σταθερή ταχύτητα μέτρου ω R. δ. Κάθε σημείο της περιφέρειας τη στιγμή που εφάπτεται στο έδαφος έχει γωνιακή ταχύτητα, μηδέν. 1 Ο ομογενής τροχός του σχήματος, ακτίνας R, κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει με σταθερή ταχύτητα κέντρου μάζας CM, υ cm. Να αντιστοιχηθούν οι ταχύτητες που ακολουθούν με τις αντίστοιχες παραστάσεις: α. Η ταχύτητα του σημείου Β. 1. β. Η ταχύτητα του σημείου CM.. υ cm γ. Η ταχύτητα του σημείου Α. 3. cm δ. Η ταχύτητα του σημείου Γ. 4. cm ε. Η ταχύτητα του σημείου Δ. 5. cm 50

135 . Τροχός ακτίνας R=0,m κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει σε οριζόντιο επίπεδο και το κέντρο μάζας του έχει σταθερή επιτάχυνση α cm =10m/s. Ι. Η επιτάχυνση του σημείου Β που εφάπτεται του εδάφους, όταν η ταχύτητα του τροχού είναι 4m/s: α. 10m/s β. 0rad/s γ. 80m/s δ. 0m/s ΙΙ. Η συνολική εφαπτομενική επιτάχυνση του σημείου G που απέχει από το κέντρο r=0,1m και βρίσκεται πάνω στην κατακόρυφο που περνάει από το CM είναι: α. 15m/s β. 10m/s γ. 5m/s δ. 0 Να αιτιολογήσετε τις απαντήσεις σας. 3. Το τρακτέρ κινείται σε οριζόντιο δρόμο με σταθερή ταχύτητα και οι τροχοί κυλίονται χωρίς να ολισθαίνουν. Ποιες από τις προτάσεις που ακολουθούν είναι σωστές; α. Τα κέντρα μάζας και των δύο τροχών έχουν την ίδια ταχύτητα. β. Και οι δύο τροχοί περιστρέφονται με την ίδια γωνιακή ταχύτητα. γ. Τα σημεία των τροχών που έχουν την ίδια χρονική στιγμή, απόσταση από το έδαφος ίση με τη διάμετρο των τροχών, έχουν ίσες ταχύτητες. δ. Σε χρονικό διάστημα Δt οι δύο τροχοί θα έχουν διαγράψει τον ίδιο αριθμό περιστροφών. Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας και στις 4 προτάσεις. 4. Οι δύο συμπαγείς όμοιοι κύλινδροι ακτίνας R κυλίονται χωρίς να ολισθαίνουν και μετακινούν το κιβώτιο όπως φαίνεται στο σχήμα. Ποιες από τις προτάσεις που ακολουθούν είναι σωστές; Ι. Το κέντρο μάζας των κυλίνδρων υ cm και η ταχύτητα του κέντρου μάζας του κιβώτιου, υ έχουν σχέση: α. υ cm =υ β. υ cm =υ/ γ. υ cm =υ ΙΙ. Όταν οι κύλινδροι έχουν κάνει μια πλήρη περιστροφή το κιβώτιο θα έχει μετατοπιστεί κατά : α. πr β. 4πR γ. πr Να αιτιολογήσετε τις απαντήσεις σας. 5. Στo «γιο γιο» ακτίνας R που φαίνεται στο σχήμα, καθώς το σχοινί ξετυλίγεται, το άκρο του σχοινιού Α ανεβαίνει προς τα πάνω, ενώ το κέντρο μάζας του «γιο γιο», CM, πέφτει προς τα κάτω. Αν κάποια χρονική στιγμή t τα σημεία Α και CM έχουν αντιστοίχως ταχύτητες με μέτρα υ Α και υ CM και το γιο γιο περιστρέφεται με γωνιακή ταχύτητα ω, τότε ισχύει η σχέση: α. υ Α =υ CM +ωr β. υ Α +υ CM =ωr γ. υ CM =υ A +ωr II. Αν τα σημεία Α και CM ανεβαίνουν και τα δύο με σταθερές 51

136 επιταχύνσεις α Α, α CM, ενώ ο τροχός του «γιο γιο» περιστρέφεται με σταθερή γωνιακή επιτάχυνση α γν, τότε ισχύει η σχέση: α. α CM =α γ R α Α β. α CM =α Α +α γ R γ. α CM = α Α α γ R Να αιτιολογήσετε τις απαντήσεις σας. 6. Δίσκος ακτίνας R=0,m περιστρέφεται με σταθερή γωνιακή επιτάχυνση και έχει τη χρονική στιγμή t 1 =s γωνιακή ταχύτητα ω 1 =0rad/s και τη χρονική στιγμή t =4s, ω =40rad/s. α. Πόση είναι η γωνιακή επιτάχυνση ενός σημείου του τροχού. β. Πόση ταχύτητα έχει ένα σημείο της περιφέρειας του τροχού τη χρονική στιγμή t=3s; γ. Πόση γωνία έχει διαγράψει ένα σημείο του τροχού από τα s έως τα 4s; δ. Πόση είναι η κεντρομόλος επιτάχυνση ενός σημείου της περιφέρειας του τροχού τη χρονική στιγμή t 1 =s. α. 10rad/s, β. 6 m/s, γ. 60rad, δ. 80m/s 7. Ο δίσκος του πικάπ ακτίνας r=0cm περιστρέφεται με συχνότητα f=10/πηz όταν ξαφνικά σβήνει το μοτέρ που τον κινεί και έτσι αυτός επιβραδύνεται ομαλά και σταματάει μετά από Ν=0/π περιστροφές, από τη στιγμή που άρχισε να επιβραδύνεται. α. Πόση είναι η γωνιακή επιβράδυνση του δίσκου; β. Πόση είναι η εφαπτομενική επιβράδυνση ενός σημείου της περιφέρειας του τροχού; γ. Πόσο χρόνο χρειάστηκε ο τροχός για να σταματήσει; α. α γν = 5rad/s, β. α=1m/s, γ. t=4s 8. Τροχός, που περιστρέφεται γύρω από ακλόνητο άξονα, έχει τη χρονική στιγμή t 0 =0,γωνιακή ταχύτητα ω 0 =0rad/s και επιβραδύνεται με σταθερό ρυθμό rad/s μέχρι να σταματήσει. Να υπολογιστούν : α. Ο συνολικός χρόνος κίνησης. β. Η συνολική γωνία που διέγραψε κάθε σημείο του. γ. Το πλήθος των περιστροφών που έκανε μέχρι να σταματήσει. α. 10s, β. 100rad, γ. 50/π στροφές 9.Δίσκος ακτίνας R=0,m αρχίζει τη χρονική στιγμή t 0 =0 να περιστρέφεται με ω 0 =0, θ 0 =0 και σταθερή γωνιακή επιτάχυνση α γν =rad/s. Τη χρονική στιγμή t 1 =4s και για s μετά κινείται ομαλά με την ταχύτητα που απέκτησε και τέλος επιβραδύνεται και σταματά τη χρονική στιγμή t 3 =8s. α. Να βρεθεί ο συνολικός αριθμός περιστροφών του δίσκου στη διάρκεια των 8s. β. Πόση είναι η συνολική επιτάχυνση ενός σημείου της περιφέρειας τη χρονική στιγμή t=3s; γ. Να γίνουν οι γραφικές παραστάσεις (ω t), (α γν -t) και (θ t). α. Ν=0/π στροφές, β. α ολ =7,03m/s 30. Η κορυφή του ωροδείκτη ενός ρολογιού μετατοπίζεται κατά 15,7cm σε χρόνο 1min. Να υπολογίσετε: α. Το μήκος του ωροδείκτη. β. Τη γραμμική ταχύτητα του μέσου του ωροδείκτη; α. r=1,5m, β. υ=1,3,10 3 m/s 5

137 31.Τροχός αρχίζει να περιστρέφεται τη χρονική στιγμή t 0 =0 με γωνιακή ταχύτητα που μεταβάλλεται με τον τρόπο που φαίνεται στο σχήμα. Η περιστροφή γίνεται γύρω από σταθερό άξονα που διέρχεται από το κέντρο του και είναι κάθετος σ αυτόν. Σημείο Α του τροχού που απέχει από τον άξονα περιστροφής r=0,m, βρίσκεται τη χρονική στιγμή t 0 =0 σε γωνιακή θέση θ 0 =0. α. Πόση είναι η συνολική γωνία που έχει διαγράψει το σημείο Α τη χρονική στιγμή t=9s; β. Πόσες περιστροφές έχει κάνει ο τροχός στο ίδιο χρονικό διάστημα; γ. Υπάρχει κάποια χρονική στιγμή που να αλλάζει φορά η γωνιακή ταχύτητα και αν ναι ποια; δ. Σε ποια χρονική στιγμή, η γωνιακή επιτάχυνση γίνεται για πρώτη φορά αρνητική; ε. Πόση είναι η ταχύτητα του Α τη χρονική στιγμή t=5s; στ. Πόση είναι η εφαπτομενική επιτάχυνση του σημείου Α τη χρονική στιγμή t=8s; ζ. Πόση είναι η κεντρομόλος επιτάχυνση του σημείου Α τη χρονική στιγμή t=6s; η. Να γίνουν οι γραφικές παραστάσεις των μεταβολών της γωνιακής επιτάχυνσης, α γν και της γωνιακής θέσης, θ, και της γραμμικής ταχύτητας, του σημείου Α σε σχέση με το χρόνο, t. α. Δθ=6rad, β. Ν=4,14στροφές, ε. υ=0,8m/s, στ. α= 0,m/s, ζ. α κ =1,8m/s 3. To βαρίδι, w, που είναι δεμένο στο σχοινί της τροχαλίας αρχίζει να πέφτει κατακόρυφα τη χρονική στιγμή 0 t=0 με σταθερή επιτάχυνση α=m/s και αρχική ταχύτητα υ 0 =0, ενώ το σχοινί ξετυλίγεται. Το κέντρο μάζας της τροχαλίας είναι ακίνητο και η ακτίνα της είναι R=0,m. α. Σε πόσο χρόνο, t, το σχοινί έχει ξετυλιχτεί κατά Δλ=16m; β. Πόση είναι η μετατόπιση του σώματος, w, κατά τη διάρκεια του 3 ου δευτερόλεπτου της πτώσης του; γ. Πόση γωνία έχει διαγράψει μια ακτίνα της τροχαλίας από t 0 έως t 1 =4s; δ. Πόση είναι η γωνιακή ταχύτητα της τροχαλίας τη χρονική στιγμή t =6s; α. t=4s, β. Δλ=5m, γ. θ=80rad, δ. ω=60rad/s 33.. Ο τροχ ς του σχ ματος κυλ εται χωρ ς να ολισθα νει, σε οριζ ντιο επ πεδο. α υπολογιστε η ταχ τητα του κ ντρου του τροχο στις εξ ς περιπτ σεις: ω B α) Αν δ νεται τι τα σημε α Β και Γ του σχ ματος, που υ cm ισαπ χουν απ το κ ντρο Κ, χουν ταχ τητες με μ τρα K αντ στοιχα =15 / και =5 /. β) Αν δ νεται τι να σημε ο Ζ, που βρ σκεται στην κατακ ρυφη δι μετρο και απ χει απ το κ ντρο απ σταση Ε Γ ση με /, που R η ακτ να του τροχο, χει ταχ τητα μ τρου =30 /. [Απ ντηση: α) 0 m/s, ) 0 m/s 60 m/s ] 53

138 34. Δ σκος ακτ νας =0. κυλ εται σε οριζ ντιο δ πεδο χωρ ς να ολισθα νει. Αν δ νεται η συχν τητα που δ σκου ε ναι ση με = 1, να βρε τε : α) την ταχ τητα του κ ντρου μ ζας του δ σκου β) την ταχ τητα του κατ τατου σημε ου του δ σκου και γ) την ταχ τητα του αν τατου σημε ου του δ σκου. [Απ ντηση: α) 0,4m/s, ) 0m/s, ) 0,8m/s ] ω Α Ε υ cm 35 Ένας κ λινδρος ακτ νας R κινε ται σε οριζ ντιο δ πεδο τσι στε το κ ντρο του να εκτελε ευθ γραμμη ομαλ επιταχυν μενη κ νηση, Α κυλι μενος χωρ ς να ολισθα νει. Αν η επιτ χυνση του ω α σημε ου Β που απ χει απ σταση απ το δαφος χει B μ τρο =, να υπολογ σετε : α) την επιτ χυνση του κ ντρου μ ζας β) την επιτ χυνση του σημε ου Ε γ) την επιτ χυνση των σημε ων και και Ε δ) την απ σταση που θα διαν σει ο κ λινδρος σε χρ νο =, αν δ νεται τι την =0 ο κ λινδρος ταν ακ νητος. [Απ ντηση: α) /, )0 /, )4 /,δ)4 ] 36 Ένας κ λινδρος ακτ νας R κινε ται σε οριζ ντιο δ πεδο τσι στε το κ ντρο του να.. εκτελε ευθ γραμμη ομαλ επιταχυν μενη κ νηση, Α κυλι μενος χωρ ς να ολισθα νει. Αν η επιτ χυνση του ω α σημε ου Β που απ χει απ σταση απ το δαφος χει B μ τρο =, να υπολογ σετε : α) την επιτ χυνση του κ ντρου μ ζας β) την επιτ χυνση του σημε ου Ε γ) την επιτ χυνση των σημε ων και και Ε δ) την απ σταση που θα διαν σει ο κ λινδρος σε χρ νο =, αν δ νεται τι την =0 ο κ λινδρος ταν ακ νητος. [Απ ντηση: α) /, )0 /, )4 /,δ)4 ] Β Β Γ Γ 54

139 Ερωτήσεις στη ροπή αδράνειας Α. Ανοικτού τύπου 3.1. Τι καλούµε ροπή αδράνειας ενός σώµατος που περιστρέφεται γύρω από σταθερό άξονα (χ χ) 3.. Να διατυπώσετε το θεώρηµα του Steiner Ένας οµογενής δακτύλιος έχει µάζα m και πάχος αµελητέο σε σχέση µε την ακτίνα του R. Η ροπή Κ R αδράνειας του δακτυλίου ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο µάζας του και είναι κάθετος στο επίπεδο χ που ορίζει είναι: α. mr, β mr, γ.1/mr, δ.1/4mr Να επιλέξετε την σωστή απάντηση και να δικαιολογήσετε την επιλογή σας 3.4. Ένα υλικό σηµείο µάζας m περιστρέφεται γύρω από σταθερό άξονα µε σταθερή γωνιακή ταχύτητα σε απόσταση d από αυτόν. Πόσο της εκατό θα µεταβληθεί η ροπή αδράνειας του υλικού σηµείου αν διπλασιάσουµε της απόστασή του από τον άξονα; Ι Ι Ι 3.5 Ένα στερεό αποτελείται από ράβδο ΑΒ µήκους L και µάζας Μ =3m η οποία έχει στα άκρα της Α,Β Α Β Κ στερεωµένες δύο µικρές σφαίρες µάζας m 1 = m και m =m. Η ροπή αδράνειας του στερεού ως προς άξονα που διέρχεται από: α το µέσον Κ της ράβδου, β. το άκρο της ράβδου που είναι στερεωµένη η µάζα m 1 γ. το άκρο της ράβδου που είναι στερεωµένη η µάζα m είναι: i.ml, ii. ml, iii. 3mL, iv 4mL Σε κάθε περίπτωση να επιλέξετε την σωστή απάντηση και να δικαιολογήσετε την επιλογή σας 3.6. Μια σφαίρα είναι συνδεδεµένη µε r αβαρή ράβδο που έχει µήκος L. Αν Ι 1 και Ι είναι οι ροπές αδράνειας του στερεού ως φ προς τον άξονα περιστροφής του σχήµατος, L m L I1 ο λόγος είναι: α.1 β. 0,5, γ. I (1) () ίνεται φ = 30 ο Να επιλέξετε την σωστή απάντηση και να δικαιολογήσετε την επιλογή σας m 3.7. Στις κορυφές ενός τετραγώνου πλευράς α είναι τοποθετηµένες τέσσερις ίσες σηµειακές µάζες m. Να προσδιορίσετε τη ροπή αδράνειας του συστήµατος των µαζών αν το στερεό περιστρέφεται γύρω από άξονα ο οποίος διέρχεται: 55

140 α. από δύο διαδοχικές κορυφές του β. από µία διαγώνιό του 3.8. Η ροπή αδράνειας ενός στερεού που περιστρέφεται γύρω από άξονα ο οποίος διέρχεται από ένα σηµείο Α το οποίο απέχει από το κέντρο µάζας του στερεού απόσταση d = m είναι Ι = 8Kg m. Aν η µάζα του στερεού είναι Μ =0.5Κg, η ροπή αδράνειας του, ως προς άξονα που είναι παράλληλος στον αρχικό και διέρχεται από το κέντρο µάζας του, είναι: α) I cm = 4Kg m, β) I cm = 6Kg m, γ) I cm = 10Kg m, δ) I cm = 16Kg m Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση και δικαιολογήστε την επιλογή σας Α,Γ 3.9. ύο ράβδοι ΑΒ και Γ είναι από το ίδιο υλικό και έχουν µήκος L και L αντίστοιχα. Σρερεώνουµε τις ράβδους έτσι ώστε οι άκρες Α και Γ να συµπέσουν και οι ράβδοι να είναι κάθετοι µεταξύ Β τους όπως στο σχήµα. Η ράβδος ΑΒ εχει µάζα m. Η ροπή αδράνεις του στερεού που δηµιουργήθηκε, ως προς άξονα που είναι κάθετος στο επίπεδο που ορίζουν οι δύο ράβδοι και διέρψχεται από το κοινό τους σηµείο (Α,Γ) είναι: α) I = L, β ) I = ml, γ ) I = 3mL, δ) I = 4mL Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση και να δικαιολογήστε την επιλογή σας Μία λεπτή και οµογενής ράβδος ΑΒ µπορεί να περιστρέφεται είτε γύρω από άξονα χ είτε γύρω από άξονα ψ. Οι άξονες αυτοί είναι κάθετοι στη ράβδο και βρίσκονται εκατέρωθεν του µέσου Ο της ράβδου. Αν α,β είναι η απόσταση κάθε άξονα από τα άκρα της ράβδου, όπως φαίνεται στο σχήµα και ισχύει α>β ο λόγος των ροπών αδράνειας της ράβδου Ιχ, Ιψ ως προς τους άξονες χ,ψ αντίστοιχα είναι: α. I X = 1 I I β. X > 1 γ. X < 1 I Ψ I Ψ Να επιλέξετε το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή σχέση. Να δικαιολογήσετε την επιλογή σας Ελλήνων εξωτερικού 006 Α I Ψ Από ένα κυκλικό δίσκο αµελητέου πάχους R που έχει ροπή αδράνειας Ι δ αφαιρούµε ένα κυκλικό Κ δίσκο που έχει ακτίνα R = R/ και κέντρο το κέντρο Κ του δίσκου όπως στο σχήµα. Ο λόγος Ι δ / Ι στ της ροπής αδράνειας Ι δ του αρχικού δίσκου προς την ροπή αδράνειας Ι στ του στερεού που σχηµατίστηκε µετά την αφαίρεση, ως προς άξονα που είναι κάθετος στο επίπεδο του δίσκου και διέρχεται από το κέντρο του δίσκου, είναι: Iδ 9 I α. =,, β.. δ 15 I =, γ.. δ 16 I =, δ.. δ = Iστ 8 Iστ 16 Iστ 15 Iστ Να επιλέξετε την σωστή απάντηση και να δικαιολογήσετε την επιλογή σας β ψ Ο χ α Β 56

141 3.1 Από µία συµπαγή και οµογενή σφαίρα µάζας m και ακτίνας R, αφαιρούµε µια σφαίρα που έχει ακτίνα R/ και κέντρο το Κ όπως φαίνεται στο διπλανό σχήµα R Κ Ο λόγος Ι / Ι της ροπής αδράνειας Ι της αρχικής σφαίρας προς την ροπή αδράνειας Ι του στερεού που σχηµατίστηκε µετά την αφαίρεση, ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο της σφαίρας, είναι: I 31 I 3 I 49 I 31 α. ; =,, β. I 30 ; =, γ. I 31 ; =, δ. I 48 ; =, I 35 Να επιλέξετε την σωστή απάντηση και να δικαιολογήσετε την επιλογή σας Σε πολλές µηχανές θέλουµε να έχουν σταθερή γωνιακή ταχύτητα. Για το λόγο αυτό θα πρέπει αυτές να έχουν µικρή ή µεγάλη ροπή αδράνειας ως προς τον άξονα περιστροφής τους και γιατί; Ποια οµοιότητα και ποια διαφορά υπάρχει µεταξύ της µάζας και της ροπής αδράνειας στην µεταφορική και στην περιστροφική κίνηση αντίστοιχα ; Σε ένα σώµα που µπορεί να στρέφεται γύρω από κάποιο άξονα ασκούµε κάποια ροπή. Αν αλλάξουµε τον άξονα περιστροφής και στο σώµα ασκήσουµε την ίδια ροπή, η δυσκολία αλλαγής της περιστροφικής κίνησης του σώµατος θα µεταβληθεί και αν ναι από τι θα εξαρτηθεί η µεταβολή αυτή και γιατί ; Ένα στερεό µπορεί να περιστρέφεται γύρω από πολλούς άξονες. Ως προς ποιον άξονα έχει τη µικρότερη ροπή αδράνειας; Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας Η ράβδος του σχήµατος έχει βάρος W, µήκος L F και µπορεί να περιστρέφεται γύρω από οριζόντιο άξονα L A που διέρχεται από το ένα άκρο του Α, σε κατακόρυφο επίπεδο µε την βοήθεια άρθρωσης όπως στο σχήµα. W Στο άλλο άκρο Β της ράβδου ασκείται κατακόρυφη δύναµη και η ράβδος ισορροπεί. Αν διπλασιάσουµε το µέτρο της δύναµης αυτής η γωνιακή επιτάχυνση α γ που θα αποκτήσει, το σώµα τη στιγµή που διπλασιάζουµε τη δύναµη, σε συνάρτηση µε τα L, g είναι: α.gl, β. /3gL γ. gl, δ.3/ gl Για τη ράβδο ισχύει ότι Ι cm = 1/1 M L Να επιλέξετε την σωστή απάντηση και να δικαιολογήσετε την επιλογή σας B Η ράβδος ΑΒ µήκους L και µάζας Μ του σχήµατος µπορεί να περιστρέφεται γύρωαπό κατακόρυφο άξονα z z σε οριζόντιο επίπεδο. Στο άκρο Β της ράβδου τοποθετούµε ένα σώµα µάζας m = Μ και το σύστηµα ισορροπεί. Ασκούµε στη ράβδο σταθερή ροπή (τ) και µετά απο χρόνο t η µάζα m αποκτά γωνιακή ταχύτητα ω. Α Ζ Ζ m d m Β 57

142 Μετατοπίζούµε τη µάζα m από τη θέση της κατά d έτσι ώστε ασκώντας στη ράβδο την ίδια ροπή (τ) η µάζα m σε χρόνο t 1 = t/3 να αποκτήσει την ίδια σε µέτρο γωνιακή ταχύτητα ω. Η µετατόπιση είναι: α. L/4 β. L/ γ. L/3 δ. L/3 ίνεται για τη ράβδο Ι cm = 1/1 ΜL Να επιλέξετε την σωστή απάντηση και να δικαιολογήσετε την επιλογή σας Να συµπληρωθούν τα κενά της πρότασης Η ροπή αδράνειας εκφράζει στην περιστροφή ότι εκφράζει η στη µεταφορική κίνηση,δηλαδή την στη στροφική κίνηση. Ενώ όµως η µάζα ενός σώµατος είναι µέγεθος η ροπή αδράνειας εξαρτάται κάθε φορά από τη θέση του. 58

143 Ασκήσεις στη ροπή αδράνειας στερεού σώματος 1. Οµογενής ράβδος, µάζας m και µήκους L, έχει ροπή αδράνειας ως προς άξονα 1 που διέρχεται από το µέσον της Icm = m L. Να βρεθεί η ροπή αδράνειάς 1 της ως προς άξονα κάθετο σ αυτή ο οποίος διέρχεται από: α) το ένα άκρο της, L β) σηµείο που απέχει από το µέσον της απόσταση x=. 4 1 [ Απ. α) ml 7, β) ml ] Τέσσερα σηµειακά σώµατα είναι στερεωµένα πάνω σε έναν σταυρό αµελητέας µάζας, ο ο- ποίος είναι τοποθετηµένος στο επίπεδο xy. Τα σώµατα στον άξονα x έχουν µάζα Μ, ενώ τα σώµατα στον άξονα y έχουν µάζα m. α) Αν το σύστηµα περιστρέφεται γύρω από τον άξονα y, µε γωνιακή ταχύτητα ω, υπολογίστε την ροπή αδράνειας του συστήµατος ως προς τον άξονα y καθώς και την κινητική ενέργεια περιστροφής γύρω από τον άξονα αυτόν. β) Υποθέστε τώρα ότι το σύστηµα περιστρέφεται στο επίπεδο xy γύρω από τον άξονα z, o oποίος διέρχεται από το Ο, µε γωνιακή ταχύτητα ω. Υπολογίστε την ροπή α-δράνειας του συστήµατος ως προς τον ά- ξονα z καθώς και την κινητική ενέργεια περιστροφής γύρω από τον άξονα αυτόν. M y m b O α α b m M x [ Απ. α) I(O) = Mα, = α K = α ω = Mα ω, β) I M mb (O) = α +, K = (M α + mb ) ω = α + ω ] 3. Οµογενής ράβδος, µήκους l= m και µάζας m=1, Kg, έχει στερεωµένες στα άκρα της δύο µάζες m 1 =0,5 Kg και m =0,3 Kg. Η ράβδος στρέφεται ως προς άξονα κάθετο σ αυτή και ο οποίος διέρχεται από m1 ( l / 4) O K (3 l / 4) (m) m το σηµείο Ο, που απέχει από το άκρο που βρίσκεται η (m 1 ) κατά ( l / 4). Να βρεθεί η ροπή αδράνειας του συστήµατος ως προς τον άξονα περιστροφής Ο. 1 ίνεται η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς το κέντρο µάζας της I(K ) = ml. 1 [ Απ. I (O) =1,5 Kg m ] 59

144 4. Τρεις όµοιες οµογενείς ράβδοι, µάζας m=0,8 Kg και µήκουςl= 1m, έχουν συνδεθεί έτσι ώστε να σχηµατίζουν Η. Το σύστηµα περιστρέφεται ως προς άξονα που διέρχεται από το µέσο Κ της µεσαίας ράβδου και είναι κάθετος στο επίπεδο των τριών ράβδων. Να βρεθεί η ροπή αδράνειας του συστήµατος, ως προς τον άξονα περιστροφής στο Κ. Τα σηµεία Ο και Ρ είναι τα µέσα των δύο ράβδων. ίνεται η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς το κέντρο µάζας της O I K (K ) 1 1 P = ml. [ Απ. Ι (Κ) =0,6 Kg m ] 5. Ένας συµπαγής κύλινδρος, µάζας m=8 Kg και ακτίνας r=0, m, έχει στερεωµένους στις βάσεις του δύο όµοιους δίσκους, µε µάζα M=1,5 Kg και ακτίνα R=0,4 m, ο καθένας. Να υπολογιστεί η ροπή αδράνειας του συστή- µατος, ως προς τον άξονα ΟΟ ο οποίος είναι κάθετος στις βάσεις του κυλίνδρου. ίνονται: ροπή αδράνειας του κυλίνδρου I 1 mr cm =, ροπή αδράνειας του δίσκου I 1 MR O cm =. m r R M O [ Απ. I(OO ) = 0,4 Kg m ] 6. Ένας λεπτός δακτύλιος, µάζας M=3 Kg και α- κτίνας R=1 m, έχει στερεωµένες στα σηµεία Α, Β, Γ της περιφέρειάς του τρεις όµοιες οµογενείς Ράβδους ΟΑ, ΟΒ, ΟΓ, µε την άλλη άκρη τους να βρίσεκται στο κέντρο του δακτυλίου Ο. Η κάθε ράβδος έχει µάζα m=1 Kg και µήκος l = R. Να υπολογίσετε τη ροπή αδράνειας του συστή- µατος ως προς άξονα ο οποίος διέρχεται από το κέντρο Ο και είναι κάθετος στο επίπεδο του δίσκου. ίνεται η ροπή αδράνειας κάθε ράβδου, ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο µάζας της I cm 1 = 1 = m l. m M l= R [ Απ. Ι (Ο) =4 Kg m ] 60

145 7. Οι τρεις οµογενείς ράβδοι του σχήµατος, που έχουν µάζα m και µήκος l η καθεµία, απότελούν ένα τρισορθογώνιο σύστηµα xyz. Να υ- πολογίσετε τη ροπή αδράνειας του συστήµατος των τριών ράβδων ως προς τον άξονα z. ίνεται η ροπή αδράνειας κάθε ράβδου ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο µάζας της και είναι κάθετος σε αυτήν 1 Icm = ml και m=3 Kg, l =1,5 m. 1 y l O z [ Απ. I (O) =4,5 l l Kg m ] x 8. Στη διάταξη του σχήµατος οι τρεις οµογενείς ράβδοι, µάζας m=1 Kg και µήκους l =1 m, z που σχηµατίζουν τρισορθογώνιο σύστηµα α- ξόνων xyz, έχουν στερεωµένες στα άκρα τους τρεις όµοιες σφαίρες, µάζας M=0,5 Kg και α- κτίνας r=0,1 m η καθεµία. Να υπολογίσετε τη ροπή αδράνειας του συστήµατος των τριών l l ράβδων, µε τις σφαίρες, ως προς τον άξονα z. x O l ίνονται: η ροπή αδράνειας κάθε ράβδου ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο y µάζας της και είναι κάθετος σε αυτήν 1 Icm = ml και η ροπή αδράνειας κάθε σφαίρας, ως προς άξονα που διέρχεται 1 από το κέντρο µάζας της, I = Mr. cm 5 [ Απ. Ι (Ο) =,611 Kg m ] 9. Στη διάταξη του σχήµατος δύο σφαίρες (M= Kg, R=0, m m=1 Kg, r=0,1 m) εφάπτονται µεταξύ τους και µπορούν να περιστρέφονται γύρω α- πό τον κατακόρυφο άξονα yy. Να υπολογίσετε τη ροπή αδράνειας του συστήµατος γύρω από τον άξονα yy. ίνεται η ροπή αδράνειας κάθε σφαίρας, ως προς M άξονα παράλληλο του yy, Icm = MR και 5 Icm = mr. 5 [ Απ. I (yy ) =0,036 R y y r Kg m ] m 61

146 10. Τρεις σηµειακές σφαίρες συνδέονται µε στερεά ράβδο, αµελητέας µάζας και βρίσκονται πάνω στον άξονα y. α) Να υπολογίσετε τη ροπή αδράνειας του συστήµατος ως προς τον άξονα x (σχήµα). β) Ο άξονας x µπορεί να µετατοπίζεται παράλληλα στον εαυτό του. Να υπολογίσετε τη ροπή α- δράνειας του συστήµατος, όταν ο άξονας x: (i) περνά από το κέντρο της σφαίρας 4 Kg, (ii) περνά από το κέντρο της σφαίρας Kg, (iii) περνά από το κέντρο της σφαίρας 3 Kg. y 4Kg y= 3m x O Kg y = m 3Kg y = 4m [ Απ. α) 9 Kgm, β) (i) 197 Kgm, (ii) 11 Kgm, (iii) 04 Kgm ] 11. Οι τέσσερεις σφαίρες στη διάταξη του σχήµατος συνδέονται µε στερεές αβαρείς ράβδους. Να υπολογίσετε τη ροπή αδράνειας του συστήµατος στις ακόλουθες περιπτώσεις: α) Ως προς τον άξονα x. β) Ως προς τον άξονα y. γ) Ως προς τον άξονα z, κάθετο στο επίπεδο xy και ο οποίος περνά από το σηµείο Ο. 3Kg O 4m y(m) 6m Kg x(m) [ Απ. α) 99 Kgm, β) 44 Kgm, γ) 143 Kgm ] Kg 4Kg 1. Τρεις σφαίρες, µάζας m η καθεµία, είναι τοποθετηµένες στις κορυφές ενός ισοπλεύρου τριγώνου, πλευράς l, όπως φαίνεται στο σχήµα. Να υπολογίσετε τη ροπή αδράνειας του συστή- µατος ως προς τους άξονες x, y και z. Ο άξονας z περνά από το σηµείο Ο και είναι κάθετος στο επίπεδο xoy. [ Απ. I 3 4 (x) = ml, I 1 m ( y) = l, I 5 4 (z) = ml ] m l m l y O l m x 6

147 13. ύο σηµειακές σφαίρες µε µάζες M= Kg και m=1 Kg συνδέονται µε στερεά αβαρή ράβδο, µήκους l =1 m. α) Να εκφράσετε τη ροπή αδράνειας του συστή- µατος ως προς άξονα κάθετο στη ράβδο και σε απόσταση x από τη σφαίρα Μ και να την παραστήσετε γραφικά.. β) Να βρεθεί η ροπή αδράνειας του συστήµατος ως προς τον ίδιο άξονα, αλλά η απόσταση x να είναι η απόσταση της σφαίρας Μ από το κέντρο µάζας του συστήµατος. [ Απ. α) I=3x -x+1, β) I= Kgm, για 3 ml x= M+ m ] M Ml ml I(Kgm ) 0 l x ( l x) m x(m) l= 1 63

148 1. Ένας κύλινδρος, βάρους w=50 και διαµέτρου 80 cm, περιστρέφεται γύρω από τον γεωµετρικό του άξονα. Ποια σταθερή ροπή (τ) πρέπει να ασκείται, στον κύλινδρο ώστε να αποκτήσει γωνιακή ταχύτητα ω=50 rad/s µέσα σε χρόνο t=5 s, ξεκινώντας από την ηρεµία; 1 ίνεται ροπή αδράνειας του κυλίνδρου Icm = MR και g=10 m/s. [ Απ. τ=4 m ]. Μέα λεπτά και ισοπαχάς ρϊβδος μϊζας και μάκους =3 εέναι στερεωμϋνη μϋσω Ϊρθρωσης στο Ϋνα Ϊκρο της Ο, γτρω απσ το οποέο μπορεέ να περιστρϋφεται χωρές τρι- A Ο βϋς και την κρατϊμε υστε να ισορροπεέ οριζσντια, σπως φαένεται στο σχάμα. ΚΪποια στιγμά η ρϊβδος αφάνεται ελετθερη να κινηθεέ, οπστε αρχέζει να περιστρϋφεται σε κατακσρυφο επέπεδο, γτρω απσ το Ϊκρο της Ο, να υπολογέσετε: α) το μϋτρο της γωνιακάς επιτϊχυνσης της ρϊβδου τη χρονικά στιγμά που σχηματέζει γωνέα60 με τον ορέζοντα Ϋχει γένεται κατακσρυφη, β) το μϋτρο της γωνιακάς επιτϊχυνσης της ρϊβδου τη χρονικά στιγμά περνϊ απσ την κατακσρυφο και γ) το μϋτρο της γωνιακάς επιτϊχυνσης της ρϊβδου τη χρονικά στιγμά που σχηματέζει γωνέα10 με τον ορέζοντα. Δένεται στι η ροπά αδρϊνειας της ρϊβδου ως προς τον Ϊξονα που περνϊ απσ το κϋντρο μϊζας της και εέναι κϊθετος σε αυτά =1/1 και η επιτϊχυνση της βαρττητας εέναι έση με =10 /. [Απ ντηση: α)15 /,15 /, ) 7,5 / ] 3. Η ομογενάς και ισοπαχάς ρϊβδος OA του διπλανοτ σχάματος Ϋχει μϊζαm, μάκος = 3 και μπορεέ να περιστρϋφεται σε κατακσρυφο επέπεδο χωρές τριβϋς γτρω απσ οριζσντιο ακλσνητο Ϊξονα που διϋρχεται απσ το Ϊκρο της O και εέναι κϊθετος σε αυτά. ΑρχικΪ κρατϊμε την ρϊβδο Ϋτσι υστε να ισορροπεέ σε θϋση που να σχηματέζει γωνέα =30 με την κατακσρυφο. ΚΪποια χρονικά στιγμά αφάνουμε την ρϊβδο ελετθερη, να υπολογέσετε το μϋτρο της γωνιακάς επιτϊχυνσης της ρϊβδου: α) τη στιγμά που την αφάνουμε ελετθερη, β) τη στιγμά που γένεται οριζσντια και Ο γ) να γένει η γραφικά παρϊσταση της γωνιακάς επιτϊχυνσης της ρϊβδου σε σχϋση με την γωνέα που σχηματέζει ως προς την κατακσρυφο, απσ την στιγμά που την αφάσαμε ελετθερη μϋχρι να γένει κατακσρυφη. Δένεται στι η ροπά αδρϊνειας της ρϊβδου ως προς τον Ϊξονα που περνϊ απσ το κϋντρο μϊζας της και εέναι κϊθετος σε αυτά =1/1 και η επιτϊχυνση της βαρττητας εέναι έση με =10 /. [Απ ντηση: α),5 /, ) 5 / ] 64 φ=30 0 A

149 1.Στερεό σώμα περιστρέφεται γύρω από σταθερό άξονα. Η γωνιακή επιτάχυνση του σώματος είναι σταθερή, αν στο σώμα: α. Ασκούνται σταθερές δυνάμεις. β. Δεν ασκούνται ροπές. γ. Ασκούνται σταθερές ροπές. δ. Ασκούνται ροπές.. Στερεό σώμα περιστρέφεται γύρω από σταθερό άξονα. Η γωνιακή επιτάχυνση του σώματος είναι: α. Ανάλογη της μάζας του σώματος. β. Ανάλογη με τη συνολική ροπή που ασκείται στο σώμα. γ. Αντιστρόφως ανάλογη με τη συνισταμένη δύναμη που ασκείται στο σώμα. δ. Ανάλογη με τη γωνιακή ταχύτητα του σώματος. 3. Στερεό σώμα περιστρέφεται γύρω από σταθερό άξονα υπό την επίδραση σταθερής ροπής. Η γωνιακή επιτάχυνση του σώματος είναι: α. Αντιστρόφως ανάλογη με την ασκούμενη ροπή. β. Ανάλογη με το χρόνο δράσης της ροπής. γ. Ανεξάρτητη από τη μάζα του σώματος. δ. Αντιστρόφως ανάλογη της ροπής αδράνειας του σώματος, ως προς τον ίδιο άξονα. 4. Στερεό σώμα στρέφεται με σταθερή γωνιακή ταχύτητα γύρω από ακλόνητο άξονα. Στην περίπτωση αυτή: α. Η ροπή αδράνειας του σώματος είναι μηδέν. β. Το σώμα δέχεται σταθερή συνολική ροπή διάφορη του μηδενός. γ. Η συνολική ροπή που δέχεται το σώμα είναι μηδέν. δ. Ο άξονας περιστροφής πρέπει να διέρχεται από το κέντρο μάζας του. ε. Τίποτα από τα παραπάνω. 5. Ποιες από τις προτάσεις που ακολουθούν και αναφέρονται σε σώμα που κάνει περιστροφική κίνηση, γύρω από ακλόνητο άξονα είναι σωστές ή λανθασμένες. Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. α. Αν η συνολική ροπή που ασκείται στο σώμα ως προς τον άξονα περιστροφής του, μηδενιστεί, τότε η περιστροφή του σώματος θα σταματήσει. β. Η γωνιακή επιτάχυνση που αποκτάει το σώμα είναι ανάλογη του αλγεβρικού αθροίσματος των ροπών που δρουν στο σώμα ως προς τον ίδιο άξονα. γ. Αν το διάνυσμα της συνισταμένης ροπής και της γωνιακής ταχύτητας του σώματος έχουν την ίδια κατεύθυνση, τότε η γωνιακή ταχύτητα αυξάνεται. δ. Αν το αλγεβρικό άθροισμα των ροπών ως προς τον άξονα περιστροφής του μειωθεί, τότε το σώμα επιβραδύνεται. ε. Καθώς το σώμα περιστρέφεται είναι απαραίτητο να δρα πάνω του κάποια ροπή. στ. Αν η ασκούμενη ροπή είναι σταθερή, η μάζα είναι ο μόνος παράγοντας που καθορίζει την τιμή της γωνιακής επιτάχυνσης που θα αποκτήσει. ζ. Αν η συνολική ροπή είναι σταθερή η γωνιακή ταχύτητα του σώματος μεταβάλλεται ανάλογα με το χρόνο. 6. Δύο τροχοί, Α και Β, εκτελούν στροφικές κινήσεις γύρω από άξονα που περνάει από το κέντρο τους και είναι κάθετος σ αυτούς, υπό την επίδραση ίσων ροπών. Οι γωνιακές τους ταχύτητες μεταβάλλονται μέσα σε χρονικό 65 75

150 διάστημα, t 1 με τον τρόπο που φαίνεται στο διάγραμμα. Για τις ροπές αδράνειας των τροχών, ως προς τον ίδιο άξονα, ισχύει: α. Ι Α =Ι Β β. Ι Α >Ι Β γ. Ι Α <Ι Β Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. 7. Μια σφαίρα περιστρέφεται με σταθερή γωνιακή επιτάχυνση γύρω από σταθερό άξονα που διέρχεται από το κέντρο της, υπό την επίδραση σταθερής συνισταμένης ροπής. Αν η ροπή υποδιπλασιαστεί μέσα σε κάποιο χρονικό διάστημα, Δt, τότε και αφού τελειώσει η μεταβολή της ροπής, το σώμα, θα: α. Επιβραδύνεται ομαλά μέχρι να σταματήσει. β. Διατηρεί την ταχύτητα που είχε πριν αρχίσει η μείωση της ροπής. γ. Περιστρέφεται με τη μισή γωνιακή επιτάχυνση. δ. Περιστρέφεται με τη μισή γωνιακή ταχύτητα που είχε πριν αρχίσει η μείωση της ροπής. 8. Μια σφαίρα περιστρέφεται γύρω από σταθερό άξονα που διέρχεται από το κέντρο της, υπό την επίδραση σταθερής συνισταμένης ροπής. Αν η ροπή μηδενιστεί μέσα σε κάποιο χρονικό διάστημα, Δt, τότε η σφαίρα μετά το μηδενισμό της ροπής: α. Επιβραδύνεται και σταματάει. β. Αποκτάει σταθερή γωνιακή ταχύτητα. γ. Κάνει ομαλά επιταχυνόμενη στροφική κίνηση. δ. Τίποτα από τα παραπάνω. 9. Η σχέση ΣF=0, όταν ισχύει για ένα στερεό σώμα, εξασφαλίζει ότι: α. Το σώμα δεν περιστρέφεται. β. Το σώμα σίγουρα ισορροπεί. γ. Το σώμα περιστρέφεται με σταθερή γωνιακή ταχύτητα. δ. Το σώμα μπορεί να ισορροπεί ή να κινείται ευθύγραμμα και ομαλά. 10. Η σχέση Στ=0, όταν ισχύει για ένα στερεό σώμα, εξασφαλίζει ότι: α. Το σώμα ισορροπεί. β. Το σώμα δεν περιστρέφεται. γ. Το σώμα περιστρέφεται με σταθερή γωνιακή ταχύτητα ή δεν περιστρέφεται. δ. Το σώμα μπορεί να ισορροπεί ή να κινείται ευθύγραμμα και ομαλά. 11. Σε ένα στερεό σώμα που ήταν αρχικά ακίνητο ασκούνται πολλές ομοεπίπεδες δυνάμεις. Αν ΣF είναι η συνισταμένη των δυνάμεων και Στ είναι το αλγεβρικό άθροισμα των ροπών ως προς οποιοδήποτε σημείο, ποιες από τις προτάσεις που ακολουθούν είναι σωστές; α. Αν ΣF=0, τότε το σώμα μένει ακίνητο. β. Αν Στ=0, τότε το σώμα δεν περιστρέφεται αλλά μπορεί να μεταφέρεται. γ. Αν ΣF=0 και Στ=0, τότε το σώμα ισορροπεί. δ. Αν ΣF 0 και Στ 0, τότε το σώμα περιστρέφεται και μεταφέρεται. 1. Αν δύο ομογενείς δίσκοι ίδιων διαστάσεων με διαφορετικές μάζες περιστρέφονται γύρω από τον ίδιο σταθερό άξονα συμμετρίας τους με την ίδια γωνιακή ταχύτητα, τότε, για να σταματήσουμε τους δύο δίσκους στο ίδιο χρονικό διάστημα χρειάζεται να ασκήσουμε: α. Ίσες ροπές. β. Μεγαλύτερη ροπή στον βαρύτερο

151 γ. Μεγαλύτερη ροπή στον ελαφρύτερο. Ποια είναι η σωστή απάντηση; Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. 13. Μια μπάλα JG ηρεμεί αρχικά πάνω σε οριζόντιο επίπεδο. Αν τις ασκηθούν δυνάμεις με συνισταμένη, Σ F και αλγεβρικό άθροισμα ροπών, Στ, ποιες από τις προτάσεις που ακολουθoυν είναι σωστές; α. Αν, Σ F =0 και Στ=0, η μπάλα μπορεί να αρχίσει να περιστρέφεται γύρω από νοητό άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας της, αλλά δεν μεταφέρεται. β. Αν Σ F 0 και Στ=0, η μπάλα κάνει μόνο επιταχυνόμενη μεταφορική κίνηση. γ. Αν Σ F 0 και Στ 0, η μπάλα κάνει σύνθετη μεταβαλλόμενη κίνηση δ. Αν Σ F =0 και Στ 0, η μπάλα κάνει μόνο μεταβαλλόμενη περιστροφική κίνηση. 14. Αν σε ένα στερεό σώμα ισχύουν ταυτόχρονα Σ F =0 και Στ=0 τότε το σώμα μπορεί: α. Να βρίσκεται σε ηρεμία. β. Να εκτελεί ευθύγραμμη ομαλή μεταφορική κίνηση. γ. Να εκτελεί ομαλή στροφική κίνηση. δ. Να εκτελεί σύνθετη ομαλή κίνηση. Ποιες από τις εκδοχές αυτές είναι σωστές; 15.Αν σε ένα στερεό σώμα το Σ F και το Στ είναι σταθερά και διάφορα του μηδενός, τότε το σώμα μπορεί να εκτελεί: α. Ομαλή στροφική κίνηση. β. Σύνθετη ομαλά μεταβαλλόμενη κίνηση. γ. Σύνθετη ομαλή κίνηση. δ. Ομαλά μεταβαλλόμενη μεταφορική κίνηση. 16. Αν σε ένα στερεό σώμα ισχύουν ταυτόχρονα, Σ F 0 και Στ=0, τότε το σώμα μπορεί να εκτελεί: α. Μεταβαλλόμενη μεταφορική κίνηση. β. Μεταβαλλόμενη μεταφορική κίνηση και ομαλή στροφική ταυτόχρονα. γ. Σύνθετη ομαλή κίνηση. δ. Μεταβαλλόμενη μεταφορική και μεταβαλλόμενη στροφική κίνηση ταυτόχρονα. Ποιες από τις εκδοχές αυτές είναι σωστές; 17.Αν σε ένα στερεό σώμα ισχύουν ταυτόχρονα, Σ F =0 και Στ 0, τότε το σώμα μπορεί να εκτελεί: α. Μεταβαλλόμενη μεταφορική και ομαλή στροφική κίνηση ταυτόχρονα. β. Σύνθετη ομαλή κίνηση. γ. Μεταβαλλόμενη στροφική κίνηση. δ. Ευθύγραμμη ομαλή μεταφορική κίνηση και μεταβαλλόμενη στροφική κίνηση ταυτόχρονα. Ποιες από τις εκδοχές αυτές είναι σωστές; 67 77

152 18. Να αντιστοιχήσετε τα ζεύγη των σχέσεων της αριστερής στήλης με τα αντίστοιχες κινή J σ G εις της δεξιάς στήλης: 1. Σ F =0 και Στ=0 α. Μεταφορική και στροφική και οι δύο μεταβαλλόμενες Σ F 0 και Στ=0 β. Ομαλή στροφική 3. Σ F 0 και Στ 0 γ. Μεταβαλλόμενη στροφική 4. Σ F =0 και Στ 0 δ. Μεταβαλλόμενη μεταφορική και ομαλή στροφική 19. Σ JG ε ένα στερεό σώμα που είναι αρχικά ακίνητο ασκούνται πολλές ομοεπίπεδες δυνάμεις. Αν Σ F είναι η συνισταμένη των δυνάμεων και Στ είναι το αλγεβρικό άθροισμα των ροπών ως προς οποιοδήποτε σημείο, ποιες από τις προτάσεις που ακολουθούν είναι σωστές; α. Αν Σ F =0, τότε το σώμα μένει ακίνητο. β. Αν Σ F =0, τότε το σώμα δεν περιστρέφεται αλλά μπορεί να μεταφέρεται. γ. Αν Σ F =0 και Στ=0 τότε το σώμα ισορροπεί. δ. Αν Σ F 0 και Στ 0 τότε το σώμα περιστρέφεται και μεταφέρεται. 0. Σώμα εκτελεί ταυτόχρονα μεταφορική και περιστροφική κίνηση. Ο θεμελιώδης νόμος της στροφικής κίνησης Στ=Ι α γν ισχύει και στην περίπτωση αυτή, αρκεί ο άξονας γύρω από τον οποίο το σώμα περιστρέφεται να: α. Διέρχεται από το κέντρο μάζας του. β. Να είναι άξονας συμμετρίας. γ. Να μην αλλάζει διεύθυνση κατά τη διάρκεια της κίνησης. δ. Όλα τα παραπάνω. ε. Μόνο τα (α) και (β). 1. Μια ρόδα ακτίνας R, κυλίεται με σταθερή επιτάχυνση χωρίς να ολισθαίνει πάνω σε οριζόντιο επίπεδο. Ποιες από τις προτάσεις που ακολουθούν είναι σωστές; α. Αν α cm είναι η επιτάχυνση του κέντρου μάζας και α γν η γωνιακή επιτάχυνση, τότε ισχύει α cm =α γ R. β. Αν υ cm είναι η στιγμιαία ταχύτητα του κέντρου μάζας και ω η αντίστοιχη στιγμιαία γωνιακή ταχύτητα, τότε ισχύει υ cm =ω R. γ. Αν Δs η μετατόπιση του κέντρου μάζας σε χρόνο Δt και Δθ η αντίστοιχη γωνιακή μετατόπιση ενός σημείου της περιφέρειας του τροχού, τότε ισχύει Δs=R Δθ. δ. Σημείο του τροχού που απέχει απόσταση R από το οριζόντιο επίπεδο έχει ταχύτητα υ cm. ε. Σημείο του τροχού που απέχει απόσταση R από το έδαφος και βρίσκεται στην περιφέρεια του τροχού κινείται με επιτάχυνση ίση με α cm..μια σφαίρα αφήνεται σε κεκλιμένο επίπεδο και κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει. Ποιες από τις προτάσεις που ακολουθούν είναι σωστές ή λανθασμένες και γιατί; α. Υπεύθυνη για την επιτάχυνση του κέντρου βάρους της είναι μόνο η δύναμη του βάρους. β. Η γωνιακή επιτάχυνση όλων των σημείων της είναι ίδια και διατηρείται σταθερή. γ. Το αλγεβρικό άθροισμα των ροπών των δυνάμεων που δέχεται, ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας της είναι μηδέν. δ. Υπεύθυνη για τη γωνιακή επιτάχυνση της σφαίρας είναι μόνο η στατική τριβή με το επίπεδο. ε. Η οριακή τιμή του συντελεστή στατικής τριβής, ώστε η σφαίρα να κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει είναι ανεξάρτητη από τη γωνία κλίσης του επιπέδου

153 3. Ένας κύλινδρος με Ι cm =mr / αφήνεται πάνω σε κεκλιμένο επίπεδο γωνίας κλίσης, φ και κυλάει προς τα κάτω χωρίς να ολισθαίνει. Ποιες από τις επόμενες προτάσεις είναι σωστές; α. Υπεύθυνη δύναμη για τη γωνιακή επιτάχυνση κυλίνδρου είναι η δύναμη της στατικής τριβής. β. Η δύναμη του βάρους μαζί με τη δύναμη της στατικής τριβής είναι υπεύθυνες για την επιτάχυνση του κέντρου μάζας. γ. Η κύλιση του κυλίνδρου, χωρίς ολίσθηση, είναι δυνατή αρκεί ο συντελεστής στατικής τριβής να έχει τιμή διάφορη του μηδενός. δ. Η περιοχή τιμών του συντελεστή στατικής τριβής για να είναι δυνατή η κύλιση χωρίς ολίσθηση εξαρτάται και από τη μάζα του κυλίνδρου. 4. Ομογενής κύλινδρος με ροπή αδράνειας Ι =mr / αφήνεται σε κεκλιμένο επίπεδο γωνίας κλίσης φ. I. Για να είναι δυνατή η κύλιση του κυλίνδρου χωρίς ολίσθηση θα πρέπει ο συντελεστής στατικής τριβής μεταξύ κυλίνδρου και επιπέδου να είναι: α. μ σ >εφφ β. μ σ > εφφ/3 γ. μ σ <εφφ/3 Ποια είναι η σωστή απάντηση; Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. II. Η περιοχή τιμών του μ σ για τις οποίες είναι δυνατή η κύλιση χωρίς ολίσθηση είναι ανεξάρτητη από: α. Τη μάζα του στερεού. β. Τη κλίση του κεκλιμένου. γ. Το σχήμα του στερεού. δ. Τη τραχύτητα των επιφανειών που έρχονται σε επαφή. Ποιες από τις προτάσεις αυτές είναι σωστές; 5.Μια στεφάνη με ροπή αδράνειας Ι cm =mr κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει πάνω σε οριζόντιο επίπεδο, υπό την επίδραση σταθερής και οριζόντιας δύναμης F η οποία ασκείται στο κέντρο μάζας της. Ποιες από τις προτάσεις που ακολουθούν είναι σωστές; Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας. α. Είναι αδύνατο το επίπεδο να είναι λείο. β. Τα μέτρα της F και της στατικής τριβής, Τ, συνδέονται με τη σχέση: F=T. γ. Υπεύθυνες για την επιτάχυνση του κέντρου μάζας της στεφάνης είναι η δύναμη F και η στατική τριβή, Τ. δ. Η περιοχή τιμών του συντελεστή στατικής τριβής για να είναι δυνατή η κύλιση χωρίς ολίσθηση δεν εξαρτάται από το μέτρο της δύναμης F. 6. Κύλινδρος με ροπή αδράνειας Ι cm =mr / κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει πάνω σε οριζόντιο επίπεδο, υπό την επίδραση σταθερής και οριζόντιας δύναμης F η οποία ασκείται στο κέντρο μάζας του. Ποιες από τις προτάσεις που ακολουθούν είναι σωστές; Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας. α. Υπάρχει μόνο ένα σημείο του κυλίνδρου που δεν περιστρέφεται. β. Όλα τα σημεία του κυλίνδρου, εκτός του κέντρου μάζας, έχουν την ίδια γωνιακή επιτάχυνση. cm 69 79

154 γ. Υπάρχει ένα σημείο του κυλίνδρου που να έχει κάποια στιγμή, μηδενική επιτάχυνση. δ. Η τιμή της επιτάχυνσης του κέντρου μάζας ισούται με α cm =F/m. 7.Μια σφαίρα αφήνεται σε κεκλιμένο επίπεδο και κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει. Κατά την κίνηση η σφαίρα αποκτάει σταθερή γωνιακή και γραμμική επιτάχυνση. Ποιες δυνάμεις είναι υπεύθυνες: i) Για το γεγονός της μη ολίσθησης της σφαίρας. ii) Για την γωνιακή επιτάχυνση της σφαίρας. iii) Για την επιτάχυνση του κέντρου μάζας της σφαίρας. Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. 70

155 1. Ένας κύλινδρος, βάρους w=50 και διαµέτρου 80 cm, περιστρέφεται γύρω από τον γεωµετρικό του άξονα. Ποια σταθερή ροπή (τ) πρέπει να ασκείται, στον κύλινδρο ώστε να αποκτήσει γωνιακή ταχύτητα ω=50 rad/s µέσα σε χρόνο t=5 s, ξεκινώντας από την ηρεµία; ίνεται ροπή αδράνειας του κυλίνδρου I cm = 1 MR και g=10 m/s. [ Απ. τ=4 m ]. Μέα λεπτά και ισοπαχάς ρϊβδος μϊζας και μάκους =3 εέναι στερεωμϋνη μϋσω Ϊρθρωσης στο Ϋνα Ϊκρο της Ο, γτρω απσ το οποέο μπορεέ να περιστρϋφεται χωρές τρι- A Ο βϋς και την κρατϊμε υστε να ισορροπεέ οριζσντια, σπως φαένεται στο σχάμα. ΚΪποια στιγμά η ρϊβδος αφάνεται ελετθερη να κινηθεέ, οπστε αρχέζει να περιστρϋφεται σε κατακσρυφο επέπεδο, γτρω απσ το Ϊκρο της Ο, να υπολογέσετε: α) το μϋτρο της γωνιακάς επιτϊχυνσης της ρϊβδου τη χρονικά στιγμά που σχηματέζει γωνέα60 με τον ορέζοντα Ϋχει γένεται κατακσρυφη, β) το μϋτρο της γωνιακάς επιτϊχυνσης της ρϊβδου τη χρονικά στιγμά περνϊ απσ την κατακσρυφο και γ) το μϋτρο της γωνιακάς επιτϊχυνσης της ρϊβδου τη χρονικά στιγμά που σχηματέζει γωνέα10 με τον ορέζοντα. Δένεται στι η ροπά αδρϊνειας της ρϊβδου ως προς τον Ϊξονα που περνϊ απσ το κϋντρο μϊζας της και εέναι κϊθετος σε αυτά =1/1 και η επιτϊχυνση της βαρττητας εέναι έση με =10 /. [Απ ντηση: α)15 /,15 /, ) 7,5 / ] 3. Η ομογενάς και ισοπαχάς ρϊβδος OA του διπλανοτ σχάματος Ϋχει μϊζαm, μάκος = 3 και μπορεέ να περιστρϋφεται σε κατακσρυφο επέπεδο χωρές τριβϋς γτρω απσ οριζσντιο ακλσνητο Ϊξονα που διϋρχεται απσ το Ϊκρο της O και εέναι κϊθετος σε αυτά. ΑρχικΪ κρατϊμε την ρϊβδο Ϋτσι υστε να ισορροπεέ σε θϋση που να σχηματέζει γωνέα =30 με την κατακσρυφο. ΚΪποια χρονικά στιγμά αφάνουμε την ρϊβδο ελετθερη, να υπολογέσετε το μϋτρο της γωνιακάς επιτϊχυνσης της ρϊβδου: α) τη στιγμά που την αφάνουμε ελετθερη, β) τη στιγμά που γένεται οριζσντια και Ο γ) να γένει η γραφικά παρϊσταση της γωνιακάς επιτϊχυνσης της ρϊβδου σε σχϋση με την γωνέα που σχηματέζει ως προς την κατακσρυφο, απσ την στιγμά που την αφάσαμε ελετθερη μϋχρι να γένει κατακσρυφη. Δένεται στι η ροπά αδρϊνειας της ρϊβδου ως προς τον Ϊξονα που περνϊ απσ το κϋντρο μϊζας της και εέναι κϊθετος σε αυτά =1/1 και η επιτϊχυνση της βαρττητας εέναι έση με =10 /. φ=30 0 [Απ ντηση: α),5 /, ) 5 / ] A 71

156 4.Ομογενής ράβδος ΑΒ, μήκους L=3m και μάζας Μ=6kg μπορεί να περιστρέφεται σε κατακόρυφο επίπεδο, γύρω από σταθερό οριζόντιο άξονα, που διέρχεται από το σημείο Ο που απέχει αποστάσεις, ΟΑ=1m και ΟΒ=m από τα άκρα της. Η ράβδος φέρει συνδεδεμένες δύο σημειακές μάζες, στο μεν άκρο Α, τη m 1 =3kg, στο δε άκρο Β τη m =6kg. Να υπολογιστούν: α. Η γωνιακή επιτάχυνση της ράβδου μόλις την αφήσουμε ελεύθερη στην οριζόντια θέση. β. Η δύναμη που ασκεί η ράβδος στη σημειακή μάζα m 1, μόλις την αφήσουμε ελεύθερη. γ. Η γωνιακή επιτάχυνση του συστήματος, όταν η ράβδος σχηματίζει γωνία 60 0 με την αρχική της οριζόντια θέση. Δίνονται για τη ράβδο, Ι cm =ΜL /1 και g=10m/s. α. α γν =40/11rad/s, β. F=450/11N, γ. α γν =0/11rad/s 5.Μια ευθύγραμμη λεπτή κυλινδρική ράβδος ΑΒ αποτελείται από δύο ομογενή και ισοπαχή τμήματα διαφορετικών όμως υλικών. Το ένα τμήμα έχει μήκος ΟΑ=L 1 και πυκνότητα d 1 =d και το άλλο μήκος ΟΒ=L =3L 1 και πυκνότητα d =d. Η ράβδος στηρίζεται με μια ακίδα στο σημείο Ο που ενώνονται τα δύο διαφορετικά της τμήματα και αφήνεται να περιστραφεί γύρω από το σημείο αυτό. Πόση είναι η γωνιακή της επιτάχυνση τη στιγμή που βρίσκεται ακόμα στην οριζόντια θέση; Δίνoνται η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς άξονα που διέρχεται από το μέσον της και είναι κάθετος σ αυτήν Ι cm =ml /1, τα L 1 =1m και g=10m/s. α γν =51/11rad/s 6. Μια ορθή γωνία αποτελείται από δύο ομογενείς ράβδους ΟΑ, και ΟΒ, μήκους L=0,5m, η κάθε μία, οι οποίες έχουν μάζες m 1 =10kg και m =kg, αντιστοίχως. Η γωνία μπορεί να περιστρέφεται γύρω από οριζόντιο άξονα που διέρχεται από την κορυφή Ο και είναι κάθετος σ αυτήν. Αφήνουμε την γωνία να περιστραφεί από τη θέση που φαίνεται στο σχήμα. Να υπολογιστούν: α. Η ροπή αδράνειας του συστήματος ως προς τον άξονα περιστροφής του. β. Η γωνιακή επιτάχυνση του συστήματος τη χρονική στιγμή που αφήνεται ελεύθερο. γ. Η γωνιακή επιτάχυνση τη χρονική στιγμή που το κάθε σκέλος της γωνίας σχηματίζει γωνία 45 0 με την κατακόρυφο που περνάει από το σημείο Ο. Δίνεται η ροπή αδράνειας της κάθε ράβδου ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο της και είναι κάθετος σ αυτήν, Ι cm =ml /1. α. Ι=1kgm, β. 5rad/s, γ. 10 rad/s 7

157 7. Η ομογενής τροχαλία έχει μάζα Μ=6kg και ακτίνα R=0,5m, στηρίζεται σταθερά σε οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το κέντρο της Ο και είναι τυλιγμένη με αβαρές σχοινί από το άκρο του οποίου κρέμεται σώμα μάζας m=1kg. Αν αφήσουμε το σώμα να πέσει, θεωρήσουμε τις τριβές με τον αέρα αμελητέες και ότι το σχοινί δεν ολισθαίνει μέσα στο λούκι της τροχαλίας να υπολογιστούν: α. Η γωνιακή επιτάχυνση της τροχαλίας. β. Η επιτάχυνση του σώματος. γ. Η τάση του σχοινιού. δ. Η δύναμη που δέχεται ο άξονας περιστροφής της τροχαλίας. ε. Πόση είναι η ταχύτητα του σώματος τη χρονική στιγμή t=4s; στ. Πόσες περιστροφές έχει διαγράψει η τροχαλία στο διάστημα (0,4s); Δίνονται, g=10m/s και η ροπή αδράνειας της τροχαλίας ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο της και είναι κάθετος σ αυτήν, Ι ο =ΜR /. Τη χρονική στιγμή t 0 =0, τροχαλία και σώμα ήταν ακίνητα. α. α γν =5rad/s, β. α=,5 m/s, γ. Τ=7,5Ν, δ. F=67,5Ν, ε. υ=10m/s, στ. Ν=0/π στρ 8.Ακίνητη τροχαλία αποτελείται από δύο κυλίνδρους συγκολλημένους μεταξύ τους, τα κέντρα των οποίων βρίσκονται πάνω στον άξονα περιστροφής της, Κ. Οι κύλινδροι έχουν μάζες Μ 1 =80kg, Μ =64kg και ακτίνες R 1 =0,5m και R =0,5m αντιστοίχως. Γύρω από το μικρό κύλινδρο είναι τυλιγμένο αβαρές νήμα από το ελεύθερο άκρο του οποίου είναι κρεμασμένο σώμα μάζας m=00kg. Η τροχαλία είναι αρχικά ακίνητη και αφήνουμε το σώμα ελεύθερο τη χρονική στιγμή t 0 =0. Με δεδομένα ότι κατά την κίνηση της τροχαλίας δεν υπάρχουν τριβές και το νήμα δεν ολισθαίνει πάνω στο μικρό κύλινδρο, να υπολογιστούν: α. Η γωνιακή επιτάχυνση του συστήματος των δύο δίσκων. β. Η γωνιακή ταχύτητα των δίσκων, τη χρονική στιγμή, t 1, που το σώμα έχει κατέβει κατά Δy=10,m. γ. Η ταχύτητα ενός σημείου της περιφέρειας του μεγάλου δίσκου τη χρονική στιγμή t 1. δ. Η κεντρομόλος επιτάχυνση ενός σημείου του μεγάλου δίσκου τη χρονική στιγμή, t 1. Δίνεται η ροπή αδράνειας της κάθε τροχαλίας, Ι =ΜR /. α. a γν = 0,4rad/s, β. ω=40,8rad/s, γ. υ=0,4m/s, δ. α κεν =83,3m/s Κ 7. Η διπλή κυλινδρική τροχαλία του σχήµατος έχει ροπή αδράνειας, ως προς τον άξονα περιστροφής, Ι (Ο) =7,8 Kgm και ακτίνες R=0,6 m και r=0,3 m. Η τροχαλία είναι συµµετρική γύρω από τον άξονα περιστροφής. Αν τα δύο σώµατα, που κρέµονται από αβαρή νήµατα, έχουν βάρη w 1 =150 και w =00, αντίστοιχα, να υπολογίσετε: α) Τη γωνιακή επιτάχυνση της τροχαλίας. β) Την τάση κάθε νήµατος. γ) Τη στροφορµή της τροχαλίας στο τέλος των 5 sec, εάν η τροχαλία ξεκινά από την ηρεµία. ίνεται g=10 m/s. w 1 w [ Απ. α) α γ = rad/s, β) Τ 1 =13 Ν, Τ =1 Ν, γ) L=78 Kg m s 1 ] 73

158 8. Tα δύο σώματα Σ 1, Σ με μάζες m 1, m όπου m 1 >m, κρέμονται από τα άκρα ενός αβαρούς νήματος το οποίο είναι περασμένο μέσα στο λούκι της ακλόνητης τροχαλίας. Αν το σχοινί δεν ολισθαίνει ως προς την τροχαλία., να υπολογιστεί η επιτάχυνση με την οποία θα κινηθούν τα σώματα αν αφεθούν ελεύθερα. Δίνονται η μάζα m της τροχαλίας οι μάζες των σωμάτων m 1, m, η επιτάχυνση της βαρύτητας, g και η ροπή αδράνειας της τροχαλίας ως προς τον κύριο άξονα συμμετρίας της, Ι ο =mr /. 9. Στον κτλινδρο του σχάματος ο οποέος μπορεέ να περιστρϋφεται χωρές τριβϋς γτρω απσ ακλσνητο οριζσντιο Ϊξονα που διϋρχεται απσ το κϋντρο του, μϊζας m 1 =1,5 kg και ακτένας R 1, εέναι τυλιγμϋνο νάμα το οποέο περνϊ απσ την τροχαλέα, μϊζας m =0,5 kg και ακτένας R που κρϋμεται απσ την ορο- m 1 m φά. Στο Ϊλλο Ϊκρο του νάματος εέναι δεμϋ- R R νο συμα μϊζας m= 4 kg. Αφάνουμε το στ- 1 στημα ελετθερο να κινηθεέ. Να υπολογιστοτν: m α) η επιτϊχυνση του συματος και β) οι τϊσεις του νάματος. Δένονται οι ροπϋς αδρϊνειας του κυλένδρου και της τροχαλέας αντέστοιχα ως προς τους Ϊξονες περιστροφάς τους = και = και η επιτϊχυνση της βαρττητας g=10 m/s. Θεωροτμε στι το σκοινέ δεν ολισθαένει στο αυλϊκι της τροχαλέας και στι δεν υπϊρχουν τριβϋς κατϊ την περιστροφά της τροχαλέας και του κυλένδρου. [Απ ντηση: α) 8 m/s, ) 8 Ν, 6 Ν ] 10. H διϊταξη του σχάματος αποτελεέται απσ τα συματα =1, = μέα τροχαλέα μϊζας =, ακτένας =0,5 και Ϋνα αβαρϋς σχοινέ που περνϊ απσ το αυλϊκι της τροχαλέας. Το στστημα άταν αρχικϊ ακένητο και κϊποια χρονικά στιγμά το αφάνουμε ελετθερο. Αν δένεται στι το σχοινέ δεν γλιστρϊ στο χεέλος της τροχαλέας και δεν εμφανέζονται τριβϋς κατϊ την περιστροφά της γτρω απσ τον Ϊξονα που περνϊ απσ το κϋντρο της και εέναι κϊθετος στο επέπεδσ της, να υπολογιστοτν: α) Η γωνιακά επιτϊχυνση της τροχαλέας. β) Οι επιταχτνσεις των δτο σωμϊτων γ) Οι δυνϊμεις που ασκοτν τα νάματα στα συματα και δ) Η οριζσντια και η κατακσρυφη συνιστυσα της δτναμης που ασκεέ ο Ϊξονας της τροχαλέας σε αυτάν. Δένεται η ροπά αδρϊνειας της τροχαλέας ως προς τον Ϊξονα περιστροφάς της = και =10 / [Απ ντηση: ) 10 rad/s, ),5 /, δ)7,5,5,δ)5 17,5 ] 74 m m m 1

159 11. Στη διατάξη του σχήµατος η ροπή αδράνειας για κάθε τροχαλία δίνεται από τον 1 τύπο Icm = mr. Το σύστηµα αφήνε- ται ελεύθερο να κινηθεί. Να υπολογίσετε την επιτάχυνση του σώµατος (m), σε συνάρτηση µε τα m, m 1, m και g. mg [ Απ. α cm = m+ m + m 1 ]. m 1,R1. m,r m 1.. Η διάταξη του σχήµατος ξεκινά από την ηρεµία. Η διπλή κυλινδρική τροχαλία του σχήµατος έχει ροπή αδράνειας, ως προς τον άξονα περιστροφής, Ι (Ο) =,5 Kgm και ακτίνες R=1 m και r=0,5 m. Η τροχαλία είναι συµµετρική γύρω από τον άξονα περιστροφής. Η µικρή τροχαλία δεξιά έχει α- µελητέα µάζα. Αν τα σώµατα (Σ 1 ) και (Σ ), που κρέµονται από τα αβαρή νήµατα, έχουν βάρη w 1 =00 και w =300, αντίστοιχα, να υπολογί- (Σ ) σετε: w α) Τη γωνιακή ταχύτητα της τροχαλίας µετά από χρόνο t=4 s. β) Την τάση κάθε νήµατος. γ) Την ταχύτητα των σωµάτων (Σ 1 ) και (Σ ) µετά από χρόνο t 1 =6 s. δ) Την αντίδραση από τον άξονα περιστροφής της τροχαλίας. ίνεται g=10 m/s. (Σ ) 1 w 1 [ Απ. α) ω=1 rad/s, β) Τ 1 =180 Ν, Τ =315 Ν, γ) υ 1 =6 m/s, υ =3 m/s ] 13.Στη διάταξη του σχήµατος, το σώµα (Σ 1 ) έ- χει βάρος w 1 =00, το σώµα (Σ ) έχει βάρος w =300, η τροχαλία είναι κύλινδρος µ ε µ άζα M=10 Kg και ακτίνα r=0,5 m. Το σώµ α (Σ ) κινείται πάνω στο κεκλιµένο ε- πίπεδο, γωνίας κλίσης 30 ο χωρίς τριβή. Το σύστηµα αφήνεται ελεύθερο να κινηθεί α- πό την ηρεµία. Να υπολογιστούν: α) Η (γραµµική) επιτάχυνση των δύο σω- µάτων. β) Η τάση των νηµάτων. γ) Η γωνιακή ταχύτητα της τροχαλίας µετά από χρόνο t=11 s. ίνεται ροπή αδράνειας της τροχαλίας I cm = 1 Mr (Σ ) w w 30 o 1 και g=10 m/s. (Σ 1 ) 75

160 14. ροπε. Τη χρονικ στιγμ =0, στο κ ντρο μ ζας του ασκε ται δ ναμη μ τρου =15 η οπο α ε ναι παρ λληλα με το δ πεδο, οπ τε κυλ εται χωρ ς να ολισθα νει. α υπολογ σετε: F α) την επιτ χυνση του κ ντρου μ ζας του κυλ νδρου. β) τη δ ναμη τριβ ς. γ) την μετατ πιση του κ ντρου μ ζας του δ σκου σε χρονικ δι στημα μετ απ χρ νο =. Δ ν τα η ροπ α ράν ας του σ ου ως προς τον άξονά του =, =10 /. [Απά τηση: a) 10 /, ) 5, ) 0 ] 15. Ο κυκλικ ς δ σκος του σχ ματος μ ζας10 και ακτ νας 0,3 ε ναι αρχικ α- κ νητος σε οριζ ντια επιφ νεια με την οπο α χει συντελεστ τριβ ς ολ σθησης 0,. Γ ρω απ το δ σκο ε ναι τυλιγμ νο να σκοιν. Τη χρονικ στιγμ t=0 ασκο με στο σκοιν οριζ ντια δ ναμη. α προσδιοριστε η μεταφορικ και η γωνιακ επιτ χυνση του δ σκου α) αν =50 και β) αν =100. R Δ νεται η ροπ αδρ νειας του κυκλικο δ σκου ως προς τον ξον του =. Επιτ χυνση της βαρ τητας =10 /. α θεωρηθε τι ο συντελεστ ς οριακ ς τριβ ς μεταξ δ σκου και επιφ νειας ε ναι σος με το συντελεστ τριβ ς ολ σθησης. [Απ ντηση: α) m/s, rad/s, ) 1 m/s, rad/s ] 16. Η σφαίρα (Σ) του σχήµατος µπορεί να κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει στο κεκλιµένο επίπεδο, γωνίας κλίσης φ=30 ο. α) Να αποδείξετε ότι η επιτάχυνση του κέντρου 5 µάζας της σφαίρας είναι: α cm = gηµϕ. 7 ίνεται η ροπή αδράνειας της σφαίρας I cm = mr. 5 β) Αν η σφαίρα ξεκινά από την ηρεµία και διανύοντας απόσταση s πάνω στο κεκλιµένο επίπεδο, αποκτά ταχύτητα υ= βρεθεί η απόσταση s. [ Απ. β) s=0,7 m ] r (Σ) w 30 o 5 m/s, να 76

161 17. Στην επιφάνεια κυλίνδρου, ακτίνας r και βάρους w, είναι τυλιγµένο αβαρές νήµα. Στο ελεύθερο άκρ ο του νήµατος ασκούµε σταθερή οριζόντια δύναµη F, µέ- τρου F= w. Ο κύλινδρος κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει και ανεβαίνει στο κεκλιµένο επίπεδο. Να υπολογί- σετε την επιτάχυνση του κέντρου µάζας του κυλίνδρου. ίνεται η ροπή αδράνειας του κυλίνδρου και g=10 m/s. I cm = 1 mr w 30 o g [ Απ. α 10 cm = = m/s ] 3 3 r. f F α cm 18..Μία οµογενής σφαίρα, ακτίνας r και βάρους w, αναγκάζεται να κυλίεται προς τα δεξιά κατά µηκος ενός µη λείου οριζοντίου επιπέδου, από µια οριζόντια δύναµη F, η οποία δρα στο σηµείο Α της σφαίρας, προς τα δεξιά, και σε απόσταση h από το κέντρο της Ο. α) Να δείξετε ότι η δύναµη της τριβής f, για την οποία η σφαίρα κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει, δίνεται από τη σχέση: F h f = 5 7 r. F A h O w r f //////////////////////////// ίνεται η ροπή αδράνειας της σφαίρας I cm = mr. 5 β) Αν r=5 cm και F=,1 να βρεθεί η δύναµη της τριβής f (µέτρο-φορά), για τις περιπτώσεις που η απόσταση h είναι: (i) h=1,5 cm, (ii) h= cm, (iii) h=3 cm. [ Απ. β) (i) f= 0,15, (ii) f=0, (iii) f=0,30 ] 19. Την χρονικ στιγμ =0 απ την β ση πλ γιου επιπ δου β λλεται κυλινδρικ σ μα μ ζας και ακτ νας =0, με αρχικ ταχ τητα. Αν το σ μα κατ την νοδ του κυλ εται χωρ ς να ολισθα νει, την χρονικ στιγμ = χει διαν σει στο πλ γιο επ πεδο υ 0 μ κος =10,8 και η για την γων α που σχηματ ζει το πλ γιο επ πεδο με τον ορ ζοντα φ ε ναι =0,6, να υπολογιστο ν : α) η επιτ χυνση του κ ντρου μ ζας του κυλ νδρου β) η ελ χιστη τιμ του συντελεστ οριακ ς τριβ ς στε το σ μα να ανεβα νει χωρ α να ολισθα νει γ) η ταχ τητα και δ) Ο αριθμ ς των περιστροφ ν του κυλ νδρου κατ την νοδ του στο πλ γιο επ πεδο μ χρι να σταματ σει. Δ νονται : =10 / και η ροπ αδρ νειας κυλ νδρου ως προς τον ξον του τι ε ναι =. 77 [Απά τηση: a) 0,4 /, ) 0,05, ) 5 /, ) 78,15/ ]

162 0. Στο κρο μη εκτατο ν ματος ε ναι δεμ νο σ μα Σ μ ζας =0,5 το λλο κρο του οπο ου μ σω της τροχαλ α Β ε ναι τυλιγμ νο στη περιφ ρεια κυλ νδρου Α μ ζας =4 και ακτ νας, πως φα νεται στο A B K σχ μα. Την χρονικ στιγμ =0 το σ μα Σ Σ R αφ νεται ελε θερο να κινηθε προς τα κ τω. Αν ε ναι γνωστ τι ο κ λινδρος αρχικ κυλ εται χωρ ς να ολισθα νει και η μ ζα της τροχαλ ας E ε ναι =1. α) να σχεδι σετε την δ ναμη της στατικ ς τριβ ς που ασκε ται στον κ λινδρο και να διακιολογ σετε την απ ντησ σας. β) να υπολογιστο ν οι επιταχ νσεις του σ ματος Σ και του κ ντρου Κ του κυλ νδρου γ) να υπολογιστο ν οι τ σεις του ν ματος. δ) για ποιες τιμ ς του συντελεστ οριακ ς τριβ ς μεταξ κυλ νδρου και δαπ δου ε ναι δυνατ η κ λιση χωρ ς ολ σθηση ; Δ νεται η ροπ αδρ νειας του κυλ νδρου και της τροχαλ ας ως προς τους ξον ς τους =, =10 /. [Απά τηση:a) ιά, ) /, 1 /, ) 3, 4, ) 0,05 ] 1. Στη διάταξη του σχήµατος δίνονται: M=4 Kg, R=0,5 m, m=0,5 Kg, g=10 (συντελεστής τριβής ολίσθησης µεταξύ σώµατος (m) (M,R) F (m) και δαπέδου). Στο σώµα (m) ασκείται σταθερή οριζόντια δύναµη (F), έτσι ώστε να περι-. ///////// // ( µ ) ///////// στρέφεται η τροχαλία (M, R) και το νήµα να //////////////////// είναι οριζόντιο. Τη χρονική στιγµή t o =0 αρχίζει η κίνηση του συστήµατος. Αν µετά από χρόνο t=6 s η στροφορµή της τροχαλίας είναι L=1 Kg m / s, να βρεθούν: α) Η επιτάχυνση (α cm ) του κέντρου µάζας του σώµατος (m). β) Το µέτρο της δύναµης ( F). γ) Το µέτρο της δύναµης στην τροχαλία από τον άξονα περιστροφής της. ίνεται η ροπή αδράνειας της τροχαλίας ως προς τον άξονα περιστροφής της I cm = 1 MR. [ Απ. α) α cm = m/s, β) F=7,5, γ) A = 1616 Ν ]. Στη διάταξη του σχήµατος το <<βαρούλκο>> έχει M= Kg, R=0, m, r=0,1 m, η τροχαλία m 1 =1 Kg, r=0,1 m και το σώµα m=1 Kg. Το σύστηµα αφήνεται ελεύθερο και το σώµα (m) κατεβαίνει, ενώ το <<βαρούλκο>> κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει. Να βρεθούν: α) η επιτάχυνση α cm του σώµατος (m), β) η επιτάχυνση α cm του <<βαρούλκου>>. (M) r R ////////////////////// (m 1,r) m 78

163 3. Οι δύο ομόκεντροι δίσκοι του σχήματος έχουν ακτίνες R=0,4m και r=0,1m, είναι συγκολλημένοι και το σύστημά τους έχει συνολική μάζα, m=4kg και ροπή αδράνειας Ι=0,36kgm. Γύρω από το μικρό κύλινδρο είναι τυλιγμένο αβαρές νήμα στο άκρο του οποίου ασκούμε δύναμη μέτρου F=0N στο άκρο του νήματος Α με τον τρόπο που βλέπουμε στο σχήμα. Να υπολογιστούν: α. Η γωνιακή επιτάχυνση του συστήματος και η επιτάχυνση του άκρου Α. β. Το μέτρο και η κατεύθυνση της στατικής τριβής, Τ. γ. Τη χρονική στιγμή t 0 =0 που άρχισε να εφαρμόζεται η δύναμη, το σύστημα ήταν ακίνητο και το νήμα ξετυλιγμένο κατά 0,3m. Mετά πόσο χρόνο το νήμα έχει τυλιχτεί όλο στον κύλινδρο και πόση είναι η μετατόπιση του κέντρου μάζας στο ίδιο χρονικό διάστημα; α. α γν =6rad/s, α Α = 1,8m/s, β. Τ=10,4Ν, αριστερά, γ. t=1s, L=1,m 4.Δύο κύλινδροι με ακτίνες R και r με R=r αντιστοίχως είναι συνδεδεμένοι έτσι ώστε να σχηματίζουν ένα αυλάκι στο οποίο είναι τυλιγμένο αβαρές σχοινί και βρίσκονται πάνω σε οριζόντια επίπεδη επιφάνεια. Η μάζα του συστήματος είναι m και η ροπή αδράνειας ως προς άξονα που διέρχεται από το κοινό τους κέντρο και είναι κάθετος σ αυτούς είναι Ι. Δύναμη μέτρου F ασκείται στο άκρο του σχοινιού, έτσι ώστε η διεύθυνσή της να σχηματίζει γωνία φ με το οριζόντιο επίπεδο και βάζει το σύστημα σε κίνηση. α. Να βρεθεί η επιτάχυνση του κέντρου μάζας του συστήματος, ώστε ο το σύστημα να κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει. β. Για ποιες τιμές της γωνίας φ το σύστημα θα κυλήσει προς τα αριστερά; α. α=fr(rσυνφ r)/(ι+mr ), β.φ> Νήμα αβαρές συνδέει σώμα μάζας m 1 =kg με το κέντρο Ο του τροχού που έχει μάζα Μ=1kg ακτίνα R=0,1m και ροπή αδράνειας ως προς άξονα που περνάει από το κέντρο Ο, Ι O =(1/)ΜR. H σύνδεση γίνεται μέσω τροχαλίας μάζας m=1kg και ακτίνας r=0,05m η οποία θεωρείται ομογενής δίσκος με ροπή αδράνειας ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο της Κ και είναι κάθετος σ αυτήν Ι Κ =(1/)mr.Αν αφήσουμε το σώμα να πέσει και ο τροχός κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει, να υπολογιστούν: α. Η επιτάχυνση του σώματος. β. Η γωνιακή επιτάχυνση του τροχού. γ.h γωνιακή επιτάχυνση της τροχαλίας. δ. Η γωνία που θα έχει διαγράψει ένα σημείο του τροχού μέσα στο χρόνο που θα χρειαστεί το σώμα για να μετατοπιστεί κατά 10cm.Δίνεται g=10m/s. α. α=5m/s, β. α γν =50rad/s, γ) α γν =100rad/s, δ. θ=1rad 79

164 6. Στο σύστημα που φαίνεται στο σχήμα ο ομογενής κύλινδρος, μάζας Μ=8kg και ακτίνας R, έχει ροπή αδράνειας ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο του και είναι κάθετος σ αυτόν, Ι =ΜR /, ενώ η Κ τροχαλία είναι αβαρής. Σώμα Σ έχει μάζα m=1kg και συνδέεται με τον κύλινδρο μέσω αβαρούς νήματος το οποίο δεν ολισθαίνει μέσα στο αυλάκι της τροχαλίας και αφήνεται να πέσει. Το νήμα είναι τυλιγμένο μέσα σε ειδικό αυλάκι που είναι χαραγμένο στην επιφάνειά του κυλίνδρου. Να υπολογιστούν: α. Η επιτάχυνση του κέντρου μάζας, Κ του κυλίνδρου, αν αυτός κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει. β. Η τάση του νήματος, F. γ. Η μετατόπιση του κέντρου μάζας του κυλίνδρου στον οριζόντιο άξονα, όταν η μετατόπιση του σώματος στον κατακόρυφο άξονα είναι dy=1m. Δίνεται g=10m/s. α. α Κ =1,5m/s, β. F=7,5N, γ. dx=0,5m 7. Δύο κυλινδρικοί δίσκοι έχουν ίδια μάζα m=kg και ίδια ακτίνα R=0,m και ροπή αδράνεια ως προς τον άξονα συμμετρίας τους και περιστροφής τους, Ι=(1/)mR. O ένας δίσκος μπορεί να στρέφεται χωρίς τριβές γύρω από σταθερό άξονα, όπως φαίνεται στο σχήμα, ενώ αβαρές λεπτό νήμα είναι τυλιγμένο γύρω και από τους δύο δίσκους. Αν αφήσουμε το δεύτερο δίσκο ελεύθερο αυτός πέφτει ενώ ταυτόχρονα περιστρέφεται. Δίνεται g=10m/s. Να υπολογιστούν: α. Η επιτάχυνση του κέντρου μάζας του κάτω δίσκου. β. Η τάση του νήματος, γ. Η γωνιακή επιτάχυνση του κάθε δίσκου. α. α=8m/s, β. Τ=4Ν, γ. α γν =0rad/s 8.. ύο όµοιοι συµπαγείς δίσκοι, βάρους w και ακτίνας r, βρίσκονται ακίνητες στη θέση του σχήµατος. Παραλείποντας την τριβή στον άξονα περιστροφής, να υπολογίσετε την επιτάχυνση α cm του κέντρου Κ του δίσκου που πέφτει. 4g [ Απ. α cm = ] 5 Oi r r ik υ cm = ω r w 9. Η διπλ τροχαλ α του σχ ματος μ ζας =6 αποτελε ται απ δ ο κολλημ νες τροχαλ ες ακτ νων =1 και =0,5 που χουν κοιν ξονα περιστροφ ς. Στα αυλ κια των τροχαλι ν χουμε τυλ ξει δ ο αβαρ ν ματα μεγ λου μ κους στα κρα R των οπο ων χουμε συνδ σει δ ο σ ματα Σ Σ 1 και Σ με μ ζες αντ στοιχα =4 r και =. Την χρονικ στιγμ =0 αφ νουμε το σ στημα ελε θερο να κινηθε. Αν η διπλ τροχαλ α εκτελε κ λιση χωρ ς Σ ολ σθηση και τα ν ματα δεν γλιστρο ν στα 1 αυλ κια της τροχαλ ας, να βρεθο ν : 80

165 α) η γωνιακ επιτ χυνση της διπλ ς τροχαλ ας β) οι τ σεις των νημ των γ) η τιμ της στατικ ς τριβ ς της διπλ ς τροχαλ α και του εδ φους και δ) οι μετατοπ σεις των σωμ των Σ 1 και Σ την χρονικ στιγμ. Δ νεται η ροπ αδρ νειας της διπλ ς τροχαλ ας προς τον ξον της = 5, =10 / [Απά τηση: a) 1 /, ) 16, 4, ) 3, ) 1, 4 ] 30. Το «γιο γιο» του σχήματος έχει μορφή ομογενούς δίσκου μάζας m ακτίνας R και αφήνεται να πέσει χωρίς τριβές με τον αέρα, ενώ το ελεύθερο άκρο του νήματος που είναι τυλιγμένο γύρω του στηρίζεται σε ακλόνητο σημείο της οροφής. Όταν ξεκινάει την πτώση του, η περιφέρειά του εφάπτεται της οροφής. Να υπολογιστούν: α. Η επιτάχυνση του κέντρου μάζας του και η τάση του νήματος. β. Το χρονικό διάστημα που περνάει από τη στιγμή που αρχίζει η πτώση μέχρι να ακουμπήσει η περιφέρειά του στο πάτωμα. Δίνονται το g, η ροπή αδράνειας, Ι=mR / και το ύψος h από την οροφή ως το δάπεδο. α. α κ =g/3, Τ=mg/3, β. 31. Ο κ λινδρος του σχ ματος χει μ ζα m, ακτ να R και ροπ αδρ νειας = 1/. Ο κ λινδρος χει τυλιγμ νο γ ρω του αβαρ ς ν μα, στο ελε θερο κρο του οπο ου ασκο με σταθερ κατακ ρυφη δ ναμη F. Θεωρο με τι το ν μα παραμ νει συνεχ ς κατακ ρυφο και η επιτ χυνση της βαρ τητας ε ναι g. α υπολογ σετε την επιτ χυνση α K του κ ντρου μ ζας του κυλ νδρου και τη δ ναμη F ταν η επιτ χυνση του σημε ου Γ χει μ τρο: α. =0 β. = γ. = δ. =3 [Απ. /3, /3,0, /3, /3, /3,, /3] 3.Σφαίρα ηρεμεί πάνω σε οριζόντια τραχιά επιφάνεια με την οποία ο συντελεστής τριβής ολίσθησης είναι μ=0, και θεωρείται ίσος με το συντελεστή στατικής τριβής. Με κατάλληλο χτύπημα δίνουμε τη χρονική στιγμή t 0 =0, στο κέντρο μάζας της σφαίρας ταχύτητα υ 0 =7m/s με διεύθυνση παράλληλη προς το έδαφος, ενώ την ίδια στιγμή η γωνιακή της ταχύτητα είναι μηδέν, ω 0 =0. Να υπολογιστούν: α. Η χρονική στιγμή t 1 κατά την οποία αρχίζει η σφαίρα να κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει. β. Το αντίστοιχο διάστημα που πρέπει να διανύσει το κέντρο μάζας ώστε να συμβεί αυτό. Η ροπή αδράνειας της σφαίρας ως προς άξονα συμμετρίας της είναι Ι =mr Κ /5. α. t 1 =1s, β. s=6m 81

166 33. Σφα ρα ακτ νας =1 και μ ζας m ρ χνεται κατ μ κος οριζ ντιας επ πεδης επιφ νειας με αρχικ ταχ τητα =10 / και αρχικ γωνιακ ταχ τητα ω 0 με τη φορ που φα νεται στο σχ μα. α υπολογ σετε μετ π σο χρ νο θα σταματ σει η ολ σθηση της σφα ρας και θα αρχ σει κ λιση, στις περιπτ σεις: i) ω 0 = 4 rad/s ii) ω 0 = 480 rad/s iii) ω 0 = 5 rad/s α θεωρ σετε θετικ φορ των αξ νων x και z αυτ ν που σημει νεται στο σχ μα, στε, ταν η γωνιακ ταχ τητα ω ε ναι θετικ ( ξονας z) να ε ναι θετικ και η αντ στοιχη γραμμικ ταχ τητα ωr του σημε ου Α της σφα ρας ( ξονας x). Η ροπ αδρ νειας της σφα ρας ως προς ξονα που περν ει απ το κ ντρο της ε ναι =0,4, ο συντελεστ ς τριβ ς ολ σθησης σφα ρας - επιφ νειας ε ναι =0, και =10 /. [Απ. s, 70 s, 5 s] 34. Ο κ λινδρος του σχ ματος, μ ζας m και ακτ νας R, μπορε να κυλ εται χωρ ς να ολισθα νει στο οριζ ντιο επ πεδο. Απομακρ νουμε τον κ λινδρο απ τη θ ση ισορροπ ας στη διε θυνση του ελατηρ ου και στη συν χεια τον αφ νουμε ελε θερο. Αν στη θ ση ισορροπ ας του κυλ νδρου το ιδανικ ελατ ριο, σταθερ ς k, χει το φυσικ του μ κος, να αποδε ξετε τι ο ξονας του κυλ νδρου θα κ νει αρμονικ ταλ ντωση. Δ νεται για τον κ λινδρο: =. [ = ] 8

167 35. To στερεό του σχήµατος αποτελείται από δύο όµοιους δίσκους ακτίνας R 1 =40cm ο καθένας και ανάµεσά τους βρίσκεται ένας κύλινδρος, που έχει ακτίνα R =0cm. Οι δίσκοι 1 και είναι κολληµένοι στις Γ βάσεις του κυλίνδρου και αποτελούν ένα σώµα (καρούλι). Στην περιφέρεια του R 1 R κυλίνδρου ακτίνας R έχουµε τυλίξει αβαρές µη εκτατό νήµα αµελητέου πάχους. Β Με το χέρι µας τραβάµε την άκρη Α του νήµατος οριζόντια. και ο άξονας περιστροφής του στερεού (καρούλι ) που διέρχεται από το κέντρο µάζας του από την ηρεµία, αρχίζει να επιταχύνεται µε σταθερή επιτάχυνση α = m/s Να βρεθούν: α. η γωνιακή επιτάχυνση του στερεού β. η ταχύτητα που έχει το ανώτερο (Γ) και το κατώτερο (Β) σηµείο του δίσκου 1 σε χρόνο t 1 = 5s από τη χρονική στιγµή t =0 που άρχισε η κίνηση. γ. Να κάνετε σε κοινούς άξονες τα διαγράµµατα των ταχυτήτων των ανώτερων σηµείων του δίσκου 1 (ή ) και του κυλίνδρου, µε το χρόνο δ. Πόσες στροφές έχει κάνει το καρούλι σε χρόνο t = 8s ε. Πόσο έχει µετατοπιστεί το σηµείο Α τη χρονική στιγµή t 3 = 10s 1 υ Β Ε υ Ε υ Γ Α 36. To στερεό του σχήµατος αποτελείται από δύο όµοιους δίσκους ακτίνας R 1 =50cm ο καθένας και ανάµεσά τους βρίσκεται ένας Β κύλινδρος, που έχει ακτίνα R =5cm. υ Β Α F Οι δίσκοι 1 και είναι κολληµένοι στις R βάσεις του κυλίνδρου και αποτελούν ένα σώµα (καρούλι). Στην περιφέρεια του R 1 R κυλίνδρου ακτίνας R Γ έχουµε τυλίξει αβαρές υ Γ µη εκτατό νήµα αµελητέου πάχους. Με το χέρι µας τραβάµε την άκρη Α του νήµατος οριζόντια. και ο άξονας περιστροφής του στερεού (καρούλι ) που διέρχεται από το κέντρο µάζας του, από την ηρεµία, αρχίζει να επιταχύνεται µε σταθερή επιτάχυνση α CM. Παρατηρούµε ότι το σηµείο Α σε χρόνο t =s έχει µετατοπιστεί κατά s=6m. Να βρεθούν: α. η επιτάχυνση του κέντρου µάζας α CM και η γωνιακή επιτάχυνση του στερεού β. η ταχύτητα που έχει το ανώτερο σηµείο (β) του και το κατώτερο σηµείο (Γ) του κυλίνδρου σε χρόνο t 1 = 5s από τη χρονική στιγµή t =0 που άρχισε η κίνηση. γ. Πόσες στροφές έχει κάνει το καρούλι σε χρόνο t = 4s 83

168 37. Στη διάταξη του σχήµατος η <<ρόδα>> (w) στρέφεται µε γωνιακή ταχύτητα ω ο. Η αβαρής ράβδος (ΑΒ) αποτελεί ένα σύστηµα φρένου. Ασκώντας κατακόρυφη δύναµη F στην άκρη Β της ράβδου καταφέρνουµε ώστε η <<ρόδα>> να σταµατήσει σε χρόνο t. l ίνονται: (ΑΒ)=l, (ΑΓ)=, I cm(ρόδας), ακτίνα <<ρόδας>> r. Να βρεθεί ο συντελεστής τριβής µεταξύ ρά- 3 βδου και <<ρόδας>>. 3 I [ Απ. cm ωο t µ= ] 9 F r t 60 oγ A B F (w) //////////// 37 Ένας στερεός (συµπαγής) οµο(ιο)γενής κύλινδρος, βάρους w και ακτίνας R στηρίζεται σε ένα κεκλιµένο επίπεδο όπως φαίνεται στο σχήµα. Ένα νήµα είναι τυλιγµένο γύρω από την περιφέρειά του και έχει συνδεθεί µε τον <<τοίχο>> στο σηµείο B και είναι παράλληλο στο κεκλιµένο επίπεδο. Να υπολογίσετε την επιτάχυνση α cm του κυλίνδρου κατά την κίνησή του προς τα κάτω του επιπέδου, αν ο συντελεστής τριβής στο σηµείο επαφής είναι μ=1/3. [ Απ. α cm = 0,355g ] w B T R x i O w w y A φ= 60 o f 38..Μέα ομογενάς και ισοπαχάς ρϊβδος που Ϋχει μάκοςl=1m και μϊζα =1 περιστρϋφεται σε κατακσρυφο επέπεδο γτρω απσ το αρθρωμϋνο Ϊκρο της Ο χωρές τριβϋς. ΚΪποια χρονικά στιγμά η ρϊβδος βρέσκεται σε θϋση που σχηματέζει με τον ορέζοντα γωνέα με =0,8 και Ϋχει γωνιακά ταχττητα περιστροφάς = /. Να υπολογέσετε : N α) τη γωνιακά επιτϊχυνση της ρϊβδου και β) τη δτναμη που ασκεέ η Ϊρθρωση στη ρϊ- N y βδο στη θϋση αυτά. Δένεται στι η ροπά αδρϊνειας της ρϊβδου ως φ Ο προς τον Ϊξονα που περνϊ απσ το κϋντρο μϊζας της και εέναι κϊθετος σε αυτά = m 1/1 και η επιτϊχυνση της βαρττητας εέναι έση με =10 /. ω mg θ N x [Απ ντηση: α)1 /, ) 17, =0,5 ] 84

169 Ερωτήσεις Στο θεµελιώδη νόµο της στροφικής κίνησης - στη στροφορµή και στην αρχή διατήρησης της στροφορµής Α. ανοικτού τύπου 4.1. Πώς προσδιορίζεται το µέτρο της στροφορµής ενός στερεού σώµατος το οποίο περιστρέφεται γύρω από κάποιο άξονα και ποια είναι η διεύθυνση και η φορά της στροφορµής αυτού του στερεού; 4.. Τι ονοµάζουµε στροφορµή σε ένα σύστηµα σωµάτων ; 4.3. Τι ονοµάζουµε σπιν (spin) ; Ποια ανάγκη µας ώθησε στον ορισµό του ; Να αναφέρετε δύο σώµατα που έχουν σπιν Τι καλούµε στροφορµή υλικού σηµείου και ποια είναι η διεύθυνση και η φορά της στροφορµής του υλικού σηµείου; 4.5. Ποια είναι η γενικότερη διατύπωση του θεµελιώδους νόµου της στροφικής κίνησης 4.6. Να διατυπώσετε τη διατήρηση της στροφορµής: α) για ένα σώµα και β) για ένα σύστηµα σωµάτων 4.7..Η στροφορµή ενός στερεού σώµατος µένει σταθερή αν η συνισταµένη των ροπών των δυνάµεων που ασκούνται στο σώµα είναι µηδέν ; Γιατί ; 4.8. Γιατί συµπτύσσουν τα χέρια και τα πόδια τους οι αθλητές ή οι ακροβάτες όταν θέλουν να κάνουν πολλές περιστροφές ; 4.9. Τι πρέπει να κάνει µια αθλήτρια του καλλιτεχνικού πατινάζ που στριφογυρίζει στο παγοδρόµιο, για να µεγαλώσει ή να µικρύνει τη συχνότητα περιστροφής της και γιατί; Γιατί οι αστέρες νετρονίων ή pulsars περιστρέφονται µε πολύ µεγάλη συχνότητα ; Μία αθλήτρια του καλλιτεχνικού πατινάζ περιστρέφεται πάνω σε πάγο µε τα χέρια της ανοικτά. Κάποια στιγµή συµπτύσσει τα χέρια της κοντά στο στήθος της και η ροπή αδράνειας της µεταβάλλεται. Η γωνιακή ταχύτητά της αυξήθηκε ή µειώθηκε και γιατί ; 4.1. Ένα παιδί κάθεται σε κάθισµα το οποίο µπορεί να στρέφεται χωρίς τριβές. Στα χέρια του το παιδί αυτό κρατάει δύο µικρά βάρη. Το κάθισµα στρέφεται µε γωνιακή ταχύτητα ω όταν το παιδί έχει τα χέρια του µαζεµένα στο στήθος. Τι θα συµβεί αν το παιδί ανοίξει τα χέρια του (έκταση) και γιατί ; 4.13 Στον παρακάτω πίνακα στη στήλη I αναφέρονται διάφορα φυσικά µεγέθη, ενώ στη στήλη II αναφέρονται µονάδες µέτρησης των µεγεθών στο ( S.I) Να γράψετε τους 85

170 . αριθµούς της στήλης Ι και ακριβώς δίπλα σε κάθε αριθµό ένα γράµµα από τη στήλη ΙΙ ώστε να δηµιουργείται σωστή αντιστοίχιση. Ένα δεδοµένο της στήλης ΙΙ περισσεύει Στήλη Ι Στήλη ΙΙ 1. Ροπή αδράνειας α. rad/s. Στροφορµή β N m 3. Γωνιακή ταχύτητα γ. Kg m 4. Ροπή δύναµης δ. m/s 5. Ένταση ηλεκτρικού πεδίου ε. V/m στ. Kg m /s Εξετάσεις Ελλήνων εξωτερικού ύο ράβδοι ΑΒ και Γ έχουν ίδιες διαστάσεις και συγκολλούνται στο ένα άκρο τους όπως στο σχήµα. Η ράβδος ΑΒ ψ αποτελείται από υλικό που έχει διπλάσια χ πυκνότητα από το υλικό της ράβδου Γ. Β Γ Αυτό το στερεό περιστρέφεται διαδοχικά Α γύρω από δύο άξονες χ χ και ψ ψ οι οποίοι είναι κάθετοι στο σώµα και διέρχονται από τα χ ψ άκρα Α και του στερεού που προέκυψε Να βρείτε το λόγο των στροφορµών του στερεού για τους δύο άξονες αν το στερεό έχει την ίδια γωνιακή ταχύτητα και στις δύο περιπτώσεις. ίνεται ότι για κάθε ράβδο ισχύει Ι cm =1/1ΜL Ο οριζόντιος δίσκος (1) έχει µάζα m 1 = Μ ακτίνα r 1 =R και στρέφεται µε σταθερή γωνιακή ταχύτητα ω 1. Ο οριζόντιος δίσκος () έχει µάζα m = 4Μ ακτίνα r =R και στρέφεται µε σταθερή γωνιακή r 1 ταχύτητα ω, αντίρροπη της ω, γύρω από τον ίδιο r άξονα όπως στο σχήµα. Ποιος πρέπει να είναι ο λόγος ω 1 /ω ώστε αν φέρουµε τους δίσκους σε επαφή να µείνουν τελικά ακίνητοι ; ίνεται ότι η ροπή αδράνειας κάθε δίσκου δίνεται από τη σχέση Ι cm =1/ΜR ω ω Να αντιστοιχίσετε τους ρυθµούς µεταβολής της πρώτης στήλης µε τα φυσικά µεγέθη της δεύτερης α. Ρυθµός µεταβολής της ταχύτητας 1. Συνισταµένη δύναµη β. Ρυθµός µεταβολής της ορµής. Συνισταµένη ροπή γ. Ρυθµός µεταβολής της γωνιακής ταχύτητας 3. Ροπή αδράνειας δ. Ρυθµός µεταβολής της ενέργειας 4. Επιτάχυνση ε. Ρυθµός µεταβολής της στροφορµής 5. Γωνιακή επιτάχυνση 86

171 4.17. Ένας δίσκος έχει µάζα Μ =10Kg και ακτίνα R = 0,4m.. Στο δίσκο υπάρχει ένα κυκλικό λούκι ακτίνας r = 0,m που έχει κέντρο το Κ και είναι λείο. Μια µικρή σφαίρα µάζας m = 5Kg µπορεί να κινείται µέσα στο λούκι αυτό. Αρχικά το σύστηµα ισορροπεί. Κάποια στιγµή ο δίσκος αρχίσει να περιστρέφεται µε σταθερή γωνιακή ταχύτητα ω = 4 r/s γύρω από σταθερό άξονα χ χ ο οποίος είναι κάθετος στο επίπεδο του δίσκου και Μ διέρχεται από το κέντρο του Κ. Η ροπή αδράνειας του δίσκου είναι Ι= 1/ΜR α. Η γωνιακή ταχύτητα που θα αποκτήσει η σφαίρα είναι : i.ω = r/s ii. ω = 8r/s iii. ω = 16r/s iv. ω = 0r/s Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας Α r χ K χ R Ένας οµογενής κύλινδρος και µία οµογενής σφαίρα έχουν την ίδια ακτίνα και µπορούν να περιστρέφονται γύρω από σταθερό άξονα ο οποίος διέρχεται από το κέντρο µάζας τους. Τα δύο σώµατα αρχικά ηρεµούν και κάποια στιγµή ασκούµε σε αυτά ίσες ροπές. Να συγκρίνετε τη στροφορµή τους ύστερα από χρόνο t ίνεται ότι για τον κύλινδρο Ι κ = 1/ ΜR για τη σφαίρα Ι σ = /5 ΜR 4.19 ίσκος παιδικής χαράς περιστρέφεται περί κατακόρυφο άξονα κάθετο στο επίπεδό του διερχόµενο από το κέντρο Ο. Στο δίσκο δεν ασκείται καµία εξωτερική δύναµη. Ένα παιδί µετακινείται από σηµείο Α της περιφέρειας του δίσκου στο σηµείο Β πλησιέστερα στο κέντρο του. Τότε ο δίσκος θα περιστρέφεται: α. πιο αργά β. πιο γρήγορα Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. Α Β Ο Εξετάσεις Ο τροχός ενός ανεστραµένου ποδηλάτου εκτελεί 0 στροφές ανά λεπτό. Αν αντιστρέψουµε τη φορά της περιστροφής του τροχού και διατηρήσουµε σταθερό τον αριθµό περιστροφών ανά λεπτό, τότε αλλάζει: α. µόνο η ροπή αδράνειας του τροχού β. µόνο η στροφορµή του τροχού. γ. η ροπή αδράνειας και η στροφορµή του τροχού. Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας Επαναληπτικές 00 87

172 4.1. Καλλιτέχνης του πατινάζ περιστρέφεται γύρω από τον άξονά του, χωρίς τριβές. Στην αρχή ο καλλιτέχνης έχει τα χέρια του απλωµένα και στη συνέχεια τα συµπτύσσει. Ο καλλιτέχνης περιστρέφεται πιο γρήγορα, όταν έχει τα χέρια: α. απλωµένα β. συνεπτυγµένα Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας Εξετάσεις Υποθέτουµε ότι κλιµατολογικές συνθήκες επιβάλουν την µετανάστευση του πληθυσµού τη Γης προς τις πολικές ζώνες. Η κινητική ενέργεια λόγω περιστροφής της Γης γύρω από τον άξονά της : α. θα µείνει σταθερή β. θα ελαττωθεί γ. θα αυξηθεί Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας Επαναληπτικές Ένας κύλινδρος που είναι αρχικά ακίνητος και µπορεί να περιστραφεί γύρω από σταθερό άξονα του δέχεται την επίδραση σταθερής ροπής. Τη στροφορµή του κυλίνδρου σε συνάρτηση µε το χρόνο απεικονίζει το σχήµα L L L (i) (ii) (iii) Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας t t Απολυτήριες Εσπερινού 006 t 4.4. Χορεύτρια στρέφεται,χωρίς τριβές,έχοντας ανοικτά τα δύο χέρια µε σταθερή γωνιακή ταχύτητα µέτρου ω. Η χορεύτρια συµπτύσσοντας τα χέρια της αυξάνει το µέτρο της γωνιακής ταχύτητας περιστροφής σε 5 ω. Ο λόγος της αρχικής προς την τελική ροπή αδράνειας της χορεύτριας, ως προς τον άξονα περιστροφής της, είναι : 5 α.. 1, β., γ. 5 Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας Επαναληπτικές Ένας δίσκος 1 µε ροπή αδράνειας Ι 1 στρέφεται µε γωνιακή ταχύτητα ω 1 και φορά περιστροφής όπως φαίνεται στο σχήµα, γύρω από σταθερό κατακόρυφο άξονα που διέρχεται από το κέντρο του και είναι κάθετος στο επίπεδό του. Ένας δεύτερος δίσκος µε ροπή αδράνειας Ι = I, που αρχικά είναι ακίνητος, τοποθετείται πάνω στο δίσκο 1,ενώ αυτός περιστρέφεται, ετσι ώστε να έχουν κοινό άξονα περιστροφής, που διέρχεται από τα κέντρα των δύο δίσκων, όπως στο σχήµα

173 ω 1 1 ω Μετά από λίγο οι δύο δίσκοι αποκτούν κοινή γωνιακή ταχύτητα ω. Αν L 1 είναι το µέτρο της αρχικής στροφορµής του δίσκου 1, τότε το µέτρο της µεταβολής της στροφορµής του 1 είναι: i. 0 ii. 5 1 L1 iii 5 L1 Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση και να δικαιολογήσετε την επιλογή σας Β. Κλειστού τύπου Εξετάσεις Υλικό σηµείο µάζας m εκτελεί κυκλική κίνηση ακτίνας r. Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές και ποιες λανθασµένες ; Η στροφορµή του υλικού σηµείου έχει τη διεύθυνση : α. της γραµµικής του ταχύτητας. β. της γωνιακής του ταχύτητας. γ. του άξονα που είναι κάθετος στο επίπεδο της κυκλικής τροχιάς του και διέρχεται από το κέντρο της τροχιάς αυτής. δ. του άξονα που είναι παράλληλος στο επίπεδο της κυκλικής τροχιάς του και διέρχεται από το κέντρο της τροχιάς αυτής Ένα µηχανικό στερεό περιστρέφεται γύρω από σταθερό άξονα και η συνολική ροπή που αυτό δέχεται είναι σταθερή και διάφορη του µηδενός. Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές και ποιες λανθασµένες; α. Η στροφορµή του στερεού είναι σταθερή. β. Ο ρυθµός µεταβολής της στροφορµής είναι σταθερός και διάφορος του µηδενός. γ. Η γωνιακή ταχύτητα του στερεού είναι σταθερή. δ. Η γωνιακή επιτάχυνση του στερεού είναι σταθερή Στα άκρα Α και Β µιας αβαρούς ράβδου µήκους l βρίσκονται στερεωµένες δύο µικρές µάζες m και m αντίστοιχα. Η ράβδος περιστρέφεται γύρω από άξονα χ χ ο οποίος διέρχεται από σηµείο που απέχει από το Α d = 3 l και είναι κάθετος στη ράβδο. Το µέτρο της στροφορµής του στερεού ως προς τον άξονα περιστροφής είναι: α. L = mωl, β. L = 5 mωl, γ. L = 3 mωl, δ. L = 3 mωl Ποια από τις παραπάνω σχέσεις είναι η σωστή, να δικαιολογήσετε την απάντησή σας 89

174 4.9. Ένας ποδηλάτης κινείται σε οριζόντιο δρόµο µε σταθερή ταχύτητα υ cm µε κατεύθυνση από τη δύση προς την ανατολή. Οι τροχοί του ποδηλάτου κυλίονται χωρίς να ολισθαίνουν. Η κατεύθυνση της στροφορµής κάθε τροχού είναι προς: α. την ανατολή β. τη δύση γ. το νότο δ. το βορρά Ποια από τις παραπάνω προτάσεις είναι η σωστή Ένας ποδηλάτης κινείται σε οριζόντιο δρόµο µε σταθερή ταχύτητα υ cm =10m/s. Οι τροχοί του ποδηλάτου κυλίονται χωρίς να ολισθαίνουν. Ο κάθε τροχός έχει µάζα m = Kg και ακτίνα R= 0,5m. Αν θεωρήσουµε ότι όλη η µάζα του κάθε τροχού βρίσκεται συγκεντρωµένη στην περιφέρειά του τότε το µέτρο της στροφορµής του κάθε τροχού είναι: α. L = 5Κg m /s, β) L = 10Κg m /s, γ) L = 15Κg m /s, δ) L = 0Κg m /s Ποια από τις παραπάνω σχέσεις είναι η σωστή, να δικαιολογήσετε την απάντησή σας Ένας δίσκος περιστρέφεται γύρω από σταθερό άξονα µε γωνιακή ταχύτητα ω ο. Κάποια στιγµή ασκείται στο δίσκο σταθερή ροπή διάφορη του µηδενός. Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές και ποιες λανθασµένες; Η στροφορµή του δίσκου α. παραµένει σταθερή. β. µεταβάλλεται γραµµικά µε το χρόνο. γ. είναι ανάλογη µε το µέτρο της γωνιακής ταχύτητάς του. δ. έχει σταθερό ρυθµό µεταβολής Ένα στερεό σώµα περιστρέφεται γύρω L(Kg m /s) από σταθερό άξονα και το µέτρο της 0 στροφορµής του µεταβάλλεται όπως φαίνεται ω(r/s) στο διπλανό σχήµα 0 Η ροπή αδράνειας του στερεού είναι: α. I = 5Kg m, β. I = 10Kg.m, γ. I = 15Kg m, δ. I = 0Kg m Ποια από τις παραπάνω σχέσεις είναι η σωστή, να δικαιολογήσετε την απάντησή σας Ένας δίσκος περιστρέφεται γύρω από ω σταθερό άξονα. Η αλγεβρική τιµή της ω ο γωνιακής ταχύτητας του δίσκου µεταβάλλεται t όπως φαίνεται στο διπλανό σχήµα. 0 t 1 Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές και ποιες λανθασµένες; α. Τη χρονική στιγµή t 1 η στροφορµή του δίσκου αλλάζει φορά. β. Ο ρυθµός µεταβολής της στροφορµής του δίσκου είναι σταθερός. γ. Ο ρυθµός µεταβολής της στροφορµής του δίσκου είναι ανάλογος µε του χρόνου. δ. Το µέτρο της στροφορµής του δίσκου µικραίνει συνεχώς µε το χρόνο Ένας αθλητής του καλλιτεχνικού πατινάζ περιστρέφεται πάνω στον πάγο. Αρχικά ο αθλητής έχει τα χέρια του απλωµένα και στη συνέχεια τα συµπτύσσει κοντά στο στήθος του. Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές και ποιες λανθασµένες; 90

175 α. Η ροπή αδράνειας του αθλητή ως προς τον άξονα περιστροφής του αυξάνει. β. Η στροφορµή του αθλητή ως προς τον άξονα περιστροφής του αυξάνει. γ. Η στροφορµή του αθλητή ως προς τον άξονα περιστροφής του παραµένει σταθερή. δ. Η συχνότητα περιστροφής του αθλητή αυξάνει Ορισµένα αστέρια στο τελευταίο στάδιο της ζωής τους συρρικνώνονται αφού εξαντλήσουν τις πηγές ενέργειάς τους. Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές και ποιες λανθασµένες; Κατά τη συρρίκνωσή τους παρατηρείται ότι: α. η ροπή αδράνειάς τους µικραίνει β. η στροφορµή τους µειώνεται γ. η στροφορµή τους διατηρείται σταθερή. δ. η συχνότητα περιστροφής τους αυξάνει Ο τροχός του διπλανού σχήµατος έχει ροπή αδράνειας Ι και περιστρέφεται µε γωνιακή ταχύτητα σε κατακόρυφο επίπεδο γύρω από οριζόντιο άξονα. Με κατάλληλο µηχανισµό στρέφουµε τον δίσκο µέχρι αυτός να γίνει οριζόντιος χωρίς να αλλάξει το µέτρο της γωνιακής του ταχύτητας. Το µέτρο της µεταβολή της στροφορµής του είναι: α. L = Ιω, β. L = Ιω, γ. L = Ιω, δ. L = 0 Ποια από τις παραπάνω σχέσεις είναι η σωστή, να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. o ω Ένας δίσκος περιστρέφεται γύρω από σταθερό άξονα που διέρχεται από το κέντρο του και είναι κάθετος στον δίσκο. Η αλγεβρική τιµή της στροφορµής του δίσκου µεταβάλλεται όπως φαίνεται στο διπλανό σχήµα. Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές και ποιες λανθασµένες; α. Η ροπή που ασκείται στον δίσκο είναι σταθερή. L(Kg m /s) β. Η ροπή που ασκείται στον δίσκο µεταβάλλεται γραµµικά µε το χρόνο. γ. Ο ρυθµός µεταβολής της στροφορµής του είναι 10N m δ. Η γωνιακή ταχύτητα του δίσκου είναι σταθερή. Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας Αν ο όγκος της Γης µικρύνει λόγω ψύξης του πυρήνα της ενώ η ακτίνα περιστροφής της γύρω από τον Ήλιο παραµένει ίδια τότε : α. οι ηµέρες θα είναι µικρότερες β. οι ηµέρες θα είναι µεγαλύτερες γ. η διάρκεια του έτους θα είναι µικρότερη δ. το βάρος των σωµάτων που βρίσκονται πάνω σε αυτή θα είναι µικρότερο t(s) 91

176 . Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές και ποιες λανθασµένες; 4.39 Μικρή σφαίρα είναι δεµένη στην άκρη ενός νήµατος και µπορεί να διαγράφει κυκλική τροχιά ακτίνας R 1 πάνω σε λείο οριζόντιο K επίπεδο. Το νήµα διέρχεται από µία οπή που βρίσκεται στο κέντρο του επιπέδου όπως στο σχήµα. Τραβάµε το νήµα προς τα κάτω και παρατηρούµε ότι: A α. η στροφορµή της σφαίρας θα αυξηθεί F β. η γωνιακή ταχύτητα της σφαίρας θα αυξηθεί γ. η γωνιακή ταχύτητα της σφαίρας θα µειωθεί δ. η γραµµική ταχύτητα της σφαίρας θα αυξηθεί Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές και ποιες λανθασµένες; R 1 m Μία σφαίρα κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει κινούµενη κατά µήκος κεκλιµένου επιπέδου ( αρχικά ανέρχεται και στη συνέχεια κατέρχεται) α. Ο ρυθµός µεταβολής της στροφορµής της ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο µάζας της µεταβάλλεται β. Η φορά του διανύσµατος της στατικής τριβής παραµένει σταθερή γ. Η φορά του διανύσµατος της γωνιακής επιτάχυνσης µεταβάλλεται δ. Η φορά του διανύσµατος της γωνιακής ταχύτητας παραµένει σταθερή. Ποια από τις παραπάνω προτάσεις είναι η σωστή; Επαναληπτικές εξετάσεις 006 9

177 Απαντήσεις των ερωτήσεων στη στροφορµή - και στην αρχή διατήρησης της στροφορµής θεωρία από το βιβλίο γ- στ- 3α- 4β- 5ε I = I ω ω 1 = α,3- β,1 - γ,5- δ,6 - ε, 4.17 (iii) 4.18 L 1 =L 4.19 β 4.0 β 4.1 β 4. γ 4.3 (i) 4.4 β 4.5 (ii) 4.6 Λ,Σ,Σ,Λ 4.7 Λ,Σ,Λ,Σ 4.8 δ 4.9 δ 4.30 δ 4.31 Λ,Σ,Σ,Σ 4.3 β 4.33 Σ,Σ,Λ,Λ Λ,Λ,Σ,Σ Σ,Λ,Σ,Σ 4.36 β 4.37 Σ,Λ,Σ,Λ 4.38 Σ,Λ,Λ,Λ 4.39 Λ,Σ,Λ,Σ 4.40 β 93

178 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΡΟΦΟΡΜΗΣ 4.1.Ένα υλικ σημε ο μ ζας =10 περιστρ φεται σε επ πεδη καμπυλ γραμμη τροχι και κ ποια χρονικ στιγμ απ χει απ σημε ο Ο του επιπ δου της τροχι ς απ σταση =1. Αν η ταχ τητα του υλικο σημε ου αυτ την χρονικ στιγμ ε ναι ση με =5 / και σχηματ ζει γων α =30 ως προς την, να υπολογιστε και να σχεδιαστε η στροφορμ του υλικο σημε ου ως προς το Ο. L O r υ φ m [Απ ντηση:,510 / ] 4..Ομογεν ς σφα ρα μ ζας =5 και ακτ νας =0,m περιστρ φεται γ ρω απ ξονα που δι ρχεται απ το κ ντρο της με γωνιακ ταχ τητα μ τρου ω=10 rad/s. α υπολογ σετε τη στροφορμ (spin) της σφα ρας εξαιτ ας της ιδιοπεριστροφ ς της. Δ νεται η ροπ αδρ νειας της σφα ρας ως προς τον ξονα που περν απ το κ ντρο μ ζας της ε ναι ση με =/5. [Απ ντηση: 0,8 / ] 4,3. επτ ς ομογεν ς και ισοπαχ ς κ λινδρος χει ακτ να =0,5, μ ζα =4 και περιστρ φεται γ ρω απ κατακ ρυφο σταθερ ξονα, που περν απ το κ ντρο του και ε ναι κ θετος στο επ πεδ του με γωνιακ ταχ τητα =10 /. Α) Ασκο με ροπ και στρ φουμε τον ξονα του κυλ νδρου κατ 90, προς τα δεξι, χωρ ς να μεταβληθε η τιμ της γωνιακ ς του ταχ τητας του. Β) Ασκο με ροπ σταθερο μ τρου τσι στε να χουμε αναστροφ της φορ περιστροφ ς του κυλ νδρου χωρ ς μεταβολ του μ τρου της γωνιακ ς ταχ τητας περιστροφ ς του. Αν και για στις δ ο περιπτ σεις οι μεταβολ ς γιναν σε χρονικ δι στημα =5 : α) να σχεδι σετε τα διαν σματα των στροφορμ ν του κυλ νδρου για κ θε περ πτωση και να υπολογ σετε τα μ τρα τους. β) να σχεδι σετε και να υπολογ σετε το μ τρο της μεταβολ ς της στροφορμ ς για κ θε περ πτωση γ) να σχεδι σετε και να υπολογ σετε το μ τρο της ροπ ς που ασκ θηκε σε κ θε περ πτωση. Δ νεται η ροπ αδρ νειας του ομογενο ς κυλ νδρου ως προς τον ξον του =. [Απ ντηση: Α) α) 5 /, ) 5 /, ), B) a)5 /, ) 10 /, ) ] 94

179 4.4. α σφα ρα ακτ νας =0,1 και μ ζας = κυλ εται χωρ ς να ολισθα νει στο εσωτερικ ακ νητου κο λου ημισφαιρ ου O ακτ νας =1 και κ ντρου Ο. ποια χρονικ στιγμ βρ σκεται σε να σημε ο της τροχι ς της που η ταχ τητα του κ ντρου μ ζας της ε ναι =5 /. α υπολογ σετε: ω α) τη στροφορμ της σφα ρας ως προς το κ ντρο Ο του ημικυκλ ου και r R β) το spin της σφα ρας, δηλ. την στροφορμ υ της σφα ρας γ ρω απ τον ξονα περιστροφ ς που περν απ το κ ντρο της. Δ νεται η ροπ αδρ νειας της σφα ρας ως προς ξονα που περν απ το κ ντρο μ ζας της ε ναι ση με =/5. [Απ ντηση: α) 9 /, ) 0,4 / ] 4.5. α ισοπαχ ς και ομογεν ς ρ βδος ΟΑ, μ κους =1 και μ ζας =3, περιστρ φεται με σταθερ γωνιακ ταχ τητα γ ρω απ κατακ ρυφο ξονα που περν απ το κρο της Ο και ε ναι κ θετος σε αυτ. Αν ε ναι γνωστ τι η ταχ τητα του κ ντρου μ ζας της ρ βδου ε ναι ση με = /, να υπολογ σετε την στροφορμ της ρ βδου ως προς τον ξονα περιστροφ ς. Δ νεται η ροπ αδρ νειας της ρ βδου ως προς τον ξονα που περν απ το κ ντρο μ ζας της και ε ναι κ θετος σε αυτ =1/1. [Απ ντηση: 4 / ] 4.6. α ισοπαχ ς και ομογεν ς ρ βδος ΟΑ, μ κους =3 και μ ζας =1, μπορε να περιστρ φεται χωρ ς τριβ ς γ ρω απ κατακ ρυφο ξονα που περν απ το κρο της Ο και Ο l F ε ναι κ θετος σε αυτ. Αρχικ η ρ βδος ε ναι A ακ νητη και την χρονικ στιγμ =0 ασκε ται στο κρο της Α σταθερο μ τρου δ ναμη =10 που ε ναι συνεχ ς κ θετη σε αυτ. α υπολογ σετε την χρονικ στιγμ =4 α) την στροφορμ της ρ βδου ως προς τον ξονα περιστροφ ς της και β) τον ρυθμ μεταβολ ς της στροφορμ της ρ βδου ως προς τον διο ξονα. Δ νεται η ροπ αδρ νειας της ρ βδου ως προς τον ξονα που περν απ το κ ντρο μ ζας της και ε ναι κ θετος σε αυτ =1/1. [Απ ντηση: α) 10 / ) 30 / ] 95

180 4.7.Στα κρα ισοπαχο ς ομογενο ς και καμπτης ρ βδου μ κους =1 και μ ζας =6, ε ναι στερεωμ νες δ ο σφα ρες μαζ ν = 1 και =3. Το σ στημα μπορε να περιστραφε m γ ρω απ οριζ ντιο ξονα κ θετο στη ρ βδο, που περν απ το μ σο της. Η ρ βδος αρχικ σχηματ ζει γων α 60 0 με το οριζ ντιο επ πεδο που περν απ τον ξονα περιστροφ ς της, και στη συν χεια την αφ νουμε ελε θερη α) α υπολογιστε η ροπ αδρ νειας του συστ ματος ως προς τον ξονα περιστροφ ς β) α υπολογιστε η γωνιακ επιτ χυνση του συστ ματος, αμ σως μ λις αφεθε ελε θερο του. γ) α υπολογιστε η στροφορμ του, ταν η γωνιακ του m 1 ταχ τητα ε ναι 5 rad/s. Δ νεται η ροπ αδρ νειας της ρ βδου ως προς ξονα που περν απ το κ ντρο μ ζας της και ε ναι κ θετος σε αυτ =, g=10 m/s. Τριβ ς δεν υπ ρχουν. [Απ ντηση: α) 1,5, ) 10/3 rad/s, ) 7,5 kg m /s ] 4.8. Ομογεν και ισοπαχ ς ρ βδος μ κους =4 και μ ζας =3 χει στα κρα της στερεωμ να δ ο μικρ σ ματα με μ ζες =4 και =1 και περιστρ φεται σε οριζ ντιο επ πεδο γ ρω απ κατακ ρυφο ξονα, που ε ναι κ θετος στη ρ βδο, και m απ χει απ σταση /4 απ να κρο της, πως m 1 M φα νεται στο σχ μα. Το μ τρο της στροφορμ ς Ο του συστ ματος ε ναι σο με40 / του σ ματος μ ζας ε ναι σο με /. α) α υπολογ σετε την ροπ αδρ νειας του συστ ματος ως προς τον ξονα περιστροφ ς β) α υπολογ σετε τη γραμμικ ταχ τητα περιστροφ ς των σημειακ ν μαζ ν β) ποια χρονικ στιγμ ασκε ται στο σ στημα σταθερ ροπ και σταματ μετ απ χρ νο4. α υπολογ σετε το μ τρο της σταθερ ς ροπ ς που ασκ θηκε στο σ στημα. Δ νεται η ροπ αδρ νειας της ρ βδου ως προς ξονα που περν απ το κ ντρο μ ζας της και ε ναι κ θετος σε αυτ = [Απ ντηση: α) 0, ) /,6 /, )10 ] 96

181 4.9. Το γιο-γιο του σχ ματος αποτελε ται απ λεπτ ομογεν συμπαγ κ λινδρο που χει μ ζα =1 και ακτ να =0.5. Γ ρω απ το αυλ κι του κυλ νδρου χει τυλιχτε πολλ ς φορ ς λεπτ μη εκτατ ν μα. Αρχικ ο κ λινδρος κρατι ται ακ νητος και τη χρονικ στιγμ =0 τον αφ νουμε να π σει, οπ τε το ν μα ξετυλ γεται και ο κ λινδρος περιστρ φεται γ ρω απ οριζ ντιο ξονα, ο οπο ος ταυτ ζεται με τον ξονα συμμετρ ας του. Το ν μα σε λη τη δι ρκεια της κ νησης του κυλ νδρου παραμ νει κατακ ρυφο, τεντωμ νο και δεν γλιστρ στο αυλ κι του κυλ νδρου. Τη στιγμ που χει ξετυλιχθε ν μα μ κους =1, η ταχ τητα του κ ντρου μ ζας του κυλ νδρου ε ναι = /. α) α υπολογ σετε τη ροπ αδρ νειας του κυλ νδρου ως προς τον ξονα περιστροφ ς του β) α υπολογ σετε το μ τρο του ρυθμο μεταβολ ς της στροφορμ ς του κυλ νδρου, καθ ς αυτ ς κατεβα νει. γ) Τη χρονικ στιγμ που η ταχ τητα του κ ντρου μ ζας του κυλ νδρου ε ναι = /, κ βουμε το ν μα. α υπολογ σετε το μ τρο της στροφορμ ς του κυλ νδρου ως προς τον ξονα περιστροφ ς του0.5 μετ τη στιγμ που κ πηκε το ν μα. δ) α κ νετε σε βαθμολογημ νους ξονες το δι γραμμα του μ τρου της στροφορμ ς σε συν ρτηση με το χρ νο απ τη χρονικ στιγμ =0, μ χρι τη χρονικ στιγμ. Δ νεται η ροπ αδρ νειας του ομογενο ς κυλ νδρου ως προς τον ξον του =, g=10 m/s. Τριβ ς δεν υπ ρχουν. [Απ ντηση: α) 16, )64 /, )64 / ] A 4.10Στο αυλ κι που υπ ρχει σε λεπτ κυλινδρικ σ μα μ ζας = και ακτ νας =0, χουμε τυλ ξει αβαρ ς μη εκτατ ν μα. Ασκο με δ ναμη στο ελε θερο κρο του ν ματος και αφ νουμε ελε θερο τον κ λινδρο να κινηθε α προς τα κ τω, στε ο ξονας που περν απ το κ ντρο του και ε ναι κ θετος στο επ πεδ του, να ε ναι συνεχ ς οριζ ντιος. Αν δ νεται τι το ν μα δεν γλιστρ στο αυλ κι του κυλ νδρου, η επιτ χυνση του ν ματος ε ναι σταθερ και ση με1 / και ο ρυθμ ς μεταβολ ς της στροφορμ ς του κυλ νδρου ε ναι 0,4 / A, να υπολογ σετε : α) την επιτ χυνση του κ ντρου μ ζας του κυλ νδρου, β) με ποια επιτ χυνση πρ πει να ανεβα νει το κρο του ν ματος στε ο κ λινδρος να μην εκτελε μεταφορικ κ νηση. 97

182 Δ νεται η ροπ αδρ νειας του ομογενο ς κυλ νδρου ως προς τον ξον του =, g=10 m/s. Τριβ ς δεν υπ ρχουν. [Απ ντηση: α) 1 /, )0 / ] 4.11.Δ ο σ ματα =3 και ε ναι δεμ να στα κρα μη εκτατο και αβαρο ς ν ματος το οπο ο ε ναι τυλιγμ νο πολλ ς φορ ς στο αυλ κι τροχαλ ας μ ζας = και ακτ νας =0,5. Aν δ νεται τι το σ στημα τροχαλ ας-μαζ ν ε ναι αρχικ ακ νητο, δεν υπ ρχουν τριβ ς, την χρονικ στιγμ =0 που αφ νουμε το σ στημα ελε θερο περιστρ φεται αντ θετα της φορ περιστροφ ς των δεικτ ν του ρολογιο και ο ρυθμ ς μεταβολ ς της στροφορμ ς της τροχαλ ας ε ναι σος με /, να υπολογ σετε: α) την επιτ χυνση των μαζ ν β) την μ ζα του σ ματος και γ) την στροφορμ της τροχαλ ας ταν η ταχ τητα του σ ματος ε ναι ση με4 /. δ) την δ ναμη που ασκε ο ξονας στην τροχαλ α. Δ νεται η ροπ αδρ νειας της τροχαλ ας ως προς τον ξονα περιστροφ ς της = και =10 /. [Απ. α)4 /, )1, ) /, δ)5 ] m 1 R m m 4.1Ο ομογεν ς δ σκος, μ ζας και ακτ νας R, του σχ ματος στρ φεται με σταθερ γωνιακ ταχ τητα ω ως προς οριζ ντιο ξονα, ο οπο ος δι ρχεται απ το κ ντρο του και ε ναι κ θετος στο επ πεδο του δ σκου. Στη περιφ ρεια του δ σκου ε ναι κολλημ νο να σ μα Σ μ ζας m και αμελητ ων διαστ σεων. ποια στιγμ κατ την οπο α η ακτ να Σ ε ναι οριζ ντια, πως φα νεται στο διπλαν σχ μα, το σ μα Σ αποκολλ ται απ το δ σκο α υπολογιστε π ση θα γ νει η περ οδος περιστροφ ς της γης αν λ γω ψ ξης ε- λαττωθε ο γκος της κατ 35%. Η γη θεωρε ται ομογεν ς σφα ρα. Δ νεται η ροπ αδρ νει ς της ως προς ξονα που περν απ το κ ντρο της = και0,75, =0,65. [Απ ντηση:18 h ] 98

183 4.14Ο μικρ ς ξ λινος κ βος του σχ ματος, μ ζας =0,8, ε ναι ακ νητος και συνδ εται στο κρο της Α, με ρ βδο μ κους =1 και μ ζας =0,3 της ο- πο ας το λλο κρο Ο μπορε να στρ φεται χωρ ς τριβ ς γ ρο απ κατακ ρυφο ξονα (η ρ βδος δεν ακουμπ στο δ πεδο). Βλ μα μ ζας =100, που κινε ται οριζ ντια και κ θετα στη ρ βδο με ταχ τητα =0 / σφην νεται στο κιβ τιο. ετ τη σ γκρουση που ε ναι πλαστικ, το συσ- Ο M σωμ τωμα κινε ται στρεφ μενο γ ρω απ τον - m ξονα. α) α υπολογιστε η γωνιακ ταχ τητα που απο- υ Α κτ το σ στημα αμ σως μετ την ενσφ νωση του m β βλ ματος. β) ετ την κρο ση το σ στημα διαγρ φει γων α,5 μ χρι να σταματ σει. α υπολογιστε η δ ναμη της τριβ ς ολ σθησης μεταξ ξ λινου κ βου και δαπ δου. Οι διαστ σεις του κιβωτ ου και του βλ ματος καθ ς και η χρονικ δι ρκεια της κρο σης θεωρο νται αμελητ ες. Δ νεται η ροπ αδρ νειας της ρ βδου ως προς ξονα που περν απ το κ ντρο μ ζας της και ε ναι κ θετος σε αυτ =, =10 /. [Απ ντηση: α) rad/s, ) 0,8 Ν ] 4.15.Π νω στην οριζ ντια κυκλικ περιστρεφ μενη εξ δρα της παιδικ ς χαρ ς, που χει μ ζα40 και ακτ να, στ κεται να παιδ, μ ζας0, ακριβ ς στο κ ντρο της. Η εξ δρα, μαζ με το παιδ, περιστρ φεται γ ρω απ κατακ ρυφο ξονα που περν απ το κ ντρο της με γωνιακ ταχ τητα μ τρου 1 /. α) ποια στιγμ το παιδ (το οπο ο θεωρε ται υλικ σημε ο) αρχ ζει να περπατ προς την περιφ ρεια της εξ δρας. α υπολογιστε η γωνιακ ταχ τητα του συστ ματος σε σχ ση με την απ σταση του παιδιο απ ο κ ντρο της εξ δρας και να γ νει η γραφικ της παρ σταση ως προς την. β) Όταν το παιδ φτ σει στην περιφ ρεια της εξ δρας πηδ απ αυτ με οριζ ντια ταχ τητα υ, εφαπτομ νη της εξ δρας. α υπολογιστε η, στε η εξ δρα να σταματ σει. Δ νεται η ροπ αδρ νειας της εξ δρας ως προς τον ξονα περιστροφ ς της =. Τριβ ς δεν υπ ρχουν. [Απ ντηση: α) /, ) / ] 99

184 4.16. Οι δ σκοι Α και Β του σχ ματος στρ φονται γ ρω απ τον διο ξονα αλλ με αντ θετες φορ ς. Ο δ σκος Α χει ροπ αδρ νειας ως προς τον ξονα περιστροφ ς =80 και γωνιακ ταχ τητα μ τρου = /, εν ο δ σκος Β χει ροπ α- A δρ νειας =10 και γωνιακ ταχ τητα μ τρου =3 /. B α) α υπολογιστε η στροφορμ του συστ ματος των δ ο δ σκων. β) Ο δ σκος Α αφ νεται να π σει π νω στον δ σκο Β. Ποια θα ε ναι η ν α γωνιακ ταχ τητα του συστ ματος; [Απ ντηση: α)00 /, )1 / ] 4.17.Ένα οριζ ντιο κυκλικ σκαμπ μπορε να στρ φεται χωρ ς τριβ ς γ ρω απ κατακ ρυφο ξονα ο οπο ος περν απ το κ ντρο του. Π νω στο σκαμπ κ θεται να παιδ, το οπο ο χει τα χ ρια του σε κταση και κρατ στο καθ να απ αυτ σ μα μ ζας = σε απ σταση απ τον ξονα περιστροφ ς =40. ποια στιγμ θ τουμε το τραπ ζι σε περιστροφ με συχν τητα =. Aν δ νεται τι η ροπ αδρ νειας του συστ ματος τραπ ζι-παιδ ως προς τον ξονα περιστροφ ς, δια για τις δ ο θ σεις και ση με =0,36. α) α υπολογιστε η στροφορμ του συστ ματος. β) Αν ο νδρας πλησι σει τα δ ο σ ματα προς το σ μα του, στε καθ να απ αυτ να απ χει πλ ον =10 απ τον ξονα περιστροφ ς, να βρεθε η ν α συχν τητα περιστροφ ς του τραπεζιο. γ) να υπολογιστε π σο μεταβλ θηκε η στροφορμ του συστ ματος τραπ ζι-παιδ. [Απ ντηση: α)8 /, ), )5,76 / ] 100

185 4.18. Οριζ ντιος δ σκος στρ φεται γ ρω απ κατακ ρυφο ξονα που περν απ το κ ντρο του, χωρ ς τριβ ς, με γωνιακ ταχ τητα μ τρου =0 /. ια σημειακ μ ζα =0,5 αφ νεται να π σει κατακ ρυφα και κολλ ει στον δ σκο σε απ σταση =0,4 απ το κ ντρο του, χωρ ς ο δ σκος να μεταβ λει το επ πεδο περιστροφ ς του. Αν η ν α γωνιακ ταχ τητα του δ σκου χει μ τρο =10 /, να βρε τε: α) τη ροπ αδρ νειας του δ σκου ως προς τον ξονα περιστροφ ς του, β) τη μεταβολ της στροφορμ ς του δ σκου. Σε τι οφε λεται αυτ η μεταβολ της στροφορμ ς; Δ νεται η ροπ αδρ νειας της εξ δρας ως προς τον ξονα περιστροφ ς της =. Τριβ ς δεν υπ ρχουν [Απ ντηση: α)810, ) 0,8 / ] 4.19.Η ροπ αδρ νειας εν ς αθλητ των καταδ σεων ως προς ξονα που περν απ το κ ντρο μ ζας του ε ναι, ταν βρ σκεται με το σ μα τεντωμ νο15 και ταν βρ σκεται με το σ μα συσπειρωμ νο8. Ο αθλητ ς πηδ απ το βατ ρα των10 δ νοντας στο σ μα του αρχικ στροφορμ 100 /. Π σες στροφ ς μπορε να κ νει μ χρι να φτ σει στο νερ α) ταν χει το σ μα τεντωμ νο και β) ταν χει το σ μα συσπειρωμ νο; Δ νεται η επιτ χυνση της βαρ τητας = 10 /, 1,4 και =3,14. [Απ ντηση: α) 1,5 στροφ ς, ),75 στροφ ς] 4.0.Η ομογεν ς και ισοπαχ ς ρ βδος ΟΑ μ ζας και μ κους =1,5 που ισορροπε κατακ ρυφα, ε ναι αρθρωμ νη μ σω του κρου της Ο σε οριζ ντια οροφ γ ρω απ την οπο α μπορε να περιστρ φεται χωρ ς τριβ ς. Βλ μα μ ζας =0, κινε ται οριζ ντια με ταχ τητα Ο =100 / και σε απ σταση =1 απ το κρο Ο της ρ βδου συγκρο εται με αυτ και ενσωματ νεται σε αυτ. Αν η M δι ρκεια της κρο σης ε ναι ση με =0,685 και η ταχ τητα d του κρου της ρ βδου αμ σως μετ απ την πλαστικ κρο ση ε ναι7,5 / να υπολογ σετε : α) τη μ ζα της ρ βδου β) τη μεταβολ της στροφορμ ς του βλ ματος πριν και μετ την κρο ση και m υ m d ω 1 R Α 101

186 γ) τη δ ναμη της ρθρωσης στη ρ βδο πριν, μετ απ τη κρο ση και δ) την οριζ ντια συνιστ σα της δ ναμης που ασκε η ρθρωση στη ρ βδο στην δι ρκεια της κρο σης (θεωρουμ νης σταθερ ς). Δ νεται η ροπ αδρ νει ς της ρ βδου ως προς ξονα που περν απ το κ ντρο της =, =10 /. [Απ ντηση: α),4, ) 19 /, )4, 76 δ) 7,75 ] 4.1.Στο κ ντρο πλατφ ρμας η οπο α ε ναι αρχικ ακ νητη, αλλ μπορε να περιστρ φεται χωρ ς τριβ ς γ ρω απ κατακ ρυφο ξονα που περν απ το κ ντρο της βρ σκεται ακ νητος νας νθρωπος που κρατ στο χ ρι του να τροχ ποδηλ του του οπο ου ο ξονας ε ναι κατακ ρυφος και μπορε να περιστρ φεται χωρ ς τριβ ς. Η ροπ αδρ νειας του συστ ματος πλατφ ρμας-ανθρ που ε ναι0 και του τροχο ε ναι0,8. Υποχρε νουμε τον τροχ να περιστραφε με συχν τητα 5 Hz τσι στε το δι νυσμα της γωνιακ ς ταχ τητ ς του να χει φορ προς τα π νω. α) Π ση γωνιακ ταχ τητα θα αποκτ σει το σ στημα πλατφ ρμα- νθρωπος β) Αν στρ ψουμε τον τροχ στε ο ξον ς του να γ νει κατακ ρυφος με το δι νυσμα της γωνιακ ς του ταχ τητας προς τα κ τω, π ση θα γ νει η συχν τητα περιστροφ ς του συστ ματος πλατφ ρμα- νθρωπος. [Απ ντηση: α) 0,4π rad/s, ) 0,4π rad/s ] 4. το μικρ σ μα του σχ ματος μ ζας = 0,, ε ναι δεμ νο στην μ α κρη ν ματος το οπο ο περν απ μια τρ πα εν ς τραπεζιο και εκτελε ομαλ κυκλικ κ νησης ακτ νας =0,5 με γωνιακ ταχ τητα =10 /. Στο λλο κρο του ν ματος που κρ μεται κατακ ρυφα κ τω απ το τραπ ζι ε ναι δεμ νο να λλο σ μα μ ζας που ισορροπε. Αν δ νεται τι δεν υπ ρχουν κανεν ς ε δους τριβ ς, να υπολογ στε : α) την μ ζα β) κρεμ μαι επ πλ ον μ ζα τσι στε η ακτ να περιστροφ ς να γ νει0,4, π σο ε ναι η καινο ργια μ ζα m ; γ) Π ση θα γ νει τ ρα η γωνιακ ταχ τητα περιστροφ ς του σ ματος μ ζας m 1 ; m m 1 10

187 Δ νεται τι τριβ ς δεν υπ ρχουν και η επιτ χυνση της βαρ τητας =10 /. [Απ ντηση: α)1, )1,953,15,65 / ] 4.3.Η οριζ ντια κυκλικ πλατφ ρμα του σχ ματος μ ζας =160 και ακτ νας =, μπορε να στρ φεται, χωρ ς τριβ ς, γ ρω απ κατακ ρυφο ξονα που περν απ το κ ντρο της. Άνθρωπος μ ζας =80 βρ σκεται σε να σημε ο Α της m περιφ ρειας της πλατφ ρμας και το σ στημα νθρωπος-πλατφ ρμα ε ναι αρχικ ακ νητο. Την χρονικ στιγμ =0 αρχ ζει ο νθρωπος να κινε ται π νω στην πλατφ ρμα με R A σταθερ ταχ τητα =0,5 / σε σχ ση με ακ νητο παρατηρητ που στ κεται ακ νητος στο δαφος. Αν ο νθρωπος κ νει τον γ ρο της πλατφ ρμας και επιστρ φει στο σημε ο Α απ το οπο ο ξεκ νησε, να βρε τε : α) την χρονικ στιγμ που συμβα νει αυτ και β) τη γων α που στρ φηκε η πλατφ ρμα. Δ νεται η ροπ αδρ νειας της εξ δρας ως προς τον ξονα περιστροφ ς της =. Τριβ ς δεν υπ ρχουν [Απ ντηση: α)0,4, ) / ] 4.4.Η ομογεν ς ρ βδος του σχ ματος μ ζας =3 και μ κους = ισορροπε και μπορε να στρ φεται γ ρω απ οριζ ντιο ξονα που περν απ το κ ντρο της O. Ένα κομμ τι πλαστελ νης μ ζας =00 που m βρ σκεται =1,8 π νω απ το κρο της ρ βδου π φτει ελε θερα και προσκολλ ται π νω στη d ρ βδο. M α) α υπολογιστε η ταχ τητα του κομματιο της Ο πλαστελ νης ελ χιστα πριν χτυπ σει στη ρ βδο. β) α βρεθε η γωνιακ ταχ τητα που αποκτ το σ στημα αμ σως μετ την κρο ση. γ) Π ση θερμ τητα παρ γεται κατ την κρο ση; Δ νεται η ροπ αδρ νειας της ρ βδου ως προς τον ξονα περιστροφ ς της =. =10 /. [Απ ντηση: α)6 /, )1 /, )3 ] 103

188 4.5. Ο δίσκος του σχήματος έχει μάζα m=4kg και ακτίνα R=1m και αρχικά περιστρέφεται γύρω από κατακόρυφο άξονα με γωνιακή ταχύτητα ω 1 =10rad/s. Ασκούμε στον άξονα κατάλληλη ροπή και τον στρέφουμε κατά φ=10 0, χωρίς όμως να μεταβάλλουμε το μέτρο της γωνιακής ταχύτητας. Να υπολογιστούν: α. Η μεταβολή του μέτρου της στροφορμής του δίσκου. β. Το μέτρο της μεταβολής της στροφορμής του δίσκού. γ. Η χρονική διάρκεια της στροφής αν το μέτρο της συνολικής μέσης ροπής που ασκήθηκε στον άξονα. είναι τ =10 3Νm α. Δ L =0, β. ΔL =0 3kgm /s, γ. Δt=s 4.6.Ο τροχός του σχήματος έχει μάζα Μ=1kg, ακτίνα R=0,1m και ροπή αδράνειας ως προς σταθερό άξονα που διέρχεται από το κέντρο του και είναι κάθετος στο επίπεδο που ορίζει, Ι cm =ΜR /. O τροχός μπορεί να στρέφεται γύρω από τον άξονα χωρίς τριβές αλλά αρχικά είναι ακίνητος. Βλήμα μάζας, m όπου m=μ/4, έρχεται με ταχύτητα, υ και σφηνώνεται στο σημείο Δ του δίσκου, οπότε αυτός αποκτά γωνιακή ταχύτητα ω=100rad/s. Δίνεται η γωνία θ=30 0. α. Να υπολογιστούν οι ταχύτητες του βλήματος πριν και μετά την κρούση. β. Αν η κρούση διαρκεί dt=0,0s να υπολογιστεί η ροπή που ασκήθηκε από το βλήμα στο δίσκο κατά τη διάρκεια της κρούσης. α. υ πρ =60m/s, υ μετα =10m/s, β. τ=5νm 4.7. Ομογενής ράβδος μάζας Μ=1kg και μήκους λ=m μπορεί να περιστρέφεται σε οριζόντιο επίπεδο γύρω από κατακόρυφο άξονα που διέρχεται από το κέντρο της Ο. Η ράβδος φέρει δύο σφαίρες με ίσες μάζες m=1kg σε ίσες αποστάσεις d 1 =0,m από το σημείο Ο και εκατέρωθεν αυτού συνδεδεμένες με αβαρές λεπτό νήμα. Το σύστημα περιστρέφεται με γωνιακή ταχύτητα ω 1 =0rad/s όταν το νήμα σπάει και οι σφαίρες απομακρύνονται από το Ο. Να υπολογιστεί η νέα γωνιακή ταχύτητα του συστήματος όταν οι σφαίρες θα βρίσκονται σε απόσταση d =1m η κάθε μια από το Ο. Ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο της ράβδου και είναι κάθετος σ αυτήν είναι. Ι cm =mλ /1. ω =3,54rad/s 4.8 Σε μια κυκλική πλατφόρμα παιδικής χαράς ακτίνας R=m και μάζας Μ=50kg στέκεται παιδί μάζας m=5kg ακριβώς πάνω στον άξονα περιστροφής που διέρχεται από το κέντρο της και είναι κάθετος σ αυτήν. Το σύστημα περιστρέφεται με σταθερή γωνιακή ταχύτητα ω 1 =10rad/s και οι τριβές με τον άξονα περιστροφής θεωρούνται αμελητέες. Η πλατφόρμα θεωρείται δίσκος με ροπή αδράνειας Ι=ΜR /. α. Αν το παιδί μετατοπιστεί σε σημείο της περιφέρειας της πλατφόρμας, πόση θα γίνει η γωνιακή ταχύτητα, ω, αυτής. β. Αν το παιδί βρίσκεται στην περιφέρεια, και η γωνιακή ταχύτητα είναι ω, πόση δύναμη πρέπει να ασκηθεί στην πλατφόρμα εφαπτομενικά αυτής ώστε να τη σταματήσει με σταθερό ρυθμό σε χρονικό διάστημα, Δt=0s; γ. Αν το παιδί βρίσκεται στην περιφέρεια, και η γωνιακή ταχύτητα είναι ω, πόση ροπή θα ασκήσει το παιδί με τα πόδια του στην πλατφόρμα, αν πηδήξει από αυτή κατά τη διεύθυνση μιας ακτίνας 104

189 και με φορά προς τα έξω; Δίνεται ότι ο χρόνος που χρειάζεται για να αποχωρήσει από την πλατφόρμα είναι dt=0,5s. α. ω =5rad/s, β. F=5Ν, γ. τ=1000νm.4.9αν η ακτίνα της Γης λόγω συστολής μειωθεί κατά 1% πόση θα γίνει η περίοδος περιστροφής της; Η Γη θεωρείται ομογενής σφαίρα με ροπή αδράνειας ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο της, Ι=mR /5. Τ 3, 5h.4.30Η σφαίρα μάζας m=5kg ακτίνας R=1m είναι συμπαγής και ομογενής και περιστρέφεται γύρω από σταθερό κατακόρυφο άξονα που είναι και άξονας συμμετρίας της. Στην περιφέρεια της σφαίρας είναι καρφωμένη μικρή σφήνα μάζας m =0,5kg σε τέτοια θέση ώστε η ακτίνα που συνδέει αυτή με το κέντρο της σφαίρας να σχηματίζει γωνία φ=30 0 με τον άξονα περιστροφής. α. Πόση είναι η στροφορμή του συστήματος αν αυτό περιστρέφεται με γωνιακή ταχύτητα ω=8rad/s; β. Αν κατά τη διάρκεια της περιστροφής της σφαίρας, κάποιος αφαιρέσει τη σφήνα ακαριαία, ασκώντας δύναμη κάθετη στην επιφάνεια αυτής και με φορά προς τα έξω, πόση θα γίνει η γωνιακή ταχύτητα αυτής; Η τριβή με τον άξονα περιστροφής να θεωρηθεί αμελητέα. Δίνεται η ροπή αδράνειας της σφαίρας ως προς ένα άξονα συμμετρίας της Ι=ΜR /5. α. L=17kgm /s, β. ω=8,5rad/s 105

190 . Ερωτήσεις στην ενέργεια σώµατος, στο έργο και στην ισχύ 5.1. Για την κινητική ενέργεια από περιστροφή να αποδείξετε τη σχέση Έ =1/Ιω 5.. Να δείξετε ότι µια δύναµη που έχει σταθερό µέτρο και είναι διαρκώς εφαπτόµενη στην περιφέρεια τροχού ακτίνας R, παράγει έργο W =± τ φ όπου φ η γωνία που έχει στραφεί ο δίσκος και έχει ισχύ P = τ ω Ποια µορφή παίρνει το θεώρηµα έργου ενέργειας αν ένα σώµα περιστρέφεται γύρω από κάποιο άξονα ; 5.4. ύο σφαίρες (1) και () περιστρέφονται γύρω από σταθερό άξονα που διέρχεται από τα κέντρα τους. Οι σφαίρες έχουν ίσες στροφορµές και οι κινητικές τους ενέργειες έχουν λόγο Κ 1 /Κ = Ο λόγος των γωνιακών ταχυτήτων των σφαιρών ω 1 /ω είναι: α. 1, β., γ.3, δ.4. Να επιλέξετε τη σωστή σχέση και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας ύο τροχοί (1) και () περιστρέφονται γύρω από σταθερούς άξονες που διέρχονται από τα κέντρα τους. Οι τροχοί έχουν ίσες κινητικές ενέργειες και ο λόγος των γωνιακών τους ταχυτήτων είναι ω 1 /ω = 4 Ο λόγος των στροφορµών τους είναι: α. 1, β.1/, γ.4, δ.1/4. Να επιλέξετε τη σωστή σχέση και να δικαιολογήσετε την επιλογή σας Οµογενής ράβδος έχει µήκος L και µάζα m. Ο Η ράβδος µπορεί να περιστρέφεται χωρίς τριβές γύρω από οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το ένα άκρο του Ο σε κατακόρυφο επίπεδο. Φέρουµε τη ράβδο στην οριζόντια θέση και την αφήνουµε ελεύθερη να κινηθεί. Η κινητική ενέργεια της ράβδου όταν αυτή διέρχεται από την κατακόρυφο είναι: α. mgl, β. mgl /, γ. 4 mgl, δ. mgl / 4. Να επιλέξετε τη σωστή σχέση και να δικαιολογήσετε την επιλογή σας. ίνονται Μ, L,g Α 5.7. Ένα σώµα µπορεί να στρέφεται γύρω από σταθερό άξονα χωρίς τριβές Το σώµα αρχικά είναι ακίνητο και ασκούµε σε αυτό σταθερή ροπή τ. Να κάνετε το διάγραµµα της ισχύος της ροπής µε τον χρόνο P-t 5.8. Ένα αυτοκίνητο είναι αρχικά ακίνητο. Κάποια στιγµή ο κινητήρας του αυτοκινήτου αρχίζει να ασκεί στους τροχούς σταθερή ροπή. Να κάνετε τη γραφική παράσταση του έργου της ροπής αυτής σε συνάρτηση µε χρόνο. 106

191 5.9. Οµογενής σφαίρα αφήνεται να κινηθεί από την κορυφή Α κεκλιµένου επιπέδου ΑΒ. Η σφαίρα κυλάει χωρίς να ολισθαίνει. Αν για τη σφαίρα ισχύει Ι = /5ΜR να συµπληρωθεί ο πίνακας. Α U=0 Γ Β ΥΝΑΜΙΚΗ ΚΙΝΗΤΙΚΗ ΚΙΝΗΤΙΚΗ ( J ) ΜΕΤΑΦΟΡΙΚΗ (J) ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΙΚΗ (J) Α 10 Γ 70 Β Η τροχαλία του σχήµατος είναι οµογενής έχει µάζα Μ και ακτίνα R.Το σώµα έχει µάζα m= Μ/4. Κρατάµε τα σώµατα ακίνητα και κάποια στιγµή τα αφήνουµε ελεύθερα να κινηθούν.o λόγος της κινητικής ενέργειας του σώµατος προς την κινητική ενέργεια της τροχαλίας Kσωµ είναι: α. 1/, β., γ.1/4, δ.4. Κ τροχ Να επιλέξετε τη σωστή σχέση και να δικαιολογήσετε την επιλογή σας. ίνεται για την τροχαλία Ι =1/ΜR Μ m Οµογενής δίσκος αφήνεται να κινηθεί από την κορυφή Α κεκλιµένου επιπέδου ΑΒ.Ο δίσκος κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει. Αν για τη σφαίρα ισχύει Ι = 1/ΜR να συµπληρωθεί ο πίνακας. Α U=0 Β Γ ΥΝΑΜΙΚΗ ΚΙΝΗΤΙΚΗ ΚΙΝΗΤΙΚΗ ΥΨΟΣ ( J ) ΜΕΤΑΦΟΡΙΚΗ (J) ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΙΚΗ (J) Α Η 150 Β Η/ Γ 0 107

192 . Ένας δίσκος κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει µε σταθερή ταχύτητα υ = 10m/s σε οριζόντιο επίπεδο. Κάποια στιγµή αρχίζει να ανέρχεται σε κεκλιµένο επίπεδο συνεχίζοντας να κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει.. Αν g = 10m/s και για το δίσκο ισχύει ότι Ι cm = ½ mr τότε αυτός θα φθάσει σε ύψος α. Η = 5m, β. Η = 7,5m, γ. Η = 10m, δ. Η = 15m Να επιλέξετε τη σωστή σχέση και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας Ένας οµογενής δίσκος µάζας Μ και ακτίνας R κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει σε οριζόντιο δάπεδο. Η ροπή αδράνειας του δίσκου ως προς άξονα που διέρχεται από το 1 κέντρο µάζας του είναι Ι cm = MR. Η ταχύτητα του κέντρου µάζας του δίσκου είναι υ cm Ο λόγος της κινητικής ενέργειας από µεταφορά και από περιστροφή είναι: K M εταφορά 1 K M εταφορά K M εταφορά K M εταφορά α) =, β) = 1, γ) =, δ) = 4 Κ Κ Κ Κ περιστροφή περιστροφή περιστροφή περιστροφή Να επιλέξετε τη σωστή σχέση και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας Ένα στερεό σώµα κάνει περιστροφική κίνηση γύρω από σταθερό άξονα µε σταθερή γωνιακή ταχύτητα ω = 10r/s. Το στερεό έχει ροπή αδράνειας ως προς τον άξονα αυτόν Ι = Kgm. Με την επίδραση κάποιας ροπής η γωνιακή ταχύτητα του στερεού αυξάνεται κατά 0r/s Το έργο της ροπής της δύναµης που ασκήθηκε στο σώµα είναι: α) W = 00J, β) W = 400J, γ) W = 600J, δ) W = 800J. Να επιλέξετε τη σωστή σχέση και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας Οµογενής σφαίρα περιστρέφεται γύρω από ακλόνητο άξονα περιστροφής που διέρχεται από το κέντρο του. Η ροπή αδράνειας της σφαίρας ως προς τον άξονα περιστροφής είναι Ι = 4 Kgm. Τη χρονική στιγµή t = 0 η σφαίρα έχει γωνιακή ταχύτητα ω ο = 0r/s και δέχεται σταθερή ροπή τέτοια ώστε αυτή να σταµατήσει µετά από t =0s Το µέτρο της µέσης ισχύος της δύναµης αυτής είναι: α) Ρ = 0W, β) Ρ = 40W, γ) Ρ = 60W, δ) Ρ = 80W. Να επιλέξετε τη σωστή σχέση και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας ύο οµογενείς δίσκοι περιστρέφονται γύρω από σταθερό άξονα, που είναι κάθετος στο επίπεδό τους και διέρχεται από το κέντρο µάζας τους. Οι δύο δίσκοι έχουν ίσες ροπές αδράνειας και κινητικές ενέργειες µε λόγο Ο λόγος των µέτρων των στροφορµών των δύο δίσκων είναι: L 1 L α) = 1, β) 1 L =, γ) 1 L = 4, δ) 1 1 =, L L L L Να επιλέξετε τη σωστή σχέση και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. K 1 =4. K 108

193 Ένα οµογενές σώµα µε κανονικό γεωµετρικό σχήµα κυλίεται, χωρίς να ολισθαίνει. Η κινητική ενέργεια του σώµατος λόγω της µεταφορικής κίνησης είναι ίση µε την κινητική του ενέργεια λόγω της στροφικής κίνησης γύρω από τον άξονα που περνά από το κέντρο µάζας του. Το γεωµετρικό σχήµα του σώµατος είναι: α. σφαίρα. β. λεπτός δακτύλιος, γ. κύλινδρος Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας Επαναληπτικές Υποθέτουµε ότι κλιµατολογικές συνθήκες επιβάλλουν την µετανάστευση του πληθυσµού της Γης προς τις πολικές ζώνες. Η κινητική ενέργεια λόγω περιστροφής της Γης γύρω από τον άξονά της : α. θα µείνει σταθερή β. θα ελαττωθεί γ. θα αυξηθεί Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. Επαναληπτικές Ένας τροχός µάζας Μ και ακτίνας R έχει ροπή αδράνειας ως προς άξονα που 1 διέρχεται από το κέντρο µάζας του και είναι κάθετος στο επίπεδό του Ι = MR. Ο τροχός κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει σε κεκλιµένο επίπεδο. Αν κατά την κάθοδό του η δυναµική του ενέργεια µειώθηκε κατά 30J τότε η κινητική ενέργεια του τροχού από περιστροφή αυξήθηκε κατά : α) Κ = 10J, β) Κ = 15J, γ) Κ = 0J, δ) Κ = 30J, Να επιλέξετε τη σωστή σχέση και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας ύο τροχοί (Α) και (Β) περιστρέφονται γύρω από σταθερό άξονα που διέρχεται από το κέντρο τους και είναι κάθετος στο επίπεδό τους. Οι τροχοί έχουν ίσες κινητικές ενέργειες και ο τροχός (Β) έχει διπλάσια στροφορµή από τον (Α). Ο λόγος των γωνιακών ταχυτήτων των δύο δίσκων είναι: ω A ω α) = 1, β) A ω =, γ) A 1 ω Α =, δ) = 4, ωb ωb ωb ωβ Να επιλέξετε τη σωστή σχέση και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας Ένας οµογενής δίσκος µάζας Μ=Kg και ακτίνας R =0,m περιστρέφεται γύρω από σταθερό άξονα που διέρχεται από το κέντρο µάζας του µε γωνιακή ταχύτητα ω ο = 10r/s. Η ροπή αδράνειας του δίσκου ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο 1 µάζας του είναι Ι cm = MR. Κάποια στιγµή στο δίσκο ασκείται σταθερή ροπή και σε χρόνο t 1 =4s µετά την επίδραση της ροπής αποκτά γωνιακή ταχύτητα ω = 0 r/s i. Η µέση ισχύς της ροπής είναι α. P M = 1,5W, β. P M = W, γ. P M =,5W, δ. P M = 4W, ii. Η στιγµιαία ισχύς της ροπής τη χρονική στιγµή t 1 α. P = 1W, β. P= W, γ. P= 4W, δ. P = 5W, Να επιλέξετε τις σωστές σχέσεις και να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας 109

194 5.. Ένα στερεό σώµα κάνει περιστροφική κίνηση γύρω από σταθερό άξονα Ποια από τις παρακάτω προτάσεις είναι η σωστή; Η κινητική ενέργεια του σώµατος λόγω περιστροφής είναι: α. ανάλογη του µέτρου της γωνιακής του ταχύτητας. β. ανάλογη του τετραγώνου του µέτρου της γωνιακής του ταχύτητας. γ. αντιστρόφως ανάλογη του µέτρου της γωνιακής του ταχύτητας. δ. ανάλογη του µέτρου της γωνιακής του επιτάχυνσης Ένα στερεό αρχίζει από την ηρεµία να περιστρέφεται µε σταθερή γωνιακή επιτάχυνση Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές και ποιες λανθασµένες ; Η κινητική ενέργεια λόγω περιστροφής είναι: α. ανάλογη του χρόνου κίνησης του στερεού. β. ανάλογη του τετραγώνου του χρόνου κίνησης του στερεού. γ. µέγεθος που εξαρτάται από τη θέση του άξονα περιστροφής. δ. ανάλογη του µέτρου της γωνιακής του επιτάχυνσης Ένας δίσκος ακτίνας R µπορεί να περιστρέφεται γύρω από ακλόνητο άξονα περιστροφής που διέρχεται από το κέντρο του και είναι κάθετος στο επίπεδό του. Ο δίσκος αρχικά είναι ακίνητος και δέχεται µία δύναµη F που έχει σταθερό µέτρο και είναι συνεχώς εφαπτόµενη του δίσκου. Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές και ποιες λανθασµένες και γιατί; α. Το έργο που παράγει η δύναµη δίνεται από τη σχέση W= F R θ όπου θ η γωνιακή µετατόπιση µιας ακτίνας του δίσκου. β. Το έργο της ροπής της δύναµης αυτής είναι κάθε στιγµή ίσο µε το έργο της δύναµης. γγ. Η ισχύς της δύναµης αυτής είναι σταθερή. δ. Η ισχύς της δύναµης αυτής είναι ανάλογη του χρόνου Να γράψετε στη στήλη (II) τις αντίστοιχες σχέσεις που ισχύουν στη στροφική κίνηση. Στήλη (I) Στήλη (II) r Μεταφορική κίνηση Περιστροφική κίνηση p= mυ r r r dp Σ F = dt 1 K = mυ W = F x P = F υ 110

195 5.1.Η ράβδος ΟΑ του σχήµατος, έχει µήκος l = 0,8 m A και µάζα m= Kg. Η ράβδος µπορεί να στρέφεται σε κατακόρυφο επίπεδο γύρω από άρθρωση στο Ο. Η ράβδος αφήνεται ελεύθερη να περιστραφεί από Γ Κ την κατακόρυφη θέση ΟΑ. Αν η ροπή αδράνειας της ράβδου, ως προς άξονα που διέρχεται από το 60 ο 1 O. µέσον της και κάθετος σ αυτήν είναι: Icm = ml 1 ////////////////////////////// και g=10 m/s να υπολογίσετε: α) Τη γωνιακή ταχύτητα της ράβδου στη θέση ΟΓ, στη θέση που σχηµατίζει γωνία 60 ο µε την κατακόρυφο. β) Τη γωνιακή ταχύτητα της ράβδου στη θέση Ο, όπου η ράβδος είναι οριζόντια. γ) Καθώς στρέφεται η ράβδος κάποια στιγµή σχηµατίζει µε την κατακόρυφο γωνία φ. Αν εκείνη τη στιγµή η στροφορµή της ράβδου είναι L και η γωνιακή της Lω ταχύτητα ω, να δείξετε ότι ισχύει η σχέση: συνϕ= 1 mg l. [ Απ. α) 5 5 ω= 3 r/s, β) ω 1 = 6 r/s ] 5..Η ράβδος ΟΑ του σχήµατος, έχει µήκος l = 0,8 m και µάζα m= Kg. Η ράβδος µπορεί να στρέφεται σε κατακόρυφο επίπεδο γύρω από άρθρωση στο Ο. Η ράβδος αφήνεται ελεύθερη να περιστραφεί από την οριζόντια θέση ΟΑ. Να υπολογίσετε: O A α) Τη γωνιακή ταχύτητα της ράβδου στη θέση ΟΓ, στην οποία σχηµατίζει γωνία 30 ο µε την οριζόντια. Γ β) Τη γωνιακή ταχύτητα της ράβδου στη θέση Ο, όπου η ράβδος είναι κατακόρυφη. ίνεται η ροπή αδράνειας της ράβδου, ως προς ά- ξονα που διέρχεται από το µέσον της και κάθετος 1 σ αυτήν: Icm = ml και g=10 m/s. 1 γ) Καθώς στρέφεται η ράβδος κάποια στιγµή σχηµατίζει µε την οριζόντιο γωνία φ. Αν τη στιγµή εκείνη η ράβδος έχει γωνιακή ταχύτητα ω, να δείξετε ότι η στροφορµή της ράβδου δίνεται από τη σχέση: mgl 5 5 L= = ηµϕ. [ Απ. α) ω= 3 r/s, β) ω 1 = 6 r/s ] ω \ \ \ \ \ \ \ \ 111

196 5.3.Στη διάταξη του σχήµατος η οµογενής ράβδος ΟΑ έχει µάζα M= Kg και µήκος l =1 m. Στην άκρη της Α είναι στερεωµένη µικρή σφαίρα, µάζας m=1 Kg. Η ράβδος µπορεί να στρέφεται σε κατακόρυφο επίπεδο γύρω από οριζόντιο άξονα, ο οποίος διέρχεται από το άκρο στήριξης (µέσω άρθρωσης) Ο. Κάποια στιγµή η ράβδος αφήνεται ελεύθερη από την οριζόντια θέση. O (M) ϕ α) Να αποδείξετε ότι, τη στιγµή που η ράβδος Γ διέρχεται από τη θέση Ο και σχηµατίζει µε την αρχική της θέση γωνία φ, έχει αποκτήσει γωνια- 3g(M+ m) κή ταχύτητα ω που δίνεται από τη σχέση: ω= ηµϕ. l(m+ 3m) \ \ \ \ \ \ \ \ l β) Να υπολογίσετε το µέτρο της ταχύτητας υ της σφαίρας, τη στιγµή που η ράβδος διέρχεται από την κατακόρυφη θέση ΟΓ. ίνεται: η ροπή αδράνειας της ράβδου, ως προς άξονα που διέρχεται από το µε- 1 σον της και κάθετος σ αυτήν: Icm = Ml και g=10 m/s. 1 [ Απ. β) υ= 6 m/s ] 5.4.Στη διάταξη του σχήµατος, η ράβδος ΑΓ έχει µάζα M=3 Kg και µήκος l= 3 m. Η ράβδος µπορεί να στρέφεται χωρίς τριβές σε κατακόρυφο επίπεδο γύρω από άξονα ο οποίος διέρχεται από το σηµείο Ο, που απέχει κατά ( l / 4) από την άκρη της Α. Στα άκρα Α και Γ της ράβδου έχουν στερεωθεί µικρές σφαίρες, µε µάζες m=1kg και m= Kg, αντίστοιχα. Η ράβδος ΑΓ αρχικά είναι οριζόντια και αφήνεται ελεύθερη. α) Να υπολογίσετε τη γωνιακή επιτάχυνση του συστήµατος ράβδου-σφαιρών τη στιγµή που η ράβδος αφήνεται ελεύθερη από την οριζόντια θέση. β) Να υπολογίσετε τα µέτρα των σφαιρών m και m, τη στιγµή που η ράβδος έχει γίνει κατακόρυφη. ίνεται: η ροπή αδράνειας της ράβδου, ως προς άξονα που διέρχεται από το µε- 1 σον της και κάθετος σ αυτήν: Icm = Ml και g=10 m/s [ Απ. α) α γ = r/s , β) υ 1 = m/s - υ = m/s ] Α mg υ l 4 O υ 1 K Mg Γ mg 11

197 4 5.5.Η οµογενής ράβδος ΟΑ του σχήµατος, µήκουςl = m, 3 O Γ µπορεί να στρέφεται σε κατακόρυφο επίπεδο γύρω από ϕ οριζόντιο άξονα ο οποίος περνά από την άκρη της Ο. Η ροπή αδράνειας της ράβδου, ως προς άξονα που περνά από το µέσον της και κάθετος σ αυτήν είναι 1 Icm = ml και g=10 m/s. A 1 α) Να υπολογίσετε την ελάχιστη γωνιακή ταχύτητα που πρέπει να αποκτήσει η ράβδος, στην κατακόρυφη θέση της ΟΑ, ώστε µόλις να φτάσει στην οριζόντια θέση ΟΓ. β) Με την τιµή της γωνιακής ταχύτητας που βρέθηκε στο ερώτηµα (α) να υπολογίσετε τη γωνιακή ταχύτητα ω 1 της ράβδου τη στιγµή που περνά από τη θέση Ο στην οποία η ράβδος σχηµατίζει µε την κατακόρυφο γωνία φ=60 ο. γ) Όταν η ράβδος βρίσκεται στην κατακόρυφη θέση ΟΑ της δίνουµε γωνιακή ταχύτητα ω= 15 r/s. Να βρείτε τη γωνία θ, που σχηµατίζει η ράβδος µε την κατακόρυφο, τη στιγµή που σταµατά στιγµιαία. \\\\\\\ [ Απ. α) 3 3 ω= 10 r/s, β) ω 1 = 5 r/s, γ) θ=60 ο ] 5.6.Η οµογενής ράβδος ΟΑ του σχήµατος, µήκους l= 1m και µάζας M= Kg, µπορεί να στρέφεται σε κατακόρυφο επίπεδο γύρω από οριζόντιο άξονα ο οποίος περνά από την άκρη της Ο. Στην άκρη Α της ράβδου είναι στερεωµένη µικρή σφαίρα, µάζας m=1 Kg. Η ροπή α- O ϕ Γ δράνειας της ράβδου, ως προς άξονα που περνά από Μ 1 το µέσον της και κάθετος σ αυτήν είναι Icm = ml 1 A και g=10 m/s. m υ α) Να υπολογίσετε την ελάχιστη τιµή του µέτρου της ταχύτητας υ που πρέπει να δοθεί στη σφαίρα, στην κατακόρυφη θέση της ράβδου ΟΑ, ώστε µόλις να φτάσει στην οριζόντια θέση ΟΓ. β) Αν στη σφαίρα δοθεί ταχύτητα υ 1, µε µέτρο υ 1 = 3 m/s, όταν η ράβδος βρίσκεται στην κατακόρυφη θέση ΟΑ, να υπολογίσετε τη γωνία φ την οποία θα σχη- µατίζει η ράβδος τη στιγµή που θα σταµατήσει στιγµιαία. γ) Να λυθεί το ερώτηµα (α), για την περίπτωση που η ράβδος ΟΑ είναι αβαρής. \\\\\\\ [ Απ. α) υ= 6 m/s, β) φ=60 ο, γ) υ= 5 m/s ] 113

198 5.7.Μια συµπαγής και οµογενής ράβδος, µάζας Μ=3 Kg και µήκους l = m, περιστρέφεται στο κατακόρυφο ε- y πίπεδο xy, χωρίς τριβές, γύρω από έναν άξονα ο οποίος διέρχεται από το κέντρο της Ο. Στα δύο άκρα τής l ράβδου έχουν στερεωθεί δύο µικρά σφαιρικά σώµατα mg θ x µε µάζες m 1 =1 Kg και m = Kg, αντίστοιχα. l Η ράβδος αφήνεται ελεύθερη από τη θέση του σχήµατος, όπου η γωνία θ=30 ο. m1g α) Να υπολογίσετε τη γωνιακή ταχύτητα του συστήµατος τη στιγµή που η ράβδος είναι οριζόντια. Η ροπή αδράνειας της ράβδου, ως προς άξονα που περνά από το µέσον της και 1 κάθετος σ αυτήν είναι Icm = Μl Μ και g=10 m/s. 1 β) Να υπολογίσετε τη γωνιακή ταχύτητα του συστήµατος τη στιγµή που η ράβδος είναι κατακόρυφη. γ) Να υπολογίσετε αν η ράβδος µπορεί να φτάσει στην οριζόντια θέση, µε τη σφαίρα m αριστερά. [ Απ. α) ω= 5 r/s, β) ω 1 = 10 r/s, γ) ναι, µε ω = 5 r/s ] 5.8. ύο ίδιες λεπτές ισοπαχείς και οµογενείς ράβδοι ΟΑ και ΟΓ, που έχουν µάζα m=4 Kg και µήκος l = 1,5 m η καθεµία, συγκολούνται στο ένα ά- κρο τους Ο, ώστε να σχηµατίζουν ορθή γωνία. Το σύστηµα των δύο ράβδων µπορεί να περιστρέφεται γύρω από άξονα, κάθετο στο επίπεδο ΑΟΓ, που διέρχεται από την κορυφή Ο της ορθής γωνίας. Το σύστηµα αρχικά συγκρατείται στη θέση ό- που η ράβδος ΟΑ είναι οριζόντια (σχήµα). Η ροπή αδράνειας της κάθε ράβδου ως προς το κέντρο 1 µάζας της είναι Icm = ml, ενώ g=10 m/s. 1 Από την αρχική του θέση το σύστηµα των δύο ράβδων αφήνεται ελεύθερο να περιστραφεί γύρω από τον άξονα περιστροφής στο σηµείο Ο, χωρίς τριβές. α) Να υπολογίσετε τη γωνιακή ταχύτητα του συστήµατος, τη στιγµή που οι δύο ράβδοι σχηµατίζουν ίσες γωνίες µε την κατακόρυφο. β) Να υπολογίσετε την κινητική ενέργεια κα τη γωνιακή ταχύτητα του συστήµατος, τη στιγµή που η ράβδος ΟΑ σχηµατίζει γωνία θ=60 ο µε την κατακόρυφο. [ Απ. α) ω= 10( 1) r/s, β) K = 15( 3 1) J, ω 1 = 5( 3 1) r/s ] 114

199 5.9. Μια µικρή σφαίρα, µάζας m και ακτίνας r, αφήνεται από το σηµείο Α της τροχιάς (οδηγού) του σχήµατος. Η σφαίρα κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει κατά µήκος του οδηγού και η ακτίνα του κυκλικού τµήµατος της τροχιάς είναι R=30 cm. Να βρεθεί το µικρότερο ύψος h από το οποίο πρέπει να αφεθεί η σφαίρα για να κάνει ανακύκλωση (δηλαδή στο σηµείο Γ του κυκλικού τµήµατος µόλις χάνει την επαφή µ αυτό). ίνεται η ροπή αδράνειας της σφαίρας ως προς άξονα ο οποίος περνά από το κέντρο της Icm = mr και ότι r<<r. 5 A (m,r) h R (r << R) Γ //////////////////////////////////// [ Απ. h=81 cm ] Μια µικρή σφαίρα, µάζας m και ακτίνας r, αφήνεται από το σηµείο Α της ηµικυλινδρι- (m,r) (r << R) κής επιφάνειας, ακτίνας R=1,7 m, του σχή- A µατος. Η σφαίρα κυλίεται χωρίς να ολισθαί- Γ νει κατά µήκος ενός κυκλικού οδηγού που υ υπάρχει στο εξωτερικό µέρος του ηµικυλίν- R δρου. θ α) Να βρεθεί η γωνία θ την οποία σχηµατί- /////////////////////////////////////// ζει η ακτίνα ΚΓ τη στιγµή που η σφαίρα ε- γκαταλείπει την επιφάνεια. β) Να υπολογίσετε την ταχύτητα υ της σφαίρας τη στιγµή που εγκαταλείπει την επιφάνεια. ίνεται η ροπή αδράνειας της σφαίρας ως προς άξονα ο οποίος περνά από το κέντρο της I cm = ⅖ mr, g=10 m/s και ότι r<<r. [ Απ. α) 10 συνθ=, β) υ= 10 m/s ]

200 5.11. Το σφαιρίδιο Σ του σχήµατος έχει µάζα m και διαγράφει κύκλο ακτίνας R µε γωνιακή ταχύτητα ω. Το σφαιρίδιο είναι δεµένο στην άκρη νή- µατος το οποίο περνάει από κατακόρυφο σωλήνα ΑΓ. Στην ελεύθερη άκρη του νήµατος α- σκούµε δύναµη F, έτσι ώστε να µειώνεται η α- κτίνα περιστροφής του σφαιριδίου. Να δείξετε ότι το έργο της δύναµης F, µέχρις ότου η ακτίνα περιστροφής του σφαιριδίου γίνει r δίνεται 1 R από τη σχέση: W = mr ω 1 r. A Γ F R(r) Σ m 5.1. Μια µικρή σφαίρα, µάζας m και ακτίνας r, A αφήνεται από το σηµείο Α της τροχιάς (ο- υ Γ ( = 0) δηγού) του σχήµατος. Η σφαίρα κυλίεται θ χωρίς να ολισθαίνει κατά µήκος του οδη- R K γού και η ακτίνα του κυκλικού τµήµατος mg R της τροχιάς είναι R=85 cm. α) Να µελετήσετε αν η σφαίρα µπορεί να //////////////////////////////// φτάσει, κυλιόµενη, µέχρι το σηµείο. β) Να προσδιορίσετε τη θέση Γ (συνθ=;) όπου η σφαίρα εγκαταλείπει την τροχιά και να υπολογίσετε το µέτρο της ταχύτητας υ της σφαίρας σ αυτή τη θέση. ίνεται η ροπή αδράνειας της σφαίρας ως προς άξονα ο οποίος περνά από το κέντρο της I cm = ⅖ mr, g=10 m/s και ότι r<<r. 10 [ Απ. α) όχι, β) συνθ=, υ= 5 m/s ] Ένα κέρµα (π.χ. 1 ευρώ), µάζας m και ακτίνας r, αφήνεται από το σηµείο Α της τροχιάς (οδηγού) A του σχήµατος. Το κέρµα κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει κατά µήκος του οδηγού και το ύψος h είναι h=30 cm. ίνεται η ροπή αδράνειας του κέρ- µατος ως προς άξονα που περνά από το κέντρο µάζας του I cm = ½ mr και g=10 m/s. Να υπολογίσετε: α) την ταχύτητα του κέντρου µάζας του κέρµατος στο σηµείο Γ της τροχιάς, β) το µέγιστο ύψος (πάνω από το Γ) στο οποίο φθάνει το κέρµα. h h / [ Απ. α) υ= m/s, β) 10 cm ] Γ 116

201 5.14.Μια µικρή σφαίρα, µάζας m και ακτίνας r, αφήνεται από το σηµείο Α της τροχιάς (η- (m,r) µικυλινδρικού οδηγού) του σχήµατος. Η A K σφαίρα κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει κατά θ µήκος του οδηγού και η ακτίνα του κυκλι- R κού τµήµατος της τροχιάς είναι R. Γ α) Να υπολογίσετε το µέτρο της αντίδρασης mg της τροχιάς πάνω στη σφαίρα, τη στιγµή που αυτή περνά από το σηµείο Γ, ό- που η ακτίνα ΚΓ σχηµατίζει γωνία θ µε την κατακόρυφο. β) Να υπολογίσετε το µέτρο της αντίδρασης 1 της τροχιάς πάνω στη σφαίρα, τη στιγµή που αυτή περνά από την κατακόρυφο Κ. ίνεται η ροπή αδράνειας της σφαίρας ως προς άξονα ο οποίος περνά από το κέν- τρο της Icm = mr [ Απ. α) = mg συνθ, β) 1 = mg ] Μια µικρή σφαίρα, µάζας m και ακτίνας r, κυλίεται στο οριζόντιο επίπεδο του σχήµατος µε ταχύτητα του κέντρου µάζας της υ= gr. Στη συνέχεια αρχίζει να κινείται στη σφαιρική τροχιά (οδηγό) ΑΓΖ. K Γ α) Να βρείτε αν µπορεί να φτάσει στην οριθ ζόντια θέση ΚΓ. β) Αν όχι, να προσδιορίσετε τη θέση στην υ οποία σταµατά στιγµιαία (συνθ=;). ////////////////// A γ) Να υπολογίσετε την ελάχιστη ταχύτητα υ 1 που πρέπει να έχει στο οριζόντιο επίπεδο, ώ- στε να κάνει ανακύκλωση στο σηµείο Ζ. ίνεται η ροπή αδράνειας της σφαίρας ως προς άξονα ο οποίος περνά από το κέν- τρο της Icm = mr. 5 7 [ Απ. α) όχι, β) συνθ= 0, 3, γ) υ min = gr ] 7 Z 117

202 5.16. Μια µικρή σφαίρα, µάζας m και ακτίνας r, αφήνεται από το σηµείο Α της τροχιάς (οδη- K 1 γού) του σχήµατος. Η σφαίρα κυλίεται χω- o 60 ρίς να ολισθαίνει κατά µήκος του οδηγού, ο A R οποίος αποτελείται από δύο συνεχόµενα τεταρτοκύκλια ακτίνας R. α) Να υπολογίσετε τη θέση (σηµείο Γ-συνθ) Γ του τεταρτοκυκλίου (K, R) στην οποία η R σφαίρα εγκαταλείπει την τροχιά. θ β) Από ποιο σηµείο Α (συνφ=;) του τεταρτοκυκλίου (K 1, R) πρέπει να αφήσουµε ελεύ- K θερη τη σφαίρα, ώστε να εγκαταλείψει το τεταρτοκύκλιο (K, R) απευθείας στο σηµείο (θ=0). ίνεται η ροπή αδράνειας της σφαίρας ως προς άξονα ο οποίος περνά από το κέντρο της Icm = mr [ Απ. α) συνθ=, β) συνϕ= 0, 3 ] Η τροχαλία του σχήµατος έχει µάζα Μ=4 Κg και ακτίνα R=0,1 m. Τα σώµατα έχουν µάζες m 1 =1 Kg και m = Kg, αντίστοιχα. Το νήµα δεν γλιστρά στην τροχαλία και το σύστηµα ηρεµεί. Κάποια στιγµή το σύστηµα αφήνεται ελεύθερο να κινηθεί. α) Να βρείτε τις γραµµικές ταχύτητες των µαζών m 1 και m, τη στιγµή που η µάζα m κινούµενη προς τα κάτω έχει διανύσει απόσταση h=1 m. m 1 β) Να βρείτε τη γωνιακή ταχύτητα της τροχαλίας τη στιγµή αυτή. ίνεται ροπή αδράνειας της τροχαλίας ως προς άξονα που περνά από το κέντρο 1 µάζας της και κάθετο στο επίπεδό της Icm = Mr και g=10 m/s. Σηµείωση: Η άσκηση να λυθεί χρησιµοποιώντας την Α..Μ.Ε. [ Απ. α) υ= m/s, β) ω=0 rad/s ] m h 118

203 5.18.Η οµογενής ράβδος ΑΓ, µάζας Μ και µήκους l, µπορεί να στρέφεται γύρω από ά- ξονα, κάθετο σ αυτήν, ο οποίος περνά α- πό το σηµείο Ο. Στις άκρες της ράβδου είναι στερεωµένες δύο µικρές σφαίρες µε µάζες m 1 και m. Η ράβδος αρχικά είναι κατακόρυφη. Ένα µικρό βλήµα, µάζας m, κινούµενο µε ταχύτητα (υ ο ) σφηνώνεται στη σφαίρα (m ). ίνονται: M=3 Kg, l = m, m 1 =1, Kg, m =0,8 Kg, m=0, Kg, g=10 m/s και η ροπή αδράνειας της τροχαλίας ως προς άξονα που 1 περνά από το κέντρο µάζας της και κάθετο στο επίπεδό της Icm = Mr. Αν η ράβδος (µε τις σφαίρες) µετά την κρούση ακινητοποιείται στιγµιαία στην οριζόντια θέση (σχήµα), να βρεθούν: α) Η γωνιακή ταχύτητα της ράβδου (µε τις σφαίρες) αµέσως µετά την κρούση. β) Η ταχύτητα (υ ο ) του βλήµατος. γ) Η (στιγµιαία) γωνιακή επιτάχυνση της ράβδου (µε τις σφαίρες) στην οριζόντια θέση. δ) Ο ρυθµός µεταβολής της στροφορµής του συστήµατος ράβδου-σφαιρών αµέσως µετά την κρούση. m ( l / 4) ( Μl, ) υ ο A Ο. Γ m 1 m [ Απ. α) 3 ω=8 r/s, β) 7 3 υ ο = 344 5, m/s, γ) 0 ] Η οµογενής ράβδος ΑΓ, µάζας Μ και µήκους l, µπορεί να στρέφεται γύρω από ά- ξονα, κάθετο σ αυτήν, ο οποίος περνά α- πό το σηµείο Ο. Στις άκρες της ράβδου είναι στερεωµένες δύο µικρές σφαίρες µε µάζες m 1 και m. Η ράβδος αρχικά είναι οριζόντια. Ένα µικρό σώµα, µάζας m 3, α- φήνεται ελεύθερο από ύψος h πάνω από τη σφαίρα (m ) µε την οποία συγκρούεται πλαστικά. Να βρεθούν: α) Η ταχύτητα (υ) του συσσωµατώµατος (m 3 -m ) αµέσως µετά την κρούση. β) Η ταχύτητα (υ 1 ) της σφαίρας (m 1 ) όταν η ράβδος γίνει κατακόρυφη. γ) Σε ποια θέση (γωνία της ράβδου µε την κατακόρυφο) θα ακινητοποιηθεί στιγ- µιαία η ράβδος. ίνεται η ροπή αδράνειας της ράβδου I 1 cm = Ml και g=10 m/s. 1 A (m 1) (A Γ ) =l (AO) = l 3 O w (m 3) (m ) Γ h 119

204 5.0. ύο όµοιοι συµπαγείς δίσκοι, βάρους w και ακτίνας r, βρίσκονται ακίνητες στη θέση του σχήµατος. Παραλείποντας την τριβή στον άξονα περιστροφής, να υπολογίσετε την ταχύτητα υ cm του δίσκου Κ που πέφτει, σαν συνάρτηση του ύψους h κατά το οποίο έχει πέσει ο δίσκος Κ, χρησιµοποιώντας τη µέθοδο <<έργου ε- νέργειας>>. 8gh [ Απ. υ cm = ] 5 Oi r υ cm = ω r r ik w 5.1.Στη διάταξη του σχήµατος η οµογενής ράβδος ΑΓ έχει µάζα m και µήκος l. Αρχικά βρίσκεται οριζόντια στο δάπεδο. Στην άκρη της Γ ασκείται δύναµη F σταθερού µέτρου η οποία είναι συνέχεια κατακό- ( ω= ;) F ρυφη προς τα πάνω. Να βρεθούν: α) η γωνιακή ταχύτητα της ράβδου τη στιγµή που F αυτή γίνεται κατακόρυφη, β) ο ρυθµός µεταβολής της κινητικής ενέργειας της A Γ ράβδου τη στιγµή που αυτή σχηµατίζει γωνία 45 ο //////////////////// µε την κατακόρυφο. mg //////////////////// ίνονται: m= Kg, l =1 m, F=16, g=10 m/s, 1 Icm = ml για τη ράβδο. 1 [ Απ. α) ω= 3 (rad / s), β) ]. Να λυθεί η άσκηση 1, για την περίπτωση που η δύναµη F=10. 10

205 5.3.Στη διάταξη του σχήµατος η οµογενής ράβδος ΑΓ ( ω= ;) έχει µάζα m και µήκος l. Αρχικά βρίσκεται οριζό- F ντια στο δάπεδο. Στην άκρη της Γ ασκείται δύναµη F σταθερού µέτρου η οποία είναι συνέχεια εφαπτό- µενη στη ράβδο. Να βρεθούν: α) η γωνιακή ταχύτητα της ράβδου τη στιγµή που αυτή γίνεται κατακόρυφη, F β) ο ρυθµός µεταβολής της κινητικής ενέργειας της A Γ ράβδου τη στιγµή που αυτή σχηµατίζει γωνία 45 ο //////////////////// µε την κατακόρυφο. ίνονται: m=1 Kg, l = m, F=5, g=10 m/s mg ////////////////////, 1 Icm = ml για τη ράβδο. 1 3 ( π F mg) [ Απ. α) ω=, β) ] m l 5.4. Να λυθεί η άσκηση 3, για την περίπτωση κατά την οποία το µέτρο της δύναµης 40 F µεταβάλλεται µε τη γωνία θ σύµφωνα µε τη σχέση: F = 0 θ ˆ π, όπου ˆθ είναι η γωνία που σχηµατίζει η ράβδος µε την οριζόντια. [ Απ. α) 15 ω= ( π ) rad/s, β) ] 5.5.Η οµογενής ράβδος ΟΑ έχει µάζα m και µηκος l. H ράβδος στρέφεται γύρω από την ά- κρη της Ο µε την επίδραση δύναµης F σταθερού µέτρου η οποία είναι συνέχεια εφαπτό- µενη στη ράβδο. Η ράβδος στρέφεται σε οριζόντιο επίπεδο χωρίς τριβές. Να βρεθούν: α) η γωνιακή ταχύτητα της ράβδου µετά από µία (1 η ) περιστροφή, β) ο ρυθµός µεταβολής της κινητικής ενέργειας της ράβδου στο τέλος της ης περιστροφής (π =10). O l 1 ίνονται: m=3 Kg, l = m, F=π ( ) και Icm = ml για τη ράβδο. 1 [ Απ. α) ω=π rad/s, β) (dk/dt) = 80 (J/s) ] F A 11

206 5.6. Γύρω από ομογενή κύλινδρο μάζας m=0,kg ακτίνας R=0,1m είναι τυλιγμένο αβαρές σχοινί και στο ελεύθερο άκρο του σχοινιού ασκείται κατακόρυφη σταθερή δύναμη F με φορά προς τα πάνω έτσι ώστε, το κέντρο μάζας του κυλίνδρου να μένει στο ίδιο ύψος πάνω από το έδαφος, ενώ ο κύλινδρος περιστρέφεται. α. Πόσο είναι το έργο της F μέχρι η ταχύτητα να γίνει ω=100rad/s; β. Πόσο είναι το μήκος του σχοινιού που ξετυλίχθηκε έως τότε; γ. Ποιος είναι ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής του κυλίνδρου; Δίνεται Ι Κ =mr / και g=10m/s. a. W= 5J, β. x=,5m γ. ΔL/Δt= 0,kgm /s 5.7. Η τροχαλία, που φαίνεται στο σχήμα, έχει μάζα Μ=0,5kg, ακτίνα R=0,1m και ροπή αδράνειας Ι cm =ΜR. To σώμα μάζας m=1,5kg είναι δεμένο στο άκρο αβαρούς σχοινιού που δεν γλιστράει μέσα στο αυλάκι της τροχαλίας και αφήνεται να πέσει κατακόρυφα. Τη χρονική στιγμή που το σώμα θα έχει πέσει κατά h=5m από την θέση που αφέθηκε, να υπολογιστούν: α. Η ταχύτητα του σώματος, m. β. H επιτάχυνση του σώματος, m. γ. Η στροφορμή της τροχαλίας. δ. Οι ρυθμοί μεταβολής της κινητικής ενέργειας, της τροχαλίας, του σώματος, m και του συστήματος. Δίνεται g=10m/s. α. υ=5 3m/s, β. α=7,5m/s γ. L= kgm /s, δ. 18,75 3J/s, 56,5 3J/s,75 3J/s 5.8. Τα σώματα, Σ 1,Σ, έχουν μάζες, m 1 =1kg, m =0,5kg και είναι δεμένα στα άκρα νήματος το οποίο είναι τυλιγμένο στην τροχαλία μάζας Μ=kg και ακτίνας R=0,5m. Αρχικά κρατάμε τα δύο σώματα στο ίδιο οριζόντιο επίπεδο και το σύστημα ηρεμεί, ενώ στη συνέχεια τα αφήνουμε ελεύθερα να κινηθούν και το αβαρές νήμα, που δεν γλιστράει μέσα στο αυλάκι της τροχαλίας, βάζει την τροχαλία σε περιστροφή. Όταν το σώμα Σ 1 έχει πέσει κατά h=0,5m, να υπολογιστούν: α. Η ταχύτητα του σώματος Σ 1. β. Ο ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας της τροχαλίας. γ. Ο ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας του σώματος Σ. Δίνονται η Ι cm =ΜR / της τροχαλίας και g=10m/s. α. υ1= m/s, β. ΔΚτ/Δt= J/s, γ. ΔΚ/Δt= J/s 5.9. Ομογενής δίσκος μάζας Μ=kg ακτίνας R=5/3m μπορεί να περιστρέφεται σε κατακόρυφο επίπεδο γύρω από οριζόντιο άξονα που διέρχεται από σημείο της περιφέρειάς του, Ο, και είναι κάθετος σ αυτόν. Ο δίσκος αρχικά συγκρατείται σε τέτοια θέση ώστε η ακτίνα ΟΚ, (Κ το κέντρο του) να είναι οριζόντια και μετά αφήνεται ελεύθερος. Όταν η ακτίνα ΟΚ θα έχει διαγράψει γωνία θ=90 0,να υπολογιστούν: α. Η γωνιακή ταχύτητα του δίσκου. β. Ο ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας του δίσκου. Δίνονται η ροπή αδράνειας του δίσκου, I K =MR /, g=10m/s. 1

207 α. ω= rad/s, β. ΔΚ/Δt= Τετράγωνη πλάκα πλευράς α=0,5m και μάζας m=3kg μπορεί να περιστρέφεται σε κατακόρυφο επίπεδο γύρω από άξονα που διέρχεται από τη μια κορφή του, Α και είναι κάθετος στο επίπεδο που αυτή ορίζει. Η πλάκα συγκρατείται σε τέτοια θέση ώστε η πλευρά της ΑΒ να είναι οριζόντια. Αφήνουμε την πλάκα ελεύθερη να περιστραφεί χωρίς τριβές γύρω από τον άξονά της. Να υπολογιστούν: α. Η ροπή αδράνειας της πλάκας ως προς τον άξονα περιστροφής. β. Η ταχύτητα της κορυφής Γ τη στιγμή που η διαγώνιος ΑΓ γίνεται κατακόρυφη. Δίνονται η ροπή αδράνειας μιας λεπτής ορθογώνιας πλάκας ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο της και είναι κάθετος στο επίπεδο που αυτή ορίζει Ι cm =m(α +β )/1 και η επιτάχυνση της βαρύτητας, g=10m/s. α. Ι=0,5kgm, β. υ = 6m/s 5,31.Μια ομογενής στεφάνη της οποίας όλη η μάζα θεωρείται ότι είναι συγκεντρωμένη στην περιφέρεια, έχει ακτίνα R, μάζα m και ανεβαίνει το κεκλιμένο επίπεδο γωνίας φ=30 0, ενώ κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει, υπό την επίδραση δύναμης F=mg/3, όπως φαίνεται στο σχήμα. Να υπολογιστούν: α. Η επιτάχυνση του κέντρου μάζας. β. Ο ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας κάποια στιγμή t 1 που το κέντρο μάζας έχει ταχύτητα μέτρου υ. γ. Ο ρυθμός μεταβολής της δυναμικής ενέργειας βαρύτητας τη χρονική στιγμή t 1. δ. Ο ρυθμός παραγωγής έργου από τη F την ίδια στιγμή. ε. Ο ρυθμός μεταβολής της μηχανικής ενέργειας της στεφάνης τη στιγμή t 1. Δίνεται το g. α. g/1, β. mgυ/6, γ. mgυ/, δ. mgυ/3, ε. mgυ/3 5.3.Ο τροχός του σχήματος μάζας m=kg, ακτίνας R=0,5m ξεκινάει από την ηρεμία με την επίδραση της δύναμης F και κυλιέται χωρίς να ολισθαίνει. α. Να γράψετε τα ΘΜΚΕ για την περιστροφική κίνηση, για τη μεταφορική κίνηση και για τη σύνθετη κίνηση και να βγάλετε το συμπέρασμά σας για το έργο της στατικής τριβής. β. Αν το μέτρο της δύναμης είναι F=5N να υπολογίσετε τη μετατόπιση του κέντρου μάζας που απαιτείται για να αποκτήσει ο τροχός γωνιακή ταχύτητα ω=10rad/s. γ. Αμέσως μετά η δύναμη F μηδενίζεται ακαριαία και ο τροχός κυλάει για άλλα m μέχρι να φτάσει στη βάση του κεκλιμένου επιπέδου. Πόση είναι η μεταβολή της κινητικής του ενέργειας στο διάστημα αυτό των m; δ. Σε ποιο ύψος φτάνει το κέντρο μάζας του κυλίνδρου πάνω από το οριζόντιο επίπεδο όταν αυτός σταματάει στιγμιαία; ε. Πόσο είναι ο ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας του κυλίνδρου 1s αφότου άρχισε να ανεβαίνει το κεκλιμένο; Δίνονται Ι cm =mr /, g=10m/s, ημφ=0,3. α. W=0, β. x=1,5m, γ. ΔΚ=0, δ. h=,375m ε. ΔΚ/Δt= 18J/s 13 Γ

208 1 ο ΘΕΜΑ Μηχανική Στερεού σώματος Α. Ερωτήσεις Πολλαπλής Επιλογής 1. Η μονάδα μέτρησης της στροφορμής είναι α. 1 kg m. β. 1 kg s m. γ. 1 kg m. δ. 1 kg m. s s Εσπερ Για να ισορροπεί ένα αρχικά ακίνητο στερεό σώμα στο οποίο ασκούνται πολλές ομοεπίπεδες δυνάμεις, θα πρέπει α. η συνισταμένη των δυνάμεων που ασκούνται στο σώμα να είναι μηδέν. β. το αλγεβρικό άθροισμα των ροπών των δυνάμεων να είναι μηδέν. γ. η συνισταμένη των δυνάμεων και το αλγεβρικό άθροισμα των ροπών των δυνάμεων να είναι μηδέν. δ. η συνισταμένη των δυνάμεων να είναι μηδέν και το αλγεβρικό άθροισμα των ροπών των δυνάμεων διάφορο του μηδενός. Ομογ Εάν η στροφορμή ενός σώματος που περιστρέφεται γύρω από σταθερό άξονα παραμένει σταθερή, τότε η συνολική εξωτερική ροπή πάνω στο σώμα α. είναι ίση με το μηδέν. β. είναι σταθερή και διάφορη του μηδενός. γ. αυξάνεται με το χρόνο. δ. μειώνεται με το χρόνο. Επαν. Εσπερ Ένα στερεό σώμα περιστρέφεται γύρω από σταθερό άξονα. Αν η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής του σώματος υποδιπλασιαστεί, τότε η κινητική του ενέργεια θα α. υποτετραπλασιαστεί. β. υποδιπλασιαστεί. γ. τετραπλασιαστεί. δ. παραμείνει αμετάβλητη. Ομογ Άνθρωπος βρίσκεται πάνω στην επιφάνεια και κοντά στο κέντρο οριζόντιου δίσκου που περιστρέφεται με γωνιακή ταχύτητα ω 1 γύρω από άξονα κάθετο στο κέντρο του. Αν ο άνθρωπος μετακινηθεί στην περιφέρεια του δίσκου, τότε η γωνιακή του ταχύτητα ω θα είναι α. ω = ω 1. β. ω > ω 1. γ. ω < ω 1. δ. ω = 0. Εσπερ Tροχός ακτίνας R κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει σε οριζόντιο επίπεδο. Αν υ cm η ταχύτητα του τροχού λόγω μεταφορικής κίνησης, τότε η ταχύτητα των σημείων της περιφέρειας του τροχού που απέχουν από το έδαφος απόσταση ίση με R, έχει μέτρο 14

209 α. υ cm. β. υ cm. γ. 0. δ. υ cm. Επαν. Ημερ Η μονάδα μέτρησης της στροφορμής στο σύστημα S.I. είναι α. 1 m m m kg. β. 1kg. γ. 1 s s s kg. δ. 1 J.s. 8. Η περίοδος περιστροφής της Γης γύρω από τον άξονά της είναι σταθερή. Αυτό οφείλεται στο ότι η ελκτική δύναμη που δέχεται η Γη από τον Ήλιο α. δημιουργεί σταθερή ροπή ως προς τον άξονά της. β. δημιουργεί μηδενική ροπή ως προς τον άξονά της. γ. έχει τη διεύθυνση της εφαπτομένης σε ένα σημείο του Ισημερινού της Γης. δ. έχει τέτοιο μέτρο που δεν επηρεάζει την περιστροφή της Γης. Ομογ Μία σφαίρα κυλίεται χωρίς ολίσθηση κινούμενη κατά μήκος κεκλιμένου επιπέδου (αρχικά ανέρχεται και στη συνέχεια κατέρχεται). α. Ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής της ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας της μεταβάλλεται. β. Η φορά του διανύσματος της στατικής τριβής παραμένει σταθερή. γ. Η φορά του διανύσματος της γωνιακής επιτάχυνσης μεταβάλλεται. δ. Η φορά του διανύσματος της γωνιακής ταχύτητας παραμένει σταθερή. Επαν. Ημερ Η ράβδος του σχήματος έχει μήκος L και μπορεί να στρέφεται γύρω από άξονα που διέρχεται από το μέσο της Ο και είναι κάθετος σε αυτή. Η ροπή της δύναμης F ως προς το σημείο Ο έχει μέτρο α. 0. β... F L γ. F. L συνφ. δ. F. L ημφ. Ομογ Η ράβδος του σχήματος είναι αβαρής και οι μάζες m απέχουν εξίσου από τον άξονα περιστροφής. 15

210 Αν η απόσταση των μαζών από τον άξονα περιστροφής υποδιπλασιαστεί, η ροπή αδράνειας του συστήματος α. τετραπλασιάζεται. β. διπλασιάζεται. γ. υποδιπλασιάζεται. δ. υποτετραπλασιάζεται. Επαν. Ημερ Στη στροφική κίνηση το αλγεβρικό άθροισμα των έργων των ροπών των δυνάμεων, που ασκούνται στο σώμα είναι α. ίσο με τη μεταβολή της κινητικής ενέργειας περιστροφής του σώματος. β. ίσο με τη μεταβολή της στροφορμής του σώματος. γ. πάντα θετικό. δ. αντιστρόφως ανάλογο της συνολικής δύναμης που ασκείται στο σώμα. Επαν. Ημερ Στερεό σώμα περιστρέφεται γύρω από σταθερό άξονα, με γωνιακή ταχύτητα ω. Αν διπλασιαστεί η γωνιακή του ταχύτητα, τότε η κινητική του ενέργεια α. μένει η ίδια. β. διπλασιάζεται. γ. τετραπλασιάζεται. δ. οκταπλασιάζεται. Εσπερ Για να ισορροπεί ένα στερεό σώμα, αρκεί α. η συνισταμένη των δυνάμεων που ενεργούν πάνω του να είναι ίση με μηδέν. β. η συνισταμένη των ροπών των δυνάμεων που ενεργούν πάνω του να είναι ίση με μηδέν. γ. η συνισταμένη των δυνάμεων και η συνισταμένη των ροπών των δυνάμεων που ενεργούν πάνω του να είναι ίση με μηδέν. δ. το έργο του βάρους του να είναι ίσο με μηδέν. Ομογ Το μέτρο της στροφορμής L ενός στερεού σώματος που περιστρέφεται γύρω από άξονα με γωνιακή ταχύτητα ω και ροπή αδράνειας Ι, ως προς τον ίδιο άξονα περιστροφής, είναι α. Ι.ω. β. Ι.ω. γ. Ι.ω. δ. I. ω. Εσπερ Η ροπή αδράνειας ενός στερεού σώματος ως προς άξονα περιστροφής α. είναι διανυσματικό μέγεθος. β. έχει μονάδα μέτρησης το 1Ν m, στο S.I. γ. δεν εξαρτάται από την θέση του άξονα περιστροφής. δ. εκφράζει την αδράνεια του σώματος στην περιστροφική κίνηση. Επαν. Ημερ

211 17. Υλικό σημείο μάζας m και ταχύτητας υ κινείται σε περιφέρεια οριζόντιου κύκλου ακτίνας r, όπως στο σχήμα. Η στροφορμή του υλικού σημείου ως προς τον άξονα zz, ο οποίος διέρχεται από το κέντρο της κυκλικής τροχιάς και είναι κάθετος στο επίπεδό της α. είναι μονόμετρο μέγεθος. β. έχει μέτρο mυr. γ. είναι διάνυσμα και έχει διεύθυνση κάθετη στον άξονα zz. δ. έχει μονάδα το Kg m. Επαν. Εσπερ Όταν ένα σώμα εκτελεί ομαλή στροφική κίνηση, τότε η γωνιακή του α. ταχύτητα αυξάνεται. β. ταχύτητα μένει σταθερή. γ. επιτάχυνση αυξάνεται. δ. επιτάχυνση μειώνεται. Ομογ Η λεπτή ομογενής ράβδος του σχήματος έχει ροπή αδράνειας Ι 1, Ι, Ι 3, Ι 4 ως προς τους παράλληλους άξονες ε 1, ε, ε 3, ε 4 αντίστοιχα, όπως φαίνεται στο σχήμα. Η μικρότερη ροπή αδράνειας είναι η α. Ι 1. β. Ι. γ. Ι 3. δ. Ι 4. Επαν. Ημερ Στερεό σώμα στρέφεται γύρω από σταθερό άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας του. Η γωνιακή ταχύτητα (ω) μεταβάλλεται με το χρόνο (t), όπως στο σχήμα. Η συνισταμένη των ροπών που ασκούνται στο σώμα 17

212 α. είναι μηδέν τη χρονική στιγμή t 1. β. είναι σταθερή και διάφορη του μηδενός. γ. είναι σταθερή και ίση με το μηδέν. δ. αυξάνεται με το χρόνο. Επαν. Ημερ Αν έλιωναν οι πολικοί πάγοι και ανέβαινε λίγο η στάθμη της θάλασσας, τότε α. η στροφορμή της Γης ως προς τον άξονα περιστροφής της θα αυξηθεί, ενώ η ροπή αδράνειάς της ως προς τον ίδιο άξονα θα παραμείνει σταθερή. β. η στροφορμή της Γης ως προς τον άξονα περιστροφής της θα παραμείνει σταθερή, ενώ η ροπή αδράνειάς της ως προς τον ίδιο άξονα θα αυξηθεί. γ. η στροφορμή της Γης ως προς τον άξονα περιστροφής της θα παραμείνει σταθερή, ενώ η ροπή αδράνειάς της ως προς τον ίδιο άξονα θα μειωθεί. δ. η στροφορμή της Γης ως προς τον άξονα περιστροφής της θα μειωθεί, ενώ η ροπή αδράνειάς της ως προς τον ίδιο άξονα θα παραμείνει σταθερή. Ομογ. 01. Σε ένα αρχικά ακίνητο στερεό σώμα ασκούνται ομοεπίπεδες δυνάμεις έτσι ώστε αυτό να εκτελεί μόνο επιταχυνόμενη μεταφορική κίνηση. Για τη συνισταμένη των δυνάμεων F που του ασκούνται και για το αλγεβρικό άθροισμα των ροπών Στ ως προς οποιοδήποτε σημείο του, ισχύει: α. F = 0, Στ = 0. β. F 0, Στ 0. γ. F 0, Στ = 0. δ. F = 0, Στ 0. Ημερ Ένα μηχανικό στερεό περιστρέφεται γύρω από ακλόνητο άξονα περιστροφής. Αν διπλασιαστεί η στροφορμή του στερεού, χωρίς να αλλάξει θέση ο άξονας περιστροφής γύρω από τον οποίο στρέφεται, τότε η κινητική του ενέργεια α. παραμένει σταθερή. β. υποδιπλασιάζεται. γ. διπλασιάζεται. δ. τετραπλασιάζεται. Επαν. Ημερ Κατά τη στροφική κίνηση ενός στερεού γύρω από σταθερό άξονα α. η διεύθυνση του διανύσματος της στροφορμής του στερεού μεταβάλλεται. β. όλα τα σημεία του στερεού έχουν την ίδια γραμμική ταχύτητα. γ. κάθε σημείο του στερεού έχει γωνιακή ταχύτητα ανάλογη με την απόστασή του από τον άξονα περιστροφής. δ. κάθε σημείο του στερεού έχει μέτρο γραμμικής ταχύτητας ανάλογο με την απόστασή του από τον άξονα περιστροφής. Ομογ Ένα στερεό σώμα περιστρέφεται γύρω από ακλόνητο άξονα. Εάν διπλασιαστεί η στροφορμή του, χωρίς να αλλάξει ο άξονας περιστροφής γύρω από τον οποίο αυτό περιστρέφεται, τότε η κινητική του ενέργεια 18

213 α. παραμένει σταθερή. β. υποδιπλασιάζεται. γ. διπλασιάζεται. δ. τετραπλασιάζεται. Ημερ Η γωνιακή επιτάχυνση ενός ομογενούς δίσκου που στρέφεται γύρω από σταθερό άξονα, που διέρχεται από το κέντρο του και είναι κάθετος στο επίπεδό του, είναι ανάλογη α. με τη ροπή αδράνειας του δίσκου ως προς τον άξονα περιστροφής. β. με τη μάζα του δίσκου. γ. με την ακτίνα του δίσκου. δ. με τη ροπή που ασκείται στο δίσκο. Ομογ Ένας δίσκος στρέφεται γύρω από άξονα που διέρχεται απ ό το κέντρο του και είναι κάθετος στο επίπεδό του. Η τιμή της γωνιακής ταχύτητας του δίσκου σε συνάρτηση με τον χρόνο παριστάνεται στ ο διάγραμμα το υ παρακάτω σχήματος. Ποια από τις παρακάτω προτάσεις είναι η σωστή; α. Το μέτρο της γωνιακής επιτάχυνσης αυξάνεται στο χρονικό διάστημα από t 1 έως t. β. Το μέτρο της γωνιακής επιτάχυνσης τη χρονική στιγμή t 1 είναι μικρότερο από το μέτρο της γωνιακής επιτάχυνσης τη χρονική στιγμή t 4. γ. Τη χρονική στιγμή t 3 η γωνιακή επιτάχυνση είναι θετική. δ. Το διάνυσμα της γωνιακής επιτάχυνσης τη στιγμή t 1 έχει αντίθετη κατεύθυνση από την κατεύθυνση που έχει η γωνιακή επιτάχυνση τη χρονική στιγμή t 4. Ημερ Χορεύτρια περιστρέφεται χωρίς τριβές έχοντας τα χέρια της απλωμένα. Όταν η χορεύτρια κατά τη διάρκεια της περιστροφής συμπτύσσει τα χέρια της, τότε α. η ροπή αδράνειας της ως προς τον άξονα περιστροφής αυξάνεται β. η στροφορμή της ως προς τον άξονα περιστροφής της ελαττώνεται. γ. η συχνότητα περιστροφής αυξάνεται. δ. η περίοδος παραμένει σταθερή. Ημερ. 016 (παλαιού τύπου) 9. Μια αθλήτρια του καλλιτεχνικού πατινάζ περιστρέφεται, χωρίς τριβές, έχοντας τα χέρια της σε σύμπτυξη. Όταν η αθλήτρια, κατά την περιστροφή της, απλώσει τα χέρια της σε οριζόντια θέση, τότε α. η στροφορμή της μειώνεται. β. η στροφορμή της αυξάνεται. γ. η συχνότητα περιστροφής της αυξάνεται. 19

214 δ. η συχνότητα περιστροφής τ ης μειώνεται. Επαν. Ημερ Σε ένα αρχικά ακίνητο στερεό σώμα ασκείται σταθερή ροπή, οπότε αρχίζει να κινείται. Τότε α. το στερεό σώμα εκτελεί ομαλή στροφική κίνηση. β. το μέτρο της γωνιακής επιτάχυνσης του σώματος αυξάνεται συνεχώς. γ. το μέτρο της γωνιακής επιτάχυνσης του σώματος είναι σταθερό. δ. η στροφορμή του σώματος είναι σταθερή. Ομογ Ο ομογενής δίσκος του σχήματος ισορροπεί σε λείο οριζόντιο δάπεδο. Κάποια χρονική στιγμή ασκούμε στον δίσκο ζεύγος δυνάμεων, όπως φαίνεται στο σχήμα. Η κίνηση του δίσκου είναι α. μόνο στροφική με σταθερή γωνιακή ταχύτητα. β. μόνο μεταφορική με σταθερή ταχύτητα. γ. μόνο στροφική με σταθερή γωνιακή επιτάχυνση. δ. μόνο μεταφορική με σταθερή επιτάχυνση. Επαν. Ημερ. Ομογ. 017 Β. Ερωτήσεις αντιστοίχισης 1. Να γράψετε στο τετράδιό σας τα φυσικά μεγέθη από τη Στήλη I και δίπλα σε καθένα τη μονάδα της Στήλης II που αντιστοιχεί σ' αυτό. Ομογ

215 Γ. Ερωτήσεις Σωστού Λάθους Να χαρακτηρίσετε στο τετράδιό σας τις προτάσεις που ακολουθούν με το γράμμα Σ, αν είναι σωστές ή με το γράμμα Λ, αν είναι λανθασμένες. 1. α. Όταν ένας ακροβάτης που περιστρέφεται στον αέρα ανοίξει τα άκρα του, αυξάνεται η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής του. β. Στη μεταφορική κίνηση ενός σώματος κάθε χρονική στιγμή όλα τα σημεία του έχουν την ίδια ταχύτητα.. Η γωνιακή επιτάχυνση ενός στερεού σώματος που περιστρέφεται γύρω από σταθερό άξονα είναι ανάλογη προς τη συνολική εξωτερική ροπή που ασκείται στο σώμα. 3. Αν η στροφορμή ενός στερεού σώματος παραμένει σταθερή, τότε η συνολική εξωτερική ροπή που ασκείται στο σώμα είναι μηδέν. 4. Η στροφορμή ενός στερεού σώματος παραμένει σταθερή, αν το αλγεβρικό άθροισμα ροπών των δυνάμεων που ασκούνται σ αυτό είναι διάφορο του μηδενός. 5. Η ροπή αδράνειας εκφράζει την αδράνεια στη μεταφορική κίνηση. 6. Η ροπή ζεύγους δυνάμεων είναι ίδια ως προς οποιοδήποτε σημείο του επιπέδου που ορίζουν. 7. Κατά τη στροφική κίνηση ενός σώματος... α. όλα τα σημεία του σώματος έχουν την ίδια ταχύτητα. β. κάθε σημείο του σώματος κινείται με γραμμική ταχύτητα υ = ωr (ω η γωνιακή ταχύτητα, r η απόσταση του σημείου από τον άξονα περιστροφής). γ. κάθε σημείο του σώματος έχει γωνιακή ταχύτητα ω υ R η απόσταση του σημείου από το κέντρο μάζας). δ. η διεύθυνση του διανύσματος της γωνιακής ταχύτητας μεταβάλλεται. 8. Η μονάδα μέτρησης της ροπής αδράνειας είναι 1 kg m cm (υ cm η ταχύτητα του κέντρου μάζας, R 9. Ένας αθλητής καταδύσεων, καθώς περιστρέφεται στον αέρα, συμπτύσσει τα άκρα του. Με την τεχνική αυτή αυξάνεται η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής του. 10. α. Όταν η συνισταμένη δύναμη που ασκείται σε ένα στερεό σώμα είναι μηδέν, τότε το σώμα έχει πάντοτε μηδενική γωνιακή επιτάχυνση. 131

216 β. Η ροπή αδράνειας ενός στερεού σώματος είναι ανεξάρτητη από τη θέση του άξονα περιστροφής του. 11. Η ροπή αδράνειας ενός σώματος σταθερής μάζας έχει πάντα την ίδια τιμή. 1. Όταν ο φορέας της δύναμης, η οποία ασκείται σε ένα ελεύθερο στερεό σώμα δεν διέρχεται από το κέντρο μάζας του, τότε το σώμα εκτελεί μόνο μεταφορική κίνηση. 13. Αν η συνολική εξωτερική ροπή που ασκείται σε ένα σύστημα σωμάτων είναι ίση με μηδέν, η ολική στροφορμή του συστήματος μεταβάλλεται. 14. Τα διανύσματα της γωνιακής ταχύτητας ω και της γωνιακής επιτάχυνσης α έχουν πάντα την ίδια κατεύθυνση. 15. H ροπή αδράνειας ενός στερεού δεν εξαρτάται από τη θέση του άξονα περιστροφής του. 16. Η Γη έχει στροφορμή λόγω της κίνησής της γύρω από τον Ήλιο. 17. Όταν μια χορεύτρια καλλιτεχνικού πατινάζ, που περιστρέφεται, θέλει να περιστραφεί γρηγορότερα συμπτύσσει τα χέρια της. 18. H ροπή αδράνειας εκφράζει στη μεταφορική κίνηση ό,τι εκφράζει η μάζα στη στροφική κίνηση. 19. Η ροπή αδράνειας είναι μονόμετρο μέγεθος και έχει μονάδα μέτρησης στο S.I. το 1 kg m. 0. Η ροπή αδράνειας ενός στερεού σώματος δεν εξαρτάται από τον άξονας περιστροφής. 1. Η ροπή αδράνειας ενός στερεού σώματος είναι διανυσματικό μέγεθος.. α. Η ροπή αδράνειας είναι διανυσματικό μέγεθος. β. Η μονάδα μέτρησης του ρυθμού μεταβολής της στροφορμής στο σύστημα SI είναι το 1 3. Η στροφορμή είναι μονόμετρο μέγεθος. 4. Η ροπή ζεύγους δυνάμεων είναι ίδια ως προς οποιοδήποτε σημείο. 5. Η μονάδα της ροπής δύναμης στο SI είναι N.m. 6. Η ροπή ζεύγους δυνάμεων είναι ίδια ως προς οποιοδήποτε σημείο του επιπέδου τους. Kg.m. 7. Όταν ένας αστέρας συρρικνώνεται λόγω βαρύτητας, η γωνιακή ταχύτητά του λόγω ιδιοπεριστροφής αυξάνεται. 8. Η ροπή αδράνειας είναι διανυσματικό μέγεθος. 9. Το κέντρο μάζας ενός σώματος μπορεί να βρίσκεται και έξω από το σώμα. 30. Εάν η συνολική εξωτερική ροπή σε ένα σύστημα σωμάτων είναι μηδέν, η ολική στροφορμή του συστήματος αυξάνεται συνεχώς. 31. Όλα τα σημεία ενός σώματος που εκτελούν μεταφορική κίνηση έχουν την ίδια ταχύτητα. s 13

217 3. Αν η συνολική εξωτερική ροπή σ ένα σύστημα σωμάτων είναι μηδέν, τότε η ολική στροφορμή του συστήματος παραμένει σταθερή. 33. α. Ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής μετριέται σε m kg.. s β. Σε στερεό σώμα που εκτελεί στροφική κίνηση και το μέτρο της γωνιακής του ταχύτητας αυξάνεται, τα διανύσματα της γωνιακής ταχύτητας και της γωνιακής επιτάχυνσης είναι αντίρροπα. 34. Η ροπή αδράνειας ως προς άξονα ενός στερεού έχει τη μικρότερη τιμή της, όταν ο άξονας αυτός διέρχεται από το κέντρο μάζας του στερεού. 35. Μονάδα μέτρησης του ρυθμού μεταβολής της στροφορμής είναι και το1 Ν m. 36. Η ροπή ζεύγους δυνάμεων είναι ίδια ως προς οποιοδήποτε σημείο του επιπέδου τους. 37. Σε στερεό σώμα σφαιρικού σχήματος που στρέφεται με σταθερή γωνιακή ταχύτητα γύρω από άξονα διερχόμενο από το κέντρο του ισχύει πάντα ΣF= Τα υποθετικά στερεά που δεν παραμορφώνονται, όταν τους ασκούνται δυνάμεις, λέγονται μηχανικά στερεά. 39. Μονάδα μέτρησης στροφορμής στο SI είναι το1 N.m.s. 40. Σε μια μεταβαλλόμενη στροφική κίνηση στερεού σώματος, τα διανύσματα της γωνιακής επιτάχυνσης και της γωνιακής ταχύτητας έχουν πάντα την ίδια διεύθυνση. 41. Τροχός που κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει έχει κινητική ενέργεια, μόνο λόγω στροφικής κίνησης. 4. Η γη έχει στροφορμή λόγω περιστροφής γύρω από τον άξονά της και λόγω περιφοράς γύρω από τον ήλιο. 43. Η ροπή ζεύγους δυνάμεων είναι ίδια ως προς οποιοδήποτε σημείο του επιπέδου που ορίζουν οι δύο δυνάμεις. 44. α. Όταν οι ακροβάτες θέλουν να κάνουν πολλές στροφές στον αέρα, συμπτύσσουν τα χέρια και τα πόδια τους. β. Η ροπή ζεύγους δυνάμεων είναι η ίδια ως προς οποιοδήποτε σημείο του επιπέδου τους. 45. Η γη έχει στροφορμή μόνο λόγω της κίνησής της γύρω από τον ήλιο. 46. Κυλινδρικό σώμα κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει σε οριζόντιο επίπεδο. Η ταχύτητα του σημείου επαφής του κυλίνδρου με το επίπεδο είναι ίση με την ταχύτητα υ cm του κέντρου μάζας του. 47. Όταν ένα ποδήλατο κινείται προς το νότο, η στροφορμή των τροχών ως προς τον άξονα περιστροφής είναι ένα διάνυσμα με κατεύθυνση προς την ανατολή. 48. Η ροπή αδράνειας ενός στερεού σώματος είναι διανυσματικό μέγεθος. 49. α. Η ροπή αδράνειας ενός στερεού είναι ανεξάρτητη από τη θέση του άξονα περιστροφής. 133

218 β. Κατά τη στροφική κίνηση ενός σώματος όλα τα σημεία του σώματος έχουν την ίδια γωνιακή ταχύτητα. 50. Όταν ένας αστέρας συρρικνώνεται, λόγω βαρύτητας, η γωνιακή ταχύτητά του, λόγω περιστροφής, ελαττώνεται. 51. Η ροπή μιας δύναμης F ως προς άξονα περιστροφής είναι μηδέν, όταν ο φορέας της δύναμης είναι παράλληλος στον άξονα περιστροφής. 5. Η κίνηση ενός τροχού που κυλίεται είναι αποτέλεσμα της επαλληλίας μιας μεταφορικής και μιας στροφικής κίνησης. 53. Το συνολικό έργο της στατικής τριβής στην κύλιση χωρίς ολίσθηση ενός στερεού σώματος είναι ίσο με μηδέν. Δ. Ερωτήσεις συμπλήρωσης κενού Να γράψετε στο τετράδιό σας το γράμμα της πρότασης και δίπλα τη λέξη που τη συμπληρώνει σωστά. 1. Το αλγεβρικό άθροισµα των... που δρουν σ' ένα στερεό που περιστρέφεται γύρω από σταθερό άξονα, είναι ίσο µε την αλγεβρική τιµή του ρυθµού µεταβολής της στροφορµής του. Ημερ. 00. Εάν η συνολική εξωτερική ροπή σε ένα σύστημα σωμάτων είναι μηδέν, τότε η μεταβολή της ολικής στροφορμής του συστήματος είναι... Επαν. Ημερ. 003 ο ΘΕΜΑ 1. ίσκος παιδικής χαράς περιστρέφεται περί κατακόρυφο άξονα κάθετο στο επίπεδό του διερχόµενο από το κέντρο του δίσκου Ο. Στο δίσκο δεν ασκείται καµία εξωτερική δύναµη. Ένα παιδί µετακινείται από σηµείο Α της περιφέρειας του δίσκου στο σηµείο Β πλησιέστερα στο κέντρο του. Α. Τότε ο δίσκος θα περιστρέφεται: α. πιο αργά β. πιο γρήγορα. Β. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. Ημερ

219 . Στο σχήμα φαίνεται σε τομή το σύστημα δύο ομοαξονικών κυλίνδρων με ακτίνες R 1, R με R 1 >R που μπορεί να περιστρέφεται χωρίς τριβές γύρω από οριζόντιο άξονα, ο οποίος συμπίπτει με τον κατά μήκος άξονα συμμετρίας των κυλίνδρων. Εξαιτίας των ίσων βαρών w που κρέμονται από τους δύο κυλίνδρους, πώς θα περιστραφεί το σύστημα; α. σύμφωνα με τη φορά περιστροφής των δεικτών του ρολογιού β. αντίθετα προς τη φορά περιστροφής των δεικτών του ρολογιού. Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. Ομογ Καλλιτέχνης του πατινάζ περιστρέφεται γύρω από τον άξονά του, χωρίς τριβές. Στην αρχή ο καλλιτέχνης έχει τα χέρια απλωµένα και στη συνέχεια τα συµπτύσσει. Α. Ο καλλιτέχνης περιστρέφεται πιο γρήγορα, όταν έχει τα χέρια: α. απλωµένα β. συνεπτυγµένα. Β. Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. Ημερ Να εξηγήσετε γιατί η χρονική διάρκεια της περιστροφής της γης γύρω από τον εαυτό της παραμένει σταθερή, δηλαδή 4 ώρες. Επαν. Ημερ Στερεό σώμα περιστρέφεται γύρω από σταθερό άξονα με γωνιακή ταχύτητα ω. Αν η ροπή αδράνειας του σώματος ως προς τον άξονα περιστροφής του είναι Ι, να αποδείξετε ότι η κινητική ενέργεια του σώματος λόγω της στροφικής του κίνησης δίνεται από τη σχέση Κ= Επαν. Ημερ Δύο ομογενείς δακτύλιοι Α, Β των οποίων το πάχος είναι αμελητέο σε σχέση με την ακτίνα τους, έχουν την ίδια μάζα και ακτίνες R A, R B όπου R A > R B. Οι δακτύλιοι περιστρέφονται ο καθένας γύρω από άξονα που διέρχεται από το κέντρο τους και είναι κάθετος στο επίπεδό τους με την ίδια γωνιακή ταχύτητα. α. Ποιος από τους δύο δακτυλίους έχει μεγαλύτερη κινητική ενέργεια λόγω περιστροφής; β. Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. Ιω. Ομογ Ένα ομογενές σώμα με κανονικό γεωμετρικό σχήμα κυλίεται, χωρίς να ολισθαίνει. Η κινητική ενέργεια του σώματος λόγω της μεταφορικής κίνησης είναι ίση με την κινητική του ενέργεια λόγω της στροφικής κίνησης γύρω από τον άξονα που περνά από το κέντρο μάζας του. Α. γεωμετρικό σχήμα του σώματος είναι: Το 135

220 α. σφαίρα. β. λεπτός δακτύλιος. γ. κύλινδρος. Β. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. Επαν. Ημερ Δακτύλιος και δίσκος με οπή, η μάζα του οποίου είναι ομογενώς κατανεμημένη, όπως στο σχήμα, έχουν την ίδια μάζα και την ίδια ακτίνα. Α. Αν Ι ΔΣ και Ι ΔΚ οι ροπές αδράνειας του δίσκου και του δακτυλίου αντίστοιχα ως προς άξονες κάθετους στο επίπεδό τους που διέρχονται από τα κέντρα τους, τι ισχύει; α. Ι ΔΣ > Ι ΔΚ. β. Ι ΔΣ < Ι ΔΚ. γ. Ι ΔΣ = Ι ΔΚ. Β. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. Εσπερ Τρεις σφαίρες αμελητέων διαστάσεων που η κάθε μία έχει την ίδια μάζα m, συνδέονται μεταξύ τους με ράβδους αμελητέας μάζας και μήκους L, όπως φαίνεται στο σχήμα. Το σύστημα περιστρέφεται σε οριζόντιο επίπεδο γύρω από κατακόρυφο άξονα που διέρχεται από μία από τις σφαίρες. Α. Η ροπή αδράνειας του συστήματος ως προς αυτόν τον άξονα είναι: α. ml β. ml γ. 3mL Β. Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. Επαν. Εσπερ Σώμα ακίνητο αρχίζει τη χρονική στιγμή t=0 να περιστρέφεται γύρω από σταθερό άξονα με σταθερή γωνιακή επιτάχυνση. Αν τη χρονική στιγμή t 1 η κινητική ενέργεια λόγω της περιστροφής είναι K 1 και τη χρονική στιγμή t =t 1 είναι Κ, τότε: α. Κ = Κ 1 β. Κ = 4Κ 1 γ. Κ = 8Κ 1 Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. Επαν. Εσπερ

221 11. Δύο ομογενείς κυκλικοί δακτύλιοι Δ 1 και Δ με ακτίνες R και R, κυλίονται σε οριζόντιο επίπεδο με σταθερές γωνιακές ταχύτητες 3ω και ω, αντίστοιχα. Ο λόγος των ταχυτήτων των κέντρων μάζας των δακτυλίων Δ 1 και Δ, είναι 3 α.. 1 β.. Να δικαιολογήσετε την επιλογή σας. γ. 1. Ομογ Δύο ίδιοι οριζόντιοι κυκλικοί δίσκοι (α) και (β) μπορούν να ολισθαίνουν πάνω σε οριζόντιο ορθογώνιο τραπέζι ΓΔΕΖ χωρίς τριβές, όπως στο σχήμα. Αρχικά οι δύο δίσκοι είναι ακίνητοι και τα κέντρα τους απέχουν ίδια απόσταση από την πλευρά ΕΖ. Ίδιες σταθερές δυνάμεις F με διεύθυνση παράλληλη προς τις πλευρές ΔΕ και ΓΖ ασκούνται σ αυτούς. Στο δίσκο (α) η δύναμη ασκείται πάντα στο σημείο Α του δίσκου. Στο δίσκο (β) η δύναμη ασκείται πάντα στο σημείο Β του δίσκου. Α. Αν ο δίσκος (α) χρειάζεται χρόνο t α για να φτάσει στην απέναντι πλευρά ΕΖ, ενώ ο δίσκος (β) χρόνο t β, τότε: α. t α > t β β. t α = t β γ. t α < t β Β. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. Ημερ Yποθέτουμε ότι κλιματολογικές συνθήκες επιβάλλουν την μετανάστευση του πληθυσμού της Γης προς τις πολικές ζώνες. Α. Η κινητική ενέργεια λόγω περιστροφής της Γης γύρω από τον άξονά της: α. θα μείνει σταθερή. β. θα ελαττωθεί. γ. θα αυξηθεί. Β. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. Επαν. Ημερ Ομογενής σφαίρα μάζας m και ακτίνας R κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει σε οριζόντιο επίπεδο. Η ταχύτητα του κέντρου μάζας της σφαίρας είναι υ. Η ροπή αδράνειας της σφαίρας ως προς άξονα cm που διέρχεται από το κέντρο μάζας της είναι I cm = 5 mr. 137

222 Α. Η ολική κινητική ενέργεια της σφαίρας είναι α. 5 mυ cm. β. 7 cm 10 Β. Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. mυ. γ mυ cm. Εσπερ Ένας απομονωμένος ομογενής αστέρας σφαιρικού σχήματος ακτίνας R στρέφεται γύρω από τον εαυτό του (ιδιοπεριστροφή) με συχνότητα f 0. O αστέρας συρρικνώνεται λόγω βαρύτητας διατηρώντας το σφαιρικό του σχήμα και την αρχική του μάζα. Σε κάποιο στάδιο της συρρίκνωσής του η νέα συχνότητα ιδιοπεριστροφής του θα είναι α. μεγαλύτερη από την αρχική συχνότητα f 0. β. μικρότερη από την αρχική συχνότητα f 0. γ. ίση με την αρχική συχνότητα f 0. Να επιλέξετε το γράμμα που αντιστοιχεί στο σωστό συμπλήρωμα. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. Ομογ Σε οριζόντιο επίπεδο ο δίσκος του σχήματος με ακτίνα R κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει και η ταχύτητα του κέντρου μάζας του Κ είναι υ cm. Α. H ταχύτητα του σημείου που βρίσκεται στη θέση Β της κατακόρυφης διαμέτρου και απέχει απόσταση R από το Κ θα είναι α. 3 υcm. β. Β. Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. υcm. γ. 3 5 υcm. Ημερ Ένας κύλινδρος που είναι αρχικά ακίνητος και μπορεί να περιστραφεί γύρω από το σταθερό άξονά του δέχεται την επίδραση σταθερής ροπής. 138

223 Α. Τη στροφορμή του κυλίνδρου σε συνάρτηση με το χρόνο απεικονίζει το σχήμα α. Ι. β. ΙΙ. γ. ΙΙΙ. Β. Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. Εσπερ Στο σχήμα φαίνεται ένας ομογενής συμπαγής κυκλικός δίσκος (Ι) και ένας ομογενής συμπαγής κυκλικός δακτύλιος (ΙΙ), που έχουν την ίδια ακτίνα και την ίδια μάζα. Κάποια χρονική στιγμή ασκούνται στα σώματα αυτά δυνάμεις ίδιου μέτρου, εφαπτόμενες στην περιφέρεια. Οι γωνιακές επιταχύνσεις που θα αποκτήσουν θα είναι α. α I = α ΙΙ. β. α I < α ΙΙ. γ. α I > α ΙΙ. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. Επαν. Ημερ Η συνολική ροπή των δύο αντίρροπων δυνάμεων F 1 και F του σχήματος, που έχουν ίδιο μέτρο, είναι α. μεγαλύτερη ως προς το σημείο Κ. β. μεγαλύτερη ως προς το σημείο Μ. γ. ανεξάρτητη του σημείου ως προς το οποίο υπολογίζεται. Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. Εσπερ Ένας κύβος και μία σφαίρα ίδιας μάζας αφήνονται να κινηθούν από το ίδιο ύψος δύο διαφορετικών κεκλιμένων επιπέδων. Ο κύβος ολισθαίνει χωρίς τριβές στο ένα και η σφαίρα κυλίεται χωρίς ολίσθηση στο άλλο. Για τις ταχύτητες του κύβου και του κέντρου μάζας της σφαίρας στη βάση των κεκλιμένων επιπέδων ισχύει ότι α. μεγαλύτερη είναι η ταχύτητα του κύβου. β. μεγαλύτερη είναι η ταχύτητα της σφαίρας. γ. οι ταχύτητες είναι ίσες. Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. 139

224 Εσπερ Η ομογενής ράβδος AB του σχήματος μπορεί να περιστρέφεται χωρίς τριβές γύρω από τον άξονα συμμετρίας (ξ) του σχήματος. Οι δύο σφαίρες Σ 1, Σ μάζας m καθεμιά μπορούν να μετακινούνται κατά μήκος της ράβδου. Η ράβδος ξεκινά να περιστρέφεται α. πιο εύκολα στη θέση 1. β. πιο εύκολα στη θέση. γ. το ίδιο εύκολα και στις δύο περιπτώσεις. Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. Εσπερ Σε ένα ακίνητο ρολόι που βρίσκεται σε κανονική λειτουργία, ο λόγος της στροφορμής του λεπτοδείκτη (L 1 ) προς την στροφορμή του ωροδείκτη (L ), ως προς τον κοινό άξονα περιστροφής L1 K1 τους, είναι λ, όπου λ θετική σταθερά. Ο λόγος των κινητικών ενεργειών τους αντίστοιχα L K είναι α. 6λ. β. 1λ. γ. 4λ. Να επιλέξετε το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. Επαν. Ημερ Ο δίσκος του σχήματος κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει σε οριζόντιο επίπεδο. Η ταχύτητα του κέντρου του Ο είναι υ 0. Το σημείο Α βρίσκεται στην περιφέρεια του δίσκου και το ΑΟ είναι οριζόντιο. Η ταχύτητα του σημείου Α έχει μέτρο α. υ Α = υ 0. β. υ Α = υ 0. γ. υ Α = υ 0. Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. Ημερ

225 4. Στη θέση Α οριζόντιου δίσκου βρίσκεται ένα παιδί και το σύστημα παιδί - δίσκος περιστρέφεται χωρίς τριβές, με γωνιακή ταχύτητα ω, γύρω από κατακόρυφο άξονα που διέρχεται από το κέντρο του δίσκου Ο. Αν το παιδί μετακινηθεί από τη θέση Α στη θέση Β του δίσκου (σχήμα), τότε η γωνιακή ταχύτητα του δίσκου α. θα αυξηθεί. β. θα παραμείνει η ίδια. γ. θα μειωθεί. Να αιτιολογήσετε την απάντηση σας. Εσπερ Χορεύτρια στρέφεται, χωρίς τριβές, έχοντας ανοιχτά τα δυο της χέρια με σταθερή γωνιακή ταχύτητα μέτρου ω. Η χορεύτρια συμπτύσσοντας τα χέρια της αυξάνει το μέτρο της γωνιακής ταχύτητας περιστροφής της, σε χορεύτριας, ως προς τον άξονα περιστροφής της, είναι: α. 1. β. 5. γ. 5. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. ω 5. Ο λόγος της αρχικής προς την τελική ροπή αδράνειας της Επαν. Ημερ Η οριζόντια ράβδος του σχήματος είναι αβαρής, η σημειακή μάζα m 1 είναι τετραπλάσια από τη σημειακή μάζα m, και το μήκος d είναι διπλάσιο από το μήκος d 1. Το σύστημα περιστρέφεται χωρίς τριβές γύρω από τον κατακόρυφο άξονα z z. Η ροπή αδράνειας της μάζας m 1 ως προς τον άξονα z z είναι α. μεγαλύτερη από β. μικρότερη από γ. ίση με τη ροπή αδράνειας της μάζας m ως προς τον ίδιο άξονα. Να επιλέξετε το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. Να δικαιολογήσετε την επιλογή σας. Ομογ

226 7. Τροχός αρχικά ακίνητος, αρχίζει (t=0) και περιστρέφεται υπό την επίδραση σταθερής ροπής, γύρω από σταθερό άξονα, που διέρχεται από το κέντρο του και είναι κάθετος στο επίπεδό του. Η κινητική ενέργεια K του τροχού ως συνάρτηση του χρόνου απεικονίζεται στο σχήμα: Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση. Να αιτιολογήσετε την επιλογή σας. Επαν. Εσπερ Τροχαλία μπορεί να περιστρέφεται χωρίς τριβές γύρω από ακλόνητο οριζόντιο άξονα που περνά από το κέντρο μάζας της. Γύρω από την τροχαλία είναι τυλιγμένο αβαρές και μη εκτατό νήμα. Όταν στο ελεύθερο άκρο του νήματος ασκούμε κατακόρυφη δύναμη με φορά προς τα κάτω μέτρου F, η τροχαλία αποκτά γωνιακή επιτάχυνση μέτρου α γων,1 ενώ, όταν κρεμάμε στο ελεύθερο άκρο του νήματος σώμα βάρους w = F η τροχαλία αποκτά γωνιακή επιτάχυνση α γων,. Ισχύει: α. α γων,1 = α γων,. β. α γων,1 > α γων,. γ. α γων,1 < α γων,. Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση. Να δικαιολογήσετε την επιλογή σας. Επαν. Ημερ Μία δοκός κινείται πάνω σε δύο όμοιους κυλίνδρους, όπως φαίνεται στο σχήμα, χωρίς να ολισθαίνει. Οι κύλινδροι κυλίονται στο οριζόντιο δάπεδο χωρίς να ολισθαίνουν. Αν η δοκός μετατοπιστεί κατά 10 cm ο κάθε κύλινδρος θα μετατοπιστεί κατά α. 10 cm. β. 5 cm. γ. 0 cm. Να επιλέξετε το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή τιμή. Να δικαιολογήσετε την επιλογή σας. Ομογ

227 30. Ένας δίσκος Δ 1 με ροπή αδράνειας Ι 1 στρέφεται με γωνιακή ταχύτητα ω 1 και φορά περιστροφής όπως φαίνεται στο σχήμα, γύρω από σταθερό κατακόρυφο άξονα που διέρχεται από το κέντρο του και είναι κάθετος στο επίπεδό του. I 1 Ένας δεύτερος δίσκος Δ με ροπή αδράνειας Ι =, που αρχικά είναι ακίνητος, τοποθετείται 4 πάνω στο δίσκο Δ 1, ενώ αυτός περιστρέφεται, έτσι ώστε να έχουν κοινό άξονα περιστροφής, που διέρχεται από τα κέντρα των δύο δίσκων, όπως δείχνει το σχήμα. Μετά από λίγο οι δύο δίσκοι αποκτούν κοινή γωνιακή ταχύτητα ω. Η κοινή γωνιακή ταχύτητα ω των δύο δίσκων είναι 1 5 α. ω = ω1. β. ω = ω1. γ. ω = ω Να επιλέξετε το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή τιμή. Να δικαιολογήσετε την επιλογή σας. 5 Ημερ Στο σχήμα φαίνεται ένας ομογενής συμπαγής κυκλικός δίσκος(1) και ένας συμπαγής κυκλικός δακτύλιος(), που έχουν την ίδια ακτίνα και την ίδια μάζα. Κάποια χρονική στιγμή ασκούνται στα σώματα αυτά δυνάμεις ίδιου μέτρου, εφαπτόμενες στην περιφέρεια, όπως φαίνεται στο σχήμα και τα σώματα αρχίζουν να κυλίονται χωρίς να ολισθαίνουν στο οριζόντιο επίπεδο. α. Για τις ροπές αδράνειας Ι 1 και Ι των σωμάτων (1) και () αντίστοιχα, ισχύει: i. Ι 1 = Ι. ii. Ι 1 < Ι. iii. Ι 1 > Ι. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. β. Για τις επιταχύνσεις των κέντρων μάζας α cm,1 και α cm, των σωμάτων (1) και () αντίστοιχα, ισχύει: i. α cm,1 = α cm,. ii. α cm,1 < α cm,. iii. α cm,1 > α cm,. Να επιλέξετε την σωστή απάντηση. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. Ομογ

228 3. Οριζόντιος, αρχικά ακίνητος, δίσκος μπορεί να στρέφεται γύρω από σταθερό άξονα που διέρχεται από το κέντρο του και είναι κάθετος στο επίπεδό του. Το αλγεβρικό άθροισμα των ροπών που ασκούνται στο δίσκο μεταβάλλεται σε συνάρτηση με το χρόνο, όπως φαίνεται στο σχήμα. Τότε, η γωνιακή ταχύτητα του δίσκου έχει τη μέγιστη τιμή της τη χρονική στιγμή i. t 1. ii. t. iii. t 3. Να επιλέξετε την σωστή απάντηση. Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. Επαν. Ημερ Αθλήτρια του καλλιτεχνικού πατινάζ περιστρέφεται γύρω από κατακόρυφο άξονα που περνάει από το κέντρο μάζας της. Οι εξωτερικές δυνάμεις που ασκούνται στην αθλήτρια δεν δημιουργούν ροπή ως προς τον άξονα περιστροφής της και οι τριβές με τον πάγο είναι αμελητέες. Αν κάποια στιγμή συμπτύξει τα χέρια της, ενώ συνεχίζει να στρέφεται γύρω από τον ίδιο άξονα, η κινητική ενέργεια λόγω περιστροφής της αθλήτριας: i. παραμένει σταθερή. ii. μειώνεται. iii. αυξάνεται. Να επιλέξετε την σωστή απάντηση. Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. Ομογ Λεπτή ομογενής ράβδος μάζας Μ και μήκους L μπορεί να περιστρέφεται σε κατακόρυφο επίπεδο, γύρω από οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το ένα άκρο της. Στο άλλο άκρο της ράβδου, είναι στερεωμένο σφαιρίδιο μάζας m = Μ / (Σχήμα 1). Τη χρονική στιγμή που το σύστημα ράβδουσφαιριδίου αφήνεται να κινηθεί από την οριζόντια θέση, ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής της ράβδου είναι: ΔL ρ i. = 1 ΜgL. ii. ΔL ρ = ΜgL. iii. ΔL ρ = ΜgL. Δt Δt Δt 5 Δίνεται ότι η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς τον άξονα περιστροφής της που περνά από το άκρο της, είναι Ι ρ = 1 3 ΜL.. Να επιλέξετε την σωστή απάντηση. Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. Ημερ

229 35. Ένα ομογενές σώμα (δακτύλιος ή σφαιρικός φλοιός ή συμπαγής σφαίρα) έχει ροπή αδράνειας ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας του, που δίνεται από τη σχέση Ι CΜ = αmr, όπου m η μάζα του σώματος, R η ακτίνα του και α ένας θετικός αριθμός μικρότερος ή ίσος της μονάδας (0 < α 1). Το σώμα κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει. Αν η κινητική ενέργεια του σώματος λόγω μεταφορικής κίνησης προς την ολική κινητική ενέργεια είναι Κ μ / Κ ολ = 5 / 7, τότε το α έχει την τιμή: i. α = 1. ii. α = /3. iii. α = /5. Να επιλέξετε την σωστή απάντηση. Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. Ομογ Ένα μεταλλικό νόμισμα εκσφενδονίζεται κατακόρυφα προς τα άνω με αρχική ταχύτητα υ 0 και αρχική γωνιακή ταχύτητα ω 0. Αν η αντίσταση του αέρα είναι αμελητέα τότε, όταν το νόμισμα φτάσει στο ανώτατο ύψος i. θα σταματήσει να περιστρέφεται. ii. θα περιστρέφεται με γωνιακή ταχύτητα μικρότερη της αρχικής. iii. θα περιστρέφεται με γωνιακή ταχύτητα ίση της αρχικής. Να επιλέξετε την σωστή απάντηση. Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. Ημερ. 016 (παλαιού τύπου) 37. Η αβαρής λεπτή ράβδος του παρακάτω σχήματος είναι οριζόντια και μπορεί να στρέφεται γύρω από κατακόρυφο άξονα, που διέρχεται από το μέσο της Κ. Σε απόσταση d από τον άξονα περιστροφής βρίσκονται δύο μικρές μεταλλικές χάντρες ίδιας μάζας m, οι οποίες συνδέονται μεταξύ τους με νήμα. Το σύστημα στρέφεται με γωνιακή ταχύτητα ω. Κάποια στιγμή το νήμα κόβεται, οπότε οι χάντρες κολλάνε στα άκρα της ράβδου. Η νέα γωνιακή ταχύτητα με την οποία στρέφεται το σύστημα είναι i. μεγαλύτερη από την αρχική. ii. μικρότερη από την αρχική. iii. ίση με την αρχική. Να επιλέξετε την σωστή απάντηση. Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. Επαν. Ημερ. 016 (παλαιού τύπου) 38. Ένας απομονωμένος ομογενής αστέρας σφαιρικού σχήματος ακτίνας R στρέφεται γύρω από άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας του με αρχική κινητική ενέργεια λόγω ιδιοπεριστροφής K 0. Ο αστέρας συρρικνώνεται λόγω βαρύτητας διατηρώντας το σφαιρικό του σχήμα και την αρχική 145

230 του μάζα. Σε κάποιο στάδιο της συρρίκνωσής του η ακτίνα του υποδιπλασιάζεται. Η νέα κινητική του ενέργεια λόγω ιδιοπεριστροφής είναι ίση με K. Δίνεται η ροπή αδράνειας ομογενούς συμπαγούς σφαίρας ακτίνας r ως προς άξονα που διέρχεται το κέντρο μάζας της mr 5 I. Ο λόγος Κ Κ 0 είναι ίσος με α. 1. β.. γ. 4. Να επιλέξετε την σωστή απάντηση. Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. Επαν. Ημερ. Ομογ

231 3 ο ΘΕΜΑ 1. Οριζόντιος ομογενής και συμπαγής δίσκος, μάζας Μ=3kg και ακτίνας R=0,m, μπορεί να περιστρέφεται χωρίς τριβές γύρω από κατακόρυφο άξονα που διέρχεται από το κέντρο του. Τη χρονική στιγμή t=0 ασκούμε στο δίσκο δύναμη F σταθερού μέτρου 3Ν που εφάπτεται στην περιφέρειά του, οπότε ο δίσκος αρχίζει να περιστρέφεται. Κάποια χρονική στιγμή t 1 o δίσκος έχει κινητική ενέργεια K=75J. Να υπολογίσετε : α) τη ροπή αδράνειας του δίσκου ως προς τον άξονα περιστροφής του. β) τη γωνιακή επιτάχυνση του δίσκου. γ) τη γωνιακή του ταχύτητα τη χρονική στιγμή t 1. δ) τη ροπή αδράνειας του δίσκου, αν η περιστροφή του γινόταν γύρω από κατακόρυφο άξονα που περνάει από το μέσον μιας ακτίνας του. Η ροπή αδράνειας του παραπάνω δίσκου, ως προς άξονα που είναι κάθετος στο επίπεδό του και διέρχεται από το κέντρο του, δίνεται από τη σχέση Ι cm = 1 MR. Ομογ. 00. Το γιο-γιο του σχήματος αποτελείται από ομογενή συμπαγή κύλινδρο που έχει μάζα m=0,1kg και ακτίνα R=1,5 10 m.. Γύρω από τον κύλινδρο έχει τυλιχτεί νήμα. Τη χρονική στιγμή t=0 αφήνουμε τον κύλινδρο να πέσει. Το νήμα ξετυλίγεται και ο κύλινδρος περιστρέφεται γύρω από νοητό οριζόντιο άξονα x x, ο οποίος ταυτίζεται με τον άξονα συμμετρίας του. Το νήμα σε όλη τη διάρκεια της κίνησης του κυλίνδρου παραμένει κατακόρυφο και τεντωμένο και δεν ολισθαίνει στην περιφέρεια του κυλίνδρου. Τη στιγμή που έχει ξετυλιχτεί νήμα μήκους l=0r, η ταχύτητα του κέντρου μάζας του κυλίνδρου είναι υ cm = s m. α. Να υπολογίσετε τη ροπή αδράνειας του κυλίνδρου ως προς τον άξονα περιστροφής του. 147

232 (Ο τύπος που μας δίνει τη ροπή αδράνειας του κυλίνδρου ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας του, δεν θεωρείται γνωστός). β. Να υπολογίσετε το μέτρο του ρυθμού μεταβολής της στροφορμής του κυλίνδρου, καθώς αυτός κατέρχεται. γ. Τη χρονική στιγμή που η ταχύτητα του κέντρου μάζας του κυλίνδρου είναι υ cm = s m, το νήμα κόβεται. Να υπολογίσετε το μέτρο της στροφορμής του κυλίνδρου ως προς τον άξονα περιστροφής του μετά την πάροδο χρόνου 0,8 s από τη στιγμή που κόπηκε το νήμα. δ. Να κάνετε σε βαθμολογημένους άξονες το διάγραμμα του μέτρου της στροφορμής σε συνάρτηση με το χρόνο από τη χρονική στιγμή t=0, μέχρι τη χρονική στιγμή που αντιστοιχεί σε χρόνο 0,8 s από τη στιγμή που κόπηκε το νήμα. m ίνεται: g=10 s. Επαν. Ημερ Η ράβδος ΟΑ του σχήματος με μήκος L = 1m και μάζα Μ = 6kg είναι οριζόντια και περιστρέφεται υπό την επίδραση οριζόντιας δύναμης F που έχει σταθερό μέτρο και είναι διαρκώς κάθετη στη ράβδο, στο άκρο της Α. Η περιστροφή γίνεται γύρω από σταθερό κατακόρυφο άξονα που διέρχεται από το Ο. Αρχικά η ράβδος είναι ακίνητη. Οι τριβές θεωρούνται αμελητέες. Να υπολογιστούν: α. Η τιμή της δύναμης F, αν γνωρίζουμε ότι το έργο που έχει προσφέρει η δύναμη στη διάρκεια της πρώτης περιστροφής είναι 30π J. β. Η γωνιακή επιτάχυνση της ράβδου. γ. Ο ρυθμός με τον οποίο η δύναμη μεταφέρει ενέργεια στη ράβδο στο τέλος της πρώτης περιστροφής. Δίνονται: π =9,7. 30 Η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο 1 1 μάζας της και είναι κάθετος στη ράβδο I cm ML. Επαν. Ημερ

233 4. Ομογενής και ισοπαχής ράβδος μήκους L=4m και μάζας M=kg ισορροπεί οριζόντια. Το άκρο Α της ράβδου συνδέεται με άρθρωση σε κατακόρυφο τοίχο. Σε σημείο Κ της ράβδου έχει προσδεθεί το ένα άκρο κατακόρυφου αβαρούς νήματος σταθερού μήκους, με το επάνω άκρο του συνδεδεμένο στην οροφή, όπως φαίνεται στο σχήμα. Στο σημείο Γ ισορροπεί ομογενής σφαίρα μάζας m=,5kg και ακτίνας r=0,m. Δίνονται ΑΚ=, L 4 ΑΓ= 3L 4. α. Να υπολογισθεί το μέτρο της δύναμης που ασκεί το νήμα στη ράβδο. Τη χρονική στιγμή t=0 ασκείται στο κέντρο μάζας της σφαίρας με κατάλληλο τρόπο, σταθερή οριζόντια δύναμη μέτρου F=7N, με φορά προς το άκρο Β. Η σφαίρα κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει. β. Να υπολογισθεί το μέτρο της επιτάχυνσης του κέντρου μάζας της σφαίρας κατά την κίνησή της. γ. Να υπολογισθεί το μέτρο της ταχύτητας του κέντρου μάζας της σφαίρας όταν φθάσει στο άκρο Β. δ. Να υπολογισθεί το μέτρο της στροφορμής της σφαίρας όταν φθάσει στο άκρο Β. Δίνονται: η ροπή αδράνειας της σφαίρας μάζας m ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας m της. I mr και g=10 5 s Ημερ Κυκλική στεφάνη ακτίνας R=0,m και μάζας m=1kg κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει, όπως φαίνεται στο σχήμα. Η ταχύτητα του κέντρου μάζας Κ είναι υ cm =10 s m. Η ροπή αδράνειας της στεφάνης ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας της και είναι κάθετος προς το επίπεδό της είναι Ι cm = mr. Ο είναι το κατώτατο και A το ανώτατο σημείο της στεφάνης. Η ευθεία ΚΒ είναι παράλληλη στο δάπεδο. 149

234 Να υπολογίσετε: α. τα μέτρα των ταχυτήτων στα σημεία Ο, Α και Β της στεφάνης. β. τη γωνιακή ταχύτητα της στεφάνης. γ. τη ροπή αδράνειας της στεφάνης ως προς το σημείο Ο. δ. την κινητική ενέργεια της στεφάνης. Εσπερ Οριζόντιος ομογενής δίσκος με μάζα Μ=Kg και ακτίνα R=0,5m μπορεί να στρέφεται χωρίς τριβές γύρω από σταθερό κατακόρυφο άξονα που διέρχεται από το κέντρο του. Ο δίσκος αρχικά είναι ακίνητος. Κάποια στιγμή t = 0, ασκείται σε σημείο της περιφέρειας του 0 δίσκου δύναμη σταθερού μέτρου F=10N, συνεχώς εφαπτόμενη σε αυτόν. α. Να υπολογίσετε το έργο της δύναμης F από τη στιγμή t =0 έως τη στιγμή που η γωνιακή 0 ταχύτητα του δίσκου έχει γίνει ω=8 rad/s. β. Να υπολογίσετε τη γωνία που έχει διαγράψει ο δίσκος μέχρι εκείνη τη στιγμή. γ. Να υπολογίσετε την ισχύ της δύναμης F την ίδια στιγμή. Τη στιγμή που η γωνιακή ταχύτητα του δίσκου είναι ω = 8 rad/s, η δύναμη F καταργείται και ο δίσκος συνεχίζει να στρέφεται με την ταχύτητα αυτή. Από κάποιο ύψος αφήνεται να πέσει ένα κομμάτι λάσπης μάζας m=1kg αμελητέων διαστάσεων, που κολλάει στον δίσκο σε σημείο της περιφέρειάς του. δ. Να υπολογίσετε τη νέα γωνιακή ταχύτητα που θα αποκτήσει το σύστημα δίσκος λάσπη. Η ροπή αδράνειας του δίσκου ως προς τον άξονα περιστροφής του είναι Ι = 1 ΜR. Επαν. Εσπερ

235 ημ60 0 = συν30 0 = 3, ημ30 0 = συν60 0 = 1. Ημερ Ομογενής και ισοπαχής δοκός ( ΟΑ), μάζας M=6 kg και μήκους l =0,3 m, μπορεί να στρέφεται χωρίς τριβές σε κατακόρυφο επίπεδο γύρω από οριζόντιο άξονα που περνά από το ένα άκρο της Ο. Στο άλλο της άκρο Α υπάρχει στερεωμένη μικρή σφαίρα μάζας m =. Γ1. Βρείτε την ροπή αδράνειας του συστήματος δοκού - σφαίρας ως προς τον άξονα περιστροφής του. Ασκούμε στο άκρο Α δύναμη, σταθερού μέτρου F = N, που είναι συνεχώς κάθετη στη δοκό, όπως φαίνεται στο σχήμα. Γ. Βρείτε το έργο της δύναμης F κατά την περιστροφή του συστήματος μέχρι την οριζόντια θέση της. Γ3. Βρείτε την γωνιακή ταχύτητα του συστήματος δοκού - σφαίρας στην οριζόντια θέση. Επαναφέρουμε το σύστημα δοκού - σφαίρας στην αρχική κατακόρυφη θέση του. Ασκούμε στο άκρο Α δύναμη, σταθερού μέτρου F =30 3N, που είναι συνεχώς κάθετη στη δοκό. Γ4. Βρείτε τη γωνία που σχηματίζει η δοκός με την κατακόρυφο τη στιγμή που η κινητική της ενέργεια γίνεται μέγιστη. ίνονται: g=10 s m, ροπή αδράνειας ομογενούς δοκού μάζας Μ και μήκους l, ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας της και είναι κάθετος σε αυτήν 1 1 I cm = ML, 8. Ομογενής και ισοπαχής δοκός ( ΟΑ), μάζας M=6 kg και μήκους l =0,3 m, μπορεί να στρέφεται χωρίς τριβές σε κατακόρυφο επίπεδο γύρω από οριζόντιο άξονα που περνά από το ένα άκρο της Ο. Στο άλλο της άκρο Α υπάρχει στερεωμένη μικρή σφαίρα μάζας m =. Γ1. Βρείτε την ροπή αδράνειας του συστήματος δοκού -σφαίρας ως προς τον άξονα περιστροφής του. Ασκούμε στο άκρο Α δύναμη, σταθερού μέτρου F = N, που είναι συνεχώς κάθετη στη δοκό, όπως φαίνεται στο σχήμα. 151

236 Η δοκός με τη μικρή σφαίρα αφήνεται ελεύθερη από την οριζόντια θέση της ΙΙ, χωρίς αρχική γωνιακή ταχύτητα. Φτάνοντας στην κατακόρυφη θέση Ι, συγκρούεται με ακίνητο σφαιρίδιο, μάζας M m 1 =, που είναι δεμένο στο άκρο νήματος μήκους l και το άλλο άκρο στερεωμένο στο Ο. Το σύστημα δοκού - σφαίρας μετά την κρούση παραμένει ακίνητο. Γ4. Βρείτε την ταχύτητα της σφαίρας μάζας αμέσως μετά την κρούση. m ίνονται: g =10 s, ροπή αδράνειας ομογενούς δοκού μάζας Μ και μήκους l, ως προς άξονα 1 που διέρχεται από το κέντρο μάζας της και είναι κάθετος σε αυτήν I cm = ML. 1 Εσπερ Συμπαγής ομογενής δίσκος, μάζας Μ = kg και ακτίνας R =0,1m, είναι προσδεδεμένος σε ιδανικό ελατήριο, σταθεράς k=100 Γ1. Να υπολογίσετε την επιμήκυνση του ελατηρίου. Γ. Να υπολογίσετε το μέτρο της στατικής τριβής και να προσδιορίσετε την κατεύθυνσή της. Κάποια στιγμή το ελατήριο κόβεται στο σημείο Α και ο δίσκος αμέσως κυλίεται, χωρίς να ολισθαίνει, κατά μήκος του κεκλιμένου επιπέδου. Γ3. Να υπολογίσετε την επιτάχυνση του κέντρου μάζας του δίσκου. Γ4. Να υπολογίσετε τη στροφορμή του δίσκου ως προς τον άξονα περιστροφής του, όταν το κέντρο μάζας του έχει μετακινηθεί κατά διάστημα s = 0,3 m στη διεύθυνση του κεκλιμένου επιπέδου. Δίνονται: η ροπή αδράνειας ομογενούς συμπαγούς δίσκου ως προς άξονα που διέρχεται κάθετα από το κέντρο του 1 1 στο σημείο Α και ισορροπεί πάνω σε κεκλιμένο επίπεδο, που σχηματίζει γωνία φ = 45 ο με το οριζόντιο επίπεδο, όπως στο σχήμα. Το ελατήριο είναι παράλληλο στο κεκλιμένο επίπεδο και ο άξονας του ελατηρίου απέχει απόσταση d= από το κέντρο (Ο) του δίσκου. Το άλλο άκρο του ελατηρίου είναι στερεωμένο ακλόνητα στο σημείο Γ. I = ML, η επιτάχυνση της βαρύτητας g =10 m, ημ45 s 0 =. Επαν. Ημερ

237 10. Μια ομογενής ράβδος ΑΒ που έχει μήκος l=3 m και μάζα Μ=6 kg έχει στο ένα άκρο της Β μόνιμα στερεωμένο ένα σώμα μικρών διαστάσεων μάζας m=1 kg. H ράβδος στηρίζεται με το άλλο άκρο της Α σε κατακόρυφο τοίχο μέσω άρθρωσης. Η ράβδος συγκρατείται σε θέση ισορροπίας, σχηματίζοντας γωνία φ με την κατακόρυφο, με νήμα το οποίο είναι συνδεδεμένο στον τοίχο και στο μέσο (Κ) της ράβδου και είναι κάθετο σε αυτή, όπως φαίνεται στο σχήμα. Να υπολογίσετε: Γ1. Τη ροπή αδράνειας του συστήματος ράβδου-σώματος ως προς άξονα που διέρχεται από το σημείο Α και είναι κάθετος στη ράβδο. Γ. Το μέτρο της τάσης του νήματος. Κάποια στιγμή το νήμα κόβεται και η ράβδος μαζί με το σώμα αρχίζει να περιστρέφεται στο επίπεδο του σχήματος, χωρίς τριβές. Να υπολογίσετε: Γ3. Το μέτρο της γωνιακής επιτάχυνσης της ράβδου μόλις κοπεί το νήμα. Γ4. Το μέτρο της ταχύτητας του σημείου Β της ράβδου όταν αυτή γίνει οριζόντια για πρώτη φορά. Δίνονται: συνφ=0,8, ημφ=0,6, η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς τον άξονα περιστροφής 1 I A = ML m και η επιτάχυνση της βαρύτητας g =10. 3 s Ομογ Δύο ράβδοι είναι συνδεδεμένες στο άκρο τους Α και σχηματίζουν σταθερή γωνία 60 0 μεταξύ τους, όπως φαίνεται στο Σχήμα 7. Οι ράβδοι είναι διαφορετικές μεταξύ τους, αλλά κάθε μία είναι ομογενής. Το σύστημα των δύο ράβδων μπορεί να περιστρέφεται γύρω από άρθρωση, που είναι στερεωμένη σε τοίχο, στο άκρο Α, χωρίς τριβές. Το σύστημα αφήνεται να περιστραφεί υπό την επίδραση της βαρύτητας από τη θέση του Σχήματος 7, όπου η ράβδος l 1 είναι οριζόντια, με αρχική ταχύτητα μηδέν. 153

238 Δίνεται ότι τα μήκη των δύο ράβδων είναι l 1 = 4 m και l = m, ενώ η μάζα της ράβδου l είναι m = 10 kg. Γ1. Να υπολογίσετε τη μάζα m 1 της ράβδου μήκους l 1, εάν το σύστημα αποκτά τη μέγιστη γωνιακή ταχύτητα τη χρονική στιγμή που οι δύο ράβδοι σχηματίζουν ίσες γωνίες με την κατακόρυφο, όπως φαίνεται στο Σχήμα 8. Γ. Να υπολογίσετε τη μάζα m 1 της ράβδου μήκους l 1, εάν το σύστημα σταματά στιγμιαία, όταν η ράβδος μήκους l 1 φτάνει στην κατακόρυφη θέση που φαίνεται στο Σχήμα 9. Γ3. Να υπολογίσετε τη γωνιακή επιτάχυνση του συστήματος των δύο ράβδων του ερωτήματος Γ στη θέση που απεικονίζεται στο Σχήμα 9. Γ4. Να υπολογίσετε τον ρυθμό μεταβολής της στροφορμής της ράβδου μήκους l του ερωτήματος Γ στη θέση που απεικονίζεται στο Σχήμα 9. Δίνονται: η επιτάχυνση της βαρύτητας g = 10 m/s, η ροπή αδρανείας ράβδου μήκους l και μάζας m που περιστρέφεται γύρω από το άκρο της Α, I A = 1 3 ml και ότι 3 = 1,7 (προσεγγιστικά). Επαν. Ημερ Λεπτή, άκαμπτη και ομογενής ράβδος ΑΓ μήκους l = 1,m και μάζας M = 1 kg μπορεί να περιστρέφεται σε κατακόρυφο επίπεδο, χωρίς τριβές, γύρω από σταθερό οριζόντιο άξονα κάθετο στη ράβδο, ο οποίος διέρχεται από το σημείο Ο σε απόσταση l / 3 από το άκρο Α της ράβδου. Το 154

239 άκρο Γ της ράβδου συνδέεται με αβαρές νήμα που σχηματίζει γωνία φ = 30 ο με τη ράβδο, το άλλο άκρο του οποίου είναι ακλόνητα συνδεδεμένο σε σταθερό σημείο Δ, όπως στο σχήμα. Το σύστημα αρχικά ισορροπεί σε οριζόντια θέση. Κάποια στιγμή το νήμα κόβεται. Γ1. Να υπολογίσετε το μέτρο της δύναμης που ασκεί το νήμα στη ράβδο και το μέτρο της δύναμης που δέχεται η ράβδος από τον άξονα περιστροφής, πριν κοπεί το νήμα. Γ. Να υπολογίσετε α. τη ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς τον άξονα περιστροφής της. β. τη γωνιακή επιτάχυνση της ράβδου τη χρονική στιγμή κατά την οποία κόβεται το νήμα. Γ3. Να υπολογίσετε την ταχύτητα του άκρου Γ της ράβδου τη χρονική στιγμή κατά την οποία η ράβδος διέρχεται για πρώτη φορά από την κατακόρυφη θέση. Γ4. Να υπολογίσετε το μέτρο του ρυθμού μεταβολής της στροφορμής της ράβδου τη χρονική στιγμή που σχηματίζει γωνία 30 ο με την κατακόρυφο, μετά τη διέλευσή της για πρώτη φορά από την κατακόρυφη θέση. Δίνονται: η ροπή αδρανείας της ράβδου ως προς το κέντρο μάζας της I cm = 1 1 Ml, η επιτάχυνση της βαρύτητας g = 10 m/s, ημ30 0 = 1, συν300 = 3. Ημερ. 016 (παλαιού τύπου) 1. Η ομογενής τροχαλία του σχήματος έχει μάζα Μ = 4kg και ακτίνα R = 0,1m και μπορεί να στρέφεται χωρίς τριβές γύρω από οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας της και είναι κάθετος στο επίπεδό της. Τα σώματα Σ 1 και Σ έχουν μάζες m 1 = kg και m = 1kg αντίστοιχα και είναι δεμένα στα άκρα αβαρούς σχοινιού που διέρχεται από το αυλάκι της τροχαλίας. Αρχικά, τα σώματα Σ 1 και Σ διατηρούνται ακίνητα και τα κέντρα μάζας τους βρίσκονται στο ίδιο οριζόντιο επίπεδο. Τη χρονική στιγμή t 0 = 0 τα σώματα αφήνονται ελεύθερα να κινηθούν. 155

240 Γ1. Να υπολογίσετε το μέτρο της γωνιακής επιτάχυνσης της τροχαλίας. Γ. Να υπολογίσετε το μέτρο της ταχύτητας του σώματος Σ 1 τη χρονική στιγμή t 1 = 3s. Γ3. Να υπολογίσετε τον αριθμό περιστροφών της τροχαλίας μέχρι τη χρονική στιγμή t 1 = 3s. Γ4. Να υπολογίσετε το μέτρο του ρυθμού μεταβολής της στροφορμής του συστήματος των σωμάτων Σ 1, Σ και τροχαλίας ως προς τον άξονα περιστροφής της τροχαλίας. Δίνονται: Η ροπή αδράνειας της τροχαλίας ως προς τον άξονα περιστροφής της I = 1 MR. Η επιτάχυνση της βαρύτητας g = 10 m/s. Να θεωρήσετε ότι: Μεταξύ σχοινιού και τροχαλίας η τριβή είναι μεγάλη, ώστε να μην παρατηρείται ολίσθηση. Το μήκος του σχοινιού παραμένει σταθερό. Τα σώματα Σ 1 και Σ δεν φθάνουν στο έδαφος ούτε συγκρούονται με την τροχαλία. Ομογ ο ΘΕΜΑ 1. Ομογενής άκαμπτη ράβδος ΑΖ έχει μήκος L = 4m, μάζα M = 3kg και ισορροπεί σε οριζόντια θέση, όπως φαίνεται στο σχήμα. Στο άκρο της Α υπάρχει ακλόνητη άρθρωση γύρω από την οποία η ράβδος μπορεί να περιστρέφεται, χωρίς τριβές, ενώ στο άλλο άκρο της Ζ υπάρχει στερεωμένο σφαιρίδιο μάζας m = 0,6kg και αμελητέων διαστάσεων. Ένα αβαρές τεντωμένο νήμα Γ συνδέει το 1 156

241 σημείο Γ της ράβδου µε σφαιρίδιο μάζας m = 1kg, το οποίο είναι στερεωμένο στο ελεύθερο άκρο ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k = 100 m N. Το άλλο άκρο του ελατηρίου είναι ακλόνητο. Η απόσταση ΑΓ είναι ίση µε,8m. Όλη η διάταξη βρίσκεται στο ίδιο κατακόρυφο επίπεδο, στο οποίο γίνονται και όλες οι κινήσεις. Α. Να υπολογίσετε: Α.1 τη ροπή αδράνειας του συστήματος ράβδου σφαιριδίου m 1 ως προς τον οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το σημείο Α και είναι κάθετος στο επίπεδο της διάταξης Α. το μέτρο της τάσης του νήματος Γ. Β. Αν κόψουμε το νήμα Γ, το σφαιρίδιο m εκτελεί αμείωτη αρμονική ταλάντωση, ενώ η ράβδος μαζί µε το σώμα m 1, υπό την επίδραση της βαρύτητας, περιστρέφoνται χωρίς τριβές γύρω από το σημείο Α. Να υπολογίσετε: Β.1 το χρόνο που χρειάζεται το σφαιρίδιο m από τη στιγμή που κόβεται το νήμα μέχρι τη στιγμή που θα φθάσει στην ψηλότερη θέση του για πρώτη φορά Β. το μέτρο της γραμμικής ταχύτητας του σημείου Ζ, τη στιγμή που η ράβδος περνάει από την κατακόρυφη θέση. Δίνονται: g = 10 sm, ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς το κέντρο μάζας της: Icm = 1 1 ΜL, π = 3,14. Ημερ Ομογενής στερεά ράβδος ΟΑ, μήκους L= m και μάζας Μ = 0,3 kg μπορεί να περιστρέφεται ελεύθερα (χωρίς τριβές) στο οριζόντιο επίπεδο, περί κατακόρυφο άξονα που διέρχεται από το σταθερό σημείο Ο. Στο άκρο Α της ράβδου στερεώνεται σφαιρίδιο Σ 1 μάζας m = 0,1 kg, και το σύστημα ράβδου και σφαιριδίου Σ 1 περιστρέφεται με σταθερή γωνιακή ταχύτητα ω = 1 rad. Στο s ίδιο οριζόντιο επίπεδο βρίσκεται δεύτερο σφαιρίδιο Σ, ίσης μάζας με το Σ 1, προσδεμένο στο άκρο 157

242 αβαρούς ελατηρίου, σταθεράς k = 0 m N. Ο άξονας του ελατηρίου είναι οριζόντιος και εφάπτεται της κυκλικής τροχιάς του σφαιριδίου Σ (όπως στο σχήμα). Το άλλο άκρο του ελατηρίου είναι 1 στερεωμένο ακλόνητα. Οι διαστάσεις των σφαιριδίων είναι αμελητέες. Όταν η ταχύτητα υ του σφαιριδίου Σ 1 έχει τη διεύθυνση του άξονα του ελατηρίου, το σφαιρίδιο Σ 1 αποκολλάται από τη ράβδο και κινούμενο ευθύγραμμα συγκρούεται με το σφαιρίδιο Σ με το οποίο ενσωματώνεται. Να βρείτε: α. Τη στροφορμή του συστήματος ράβδου-σφαιριδίου Σ ως προς τον άξονα περιστροφής που 1 διέρχεται από το σημείο Ο. β. Το μέτρο υ της ταχύτητας του σφαιριδίου τη στιγμή που αποκολλάται από τη ράβδο. γ. Την περίοδο Τ της ταλάντωσης του συστήματος ελατηρίου-συσσωματώματος Σ και Σ. 1 δ. Το πλάτος της ταλάντωσης αυτής. (Δίνονται: Η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς τον κατακόρυφο άξονα που διέρχεται από το σημείο Ο, Ι 0 = 3 1 ΜL και π = 3,14). Εσπερ Συμπαγής και ομογενής σφαίρα μάζας m=10 kg και ακτίνας R=0,1 m κυλίεται ευθύγραμμα χωρίς ολίσθηση ανερχόμενη κατά μήκος κεκλιμένου επιπέδου γωνίας φ με ημφ=0,56. Τη χρονική στιγμή t=0 το κέντρο μάζας της σφαίρας έχει ταχύτητα με μέτρο υ 0 =8 s m. Να υπολογίσετε για τη σφαίρα: α. το μέτρο της γωνιακής ταχύτητας περιστροφής της τη χρονική στιγμή t=0. β. το μέτρο της επιτάχυνσης του κέντρου μάζας της. γ. το μέτρο του ρυθμού μεταβολής της στροφορμής κατά τη διάρκεια της κίνησής της. 158

243 δ. το μέτρο της ταχύτητας του κέντρου μάζας της καθώς ανεβαίνει, τη στιγμή που έχει διαγράψει 30 περιστροφές. Δίνονται: η ροπή αδράνειας της σφαίρας περί άξονα διερχόμενο από το κέντρο της: Ι= 5 mr και η m επιτάχυνση της βαρύτητας: g = 10 s. Ημερ Η ομογενής τροχαλία του σχήματος ακτίνας R=0,m και μάζας Μ=3kg μπορεί να περιστρέφεται χωρίς τριβές γύρω από σταθερό οριζόντιο άξονα που περνάει. από το κέντρο της Ο και είναι κάθετος στο επίπεδό της. Σώμα Σ 1 μάζας m 1 =1kg είναι δεμένο στο ελεύθερο άκρο αβαρούς νήματος το οποίο είναι τυλιγμένο στην περιφέρεια της τροχαλίας. Αρχικά το σύστημα είναι ακίνητο. Κάτω από το σώμα Σ 1 και σε απόσταση h βρίσκεται σώμα Σ μάζας m = 3kg το οποίο ισορροπεί στερεωμένο στη μια άκρη κατακόρυφου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k = 00 m N η άλλη άκρη του οποίου είναι στερεωμένη στο έδαφος. Αφήνουμε ελεύθερο το σύστημα τροχαλίας σώματος Σ 1 να κινηθεί. Μετά από χρόνο t = 1s το σώμα Σ 1 συγκρούεται μετωπικά και πλαστικά με το σώμα Σ, ενώ το νήμα κόβεται. Το συσσωμάτωμα εκτελεί αμείωτη απλή αρμονική ταλάντωση στην κατακόρυφη διεύθυνση. Να υπολογίσετε: α. το μέτρο της επιτάχυνσης με την οποία κινείται το σώμα Σ 1 μέχρι την κρούση. β. την κινητική ενέργεια της τροχαλίας μετά την κρούση. γ. το πλάτος της ταλάντωσης που εκτελεί το συσσωμάτωμα. δ. το μέτρο του ρυθμού μεταβολής της ορμής του συσσωματώματος, τη στιγμή που απέχει από τη θέση ισορροπίας της ταλάντωσης απόσταση x = 0,1 m. Να θεωρήσετε ότι το νήμα δεν ολισθαίνει στο αυλάκι της τροχαλίας. Δίνονται: η ροπή αδράνειας της τροχαλίας ως προς τον άξονα περιστροφής της: Ι= 1 MR και η m επιτάχυνση της βαρύτητας: g = 10 s. Επαν. Ημερ Ομογενής και ισοπαχής ράβδος ΑΓ με μήκος 1m και βάρος 30Ν ισορροπεί οριζόντια. Το άκρο Α της ράβδου συνδέεται με άρθρωση σε κατακόρυφο τοίχο. Το άλλο άκρο της Γ συνδέεται με τον τοίχο με αβαρές νήμα ΔΓ που σχηματίζει γωνία 30 με τη ράβδο, όπως φαίνεται στο σχήμα. 159

244 Α. Να υπολογίσετε τα μέτρα των δυνάμεων που ασκούνται στη ράβδο από το νήμα και την άρθρωση. Β. Κάποια στιγμή κόβουμε το νήμα στο άκρο Γ και η ράβδος αρχίζει να περιστρέφεται χωρίς τριβές γύρω από την άρθρωση σε κατακόρυφο επίπεδο. Να υπολογίσετε: 1. Το μέτρο της γωνιακής επιτάχυνσης της ράβδου μόλις κοπεί το νήμα.. Το μέτρο του ρυθμού μεταβολής της στροφορμής της ράβδου, τη στιγμή που αυτή σχηματίζει γωνία 60 με την αρχική της θέση. 3. Την κινητική ενέργεια της ράβδου, τη στιγμή που διέρχεται από την κατακόρυφη θέση. Δίνονται : η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς τον οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το άκρο της Α και είναι κάθετος σε αυτή είναι Ι Α =1kg m ημ 30 = συν 60 = 1, συν30 = ημ60 = 3.. Ομογ Μια ομογενής ράβδος ΑΒ που έχει μήκος l =1m και μάζα Μ=6kg, έχει στο άκρο της Β μόνιμα στερεωμένο ένα σώμα μικρών διαστάσεων με μάζα m =kg. Η ράβδος στηρίζεται με το άκρο της Α μέσω άρθρωσης και αρχικά διατηρείται οριζόντια με τη βοήθεια νήματος, το ένα άκρο του οποίου είναι δεμένο στο μέσο της ράβδου και το άλλο στον κατακόρυφο τοίχο, όπως στο σχήμα. Η διεύθυνση του νήματος σχηματίζει γωνία φ=30 ο με την διεύθυνση της ράβδου στην οριζόντια θέση ισορροπίας. A. Να υπολογίσετε: Α.1. Το μέτρο της τάσης του νήματος. Α.. Τη ροπή αδράνειας του συστήματος ράβδου σώματος ως προς άξονα που διέρχεται από το Α και είναι κάθετος στο επίπεδο του σχήματος. 160

245 Β. Κάποια στιγμή το νήμα κόβεται και η ράβδος μαζί με το σώμα που είναι στερεωμένο στο άκρο της, αρχίζει να περιστρέφεται στο επίπεδο του σχήματος. Θεωρώντας τις τριβές αμελητέες να υπολογίσετε το μέτρο: Β1. Της γωνιακής επιτάχυνσης του συστήματος ράβδου-σώματος ως προς τον άξονα περιστροφής, μόλις κόβεται το νήμα. Β. Της ταχύτητας του σώματος στο άκρο της ράβδου, όταν αυτή φτάνει στην κατακόρυφη θέση. ίνονται: 1. Για τη ράβδο η ροπή αδράνειας ως προς τον άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας 1 Μ l, και είναι παράλληλος στον άξονα περιστροφής της: I cm = 1 m. Η επιτάχυνση της βαρύτητας είναι g = 10 s. Εσπερ Το σώμα Σ του σχήματος που έχει μάζα m =kg είναι δεμένο στο ένα άκρο οριζόντιου ιδανικού ελατηρίου, σταθεράς k, του οποίου το άλλο άκρο είναι ακλόνητο. Το σώμα Σ ταλαντώνεται οριζόντια πάνω στο λείο οριζόντιο επίπεδο ΠΠ με πλάτος Α=0,1m και περίοδο Τ = 5 π s. Α. Να υπολογίσετε: 1. Την τιμή της σταθεράς k του ελατηρίου.. Τη μέγιστη ταχύτητα ταλάντωσης του σώματος Σ. Β. Το σώμα Σ του σχήματος με μάζα m = kg αφήνεται ελεύθερο να ολισθήσει πάνω στο λείο 1 1 πλάγιο επίπεδο, από τη θέση Γ. Η κατακόρυφη απόσταση της θέσης Γ από το οριζόντιο επίπεδο είναι Η = 1,8 m. Το σώμα Σ, αφού φθάσει στη βάση του πλάγιου επιπέδου, συνεχίζει να κινείται, χωρίς να αλλάξει 1 μέτρο ταχύτητας, πάνω στο οριζόντιο επίπεδο ΠΠ. Το Σ συγκρούεται μετωπικά (κεντρικά) και 1 ελαστικά με το σώμα Σ τη στιγμή που το Σ έχει τη μέγιστη ταχύτητά του και κινείται αντίθετα από το Σ Να υπολογίσετε τη μέγιστη συσπείρωση του ελατηρίου μετά από αυτή την κρούση. 161

246 . Να δείξετε πως στη συνέχεια το σώμα Σ θα προλάβει το σώμα Σ και θα συγκρουστούν πάλι πριν 1 το σώμα Σ φτάσει στη βάση του πλάγιου επιπέδου. 1 Η απόσταση από τη βάση του πλάγιου επιπέδου μέχρι το κέντρο της ταλάντωσης του Σ είναι αρκετά μεγάλη. Η διάρκεια της κρούσης θεωρείται αμελητέα. m Δίνεται g= 10 s. Ομογ Άκαμπτη ομογενής ράβδος ΑΓ με μήκος l και μάζα Μ=3kg έχει το άκρο της Α αρθρωμένο και ισορροπεί οριζόντια. Στο άλλο άκρο Γ ασκείται σταθερή κατακόρυφη δύναμη F μέτρου 9Ν, με φορά προς τα κάτω. Η ράβδος ΑΓ εφάπτεται στο σημείο Β με στερεό που αποτελείται από δύο ομοαξονικούς κυλίνδρους με ακτίνες R =0,1m και R =0,m, όπως φαίνεται στο σχήμα. 1 Η απόσταση του σημείου επαφής Β από το άκρο Γ της ράβδου είναι 4. To στερεό μπορεί να περιστρέφεται χωρίς τριβές, σαν ένα σώμα γύρω από σταθερό οριζόντιο άξονα που περνάει από το κέντρο του. Ο άξονας περιστροφής συμπίπτει με τον άξονα συμμετρίας των δύο κυλίνδρων. Η ροπή αδράνειας του στερεού ως προς τον άξονα περιστροφής είναι Ι=0,09 kgm. Γύρω από τον κύλινδρο ακτίνας R είναι τυλιγμένο αβαρές και μη εκτατό νήμα στο άκρο του οποίου κρέμεται 1 σώμα μάζας m=1kg. α. Να υπολογίσετε την κατακόρυφη δύναμη που δέχεται η ράβδος στο σημείο Β από το στερεό. β. Αν το σώμα μάζας m ισορροπεί, να βρείτε το μέτρο της δύναμης της στατικής τριβής μεταξύ της ράβδου και του στερεού. γ. Στο σημείο επαφής Β μεταξύ ράβδου και στερεού ρίχνουμε ελάχιστη ποσότητα λιπαντικής ουσίας έτσι, ώστε να μηδενιστεί η τριβή χωρίς να επιφέρει μεταβολή στη ροπή αδράνειας του στερεού. Να 16

247 υπολογίσετε το μέτρο της ταχύτητας του σώματος μάζας m, όταν θα έχει ξετυλιχθεί νήμα μήκους 0,5m. Να θεωρείσετε ότι το νήμα ξετυλίγεται χωρίς να ολισθαίνει στον εσωτερικό κύλινδρο. δ. Να υπολογίσετε το ρυθμό παραγωγής έργου στο στερεό τη χρονική στιγμή που έχει ξετυλιχθεί m νήμα μήκους 0,5m. Δίνεται g=10 s. Ημερ Ομογενής ράβδος μήκους l= m και μάζας Μ=3 kg είναι αναρτημένη από οριζόντιο άξονα Α, γύρω από τον οποίο μπορεί να περιστραφεί σε κατακόρυφο επίπεδο. Στον ίδιο άξονα Α είναι δεμένο αβαρές νήμα με το ίδιο μήκος l, στο άλλο άκρο του οποίου είναι δεμένο σφαιρίδιο μάζας m=0,5kg. Αρχικά το νήμα είναι τεντωμένο στο ίδιο κατακόρυφο επίπεδο και το σφαιρίδιο βρίσκεται σε ύψος h=0,8 m πάνω από το κατώτερο σημείο της ράβδου. Στη συνέχεια το σφαιρίδιο αφήνεται ελεύθερο και προσκρούει στο άκρο της ράβδου. Μετά την κρούση το σφαιρίδιο ακινητοποιείται. Οι τριβές θεωρούνται αμελητέες. Να βρείτε: α. Την ταχύτητα του σφαιριδίου λίγο πριν την κρούση. β. Τη γωνιακή ταχύτητα της ράβδου αμέσως μετά την κρούση. γ. Τη γραμμική ταχύτητα του κέντρου μάζας Κ της ράβδου αμέσως μετά την κρούση. δ. Το ποσό της μηχανικής ενέργειας που μετατράπηκε σε θερμική κατά την κρούση. ε. Τη μέγιστη ανύψωση του κέντρου μάζας της ράβδου. Δίνονται: Η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το κέντρο 1 μάζας της: I = Ml cm 1 m Επιτάχυνση της βαρύτητας g=10 s. Εσπερ Τροχαλία μάζας Μ = 6kg και ακτίνας R = 0,5m μπορεί να περιστρέφεται χωρίς τριβές γύρω από οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το κέντρο της. Γύρω από την τροχαλία υπάρχει αβαρές και μη εκτατό νήμα. Στα άκρα του νήματος υπάρχουν σε κατακόρυφη θέση τα σώματα Σ και Σ με μάζες m = 4kg και m = 1kg αντίστοιχα. Το σώμα Σ είναι 1 1 κολλημένο με σώμα Σ μάζας m = 1kg, το οποίο συγκρατείται από κατακόρυφο ελατήριο σταθεράς

248 k=100 m N. Το σύστημα αρχικά ισορροπεί όπως φαίνεται στο σχήμα. Κάποια χρονική στιγμή, την οποία θεωρούμε ως χρονική στιγμή μηδέν (t 0 = 0), τα σώματα Σ και Σ 3 αποκολλώνται και το Σ 3 εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση κατά τη διεύθυνση της κατακορύφου. α. Nα υπολογιστεί το πλάτος της ταλάντωσης του σώματος Σ 3. β. Να γραφεί η εξίσωση της απομάκρυνσης του σώματος Σ 3 σε συνάρτηση με το χρόνο, θεωρώντας ως θετική φορά, τη φορά προς τα επάνω. γ. Να υπολογιστεί η γωνιακή επιτάχυνση της τροχαλίας μετά την αποκόλληση των σωμάτων Σ και Σ 3. δ. Να υπολογιστεί ο ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας της τροχαλίας τη χρονική στιγμή t = 0,1 s. Δίνονται η ροπή αδράνειας της τροχαλίας ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας της Ι = 1 MR, η τριβή ανάμεσα στην τροχαλία και στο νήμα είναι αρκετά μεγάλη, ώστε να μην m παρατηρείται ολίσθηση και g = 10 s. Επαν. Ημερ Ομογενής ράβδος μήκους L=0,3m και μάζας Μ=1,kg μπορεί να περιστρέφεται χωρίς τριβές γύρω από οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το άκρο της Α. Αρχικά την κρατούμε σε οριζόντια θέση και στη συνέχεια την αφήνουμε ελεύθερη. Θεωρούμε την αντίσταση του αέρα αμελητέα. 164

249 α. Να βρείτε τη γωνιακή επιτάχυνση της ράβδου ως προς τον άξονα περιστροφής τη στιγμή που αφήνεται ελεύθερη. β. Να βρείτε τη στροφορμή της ράβδου όταν φθάσει σε κατακόρυφη θέση. Τη στιγμή που η ράβδος φθάνει στην κατακόρυφη θέση το κάτω άκρο της ράβδου συγκρούεται ακαριαία με ακίνητο σώμα Σ αμελητέων διαστάσεων που έχει μάζα m=0,4 kg. Μετά την κρούση το σώμα κινείται κατά μήκος κυκλικού τόξου ακτίνας L, ενώ η ράβδος συνεχίζει να κινείται με την ίδια φορά. Δίνεται ότι η γωνιακή ταχύτητα της ράβδου αμέσως μετά την κρούση είναι 5 ω, όπου ω η γωνιακή ταχύτητά της αμέσως πριν την κρούση. γ. Να βρείτε την ταχύτητα του σώματος Σ αμέσως μετά την κρούση. δ. Να βρείτε το ποσοστό της κινητικής ενέργειας που μετατράπηκε σε θερμική ενέργεια κατά την κρούση. Δίνονται: η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς τον άξονα Α 1 ML 3 m. I και g = 10 s Ημερ Στο γιο γιό του σχήματος που έχει μάζα Μ=6kg και ακτίνα R=0,1m, έχει τυλιχτεί πολλές φορές γύρω του λεπτό αβαρές νήμα. Με σταθερό το ένα άκρο του νήματος αφήνουμε το γιογιό να κατεβαίνει. Όταν αυτό έχει κατέβει κατά h = 3 5 m αποκτά μεταφορική ταχύτητα υcm =5m/s. Να βρείτε: A. Τη μεταφορική επιτάχυνση του κέντρου μάζας του σώματος. Β. Τη γωνιακή επιτάχυνση του σώματος και την τάση του νήματος. Γ. Το λόγο της στροφικής κινητικής ενέργειας προς τη μεταφορική κινητική ενέργεια του σώματος, χωρίς να θεωρήσετε γνωστό τον τύπο της ροπής αδράνειας του γιογιό. Δ. Τη σχέση που περιγράφει πώς μεταβάλλεται η στροφική κινητική ενέργεια του σώματος σε συνάρτηση με το χρόνο. m. Δίνονται: g = 10 s Εσπερ

250 13. Ένας ομογενής και συμπαγής κύλινδρος μάζας Μ = kg και ακτίνας R = 0,m αφήνεται να κυλήσει κατά μήκος ενός πλάγιου επιπέδου γωνίας κλίσης φ, με ημφ = 0,6, όπως φαίνεται στο σχήμα. Ο κύλινδρος κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει. Να υπολογίσετε: α. το μέτρο της επιτάχυνσης του κέντρου μάζας του κυλίνδρου καθώς αυτός κυλίεται. β. το μέτρο της δύναμης της στατικής τριβής που ασκείται στον κύλινδρο από το πλάγιο επίπεδο. γ. το μέτρο της στροφορμής του κυλίνδρου κατά τον άξονά του, όταν η κατακόρυφη μετατόπιση του κέντρου μάζας του κυλίνδρου από το σημείο που αυτός αφέθηκε ελεύθερος είναι h 1 = 4,8 m. δ. τo πλήθος των περιστροφών που εκτελεί ο κύλινδρος από τη στιγμή που αφήνεται ελεύθερος μέχρι τη στιγμή που το κέντρο μάζας του έχει μετατοπιστεί κατακόρυφα κατά h =,4π m. Δίνoνται: Η ροπή αδράνειας του κυλίνδρου ως προς τον άξονά του Ι = 1 MR και η επιτάχυνση της m βαρύτητας g = 10 s. Ομογ Η ομογενής τροχαλία του σχήματος έχει μάζα M = 6 kg και ακτίνα R = 0,3 m. Τα σώματα Σ 1 και Σ έχουν αντίστοιχα μάζες m 1 = 5 kg και m = kg. H τροχαλία και τα σώματα Σ 1, Σ είναι αρχικά ακίνητα και τα κέντρα μάζας των Σ 1, Σ βρίσκονται στο ίδιο οριζόντιο επίπεδο. Τη χρονική στιγμή t = 0 το σύστημα αφήνεται ελεύθερο να κινηθεί. Να υπολογίσετε: α. το μέτρο της επιτάχυνσης με την οποία θα κινηθούν τα σώματα Σ 1 και Σ. 166

251 β. το μέτρο της γωνιακής επιτάχυνσης της τροχαλίας. γ. το μέτρο της στροφορμής της τροχαλίας, ως προς τον άξονα περιστροφής της, τη χρονική στιγμή t =s. 1 δ. τη χρονική στιγμή t κατά την οποία η κατακόρυφη απόσταση των κέντρων μάζας των Σ, Σ θα 1 είναι h = 3m. Δίνoνται: Η ροπή αδράνειας της τροχαλίας ως προς τον άξονα περιστροφής της Ι = 1 MR και η m επιτάχυνση της βαρύτητας g = 10 s. Σημείωση: Η τριβή ανάμεσα στην τροχαλία και στο νήμα είναι αρκετά μεγάλη, ώστε να μην παρατηρείται ολίσθηση. Να θεωρήσετε ότι τα σώματα Σ 1 και Σ δεν φτάνουν στο έδαφος ούτε συγκρούονται με την τροχαλία. Ομογ Στερεό Π μάζας Μ = 10kg αποτελείται από δύο κολλημένους ομοαξονικούς κυλίνδρους με ακτίνες R και R, όπου R = 0,m, όπως στο σχήμα. Η ροπή αδράνειας του στερεού Π ως προς τον άξονα περιστροφής του είναι I = MR. Το στερεό Π περιστρέφεται χωρίς τριβές γύρω από σταθερό οριζόντιο άξονα Ο'Ο, που συμπίπτει με τον άξονά του. Το σώμα Σ μάζας m = 0kg κρέμεται από το ελεύθερο άκρο αβαρούς νήματος που είναι τυλιγμένο στον κύλινδρο ακτίνας R. Γύρω από το τμήμα του στερεού Π με ακτίνα R είναι τυλιγμένο πολλές φορές νήμα, στο ελεύθερο άκρο Α του οποίου μπορεί να ασκείται οριζόντια δύναμη F. 167

252 α. Να βρείτε το μέτρο της αρχικής δύναμης F 0 που ασκείται στο ελεύθερο άκρο Α του νήματος, ώστε το σύστημα που εικονίζεται στο σχήμα να παραμένει ακίνητο. Τη χρονική στιγμή t 0 = 0 που το σύστημα του σχήματος είναι ακίνητο, αυξάνουμε τη δύναμη ακαριαία, έτσι ώστε να γίνει F = 115Ν. β. Να βρείτε την επιτάχυνση του σώματος Σ. Για τη χρονική στιγμή που το σώμα Σ έχει ανέλθει κατά h = m, να βρείτε: γ. Το μέτρο της στροφορμής του στερεού Π ως προς τον άξονα περιστροφής του. δ. Τη μετατόπιση του σημείου Α από την αρχική του θέση. ε. Το ποσοστό του έργου της δύναμης F που μετατράπηκε σε κινητική ενέργεια του στερεού Π κατά τη μετατόπιση του σώματος Σ κατά h. m Δίνεται: g = 10 s. Το συνολικό μήκος κάθε νήματος παραμένει σταθερό. Ημερ Ομογενής και συμπαγής κύλινδρος μάζας m = 5kg και ακτίνας R = 0.m αφήνεται από την ηρεμία (θέση Α) να κυλήσει κατά μήκος πλάγιου επιπέδου, όπως φαίνεται στο σχήμα. Ο κύλινδρος κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει. Τη στιγμή που το κέντρο μάζας του κυλίνδρου έχει κατακόρυφη μετατόπιση h (θέση Γ), η ταχύτητα του κέντρου μάζας του είναι υ cm = 8 s m. Να υπολογίσετε: α. Τη γωνιακή ταχύτητα ω του κυλίνδρου στη θέση Γ. β. Τη στροφορμή του κυλίνδρου στη θέση Γ. γ. Την κατακόρυφη μετατόπιση h. δ. Τον λόγο της μεταφορικής προς την περιστροφική κινητική ενέργεια του κυλίνδρου σε κάποια χρονική στιγμή, κατά τη διάρκεια της κίνησης του. 168

253 m Δίνεται: g = 10 s, Η ροπή αδράνειας του κυλίνδρου ως προς τον άξονα περιστροφής του είναι Ι = 1 MR. Εσπερ Στην επιφάνεια ενός ομογενούς κυλίνδρου μάζας Μ = 40kg και ακτίνας R = 0,m, έχουμε τυλίξει λεπτό σχοινί αμελητέας μάζας, το ελεύθερο άκρο του οποίου έλκεται με σταθερή δύναμη F παράλληλη προς την επιφάνεια κεκλιμένου επιπέδου γωνίας κλίσεως 30 ο, όπως φαίνεται στο σχήμα. Το σχοινί ξετυλίγεται χωρίς ολίσθηση, περιστρέφοντας ταυτόχρονα τον κύλινδρο. Ο κύλινδρος κυλίεται πάνω στην επιφάνεια του κεκλιμένου επιπέδου χωρίς ολίσθηση. α. Να υπολογισθεί το μέτρο της δύναμης F, ώστε ο κύλινδρος να ανεβαίνει στο κεκλιμένο επίπεδο με σταθερή ταχύτητα. Αν αρχικά ο κύλινδρος είναι ακίνητος με το κέντρο μάζας του στη θέση Α και στο ελεύθερο άκρο του σχοινιού ασκηθεί σταθερή δύναμη F = 130N, όπως στο σχήμα: β. Να υπολογισθεί η επιτάχυνση του κέντρου μάζας του κυλίνδρου. γ. Να υπολογισθεί το μέτρο της στροφορμής του κυλίνδρου ως προς τον άξονα περιστροφής του όταν το κέντρο μάζας του περνάει από τη θέση Γ του σχήματος, η οποία βρίσκεται h = 1m ψηλότερα από τη θέση Α. δ. Να υπολογισθεί το έργο της δύναμης F κατά τη μετακίνηση του κέντρου μάζας του κυλίνδρου από τη θέση Α στη θέση Γ και να δείξετε ότι αυτό ισούται με τη μεταβολή της μηχανικής ενέργειας του κυλίνδρου κατά τη μετακίνηση αυτή. 169

254 m Δίνονται: επιτάχυνση βαρύτητας g =10, ροπή αδράνειας του κυλίνδρου ως προς τον άξονα s περιστροφής του Ι = 1 ΜR, ημ30= 1. Επαν. Ημερ Θέλουμε να μετρήσουμε πειραματικά την άγνωστη ροπή αδράνειας δίσκου μάζας m =kg και ακτίνας r =1m. Για το σκοπό αυτό αφήνουμε τον δίσκο να κυλίσει χωρίς ολίσθηση σε κεκλιμένο επίπεδο γωνίας φ =30 ξεκινώντας από την ηρεμία. Διαπιστώνουμε ότι ο δίσκος διανύει την απόσταση x =m σε χρόνο t=1s. α. Να υπολογίσετε τη ροπή αδράνειάς του ως προς τον άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας του και είναι κάθετος στο επίπεδό του. β. Από την κορυφή του κεκλιμένου επιπέδου αφήνονται να κυλίσουν ταυτόχρονα δίσκος και δακτύλιος ίδιας μάζας Μ και ίδιας ακτίνας R. Η ροπή αδράνειας του δίσκου είναι I 1 = MR 1 του δακτυλίου Ι = ΜR ως προς τους άξονες που διέρχονται από τα κέντρα μάζας τους και είναι κάθετοι στα επίπεδά τους. Να υπολογίσετε ποιο από τα σώματα κινείται με τη μεγαλύτερη επιτάχυνση. Συνδέουμε με κατάλληλο τρόπο τα κέντρα μάζας των δύο στερεών, όπως φαίνεται και στο σχήμα, με ράβδο αμελητέας μάζας, η οποία δεν εμποδίζει την περιστροφή τους και δεν ασκεί τριβές. Το σύστημα κυλίεται στο κεκλιμένο επίπεδο χωρίς να ολισθαίνει. και γ. Να υπολογίσετε το λόγο των κινητικών ενεργειών και Κ η κινητική ενέργεια του δακτυλίου. K1 όπου K1 η κινητική ενέργεια του δίσκου δ. Αν η μάζα κάθε στερεού είναι Μ =1,4kg, να υπολογίσετε τις δυνάμεις που ασκεί η ράβδος σε κάθε σώμα. K 170

255 Να σχεδιάσετε τις πιο πάνω δυνάμεις. Δίνονται: g=10 s m, ημ30 = 1. Ημερ Λεπτή ομογενής ράβδος ΑΓ μήκους l και μάζας Μ μπορεί να στρέφεται γύρω από οριζόντιο άξονα κάθετο στη ράβδο χωρίς τριβές, ο οποίος διέρχεται από το σημείο Ο της ράβδου. Η απόσταση του σημείου Ο από το Α είναι 4. Στο άκρο Α της ράβδου στερεώνεται σημειακή μάζα m, όπως φαίνεται στο σχήμα. Η ράβδος ισορροπεί σε οριζόντια θέση και δέχεται από τον άξονα δύναμη μέτρου F = 0N. α. Να υπολογιστούν οι μάζες m και Μ. Στη συνέχεια τοποθετούμε τον άξονα περιστροφής της ράβδου στο άκρο Γ, ώστε να παραμένει οριζόντιος και κάθετος στη ράβδο, και αφήνουμε το σύστημα ελεύθερο να περιστραφεί από την οριζόντια θέση. Να υπολογίσετε: β. το μήκος l της ράβδου, αν τη στιγμή που αφήνεται ελεύθερη έχει γωνιακή επιτάχυνση rad. μέτρου α γων = 3,75 s γ. το λόγο της κινητικής ενέργειας της μάζας m προς τη συνολική κινητική ενέργεια του συστήματος, κατά τη διάρκεια της περιστροφής του συστήματος των δύο σωμάτων. δ. το μέτρο της στροφορμής του συστήματος των δύο σωμάτων, όταν η ράβδος έχει στραφεί κατά γωνία φ ως προς την οριζόντια διεύθυνση τέτοια, ώστε ημφ = 0,3. m ίνονται: επιτάχυνση βαρύτητας g = 10 s, ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς άξονα κάθετο στη ράβδο που διέρχεται από το κέντρο μάζας της 0. 1 M 1 Icm. Επαν. Ημερ

256 Ομογενής ράβδος ΑΓ μήκους L=1m και μάζας Μ=3kg ισορροπεί οριζόντια, όπως στο σχήμα. Το άκρο Α της ράβδου στηρίζεται με άρθρωση σε κατακόρυφο τοίχο. Το άλλο άκρο Γ συνδέεται με την οροφή με κατακόρυφο σχοινί. Κάποια στιγμή κόβουμε το σχοινί και η ράβδος αφήνεται να περιστραφεί γύρω από την άρθρωση χωρίς τριβές. Η ροπή αδράνειας της ράβδου, ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας της και είναι 1 m κάθετος σ αυτή, είναι: I cm = ML και g=10. 1 Να υπολογίσετε: α. τη δύναμη που δέχεται η ράβδος από το σχοινί, όταν αυτή ισορροπεί. β. το μέτρο της γωνιακής επιτάχυνσης τη στιγμή που κόβεται το σχοινί και η ράβδος είναι οριζόντια. s γ. το μέτρο της γωνιακής ταχύτητας της ράβδου στην κατακόρυφη θέση της. δ. το ρυθμό μεταβολής της στροφορμής στην κατακόρυφη θέση της. Επαν. Εσπερ Μια μικρή σφαίρα μάζας m=1kg, ακτίνας r=0,0m και ροπής αδράνειας ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας της I cm = h=9m πάνω από το οριζόντιο επίπεδο, όπως φαίνεται στο σχήμα. mr, αφήνεται από το σημείο Α που βρίσκεται σε ύψος 5 Η σφαίρα κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει. Όταν η σφαίρα διέρχεται από το σημείο Β του οδηγού, το οποίο απέχει απόσταση R=m από το οριζόντιο επίπεδο, να υπολογίσετε: α. τη ροπή αδράνειας της σφαίρας ως προς άξονα που διέρχεται από το σημείο Β και είναι παράλληλος προς τον άξονα περιστροφής της. β. το μέτρο της ταχύτητας του κέντρου μάζας της σφαίρας. γ. το μέτρο της στροφορμής της σφαίρας ως προς τον άξονα περιστροφής της. δ. το μέγιστο ύψος στο οποίο θα φθάσει το κέντρο μάζας της σφαίρας, από το σημείο Β. 17

257 Η αντίσταση του αέρα θεωρείται αμελητέα. m Δίνεται η επιτάχυνση της βαρύτητας: g = 10 s. Ομογ Αβαρής ράβδος μήκους 3d (d=1m) μπορεί να στρέφεται γύρω από οριζόντιο άξονα, που είναι κάθετος σε αυτήν και διέρχεται από το Ο. Στο άκρο Α που βρίσκεται σε απόσταση d από το Ο υπάρχει σημειακή μάζα m =1 kg και στο σημείο Γ, που βρίσκεται σε απόσταση d από το Ο έχουμε A επίσης σημειακή μάζα m =6 kg. Στο άλλο άκρο της ράβδου, στο σημείο Β, είναι αναρτημένη Γ τροχαλία μάζας Μ=4 kg από την οποία κρέμονται οι μάζες m = kg, m =m =1 kg. Η τροχαλία 1 3 μπορεί να περιστρέφεται γύρω από άξονα Ο. α. Αποδείξτε ότι το σύστημα ισορροπεί με τη ράβδο στην οριζόντια θέση. Κόβουμε το Ο Β, που συνδέει την τροχαλία με τη ράβδο στο σημείο Β. β. Βρείτε τη γωνιακή επιτάχυνση της ράβδου, όταν αυτή σχηματίζει γωνία 30 ο με την κατακόρυφο. Όταν η σημειακή μάζα m φτάνει στο κατώτατο σημείο, συγκρούεται πλαστικά με ακίνητη A σημειακή μάζα m =5 kg. 4 γ. Βρείτε τη γραμμική ταχύτητα του σημείου Α αμέσως μετά τη κρούση. 173

258 Στην αρχική διάταξη, όταν η τροχαλία με τα σώματα είναι δεμένη στο Β, κόβουμε το νήμα που συνδέει μεταξύ τους τα σώματα m και m και αντικαθιστούμε την m με μάζα m. 3 A δ. Πόση πρέπει να είναι η μάζα m, ώστε η ράβδος να διατηρήσει την ισορροπία της κατά τη διάρκεια περιστροφής της τροχαλίας; Τα νήματα είναι αβαρή, τριβές στους άξονες δεν υπάρχουν και το νήμα δεν ολισθαίνει στη τροχαλία. Δίνεται: g=10 m/s, ημ30 =1/, ροπή αδράνειας της τροχαλίας ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο της Ι=MR /. Ημερ Η τροχαλία του σχήματος είναι ομογενής με μάζα m=4 kg και ακτίνα R=0,5m. Τα σώματα Σ 1 και Σ έχουν μάζες m 1 = kg και m =1 kg αντίστοιχα και βρίσκονται αρχικά ακίνητα στο ίδιο ύψος. Κάποια στιγμή (t 0 =0) αφήνονται ελεύθερα. Να βρείτε: α. Το μέτρο της επιτάχυνσης που θα αποκτήσουν τα σώματα Σ 1 και Σ. β. Τα μέτρα των τάσεων των νημάτων. γ. Το μέτρο της γωνιακής ταχύτητα της τροχαλίας τη στιγμή t= s. δ. Την κινητική ενέργεια του συστήματος, τη στιγμή που το κάθε σώμα έχει μετατοπιστεί κατά h=3 m. Δίνεται: g=10m/s. Η ροπή αδράνειας της τροχαλίας ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο της είναι 1 I = mr. Τα νήματα δεν ολισθαίνουν στην τροχαλία. Εσπερ

259 4. Λεία οριζόντια σανίδα μήκους L=3m και μάζας Μ=0,4Kg αρθρώνεται στο άκρο της Α σε κατακόρυφο τοίχο. Σε απόσταση d=1m από τον τοίχο, η σανίδα στηρίζεται ώστε να διατηρείται οριζόντια. Ιδανικό αβαρές ελατήριο σταθεράς Κ=100Ν/m συνδέεται με το ένα άκρο του στον τοίχο και το άλλο σε σώμα Σ μάζας 1 m =1Kg. Το ελατήριο βρίσκεται στο φυσικό του μήκος, ο άξονάς του είναι οριζόντιος και διέρχεται 1 από το κέντρο μάζας του σώματος Σ.Το κέντρο μάζας του σώματος Σ βρίσκεται σε απόσταση d 1 1 από τον τοίχο. Στη συνέχεια, ασκούμε στο σώμα Σ σταθερή οριζόντια δύναμη μέτρου F=40N με 1 κατεύθυνση προς το άλλο άκρο Γ της σανίδας. Όταν το σώμα Σ διανύσει απόσταση s=5cm, η 1 δύναμη παύει να ασκείται στο σώμα και, στη συνέχεια, το σώμα εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση. α. Να υπολογίσετε το πλάτος της απλής αρμονικής ταλάντωσης που θα εκτελέσει το σώμα Σ. 1 β. Να εκφράσετε το μέτρο της δύναμης F που δέχεται η σανίδα από τον τοίχο σε συνάρτηση με την Α απομάκρυνση του σώματος Σ και να σχεδιάσετε την αντίστοιχη γραφική παράσταση. 1 m Κατά μήκος της σανίδας από το άκρο Γ κινείται σώμα Σ μάζας m =1Kg με ταχύτητα υ = 3. s Τα δύο σώματα συγκρούονται κεντρικά και ελαστικά, όταν η απομάκρυνση του σώματος Σ είναι x, όπου x 0. Το σώμα Σ μετά την κρούση ταλαντώνεται με το μέγιστο δυνατό πλάτος. γ. Να βρείτε την απομάκρυνση x. 1 δ. Να βρείτε μετά από πόσο χρονικό διάστημα από τη στιγμή της κρούσης τα δύο σώματα θα συγκρουστούν για δεύτερη φορά. Θεωρούμε θετική τη φορά της απομάκρυνσης προς το Γ. Τριβές στην άρθρωση και στο υποστήριγμα δεν υπάρχουν. Δίνεται: επιτάχυνση βαρύτητας g = 10m/s. Επαν. Ημερ

260 5. Ομογενής δίσκος μάζας m=4kg και ακτίνας R=0,1m είναι ακίνητος πάνω σε πλάγιο επίπεδο γωνίας κλίσης φ=30 0 με τον άξονά του οριζόντιο. Γύρω από το δίσκο είναι τυλιγμένο λεπτό, αβαρές και μη ελαστικό νήμα. Στην ελεύθερη άκρη του νήματος ασκείται σταθερή δύναμη μέτρου F 1 με διεύθυνση παράλληλη προς την επιφάνεια του πλάγιου επιπέδου και με φορά προς τα πάνω, όπως φαίνεται στο σχήμα. α. Να υπολογίσετε το μέτρο της στατικής τριβής που δέχεται ο δίσκος από το πλάγιο επίπεδο. Αντικαθιστούμε τη δύναμη F 1 με δύναμη F ίδιας κατεύθυνσης με την F 1 και μέτρου F =7N, με αποτέλεσμα ο δίσκος να αρχίσει να κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει προς τα κάτω. Το νήμα τυλίγεται γύρω από το δίσκο χωρίς να ολισθαίνει. β. Να υπολογίσετε την επιτάχυνση του κέντρου μάζας του δίσκου, καθώς και τη νέα τιμή της στατικής τριβής. γ. Να υπολογίσετε το μέτρο της ταχύτητας του σημείου εφαρμογής της F τη χρονική στιγμή t 1 κατά την οποία ο δίσκος έχει αποκτήσει γωνιακή ταχύτητα μέτρου ω 1 =10 rad/s. δ. Να υπολογίσετε το διάστημα που διάνυσε το κέντρο μάζας του δίσκου από τη στιγμή που άρχισε να κινείται μέχρι τη χρονική στιγμή t 1. ίνονται: ημ30 0 = 1, η επιτάχυνση της βαρύτητας g=10 m/s ως προς τον άξονα περιστροφής του I= 1 mr. και η ροπή αδράνειας του δίσκου Ομογ Δίνεται συμπαγής, ομογενής κύλινδρος μάζας Μ και ακτίνας R. Αφήνουμε τον κύλινδρο να κυλίσει χωρίς ολίσθηση, υπό την επίδραση της βαρύτητας (με επιτάχυνση της βαρύτητας g), πάνω σε κεκλιμένο επίπεδο γωνίας φ, όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα: 176

261 Δ1. Να υπολογίσετε την επιτάχυνση του κέντρου μάζας του κυλίνδρου. Ο άξονας του κυλίνδρου διατηρείται οριζόντιος. Δ. Από το εσωτερικό αυτού του κυλίνδρου, που έχει ύψος h, αφαιρούμε πλήρως ένα ομοαξονικό κύλινδρο ακτίνας r = R και μάζας m = 4 M, όπως απεικονίζεται στο παρακάτω σχήμα. Να υπολογίσετε τη ροπή αδράνειας του κοίλου κυλίνδρου, ως προς τον άξονά του, που προκύπτει μετά την αφαίρεση του εσωτερικού κυλινδρικού τμήματος. Ο κοίλος κύλινδρος που προκύπτει αφήνεται να κυλίσει χωρίς ολίσθηση, υπό την επίδραση της βαρύτητας (με επιτάχυνση βαρύτητας g), στο ίδιο κεκλιμένο επίπεδο, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα: Δ3. Να υπολογίσετε την επιτάχυνση του κέντρου μάζας του κοίλου κυλίνδρου. Ο άξονας του κυλίνδρου διατηρείται πάντα οριζόντιος. Δ4. Να υπολογίσετε, σε κάθε χρονική στιγμή της κύλισης στο κεκλιμένο επίπεδο, το λόγο της μεταφορικής προς την περιστροφική κινητική ενέργεια του κοίλου κυλίνδρου. Ο άξονας του κυλίνδρου διατηρείται πάντα οριζόντιος. Δίνονται: Η ροπή αδράνειας Ι συμπαγούς και ομογενούς κυλίνδρου μάζας Μ και ακτίνας R, ως προς τον άξονα γύρω από τον οποίο στρέφεται: Ι = 1 MR. Ημερ

262 7. Μια ισοπαχής δοκός ΑΒ αποτελείται από δύο ομογενή τμήματα ΑΚ και ΚΒ, μήκους L το καθένα, με μάζες m 1 = 5.m και m = 0,5 kg, αντίστοιχα. Τα κομμάτια αυτά είναι κολλημένα μεταξύ τους στο σημείο Κ, ώστε να σχηματίζουν τη δοκό ΑΒ μήκους L = 1 m. H δοκός ισορροπεί σε οριζόντια θέση, με το άκρο της Α να στηρίζεται στον τοίχο μέσω άρθρωσης, ενώ το μέσο της Κ συνδέεται με τον τοίχο με σχοινί που σχηματίζει γωνία φ= 30 με τη δοκό. Δ1. Να υπολογίσετε τις δυνάμεις που δέχεται η δοκός από το σχοινί και την άρθρωση. Κάποια στιγμή το σχοινί κόβεται και η ράβδος αρχίζει να στρέφεται χωρίς τριβές γύρω από το άκρο της Α σε κατακόρυφο επίπεδο. Δ. Να υπολογίσετε το μέτρο της γωνιακής επιτάχυνσης της ράβδου σε συνάρτηση με τη γωνία θ, που σχηματίζει αυτή με την αρχική της θέση (0 θ< 90 ). Δ3. Να υπολογίσετε το μέτρο της ταχύτητας του άκρου Β της ράβδου ( υ Β ) σε συνάρτηση με τη γωνία θ. Τη στιγμή που η ράβδος έχει στραφεί κατά γωνία θ = 30, συγκρούεται πλαστικά με αρχικά ακίνητο σφαιρίδιο αμελητέων διαστάσεων και μάζας m = m, το οποίο σφηνώνεται στο μέσο Κ της ράβδου. Δ4. Να υπολογίσετε το ποσοστό απώλειας της κινητικής ενέργειας κατά την κρούση. Δίνονται: η επιτάχυνση της βαρύτητας g = 10 m/s, ροπή αδράνειας ομογενούς και ισοπαχούς ράβδου μάζας m και μήκους L ως προς άξονα κάθετο στο μέσο της 1 1 I = ml, 178

263 ημ30 0 = 1, συν30 0 = 3. Επαν. Ημερ Λεπτή ομογενής ράβδος ΑΓ μήκους l= 1,5 m και μάζας Μ μπορεί να στρέφεται χωρίς τριβή γύρω από οριζόντιο άξονα κάθετο σε αυτή, ο οποίος διέρχεται από σημείο Κ της ράβδου και απέχει από το άκρο Γ απόσταση d = 6. Στο άκρο Γ τοποθετούμε σώμα μάζας m = 3, kg αμελητέων διαστάσεων και το σύστημα ισορροπεί με τη ράβδο σε οριζόντια θέση. Να υπολογίσετε: Δ1. τη μάζα Μ της ράβδου και το μέτρο της δύναμης που δέχεται η ράβδος από τον άξονα. Δ. τη ροπή αδράνειας του συστήματος ράβδος - σώμα ως προς τον άξονα περιστροφής. Απομακρύνουμε το σώμα μάζας περιστραφεί από την οριζόντια θέση. Να υπολογίσετε: Δ3. το μέτρο της γωνιακής επιτάχυνσης της ράβδου τη στιγμή t = 0. m και τη στιγμή t = 0 αφήνουμε τη ράβδο ελεύθερη να Δ4. το μέτρο της στροφορμής της ράβδου, όταν αυτή σχηματίζει με την αρχική της οριζόντια θέση γωνία φ ( ημφ= 0,7 ) για πρώτη φορά. Δίνονται: η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας της και είναι κάθετος στη ράβδο 1 1 I cm = M και η επιτάχυνση της βαρύτητας: g = 10 m/s. Ομογ Λεπτή, άκαμπτη και ομογενής ράβδος ΑΓ μήκους l = m και μάζας Μ = 5,6 kg ισορροπεί με τη βοήθεια οριζόντιου νήματος, μη εκτατού, που συνδέεται στο μέσο της, όπως φαίνεται στο σχήμα. Το άκρο Α της ράβδου συνδέεται με άρθρωση σε κατακόρυφο τοίχο. Δίνεται: ημφ = 0,6 και συνφ = 0,8. 179

264 Δ1. Να προσδιορίσετε τη δύναμη F που δέχεται η ράβδος από την άρθρωση. Μικρή ομογενής σφαίρα, μάζας m = 0,4 kg και ακτίνας r = 1 m κυλίεται χωρίς ολίσθηση, 70 έχοντας εκτοξευθεί κατά μήκος της ράβδου από το σημείο Κ προς το άκρο Γ. Δ. Να βρεθεί η γωνιακή επιτάχυνση της σφαίρας κατά την κίνησή της από το Κ μέχρι το Γ. Δ3. Με δεδομένο ότι η σφαίρα φτάνει στο άκρο Γ, να βρείτε τη σχέση που περιγράφει την τάση του νήματος σε συνάρτηση με την απόσταση του σημείου επαφής της σφαίρας με τη ράβδο, από το σημείο Κ. Αφού η σφαίρα έχει εγκαταλείψει τη ράβδο, κόβουμε το νήμα. Η ράβδος στρέφεται σε κατακόρυφο επίπεδο γύρω από οριζόντιο άξονα, ο οποίος διέρχεται από το άκρο της Α, χωρίς τριβές. Δ4. Να υπολογίσετε τον ρυθμό μεταβολής της κινητικής ενέργειας της ράβδου στη θέση στην οποία η ράβδος σχηματίζει γωνία φ με την κατακόρυφο που διέρχεται από το άκρο Α, όπως στο παρακάτω σχήμα. Δεύτερη λεπτή, άκαμπτη και ομογενής ράβδος ΑΔ, μήκους l = l και μάζας Μ = 3Μ είναι αρθρωμένη και αυτή στο σημείο Α γύρω από τον ίδιο άξονα περιστροφής με την ράβδο ΑΓ. Η ράβδος ΑΔ συγκρατείται ακίνητη, με κατάλληλο μηχανισμό, σε θέση όπου σχηματίζει γωνία φ με τον κατακόρυφο τοίχο όπως στο σχήμα. Οι δύο ράβδοι συγκρούονται και ταυτόχρονα ο μηχανισμός ελευθερώνει τη ράβδο ΑΔ, χωρίς απώλεια ενέργειας. Οι ράβδοι μετά την κρούση κινούνται σαν ένα σώμα, χωρίς τριβές. Ο χρόνος της κρούσης θεωρείται αμελητέος. Δ5. Να υπολογίσετε το ποσοστό απώλειας της κινητικής ενέργειας του συστήματος κατά την κρούση. Όλες οι κινήσεις πραγματοποιούνται στο ίδιο κατακόρυφο επίπεδο. Δίνονται: Η ροπή αδράνειας Ι ρ λεπτής ομογενούς ράβδου μάζας Μ και μήκους l, ως προς άξονα που διέρχεται από το ένα της άκρο και είναι κάθετος σε αυτή: I 1 M 3, 180

265 Η ροπή αδράνειας Ι σϕ ομογενούς σφαίρας μάζας m και ακτίνας r ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας της: Ι σϕ = g = 10 m/s. mr, 5 Ημερ Λεπτή, άκαμπτη και ισοπαχής ράβδος ΑΒ μήκους l = 1 m και μάζας Μ = 3 kg, μπορεί να στρέφεται χωρίς τριβές σε κατακόρυφο επίπεδο γύρω από οριζόντιο άξονα που διέρχεται από σημείο Ο αυτής, είναι κάθετος στη ράβδο και απέχει από το άκρο της Β απόσταση OB = d = l 4. σχήμα 1 Στο μέσο Κ της ράβδου και στο άκρο της Α στερεώνουμε δύο σφαιρίδια μάζας m 1 και m αντίστοιχα, όπου m 1 = m = 1 kg. Δίνοντας κατάλληλη ώθηση το σύστημα περιστρέφεται και χτυπά σε κατακόρυφο τοίχο με το άκρο Α, τη στιγμή που η ράβδος σχηματίζει με το οριζόντιο επίπεδο γωνία θ, τέτοια ώστε ημθ = 0,83 (σχήμα 1). Δ1. Να υπολογίσετε τη ροπή αδράνειας του συστήματος ράβδου - σφαιριδίων ως προς τον άξονα περιστροφής. Δ. Να υπολογίσετε το μέτρο της γωνιακής ταχύτητας ω του συστήματος ράβδου σφαιριδίων αμέσως μετά την κρούση, ώστε αυτό να εκτελέσει οριακά ανακύκλωση. Δ3. Κατά την κρούση με τον τοίχο, το ποσοστό απωλειών της κινητικής ενέργειας είναι το 75% της κινητικής ενέργειας του συστήματος ράβδου-σφαιριδίων πριν την κρούση. Να υπολογίσετε τη μεταβολή της στροφορμής του συστήματος ως προς τον άξονα περιστροφής του κατά την κρούση. Δ4. Όταν το σύστημα ράβδου - σφαιριδίων περνά από την οριζόντια θέση για πρώτη φορά, να υπολογίσετε το μέτρο του ρυθμού μεταβολής της στροφορμής του σφαιριδίου m ως προς τον άξονα που διέρχεται από το σημείο Ο (σχήμα ). σχήμα 181

266 Δίνονται: επιτάχυνση βαρύτητας g = 10 m/s, ροπή αδράνειας I cm λεπτής ομογενούς ράβδου μάζας Μ και μήκους l, ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας της και είναι κάθετος σε αυτή 1 1 I cm = M. Επαν. Ημερ Δύο συγκολλημένοι ομοαξονικοί κύλινδροι με ακτίνες R 1 και R = R 1 αποτελούν το στερεό Π του σχήματος. Το στερεό έχει μάζα Μ = 5 kg, ροπή αδράνειας ως προς τον άξονα περιστροφής του Ι=1 kg.m και R 1 = 0, m. To στερεό μπορεί να στρέφεται γύρω από σταθερό οριζόντιο άξονα που συμπίπτει με τον άξονά του, χωρίς τριβές. Το σώμα Σ μάζας m = 50 kg κρέμεται από το ελεύθερο άκρο αβαρούς και μη εκτατού νήματος που είναι τυλιγμένο πολλές φορές στον κύλινδρο ακτίνας R 1. Με τη βοήθεια οριζόντιου ελατηρίου το σύστημα ισορροπεί όπως στο σχήμα. 1. Να υπολογίσετε το μέτρο της δύναμης του ελατηρίου. Δ. Να υπολογίσετε τη δύναμη (μέτρο, κατεύθυνση) που ασκεί ο άξονας στο στερεό. Τη χρονική στιγμή t 0 =0 κόβεται το ελατήριο στο σημείο Α και το στερεό αρχίζει να στρέφεται. Δ3. Να υπολογίσετε τη γωνιακή επιτάχυνση του στερεού. Δ4. Να υπολογίσετε το ρυθμό μεταβολής της κινητικής ενέργειας του στερεού την χρονική στιγμή t=0,9 s. Δίνεται ότι η επιτάχυνση βαρύτητας είναι g = 10 s m. Ομογ Από το εσωτερικό άκρο Α ενός ημισφαιρίου ακτίνας R = 1,6 m αφήνεται να κυλήσει μία συμπαγής μικρή σφαίρα μάζας m = 1,4 Kg και ακτίνας r = R. Το ημισφαίριο είναι βυθισμένο στο 8 έδαφος, όπως φαίνεται στο Σχήμα 3, και η κίνηση της σφαίρας γίνεται χωρίς ολίσθηση 18

267 Δ1. Να εκφράσετε τη στατική τριβή T s που ασκείται στη σφαίρα σε συνάρτηση με το συνημίτονο της γωνίας φ που σχηματίζει η ακτίνα ΟΓ του ημισφαιρίου με την ευθεία ΑΕ της επιφάνειας του εδάφους. Δ. Να υπολογίσετε την κάθετη δύναμη που ασκεί η ημισφαιρική επιφάνεια στη σφαίρα όταν αυτή βρίσκεται στο σημείο Γ όπου φ = 30 ο (Σχήμα 3). Μια άλλη σφαίρα, όμοια με την προηγούμενη, εκτοξεύεται από το κατώτατο σημείο Δ του ημισφαιρίου με ταχύτητα υ = 6 m/s και κυλίεται χωρίς ολίσθηση στο εσωτερικό του με κατεύθυνση το άκρο Ε (Σχήμα 4). Δ3. Να υπολογίσετε το μέγιστο ύψος από την επιφάνεια του εδάφους που θα φτάσει η σφαίρα κατά την κίνησή της. Δ4. Να υπολογίσετε τον ρυθμό μεταβολής της κινητικής ενέργειας και το ρυθμό μεταβολής της στροφορμής της σφαίρας, αμέσως μόλις αυτή χάσει την επαφή με την επιφάνεια του ημισφαιρίου στο σημείο Ε. Δίνονται: ροπή αδράνειας της σφαίρας ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας Ι cm = mr και η επιτάχυνση της βαρύτητας g = 10 m/s. 5 Ημερ Ομογενής τροχαλία ισορροπεί έχοντας το νήμα τυλιγμένο γύρω της πολλές φορές. Η μία άκρη του νήματος είναι στερεωμένη στην οροφή Ο και η άλλη στο σώμα Σ, το οποίο ισορροπεί κρεμασμένο από κατακόρυφο ιδανικό ελατήριο σταθεράς Κ = 40 Ν/m, που είναι στερεωμένο στην οροφή, όπως φαίνεται στο Σχήμα 10. Η μάζα της τροχαλίας είναι M =1,6 kg, η ακτίνα της R = 0, m. Η ροπή αδράνειας της τροχαλίας, ως προς άξονα που είναι κάθετος στο επίπεδό της και ο οποίος διέρχεται από το κέντρο μάζας της δίνεται από σχέση Ι = 1 ΜR. 183

268 Το σώμα Σ θεωρείται σημειακό αντικείμενο μάζας m = 1,44 kg. Το νήμα και το ελατήριο έχουν αμελητέες μάζες. Δ1. Να υπολογίσετε τη δύναμη που ασκεί το ελατήριο στο σώμα Σ. Κάποια χρονική στιγμή κόβουμε το νήμα που συνδέει την τροχαλία με το σώμα Σ, και το σώμα Σ αρχίζει να εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση. Τη χρονική στιγμή που μηδενίζεται η στιγμιαία ταχύτητα του σώματος Σ, για πρώτη φορά, το κέντρο μάζας της τροχαλίας έχει μετατοπιστεί κατακόρυφα κατά απόσταση h. ολισθαίνει στο αυλάκι της τροχαλίας. Δ. Να υπολογίσετε την κατακόρυφη μετατόπιση h της τροχαλίας. Η αντίσταση του αέρα θεωρείται αμελητέα και το νήμα δεν Δ3. Να γράψετε την εξίσωση της απομάκρυνσης του σώματος Σ σε συνάρτηση με το χρόνο, θεωρώντας ότι η τιμή t = 0 αντιστοιχεί στη χρονική στιγμή που κόπηκε το νήμα και ότι η φορά απομάκρυνσης του σώματος Σ προς τα πάνω είναι θετική. Δ4. Να υπολογίσετε το μέτρο της ταχύτητας του κάτω άκρου Γ της τροχαλίας, όταν το κέντρο μάζας της τροχαλίας έχει μετατοπιστεί κατακόρυφα κατά απόσταση h. m Δίνονται: η επιτάχυνση της βαρύτητας g = 10 s, π = 10 και π = 10 (προσεγγιστικά). Επαν. Ημερ

269 34. Ομογενής δοκός ΑΓ με μήκος l = 3 m και μάζα Μ = 6 kg φέρει σώμα μικρών διαστάσεων μάζας m = 3 kg στη θέση Δ, για την οποία ισχύει (ΔΓ) = l / 3. Η δοκός στηρίζεται με το άκρο της Α σε κατακόρυφο τοίχο μέσω άρθρωσης. Το άκρο Γ της ράβδου συνδέεται με τον τοίχο με αβαρές νήμα, που σχηματίζει γωνία φ = 60 ο με τον κατακόρυφο τοίχο και το σύστημα δοκός-σώμα ισορροπεί σε οριζόντια θέση. Δ1. Να υπολογίσετε τη ροπή αδράνειας του συστήματος δοκός-σώμα, ως προς άξονα που διέρχεται από το άκρο Α και είναι κάθετος στο επίπεδο του σχήματος. Δ. Να υπολογίσετε το μέτρο της τάσης του νήματος και το μέτρο της δύναμης που δέχεται η δοκός από την άρθρωση. Κάποια στιγμή κόβουμε το νήμα και το σύστημα αρχίζει να στρέφεται, χωρίς τριβές, σε κατακόρυφο επίπεδο γύρω από άξονα που διέρχεται από το άκρο Α της ράβδου. Δ3. Να υπολογίσετε τη γωνιακή επιτάχυνση του συστήματος τη στιγμή που η ράβδος σχηματίζει γωνία θ = 60 o με την αρχική οριζόντια θέση της. Δ4. Να υπολογίσετε την ταχύτητα υ του σώματος μάζας m τη στιγμή που το σύστημα δοκός-σώμα διέρχεται για πρώτη φορά από την κατακόρυφη θέση. Δίνονται: η ροπή αδράνειας ομογενούς ράβδου μάζας Μ και μήκους l, ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας της και είναι κάθετος στη ράβδο Ι CM = Μl / 1 η επιτάχυνση της βαρύτητας g = 10 m/s και συν 60 o = 1/, ημ60 o = 3 /. Ομογ Σώμα Σ, μάζας m = 1kg, είναι δεμένο στο κάτω άκρο ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k = 100N/m. Το πάνω άκρο του ελατηρίου είναι στερεωμένο σε ακλόνητο σημείο στην κορυφή κεκλιμένου επιπέδου, γωνίας κλίσης φ = Το τμήμα ΒΓ του κεκλιμένου επιπέδου είναι λείο. Ομογενής κύλινδρος μάζας Μ = kg και ακτίνας R = 0,1m συνδέεται με το σώμα Σ με τη βοήθεια αβαρούς νήματος που δεν επιμηκύνεται. Ο άξονας του κυλίνδρου είναι οριζόντιος. Το νήμα και ο άξονας του ελατηρίου βρίσκονται στην ίδια ευθεία, που είναι παράλληλη στο κεκλιμένο επίπεδο. Το σύστημα των σωμάτων ισορροπεί όπως φαίνεται στο σχήμα. 185