ΠΡΟΣΗΜΟ Ν.ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ 1

Transcript

1 Ν.ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ 1

2 ΘΕΩΡΙΑ Ν.ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ 2

3 ΣΤΕΡΕΟ 4-1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ 1.Τι είναι το υλικό σημειο και τι κινήσεις κάνει; Το υλικό σημείο ορίζεται ως σώμα που έχει όλες τις άλλες ιδιότητες της ύλης εκτός από διαστάσεις. Ένα υλικό σημείο, μη έχοντας διαστάσεις, έχει τη δυνατότητα να εκτελεί μόνο μεταφορικές κινήσεις. 2.Τι είναι στερεό και τι τι κινήσεις κάνει; Στερεά είναι όλα τα σώματα που έχουν διαστάσεις και γι αυτό, εκτός από το να εκτελούν μεταφορική κίνηση, μπορούν να αλλάζουν προσανατολισμό στο χώρο, να εκτελούν δηλαδή περιστροφική (στροφική) ή, ακόμη, σύνθετη κίνηση, δηλαδή συνδυασμό μεταφορικής και στροφικής κίνησης. Ένα στερεό σώμα μπορεί να κάνει μεταφορική, στροφική και σύνθετη κίνηση. 2.Τι είναι μηχανικο στερεο; Τα υποθετικά στερεά που δεν παραμορφώνονται όταν τους ασκούνται δυνάμεις λέγονται μηχανικά στερεά. 4-2 ΟΙ ΚΙΝΗΣΕΙΣ ΤΩΝ ΣΤΕΡΕΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ 1. Πότε λέμε ότι ένα σώμα εκτελεί μεταφορική κίνηση;να αναφέρετε και παραδείγματα Στη μεταφορική κίνηση κάθε στιγμή όλα τα σημεία του σώματος έχουν την ίδια ταχύτητα. Παράδειγμα τέτοιας κίνησης είναι η κίνηση ενός κιβω τίου που ολισθαίνει πάνω σε οριζόντιο επίπεδο. Στη μεταφορική κίνηση των στερεών ισχύουν οι νόμοι που διέπουν την κίνηση των υλικών σημείων.μεταφορική μπορεί να είναι και μια καμπυλόγραμμη κίνηση. Το σώμα του σχήματος 4.2α κάνει μεταφορική κίνηση αν η ταχύτητα του σημείου Α είναι ίση με την ταχύτητα του σημείου Β. Αυτό είναι δυνατό. Όταν ένα στερεό κάνει μεταφορική κίνηση, το ευθύγραμμο τμήμα που συνδέει δύο τυχαία σημεία του μετατοπίζεται παράλληλα προς τον εαυτό του. Μεταφορική είναι και η κίνηση που εκτελούν οι θαλαμίσκοι στον τροχό του λούνα πάρκ (σχ.4.2β). Ν.ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ 3

4 2. Πότε λέμε ότι ένα σώμα εκτελεί στροφική κίνηση; Στη στροφική κίνηση το σώμα αλλάζει προσανατολισμό. Στη στροφική κίνηση υπάρχει μια ευθεία ο άξονας περιστροφής - που όλα της τα σημεία παραμένουν ακίνητα ενώ τα υπόλοιπα σημεία του σώματος κάνουν κυκλική κίνηση. 3. Πως ορίζεται η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής; Είναι το φυσικό διανυσματικό μέγεθος που εκφράζει το πόσο γρήγορα περιστρέφεται ένα σώμα και ορίζεται με το πηλίκο της γωνίας που διαγράφει το σώμα καθώς στρέφεται, προς τον αντίστοιχο χρόνο που απαιτείται. Η διεύθυνση είναι κάθετη στο επίπεδο περιστροφής και η φορά καθορίζεται με τον κανόνα του δεξιού χεριού. Μονάδα είναι το lrad/s. 4. Πως ορίζεται η γωνιακή επιτάχυνση; Ας υποθέσουμε ότι ο δίσκος του σχήματος 4.3 τη χρονική στιγμή t1 έχει γωνιακή ταχύτητα ω1 ενώ τη χρονική στιγμή t2=t1+dt η γωνιακή του ταχύτητα γίνεται ω2=ω1+dω Ν.ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ 4

5 Ο ρυθμός μεταβολής της γωνιακής ταχύτητας του σώματος τη στιγμή t, ονομάζεται γωνιακή επιτάχυνση του σώματος. αγων= dω dt Η γωνιακή επιτάχυνση έχει την κατεύθυνση του διανύσματος dω και μονάδα 1 rad/s 2. 5.Πότε λέμε ότι ένα σώμα εκτελεί σύνθετη κίνηση; Όταν ένα σώμα μετακινείται στο χώρο και ταυτόχρονα αλλάζει ο προσανατολισμός του λέμε ότι κάνει σύνθετη κίνηση. Τέτοια κίνηση κάνει π.χ. ο τροχός ενός αυτοκινήτου, όταν κινείται το αυτοκίνητο. Όπως συμβαίνει και με το υπόλοιπο αυτοκίνητο, ο τροχός αλλάζει θέση στο χώρο (μεταφορική κίνηση) και ταυτόχρονα περιστρέφεται γύρω από τον άξονά του. Σύνθετη κίνηση είναι και η κίνηση που κάνει μια ρακέτα αν κρατώντας τη από τη λαβή την πετάξουμε ψηλά. 6.. Πως μελετάται η σύνθεση περιστροφικής και μεταφορικής κίνησης στην περίπτωση ενός τροχού που κυλίεται; Η σύνθετη κίνηση μπορεί να μελετηθεί ως το αποτέλεσμα της επαλληλίας μιας μεταφορικής και μιας περιστροφικής κίνησης. Το σχήμα 4.4 δείχνει ένα τροχό που κυλίεται. Η κίνησή του μπορεί να θεωρηθεί ως το αποτέλεσμα της επαλληλίας μιας μεταφορικής κίνησης, στην οποία όλα τα σημεία του τροχού, κάθε στιγμή, έχουν την ίδια ταχύτητα υcm (σχ. 4.4α) και μιας περιστροφικής κίνησης, γύρω από άξονα που περνάει από το κέντρο του τροχού και είναι κάθετος σ αυτόν (σχ. 4.4β). Στην περιστροφική κίνηση όλα τα σημεία του τροχού που απέχουν το ίδιο από τον άξονα περιστροφής έχουν ταχύτητες με το ίδιο μέτρο υ, εφαπτόμενες στην κυκλική τουςτροχιά. Η ταχύτητα κάθε σημείου του τροχού είναι η συνισταμένη της ταχύτητας υcm λόγω μεταφορικής κίνησης και της υ λόγω της περιστροφικής (σχ. 4.4γ). 7. Τι ονομάζουμε κέντρο μάζας ενός στερεού σώματος; Κέντρο μάζας (cm) ενός στερεού σώματος ονομάζεται το σημείο εκείνο του σώματος που κινείται όπως ένα υλικό σημείο με μάζα Ν.ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ 5

6 ίση με τη μάζα του σώματος, αν σε αυτό ασκούνταν όλες οι δυνάμεις που ασκούνται στο σώμα. 8.Τι γνωρίζετε για το κέντρο μάζας ενός σώματος; Α)Το κέντρο μάζας ομογενών και συμμετρικών σωμάτων συμπίπτει με το κέντρο συμμετρίας τους. Π.χ. το κέντρο μάζας ενός κύβου είναι το σημείο τομής των διαγωνίων του, το κέντρο μάζας μιας σφαίρας είναι το κέντρο της σφαίρας. Β)Το κέντρο μάζας ενός σώματος μπορεί να βρίσκεται και έξω από το σώμα. Τέτοια είναι η περίπτωση ισοπαχούς ομογενούς δακτυλίου, το κέντρο μάζας του οποίου βρίσκεται στο κέντρο του. Γ) Αν ένα σώμα βρίσκεται μέσα σε ομογενές πεδίο βαρύτητας το κέντρο μάζας του συμπίπτει με το κέντρο βάρους, το σημείο δηλαδή από το οποίο περνάει πάντα το βάρος του σώματος, όπως και να τοποθετηθεί. 7.Ποια η σχέση γωνίας και τόξου εγγεγραμμένου σε κύκλο ακτίνα; Το τόξο ds και η γωνία dφ συνδέονται με τη σχέση Ν.ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ 6

7 8. Ποια η σχέση της γραμμικής ταχύτητας vcm του κέντρου μάζας με τη γωνιακή ταχύτητα περιστροφής του τροχού (στην κύλιση χωρις ολίσθηση); Ας επανέλθουμε στην κύλιση του τροχού (σχ. 4.5). Κατά την κύλιση κάθε σημείο του τροχού έρχεται διαδοχικά σε επαφή με το δρόμο. Έτσι, όταν ο τροχός σε χρόνο dt μετακινηθεί κατά ds, ένα σημείο Α της περιφέρειας του θα έχει στραφεί κατά τόξο μήκους ds, στο οποίο αντιστοιχεί η επίκεντρη γωνία dθ. H ταχύτητα υcm του κέντρου μάζας του τροχού είναι 9. Ποια η σχέση της γραμμικής επιτάχυνσης acm του κέντρου μάζας με τη γωνιακή επιτάχυνση περιστροφής του τροχού; Έστω ένας τροχός που κυλίεται πάνω σε πλάγιο επίπεδο (σχ. 4.6). Η γωνιακή ταχύτητα του τροχού αυξάνεται, δηλαδή έχει γωνιακή επιτάχυνση. Το κέντρο μάζας του τροχού εκτελεί ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση. Αν η ταχύτητα του κέντρου μάζας του τροχού κάποια στιγμή είναι υcm, θα ισχύει Ν.ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ 7

8 4-3 ΡΟΠΗ ΔΥΝΑΜΗΣ 1.Απο τι εξαρτάται η ικανότητα μιας δύναμης να περιστρέψει ένα στερεό; Αν ασκήσουμε μια δύναμη σε ένα σώμα που έχει τη δυνατότητα να στρέφεται γύρω από σταθερό άξονα το σώμα περιστρέφεται εκτός αν ο φορέας της δύναμης περνάει από τον άξονα περιστροφής. Από την εμπειρία μας γνωρίζουμε ότι η περιστροφή που προκαλεί μια δύναμη εξαρτάται όχι μόνο από την κατεύθυνση και το μέγεθος της δύναμης αλλά και από το σημείο στο οποίο ασκείται η δύναμη. Για να κλείσουμε μια πόρτα τη σπρώχνουμε κοντά στο πόμολο και όχι κοντά στον άξονα περιστροφής της (μεντεσέδες), γιατί ακόμα και μικρή δύναμη μπορεί να προκαλέσει στροφή της πόρτας όταν εφαρμόζεται μακριά από τον άξονα περιστροφής. Το μέγεθος το οποίο περιγράφει την ικανότητα μιας δύναμης να στρέφει ένα σώμα ονομάζεται ροπή της δύναμης και συμβολίζεται με το ελληνικό τ. Α) Ροπή δύναμης ως προς άξονα 2.Πως ορίζεται η ροπή δύναμης; Έστω ένα σώμα που έχει τη δυνατότητα να στρέφεται γύρω από τον άξονα z z. Στο σώμα ασκείται δύναμη F που βρίσκεται σε επίπεδο κάθετο στον άξονα περιστροφής. Ροπή της δύναμης F, ως προς τον άξονα περιστροφής ονομάζεται το διανυσματικό μέγεθος που έχει μέτρο ίσο με το γινόμενο του μέτρου της δύναμης επί την κάθετη απόσταση l της δύναμης από τον άξονα περιστροφής (μοχλοβραχίονας). τ Fl Η ροπή έχει τη διεύθυνση του άξονα περιστροφής και η φορά της δίνεται από τον κανόνα του δεξιού χεριού. Μονάδα ροπής είναι το 1 Ν m. Για να προσδιορίσουμε τη φορά της ροπής κλείνουμε τα δάχτυλα του δεξιού χεριού και τα τοποθετούμε έτσι ώστε να δείχνουν τη φορά κατά την οποία τείνει να περιστρέψει το σώμα η δύναμη. Ο αντίχειρας τότε δίνει τη φορά του διανύσματος της ροπής. Ν.ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ 8

9 Κατά σύμβαση θεωρούμε θετική τη ροπή της δύναμης που τείνει να περιστρέψει το σώμα αντίθετα από τη φορά των δεικτών του ρολογιού και αρνητική τη ροπή της δύναμης που τείνει να το περιστρέψει κατά τη φορά κίνησης των δεικτών του ρολογιού. 3..Πως ορίζεται η ροπή δύναμης που δεν βρίσκεται πάνω σε επίπέδο κάθετο στον άξονα περιστροφής; Αν η δύναμη F δε βρίσκεται σε επίπεδο κάθετο στον άξονα περιστροφής, η ροπή της είναι ίση με τη ροπή που δημιουργεί η συνιστώσα της που βρίσκεται πάνω στο κάθετο επίπεδο (σχ. 4.9) Β) Ροπή δύναμης ως προς σημείο 4.Τι κίνηση θα κάνει ένα στερεο σώμα όταν του ασκηθεί δύναμη με διεύθυνση που περνά από το κέντρο μάζας του; Αν σ' ένα ελεύθερο σώμα ασκηθεί δύναμη που ο φορέας της διέρχεται από το κέντρο μάζας του, το σώμα δεν περιστρέφεται (θα εκτελέσει μεταφορική κίνηση). 4.Τι κίνηση θα κάνει ένα στερεο σώμα όταν του ασκηθεί δύναμη με διεύθυνση που δεν περνά από το κέντρο μάζας του; Αν όμως ο φορέας της δύναμης δε διέρχεται από το κέντρο μάζας του, το σώμα μαζί με τη μεταφορική κίνηση θα εκτελέσει και περιστροφική γύρω από ένα νοητό άξονα (ελεύθερος άξονας) που διέρχεται από το κέντρο μάζας του σώματος και είναι κάθετος στο επίπεδο που ορίζεται από τη δύναμη και το κέντρο μάζας του σώματος. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ:Μπορείτε να διαπιστώσετε τα παραπάνω με ένα μολύβι που βρίσκεται πάνω σε ένα τραπέζι. Ωθώντας το μολύβι στο κέντρο μάζας του, το μολύβι κάνει μόνο μεταφορική κίνηση. Αν όμως ασκήσετε δύναμη στη μια του άκρη (ο φορέας της δεν πρέπει να διέρχεται από το κέντρο μάζας του) τότε το μολύβι στρέφεται γύρω από έναν νοητό άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας του και ταυτόχρονα μετακινείται. Η μεταφορική κίνηση μπορεί να μην είναι εμφανής αν η τριβή ανάμεσα στο μολύβι και το τραπέζι είναι σημαντική. 5. Πως ορίζεται η ροπή δύναμης όταν δεν υπάρχει σταθερός άξονας περιστροφής; Ν.ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ 9

10 Στις περιπτώσεις που δεν υπάρχει σταθερός άξονας περιστροφής χρησιμοποιείται η έννοια της ροπής της δύναμης ως προς σημείο. Ροπή δύναμης F ως προς σημείο Ο ονομάζουμε το διανυσματικό μέγεθος που έχει μέτρο ίσο με το γινόμενο του μέτρου της δύναμης επί την απόσταση της από το σημείο Ο τ Fl διεύθυνση κάθετη στο επίπεδο που ορίζεται από τη δύναμη και το σημείο Ο και φορά που δίνεται από τον κανόνα του δεξιού χεριού. 6.Πως ορίζεται η ροπή ζεύγους δυνάμεων ; Αξιοσημείωτη είναι η περίπτωση που σε ένα σώμα δρουν δύο αντίρροπες δυνάμεις F1 και F2 με ίσα μέτρα. Δυο τέτοιες δυνάμεις αποτελούν ζεύγος δυνάμεων. Αν η απόσταση των φορέων των δυο δυνάμεων είναι d, η αλγεβρική τιμή της ροπής του ζεύγους ως προς κάποιο σημείο Α (σχ. 4.12) που απέχει απόσταση x1 από τη δύναμη F1 και x2 από την F2, είναι Το ίδιο αποτέλεσμα θα είχαμε και ως προς οποιοδήποτε άλλο σημείο. Επομένως, η ροπή ζεύγους δυνάμεων είναι ίδια ως προς οποιοδήποτε σημείο. 4-4 ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ 1.Τι κίνηση μπορεί να κάνει σώμα που έχει σταθερό άξονα; Αν το στερεό έχει σταθερό άξονα μπορεί να κάνει μόνο στροφική κίνηση. Επομένως, για να ισορροπεί, αρκεί η συνισταμένη των ροπών ως προς τον άξονα να είναι μηδέν. 2.Τι κίνηση μπορεί να κάνει ένα ελεύθερο στερεο; Ένα ελεύθερο στερεό, όμως, μπορεί να εκτελέσει και μεταφορική και στροφική κίνηση. Αν η συνισταμένη των δυνάμεων που ασκούνται στο σώμα είναι μηδέν το σώμα δε θα εκτελέσει μεταφορική κίνηση. Αυτό όμως δεν εξασφαλίζει ότι δε θα στραφεί. Αν υπάρχουν ροπές το σώμα θα στραφεί. Όταν η συνισταμένη δύναμη είναι μηδέν, αν υπάρχουν ροπές, αυτές θα οφείλονται σε ζεύγη δυνάμεων. Η ροπή ζεύγους, όμως, είναι ίδια ως προς όλα τα σημεία. Επομένως, για να μη στραφεί το σώμα θα πρέπει η συνισταμένη ροπή να είναι μηδέν ως προς ένα οποιοδήποτε σημείο (τότε θα είναι μηδέν και ως προς κάθε άλλο). Ν.ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ 10

11 3.Ποιες είναι οι συνθήκες ισορροπίας ενός στερεου; Επομένως για να ισορροπεί ένα αρχικά ακίνητο στερεό σώμα στο οποίο ασκούνται πολλές ομοεπίπεδες δυνάμεις θα πρέπει πρώτον η συνισταμένη δύναμη να είναι μηδέν και δεύτερον το αλγεβρικό άθροισμα των ροπών ως προς οποιοδήποτε σημείο να είναι μηδέν 4-5 ΡΟΠΗ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ 1.Τι ονομάζουμε ροπή αδράνειας ενός στερεού Έστω ένα στερεό το οποίο στρέφεται γύρω από το σταθερό άξονα zz (σχ.4.17). Χωρίζουμε το σώμα σε στοιχειώδη τμήματα με μάζες m1, m2., τόσο μικρά ώστε καθένα από αυτά να μπορεί να θεωρηθεί υλικό σημείο. Οι μάζες m1,m2 κινούνται κυκλικά γύρω από τον άξονα, σε κύκλους ακτίνων r1, r2 Ονομάζουμε ροπή αδράνειας ενός στερεού ως προς κάποιο άξονα το άθροισμα των γινομένων των στοιχειωδών μαζών από τις οποίες αποτελείται το σώμα επί τα τετράγωνα των αποστάσεων τους από τον άξονα περιστροφής. Η ροπή αδράνειας είναι μονόμετρο μέγεθος και έχει μονάδα το 1 kg m 2. 2.Τι λέει το θεώρημα του Steiner; Αν cm I η ροπή αδράνειας ενός σώματος μάζας Μ, ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας, η ροπή αδράνειάς του ως προς ένα άξονα που είναι παράλληλος και απέχει απόσταση d από τον πρώτο είναι ίση με το άθροισμα της ροπής αδράνειας ως προς τον άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας του σώματος και του γινομένου της μάζας του σώματoς επί το τετράγωνο της απόστασης d Ν.ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ 11

12 4-6 ΘΕΜΕΛΙΩΔΗΣ ΝΟΜΟΣ ΤΗΣ ΣΤΡΟΦΙΚΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ 1.Διατυπώστε τον θεμελιώδη νόμο της στροφικής κίνησης. Η σχέση ανάμεσα στην αιτία (ροπή) και το αποτέλεσμα (μεταβολή της γωνιακής ταχύτητας) είναι Η παραπάνω σχέση είναι γνωστή ως ο θεμελιώδης νόμος της στροφικής κίνησης, δηλαδή,το αλγεβρικό άθροισμα των ροπών που δρουν πάνω σε ένα στερεό σώμα το οποίο περιστρέφεται γύρω από σταθερό άξονα ισούται με το γινόμενο της ροπής αδράνειας (υπολογισμένης ως προς τον άξονα περιστροφής) και της γωνιακής επιτάχυνσης του σώματος. 2.Τι εκφράζει η ροπή αδράνειας ενός στερεου και από τι εξαρτάται; Από τη σχέση (4.7) φαίνεται ότι όσο μεγαλύτερη είναι η ροπή αδράνειας ενός σώματος τόσο πιο δύσκολα αλλάζει η περιστροφική κατάσταση του σώματος. Η ροπή αδράνειας εκφράζει στην περιστροφή, ό,τι εκφράζει η μάζα στη μεταφορική κίνηση, δηλαδή την αδράνεια του σώματος στη στροφική κίνηση. Ενώ όμως η μάζα ενός σώματος είναι σταθερό μέγεθος η ροπή αδράνειας εξαρτάται κάθε φορά από τη θέση του άξονα περιστροφής και τηνκατανομή της μάζας ως προς αυτόν. 3.Τι συμβαίνει σε ένα στερεό όταν η συνισταμένη των ροπών είναι μηδέν; Αν το αλγεβρικό άθροισμα των ροπών είναι μηδέν, από τη σχέση (4.7) προκύπτει ότι και η γωνιακή επιτάχυνση του σώματος είναι μηδέν, επομένως το σώμα διατηρεί την προηγούμενη περιστροφική του κατάσταση, δηλαδή αν το σώμα είναι ακίνητο θα εξακολουθήσει να ηρεμεί, ενώ αν στρέφεται θα συνεχίσει να στρέφεται με σταθερή γωνιακή ταχύτητα. 4.Πότε ισχύει ο θεμελιώδης νόμος της στροφικής κίνησης όταν ο άξονας περιστροφής δεν είναι σταθερος; Ο θεμελιώδης νόμος της στροφικής κίνησης ισχύει και στις περιπτώσεις αυτές, αρκεί ο άξονας γύρω από τον οποίο περιστρέφεται το σώμα να διέρχεται από το κέντρο μάζας του σώματος, να είναι άξονας συμμετρίας και 1.Τι ονομάζουμε στροφορμή υλικού σημείου που κάνει κυκλική κίνηση; Ονομάζουμε στροφορμή του υλικού σημείου ως προς ένα άξονα z z που διέρχεται από το κέντρο της κυκλικής τροχιάς και είναι Ν.ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ 12

13 κάθετος στο επίπεδό της το διανυσματικό μέγεθος που έχει μέτρο διεύθυνση αυτή του άξονα z z και φορά του καθορίζεται από τον κανόνα του δεξιού χεριού. Μονάδα στροφορμής είναι το 1kg m 2 /s. 2.Τι ονομάζουμε στροφορμή στερεού που κάνει στροφική κίνηση; Η στροφορμή ενός στερεού σώματος που περιστρέφεται γύρω από άξονα ισούται με L =Iω έχει τη διεύθυνση του άξονα και η φορά της ορίζεται από τον κανόνα του δεξιού χεριού. Μονάδα στροφορμής είναι το 1kg m 2 /s. 3.Τι ονομάζουμε ιδιοστροφορμή στερεού που κάνει στροφική κίνηση; Τη στροφορμή που σχετίζεται με την περιστροφική κίνηση ενός σώματος γύρω από άξονά που περνάει από το κέντρο μάζας του συχνά την ονομάζουμε σπιν, για να τη διακρίνουμε από τη στροφορμή που μπορεί να έχει το σώμα λόγω άλλης κίνησης. 4.Να αναφέρετε δύο παραδείγματα ιδιστροφορμής. Α)Για παράδειγμα, η Γη έχει σπιν εξαιτίαςτης περιστροφής της γύρω από τον άξονά της και στροφορμή εξαιτίας τηςκίνησής της γύρω από τον Ήλιο, δηλαδή της τροχιακής της κίνησης. Β)Τα στοιχειώδη σωματίδια - ηλεκτρόνια, πρωτόνια και νετρόνια Js. Αυτή η στροφορμή σπιν συνήθως εκφράζεται ως όπου h -34 J s (προφέρεται έιτς μπάρ) και είναι μια θεμελιώδης ποσότητα στροφορμής που εμφανίζεται συχνά στη κβαντική φυσική. 5.Τι ονομάζεται στροφορμή συστήματος σωμάτων; Ν.ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ 13

14 Σε ένα σύστημα σωμάτων, στροφορμή ονομάζεται το διανυσματικό άθροισμα των στροφορμών των σωμάτων που απαρτίζουν το σύστημα. Εάν δηλαδή οι στροφορμές των σωμάτων του συστήματος είναι L1, L2,.., η στροφορμή L του συστήματος είναι L=L1+L2+ 6.Τι λέει η γενικότερη διατύπωση του θεμελιώδη νόμου της στροφικής κίνησης για ένα σώμα; Tο αλγεβρικό άθροισμα των ροπών που δρουν σε ένα στερεό που περιστρέφεται γύρω από σταθερό άξονα, είναι ίσο με την αλγεβρική τιμή του ρυθμού μεταβολής της στροφορμής του 7.Τι λέει η γενικότερη διατύπωση του θεμελιώδη νόμου της στροφικής κίνησης για ένα σύστημα σωμάτων; O νόμος αυτός ισχύει και σε σύστημα σωμάτων. Σε ένα σύστημα σωμάτων, το αλγεβρικό άθροισμα όλων των ροπών, δηλαδή των ροπών που οφείλονται στις εξωτερικές δυνάμεις καθώς και εκείνων που οφείλονται στις εσωτερικές δυνάμεις, είναι ίσο με το ρυθμό μεταβολής της στροφορμής του συστήματος. Η ολική ροπή των εσωτερικών δυνάμεων είναι μηδενική. Σύμφωνα με τον τρίτο νόμο του Newton οι εσωτερικές δυνάμεις απαντούν κατά ζεύγη (δράση - αντίδραση). Σε κάθε τέτοιο ζεύγος οι δυνάμεις είναι αντίθετες. Η ροπή κάθε τέτοιου ζεύγους ως προς οποιοδήποτε σημείο είναι μηδενική και επομένως το αλγεβρικό άθροισμα των ροπών όλων των εσωτερικών δυνάμεων να είναι μηδέν. Έτσι για σύστημα σωμάτων έχουμε όπου Στεξ η ροπή μιας εξωτερικής δύναμης και L η στροφορμή του συστήματος. 8.Τι λέει η διατήρηση της στροφορμής σε ένα σώμα Ν.ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ 14

15 Αν σε ένα σώμα το αλγεβρικό άθροισμα των ροπών είναι μηδέν, από. Η στροφορμή του σώματος παραμένει σταθερή. Για παράδειγμα, κατά την περιστροφή της Γης γύρω από τον εαυτό της (ιδιοπεριστροφή), επειδή η ελκτική δύναμη που δέχεται από τον Ήλιο δε δημιουργεί ροπή, αφού ο φορέας της διέρχεται από το κέντρο μάζας της, η στροφορμή της Γης παραμένει σταθερή. Επομένως η χρονική διάρκεια περιστροφής της Γης γύρω από τον εαυτό της παραμένει σταθερή 24 ώρες. 9.Τι λέει η διατήρηση της στροφορμής σε ένα σύστημα σωμάτων; Ο δεύτερος νόμος του Νewton για τη στροφική κίνηση στην περίπτωση συστήματος σωμάτων έχει τη μορφή Στεξ=dL /dt Από τη σχέση αυτή προκύπτει ότι αν το αλγεβρικό άθροισμα των ροπών των εξωτερικώνδυνάμεων στο σύστημα είναι μηδέν, η στροφορμή του συστήματος διατηρείται σταθερή. Η πρόταση αυτή είναι γνωστή ως αρχή τηςδιατήρησης της στροφορμής Εάν η συνολική εξωτερική ροπή σε ένα σύστημα είναι μηδέν η ολική στροφορμή του συστήματος παραμένει σταθερή. 10.Τι ισχύει στην ανακατανομή της μάζας ενός συστήματος στερεων; Αν, λόγω ανακατανομής της μάζας (εξαιτίας εσωτερικών δυνάμεων), μεταβληθεί η ροπή αδράνειας ενός σώματος ως προς τον άξονα περιστροφής του, μεταβάλλεται και η γωνιακή ταχύτητά του αλλά η στροφορμή του διατηρείται σταθερή. Μπορούμε επομένως να γράψουμε: ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ I1ω1=I2ω2 Α)Αθλήτρια του καλλιτεχνικού πατινάζ, που στριφογυρίζει στο παγοδρόμιο. Η αθλήτρια μπορεί, συμπτύσσοντας τα χέρια και τα πόδια της, να αυξήσει τη γωνιακή ταχύτητα περιστροφής της. Εάν η τριβή των παγοπέδιλων με τον πάγο θεωρηθεί αμελητέα, οι εξωτερικές δυνάμεις - όπως το βάρος και η δύναμη που δέχεται από το έδαφος - δε δημιουργούν ροπή ως προς τον άξονα περιστροφής της, Ν.ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ 15

16 επομένως η στροφορμή της διατηρείται, δηλαδή το γινόμενο I1ω1παραμένει σταθερό. Συμπτύσσοντας τα χέρια και τα πόδια της η ροπή αδράνειας μειώνεται, οπότε, αφού το γινόμενοi2ω2μένει σταθερό, αυξάνεται η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής της. β)οι ακροβάτες που κάνουν στροφές στον αέρα Όταν οι ακροβάτες θέλουν να κάνουν πολλές στροφές στον αέρα συμπτύσσουν τα χέρια και τα πόδια τους. Κ ατά την κίνηση του ακροβάτη στον αέρα, μοναδική εξωτερική δύναμη είναι το βάρος του, το οποίο, επειδή διέρχεται από το κέντρο μάζας, δε δημιουργεί ροπή και η στροφορμή του διατηρείται. Με τη σύμπτυξη των άκρων μειώνεται η ροπή αδράνειας, επομένως αυξάνεται η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής. Στο σχήμα φαίνεται πως, με την τεχνική αυτή, μια κατάδυση μπορεί να γίνει πολύ θεαματική. γ)αστέρια νετρονίων Τα αστέρια τα οποία στο τελευταίο στάδιο της ζωής τους έχουν μάζα από 1,4 έως 2,5 φορές τη μάζα του Ήλιου, μετατρέπονται σε αστέρες νετρονίων ή pulsars. Τα αστέρια αυτά, όταν εξαντλήσουν τις πηγές ενέργειας που διαθέτουν, συρρικνώνονται λόγω της βαρύτητας μέχρις ότου η πυρήνες των ατόμων τους αρχίσουν να εφάπτονται, με αποτέλεσμα η ακτίνα ενός τέτοιου αστεριού να είναι μόνο km. Επειδή η συρρίκνωση οφείλεται σε εσωτερικές δυνάμεις η στροφορμή διατηρείται σταθερή και επειδή η ροπή αδρά-νειας του αστεριού μειώνεται δραματικά έχουμε μια αντίστοιχη αύξηση της ταχύτητας περιστροφής. Υπολογίζεται ότι ένας αστέρας νετρονίων περιστρέφεται με συχνότητα 3000 στροφές το δευτερόλεπτο. Για σύγκριση, να αναφέρουμε ότι η περίοδος περιστροφής του Ήλιου είναι 25 μέρες. Ν.ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ 16

17 11.Πως υπολογίζουμε την κινητική ενέργεια λόγω στροφικής κίνησης; Προκειμένου να υπολογίσουμε την κινητική ενέργεια του σώματος, το χωρίζουμε σε στοιχειώδεις μάζες Οι μάζες αυτές έχουν την ίδια γωνιακή ταχύτητα ω και γραμμικές ταχύτητες που δίνονται από τις σχέσεις Η κινητική ενέργεια του σώματος είναι ίση με το άθροισμα των κινητικών ενεργειών των μαζών από τις οποίες αποτελείται, 12.Πως υπολογίζουμε την κινητική ενέργεια λόγω σύνθετης κίνησης; όπου M η μάζα του σώματος και ucm 13.Πως υπολογίζουμε το έργο μιας δύναμης καθώς ένα σώμα στρέφεται κατά γωνία θ; Έστω ότι η δύναμη F ασκείται στην περιφέρεια ενός τροχού ακτίνας R, κατά τη διεύθυνση της εφαπτομένης. Κατά την απειροστά μικρή στροφή του τροχού κατά γωνία θ η δύναμη παράγει έργο Ν.ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ 17

18 Για να υπολογίσουμε το έργο μιας δύναμης καθώς ένα σώμα στρέφεται κατά γωνία θ χωρίζουμε τη γωνία σε απειροστά μικρές γωνίες Θ1,Θ2 και αθροίζουμε τα αντίστοιχα έργα. Αν η ροπή της δύναμης είναι σταθερή, όπως στην περίπτωση του σχήματος, από το άθροισμα προκύπτει 14.Πως υπολογίζουμε την ισχύ μιας δύναμης καθώς ένα σώμα στρέφεται κατά γωνία θ; Ο ρυθμός παραγωγής έργου dw / dt είναι η ισχύς P της δύναμης και τοdθ / dt 14.Ποια μορφή παίρνει το θεώρημα εργου - ενέργειας στη στροφική κίνηση; δηλαδή το αλγεβρικό άθροισμα των έργων των ροπών που ασκούνται στο σώμα είναι ίσο με τη μεταβολή της κινητικής ενέργειας περιστροφής του σώματος. Ν.ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ 18

19 ΤΥΠΟΛΟΓΙΑ-ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ Ν.ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ 19

20 ΣΤΕΡΕΟ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΤ=0 ΚΑΙ ΣFX=0 KAI ΣFy=0 ΟΤΑΝ ΧΡΗΣΙΜΟΠΟΙΩ ΡΟΠΗ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ ΣΚΕΦΤΟΜΑΙ ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΟΥ STEINER ΘΝΜ,ΘΝΣ ΓΙΑ ΚΑΘΕ ΣΩΜΑ ΑΝΑΛΟΓΑ ΜΕ ΤΙΣ ΚΙΝΗΣΕΙΣ ΠΟΥ ΚΑΝΕΙ ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ΚΙΝΗΣΗ ΣΤΕΡΕΟΥ ΧΡΟΝΟΣ-ΤΑΧΥΤΗΤΑ ΜΕ ΣΤΑΘΕΡΗ ΣF KAI ΣΤ Δ Ρ ΣF= Δt Δ L ΣT= Δt ANAKATANOMH MAZAΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΚΑ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ Α)ΘΜΚΕ (ΓΙΑ ΕΝΑ ΣΩΜΑ ΚΑΙ ΟΛΕΣ ΤΙΣ ΔΥΝΑΜΕΙΣ) Β)ΑΔΜΕ(ΕΙΤΕ ΓΙΑ ΕΝΑ ΣΩΜΑ ΕΙΤΕ ΓΙΑ ΣΥΣΤΗΜΑ ΣΩΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΜΟΝΟ ΓΙΑ ΣΥΝΤΗΡΗΤΙΚΕΣ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΣΤΕΡΕΟΥ-ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΥΓΚΡΟΥΣΗ ΣΤΕΡΕΟΥ-ΥΛΙΚΟΥ ΣΗΜΕΙΟΥ ΕΚΡΗΞΗ Η ΑΠΟΚΟΛΛΗΣΗ ΜΑΖΑΣ Lαχικη=Lτελικη(ΣΤΑΘΕΡΟΣ ΑΞΟΝΑΣ ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗΣ ΤΟΥ ΣΤΕΡΕΟΥ) Ραχικη=Ρτελικη(ΚΙΝΗΤΟΣ ΑΞΟΝΑΣ ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗΣ ΤΟΥ ΣΤΕΡΕΟΥ) Ν.ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ 20

21 ΕΥΘΎΓΡΑΜΜΗ ΚΙΝΗΣΗ CM ΚΥΚΛΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ ΣΗΜΕΙΟΥ ΤΟΥ ΣΤΕΡΕΟΥ,ΟΤΑΝ ΑΥΤΟ ΣΤΡΕΦΕΤΑΙ METΑΤΟΠΙΣΗ ΤΟΥ CM dx cm X αρχ τελ x ΤΑΧΥΤΗΤΑ ΤΟΥ CM υ=dx cm /dt ΓΩΝΙΑΚΗ ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΗ dφ ds=d φr Γωνιακή ταχύτητα d dt R ΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗ ΤΟΥ CM α cm=dυ cm /dt Γραμμικη επιταχυνση Ν.ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ 21

22 ΕΥΘΎΓΡΑΜΜΗ ΟΜΑΛΗ ΚΙΝΗΣΗ ΤΟΥ CM ΟΜΑΛΗ ΚΥΚΛΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ ΣΗΜΕΙΟΥ ΤΟΥ ΣΤΕΡΕΟΥ ΟΤΑΝ ΑΥΤΟ ΣΤΡΕΦΕΤΑΙ ΜΕ ω ΣΤΑΘΕΡΗ dx cm=υ cm t ds =υ t dφ =ω t ΕΥΘΎΓΡΑΜΜΗ ΟΜΑΛΑ ΕΠΙΤΑΧΥΝΟΜΕΝΗ ΚΙΝΗΣΗ ΤΟΥ CM cm cmt 1 dxcm t cmt 2 2 t 1 ds t t 2 ΟΜΑΛΑ ΜΕΤΑΒΑΛΟΜΕΝΗ ΚΥΚΛΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ ΣΗΜΕΙΟΥ ΤΟΥ ΣΤΕΡΕΟΥ ΟΤΑΝ ΑΥΤΟ ΣΤΡΕΦΕΤΑΙ ΜΕ ω ΜΕΤΑΒΑΛΟΜΕΝΗ 2 t 1 d t t 2 2 ΜΕΧΡΙ ΝΑ ΣΤΑΜΑΤΗΣΕΙ ΜΕΧΡΙ ΝΑ ΣΤΑΜΑΤΗΣΕΙ ΜΕΧΡΙ ΝΑ ΣΤΑΜΑΤΗΣΕΙ Κύλιση τροχού ακτίνας R (Συνθήκες Κύλισης) Σχέση μετατόπισης, τόξου με επίκεντρη γωνία ds Rd 1 η Συνθήκη κύλισης χωρίς ολίσθηση Ταχύτητα κέντρου μάζας cm R Επιτάχυνση κέντρου μάζας cm a R 2 η Συνθήκη κύλισης χωρίς ολίσθηση 3 η Συνθήκη κύλισης χωρίς ολίσθηση Ν.ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ 22

23 Ν.ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ 23

24 Ν.ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ 24

25 Ν.ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ 25

26 Γ.ΡΟΠΗ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ-2 ος ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ ΝΕΥΤΩΝΑ Ροπή Αδράνειας Ροπή αδράνειας ως προς κάποιο άξονα Θεώρημα Παράλληλων Αξόνων (Steiner) mr m r cm I I Md Ν.ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ 26

27 Θεμελιώδης Νόμος της Στροφικής Κίνησης Θεμελιώδης Νόμος της Στροφικής Κίνησης a Γενικότερη Διατύπωση του Θεμελιώδους Νόμου της Στροφικής Κίνησης dl dt Ν.ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ 27

28 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Θ.Ν.Σ. Α ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ : Η ΣΤΑΤΙΚΗ ΤΡΙΒΗ ΕΙΝΑΙ Η ΜΟΝΗ ΠΟΥ ΠΡΟΚΑΛΕΙ ΡΟΠΗ α γων υcm αcm Κ.χ.ο. α cm= α γων R F ΘΝΜ: F-TS=m α cm α γων Ts αcm υcm ΘΝΣ: TS R= I α γων Ν=mg Κ.χ.ο. α cm= α γων R F Ts ΘΝΜ: F-TS=m α cm ΘΝΣ: TS R= I α γων Ν=mg α γων υcm αcm F Κ.χ.ο. α cm= α γων R ΘΝΜ: F-TS-mg ημθ=m α cm mg ημθ Ts ΘΝΣ: TS R= I α γων Ν=mgσυνθ υcm αcm Κ.χ.ο. α cm= α γων R α γων Ts ΘΝΜ: mg ημθ -TS=m α cm mg ημθ ΘΝΣ: TS R= I α γων Ν=mgσυνθ αcm Κ.χ.ο. α cm= α γων R α γων Ts ΘΝΜ: mg ημθ -TS=m α cm mg ημθ ΘΝΣ: TS R= I α γων Ν=mgσυνθ Ν.ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ 28

29 Κχο Τs μ Ν Ν.ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ 29

30 ΔΗΜΙΟΥΡΓΟΥΝ ΡΟΠΗ ΚΑΙ ΑΛΛΕΣ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΕΚΤΟΣ ΤΗΣ Τ S υcm Κ.χ.ο. α cm= α γων R α γων αcm r R Ts F ΘΝΜ: F+TS=m α cm ΘΝΣ: F r-ts R= I α γων Ν=mg υcm Κ.χ.ο. α cm= α γων R α γων αcm ΘΝΜ: F-TS=m α cm Ts R r F ΘΝΣ: TS R- F r = I α γων Ν=mg υcm Κ.χ.ο. α cm= α γων R α γων F αcm ΘΝΜ: TS=m α cm R Ts ΘΝΣ: F R- TS R = I α γων ΕΔΩ Η ΤS ΕΙΝΑΙ Η ΜΟΝΗ ΠΟΥ ΠΡΟΚΑΛΕΙ ΤΗΝ α cm Ν=mg Ν.ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ 30

31 ΤΡΟΧΑΛΙΕΣ N α γων ΝΗΜΑ ΜΗ ΕΚΤΑΤΟ ΠΟΥ ΔΕΝ ΓΛΥΣΤΡΑ ΣΤΗΝ ΠΡΙΦΕΡΕΙΑ ΤΗΣ ΤΡΟΧΑΛΙΑΣ ΟΠΟΤΕ S=dx,υ=ωr,α=α γων r ΘΝΜ: mg Tα=m α cm Mg Tαση ΘΝΣ: Tα R= I α γων Tαση Ν-Τα-Μg=0 αcm mg Ν α γων ΝΗΜΑ ΜΗ ΕΚΤΑΤΟ ΠΟΥ ΔΕΝ ΓΛΥΣΤΡΑ ΣΤΗΝ ΠΡΙΦΕΡΕΙΑ ΤΗΣ ΤΡΟΧΑΛΙΑΣ ΟΠΟΤΕ S=dx,υ=ωr, α1=α γων r= α2 Tαση2 Tαση2 Μg Tαση1 ΘΝΜ:m1g T1=m1 α 1 Και T2- m2g =m2 α 2 αcm2 m2g m1g Tαση1 αcm1 ΘΝΣ:( T1- T2)R= Iα γων N-T1-T2-Mg=0 Ν.ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ 31

32 ΝΗΜΑ ΜΗ ΕΚΤΑΤΟ ΠΟΥ ΔΕΝ ΓΛΥΣΤΡΑ ΣΤΗΝ ΠΡΙΦΕΡΕΙΑ ΤΗΣ ΤΡΟΧΑΛΙΑΣ ΟΠΟΤΕ S1=dφ r1,υ1=ωr1, Ν α γων α1=α γων r1 α2= α γων r2 Tαση2 Μg Tαση1 αcm2 Tαση2 Tαση1 ΘΝΜ:m1g T1=m1 α 1 Και T2- m2g =m2 α 2 m2g m1g αcm1 ΘΝΣ:T1 r1- T2 r2= Iα γων N-T1-T2-Mg=0 ΡΑΒΔΟΣ ΘΝΣ: mg ημθ l = Iα γων 2 Fαρθρωσης Fx Fy ΘΝΜ Χ: θ ακεντρομολος Fx-mgσυνθ=mακ ΘΝΜ y: mgημθ α cm θ mg mgσυνθ α γων mgημθ-fy=mαcm Ν.ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ 32

33 ΓΙΟΓΙΟ ΝΗΜΑ ΜΗ ΕΚΤΑΤΟ ΠΟΥ ΔΕΝ ΓΛΥΣΤΡΑ ΣΤΗΝ ΠΡΙΦΕΡΕΙΑ ΤΗΣ ΤΡΟΧΑΛΙΑΣ ΟΠΟΤΕ: αβ=0= α γων r- α cm=0 Tαση α γων α γων r= α cm α γων r Tαση2 αβ ΘΝΜ: mg Tα=m α cm αcm Tαση2 αcm ΘΝΣ: Tα R= I α γων ΝΗΜΑ ΜΗ ΕΚΤΑΤΟ ΠΟΥ ΔΕΝ ΓΛΥΣΤΡΑ ΣΤΗΝ ΠΡΙΦΕΡΕΙΑ ΤΗΣ ΤΡΟΧΑΛΙΑΣ ΟΠΟΤΕ: αβ= α γων r- α cm ΘΝΜ: mg Tα=m α cm ΘΝΣ: Tα R= I α γων Ν.ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ 33

34 Ν.ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ 34

35 Ν.ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ 35

36 (m 1 R 12 + m 2 R 22 +ML 2 /12)ω 1 =( m 1 R 12 /4+ m 2 R 22 /4+ML 2 /12)ω 1 ω1 ω2 2 5 MR 1 2 ω 1 = 2 5 MR 2 2 ω 2 Ν.ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ 36

37 M m υ1 ω1 υ2 ω2 mυ 1 L- ML2 3 ω1=ml2 3 ω2- mυ 2L 1 2 ΜR2 ω 1 =( 1 2 ΜR2+ m R 2 ) ω 2 Ν.ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ 37

38 υ ω1 ω mυr- 1 2 MR2 ω 1 =( mr MR2 )ω υ ω1 ω2 ( mr MR2 )ω1= mυr- 1 2 MR2 ω 2 Ν.ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ 38

39 ΠΡΟΣΟΧΗ ΤΟ ΕΡΓΟ ΤΗΣ ΣΤΑΤΙΚΗΣ ΤΡΙΒΗΣ ΕΙΝΑΙ ΜΗΔΕΝ Ν.ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ 39

40 Ν.ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ 40

41 ΑΔΜΕ: 1 2 I ω m υ 1 2 +m g h= 1 2 I ω m υ 2 2 Ν.ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ 41

42 .m 1 g h 1 +m 2 g h m 1υ m 2υ 12 = m 2 g h m 1υ m 2υ 2 2 ΘΜΚΕ: 1 2 I ω I ω 1 2 = F S=F R Θ Ν.ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ 42

43 Εδώ έχουμε κχο οπότε S=R Θ(τόσο ξετυλίχθηκε το νήμα) 1 I ω mυ I ω 1 2_1 mυ 1 2 = F S+F R Θ Η μετατόπιση της άκρης του νήματος είναι dxcm+ R Θ Ν.ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ 43

44 . Η ελάχιστη τιμή της ταχύτητας, στην ανώτερη θέση, θα είναι εκείνη για την οποία Ν=0. Δηλαδή η ταχύτητα για την οποία το βάρος παίζει τον ρόλο της κεντρομόλου. Έτσι: Αν ακτίνα της σφαίρας είναι αμελητέα, R-r R και η σχέση μπορεί να γραφτεί: Έστω ότι το σώμα, που το θεωρούμε υλικό σημείο, είναι δεμένο στο άκρο νήματος και διαγράφει κατακόρυφο κύκλο Για την ανώτερη θέση έχουμε: Από την παραπάνω σχέση προκύπτει ότι όταν μειώνεται η ταχύτητα του σώματος, μειώνεται και η τάση του νήματος. Η ελάχιστη τιμή της ταχύτητας, στην θέση αυτή, θα είναι εκείνη για την οποία Τ=0. Δηλαδή η ταχύτητα για την οποία το βάρος, παίζει τον ρόλο της κεντρομόλου. Έτσι: Ν.ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ 44

45 Ν.ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ 45

46 Ν.ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ 46

47 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ -ΑΣΚΗΣΕΙΣ Ν.ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ 47

48 . Η ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΟΥ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ 1. Η κινηματική της στροφικής και της σύνθετης κίνησης (E) Eρωτήσεις E1.1 Nα συμπληρωθούν τα κενά στις προτάσεις που ακολουθούν: α. Στη μεταφορική κίνηση κάθε χρονική στιγμή όλα τα σημεία του σώματος έχουν. ταχύτητα. β. Στη μεταφορική κίνηση των στερεών ισχύουν οι νόμοι που διέπουν την κίνηση των. γ. Υλικό σημείο είναι ένα σώμα που δεν έχει. και έτσι έχει τη δυνατότητα να εκτελεί μόνο κίνηση. δ. Μηχανικά στερεά λέγονται τα σώματα που δεν.όταν τους ασκούνται δυνάμεις. E1.2 Nα συμπληρωθούν τα κενά στις προτάσεις που ακολουθούν: α. Στη στροφική κίνηση το σώμα αλλάζει.. β. Ένα στερεό σώμα κάνει στροφική κίνηση όταν όλα του τα σημεία..γύρω από ένα άξονα με την ίδια..ταχύτητα. γ. Αν η γωνιακή ταχύτητα ενός σώματος που περιστρέφεται είναι.θα λέμε ότι το σώμα κάνει ομαλή στροφική κίνηση. δ. Όταν ένα σώμα μετακινείται στο χώρο και ταυτόχρονα αλλάζει προσανατολισμό τότε λέμε ότι κάνει. κίνηση. E1.3 Nα συμπληρωθούν τα κενά στις προτάσεις που ακολουθούν: α. Η σύνθετη κίνηση ενός σώματος μπορεί να μελετηθεί ως το αποτέλεσμα της σύνθεσης μιας. και μιας κίνησης. β. Κέντρο μάζας (cm) ενός στερεού σώματος ονομάζεται το σημείο εκείνο του σώματος που κινείται όπως ένα.. με μάζα ίση με τη μάζα του.., αν σε αυτό ασκούνταν όλες οι δυνάμεις που ασκούνται και στο σώμα. γ. Το κέντρο μάζας συμπίπτει με το κέντρο.αν το σώμα βρίσκεται μέσα σε.. βαρυτικό πεδίο. δ. Το κέντρο μάζας των. και..σωμάτων συμπίπτει με το κέντρο συμμετρίας τους. E1.4 Nα συμπληρωθού G ν τα κενά στις προτάσεις που ακολουθούν: α. Γωνιακή ταχύτητα ω στερεού σώματος είναι ένα φυσικό..μέγεθος με μέτρο ίσο με το ρυθμό μεταβολής της. μετατόπισης, διεύθυνση ίδια με αυτή του.. περιστροφή J ς J κ JG αι φορά που καθορίζεται από τον κανόνα του β. Γωνιακή επιτάχυνση α γν στερεού σώματος είναι ένα φυσικό μέγεθος με μέτρο ίσο με το ρυθμό μεταβολής της..ταχύτητας, διεύθυνση ίδια με αυτή του. περιστροφής και φορά ίδια με αυτή της μεταβολής της γωνιακής. Ν.ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ 48

49 γ. Μονάδα μέτρησης της γωνιακής ταχύτητας είναι το 1.. και της γωνιακής επιτάχυνσης το 1.. δ. Όλα τα σημεία ενός στερεού σώματος που περιστρέφεται γύρω από σταθερό άξονα, περιστρέφονται κάθε χρονική στιγμή με την ίδια ταχύτητα. E1.5 Ένα στερεό σώμα κάνει μεταφορική κίνηση, όταν : α. Όλα τα σημεία του βρίσκονται σε κίνηση. β. Κινείται σε ευθεία τροχιά. γ. Δεν δέχεται εξωτερικές δυνάμεις. δ. Κάθε ευθύγραμμο τμήμα που συνδέει δύο τυχαία σημεία του κινείται παράλληλα προς τον εαυτό του. E1.6 Ένα στερεό σώμα κάνει στροφική κίνηση γύρω από σταθερό άξονα, όταν: α. Το κέντρο μάζας του διαγράφει καμπυλόγραμμη τροχιά. β. Το κέντρο μάζας του κάνει κυκλική κίνηση. γ. Όλα του τα σημεία βρίσκονται σε κίνηση. δ. Όσα του σημεία κινούνται διαγράφουν κυκλική τροχιά. E1.7 Ένα στερεό σώμα κάνει σύνθετη κίνηση όταν: α. Όλα του τα σημεία διαγράφουν κυκλική τροχιά. β. Το κέντρο μάζας του διαγράφει ευθύγραμμη τροχιά. γ. Εκτελεί ταυτόχρονα μεταφορική και περιστροφική κίνηση. δ. Υπάρχουν σημεία του σώματος που μένουν ακίνητα. E1.8 Κατά τη μεταφορική κίνηση ενός στερεού σώματος: α. Όλα του τα σημεία του βρίσκονται σε κίνηση. β. Όλα του τα σημεία έχουν, την ίδια χρονική στιγμή, την ίδια ταχύτητα. γ. Κάποια σημεία του έχουν, την ίδια χρονική στιγμή, διαφορετική γραμμική επιτάχυνση. δ. Η τροχιά μπορεί να είναι και καμπυλόγραμμη. ε. Ένα τυχαίο τμήμα ΑΒ του σώματος μετατοπίζεται παράλληλα με τον εαυτό του. Ποιες από τις προηγούμενες προτάσεις είναι σωστές; E1.9 Κατά τη στροφική κίνηση ενός σώματος γύρω από σταθερό άξονα όλα τα σημεία του εκτός από τα σημεία του άξονα: α. κάνουν κυκλική κίνηση. β. έχουν την ίδια γωνιακή ταχύτητα. γ. έχουν την ίδια γραμμική ταχύτητα. δ. έχουν την ίδια κεντρομόλο επιτάχυνση. Ποιες από τις προηγούμενες προτάσεις είναι σωστές; E1.10 Κατά τη σύνθετη κίνηση ενός στερεού σώματος: α. Το σώμα υποχρεωτικά κυλίεται. β. Το σώμα μετακινείται στο χώρο και ταυτόχρονα αλλάζει συνεχώς προσανατολισμό. γ. Το κέντρο μάζας του διαγράφει, υποχρεωτικά, ευθεία τροχιά. δ. Όλα τα σημεία του έχουν ταυτόχρονα γραμμική και γωνιακή ταχύτητα. ε. Το κέντρο μάζας εκτελεί μόνο μεταφορική κίνηση. Ποιες από τις προηγούμενες προτάσεις είναι σωστές; E1. 11 Το κέντρο μάζας ενός στερεού σώματος: α. Είναι το σημείο εκείνο που κινείται όπως ένα υλικό σημείο με μάζα ίση με τη μάζα του σώματος αν δεχότανε αυτό όλες τις δυνάμεις που ασκούνται στο στερεό σώμα. Ν.ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ 49

50 β. Είναι αδύνατο να βρίσκεται εκτός σώματος. γ. Ταυτίζεται με το κέντρο συμμετρίας μόνο για ομογενή και συμμετρικά σώματα. δ. Συμπίπτει με το κέντρο βάρους, αν το σώμα βρίσκεται μέσα σε ομογενές βαρυτικό πεδίο. Ποιες από τις προηγούμενες προτάσεις είναι σωστές; E1.12 Στερεό σώμα εκτελεί στροφική κίνηση. Η γωνιακή του ταχύτητα, : α. Ορίζεται ως ο ρυθμός μεταβολής της γωνιακής θέσης του κινητού. β. Έχει διεύθυνσή που είναι κάθετη στον άξονα περιστροφής. γ. Έχει ίδια διεύθυνση με τον άξονα περιστροφής. δ. Έχει μονάδα μέτρησης το 1m/s. ε. Έχει φορά που καθορίζεται από τον κανόνα του δεξιόστροφου κοχλία. Ποιες από τις προηγούμενες προτάσεις είναι σωστές; E1.13 Η γωνιακή επιτάχυνση στερεού σώματος : α. Εκφράζει το ρυθμό μεταβολής της γωνιακής θέσης του κινητού. β. Ορίζεται ως ο ρυθμός μεταβολής της γωνιακής του ταχύτητας, γ. Έχει μονάδα μέτρησης το 1rad/s 2. δ. Έχει την κατεύθυνση του διανύσματος d ω. ε. Είναι ίδια για όλα τα σημεία του σώματος που κινούνται. Ποιες από τις προηγούμενες προτάσεις είναι σωστές; E1.14 Σώμα στρέφεται με γωνιακή ταχύτητα ω και ένα σημείο του σώματος που απέχει απόσταση r από τον άξονα περιστροφής έχει κάποια χρονική στιγμή, γραμμική ταχύτητα υ. Να αποδειχθεί ότι ισχύει: υ=ω r Αν η γωνιακή ταχύτητα μεταβάλλεται να αποδειχθεί ότι η σχέση που συνδέει τη γωνιακή επιτάχυνση του σώματος α γν με την εφαπτομενική επιτάχυνση α ενός σημείου που απέχει απόσταση r από τον με άξονα περιστροφής είναι: α=α γν r E1.15 Στερεό σώμα κάνει ομαλή στροφική κίνηση με γωνιακή ταχύτητα ω, γύρω από ακλόνητο άξονα. Η κεντρομόλος επιτάχυνση, α κ, ενός σημείου του που απέχει απόσταση r από τον άξονα περιστροφής: α. Είναι μηδέν, αφού η κίνηση είναι ομαλή. β. Είναι διάφορη του μηδενός και οφείλεται μόνο στη μεταβολή της διεύθυνσης της γραμμικής ταχύτητας του σημείου. γ. Είναι ανάλογη της γραμμικής ταχύτητας του σημείου. δ. Έχει κατεύθυνση προς το κέντρο της κυκλικής τροχιάς. ε. Έχει μέτρο ίσο με, α κ =ω 2 r. Ποιες από τις προηγούμενες προτάσεις είναι σωστές; E1.16 Στερεό σώμα κάνει ομαλή στροφική κίνηση με σταθερή περίοδο Τ, γύρω από ακλόνητο άξονα. α. Το μέτρο της γωνιακής του ταχύτητας είναι ανάλογο της περιόδου, Τ. β. Το μέτρο της γραμμικής ταχύτητας ενός σημείου που απέχει απόσταση r από τον άξονα περιστροφής ισούται με υ=2πr/τ. γ. Η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής είναι ανάλογη της συχνότητας περιστροφής. Ν.ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ 50

51 δ. Όλα τα σημεία του στερεού που κινούνται έχουν την ίδια γραμμική ταχύτητα. ε. Όλα τα σημεία του στερεού που κινούνται έχουν την ίδια κεντρομόλο επιτάχυνση. Ποιες από τις προτάσεις που ακολουθούν είναι σωστές; E1.17 Δίσκος κάνει στροφική κίνηση γύρω από ακλόνητο άξονα. Ποιες από τις προτάσεις που ακολουθούν είναι σωστές; α. Όλα τα σημεία του δίσκου, εκτός από τα σημεία του άξονα, κάνουν κυκλική κίνηση με κέντρο ένα σημείο του άξονα σε επίπεδο κάθετο σ αυτόν, με την ίδια γωνιακή ταχύτητα ω. β. Όσο μακρύτερα από τον άξονα περιστροφής βρίσκεται ένα σημείο τόσο μεγαλύτερη γραμμική ταχύτητα έχει. γ. Αν ο δίσκος επιταχύνεται, όλα του τα σημεία έχουν την ίδια γωνιακή επιτάχυνση. δ. Είναι δυνατόν σε κάποια χρονική στιγμή που ο δίσκος έχει γωνιακή ταχύτητα μηδέν, η γωνιακή του επιτάχυνση να είναι διάφορη του μηδενός. E1.18 Σε μια μεταβαλλόμενη στροφική κίνηση στερεού σώματος γύρω από ακλόνητο άξονα με σταθερή γωνιακή επιτάχυνση α γν : Με δεδομένα ότι τη χρονική στιγμή, t 0 =0, είναι, ω=ω 0 και θ 0 =0, να αποδείξετε τις σχέσεις: i. για τη γωνιακή ταχύτητα : ω=ω 0 +α γ t. 2 ii για τη γωνιακή θέση: θ=ω 0 t+ ½α γ t.. E1.19 Ομογενής τροχός περιστρέφεται γύρω από σταθερό άξονα που περνάει από το κέντρο του και είναι κάθετος σ αυτόν με σταθερή γωνιακή ταχύτητα ω. Δύο σημεία Α και Β απέχουν από τον άξονα περιστροφής αποστάσεις r 1 και r 2. Η σχέση που συνδέει τα μέτρα των γραμμικών τους ταχυτήτων είναι: α. υ 1 =υ 2 β. υ 1 r 2 =υ 2 r 1 γ. υ 1 r 1 =υ 2 r 2 δ. υ 1 r 2 2 =υ 2 r 1 2 Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. E1.20 Ομογενής τροχός περιστρέφεται γύρω από ακλόνητο άξονα που περνάει από το κέντρο του και είναι κάθετος σ αυτόν με σταθερή γωνιακή ταχύτητα. Δύο σημεία Α και Β απέχουν από τον άξονα περιστροφής αποστάσεις r 1 =R και r 2 =R/3, αντίστοιχα, όπου R η ακτίνα του τροχού. Ποιες από τις ακόλουθες σχέσεις μεταξύ των μεγεθών των δύο σημείων είναι σωστές; Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας. i. Για τις γραμμικές ταχύτητες ισχύει: α. υ Α =3υ Β β. υ Α =υ Β γ. υ Β =3υ Α ii. Για τις συχνότητες περιστροφής ισχύει: α. f Α =3f Β β. f Α =f Β /3 γ. f Α =f Β iii Για τις κεντρομόλους επιταχύνσεις ισχύει: α. α κ,α = 3α κ,β β. α κ,α = α κ,β γ. α κ,β = 3α κ,α E1.21 Η γωνιακή ταχύτητα ενός σώματος που κάνει στροφική κίνηση γύρω από σταθερό άξονα μεταβάλλεται σύμφωνα με τη γραφική παράσταση. Ποιες από τις προτάσεις που ακολουθούν είναι σωστές; α. Η γωνιακή επιτάχυνση είναι 12rad/s 2. β. Η γωνιακή μετατόπιση του σώματος από 0 έως 2s είναι 12rad. Ν.ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ 51

52 γ. Η γωνιακή ταχύτητα του σώματος τη χρονική στιγμή t=1s είναι 6rad/s. Να αιτιολογήσετε τις απαντήσεις σας. E1.22 Ο δίσκος του σχήματος έχει ακτίνα r=0,1m και τη χρονική στιγμή t 0 =0 γωνιακή ταχύτητα ω 0 =2rad/s, ενώ η γωνιακή θέση του σημείου Α της περιφέρειας είναι θ 0 =2rad. Ο τροχός αρχίζει να περιστρέφεται με σταθερή γωνιακή επιτάχυνση α γ =3rad/s 2. Ι. Να σχεδιάσετε τη γωνιακή και τη γραμμική ταχύτητα του σημείου Α σε μια τυχαία χρονική στιγμή t. ΙΙ. Το μέτρο της γωνιακής ταχύτητας του σημείου Α τη χρονική στιγμή t=10s είναι: α. ω=2rad/s β. ω=32rad/s γ. ω=302rad/s ΙΙΙ. Η γωνιακή θέση του σημείου Α, τη χρονική στιγμή t=4s είναι: α. θ=24rad β. θ=32rad γ. θ=34rad ΙV. Το μέτρο της γραμμικής ταχύτητας του σημείου Α τη χρονική στιγμή t=10s είναι: α. υ=3,2m/s β. υ=3020m/s γ. υ=30,2m/s Να αιτιολογήσετε όλες τις απαντήσεις σας. E1.23 Δύο ομογενείς τροχοί, Α και Β, εκτελούν στροφικές κινήσεις γύρω από ακλόνητο άξονα που περνάει από το κέντρο τους και είναι κάθετος σ αυτούς. Οι ακτίνες των τροχών r Α και r Β έχουν σχέση r Β =2r Α και οι γωνιακές τους ταχύτητες μεταβάλλονται με τον τρόπο που φαίνεται στο σχήμα. Ποιες από τις προτάσεις που ακολουθούν είναι σωστές ή λανθασμένες; α. Μεγαλύτερη γωνιακή επιτάχυνση έχει ο τροχός Α. β. Στο χρονικό διάστημα [0 t 1 ], ο τροχός Α κάνει περισσότερες περιστροφές. γ. Τη χρονική στιγμή t 1 ένα σημείο της περιφέρειας του τροχού Β έχει διπλάσια ταχύτητα από ένα σημείο της περιφέρειας του τροχού, Α. δ. Τη χρονική στιγμή t 1 ένα σημείο της περιφέρειας του τροχού Β έχει διπλάσια κεντρομόλο επιτάχυνση από ένα σημείο της περιφέρειας του τροχού, Α. Να αιτιολογήσετε τις απαντήσεις σας. E1.24 Ομογενής δίσκος εκτελεί στροφική κίνηση γύρω από ακλόνητο άξονα που διέρχεται από το κέντρο του και είναι κάθετος σ αυτόν. Η γωνιακή του ταχύτητα μεταβάλλεται σύμφωνα με τη γραφική παράσταση, (ω t), που φαίνεται στο σχήμα. Ποιες από τις προτάσεις που ακολουθούν είναι σωστές; α. Τη χρονική στιγμή t 1 ο ρυθμός μεταβολής της γωνιακής ταχύτητας του τροχού μηδενίζεται. β. Τη χρονική στιγμή t 1 το διάνυσμα της γωνιακής επιτάχυνσης αλλάζει φορά. γ. Τη χρονική στιγμή t 1 το διάνυσμα της γωνιακής ταχύτητας αλλάζει φορά. δ. Στο χρονικό διάστημα (0 t 2 ) το διάνυσμα μεταβολής dω έχει σταθερή κατεύθυνση. Ν.ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ 52

53 ε. Στο χρονικό διάστημα (t 2 t 3 ) ισχύει dω/dt=0. Να αιτιολογήσετε τις απαντήσεις σας. E1.25 Η ομογενής ράβδος ΟΑ του σχήματος περιστρέφεται γύρω από άξονα που διέρχεται από το σημείο Ο και είναι κάθετος σ αυτήν με σταθερή γωνιακή επιτάχυνση α γν. Το σημείο Μ είναι το μέσον της. Ι. Τα βέλη που βλέπετε στο σχήμα αναφέρονται στην ίδια χρονική στιγμή και μπορεί να αφορούν: α. Γωνιακές ταχύτητες. β. Γραμμικές ταχύτητες λόγω περιστροφής. γ. Γωνιακές επιταχύνσεις. ΙΙ. Για τα σημεία Α και Μ και για μια δεδομένη χρονική στιγμή είναι σωστές οι σχέσεις: α. υ Α =2υ Μ β. ω Α =2ω Μ γ. α γ,α =α γ,μ δ. α Α =2α Μ ΙΙΙ. Αν για t 0 =0 είναι ω 0 =0 και θ 0 =0 τότε, όταν η ράβδος έχει διαγράψει γωνία θ=4rad η κεντρομόλος επιτάχυνση, α κ, του σημείου Α, με την επιτρόχια επιτάχυνση, α, του ίδιου σημείου συνδέεται με τη σχέση: α. α κ =2α β. α κ =4α γ. α κ =8α δ. α κ =α Να αιτιολογήσετε τις απαντήσεις σας. E1.26 Στο διπλανό διάγραμμα φαίνεται η μεταβολή της γωνιακής ταχύτητας ενός τροχού που κάνει στροφική κίνηση, γύρω από ακλόνητο άξονα. Ποιες από τις προτάσεις που ακολουθούν είναι σωστές και ποιες λανθασμένες. Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας. α. Από 0 έως 5s η γωνιακή ταχύτητα αυξάνεται με ρυθμό 10rad/s 2. β. Το διάνυσμα της γωνιακής ταχύτητας από 0 έως 15s δεν αλλάζει φορά. γ. Τη χρονική στιγμή t=5s το διάνυσμα της γωνιακής επιτάχυνση αλλάζει φορά. δ. Τη χρονική στιγμή t=12s η γωνιακή επιτάχυνση είναι μηδέν. ε. Από 0 έως 10s η γωνιακή μετατόπιση του τροχού είναι 62,5rad. στ. Τη χρονική στιγμή t=7s η γωνιακή επιτάχυνση είναι 1rad/s 2. E1.27 Το ρολόι είναι σταματημένο. Για να το βάλουμε στη σωστή ώρα περιστρέφουμε τον λεπτοδείκτη με σταθερή γωνιακή επιτάχυνση α λ =3rad/s 2. Η γωνιακή επιτάχυνση του ωροδείκτη θα είναι: α. 3rad/s 2 β. 0,25rad/s 2 γ. 0,5rad/s 2 δ. 1,5rad/s 2 Ποια είναι η σωστή απάντηση; Να δικαιολογήσετε την επιλογή σας. E1.28 Καρούλι ακτίνας R έχει τυλιγμένο νήμα συνολικού μήκους λ και στηρίζεται σε σταθερό οριζόντιο άξονα. Το καρούλι αρχίζει να περιστρέφεται με σταθερή γωνιακή επιτάχυνση α γ και το νήμα να ξετυλίγεται. Το χρονικό διάστημα t που χρειάζεται να ξετυλιχτεί το νήμα είναι: Ν.ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ 53

54 Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. E1.29 Τροχός κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει με σταθερή ταχύτητα κέντρου μάζας, υ cm. Όλα τα σημεία του τροχού, εκτός του κέντρου μάζας: α. Μόνο περιστρέφονται. β. Περιστρέφονται και μεταφέρονται ταυτόχρονα. γ. Μόνο μεταφέρονται. E1.30 Τροχός κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει με σταθερή ταχύτητα κέντρου μάζας, υ cm. Όλα τα σημεία του τροχού έχουν την ίδια: α. Γωνιακή ταχύτητα, ω. β. Γραμμική ταχύτητα λόγω περιστροφής. γ. Ταχύτητα λόγω μεταφοράς, υ cm. δ. Συνισταμένη ταχύτητα. E1.31 Τροχός κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει με σταθερή ταχύτητα κέντρου μάζας, υ cm. Ένα σημείο της περιφέρειας του τροχού που έχει ακτίνα, R: α. Περιστρέφεται με γωνιακή ταχύτητα ω=υ cm /R. β. Έχει ταχύτητα λόγω μεταφοράς ίση με υ cm. γ. Έχει κάθε χρονική στιγμή συνολική ταχύτητα 2υ cm. δ. Κάνει σύνθετη κίνηση με συνολική ταχύτητα που κυμαίνεται από 0 έως 2υ cm. ε. Έχει κεντρομόλο επιτάχυνση υ cm 2 /R. Ποιες από τις προηγούμενες προτάσεις είναι σωστές; E1.32 Τροχός ακτίνας R κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει με σταθερή γωνιακή ταχύτητα, ω. Ποιες από τις προτάσεις που ακολουθούν είναι σωστές και ποιες λανθασμένες; α. Κάθε σημείο του τροχού κάνει σύνθετη κίνηση. β. Όλα τα σημεία της περιφέρειας έχουν γραμμική ταχύτητα λόγω περιστροφής ίση με ω R. γ. Το κέντρο μάζας μεταφέρεται με σταθερή ταχύτητα μέτρου ω R. δ. Κάθε σημείο της περιφέρειας τη στιγμή που εφάπτεται στο έδαφος έχει γωνιακή ταχύτητα, μηδέν. E1.33 Ομογενής τροχός ακτίνας R, κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει. α. Να αποδειχθεί ότι κάθε χρονική στιγμή η ταχύτητα κέντρου μάζας, υ cm συνδέεται με τη γωνιακή ταχύτητα ω με τη σχέση, υ cm =ω R β. Να αποδειχθεί ότι η επιτάχυνση του κέντρου μάζας α cm συνδέεται με την γωνιακή επιτάχυνση α γ με τη σχέση, α cm =α γ R E1.34 Οι τροχοί ενός αυτοκίνητου ακτίνας R κυλίονται καθώς το αυτοκίνητο επιταχύνεται. Ποιες από τις προτάσεις που ακολουθούν είναι αναγκαίες συνθήκες ώστε ο κάθε τροχός να κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει; α. Κάθε χρονική στιγμή ισχύει για τις ταχύτητες, υ cm =ω R. β. Κάθε χρονική στιγμή ισχύει για τις επιταχύνσεις, α cm =α γ R. Ν.ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ 54

55 γ. Η μετατόπιση dx του κέντρου μάζας του τροχού και η γωνιακή μετατόπιση dθ συνδέονται με τη σχέση, dx=r dθ. δ. Όλα τα προηγούμενα μαζί. ε. Τίποτα από τα προηγούμενα. στ. Μόνο τα (α) και (β). E1.35 Ο ομογενής τροχός του σχήματος, ακτίνας R, κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει με σταθερή ταχύτητα κέντρου μάζας CM, υ cm. Να αντιστοιχηθούν οι ταχύτητες που ακολουθούν με τις αντίστοιχες παραστάσεις: α. Η ταχύτητα του σημείου Β β. Η ταχύτητα του σημείου CM.2. 2υ cm γ. Η ταχύτητα του σημείου Α. 3. 2υ cm δ. Η ταχύτητα του σημείου Γ. 4. υ cm ε. Η ταχύτητα του σημείου Δ. 5. 4υ cm E1.36 Ομογενής τροχός ακτίνας R κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει σε κεκλιμένο επίπεδο με επιτάχυνση κέντρου μάζας α cm. Ποιες από τις προτάσεις που ακολουθούν είναι σωστές; α. Η εφαπτομενική επιτάχυνση λόγω περιστροφής όλων των σημείων της περιφέρειας ισούται με την α cm. β. Η συνολική εφαπτομενική επιτάχυνση του σημείου Α είναι 2α cm γ. Η συνολική εφαπτομενική επιτάχυνση του σημείου Ζ που απέχει r=r/2 από το CM και βρίσκεται πάνω στην ΑΓ είναι 3α cm /2. δ. Όλα τα σημεία του τροχού εκτός του cm έχουν την ίδια γωνιακή επιτάχυνση, α γ =α cm R. ε. Η συνολική επιτάχυνση κάθε σημείου εκτός του cm είναι a = a cm + a γ r + a κ στ. Η συνολική επιτάχυνση του σημείου Γ είναι μηδέν. E1.37 Ο τροχός ακτίνας R, που φαίνεται στο σχήμα κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει σε οριζόντιο επίπεδο. Το κέντρο μάζας του τροχού έχει ταχύτητα υ cm. Ι. Το μέτρο της ταχύτητας του σημείου Α είναι: α. 2υ cm β. υ cm /2 γ. υ cm δ. 3 υ cm ΙΙ. Το μέτρο της ταχύτητας του σημείου Η που απέχει από το CM απόσταση R/2 είναι: α. 2υ cm β. 3υ cm /2 γ. υ cm /2 δ. 3 υ cm Να αιτιολογήσετε τις απαντήσεις σας. Ν.ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ 55

56 E1.38 Ο τροχός που φαίνεται στο σχήμα έχει ακτίνα R και κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει σε οριζόντιο επίπεδο. Το κέντρο μάζας του τροχού έχει ταχύτητα υ cm. Το μέτρο της ταχύτητας του σημείου Δ που απέχει από το κέντρο απόσταση R/2 και από το έδαφος R, είναι: α. 2υ cm β. υ cm 5 γ. υ cm 5/2 δ. 3 υ cm Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. E1.39 Ο τροχός που φαίνεται στο σχήμα έχει ακτίνα R και κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει σε οριζόντιο επίπεδο. Το κέντρο μάζας του τροχού έχει ταχύτητα υ cm. Το μέτρο της ταχύτητας του σημείου Z που απέχει από το έδαφος απόσταση R/3, και βρίσκεται στην κατακόρυφο που περνάει από το CM είναι: α. 2υ cm /3 β. υ cm /3 γ. υ cm δ. 0 Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. E1.40 Αυτοκίνητο κινείται επιταχυνόμενα με κατεύθυνση προς τα Δυτικά. Το διάνυσμα της γωνιακής επιτάχυνσης των τροχών του έχει κατεύθυνση προς: α. Το Βορρά β. Το Νότο γ. Τη Δύση δ. Την Ανατολή Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. E1.41 Τροχός ακτίνας R=0,2m κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει σε οριζόντιο επίπεδο και το κέντρο μάζας του έχει σταθερή επιτάχυνση α cm =10m/s 2. Ι. Η επιτάχυνση του σημείου Β που εφάπτεται του εδάφους, όταν η ταχύτητα του τροχού είναι 4m/s: α. 10m/s 2 β. 0rad/s 2 γ. 80m/s 2 δ. 20m/s 2 ΙΙ. Η συνολική εφαπτομενική επιτάχυνση του σημείου G που απέχει από το κέντρο r=0,1m και βρίσκεται πάνω στην κατακόρυφο που περνάει από το CM είναι: α. 15m/s 2 β. 10m/s 2 γ. 5m/s 2 δ. 0 Να αιτιολογήσετε τις απαντήσεις σας. E1.42 Ο τροχός του σχήματος, ακτίνας R, κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει με ταχύτητα κέντρου μάζας σταθερή και ίση με υ cm. Ποιες από τις προτάσεις που ακολουθούν είναι σωστές; α. Τα σημεία Γ και Δ έχουν ίσες κατά μέτρο συνολικές ταχύτητες. β. Τα σημεία Α και Β έχουν ίσες γωνιακές ταχύτητες. γ. Σε χρόνο μιας περιόδου το κέντρο CM διανύει διάστημα 2πR. δ. Η επιτάχυνση του σημείου Α είναι υ cm 2 /R. Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας και στις 4 προτάσεις. Ν.ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ 56

57 E1.43 Το τρακτέρ κινείται σε οριζόντιο δρόμο με σταθερή ταχύτητα και οι τροχοί κυλίονται χωρίς να ολισθαίνουν. Ποιες από τις προτάσεις που ακολουθούν είναι σωστές; α. Τα κέντρα μάζας και των δύο τροχών έχουν την ίδια ταχύτητα. β. Και οι δύο τροχοί περιστρέφονται με την ίδια γωνιακή ταχύτητα. γ. Τα σημεία των τροχών που έχουν την ίδια χρονική στιγμή, απόσταση από το έδαφος ίση με τη διάμετρο των τροχών, έχουν ίσες ταχύτητες. δ. Σε χρονικό διάστημα Δt οι δύο τροχοί θα έχουν διαγράψει τον ίδιο αριθμό περιστροφών. Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας και στις 4 προτάσεις. E1.44 Οι δύο συμπαγείς όμοιοι κύλινδροι ακτίνας R κυλίονται χωρίς να ολισθαίνουν και μετακινούν το κιβώτιο όπως φαίνεται στο σχήμα. Ποιες από τις προτάσεις που ακολουθούν είναι σωστές; Ι. Το κέντρο μάζας των κυλίνδρων υ cm και η ταχύτητα του κέντρου μάζας του κιβώτιου, υ έχουν σχέση: α. υ cm =υ β. υ cm =υ/2 γ. υ cm =2υ ΙΙ. Όταν οι κύλινδροι έχουν κάνει μια πλήρη περιστροφή το κιβώτιο θα έχει μετατοπιστεί κατά : α. 2πR β. 4πR γ. πr Να αιτιολογήσετε τις απαντήσεις σας. E1.45 Ο τροχός του σχήματος ακτίνας R κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει με σταθερή ταχύτητα κέντρου μάζας υ cm. Να δικαιολογήσετε αν οι προτάσεις που ακολουθούν είναι σωστές ή λανθασμένες. α. Σε χρόνο μιας περιόδου, το κέντρο μάζας που κινείται με υ cm μετατοπίζεται οριζόντια κατά 2πR. Από αυτό συνεπάγεται ότι το σημείο Α που έχει ταχύτητα 2υ cm, στον ίδιο χρόνο, θα μετατοπίζεται οριζόντια κατά 4πR. β. Αν η γωνία θ είναι ίση με 60 0 η συνολική ταχύτητα του σημείου Γ έχει εκείνη τη στιγμή μέτρο ίσο με υ cm 3. γ. Αφού η κίνηση του τροχού είναι ομαλή, η συνολική επιτάχυνση του σημείου Γ είναι μηδέν. Να αιτιολογήσετε τις απαντήσεις σας. E1.46 Στο σχήμα φαίνεται μια τροχαλία ακτίνας R ενώ το αυλάκι στο οποίο είναι τυλιγμένο το νήμα έχει ακτίνα r<r. Τραβάμε το άκρο Α του νήματος με σταθερή ταχύτητα, υ A, το νήμα ξετυλίγεται και η τροχαλία κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει. Ποιες από τις προτάσεις που ακολουθούν είναι σωστές; Ι. Το σημείο Δ της τροχαλίας που απέχει απόσταση r από το CM, έχει ταχύτητα: Ν.ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ 57

58 α. Ίση με υ A β. Μικρότερη από υ A γ. Ίση με 2υ A ΙΙ. Η ταχύτητα του σημείου Δ σε σχέση με την ταχύτητα του κέντρου μάζας είναι: α. Μεγαλύτερη β. Ίση γ. Μικρότερη ΙΙΙ. Η σχέση που συνδέει την ταχύτητα υ A με τη υ cm είναι: R+r R+r R+r α. υ A =υ cm R β. υ A =υ cm r γ. υ cm =υ A R. Ν.ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ 58

59 E1.47 Στo «γιο γιο» ακτίνας R που φαίνεται στο σχήμα, καθώς το σχοινί ξετυλίγεται, το άκρο του σχοινιού Α ανεβαίνει προς τα πάνω, ενώ το κέντρο μάζας του «γιο γιο», CM, πέφτει προς τα κάτω. Αν κάποια χρονική στιγμή t τα σημεία Α και CM έχουν αντιστοίχως ταχύτητες με μέτρα υ Α και υ CM και το γιο γιο περιστρέφεται με γωνιακή ταχύτητα ω, τότε ισχύει η σχέση: α. υ Α =υ CM +ωr β. υ Α +υ CM =ωr γ. υ CM =υ A +ωr II. Αν τα σημεία Α και CM ανεβαίνουν και τα δύο με σταθερές επιταχύνσεις α Α, α CM, ενώ ο τροχός του «γιο γιο» περιστρέφεται με σταθερή γωνιακή επιτάχυνση α γν, τότε ισχύει η σχέση: α. α CM =α γ R α Α β. α CM =α Α +α γ R γ. α CM = α Α α γ R Να αιτιολογήσετε τις απαντήσεις σας. E1.48 Το ποδήλατο που φαίνεται στο σχήμα έχει ακτίνα μπροστινής ρόδας R 1 =1m και της πίσω R 2 =0,5m. I. Αν το ποδήλατο κινείται με σταθερή ταχύτητα υ=10m/s τότε σε χρονικό διάστημα Δt=20s η μπροστινή και η πίσω ρόδα θα έχουν διαγράψει αντίστοιχα, πλήθος περιστροφών: α. 100/π περιστροφές και οι δύο. β. Ν 1 =100/π και Ν 2 =200/π περιστροφές. γ. Ν 1 =100/π και Ν 2 =50/π περιστροφές. ΙΙ. Αν το ποδήλατο επιταχύνεται έτσι ώστε η γωνιακή ταχύτητα της πίσω ρόδας να αυξάνεται κατά 10rad/s το κάθε 1s, τότε η γωνιακή ταχύτητα της μπροστινής ρόδας αυξάνεται κατά: α. 5rad/s κάθε 1 s β. 10rad/s κάθε 1s γ. 20rad/s κάθε 1s Να αιτιολογήσετε τις απαντήσεις σας. E1.49 Αυτοκίνητο κινείται επιβραδυνόμενα με κατεύθυνση προς το Βορρά. Το διάνυσμα της γωνιακής επιτάχυνσης των τροχών του έχει κατεύθυνση προς: α. Το Βορρά β. Το Νότο γ. Τη Δύση δ. Την Ανατολή Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. Ε1.50 Στο παρακάτω σχήμα δίνεται ένας τροχός που κινείται. Σε ποια ή ποιες περιπτώσεις ο τροχός: i) εκτελεί μόνο στροφική κίνηση; ii) κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει; iii) μεταφέρεται χωρίς να στρέφεται. v) στρέφεται αλλά και ολισθαίνει vi) σπινάρει. iv) εκτελεί σύνθετη κίνηση. Ν.ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ 59

60 Ε1.51 Ο τροχός του σχήματος κινείται με σταθερή ταχύτητα υcm=υ. Όταν ο άξονας του τροχού μετακινείται οριζόντια κατά Δx, έχουμε την εικόνα που βλέπετε, όπου για πρώτη φορά, το σημείο Β παίρνει τη θέση του σημείου Α και το μήκος του τόξου ΑΒ=Δs= ½ Δx. Αν R η ακτίνα του τροχού, τότε η γωνιακή ταχύτητα έχει μέτρο: α. ω=υ/r β. ω=υ/2r γ. ω=2υ/r (Α) Ασκήσεις και προβλήματα Α1.1 Η γωνιακή ταχύτητα ενός τροχού που περιστρέφεται γύρω από ακλόνητο άξονα που περνάει από το κέντρο του και είναι κάθετος σ αυτόν, μεταβάλλεται με το χρόνο όπως στη γραφική παράσταση του σχήματος. Να υπολογιστούν: α. Η γωνιακή επιτάχυνση α γν. β. Η γωνία στροφής του τροχού από 2s έως 4s. γ. Ο αριθμός των περιστροφών του τροχού από t 0 =0 έως t=4s. α. 1rad/s 2, β. 30rad, γ. 28/π στροφές Α1.2 Η γωνιακή ταχύτητα ενός τροχού μεταβάλλεται όπως στη γραφική παράσταση του σχήματος. α. Να βρεθούν οι τιμές της γωνιακής επιτάχυνσης από 0 έως 6s. β. Να γίνει η γραφική παράσταση της γωνιακής επιτάχυνσης συναρτήσει του χρόνου. γ. Να βρεθεί η γωνία στροφής του τροχού στο χρονικό διάστημα από 0 έως 6s. δ. Σε ποια χρονική στιγμή το διάνυσμα της γωνιακής επιτάχυνσης αλλάζει φορά; α. 5rad/s 2, 3rad/s 2, 8rad/s 2, β. 52rad Α1.3 Δίσκος ακτίνας R=0,2m περιστρέφεται με σταθερή γωνιακή επιτάχυνση και έχει τη χρονική στιγμή t 1 =2s γωνιακή ταχύτητα ω 1 =20rad/s και τη χρονική στιγμή t 2 =4s, ω 2 =40rad/s. α. Πόση είναι η γωνιακή επιτάχυνση ενός σημείου του τροχού. β. Πόση ταχύτητα έχει ένα σημείο της περιφέρειας του τροχού τη χρονική στιγμή t=3s; γ. Πόση γωνία έχει διαγράψει ένα σημείο του τροχού από τα 2s έως τα 4s; δ. Πόση είναι η κεντρομόλος επιτάχυνση ενός σημείου της περιφέρειας του τροχού τη χρονική στιγμή t 1 =2s. α. 10rad/s 2, β. 6 m/s, γ. 60rad, δ. 80m/s 2 Α1.4 Ο δίσκος του πικάπ ακτίνας r=20cm περιστρέφεται με συχνότητα f=10/πηz όταν ξαφνικά σβήνει το μοτέρ που τον κινεί και έτσι αυτός επιβραδύνεται ομαλά και σταματάει μετά από Ν.ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ 60

61 Ν=20/π περιστροφές, από τη στιγμή που άρχισε να επιβραδύνεται. α. Πόση είναι η γωνιακή επιβράδυνση του δίσκου; β. Πόση είναι η εφαπτομενική επιβράδυνση ενός σημείου της περιφέρειας του τροχού; γ. Πόσο χρόνο χρειάστηκε ο τροχός για να σταματήσει; α. α γν = 5rad/s 2, β. α=1m/s 2, γ. t=4s Α1.5 Τροχός, που περιστρέφεται γύρω από ακλόνητο άξονα, έχει τη χρονική στιγμή t 0 =0,γωνιακή ταχύτητα ω 0 =20rad/s και επιβραδύνεται με σταθερό ρυθμό 2rad/s μέχρι να σταματήσει. Να υπολογιστούν : α. Ο συνολικός χρόνος κίνησης. β. Η συνολική γωνία που διέγραψε κάθε σημείο του. γ. Το πλήθος των περιστροφών που έκανε μέχρι να σταματήσει. α. 10s, β. 100rad, γ. 50/π στροφές Α1.6 Δίσκος ακτίνας R=0,2m αρχίζει τη χρονική στιγμή t 0 =0 να περιστρέφεται με ω 0 =0, θ 0 =0 και σταθερή γωνιακή επιτάχυνση α γν =2rad/s 2. Τη χρονική στιγμή t 1 =4s και για 2s μετά κινείται ομαλά με την ταχύτητα που απέκτησε και τέλος επιβραδύνεται και σταματά τη χρονική στιγμή t 3 =8s. α. Να βρεθεί ο συνολικός αριθμός περιστροφών του δίσκου στη διάρκεια των 8s. β. Πόση είναι η συνολική επιτάχυνση ενός σημείου της περιφέρειας τη χρονική στιγμή t=3s; γ. Να γίνουν οι γραφικές παραστάσεις (ω t), (α γν -t) και (θ t). α. Ν=20/π στροφές, β. α ολ =7,203m/s 2 Α1.7 Η κορυφή του ωροδείκτη ενός ρολογιού μετατοπίζεται κατά 15,7cm σε χρόνο 1min. Να υπολογίσετε: α. Το μήκος του ωροδείκτη. β. Τη γραμμική ταχύτητα του μέσου του ωροδείκτη; α. r=1,5m, β. υ=1,3,10 3 m/s Α1.8 Τροχός αρχίζει να περιστρέφεται τη χρονική στιγμή t 0 =0 με γωνιακή ταχύτητα που μεταβάλλεται με τον τρόπο που φαίνεται στο σχήμα. Η περιστροφή γίνεται γύρω από σταθερό άξονα που διέρχεται από το κέντρο του και είναι κάθετος σ αυτόν. Σημείο Α του τροχού που απέχει από τον άξονα περιστροφής r=0,2m, βρίσκεται τη χρονική στιγμή t 0 =0 σε γωνιακή θέση θ 0 =0. α. Πόση είναι η συνολική γωνία που έχει διαγράψει το σημείο Α τη χρονική στιγμή t=9s; β. Πόσες περιστροφές έχει κάνει ο τροχός στο ίδιο χρονικό διάστημα; γ. Υπάρχει κάποια χρονική στιγμή που να αλλάζει φορά η γωνιακή ταχύτητα και αν ναι ποια; δ. Σε ποια χρονική στιγμή, η γωνιακή επιτάχυνση γίνεται για πρώτη φορά αρνητική; ε. Πόση είναι η ταχύτητα του Α τη χρονική στιγμή t=5s; στ. Πόση είναι η εφαπτομενική επιτάχυνση του σημείου Α τη χρονική στιγμή t=8s; ζ. Πόση είναι η κεντρομόλος επιτάχυνση του σημείου Α τη χρονική στιγμή t=6s; η. Να γίνουν οι γραφικές παραστάσεις των μεταβολών της γωνιακής επιτάχυνσης, α γν και της γωνιακής θέσης, θ, και της γραμμικής ταχύτητας, του σημείου Α σε σχέση με το χρόνο, t. α. Δθ=26rad, β. Ν=4,14στροφές, ε. υ=0,8m/s, στ. α= 0,2m/s 2, ζ. α κ =1,8m/s 2 Ν.ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ 61

62 Α1.9 Η γωνιακή ταχύτητα ενός τροχού που περιστρέφεται γύρω από σταθερό άξονα μεταβάλλεται με τον τρόπο που φαίνεται στο διάγραμμα. α. Σε ποια χρονική στιγμή αλλάζει η φορά του διανύσματος της γωνιακής ταχύτητας; β. Σε ποια χρονική στιγμή αλλάζει η φορά της γωνιακής επιτάχυνσης; γ. Πόσες στροφές έχει κάνει στο χρονικό διάστημα (0,15s); δ. Πόση είναι η γωνιακή μετατόπιση από τη χρονική στιγμή t=0 έως ότου να γίνει η γωνιακή ταχύτητα ω= 4rad/s; ε. Πόση είναι η γωνιακή επιτάχυνση της χρονική στιγμή t=10s; γ. Ν=50/π στροφές δ. Δθ=71rad/s, ε. α γν = 2rad/s Α1.10 To βαρίδι, w, που είναι δεμένο στο σχοινί της τροχαλίας αρχίζει να πέφτει κατακόρυφα τη χρονική στιγμή t 0 =0 με σταθερή επιτάχυνση α=2m/s 2 και αρχική ταχύτητα υ 0 =0, ενώ το σχοινί ξετυλίγεται. Το κέντρο μάζας της τροχαλίας είναι ακίνητο και η ακτίνα της είναι R=0,2m. α. Σε πόσο χρόνο, t, το σχοινί έχει ξετυλιχτεί κατά Δλ=16m; β. Πόση είναι η μετατόπιση του σώματος, w, κατά τη διάρκεια του 3 ου δευτερόλεπτου της πτώσης του; γ. Πόση γωνία έχει διαγράψει μια ακτίνα της τροχαλίας από t 0 έως t 1 =4s; δ. Πόση είναι η γωνιακή ταχύτητα της τροχαλίας τη χρονική στιγμή t 2 =6s; α. t=4s, β. Δλ=5m, γ. θ=80rad, δ. ω=60rad/s Α1.11 Η ράβδος του σχήματος μήκους λ=0,2m περιστρέφεται με σταθερή γωνιακή 2 επιτάχυνση α γν =0,2rad/s γύρω από το ένα άκρο της, Ο. Τη Ν.ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ 62

63 χρονική στιγμή t 0 =0 το μέσον της Μ έχει ταχύτητα υ 0,Μ =0,4m/s. α. Ποια χρονική στιγμή t 1 η ράβδος θα έχει γωνιακή μετατόπιση Δθ=50rad; β. Πόση θα είναι η ταχύτητα του άκρου Α τη χρονική στιγμή t 1 ; γ. Πόσες περιστροφές θα έχει διαγράψει το σημείο Μ στο χρονικό διάστημα 0 t 1 ; δ. Πόση θα είναι η κεντρομόλος επιτάχυνση του σημείου Μ τη χρονική στιγμή t 2 =5s; ε. Ποια είναι η κατεύθυνση και ποιο το σημείο εφαρμογής των διανυσμάτων, της γωνιακής ταχύτητας, της γωνιακής επιτάχυνσης και της κεντρομόλου επιτάχυνσης του σημείου Μ; α. t 1 =10s, β. υ=1,2m/s, γ. Ν=25/π στρ, δ. α κ,μ =2,5m/s 2 Α1.12 H έλικα ενός ακίνητου ελικόπτερου ξεκινάει τη χρονική στιγμή t 0 =0 με ω 0 =0 και περιστρέφεται με σταθερή γωνιακή επιτάχυνση α γν =10rad/s 2. α. Πόση θα είναι η κεντρομόλος επιτάχυνση ενός σημείου, Α, της έλικας που απέχει από τον άξονα περιστροφής απόσταση, r=2m, τη χρονική στιγμή που η έλικα έχει διαγράψει γωνία θ=2rad; β. Να εκφραστεί η συνολική επιτάχυνση του σημείου, Α, σε σχέση με το χρόνο, t. α. α κ =80m/s 2, β. α ολ =20 100t (S.I) Α1.13 Οι δύο τροχοί ακτίνων R 1 =20cm και R 2 =4cm συνδέονται με ιμάντα και περιστρέφονται έτσι ώστε ένα σημείο του ιμάντα να κινείται με ταχύτητα σταθερού μέτρου. Αν ο τροχός Τ 1 έχει γωνιακή ταχύτητα ω 1 =2rad/s να υπολογιστούν: α. Η γωνιακή ταχύτητα ω 2 του άλλου τροχού Τ 2. β. Το πλήθος των περιστροφών που θα έχει διαγράψει ο κάθε τροχός σε Δt=10s. γ. Το μήκος που θα έχει διανύσει ένα σημείο του ιμάντα στο ίδιο χρονικό διάστημα. α. ω 2 =10rad/s, β. Ν 1 =10/π στρ. Ν 2 =50/π στρ. γ. s=4m Α1.14 Αυτοκίνητο έχει τροχούς ακτίνας R=0,4 m και κινείται με σταθερή ταχύτητα 40m/s. Να υπολογιστούν: α. Η ταχύτητα του κέντρου μάζας του τροχού. β. Η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής του τροχού. γ. Η ταχύτητα ενός σημείου της περιφέρειας τη χρονική στιγμή που απέχει από το έδαφος απόσταση ίση με 0,8m. δ. Η ταχύτητα ενός σημείου της περιφέρειας τη χρονική στιγμή που απέχει από το έδαφος απόσταση ίση με 0,4m. ε. Η γραμμική ταχύτητα λόγω περιστροφής ενός σημείου του τροχού που απέχει απόσταση 0,1m από το κέντρο. α. 40m/s, β. 100rad/s, γ. 80m/s, δ. 40 2m/s, ε. 10m/s Α1.15 Αυτοκίνητο έχει τροχούς ακτίνας R=0,4 m και κινείται με σταθερή ταχύτητα, ενώ οι τροχοί του περιστρέφονται με γωνιακή ταχύτητα 50rad/s. Να υπολογιστούν: α. Η ταχύτητα του κέντρου μάζας του αυτοκίνητου. β. Η κεντρομόλος επιτάχυνση ενός σημείου της περιφέρειας του τροχού. γ. Η ταχύτητα ενός σημείου G του τροχού τη χρονική στιγμή που απέχει από το έδαφος 0,4m και από το κέντρο του τροχού 0,1m. Ν.ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ 63

64 δ. Ο αριθμός των περιστροφών του τροχού, όταν αυτός θα έχει διατρέξει διάστημα s=80π m. ε. Ο λόγος των ταχυτήτων υ Δ /υ Ζ δύο σημείων Δ και Ζ που βρίσκονται πάνω στην κατακόρυφο που περνάει από το κέντρο μάζας, το Δ από πάνω από το CM και το Ζ από κάτω και απέχουν από αυτό ίσες αποστάσεις r=0,2m. α. υ=20 m/s, β. α κ =10 3 m/s 2, γ. υ G =20,62m/s, δ. Ν=100 περιστροφές, ε. υ Δ /υ Ζ =3 Α1.16 Αυτοκίνητο με τροχούς ακτίνας r=30cm διαγράφει κυκλική πίστα ακτίνας R=96m σε 20s, με σταθερή κατά μέτρο ταχύτητα. α. Πόση είναι η συχνότητα περιστροφής των τροχών του; β. Πόσες περιστροφές έχει διαγράψει η ρόδα του αυτοκινήτου μέσα στον ίδιο χρόνο που το αυτοκίνητο έχει διαγράψει 10 φορές την κυκλική πίστα; α. f=16ηz, β. Ν ρ =3200στροφές Α1.17 Τροχός ακτίνας R κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει σε οριζόντιο επίπεδο. Να υπολογιστεί η ταχύτητα κέντρου μάζας του τροχού στις εξής περιπτώσεις: α. Σημείο της περιφέρειας του τροχού έχει ταχύτητα μέτρου υ=4 2m/s κάθε χρονική στιγμή που απέχει από το οριζόντιο επίπεδο απόσταση ίση με R. β. Δύο σημεία που απέχουν ίσες αποστάσεις από το κέντρο και βρίσκονται πάνω στην κατακόρυφο που διέρχεται από το κέντρο έχουν ταχύτητες υ 1 =10m/s και υ 2 =8m/s αντιστοίχως. γ. Σημείο που βρίσκεται πάνω από το κέντρο και στην κατακόρυφο που διέρχεται από το σημείο αυτό, απέχει από το κέντρο απόσταση R/4 και έχει ταχύτητα υ 3 =4m/s. α. 4m/s β. 9m/s, γ. 3,2m/s Α1.18 Τροχός ποδηλάτου ακτίνας R=0,25m κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει και έχει τη χρονική στιγμή t=0 ταχύτητα κέντρου μάζας υ 0,cm =5m/s. Ο τροχός επιβραδύνεται και σταματά αφού το ποδήλατο έχει διανύσει διάστημα s=2,5m. Να υπολογιστούν: α. Η επιβράδυνση του κέντρου μάζας. β. Η γωνιακή επιβράδυνση του τροχού. γ. Το χρονικό διάστημα που χρειάζεται ο τροχός για να σταματήσει. δ. Η εφαπτομενική επιβράδυνση κάθε σημείου της περιφέρειας του τροχού όταν αυτό απέχει από το έδαφος απόσταση 2R. ε. Η ταχύτητα ενός σημείου της περιφέρειας του τροχού το οποίο απέχει από το έδαφος, απόσταση R, τη χρονική στιγμή t= 0,2s. στ. Η κεντρομόλος επιτάχυνση ενός σημείου της περιφέρειας του τροχού τη χρονική στιγμή t=0,5s. α. 5m/s 2, β. 20rad/s 2, γ. 1s, δ. 10m/s 2 ε. 4 2m/s, στ. 25m/s 2 Α1.19 Τροχός ακτίνας R κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει με σταθερή ταχύτητα κέντρου μάζας υ cm, πάνω σε οριζόντιο επίπεδο. Nα υπολογιστεί, συναρτήσει της R, η απόσταση από το οριζόντιο επίπεδο, ενός σημείου της περιφέρειας του τροχού που έχει ταχύτητα: α. υ 1 =0 β. υ 2 =2υ cm γ. υ 3 = 2υ cm δ. υ 4 =υ cm α. 0, β. 2R, γ. R, δ. R/2 Α1.20 Αυτοκίνητο με τροχούς ακτίνας r=0,4m επιταχύνεται από την ηρεμία (t=0) με τη Ν.ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ 64

65 μέγιστη δυνατή σταθερή επιτάχυνση και αποκτάει ταχύτητα υ=40m/s σε 8s. Να υπολογιστούν: α. Η γωνιακή επιτάχυνση των τροχών του. β. Οι περιστροφές που κάνει μια ακτίνα των τροχών του μέχρι η ταχύτητα να γίνει 20m/s. γ. Ο αριθμός των περιστροφών του τροχού κατά το 4 ο sec της κίνησης. δ. Η επιτάχυνση του σημείου που τροχού που εφάπτεται του δρόμου, τη χρονική στιγμή t=8s α. α γν =12,5rad/s 2 β. Ν=50/π στρ. γ.ν =21,875/π στρ. δ m/s 2 Α1.21 Το ελικόπτερο του σχήματος κινείται οριζόντια με σταθερή ταχύτητα υ=30m/s, ενώ η έλικα διαμέτρου 2r περιστρέφεται με σταθερή γωνιακή ταχύτητα ω. Να βρεθεί η ταχύτητα του άκρου Β τη χρονική στιγμή που η έλικα είναι κάθετη στην κατεύθυνση της υ και το άκρο Α έχει ταχύτητα μέτρου 20m/s, όπως φαίνεται και στο διπλανό σχήμα. υ Β =80m/s Α1.22 Το τρακτέρ ξεκινάει από την ηρεμία τη χρονική στιγμή t=0 και κινείται σε οριζόντιο δρόμο με σταθερή επιτάχυνση α=2m/s 2. Οι τροχοί του έχουν ακτίνες R 1 =1m και R 2 =0,5m και κυλίονται χωρίς να ολισθαίνουν. Να υπολογιστούν: α. Οι ταχύτητες των σημείων των τροχών που έχουν την ίδια χρονική στιγμή t=10s, απόσταση από το έδαφος ίση με τη διάμετρο των τροχών. β. Ο λόγος των περιστροφών Ν 1 /Ν 2 που κάνουν οι ρόδες στο χρονικό διάστημα (0 t). γ. Οι γωνιακές ταχύτητες των τροχών τη χρονική στιγμή t=10s.α. 40m/s, β. Ν 1 /Ν 2 =1/2, γ. ω 1 =20rad/s, ω 2 =40rad/s Α1.23 Μια μπάλα ακτίνας R=0,1m, που κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει, αρχίζει να ανεβαίνει ένα κεκλιμένο επίπεδο με σταθερή επιβράδυνση του κέντρου μάζας μέτρου α cm =4m/s 2. Τη χρονική στιγμή t 0 =0 το κέντρο μάζας έχει ταχύτητα υ 0,cm =8m/s. α.nα βρείτε την ταχύτητα του κέντρου μάζας όταν θα έχει διαγράψει Ν=30/π περιστροφές. β. Να βρείτε πόσες περιστροφές θα έχει διαγράψει η σφαίρα μέχρι να σταματήσει στιγμιαία. γ. Αν και κατά την κάθοδο της μπάλας ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητας του κέντρου μάζας παραμένει κατά μέτρο ο ίδιος με την άνοδο, πόσος είναι ο συνολικός αριθμός περιστροφών της μπάλας από t 0 =0 έως t=3s; α. υ=4m/s, β. Ν=40/π στρ. Ν ολ =50/π στρ. Α1.24 Τροχός ακτίνας R=0,5m κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει. Το κέντρο μάζας του κινείται με ταχύτητα που μεταβάλλεται σύμφωνα με τη σχέση υ cm =4+2t (S.I). α. Πόση είναι η γωνιακή του επιτάχυνση; β. Με πόση ταχύτητα κινούνται τη χρονική στιγμή t=3s τα σημεία Α, Β, Γ; γ. Πόσες περιστροφές κάνει ο τροχός από τη χρονική στιγμή t 1 =2s έως τη t 2 =4s; δ. Πόση είναι η κεντρομόλος επιτάχυνση ενός σημείου της Ν.ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ 65

66 περιφέρειας τη χρονική στιγμή t 1 =2s; α. α γν =4rad/s 2, β. υ Α =20m/s, υ Γ =0, υ Β =10 2m/s, γ. Ν=20/π περιστροφές, δ. α κ =128m/s 2 Α1.25 Στο σχήμα φαίνεται μια τροχαλία ακτίνας R ενώ το αυλάκι στο οποίο είναι τυλιγμένο το νήμα έχει ακτίνα r=r/2. Τραβάμε το νήμα από το άκρο Α με σταθερή ταχύτητα, υ Α, αυτό ξετυλίγεται και η τροχαλία κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει. Αν το σημείο Α διανύει σε χρονικό διάστημα Δt=0,5s απόσταση dx=3m να υπολογιστούν: α. Η ταχύτητα του CM της τροχαλίας. β. Η μετατόπιση του CM της τροχαλίας στο ίδιο χρονικό διάστημα. γ. Η οριζόντια μετατόπιση του σημείου Γ της τροχαλίας, στο ίδιο χρονικό διάστημα. α. υ cm =4m/s, β. Δx CM =2m, γ. Δx Γ =2m Α1.26 Δίσκος ακτίνας R=1m κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει σε οριζόντιο δάπεδο. Τη χρονική στιγμή t 1 το μέτρο της ταχύτητας ενός σημείου του δίσκου που απέχει απόσταση 2R από το δάπεδο είναι 20m/s. α. Ένα σημείο του δίσκου που βρίσκεται στην ίδια κατακόρυφο με το κέντρο μάζας έχει την ίδια χρονική στιγμή ταχύτητα 15m/s. Πόση είναι η απόσταση του σημείου αυτού από το δάπεδο; β. Αν τη χρονική στιγμή t 2 το μέτρο της γωνιακής ταχύτητας του δίσκου έχει διπλασιαστεί τότε πόσο είναι το μέτρο της ταχύτητας του κέντρου μάζας την ίδια χρονική στιγμή t 2 ; α. 1,5m, β. 20m/s Ν.ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ 66

67 2. Ροπή δύναμης - Ισορροπία στερεού σώματος (Ε) Ερωτήσεις E2.1 Να συμπληρώσετε τα κενά στις προτάσεις πουν ακολουθούν: α. Το φυσικό μέγεθος το οποίο περιγράφει την ικανότητα μιας δύναμης να στρέφει ένα σώμα ονομάζεται.της. και συμβολίζεται με το ελληνικό γράμμα β. Ροπή δύναμης F, ως προς άξονα περιστροφής ονομάζεται το.μέγεθος που έχει μέτρο ίσο με το γινόμενο του μέτρου της.. επί την. απόσταση της δύναμης από τον. περιστροφής. γ. Η ροπή έχει τη διεύθυνση του.. και η φορά της δίνεται από τον κανόνα του.. κοχλία. δ. Μονάδα μέτρησης της ροπής είναι το 1.. Ε2.2 Να συμπληρώσετε τα κενά στις προτάσεις που ακολουθούν: α. Δύο.. δυνάμεις F 1, F 2 με μέτρα που στρέφουν το σώμα κατά την ίδια, αποτελούν ζεύγος δυνάμεων. β. Η ροπή ζεύγους δυνάμεων είναι.ως προς οποιοδήποτε σημείο του επιπέδου τους. γ. Για να ισορροπεί ένα αρχικά ακίνητο σώμα στο οποίο ασκούνται πολλές ομοεπίπεδες δυνάμεις θα πρέπει η συνισταμένη δύναμη να είναι και το αλγεβρικό άθροισμα των.. ως προς οποιοδήποτε σημείο να είναι.. δ. Αν το ζεύγος δυνάμεων αποτελείται από δυνάμεις μέτρου F των οποίων οι φορείς απέχουν απόσταση d, το μέτρο της ροπής του ζεύγους είναι ίσο με, τ=.. Ε2.3 Μια δύναμη F έχει απόσταση d από ένα σημείο Ο. Η ροπή της δύναμης, ως προς το Ο είναι: α. Μονόμετρο μέγεθος ίσο με F d. β. Διανυσματικό μέγεθος με μέτρο F d, σημείο εφαρμογής ίδιο με της δύναμης F, διεύθυνση κάθετη στο επίπεδο που ορίζουν η F και η d και φορά που καθορίζεται από τον κανόνα του δεξιόστροφου κοχλία. γ. Διανυσματικό μέγεθος με μέτρο F d, σημείο εφαρμογής το σημείο Ο, διεύθυνση κάθετη στο επίπεδο που ορίζουν η F και η d και φορά που καθορίζεται από τον κανόνα του δεξιόστροφου κοχλία. δ. Κανένα από τα παραπάνω. Ε2.4 Η ροπή δύναμης ως προς άξονα: α. Είναι μηδέν, αν ο φορέας της δύναμης δεν βρίσκεται σε επίπεδο κάθετο στον άξονα. β. Είναι μέγιστη, αν ο άξονας είναι παράλληλος με το φορέα της δύναμης. γ. Είναι μηδέν, αν ο φορέας της δύναμης τέμνει τον άξονα. δ. Είναι μηδέν μόνο αν ο φορέας της δύναμης τέμνει κάθετα τον άξονα. Ε2.5 Ένα ζεύγος δυνάμεων αποτελείται από δύο: α. Αντίθετες δυνάμεις. β. Ίσες δυνάμεις με παράλληλους φορείς. γ. Δυνάμεις με ίσα μέτρα, αντίθετη κατεύθυνση και παράλληλους φορείς. δ. Δυνάμεις με ίσα μέτρα και με συνολική ροπή μηδέν. ε. Τίποτα από τα παραπάνω. Ε2.6 Η ροπή ενός ζεύγους δυνάμεων, F 1, F 2 των οποίων οι φορείς απέχουν απόσταση d: Ν.ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ 67

68 α. Είναι διανυσματικό μέγεθος με μέτρο F 1 d και διεύθυνση κάθετη στο επίπεδο των δυνάμεων. β. Εξαρτάται από τη θέση του σημείου του επιπέδου τους ως προς το οποίο υπολογίζεται. γ. Είναι διανυσματικό μέγεθος με μέτρο F 1 d και φορέα πάνω στο επίπεδο των δυνάμεων. δ. Είναι διανυσματικό μέγεθος με μέτρο (F 1 +F 2 ) d και διεύθυνση κάθετη στο επίπεδο των δυνάμεων. Ε2.7 Όταν σε ένα σώμα ασκούνται πολλές δυνάμεις, η αλγεβρική τιμή της συνολικής ροπής ως προς άξονα είναι ίση με: α. Μηδέν. β. Το αλγεβρικό άθροισμα των ροπών των δυνάμεων ως προς τον ίδιο άξονα. γ. Το άθροισμα των ροπών των δυνάμεων ως προς τον ίδιο άξονα. δ. Κανένα από τα παραπάνω. Ε2.8 Δύναμη F ασκείται σε σώμα που ηρεμεί πάνω σε οριζόντιο επίπεδο. α. Αν ο φορέας της δύναμης περνά από το κέντρο μάζας το σώμα κάνει μόνο στροφική κίνηση. β. Αν ο φορέας της δύναμης δεν περνά από το κέντρο μάζας το σώμα κάνει μόνο στροφική κίνηση. γ. Αν ο φορέας της δύναμης δεν περνά από το κέντρο μάζας το σώμα κάνει στροφική και μεταφορική κίνηση. δ. Αν ο φορέας της δύναμης περνά από το κέντρο μάζας, το σώμα ισορροπεί. Ε2.9 Ικανή και αναγκαία συνθήκη για να ισορροπεί ένα σώμα είναι: α. Η συνισταμένη των δυνάμεων να είναι μηδέν. β. Το αλγεβρικό άθροισμα των ροπών των δυνάμεων ως προς τυχαίο σημείο να είναι μηδέν. γ. Το αλγεβρικό άθροισμα των ροπών των δυνάμεων ως προς το κέντρο μάζας να είναι μηδέν. δ. Το α και το β μαζί. ε. Το α και το γ μαζί. Ε2.10 Στερεό σώμα είναι αρχικά ακίνητο. Να αντιστοιχήσετε τις κινήσεις της αριστερής στήλης με τις συνθήκες της δεξιάς: α. Ισορροπία 1. ΣF=0, Στ 0 β. Μόνο μεταφορική 2. ΣF 0, Στ=0 γ. Μόνο περιστροφική 3. ΣF 0, Στ 0 δ. Μεταφορική και περιστροφική 4. ΣF=0, Στ=0 Ε2.11 Όταν ένα σώμα βρίσκεται σε κατάσταση ισορροπίας τότε: α. Δεν δέχεται καμία δύναμη. β. Η συνισταμένη των δυνάμεων είναι μηδέν. γ. Το αλγεβρικό άθροισμα των ροπών ως προς κάθε σημείο είναι μηδέν. δ. Η αλγεβρική τιμή της συνολικής ροπής είναι θετική ή αρνητική. Ποιες από τις προτάσεις είναι σωστές; Ε2.12 Ποιες από τις προτάσεις που ακολουθούν και αναφέρονται στο ζεύγος δυνάμεων είναι σωστές; Ν.ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ 68

69 α. Δύο οποιεσδήποτε αντίρροπες δυνάμεις που δρουν στο ίδιο σώμα μπορούν να αποτελούν ζεύγος δυνάμεων. β. Η ροπή ζεύγους έχει μέτρο τ=f d, όπου F το μέτρο της κάθε δύναμης του ζεύγους και d η απόσταση των φορέων τους. γ. Το διάνυσμα της ροπής του ζεύγους βρίσκεται στο ίδιο επίπεδο με τις δυνάμεις του ζεύγους. δ. Το μέτρο της ροπής ενός ζεύγους δυνάμεων δεν εξαρτάται από τη θέση του άξονα περιστροφής του σώματος. Ε2.13 Δώστε σύντομη αιτιολογημένη απάντηση στις ερωτήσεις που ακολουθούν: α. Η ροπή ενός ζεύγους δυνάμεων είναι πιο αποτελεσματική από τη ροπή μιας δύναμης προκειμένου να βιδώσουμε μια βίδα; β. Γιατί τα φορτηγά έχουν τιμόνι μεγάλης διαμέτρου; γ. Αν θέλουμε να ξεβιδώσουμε μια πολύ σφιγμένη βίδα με παξιμάδι θα χρησιμοποιήσουμε κλειδί μικρού ή μεγάλου μήκους; δ. Αν πρόκειται να ξεβιδώσουμε μια βίδα με κλειδί ορισμένου μήκους τι πρέπει να κάνουμε ώστε η ροπή που θα ασκήσουμε να είναι η μεγαλύτερη δυνατή; Ε2.14 Η ροπή δύναμης περιγράφει την ικανότητα: α. Ενός σώματος να στρέφεται. β. Μιας δύναμης να στρέφεται. γ. Μιας δύναμης να μετατοπίζει το σημείο εφαρμογής της. δ. Μιας δύναμης να στρέφει ένα σώμα. Ε2.15 Στερεό σώμα, που αρχικά ηρεμεί, δέχεται τη δράση δύο μόνο δυνάμεων που ασκούνται σε διαφορετικά σημεία αυτού. Για να ισορροπεί πρέπει οι δύο δυνάμεις να έχουν: α. Ίσα μέτρα β. Ίδιο φορέα γ. Ίδια φορά δ. Αντίθετη φορά ε. Τα α, β και δ στ. Τα α, β και γ Ε2.16 Στερεό σώμα μπορεί να στρέφεται γύρω από ακλόνητο άξονα. Το σώμα που αρχικά ηρεμεί, δέχεται τη δράση δύο μόνο δυνάμεων που ασκούνται σε διαφορετικά σημεία αυτού. Για να μην κάνει στροφική κίνηση πρέπει οι δύο δυνάμεις να έχουν: α. Παράλληλους φορείς β. Ίσες ροπές γ. Ίσα μέτρα δ. Αντίθετες ροπές Ε2.17 Στερεό σώμα ισορροπεί υπό την επίδραση τριών ομοεπίπεδων δυνάμεων. Τότε: α. Οι τρεις δυνάμεις έχουν ίσες ροπές ως προς κάθε σημείο του σώματος. β. Οι φορείς των δυνάμεων είναι παράλληλοι μεταξύ τους. γ. Οι φορείς των δυνάμεων διέρχονται από το ίδιο σημείο. δ. Το α και το γ. Ε2.18 Ποιες από τις προτάσεις που ακολουθούν είναι σωστές ή λανθασμένες; α. Η ροπή μιας δύναμης της οποίας ο φορέας τέμνει τον άξονα περιστροφής του σώματος είναι μηδέν ως προς τον άξονα αυτόν. β. Η ροπή ζεύγους δυνάμεων είναι ίδια ως προς οποιοδήποτε σημείο που ανήκει στο επίπεδο των δυνάμεων. γ. Αν σε ένα ακίνητο σώμα που διαθέτει σταθερό άξονα περιστροφής ασκείται μια δύναμη, τότε είναι σίγουρο ότι θα περιστρέφεται. δ. Όσο πλησιέστερα στον άξονα περιστροφής ενός σώματος ασκήσουμε μια δύναμη τόσο ευκολότερο είναι να το περιστρέψουμε. Ν.ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ 69

70 ε. Η ροπή μιας δύναμης περιγράφει την ικανότητα της δύναμης να περιστρέψει ένα στερεό. στ. Δύο αντίρροπες δυνάμεις με ίσα μέτρα και παράλληλους φορείς αποτελούν ζεύγος. ζ. Σε σώμα που μπορεί να περιστρέφεται γύρω από ακλόνητο άξονα ασκούνται δυνάμεις που έχουν συνισταμένη μηδέν. Τότε είναι αδύνατο να περιστρέφεται. η. Όταν ένα ελεύθερο στερεό σώμα μεταφέρεται χωρίς να περιστρέφεται τότε σίγουρα το αλγεβρικό άθροισμα των ροπών που ασκούνται στο σώμα είναι μηδέν. θ. Δύναμη σταθερού μέτρου ασκείται σε σημείο Α ενός σώματος που απέχει σταθερή απόσταση από άλλο σημείο Ο αυτού. Το μέτρο της ροπής της δύναμης ως προς το σημείο Ο γίνεται μέγιστο όταν ο φορέας της δύναμης είναι κάθετος στην απόσταση ΟΑ. Ε2.19 Η ράβδος ΟΑ μήκους λ, μπορεί να στρέφεται γύρω από άξονα που διέρχεται από το ένα άκρο Ο και είναι κάθετος στο επίπεδο που ορίζουν η ράβδος και η δύναμη, F. Η ροπή της δύναμης ως προς αυτόν τον άξονα είναι: α. 0 β. F λ γ. F λ ημφ δ. F λ συνφ Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. Ε2.20 Το μέτρο της ροπής της δύναμης F ως προς τον άξονα yy ισούται με: α. 0 β. F d γ. F d συνθ δ. F d ημθ όπου d η απόσταση του σημείου εφαρμογής της δύναμης από το κέντρο του τροχού, Ο. Ο φορέας της δύναμης δεν βρίσκεται πάνω στην επιφάνεια του τροχού, αλλά σχηματίζει γωνία θ με αυτήν. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. Ε2.21 Οι δυνάμεις F 1, F 2, F 3 έχουν μέτρα ίσα με F, ο δίσκος έχει ακτίνα R και τα σημεία εφαρμογής των F 2 και F 3 απέχουν απόσταση R/2 από το κέντρο, Ο. Η συνολική ροπή που ασκείται στο δίσκο, ως προς άξονα που περνάει από το Ο και είναι κάθετος σ αυτόν είναι: α. F R β. 2F R γ. +F R δ. 3F R/2 Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. Ε2.22 Στη ράβδο ΑΒ, μήκους λ ασκείται ένα ζεύγος δυνάμεων με F 1 =F 2 =F και φ=60 0. Η ροπή του ζεύγους είναι: α. F λ β. Fλ 3/2 γ. F λ/2 δ. 2F λ Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. Ν.ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ 70

71 Ε2.23 Ο τροχός του σχήματος έχει ακτίνα R=1m και μπορεί να στρέφεται γύρω από τον ακλόνητο άξονα yy. Ο τροχός δέχεται 4 δυνάμεις εκ των οποίων οι φορείς των F 2, F 3 και F 4 εφάπτονται στην περιφέρειά του και ο φορέας της F 1 διέρχεται από το κέντρο αυτού. Τα μέτρα των δυνάμεων είναι F 1 =10N, F 2 =4N, F 3 =8N, F 4 =6N. α. Να σχεδιάσετε τα διανύσματα των ροπών των δυνάμεων. β. Να βρείτε τη φορά περιστροφής του τροχού. γ. Να υπολογίσετε τη συνολική ροπή. Ε2.24 Δύο δυνάμεις F 1 F 2 ασκούνται στα άκρα Α και Γ της αβαρούς ράβδου μήκους λ της οποίας ο άξονας περιστροφής Ο απέχει από τα Α και Γ αποστάσεις ΟΑ=λ 1, ΟΓ=λ 2 με λ 2 =2λ 1. Ποιες από τις προτάσεις που ακολουθούν είναι σωστές ή λανθασμένες; Να δικαιολογηθεί η κάθε απάντηση. α. Αν η ράβδος ισορροπεί θα πρέπει να είναι F 1 =2F 2. β. Αν η είναι F 1 = 4F 2 τότε η ράβδος περιστρέφεται κατά τη φορά των δεικτών του ρολογιού. γ. Αν είναι F 1 =F 2 η ράβδος περιστρέφεται με φορά αντίθετη από αυτή της φοράς των δεικτών του ρολογιού. δ. Αν είναι F 1 =F 2 oι δύο δυνάμεις αποτελούν ζεύγος δυνάμεων. Ε2.25 Η αβαρής ράβδος του σχήματος ισορροπεί με άξονα περιστροφής που διέρχεται από το Ο και είναι κάθετος σ αυτήν. Ποιες από τις προτάσεις που ακολουθούν είναι σωστές ή λανθασμένες; Να δικαιολογηθεί η κάθε απάντηση. α. Για τις δυνάμεις F 1, F 2 και τις αποστάσεις ΟΑ=λ 1 και ΟΓ=λ 2 ισχύει F 1 /F 2 =λ 1 /λ 2. β. Αν η δύναμη F 2 αντιστραφεί είναι αδύνατο να ισορροπεί η ράβδος. γ. Αν το μέτρο της δύναμη F 2 αυξηθεί και θέλουμε να διατηρήσουμε την ισορροπία και την κατεύθυνση της δύναμης, θα πρέπει να μετακινήσουμε το σημείο εφαρμογής της, Γ, πλησιέστερα προς το Ο. δ. Αν το μέτρο της δύναμη F 2 μειωθεί και θέλουμε να διατηρήσουμε την ισορροπία και την κατεύθυνση της δύναμης, θα πρέπει να απομακρύνουμε το σημείο εφαρμογής της, Γ, από το Ο, χωρίς όμως να είναι σίγουρο ότι θα αποκαταστήσουμε την ισορροπία. Ε2.26 Ο δίσκος είναι αρχικά ελεύθερος και ακίνητος και μετά δέχεται τις δυνάμεις F 1, F 2. Η γωνία είναι φ=30 0. Ποια από τις παρακάτω σχέσεις πρέπει να ισχύει για να κάνει ο δίσκος μόνο μεταφορική κίνηση. α. F 1 =F 2 β. F 1 =2F 2 γ. F 1 =F 2 /2 δ. F 1 =F 2 3/2 Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. Ν.ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ 71

72 Ε2.27 Η απόσταση μεταξύ του άξονα των πίσω τροχών και του άξονα των μπροστινών τροχών ενός αυτοκινήτου είναι 3m. Το βάρος του αυτοκινήτου κατανέμεται κατά 55% στους πίσω τροχούς και κατά 45% στους μπροστινούς. Το κέντρο βάρους του αυτοκινήτου βρίσκεται σε απόσταση x πίσω από το μπροστινό άξονα: α. x=1,5m β. x=1,65m γ. x=1,45m δ. 1,0m Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. Ε2.28 Δύο άτομα μεταφέρουν μια ομοιόμορφη σκάλα μήκους λ=6m και βάρους 500Ν. Αν ο ένας ασκεί στο ένα άκρο της κατακόρυφη δύναμη μέτρου 200Ν προς τα πάνω, τότε ο άλλος την κρατά από σημείο που απέχει από το άλλο άκρο απόσταση, x ίση με: α. x=1m β. x=2m γ. x=3m δ. x=1,5m Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. Ε2.29 Η ομογενής ισοπαχής ράβδος του σχήματος ισορροπεί ακουμπισμένη στον λείο κατακόρυφο τοίχο και στο τραχύ πάτωμα από το οποίο δέχεται δύναμη μέτρου F=4w/3, όπου w το βάρος της ράβδου. Για τη γωνία φ ισχύει: α. εφφ=1 β. εφφ=3/(2 7) γ. εφφ=2/3 Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. (Α) Ασκήσεις και προβλήματα Α2.1 Στην αβαρή ράβδο του σχήματος δίνονται τα μέτρα των δυνάμεων F 1 =10N, F 2 =20N, F 3 = 40N, 0 F 4 =8N, η γωνία φ=30 και οι αποστάσεις (ΟΑ)=(ΟΔ)=(ΔΓ)=0,2m. Να υπολογιστούν: α. Οι αλγεβρικές τιμές των ροπών των δυνάμεων, ως προς το σημείο Ο. β. Η αλγεβρική τιμή της συνολικής ροπής ως προς το σημείο Α. γ. Η αλγεβρική τιμή της συνολικής ροπής ως προς το σημείο Γ. Θεωρήστε ως θετική τη φορά περιστροφής που είναι αντίθετη από τη φορά των δεικτών του ρολογιού. α. 0, 4Νm, 16Νm, 0,8Νm, β. 20,4Νm, γ. 7,2Νm Ν.ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ 72

73 Α2.2 Στο τροχό ακτίνας ΟΓ=R=2m ασκούνται 4 δυνάμεις με μέτρα F 1 =10N, F 2 =20N, F 3 =10N και F 4 =30N. Όλες οι δυνάμεις βρίσκονται πάνω στο επίπεδο του τροχού και η διεύθυνσή τους είναι κάθετη στην ακτίνα ΟΓ. Nα υπολογιστεί η αλγεβρική τιμή της συνολικής ροπής που ασκείται στον τροχό ως προς άξονα που είναι κάθετος στο επίπεδο του τροχού και διέρχεται: α. Από το κέντρο αυτού Ο. β. Από το σημείο Γ. Δίνεται ότι (ΟΑ)=1m. α. Στ= 30Νm, β. Στ= 50Νm Α2.3 Η αβαρής ράβδος ΚΛ του σχήματος δέχεται τρεις δυνάμεις με ίσα μέτρα 10Ν. Η ράβδος έχει μήκος λ=2m, οι αποστάσεις είναι ΚΜ=λ/2 και ΚΖ=1,4m και η φ=60 0. Να υπολογιστούν: α. Η συνισταμένη ροπή ως προς το Κ. β. Η συνισταμένη ροπή ως προς το Λ. γ. Η συνισταμένη ροπή ως προς το Μ. δ. Η συνισταμένη ροπή ως προς το Ζ. ε. Το μέτρο και την κατεύθυνση μιας κατακόρυφης δύναμης που πρέπει να ασκήσουμε στο μέσο Μ της ράβδου ώστε η συνισταμένη ροπή ως προς το Ζ να είναι +15Νm. α. 10Νm, β. 0, γ. 5Νm, δ. 3Νm, ε. F=45N με φορά προς τα κάτω Α2.4 Η αβαρής ράβδος ΚΛ έχει μήκος 2m και οι δύο δυνάμεις F 1, F 2 αποτελούν ζεύγος με ροπή 100Νm. Το μέτρο της F 3 είναι 200Ν. Να βρεθούν: α. Τα μέτρα των F 1, F 2. β. Η γωνία φ ώστε το αλγεβρικό άθροισμα των ροπών και των τριών δυνάμεων ως προς το Κ να είναι μηδέν. Α. F 1 =F 2 =50Nm, β. φ=30 0 Α2.5 Η αβαρής ράβδος ΚΛ του σχήματος δέχεται τη δράση δύο ζευγών δυνάμεων με μέτρα F 1 =F 2 =10 3N και F 3 =F 4 =10N. Η ροπή του ζεύγους των F 1,F 2. Ν.ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ 73

74 έχει μέτρο 30Νm, τα σημεία Α και Β απέχουν ΑΒ=λ/4 και φ=60 0. Να βρεθούν: α. Το μήκος λ της ράβδου. β. Η ροπή του ζεύγους των F 3, F 4 γ. Τη συνισταμένη των ροπών και των τεσσάρων δυνάμεων ως προς το σημείο Κ και ως προς το σημείο Λ. α. λ=2m. β. 5Νm. γ. 35Νm Α2.6 Στη ράβδο ΟΑ του σχήματος ασκούνται οι δύο παράλληλες δυνάμεις F 1 =F 2 =20N σε σημεία που απέχουν απόσταση L=2m. Δίνεται ακόμα η γωνία φ=30 0. Nα υπολογίσετε τη συνολική ροπή των F 1, F 2. α. Ως προς το σημείο Ο. β. Ως προς το σημείο Α. Τι συμπέρασμα βγάζετε από τους υπολογισμούς; α. τ= 20Νm, β. τ= 20Νm Α2.7 Ομογενής ράβδος έχει μήκος 4m, βάρος w=200ν και στηρίζεται σε σημείο Δ το οποίο απέχει από το κέντρο Ο αυτής απόσταση ΟΔ=1m. α. Αν στο άκρο Α φέρει βάρος w 1 =500Ν, πόσο βάρος w 2 πρέπει να φέρει στο άλλο άκρο Γ ώστε να ισορροπεί; β. Αν η ράβδος ισορροπεί πόση δύναμη ασκείται στο σημείο στήριξης Δ; α. w 2 =100Ν, β. F=800Ν Α2.8 Ομογενής ράβδος ΑΓ μήκους λ=2m έχει βάρος w=200ν και φέρει φορτία w 1 =100Ν στο άκρο Α και w 2 =400Ν στο σημείο Δ στο οποίο (ΟΔ)=0,3m. Να υπολογιστούν οι δυνάμεις F 1, F 2 που ασκούν τα δύο κατακόρυφα σχοινιά στα άκρα της ράβδου, ώστε αυτή να ισορροπεί. F 1 =340N, F 2 =360N Α2.9 Ομογενής ράβδος βάρους w=100ν φέρει φορτία με βάρη w 1 =50Ν και w 2 =50Ν στα σημεία που φαίνονται στο σχήμα. Η ράβδος για να ισορροπεί οριζόντια κρέμεται από οροφή με δύο νήματα που είναι δεμένα στα σημεία Α και Δ και σε ακλόνητη οροφή. Αν δίνονται ότι (ΑΖ)=(ΖΟ)=(ΟΔ)=(ΔΓ)=0,2m να βρεθούν τα μέτρα των δυνάμεων F 1, F 2 που πρέπει να ασκούν τα νήματα στη ράβδο ώστε αυτή να ισορροπεί. F 1 =50N, F 2 =150N Ν.ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ 74

75 Α2.10 Από τα δύο άκρα Α και Γ μιας ομογενούς ράβδου ΑΓ, βάρους w=200ν κρέμονται δύο σώματα με βάρη w 1 =100Ν, w 2 =300Ν αντιστοίχως. Αν το μήκος της ράβδου είναι 4m, να υπολογιστεί η απόσταση από το άκρο Γ ενός σημείου Δ στο οποίο, αν στηριχτεί η ράβδος, θα ισορροπεί. ΓΔ=4/3m Α2.11 Στην αβαρή ράβδο του σχήματος δίνονται οι δυνάμεις F 1 =90N, F 2 =40N, F 3 =100N, F 4 =200N και οι αποστάσεις ΑΒ=20cm, ΒΓ=40cm, ΓΔ=20cm. Να βρεθεί η θέση του σημείου εφαρμογής, Ζ, η κατεύθυνση και το μέτρο μιας κατακόρυφης δύναμης F που πρέπει να ασκείται στη ράβδο ώστε αυτή να ισορροπεί σε οριζόντια θέση. Η F βρίσκεται στο ίδιο κατακόρυφο επίπεδο με τις άλλες δυνάμεις. x=αζ=46,96cm, F=230Ν Α2.12 Ομογενής ράβδος ΑΓ, μήκους λ και βάρους w=90ν κρέμεται από δύο σχοινιά που είναι στερεωμένα σε ακλόνητα σημεία της οροφής, όπως φαίνεται στο σχήμα. Από σημείο Ζ που απέχει από το άκρο Α απόσταση λ/4 κρέμεται σώμα βάρους w 1 =60Ν. Όταν η ράβδος ισορροπεί οριζόντια το αριστερό σχοινί σχηματίζει γωνία φ=30 0 με την κατακόρυφο που διέρχεται από το Α. Να υπολογιστεί η γωνία θ που σχηματίζει το δεξιό σχοινί με την κατακόρυφο που διέρχεται από το σημείο Γ. εφθ= 3/2 Α2.13 Ομογενής σανίδα ΑΓ, μήκους λ=4m και βάρους w=300ν στηρίζεται σε δύο σημεία Μ και Ν που απέχουν από το ένα άκρο Α αποστάσεις ΑΜ=0,5m και ΑΝ=2,5m αντιστοίχως. α. Αν ένας εργάτης βάρους Β=600Ν στέκεται στο ένα άκρο Α και η ράβδος ισορροπεί, να υπολογιστούν οι δυνάμεις που ασκούν τα στηρίγματα Μ και Ν στη σανίδα. β. Αν ο εργάτης αρχίσει να περπατάει προς το άκρο Γ σε πόση απόσταση, x, πριν το Γ πρέπει να σταματήσει ώστε η ράβδος να μην ανατραπεί; α. 825Ν και 75Ν, β. x=1,25m Α2.14 Ομογενής δοκός μήκους λ=4m και βάρους w 1 =100Ν ισορροπεί οριζόντια δεμένη από την οροφή με δύο σχοινιά όπως στο σχήμα. Τα σχοινιά έχουν όριο θραύσης Τ max =650Ν. Ν.ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ 75

76 α. Σε πόση απόσταση από το άκρο Β μπορεί να μετακινηθεί άνθρωπος βάρους w 2 =800Ν ώστε να μη σπάσει κάποιο από τα σχοινιά; β. Αν ο άνθρωπος στέκεται σε απόσταση 1m από το Β ποιος είναι ο λόγος των τάσεων των δύο σχοινιών; α. x=1m, β. Τ 1 /Τ 2 =5/13 Α2.15 Η ομογενής δοκός, ΑΒ, μήκους λ=6m, βάρους w=200ν ισορροπεί οριζόντια στηριζόμενη σε δύο σημεία Γ και Β που απέχουν μεταξύ τους ΓΒ=0,5m. Αν στο άκρο της Α στέκεται κάποιος άντρας βάρους w 1 =400N, να υπολογιστούν οι κατακόρυφες δυνάμεις που ασκούν τα δύο στηρίγματα στη δοκό. F 1 =6000N, F 2 =5400N Α2.16 Ομογενής δοκός ΑΓ, βάρους w=60ν ισορροπεί όπως φαίνεται στο σχήμα, με τη βοήθεια σχοινιού ΓΔ το οποίο σχηματίζει γωνία φ=30 0 με αυτήν. Από το άλλο άκρο Α στηρίζεται σε άρθρωση που είναι συνδεδεμένη στον κατακόρυφο τοίχο. Να υπολογιστούν: α. Η τάση, Τ, του σχοινιού. β. Η δύναμη, F, που ασκεί η άρθρωση στη δοκό στο σημείο επαφής, Α. α. T=60N, β. F=60N, θ=30 0 Α2.17 Ομογενής δοκός ΑΓ, βάρους w=40ν ισορροπεί με τη βοήθεια αβαρούς ελατηρίου σταθεράς, k=10 3 Ν/m και νήματος το οποίο σχηματίζει με αυτήν γωνία φ=30 0. Το άλλο άκρο Α στηρίζεται σε προεξοχή του τοίχου. Αν στο άκρο Γ κρέμεται σώμα βάρους w 1 =160Ν να υπολογιστούν: α. Η επιμήκυνση, Δx, του ελατηρίου. β. Η δύναμη που ασκεί ο τοίχος στη δοκό στο σημείο επαφής, Α. α. Δx=0,36m, β. F=312,4Ν, εφθ=0,0642, θ η γωνία που σχηματίζει η F με τη δοκό. Α2.18 Ομογενής δοκός ΑΔ=λ, βάρους w=30ν στηρίζεται σε κατακόρυφο τοίχο με άρθρωση Α και διατηρείται οριζόντια με σχοινί ΟΓ μήκους (ΟΓ)=2(ΟΑ) το οποίο στηρίζεται σε σημείο Ο του τοίχου. Το σημείο Γ στο οποίο δένεται στη δοκό απέχει από το σημείο Α απόσταση (ΑΓ)=3λ/4, ενώ στο άκρο Δ κρέμεται σώμα βάρους w 1 =60Ν. Να υπολογιστούν οι δυνάμεις που ασκούνται από το σχοινί, F 1 και από την άρθρωση, F 2. F 1 =200N, F 2 =173,5 N, εφφ=0,0578 Ν.ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ 76

77 Α2.19 Ομογενής ράβδος ΑΓ, βάρους w=100ν, μήκους λ=4m στηρίζεται με τη βοήθεια άρθρωσης Α και σχοινιού ΟΓ όπως φαίνεται στο σχήμα. Δίνονται ότι φ=60 0 και ότι το όριο θραύσης του σχοινιού είναι 200Ν. Να βρεθεί η μέγιστη απόσταση x από το άκρο Α στο οποίο πρέπει να ασκήσουμε μια κατακόρυφη δύναμη F=80N, ώστε να μη σπάσει το σχοινί. x=2,5m Α2.20 Η ομογενής ράβδος ΑΓ έχει βάρος w 1 =40Ν και ισορροπεί όπως φαίνεται στο σχήμα. Το ένα άκρο Γ φέρει βάρος w=40ν και στηρίζεται με τη βοήθεια νήματος, ενώ το άλλο άκρο Γ συνδέεται με τον τοίχο μέσω άρθρωσης. Δίνεται ΑΒ=ΒΓ. Να βρεθούν: α. Η τάση του νήματος, Τ. β. Η δύναμη που ασκεί η άρθρωση. α. Τ=60Ν, β.f=100n, εφθ=4/3 Α2.21 Η ομογενής ράβδος ΑΔ, μήκους λ=6m και βάρους w=100ν ισορροπεί σε πλάγια θέση που σχηματίζει γωνία φ=60 0 με το οριζόντιο επίπεδο, όπως φαίνεται στο σχήμα. Η ράβδος φέρει στο άκρο Δ, φορτίο w 2 = 50Ν και στο άλλο άκρο Α, φορτίο w 1 και ισορροπεί κρεμασμένη από το σημείο Γ που βρίσκεται δεξιά από το κέντρο της Κ κατά ΚΓ=1m. α. Να βρεθεί η τάση του νήματος από το οποίο κρέμεται η ράβδος. β. Να βρεθεί το φορτίο, βάρους w 1. α. T=150N, β. w 1 =0 Α2.22 Η ομογενής δοκός ΑΓ μήκους λ=4m και βάρους w=100ν στηρίζεται στο ένα άκρο της, Α, σε κατακόρυφο τοίχο μέσω μιας άρθρωσης, ενώ το άλλο άκρο, Γ, είναι δεμένο με νήμα τάσης Τ=400Ν. Παιδί βάρους w 1 =300Ν στέκεται στη δοκό σε απόσταση x=αδ από την άρθρωση, ενώ η γωνία φ είναι α. Πόση είναι η δύναμη, F, που ασκεί η άρθρωση στη δοκό; β. Πόση είναι η απόσταση AΔ=x; α. F=400N, θ=30 0, β. x=2m Α2.23 Η μεταλλική δοκός ΑΒ, μήκους λ δεν είναι ομογενής και έτσι το βάρος της w=30ν ασκείται στο σημείο Κ το οποίο απέχει απόσταση λ/3 από το άκρο της Β. Η ράβδος στο άκρο της Α αρθρώνεται σε κατακόρυφο τοίχο, ενώ με το άλλο άκρο της Β συνδέεται μέσω τεντωμένου νήματος σε άλλο σταθερό σημείο. Δίνεται φ=45 0. Να υπολογιστούν: α. Η τάση του νήματος, Τ. β. Το μέτρο της δύναμης F που ασκεί η άρθρωση στη ράβδο. α.τ=20ν, β. F=36N Ν.ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ 77

78 Α2.24 Το πάνω άκρο Γ της ομογενούς ράβδου ΑΓ δένεται από κατακόρυφο τοίχο με σχοινί ΟΓ και το κάτω άκρο Α στηρίζεται σε άρθρωση πάνω στον ίδιο τοίχο. Αν το βάρος της ράβδου είναι w=20ν και οι γωνίες φ=30 0 να υπολογιστούν : α. Το μέτρο της τάσης, Τ, του σχοινιού. β. Το μέτρο της δύναμης, F, που ασκεί η άρθρωση πάνω στη ράβδο. α. Τ= 10Ν, β. F=17,3 Ν Α2.25 Ομογενής αβαρής δοκός ΑΓ, μήκους λ=4m στηρίζεται με το άκρο Α σε εγκοπή κατακόρυφου τοίχου και είναι κρεμασμένη από το μέσον της Μ με σχοινί ΟΜ το οποίο είναι δεμένο σταθερά σε σημείο Ο του ίδιου τοίχου, έτσι ώστε η γωνία ΟΑ Μ να ισούται με φ=60 0. Στο άκρο Γ είναι προσαρμοσμένο σώμα βάρους w =50Ν, έτσι ώστε Γ και Ο να βρίσκονται στο ίδιο ύψος. α. Πόσο είναι το μήκος του σχοινιού, ΟΜ. β. Πόση είναι η τάση του σχοινιού και η αντίδραση του τοίχου; α. 2m, β. 100Ν, 50 3Ν Α2.26 Ομογενής δοκός βάρους w=60ν στηρίζεται με άρθρωση Α σε κατακόρυφο τοίχο, ενώ στο άλλο άκρο της Γ είναι δεμένη με σχοινί ΟΓ, το άκρο Ο του οποίου είναι στερεωμένο στον ίδιο τοίχο, όπως φαίνεται στο σχήμα. Η ράβδος ισορροπεί έτσι ώστε οι γωνίες που σχηματίζονται να είναι φ=30 0 και θ=60 0. Να υπολογιστούν: α. Η δύναμη F 1 που ασκείται από την άρθρωση στη δοκό. β. Η δύναμη F 2 που τεντώνει το σχοινί. γ. Να αποδειχθεί ότι και οι τρεις δυνάμεις που ασκούνται στη ράβδο διέρχονται από το ίδιο σημείο. α. F =30 N, ω=60 0 ως προς τον τοίχο, β. F 2 =30 3N Α2.27 Η ομογενής ράβδος μήκους λ και βάρους w=100ν ισορροπεί με τη βοήθεια μιας άρθρωσης στο άκρο Α και ενός συρματόσχοινου ΒΓ που είναι δεμένο στο οριζόντιο έδαφος. Στο άκρο Β η ράβδος φέρει φορτίο βάρους επίσης w. Η ράβδος ισορροπεί έτσι ώστε οι γωνίες που σχηματίζονται να είναι,φ=45 0 και θ=30 0, αντιστοίχως. Να υπολογιστεί η τάση, Τ, του συρματόσχοινου, ΒΓ. Δίνονται 2=1,41, 6=2,45 Τ=407Ν Ν.ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ 78

79 Α2.28 Το κιβώτιο που φαίνεται στο σχήμα έχει μήκος λ=3m, ύψος d= 3m και βάρος w. Το κιβώτιο κρέμεται με τη βοήθεια δύο καλωδίων από τα σημεία Α και Δ που του ασκούν κατακόρυφες δυνάμεις F 1, F 2. Nα υπολογιστούν οι δύο δυνάμεις F 1, F 2 σε συνάρτηση με το βάρος w, αν η ακμή του μήκους του κιβωτίου σχηματίζει γωνία φ=30 0 με το οριζόντιο επίπεδο.f 1 =2w/3, F 2 =w/3 Α2.29 Ομογενής πόρτα πλάτους d=0,8m και βάρους w=60ν στηρίζεται σε δύο μεντεσέδες οι οποίοι απέχουν μεταξύ τους απόσταση AΓ=1,2m. Οι μεντεσέδες απέχουν ίσες αποστάσεις από την πάνω και την κάτω πλευρά της πόρτας και ο καθένας τους κρατάει το μισό βάρος της πόρτας. Να υπολογιστούν: α. Οι οριζόντιες δυνάμεις που ασκούν οι μεντεσέδες στην πόρτα. β. Τα μέτρα των δυνάμεων που ασκούν οι δύο μεντεσέδες στην πόρτα. α. F Γχ =20Ν, F Αχ = 20Ν, β. F 1 = F 2 =36,06Ν 2.30 Η ομογενής πόρτα του σχήματος έχει διαστάσεις ΑΒ=2m, ΑΔ=2 3m και βάρος w=400ν. Η πόρτα ισορροπεί με τη βοήθεια δύο μεντεσέδων στα σημεία Α και Β και ενός καλωδίου που είναι δεμένο στο σημείο, Δ και σχηματίζει γωνία φ=30 0 με την πλευρά ΑΔ της πόρτας. Η δύναμη F 1 που ασκεί η άρθρωση Α είναι κατακόρυφη, ενώ η δύναμη F 2 που ασκεί η άρθρωση, Β, είναι οριζόντια. Να υπολογιστούν: α. Η τάση, Τ, του καλωδίου. β. Οι δυνάμεις των αρθρώσεων F 1, F 2. Α2.31 Η ράβδος ΑΓ που φαίνεται στο σχήμα αποτελείται από δύο ομογενή και ίδιων διαστάσεων τμήματα, τα οποία αποτελούνται από διαφορετικά υλικά. Το τμήμα ΑΚ έχει πυκνότητα d 1 =d ενώ το άλλο τμήμα, ΚΓ, πυκνότητα d 2 =2d. Το συνολικό βάρος της είναι 300Ν και το μήκος της λ=4m. Η ράβδος ισορροπεί ενώ σχηματίζει γωνιά φ=30 0 με τον ορίζοντα. Η ισορροπία της επιτυγχάνεται με τη βοήθεια μιας άρθρωσης στο άκρο Γ και ενός νήματος στο άκρο, Α, το οποίο συνδέεται με φορτίο, βάρους w, μέσω της σταθερής και ακίνητης τροχαλίας. Το νήμα αυτό έχει κατεύθυνση κάθετη στο μήκος της ράβδου. Να υπολογιστούν: α. Το βάρος, w. β. Το μέτρο της οριζόντιας συνιστώσας της δύναμης, F, που ασκεί η άρθρωση στη ράβδο. α.τ=200ν, β. F 1 =300N, F 2 =100 3N Ν.ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ 79

80 α. w=62,5ν, β. F x =31,25 3Ν Α2.32 Κυλινδρικό ομογενές βαρέλι διαμέτρου βάσης 1,2m και βάρους w=800ν βρίσκεται σε οριζόντιο επίπεδο και στηρίζεται σ αυτό με την κυλινδρική του επιφάνεια. Να υπολογιστεί η ελάχιστη οριζόντια δύναμη που πρέπει να ασκηθεί στο βαρέλι ώστε αυτό να ανέβει ένα σκαλοπάτι ύψους h=0,12m,αν το σημείο εφαρμογής της δύναμης είναι: α. Στο κέντρο Κ. β. Στο ανώτατο σημείο Α. α. F K = 600Ν, β. F A =266,7Ν Α2.33 Η ομογενής σφαίρα βάρους w=100ν ακτίνας R=0,25m πρόκειται να ανέβει σκαλοπάτι ύψους h=0,1m με τη βοήθεια οριζόντιας δύναμης F που της ασκείται σε σημείο Α που απέχει απόσταση d=0,35m από το οριζόντιο δάπεδο. Η σφαίρα δεν ολισθαίνει στο σκαλοπάτι. α. Ποια είναι η ελάχιστη τιμή της δύναμης F ώστε η σφαίρα να χάσει την επαφή της με το δάπεδο; β. Πόσο είναι το μέτρο της δύναμης που δέχεται η σφαίρα από το σκαλοπάτι, όταν η F έχει την ελάχιστη τιμή του ερωτήματος α; α. F=80N, β. F =128,06N Α2.34 Μια ομογενής δοκός μήκους λ και βάρους w=60ν ισορροπεί μεταξύ ενός λείου κατακόρυφου τοίχου και του πατώματος. Η γωνία μεταξύ της δοκού και του πατώματος είναι φ=60 0. α. Πόση είναι η δύναμη που ασκεί ο τοίχος στη δοκό; β. Πόση είναι η οριζόντια και η κάθετη συνιστώσα της δύναμης που ασκεί το έδαφος στη δοκό; γ. Για ποιες τιμές του συντελεστή μέγιστης στατικής τριβής μεταξύ της δοκού και του πατώματος, μπορεί η δοκός να ισορροπεί σ αυτήν τη θέση; α. F 1 =10 3N, β. F 2x =10 3N, F 2y =60Ν, γ. μ ς > 3/6 Α2.35 Μια ομοιόμορφη σανίδα μήκους λ και βάρους w=100ν στηρίζεται με το ένα άκρο της σε κατακόρυφο τοίχο μετά του οποίου σχηματίζει γωνία φ=30 0 και με το άλλο άκρο της σε προεξοχή του εδάφους. Η κάθετη με την οριζόντια συνιστώσα της δύναμης F 2 που ασκεί το έδαφος στη σανίδα έχουν την αλγεβρική σχέση, F 2x = 3F 2y /4. Να υπολογιστούν η συνιστώσα F 2y και η οριζόντια και κάθετη συνιστώσα της δύναμης F 1 που ασκεί ο τοίχος στη σανίδα. F 2y =200Ν, F 1χ =50 3Ν, F 1y = 100N Ν.ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ 80

81 Α2.36 Μια ομοιόμορφη σκάλα, μήκους λ=4m, βάρους w=60ν στηρίζεται με το ένα άκρο της Α σε τελείως λείο κατακόρυφο τοίχο και με το άλλο της, Γ σε οριζόντιο τραχύ δάπεδο. Ο συντελεστής στατικής τριβής μεταξύ σκάλας και οριζοντίου δαπέδου είναι μ ς = 3/6 και η σκάλα ισορροπεί σχηματίζοντας γωνία φ=60 0 με το δάπεδο. Να υπολογιστούν: α. Το μέτρο της δύναμης που ασκεί ο κατακόρυφος τοίχος στη σκάλα. β. Το μέτρο της δύναμης που δέχεται η σκάλα από το δάπεδο. γ. Αν ένα μικρό παιδί, βάρους w 1 =400Ν αρχίσει να ανεβαίνει τη σκάλα σε πόση απόσταση από το άκρο Γ μπορεί να φτάσει χωρίς η σκάλα να αρχίσει να γλιστρά; α. F 1 =10 3N, β. F 2 =62,5N, γ. x<2m 2.37 Στην τροχαλία του σχήματος δίνονται η μάζα της τροχαλίας Μ=0,5kg, η μάζα του σώματος Σ 1, m 1 =2kg, του Σ 2 είμαι m 2 =1kg, η μικρή ακτίνα r=0,2m και η μεγάλη ακτίνα της τροχαλίας R=0,4m. To σύστημα ισορροπεί. Να υπολογιστούν: α. Η δύναμη F που ασκείται στο νήμα που είναι τυλιγμένο στο εξωτερικό αυλάκι και οι τάσεις των αβαρών νημάτων. β. Η δύναμη που ασκεί ο άξονας της τροχαλίας σε αυτή. Δίνεται g=10m/s 2. α. F=15N, T 1 =30N, T 2 =10N, β. 1450Ν 2.38 Το σύστημα του σχήματος ισορροπεί. Η ράβδος ΑΓ είναι οριζόντια και συνδέεται με τον κατακόρυφο τοίχο με άρθρωση. Οι μάζες των σωμάτων Σ 1 και Σ 2 είναι m 1 και m 2 =1kg, της τροχαλίας Μ 1 =2kg και της ράβδου ΑΓ, Μ 2 =2kg. Το μήκος της ράβδου είναι L=0,3m και η ακτίνα της τροχαλίας R=0,2m. Δίνεται g=10m/s 2. Να υπολογίσετε α. τις τάσεις και των τριών αβαρών νημάτων. β. τη μάζα m 1. γ. Τη δύναμη που ασκεί ο άξονας στην τροχαλία και τη δύναμη που ασκεί η άρθρωση στη ράβδο στο σημείο Α. α.10ν, 20Ν, 20Ν, β. m 1 =2kg, γ.60ν, 10Ν 2.39 Στο διπλανό σχήμα ασκούμε δύναμη F=40N και όλο το σύστημα ισορροπεί. Η μάζα του τροχού είναι m=10kg και η σταθερά του ελατηρίου k=400ν. Να υπολογιστούν: α. Η δύναμη της στατικής τριβής που ασκείται από το πάτωμα στον τροχό ώστε αυτός να μην περιστρέφεται. β. Η επιμήκυνση του ελατηρίου. α. Τ=F=40N, β. x=0,2m Ν.ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ 81

82 2.40 Ομογενής άκαμπτη ράβδος μήκος L=4m και μάζας Μ=3kg ισορροπεί σε οριζόντια θέση όπως φαίνεται στο σχήμα. Στο άκρο της Α υπάρχει ακλόνητη άρθρωση γύρω από την οποία η ράβδος μπορεί να περιστρέφεται χωρίς τριβές. Στο άλλο άκρο της Ζ υπάρχει σφαιρίδιο μάζας m1=0,6kg αμελητέων διαστάσεων. Ένα αβαρές και τεντωμένο νήμα ΔΓ συνδέει το σημείο Γ της ράβδου με σφαιρίδιο μάζας m2=1kg το οποίο είναι στερεωμένο στο ελεύθερο άκρο ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k=100ν/m. Το άλλο άκρο του ελατηρίου είναι ακλόνητο. Η απόσταση ΑΓ είναι 2,8m. Όλη η διάταξη βρίσκεται στο ίδιο κατακόρυφο επίπεδο. Δίνεται g=10m/s2. Να υπολογιστούν: α. η τάση του νήματος, και η δύναμη που ασκεί η άρθρωση στη ράβδο στο σημείο Α. β. η επιμήκυνση του ελατηρίου. α. Τ=30Ν, F=6N, β. x=0,4m Ν.ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ 82

83 3. Η ροπή αδράνειας (Ε) Ερωτήσεις Ε3.1 Να συμπληρωθούν τα κενά στις προτάσεις που ακολουθούν: α. Η ροπή αδράνειας υλικού σημείου μάζας, m, ως προς άξονα που απέχει απόσταση, r, από το σημείο αυτό ισούται με το γινόμενο, Ι=.. β. Ονομάζουμε ροπή αδράνειας ενός στερεού ως προς άξονα, το άθροισμα των γινομένων των στοιχειωδών.. από τις οποίες αποτελείται το σώμα επί τα..των αποστάσεων τους από τον άξονα περιστροφής. γ. Μονάδα μέτρησης της ροπής αδράνειας στο S.I. είναι το 1.. δ. Αν Ι cm η ροπή αδράνειας ενός σώματος μάζας Μ, ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας του, τότε, η ροπή αδράνειας ως προς άξονα που είναι παράλληλος και απέχει απόσταση d από τον πρώτο είναι ίση με το. της ροπής αδράνειας Ι cm και του γινομένου της..του σώματος επί το τετράγωνο της.. Ε3.2 Η ροπή αδράνειας ενός στερεού σώματος αποτελεί: α. Μέτρο αδράνειας του σώματος στη μεταβολή της κίνησης του κέντρου μάζας του. β. Σταθερά αναλογίας μεταξύ της συνισταμένης δύναμης που δέχεται το σώμα και της μάζας. γ. Μέτρο αδράνειας του σώματος στη μεταβολή της περιστροφικής του κίνησης. δ. Τίποτα από τα παραπάνω. Ε3.3 Η ροπή αδράνειας εξαρτάται από: α. Τη θέση του άξονα περιστροφής. β. Τη γωνιακή ταχύτητα περιστροφής. γ. Το σχήμα και τις διαστάσεις του σώματος. δ. Τη μάζα του σώματος. ε. Την κατανομή μάζας του σώματος. στ. Τη ροπή που ασκείται στο σώμα. Ποιες από τις προτάσεις αυτές είναι σωστές και ποιες λάθος; Ε3.4 Ποιες από τις προτάσεις που ακολουθούν και αναφέρονται στη ροπή αδράνειας είναι σωστές ή λανθασμένες; Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας. α. Η ροπή αδράνειας είναι μέγεθος που εξαρτάται μόνο από τη μάζα του σώματος. β. Ένα στερεό σώμα έχει άπειρες τιμές ροπής αδράνειας. γ. Η ροπή αδράνειας ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας του σώματος είναι μικρότερη από τη ροπή αδράνειας ως προς οποιοδήποτε άλλο παράλληλο προς αυτόν άξονα περιστροφής. δ. Ροπή αδράνειας έχει ένα σώμα μόνο όταν περιστρέφεται. ε. Μονάδα μέτρησης της ροπής αδράνειας στο S.I. είναι το 1kgm 2. Ε3.5 Η ροπή αδράνειας οποιουδήποτε στερεού σώματος το οποίο περιστρέφεται γύρω από σταθερό άξονα είναι: α. Ίση με το μηδέν, αν το σώμα δεν περιστρέφεται. β. Ίση με το μηδέν, αν το σώμα βρίσκεται εκτός πεδίου βαρύτητας. γ. Ίση με το μηδέν, αν ο άξονας περιστροφής διέρχεται από το κέντρο μάζας του. δ. Τίποτα από τα παραπάνω. 44 Ν.ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ 83

84 Ε3.6 Η ροπή αδράνειας ενός ομογενούς δίσκου ο οποίος περιστρέφεται γύρω από σταθερό άξονα είναι: α. Ίδια, ως προς οποιονδήποτε άξονα περιστροφής. β. Ίδια ως προς οποιονδήποτε άξονα περιστροφής που διέρχεται από το κέντρο μάζας του. γ. Μέγιστη ως προς άξονα περιστροφής που διέρχεται από το κέντρο μάζας του και είναι κάθετος στον δίσκο. δ. Ανεξάρτητη από το πάχος του δίσκου. Ε3.7 Υλικό σημείο μάζας m απέχει απόσταση r από τον άξονα περιστροφής του και έχει ροπή αδράνειας ως προς αυτόν ίση με Ι. Αν υποδιπλασιάσουμε την απόσταση, η ροπή αδράνειας, ως προς τον ίδιο άξονα, θα γίνει: α. Ι/4 β. 2Ι γ. 4Ι δ. Ι/2 Ε3.8 Υλικό σημείο μάζας m που απέχει από άξονα περιστροφής απόσταση λ 1 έχει ροπή αδράνειας Ι 1. Άλλο υλικό σημείο μάζας 8m έχει ως προς τον ίδιο άξονα ροπή αδράνειας Ι 2 =2Ι 1, θα απέχει από αυτόν απόσταση, λ 2, ίση με: α. λ 2 =2λ 1 β. λ 2 =λ 1 /2 γ. λ 2 =4λ 1 δ. λ 2 =λ 1 /4 Ε3.9 Ποιες από τις προτάσεις που ακολουθούν είναι σωστές και ποιες λανθασμένες. Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας. α. Δύο ομογενείς συμπαγείς κύλινδροι, ίδιας μάζας έχουν την ίδια ροπή αδράνειας ως προς τον κύριο άξονα συμμετρίας τους. β. Η ροπή αδράνειας μιας ράβδου ως προς άξονα που διέρχεται από το ένα άκρο της είναι μεγαλύτερη της ροπής αδράνειας της ίδιας ράβδου ως προς παράλληλο άξονα που περνάει από το κέντρο μάζας της. γ. Η ροπή αδράνειας μιας σφαίρας ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο της εξαρτάται μόνο από τη μάζα και την ακτίνα της. δ. Οι ροπές αδράνειας δύο κυλίνδρων, ίδιας ακτίνας και ίδιας μάζας με διαφορετικά μήκη, που αποτελούνται από το ίδιο ομογενές υλικό, ως προς τους κύριους άξονες συμμετρίας τους, είναι μεταξύ τους ίσες. Ε3.10 Η ομογενής συμπαγής σφαίρα έχει ροπή αδράνειας ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο της Ι=2mR 2 /5. Δύο τέτοιες σφαίρες, ίδιας ακτίνας, αποτελούνται από διαφορετικά υλικά που έχουν πυκνότητες, d 1, d 2 με d 2 =2d 1. Ο λόγος των ροπών αδράνειας ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο τους είναι: α. Ι 1 /Ι 2 =1/2 β. Ι 1 /Ι 2 =1 γ. Ι 1 /Ι 2 =2 Ποια είναι η σωστή απάντηση; Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. Ε3.11 Η ροπή αδράνειας ενός μαθητή ως προς τον κύριο κατακόρυφο άξονα του σώματός του είναι: α. Μεγαλύτερη, αν ο μαθητής έχει τα χέρια του σε έκταση παρά σε ανάταση. β. Μικρότερη, αν ο μαθητής έχει τα χέρια του σε έκταση παρά σε ανάταση. γ. Τίποτα από τα παραπάνω. Ποια είναι η σωστή απάντηση; Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. 45 Ν.ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ 84

85 Ε3.12 Αθλητής είναι όρθιος και κρατάει σε κάθε χέρι του από ένα ίδιο αλτήρα. Ο κάθε αλτήρας θεωρείται ως υλικό σημείο. Η ροπή αδράνειας ως προς τον κύριο κατακόρυφο άξονα του σώματός του είναι μεγαλύτερη, αν έχει τα χέρια του: α. Σε πρόταση. β. Σε έκταση. γ. Είναι ίδια και στις δύο περιπτώσεις. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. Ε3.13 Δύο ομογενείς κυκλικοί δίσκοι, ίδιας μάζας και ίδιου πάχους αποτελούνται από μέταλλα διαφορετικών πυκνοτήτων. Ο δίσκος με τη μεγαλύτερη ροπή αδράνειας, ως προς άξονα που περνάει από το κέντρο του και είναι κάθετος σ αυτόν, είναι αυτός με: α. Τη μεγαλύτερη πυκνότητα. β. Τη μικρότερη πυκνότητα. γ. Δεν μπορούμε να απαντήσουμε. δ. Η ροπή αδράνειας είναι ανεξάρτητη από την πυκνότητα του υλικού. Δίνεται ότι ο κυκλικός δίσκος μάζας, m, και ακτίνας, R, έχει ροπή αδράνειας ως προς άξονα που περνάει από το κέντρο του και είναι κάθετος σ αυτόν, Ι=mR 2 /2. Ε3.14 Δύο σημειακές μάζες m, απέχουν απόσταση L, συνδέονται με αβαρή ράβδο και ο άξονας περιστροφής τους διέρχεται από το μέσον της ράβδου και είναι κάθετος σ αυτήν. Η ροπή αδράνειας του συστήματος ως προς τον άξονα αυτόν είναι ίση με Ι. Αν πλησιάσουμε τις δύο μάζες κατά την ίδια απόσταση, ως προς τον άξονα περιστροφής, ώστε η μεταξύ τους απόσταση να γίνει L/2, τότε η ροπή αδράνειας του συστήματος ως προς τον ίδιο άξονα, θα είναι: α. 4Ι β. Ι/2 γ. Ι/8 δ. Ι/4 Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. Ε3.15 Μια ομογενής λεπτή ράβδος μήκους L και μάζας m έχει ροπή αδράνειας ως προς άξονα που διέρχεται από το μέσον της και είναι κάθετος σ αυτήν, Ι ο =ml 2 /12. Κάμπτουμε τη ράβδο γύρω από το μέσον Ο κατά 90 0 ώστε να σχηματίσει ορθή γωνία με ίσα σκέλη και κορυφή το Ο. Η ροπή αδράνειας, Ι, της ράβδου ως προς τον ίδιο άξονα θα είναι: α. Ι=Ι ο β. Ι>Ι ο γ. Ι< Ι ο Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. Ε3.16 Αβαρής ράβδος φέρει δύο σημειακές μάζες m σε απόσταση L από το μέσον της Ο και περιστρέφεται γύρω από άξονα που είναι κάθετος σ αυτήν και διέρχεται από το Ο, με ροπή αδράνειας Ι Ο. Αν απομακρύνουμε τη μία μάζα σε απόσταση 2L από τον άξονα περιστροφής, η ροπή αδράνειας του συστήματος ως προς τον ίδιο άξονα θα γίνει; α. Ι=2Ι Ο β. Ι=Ι Ο /2. γ. Ι=2,5Ι Ο δ. Ι=4Ι Ο Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. 46 Ν.ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ 85

86 Ε3.17 Δύο συμπαγείς και ομογενείς σφαίρες ίδιας πυκνότητας με ακτίνες R 1, R 2 με R 2 =2R 1 έχουν ροπές αδράνειας ως προς τον κύριο άξονα συμμετρίας τους. Ο λόγος Ι 1 /Ι 2 ισούται με: α. 1/4 β. 1/32 γ. 8 δ. 16 Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. Ε3.18 Η ροπή αδράνειας κυκλικού δακτυλίου μάζας m, ακτίνας R, του οποίου όλη η μάζα θεωρείται συγκεντρωμένη στην περιφέρεια, ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο του και είναι κάθετος στο επίπεδο αυτού είναι: α. Ι=mR 2 β. Ι=0 γ. Ι=mR 2 /2 δ. Ι=mR 2 /3 Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. Ε3.19 Ράβδος μάζας m μήκους L περιστρέφεται γύρω από άξονα που διέρχεται από το ένα της άκρο, Α, και είναι κάθετος σε αυτήν. Η ροπή αδράνειας ως προς τον άξονα θα είναι: α. Ι=mL 2 /12 β. Ι=0 γ. Ι=mL 2 /2 δ. Ι=mL 2 /3 Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. Δίνεται η ροπή αδράνειας ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο της και είναι κάθετος σ αυτήν, Ι cm =ml 2 /12. Ε3.20 Δύο ομογενείς σφαίρες (1) και (2) ίσων μαζών και ακτίνων είναι η μεν σφαίρα (1) συμπαγής η δε σφαίρα (2) κούφια. Για τις ροπές αδράνειας των σφαιρών ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο τους ισχύει: α. Ι 1 >Ι 2 β. Ι 1 =Ι 2 γ. Ι 1 <Ι 2 Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας χωρίς να κάνετε χρήση μαθηματικών σχέσεων που δίνουν τις ροπές αδράνειας δύο τέτοιων σφαιρών. Ε3.21Οι δύο ομογενείς ράβδου του σχήματος έχουν ίσες μάζες m και μήκη L. Το σημείο Μ είναι μέσον του μήκους ΑΒ. Η ροπή αδράνειας του συστήματος ως προς τον άξονα που διέρχεται από το άκρο Ο και είναι κάθετος στη ράβδο είναι: α. Ι=13mL 2 /12 β. Ι=5mL 2 /12 γ. 17mL 2 /12 Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. Δίνεται η ροπή αδράνειας ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο της και είναι κάθετος σ αυτήν, Ι cm =ml 2 / Ν.ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ 86

87 (Α) Ασκήσεις και προβλήματα Α3.1 Τρεις σημειακές μάζες m, 2m και 3m είναι τοποθετημένες αντιστοίχως στις τρεις κορυφές Α, Β, Γ ισοπλεύρου τριγώνου ΑΒΓ, πλευράς r. i.να υπολογιστεί η ροπή αδράνειας του συστήματος ως προς άξονα που είναι κάθετος στο επίπεδο του τριγώνου και διέρχεται από: α. Το σημείο Α. β. Το σημείο Β. γ. Το κέντρο του τριγώνου. ii.να υπολογιστεί η ροπή αδράνειας του συστήματος ως προς άξονα που ταυτίζεται με τη πλευρά ΑΒ του τριγώνου. i. α. 5mr 2, β. 4mr 2, γ. 2mr 2 ii. 9mr 2 /4 Α3.2 Οι τέσσερις σημειακές μάζες m βρίσκονται στα άκρα Α, Β, Γ, Δ των δύο αβαρών ράβδων και απέχουν από το κοινό τους μέσον Ο ίσες αποστάσεις, L. Να υπολογιστεί η ροπή αδράνειας του συστήματος ως προς άξονα που είναι κάθετος στο επίπεδο της σελίδας και διέρχεται από: α. Το κέντρο, Ο. β. Το ένα άκρο, Α. α. 4mL 2, β. 8mL 2 Α3.3 Η μάζα μιας κυκλικής στεφάνης μάζας, m, ακτίνας, r, θεωρείται ομοιόμορφα κατανεμημένη στην περιφέρεια. Να υπολογιστεί η ροπή αδράνειας ως προς άξονα που είναι κάθετος στο επίπεδο της στεφάνης και διέρχεται από: α. Το κέντρο της. β. Το μέσον μιας ακτίνας της. γ. Ένα σημείο της περιφέρειας. α. Ι cm =mr 2, β. Ι=5mr 2 /4, γ. Ι=2mr 2 Α3.4 Μια ομογενής ράβδος μήκους λ, μάζας m έχει ροπή αδράνειας Ι cm =ml 2 /12 ως προς άξονα zz που είναι κάθετος σ αυτήν και διέρχεται από το κέντρο μάζας της. Να υπολογιστεί η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς άξονα που είναι παράλληλος προς τον zz και διέρχεται από: α. Το ένα άκρο της, Ο. β. Σημείο Ο που βρίσκεται εκτός αυτής, στην προέκταση του μήκους της και απέχει απόσταση L/3 από το άκρο της, Ο. α. ml 2 /3, β. 7mL 2 /9 3.5 Ομογενής ράβδος ΟΑ, μάζας m και μήκους λ έχει προσαρμοσμένη στο άκρο της Α σημειακή μάζα m 1 =m. Να υπολογιστεί η ροπή αδράνειας του συστήματος ως προς άξονα που διέρχεται από το ένα άκρο της Ο και είναι κάθετος σ αυτήν. Δίνεται η ροπή αδράνειας ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο της και είναι κάθετος σ αυτήν, Ι cm =mλ 2 /12. Ι=4mλ 2 /3 48 Ν.ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ 87

88 Α3.6 Ομογενής και συμπαγής σφαίρα έχει ροπή αδράνειας ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο της, Ι cm =2mR 2 /5, όπου m η μάζα της και R η ακτίνα της. Να υπολογιστεί η ροπή αδράνειας της σφαίρας ως προς άξονα που εφάπτεται σ αυτήν. Ι=7mR 2 /5 Α3.7 Μια ομογενής πόρτα μάζας Μ, πλάτους d περιστρέφεται γύρω από άξονα zz ο οποίος ταυτίζεται με τη μια κατακόρυφη πλευρά της. Να υπολογιστεί η ροπή αδράνειας της πόρτας ως προς τον άξονα αυτόν. Δίνεται η ροπή αδράνειας λεπτής ράβδου μάζας m, μήκους L, ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο της και είναι κάθετος σ αυτήν, ίση με ml 2 /12. Ι=Μd 2 /3 Α3.8 Η λεπτή ομογενής και ισοπαχής ράβδος ΑΒ, μήκους, L, και μάζας, m, έχει ροπή αδράνειας ως προς άξονα που διέρχεται από το μέσον της Ο και είναι κάθετος σ αυτήν ίση με Ι cm =ml 2 /12. Η ράβδος φέρει στα δύο άκρα της σημειακές μάζες ίσες με m. Να υπολογιστεί η ροπή αδράνειας του συστήματος ως προς τους άξονες: α. x, που ταυτίζεται με τη ράβδο. β. y, που διέρχεται από το Ο και είναι κάθετος στην ράβδο. γ. z, που είναι παράλληλος προς τη ράβδο και απέχει από αυτήν απόσταση L/3. α. Ι x =0, β. Ι y =7mL 2 /12, γ. Ι z =ml 2 /3 Α3.9 Ο ομογενής ισοπαχής τροχός μάζας m και ακτίνας R έχει ροπή αδράνειας Ι cm =mr 2 /2 ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας του και είναι κάθετος στο επίπεδό του. Επάνω στο δίσκο είναι στερεωμένη σημειακή μάζα, m =m/2 σε απόσταση r=r/2 από τον άξονα περιστροφής, zz. Να υπολογιστεί η ροπή αδράνειας του συστήματος ως προς: α. Τον άξονα περιστροφής, zz. β. Τον άξονα περιστροφής, yy που διέρχεται από το σημείο Α της περιφέρειας και είναι κάθετος στο επίπεδο του δίσκου, με δεδομένο ότι η μάζα, m απέχει απόσταση 3R/2 από το σημείο, Α. α. 5mR 2 /8, β. 21mR 2 /8 Α3.10 Η ισοσκελής ορθογώνια γωνιά του σχήματος έχει σκέλη μάζας, m, και μήκους, L και αποτελείται από ομογενείς και ισοπαχείς ράβδους. Η ροπή αδράνειας της κάθε ράβδου ως προς άξονα που διέρχεται από το μέσον της και είναι κάθετος στο μήκος της είναι Ι cm =ml 2 /12. Να υπολογιστεί η ροπή αδράνειας του συστήματος ως προς άξονα περιστροφής που είναι κάθετος στο επίπεδο της σελίδας και διέρχεται από: α. Το σημείο, Ο. β. Το σημείο, Α. α. 2mL 2 /3, β. 5mL 2 /3 49 Ν.ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ 88

89 Α3.11 Τροχός άμαξας αποτελείται από στεφάνη η οποία έχει ομοιόμορφα κατανεμημένη μάζα 4m και ακτίνα λ. Ο τροχός έχει 4 ακτίνες μάζας m η κάθε μια και μήκους λ. Να υπολογιστεί η ροπή αδράνειας του τροχού ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο του και είναι κάθετος σ αυτόν. Δίνεται η ροπή αδράνειας λεπτής ράβδου μάζας m, μήκους λ, ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο της και είναι κάθετος σ αυτήν, ίση με mλ 2 /12. I O =16mλ 2 /3 Α3.12 Το σύστημα του σχήματος αποτελείται από μα ισοπαχή και ομογενής ράβδο, ΑΒ, μήκους, λ, μάζας, m, και ένα ισοπαχή και ομογενή δίσκο ίσης μάζας, m και ακτίνας R=λ/3. Η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς άξονα που διέρχεται από το μέσον της και είναι κάθετος στο μήκος της είναι Ι cm =mλ 2 /12, ενώ η ροπή αδράνειας του δίσκου ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρου του και είναι κάθετος στο επίπεδό του είναι Ι =mr Ο 2 /2. Nα υπολογιστεί η ροπή αδράνειας του συστήματος ως προς άξονα που είναι κάθετος στο επίπεδο της σελίδας και διέρχεται από: α. Το άκρο, Α. β. Το κέντρο, Ο, του δίσκου. α. 13mλ 2 /6, β. 5mλ 2 /6 Α3.13 Η ορθογώνια λεπτή ομογενής πλάκα του σχήματος έχει μάζα m=30kg, διαστάσεις α=3m και β=5m και μπορεί να περιστρέφεται γύρω από τον άξονα, y, που περνάει από το κέντρο μάζα της. Η ροπή αδράνειας της πλάκας ως προς τον άξονα y δίνεται από τη σχέση Ι cm =m(α 2 +β 2 )/12. Να υπολογιστεί η ροπή αδράνειας ως προς τον άξονα, z, που διέρχεται από τη μια κορυφή της και είναι κάθετος στο επίπεδό της. Ι=360kgm 2 Α3.14 Ομογενής ισοπαχής δίσκος μάζας m έχει ακτίνα R και ροπή αδράνειας ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο και είναι κάθετος σ αυτόν είναι Ι Ο =mr 2 /2. Αφαιρούμε από το δίσκο ένα κυκλικό τμήμα ακτίνας R/2 όπως φαίνεται στο σχήμα. Να υπολογιστεί η ροπή αδράνειας του τμήματος που απομένει ως προς άξονα που διέρχεται από το σημείο, Α και είναι κάθετος στο επίπεδο του δίσκου. Ι=45mR 2 /32 50 Ν.ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ 89

90 4. O θεμελιώδης νόμος της στροφικής κίνησης (E) Ερωτήσεις Ε4.1 Να συμπληρώσετε τα κενά στις προτάσεις που ακολουθούν: α. Η ροπή αδράνειας εκφράζει στην περιστροφή ότι εκφράζει η.στη μεταφορική κίνηση, δηλαδή την..του σώματος στην.κίνηση. β. Το αλγεβρικό άθροισμα των ροπών που δρουν πάνω σ ένα στερεό σώμα το οποίο περιστρέφεται γύρω από άξονα ισούται με το γινόμενο της... (υπολογισμένης ως προς τον άξονα περιστροφής) και της επιτάχυνσης του σώματος. γ. Αν το αλγεβρικό άθροισμα των ροπών είναι.το σώμα διατηρεί την προηγούμενη περιστροφική του κατάσταση. δ. Ο θεμελιώδης νόμος της στροφικής κίνησης ισχύει και στην περίπτωση των σύνθετων κινήσεων αρκεί ο άξονας γύρω από τον οποίο περιστρέφεται το σώμα να διέρχεται από το του, να είναι άξονας και να μην αλλάζει. κατά τη διάρκεια της κίνησης. Ε4.2 Στερεό σώμα περιστρέφεται γύρω από σταθερό άξονα. Η γωνιακή επιτάχυνση του σώματος είναι σταθερή, αν στο σώμα: α. Ασκούνται σταθερές δυνάμεις. β. Δεν ασκούνται ροπές. γ. Ασκούνται σταθερές ροπές. δ. Ασκούνται ροπές. Ε4.3 Στερεό σώμα περιστρέφεται γύρω από σταθερό άξονα. Η γωνιακή επιτάχυνση του σώματος είναι: α. Ανάλογη της μάζας του σώματος. β. Ανάλογη με τη συνολική ροπή που ασκείται στο σώμα. γ. Αντιστρόφως ανάλογη με τη συνισταμένη δύναμη που ασκείται στο σώμα. δ. Ανάλογη με τη γωνιακή ταχύτητα του σώματος. Ε4.4 Στερεό σώμα περιστρέφεται γύρω από σταθερό άξονα υπό την επίδραση σταθερής ροπής. Η γωνιακή επιτάχυνση του σώματος είναι: α. Αντιστρόφως ανάλογη με την ασκούμενη ροπή. β. Ανάλογη με το χρόνο δράσης της ροπής. γ. Ανεξάρτητη από τη μάζα του σώματος. δ. Αντιστρόφως ανάλογη της ροπής αδράνειας του σώματος, ως προς τον ίδιο άξονα. Ε4.5 Στερεό σώμα στρέφεται με σταθερή γωνιακή ταχύτητα γύρω από ακλόνητο άξονα. Στην περίπτωση αυτή: α. Η ροπή αδράνειας του σώματος είναι μηδέν. β. Το σώμα δέχεται σταθερή συνολική ροπή διάφορη του μηδενός. γ. Η συνολική ροπή που δέχεται το σώμα είναι μηδέν. δ. Ο άξονας περιστροφής πρέπει να διέρχεται από το κέντρο μάζας του. ε. Τίποτα από τα παραπάνω. Ν.ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ 90

91 Ε4.6 Ποιες από τις προτάσεις που ακολουθούν και αναφέρονται σε σώμα που κάνει περιστροφική κίνηση, γύρω από ακλόνητο άξονα είναι σωστές ή λανθασμένες. Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. α. Αν η συνολική ροπή που ασκείται στο σώμα ως προς τον άξονα περιστροφής του, μηδενιστεί, τότε η περιστροφή του σώματος θα σταματήσει. β. Η γωνιακή επιτάχυνση που αποκτάει το σώμα είναι ανάλογη του αλγεβρικού αθροίσματος των ροπών που δρουν στο σώμα ως προς τον ίδιο άξονα. γ. Αν το διάνυσμα της συνισταμένης ροπής και της γωνιακής ταχύτητας του σώματος έχουν την ίδια κατεύθυνση, τότε η γωνιακή ταχύτητα αυξάνεται. δ. Αν το αλγεβρικό άθροισμα των ροπών ως προς τον άξονα περιστροφής του μειωθεί, τότε το σώμα επιβραδύνεται. ε. Καθώς το σώμα περιστρέφεται είναι απαραίτητο να δρα πάνω του κάποια ροπή. στ. Αν η ασκούμενη ροπή είναι σταθερή, η μάζα είναι ο μόνος παράγοντας που καθορίζει την τιμή της γωνιακής επιτάχυνσης που θα αποκτήσει. ζ. Αν η συνολική ροπή είναι σταθερή η γωνιακή ταχύτητα του σώματος μεταβάλλεται ανάλογα με το χρόνο. Ε4.7 Δύο τροχοί, Α και Β, εκτελούν στροφικές κινήσεις γύρω από άξονα που περνάει από το κέντρο τους και είναι κάθετος σ αυτούς, υπό την επίδραση ίσων ροπών. Οι γωνιακές τους ταχύτητες μεταβάλλονται μέσα σε χρονικό διάστημα, t 1 με τον τρόπο που φαίνεται στο διάγραμμα. Για τις ροπές αδράνειας των τροχών, ως προς τον ίδιο άξονα, ισχύει: α. Ι Α =Ι Β β. Ι Α >Ι Β γ. Ι Α <Ι Β Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. Ε4.8 Μια σφαίρα περιστρέφεται με σταθερή γωνιακή επιτάχυνση γύρω από σταθερό άξονα που διέρχεται από το κέντρο της, υπό την επίδραση σταθερής συνισταμένης ροπής. Αν η ροπή υποδιπλασιαστεί μέσα σε κάποιο χρονικό διάστημα, Δt, τότε και αφού τελειώσει η μεταβολή της ροπής, το σώμα, θα: α. Επιβραδύνεται ομαλά μέχρι να σταματήσει. β. Διατηρεί την ταχύτητα που είχε πριν αρχίσει η μείωση της ροπής. γ. Περιστρέφεται με τη μισή γωνιακή επιτάχυνση. δ. Περιστρέφεται με τη μισή γωνιακή ταχύτητα που είχε πριν αρχίσει η μείωση της ροπής. Ε4.9 Μια σφαίρα περιστρέφεται γύρω από σταθερό άξονα που διέρχεται από το κέντρο της, υπό την επίδραση σταθερής συνισταμένης ροπής. Αν η ροπή μηδενιστεί μέσα σε κάποιο χρονικό διάστημα, Δt, τότε η σφαίρα μετά το μηδενισμό της ροπής: α. Επιβραδύνεται και σταματάει. β. Αποκτάει σταθερή γωνιακή ταχύτητα. γ. Κάνει ομαλά επιταχυνόμενη στροφική κίνηση. δ. Τίποτα από τα παραπάνω. Ε4.10 Η σχέση ΣF=0, όταν ισχύει για ένα στερεό σώμα, εξασφαλίζει ότι: α. Το σώμα δεν περιστρέφεται. β. Το σώμα σίγουρα ισορροπεί. γ. Το σώμα περιστρέφεται με σταθερή γωνιακή ταχύτητα. δ. Το σώμα μπορεί να ισορροπεί ή να κινείται ευθύγραμμα και ομαλά. Ν.ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ 91

92 Ε4.11 Η σχέση Στ=0, όταν ισχύει για ένα στερεό σώμα, εξασφαλίζει ότι: α. Το σώμα ισορροπεί. β. Το σώμα δεν περιστρέφεται. γ. Το σώμα περιστρέφεται με σταθερή γωνιακή ταχύτητα ή δεν περιστρέφεται. δ. Το σώμα μπορεί να ισορροπεί ή να κινείται ευθύγραμμα και ομαλά. Ε4.12 Σε ένα στερεό σώμα που ήταν αρχικά ακίνητο ασκούνται πολλές ομοεπίπεδες δυνάμεις. Αν ΣF είναι η συνισταμένη των δυνάμεων και Στ είναι το αλγεβρικό άθροισμα των ροπών ως προς οποιοδήποτε σημείο, ποιες από τις προτάσεις που ακολουθούν είναι σωστές; α. Αν ΣF=0, τότε το σώμα μένει ακίνητο. β. Αν Στ=0, τότε το σώμα δεν περιστρέφεται αλλά μπορεί να μεταφέρεται. γ. Αν ΣF=0 και Στ=0, τότε το σώμα ισορροπεί. δ. Αν ΣF 0 και Στ 0, τότε το σώμα περιστρέφεται και μεταφέρεται. Ε4.13 Αν δύο ομογενείς δίσκοι ίδιων διαστάσεων με διαφορετικές μάζες περιστρέφονται γύρω από τον ίδιο σταθερό άξονα συμμετρίας τους με την ίδια γωνιακή ταχύτητα, τότε, για να σταματήσουμε τους δύο δίσκους στο ίδιο χρονικό διάστημα χρειάζεται να ασκήσουμε: α. Ίσες ροπές. β. Μεγαλύτερη ροπή στον βαρύτερο. γ. Μεγαλύτερη ροπή στον ελαφρύτερο. Ποια είναι η σωστή απάντηση; Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. Ε4.14 Ο τροχός του σχήματος περιστρέφεται με σταθερή γωνιακή επιτάχυνση, α γν υπό την επίδραση σταθερής ροπής, τ. Αν η ροπή υποδιπλασιαστεί κατά μέτρο και ταυτόχρονα αντιστρέψει τη φορά της, τότε η γωνιακή επιτάχυνση γίνεται: α. α γ β. 2α γ γ. α γ /2 δ. α γ /2 Ε4.15 Η ράβδος του διπλανού σχήματος αφήνεται να περιστραφεί γύρω από τον άξονα που διέρχεται από το ένα άκρο της, Ο και είναι κάθετος σ αυτήν, υπό την επίδραση του βάρους της. α. Η ροπή αδράνειας της ράβδου, ως προς αυτόν τον άξονα περιστροφής είναι η ελάχιστη δυνατή. β. Η αλγεβρική τιμή της ροπής του βάρους μειώνεται καθώς η ράβδος πέφτει. γ. Η κίνηση της ράβδου είναι περιστροφική ομαλά μεταβαλλόμενη. δ. Η συνολική ροπή που δέχεται η ράβδος έχει κατεύθυνση κάθετη από τον αναγνώστη προς τη σελίδα. Ποιες από τις προηγούμενες προτάσεις είναι σωστές και ποιες λανθασμένες; Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας. Ε4.16 Ο κύλινδρος του σχήματος περιστρέφεται υπό την επίδραση της ροπής τ και η γωνιακή της ταχύτητα μεταβάλλεται με τον τρόπο που φαίνεται στο διάγραμμα. Ποιες από τις επόμενες προτάσεις είναι σωστές και ποιες λανθασμένες; Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας. Ν.ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ 92

93 α. Η αλγεβρική τιμή της ροπής, τ, είναι σταθερή. β. Τη χρονική στιγμή t 1 η γωνιακή επιτάχυνση μηδενίζεται. γ. Στο χρονικό διάστημα (0,t 1 ) η αλγεβρική τιμή της ροπής είναι αρνητική. δ. Σε όλη τη διάρκεια της κίνησης τα ω και τ έχουν την ίδια κατεύθυνση. Ε4.17 Μια πόρτα αποτελείται από δύο ίσα, ομογενή και συμπαγή ορθογώνια ενωμένα. Το ένα της τμήμα είναι μεταλλικό, ενώ το άλλο ξύλινο, όπως βλέπουμε και στην οριζόντια τομή της πόρτας που φαίνεται στο σχήμα. Από ποια πλευρά πρέπει να τοποθετήσουμε τους μεντεσέδες ώστε να απαιτείται η μικρότερη ροπή προκειμένου να ανοίξουμε ή να κλείσουμε την πόρτα; α. Από τη πλευρά του ξύλινου μέρους. β. Από την πλευρά του μεταλλικού μέρους. γ. Δεν έχει καμιά διαφορά. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. Ε4.18 Η τροχαλία μάζας m, ακτίνας R, που φαίνεται στο σχήμα, περιστρέφεται χωρίς τριβές, ενώ το σχοινί δεν ολισθαίνει μέσα στο αυλάκι της.h ροπή αδράνειας ως προς τον άξονα περιστροφής της είναι Ι cm =mr 2 /2. Αφήνουμε ελεύθερο το σώμα βάρους mg να πέσει. Ποιες από τις προτάσεις που ακολουθούν είναι σωστές ή λάθος; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. α. Η ροπή που περιστρέφει την τροχαλία είναι ίση με mgr. β. Η επιτάχυνση που πέφτει το σώμα είναι ίση με g. γ. Η γωνιακή επιτάχυνση της τροχαλίας είναι 2g/3R. δ. Η τάση του νήματος είναι ίση με mg/3. Ε4.19 Το αρκουδάκι μάζας m ανεβαίνει το σχοινί με σταθερή ταχύτητα ενώ η τροχαλία μάζας, Μ και ακτίνας, R, στρέφεται έτσι ώστε το σχοινί να μην ολισθαίνει μέσα στο αυλάκι της. Η ροπή αδράνειας της τροχαλίας ως προς τον άξονα περιστροφής της είναι Ι=ΜR 2 /2. Η γραμμική επιτάχυνση, α, ενός σημείου της περιφέρειας της τροχαλίας είναι: α. α=0 β. α=g γ. α=2mg/μ δ. α=2mg/μr Ποιο είναι το σωστό; Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. Ε4.20 Δύο ομογενείς τροχοί, τ 1 και τ 2 με μάζες m 1 =m και m 2 =2m έχουν ακτίνες R 1 =2R και R 2 =R αντιστοίχως, περιστρέφονται γύρω από τον κύριο άξονα περιστροφής τους και έχουν ροπές αδράνειας Ι Ο =m i R i 2 /2. Οι τροχοί επιταχύνονται υπό την επίδραση εφαπτομενικών δυνάμεων στην περιφέρειά τους με μέτρα F 1 και F 2 και έχουν την ίδια γωνιακή επιτάχυνση. Η σχέση που συνδέει τα μέτρα των δυνάμεων είναι: α. F 2 =2F 1 β. F 2 =F 1 α. F 2 =4F 1 Ποια είναι η σωστή απάντηση; Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. Ν.ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ 93

94 (Α) Ασκήσεις και προβλήματα Α4.1 Στον τροχό που φαίνεται στο σχήμα, μάζας m=1kg, ακτίνας R=0,5m, ασκούνται τρεις δυνάμεις εφαπτόμενες στην περιφέρειά του, F 1 =60N, F 2 =20N και F 3 =30N. Αν τη χρονική στιγμή t 0 =0 ο τροχός ήταν ακίνητος και δεν υπάρχουν τριβές, να υπολογιστούν: α. Η γωνιακή επιτάχυνση που θα αποκτήσει. β. Η γραμμική επιτάχυνση των σημείων της περιφέρειας. γ. Η γωνιακή ταχύτητα του τροχού τη χρονική στιγμή, t=2s. δ. Η γραμμική ταχύτητα ενός σημείου της περιφέρειας την ίδια χρονική στιγμή. ε. Η γωνιακή μετατόπιση στο χρονικό διάστημα [0 2s]. στ. Το πλήθος των περιστροφών που θα διαγράψει στο ίδιο χρονικό διάστημα. Δίνεται η ρoπή αδράνειας του τροχού ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο του και είναι κάθετος σ αυτόν, Ι Κ =mr 2 /2. α. α γν =200rad/s 2 β. α=100m/s 2, γ. ω=400rad/s, δ. υ=200m/s, ε. Δθ=400rad, στ. Ν=200/π στρ. Α4.2 Ένας δίσκος, που μπορεί να περιστρέφεται γύρω από άξονα που διέρχεται από το κέντρο του και είναι κάθετος στο επίπεδό του, είναι αρχικά ακίνητος. Ασκούμε στην περιφέρεια του δίσκου εφαπτομενική δύναμη F=200N, παράλληλη προς το επίπεδό του, και μετράμε ότι σε χρόνο Δt=2s έχει διαγράψει γωνία Δθ=100rad. Να υπολογιστούν: α. Η γωνιακή επιτάχυνση. β. Η γωνιακή ταχύτητα στα 2s. γ. Το πλήθος των περιστροφών που διαγράφει στο διάστημα των 2s. δ. Η ροπή αδράνειας. Δίνεται R=0,25m. α. α γν =50rad/s 2, β, ω=100rad/s, γ. Ν=50/π στρ. δ. Ι=1kgm 2 Α4.3 Ομογενής δίσκος μάζας Μ=4kg ακτίνας R=0,4m περιστρέφεται με σταθερή γωνιακή ταχύτητα ω 0 =10rad/s χωρίς τριβές γύρω από ακλόνητο άξονα που διέρχεται από το κέντρο του Ο και είναι κάθετος στο επίπεδό του. α. Πόση είναι η ταχύτητα ενός σημείου της περιφέρειας του δίσκου; β. Τη χρονική στιγμή t 0 =0 ασκείται στην περιφέρεια του δίσκου εφαπτομένη δύναμη F με αποτέλεσμα, η γωνιακή ταχύτητα να αρχίσει να αυξάνεται με σταθερό ρυθμό 5rad/s 2. Πόσο είναι το μέτρο της δύναμης, F; γ. Πόση είναι η γωνιακή ταχύτητα του δίσκου τη χρονική στιγμή t 1 =6s; δ. Πόση είναι η γωνιακή μετατόπιση του δίσκου στο χρονικό διάστημα [0 6s]; Δίνεται η ρoπή αδράνειας του δίσκου ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο του και είναι κάθετος σ αυτόν, Ι Ο =ΜR 2 /2. α. υ=4m/s, β. F=4N, γ. ω=40rad/s, δ. Δθ=150rad Α4.4 Ακίνητος ομογενής δίσκος ακτίνας R=0,2m και μάζας Μ είναι αρχικά ακίνητος αλλά μπορεί να στρέφεται χωρίς τριβές γύρω από τον άξονα που διέρχεται από το κέντρο του Ο και είναι κάθετος στο επίπεδό του. Τη χρονική στιγμή t 0 =0 ασκείται στην περιφέρεια του δίσκου εφαπτομένη δύναμη μέτρου F=20Ν με αποτέλεσμα, η γωνιακή ταχύτητα να αρχίσει να αυξάνεται και μετρήθηκε ότι γίνεται ω=20rad/s, εκείνη τη χρονική στιγμή που ο δίσκος έχει στραφεί κατά Δθ=100rad. Να υπολογιστούν: α. Το μέτρο της γωνιακής επιτάχυνσης του δίσκου. Ν.ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ 94

95 β. Το μέτρο της γραμμικής επιτάχυνσης ενός σημείου που απέχει απόσταση r=0,1m από τον άξονα περιστροφής. γ. Η μάζα του δίσκου. Δίνεται η ρoπή αδράνειας του δίσκου ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο του και είναι κάθετος σ αυτόν, Ι Ο =ΜR 2 /2. α. α γν =2rad/s 2, β. α=0,2m/s, γ. M=100kg Α4.5 Η ομογενής, λεπτή, ράβδος ΑΒ στρέφεται πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο γύρω από άξονα, z, που διέρχεται από το μέσον της Κ και είναι κάθετος σ αυτήν. Η ράβδος έχει μήκος L=1,2m, μάζα m=20kg και στα άκρα της δέχεται δυνάμεις με μέτρα F 1 =15N και F 2 =25N που είναι ομόρροπες και κάθετες στο μήκος της. Η ράβδος αρχίζει να περιστρέφεται γύρω από τον άξονά της τη χρονική στιγμή t 0 =0, χωρίς αρχική γωνιακή ταχύτητα. α. Να σχεδιαστεί το διάνυσμα της γωνιακής επιτάχυνσης της ράβδου και να υπολογιστεί το μέτρο της. β. Πόση είναι το μήκος του τόξου που έχει διαγράψει το άκρο, Α, σε χρόνο Δt=2s. γ. Πόση είναι η γωνιακή ταχύτητα της ράβδου τη χρονική στιγμή που θα συμπληρώνει Ν=10/π περιστροφές.δίνεται η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς άξονα που διέρχεται από το μέσο της, Κ και είναι κάθετος σ αυτήν, Ι K = ml 2 /12. α. α γν =10rad/s 2, β. Δs=12m, γ. ω=20rad/s Α4.6 Η τετράγωνη πλάκα του σχήματος έχει μάζα m=1kg, πλευρά a=0,3m και μπορεί να στρέφεται γύρω από άξονα που διέρχεται από το κέντρο της και είναι κάθετος στο επίπεδό της. Στην πλάκα ασκούνται οι δυνάμεις που φαίνονται στο σχήμα με μέτρα, F 1 =10 2N, με φ=45 0, F 2 =2N, F 3 =4N και F 4 =5N. α. Πόση είναι η γωνιακή επιτάχυνση της πλάκας; β. Πόση είναι η γραμμική επιτάχυνση μιας κορυφής της; Δίνεται η ροπή αδράνειας για την ορθογώνια πλάκα ως προς τον ίδιο άξονα, Ι cm =m(a 2 +β 2 )/12. α. α γν =2,2rad/s, β. α=0,33 2m/s 2 Α4.7 Η ομογενής, λεπτή, ράβδος ΑΒ στρέφεται πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο γύρω από άξονα που διέρχεται από το ένα άκρο της Α και είναι κάθετος σ αυτήν. Η ράβδος έχει μήκος λ=1m, μάζα m=0,3kg και στο μέσο της Κ δέχεται δύναμη F 1 =20N κάθετη στο μήκος της και παράλληλη στο οριζόντιο επίπεδο, ενώ στο άκρο της Β, δύναμη F 2 =40N σε κατεύθυνση παράλληλη της F 1. Aν η ράβδος αρχίζει να περιστρέφεται τη χρονική στιγμή t 0 =0, χωρίς αρχική γωνιακή ταχύτητα, γύρω από τον άξονά της, να υπολογιστούν: α. Η γωνιακή επιτάχυνση, α γ. β. Η γωνιακή μετατόπιση της ράβδου σε Δt=2s. Ν.ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ 95

96 γ. Η γραμμική ταχύτητα του κέντρου της τη στιγμή που θα συμπληρώνει γωνία στροφής Δίνεται η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς άξονα που διέρχεται από το μέσο της, Κ και είναι κάθετος σ αυτήν, Ι K = ml 2 /12. α. α γν =500rad/s 2, β. Δθ=10 3 rad, γ. υ=19,81m/s Α4.8 Η ομογενής ράβδος του σχήματος έχει μάζα Μ=3kg μήκος L=1m και στο άκρο της Β προσαρμοσμένη μια σημειακή μάζα, m=1kg. Η ράβδος στρέφεται χωρίς τριβές σε οριζόντιο επίπεδο γύρω από άξονα που διέρχεται από το άκρο της Α και είναι κάθετος σ αυτήν. Η περιστροφή γίνεται με τη βοήθεια της δύναμης F που ασκείται στο μέσον της ράβδου είναι οριζόντια και συνεχώς κάθετη στο μήκος της. Αν τη χρονική στιγμή t 0 =0 είναι ω 0 =0 και τη χρονική στιγμή t 1 =1s είναι ω 1 =10rad/s να βρεθούν: α. Η ροπή αδράνειας του συστήματος. β. Το μέτρο της δύναμης F. γ. Η γωνιακή μετατόπιση Δθ, από t 0 =0 έως t=10s. δ. Ο αριθμός των στροφών που διαγράφει στον ίδιο χρόνο. ε. Η κεντρομόλος επιτάχυνση της σφαίρας τη χρονική στιγμή t 2 =2s. Δίνεται η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς άξονα που διέρχεται από το μέσο της, Κ και είναι κάθετος σ αυτήν, Ι K = ml 2 /12. α. I=2kgm 2, β. F=40N, γ. Δθ=500rad, δ. Ν=250/π στρ., ε. α κ =400m/s 2 Α4.9 Τροχός μπορεί να περιστρέφεται γύρω από σταθερό άξονα που διέρχεται από το κέντρο του Κ και είναι κάθετος σ αυτόν. Τη χρονική στιγμή t 0 =0 είναι ακίνητος, βρίσκεται στη θέση θ 0 =0, και δέχεται σταθερή ροπή τ=20νm, που τον βάζει σε κίνηση. Τη χρονική στιγμή, t 1 =10s, όταν η συχνότητα περιστροφής γίνεται f 1 =2Ηz, παύει να ασκείται η ροπή και ο τροχός λόγω σταθερών τριβών σταματάει τη χρονική στιγμή t 2 =110s. Να υπολογιστούν: α. Η ροπή αδράνειας του τροχού. β. Η ροπή της τριβής που τον σταμάτησε. γ. Ο συνολικός αριθμός των περιστροφών που διέγραψε. δ. Να γίνουν οι γραφικές παραστάσεις (ω t) και (θ t). α. Ι=15,92kgm 2, β. τ=2νm, γ. Ν=110 Α4.10 Τροχός ακτίνας R=0,2m στρέφεται σε κατακόρυφο επίπεδο με γωνιακή ταχύτητα ω 1 =300rad/s γύρω από σταθερό άξονα που διέρχεται από το κέντρο του και είναι κάθετος σ αυτόν. Τη χρονική στιγμή t 0 =0 ασκείται πάνω του σταθερή ροπή τ=40νm από τη δύναμη F με αποτέλεσμα τη χρονική στιγμή t 1 =10s η γωνιακή του ταχύτητα να έχει μειωθεί στα ω 2 =100rad/s. α. Πόση είναι η ροπή αδράνειας του τροχού. β. Να βρεθεί ο αριθμός των περιστροφών που θα κάνει ο τροχός από τη χρονική στιγμή t 0 =10s μέχρι να σταματήσει. Ν.ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ 96

97 γ. Να βρεθεί το μέτρο της δύναμης F που επιβράδυνε τον τροχό, αν αυτή ασκείται σε ένα σημείο της περιφέρειας και η διεύθυνσή της σχηματίζει συνεχώς, γωνία θ=60 0 με την εφαπτομένη στην περιφέρεια του τροχού. α. Ι=2kgm 2, β. Ν=125/π στροφές. γ. F=400N Α4.11 Νήμα μήκους 10m τυλίγεται γύρω από τροχό που μπορεί να περιστρέφεται γύρω από σταθερό άξονα που διέρχεται από το κέντρο του και είναι κάθετος σ αυτόν. Στην ελεύθερη άκρη του νήματος ασκείται σταθερή δύναμη F=25Ν και όταν όλο το νήμα ξετυλίγεται ο τροχός έχει αποκτήσει συχνότητα περιστροφής f=5ηz. α. Πόση είναι η ροπή αδράνειας του τροχού ως προς τον άξονα αυτόν; β. Πόση ροπή πρέπει να ασκηθεί στον τροχό ώστε να τον σταματήσει σε χρονικό διάστημα Δt=2s; Δίνεται ότι π 2 =10. α. Ι=0,5kgm 2, β. τ=2,5π Νm Α4.12 Ακονιστικός τροχός διαμέτρου d=1m και μάζας m=50kg περιστρέφεται με συχνότητα f=900/π στροφές ανά λεπτό. Μεταλλική ράβδος που πρόκειται να ακονιστεί πιέζει τον τροχό στην περιφέρεια και του ασκεί κάθετη δύναμη ίση με F=150Ν και ο τροχός λόγω της τριβής επιβραδύνεται και σταματάει σε χρονικό διάστημα, Δt=20s. α. Να σχεδιαστούν τα διανύσματα της τριβής, T και της γωνιακής επιβράδυνσης. β. Να υπολογιστεί ο συντελεστής τριβής, μ, μεταξύ τροχού και ράβδου. γ. Να υπολογιστεί ο αριθμός των περιστροφών που διέγραψε ο τροχός μέχρι να σταματήσει. Δίνεται για τον τροχό, Ι =mr 2 Ο /2. β. μ=1/8, γ. Ν=150/π περιστροφές Α4.13 Ομογενής ράβδος μήκους L=3m και μάζας m μπορεί να περιστρέφεται σε κατακόρυφο επίπεδο γύρω από σταθερό οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το ένα της άκρο Ο και είναι κάθετος σ αυτήν. Αφήνουμε τη ράβδο ελεύθερη από την οριζόντια θέση. Να υπολογιστεί η γωνιακή επιτάχυνση της ράβδου όταν βρίσκεται: α. Στην οριζόντια θέση. β. Στην κατακόρυφη θέση. γ. Στη θέση που σχηματίζει γωνία θ=30 0 με την κατακόρυφο που διέρχεται από το σημείο περιστροφής, Ο. δ. Όταν θα έχει διαγράψει γωνία από την αρχική της θέση. Δίνονται η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς άξονα που διέρχεται το κέντρο της Κ και είναι κάθετος σ αυτήν Ι Κ =ml 2 /12 και το g=10m/s 2. α. 5rad/s 2, β. 0, γ. 2,5rad/s 2, δ. 2,5rad/s 2 Ν.ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ 97

98 Α4.14 Ομογενής ράβδος βάρους w=mg, μήκους L, μπορεί να στρέφεται γύρω από άρθρωση που διέρχεται από το ένα άκρο της, Ο. Αρχικά είναι τοποθετημένη κατακόρυφα και συγκρατείται ακίνητη στη θέση αυτή. Ωθούμε ελαφρά την ράβδο ώστε να αρχίσει να περιστρέφεται γύρω από το Ο. Να υπολογιστεί η γωνιακή επιτάχυνση της ράβδου: α. Τη χρονική στιγμή που ξεκινάει, αλλά βρίσκεται ακόμα στην κατακόρυφη θέση. β. Τη χρονική στιγμή που το μήκος της σχηματίζει γωνία θ=30 0 με την κατακόρυφο που διέρχεται από το άκρο της Ο. Δίνεται Ι cm =ml 2 /12. α. α γν1 = 0, β. α γν2 = 3g/4L Α4.15 Μια ράβδος μήκους L=5m αποτελείται από δύο ίσα τμήματα L 1 =L 2 =2,5m, τα οποία όμως αποτελούνται από διαφορετικά ομογενή υλικά και έτσι το ένα τμήμα, ΚΑ έχει μάζα m 1 =2kg και το άλλο, ΚΒ, διπλάσια μάζα m 2 =4kg. Η ράβδος μπορεί να στρέφεται γύρω από σταθερό οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το μέσον της Κ, και είναι κάθετος σ αυτήν και αρχικά βρίσκεται στην οριζόντια θέση. Να υπολογιστούν: α. Η ροπή αδράνειας της ράβδου. β. Η γωνιακή επιτάχυνση της ράβδου τη χρονική στιγμή που αφήνεται ελεύθερη. γ. Η γραμμική επιτάχυνση των δύο άκρων την χρονική στιγμή που αφήνεται ελεύθερη. Δίνεται το g=10m/s 2 και η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας της Ι cm =ml 2 /12. α. Ι=12,5kgm 2, β. α γν = 2rad/s 2, γ. α=5m/s 2 Α4.16 Ομογενής ράβδος ΑΒ, μήκους L, βάρους w=mg φέρει στο ένα άκρο της Β πολύ μικρή σφαίρα ίσου με αυτή βάρους w 1 =mg. Το σύστημα μπορεί να περιστρέφεται σε κατακόρυφο επίπεδο γύρω από άξονα που διέρχεται από το κέντρο της ράβδου, Κ, και είναι κάθετος σε αυτήν. Αφήνουμε τη ράβδο να περιστραφεί από την οριζόντια θέση. Να υπολογιστούν: α. Η ροπή αδράνειας του συστήματος ως προς τον άξονα αυτόν. Δίνεται η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο της και είναι κάθετος σ αυτήν Ι cm =ml 2 /12. β. Η γωνιακή επιτάχυνση του συστήματος τη στιγμή της εκκίνησης της περιστροφής, δηλαδή όταν η ράβδος βρίσκεται ακόμα στην οριζόντια θέση. γ. Η γραμμική και η κεντρομόλος επιτάχυνση της σφαίρας στην ίδια θέση με το προηγούμενο ερώτημα. δ. Η δύναμη που δέχεται η σφαίρα από τη ράβδο τη στιγμή της εκκίνησης και ενώ, η ράβδος βρίσκεται ακόμα στην οριζόντια θέση. ε. Η γωνιακή επιτάχυνση του συστήματος, όταν η ράβδος θα έχει διαγράψει γωνία Ν.ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ 98

99 α. Ι=mL 2 /3, β.α γν = 3g/2L, γ.α=3g/4,α κ =0, δ. F=mg/4, ε. α γν =3 2g/4L Α4.17 Λεπτή ομογενής ράβδος, μήκους L=3m και μάζας m=40kg, μπορεί να περιστρέφεται γύρω από σταθερό οριζόντιο άξονα που διέρχεται από σημείο Ο που απέχει από το ένα άκρο της, Α, απόσταση ΟΑ=1m. Για να μην ανατραπεί συνδέεται με ακλόνητο σημείο με τη βοήθεια κατακόρυφου νήματος που είναι δεμένο στο άκρο της Β όπως φαίνεται στο σχήμα. α 1. Πόση είναι η δύναμη, Τ, που τεντώνει το νήμα; α 2. Πόση είναι η δύναμη, Ν, που ασκεί το τριγωνικό στήριγμα στο σημείο Ο της ράβδου; β. Κόβουμε το νήμα που κρατούσε τη ράβδο και την αφήνουμε ελεύθερη να περιστραφεί χωρίς τριβές σε κατακόρυφο επίπεδο και γύρω από το σημείο Ο. Να υπολογιστούν: β 1. Η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς άξονα που διέρχεται από το σημείο Ο και είναι κάθετος σ αυτήν. β 2. Η γωνιακή επιτάχυνση της ράβδου τη χρονική στιγμή που ξεκινάει την περιστροφή της αλλά βρίσκεται ακόμα στην οριζόντια θέση. β 3. Η γωνιακή επιτάχυνση της ράβδου όταν έχει περιστραφεί τόσο ώστε να σχηματίζει γωνία 30 0 με την οριζόντια διεύθυνση. Δίνεται η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας της Ι cm =ml 2 /12 και το g=10m/s 2. α. Τ=100Ν, Ν=300Ν, β 1. Ι=40kgm 2, β 2. 5rad/s 2, β 3. 2,5 3rad/s 2 Α4.18 Η ομογενής ράβδος ΑΓ έχει μάζα m=10kg, μήκος L=5m και στηρίζεται στο σημείο Ο που απέχει από το ένα της άκρο Α απόσταση L 1 =1m. α. Αν στο ένα άκρο της Α έχει βάρος w 1 =200N πόσο βάρος πρέπει να τοποθετήσουμε στο άλλο άκρο Γ ώστε η ράβδος να ισορροπεί οριζόντια; β. Αν διπλασιάσουμε το βάρος στο άκρο Γ πόση θα είναι η γωνιακή επιτάχυνση της ράβδου τη στιγμή της εκκίνησης; Δίνεται η ροπή αδράνεια της ράβδου ως προς άξονα που διέρχεται το κέντρο της και είναι κάθετος σ αυτήν, Ι Κ = ml 2 /12 και g=10m/s 2. α. w 1 =12,5 Ν, β. α γν =0,48rad/s 2 Α4.19 Η ομογενής ράβδος του σχήματος έχει μάζα Μ=3kg μήκος L=1m και στο άκρο της Β προσαρμοσμένη μια σφαίρα σημειακής μάζας, m=1kg. Η ράβδος στρέφεται χωρίς τριβές σε οριζόντιο επίπεδο γύρω από άξονα που διέρχεται από το άκρο της Α και είναι κάθετος σ αυτήν. Η περιστροφή γίνεται με τη βοήθεια της δύναμης F μέτρου F=40N που ασκείται στο μέσον της ράβδου είναι οριζόντια και συνεχώς κάθετη στο μήκος της. Αν τη χρονική στιγμή t 0 =0 είναι ω 0 =0, να υπολογιστεί το μέτρο και η κατεύθυνση της συνισταμένης δύναμης που δέχεται η σφαίρα τη χρονική στιγμή t=1s. Ν.ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ 99

100 Δίνεται η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς άξονα που διέρχεται από το μέσο της, Κ και είναι κάθετος σ αυτήν, Ι K = ml 2 /12. ΣF=100,5N, εφθ=10 Α4.20 Μια ευθύγραμμη λεπτή κυλινδρική ράβδος ΑΒ αποτελείται από δύο ομογενή και ισοπαχή τμήματα διαφορετικών όμως υλικών. Το ένα τμήμα έχει μήκος ΟΑ=L 1 και πυκνότητα d 1 =d και το άλλο μήκος ΟΒ=L 2 =3L 1 και πυκνότητα d 2 =2d. Η ράβδος στηρίζεται με μια ακίδα στο σημείο Ο που ενώνονται τα δύο διαφορετικά της τμήματα και αφήνεται να περιστραφεί γύρω από το σημείο αυτό. Πόση είναι η γωνιακή της επιτάχυνση τη στιγμή που βρίσκεται ακόμα στην οριζόντια θέση; Δίνoνται η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς άξονα που διέρχεται από το μέσον της και είναι κάθετος σ αυτήν Ι cm =ml 2 /12, τα L 1 =1m και g=10m/s 2. α γν =51/11rad/s 2 Α4.21 Ομογενής ράβδος μάζας, m, μήκους L, μπορεί να στρέφεται γύρω από άρθρωση που διέρχεται από το ένα άκρο της, Ο. Στο άλλο άκρο, Α, της ράβδου είναι στερεωμένη σημειακή μάζα, m, και το σύστημα ισορροπεί υπό κλίση θ=30 0 με τη βοήθεια νήματος, όπως φαίνεται στο σχήμα. α. Να υπολογιστεί η τάση του νήματος. β. Να υπολογιστεί η ροπή αδράνειας του συστήματος ως προς τον άξονα περιστροφής της, Ο. γ. Αν κόψουμε το νήμα που συγκρατεί τη ράβδο να υπολογιστεί η γωνιακή επιτάχυνση της ράβδου τη χρονική στιγμή που αρχίζει η περιστροφή της. δ. Πόση είναι η γραμμική επιτάχυνση του άκρου, Α, τη χρονική στιγμή που η ράβδος φτάνει στην οριζόντια θέση. Δίνεται για τη ράβδο, Ι cm =ml 2 /12 και το g. α. Τ=mg 3/2, β. Ι Ο = 4mL 2 /3, γ. α γν =9g/16L, δ. α=9g/8 Α4.22 Ομογενής ράβδος ΑΒ, μήκους L=3m και μάζας m=4kg μπορεί να περιστρέφεται σε κατακόρυφο επίπεδο, γύρω από σταθερό οριζόντιο άξονα, που διέρχεται από το σημείο Ο που απέχει αποστάσεις, ΟΑ=1m και ΟΒ=2m από τα άκρα της. Η ράβδος φέρει συνδεδεμένη μια σημειακή μάζα, στο άκρο Α, τη m 1 =4kg και ισορροπεί σε οριζόντια θέση με τη βοήθεια κατακόρυφης δύναμης, F, η οποία της ασκείται στο άλλο άκρο, Β. α. Να υπολογιστεί η ροπή αδράνειας του συστήματος ως προς τον άξονα περιστροφής του. β. Να υπολογιστεί το μέτρο και η κατεύθυνση της δύναμης, F. γ. Πόσο πρέπει να γίνει το μέτρο της δύναμης, F, ώστε να αρχίσει να περιστρέφεται με τη φορά των δεικτών του ρολογιού και στην οριζόντια θέση το άκρο Β να έχει επιτάχυνση, α Β =2m/s 2. δ. Αν η δύναμη F που βρήκατε στο προηγούμενο ερώτημα διατηρηθεί σταθερή και πάντοτε κάθετη στη ράβδο, να υπολογίσετε τη γωνιακή επιτάχυνση του συστήματος, στη θέση εκείνη που η ράβδος θα γίνει κατακόρυφη. Ν.ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ 100

101 Δίνονται, για τη ράβδο, Ι cm =ml 2 /12 και g=10m/s 2. α. Ι=8kgm 2. β. F=10N, γ. F =14N, δ. α γ =3,5rad/s 2 Α4.23 Ομογενής ράβδος ΑΒ, μήκους L=3m και μάζας Μ=6kg μπορεί να περιστρέφεται σε κατακόρυφο επίπεδο, γύρω από σταθερό οριζόντιο άξονα, που διέρχεται από το σημείο Ο που απέχει αποστάσεις, ΟΑ=1m και ΟΒ=2m από τα άκρα της. Η ράβδος φέρει συνδεδεμένες δύο σημειακές μάζες, στο μεν άκρο Α, τη m 1 =3kg, στο δε άκρο Β τη m 2 =6kg. Να υπολογιστούν: α. Η γωνιακή επιτάχυνση της ράβδου μόλις την αφήσουμε ελεύθερη στην οριζόντια θέση. β. Η δύναμη που ασκεί η ράβδος στη σημειακή μάζα m 1, μόλις την αφήσουμε ελεύθερη. γ. Η γωνιακή επιτάχυνση του συστήματος, όταν η ράβδος σχηματίζει γωνία 60 0 με την αρχική της οριζόντια θέση. Δίνονται για τη ράβδο, Ι cm =ΜL 2 /12 και g=10m/s 2. α. α γν =40/11rad/s 2, β. F=450/11N, γ. α γν =20/11rad/s 2 Α4.24 Ομογενής ράβδος ΟΑ, μήκους L=2m και μάζας Μ=3kg φέρει συνδεδεμένες δύο σημειακές μάζες τη μεν m 1 =4kg στο μέσον της Κ, τη δε m 2 στο άκρο της Α. Η ράβδος μπορεί να περιστρέφεται γύρω από σταθερό, οριζόντιο, άξονα που διέρχεται από το άκρο της Ο με κατάλληλη άρθρωση, σε κατακόρυφο επίπεδο. Η ράβδος διατηρείται οριζόντια με τη βοήθεια του νήματος ΒΓ, όπου ΑΒ=0,5m. α. Αν η τάση του νήματος είναι Τ=60Ν, να υπολογιστεί η μάζα m 2. β. Πόση είναι η ροπή αδράνειας όλου του συστήματος ως προς τον άξονα περιστροφής του; γ. Κόβουμε το νήμα και η ράβδος αρχίζει την περιστροφή χωρίς τριβές. Να υπολογιστεί η γραμμική επιτάχυνση του μέσου της, Κ, τη χρονική στιγμή που η ράβδος θα έχει διαγράψει γωνία θ= Δίνονται για τη ράβδο, Ι cm =ΜL 2 /12 και g=10m/s 2. α. m 2 =1kg, β. Ι=12kgm 2, γ. α=3,75m/s 2 Α4.25 Μια ομογενής ράβδος ΑΒ μάζας Μ και μήκους L μπορεί να περιστρέφεται γύρω από οριζόντιο άξονα που είναι κάθετος στη ράβδο και διέρχεται από το σημείο Ο. Το σημείο Ο απέχει απόσταση L/3 από το ένα άκρο Α. Στα άκρα Α και Β είναι στερεωμένες δύο σφαίρες, η σφαίρα Σ 1 μάζας m 1 στο άκρο Α και η σφαίρα Σ 2 μάζας m 2 στο άκρο, Β. α. Να βρεθεί η γωνιακή επιτάχυνση της ράβδου μόλις την αφήσουμε ελεύθερη από την οριζόντια θέση. β. Να βρεθεί τα μέτρα των δυνάμεων που δέχονται οι σφαίρες από τη ράβδο μόλις την αφήσουμε ελεύθερη από την οριζόντια θέση. Δίνονται το g και ότι Μ=2m 1, m 2 =2m 1 και η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο της Κ και είναι κάθετος σε αυτήν Ι Κ =ΜL 2 /12. Ν.ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ 101

102 α. α γν =12g/11L, β. F 1 =15m 1 g/11, F 2 =6mg/ Η ράβδος ΑΓ έχει μήκος 3m και είναι αβαρής. Στα σημεία Α, Β, Γ είναι τοποθετημένες σημειακές μάζες m 1 =m 2 =1kg και m 3 =2kg. Δίνονται οι αποστάσεις ΟΑ=ΟΒ=ΒΓ=d=1m. Η ράβδος μπορεί να περιστρέφεται γύρω από το σημείο Ο, χωρίς τριβές. α. Αν αφεθεί ελεύθερη να υπολογιστεί η γωνιακή επιτάχυνση τη στιγμή που βρίσκεται ακόμα στην οριζόντια θέση. β. Ενώ έχει αφεθεί ελεύθερη και βρίσκεται ακόμα στην οριζόντια θέση να υπολογιστούν οι δυνάμεις που δέχονται οι σημειακές μάζες από την αβαρή ράβδο, γ. Να υπολογιστεί η γωνιακή επιτάχυνση τη στιγμή που έχει διαγράψει γωνία 60 0 από την αρχική της θέση. Δίνεται g=10m/s 2. α. 4rad/s 2, β. F 1 =14N, F 2 =6N, F 3 =4N, γ. 2rad/s 2 Α4.27 Μια ορθή γωνία αποτελείται από δύο ομογενείς ράβδους ΟΑ, και ΟΒ, μήκους L=0,5m, η κάθε μία, οι οποίες έχουν μάζες m 1 =10kg και m 2 =2kg, αντιστοίχως. Η γωνία μπορεί να περιστρέφεται γύρω από οριζόντιο άξονα που διέρχεται από την κορυφή Ο και είναι κάθετος σ αυτήν. Αφήνουμε την γωνία να περιστραφεί από τη θέση που φαίνεται στο σχήμα. Να υπολογιστούν: α. Η ροπή αδράνειας του συστήματος ως προς τον άξονα περιστροφής του. β. Η γωνιακή επιτάχυνση του συστήματος τη χρονική στιγμή που αφήνεται ελεύθερο. γ. Η γωνιακή επιτάχυνση τη χρονική στιγμή που το κάθε σκέλος της γωνίας σχηματίζει γωνία 45 0 με την κατακόρυφο που περνάει από το σημείο Ο. Δίνεται η ροπή αδράνειας της κάθε ράβδου ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο της και είναι κάθετος σ αυτήν, Ι cm =ml 2 /12. α. Ι=1kgm 2, β. 25rad/s 2, γ. 10 2rad/s 2 Α4.28 Το σύστημα των δύο ομογενών ράβδων ΟΑ και ΑΒ είναι συνδεδεμένο έτσι ώστε να σχηματίζει ορθή γωνία η οποία μπορεί να περιστρέφεται χωρίς τριβές γύρω από την ακλόνητη άρθρωση Ο. Οι ράβδοι έχουν ίσα μήκη L και ίσες μάζες m η κάθε μια. Το σύστημα αρχικά ισορροπεί με τη βοήθεια νήματος, ΑΓ, που σχηματίζει με την πλευρά ΟΑ γωνία φ=45 0. Κόβουμε το νήμα και το σύστημα περιστρέφεται γύρω από τον άξονα, Ο. Να υπολογιστούν: α. Η τάση του νήματος πριν κοπεί το νήμα. β. Η γωνιακή επιτάχυνση του συστήματος εκείνη τη χρονική στιγμή που η νοητή ευθεία ΟΒ θα γίνει οριζόντια. Δίνονται, το g, για τη ράβδο Ι cm =ml 2 /12 και για τη γωνία φ, συνφ=ημφ= 2/2. α. Τ=3mg 2/2, β. α γν =3g 2/5L Ν.ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ 102

103 Α4.29 Η ομογενής τροχαλία έχει μάζα Μ=6kg και ακτίνα R=0,5m, στηρίζεται σταθερά σε οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το κέντρο της Ο και είναι τυλιγμένη με αβαρές σχοινί από το άκρο του οποίου κρέμεται σώμα μάζας m=1kg. Αν αφήσουμε το σώμα να πέσει, θεωρήσουμε τις τριβές με τον αέρα αμελητέες και ότι το σχοινί δεν ολισθαίνει μέσα στο λούκι της τροχαλίας να υπολογιστούν: α. Η γωνιακή επιτάχυνση της τροχαλίας. β. Η επιτάχυνση του σώματος. γ. Η τάση του σχοινιού. δ. Η δύναμη που δέχεται ο άξονας περιστροφής της τροχαλίας. ε. Πόση είναι η ταχύτητα του σώματος τη χρονική στιγμή t=4s; στ. Πόσες περιστροφές έχει διαγράψει η τροχαλία στο διάστημα (0,4s); Δίνονται, g=10m/s 2 και η ροπή αδράνειας της τροχαλίας ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο της και είναι κάθετος σ αυτήν, Ι ο =ΜR 2 /2. Τη χρονική στιγμή t 0 =0, τροχαλία και σώμα ήταν ακίνητα. α. α γν =5rad/s 2, β. α=2,5 m/s 2, γ. Τ=7,5Ν, δ. F=67,5Ν, ε. υ=10m/s, στ. Ν=20/π στρ Α4.30 Ακίνητη τροχαλία αποτελείται από δύο κυλίνδρους συγκολλημένους μεταξύ τους, τα κέντρα των οποίων βρίσκονται πάνω στον άξονα περιστροφής της, Κ. Οι κύλινδροι έχουν μάζες Μ 1 =80kg, Μ 2 =64kg και ακτίνες R 1 =0,5m και R 2 =0,25m αντιστοίχως. Γύρω από το μικρό κύλινδρο είναι τυλιγμένο αβαρές νήμα από το ελεύθερο άκρο του οποίου είναι κρεμασμένο σώμα μάζας m=200kg. Η τροχαλία είναι αρχικά ακίνητη και αφήνουμε το σώμα ελεύθερο τη χρονική στιγμή t 0 =0. Με δεδομένα ότι κατά την κίνηση της τροχαλίας δεν υπάρχουν τριβές και το νήμα δεν ολισθαίνει πάνω στο μικρό κύλινδρο, να υπολογιστούν: α. Η γωνιακή επιτάχυνση του συστήματος των δύο δίσκων. β. Η γωνιακή ταχύτητα των δίσκων, τη χρονική στιγμή, t 1, που το σώμα έχει κατέβει κατά Δy=10,2m. γ. Η ταχύτητα ενός σημείου της περιφέρειας του μεγάλου δίσκου τη χρονική στιγμή t 1. δ. Η κεντρομόλος επιτάχυνση ενός σημείου του μεγάλου δίσκου τη χρονική στιγμή, t 1. Δίνεται η ροπή αδράνειας της κάθε τροχαλίας, Ι =ΜR 2 /2. α. a γν = 20,4rad/s 2, β. ω=40,8rad/s, γ. υ=20,4m/s, δ. α κεν =832,32m/s 2 Κ Α4.31 Έχουμε δύο όμοιες τροχαλίες, Τ 1, Τ 2, όπως φαίνεται στο σχήμα, με ίδια μάζα, Μ 1 =Μ 2 =m και στο άκρο του αβαρούς νήματος της Τ 1 συνδέεται σώμα, Σ, μάζας επίσης m, ενώ στο αντίστοιχο άκρο νήματος της Τ 2 ασκείται κατακόρυφη δύναμη F ίση με το βάρος του σώματος Σ, mg. Να υπολογιστεί ο λόγος των γωνιακών επιταχύνσεων, α γν1 /α γν2 των δύο τροχαλιών. Ν.ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ 103

104 Δίνεται η ροπή αδράνειας της κάθε τροχαλίας, Ι =ΜR 2 /2, όπου R η ακτίνα τους. Α4.32 Tα δύο σώματα Σ 1, Σ 2 με μάζες m 1, m 2 όπου m 1 >m 2, κρέμονται από τα άκρα ενός αβαρούς νήματος το οποίο είναι περασμένο μέσα στο λούκι της ακλόνητης τροχαλίας. Αν το σχοινί δεν ολισθαίνει ως προς την τροχαλία., να υπολογιστεί η επιτάχυνση με την οποία θα κινηθούν τα σώματα αν αφεθούν ελεύθερα. Δίνονται η μάζα m της τροχαλίας οι μάζες των σωμάτων m 1, m 2, η επιτάχυνση της βαρύτητας, g και η ροπή αδράνειας της τροχαλίας ως προς τον κύριο άξονα συμμετρίας της, Ι ο =mr 2 /2. ο α γν1 /α γν2 =1/3 Α4.33 Η τροχαλία του προηγούμενου σχήματος έχει μορφή ομογενούς δίσκου, μάζας, M=2kg, ακτίνας R=0,2m. Από το αυλάκι της τροχαλίας περνάει σχοινί στα άκρα του οποίου είναι συνδεδεμένα σώματα Σ 1, Σ 2 με μάζες m 1 =4kg και m 2 =1kg αντιστοίχως.h ροπή αδράνειας της τροχαλίας ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο της K και είναι κάθετος σ αυτήν δίνεται από τη σχέση, Ι=MR 2 /2. α. Αν το σύστημα αφεθεί ελεύθερο τη χρονική στιγμή, t 0 =0 και το σχοινί δεν ολισθαίνει μέσα στο λούκι, να υπολογιστούν οι τάσεις των δύο σχοινιών. β. Πόση είναι η ταχύτητα των σωμάτων εκείνη τη χρονική στιγμή που το κάθε σώμα έχει μετατοπιστεί κατά 2,5m από τη θέση που αφέθηκε. γ. Πόσες περιστροφές έχει διαγράψει ένα σημείο της τροχαλίας τη χρονική στιγμή, t=2s. Δίνεται g=10m/s 2. α. Τ 1 =20Ν, Τ 2 =15Ν, β. υ=5m/s, γ. Ν=25/π Α4.34 Το ομοαξονικό σύστημα των δύο κυλίνδρων του σχήματος μπορεί να περιστρέφεται γύρω από άξονα που διέρχεται από το κοινό κέντρο Ο και έχει ροπή αδράνεια Ι =1,05kgm 2 Ο. Ο μικρός κύλινδρος έχει ακτίνα r =0,1m 1 είναι τυλιγμένος με νήμα στο άκρο του οποίου είναι δεμένο σώμα μάζας m 1 =5kg, ενώ αντίστοιχα ο μεγάλος έχει ακτίνα r 2 =0,2m και είναι τυλιγμένος με νήμα στο άκρο του οποίου είναι δεμένο σώμα μάζας m =10kg. 2 Δίνεται g=10m/s 2. Αν αφήσουμε το σύστημα ελεύθερο να περιστραφεί να υπολογιστούν: α. Η γωνιακή επιτάχυνση του συστήματος. β. Οι επιταχύνσεις των σωμάτων. γ. Οι τάσεις των σχοινιών. α. 10rad/s 2, β. 1m/s 2, 2m/s 2, γ. Τ =55Ν, Τ =80Ν 1 2 Ν.ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ 104

105 Α4.35 Στη διάταξη του σχήματος δίνονται οι μάζες των δύο τροχαλιών Μ 1 =10kg, Μ 2 =6kg και των δύο σωμάτων που είναι συνδεδεμένα στα άκρα του νήματος m 1 =10kg και m 2 =2kg. Αφήνουμε ελεύθερο το σύστημα να κινηθεί χωρίς τριβές. Να υπολογιστούν: α. Η επιτάχυνση των σωμάτων. β. Οι τάσεις του νήματος. Ν.ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ 105

106 Δίνονται g=10m/s 2 και η ροπή αδράνειας της κάθε τροχαλίας, Ι Κ =ΜR 2 /2. α. α=4m/s 2, β. Τ 1 =60Ν, Τ 2 =28Ν, Τ 3 =40Ν Α4.36 Το σώμα μάζας m=2kg ανεβαίνει με σταθερή επιτάχυνση α=2,5m/s 2 με τη βοήθεια αβαρούς σχοινιού το οποίο περνάει από την τροχαλία μάζας Μ=8kg και ακτίνας R. Να υπολογιστούν: α. Η τάση του σχοινιού που ανεβάζει το σώμα και η δύναμη F που ασκούμε στην πάνω άκρη του σχοινιού. β. Το μέτρο της δύναμης που ασκεί ο άξονας στην τροχαλία. γ. Η δύναμη F 1 που θα έπρεπε να ασκούμε στο σχοινί προκειμένου να ανεβάσουμε το ίδιο σώμα με την ίδια επιτάχυνση, αν η τροχαλία δεν περιστρεφότανε και οι τριβές του σχοινιού με το ακίνητο πλέον αυλάκι της ήταν αμελητέες. Δίνονται g=10m/s 2 και η ροπή αδράνειας της τροχαλίας ως προς τον άξονα συμμετρίας, Ι ο =MR 2 /2. α. Τ=25Ν, F=35Ν, β.ν=110,7, F 1 = 25Ν Α4.37 Στο βαρούλκο που φαίνεται στο σχήμα ο κύλινδρος έχει διάμετρο d=0,4m και η χειρολαβή απέχει από τον άξονα περιστροφής απόσταση L=0,4m. Το σχοινί είναι αβαρές και τυλιγμένο γύρω από τον κύλινδρο ενώ στο ελεύθερο άκρο του είναι δεμένο το φορτίο βάρους w. Δίνεται g=10m/s 2. α. Αν ασκούμε δύναμη μέτρου F=20Ν στο μέσο της χειρολαβής για να κρατάμε το φορτίο ακίνητο, να βρεθεί το βάρος, w, του φορτίου. β. Αν ασκήσουμε δύναμη F=60Ν και ο κουβάς ανεβαίνει με επιτάχυνση 10m/s 2, πόση είναι η ροπή αδράνειας του κυλίνδρου του βαρούλκου, αν η χειρολαβή είναι αμελητέας μάζας; γ. Πόσο πρέπει να έχει ανυψωθεί το φορτίο για να αποκτήσει ο κύλινδρος γωνιακή ταχύτητα ω=20rad/s; α. w=40ν, β. Ι=0,16kgm 2, γ. h=0,8m 4.38 Στη διάταξη που φαίνεται στο σχήμα το οριζόντιο επίπεδο είναι λείο και τα σώματα Σ 1, Σ 2 έχουν μάζες m 1 =m 2 =8kg, ενώ η τροχαλία έχει ακτίνα R=0,4m.To σύστημα αφήνεται να κινηθεί από την ηρεμία τη χρονική στιγμή t 0 =0 και μετράμε ότι μέσα σε χρόνο Δt=2s το σώμα Σ 1 μετατοπίζεται κατά Δy=4m. Δίνεται το g=10m/s 2. α. Να βρεθούν οι τάσεις των σχοινιών. β. Να βρεθεί η ροπή αδράνειας της τροχαλίας γ. Τη χρονική στιγμή t 1 =2s ασκείται στο σώμα Σ 2 οριζόντια δύναμη μέτρου F=100N αντίθετη της κατεύθυνσης της κίνησής και όλο το σύστημα επιβραδύνεται. Ποια χρονική στιγμή, t 2 σταματάει και πόσα μέτρα διένυσε επιβραδυνόμενο μέχρι να σταματήσει; α. 16Ν και 64Ν, β. 3,84kgm 2,γ. t 2 =10s, Δx=16m Α4.39 Στη διάταξη που φαίνεται στο σχήμα, τα σώματα Σ 1, Σ 2 έχουν μάζες m 1 =m 2 =10kg, η τροχαλία έχει ακτίνα R=0,4m και μάζα Μ=40kg και μεταξύ του σώματος Σ 1 και του οριζοντίου επιπέδου υπάρχουν τριβές με συντελεστή τριβής μ=0,2.to σύστημα αφήνεται ελεύθερο να κινηθεί από την ηρεμία, τη Ν.ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ 106

107 χρονική στιγμή t 0 =0 και το σχοινί δεν ολισθαίνει μέσα στο λούκι της τροχαλίας. Να υπολογιστούν: α. Η επιτάχυνση των σωμάτων. β. Η μετατόπιση του σώματος Σ 2 τη χρονική στιγμή t 1 =2s. γ. Η γωνία που θα έχει διαγράψει ένα σημείο της τροχαλίας τη χρονική στιγμή που τα σώματα θα έχουν αποκτήσει ταχύτητα 4m/s. δ. Οι τάσεις των νημάτων και το μέτρο της δύναμης που ασκεί ο άξονας στην τροχαλία. Δίνεται g=10m/s 2 και η ροπή αδράνειας της τροχαλίας, Ι =ΜR 2 /2. α. α=2m/s 2, β. x= 4m, γ. θ=10rad, δ. 80Ν, 40Ν, 481,66Ν Ο Α4.40 Τα δύο σώματα Σ 1, Σ 2 που φαίνονται στο σχήμα έχουν μάζες m 1 =15kg και m 2 =20kg και συνδέονται με αβαρές νήμα που περνάει από την τροχαλία ακτίνας R=0,25m.To σώμα Σ 1 ολισθαίνει πάνω στο λείο κεκλιμένο επίπεδο με επιτάχυνση 2m/s 2. Δίνονται ημφ=0,6 και g=10m/s 2. Να υπολογιστούν: α. Οι τάσεις των νημάτων. β. Η ροπή αδράνειας της τροχαλίας. α. 120Ν, 160Ν, β. 1,25kgm 2 Α4.41 Το κιβώτιο μάζας m=2kg αφήνεται τη χρονική στιγμή t 0 =0 να ολισθήσει κατά μήκος του κεκλιμένου επιπέδου γωνίας κλίσης φ=30 0, ενώ ο συντελεστής τριβής μεταξύ αυτού και του ο μέσωκεκλιμένου είναι μ= 3/6. Το κιβώτιο είναι συνδεδεμέν σχοινιού με τροχαλία μάζας Μ=6kg, ακτίνας R=0,2m η οποία μπορεί να περιστρέφεται γύρω από σταθερό οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το κέντρο του, Ο και είναι αρχικά ακίνητη. Να υπολογιστούν: α. Η επιτάχυνση του κιβώτιου και η τάση του σχοινιού. β. Το μήκος που έχει κατέβει το σώμα τη χρονική στιγμή που η τροχαλία θα έχει αποκτήσει γωνιακή ταχύτητα ω=2rad/s. Δίνονται ότι Ι ο =ΜR 2 /2, g=10m/s 2. α. α= 1m/s 2,Τ= 3Ν, β. x= 0,08m Α4.42 Στο σύστημα του σχήματος το αβαρές νήμα συνδέει τα δύο σώματα Σ 1 και Σ 2 που έχουν μάζες m 1 =5kg και m 2 =20kg αντιστοίχως και περνάει από τροχαλία μάζας Μ=40kg ακτίνας R, ωρίς όμως να ολισθαίνει. Αν η γωνία κλίσης του κεκλιμένου είναι φ=30 0, ο συντελεστής τριβής ολίσθησης μεταξύ κεκλιμένου και σώματος Σ 1, μ= 3, να υπολογιστεί η επιτάχυνση των σωμάτων. Δίνονται, g=10m/s 2 και η ροπή αδράνειας της τροχαλίας ως προς τον άξονά της Ι Ο = ΜR 2 /2. α = 2,2m/s Στη διάταξη του σχήματος δίνονται η ροπή αδράνειας της τροχαλίας Ι=0,04kgm 2, η μάζα του σώματος m=4kg, και οι ακτίνες R 1 =0,1m και R 2 =0,2m. α. Να υπολογιστεί η δύναμη F που ασκείται στο νήμα που είναι τυλιγμένο στο εξωτερικό αυλάκι, αν όλο το σύστημα ισορροπεί. Δίνουμε στη δύναμη F την τιμή F 1 =60Ν. Να υπολογιστούν: β. Η επιτάχυνση α του σώματος. Ν.ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ 107

108 γ. Η γωνιακή επιτάχυνση της τροχαλίας. δ. Η οριζόντια μετατόπιση του σημείου Α, αν το σώμα m ανυψώνεται κατά 5m. Δίνεται g=10m/s 2. α. F 0 =20N, β. 10m/s 2, γ. 100rad/s 2, δ.10m Α4.44 Το coala μάζας m=40kg αρχίζει να ανεβαίνει το σχοινί, χωρίς αρχική ταχύτητα, με σταθερή επιτάχυνση α 1 =2m/s 2. Η τροχαλία μάζας, Μ=20kg και ακτίνας, R, στρέφεται έτσι ώστε το σχοινί να μην ολισθαίνει μέσα στο αυλάκι της και το κιβώτιο μάζας, m 2 =10kg, μπορεί να ολισθαίνει πάνω στο λείο τραπέζι, χωρίς τριβές. α. Πόση είναι η επιτάχυνση α 2 του σώματος; β. Αν τη στιγμή που άρχισε η ανάβαση το κέντρο μάζας του κιβωτίου, απείχε από το χείλος του τραπεζιού απόσταση x=12m, πόσα μέτρα πρόλαβε να ανυψωθεί το coala πριν το CM του κιβώτιου φτάσει στο κενό; Δίνεται ότι η ροπή αδράνειας της τροχαλίας είναι Ι cm =ΜR 2 /2 και το g=10m/s 2. α. α 2 =24m/s 2, β. y=1m Α4.45 Ο άνθρωπος μάζας m 2 =100kg τραβάει το σχοινί και ανυψώνει το κιβώτιο μάζας m 1 =30kg με σταθερή επιτάχυνση, α. Η σταθερή τροχαλία, έχει μάζα, Μ=10kg, ακτίνα, R και ροπή αδράνειας, Ι cm =ΜR 2 /2, και το σχοινί δεν ολισθαίνει μέσα στο λούκι της. α. Να εκφραστεί η δύναμη της αντίδρασης του εδάφους σε σχέση με την επιτάχυνση του κιβώτιου. β. Για ποια τιμή της επιτάχυνσης, α, ο άνθρωπος είναι έτοιμος να εγκαταλείψει το επίπεδο της ζυγαριάς και να ανυψωθεί; Δίνεται g=10m/s 2. α. Ν=700 35α, (S.I), β. α=20m/s 2 Α4.46 Ο ομογενής κύλινδρος ακτίνας R=0,1m μάζας Μ=2kg βρίσκεται συνεχώς σε επαφή με τον κατακόρυφο τοίχο και το οριζόντιο δάπεδο έτσι ώστε καθώς περιστρέφεται να εμφανίζεται τριβή με συντελεστή τριβής ολίσθησης, μ=0,5 που είναι ίδιος και για τις δύο επιφάνειες.o κύλινδρος έχει αυλάκι στο οποίο είναι τυλιγμένο αβαρές νήμα. Τη χρονική στιγμή t=0 είναι ακίνητος και αρχίζουμε να τραβάμε το νήμα με σταθερή δύναμη F=20N. Το νήμα ξετυλίγεται και ο κύλινδρος περιστρέφεται με το κέντρο βάρος του να μένει στην ίδια θέση. Να υπολογιστούν: α. Τα μέτρα των τριβών που δέχεται ο κύλινδρος β. Η γωνιακή επιτάχυνση του κυλίνδρου. γ. Η γωνιακή του ταχύτητα μέχρι τη στιγμή που θα έχει ξετυλιχτεί νήμα μήκους Δx=2m. δ. Τη χρονική στιγμή t=30s, η δύναμη F καταργείται ακαριαία και ο κύλινδρος, λόγω τριβών επιβραδύνεται και σταματάει. Πόσες περιστροφές κάνει από τη χρονική στιγμή t=0 έως τη στιγμή που σταματάει; Δίνονται g=10m/s 2 και η ροπή αδράνειας του κυλίνδρου, Ι Κ =ΜR 2 /2. a. 12N, 4N, 4Ν, β. αγν=40rad/s2, γ. ω=40rad, δ. 3010/π στρ Ν.ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ 108

109 5. Η δυναμική της σύνθετης κίνησης και της κύλισης (Ε) ΕρωτήσειςΣF Ε5.1 Μια μπάλα JG ηρεμεί αρχικά πάνω σε οριζόντιο επίπεδο. Αν τις ασκηθούν δυνάμεις με συνισταμένη, Σ F και αλγεβρικό άθροισμα ροπών, Στ, ποιες από τις προτάσεις που ακολουθoυν είναι σωστές; α. Αν, Σ F =0 και Στ=0, η μπάλα μπορεί να αρχίσει να περιστρέφεται γύρω από νοητό άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας της, αλλά δεν μεταφέρεται. β. Αν Σ F γ. Αν Σ F 0 και Στ=0, η μπάλα κάνει μόνο επιταχυνόμενη μεταφορική κίνηση. 0 και Στ 0, η μπάλα κάνει σύνθετη μεταβαλλόμενη κίνηση δ. Αν Σ F =0 και Στ 0, η μπάλα κάνει μόνο μεταβαλλόμενη περιστροφική κίνηση. Ε5.2 Αν σε ένα στερεό σώμα ισχύουν ταυτόχρονα Σ F =0 και Στ=0 τότε το σώμα μπορεί: α. Να βρίσκεται σε ηρεμία. β. Να εκτελεί ευθύγραμμη ομαλή μεταφορική κίνηση. γ. Να εκτελεί ομαλή στροφική κίνηση. δ. Να εκτελεί σύνθετη ομαλή κίνηση. Ποιες από τις εκδοχές αυτές είναι σωστές; Ε5.3 Αν σε ένα στερεό σώμα το Σ F το σώμα μπορεί να εκτελεί: α. Ομαλή στροφική κίνηση. β. Σύνθετη ομαλά μεταβαλλόμενη κίνηση. γ. Σύνθετη ομαλή κίνηση. δ. Ομαλά μεταβαλλόμενη μεταφορική κίνηση. και το Στ είναι σταθερά και διάφορα του μηδενός, τότε Ε5.4 Αν σε ένα στερεό σώμα ισχύουν ταυτόχρονα, Σ F 0 και Στ=0, τότε το σώμα μπορεί να εκτελεί: α. Μεταβαλλόμενη μεταφορική κίνηση. β. Μεταβαλλόμενη μεταφορική κίνηση και ομαλή στροφική ταυτόχρονα. γ. Σύνθετη ομαλή κίνηση. δ. Μεταβαλλόμενη μεταφορική και μεταβαλλόμενη στροφική κίνηση ταυτόχρονα. Ποιες από τις εκδοχές αυτές είναι σωστές; Ε5.5 Αν σε ένα στερεό σώμα ισχύουν ταυτόχρονα, Σ F =0 και Στ 0, τότε το σώμα μπορεί να εκτελεί: α. Μεταβαλλόμενη μεταφορική και ομαλή στροφική κίνηση ταυτόχρονα. β. Σύνθετη ομαλή κίνηση. γ. Μεταβαλλόμενη στροφική κίνηση. δ. Ευθύγραμμη ομαλή μεταφορική κίνηση και μεταβαλλόμενη στροφική κίνηση ταυτόχρονα. Ποιες από τις εκδοχές αυτές είναι σωστές; 75 Ν.ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ 109

110 Ε5.6 Να αντιστοιχήσετε τα ζεύγη των σχέσεων της αριστερής στήλης με τα αντίστοιχες κινή J σ G εις της δεξιάς στήλης: 1. Σ F =0 και Στ=0 α. Μεταφορική και στροφική και οι δύο μεταβαλλόμενες 2 Σ F 0 και Στ=0 β. Ομαλή στροφική 3. Σ F 0 και Στ 0 γ. Μεταβαλλόμενη στροφική 4. Σ F =0 και Στ 0 δ. Μεταβαλλόμενη μεταφορική και ομαλή στροφική Ε5.7 Σ JG ε ένα στερεό σώμα που είναι αρχικά ακίνητο ασκούνται πολλές ομοεπίπεδες δυνάμεις. Αν Σ F είναι η συνισταμένη των δυνάμεων και Στ είναι το αλγεβρικό άθροισμα των ροπών ως προς οποιοδήποτε σημείο, ποιες από τις προτάσεις που ακολουθούν είναι σωστές; α. Αν Σ F =0, τότε το σώμα μένει ακίνητο. β. Αν Σ F =0, τότε το σώμα δεν περιστρέφεται αλλά μπορεί να μεταφέρεται. γ. Αν Σ F =0 και Στ=0 τότε το σώμα ισορροπεί. δ. Αν Σ F 0 και Στ 0 τότε το σώμα περιστρέφεται και μεταφέρεται. Ε5.8 Σώμα εκτελεί ταυτόχρονα μεταφορική και περιστροφική κίνηση. Ο θεμελιώδης νόμος της στροφικής κίνησης Στ=Ι α γν ισχύει και στην περίπτωση αυτή, αρκεί ο άξονας γύρω από τον οποίο το σώμα περιστρέφεται να: α. Διέρχεται από το κέντρο μάζας του. β. Να είναι άξονας συμμετρίας. γ. Να μην αλλάζει διεύθυνση κατά τη διάρκεια της κίνησης. δ. Όλα τα παραπάνω. ε. Μόνο τα (α) και (β). Ε5.9 Μια ρόδα ακτίνας R, κυλίεται με σταθερή επιτάχυνση χωρίς να ολισθαίνει πάνω σε οριζόντιο επίπεδο. Ποιες από τις προτάσεις που ακολουθούν είναι σωστές; α. Αν α cm είναι η επιτάχυνση του κέντρου μάζας και α γν η γωνιακή επιτάχυνση, τότε ισχύει α cm =α γ R. β. Αν υ cm είναι η στιγμιαία ταχύτητα του κέντρου μάζας και ω η αντίστοιχη στιγμιαία γωνιακή ταχύτητα, τότε ισχύει υ cm =ω R. γ. Αν Δs η μετατόπιση του κέντρου μάζας σε χρόνο Δt και Δθ η αντίστοιχη γωνιακή μετατόπιση ενός σημείου της περιφέρειας του τροχού, τότε ισχύει Δs=R Δθ. δ. Σημείο του τροχού που απέχει απόσταση 2R από το οριζόντιο επίπεδο έχει ταχύτητα 2υ cm. ε. Σημείο του τροχού που απέχει απόσταση R από το έδαφος και βρίσκεται στην περιφέρεια του τροχού κινείται με επιτάχυνση ίση με 2α cm. Ε5.10 Μια σφαίρα αφήνεται σε κεκλιμένο επίπεδο και κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει. Ποιες από τις προτάσεις που ακολουθούν είναι σωστές ή λανθασμένες και γιατί; α. Υπεύθυνη για την επιτάχυνση του κέντρου βάρους της είναι μόνο η δύναμη του βάρους. β. Η γωνιακή επιτάχυνση όλων των σημείων της είναι ίδια και διατηρείται σταθερή. γ. Το αλγεβρικό άθροισμα των ροπών των δυνάμεων που δέχεται, ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας της είναι μηδέν. δ. Υπεύθυνη για τη γωνιακή επιτάχυνση της σφαίρας είναι μόνο η στατική τριβή με το επίπεδο. ε. Η οριακή τιμή του συντελεστή στατικής τριβής, ώστε η σφαίρα να κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει είναι ανεξάρτητη από τη γωνία κλίσης του επιπέδου. 76 Ν.ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ 110

111 Ε5.11 Ένας κύλινδρος με Ι cm =mr 2 /2 αφήνεται πάνω σε κεκλιμένο επίπεδο γωνίας κλίσης, φ και κυλάει προς τα κάτω χωρίς να ολισθαίνει. Ποιες από τις επόμενες προτάσεις είναι σωστές; α. Υπεύθυνη δύναμη για τη γωνιακή επιτάχυνση κυλίνδρου είναι η δύναμη της στατικής τριβής. β. Η δύναμη του βάρους μαζί με τη δύναμη της στατικής τριβής είναι υπεύθυνες για την επιτάχυνση του κέντρου μάζας. γ. Η κύλιση του κυλίνδρου, χωρίς ολίσθηση, είναι δυνατή αρκεί ο συντελεστής στατικής τριβής να έχει τιμή διάφορη του μηδενός. δ. Η περιοχή τιμών του συντελεστή στατικής τριβής για να είναι δυνατή η κύλιση χωρίς ολίσθηση εξαρτάται και από τη μάζα του κυλίνδρου. Ε5.12 Ομογενής κύλινδρος με ροπή αδράνειας Ι =mr 2 /2 αφήνεται σε κεκλιμένο επίπεδο γωνίας κλίσης φ. I. Για να είναι δυνατή η κύλιση του κυλίνδρου χωρίς ολίσθηση θα πρέπει ο συντελεστής στατικής τριβής μεταξύ κυλίνδρου και επιπέδου να είναι: α. μ σ >εφφ β. μ σ > εφφ/3 γ. μ σ <2εφφ/3 Ποια είναι η σωστή απάντηση; Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. II. Η περιοχή τιμών του μ σ για τις οποίες είναι δυνατή η κύλιση χωρίς ολίσθηση είναι ανεξάρτητη από: α. Τη μάζα του στερεού. β. Τη κλίση του κεκλιμένου. γ. Το σχήμα του στερεού. δ. Τη τραχύτητα των επιφανειών που έρχονται σε επαφή. Ποιες από τις προτάσεις αυτές είναι σωστές; Ε5.13 Μια στεφάνη με ροπή αδράνειας Ι cm =mr 2 κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει πάνω σε οριζόντιο επίπεδο, υπό την επίδραση σταθερής και οριζόντιας δύναμης F η οποία ασκείται στο κέντρο μάζας της. Ποιες από τις προτάσεις που ακολουθούν είναι σωστές; Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας. α. Είναι αδύνατο το επίπεδο να είναι λείο. β. Τα μέτρα της F και της στατικής τριβής, Τ, συνδέονται με τη σχέση: F=2T. γ. Υπεύθυνες για την επιτάχυνση του κέντρου μάζας της στεφάνης είναι η δύναμη F και η στατική τριβή, Τ. δ. Η περιοχή τιμών του συντελεστή στατικής τριβής για να είναι δυνατή η κύλιση χωρίς ολίσθηση δεν εξαρτάται από το μέτρο της δύναμης F. Ε5.14 Κύλινδρος με ροπή αδράνειας Ι cm =mr 2 /2 κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει πάνω σε οριζόντιο επίπεδο, υπό την επίδραση σταθερής και οριζόντιας δύναμης F η οποία ασκείται στο κέντρο μάζας του. Ποιες από τις προτάσεις που ακολουθούν είναι σωστές; Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας. α. Υπάρχει μόνο ένα σημείο του κυλίνδρου που δεν περιστρέφεται. β. Όλα τα σημεία του κυλίνδρου, εκτός του κέντρου μάζας, έχουν την ίδια γωνιακή επιτάχυνση. cm 77 Ν.ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ 111

112 γ. Υπάρχει ένα σημείο του κυλίνδρου που να έχει κάποια στιγμή, μηδενική επιτάχυνση. δ. Η τιμή της επιτάχυνσης του κέντρου μάζας ισούται με α cm =F/m. Ε5.15 Μια σφαίρα αφήνεται σε κεκλιμένο επίπεδο και κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει. Κατά την κίνηση η σφαίρα αποκτάει σταθερή γωνιακή και γραμμική επιτάχυνση. Ποιες δυνάμεις είναι υπεύθυνες: i) Για το γεγονός της μη ολίσθησης της σφαίρας. ii) Για την γωνιακή επιτάχυνση της σφαίρας. iii) Για την επιτάχυνση του κέντρου μάζας της σφαίρας. Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. Ε5.16 Δύο κύλινδροι ο ένας συμπαγής με ροπή αδράνειας Ι 1 =(1/2)ΜR 2 και ο άλλος κοίλος με Ι 2 =ΜR 2, ίδιας μάζας και ακτίνας, αφήνονται ταυτόχρονα ελεύθεροι από το ίδιο ύψος του ίδιου κεκλιμένου επιπέδου και κυλίονται χωρίς να ολισθαίνουν. Ποιος από τους δύο θα φτάσει γρηγορότερα στη βάση; α. Ο συμπαγής β. Ο κοίλος γ. Θα φτάσουν ταυτόχρονα Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. Ε5.17 Οι δύο όμοιο δίσκοι (α) και (β) μπορούν να ολισθαίνουν πάνω σε οριζόντιο τραπέζι χωρίς τριβές. Αρχικά οι δίσκοι είναι ακίνητοι και τα κέντρα τους απέχουν ίδια απόσταση x από την ευθεία y. Ασκούμε στον κάθε δίσκο τις ίδιες σταθερές δυνάμεις F με τον τρόπο που φαίνεται στο σχήμα, τη μια πάντα στο σημείο Α και την άλλη πάντα στο σημείο, Β. Αν το κέντρο μάζας του δίσκου (α) χρειάζεται χρόνο t α για να φτάσει στην ευθεία y, ενώ του δίσκου (β) χρόνο t β, τότε: α. t α >t β β. t α =t β γ. t α <t β Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. (Θέμα πανελλαδικών εξετάσεων 2005) Ε5.18 Δύο σφαίρες ίδια μάζας και ακτίνας, αλλά διαφορετικής κατανομής μάζας, φτάνουν με την ίδια γωνιακή ταχύτητα στην βάση κεκλιμένου επιπέδου το οποίο αρχίζουν να ανεβαίνουν κυλιόμενες χωρίς να ολισθαίνουν. Στο σχήμα φαίνεται η μεταβολή της γωνιακής ταχύτητας της σφαίρας Α και της σφαίρας, Β. Ι. Για τις απόλυτες τιμές της γωνιακής τους επιβράδυνσης ισχύει: α. α γν,α >α γν,β β. α γν,α <α γν,β γ. α γν,α =α γν,β ΙΙ. Για τις ροπές αδράνειας ισχύει: α. Ι Α >Ι Β β. Ι Α <Ι Β γ. Ι Α =Ι Β ΙΙΙ. Για τις περιστροφές, Ν, που κάνουν μέχρι να σταματήσουν ισχύει: α. Ν Α >Ν Β β. Ν Α <Ν Β γ. Ν Α =Ν Β Να αιτιολογήσετε τις απαντήσεις σας. 78 Ν.ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ 112

113 Ε5.19 Μια σφαίρα κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει σε ένα τραχύ οριζόντιο επίπεδο υπό την επίδραση της δύναμης F που διέρχεται από το κέντρο μάζας της, όπως στο σχήμα. Aν κάποια στιγμή εισέλθει σε λείο οριζόντιο επίπεδο, τότε η κίνηση που θα κάνει στη συνέχεια είναι: α. Ομαλή μεταφορά και ομαλή περιστροφή. β. Επιταχυνόμενες μεταφορά και περιστροφή. γ. Επιταχυνόμενη μεταφορά και ομαλή περιστροφή. Ποια είναι η σωστή απάντηση; Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. Ε5.20 Ο τροχός μάζας m, ακτίνας R και ροπής αδράνειας Ι cm =mr 2 /2 δέχεται επίδραση σταθερής δύναμης F και κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει. Βρείτε τη σωστή απάντηση και δικαιολογήστε την επιλογή σας, στις ερωτήσεις που ακολουθούν. Ι. Για τα μέτρα των δυνάμεων ισχύει: α. F=2T β. F=T γ. F=3T ii. Η φορά της στατικής τριβής είναι: α. Προς τα δεξιά. β. Προς τα αριστερά. iii. Το χρονικό διάστημα που απαιτείται για να διανύσει το κέντρο μάζας, Κ, απόσταση, Δx : α. Εξαρτάται από την τραχύτητα των επιφανειών του τροχού και του εδάφους. β. Είναι ανεξάρτητο της τραχύτητας των επιφανειών του τροχού και του εδάφους. Ε5.21 Οι δύο πανομοιότυποι ομογενείς κύλινδροι ξεκινάνε από την ηρεμία και επιταχύνονται υπό την επίδραση δύο ίσων δυνάμεων που ασκούνται στο μεν (1) στο σημείο Α, στον δε (2) στο κέντρο, Κ. Οι κύλινδροι κυλίονται χωρίς να ολισθαίνουν και έχουν ροπή αδράνειας Ι=mR 2 /2. Να απαντήσετε στα ερωτήματα που ακολουθούν και να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας. Ι. Για τις επιταχύνσεις των κέντρων μάζας ισχύει: α. α 1 =α 2 β. α 1 =2α 2 γ. α 2 =2α 1 ΙΙ. Για τις περιστροφές που θα διαγράψουν μέχρι τα κέντρα μάζας τους να διαγράψουν την ίδια απόσταση, x, ισχύει: α. Ν 1 =Ν 2 β. Ν 1 =2Ν 2 γ. Ν 2 =2Ν 1 E5.22 Αβαρές νήμα είναι τυλιγμένο στον άξονα του τροχού που φαίνεται στο σχήμα. Ο τροχός έχει ακτίνα, R, ο άξονας ακτίνα, r=r/2 και η ροπή αδράνειας του τροχού είναι, Ι cm =mr 2 /2, όπου m η μάζα του τροχού. Θέλουμε ο τροχός να κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει πάνω σε οριζόντιο επίπεδο και για το σκοπό αυτό τραβάμε το νήμα με οριζόντια σταθερή δύναμη, μεταξύ τροχού και επιπέδου είναι: F. Το μέτρο της στατικής τριβής α. Τ=0 β. Τ=F γ. Τ=F/2 Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. 79 Ν.ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ 113

114 Ε5.23 Η κοίλη σφαίρα του σχήματος, έχει βάρος w και ανεβαίνει το κεκλιμένο επίπεδο, γωνίας κλίσης φ=30 0 υπό την επίδραση σταθερής δύναμης μέτρου F=w/3. Η δύναμη ασκείται στο κέντρο μάζας και είναι παράλληλη στο κεκλιμένο επίπεδο. Η ροπή αδράνειας της σφαίρας είναι Ι=2mR 2 /3. Δίνεται η επιτάχυνση της βαρύτητας, g. Ι. Η στατική τριβή έχει: α. Ίδια φορά με τη δύναμη, F. β. Αντίθετη φορά από τη δύναμη, F. ΙΙ. Ο ρυθμός μεταβολής της γωνιακής ταχύτητας έχει μέτρο: α. g/r β. g/10r γ. g/3r Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. Ε5.24 Δακτύλιος μάζας m, ακτίνας R και ροπής αδράνειας Ι=mR 2 εκτοξεύεται προς τα πάνω σε κεκλιμένο επίπεδο γωνίας κλίσης φ=30 0 και κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει. Δίνεται η επιτάχυνση της βαρύτητας, g. Ι. Η επιβράδυνση του κέντρου μάζας της σφαίρας έχει μέτρο: α. g/2 β. g/3 γ. g/4 ΙΙ. Η δύναμη που ασκεί το κεκλιμένο στη σφαίρα έχει μέτρο: α. mg 3/2 β. 2mg/4 γ. mg 13/4 ΙΙΙ. Αν αφήναμε τον δακτύλιο να κατέβει το κεκλιμένο, η επιτάχυνση του κέντρου μάζας θα ήταν: α. g/2 β. g/3 γ. g/4 Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. Ε5.25 Η σφαίρα του σχήματος μάζας m ακτίνας R και ροπής αδράνειας Ι κινείται στο οριζόντιο επίπεδο υπό την επίδραση σταθερής οριζόντιας δύναμης μέτρου F η οποία ασκείται στο κέντρο μάζας της. Στο σχήμα φαίνεται η φορά της στατικής τριβής που δέχεται η σφαίρα. Η σφαίρα κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει. Ι. Η δύναμη F έχει: α. Ίδια φορά με τη τριβή Τ. β. Αντίθετη φορά από την Τ. ΙΙ. Το μέτρο της στατικής τριβής είναι: Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. Ε5.26 Ομογενής κύλινδρος έχει μάζα m, ακτίνα R και ροπή αδράνειας ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας του και είναι κάθετος σ αυτόν ίση με Ι Κ =(1/2)mR 2. Σε μικρό αυλάκι που είναι χαραγμένο στην κυλινδρική του επιφάνεια τυλίγεται αβαρές νήμα στο άκρο του οποίου, A, εφαρμόζεται κατακόρυφη σταθερή δύναμη F=4mg. Ο κύλινδρος αρχίζει να περιστρέφεται τη χρονική στιγμή t 0 =0. Το μέτρο της επιτάχυνση του σημείου Α είναι: α. g β. 3g γ. 11g 80 Ν.ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ 114

115 Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. 81 Ν.ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ 115

116 5.27 Σφαίρα κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει σε τραχύ οριζόντιο επίπεδο με σταθερή επιτάχυνση δεχόμενη τη δύναμη που φαίνεται στο σχήμα. Αν ξαφνικά η δύναμη F καταργηθεί τότε η κίνηση της σφαίρας στη συνέχεια θα είναι: α. Ομαλή περιστροφή και ομαλή μεταφορά. β. Επιταχυνόμενη περιστροφή και ομαλή μεταφορά. γ. Επιβραδυνόμενη μεταφορά και ομαλή περιστροφή. Ποια είναι η σωστή απάντηση; Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. (Α) Ασκήσεις και προβλήματα Α5.1 Ο τροχός του σχήματος έχει μάζα m=20kg και ακτίνα R=0,4m και ηρεμεί αρχικά πάνω σε οριζόντιο επίπεδο. Ασκούμε στον άξονα του τροχού οριζόντια δύναμη F=20N με αποτέλεσμα ο τροχός να κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει. Να υπολογιστούν: α. Η επιτάχυνση του κέντρου μάζας του. β. Η γωνιακή επιτάχυνση του τροχού. γ. Η δύναμη της στατικής τριβής. δ. Ο αριθμός των περιστροφών που διαγράφει σε χρόνο 4s. Δίνεται η ροπή αδράνειας του τροχού ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο του και είναι κάθετος σ αυτόν, Ι=mR 2. α. α=0,5m/s 2, β. α γν =1,25rad/s 2, γ. Τ=10Ν, δ. Ν=5/π στ. Α5.2 Ομογενής δακτύλιος μάζας m και ακτίνας R=0,4m αφήνεται τη χρονική στιγμή t 0 =0 από σημείο ενός κεκλιμένου επιπέδου, γωνίας κλίσης, φ με ημφ=0,8, να κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει. Ο δακτύλιος φτάνει στη βάση του κεκλιμένου σε χρόνο t=4s. Να υπολογιστούν: α. Η επιτάχυνση του κέντρου μάζας του δακτυλίου. β. Η γωνιακή επιτάχυνση. γ. Η απόσταση που διένυσε το κέντρο μάζας στα 4s. δ. Η ταχύτητα του σημείου του δακτυλίου που απέχει από το κεκλιμένο επίπεδο απόσταση 0,8m τη χρονική στιγμή t=4s. ε. Το πλήθος των περιστροφών που διέγραψε ο δακτύλιος μέσα στα 4s. Δίνονται η ροπή αδράνειας ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο του και είναι κάθετος στο επίπεδό του, Ι cm =mr 2 και το g=10m/s 2. α. α cm =4m/s 2, β. α γν =10rad/s 2, γ.s=32m, δ υ Α =32m/s, ε. Ν=40/π στρ. Α5.3 Κύλινδρος και σφαίρα ίδιας μάζας m και ίδιας ακτίνας R αφήνονται ταυτόχρονα να κυλίονται χωρίς να ολισθαίνουν από την ίδια θέση κεκλιμένου επιπέδου γωνίας κλίσης φ. α. Ποιες είναι οι επιταχύνσεις των κέντρων μάζας τους, β. Ποιο από τα δύο σώματα φτάνει πρώτο στη βάση του κεκλιμένου επιπέδου; γ. Πόσο είναι ο λόγος των ταχυτήτων με τις οποίες φτάνουν τα δύο σώματα στη βάση του κεκλιμένου επιπέδου. Δίνονται οι ροπές αδράνειας ως προς τους άξονες συμμετρίας τους γύρω από τους οποίους 2 2 περιστρέφονται τα σώματα, για μεν τον κύλινδρο Ι κ = ½mR, για δε τη σφαίρα, Ι σ =2mR /5 και η επιτάχυνση της βαρύτητας, g. 82 Ν.ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ 116

117 α. α κ Α5.4 Σφαίρα μάζας m, ακτίνας R κατεβαίνει κεκλιμένο επίπεδο γωνίας κλίσης φ. Να αποδείξετε ότι για να κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει θα πρέπει ο συντελεστής στατικής τριβής να έχει τιμές: μ σ > 2εφφ 7 Η ροπή αδράνειας της σφαίρας ως προς ένα άξονα συμμετρίας της είναι Ι cm =2mR 2 /5. Α5.5 Συμπαγής και ομογενής σφαίρα μάζας m=10kg και ακτίνας R=0,1m κυλίεται ευθύγραμμα χωρίς ολίσθηση ανερχόμενη κατά μήκος κεκλιμένου επιπέδου γωνίας φ με ημφ=0,56. Τη χρονική στιγμή t 0 =0 το κέντρο μάζας της σφαίρας έχει ταχύτητα με μέτρο υ 0 =8m/s. Δίνεται Ι Κ =2mr 2 /5. Να υπολογίσετε για τη σφαίρα: α. Το μέτρο της γωνιακής ταχύτητας περιστροφής τη χρονική στιγμή t 0 =0. β. Το μέτρο της επιβράδυνσης του κέντρου μάζας. γ. Το μέτρο της στατικής τριβής. δ. Το μέτρο της ταχύτητας του κέντρου μάζας καθώς ανεβαίνει τη χρονική στιγμή t που θα έχει διαγράψει Ν=30/π περιστροφές. α. ω 0 =80rad/s, β. α cm =4m/s 2, γ. Τ=16Ν, δ. υ=4m/s Α5.6 Μια σφαίρα ακτίνας R=0,1m ανεβαίνει κεκλιμένο επίπεδο γωνίας κλίσης φ=30 0 κυλιόμενη χωρίς να ολισθαίνει. Τη χρονική στιγμή t 0 =0 ένα σημείο της περιφέρειας της έχει γωνιακή ταχύτητα ω 0 =100rad/s. Να υπολογιστούν: α. Το μέτρο της γωνιακής επιβράδυνσης της σφαίρας. β. Η χρονική στιγμή θα σταματήσει στιγμιαία. γ. Το διάστημα που θα διανύσει μέχρι να σταματήσει. Δίνονται g=10m/s 2 και η ροπή αδράνειας της σφαίρας Ι cm =2mR 2 /5. α. α γν =35,7rad/s 2, β. t=2,7s, γ. s=14m Α5.7 Γύρω από τροχό μάζας m=4kg ακτίνας R=0,2m είναι τυλιγμένο αβαρές σχοινί στο ελεύθερο άκρο του οποίου ασκούμε σταθερή οριζόντια δύναμη F=12N. O τροχός κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει. Να υπολογιστούν: α. Η επιτάχυνση του κέντρου μάζας του τροχού. β. Η γωνιακή επιτάχυνση του τροχού. γ. Η επιτάχυνση του σημείου εφαρμογής της δύναμης, Α. δ. Η επιτάχυνση του σημείου, Γ. ε. Το μέτρο της στατικής τριβής. στ. Οι τιμές του συντελεστή μέγιστης στατικής τριβής ώστε ο τροχός με αυτήν τη δύναμη, F=12N, να κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει. Δίνεται g=10m/s 2, και η ροπή αδράνειας του τροχού ως προς άξονα που διέρχεται από το K 83 Ν.ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ 117

118 κέντρο μάζας του και είναι κάθετος σ αυτόν, Ι =mr 2 /2. α. α=4m/s 2, β. α γν =20rad/s 2, γ) α Α =8m/s 2, δ. α Γ =0, ε. Τ=4Ν, στ. μ>0,1 A5.8 Στο αυλάκι ενός ομογενούς δίσκου ακτίνας R=0,5m και μάζας Μ=1kg έχουμε τυλίξει αβαρές νήμα και ο δίσκος αρχικά βρίσκεται στο ακίνητος στο οριζόντιο δάπεδο. Τη χρονική στιγμή t 0 =0 ασκούμε στο ελεύθερο άκρο του νήματος σταθερή κατακόρυφη δύναμη F=6N και ο δίσκος αρχίζει να κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει. Να υπολογιστούν: α. Η επιτάχυνση του κέντρου μάζας, β. Το μέτρο της επιτάχυνσης του σημείου Α τη στιγμή της εκκίνησης. γ. Το μήκος του νήματος που ξετυλίχτηκε από t 0 =0 έως t 1 =2s. δ. Στα 2s το νήμα κόβεται. Πόση είναι η μετατόπιση του Κ από t 1 =2s έως t 2 =4s. Η ροπή αδράνειας του δίσκου είναι Ι cm =ΜR 2 /2. α.4m/s 2 β. 4 2m/s 2, γ.8m, δ. 16m. Α5.9 Ο κύλινδρος μάζας m=4kg και ακτίνας R=0,2m ανεβαίνει κυλιόμενος το κεκλιμένο επίπεδο γωνίας κλίσης φ=30 0 με τη βοήθεια σταθερής δύναμης, F που ασκείται στο κέντρο μάζας του και είναι παράλληλη προς το οριζόντιο επίπεδο. Η γωνιακή επιτάχυνση του κυλίνδρου είναι α γν =20rad/s 2. Δίνονται g=10m/s 2 και Ι Κ =mr 2 /2. Να υπολογιστούν: α. Το μέτρο της δύναμης, F β. Το μέτρο της στατικής τριβής,t. γ. Το πλήθος των περιστροφών που διαγράφει σε Δt=10s, αν ξεκινάει από την ηρεμία. α.f=44n, β. Τ=8Ν, Ν=500/π περιστροφές. Α5.10 Η σφαίρα μάζας m=2kg και ακτίνας R=0,1m κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει πάνω σε οριζόντιο επίπεδο. Τη χρονική στιγμή t 0 =0 και ενώ έχει γωνιακή ταχύτητα ω 0 =200rad/s δέχεται σταθερή εφαπτομενική δύναμη, F, στο ανώτερο σημείο της περιφέρειά της. Η σφαίρα επιβραδύνεται και σταματάει τη χρονική στιγμή t 1 =2s, ενώ συνεχώς κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει. Δίνεται Ι Κ =2mR 2 /5. Να υπολογιστούν: α. Το μέτρο της επιβράδυνσης του κέντρου μάζας της σφαίρας. β. Το μέτρο και την κατεύθυνση της στατικής τριβής, Τ. α. α=10m/s 2, β. Τ=6Ν, προς τα αριστερά. Α5.11 Στην επιφάνεια λεπτής στεφάνης ακτίνας R, μάζας m=2kg, υπάρχει χαραγμένο αυλάκι στο οποίο είναι τυλιγμένο αβαρές λεπτό νήμα. Στο ελεύθερο άκρο του νήματος ασκούμε σταθερή δύναμη, F παράλληλη προς το κεκλιμένο επίπεδο γωνίας κλίσης φ=30 0. Τη χρονική στιγμή t 0 =0 η στεφάνη είναι ακίνητη και υπό την επίδραση της δύναμης αρχίζει να ανεβαίνει το κεκλιμένο επίπεδο, κυλιόμενος, χωρίς να ολισθαίνει. Μετρήσαμε ότι σε χρόνο t=2s από τη στιγμή που άρχισε η κύλιση, ξετυλίχτηκε νήμα μήκους λ=5m. Να υπολογιστούν: α. Η επιτάχυνση του κέντρου μάζας της στεφάνης. β. Το μέτρο της δύναμης F. γ. Για ποιες τιμές του συντελεστή στατικής τριβής είναι δυνατόν να κυλίεται η στεφάνη χωρίς να 84 Ν.ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ 118

119 ολισθαίνει στο κεκλιμένο επίπεδο των φ=30 0. Δίνεται η επιτάχυνση της βαρύτητας g=10m/s 2 και η ροπή αδράνειας της στεφάνης ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο του και είναι κάθετος στο επίπεδό της, Ι=mR 2. α. α Κ =2,5m/s 2, β. F=10N, γ. μ> 3/6 Α5.12 Αβαρές νήμα είναι τυλιγμένο στον άξονα του τροχού που φαίνεται στο σχήμα. Ο τροχός έχει ακτίνα, R, ο άξονας έχει ακτίνα, x, όπου x<r και η συνολική μάζα του συστήματος τροχού και άξονα είναι m=10kg και αρχικά είναι ακίνητος. Θέλουμε ο τροχός να κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει πάνω σε οριζόντιο επίπεδο και για το σκοπό αυτό τραβάμε τη χρονική στιγμή t 0 =0, το νήμα με οριζόντια σταθερή δύναμη, F με μέτρο F=30N, της οποίας ο φορέας βρίσκεται πάνω από το κέντρο μάζας του τροχού. α. Να υπολογιστεί η δύναμη της στατικής τριβής Τ που ασκείται μεταξύ τροχού και επιπέδου, ως συνάρτηση της απόστασης, x και της ακτίνας R. Να κάνετε και τη σχετική γραφική παράσταση, Τ=f(x). Δίνεται η ροπή αδράνειας Ι cm =mr 2 /2. Αν είναι x=r/2 να βρείτε τη χρονική στιγμή t=10s: β. τη μετατόπιση και την ταχύτητα του κέντρου μάζας γ. τη μετατόπιση και την ταχύτητα του σημείου Δ. δ. το μήκος του νήματος που ξετυλίχτηκε στο χρονικό διάστημα των 10s. β. 150m, 30m/s, γ. 225m, 45m/s, δ.75m Α5.13 Οι δύο ομόκεντροι δίσκοι του σχήματος έχουν ακτίνες R=0,4m και r=0,1m, είναι συγκολλημένοι και το σύστημά τους έχει συνολική μάζα, m=4kg και ροπή αδράνειας Ι=0,36kgm 2. Γύρω από το μικρό κύλινδρο είναι τυλιγμένο αβαρές νήμα στο άκρο του οποίου ασκούμε δύναμη μέτρου F=20N στο άκρο του νήματος Α με τον τρόπο που βλέπουμε στο σχήμα. Να υπολογιστούν: α. Η γωνιακή επιτάχυνση του συστήματος και η επιτάχυνση του άκρου Α. β. Το μέτρο και η κατεύθυνση της στατικής τριβής, Τ. γ. Τη χρονική στιγμή t 0 =0 που άρχισε να εφαρμόζεται η δύναμη, το σύστημα ήταν ακίνητο και το νήμα ξετυλιγμένο κατά 0,3m. Mετά πόσο χρόνο το νήμα έχει τυλιχτεί όλο στον κύλινδρο και πόση είναι η μετατόπιση του κέντρου μάζας στο ίδιο χρονικό διάστημα; α. α γν =6rad/s 2, α Α = 1,8m/s 2, β. Τ=10,4Ν, αριστερά, γ. t=1s, L=1,2m 2 85 Ν.ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ 119

120 Α5.14 Δύο κύλινδροι με ακτίνες R και r με R=2r αντιστοίχως είναι συνδεδεμένοι έτσι ώστε να σχηματίζουν ένα αυλάκι στο οποίο είναι τυλιγμένο αβαρές σχοινί και βρίσκονται πάνω σε οριζόντια επίπεδη επιφάνεια. Η μάζα του συστήματος είναι m και η ροπή αδράνειας ως προς άξονα που διέρχεται από το κοινό τους κέντρο και είναι κάθετος σ αυτούς είναι Ι. Δύναμη μέτρου F ασκείται στο άκρο του σχοινιού, έτσι ώστε η διεύθυνσή της να σχηματίζει γωνία φ με το οριζόντιο επίπεδο και βάζει το σύστημα σε κίνηση. α. Να βρεθεί η επιτάχυνση του κέντρου μάζας του συστήματος, ώστε ο το σύστημα να κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει. β. Για ποιες τιμές της γωνίας φ το σύστημα θα κυλήσει προς τα αριστερά; α. α=fr(rσυνφ r)/(ι+mr 2 ), β.φ>60 0 Α5.15 Επί του ομογενούς κυλίνδρου μάζας m=8kg και ακτίνας R=20cm ασκείται οριζόντια δύναμη F=40N, όπως στο σχήμα. Δίνεται g=10m/s 2. Aν ο συντελεστής τριβής μεταξύ κυλίνδρου και δαπέδου είναι μ=0,2 να υπολογιστούν: α. Tο ύψος h στο οποίο πρέπει να ασκείται η δύναμη, F, ώστε ο κύλινδρος να ολισθαίνει χωρίς να κυλίεται. β. Η επιτάχυνση του κέντρου μάζας του κυλίνδρου. α. h=0,12m, β. α=3m/s 2 A5.16 Κύλινδρος μάζας m=40kg ακτίνας R=0,5m είναι αρχικά ακίνητος πάνω σε οριζόντιο επίπεδο με το οποίο παρουσιάζει τριβή με συντελεστή μέγιστης στατικής τριβής μ σ =0,2. Ο συντελεστής μ σ θεωρείται ίσος με το συντελεστή τριβής ολίσθησης. Ασκούμε στον κύλινδρο σταθερή δύναμη μέτρου F=120N, όπως στο σχήμα και ο κύλινδρος αρχίζει να κινείται. Δίνoνται g=10m/s 2 και Ι cm =mr 2 /2. α. Να εξετάσετε το είδος της κίνησης του κυλίνδρου. β. Να υπολογίσετε την επιτάχυνση του κέντρου μάζας και τη γωνιακή επιτάχυνση. γ. Αν η δύναμη είναι F=300N, πόση θα γίνει τότε η επιτάχυνση του κέντρου μάζας και η γωνιακή επιτάχυνση; α. Κύλιση χωρίς ολίσθηση, β. 4m/s 2, 8rad/s 2, γ. 9,5m/s 2, 22rad/s 2 Α5.17 Λεπτή κυκλική στεφάνη μάζας m, ακτίνας R=0,2m, περιστρέφεται με γωνιακή ταχύτητα ω 0 =100rad/s πάνω από οριζόντιο έδαφος και τη χρονική στιγμή t 0 =0 την αφήνουμε να πέσει στο έδαφος από πολύ μικρό ύψος, έτσι ώστε η αρχική ταχύτητα του κέντρου μάζας της να είναι μηδενική. Η ροπή αδράνειας της στεφάνης ως προς άξονα που διέρχεται 2 από το κέντρο της Κ και είναι κάθετος σ αυτήν είναι Ι Κ =mr 2 και ο συντελεστής τριβής ολίσθησης μεταξύ αυτής και του εδάφους μ=0,1, ο οποίος και θεωρείται ίσος με το συντελεστή στατικής τριβής. Να υπολογιστούν: α. Η χρονική που η στεφάνη θα αρχίσει να κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει. β. Η ταχύτητα υ cm του κέντρου μάζας Κ της στεφάνης, όταν θα κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει. γ. Η γωνιακή ταχύτητα της στεφάνης όταν θα κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει. δ. Να γίνουν οι γραφικές παραστάσεις για υ cm =f(t) και ω=f(t), από 0 έως 20s. 86 Ν.ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ 120

121 Δίνεται g=10m/s 2. α. t=10s, β. υ cm =10m/s, γ. ω=50rad/s Α5.18 Μια κυκλική στεφάνη ακτίνας R=0,1m έχει όλη της τη μάζα ομοιόμορφα συγκεντρωμένη στην περιφέρεια και περιστρέφεται αρχικά με γωνιακή ταχύτητα ω 0 =68rad/s ενώ το κέντρο μάζας της είναι ακίνητο. Και τη χρονική στιγμή t 0 =0, την αφήνουμε απαλά πάνω σε κεκλιμένο επίπεδο γωνίας κλίσης, φ. Αν ο συντελεστής στατικής τριβής μεταξύ στεφάνης και επιπέδου θεωρηθεί ίσος με το συντελεστή τριβής ολίσθησης και είναι μ=0,8, να υπολογιστούν: α. Η επιτάχυνση του κέντρου μάζας για το διάστημα που κυλίεται και ολισθαίνει ταυτόχρονα. β. Η χρονική στιγμή, t 1 που αρχίζει η στεφάνη να κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει. γ. Η απόσταση s 1 που θα διανύσει η στεφάνη σ αυτό το χρονικό διάστημα, t 0 t 1. δ. Στη συνέχεια η στεφάνη κυλίεται ομαλά επιβραδυνόμενη και κάποια χρονική στιγμή t 2 σταματάει. Να υπολογιστεί η χρονική στιγμή t 2 και η μετατόπιση του κέντρου βάρους της στο χρονικό διάστημα t 2 t 1. Δίνονται, g=10m/s 2, ημφ=0,6 και συνφ=0,8 και η ροπή αδράνειας της στεφάνης Ι=mR 2. α. α=0,4m/s 2 β. t 1 =1s, γ. s 1 =0,2m, δ. t 2 =1,133s, Δs 0,027m Α5.19 Σφαίρα ηρεμεί πάνω σε οριζόντια τραχιά επιφάνεια με την οποία ο συντελεστής τριβής ολίσθησης είναι μ=0,2 και θεωρείται ίσος με το συντελεστή στατικής τριβής. Με κατάλληλο χτύπημα δίνουμε τη χρονική στιγμή t 0 =0, στο κέντρο μάζας της σφαίρας ταχύτητα υ 0 =7m/s με διεύθυνση παράλληλη προς το έδαφος, ενώ την ίδια στιγμή η γωνιακή της ταχύτητα είναι μηδέν, ω 0 =0. Να υπολογιστούν: α. Η χρονική στιγμή t 1 κατά την οποία αρχίζει η σφαίρα να κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει. β. Το αντίστοιχο διάστημα που πρέπει να διανύσει το κέντρο μάζας ώστε να συμβεί αυτό. Η ροπή αδράνειας της σφαίρας ως προς άξονα συμμετρίας της είναι Ι =2mr 2 Κ /5. α. t 1 =1s, β. s=6m Α5.20 Σφαίρα ακτίνας r=0,1m εκτοξεύεται κατά μήκος οριζόντιας και επίπεδης επιφάνειας τη χρονική στιγμή t 0 =0 με ταχύτητα κέντρου μάζας υ 0 και αρχική γωνιακή ταχύτητα ω 0 =100rad/s. Ο συντελεστής τριβής μεταξύ σφαίρας και επιφάνειας είναι μ=0,4, η επιτάχυνση της βαρύτητας g=10m/s 2 και η ροπή αδράνειας της σφαίρας ως προς ένα άξονα συμμετρίας της είναι Ι =2mr 2 /5. Να υπολογιστεί η χρονική στιγμή που θα αρχίσει η κύλιση της σφαίρας χωρίς ολίσθηση αν Ο δίνεται ότι: i. υ 0 =10m/s, ii. υ 0 =17m/s, iii. υ 0 =5m/s. i. t=0, ii. t=0,5s, iii. t=0,36s Α5.21 Ομογενής κυλινδρικός δίσκος ακτίνας R=0,1m και μάζας Μ είναι τυλιγμένος με 87 Ν.ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ 121

122 αβαρές νήμα η άλλη άκρη του οποίου είναι κρεμασμένη σε ακλόνητο σημείο. Αφήνουμε το δίσκο ελεύθερο τη χρονική στιγμή t 0 =0 όπου υ 0 =0, ω 0 =0. Ο δίσκος αρχίζει να πέφτει κατακόρυφα. Να υπολογιστούν τη χρονική στιγμή t 1 =2s α. Η ταχύτητα και η μετατόπιση του κέντρου μάζας. β. Ο αριθμός των περιστροφών του δίσκου. γ. Τη χρονική στιγμή t 1 =2s, το νήμα κόβεται. Ποια θα είναι η συνολική μετατόπιση του CM του δίσκου από t 0 =0 έως t 2 =4s. Δίνεται το g=10m/s 2 και η ροπή αδράνειας του δίσκου Ι=ΜR 2. α. y=10m, υ=10m/s, β. Ν=50/π, γ. 50m Α5.22 Το «γιο γιο» του σχήματος έχει μορφή ομογενούς δίσκου μάζας m ακτίνας R και αφήνεται να πέσει χωρίς τριβές με τον αέρα, ενώ το ελεύθερο άκρο του νήματος που είναι τυλιγμένο γύρω του στηρίζεται σε ακλόνητο σημείο της οροφής. Όταν ξεκινάει την πτώση του, η περιφέρειά του εφάπτεται της οροφής. Να υπολογιστούν: α. Η επιτάχυνση του κέντρου μάζας του και η τάση του νήματος. β. Το χρονικό διάστημα που περνάει από τη στιγμή που αρχίζει η πτώση μέχρι να ακουμπήσει η περιφέρειά του στο πάτωμα. Δίνονται το g, η ροπή αδράνειας, Ι=mR 2 /2 και το ύψος h από την οροφή ως το δάπεδο. α. α κ =2g/3, Τ=mg/3, β. Α5.23 Γύρω από ομογενή κύλινδρο (γιο γιο) μάζας m=0,2kg ακτίνας R=0,1m είναι τυλιγμένο αβαρές σχοινί και στο ελεύθερο άκρο του σχοινιού ασκείται κατακόρυφη σταθερή δύναμη F με φορά προς τα πάνω έτσι ώστε το κέντρο μάζας του κυλίνδρου, Κ, να μένει στο ίδιο ύψος πάνω από το έδαφος, ενώ ο κύλινδρος περιστρέφεται. α. Πόσο είναι το μέτρο της δύναμης, F. β. Με πόση γωνιακή επιτάχυνση περιστρέφεται ο κύλινδρος; γ. Πόσο μήκος σχοινιού έχει ξετυλιχτεί μέχρι ο κύλινδρος να αποκτήσει γωνιακή ταχύτητα ω=100rad/s. δ. Τη χρονική στιγμή που η ταχύτητα είναι ω=100rad/s κόβεται το νήμα. Μετά από χρονικό διάστημα Δt=2s, αφότου κόπηκε το νήμα να υπολογιστούν η ταχύτητα του κέντρου Κ και η ταχύτητα του σημείου του δίσκου που βρίσκεται στο ίδιο οριζόντιο επίπεδο με το Κ αριστερά αυτού και σε απόσταση R από αυτό. Δίνεται το g=10m/s 2 και η ροπή αδράνειας του δίσκου Ι=ΜR 2 /2. α. F=2Ν, β. a γ =200rad/s 2, γ. s=2,5m, δ.20m/s, 30m/s Α5.24 Ο δίσκος του σχήματος έχει μάζα m=1,5kg ακτίνα, R=0,25m και ροπή αδράνειας Ι Κ =mr 2 /2. Σταθερή δύναμη F=18N ασκείται στην άκρη του νήματος που είναι τυλιγμένο γύρω από το δίσκο. Να υπολογιστούν: α. Η επιτάχυνση του κέντρου μάζας και η γωνιακή επιτάχυνση του δίσκου. β. Η επιτάχυνση του άκρου του νήματος, Α, που είναι και σημείο εφαρμογής της δύναμης, F. α. α=2m/s 2, α γν =96rad/s 2, β. α Α =26m/s 2 88 Ν.ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ 122

123 5.25 Ομογενής κύλινδρος έχει μάζα m, ακτίνα R και ροπή αδράνειας ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας του και είναι κάθετος σ αυτόν ίση με Ι Κ =mr 2 /2. Σε μικρό αυλάκι που είναι χαραγμένο στην κυλινδρική του επιφάνεια τυλίγεται αβαρές νήμα στο άκρο του οποίου, A, εφαρμόζεται κατακόρυφη σταθερή δύναμη F. Ο κύλινδρος αρχίζει να περιστρέφεται τη χρονική στιγμή t 0 =0.Να υπολογιστούν: α) το μέτρο της δύναμης F, β) η επιτάχυνση του σημείου Α, και γ) το μήκος, ΔL, του νήματος που ξετυλίγεται μετά από χρόνο, t=1s, στις περιπτώσεις που το κέντρο μάζας του κυλίνδρου, Κ: i. Κατεβαίνει με επιτάχυνση μέτρου 5m/s 2. ii. Ανεβαίνει με επιτάχυνση μέτρου 5m/s 2. iii. Μένει ακίνητο. i.5ν, 5m/s 2, 5m ii) 15Ν, 35m/s 2, 15m, iii) 10Ν, 20m/s 2,10m Α5.26 Νήμα αβαρές συνδέει σώμα μάζας m 1 =2kg με το κέντρο Ο του τροχού που έχει μάζα Μ=1kg ακτίνα R=0,1m και ροπή αδράνειας ως προς άξονα που περνάει από το κέντρο Ο, 2 Ι O =(1/2)ΜR. H σύνδεση γίνεται μέσω τροχαλίας μάζας m=1kg και ακτίνας r=0,05m η οποία θεωρείται ομογενής δίσκος με ροπή αδράνειας ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο της Κ και 2 είναι κάθετος σ αυτήν Ι Κ =(1/2)mr.Αν αφήσουμε το σώμα να πέσει και ο τροχός κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει, να υπολογιστούν: α. Η επιτάχυνση του σώματος. β. Η γωνιακή επιτάχυνση του τροχού. γ.h γωνιακή επιτάχυνση της τροχαλίας. 89 Ν.ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ 123

124 δ. Η γωνία που θα έχει διαγράψει ένα σημείο του τροχού μέσα στο χρόνο που θα χρειαστεί το σώμα για να μετατοπιστεί κατά 10cm.Δίνεται g=10m/s 2. α. α=5m/s 2, β. α γν =50rad/s 2, γ) α γν =100rad/s 2, δ. θ=1rad Α5.27 Στο σύστημα που φαίνεται στο σχήμα ο ομογενής κύλινδρος, μάζας Μ=8kg και ακτίνας R, έχει ροπή αδράνειας ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο του και είναι κάθετος σ αυτόν, Ι =ΜR 2 /2, ενώ η Κ τροχαλία είναι αβαρής. Σώμα Σ έχει μάζα m=1kg και συνδέεται με τον κύλινδρο μέσω αβαρούς νήματος το οποίο δεν ολισθαίνει μέσα στο αυλάκι της τροχαλίας και αφήνεται να πέσει. Το νήμα είναι τυλιγμένο μέσα σε ειδικό αυλάκι που είναι χαραγμένο στην επιφάνειά του κυλίνδρου. Να υπολογιστούν: α. Η επιτάχυνση του κέντρου μάζας, Κ του κυλίνδρου, αν αυτός κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει. β. Η τάση του νήματος, F. γ. Η μετατόπιση του κέντρου μάζας του κυλίνδρου στον οριζόντιο άξονα, όταν η μετατόπιση του σώματος στον κατακόρυφο άξονα είναι dy=1m. Δίνεται g=10m/s 2. α. α Κ =1,25m/s 2, β. F=7,5N, γ. dx=0,5m Α5.28 Δύο κυλινδρικοί δίσκοι έχουν ίδια μάζα m=2kg και ίδια ακτίνα R=0,2m και ροπή αδράνεια ως προς τον άξονα συμμετρίας τους και περιστροφής τους, Ι=(1/2)mR 2. O ένας δίσκος μπορεί να στρέφεται χωρίς τριβές γύρω από σταθερό άξονα, όπως φαίνεται στο σχήμα, ενώ αβαρές λεπτό νήμα είναι τυλιγμένο γύρω και από τους δύο δίσκους. Αν αφήσουμε το δεύτερο δίσκο ελεύθερο αυτός πέφτει ενώ ταυτόχρονα περιστρέφεται. Δίνεται g=10m/s 2. Να υπολογιστούν: α. Η επιτάχυνση του κέντρου μάζας του κάτω δίσκου. β. Η τάση του νήματος, γ. Η γωνιακή επιτάχυνση του κάθε δίσκου. α. α=8m/s 2, β. Τ=4Ν, γ. α γν =20rad/s 2 Α5.29 Σε ειδικό αυλάκι χαραγμένο στην περιφέρεια ενός τροχού που έχει μάζα m=2kg και ακτίνα R=0,2m, έχει τυλιχτεί αβαρές νήμα. Τη χρονική στιγμή t 0 =0 τραβάμε το νήμα με σταθερή δύναμη μέτρου F=30N και ο τροχός αρχίζει από την ηρεμία να κυλίεται στο οριζόντιο επίπεδο χωρίς να ολισθαίνει. Να υπολογιστούν: α. Η επιτάχυνση του κέντρου μάζας του τροχού και το μέτρο της στατικής τριβής, Τ. β. Η μέγιστη τιμή της δύναμης F, ώστε να μην έχουμε ολίσθηση, αν ο συντελεστής μέγιστης στατικής τριβής μεταξύ επιπέδου και τροχού είναι μ s =0,8. γ. Η μετατόπιση του σημείου εφαρμογής της δύναμης F και το μήκος του νήματος που ξετυλίγεται μέχρι τη χρονική στιγμή t 1 =2s που ο τροχός φτάνει στο σημείο Γ. δ. Στη συνέχεια ο τροχός κατεβαίνει λείο κεκλιμένο επίπεδο, γωνίας κλίσης φ=30 0. Να βρείτε τη γωνιακή ταχύτητα περιστροφής και την ταχύτητα του κέντρου μάζας τη χρονική στιγμή t 2 =4s, ενώ θα κατεβαίνει στο κεκλιμένο επίπεδο. Δίνονται g=10m/s 2 και Ι Κ =(1/2)mR 2. α. α=20m/s,2, Τ=10Ν, β. Fmax=48N, γ. Δx=80m,ΔL=40, δ.200rad/s, 50m/s 90 Ν.ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ 124

125 Α5.30 Ο τροχός του σχήματος μάζας m=1kg και ακτίνας R=0,4m μπορεί να στρέφεται ελεύθερα γύρω από οριζόντιο άξονα που περνά από το κέντρο του Κ. Ο άξονας στηρίζεται σε βάση, η οποία είναι τοποθετημένη σε οριζόντιο επίπεδο με το οποίο ο συντελεστής τριβής είναι μ=0,1. Η βάση μαζί με τον άξονα και τα στηρίγματα έχει μάζα Μ=9kg. Γύρω από τον τροχό είναι τυλιγμένο αβαρές νήμα, του οποίου, το ελεύθερο άκρο, Γ, το τραβάμε με σταθερή δύναμη μέτρου F=50N. Τη χρονική στιγμή t 0 =0, τροχός και βάση είναι ακίνητα. Δίνονται Ι Κ =mr 2 /2 και g=10m/s 2. Να υπολογιστούν: α. Η επιτάχυνση α της βάσης. β. Η επιτάχυνση α Γ του σημείου, Γ, εφαρμογής της δύναμης. γ. Τις μετατοπίσεις των σημείων Γ και Κ τη χρονική στιγμή t=10s. δ. Το μήκος του νήματος που ξετυλίχτηκε μέχρι τη χρονική στιγμή t=10s. α. α=4m/s 2, β. α Γ =104m/s 2, γ. x Γ =5200m, x Κ =200m, δ. L=5000m 5.31 Από την κορυφή του κεκλιμένου επιπέδου αφήνονται να κυλήσουν ταυτόχρονα δίσκος και δακτύλιος ίδιας μάζας Μ και ίδιας ακτίνας R. Η ροπή αδράνειας του δίσκου είναι Ι 1 =ΜR 2 /2 και του δακτυλίου Ι 2 =ΜR 2 ως προς τους άξονες που διέρχονται από τα κέντρα μάζας τους και είναι κάθετοι στα επίπεδά τους. α. Να υπολογίσετε ποιο από τα σώματα κινείται με τη μεγαλύτερη επιτάχυνση. β. Συνδέουμε με κατάλληλο τρόπο τα κέντρα μάζας των δύο στερεών, όπως φαίνεται και στο σχήμα, με ράβδο αμελητέας μάζας, η οποία δεν εμποδίζει την περιστροφή τους και δεν ασκεί τριβές. Το σύστημα κυλίεται στο κεκλιμένο επίπεδο χωρίς να ολισθαίνει. Αν η μάζα κάθε στερεού είναι Μ=1,4 kg, να υπολογίσετε τις δυνάμεις που ασκεί η ράβδος σε κάθε σώμα, αν είναι δεδομένο ότι η δύναμη αυτή ασκείται κατά μήκος της ράβδου. Μεταφέρετε το σχήμα στο τετράδιό σας και σχεδιάστε τις πιο πάνω δυνάμεις. Δίνεται: g=10 m/s 2. α. α 1 >α 2. β. F=1N Α5.32 Στη διάταξη που φαίνεται στο σχήμα το σώμα που κρέμεται από το νήμα έχει μάζα m=3kg. Ο ομογενής κύλινδρος μάζας M 2 =8kg και ακτίνας R 2 =R βρίσκεται τοποθετημένος πάνω σε κεκλιμένο επίπεδο γωνίας κλίσης φ=30 0 και συνδέεται με αβαρές νήμα, μέσω τροχαλίας μάζας Μ 1 =8kg και ακτίνας R 2 =R. Το νήμα είναι τυλιγμένο σε μικρό αυλάκι του κυλίνδρου και δεν ολισθαίνει μέσα σ αυτό. α. Το σύστημα αρχικά ισορροπεί με τη βοήθεια της δύναμης F x που ασκείται στο κέντρο μάζας του κυλίνδρου και είναι παράλληλη προς το κεκλιμένο. Να υπολογιστεί το μέτρο της F x. β. Αφήνουμε το σύστημα ελεύθερο να κινηθεί. Να υπολογιστεί η επιτάχυνση του σώματος m. γ. Κατά πόσο θα μετατοπιστεί κατακόρυφα το σώμα, m, αν ο κύλινδρος μετατοπιστεί κατά x=1m πάνω στο κεκλιμένο; Δίνονται g=10m/s 2 και οι ροπές αδράνειας των στερεών Ι=ΜR 2 /2. α. F x =20N, β. α=1m/s 2, γ. y=2m 91 Ν.ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ 125

126 6. Η στροφορμή και η διατήρηση της (Ε) Ερωτήσεις E6.1 Υλικό σημείο μάζας m εκτελεί ομαλή κυκλική κίνηση με ταχύτητα μέτρου υ και ακτίνα τροχιάς r. Η στροφορμή του υλικού αυτού σημείου ως προς άξονα zz που διέρχεται από το κέντρο της τροχιάς και είναι κάθετος στο επίπεδο αυτής: α. Έχει μέτρο ίσο με L= β. Είναι μέγεθος γ. Έχει μονάδα μέτρησης δ. Το διάνυσμα L έχει τη διεύθυνση του ε. Η φορά του L καθορίζεται από.. στ. Το ανάλογο της στροφορμής ενός υλικού σημείου στη στροφική κίνηση είναι η.. του υλικού σημείου για τη γραμμική κίνηση. Να συμπληρώσετε τα κενά στις προηγούμενες προτάσεις. E6.2 Να συμπληρώσετε τα κενά στις προτάσεις που ακολουθούν: α. Η στροφορμή ενός στερεού σώματος ως προς σταθερό άξονα είναι ίση με το διανυσματικό άθροισμα των.. ως προς τον ίδιο άξονα όλων των υλικών σημείων που το αποτελούν. β. Όταν ένα σώμα περιστρέφεται γύρω από έναν άξονα, τότε το διάνυσμα της στροφορμής του L έχει κατεύθυνση κατά μήκος του και το μέτρο είναι L=. γ. Η στροφορμή ενός σώματος γύρω από άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας του ονομάζεται και. δ. Το αλγεβρικό άθροισμα των που δρουν σε ένα στερεό σώμα που περιστρέφεται γύρω από σταθερό άξονα, είναι ίσο με την αλγεβρική τιμή του ρυθμού μεταβολής της στροφορμής του. ε. Αν σ ένα σώμα η συνολική ροπή είναι τότε η στροφορμή του σώματος διατηρείται σταθερή. E6.3 Να συμπληρώσετε τα κενά στις προτάσεις που ακολουθούν: α. Σε ένα σύστημα σωμάτων, στροφορμή ονομάζεται το.. άθροισμα των στροφορμών των σωμάτων που αποτελούν το σύστημα. β. Σύμφωνα με τον.. νόμο του Νewton, η ολική ροπή των εσωτερικών δυνάμεων σε ένα σύστημα σωμάτων είναι. γ. Υπεύθυνο για τη μεταβολή της στροφορμής σε ένα σύστημα σωμάτων είναι το αλγεβρικό άθροισμα των των δυνάμεων. δ. Το αλγεβρικό άθροισμα των εξωτερικών ροπών που δρουν σε ένα σύστημα σωμάτων που περιστρέφεται γύρω από σταθερό άξονα, είναι ίσο με την αλγεβρική τιμή του ρυθμού μεταβολής της του συστήματος. ε. Αν σε ένα σύστημα σωμάτων η συνολική εξωτερική ροπή είναι τότε η ολική στροφορμή του συστήματος διατηρείται σταθερή. E6.4 Στερεό σώμα περιστρέφεται γύρω από άξονα zz με σταθερή γωνιακή ταχύτητα ω. Να δείξετε ότι η στροφορμή του σώματος ως προς τον άξονα αυτόν έχει μέτρο L=Iω, όπου Ι η ροπή αδράνειας του σώματος ως προς τον ίδιο άξονα, η διεύθυνση που βρίσκεται πάνω στον άξονα zz και φορά που καθορίζεται από τον κανόνα του δεξιού χεριού. 92 Ν.ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ 126

127 E6.5 α. Να διατυπωθεί και να αποδειχθεί η σχέση που αποτελεί το ανάλογο του 2 ου νόμου του Νewton στην στροφική κίνηση σώματος. β. Να εκφραστεί ο 2 ος νόμος για σύστημα σωμάτων που κάνουν στροφική κίνηση. γ. Να διατυπωθεί η αρχή διατήρησης της στροφορμής για σύστημα σωμάτων. E6.6 Η στροφορμή ενός υλικού σημείου που περιφέρεται σε τροχιά ακτίνας, r, είναι: α. Μέγεθος μονόμετρο. β. Έχει μέτρο L=mωr. γ. Μετριέται σε kgm/s 2. δ. Έχει διεύθυνση κάθετη στο επίπεδο της τροχιάς του. E6.7 Σπιν ονομάζουμε: α. Τη ροπή αδράνειας ενός σώματος ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας του. β. Τη στορφορμή που σχετίζεται με τη περιστροφική κίνηση ενός σώματος γύρω από άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας του. γ. Το ρυθμό μεταβολής της γωνιακής ταχύτητας ενός σώματος που περιστρέφεται. δ. Το ρυθμό μεταβολής της στροφορμής ενός σώματος ως προς τον άξονα περιστροφής του. E6.8 Η αρχή διατήρησης της στροφορμής: α. Ισχύει για κάθε σύστημα σωμάτων. β. Ισχύει για σύστημα σωμάτων στο οποίο η συνισταμένη των εξωτερικών δυνάμεων είναι μηδέν. γ. Ισχύει μόνο σε σύστημα σωμάτων που δεν δέχεται καθόλου εξωτερικές ροπές. δ. Ισχύει για σύστημα σωμάτων στο οποίο η συνολική εξωτερική ροπή είναι μηδέν. E6.9 Η αλγεβρική τιμή του ρυθμού μεταβολής της στροφορμής ενός σώματος: α. Αυξάνεται, αν στο σώμα ασκούνται σταθερές θετικές ροπές. β. Ισούται με το αλγεβρικό άθροισμα όλων των δυνάμεων που ασκούνται στο σώμα. γ. Ισούται με το αλγεβρικό άθροισμα όλων των ροπών που ασκούνται στο σώμα. δ. Είναι μηδέν, τη χρονική στιγμή που μηδενίζεται η γωνιακή ταχύτητα του σώματος. E6.10 Ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής ενός συστήματος σωμάτων: α. Μεταβάλλεται, αν λόγω εσωτερικών δυνάμεων μεταβληθεί η ροπή αδράνειας του συστήματος. β. Ισούται με τη διανυσματικό άθροισμα όλων των ροπών των εσωτερικών δυνάμεων που ασκούνται στο σύστημα. γ. Είναι σταθερός, αν είναι σταθερό και το διανυσματικό άθροισμα των εξωτερικών ροπών που δρουν στο σύστημα. δ. Μετριέται σε kgm 2 /s. E6.11 Για να μείνει σταθερή η στροφορμή ενός σώματος που περιστρέφεται γύρω από ακλόνητο άξονα πρέπει: α. Η συνισταμένη των δυνάμεων που δέχεται να είναι μηδέν. β. Η συνισταμένη των δυνάμεων που δέχεται να είναι σταθερή. γ. Το αλγεβρικό άθροισμα των ροπών που δέχεται να είναι σταθερό. δ. Το αλγεβρικό άθροισμα των ροπών που δέχεται να είναι μηδέν. E6.12 Ποιες από τις προτάσεις που ακολουθούν είναι σωστές ή λανθασμένες; α. Ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής ενός σώματος ισούται με τη συνολική εξωτερική ροπή που ασκείται σ αυτό, αν ροπές και στροφορμή μετρώνται ως προς το ίδιο σημείο. 93 Ν.ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ 127

128 β. Αν η συνολική εξωτερική ροπή που ασκείται σ ένα σώμα ως προς κάποιο σημείο είναι μηδέν, τότε είναι μηδέν και η στροφορμή του, ως προς το ίδιο σημείο. γ. Αν κατά τη διάρκεια της περιστροφής ενός σώματος μεταβληθεί ο προσανατολισμός του άξονα περιστροφής χωρίς να μεταβληθεί το μέτρο της γωνιακής του ταχύτητας, τότε η στροφορμή του ως προς τον άξονα αυτό μεταβάλλεται. δ. Αν κατά τη διάρκεια της περιστροφής ενός σώματος μεταβληθεί η ροπή αδράνειας του σώματος ως προς τον άξονα περιστροφής του, μόνο λόγω εσωτερικών δυνάμεων, τότε μεταβάλλεται και η στροφορμή. ε. Αν σε σώμα ισχύουν Σ F=0 και Στ 0 τότε η ορμή του σώματος διατηρείται σταθερή, αλλά η στροφορμή του μεταβάλλεται. E6.13 Αν η συνισταμένη ροπή που ασκείται σ ένα σώμα είναι σταθερή και διάφορη του μηδενός, τότε: α. Η συνισταμένη δύναμη που δρα στο σώμα είναι μηδέν. β. Η στροφορμή του σώματος μεταβάλλεται ανάλογα με το χρόνο. γ. Η γωνιακή ταχύτητα διατηρείται σταθερή. δ. Η στροφορμή διατηρείται κατά μέτρο σταθερή. E6.14 Η ροπή αδράνειας ενός σώματος, σύμφωνα με τη σχέση, Ι=L/ω: α. Είναι ανάλογη της στροφορμής. β. Είναι αντιστρόφως ανάλογη της γωνιακής ταχύτητας. γ. Ισχύουν τα (α) και (β). δ. Δεν ισχύει τίποτα από τα παραπάνω. E6.15 Αυτοκίνητο κατευθύνεται προς το Νότο πάνω σε οριζόντιο επίπεδο. Το διάνυσμα της στροφορμής των τροχών του έχει κατεύθυνση προς: α. Το Βορρά. β. Το Νότο. γ. Την Ανατολή. δ. Τη Δύση. E6.16 Σώμα περιστρέφεται γύρω από σταθερό άξονα χωρίς να δέχεται εξωτερικές ροπές. Αν λόγω εσωτερικών δυνάμεων υποδιπλασιαστεί η ροπή αδράνειάς του, τότε η γωνιακή ταχύτητα: α. Διπλασιάζεται. β. Υποδιπλασιάζεται. γ. Μένει σταθερή. δ. Τετραπλασιάζεται. E6.17 Μια ομογενής και ισοπαχής ράβδος στρέφεται γύρω από άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας της και είναι κάθετος σ αυτήν. Αν ο άξονα μετατοπιστεί παράλληλα προς τον εαυτό του και η γωνιακή ταχύτητα διατηρηθεί σταθερή, τότε η στροφορμή: α. Αυξάνεται. β. Μειώνεται. γ. Μένει σταθερή. δ. Δεν μπορούμε να ξέρουμε με αυτά τα δεδομένα. E6.18 Στερεό σώμα που είναι αρχικά ακίνητο, δέχεται τη δράση ενός ζεύγους δυνάμεων. α. Η ορμή του σώματος αυξάνεται. β. Η στροφορμή του σώματος αυξάνεται. γ. Τα (α) και (β) μαζί. δ. Τίποτα από τα παραπάνω. Ποια είναι η σωστή απάντηση; Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. 94 Ν.ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ 128

129 E6.19 Στα άκρα μιας αβαρούς ράβδου μήκους, λ, υπάρχουν δύο σημειακές μάζες, m και το σύστημα περιστρέφεται γύρω από ακλόνητο κατακόρυφο άξονα που διέρχεται από το μέσον της ράβδου και είναι κάθετος σ αυτήν με σταθερή γωνιακή ταχύτητα, ω. Ι. Η στροφορμή του συστήματος έχει μέτρο: α. mλ 2 ω β. 2mλ 2 ω γ. mλ 2 ω/2 δ. 0 ΙΙ. Αν μετακινήσουμε τις μάζες με δυνάμεις παράλληλες προς τη ράβδο και τις μεταφέρουμε σε αποστάσεις λ/4 από τον άξονα περιστροφής, τότε γωνιακή ταχύτητα του συστήματος γίνεται: α. 2ω β. 4ω γ. 8ω δ. ω Να αιτιολογήσετε τις απαντήσεις σας. E6.20 Ο δίσκος μιας παιδικής χαράς περιστρέφεται γύρω από άξονα που διέρχεται από το κέντρο του και είναι κάθετος στο επίπεδό του. Στο δίσκο δεν ασκείται καμιά εξωτερική ροπή. Ένα παιδάκι μετακινείται από το κέντρο του δίσκου προς την περιφέρεια. Τότε ο δίσκος θα περιστρέφεται: α. Πιο γρήγορα β. Πιο αργά Ποια είναι η σωστή απάντηση; Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. (Θέμα Πανελλαδικών εξετάσεων2002) E6.21 Ο ομογενής δίσκος περιστρέφεται γύρω από ακλόνητο άξονα με σταθερή γωνιακή ταχύτητα, ω, χωρίς να δέχεται εξωτερικές ροπές, όπως στο σχήμα. Αν πάνω του πέσει ένας όμοιος δίσκος που είχε αντίθετη γωνιακή ταχύτητα, τότε το σύστημα των δύο δίσκων: α. Θα περιστρέφεται με γωνιακή ταχύτητα 2ω. β. Θα περιστρέφεται με την ίδια γωνιακή ταχύτητα ω. γ. Θα σταματήσει. Ποια είναι η σωστή απάντηση; Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. E6.22 Ένα αστέρι καθώς περιστρέφεται γύρω από κάποιο άξονά του σμικρύνεται λόγω αμοιβαίας βαρυτικής έλξης μεταξύ των συστατικών του. Πως μεταβάλλονται τα ακόλουθα μεγέθη; Αυξάνονται, μειώνονται ή μένουν σταθερά; α. Η ροπή αδράνειας. β. Η στροφορμή. γ. Η γωνιακή ταχύτητα. Να δικαιολογήσετε την κάθε απάντησή σας. E6.23 Καλλιτέχνης του πατινάζ καθώς στροβιλίζεται γύρω από κατακόρυφο άξονα συμμετρίας του έχει αρχικά τα χέρια του μαζεμένα κοντά στο σώμα του. Αν τα απλώσει τότε: α. Η ροπή αδράνειάς του ως προς τον άξονα περιστροφής αυξάνεται. β. Η στροφορμή του αυξάνεται. γ. Η συχνότητα περιστροφής του μειώνεται. Ποιες από τις προηγούμενες προτάσεις είναι σωστές; Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας. 95 Ν.ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ 129

130 E6.24 Μια μπάλα κυλάει πάνω σ ένα τραπέζι και κάποια στιγμή πέφτει από αυτό. Θεωρούμε ότι η μόνη δύναμη που δέχεται η μπάλα, στο κενό, είναι το βάρος της. Κατά τη διάρκεια της πτώσης της ποια από τα μεγέθη που ακολουθούν διατηρούνται σταθερά, αυξάνονται ή μειώνονται; Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας. α. Η ροπή αδράνειας. δ. Η ταχύτητα του κέντρου μάζας. β. Η στροφορμή. ε. Η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής. γ. Η επιτάχυνση του κέντρου μάζας. στ. Η μηχανική ενέργεια. E6.25 Κολυμβητής καταδύσεων διπλώνει το σώμα του με αποτέλεσμα να αυξήσει τη γωνιακή του ταχύτητα, περιστρέφεται δύο φορές στον αέρα και μετά τεντώνεται και πέφτει στο νερό. Θεωρούμε ότι η μόνη δύναμη που δέχεται στο κενό είναι το βάρος του. Ποιες από τις προτάσεις που ακολουθούν είναι σωστές ή λανθασμένες και γιατί; α. Η ορμή του κέντρου μάζας του, σε όλη την πορεία του, διατηρείται σταθερή. β. Η γωνιακή ταχύτητα αυξήθηκε ως συνέπεια της αύξησης της στροφορμής του σώματος. γ. Η συνολική εξωτερική ροπή ως προς τον άξονα περιστροφής του είναι μηδενική. δ. Η στροφορμή του διατηρείται σταθερή, παρόλο που δέχεται εξωτερική δύναμη. E6.26 Η Γη εκτός από την περιφορά που κάνει γύρω από τον Ήλιο περιστρέφεται και γύρω από τον εαυτό της κάνει δηλαδή, ιδιοπεριστροφή (spin). Η γωνιακή ταχύτητα ιδιοπεριστροφής της δεν επηρεάζεται από την έλξη του Ήλιου, γιατί: α. Ο Ήλιος είναι μακριά και η έλξη του πάνω στη Γη ασθενής. β. Στο σύστημα Γης Ήλιου δεν ασκούνται εξωτερικές ροπές και η στροφορμή του διατηρείται σταθερή. γ. Ο φορέας της ελκτικής δύναμης του Ήλιου περνά από το κέντρο της Γης και δεν παράγει ροπή πάνω σ αυτήν. δ. Η δύναμη της παγκόσμιας έλξης είναι συντηρητική δύναμη. E6.27 Μια συμπαγής σφαίρα με ροπή αδράνειας Ι 1 =2mR 2 /5 και μια κούφια με Ι 2 =2mR 2 /3 με ίδιες μάζες και ακτίνες ξεκινούν από την ηρεμία και περιστρέφονται γύρω από τον άξονα συμμετρίας τους ενώ δέχονται την ίδια σταθερή δύναμη F, εφαπτομένη της περιφέρειά τους. Ποιες από τις προτάσεις που ακολουθούν είναι σωστές; Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας. α. Και οι δύο σφαίρες έχουν κάθε χρονική στιγμή την ίδια στροφορμή. β. Η κούφια σφαίρα έχει κάθε χρονική στιγμή μικρότερη γωνιακή ταχύτητα από τη συμπαγή. γ. Αν και στις δύο προσκολληθεί μια σημειακή μάζα στην περιφέρειά τους, ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής τους θα μειωθεί αν συνεχίσουν να δέχονται την ίδια δύναμη. E6.28 Δορυφόρος της Γης διαγράφει ελλειπτική τροχιά έχοντας το κέντρο της Γης στη θέση της μιας κύριας εστίας της τροχιάς του. Θεωρούμε ότι η μόνη δύναμη που δέχεται είναι η δύναμη της παγκόσμιας έλξης από τη Γη. Όταν ο δορυφόρος περνά από τη θέση Α, που φαίνεται στο σχήμα, η ταχύτητά του έχει μέτρο, υ ενώ όταν περνάει από τη θέση, Β η ταχύτητά του θα έχει μέτρο: α. υ/2 β. υ γ. 2υ δ. 4υ Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. 96 Ν.ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ 130

131 E6.29 Σύμφωνα με το πρότυπο του Rutherford, το μοναδικό ηλεκτρόνιο στο άτομο του υδρογόνου (Η) διαγράφει κυκλική τροχιά και δέχεται μόνο την έλξη Coulomb από το πρωτόνιο του πυρήνα η οποία δρα ως κεντρομόλος δύναμη. Σύμφωνα με την υπόθεση αυτή βρείτε από κάθε γραμμή που ακολουθεί τη σωστή συνθήκη που αντιστοιχεί στην κίνηση του ηλεκτρονίου. i. Για τη δύναμη ισχύει: α. Σ=0 β. Σ F=σταθ. γ. ΣF =σταθ. δ. ΣF σταθ. ii. Για τη ροπή ισχύει: α. Στ=0 β. Σ τ =σταθ. γ. Στ =σταθ. δ. Στ σταθ. iii. Για την ορμή ισχύει: α. p =0 β. p =σταθ. γ. p =σταθ. δ. p σταθ. iv. Για τη στροφορμή ισχύει: α. L=0 β. L=σταθ. γ. L σταθ. δ. L σταθ. v. Για τη γωνιακή ταχύτητα : α. β. γ. ω σταθ. δ. ω σταθ. E6.30 Δορυφόρος της Γης διαγράφει ελλειπτική τροχιά έχοντας το κέντρο της Γης στη θέση της μιας κύριας εστίας της τροχιάς του. Θεωρούμε ότι η μόνη δύναμη που δέχεται είναι η δύναμη της παγκόσμιας έλξης από τη Γη. Βρείτε από τη κάθε γραμμή που ακολουθεί τη σωστή συνθήκη που αντιστοιχεί στην κίνηση αυτή του δορυφόρου. i. Για τη δύναμη ισχύει: α. Σ F=0 β. Σ F=σταθ. γ. ΣF =σταθ. δ. Σ F σταθ. ii. Για τη ροπή ισχύει: α. Στ=0 β. Σ τ =σταθ. γ. Στ =σταθ. δ. Στ σταθ. iii. Για την ορμή ισχύει: α. p =0 β. p =σταθ. γ. p =σταθ. δ. p σταθ. iv. Για τη στροφορμή ισχύει: α. L=0 β. L=σταθ. γ. L σταθ. δ. L σταθ. v. Για τη γωνιακή ταχύτητα: α. ω=0 β. ω=σταθ. γ. ω =σταθ. δ. ω σταθ. E6.31 Ο δίσκος του σχήματος έχει μάζα Μ, ακτίνα R και ροπή αδράνειας Ι=ΜR 2 /2 και καθώς περιστρέφεται το κάθε σημείο της περιφερείας του έχει σταθερή ταχύτητα, υ 1. Αν πέσει και κολλήσει στο δίσκο σημειακή μάζα m=μ/4, σε απόσταση, r=r/2 από τον άξονα περιστροφής, τότε τα σημεία της περιφέρειας θα αποκτήσουν ταχύτητα: α. 8υ 1 /9 β. 3υ 1 /4 γ. 2υ 1 /9 Ποια είναι η σωστή απάντηση; Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. E6.32 Ο δίσκος του σχήματος στρέφεται γύρω από τον κατακόρυφο άξονα με στροφορμή σταθερού μέτρου L. Αν στρέψουμε τον άξονα περιστροφής του κατά 90 0 χωρίς να μεταβάλλουμε το μέτρο της στροφορμής του, τότε το μέτρο της μεταβολής της στροφορμής, ΔL θα είναι: α. 0 β. L γ. 2L δ. L 2 Ποια είναι η σωστή απάντηση; Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. 97 Ν.ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ 131

132 E6.33 Κολυμβητής καταδύσεων που θέλει να κάνει γρήγορες αναστροφές μαζεύει τα πόδια και τα χέρια του κοντά στο σώμα του. Πως εξηγείται αυτό; E6.34 Καλλιτέχνης του πατινάζ στροβιλίζεται γύρω από νοητό κατακόρυφο άξονα με μεγάλη γωνιακή ταχύτητα. Τι πρέπει να κάνει αν θέλει να σταματήσει γρήγορα; E6.35 α. Να εξηγήσετε γιατί η χρονική διάρκεια της περιστροφής της Γης γύρω από τον εαυτό της παραμένει σταθερή, δηλαδή 24h. (Θέμα Πανελλαδικών 2003) β. Τι θα συνέβαινε στην περίοδο ιδιοπεριστροφής της Γης, (Τ=24h), αν για κάποιο λόγο όλα τα βουνά της πέφτανε μέσα στους ωκεανούς; E6.36 Άνθρωπος βρίσκεται πάνω σ ένα τραπέζι που περιστρέφεται γύρω από ακλόνητο άξονα χωρίς να δέχεται εξωτερικές ροπές. Ο άνθρωπος κρατά ένα μακρύ και βαρύ κοντάρι. Πως θα μπορούσε να αυξομειώνει την γωνιακή του ταχύτητα, χωρίς να μετακινείται από τη θέση του; E6.37 Γιατί ένα ποδήλατο πέφτει πιο εύκολα όταν είναι ακίνητο παρά όταν κινείται με μεγάλη ταχύτητα; E6.38 Ακροβάτης που κινείται πάνω σε τεντωμένο σχοινί κρατά και μια μεγάλη ράβδο, την οποία μετακινεί αριστερά ή δεξιά και έτσι διατηρεί την ισορροπία του. Πως μπορεί να εξηγηθεί το φαινόμενο σύμφωνα με την αρχή διατήρησης της στροφορμής; E6.39 Γιατί ένας μπασκετμπολίστας μπορεί να ισορροπήσει μια μπάλα στο ένα του δάχτυλο όταν αυτή περιστρέφεται, ενώ είναι σχεδόν αδύνατο να το κάνει όταν η μπάλα είναι ακίνητη; E6.40 Πως κατορθώνουν οι γάτες να προσγειώνονται πάντοτε στα πόδια τους, ανεξάρτητα από το ύψος και τη στάση που έχουν όταν αρχίσουν να πέφτουν; E6.41 Ποιες από τις προτάσεις που ακολουθούν είναι σωστές ή λανθασμένες και γιατί; α. Ένα υλικό σημείο μπορεί να έχει στροφορμή, ενώ κινείται ευθύγραμμα. β. Αν η ροπή που δρα σε ένα σώμα ως προς συγκεκριμένο άξονα είναι μηδέν, τότε είναι μηδέν και η στροφορμή του ως προς τον ίδιο άξονα. γ. Σε ένα τροχό που κυλάει σε κεκλιμένο επίπεδο, η κατεύθυνση της στροφορμής ταυτίζεται με την κατεύθυνση της ταχύτητας του κέντρου μάζας του. δ. Ο κολυμβητής των καταδύσεων που θέλει να κάνει αναστροφή φροντίζει να διατηρήσει σταθερή τη ροπή αδράνειας του σώματός του. ε. Ο καλλιτέχνης του πατινάζ που στροβιλίζεται γύρω από νοητό κατακόρυφο άξονα με μεγάλη γωνιακή ταχύτητα θα σταματήσει πιο γρήγορα αν απλώσει και τα δυο του χέρια παρά το ένα; στ. Ένα σύστημα σωμάτων που δεν δέχεται καθόλου εξωτερικές δυνάμεις διατηρεί τη στροφορμή του σταθερή, αλλά για να την αλλάξει αρκεί να δεχτεί μια εξωτερική δύναμη. E6.42 Πετάμε μια μπάλα κατακόρυφα προς τα πάνω φροντίζοντας να της δώσουμε μια αρχική γωνιακή ταχύτητα γύρω από ένα νοητό οριζόντιο άξονα. Δεχόμαστε ότι όταν η μπάλα φεύγει από τα χέρια μας κινείται μόνο με την επίδραση του βάρους της. Ποιες από τις προτάσεις που ακολουθούν είναι σωστές ή λανθασμένες και γιατί; α. Η ροπή αδράνειας της μπάλας ως προς τον άξονα περιστροφής της μεταβάλλεται. β. Όταν η μπάλα φύγει από τα χέρια μας δεν δέχεται καμιά εξωτερική ροπή. γ. Η γωνιακή ταχύτητα της μπάλας διατηρείται σταθερή. 98 Ν.ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ 132

133 δ. Η ορμή της μπάλας διατηρείται σταθερή. ε. Η κινητική ενέργεια της μπάλας διατηρείται σταθερή. στ. Αν η τροχιά του κέντρου μάζας της μπάλας ήταν καμπυλόγραμμη θα ήταν αδύνατο να διατηρήσει τη στροφορμή της. ζ. Ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής της μπάλας είναι μηδέν ανεξάρτητα από τη μορφή της τροχιάς του κέντρου μάζας της. E6.43 Μια ράβδος ταλαντώνεται ελεύθερα και αμείωτα σε κατακόρυφο επίπεδο γύρω από οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το ένα άκρο της και είναι κάθετος στο μήκος της. Ποιες από τις προτάσεις που ακολουθούν είναι σωστές ή λανθασμένες και γιατί; α. Η ροπή αδράνειας της ράβδου διατηρείται σταθερή. β. Η ράβδος δέχεται ροπές από μια μόνο δύναμη. γ. Δεν υπάρχει θέση στην οποία ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής της ράβδου είναι μηδέν. δ. Στη θέση μέγιστης απομάκρυνσης από τη θέση ισορροπίας, το μέτρο του ρυθμού μεταβολής της στροφορμής είναι μέγιστο. ε. Η στροφορμή της ράβδου έχει σταθερή κατεύθυνση. στ. Το μέτρο της στροφορμής διατηρείται σταθερό. ζ. Το μέτρο της γωνιακής επιτάχυνσης της ράβδου είναι σταθερό. E6.44 Το σύστημα που φαίνεται στο σχήμα αποτελείται από μια ελαφριά τροχαλία, ένα αβαρές σχοινί, το coala μάζας, m και ένα τσαμπί μπανάνες ίδιας μάζας. Αρχικά το σύστημα ισορροπεί. Κάποια στιγμή το coala αρχίζει να σκαρφαλώνει το σχοινί με στόχο να φτάσει τις μπανάνες. Κατά την κίνηση του συστήματος δεν ασκούνται εξωτερικές τριβές. Να απαντήσετε στις ερωτήσεις που ακολουθούν με τη σχετική δικαιολόγηση: α. Μεταβάλλεται ή όχι η στροφορμή του συστήματος; β. Καθώς το coala ανεβαίνει η κατακόρυφη απόστασή του από τις μπανάνες, αυξάνεται μειώνεται ή μένει σταθερή; E6.45 Στο σχήμα φαίνεται ένα άνθρωπος που βρίσκεται πάνω σε ένα τραπέζι και κρατά ένα τροχό με τη βοήθεια του κατακόρυφου άξονά του. Το τραπέζι μπορεί να στρέφεται γύρω από ακλόνητο άξονα, χωρίς τριβές, αλλά είναι αρχικά ακίνητο. Αν ο άνθρωπος βάλει τον τροχό σε περιστροφή με τη φορά που φαίνεται στο σχήμα, τότε το τραπέζι θα στρέφεται: α. Με την ίδια φορά. β. Με την αντίθετη φορά. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. E6.46 Σφαιρικό άστρο περιστρέφεται γύρω από τον άξονά του με συχνότητα, f. Το άστρο αυτό συστέλλεται λόγω εσωτερικών του δυνάμεων και ο όγκος του από V 1 γίνεται V 2 =V 1 /8. Η μάζα του άστρου διατηρείται σταθερή, ο όγκος της σφαίρας δίνεται από τη σχέση V=4πR 3 /3 και η ροπή αδράνειας Ι cm =2ΜR 2 /5. H συχνότητα περιστροφής του θα γίνει: α. 2f β. 4f γ. 8f δ. 16f Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. 99 Ν.ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ 133

134 Ε6.47 Η σφαίρα μάζας m διαγράφει οριζόντιο κύκλο ακτίνας R, πάνω στο τραπέζι χωρίς τριβές με ταχύτητα σταθερού μέτρου υ. Η σφαίρα συγκρατείται με λεπτό και αβαρές νήμα που περνάει από τρύπα στο κέντρο της τροχιάς της. Τραβάμε την άκρη του νήματος κατακόρυφα προς τα κάτω με δύναμη F και μειώνουμε το μήκος της ακτίνας της τροχιάς της σφαίρας στο R/2. Ποιες από τις προτάσεις που ακολουθούν είναι σωστές ή λανθασμένες; Να αιτιολογήσετε τις επιλογές σας. α. Η ροπή της δύναμης F πάνω στη σφαίρα είναι μηδέν. β. Η ταχύτητα της σφαίρας υποδιπλασιάζεται. γ. Η γωνιακή ταχύτητα της σφαίρας τετραπλασιάζεται. δ. Η στροφορμή της σφαίρας υποδιπλασιάζεται. ε. Η κεντρομόλος επιτάχυνση της σφαίρας οκταπλασιάζεται. Ε6.48 Δύο ομογενείς δίσκοι με μάζες m και 4m και ακτίνες R και 2R αντιστοίχως μπορούν να στρέφονται γύρω από σταθερούς άξονες που διέρχονται από το κέντρο τους και είναι κάθετοι σ αυτούς. Οι δίσκοι είναι αρχικά σε ηρεμία και τους ασκούμε εφαπτομενικά ίσες δυνάμεις για τον ίδιο χρόνο δράσης. Ο λόγος των μέτρων των στροφορμών τους L 1 /L 2 θα είναι ίσος με: α. 1/2 β. 2 γ. 4 Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. Ε6.49 Οι δύο δίσκοι με μάζες m 1 =m και m 2 =2m έχουν την ίδια ακτίνα και ροπή αδράνειας ως προς τον άξονα περιστροφής τους Ι=m i R i 2 /2. οι δίσκοι περιστρέφονται με την ίδια φορά με γωνιακές ταχύτητες ω 1 και ω 2 αντιστοίχως. Αν οι δίσκοι έρθουν σε επαφή τότε η κοινή γωνιακή τους ταχύτητα θα έχει μέτρο: Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. Ε6.50 Η εξέδρα του σχήματος έχει μάζα Μ=4m, ακτίνα R και ροπή αδράνειας Ι=ΜR 2 /2 και περιστρέφεται με σταθερή γωνιακή ταχύτητα, ω, χωρίς να δέχεται εξωτερικές ροπές. Το παιδάκι μάζας, m, τρέχει και με ταχύτητα υ=2ωr και ενσωματώνεται στην εξέδρα. Ο φορέας της ταχύτητας του παιδιού εφάπτεται της περιφέρειας της εξέδρας όπως φαίνεται και στο σχήμα. Η γωνιακή ταχύτητα του συστήματος παιδί εξέδρα μετά την κρούση είναι: α. ω 1 = ω/3 β. ω 1 =4ω/3 γ. ω 1 =0 Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. Ν.ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ 134

135 Ε6.51 Ομογενής ράβδος μάζας m και μήκους λ μπορεί να στρέφεται σε κατακόρυφο επίπεδο γύρω από άξονα που διέρχεται από το ένα άκρο της και είναι κάθετος σ αυτήν. Τη στιγμή που η ράβδος περνά από την κατακόρυφη θέση το κέντρο μάζας της έχει οριζόντια ταχύτητα μέτρου, υ. Την ίδια στιγμή βλήμα μάζας m που κινείται οριζόντια σφηνώνεται στο κέντρο μάζας της ράβδου με ταχύτητα μέτρου, υ, αλλά αντίθετης φοράς από την ταχύτητα του κέντρου μάζας της ράβδου. Αμέσως μετά την κρούση η ταχύτητα του κέντρου μάζας του συσσωματώματος της ράβδου και του βλήματος θα έχει μέτρο: α. V=0 β. V=υ γ. V=υ/5 δ. V=υ/7 Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. Δίνεται η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας της και είναι κάθετος σ αυτήν, Ι cm =mλ 2 /12. Ε6.52 Ο δίσκος του σχήματος έχει μάζα Μ, ακτίνα R και ροπή αδράνειας ως προς τον άξονά του, Ι=ΜR 2 /2. Ο δίσκος μπορεί να περιστρέφεται χωρίς τριβές αλλά αρχικά είναι ακίνητος. Το βλήμα μάζας m=μ έρχεται με οριζόντια ταχύτητα μέτρου υ και σφηνώνεται στο σημείο Α του δίσκου ακαριαία. Η γωνία που σχηματίζει η κατεύθυνση του βλήματος με την ακτίνα του δίσκου στο σημείο Α είναι θ=30 0. Η γωνιακή ταχύτητα, ω, του συσσωματώματος αμέσως μετά την κρούση είναι: α. ω=υ/r β. ω=υ/2r γ. ω=υ/3r Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. Ε6.53 Μια σφαίρα ανεβαίνει κεκλιμένο επίπεδο ενώ κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει και στη συνέχεια το κατεβαίνει. Ποιες από τις προτάσεις που ακολουθούν είναι σωστές ή λανθασμένες και γιατί; α. Η απόλυτη τιμή του ρυθμού μεταβολής της στροφορμής διατηρείται σταθερή. β. Η φορά του διανύσματος της στροφορμής διατηρείται σταθερή. γ. Η φορά του διανύσματος της στατικής τριβής διατηρείται σταθερή. δ. Το μέτρου του ρυθμού μεταβολής της ταχύτητας του κέντρου μάζας διατηρείται σταθερό. ε. Η φορά του διανύσματος της γωνιακής επιτάχυνσης μεταβάλλεται. Ε6.54 Η κινητική ενέργεια περιστροφής ενός στερεού δίνεται από τη σχέση Κ=Ιω 2 /2. Η σχέση που συνδέει τη στροφορμή L με την κινητική ενέργεια Κ είναι: a. Κ=L 2 /2I β. K=2L 2 /I γ. Κ =LI/2 Ν.ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ 135

136 (Α) Ασκήσεις και προβλήματα Α6.1 Τροχός μάζας m=2kg έχει όλη του τη μάζα στην περιφέρεια ακτίνας R=0,4m και περιστρέφεται γύρω από άξονα που διέρχεται από το κέντρο του και είναι κάθετος στο επίπεδο που αυτός ορίζει. Αν ένα σημείο της περιφέρειας έχει ταχύτητα υ=4m/s να υπολογιστούν: α. Η στροφορμή του τροχού. β. Η ροπή που απαιτείται για να τον σταματήσει σε 0,4s. α. L=3,2kgm 2, β. τ=8νm Α6.2 Μια ομογενής σφαίρα περιστρέφεται γύρω από σταθερό άξονα που διέρχεται από το κέντρο της και έχει ροπή αδράνειας, Ι=2kgm 2. Η στροφορμή της μεταβάλλεται σε σχέση με το χρόνο με τον τρόπο που φαίνεται στο σχήμα. Να υπολογιστούν: α. Η ροπή της δύναμης που την περιστρέφει. β. Η γωνιακή ταχύτητα τη χρονική στιγμή t 1 =5s. γ. Η γωνιακή ταχύτητα τη χρονική στιγμή t 2 =2s. δ. Η γωνιακή ταχύτητα τη χρονική στιγμή t 3 =8s. ε. Η χρονική στιγμή που η στροφορμή αλλάζει κατεύθυνση. α. τ=2νm, β. ω 1 =0 γ. ω 2 = 3rad/s, δ. ω 3 =3rad/s, ε. t=5s Α6.3 Τροχός ποδηλάτου με μάζα m=4kg και ακτίνα R=0,5m στρέφεται γύρω από σταθερό και ακλόνητο άξονα και τη χρονική στιγμή t 0 =0 έχει γωνιακή ταχύτητα, ω 0 =10rad/s. Η μάζα του τροχού θεωρείται όλη συγκεντρωμένη στην περιφέρειά του. α. Πόση είναι η στροφορμή του τη χρονική στιγμή t 0 =0; β. Πόση ροπή πρέπει να ασκηθεί στον τροχό ώστε η στροφορμή να διπλασιαστεί με σταθερό ρυθμό μέσα σε χρονικό διάστημα Δt=10s; γ. Πόση ροπή πρέπει να ασκηθεί στον τροχό που έχει ω 0 =10rad/s, ώστε μετά από χρόνο 10s να στρέφεται με αντίθετη φορά και με γωνιακή ταχύτητα μέτρου 20rad/s; α. L=10kgm 2 /s, β. τ=1νm, γ. τ= 30Νm Α6.4 Ομογενής ράβδος ΟΑ, μήκους L=1m μάζας Μ=3kg περιστρέφεται σε οριζόντιο επίπεδο γύρω από σταθερό και κατακόρυφο άξονα zz' που διέρχεται από το ένα άκρο της, Ο και είναι κάθετος σ αυτήν. α. Πόση είναι η στροφορμή της ράβδου, αν στρέφεται με γωνιακή ταχύτητα ω=10rad/s. β. Πόση είναι η στορφορμή της ράβδου, αν στρέφεται έτσι ώστε το κέντρο μάζας της, Κ, να έχει γραμμική ταχύτητα 10m/s; γ. Πόση είναι η απαιτούμενη ροπή που πρέπει να της ασκηθεί για να αυξάνεται η γωνιακή της ταχύτητα με ρυθμό 30rad/s 2 ; δ. Πόση σημειακή μάζα m πρέπει να συνδεθεί στο Α ώστε το μέτρο της στροφορμής του συστήματος να γίνει L=40kgm 2 /s και η γραμμική ταχύτητα του σημείου Α να είναι 10m/s. Δίνεται η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς,άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας της, και είναι κάθετος σ αυτήν, Ι cm =ΜL 2 /12. α. 10kgm 2 /s, β. 20kgm 2 /s, γ. τ=30νm, δ. m=3kg Ν.ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ 136

137 Α6.5 Η λεπτή ράβδος μήκους λ=1m μάζας Μ=3kg φέρει τα άκρα τις δύο ίσες μάζας m 1 =m 2 =2kg και μπορεί να στρέφεται, χωρίς τριβές, γύρω από τον άξονα, z που διέρχεται από το μέσον της και είναι κάθετος σ αυτήν. Τη χρονική στιγμή t 0 =0 είναι ακίνητη. Στο σύστημα ασκείται ζεύγος δυνάμεων η διεύθυνση των οποίων σχηματίζει με το μήκος της ράβδου, γωνία θ=30 0. Η στροφορμή του συστήματος αρχίζει να αυξάνεται με σταθερό ρυθμό, dl/dt=30kgm 2 /s 2. α. Πόσο είναι το μέτρο της κάθε δύναμης, F; β. Πόση θα γίνει η γωνιακή ταχύτητα του συστήματος τη χρονική στιγμή t=10s; γ. Πόση θα γίνει η γραμμική ταχύτητα της κάθε σημειακής μάζας τη χρονική στιγμή t=10s; δ. Πόση συνολική ροπή δέχεται η ράβδος, χωρίς τις σημειακές μάζες, στο χρονικό διάστημα (0 10s); Δίνεται για τη ράβδο, Ι cm =Μλ 2 /12. α. F=60N, β. ω=240rad/s, γ. υ=120m/s, ε. τ ρ =6Νm Α6.6 Η ροπή αδράνειας ενός χορευτή του πάγου είναι Ι =20kgm 2 ανοιγμένα οριζόντια και Ι 2 =6kgm 2 1 όταν τα χέρια του είναι όταν τα χέρια του είναι κολλημένα στο σώμα του. Αν στην πρώτη θέση έχει συχνότητα περιστροφής f 1 =3Ηz πόση θα γίνει αυτή στη δεύτερη θέση; Θεωρείστε ότι ο χορευτής δεν δέχεται εξωτερικές ροπές. f 2 =10Ηz Α6.7 Ομογενής ράβδος μάζας Μ=1kg και μήκους λ=2m μπορεί να περιστρέφεται σε οριζόντιο επίπεδο γύρω από κατακόρυφο άξονα που διέρχεται από το κέντρο της Ο. Η ράβδος φέρει δύο σφαίρες με ίσες μάζες m=1kg σε ίσες αποστάσεις d 1 =0,2m από το σημείο Ο και εκατέρωθεν αυτού συνδεδεμένες με αβαρές λεπτό νήμα. Το σύστημα περιστρέφεται με γωνιακή ταχύτητα ω 1 =20rad/s όταν το νήμα σπάει και οι σφαίρες απομακρύνονται από το Ο. Να υπολογιστεί η νέα γωνιακή ταχύτητα του συστήματος όταν οι σφαίρες θα βρίσκονται σε απόσταση d 2 =1m η κάθε μια από το Ο. Ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο της ράβδου και είναι κάθετος σ αυτήν είναι. Ι cm =mλ 2 /12. ω 2 =3,54rad/s Α6.8 Σε μια κυκλική πλατφόρμα παιδικής χαράς ακτίνας R=2m και μάζας Μ=50kg στέκεται παιδί μάζας m=25kg ακριβώς πάνω στον άξονα περιστροφής που διέρχεται από το κέντρο της και είναι κάθετος σ αυτήν. Το σύστημα περιστρέφεται με σταθερή γωνιακή ταχύτητα ω 1 =10rad/s και οι τριβές με τον άξονα περιστροφής θεωρούνται αμελητέες. Η πλατφόρμα θεωρείται δίσκος με ροπή αδράνειας Ι=ΜR 2 /2. α. Αν το παιδί μετατοπιστεί σε σημείο της περιφέρειας της πλατφόρμας, πόση θα γίνει η γωνιακή ταχύτητα, ω 2, αυτής. β. Αν το παιδί βρίσκεται στην περιφέρεια, και η γωνιακή ταχύτητα είναι ω 2, πόση δύναμη πρέπει να ασκηθεί στην Ν.ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ 137

138 πλατφόρμα εφαπτομενικά αυτής ώστε να τη σταματήσει με σταθερό ρυθμό σε χρονικό διάστημα, Δt=20s; γ. Αν το παιδί βρίσκεται στην περιφέρεια, και η γωνιακή ταχύτητα είναι ω 2, πόση ροπή θα ασκήσει το παιδί με τα πόδια του στην πλατφόρμα, αν πηδήξει από αυτή κατά τη διεύθυνση μιας ακτίνας και με φορά προς τα έξω; Δίνεται ότι ο χρόνος που χρειάζεται για να αποχωρήσει από την πλατφόρμα είναι dt=0,5s. α. ω 2 =5rad/s, β. F=25Ν, γ. τ=1000νm Α6.9 Αν η ακτίνα της Γης λόγω συστολής μειωθεί κατά 1% πόση θα γίνει η περίοδος περιστροφής της; Η Γη θεωρείται ομογενής σφαίρα με ροπή αδράνειας ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο της, Ι=2mR 2 /5. Τ 23, 5h 6.10 Η σφαίρα μάζας m=5kg ακτίνας R=1m είναι συμπαγής και ομογενής και περιστρέφεται γύρω από σταθερό κατακόρυφο άξονα που είναι και άξονας συμμετρίας της. Στην περιφέρεια της σφαίρας είναι καρφωμένη μικρή σφήνα μάζας m =0,5kg σε τέτοια θέση ώστε η ακτίνα που συνδέει αυτή με το κέντρο της σφαίρας να σχηματίζει γωνία φ=30 0 με τον άξονα περιστροφής. α. Πόση είναι η στροφορμή του συστήματος αν αυτό περιστρέφεται με γωνιακή ταχύτητα ω=8rad/s; β. Αν κατά τη διάρκεια της περιστροφής της σφαίρας, κάποιος αφαιρέσει τη σφήνα ακαριαία, ασκώντας δύναμη κάθετη στην επιφάνεια αυτής και με φορά προς τα έξω, πόση θα γίνει η γωνιακή ταχύτητα αυτής; Η τριβή με τον άξονα περιστροφής να θεωρηθεί αμελητέα. Δίνεται η ροπή αδράνειας της σφαίρας ως προς ένα άξονα συμμετρίας της Ι=2ΜR 2 /5. α. L=17kgm 2 /s, β. ω=8,5rad/s Α6.11 Κύλινδρος, μάζας m και ακτίνας R αφήνεται ελεύθερος τη χρονική στιγμή t 0 =0 από σημείο κεκλιμένου επιπέδου γωνίας κλίσης φ=30 0. Η ροπή αδράνειας του κυλίνδρου ως προς τον άξονα περιστροφής του είναι Ι=ΜR 2 /2. Να υπολογιστεί το μέτρο του ρυθμού μεταβολής της στροφορμής του κυλίνδρου. Δίνεται το g. dl/dt=mgr/6 Α6.12 Ένας άντρας που στέκεται όρθιος πάνω σε περιστρεφόμενο τραπέζι κρατάει στα χέρια του μια λεπτή ράβδο, μήκους λ=2m μάζας m=6kg, όπως φαίνεται στο σχήμα. Το μέσον της ράβδου βρίσκεται πάνω στην κατακόρυφο του άξονα περιστροφής όλου του συστήματος. Το σύστημα περιστρέφεται με συχνότητα f 1 =0,3Ηz. Ο άντρας φέρνει σε χρόνο Δt=1,2s τη ράβδο σε κατακόρυφη θέση έτσι ώστε να ταυτιστεί με τον άξονα περιστροφής, ενώ το κέντρο μάζας της δεν μετακινήθηκε. Να υπολογιστούν: α. Η νέα συχνότητα περιστροφής του συστήματος. β. Το μέτρο της μέσης τιμής της ροπής που ασκήθηκε στη ράβδο κατά την αλλαγή της θέσης της. Δίνονται η ροπή αδράνειας ως προς τον άξονα περιστροφής, του τραπεζιού Ι τ =4kgm 2, του άντρα, Ι Α =2kgm 2 και της ράβδου Ι cm =mλ 2 /12. α. f 2 =0,4Ηz, β. τ=3,14νm Ν.ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ 138

139 Α6.13 Ομογενής δίσκος ακτίνας r 1 =0,1m και μάζας m 1 =2kg περιστρέφεται με σταθερή συχνότητα 2Ηz γύρω από άξονα που διέρχεται από το κέντρο του και είναι κάθετος σ αυτόν και έρχεται σε επαφή με άλλο δίσκο μάζας m 2 =5kg, ακτίνας r 2 =0,2m που περιστρέφεται γύρω από τον ίδιο άξονα με συχνότητα 1Ηz. Η δύναμη που φέρνει σε επαφή τους δύο δίσκους ασκείται κατά μήκος του άξονα περιστροφής τους. Να υπολογιστεί το μέτρο της τελικής γωνιακής ταχύτητας του συστήματος των δύο δίσκων αν: α. Περιστρέφονται με την ίδια φορά. β. Περιστρέφονται με αντίθετες φορές. Δίνεται η ροπή αδράνειας του κάθε δίσκου ως προς αυτόν τον άξονα Ι= mr 2 /2. α. 2,18π rad/s, β. 1,45π rad/s Α6.14 Ο ζογκλέρ του τσίρκο κρατάει σε κατακόρυφη θέση μια βέργα πάνω στην οποία ισορροπεί δίσκος έτσι ώστε η βέργα να αποτελεί άξονα περιστροφής της. Ο ζογκλέρ δίνει με το χέρι του μια αρχική σταθερή γωνιακή ταχύτητα στο δίσκο ίση με ω=20rad/s, ενώ η ροπή αδράνειας του τροχού Ι=2kgm 2. Ασκώντας στο σημείο στήριξης κατάλληλη δύναμη στρέφει τη βέργα κατά γωνία φ χωρίς να μεταβάλλει το μέτρο της γωνιακής ταχύτητας του δίσκου. α. Να υπολογιστεί το μέτρο μεταβολής της στροφορμής του δίσκου για τιμές της γωνίας: i. φ 1 =90 0, ii. φ 2 =60 0. β. Πόσο είναι σε κάθε περίπτωση το μέτρο της μέσης ροπής που έστρεψε τον άξονα περιστροφής, αν η χρονική διάρκεια της κάθε στροφής είναι dt=4s. α. ΔL 1 =40 2kgm 2 /s, ΔL 2 =40kgm 2 /s, β. τ 1 =10 2Νm, τ 2 =10Νm Α6.15 Ο δίσκος του σχήματος έχει μάζα m=4kg και ακτίνα R=1m και αρχικά περιστρέφεται γύρω από κατακόρυφο άξονα με γωνιακή ταχύτητα ω 1 =10rad/s. Ασκούμε στον άξονα κατάλληλη ροπή και τον στρέφουμε κατά φ=120 0, χωρίς όμως να μεταβάλλουμε το μέτρο της γωνιακής ταχύτητας. Να υπολογιστούν: α. Η μεταβολή του μέτρου της στροφορμής του δίσκου. β. Το μέτρο της μεταβολής της στροφορμής του δίσκού. γ. Η χρονική διάρκεια της στροφής αν το μέτρο της συνολικής μέσης ροπής που ασκήθηκε στον άξονα. είναι τ =10 3Νm α. Δ L =0, β. ΔL =20 3kgm 2 /s, γ. Δt=2s Α6.16 Ο τροχός του σχήματος έχει μάζα Μ=1kg, ακτίνα R=0,1m και ροπή αδράνειας ως προς σταθερό άξονα που διέρχεται από το κέντρο του και είναι κάθετος στο επίπεδο που 2 ορίζει, Ι cm =ΜR /2. O τροχός μπορεί να στρέφεται γύρω από τον άξονα χωρίς τριβές αλλά αρχικά είναι ακίνητος. Βλήμα μάζας, m όπου m=μ/4, έρχεται με ταχύτητα, υ και σφηνώνεται στο σημείο Δ του δίσκου, οπότε αυτός αποκτά γωνιακή ταχύτητα ω=100rad/s. Δίνεται η γωνία θ=30 0. Ν.ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ 139

140 α. Να υπολογιστούν οι ταχύτητες του βλήματος πριν και μετά την κρούση. β. Αν η κρούση διαρκεί dt=0,02s να υπολογιστεί η ροπή που ασκήθηκε από το βλήμα στο δίσκο κατά τη διάρκεια της κρούσης. α. υ πρ =60m/s, υ μετα =10m/s, β. τ=25νm Α6.17 Μια ομογενής ράβδος ΟΑ, μάζας m 1 =3kg και μήκους λ=1m μπορεί να περιστρέφεται σε κατακόρυφο επίπεδο γύρω από σταθερό οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το ένα της άκρο Ο και είναι κάθετος σ αυτήν. Αρχικά η ράβδος ηρεμεί στην κατακόρυφη θέση όπως στο σχήμα. Βλήμα μάζας m 2 =0,5kg έρχεται οριζόντια και σφηνώνεται στη ράβδο με ταχύτητα υ=40m/s και σε σημείο Δ το οποίο απέχει απόσταση 3λ/4 από το Ο. α. Πόση είναι η στροφορμή του συστήματος τη στιγμή που το βλήμα πάει να καρφωθεί στη ράβδο; β. Πόση είναι η γωνιακή ταχύτητα που θα αποκτήσει το συσσωμάτωμα αμέσως μετά την κρούση; γ. Αν η κρούση διαρκεί dt=0,02s πόσο είναι το μέτρο της μέσης δύναμης που ασκήθηκε στη ράβδο από το βλήμα κατά τη διάρκεια της κρούσης; Δίνεται η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς το κέντρο μάζας της, Ι cm =mλ 2 /12. α. L=15kgm 2 /s, β. ω=11,7rad/s, γ. F=780N Α6.18 Στο σχήμα φαίνεται ένα άνθρωπος που βρίσκεται πάνω σε ένα τραπέζι και κρατά ένα τροχό με τη βοήθεια του κατακόρυφου άξονά του. Το τραπέζι μπορεί να στρέφεται γύρω από ακλόνητο άξονα, χωρίς τριβές, αλλά είναι αρχικά ακίνητο. Τραπέζι και άνθρωπος έχουν ροπή αδράνειας Ι 1 =2kgm 2, ο άξονας του τροχού έχει αμελητέα μάζα, ενώ ο τροχός έχει μάζα m=2kg, ακτίνα R=0,2m και όλη του τη μάζα συγκεντρωμένη στην περιφέρειά του. Ο άνθρωπος αποτελεί ένα σώμα μαζί με το τραπέζι και δεν μετακινείται πάνω σε αυτό. α. Ο άνθρωπος βάζει τον τροχό σε περιστροφή με τη φορά που φαίνεται στο σχήμα, και γωνιακή ταχύτητα ω 2 =100rad/s. Να υπολογιστεί η αλγεβρική τιμή της γωνιακής ταχύτητας ω 1 που θα αποκτήσει το τραπέζι. β. Πόση σταθερή ροπή θα χρειαστεί από τον άνθρωπο για να δώσει στον τροχό αυτή τη γωνιακή ταχύτητα μέσα σε χρόνο dt=0,1s; γ. Πόση κατά μέτρο ροπή θα χρειαστεί από τον άνθρωπο για να αναγκάσει τον τροχό που ήδη στρέφεται με γωνιακή ταχύτητα, ω 1 να περιστρέφεται αντίθετα με την ίδια όμως κατά μέτρο γωνιακή ταχύτητα και μέσα στον ίδιο χρόνο dt=0,1s. α. ω 2 = 4 rad/s, β. τ 1 =80Νm. γ. τ 2 =160Νm A6.19 Οριζόντιος δίσκος ακτίνας R=0,4m στρέφεται με συχνότητα f 1 =100Ηz γύρω από κατακόρυφο άξονα όπως στο σχήμα. Κομμάτι πλαστελίνης μάζας m=0,2kg αφήνεται να πέσει από κάποιο ύψος και προσκολλάται στο δίσκο σε απόσταση r=r/2 από τον άξονα. Αμέσως μετά η συχνότητα περιστροφής του δίσκου γίνεται f 2 =90Ηz. Αν στο σύστημα δεν ασκούνται εξωτερικές ροπές να υπολογιστούν: α. Η ροπή αδράνειας του δίσκου ως προς τον άξονα περιστροφής. Ν.ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ 140

141 β. Το μέτρο της μεταβολής της στροφορμής της πλαστελίνης κατά την προσκόλλησή της στον δίσκο. γ. Το μέτρο της εξωτερικής ροπής που πρέπει να ασκήσουμε στο δίσκο με την πλαστελίνη για αποκτήσει και πάλι τη συχνότητα f 1, μέσα σε χρόνο dt=0,8s. α. 7, kgm 2, β.1,44kgm 2 /s, γ. 1Νm Α6.20 Η τροχαλία του σχήματος έχει μάζα Μ=4kg, ακτίνα R=0,5m και μπορεί να περιστρέφεται χωρίς τριβές γύρω από ακλόνητο άξονα που διέρχεται από το κέντρο της Κ. Στο αυλάκι της τροχαλίας είναι περασμένο αβαρές νήμα στο ένα άκρο του οποίου είναι δεμένο σώμα μάζας m=0,5kg. Τη χρονική στιγμή t 0 =0 ασκούμε δύναμη F στο άλλο άκρο οπότε η τροχαλία στρέφεται και η στροφορμή της μεταβάλλεται με σταθερό ρυθμό 10kgm 2 /s 2. Να υπολογίσετε: α. Το μέτρο της στροφορμής της τροχαλίας τη χρονική στιγμή t 1 =2s. β. Το μέτρο του ρυθμού μεταβολής της στροφορμής του συστήματος σώμα τροχαλία ως προς τον άξονα περιστροφής της τροχαλίας. Δίνονται g=10m/s 2 και για την τροχαλία Ι Κ =ΜR 2 /2. α. L=20kgm 2 /s, β. dl/dt=12,5kgm 2 /s 2 Α6.21 Άνθρωπος μάζας m=80kg βρίσκεται πάνω σε οριζόντιο δίσκο μάζας Μ=100kg, ακτίνας R=2m o oποίος περιστρέφεται χωρίς τριβές γύρω από κατακόρυφο άξονα που διέρχεται από το κέντρο του με σταθερή γωνιακή ταχύτητα ω 1 =2rad/s. Ο άνθρωπος που θεωρείται ως υλικό σημείο και βρίσκεται στην περιφέρεια του δίσκου πηδά από αυτόν με ταχύτητα υ ως προς το έδαφος και εφαπτομενικά σε σχέση με το δίσκο. Να βρεθεί η ταχύτητα υ του ανθρώπου, αν αμέσως μετά την εκτίναξη: α. Η γωνιακή ταχύτητα του δίσκου γίνεται ω 2 =3rad/s. β. Η γωνιακή ταχύτητα του δίσκου γίνεται ω 3 = 3rad/s. γ. Αν και στις δύο προηγούμενες περιπτώσεις η εκτίναξη διαρκεί dt=0,01s να βρεθούν οι αλγεβρικές τιμές των ροπών που άσκησε ο άνθρωπος στο δίσκο σε κάθε περίπτωση. Οι ροπές αυτές να θεωρηθούν σταθερές Δίνεται για το δίσκο Ι=ΜR 2 /2. α. 2,75m/s, β.10,25m/s, γ Νm, Νm Ν.ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ 141

142 7. Έργο και ενέργεια στη στροφική κίνηση (Ε) Ερωτήσεις Ε7.1 Να συμπληρώσετε τα κενά στις προτάσεις που ακολουθούν: α. Η κινητική ενέργεια ενός σώματος που στρέφεται είναι ανάλογη της... αδράνειας του σώματος ως προς τον άξονα περιστροφής του και ανάλογη προς το τετράγωνο της.. του ταχύτητας. β. Για ένα σώμα που κάνει ταυτόχρονα μεταφορική και στροφική κίνηση, η κινητική ενέργεια είναι ίση με Κ= +. γ. Αν μια δύναμη που στρέφει ένα σώμα κατά γωνία, θ, έχει σταθερή ροπή, τ, τότε το έργο της δύναμης μπορεί να εκφραστεί σε συνάρτηση της ροπής, ως το γινόμενο, W= δ. Ο ρυθμός παραγωγής έργου μιας δύναμης που στρέφει ένα σώμα ισούται με το γινόμενο της ροπής της δύναμης που στρέφει το σώμα επί την. αυτού. Ε7.2 Να συμπληρώσετε τα κενά στις προτάσεις που ακολουθούν: α. Το αλγεβρικό άθροισμα των έργων όλων των.. που ασκούνται σε σώμα που κάνει μεταφορική κίνηση ισούται με τη μεταβολής της μεταφοράς του σώματος. Η σχέση είναι :. β. Το αλγεβρικό άθροισμα των έργων όλων των που ασκούνται σε σώμα που κάνει περιστροφική κίνηση ισούται με τη μεταβολής της περιστροφής του σώματος. Η σχέση είναι :. γ. Η μεταβολή της κινητικής ενέργειας ενός σώματος που κάνει μια οποιαδήποτε κίνηση ισούται με το αλγεβρικό άθροισμα όλων των έργων των που ασκούνται στο στερεό κατά την κίνησή του. Η σχέση είναι :.. δ. Αν σε ένα σώμα που κάνει μια οποιαδήποτε κίνηση το συνολικό έργο των μη συντηρητικών δυνάμεων είναι μηδέν ή δεν ασκούνται καθόλου μη συντηρητικές δυνάμεις τότε η... ενέργεια του σώματος διατηρείται σταθερή. Η σχέση είναι:. ε. Το αλγεβρικό άθροισμα των έργων όλων των μη συντηρητικών δυνάμεων που ασκείται σε ένα σώμα ισούται με τη μεταβολή της ενέργειας του σώματος. Η σχέση είναι :.. Ε7.3 Στερεό σώμα περιστρέφεται γύρω από άξονα που στηρίζεται σε ακλόνητο σημείο, με σταθερή γωνιακή ταχύτητα ω. Δείξτε ότι η κινητική ενέργεια περιστροφής του σώματος δίνεται από τη σχέση, Κ=Ιω 2 /2, όπου Ι η ροπή αδράνειας του σώματος ως προς τον άξονα περιστροφής. (Θέμα Πανελλαδικών 2003) Ε7.4 Τροχός ακτίνας R ο οποίος μπορεί να περιστρέφεται γύρω από σταθερό άξονα που περνάει από το κέντρο του και είναι κάθετος σ αυτόν δέχεται δύναμη σταθερού μέτρου F κατά τη διεύθυνση της εφαπτομένης του. α. Δείξτε ότι το έργο της δύναμης αυτής για στροφή κατά γωνία θ, ισούται με το γινόμενο της ροπής της δύναμης επί τη γωνία, θ. β. Δείξτε ότι ο ρυθμός παραγωγής έργου της δύναμης είναι ανάλογος της γωνιακής ταχύτητας του σώματος. Ε7.5 Η κινητική ενέργεια ενός σώματος που περιστρέφεται γύρω από σταθερό άξονα είναι: Ν.ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ 142

143 α. Ανεξάρτητη της κατανομής μάζας του σώματος. β. Ανεξάρτητη της μάζας του σώματος. γ. Ανάλογη της ροπής αδράνειας του σώματος. δ. Ανάλογη της γωνιακής ταχύτητας. Ε7.6 Δίσκος στρέφεται με κινητική ενέργεια, Κ, γύρω από σταθερό άξονα περιστροφής που διέρχεται από το κέντρο του και είναι κάθετος στο επίπεδό του. Αν υποδιπλασιαστεί η γωνιακή του ταχύτητα, τότε η κινητική ενέργεια λόγω περιστροφής θα γίνει: α. Κ β. 2Κ γ. Κ/4 δ. 4Κ Ε7.7 Αν η κινητική ενέργεια περιστροφής ενός σώματος, σταθερής ροπής αδράνειας, που στρέφεται γύρω από σταθερό άξονα, τετραπλασιαστεί, τότε το μέτρο της στροφορμής του: α. Διπλασιάζεται β. Τετραπλασιάζεται γ. Υποδιπλασιάζεται δ. Μένει σταθερό Ε7.8 Η σταθερή δύναμη F στρέφει το τροχό κατά γωνία θ μέσα σε χρόνο t, γύρω από σταθερό άξονα που διέρχεται από το κέντρο του και είναι κάθετος στο επίπεδό του. Το έργο της δύναμης για αυτήν τη γωνιακή μετατόπιση είναι: α. W=Fθ β. W=Fθt γ. W=FRθ δ. W=0 Ε7.9 Η δύναμη F ασκείται στον τροχό με τον τρόπο που φαίνεται στο προηγούμενο σχήμα και τον περιστρέφει γύρω από σταθερό άξονα που διέρχεται από το κέντρο του και είναι κάθετος στο επίπεδό του. Ο ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας, dκ/dt, του τροχού κάποια χρονική στιγμή t, που θα έχει στραφεί κατά γωνία θ και η γωνιακή του ταχύτητα θα έχει μέτρο ω, είναι: α. FRω β. Μηδέν γ. FRθ δ. Fω t Ε7.10 Αν σε ένα στερεό που ήδη στρέφεται γύρω από σταθερό άξονα με σταθερή γωνιακή ταχύτητα, ασκηθεί σταθερή ροπή, τότε το έργο της ροπής ισούται με: α. Την τελική κινητική ενέργεια περιστροφής. β. Τη μεταβολή της στροφορμής. γ. Τη μεταβολή της γωνιακής ταχύτητας. δ. Τη μεταβολή της κινητικής ενέργειας περιστροφής. Ε7.11 Σφαίρα κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει και το κέντρο μάζας της επιταχύνεται ομαλά. Το αλγεβρικό άθροισμα των έργων των δυνάμεων που ασκούνται στο σώμα ισούται με: α. Τη μεταβολή της κινητικής ενέργειας του σώματος. β. Τη μεταβολή της μεταφορικής κινητικής ενέργειας του σώματος. γ. Τη μεταβολή της περιστροφικής κινητικής ενέργειας του σώματος. δ. Τη μεταβολή της μηχανικής ενέργειας του σώματος. Ε7.12 Κύλινδρος αφήνεται από σημείο κεκλιμένου επιπέδου να κατέβει κυλιόμενος χωρίς να ολισθαίνει. Ποια από τις προτάσεις που ακολουθούν είναι η σωστή; α. Το αλγεβρικό άθροισμα των έργων των ροπών και των έργων των δυνάμεων ισούται με τη μεταβολή της μεταφορικής κινητικής ενέργειας. Ν.ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ 143

144 β. Το αλγεβρικό άθροισμα των έργων των ροπών ισούται με τη μεταβολή της κινητικής ενέργειας του σώματος. γ. Το αλγεβρικό άθροισμα των έργων των δυνάμεων ισούται με τη μεταβολή της κινητικής ενέργειας του σώματος. δ. Το αλγεβρικό άθροισμα των έργων των ροπών και των έργων των δυνάμεων ισούται με τη μεταβολή της κινητικής ενέργειας του σώματος. Ε7.13 Τροχός μάζας m, ακτίνας R και ροπής αδράνειας Ι=mR 2 /2 κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει με σταθερή ταχύτητα κέντρου μάζας υ. Η κινητική του ενέργεια είναι: α. Κ=mυ 2 /2 β. Κ=mυ 2 /4 γ. Κ=3mυ 2 /4 Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. Ε7.14 Στεφάνη ακτίνας R της οποίας όλη η μάζα m θεωρείται συγκεντρωμένη στην περιφέρεια κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει πάνω σε οριζόντιο επίπεδο με ταχύτητα κέντρου μάζας υ cm =υ. Η ολική κινητική ενέργεια της στεφάνης είναι: α. Κ=mυ 2 β. Κ=mυ 2 /2 γ. Κ=2mυ 2 δ. Κ=0 Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. Ε7.15 Σφαίρα με ροπή αδράνειας Ι cm =2mR 2 /5 κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει με γωνιακή ταχύτητα ω. Η κινητική ενέργεια της σφαίρας είναι: α. Κ=0,5mω 2 R 2 β. Κ=0,7mω 2 R 2 γ. Κ=3mω 2 R 2 δ. Κ=0,4mR 2 ω 2 Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. E7.16 Κύλινδρος με ροπή αδράνειας Ι cm =mr 2 /2 κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει με σταθερή ταχύτητα κέντρου μάζας. Ο λόγος της μεταφορικής κινητικής ενέργειας, Κ μ προς την περιστροφική κινητική ενέργεια, Κ π είναι: α. Κ μ /Κ π =1 β. Κ μ /Κ π =2 γ. Κ μ /Κ π =1/2 δ. Κ μ /Κ π =4 Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. Ε7.17 Ένα ομογενές σώμα με κανονικό γεωμετρικό σχήμα κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει. Η κινητική του ενέργεια λόγω μεταφορικής κίνησης είναι ίση με την κινητική του ενέργεια λόγω περιστροφής, γύρω από τον άξονα που περνά από το κέντρο μάζας του. Το γεωμετρικό σχήμα του στερεού είναι: α. Σφαίρα β. Λεπτός δακτύλιος γ. Κύλινδρος Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. (Θέμα Πανελλαδικών 2004) Ε7.18 Σε στερεό σώμα δρα ροπή μέτρου, τ=2νm. Για μια περιστροφή, το έργο της είναι: α. 4π J β. 2π J γ. 8π J δ. 0 Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. Ν.ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ 144

145 Ε7.19 Για να περιστρέψουμε το τιμόνι ενός καραβιού ασκούμε ζεύγος δυνάμεων, που εφάπτονται στην περιφέρειά του. Το μέτρο της κάθε δύναμης του ζεύγους είναι F και η απόσταση του σημείου εφαρμογής της κάθε δύναμης από τον άξονα περιστροφής είναι R. Η ενέργεια που ξοδεύουμε για να στρέψουμε το τιμόνι κατά θ=30 0 είναι: α.w=πfr/6 β.w=2πfr γ.w=πfr/3 δ. W=0 Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. Ε7.20 Τροχός που στρέφεται δέχεται σταθερή ροπή που του μεταβάλλει την γωνιακή ταχύτητα από: α. 1rad/s σε 1rad/s β. 4rad/s σε 6rad/s γ. 1rad/s σε 5rad/s δ. 4rad/s σε 1rad/s Πότε το έργο της ροπής είναι μεγαλύτερο; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. Ε7.21 Τροχός με ροπή αδράνειας Ι=2kgm 2 περιστρέφεται γύρω από σταθερό άξονα με σταθερή γωνιακή ταχύτητα ω=10rad/s. Η ισχύς της συνισταμένης δύναμης που δέχεται είναι: Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. α. P=0 β. P=10J/s γ. 20J/s Ε7.22 Τροχός με ροπή αδράνειας Ι=2kgm 2 περιστρέφεται γύρω από σταθερό άξονα υπό την επίδραση σταθερής ροπής. Τη χρονική στιγμή t 0 =0 έχει ω 0 =0. Αν τη χρονική στιγμή t 1 =10s έχει γωνιακή ταχύτητα ω 1 =5rad/s, τότε ο ρυθμός μεταβολής της κινητικής του ενέργειας τη χρονική στιγμή t 1 είναι: α. 2,5J/s β. 500J/s γ. Μηδέν δ. 5J/s Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. Ε7.23 Ομογενής δίσκος μπορεί να περιστρέφεται γύρω από σταθερό άξονα που διέρχεται από το κέντρο του και είναι κάθετος στο επίπεδο που αυτός ορίζει. Τη χρονική στιγμή t 0 =0, ο δίσκος είναι ακίνητος και δέχεται τη δράση σταθερής ροπής που τον περιστρέφει. Να αντιστοιχήσετε τα μεγέθη που ακολουθούν στα διαγράμματα που φαίνονται στο σχήμα: (α) Γωνιακή επιτάχυνση, (β) Στροφορμή, (γ) Κινητική ενέργεια περιστροφής, (δ) Ισχύς ροπής Ν.ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ 145

146 Ε7.24 Ποιες από τις προτάσεις που ακολουθούν είναι σωστές και ποιες λανθασμένες; α. Η κινητική ενέργεια ενός στερεού σώματος που στρέφεται γύρω από σταθερό άξονα και έχει σταθερή ροπή αδράνειας είναι ανάλογη με το τετράγωνο της στροφορμής του. β. Όλα τα κανονικά και ομογενή γεωμετρικά σώματα που στρέφονται γύρω από τον κύριο και σταθερό άξονα συμμετρίας τους με την ίδια γωνιακή ταχύτητα, ω, έχουν την ίδια κινητική ενέργεια. γ. Αν κατά την περιστροφή ενός στερεού σώματος γύρω από σταθερό άξονα περιστροφής αλλάξει λόγω εσωτερικών δυνάμεων το σχήμα του σώματος, τότε η κινητική ενέργεια διατηρείται σταθερή. δ. Η μεταβολή της κινητικής ενέργειας περιστροφής ενός στερεού είναι ίση με το αλγεβρικό άθροισμα των έργων των ροπών που ασκήθηκαν στο σώμα. Ε7.25 Στερεό σώμα που αρχικά είναι ακίνητο, αρχίζει να στρέφεται υπό την επίδραση σταθερής ροπής, γύρω από σταθερό άξονα. Σε κάθε περιστροφή του σώματος: α. Το έργο της ροπής είναι το ίδιο. β. Η μεταβολή της κινητικής ενέργειας είναι η ίδια. γ. Η μεταβολή της στροφορμής του ολοένα και αυξάνεται. δ. Το πηλίκο, της μεταβολής της κινητικής ενέργειας προς το χρονικό διάστημα που χρειάζεται για την περιστροφή διατηρείται σταθερό. Ποιες από τις προηγούμενες προτάσεις είναι σωστές ή λανθασμένες; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. Ε7.26 Στερεό σώμα στρέφεται γύρω από σταθερό άξονα και η γωνιακή του ταχύτητα αυξάνεται με σταθερό ρυθμό. Τότε: α. Ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής του αυξάνεται. β. Ο ρυθμός μεταβολής της κινητικής του ενέργειας είναι σταθερός. γ. Ο ρυθμός μεταβολής της γωνιακής του μετατόπισης αυξάνεται. δ. Ο ρυθμός μεταβολής της συνισταμένης ροπής που δέχεται είναι μηδέν. Ποιες από τις προηγούμενες προτάσεις είναι σωστές ή λανθασμένες; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. Ε7.27 Ομογενής δίσκος ακτίνας R περιστρέφεται χωρίς τριβές σε οριζόντιο επίπεδο γύρω από τον κύριο άξονα συμμετρίας του. Δύναμη σταθερού μέτρου F ασκείται εφαπτομενικά στο δίσκο τη χρονική στιγμή t 0 =0 και τον επιβραδύνει. α. Το έργο της δύναμης F είναι το ίδιο σε κάθε περιστροφή. β. Η αλγεβρική τιμή της στιγμιαίας ισχύος της δύναμης F είναι φθίνουσα γραμμική συνάρτηση του χρόνου. γ. Το χρονικό διάστημα μιας περιστροφής του δίσκου ολοένα και αυξάνεται. δ. Η στροφορμή του δίσκου διατηρείται σταθερή. ε. Ο ρυθμός μεταβολής της γωνιακής ταχύτητας συνεχώς μειώνεται. Ποιες από τις προηγούμενες προτάσεις είναι σωστές ή λανθασμένες; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. Ε7.28 Στερεό σώμα με σταθερή ροπή αδράνειας, Ι, στρέφεται γύρω από ακλόνητο άξονα υπό την επίδραση σταθερής ροπής, τ. Τη χρονική στιγμή t 0 =0 είναι ακίνητο, (ω 0 =0) και βρίσκεται στη γωνιακή θέση, θ 0 =0. α. Το έργο της ροπής στο χρονικό διάστημα [0,t 1 ] είναι, W= τ t Ι β. Η αλγεβρική τιμή του ρυθμού μεταβολής της κινητικής ενέργειας είναι: dκ =τ 2 t. dt 2 Ν.ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ 146

147 γ. Ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής του είναι σταθερός και θετικός. δ. Ο ρυθμός μεταβολής της δυναμικής του ενέργειας είναι θετικός. ε. Ο ρυθμός μεταβολής της γωνιακής ταχύτητας είναι ανάλογος του τετραγώνου της ροπής. Ποιες από τις προηγούμενες προτάσεις είναι σωστές ή λανθασμένες; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. Ε7.29 Μια σφαίρα βάρους mg αφήνεται να κυλήσει χωρίς να ολισθαίνει κατά μήκος κεκλιμένου επιπέδου γωνίας κλίσης φ χωρίς να δέχεται τριβές από τον αέρα. Για μια διαδρομή του κέντρου μάζας της σφαίρας κατά s: Ι. Το έργο της στατικής τριβής είναι: α. Μηδέν β. Θετικό γ. Αρνητικό ΙΙ. Η μηχανική ενέργεια της σφαίρας: α. Αυξάνεται β. Μειώνεται γ. Διατηρείται σταθερή ΙΙΙ. Το συνολικό έργο που παράγεται πάνω στη σφαίρα είναι: α. mgs β. Μηδέν γ. mgsημφ Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. Ε7.30 Μια σφαίρα βάρους m g αφήνεται να κυλήσει χωρίς να ολισθαίνει κατά μήκος κεκλιμένου επιπέδου γωνίας κλίσης φ χωρίς να δέχεται τριβές από τον αέρα. Το μέτρο της στατικής τριβής είναι Τ. Σε μια στιγμή που η ταχύτητα του κέντρου μάζας της είναι υ cm και η αντίστοιχη γωνιακή ταχύτητα της σφαίρας, ω, να αντιστοιχήσετε τους ρυθμούς μεταβολής των ενεργειών της αριστερής στήλης με τις εκφράσεις της δεξιάς στήλης: dκ μετ α. 1. Μηδέν dt dκ περ β. 2. (mgημφ)υ dt cm γ. dκ 3. (mgημφ Τ)υ cm dt δ. dε μηχ 4. Τυ cm dt Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. Ε7.31 Σφαίρα είναι ακίνητη τη χρονική στιγμή t 0 =0 και αρχίζει να περιστρέφεται υπό την επίδραση σταθερής ροπής γύρω από ένα σταθερό άξονα συμμετρίας της. Αν τη χρονική στιγμή t 1 =t, η κινητική ενέργεια λόγω περιστροφής είναι Κ 1 τότε τη χρονική στιγμή t 2 =2t, η αντίστοιχη τιμή της κινητικής ενέργειας θα είναι: α. Κ 2 =Κ 1 β. Κ 2 =2Κ 1 γ. Κ 2 =4Κ 1 δ. Κ 2 =8Κ 1 Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. Ε7.32 Δύο ίδιες σφαίρες Σ 1, Σ 2 περιστρέφονται με την ίδια γωνιακή ταχύτητα ω, η μεν Σ 1 γύρω από σταθερό άξονα που διέρχεται από το κέντρο της, η δε Σ 2 γύρω από παράλληλο άξονα που διέρχεται από σημείο της περιφέρειάς της. Αν για τη σφαίρα είναι, Ι cm =2ΜR 2 /5, τότε ο λόγος των κινητικών ενεργειών τους είναι: α. Κ 1 /Κ 2 =1 β. Κ 1 /Κ 2 =2/7 γ. Κ 1 /Κ 2 =7/2 δ. Κ 1 /Κ 2 =2/5 Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. Ν.ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ 147

148 Ε7.33 Δύο σφαίρες ίδιας ακτίνας και ίδιας μάζας περιστρέφονται γύρω από σταθερούς κατακόρυφους άξονες που διέρχονται από τα κέντρα τους με την ίδια γωνιακή ταχύτητα. Οι κινητικές τους ενέργειες είναι: α. Ίσες. β. Άνισες. γ. Δεν μπορούμε να απαντήσουμε. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. Ε7.34 Μια ομογενής συμπαγής και μια ομογενής κούφια σφαίρα ίδιας ακτίνας και ίδια μάζας στρέφονται γύρω από σταθερό άξονα που περνάει από το κέντρο τους και έχουν ίσες κινητικές ενέργειες. Μεγαλύτερη γωνιακή ταχύτητα έχει: α. Η κούφια β. Η συμπαγής γ. Καμία από τις δύο Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. Ε7.35 Δύο ανομοιογενείς δίσκοι, ίδιας ακτίνας R μπορούν να περιστρέφονται γύρω από άξονα τον κύριο άξονα συμμετρίας τους. Οι δύο δίσκοι είναι αρχικά ακίνητοι και αρχίζουν να στρέφονται υπό την επίδραση της ίδια σταθερής δύναμης που ασκείται εφαπτομενικά στην περιφέρειά τους. Μετά από μια περιστροφή, ποιος από τους δύο αποκτάει μεγαλύτερη γωνιακή ταχύτητα; α. Αυτός με τη μικρότερη ροπή αδράνειας. β. Αυτός με τη μεγαλύτερη ροπή αδράνειας. γ. Κανένας από τους δύο. Ε7.36 Δύο στερεά σώματα το Σ 1 και το Σ 2 στρέφονται γύρω από σταθερούς άξονες. Στα σώματα ασκούνται σταθερές ροπές για ίδια χρονικά διαστήματα και οι στροφορμές των σωμάτων μεταβάλλονται με τη γωνιακή ταχύτητα σύμφωνα με το διπλανό διάγραμμα. Ι. Για τις ροπές αδράνειας ισχύει: α. Ι 1 =Ι 2 β. Ι 1 >Ι 2 γ. Ι 1 <Ι 2 ΙΙ. Για τις τελικές κινητικές ενέργειες των σωμάτων ισχύει: α. Κ 1 =Κ 2 β. Κ 1 >Κ 2 γ. Κ 1 <Κ 2 ΙΙΙ. Για τα μέτρα των ροπών ισχύει: α. τ 1 =τ 2 β. τ 1 >τ 2 γ. τ 1 <τ 2 Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. Ε7.37 Σφαίρα και κύλινδρος έχουν την ίδια μάζα και την ίδια ακτίνα και αφήνονται ταυτόχρονα από το ίδιο σημείο κεκλιμένου επιπέδου. Αν τα σώματα κυλάνε χωρίς να ολισθαίνουν, ποιο θα φτάσει στη βάση του κεκλιμένου επιπέδου με: 1. Μεγαλύτερη κινητική ενέργεια. 2. Μεγαλύτερη ταχύτητα κέντρου μάζας; α. Αυτό με τη μικρότερη ροπή αδράνειας. β. Αυτό με τη μεγαλύτερη ροπή αδράνειας. γ. Κανένα από τα δύο. Ποια απάντηση είναι η σωστή; Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. E7.38 Ομογενής σφαίρα αφήνεται από το σημείο κεκλιμένου επιπέδου να κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει. Ποιες από τις προτάσεις που ακολουθούν και αφορούν τη σφαίρα είναι σωστές και ποιες λανθασμένες; Να αιτιολογήσετε τις απαντήσεις σας. α. Το επίπεδο είναι λείο. Ν.ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ 148

149 β. Η μηχανική ενέργεια διατηρείται σταθερή. γ. Η μεταφορική κινητική ενέργεια αυξάνεται με σταθερό ρυθμό. δ. Η περιστροφική κινητική ενέργεια αυξάνεται με ρυθμό που συνεχώς αυξάνεται. ε. Ο ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας διατηρείται σταθερός. στ. Ο λόγος της μεταφορικής προς την περιστροφική κινητική ενέργεια κάθε χρονική στιγμή διατηρείται σταθερός και ανεξάρτητος της μάζας και της ακτίνας της σφαίρας. E7.39 Δύο ομογενείς και συμπαγείς σφαίρες ίδιας μάζας (m 1 =m 2 =m), με ακτίνες R 1 =R και R 2 =2R αντιστοίχως, αφήνονται ταυτόχρονα από την κορυφή κεκλιμένου επιπέδου να κυλίονται χωρίς να ολισθαίνουν. Αφού τα κέντρα μάζας τους διανύσουν την ίδια απόσταση φτάνουν στη βάση του κεκλιμένου επιπέδου. Όταν φτάνουν στη βάση ισχύει: Ι. Για τα συνολικά έργα: α. ΣW 1 =ΣW 2. β. ΣW 1 =2ΣW 2, γ. ΣW 2 =2ΣW 1 ΙΙ. Για τις κινητικές ενέργειες: α. Κ 1 =2Κ 2 β. Κ 2 =2Κ 1 γ. Κ 1 =Κ 2 ΙΙΙ. Για τις ταχύτητες υ του κέντρου μάζας: α. υ 1 =2υ 2 β. υ 2 =2υ 1 γ. υ 1 =υ 2 ΙV. Για τις γωνιακές ταχύτητες ισχύει: α. ω 1 =2ω 2 β. ω 2 =2ω 1 γ. ω 1 =ω 2 Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. Ε7.40 Δύο ομογενείς κύλινδροι Κ 1, Κ 2 με μάζες m και 2m και με ακτίνες R και 2R αντιστοίχως, αφήνονται ταυτόχρονα από την κορυφή κεκλιμένου επιπέδου να κυλίονται χωρίς να ολισθαίνουν. Δίνεται η ροπή αδράνειας του κάθε κυλίνδρου, Ι cm =mr 2 /2. Ι. Ο λόγος των κινητικών ενεργειών με τις οποίες φτάνουν στη βάση είναι: α. Κ 1 /Κ 2 =1 β. Κ 1 /Κ 2 =2 γ. Κ 1 /Κ 2 =1/2 δ. Κ 1 /Κ 2 =1/4 ΙΙ. Ο λόγος των γωνιακών ταχυτήτων με τις οποίες φτάνουν στη βάση είναι: α. ω 1 /ω 2 =1 β. ω 1 /ω 2 =2 γ. ω 1 /ω 2 =1/2 δ. ω 1 /ω 2 =1/4 ΙΙΙ. Ο λόγος των χρόνων που απαιτούνται για να φτάσουν οι σφαίρες στη βάση των κεκλιμένων επιπέδων είναι: α. t 1 /t 2 =1 β. t 1 /t 2 =2 γ. t 1 /t 2 =1/2 δ. t 1 /t 2 =1/4 Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. Ε7.41 Ένας κύβος (κ) από πάγο μάζας m και μια σφαίρα (σ) μάζας m και ακτίνας R αφήνονται ταυτόχρονα από το ίδιο σημείο κεκλιμένου επιπέδου γωνίας κλίσης, φ. Ο κύβος ολισθαίνει χωρίς τριβές και η σφαίρα κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει. Όταν φτάνουν στη βάση του κεκλιμένου επιπέδου και αφού τα κέντρα μάζας τους έχουν διανύσει την ίδια απόσταση: Ι. Για τις κινητικές τους ενέργειες ισχύει: α. Κ κ /Κ σ =1 β. Κ κ /Κ σ =2 ΙΙ. Για τις ταχύτητες του κέντρου μάζας τους ισχύει: α. υ κ /υ σ = 7/5 β. υ κ /υ σ = 5/2 Να αιτιολογήσετε τις απαντήσεις σας. Η ροπή αδράνειας της σφαίρας είναι Ι cm =2mR 2 /5. Ν.ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ 149

150 Ε7.43 Ποδοσφαιριστής επιταχύνει μια μπάλα σε οριζόντιο επίπεδο. Η μπάλα κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει και οι τριβές με τον αέρα είναι αμελητέες. Το μέρος της χημικής ενέργειας του ποδοσφαιριστή που μεταβιβάζεται μόνο στη μπάλα μετατρέπεται σε: α. Κινητική ενέργεια λόγω μεταφοράς. β. Κινητική ενέργεια λόγω περιστροφής. γ. Δυναμική ενέργεια βαρύτητας. δ. Σε όλα τα προηγούμενα. ε. Μόνο στο α και στο β. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. Ε7.44 Παιδί κυλάει μια στεφάνη στην ανηφόρα με επιταχυνόμενη κίνηση. Η στεφάνη κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει και οι τριβές με τον αέρα είναι αμελητέες. Το μέρος της χημικής ενέργειας του παιδιού που μεταβιβάζεται μόνο στη στεφάνη μετατρέπεται σε: α. Κινητική ενέργεια λόγω μεταφοράς. β. Κινητική ενέργεια λόγω περιστροφής. γ. Δυναμική ενέργεια βαρύτητας. δ. Σε όλα τα προηγούμενα. ε. Μόνο στο α και στο γ. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. Ε7.45 Ποδηλάτης ανεβαίνει ανηφόρα με σταθερή ταχύτητα. Οι τροχοί του ποδηλάτου κυλίονται χωρίς να ολισθαίνουν και οι τριβές με τον αέρα θεωρούνται αμελητέες. Το μέρος της χημικής ενέργειας του ποδηλάτη που μεταβιβάζεται μόνο στο ποδήλατο, κατά τη διάρκεια της ισοταχούς κίνησης μετατρέπεται σε: α. Κινητική ενέργεια λόγω μεταφοράς. β. Κινητική ενέργεια των τροχών λόγω περιστροφής. γ. Δυναμική ενέργεια βαρύτητας. δ. Σε όλα τα προηγούμενα. ε. Μόνο στο γ. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. Ν.ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ 150

151 Ε7.46 Αφήνουμε μια μπάλα να κυλήσει σε κεκλιμένο επίπεδο προς τα κάτω, χωρίς να ολισθαίνει. Οι τριβές με τον αέρα θεωρούνται αμελητέες. Να αναφέρετε τις ενεργειακές μετατροπές που συμβαίνουν και τα αντίστοιχα έργα των δυνάμεων ή των ροπών που ισοδυναμούν με αυτές τις μετατροπές. Ε7.47 Αφήνουμε το γιο γιο του σχήματος να πέσει κατακόρυφα ενώ το νήμα είναι δεμένο σε ακλόνητο σημείο. Οι τριβές με τον αέρα θεωρούνται αμελητέες και το νήμα δεν ολισθαίνει μέσα στο αυλάκι. Ι. Να αναφέρεται τις ενεργειακές μετατροπές που συμβαίνουν και τα αντίστοιχα έργα των δυνάμεων που ισοδυναμούν με αυτές τις μετατροπές. ΙΙ. Ποιες από τις προτάσεις που ακολουθούν είναι σωστές; α. Η στροφορμή του τροχού διατηρείται σταθερή. β. Η μηχανική ενέργεια του τροχού διατηρείται σταθερή. γ. Η κινητική ενέργεια του τροχού αυξάνεται με σταθερό ρυθμό. δ. Η τάση του νήματος δεν εκτελεί έργο. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. Ε7.48 Μια μπάλα που κυλάει χωρίς να ολισθαίνει, πάνω σε τραπέζι με σταθερή ταχύτητα, πέφτει στο κενό. Καθώς η μπάλα πέφτει στο κενό: α. Η μηχανική ενέργεια της μπάλας αυξάνεται β. Η δυναμική ενέργεια βαρύτητας μειώνεται. γ. Η μεταφορική κινητική ενέργεια αυξάνεται. δ. Η στροφορμή της μπάλας διατηρείται σταθερή. ε. Η περιστροφική κινητική ενέργεια διατηρείται σταθερή. στ. Η συνολική κινητική ενέργεια της σφαίρας αυξάνεται. Ποιες από τις προτάσεις που ακολουθούν είναι σωστές ή λανθασμένες; Να αιτιολογήσετε τις απαντήσεις σας. Ε7.49 Γύρω από ομογενή κύλινδρο (γιο γιο) είναι τυλιγμένο αβαρές σχοινί και στο ελεύθερο άκρο του σχοινιού ασκείται κατακόρυφη σταθερή δύναμη F με φορά προς τα πάνω έτσι ώστε το κέντρο μάζας του κυλίνδρου, Κ, να πέφτει προς τα κάτω επιταχυνόμενο, ενώ ο κύλινδρος περιστρέφεται. Οι τριβές με τον αέρα θεωρούνται αμελητέες και το σχοινί δεν ολισθαίνει μέσα στο αυλάκι. Ποιες από τις προτάσεις που ακολουθούν είναι σωστές ή λανθασμένες; Να αιτιολογήσετε τις απαντήσεις σας. α. Το έργο της F ισοδυναμεί με τη μεταβολή της κινητικής ενέργειας περιστροφής. β. Η μείωση της δυναμικής ενέργειας βαρύτητας ισοδυναμεί με τη μεταβολής της κινητικής ενέργειας του κυλίνδρου. γ. Το αλγεβρικό άθροισμα των έργων του βάρους και της δύναμης F ισούται με τη μεταβολή της κινητικής ενέργειας του κυλίνδρου δ. Η μηχανική ενέργεια του κυλίνδρου διατηρείται σταθερή. Ε7. 50 Ομογενής ράβδος μπορεί να περιστρέφεται γύρω από οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το ένα άκρο της και είναι κάθετος σ αυτήν. Την αφήνουμε από την οριζόντια θέση να περιστραφεί μόνο με την επίδραση του βάρους. Ποιες από τις προτάσεις πουν ακολουθούν είναι σωστές και ποιες λανθασμένες; α. Το έργο του βάρους ισούται με τη μεταβολή της κινητικής ενέργειας. Ν.ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ 151

152 β. Η στροφορμή αυξάνεται αλλά με ρυθμό που συνεχώς μειώνεται. γ. Η μηχανική ενέργεια διατηρείται σταθερή. δ. Ο ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας όταν φτάνει στην κατακόρυφη θέση μηδενίζεται. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. Ε7.51 Δύο ομογενείς ράβδοι ίδιου μήκους λ με μάζες m 1 =m και m 2 =2m μπορούν να περιστρέφονται γύρω από οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το ένα άκρο τους και είναι κάθετος σ αυτές. Τις αφήνουμε από την οριζόντια θέση να περιστραφούν μόνο με την επίδραση του βάρους. Όταν φτάνουν στην κατακόρυφη θέση: Ι. Για τις κινητικές ενέργειες ισχύει: α. Κ 1 =Κ 2 β. Κ 1 =2Κ 2 γ. Κ 2 =2Κ 1 ΙΙ. Για τις γωνιακές ταχύτητες ισχύει: α. ω 1 =ω 2 β. ω 1 =2ω 2 γ. ω 2 =2ω 1 Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας. Η ροπή αδράνειας της ράβδου είναι Ι cm =mλ 2 /12. Ε7.52 Δύο ράβδοι ίδιας μάζας m με μήκη λ 1 =λ και λ 2 =2λ μπορούν να περιστρέφονται γύρω από οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το ένα άκρο τους και είναι κάθετος σ αυτές. Τις αφήνουμε από την οριζόντια θέση να περιστραφούν μόνο με την επίδραση του βάρους. Όταν φτάνουν στην κατακόρυφη θέση: Ι. Για τις κινητικές ενέργειες ισχύει: α. Κ 1 =Κ 2 β. Κ 1 =2Κ 2 γ. Κ 2 =2Κ 1 ΙΙ. Για τις γωνιακές ταχύτητες ισχύει: α. ω 1 =ω 2 β. ω 1 = 2ω 2 γ. ω 2 = 2ω 1 Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας. Η ροπή αδράνειας της ράβδου είναι Ι cm =mλ 2 /12. Ε7.53 Η ομογενής ράβδος μπορεί να περιστρέφεται σε κατακόρυφο επίπεδο, γύρω από οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το άκρο της, Ο, χωρίς τριβές. Ασκούμε στη ράβδο δύναμη σταθερού μέτρου, F, η διεύθυνση της οποίας είναι συνεχώς κάθετη στη ράβδο. Η ράβδος βρίσκεται αρχικά ακίνητη στην κατακόρυφη θέση και υπό την επίδραση της F αρχίζει να ανεβαίνει, όπως φαίνεται και στο σχήμα. Αν η δύναμη F ασκείται στην άκρη Α η ράβδος φτάνει στην οριζόντια θέση με γωνιακή ταχύτητα ω 1, αν όμως η ίδια δύναμη ασκείται στο μέσο Κ, τότε η ράβδος φτάνει στην οριζόντια θέση με γωνιακή ταχύτητα ω 2. Για τα μέτρα των γωνιακών ταχυτήτων ω 1 και ω 2 ισχύει: Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. α. ω 1 =ω 2 β. ω 1 >ω 2 γ. ω 1 <ω 2 E7.54 Κοίλη σφαίρα (Ι 1 =2mR 2 /3) και συμπαγής σφαίρα (Ι 2 =2mR 2 /5) ίσων μαζών και ίσων ακτίνων αφήνονται από το ίδιο ύψος του ίδιου κεκλιμένου επιπέδου να κατέβουν και κυλίονται χωρίς να ολισθαίνουν. Κάποτε φτάνουν στο οριζόντιο επίπεδο και συνεχίζουν να κυλίονται χωρίς να ολισθαίνουν. Αν για να τις σταματήσουμε στο οριζόντιο επίπεδο απαιτείται να δαπανήσουμε ενέργειες W 1, W 2 αντιστοίχως, για τις ενέργειες αυτές ισχύει: α. W 1 =W 2 β. W 1 =0,4W 2 γ. W 2 =0,4W 1 Δεχτείτε ότι μέχρι να σταματήσουν συνεχίζουν να κυλίονται χωρίς να ολισθαίνουν. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. Ν.ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ 152

153 (A) Ασκήσεις και προβλήματα Α7.1 Τρεις σημειακές μάζες m 1 =0,3kg, m 2 =0,2kg και m 3 =0,1kg τοποθετούνται αντιστοίχως στις κορυφές Α, Β, Γ ορθογωνίου τριγώνου ΑΒΓ (Α=90 0 ) του οποίου οι πλευρές έχουν μήκη (ΑΒ)=30cm και (ΑΓ)=40cm. Οι πλευρές του τριγώνου να θεωρηθούν αβαρείς. α. Να υπολογιστεί η ροπή αδρανείας του συστήματος ως προς άξονα, zz' διερχόμενο από το σημείο Α και κάθετο στο επίπεδο του τριγώνου. β. Πόση είναι η κινητική ενέργεια του συστήματος, αν αυτό περιστρέφεται με γωνιακή ταχύτητα ω=4rad/s γύρω από τον άξονα, zz'; γ. Πόση είναι η κινητική ενέργεια του συστήματος αν αυτό περιστρέφεται ως προς τον άξονα zz'και το σημείο Γ έχει ταχύτητα υ=2m/s; α. Ι=0,034kgm 2, β. Κ=0,272J, γ. Κ=0,425J Α7.2 Τροχός μάζας m=10kg και ακτίνας r=1m μπορεί να περιστρέφεται γύρω από άξονα που διέρχεται από το κέντρο του και είναι κάθετος σ αυτόν. Τη χρονική στιγμή t 0 =0 είναι ακόμα ακίνητος και του ασκούμε σταθερή δύναμη F=30N σε διεύθυνση εφαπτομενική στην περιφέρειά του. Δίνεται η ροπή αδράνειας του τροχού, Ι=mr 2. Να υπολογιστούν: α. Η ισχύς της ροπής της δύναμης τη χρονική στιγμή t=2s. β. Το έργο της ροπής κατά τη δεύτερη περιστροφή του τροχού. γ. Τη μεταβολή της κινητικής ενέργειας μετά από 10 περιστροφές. α. P=180w, β. W=60πJ, γ. ΔΚ=600πJ Α7.3 Τροχός μάζας m=20kg και ακτίνας r=1m περιστρέφεται γύρω από άξονα που διέρχεται από το κέντρο του και είναι κάθετος σ αυτόν και τη στιγμή που έχει συχνότητα περιστροφής f 0 =20/π Ηz δέχεται σταθερή δύναμη πέδησης. α. Πόσο είναι το έργο της δύναμης μέχρι ο τροχός να σταματήσει; β. Αν ο τροχός χρειάζεται να διαγράψει 200/π στροφές μέχρι να σταματήσει, πόση είναι η ροπή πέδησης που του ασκήθηκε; γ. Πόση είναι η ισχύς της ροπής πέδησης τη χρονική στιγμή που η συχνότητα της περιστροφής είναι f=10/π Ηz; δ. Πόσο χρόνο θέλει για να σταματήσει; Δίνεται η ροπή αδράνειας του τροχού ως προς τον άξονα, Ι=mr 2. α. W= J, β. τ=40νm, γ. P=-800w, δ. t=20s Α7.4 Η ομογενής, λεπτή, ράβδος ΑΒ στρέφεται πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο γύρω από άξονα, z, που διέρχεται από το μέσον της Κ και είναι κάθετος σ αυτήν. Η ράβδος έχει μήκος λ=1,2m, μάζα m=20kg και στα άκρα της δέχεται δυνάμεις με μέτρα F 1 =15N και F 2 =25N που είναι ομόρροπες και κάθετες στο μήκος της. Η ράβδος αρχίζει να περιστρέφεται γύρω από τον άξονά της τη χρονική στιγμή t 0 =0, χωρίς αρχική γωνιακή ταχύτητα. Να υπολογιστούν τη χρονική στιγμή t=2s: α. Η κινητική ενέργεια της ράβδου. β. Ο ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας της ράβδου. Ν.ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ 153

154 γ. Ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής. Δίνεται Ι K = mλ 2 /12. α. Κ= 480J, β. ΔΚ/Δt=480W, γ. ΔL/Δt=24Νm Α7.5 Η ομογενής, λεπτή, ράβδος ΑΒ στρέφεται πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο γύρω από άξονα που διέρχεται από το ένα άκρο της Α και είναι κάθετος σ αυτήν. Η ράβδος έχει μήκος λ=1m, μάζα m=0,3kg και στο μέσο της Κ δέχεται δύναμη F 1 =20N κάθετη στο μήκος της και παράλληλη στο οριζόντιο επίπεδο, ενώ στο άκρο της Β, δύναμη F 2 =40N σε κατεύθυνση αντίρροπη της F 1. Η ράβδος αρχίζει να περιστρέφεται τη χρονική στιγμή t 0 =0, χωρίς αρχική γωνιακή ταχύτητα, γύρω από τον άξονά της. Δίνεται Ι K = mλ 2 /12. α. Πόσες περιστροφές έχει κάνει η ράβδος στο διάστημα που χρειάζεται για να παράγει η συνολική ροπή, έργο, W=300 πj. β. Πόση είναι η γωνιακή ταχύτητα της ράβδου τη χρονική στιγμή που ο ρυθμός μεταβολής της κινητικής της ενέργειας είναι ΔK/Δt=90J/s. γ. Πόσο είναι το έργο της ροπής της δύναμης F 1 από τη χρονική στιγμή t 0 =0 μέχρι τη στιγμή που η ράβδος αποκτά κινητική ενέργεια 4500J; α. Ν=5στροφές, β. ω=3rad/s, γ. W 1 = 1500J Ε7.6 Για να περιστρέψουμε το τιμόνι ενός καραβιού ασκούμε ζεύγος δυνάμεων, όπως φαίνεται στο σχήμα. Το μέτρο της κάθε δύναμης του ζεύγους είναι F=200Ν. Το τιμόνι αποτελείται από μια ομογενή στεφάνη μάζας m=25kg, ακτίνας r=0,4m με ροπή αδράνειας Ι σ =mr 2 και από τέσσερις ομογενείς ράβδους μήκους λ=1m και μάζας Μ=3kg η κάθε μια. Η ροπή αδράνειας της κάθε ράβδου δίνεται από τη σχέση Ι cm =Μλ 2 /12. Να υπολογιστούν: α. Η κινητική ενέργεια του τιμονιού, αν το περιστρέψουμε από την ηρεμία κατά Ν=5/π στροφές. β. Η γωνιακή ταχύτητα του τιμονιού στο τέλος των Ν στροφών; α. K=2000J, β. ω=20 2rad/s Α7.7 Η τροχαλία ακτίνας R=0,4m, που φαίνεται στο σχήμα, περιστρέφεται χωρίς τριβές, ενώ το σχοινί δεν ολισθαίνει μέσα στο αυλάκι της. Αφήνουμε ελεύθερο το σώμα μάζας m=20kg να πέσει. Κάποια στιγμή, t, και ενώ το σώμα έχει πέσει κατά h=5m διαπιστώνουμε ότι η τροχαλία έχει κινητική ενέργεια 640J. Δίνεται g=10m/s 2. Να υπολογιστούν: α. Η ταχύτητα του σώματος την ίδια χρονική στιγμή. β. Η γωνιακή ταχύτητα της τροχαλίας την ίδια χρονική στιγμή. γ. Η ροπή αδράνειας της τροχαλίας. α. υ=6m/s, β. ω=15rad/s, γ. Ι=5,68kgm 2 Α7.8 Γύρω από ομογενή κύλινδρο μάζας m=0,2kg ακτίνας R=0,1m είναι τυλιγμένο αβαρές σχοινί και στο ελεύθερο άκρο του σχοινιού ασκείται κατακόρυφη σταθερή δύναμη F με φορά προς τα πάνω έτσι ώστε, το κέντρο μάζας του κυλίνδρου να μένει στο ίδιο ύψος πάνω από το έδαφος, ενώ ο κύλινδρος περιστρέφεται. α. Πόσο είναι το έργο της F μέχρι η ταχύτητα να γίνει ω=100rad/s; β. Πόσο είναι το μήκος του σχοινιού που ξετυλίχθηκε έως τότε; γ. Ποιος είναι ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής του κυλίνδρου; Δίνεται Ι Κ =mr 2 /2 και g=10m/s 2. Ν.ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ 154

155 a. W= 5J, β. x=2,5m γ. ΔL/Δt= 0,2kgm 2 /s 2 A7.9 Η τροχαλία, που φαίνεται στο σχήμα, έχει μάζα Μ=0,5kg, ακτίνα R=0,1m και ροπή αδράνειας Ι cm =ΜR 2. To σώμα μάζας m=1,5kg είναι δεμένο στο άκρο αβαρούς σχοινιού που δεν γλιστράει μέσα στο αυλάκι της τροχαλίας και αφήνεται να πέσει κατακόρυφα. Τη χρονική στιγμή που το σώμα θα έχει πέσει κατά h=5m από την θέση που αφέθηκε, να υπολογιστούν: α. Η ταχύτητα του σώματος, m. β. H επιτάχυνση του σώματος, m. γ. Η στροφορμή της τροχαλίας. δ. Οι ρυθμοί μεταβολής της κινητικής ενέργειας, της τροχαλίας, του σώματος, m και του συστήματος. Δίνεται g=10m/s 2. α. υ=5 3m/s, β. α=7,5m/s 2 γ. L= kgm 2 /s, δ. 18,75 3J/s, 56,25 3J/s,75 3J/s A7.10 Τα σώματα, Σ 1,Σ 2, έχουν μάζες, m 1 =1kg, m 2 =0,5kg και είναι δεμένα στα άκρα νήματος το οποίο είναι τυλιγμένο στην τροχαλία μάζας Μ=2kg και ακτίνας R=0,5m. Αρχικά κρατάμε τα δύο σώματα στο ίδιο οριζόντιο επίπεδο και το σύστημα ηρεμεί, ενώ στη συνέχεια τα αφήνουμε ελεύθερα να κινηθούν και το αβαρές νήμα, που δεν γλιστράει μέσα στο αυλάκι της τροχαλίας, βάζει την τροχαλία σε περιστροφή. Όταν το σώμα Σ 1 έχει πέσει κατά h=0,5m, να υπολογιστούν: α. Η ταχύτητα του σώματος Σ 1. β. Ο ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας της τροχαλίας. γ. Ο ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας του σώματος Σ 2. Δίνονται η Ι cm =ΜR 2 /2 της τροχαλίας και g=10m/s 2. α. υ1= 2m/s, β. ΔΚτ/Δt=2 2J/s, γ. ΔΚ2/Δt= 2J/s A7.11 Ομογενής ράβδος ΟΑ, μάζας m και μήκους λ είναι δυνατόν να στρέφεται σε κατακόρυφο επίπεδο, γύρω από άξονα που περνάει από το άκρο Ο και είναι κάθετος σ αυτήν. Η ράβδος αρχικά βρίσκεται σε οριζόντια θέση και κρατιέται ακίνητη. Αφήνουμε τη ράβδο ελεύθερη να κινηθεί χωρίς τριβές. Τη στιγμή που η ράβδος περνάει από την κατακόρυφη θέση να υπολογιστούν: α. Η γωνιακή ταχύτητα. β. Το μέτρο της δύναμης που δέχεται η ράβδος, από τον άξονα περιστροφής. γ. Ο ρυθμός μεταβολής της κινητικής της ενέργειας. Δίνονται η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο της και είναι κάθετος σ αυτήν Ι cm = mλ 2 /12 και το g. α. ω= 3g/λ, β.ν=5mg/2, γ. ΔΚ/Δt=0 Α7.12 Ομογενής ράβδος ΟΑ, μάζας m και μήκους λ είναι δυνατόν να στρέφεται σε κατακόρυφο επίπεδο, γύρω από άξονα που περνάει από το άκρο Ο και είναι κάθετος σ αυτήν. Η ράβδος αρχικά βρίσκεται σε οριζόντια θέση και κρατιέται ακίνητη. Αφήνουμε τη ράβδο ελεύθερη να κινηθεί χωρίς τριβές. Τη στιγμή που η ράβδος σχηματίζει γωνία φ=60 0 με την κατακόρυφο που περνάει από το σημείο Ο, να βρεθούν: Ν.ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ 155

156 α. Η γωνιακή ταχύτητα της ράβδου. β. Η ταχύτητα του άκρου Α. γ. Η ταχύτητα του μέσου, Κ. δ. Ο ρυθμός μεταβολής κινητικής ενέργειας της ράβδου. Δίνεται η ροπή αδράνειας της ράβδου Ι cm = mλ 2 /12 και το g. α. ω= 3g/2λ, β. υα = 3gλ/2, γ. υκ = 3gλ/8, δ. ΔΚ/Δt= 3mgλω/4 A7.13 Ομογενής ράβδος ΟΑ, μάζας m και μήκους λ είναι δυνατόν να στρέφεται σε κατακόρυφο επίπεδο, γύρω από άξονα που περνάει από το άκρο Ο και είναι κάθετος σ αυτήν. Η ράβδος αρχικά βρίσκεται σε κατακόρυφη θέση. Με μικρή ώθηση αναγκάζουμε τη ράβδο να ξεκινήσει την περιστροφική της κίνηση, χωρίς αρχική γωνιακή ταχύτητα. Να βρεθεί η ταχύτητα του άκρου Α, όταν: α. Η ράβδος έχει διαγράψει γωνία β. Η ράβδος έχει διαγράψει γωνία Δίνονται η ροπή αδράνειας της ράβδου, Ι cm =mλ 2 /12 και το g. α. υ= 3gλ, β. υ= 6gλ A7.14 Ομογενής ράβδος ΟΑ, μάζας m και μήκους λ είναι δυνατόν να στρέφεται σε κατακόρυφο επίπεδο, γύρω από άξονα που περνάει από το άκρο Ο και είναι κάθετος σ αυτήν. Η ράβδος αρχικά βρίσκεται σε κατακόρυφη θέση με το σημείο Α πάνω από το Ο και με μικρή ώθηση αναγκάζουμε τη ράβδο να ξεκινήσει την περιστροφική της κίνηση, χωρίς αρχική γωνιακή ταχύτητα. α. Πόση είναι ταχύτητα του άκρου Α τη χρονική στιγμή που η ράβδος έχει διαγράψει γωνία 60 0 ως προς την αρχική της θέση; β. Πόση είναι η ταχύτητα του κέντρου, Κ, της ράβδου τη χρονική στιγμή που έχει διαγράψει γωνία ως προς την αρχική της θέση. Δίνεται η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς άξονα που διέρχεται από το άκρο της και είναι κάθετος σ αυτήν Ι Ο =mλ 2 /3 και το g. α. υ Α = 3gλ/2, β. υκ =1,5 gλ/2 Α7.15 Ομογενής ράβδος ΟΑ, μάζας m=0,4m και μήκους λ=0,3m είναι δυνατόν να στρέφεται σε κατακόρυφο επίπεδο, γύρω από άξονα που περνάει από το άκρο Ο και είναι κάθετος σ αυτήν. Η ράβδος αρχικά βρίσκεται σε κατακόρυφη θέση με το σημείο Α πάνω από το Ο και με μικρή ώθηση αναγκάζουμε τη ράβδο να ξεκινήσει την περιστροφική της κίνηση, χωρίς αρχική γωνιακή ταχύτητα. Τη χρονική στιγμή που η ράβδος γίνεται οριζόντια να υπολογιστούν: α. Το μέτρο της ταχύτητας του κέντρου, Κ της ράβδου. β. Το μέτρο της γωνιακής επιτάχυνσης της ράβδου. γ. Τα μέτρα της οριζόντιας και κατακόρυφης συνιστώσας της δύναμης που ασκεί ο άξονας περιστροφής στη ράβδο. Δίνεται η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς άξονα που διέρχεται από το άκρο της και είναι κάθετος σ αυτήν Ι Ο =mλ 2 /3 και το g. α. υ κ =1,5m/s, β. α γν =50rad/s, Ν.ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ 156

157 γ. Ν x =6Ν, Ν y =1Ν A7.16 Ομογενής ράβδος ΟΑ, μάζας m 1 =6kg και μήκους λ=1m είναι δυνατόν να στρέφεται σε κατακόρυφο επίπεδο, γύρω από άξονα που περνάει από το άκρο Ο και είναι κάθετος σ αυτήν. Η ράβδος φέρει συνδεδεμένη σφαίρα μάζας m 1 =3kg στο ένα άκρο της Α και αρχικά βρίσκεται σε κατακόρυφη θέση, όπως φαίνεται στο σχήμα. Η σφαίρα θεωρείται ως υλικό σημείο. Δίνουμε στη ράβδο αρχική γωνιακή ταχύτητα ω 0 =1rad/s. α. Πόση είναι η ροπή αδράνειας του συστήματος ως προς τον άξονα που διέρχεται από το Ο. β. Πόση είναι η γωνιακή ταχύτητα τη χρονική στιγμή που η ράβδος περνάει από την οριζόντια θέση, αν δεν υπάρχουν τριβές. γ. Αν υπάρχουν τριβές, να υπολογιστεί το έργο της τριβής, μέχρι η ράβδος να φτάσει στην οριζόντια θέση, με δεδομένο ότι η ράβδος φτάνει στη θέση αυτή με γωνιακή ταχύτητα ω=3rad/s. Δίνονται, η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο της και είναι κάθετος σ αυτήν, Ι Κ =m 1 λ 2 /12 και g=10m/s 2. α. Ι Ο =5kgm 2, β. ω=5rad/s, γ.w T = 40J A7.17 Ομογενής ράβδος ΟΑ, μάζας m 1 =3kg και μήκους λ=1m είναι δυνατόν να στρέφεται σε κατακόρυφο επίπεδο, γύρω από άξονα που περνάει από το άκρο Ο και είναι κάθετος σ αυτήν. Η ράβδος φέρει συνδεδεμένη σφαίρα μάζας m 2 =3kg στο ένα άκρο της Α και αρχικά βρίσκεται σε κατακόρυφη θέση, όπως φαίνεται στο σχήμα. Η σφαίρα θεωρείται ως υλικό σημείο. Αφήνουμε τη ράβδο ελεύθερη από την αρχική της θέση στην οποία σχηματίζει γωνία φ=30 0 με την οριζόντια διεύθυνση. Η ράβδος δέχεται δύναμη τριβής η οποία της ασκείται στο σημείο Ο από τον άξονα περιστροφής, ενώ οι τριβές με τον αέρα θεωρούνται αμελητέες. α. Να υπολογιστεί η γωνιακή επιτάχυνση της ράβδου όταν περνάει από την οριζόντια θέση. β. Να υπολογιστεί το έργο της τριβής από την αρχική της θέση μέχρι να φτάσει στην κατακόρυφη θέση με γωνιακή ταχύτητα ω=5rad/s. Δίνονται, η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο της και είναι κάθετος σ αυτήν, Ι Κ =m 1 λ 2 /12 και g=10m/s 2. α. α γν =11,25rad/s 2, β. W T = 17,5J Α7.18 Η ομογενής ράβδος ΟΑ έχει μάζα m και μήκος λ και κρέμεται σε κατακόρυφη θέση ενώ μπορεί να περιστρέφεται γύρω από οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το ένα άκρο της Ο με τη βοήθεια ειδικής άρθρωσης, χωρίς τριβές. α. Να βρεθούν οι τιμές της γωνιακής αρχικής ταχύτητας που πρέπει να δώσουμε στη ράβδο από την κατακόρυφη θέση έτσι ώστε να διαγράψει γωνία, φ με 90 0 φ β. Αν δώσουμε στη ράβδο από την ίδια θέση αρχική ταχύτητα ω 0 =2 g/λ να υπολογιστεί η μέγιστη ανύψωση, y, του κέντρου μάζας, Κ, πάνω από την οριζόντια θέση. Δίνονται, η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο της και είναι κάθετος σ αυτήν, Ν.ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ 157

158 Ν.ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ 158

159 Ι Κ =m 1 λ 2 /12 και το g. A7.19 Η ομογενής ράβδος ΟΑ, μάζας m 1 =3kg και μήκους λ=1m είναι δυνατόν να στρέφεται σε κατακόρυφο επίπεδο, γύρω από άξονα που περνάει από το άκρο Ο και είναι κάθετος σ αυτήν. Η ράβδος φέρει συνδεδεμένη σφαίρα μάζας m 2 =3kg στο ένα άκρο της Α και αρχικά βρίσκεται σε κατακόρυφη θέση, όπως φαίνεται στο σχήμα. Η σφαίρα θεωρείται ως υλικό σημείο. Ασκούμε στη ράβδο δύναμη σταθερού μέτρου F=190/π N της οποίας η διεύθυνση είναι συνεχώς κάθετη στη ράβδο και την ανυψώνουμε. α. Με πόση γωνιακή ταχύτητα, ω φτάνει η ράβδος στην οριζόντια θέση; β. Πόσο είναι ο ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας του συστήματος στην οριζόντια θέση; γ. Πόσο είναι ο ρυθμός μεταβολής της δυναμικής ενέργειας βαρύτητας της ράβδου στην οριζόντια θέση; δ. Τη χρονική στιγμή που η ράβδος φτάνει στην οριζόντια θέση η δύναμη F μηδενίζεται ακαριαία. Να εξετάσετε αν το σύστημα μπορεί να φτάσει στη θέση εκείνη στην οποία η ράβδος είναι κατακόρυφη. Δίνονται, η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο της και είναι κάθετος σ αυτήν, Ι Κ =m 1 λ 2 /12 και το g=10m/s 2. α. ω=5rad/s, β. ΔΚ/Δt=77,5J/s. γ. ΔU/Δt=75J/s, δ. Ναι A7.20 Ομογενής ράβδος ΟΑ, μάζας m 1 =m και μήκους λ είναι δυνατόν να στρέφεται σε κατακόρυφο επίπεδο, γύρω από άξονα που περνάει από το άκρο Ο και είναι κάθετος σ αυτήν. Η ράβδος φέρει συνδεδεμένη σφαίρα μάζας m 2 =m στο μέσον Κ και αρχικά βρίσκεται στη θέση που φαίνεται στο σχήμα. Η σφαίρα θεωρείται ως υλικό σημείο. Να υπολογιστούν οι τιμές της γωνιακής ταχύτητας που πρέπει να δώσουμε στο σύστημα από την αρχική του θέση ώστε να διαγράψει ανακύκλωση. Δίνεται η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο της και είναι κάθετος σ αυτήν Ι=mλ 2 /12 και το g. ω 0 48g/7λ A7.21 Ομογενής ράβδος ΟΑ, μάζας m και μήκους λ είναι δυνατόν να στρέφεται σε κατακόρυφο επίπεδο, γύρω από άξονα που περνάει από το μέσον της Κ και είναι κάθετος σ αυτήν. Η ράβδος φέρει συνδεδεμένη στο ένα άκρο Α, σφαίρα μάζας m 1 =2m η οποία θεωρείται ως υλικό σημείο και αρχικά βρίσκεται σε κατακόρυφη θέση με το σημείο Α πάνω από το Ο. Mε πολύ μικρή ώθηση αναγκάζουμε τη ράβδο να ξεκινήσει τη περιστροφική της κίνηση χωρίς αρχική ταχύτητα. α. Να βρεθεί η γραμμική ταχύτητα της σφαίρας τη χρονική στιγμή που η ράβδος περνάει από την οριζόντια θέση. β. Να βρεθεί το έργο του βάρους της σφαίρας μέχρι αυτή να φτάσει σε απόσταση λ/2 κάτω από το κέντρο Κ. γ. Να βρεθεί η γωνιακή ταχύτητα του συστήματος, όταν η σφαίρα περνάει από την κατώτερη θέση της. Ν.ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ 159

160 δ. Όταν η σφαίρα φτάνει στην κατώτερή της θέση δέχεται ροπή η οποία την ακινητοποιεί μέχρι αυτή να διαγράψει τόξο Πόσο είναι το έργο της ροπής αυτής; Δίνεται η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο της και είναι κάθετος σ αυτήν Ι=mλ 2 /12 και το g. α. υ= 6gλ/7, β. W=2mgλ, γ. ω= 48g/7λ, δ. W= mgλ Α7.22 Ο κύλινδρος, που φαίνεται στο σχήμα, έχει όλη τη μάζα του, m=0,05kg, συγκεντρωμένη στην περιφέρεια ακτίνας R=0,01m και στο ειδικά διαμορφωμένο του αυλάκι έχει τυλιγμένο λεπτό και αβαρές νήμα. Κρατάμε την άκρη του νήματος σταθερή και αφήνουμε τον κύλινδρο να πέσει κατακόρυφα καθώς το νήμα ξετυλίγεται. Όταν το κέντρο μάζας του κυλίνδρου θα έχει κατέβει κατά h=0,1m, να υπολογιστούν: α. Η ταχύτητα του κέντρου μάζας του κυλίνδρου και η ταχύτητα ενός σημείου, A, αυτού που απέχει απόσταση 0,02m από το νήμα. β. Η κινητική ενέργεια λόγω περιστροφής του κυλίνδρου. γ. Το μέτρο της στροφορμής του κυλίνδρου. δ. Τη στιγμή που το κέντρο μάζας έχει πέσει κατά h=0,1m, κόβεται το νήμα. Πόση θα γίνει η ταχύτητα του κέντρου μάζας τη στιγμή που αυτό θα έχει πέσει κατά Δh=0,1m ακόμα; Δίνεται g=10m/s 2 και η ροπή αδράνειας Ι cm =mr 2. α. υ=1m/s, υ =2m/s β. Κ =0,025J, γ. L=5,10 4 kgm 2 /s, δ. 3m/s Α7.23 Μια ομογενής στεφάνη μάζας m=1kg, με ροπή αδράνειας Ι cm =mr 2 αφήνεται από σημείο κεκλιμένου επιπέδου γωνίας κλίσης φ=30 0, να κυλήσει προς τα κάτω χωρίς να ολισθαίνει. Τη στιγμή που το κέντρο μάζας της στεφάνης θα έχει διανύσει απόσταση s=20m κατά μήκος του κεκλιμένου επιπέδου, να υπολογιστούν: α. Η ταχύτητα του κέντρου μάζας της. β. Οι ρυθμοί μεταβολής της μεταφορικής, περιστροφικής και συνολικής κινητικής ενέργειας. γ. Ο ρυθμός μεταβολής της δυναμικής ενέργειας βαρύτητας. δ. Ο ρυθμός μεταβολής της μηχανικής ενέργειας. Δίνεται g=10m/s 2. α. υ=10m/s, β.25j/s, 25J/s, 50J/s, γ. 50J/s, δ. ΔΕ/Δt=0 A7.24 Μια ομογενής στεφάνη της οποίας όλη η μάζα θεωρείται ότι είναι συγκεντρωμένη στην περιφέρεια, έχει ακτίνα R, μάζα m και ανεβαίνει το κεκλιμένο επίπεδο γωνίας φ=30 0, ενώ κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει, υπό την επίδραση δύναμης F=mg/3, όπως φαίνεται στο σχήμα. Να υπολογιστούν: α. Η επιτάχυνση του κέντρου μάζας. β. Ο ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας κάποια στιγμή t 1 που το κέντρο μάζας έχει ταχύτητα μέτρου υ. γ. Ο ρυθμός μεταβολής της δυναμικής ενέργειας βαρύτητας τη χρονική στιγμή t 1. δ. Ο ρυθμός παραγωγής έργου από τη F την ίδια στιγμή. ε. Ο ρυθμός μεταβολής της μηχανικής ενέργειας της στεφάνης τη στιγμή t 1. Δίνεται το g. Ν.ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ 160

161 α. g/12, β. mgυ/6, γ. mgυ/2, δ. mgυ/3, ε. mgυ/3 Ν.ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ 161

162 Α7.25 Ο τροχός του σχήματος μάζας m=2kg, ακτίνας R=0,5m ξεκινάει από την ηρεμία με την επίδραση της δύναμης F και κυλιέται χωρίς να ολισθαίνει. α. Να γράψετε τα ΘΜΚΕ για την περιστροφική κίνηση, για τη μεταφορική κίνηση και για τη σύνθετη κίνηση και να βγάλετε το συμπέρασμά σας για το έργο της στατικής τριβής. β. Αν το μέτρο της δύναμης είναι F=25N να υπολογίσετε τη μετατόπιση του κέντρου μάζας που απαιτείται για να αποκτήσει ο τροχός γωνιακή ταχύτητα ω=10rad/s. γ. Αμέσως μετά η δύναμη F μηδενίζεται ακαριαία και ο τροχός κυλάει για άλλα 2m μέχρι να φτάσει στη βάση του κεκλιμένου επιπέδου. Πόση είναι η μεταβολή της κινητικής του ενέργειας στο διάστημα αυτό των 2m; δ. Σε ποιο ύψος φτάνει το κέντρο μάζας του κυλίνδρου πάνω από το οριζόντιο επίπεδο όταν αυτός σταματάει στιγμιαία; ε. Πόσο είναι ο ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας του κυλίνδρου 1s αφότου άρχισε να ανεβαίνει το κεκλιμένο; Δίνονται Ι cm =mr 2 /2, g=10m/s, ημφ=0,3. α. W=0, β. x=1,5m, γ. ΔΚ=0, δ. h=2,375m ε. ΔΚ/Δt= 18J/s A7.26 Γύρω από τροχό μάζας m=4kg ακτίνας R=0,2m είναι τυλιγμένο αβαρές σχοινί στο ελεύθερο άκρο του οποίου ασκούμε σταθερή οριζόντια δύναμη F=12N. O τροχός κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει, χωρίς να έχει αρχική ταχύτητα. Δίνονται g=10m/s 2, Ι =mr 2. K α. Να γράψετε το ΘΜΚΕ για τη σύνθετη κίνηση του τροχού και να υπολογίσετε την ταχύτητα του κέντρου μάζας, όταν αυτό θα έχει μετατοπιστεί κατά Δx=8m. β. Να υπολογίσετε την ισχύ της δύναμης F τη χρονική στιγμή t 1 που η μετατόπιση του κέντρου μάζας του τροχού είναι Δx=2m. γ. Να υπολογίσετε τους ρυθμούς μεταβολής της μεταφορικής, της περιστροφικής και της συνολικής κινητικής ενέργειας την ίδια στιγμή t 1. a. υ=8m/s, β. P=96W, γ.64j/s, 32J/s, 96J/s Α7.27 Από το πάνω μέρος ημισφαίριου ακτίνας R=8m αφήνουμε να κυλήσει σφαίρα ακτίνας r=1m, μάζας m=7kg έτσι ώστε να κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει. Η αρχική θέση της σφαίρα είναι τέτοια ώστε το κέντρο της να βρίσκεται στο ίδιο οριζόντιο επίπεδο με το χείλος του ημισφαίριου. Αν η σφαίρα κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει να βρείτε: α. Την ταχύτητα του κέντρου μάζας της σφαίρας τη στιγμή που αυτό φτάνει στο κατώτερο σημείο της τροχιάς του. β. Τη δύναμη που ασκεί το ημισφαίριο στην σφαίρα στο κατώτερο σημείο της τροχιάς της. γ. Το ρυθμό μεταβολής της κινητικής ενέργειας της σφαίρας τη χρονική στιγμή που περνάει από το κατώτερο σημείο της τροχιάς της. 2 2 Δίνονται Ι cm =2mr /5 και g=10m/s. α. υ=10m/s, β. F=170Ν, γ. ΔΚ/Δt=0 Α7.28 Μια στεφάνη της οποίας η εξωτερική επιφάνεια σχηματίζει λούκι έχει ακτίνα R=17m και στερεώνεται ακλόνητα σε οριζόντιο επίπεδο. Στο ανώτερο σημείο της Α Ν.ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ 162

163 αφήνουμε μικρή σφαίρα ακτίνας r (r<<r) και μάζας m, η οποία κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει μέσα στο λούκι. Σε κάποιο σημείο Β η σφαίρα εγκαταλείπει την επιφάνεια της στεφάνης. α. Να υπολογιστεί η γωνία θ=αο Β. β. Να υπολογιστεί η ταχύτητα του κέντρου μάζας της σφαίρας στο σημείο, Β. Δίνονται η ροπή αδράνειας της σφαίρας, Ι cm =2mr 2 /5 και η g. α. συνθ=10/17, β. υ=10m/s Α7.29 Mια σφαίρα ακτίνας r πρόκειται να κάνει ανακύκλωση πάνω σε κυκλική τροχιά ακτίνας R, έτσι ώστε να κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει. α. Nα βρεθεί το ελάχιστο ύψος h από το οποίο πρέπει να αφεθεί η σφαίρα ώστε να κάνει την ανακύκλωση. β. Πόση είναι η ταχύτητα του κέντρου μάζας της σφαίρας τη στιγμή που βρίσκεται στο χαμηλότερο σημείο της κυκλικής τροχιάς. Δίνεται ότι η ροπή αδράνειας της σφαίρας ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο της είναι Ι=2mr 2 /5 και η επιτάχυνση της βαρύτητας g. α. h=2,7r 1,7r, β. υ = 27g(R r)/7 Α7.30 Ομογενής δίσκος μάζας Μ=2kg ακτίνας R=5/3m μπορεί να περιστρέφεται σε κατακόρυφο επίπεδο γύρω από οριζόντιο άξονα που διέρχεται από σημείο της περιφέρειάς του, Ο, και είναι κάθετος σ αυτόν. Ο δίσκος αρχικά συγκρατείται σε τέτοια θέση ώστε η ακτίνα ΟΚ, (Κ το κέντρο του) να είναι οριζόντια και μετά αφήνεται ελεύθερος. Όταν η ακτίνα ΟΚ θα έχει διαγράψει γωνία θ=90 0,να υπολογιστούν: α. Η γωνιακή ταχύτητα του δίσκου. β. Ο ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας του δίσκου. Δίνονται η ροπή αδράνειας του δίσκου, I K =MR 2 /2, g=10m/s 2. α. ω=2 2rad/s, β. ΔΚ/Δt=0 Α7.31 Τετράγωνη πλάκα πλευράς α=0,5m και μάζας m=3kg μπορεί να περιστρέφεται σε κατακόρυφο επίπεδο γύρω από άξονα που διέρχεται από τη μια κορφή του, Α και είναι κάθετος στο επίπεδο που αυτή ορίζει. Η πλάκα συγκρατείται σε τέτοια θέση ώστε η πλευρά της ΑΒ να είναι οριζόντια. Αφήνουμε την πλάκα ελεύθερη να περιστραφεί χωρίς τριβές γύρω από τον άξονά της. Να υπολογιστούν: α. Η ροπή αδράνειας της πλάκας ως προς τον άξονα περιστροφής. β. Η ταχύτητα της κορυφής Γ τη στιγμή που η διαγώνιος ΑΓ γίνεται κατακόρυφη. Δίνονται η ροπή αδράνειας μιας λεπτής ορθογώνιας πλάκας ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο της και είναι κάθετος στο επίπεδο που αυτή ορίζει Ι cm =m(α 2 +β 2 )/12 και η επιτάχυνση της βαρύτητας, g=10m/s 2. α. Ι=0,5kgm 2, β. υ = 6m/s Ν.ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ 163 Γ

164 Α7.32 Ο δίσκος του σχήματος έχει μάζα Μ=4kg, ακτίνα R=2m και ροπή αδράνειας Ι=ΜR 2 /2 και καθώς περιστρέφεται το κάθε σημείο της περιφερείας του έχει σταθερή ταχύτητα, υ=10m/s. Από ύψος h=0,8m αφήνουμε να πέσει και να κολλήσει στο δίσκο σημειακή μάζα πλαστελίνης m=2kg, σε απόσταση, r=1m από τον άξονα περιστροφής. α. Να υπολογιστεί η τελική γωνιακή ταχύτητα του συστήματος. β. Να υπολογιστεί η ποσότητα θερμότητας που εκλύεται κατά την πλαστική κρούση της πλαστελίνης με το δίσκο. α. ω 2 =4rad/s, β. E απ = 36J A7.33 Σε οριζόντιο σταθερό τραπέζι έχει ανοιχτεί μια τρύπα έχει περαστεί νήμα στο ένα άκρο του οποίου είναι συνδεδεμένη μια μικρή σφαίρα μάζας m=200g, ενώ το άλλο άκρο του σχοινιού κρατιέται από ένα χέρι σταθερά το οποίο βάζει σε περιστροφή τη σφαίρα πάνω στο λείο επίπεδο με γωνιακή ταχύτητα ω 1 =40rad/s, και ακτίνα περιστροφής r 1 =0,3m. Το χέρι τραβάει το σχοινί προς τα κάτω και περιορίζει την ακτίνα περιστροφής της σφαίρας στο μισό της αρχική της τιμής ενώ δεν υπάρχουν πουθενά τριβές. α. Πόσο είναι το έργο που παράγει η δύναμη του χεριού για να πραγματοποιήσει αυτήν την κίνηση; β. Πόσο είναι το μέτρο της τάσης του νήματος όταν το σώμα περιστρέφεται με γωνιακή ταχύτητα ω 1. α. W=43,2 J, β.τ=96ν Α7.34 Οι δύο ομογενείς δίσκοι του σχήματος έχουν μάζες m 1 =2kg και m 2 =4kg και ακτίνες R 1 =0,2m και R 2 =0,4m αντιστοίχως και περιστρέφονται χωρίς τριβές γύρω από σταθερό και κατακόρυφο άξονα που διέρχεται από τα κέντρα τους και είναι κάθετος στα επίπεδα που αυτοί ορίζουν. Οι γωνιακές τους ταχύτητες είναι ομόρροπες και ίσες με ω 1 =60rad/s και ω 2 =15rad/s. Οι δύο δίσκοι έρχονται σε επαφή και περιστρέφονται πλέον με κοινή γωνιακή ταχύτητα ω. Να υπολογιστούν: α. Η κοινή ταχύτητα ω. β. Η απώλεια της κινητικής ενέργειας του συστήματος λόγω της τριβής που αναπτύχθηκε μεταξύ τους. γ. Το έργο της ροπής της τριβής που δέχτηκε ο δίσκος (1) από το δίσκο (2). Δίνεται για κάθε δίσκο, Ι cm =mr 2 /2. α. ω=20rad/s, β. ΔΚ=36J, γ. W= 64J Ν.ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ 164