ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΑΚΡΑΙΩΝ ΤΙΜΩΝ ΑΝΕΜΟΥ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΕΠΑΝΑΦΟΡΑΣ

Transcript

1 ΕΘΝΙΚΟ ΚΑΙ ΚΑΠΟΔΙΣΤΡΙΑΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΤΟΜΕΑΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ ΟΜΑΔΑ ΑΤΜΟΣΦΑΙΡΙΚΩΝ ΜΟΝΤΕΛΩΝ ΚΑΙ ΠΡΟΓΝΩΣΗΣ ΚΑΙΡΟΥ ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΑΚΡΑΙΩΝ ΤΙΜΩΝ ΑΝΕΜΟΥ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΕΠΑΝΑΦΟΡΑΣ ΤΡΙΜΕΛΗΣ ΕΠΙΤΡΟΠΗ Γ. ΚΑΛΛΟΣ (ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ, Ε.Κ.Π.Α.) Σ. ΣΟΦΙΑΝΟΣ (ΕΠΙΚΟΥΡΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ, Ε.Κ.Π.Α.) Γ. ΓΑΛΑΝΗΣ (ΑΝΑΠΛΗΡΩΤΗΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ, ΣΧΟΛΗ ΝΑΥΤΙΚΩΝ ΔΟΚΙΜΩΝ) Αθήνα Δεκέμβρης, 2014

2 Πίνακας περιεχομένων ΠΕΡΙΛΗΨΗ... 7 ABSTRACT... 7 ΕΙΣΑΓΩΓΗ... 9 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΟΥ ΧΡΗΣΙΜΟΠΟΙΟΥΝΤΑΙ ΓΙΑ ΤΗΝ ΜΕΛΕΤΗ ΤΩΝ ΠΕΡΙΟΔΩΝ ΕΠΑΝΑΦΟΡΑΣ The Generalized Extreme Value (GEV) Distribution The Generalized Pareto Distribution (G.P.D.) ΜΕΘΟΔΟΙ ΕΚΤΙΜΗΣΗΣ ΤΩΝ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ ΤΩΝ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ Μέθοδος των Ροπών (Method of Moments M.o.M.) Μέθοδος της Μεγίστης Πιθανοφάνειας (Maximum Likelihood Method) Εκτίμηση των παραμέτρων της ευθείας παλινδρόμησης με τη Μέθοδο των Ελαχίστων Τετραγώνων (Least Square Regression Method) L-Moments method Probability Weighted Moments method (P.W.M.) Gumbel Plot Blue method Dekkers, Einmal and de Haan method The Pickands estimator Conditional mean exceedance (CME) ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ-ΕΛΕΓΧΟΣ KOLMOGOROV-SMIRNOV ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΟΙ ΔΕΙΚΤΕΣ ΠΟΥ ΧΡΗΣΙΜΟΠΟΙΗΘΗΚΑΝ ΓΙΑ ΤΗ ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΤΩΝ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ ΜΕ ΤΙΣ ΤΙΜΕΣ ΤΩΝ ΜΟΝΤΕΛΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΔΙΑΦΟΡΕΤΙΚΕΣ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΤΩΝ ΑΚΡΑΙΩΝ ΤΙΜΩΝ ΑΝΕΜΟΥ ΜΕ ΒΑΣΗ ΤΑ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΦΟΡΑΣ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ-ΟΡΙΣΜΟΙ ΜΕΘΟΔΟΙ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΥΡΕΣΗ ΤΩΝ ΠΕΡΙΟΔΩΝ ΕΠΑΝΑΦΟΡΑΣ: ΜΕΘΟΔΟΣ «BLOCK MAXIMA (ANNUAL MAXIMA)» Βήματα Επιλογή του μεγέθους των τμημάτων (blocks) και δημιουργία δεδομένων εισόδου (dataset) Επιλογή της κατανομής για την εφαρμογή Εκτίμηση παραμέτρων για την κατανομή GEV Έλεγχος εγκυρότητας του μοντέλου

3 Εκτίμηση των ακραίων τιμών του ανέμου με επαναληψιμότητα Τ χρόνια (T-year event) Παρατηρήσεις ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗ ΤΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΕΚΤΙΜΗΣΗΣ ΤΩΝ ΠΕΡΙΟΔΩΝ ΕΠΑΝΑΦΟΡΑΣ ΒΑΣΙΖΟΜΕΝΗ ΣΤΙΣ r-μεγαλυτερεσ ΤΙΜΕΣ ΤΑΧΥΤΗΤΑΣ ΑΝΕΜΟΥ (r-largest ANNUAL EVENTS) Βήματα Επιλογή του μεγέθους των τμημάτων (blocks) και δημιουργία δεδομένων εισόδου (data set) Επιλογή της κατανομής για την εφαρμογή Εκτίμηση των παραμέτρων Έλεγχος εγκυρότητας του μοντέλου Εκτίμηση ακραίων τιμών του ανέμου με επαναληψιμότητα Τ χρόνια (T-year event) 26 ΜΕΘΟΔΟΣ «INDEPENDENT STORMS» Βήματα Διαδικασία δημιουργίας δεδομένων εισόδου Επιλογή της κατανομής για την εφαρμογή Εκτίμηση των παραμέτρων Έλεγχος εγκυρότητας του μοντέλου Εκτίμηση των ακραίων τιμών του ανέμου με επαναληψιμότητα Τ χρόνια (T-year event) ΜΕΘΟΔΟΣ «PEAK-OVER-THRESHOLD» Βήματα Δημιουργία δεδομένων εισόδου Ορισμός του κατωφλίου (threshold) Χρόνος διαχωρισμού (separation time) Επιλογή της κατανομής για την εφαρμογή Εκτίμηση των παραμέτρων για την GPD Έλεγχος εγκυρότητας του μοντέλου Εκτίμηση των ακραίων τιμών του ανέμου με επαναληψιμότητα Τ χρόνια (T-year event) Παρατηρήσεις Γενικές παρατηρήσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: ΕΠΙΛΟΓΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΓΙΑ ΤΗ ΜΕΛΕΤΗ ΠΗΓΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΤΟ ΑΤΜΟΣΦΑΙΡΙΚΟ ΜΟΝΤΕΛΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΜΕΛΕΤΗ - ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΤΩΝ ΠΕΡΙΟΔΩΝ ΕΠΑΝΑΦΟΡΑΣ

4 ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΤΩΝ ΠΕΡΙΟΔΩΝ ΕΠΑΝΑΦΟΡΑΣ ΜΕ ΒΑΣΗ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΩΝ ΡΟΠΩΝ (METHOD OF MOMENTS) ΓΙΑ EΥΡΕΣΗ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΩΝ ΤΩΝ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ Μέθοδος «Annual Maxima» Μέθοδος «Peaks Over Threshold» ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΤΩΝ ΠΕΡΙΟΔΩΝ ΕΠΑΝΑΦΟΡΑΣ ΜΕ ΒΑΣΗ ΤΗΝ ΤΕΧΝΙΚΗ ΤΗΣ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΦΑΝΕΙΑΣ (MAXIMUM LIKELIHOOD) ΓΙΑ EΥΡΕΣΗ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΩΝ ΤΩΝ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ Εφαρμογή στο τετράγωνο της ταχύτητας του ανέμου Μέθοδος «Annual Maxima» Μέθοδος «Peaks Over Threshold» Εφαρμογή στην ταχύτητα του ανέμου Μέθοδος «Annual Maxima» Μέθοδος «Peaks Over Threshold» Συγκεντρωτικά αποτελέσματα Συμπεράσματα / παρατηρήσεις στα αποτελέσματα ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: ΧΑΡΤΕΣ ΑΠΟΤΥΠΩΣΗΣ ΤΗΣ ΤΑΧΥΤΗΤΑΣ ΑΝΕΜΟΥ ΜΕ ΠΕΡΙΟΔΟ ΕΠΑΝΑΦΟΡΑΣ 50 ΕΤΗ ΣΤΟ ΝΗΣΙΩΤΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΤΟΥ ΕΛΛΑΔΙΚΟΥ ΧΩΡΟΥ Τελικά συμπεράσματα ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Ιστογράμματα παρατηρήσεων δεδομένων του μοντέλου Διαγράμματα διασποράς Συγκριση των κατανομών των χρονοσειρών Διαγράμματα ακραίων τιμών ανέμου Περιόδων επαναφοράς

5 6

6 ΠΕΡΙΛΗΨΗ H βελτιστοποίηση του σχεδιασμού των κατασκευών χρειάζεται προκειμένου να επιτευχθεί μία δομή που τηρεί τις προϋποθέσεις ασφαλείας ελαχιστοποιώντας ταυτόχρονα το κόστος. Για το λόγο αυτό είναι αναγκαίο να πραγματοποιείται ανάλυση ρίσκου, προσανατολισμένη στα χαρακτηριστικά της περιοχής ενδιαφέροντος. Σε μία τέτοια μελέτη λαμβάνονται υπόψιν φυσικά μεγέθη τα οποία επηρεάζουν το υπό κατασκευή έργο όπως η συχνότητα και η ένταση των σεισμών, των πλημμυρών και των ακραίων τιμών της ταχύτητας του ανέμου. Το τελευταίο είναι το αντικείμενο που πραγματεύεται η παρούσα εργασία και εκφράζεται μέσα από την έννοια της περιόδου επαναφοράς. Οι περίοδοι επαναφοράς είναι ένα στατιστικό μέτρο της εμφάνισης ακραίων γεγονότων ανέμου, για την εκτίμηση των οποίων χρησιμοποιήθηκε η μέθοδος «Peaks Over Threshold» και η μέθοδος «Annual Maxima». Παράλληλα δοκιμάστηκε η εφαρμογή και στην ταχύτητα του ανέμου υψωμένη στο τετράγωνο, ενώ αξιοποιήθηκαν δύο διαφορετικές μέθοδοι για την προσαρμογή στις κατανομές το οποίο αποτελεί μέρος της διαδικασίας. Στη συγκεκριμένη διπλωματική εργασία επιλέχθηκαν σε πρώτη φάση περιοχές που βρίσκονται κοντά σε θάλασσα. Τα δεδομένα που χρειάστηκαν για την εφαρμογή έχουν προέλευση είτε από σταθμούς είτε από τη βάση δεδομένων που προέκυψε έπειτα από χρήση ατμοσφαιρικού μοντέλου. Κάνοντας χρήση των αποτελεσμάτων έγινε η επιλογή των κατάλληλων εργαλείων και ακολούθησε η γενίκευση των μεθόδων και η δημιουργία χαρτών ακραίων τιμών του ανέμου με επαναληψιμότητα 50 ετών για το θαλάσσιο τμήμα της ελληνικής επικράτειας. Με αυτόν τον τρόπο παρουσιάζεται μία μεθοδολογία για την εκτίμηση των ακραίων τιμών της ταχύτητας του ανέμου και τα αποτελέσματα που προκύπτουν μπορούν να δώσουν πληροφορίες για τις συνθήκες που επικρατούν σε περιοχές ενδιαφέροντος στον Ελλαδικό χώρο. ABSTRACT The rising demand of renewable energy production, combined with the need for energy independence of islands will lead to further use of wind farms in onshore and offshore areas. The optimization of the structural design of wind turbines for such applications requires a risk analysis which can be made using the definition of return periods and taking into consideration the lifespan of wind turbines. This work is focusing on the estimation and analysis of extreme wind speeds by means of the corresponding return periods based on two methods: the Peaks Over Threshold and the Annual Maxima. In addition, different methodologies and tools are tested in order to achieve more accurate results. The data used for such applications derives from two different origins: Measurements from Met Stations located in Greek islands and a 10-year database developed by the Atmospheric Modeling and Weather Forecasting Group of the University of Athens. The test results were used to adjust the methodologies and make a 50 year extreme wind speed Atlas for each method, for Northeast Mediterranean (focusing on the sea and the islands). The outcomes provide information concerning the climatology of the area and results that can be used for energy and construction activities. 7

7 8

8 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Σκοπός της παρούσας εργασίας είναι η παρουσίαση τρόπων για τη μελέτη και τον υπολογισμό των ακραίων τιμών της ταχύτητας του ανέμου και της πιθανότητας εμφάνισης τους. Τα παραπάνω εκφράζονται μέσα από την έννοια της περιόδου επαναφοράς (return period-reoccurrence interval), η οποία αποτελεί μία στατιστική εκτίμηση εμφάνισης φαινομένων η οποία βασίζεται σε δεδομένα μικρότερου χρονικού εύρους σε σχέση με αυτό για το οποίο γίνεται η εκτίμηση. Πιο συγκεκριμένα από τις μεθόδους που υπάρχουν στη βιβλιογραφία για την εκτίμηση των περιόδων επαναφοράς, επιλέχθηκαν οι δύο που χρησιμοποιούνται σε μεγαλύτερο εύρος, Annual Maxima (ΑΜ) και Peaks Over Threshold (ΡΟΤ) (Palutikof et al., 1999; Larsén et al., 2011). Στην πρώτη χρησιμοποιήθηκαν σαν δεδομένα εισόδου οι μέγιστες τιμές ταχύτητας ανέμου ανά έτος και η εφαρμογή βασίστηκε στην κατανομή Gumbel. Για τη δεύτερη μέθοδο χρησιμοποιήθηκαν οι τιμές που προέκυψαν έπειτα από την επιλογή ενός κατωφλίου και υπολογίζοντας τη διαφορά των τιμών που υπερβαίνουν το κατώφλι από την τιμή του κατωφλίου (υπερβάσεις). Σε αυτή την περίπτωση, για τη στατιστική προσέγγιση χρησιμοποιήθηκε η εκθετική κατανομή. Η εφαρμογή έγινε σε σημεία που αντιστοιχούν σε εννέα διαφορετικά νησιά (Κέρκυρα, Κεφαλλονιά, Σκύρος, Χίος, Μύκονος, Μήλος, Σαντορίνη και για την Κρήτη οι σταθμοί της Σούδας και της Σητείας) και για δεδομένα που προέρχονται είτε από μετρήσεις είτε από τη βάση δεδομένων που προέκυψε από το Ευρωπαϊκό πρόγραμμα Marina Renewable Integrated Application Platform (MARINA - Όσον αφορά το τελευταίο, έγινε μια δεκαετής ( ) προσομοίωση των παραμέτρων που αφορούν τον άνεμο και το κύμα στην ευρύτερη περιοχή της Μεσογείου και του Βορείου Ατλαντικού. Η ατμοσφαιρική παράμετρος που χρησιμοποιήθηκε για τη μελέτη είναι η ταχύτητα του ανέμου, τα δεδομένα της οποίας προέρχονται από το ατμοσφαιρικό μοντέλο SKIRON. Το μοντέλο SKIRON (Kallos 1998, Papadopoulos et al. 2001) αναπτύχθηκε στο Πανεπιστήμιο της Αθήνας από την ομάδα Ατμοσφαιρικών Μοντέλων και Πρόγνωσης Καιρού έχοντας σαν βάση το μοντέλο Eta/NCEP (Janjic, 1994). Αξιοποιώντας τα παραπάνω, χρησιμοποιήθηκαν δύο διαφορετικές τεχνικές για την εκτίμηση των παραμέτρων των κατανομών (Μέθοδος των ροπών, Μέθοδος της μέγιστης πιθανοφάνειας). Τα δεδομένα χρησιμοποιήθηκαν για τη σύγκριση των αποτελεσμάτων και τη συμπεριφορά κάθε μεθόδου σε μία 5ετή (SKIRON-MARINA ) και μία 10ετή (SKIRON-MARINA ) χρονοσειρά (στην οποία εμπεριέχεται και η 5ετής), σε μία 5ετή (SKIRON-MARINA ) και στην ίδια αλλά με ελλιπείς τιμές (SKIRON-MARINA missing values) και τέλος για τη σύγκριση των αποτελεσμάτων κάνοντας χρήση δεδομένων εισόδου από το μοντέλο (SKIRON-MARINA missing values) και τις μετρήσεις από τους σταθμούς που βρίσκονται στα αντίστοιχα νησιά (STATION missing values). Η μελέτη των δύο τεχνικών για την εκτίμηση των συντελεστών έγινε για να διασαφηνιστεί η καταλληλόλητά τους ή μη στη συγκεκριμένη εφαρμογή. Τέλος, οι ίδιες μεθοδολογίες εφαρμόστηκαν και στην ταχύτητα του ανέμου υψωμένη στο τετράγωνο με σκοπό να υπάρξει καλύτερη σύγκλιση στις κατανομές που χρησιμοποιήθηκαν. 9

9 Τα αποτελέσματα έδειξαν ότι τόσο με τη χρήση της Μεθόδου της Μέγιστης Πιθανοφάνειας όσο και με τη χρήση της Μεθόδου των Ροπών, τα αποτελέσματα είναι αξιόπιστα. Σε κάθε περίπτωση, η χρήση του τετραγώνου της ταχύτητας του ανέμου εμφάνισε εξαιρετική αύξηση του διαστήματος εμπιστοσύνης και κρίθηκε μη εφαρμόσιμη. Στην ταχύτητα του ανέμου είναι αποδεκτές και οι δύο μέθοδοι, ενώ μεγαλύτερο διάστημα εμπιστοσύνης παρουσιάζεται στην Annual Maxima. Παράλληλα παρουσιάζεται καλή συμπεριφορά με χρήση δεδομένων εισόδου που προέρχονται από το ατμοσφαιρικό μοντέλο σε σχέση με τις μετρήσεις από τους αντίστοιχους σταθμούς. Πιο συγκεκριμένα τα αποτελέσματα από τις χρονοσειρές του μοντέλου είναι παρεμφερή ή ανεβασμένα σε σχέση με τα αντίστοιχα των μετρήσεων. Το τελευταίο είναι αναμενόμενο ήδη από τη στατιστική ανάλυση που έγινε πριν την εφαρμογή. Παράλληλα όμως είναι και αποδεκτό, καθώς η θεωρία αυτή βρίσκει εφαρμογές στον κατασκευαστικό τομέα και η μόνη περίπτωση να υπάρξουν προβλήματα είναι να έχει γίνει υποεκτίμηση. Οι λόγοι και οι αιτίες που οδήγησαν σε όλες τις παραπάνω παρατηρήσεις παρατίθενται λεπτομερώς στα αντίστοιχα κεφάλαια. Η δομή της εργασίας έχει ως εξής: στο ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 παρατίθενται βασικές έννοιες θεωρίας και εργαλεία τα οποία αξιοποιήθηκαν στην εργασία. Στο ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 γίνεται μία ιδιαίτερη αναφορά για όλες μεθόδους εύρεσης των περιόδων επαναφοράς, τη χρήση διαφορετικών εργαλείων και τεχνικών όπως επίσης και προσεγγίσεις από διαφορετικές οπτικές γωνίες. Το 3 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ αποτελεί ουσιαστικά μία στατιστική ανάλυση των δεδομένων εισόδου για κάποιους από τους σταθμούς-σημεία που χρησιμοποιήθηκαν. Το ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 είναι εκείνο στο οποίο παρουσιάζονται τα αποτελέσματα μέσα από μία σειρά γραφικών και πινάκων, γίνεται η αξιολόγησή τους αλλά και η σύγκριση ανάμεσα στις διαφορετικές περιπτώσεις. Ακολουθεί το 5 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ όπου γίνεται αξιοποίηση των αποτελεσμάτων όπως επίσης και της βάσης δεδομένων που έχει προκύψει από το πρόγραμμα MARINA. Ουσιαστικά δημιουργήθηκαν χάρτες με τις ακραίες τιμές του ανέμου για διάστημα επαναφοράς 50 ετών με τους δύο αποδεκτούς τρόπους, ενώ πραγματοποιήθηκε και η γραφική σύγκρισή τους. Στο τελευταίο κεφάλαιο βρίσκεται το ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ με μία επιλογή από τα γραφικά και τα αποτελέσματα που χρησιμοποιήθηκαν από όλους τους σταθμούς. 10

10 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΟΥ ΧΡΗΣΙΜΟΠΟΙΟΥΝΤΑΙ ΓΙΑ ΤΗΝ ΜΕΛΕΤΗ ΤΩΝ ΠΕΡΙΟΔΩΝ ΕΠΑΝΑΦΟΡΑΣ Στο συγκεκριμένο κεφάλαιο παρουσιάζεται το θεωρητικό υπόβαθρο που χρειάζεται και αφορά τις κατανομές που χρησιμοποιούνται στην εργασία. Παράλληλα γίνεται μία περιγραφή των εργαλείων που παρουσιάζονται στη βιβλιογραφία και σχετίζονται με την εύρεση των συντελεστών των κατανομών και την καταλληλότητά τους αλλά και των δεικτών που χρησιμοποιήθηκαν για τη στατιστική ανάλυση των δεδομένων. The Generalized Extreme Value (GEV) Distribution Σύμφωνα με την κλασική θεωρία των ακραίων τιμών (extreme value theory), ακολουθίες ανεξάρτητων και ομοιόμορφα κατανεμημένων τυχαίων μεταβλητών, οι οποίες αποτελούν τα μέγιστα ενός δείγματος, μπορούν να περιγραφούν από τρείς βασικές κατανομές. Η ενοποίηση αυτών των κατανομών σε μία, οδήγησε στην κατανομή G.E.V. (Fisher-Tippett, 1928; Gne- denko, 1943). Η σχέση που αναπαριστά την αθροιστική συνάρτηση κατανομής (C.D.F.) είναι: F(x) = { exp [ (1 ky)1 ] k 0 exp[ exp( y)] k = 0, όπου y=(x-β)/α όπου β=παράμετρος θέσης (location parameter), α(>0)=παράμετρος κλίμακας (scale parameter/dispersion) και k=παράμετρος σχήματος (shape parameter) Η παραπάνω μητρική κατανομή χωρίζεται σε τρεις επί μέρους κατανομές ανάλογα με την τιμή που παίρνει η παράμετρος σχήματος: Για k = 0: Fisher-Tippett Type I distribution ή Gumbel distribution Για k > 0: Fisher-Tippett Type II distribution ή Frechet distribution Για k < 0: Fisher-Tippett Type III distribution ή Weibull distribution Ακολουθεί ενδεικτικά ένα διάγραμμα της συνάρτησης πυκνότητας πιθανότητας όπου είναι εμφανής η συμπεριφορά των τριών κατανομών που αναφέρονται παραπάνω: 11

11 Εικόνα 1: Συνάρτησης πυκνότητας πιθανότητας των κατανομών Gumbel, Frechet και Weibull. The Generalized Pareto Distribution (G.P.D.) Η κατανομή Generalized Pareto είναι μία οικογένεια συνεχών κατανομών. Χρησιμοποιείται ευρέως για την εφαρμογή σε ουρές άλλων κατανομών. Προϋπόθεση είναι τα γεγονότα να είναι ανεξάρτητα μεταξύ τους. Η σχέση που αναπαριστά την αθροιστική συνάρτηση κατανομής (C.D.F.) είναι: 1 [1 ( k 1 F(x) = a ) (x β)] k, k 0 x β 1 exp ( { α ), k = 0 Όπου β=παράμετρος θέσης (location parameter), α=παράμετρος κλίμακας (scale parameter) και k=παράμετρος σχήματος (shape parameter) 12

12 Η παραπάνω μητρική κατανομή χωρίζεται σε τρεις επί μέρους κατανομές ανάλογα με την τιμή που παίρνει η παράμετρος σχήματος και οι οποίες ουσιαστικά διαφέρουν ως προς τη ταχύτητα σύγκλισης των ουρών τους. Πιο συγκεκριμένα: αν k = 0, η GPD αντιστοιχεί σε εκθετική συνάρτηση αν k < 0, παίρνει τη μορφή την κλασικής Pareto distribution αν k > 0, προκύπτει η Pareto II type distribution Ακολουθεί ενδεικτικά ένα διάγραμμα της συνάρτησης πυκνότητας πιθανότητας όπου είναι εμφανής η συμπεριφορά των τριών κατανομών που αναφέρονται παραπάνω: Εικόνα 2: Συνάρτησης πυκνότητας πιθανότητας των κατανομών που απαρτίζουν την κατανομή Generalized Pareto. 13

13 ΜΕΘΟΔΟΙ ΕΚΤΙΜΗΣΗΣ ΤΩΝ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ ΤΩΝ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ Μέθοδος των Ροπών (Method of Moments M.o.M.) Η αρχική υπόθεση είναι ότι το δείγμα X έχει κάποια γνωστή κατανομή. Δηλαδή είναι γνωστή η γενική μορφή της αθροιστικής συνάρτησης κατανομής F(x;θ) και της f(x;θ), που είναι η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας, αν η X είναι συνεχής, ή η συνάρτηση μάζας πιθανότητας αν η X είναι διακριτή. Η παράμετρος θ της κατανομής είναι άγνωστη και ο σκοπός είναι να γίνει η εκτίμησή της από το δείγμα των παρατηρήσεων {x1,..., xn}. Για συνήθεις κατανομές, μια παράμετρος θ της κατανομής F(x; θ) σχετίζεται με τις δύο κύριες παραμέτρους μ και σ 2. Για παράδειγμα, για την κανονική κατανομή οι μ (αναμενόμενη τιμήexpected value) και σ 2 (διακύμανση) είναι οι μόνες δύο παράμετροι που καθορίζουν πλήρως τη συνάρτησή της. Για την ομοιόμορφη κατανομή σε διάστημα [a, b], η σχέση των παραμέτρων της κατανομής a και b με τις μ και σ 2 δίνεται ως μ = a+b και 2 σ2 = (b a)2. 12 Γενικά όταν υπάρχει κάποια σχέση που επιτρέπει τον υπολογισμό της παραμέτρου θ (ή τις παραμέτρους θ 1, θ 2) από τις μ και σ 2, η εκτιμήτρια θ (ή τις εκτιμήτριες θ 1, θ 2) προκύπτει ως εξής (Cramér, 1946; Kendall & Stuart, 1987): 1. Υπολογίζονται τα x (μέση τιμή) και s 2 (τυπική απόκλιση) των μ και σ 2 αντίστοιχα. 2. Αντικαθίστανται οι εκτιμήσεις x και s 2 στην έκφραση της θ (ή των θ 1, θ 2). Αν οι δύο αυτές ροπές δεν επαρκούν, δηλαδή χρειάζεται να εκτιμηθούν περισσότερες από δύο παραμέτρους ή οι σχέσεις δε δίνουν μοναδικότητα λύσης για τις παραμέτρους, χρησιμοποιούνται και ροπές μεγαλύτερου βαθμού. Μέθοδος της Μεγίστης Πιθανοφάνειας (Maximum Likelihood Method) Η μέθοδος αυτή δίνει την εκτίμηση που έχει τη μέγιστη πιθανοφάνεια, δηλαδή δίνει την τιμή της παραμέτρου η οποία, μεταξύ όλων των δυνατών τιμών, είναι η πιο πιθανή με βάση το δείγμα (Cramér, 1946; Hazewinkel, Michiel, 2001). Η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας για κάποια τιμή X = x i που εξαρτάται από κάποια παράμετρο θ παίρνει την τιμή f(x i; θ) (αν η X είναι διακριτή τότε αυτή η τιμή, εκφράζει την πιθανότητα P(X = x i) ). Επειδή {x 1,..., x n} είναι ανεξάρτητες, η πιθανότητα να παρατηρηθούν σ ένα τυχαίο δείγμα μεγέθους n δίνεται από τη συνάρτηση πιθανόφανειας (likelihood function) ως προς θ L(x 1,..., x n; θ) = f(x 1; θ) f(x n; θ). Στα προβλήματα εκτίμησης, τα {x 1,..., x n} θεωρούνται δεδομένα και ο σκοπός είναι ο υπολογισμός για τη θ. Αν λοιπόν ισχύει L(x 1,..., x n; θ 1) > L(x 1,..., x n; θ 2) για δύο τιμές θ 1 και θ 2 της θ, τότε η τιμή θ 1 είναι πιο αληθοφανής από τη θ 2 γιατί δίνει μεγαλύτερη πιθανότητα να παρατηρηθούν τα {x 1,..., x n}. Ζητούμενο είναι να βρεθεί η πιο αληθοφανής τιμή της θ, δηλαδή η τιμή θ που μεγιστοποιεί τη L(x 1,..., x n; θ). 14

14 Εκτίμηση των παραμέτρων της ευθείας παλινδρόμησης με τη Μέθοδο των Ελαχίστων Τετραγώνων (Least Square Regression Method) Η εξαρτημένη τυχαία μεταβλητή Y ακολουθεί κάποια κατανομή με αθροιστική συνάρτηση κατανομής F Y (y X = x) και είναι δεσμευμένη για κάθε τιμή x της μεταβλητής X. Η μελέτη του προβλήματος περιορίζεται στη μέση τιμή και γίνεται η υπόθεση ότι η εξάρτηση εκφράζεται από μια γραμμική σχέση: E(Y X = x) = α + βx Η σχέση αυτή λέγεται γραμμική παλινδρόμηση της Y στη X (linear regression). Αν θεωρηθούν οι παρατηρήσεις (x 1, y 1),, (x n, y n) και το διάγραμμα διασποράς που τις απεικονίζει σαν σημεία, είναι δυνατό να σχηματιστούν διάφορες ευθείες που προσεγγίζουν την υποτιθέμενη γραμμική εξάρτηση της E(Y X = x) ως προς X. Η εκτίμηση των παραμέτρων α και β γίνεται με τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων (method of least squares). Η μέθοδος λέγεται έτσι γιατί βρίσκει την ευθεία εκείνη που αντιπροσωπεύει καλύτερα το δείγμα. Αυτή η ευθεία παλινδρόμησης θα έχει παραμέτρους α και β έτσι ώστε το άθροισμα των τετραγώνων των κατακόρυφων αποστάσεων των σημείων από την ευθεία να είναι το ελάχιστο. Οι εκτιμήσεις των α και β δίνονται από την ελαχιστοποίηση του αθροίσματος των τετραγώνων των σφαλμάτων. min n ε i 2 α,β i=1 ή min n (y i α βx i ) 2 α,β i=1 L-Moments method Η μέθοδος L-Moments (Hosking, 1990) είναι όμοια με την Method of Moments στο ότι επιλύει ένα σύστημα εξισώσεων του οποίου η τάξη είναι ίση με τον αριθμό των παραμέτρων προς εκτίμηση. Ωστόσο, το σύνολο των εξισώσεων των L-Moments ορίζεται ως εξής: β r = E(XF(X) r ) xf(x) r f(x)dx όπου F(X) είναι η αθροιστική συνάρτηση κατανομής της συνάρτησης πυκνότητας f(x). Το παραπάνω τίθεται ίσο με την αμερόληπτη εκτίμηση του β r, το b r, το οποίο ορίζεται ως: n b r = 1 n( n 1 r ) (i 1 r ) X (i) i=1 όπου X (1) X (2) X (n) είναι οι ταξινομημένες τιμές των παρατηρήσεων X 1, X 2, X n. Probability Weighted Moments method (P.W.M.) Οι L-moments σχετίζονται άμεσα με τις Probability Weighted Moments (Hosking, Wallis & Wood, 1985). Ουσιαστικά αποτελούν ένα γραμμικό συνδυασμό αυτών. Οι P.W.M. μπορούν να εκφραστούν με όρους της αθροιστικής συνάρτησης κατανομής F(x) όπως φαίνεται στη συνέχεια: 1 M p,r,s = x(f) p F(x) r (1 F(x)) s df 0 Όπου p, r και s είναι θετικοί ακέραιοι και x(f) εκφράζει το ποσοστημόριο ή την αντίστροφη αθροιστική συχνότητα κατανομής της τυχαίας μεταβλητής x. 15

15 Gumbel Plot Για την εφαρμογή του χρειάζεται να χωριστεί η χρονοσειρά σε τμήματα και να δημιουργηθεί δείγμα με τις μέγιστες τιμές αυτών (x). Για κάθε τιμή του x, υπολογίζεται η F(x m) και ως εκ τούτου η y Gumbel από τις ακόλουθες σχέσεις (Palutikof et al., 1999): F(x m ) = m 0.44 N y Gumbel = -ln {-ln [ (Fx m)]} Στη συνέχεια κατασκευάζεται ένα γράφημα το οποίο αποτελεί ουσιαστικά την αθροιστική συνάρτηση κατανομής με τους άξονες ανεστραμμένους, στο οποίο γίνεται η γραφική παράσταση των τιμών «reduced variate» (αντί του F(x)) σε σχέση με το x με σκοπό να γίνει μία γραμμική προσαρμογή. Το επόμενο βήμα είναι να εφαρμοσθεί μια ευθεία γραμμή στα αποτυπωμένα σημεία. Αυτό μπορεί να γίνει με το μάτι ή με τη χρήση ελαχίστων τετραγώνων. Στη συνέχεια, μπορούν να βρεθούν οι παράμετροι. Blue method Μία μέθοδος που χρησιμοποιείται ευρέως για τις ακραίες τιμές του ανέμου είναι η Lieblein BLUE (best linear unbiased estimators) (Lieblein, 1974; Cook, 1985). Ο Cook παρέχει πίνακες (look-up tables) με τις τιμές των παραμέτρων που απαιτούνται για τον υπολογισμό της BLUE για μεγέθη δείγματος που κυμαίνονται από n = 10 έως n = 24. Ωστόσο, για n > 30, ο υπολογισμός γίνεται προοδευτικά πιο δύσκολος, πράγμα που περιορίζει την εφαρμογή της μεθόδου (Buishand, 1989). Οι Hüsler & Schüpbach (1986) παρουσιάζουν μια απλουστευμένη διαδικασία για τον υπολογισμό της BLUE. Dekkers, Einmal and de Haan method Η συγκεκριμένη μέθοδος (Dekkers, Einmal and de Haan; 1989) βασίζεται στις ροπές. H παράμετρος σχήματος (shape parameter) y, στην παραμετροποίηση von Mises βασιζόμενη στις k μεγαλύτερες τιμές του δείγματος δίνεται από τη σχέση: όπου y 1,n,k = l 1,k, y 2,n,k = 1 1 (1 l 2 1 1,k ) 2 l 2,k με l j,k = 1 k 1 k 1 log (x n i+1:n i=1, j=1,2 x n k+1:n ) j y n,k = y 1,n,k + y 2,n,k Η παράμετρος κλίμακας (scale parameter) σ υπολογίζεται εφαρμόζοντας μία γραμμή (ελαχίστων τετραγώνων) στο QQ-plot κάνοντας χρήση της υπολογισμένης παραμέτρου y n,k, ενώ η παράμετρος θέσης (location parameter) ισούται με την τιμή t=x n k+1:n. 16

16 The Pickands estimator Κάνοντας χρήση της συγκεκριμένης μεθόδου (Pickands, 1975), μπορεί να γίνει εκτίμηση της παραμέτρου σχήματος y από τη σχέση: Όπου m=[k/4] y n(m) = log ( x n m+1:n x n 2m+1:n x n 2m+1:n x n 4m+1:n ) /log2 Οι υπόλοιπες παράμετροι υπολογίζονται όπως και στην Dekkers, Einmal and de Haan method. Conditional mean exceedance (CME) Η μέθοδος αυτή εφαρμόζεται για την εύρεση των παραμέτρων που αντιστοιχούν σε κατανομή όταν το δείγμα αποτελείται ουσιαστικά από τιμές που υπερβαίνουν ένα κατώφλι. Έστω ότι y είναι η παράμετρος σχήματος, σ η παράμετρος κλίμακας και u το κατώφλι. Εάν στα δεδομένα αυτά χρειάζεται να εφαρμοστεί GPD και ισχύει ότι y<1, u>0 και (σ+u*y)>0, τότε μπορεί να γίνει αναπαράσταση σε ένα γράφημα CME με το αποτέλεσμα να είναι μία ευθεία με σημείο τομής το σ/(1-y) και κλίση y/(1-y). Η γραμμικότητα της CME μπορεί να χρησιμοποιηθεί σαν δείκτης για την καταλληλόλητα της κατανομής, την επιλογή του κατάλληλου κατωφλίου και τον προσδιορισμό των συντελεστών. ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ-ΕΛΕΓΧΟΣ KOLMOGOROV-SMIRNOV Για την άμεση σύγκριση δύο κατανομών μέσω της συνάρτησης πυκνότητας πιθανότητας χρησιμοποιούνται τα Q-Q plots (Quantile-Quantile). Οι δύο άξονες αντιστοιχούν σε κάθε μία από τις δύο κατανομές. Όσο πιο πολύ μοιάζουν οι δύο κατανομές, τόσο πιο κοντά θα είναι οι τιμές τους στην ευθεία x=y. Εικόνα 3:Παράδειγμα Q-Q plot όταν εφαρμόζεται σε δεδομένα που χαρακτηρίζονται από διαφορετική κατανομή (αριστερά) και σε δεδομένα που έχουν την ίδια συμπεριφορά (δεξιά) Σε αντιστοιχία με πριν, για την σύγκριση δύο κατανομών με χρήση των αθροιστικών συναρτήσεων κατανομής, μπορεί να χρησιμοποιηθεί το P-P plot (probability-probability). Και 17

17 σε αυτή την περίπτωση κάθε άξονας θα αντιπροσωπεύει διαφορετική κατανομή και μεγάλη ομοιότητα ανάμεσα τους θα συνεπάγεται ότι οι τιμές θα βρίσκονται κοντά στην ευθεία x=y. Στη συγκεκριμένη μελέτη, η χρήση του P-P plot έγινε για τη σύγκριση της κατανομής που προέκυψε (έπειτα από την εκτίμηση των συντελεστών) με την αντίστοιχη θεωρητική. Εικόνα 4:Παράδειγμα όπου απεικονίζεται ένα P-P plot ανάμεσα σε δεδομένα και την αθροιστική συχνότητα κατανομής από την οποία χαρακτηρίζονται Οι παραπάνω τρόποι σύγκρισης είναι ποιοτικοί. Για μία ποσοτική σύγκριση μπορεί να γίνει έλεγχος Kolmogorov-Smirnov (Kolmogorov-Smirnov test). Κατά τον έλεγχο Kolmogorov- Smirnov υπολογίζεται για κάθε τιμή του δείγματος η πραγματική και η θεωρητική αθροιστική πιθανότητα. Η μεγαλύτερη διαφορά μεταξύ των δύο πιθανοτήτων συγκρίνεται με μία κρίσιμη τιμή ανάλογα και με το επίπεδο εμπιστοσύνης που επιλέγεται. Αν η μέγιστη διαφορά είναι μικρότερη από την κρίσιμη τιμή, τότε γίνεται δεκτή η υπόθεση ότι το δείγμα ανήκει σε πληθυσμό της αντίστοιχης κατανομής (Larsén et al., 2011). ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΟΙ ΔΕΙΚΤΕΣ ΠΟΥ ΧΡΗΣΙΜΟΠΟΙΗΘΗΚΑΝ ΓΙΑ ΤΗ ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΤΩΝ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ ΜΕ ΤΙΣ ΤΙΜΕΣ ΤΩΝ ΜΟΝΤΕΛΩΝ Για τη σύγκριση των τιμών που προέρχονται από τα μοντέλα με τις μετρήσεις χρησιμοποιήθηκαν δείκτες όπως ο συντελεστής προσδιορισμού (coefficient of determination - R 2 ), το μέσο σφάλμα (Bias), το κανονικοποιήμενο μέσο σφάλμα (Normalized Bias) και η ρίζα του μέσου τετράγωνου σφάλματος (Root Mean Square Error). Ο Συντελεστής Προσδιορισμού μετρά το ποσοστό της διακύμανσης του Υ που εξηγείται από το Χ. Δεν έχει μονάδα μέτρησης και το εύρος τιμών του είναι μεταξύ 0 (καθόλου εφαρμογή) και 1 (τέλεια εφαρμογή). Ο υπολογισμός του έγινε με βάση την ακόλουθη μαθηματική έκφραση: 18

18 R 2 k i [obs(i) for(i)]2 = 1 k[obs(i) 1 n k obs(i)] i i 2 Το μέσο σφάλμα και η κανονικοποιημένη του μορφή δίνουν πληροφορίες για την ύπαρξη συστηματικών αποκλίσεων ανάμεσα στις δύο ομάδες δεδομένων. Η σχέση που χρησιμοποιήθηκε για τον υπολογισμό του Bias είναι η ακόλουθη: k Bias = 1 [for(i) obs(i)] k i=1 Αντίστοιχα, το Normalized Bias προκύπτει ως εξής: Normalized Bias = 1 obs(i) for(i) k obs(i) k i=1 Η ρίζα του μέσου τετράγωνου σφάλματος αναδεικνύει και μη συστηματικά σφάλματα και η εκτίμηση της έγινε με βάση τη σχέση: k RMSE = 1 [for(i) obs(i)]2 k i=1 Όπου obs(i) είναι οι παρατηρούμενες τιμές και for(i) οι εκτιμώμενες από το μοντέλο ενώ το k αποτελεί το μέγεθος του δείγματος. 19

19 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΔΙΑΦΟΡΕΤΙΚΕΣ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΤΩΝ ΑΚΡΑΙΩΝ ΤΙΜΩΝ ΑΝΕΜΟΥ ΜΕ ΒΑΣΗ ΤΑ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΦΟΡΑΣ Στο δεύτερο κεφάλαιο γίνεται μία εκτενής αναφορά σε τέσσερεις βασικές μεθόδους που χρησιμοποιούνται για την εκτίμηση των περιόδων επαναφοράς. Παράλληλα, αναλύονται τα πλεονεκτήματα και τα μειονεκτήματα τους λαμβάνοντας υπ όψη τη διεθνή βιβλιογραφία. ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ-ΟΡΙΣΜΟΙ Διάστημα επαναφοράς (Return Period): Είναι η εκτίμηση της μέσης πιθανότητας να συμβεί ένα γεγονός σε ένα χρονικό διάστημα (Τ-ετών). T= διάστημα επαναφοράς n= αριθμός ετών μετρήσεων m= αριθμός εμφανίσεων του γεγονότος p = 1 T = m n Επομένως το p θα είναι η πιθανότητα να βρεθεί τιμή μεγαλύτερη-ίση του γεγονότος σε ένα έτος. Προϋπόθεση είναι τα γεγονότα να είναι ανεξάρτητα μεταξύ τους και η πιθανότητα να μην εξαρτάται από το χρόνο. Επειδή συνήθως τα δεδομένα που υπάρχουν είναι σχετικά λίγα, ο υπολογισμός για την εύρεση της Τ-ετών τιμής ανέμου γίνεται κάνοντας χρήση μετρήσεων μικρότερης διάρκειας και εφαρμόζοντας θεωρητικές κατανομές σε αυτές. Το τελευταίο αποτελεί και το αντικείμενο της παρούσας εργασίας. Γεγονός με επαναληψιμότητα Τ έτη (Τ-year event): Ένα γεγονός που συμβαίνει μία φορά (στατιστικά) σε Τ-έτη. Από την εκτίμηση του διαστήματος επαναφοράς μπορεί να υπολογιστεί η πιθανότητα να συμβεί το γεγονός r-φορές σε ένα χρονικό διάστημα n-ετών από την ακόλουθη σχέση: P = ( n r ) pr (1 p) n r Όπου: ( n r ) = n! r!(n r)!, με r=0,1,2,,n Στην παρούσα διπλωματική εργασία έγινε η εκτίμηση της μέγιστης τιμής ταχύτητας του ανέμου για περίοδο επαναφοράς 50 ετών. Ο υπολογισμός της τιμής του ανέμου για 50 έτη δίνει πολύ καλά αποτελέσματα όσον αφορά την πιθανότητα εμφάνισης του γεγονότος σε έτη και βρίσκει εφαρμογές μεταξύ άλλων σε μελέτες για την κατασκευή αιολικών πάρκων. 20

20 Οι μέθοδοι που χρησιμοποιούνται για την εκτίμηση των περιόδων επαναφοράς (return periods) επιλέγονται με βάση την έκταση των χρονοσειρών των παρατηρήσεων και είναι οι εξής: ΜΕΘΟΔΟΙ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΥΡΕΣΗ ΤΩΝ ΠΕΡΙΟΔΩΝ ΕΠΑΝΑΦΟΡΑΣ: 1. Block Maxima method (Jenkinson, 1955) 2. R-largest values method (Weissman, 1978) 3. The method of independent storms (MIS) (Cook, 1982; 1985) 4. Peak-over-threshold method (Coles, 2001) H πρώτη και η τελευταία είναι εκείνες που χρησιμοποιούνται σε μεγαλύτερο εύρος. ΜΕΘΟΔΟΣ «BLOCK MAXIMA (ANNUAL MAXIMA)» Η συγκεκριμένη μέθοδος βασίζεται στη δημιουργία δεδομένων που αποτελούνται από τις μέγιστες τιμές τμημάτων στα όποια έχει αρχικά χωριστεί η χρονοσειρά. Έπειτα από εφαρμογή της Γενικευμένης Θεωρίας Ακραίων Τιμών (Jenkinson, 1955). στο δείγμα γίνεται η εκτίμηση των περιόδων επαναφοράς. Η διαδικασία που ακολουθείται είναι η εξής: Βήματα 1. Τομή της χρονοσειράς σε τμήματα (blocks). 2. Δημιουργία data-set με την επιλογή της μέγιστης τιμής (maximum) από κάθε κομμάτι (ν-κομμάτια ν-μέγιστες τιμές). 3. Επιλογή της κατανομής που θα γίνει η εφαρμογή. 4. Εύρεση των συντελεστών έτσι ώστε η κατανομή να αντιπροσωπεύει καλύτερα το δείγμα. 5. Έλεγχος εγκυρότητας του μοντέλου. 6. Χρήση των συντελεστών που βρέθηκαν για την εκτίμηση των ακραίων τιμών του ανέμου με επαναληψιμότητα Τ χρόνια (T-year event) Επιλογή του μεγέθους των τμημάτων (blocks) και δημιουργία δεδομένων εισόδου (dataset) Η διαδικασία προϋποθέτει το διαχωρισμό των δεδομένων σε κομμάτια (blocks) ίσου «μήκους» και την εφαρμογή της GEV στα μέγιστα κάθε κομματιού (block maxima). Η επιλογή του μεγέθους του κομματιού είναι μείζονος σημασίας για την εφαρμογή της μεθόδου. Πολύ μικρά κομμάτια μπορεί να οδηγήσουν σε αύξηση του συστηματικού σφάλματος (bias) της εκτίμησης (estimation) και της προέκτασης (extrapolation). Αντίθετα πολύ μεγάλα κομμάτια δημιουργούν λιγότερα μέγιστα και μεγάλη διακύμανση (Coles, 2001). 21

21 Αν χρησιμοποιηθεί για παράδειγμα μηνιαίο μέγιστο αντί για ετήσιο (annual maximum Α.Μ.), σύμφωνα με τους θα υποτιμηθούν οι περίοδοι επαναφοράς. Επίσης το RMSE είναι μεγαλύτερο για κατανομή που βασίζεται σε εβδομαδιαίο και μηνιαίο μέγιστο σε σχέση πάντα με το ετήσιο ενώ και η τιμή R 2 είναι μικρότερη. Έτσι η χρήση μικρότερων τμημάτων από ένα χρόνο θα έχει ως αποτέλεσμα μη αξιόπιστη εκτίμηση όσον αφορά τις περιόδους επαναφοράς (return periods). Συνοψίζοντας, ρεαλιστικές εκτιμήσεις οδηγούν στη χρήση χρονικού τμήματος της τάξεως του έτους (Annual maxima). Σε αντίθετη περίπτωση, για μικρότερες περιόδους ενδέχεται οι υποθέσεις να έρχονται σε αντίθεση με τις αρχές της θεωρίας G.E.V. (Coles, 2001). Επιλογή της κατανομής για την εφαρμογή Η κατανομή που εκφράζει καλύτερα το δείγμα για την Annual Maxima method είναι η G.E.V.. Είναι ευρέως αποδεκτό πως η Weibull είναι μια καλή προσέγγιση για κατανομές ταχύτητας αέρα (Hennessey, 1977), ενώ οι ακραίες τιμές ταχύτητας ανέμου (A.M.) προσεγγίζονται συχνά από τον πρώτο τύπο της G.E.V. (Cook, 1985). Αν υποτεθεί πως ο τύπος της κατανομής είναι o πρώτος ενώ στην πραγματικότητα ο τρίτος είναι καταλληλότερος, το σφάλμα στο αποτέλεσμα θα οδηγήσει σε υπερεκτίμηση των περιόδων επαναφοράς των ακραίων τιμών. Μία τέτοια υπερεκτίμηση δεν απορρίπτεται καθώς η εφαρμογή της σε ανάλυση ρίσκου δίνει θεμιτά αποτελέσματα όσον αφορά θέματα ασφάλειας. Με βάση τα παραπάνω, η επιλογή της Gumbel θεωρείται η πλέον κατάλληλη, πέραν των άλλων και λόγω του γεγονότος ότι k=0 και επομένως χρειάζονται λιγότεροι συντελεστές προς εκτίμηση. Έχει αποδειχθεί (Cook, 1980) ότι αν αντικατασταθεί η ταχύτητα του ανέμου (U 10) από το τετράγωνό της (U 102 ), ή τη δυναμική πίεση (q), η προσομοίωση γίνεται καλύτερα από την Fisher--Tippett (Type I) extreme-value distribution, καθώς και ότι η σύγκλιση σε αυτή τη μορφή με την αύξηση του μεγέθους του δείγματος είναι ταχύτερη από όταν γίνεται χρήση της ταχύτητας του ανέμου. Εκτίμηση παραμέτρων για την κατανομή GEV Για την εκτίμηση των παραμέτρων χρησιμοποιούνται πολλές μέθοδοι συμπεριλαμβανομένων γραφικών μεθόδων, τεχνικών βασιζόμενων στις ροπές και τεχνικών στις οποίες οι παράμετροι προσδιορίζονται από διατεταγμένες παρατηρήσεις (order statistics) ή μεθόδους που βασίζονται στην εύρεση μέγιστης πιθανοφάνειας (likelihood based). Η Probability Weighted Moment (PWM) method είναι εύχρηστη και παρουσιάζει καλά αποτελέσματα όσον αφορά την εκτίμηση των παραμέτρων της G.E.V. δίνοντας μικρότερο συστηματικό σφάλμα και διακύμανση των παραμέτρων του ανέμου συγκρινόμενη με την Least Square Regression Method (Abild, 1994; Hosking, 1985). Επίσης μπορεί να εφαρμοστεί για την εκτίμηση περισσότερων παραμέτρων σε σχέση με την Maximum Likelihood (ML) method (Hosking, 1990). Μια σχετιζόμενη τεχνική για εκτίμηση των παραμέτρων είναι η L-moments method (Hosking, 1990). Όπως αναφέρεται και από τους Stedinger et al. (1993), οι πρώτες R L-moments είναι απλοί γραμμικοί συσχετισμοί των πρώτων R PWM και δίνουν την ίδια εκτίμηση για τις παραμέτρους. 22

22 Στον αντίποδα, η προσαρμοστικότητα των τεχνικών που βασίζονται στη μέγιστη πιθανοφάνεια σε πιο σύνθετες περιπτώσεις είναι κάτι που τις κάνει ιδιαίτερα ελκυστικές. Η ML method προσδιορίζει τους συντελεστές με την προϋπόθεση ότι το k είναι μεταξύ των τιμών -1 και Επίσης, στην περίπτωση που το k <-1 δεν θα έχουν ασυμπτωτικές ιδιότητες και θα είναι απίθανο να εκτιμηθούν (Smith, 1986). Βέβαια, σύμφωνα με τον Coles (2001) οι θεωρητικοί περιορισμοί της ML προσέγγισης δεν αποτελούν συνήθως κανένα εμπόδιο στην πράξη. Όπως προαναφέρθηκε, τα ετήσια μέγιστα της ταχύτητας του ανέμου ακολουθούν την κατανομή Gumbel. Μία γραφική μέθοδος για να βρεθούν οι παράμετροι της κατανομής αυτής είναι μέσω ενός Gumbel plot (Palutikof et al., 1999) Μια διαφορετική μέθοδος υπολογισμού των συντελεστών από το Gumbel plot προτείνει ο Lieblein (1974) που δίνει εξίσου καλά αποτελέσματα όσον αφορά τις παραμέτρους του Type I. Έλεγχος εγκυρότητας του μοντέλου Αν και είναι αδύνατον να ελεγχθεί η εγκυρότητα της εκτίμησης που βασίζεται στην κατανομή GEV, μπορεί να γίνει μία εκτίμηση με βάση τα παρατηρούμενα δεδομένα. Αυτό δεν είναι αρκετό για να δικαιολογήσει την προσέγγιση αλλά είναι μία προϋπόθεση. Η σύγκριση αυτή μπορεί να γίνει κάνοντας χρήση κάποιων γραφικών μεθόδων, όπως τα Q-Q plots, τα probability plots και τα return level plots (Coles, 2001), με σκοπό να εκτιμηθεί η καταλληλόλητα της επιλογής. Ένας άλλος τρόπος για να ελεγχθεί η καταλληλόλητα της μεθόδου που χρησιμοποιήθηκε είναι να σχεδιαστούν στην ίδια γραφική παράσταση η κατανομή στην οποία έχει γίνει η εφαρμογή και ένα ιστόγραμμα των δεδομένων. Μέσω της σύγκρισης των δύο μπορεί να γίνει μία πρώτη εκτίμηση αλλά σε καμία περίπτωση δεν μπορεί να δώσει περισσότερες πληροφορίες από ότι τα προαναφερθέντα τεστ. Εικόνα 5:Ενδεικτικό διάγραμμα ενός ιστογράμματος και της καμπύλης της κατανομής που είναι προσαρμοσμένη στα δεδομένα Ένας τρόπος εκτίμησης (χωρίς γράφημα) της μεθόδου που χρησιμοποιήθηκε είναι κάνοντας «goodness-of-fit» ανάλυση με χρήση του τεστ Kolmogorov-Smirnov. 23

23 Εκτίμηση των ακραίων τιμών του ανέμου με επαναληψιμότητα Τ χρόνια (T-year event) Για το ποσοστημόριο (quantile) X T με διάστημα επανόδου (return period) T, η πιθανότητα θα δίνεται από τη σχέση: F(X T) = 1 (1/T). Όπου το X T, είναι η ταχύτητα ανέμου (extreme) που η τιμή της συναντάται κατά μέσο όρο μία φορά για διάστημα επανόδου T χρόνων. Από τα παραπάνω προκύπτει (Palutikof et al., 1999): X T = { β + α κ {1 [ ln (1 1 Τ )] k} k 0 β αln [ ln (1 1 )] k = 0 T Η εκτίμηση της αβεβαιότητας του U T μπορεί να γίνει με χρήση της αβεβαιότητάς του α: Όπου: σ(u T ) = π α k T k T 2 6n k T = 6 (lnt γ Ε) π Όπου n: αριθμός ετών και γ: σταθερά του Euler Το διάστημα εμπιστοσύνης 95% υπολογίζεται ως: 1.96 σ(ut ). Παρατηρήσεις Το βασικό μειονέκτημα όσον αφορά την GEV/Gumbel method είναι ότι χρησιμοποιείται, ουσιαστικά, μόνο μία τιμή ανά έτος. Αυτό μειώνει σημαντικά τον αριθμό των δεδομένων προς ανάλυση. Για το λόγο αυτό η αρχική χρονοσειρά θα πρέπει να είναι αρκετά μεγάλη με τον Cook (1985) να προτείνει τουλάχιστον 20 χρόνια δεδομένων για αξιόπιστα αποτελέσματα, ενώ υποστηρίζει πως η μέθοδος δεν θα πρέπει να εφαρμόζεται για χρονοσειρές κάτω των 10 ετών. Επίσης, για την επιτυχή εφαρμογή της Extreme Value Theory θα πρέπει τα συμβάντα να είναι ανεξάρτητα και πανομοιότυπα κατανεμημένα. Κάνοντας χρήση των ετήσιων μεγίστων, η μόνη περίπτωση να μην ισχύει κάτι από τα παραπάνω είναι όταν για παράδειγμα ένα φαινόμενο που ξεκίνησε το Δεκέμβρη, δίνοντας μέγιστο για τον πρώτο χρόνο, συνεχίζεται και το Γενάρη δίνοντας μέγιστο αντίστοιχα και για το δεύτερο χρόνο. Σε άλλες μεθόδους, για να εξασφαλιστεί η ανεξαρτησία, ορίζονται χρονικές περίοδοι πέρα από τις οποίες τα γεγονότα χαρακτηρίζονται ως ανεξάρτητα. Για την εφαρμογή, γίνεται η υπόθεση πως υπάρχει ένα στατικό κλίμα ακραίων τιμών ανέμου. 24

24 ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗ ΤΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΕΚΤΙΜΗΣΗΣ ΤΩΝ ΠΕΡΙΟΔΩΝ ΕΠΑΝΑΦΟΡΑΣ ΒΑΣΙΖΟΜΕΝΗ ΣΤΙΣ r-μεγαλυτερεσ ΤΙΜΕΣ ΤΑΧΥΤΗΤΑΣ ΑΝΕΜΟΥ (r-largest ANNUAL EVENTS) Στην θεωρία GEV χρησιμοποιήθηκε η μεγαλύτερη τιμή της ταχύτητας του ανέμου σε ένα χρονικό τμήμα (στις περισσότερες εκ των περιπτώσεων, διάρκειας ενός χρόνου). Ο συλλογισμός στον οποίο βασίστηκε η παρούσα μέθοδος είναι η χρήση περισσότερων μεγίστων για το αντίστοιχο κομμάτι με σκοπό την αύξηση του δείγματος (και επομένως καλύτερη προσέγγιση), ενώ η θεωρία που τη χαρακτηρίζει παρουσιάστηκε από τον Weissman (1978). Βήματα 1. Τομή της χρονοσειράς σε κομμάτια (blocks). 2. Δημιουργία δεδομένων εισόδου με την επιλογή των r-μέγιστων τιμών (maximum) από κάθε κομμάτι (ν-κομμάτια νˑr-μέγιστες τιμές). 3. Επιλογή της κατανομής που θα γίνει η εφαρμογή. 4. Εύρεση των συντελεστών έτσι ώστε η κατανομή να αντιπροσωπεύει καλύτερα το δείγμα. 5. Έλεγχος εγκυρότητας του μοντέλου. 6. Χρήση των συντελεστών που βρέθηκαν για την εκτίμηση των ακραίων τιμών του ανέμου με επαναληψιμότητα Τ χρόνια (T-year event). Επιλογή του μεγέθους των τμημάτων (blocks) και δημιουργία δεδομένων εισόδου (data set) Η επιλογή του μεγέθους των κομματιών-blocks βασίζεται στην ίδια λογική με την Block Maxima Method. Επομένως και σε αυτή την περίπτωση, μια καλή επιλογή θα ήταν η επιλογή κομματιών διάρκειας ενός έτους. Από αυτά τα κομμάτια επιλέγονται οι r-μεγαλύτερες τιμές και με αυτόν τον τρόπο γίνεται η δημιουργία των αξιοποιήσιμων δεδομένων. Για την εφαρμογή της μεθόδου, προϋπόθεση αποτελεί η ανεξαρτησία των μεγίστων. Η ανεξαρτησία τους μπορεί να επιτευχθεί ευκολότερα χρησιμοποιώντας μικρό r (Smith, 1986). Ο Pirazzoli (1982, 1983) αντιμετωπίζοντας το πρόβλημα αυτό επέλεξε r=10. Στην ίδια κατεύθυνση κινήθηκαν οι Coles και Walshaw (1994), όπου επέλεξαν r=10 και ελάχιστο χρόνο διαχωρισμού των μεγίστων της τάξεως των 60 ωρών. Ο Wang (1995) εξετάζει την επιλογή του πλέον κατάλληλου r, κάνοντας χρήση δύο κριτηρίων τα οποία είναι τα generalized leastsquares και Shapiro Wilk goodness-of-fit τεστ, δείχνοντας μία προτίμηση στο τελευταίο. 25

25 Επιλογή της κατανομής για την εφαρμογή Έχοντας ένα δείγμα από τις r-μεγαλύτερες τιμές ενός κομματιού, η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας θα δίνεται από τη σχέση: F(x 1 x r ) = r a r exp [ exp( Z r ) Z j ], k = 0 j=1 a r exp [ (1 kz r ) 1 k + ( 1 k 1) ln(1 kz j) ], k 0 { j=1 r Όπου: Z r = (x r β) α, Z j = (x j β) α Εκτίμηση των παραμέτρων Ο Smith (1986) παρουσιάζει τις συναρτήσεις πιθανοφάνειας για την παραπάνω σχέση, και μέσα από αυτές οι τιμές των α και β μπορούν να υπολογιστούν αριθμητικά χρησιμοποιώντας τεχνικές μέγιστης πιθανοφάνειας. Έλεγχος εγκυρότητας του μοντέλου Ο έλεγχος για την καταλληλόλητα της κατανομής που επιλέχθηκε αλλά και της μεθόδου εκτίμησης των δεδομένων μπορεί να γίνει είτε γραφικά χρησιμοποιώντας Q-Q plots, Probability plots και Return level plots, είτε υπολογιστικά κάνοντας χρήση του τεστ Kolmogorov- Smirnov. Εκτίμηση ακραίων τιμών του ανέμου με επαναληψιμότητα Τ χρόνια (T-year event) Για το ποσοστημόριο (quantile) X T με περίοδο επαναφοράς T, η πιθανότητα θα δίνεται από τη σχέση: F(X T ) = 1 ( 1 T ). Όπου το X T, είναι η ταχύτητα ανέμου (extreme) που η τιμή της συναντάται κατά μέσο όρο μία φορά για περίοδο επαναφοράς T χρόνων. Από τα παραπάνω προκύπτει: X T = { β + α κ {1 [ ln (1 1 Τ )] k} k 0 β αln [ ln (1 1 )] k = 0 T 26

26 ΜΕΘΟΔΟΣ «INDEPENDENT STORMS» Η μέθοδος των ανεξάρτητων γεγονότων (καταιγίδων) (ΜIS) αυξάνει τον αριθμό των ακραίων τιμών ανέμου που είναι διαθέσιμες για ανάλυση (Cook, 1982; 1985). Βήματα 1. Εφαρμογή κατάλληλου φίλτρου χαμηλών συχνοτήτων στη αρχική χρονοσειρά. 2. Ορισμός ενός κατωφλίου στα φιλτραρισμένα δεδομένα και χρήση του για το διαχωρισμό της αρχικής χρονοσειράς σε ανεξάρτητες καταιγίδες. 3. Δημιουργία δεδομένων εισόδου με την επιλογή των μέγιστων τιμών από κάθε συμβάν. 4. Επιλογή της κατανομής που θα γίνει η εφαρμογή. 5. Εύρεση των συντελεστών έτσι ώστε η κατανομή να αντιπροσωπεύει καλύτερα το δείγμα. 6. Έλεγχος εγκυρότητας του μοντέλου. 7. Χρήση των συντελεστών που βρέθηκαν για την εκτίμηση των ακραίων τιμών του ανέμου με επαναληψιμότητα Τ χρόνια (T-year event) Διαδικασία δημιουργίας δεδομένων εισόδου Για την M.I.S. είναι αναγκαίο να χωριστούν οι αρχικές χρονοσειρές της ταχύτητας του ανέμου σε ανεξάρτητα γεγονότα (καταιγίδες) και να επιλεχθεί η μέγιστη τιμή από κάθε μία. Αυτό επιτυγχάνεται αρχικά με την εφαρμογή φίλτρου διέλευσης χαμηλών συχνοτήτων (low pass) στα δεδομένα. Στη συνέχεια, από τα σημεία τομής της τιμής της ταχύτητας (της φιλτραρισμένης χρονοσειράς) με το κατώφλι, ορίζονται οι καταιγίδες (δύο σημεία τομής προϋποθέτουν τιμές ταχύτητας μεγαλύτερες ανάμεσα σε αυτά και επομένως υποδεικνύουν καταιγίδα). Η ανεξαρτησία τους εξασφαλίζεται από το γεγονός ότι ανάμεσα στα συμβάντα υπάρχει μία χρονική περίοδος νηνεμίας (δεδομένου ότι το κατώφλι θα έχει μία τιμή κάτω από την οποία θεωρείται ότι υπάρχει νηνεμία). Σύμφωνα με τον Cook (1982), κατά μέσο όρο λαμβάνουν χώρα 100 τέτοια συμβάντα ανά έτος. Το επόμενο βήμα είναι η εύρεση των μεγίστων από την αρχική, «αφιλτράριστη» κατανομή και η δημιουργία της πληροφορίας που είναι αναγκαία για τη μέθοδο. Επιλογή της κατανομής για την εφαρμογή Τα εξαγόμενα δεδομένα προσομοιώνονται με χρήση της GEVD πρώτου τύπου (Gumbel). Επίσης, όπως έχει αναφερθεί και στην AM method, η μετατροπή της ταχύτητας του ανέμου σε δυναμική πίεση μπορεί να εξασφαλίσει μεγαλύτερο ρυθμό σύγκλισης. Παρόλα αυτά, με τη συγκεκριμένη μεθοδολογία η ταχύτητα σύγκλισης των ακραίων τιμών προς την πρώτου τύπου ασύμπτωτη είναι ήδη μεγάλη. 27

27 Εκτίμηση των παραμέτρων Η εύρεση της προσέγγισης (best-fit line) γίνεται με χρήση της τεχνικής BLUE (βλ. Κεφ.1), η οποία είναι καταλληλότερη για το πλήθος των δεδομένων που προκύπτουν από τη MIS. Η συγκεκριμένη μέθοδος εκτίμησης των παραμέτρων παρέχει αξιόπιστα αποτελέσματα για μέγιστο 50 ετών. Προϋπόθεση αποτελεί η ρύθμιση του κατωφλίου έτσι ώστε το δείγμα να αποτελείται από 10 γεγονότα ανά έτος. Ο Harris (1998) εισήγαγε δύο βελτιώσεις στη μέθοδο για την αποφυγή των συστηματικών σφαλμάτων και για τη μη αναγκαιότητα μείωσης των γεγονότων (με χρήση μεγαλύτερου κατωφλίου). Αυτό επιτεύχθηκε εισάγοντας τη δική του μέθοδο για την εύρεση της ευθείας με την καλύτερη προσαρμογή (Harris,1996) στη Lieblein BLUE method. Έλεγχος εγκυρότητας του μοντέλου Ο έλεγχος για την καταλληλόλητα της κατανομής που επιλέχθηκε μπορεί να γίνει όπως και στις προηγούμενες περιπτώσεις με Q-Q plots, Probability plots και Return level plots ή κάνοντας χρήση του Kolmogorov- Smirnov test. Εκτίμηση των ακραίων τιμών του ανέμου με επαναληψιμότητα Τ χρόνια (T-year event) Από τη στιγμή που η κατανομή η οποία χρησιμοποιείται είναι η Gumbel, ο υπολογισμός του T-year event, προκύπτει από την ίδια σχέση με την Annual Maxima method. X T = { β + α κ {1 [ ln (1 1 Τ )] k} k 0 β αln [ ln (1 1 )] k = 0 T 28

28 ΜΕΘΟΔΟΣ «PEAKS-OVER-THRESHOLD» Μία διαφορετική προσέγγιση είναι η μέθοδος Peaks Over Threshold (POT) (Coles, 2001). Η συγκεκριμένη μέθοδος έχει το πλεονέκτημα της αξιοποίησης μεγαλύτερου αριθμού δεδομένων και για το λόγο αυτό μπορεί να χρησιμοποιήθει και σε μικρότερες χρονοσειρές. Βήματα 1. Δημιουργία δεδομένων εισόδου. 2. Επιλογή της κατανομής που θα γίνει η εφαρμογή. 3. Εύρεση των συντελεστών έτσι ώστε η κατανομή να αντιπροσωπεύει καλύτερα το δείγμα. 4. Έλεγχος εγκυρότητας του μοντέλου. 5. Χρήση των συντελεστών που βρέθηκαν για την εκτίμηση των ακραίων τιμών του ανέμου με επαναληψιμότητα Τ χρόνια (T-year event). Δημιουργία δεδομένων εισόδου Για τη συγκεκριμένη μέθοδο είναι απαραίτητη η συγκέντρωση τιμών που υπερβαίνουν ένα όριο (threshold). Ουσιαστικά πάνω από το όριο αυτό, δημιουργούνται κάποιοι πυρήνες (clusters) και για την εφαρμογή της μεθόδου γίνεται χρήση των κορυφών τους, από τις οποίες αφαιρείται το κατώφλι. Έτσι δημιουργούνται υπερβάσεις (exceedances) οι οποίες χρησιμοποιούνται για την προσομοίωση στην κατανομή. Προϋπόθεση είναι τα γεγονότα να είναι ανεξάρτητα μεταξύ τους. Αν το κατώφλι είναι πολύ μεγάλο, τότε ο αριθμός των τιμών που το υπερβαίνει μέσα σε ένα χρόνο είναι μικρός και προσεγγίζεται από την κατανομή Poisson (Palutikof et al., 1999). Εικόνα 6 Χρονοσειρά ταχύτητας του ανέμου και γραφική αναπαράσταση στοιχείων που χρησιμοποιούνται για τη δημιουργία δεδομένων εισόδου. 29

29 Ορισμός του κατωφλίου (threshold) Το πρόβλημα που προκύπτει με την επιλογή του κατωφλίου είναι ανάλογο με αυτό της επιλογής κομματιού για την GEV. Μικρό κατώφλι είναι δυνατόν να οδηγήσει σε παραβίαση της ασυμπτωτικής συμπεριφοράς της κατανομής, ενώ μεγάλο θα δημιουργήσει λιγότερες υπερβάσεις και θα οδηγήσει σε αύξηση της διακύμανσης. Επομένως το κατώφλι πρέπει να είναι αρκετά μεγάλο έτσι ώστε να συγκλίνει σε GPD και να αποφευχθεί η συνύπαρξη δύο ή περισσότερων πληθυσμών ακραίων τιμών και τόσο μικρό ώστε να υπάρχουν αρκετές τιμές για ικανοποιητικό προσδιορισμό των παραμέτρων της κατανομής (Abild et al., 1992). Η περιοχή στην οποία εφαρμόζεται η μέθοδος παίζει πολύ σημαντικό ρόλο για τον προσδιορισμό του κατωφλίου. Περιοχές με μεγαλύτερες μέσες ταχύτητες ανέμου θεωρούνται προβληματικές καθώς υπάρχει δυσκολία στην προσομοίωση, εξαιτίας της ύπαρξης πχ δύο πληθυσμών ακραίων τιμών ανέμου. Σε μία τέτοια περίπτωση μία λύση θα ήταν να αυξηθεί επιπλέον το όριο αλλά κάτι τέτοιο θα οδηγούσε σε ελάχιστα δεδομένα προς αξιοποίηση (Caires and Sterl, 2004). Πιο συγκεκριμένα, όσον αφορά την ταχύτητα του ανέμου, τα όρια πρέπει να είναι μεγαλύτερα σε σχέση με άλλες εφαρμογές. Σε γενικές γραμμές η επιλογή του ορίου θα πρέπει να συμβαδίζει με τα κλιματικά χαρακτηριστικά της περιοχής. Οι τεχνικές που προτείνονται για τον ορισμό του κατωφλίου είναι αρκετές και ποικίλουν ανάμεσα σε γραφικές και ποσοτικές μεθόδους. Μια γραφική τεχνική είναι τα conditional mean exceedance (CME) graphs που είναι γνωστά και ως residual life graphs. Σε αυτά σχεδιάζεται η μέση υπέρβαση πάνω από το κατώφλι, σαν συνάρτηση αυτού. (Davison, 1984; Ledermann et al., 1990). Σαν σωστό όριο μπορεί να επιλεχθεί το μικρότερο δυνατό, που αναπαρίσταται όμως στο CME με μία ευθεία γραμμή. Ο Walshaw (1994) προτείνει μία παραλλαγή του CME με το όνομα reclustered excess graph, το οποίο λειτουργεί όμως με παρόμοιο τρόπο για την GPD (προϋποθέτει ευθεία γραμμή). Οι Teena, Kumar, Sudheesh και Sajeev (2012) χρησιμοποιήσαν ένα Sample Mean Excess (SME) plot για τη επιλογή του κατάλληλου κατωφλίου και (CME) γράφημα για την επαλήθευση. Γενικά η μόνη παράμετρος του GPD που πρέπει να επιλεχθεί εκ των προτέρων, είναι το κατώφλι καθώς οι δύο άλλες παράμετροι υπολογίζονται από τεχνικές που αναφέρονται στη συνέχεια. Ωστόσο, μεταβολή του κατωφλίου μεταβάλλει και τις υπόλοιπες παραμέτρους εξίσου. Έτσι, ένας τρόπος για την επιλογή του σωστού ορίου είναι η επιλογή πολλών διαφορετικών και η εύρεση του ιδανικού μέσω goodness-of-fit τεστ, είτε αυτά είναι γραφικά είτε αναλυτικά όπως το τεστ Kolmogorov-Smirnov (Marsaglia et al., 2003). Χρόνος διαχωρισμού (separation time) Για τη μέθοδο POT είναι αναγκαίο, όπως προαναφέρθηκε, να διασφαλιστεί η ανεξαρτησία των γεγονότων. Αυτό εν μέρει επιτυγχάνεται κάνοντας χρήση υψηλού κατωφλίου. Για να αποφευχθεί όμως η περίπτωση να υπάρξουν εξαρτώμενα γεγονότα, μπορεί να χρησιμοποιηθεί επιπροσθέτως ένας χρόνος διαχωρισμού των δειγμάτων (των κορυφών). 30

30 Ο χρόνος αυτός ορίζεται στις 48 ώρες όσον αφορά τον άνεμο για τα Ευρωπαϊκά κλίματα(cook 1985, Gusella 1991). Ο Walshaw (1994) χρησιμοποιεί 60 ώρες για δεδομένα ανέμου που προέρχονται από το Sheffield. Ουσιαστικά για τη μέθοδο POT, η ανεξαρτησία μεταξύ των γεγονότων αποτελεί ένα συνδυασμό ανάμεσα στο κατώφλι και στον ελάχιστο χρόνο διαχωρισμού των γεγονότων. Αν επιλεχθεί μεγάλο όριο, ο χρόνος διαχωρισμού μπορεί να μειωθεί (και το αντίστροφο) για να διατηρηθεί η ανεξαρτησία (Walshaw 1994). Το «external index» είναι ένα ποσοτικό μέτρο του βαθμού δημιουργίας πυρήνων σε ένα πακέτο ακραίων τιμών και αποτελεί ένα καλό εργαλείο για τον προσδιορισμό την ανεξαρτησίας των φαινομένων (Smith & Weissman, 1994). Επιλογή της κατανομής για την εφαρμογή Στα αποτελέσματα εφαρμόζεται η Generalized Pareto Distribution, με την κατάλληλη προσαρμογή στην μέθοδο. Η σχέση που αναπαριστά την αθροιστική συνάρτηση κατανομής (C.D.F.) γίνεται: F(x) = { 1 [1 k a (x ξ)] 1 k, k 0 x ξ 1 exp ( α ), k = 0 Όπου ξ είναι το επιλεγμένο κατώφλι και x-ξ είναι οι υπερβάσεις. αν k = 0, η GPD αντιστοιχεί σε εκθετική συνάρτηση (medium size tail) αν k < 0, παίρνει τη μορφή την κλασικής Pareto distribution (long tailed) αν k > 0, προκύπτει η Pareto II type distribution (short tailed). Παραδοσιακά, οι ακραίες τιμές της ταχύτητας του ανέμου για εύκρατα κλίματα προσδιορίζονται από Type I κατανομή (Cook 1985, Ross 1987, Gusella 1991, Abild et al. 1992a). Η αιτιολογία είναι ότι αφ ενός οι κατανομές πρώτου τύπου συμπεριλαμβάνουν την κατανομή Weibull (Hennessey, 1977) και αφ ετέρου η συγκεκριμένη κατανομή δεν έχει άνω όριο σε αντίθεση με την τρίτου τύπου που περιορίζεται από πάνω από τη σχέση ξ + (α/k) για την GPD. Σε αυτό το σημείο θα πρέπει να αναφερθεί πως δεν υπάρχει άνω όριο στην ταχύτητα του ανέμου, σε λογικά πάντα πλαίσια. Επίσης, η χρήση πρώτου τύπου διευκολύνει αρκετά τη διαδικασία καθώς το k είναι ίσο με μηδέν, κάτι που κάνει την επίλυση πιο εύκολη. Από την άλλη πλευρά, αρκετές μελέτες, έπειτα από μετρήσεις ταχύτητας ανέμου, δείχνουν ότι για τις ουρές των κατανομών το k δεν μπορεί να είναι μηδέν ή ότι μία προσέγγιση τρίτου τύπου θα ταίριαζε περισσότερο (Walshaw 1994, Lechner et al. 1992). 31

31 Οι Abild et al. (1992a) συγκρίνοντας τα αποτελέσματα πρώτου και τρίτου τύπου όσον αφορά την ουρά, παροτρύνουν την χρήση του Type Ι. Αυτό το βασίζουν στο γεγονός ότι η συμπεριφορά της ουράς της κατανομής είναι πολύ ευαίσθητη σε αλλαγές του k καθώς και ως προς το πρόβλημα που τέθηκε παραπάνω και αφορά το άνω όριο. Σε κάθε περίπτωση θα πρέπει να ληφθεί υπ όψη πως η Type III κατανομή θα «δώσει» μικρότερες τιμές ανέμου για τις περιόδους επαναφοράς σε σχέση με την Type I (Simiu & Scanlan, 1986; Walshaw, 1994). Οι Caires και Sterl (2004) αντιμετώπισαν ένα ανάλογο πρόβλημα σε περιοχές όπου οι ταχύτητες του ανέμου είναι χαμηλές και η κατανομή του ανέμου δεν ενδείκνυται για την χρήση της ΡΟΤ μεθόδου δίνοντας μεγάλο σφάλμα. Η επίλυση του προβλήματος έγινε χρησιμοποιώντας το U 10 2 αντί το U 10. Ο συλλογισμός τους βασίζεται στην υπόθεση πως η κατανομή των ταχυτήτων του ανέμου, αφαιρώντας τις μέσες τιμές, μοιάζει με την κατανομή Rayleigh και ως εκ τούτου η κατανομή του τετραγώνου τους θα μοιάζει με την εκθετική. Παρόμοια παρατήρηση έγινε και από τον Cook το 1982, σύμφωνα με τον οποίο, σε περιοχές της Αγγλίας, η τιμή k της κατανομής Weibull κυμαίνεται μεταξύ 1.8 και 2.2, βρισκόμενη όμως κοντά στην τιμή 2 που δίνει την «ειδική» περίπτωση της κατανομής Rayleigh. Η υπόθεση αυτή, όπως αναφέρει ο Galambos (1987), ενισχύεται από το γεγονός ότι η σύγκλιση της ουράς πιο συμμετρικών κατανομών στην αντίστοιχη της GPD μπορεί να είναι ιδιαίτερα αργή απαιτώντας υψηλότερα όρια ή περισσότερα δεδομένα. Αυτό καθιστά την εφαρμογή της GPD σε U 10 μάλλον ανεπιτυχή. Αντίθετα, η κατανομή του U 10 2 θα είναι πιο «μετατοπισμένη» (skewed) και πιο κατάλληλη για τη μέθοδο ΡΟΤ. Επίσης, ο Cook (1982) παροτρύνει τη χρήση του U 10 2 αντί για U 10, όχι μόνο για τους λόγους που προαναφέρθηκαν αλλά και για το γεγονός ότι σε αρκετές περιπτώσεις οι μηχανικοί ενδιαφέρονται κυρίως για την δυναμική πίεση q (που είναι ανάλογη του U 2 ) στις εφαρμογές τους. Στη συγκεκριμένη μελέτη, η εκθετικότητα των δεδομένων για το U 10 2 απορρίπτεται σε περιοχές με μεγαλύτερες ταχύτητες ανέμου. Στις περισσότερες από αυτές τις περιπτώσεις, οι εκτιμήσεις του k στη GPD είναι μεγαλύτερες από το μηδέν. Σε μία τέτοια προσέγγιση, αν και οι εκτιμήσεις βασίζονται στο U 102, οι τιμές του ξ, του x Τ, και τα διαστήματα εμπιστοσύνης που σχετίζονται με το x Τ, είναι για το U 10 (m/s). Οι ποσότητες που αναφέρονται στο U 10 2 μετατρέπονται σε U 10 (με τετραγωνική ρίζα). Όσον αφορά τη μετατροπή της διακύμανσης που αναφέρεται στο U 10 2 στην αντίστοιχη για το U 10, ο υπολογισμός της για το x Τ γίνεται κατά προσέγγιση από τη σχέση: var(x Τ) = var(x Τ2 )/(4x Τ2 ). Παράλληλα καμία μετατροπή δεν εφαρμόστηκε στις εκτιμήσεις του α καθώς δεν χρειάζεται. Εκτίμηση των παραμέτρων για την GPD Όπως και στις προηγούμενες περιπτώσεις, έχουν προταθεί πολλές τεχνικές για την εκτίμηση των παραμέτρων. Πιο συγκεκριμένα: Οι Brabson & Palutikof (1998) συγκρίνουν τις μεθόδους ML και PWM όσον αφορά τις ταχύτητες ανέμου και αυτό που παρατηρείται είναι πως η ΜL αποδίδει πολύ πιο σταθερές παραμέτρους για ένα πλήθος κατωφλίων. Επίσης η ML παρουσιάζει ελάχιστο συστηματικό σφάλμα (bias) για μέγεθος δείγματος που κυμαίνεται ανάμεσα σε 30 και

32 Στην περίπτωση όπου το δείγμα είναι μικρό οι Abild et al. (1992a) προτείνουν τη χρήση της μεθόδου Probability Weighted Moment (PWM) (Hosking & Wallis, 1987; Wang, 1991). Σε περιπτώσεις όπου το k δεν είναι μηδέν, η PWM θα δίνει λάθος εκτιμήσεις για μεγάλες θετικές τιμές αυτού (k > +0.2). Βέβαια τέτοιες τιμές που να αφορούν ακραίες τιμές ανέμου δεν έχουν βρεθεί στη βιβλιογραφία (Palutikof et al., 1999). Διαφορετικές προσεγγίσεις έχουν γίνει επίσης από τους Lechner et al. (1993) που σύγκριναν 3 μεθόδους: conditional mean exceedance (CME), Pickands (Pickands, 1975) και Dekkers Einmahl de Haan (DED), που δίνουν μία εκτίμηση βασιζόμενη σε ροπές (Dekkers et al., 1989). Τέλος, οι Simiu & Heckert (1996) χρησιμοποιούν την de Haan (1994) μέθοδο στην ανάλυση των ταχυτήτων των ανέμων στις Η.Π.Α.. Συνοψίζοντας, η χρήση της PWM, είναι αναγκαία όπου η υπολογισιμότητα αποτελεί πρόβλημα (Hosking, 1990). Από την άλλη πλευρά, η MOM προσέγγιση δεν οδηγεί σε καλή εκτίμηση και έτσι χρησιμοποιείται μόνο ως έλεγχος σε άλλες μεθόδους ή αν οι υπόλοιπες μέθοδοι αποτύχουν (Rice, 1988). Η μέθοδος Maximum Likelihood (ML), αν και στατιστικά φαίνεται να υπερτερεί, μπορεί να αποδειχθεί κακή, ιδιαίτερα στην περίπτωση όπου ο αριθμός των εκτιμώμενων παραμέτρων είναι μεγάλος (Rice, 1988). Στον αντίποδα, η συμπεριφορά της είναι καλή ακόμα και αν στη χρονοσειρά που εφαρμόζεται υπάρχει κάποια τάση (Wilks, 2006). Έτσι, μία προσέγγιση θα ήταν να χρησιμοποιηθεί μια ποικιλία τεχνικών, όπως PWM, ΜΟΜ και ML και να επιλεγούν οι παράμετροι βασιζόμενοι σε μια προσαρμογή ελαχίστων τετραγώνων (Teena et al.). Έλεγχος εγκυρότητας του μοντέλου Το εύρος των goodness-of-fit tests που υπάρχουν για την επιλογή του μοντέλου που θα χρησιμοποιηθεί είναι αρκετά μεγάλο. Ένας τρόπος εκτίμησης είναι κάνοντας χρήση του Kolmogorov-Smirnov test. Οι Ross (1987) και Zwiers (1987) χρησιμοποιούν την Anderson Darling statistic, προτιμώντας τη από το Kolmogorov-Smirnov test καθώς δίνει μεγαλύτερο βάρος στην ουρά της κατανομής. Ένα παράδειγμα goodness-of-fit tests που βασίζονται σε probability plots χρησιμοποιείται από τους Karim & Chowdhury (1995). Παράλληλα o Coles (2001) προτείνει μια σειρά από γραφικά τεστ τα οποία είναι τα εξής: probability plots, quantile plots, return level plots και density plots. Ένας τρόπος, για μία ποιοτική εκτίμηση, είναι να σχεδιαστούν στην ίδια γραφική παράσταση, η κατανομή στην οποία έχει γίνει η εφαρμογή και ένα ιστόγραμμα των δεδομένων. Μέσω της σύγκρισης των δύο μπορεί να γίνει μία πρώτη εκτίμηση αλλά σε καμία περίπτωση δεν μπορεί να δώσει περισσότερες πληροφορίες από ότι τα προαναφερθέντα τεστ. 33

33 Εκτίμηση των ακραίων τιμών του ανέμου με επαναληψιμότητα Τ χρόνια (T-year event) Για τον υπολογισμό του T-year event είναι απαραίτητο να έχει προηγηθεί ο υπολογισμός του ρυθμού υπέρβασης (crossing rate) του κατωφλίου. Αν υποτεθεί πως οι υπερβάσεις ακολουθούν την Poisson με ρυθμό λ ανά χρόνο, ένας εύκολος υπολογισμός του γίνεται από τη σχέση λ=n/m όπου n είναι ο συνολικός αριθμός υπερβάσεων πάνω από το επιλεγμένο κατώφλι ξ, και Μ είναι τα συνολικά χρόνια των δεδομένων. Προκύπτει (Abild et al., 1992a): Χ Τ = { ξ + (a k ) [1 (λτ) k ], k 0 ξ + aln(λτ), k = 0 Για την Poisson η αβεβαιότητα της προσομοίωσης μπορεί να προσδιοριστεί μέσω της διακύμανσης η οποία δίνεται από τη σχέση: σ(u T ) ( a λl ) 1 + ln2 (λτ) όπου L είναι το μήκος των δεδομένων σε χρόνια. Η Τ-year εκτίμηση μπορεί να υποτεθεί πως είναι κανονικά κατανεμημένη (Kite, 1975). Επομένως όπως και στο παράδειγμα με την GEVD το 95% του διαστήματος εμπιστοσύνης μπορεί να εκτιμηθεί στο 1.96 σ(u T ). Παρατηρήσεις Η επιλογή των ακραίων τιμών ταχύτητας ανέμου γίνεται αποτελεσματικά από τη μέθοδο ΡΟΤ (χωρίς να τίθεται θέμα για censoring) σε αντίθεση με την κλασική προσέγγιση. Για μικρές χρονοσειρές προτιμάται αυτή η μέθοδος από την AM GEV καθώς παρέχει περισσότερη πληροφορία. Για την ακρίβεια, 5 με 6 χρόνια μετρήσεων είναι αρκετά (e.g., Coles & Walshaw, 1994). Σε περιοχές όπου υπάρχει μεγάλη συχνότητα καταιγίδων και φαινομένων ακραίων τιμών ανέμου, η μέθοδος POT προτιμάται από την AM καθώς στην πρώτη λαμβάνονται υπ όψη όλα τα ακραία γεγονότα. Γενικές παρατηρήσεις Σε γενικές γραμμές οι τεχνικές που εφαρμόζονται για την εύρεση ακραίων τιμών ανέμου βασίζονται σε όλο το πλήθος των δεδομένων. Υπό συγκεκριμένες συνθήκες όμως, ενδέχεται ο χωρισμός των δεδομένων σε ομάδες να αποδειχτεί ιδιαίτερα χρήσιμος. Η δημιουργία των ομάδων μπορεί να γίνει με βάση την διεύθυνση του ανέμου, την εποχικότητα και γενικότερα με το μηχανισμό που τα προκαλεί ή τα επηρεάζει. Μία τέτοια διαδικασία μπορεί να δώσει πιο στοχευμένες πληροφορίες και ακριβέστερα αποτελέσματα 34

34 καθώς η επεξεργασία περιλαμβάνει δεδομένα με μεγαλύτερη ομοιότητα στα χαρακτηριστικά τους. Παράλληλα ενέχει και κάποιους κίνδυνους καθώς δεν είναι πάντα εύκολος ο προσδιορισμός των φαινομένων με βάση τη διεύθυνση ή την εποχικότητα. Επίσης, η χρήση της συγκεκριμένης μεθόδου μπορεί να αυξήσει το σφάλμα ή να γίνει ιδιαίτερα πολύπλοκη. Όσον αφορά τη στατικότητα ή μη, θα πρέπει να γίνει μία ιδιαίτερη αναφορά. Είναι γνωστό πως κάποιες φυσικές διαδικασίες παρουσιάζουν τάση για μεγάλα χρονικά διαστήματα ή μεγάλες περιοδικότητες. Ένα χαρακτηριστικό παράδειγμα είναι η αύξηση της στάθμης της θάλασσας που παρατήρησε ο Smith (1986) στη μελέτη του για περιόδους επαναφοράς των πλημμυρών στη Βενετία. Όσον αφορά τον άνεμο, υπάρχουν κάποιοι επιστήμονες (Palutikof et al., 1987; WASA group, 1998) που αναφέρουν πως η περιοχή του ΒΑ Ατλαντικού παρουσιάζει μια περιοδικότητα της τάξεως της δεκαετίας που πιθανόν να συνδέεται με το North Atlantic Oscillation (Hurrell, 1995). Το τελευταίο μπορεί να έχει σαν αποτέλεσμα, η ανάλυση να βασιστεί σε δεδομένα που έχουν ληφθεί σε περίοδο ανέμων χαμηλών ταχυτήτων και αυτό να οδηγήσει σε υποεκτίμηση των ακραίων τιμών. Στην περίπτωση που η χρονοσειρά πάνω στην οποία θα γίνει η επεξεργασία είναι μικρή, υπάρχουν κάποιες τεχνικές προσομοίωσης με σκοπό την επέκταση των δεδομένων. Τέτοιες τεχνικές μπορεί να είναι η χρήση μοντέλων ή διαδικασίες που έχουν σαν βάση τις αλυσίδες Markov. Τεχνικές όπως η r-largest, η MIS και η POT με GPD έχουν το πλεονέκτημα πως για δεδομένη χρονοσειρά επιλέγονται περισσότερα σημεία με αποτέλεσμα μικρότερο σφάλμα σε σχέση με την Annual Maxima. Παρόλα αυτά, σε αυτές τις μεθόδους είναι αναγκαίο να παρθούν κάποιες αποφάσεις πριν την εφαρμογή, οι οποίες επηρεάζουν σημαντικά τα τελικά αποτελέσματα. Για ακραίες καταστάσεις, παράμετροι που αφορούν τον άνεμο και τα κύματα, όπως η διεύθυνση, δείχνουν μικρή μεταβλητότητα (Duperray et al.). 35

35 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: ΕΠΙΛΟΓΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΓΙΑ ΤΗ ΜΕΛΕΤΗ Στο παρών κεφάλαιο παρουσιάζονται οι πηγές δεδομένων και γίνεται σύγκριση μεταξύ των δεδομένων που προέρχονται από τη χρήση των ατμοσφαιρικών μοντέλων και τις αντίστοιχες μετρήσεις από τους σταθμούς. Στη συνέχεια γίνεται αξιολόγηση των αποτελεσμάτων και επιχειρείται η σύνδεσή τους με τις περιόδους επαναφοράς. ΠΗΓΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ Τα δεδομένα που χρησιμοποιήθηκαν για την παρούσα μελέτη προέρχονται αφ ενός από μετρήσεις και αφ ετέρου από τιμές που προήλθαν από προσομοιώσεις με χρήση αριθμητικών μοντέλων πρόγνωσης ατμοσφαιρικών παραμέτρων. Πιο συγκεκριμένα, οι μετρήσεις που αξιοποιήθηκαν προκειμένου να εφαρμοστούν οι μέθοδοι και να γίνει η εκτίμηση των περιόδων επαναφοράς των ακραίων τιμών της ταχύτητας του ανέμου προέρχονται από επίγειους σταθμούς και είναι πενταετούς διάρκειας ( ). Αναφορικά, για την περιοχή του Ιονίου χρησιμοποιήθηκαν οι σταθμοί της Κέρκυρας και της Κεφαλλονιάς (Αργοστόλι), για την ευρύτερη περιοχή του Αιγαίου οι σταθμοί της Σκύρου, της Χίου, της Μυκόνου, της Μήλου και της Σαντορίνης ενώ για την Κρήτη οι σταθμοί της Σούδας και της Σητείας. Η επιλογή αυτή έγινε με σκοπό την κάλυψη ενός μεγάλου τμήματος της θαλάσσιας περιοχής της Ελλάδας με διαφορετικά κλιματολογικά χαρακτηριστικά. Οι μετρήσεις αυτές είναι ανά τρεις ώρες και όπως είναι λογικό παρουσιάζουν κάποιες ελλείψεις που οφείλονται στον ανθρώπινο παράγοντα ή σε αστοχία των οργάνων. Παράλληλα, η ταχύτητα του ανέμου μετριέται σε κόμβους ενώ έχει γίνει η απαλοιφή του δεκαδικού μέρους. Το τελευταίο θα οδηγήσει σε κάποια προβλήματα τα οποία αναφέρονται σε διαφορετικά κομμάτια της διαδικασίας που ακολουθήθηκε. Στην Εικόνα 7 διακρίνονται οι τοποθεσίες στις οποίες βρίσκονται οι σταθμοί και στον Πίνακα 1 τα ύψη και οι κωδικοί τους. Πίνακας 1: Ύψη και κωδικοί των σταθμών που χρησιμοποιήθηκαν για τη μελέτη Όνομα Σταθμού Ύψος Σταθμού (m) Κωδικός Σταθμού Εικόνα 7: Χάρτης της Ελλάδας με τους σταθμούς που χρησιμοποιήθηκαν για τη μελέτη ΑΡΓΟΣΤΟΛΙ ΧΙΟΣ ΚΕΡΚΥΡΑ ΜΗΛΟΣ ΜΥΚΟΝΟΣ ΣΗΤΕΙΑ ΣΚΥΡΟΣ ΣΟΥΔΑ ΣΑΝΤΟΡΙΝΗ

36 Η δεύτερη πηγή δεδομένων προς επεξεργασία προέρχεται από τη βάση δεδομένων της ομάδας Ατμοσφαιρικών Μοντέλων και Πρόγνωσης Καιρού του Πανεπιστημίου Αθηνών, η οποία αναπτύχθηκε στα πλαίσια του προγράμματος Marina Renewable Integrated Application Platform (MARINA - Πιο συγκεκριμένα, έγινε μια δεκαετής ( ) προσομοίωση των παραμέτρων που αφορούν τον άνεμο και το κύμα στην ευρύτερη περιοχή της Μεσογείου και του Βορείου Ατλαντικού. Η ατμοσφαιρική παράμετρος που χρησιμοποιήθηκε για τη μελέτη είναι η ταχύτητα του ανέμου, τα δεδομένα της οποίας προέρχονται από το ατμοσφαιρικό μοντέλο SKIRON (Kallos, 1998). Η υψηλή ανάλυση του μοντέλου βοήθησε στην επιλογή συντεταγμένων κοντά στους σταθμούς. Όσον αφορά τα δεδομένα, χωρίστηκαν σε τρεις ομάδες. Η πρώτη περιλαμβάνει δεδομένα ανέμου ανά μία ώρα για τη δεκαετία , η δεύτερη περιορίζεται στην πενταετία που είναι και οι μετρήσεις (ανά μία ώρα, ) και η τρίτη περιορίζεται ακόμα περισσότερο καθώς γίνεται μία χρονική αντιστοίχηση των τιμών του SKIRON-MARINA με αυτές των μετρήσεων (3ωρες μετρήσεις και αρκετές μη-διαθέσιμες τιμές). Εικόνα 8: Οι περιοχές έρευνας για το πρόγραμμα Marina ΤΟ ΑΤΜΟΣΦΑΙΡΙΚΟ ΜΟΝΤΕΛΟ Το μοντέλο SKIRON (Kallos 1998, Papadopoulos et al. 2001) αναπτύχθηκε στο Πανεπιστήμιο της Αθήνας από την ομάδα Ατμοσφαιρικών Μοντέλων και Πρόγνωσης Καιρού έχοντας σαν βάση το μοντέλο Eta/NCEP (Janjic, 1994). Ο συνδυασμός των εξισώσεων που χρησιμοποιούνται οδηγεί σε επιτυχή προσομοίωση φαινομένων μέσης κλίμακας σε περιοχές με διαφορετικά κλιματικά και τοπογραφικά χαρακτηριστικά. Το μοντέλο χρησιμοποιεί αρχικά μετεωρολογικά δεδομένα για επιχειρησιακούς σκοπούς από το NCEP/GFS (National Center for Environmental Prediction/Global Forecast System model) και SST (επιφανειακή θαλάσσια θερμοκρασία) με ανάλυση 0.5 ο. Η βλάστηση και η τοπογραφία εφαρμόζεται με ανάλυση 30 και σύσταση του εδάφους σε 2. Περιλαμβάνεται μία περιοχή που καλύπτει την Ευρώπη, την Βόρεια Αφρική, τη Μέση Ανατολή και όλη την περιοχή της Μεσογείου με οριζόντια χωρική ανάλυση 0.05 ο x0.05 ο (Σχήμα). Στην κάθετη συνιστώσα, χρησιμοποιούνται 45 κατακόρυφα επίπεδα ΕΤΑ. Η ανάλυση που χρησιμοποιείται είναι ίδια τόσο στην εφαρμογή στο πρόγραμμα Marina όσο και στο επιχειρησιακό σύστημα πρόγνωσης. Εικόνα 9: Πεδίο λειτουργίας του ατμοσφαιρικού μοντέλου SKIRON 37

37 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΜΕΛΕΤΗ - ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ Αν και σκοπός της εργασίας δεν είναι η αξιολόγηση των δεδομένων που προέρχονται από το πρόγραμμα Marina, πραγματοποιήθηκε σύγκριση των τιμών του ανέμου που προέρχονται από τους σταθμούς με αυτές που προέρχονται από τη βάση δεδομένων. Για να είναι συγκρίσιμες οι χρονοσειρές, έγινε συγχρονισμός των δεδομένων έχοντας σαν βάση τις μετρήσεις των σταθμών. Στον παρακάτω πίνακα παρουσιάζονται συνολικά τα αποτελέσματα για όλους τους σταθμούς: Πίνακας 2: Στατιστικοί δείκτες για τη σύγκριση των τιμών του μοντέλου με τις παρατηρήσεις. Αργοστόλι Κέρκυρα Μήλος Μύκονος Σαντορίνη Σητεία Σκύρος Σούδα Χίος R R 2 α τριμήνου R 2 β τριμήνου R 2 γ τριμήνου R 2 δ τριμήνου Bias Normalized bias RMSE Παρατηρείται πως οι στατιστικοί δείκτες δίνουν σχετικά ικανοποιητικά αποτελέσματα το οποίο σημαίνει πως αποτυπώνεται αρκετά καλά η πραγματικότητα. Εξαίρεση αποτελεί το RMSE. Αυτό οφείλεται κυρίως στο γεγονός ότι τα μοντέλα, εν γένει, αμβλύνουν τις τιμές λόγω της χρονικής και χωρικής τους ανάλυσης σε συνάρτηση με το «averaging» το οποίο είναι απαραίτητο για την αριθμητική επίλυση αλλά και λόγω των παραμετροποιημένων σχέσεων που χρησιμοποιούνται για την αποτύπωση του μη-επιλύσιμου τμήματος των εξισώσεων. Παράλληλα, οφείλεται και στο ότι οι μετρήσεις αποτελούνται από διακριτές τιμές (εξαιτίας του τρόπου μέτρησης που αναφέρεται στην προηγούμενη παράγραφο) το οποίο επηρεάζει τη στατιστική σύγκριση των δειγμάτων. Όλα τα παραπάνω οδηγούν σε αύξηση της μεταβλητότητας και αύξηση των τιμών του RMSE. Παρόλα αυτά, για τη μελέτη των περιόδων επαναφοράς, η παραπάνω στατιστική σύγκριση δεν δίνει κάποια ιδιαίτερη πληροφορία και για αυτό δεν γίνεται μεγαλύτερη αναφορά. Ο λόγος είναι ότι για την εκτίμηση, οι τιμές που χρειάζονται προς επεξεργασία είναι οι μεγάλες ταχύτητες του ανέμου και όχι ολόκληρη η χρονοσειρά. Αυτό που έχει τη μεγαλύτερη σημασία είναι η ομοιότητα των κατανομών της ταχύτητας του ανέμου για τις πηγές δεδομένων αλλά και το κατά πόσο καλή είναι η χρονική και ποσοτική απεικόνιση των κορυφών των χρονοσειρών από τα δύο μοντέλα. Το τελευταίο έχει ιδιαίτερη αξία καθώς οι τιμές αυτές είναι οι «ακραίες» τιμές της ταχύτητας του ανέμου και κάποιες από αυτές θα χρησιμοποιηθούν στην εκτίμηση των T-year events. Ακολουθούν, ενδεικτικά, κάποια από τα γραφήματα που έγιναν για το σταθμό της Σητείας: 38

38 Εικόνα 10: Ιστογράμματα παρατηρήσεων και τιμών του SKIRON-MARINA για το σταθμό της Σητείας. Εικόνα 11: Συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας (PDF) της κατανομής Weibull η οποία έχει εφαρμοσθεί στις δύο ομάδες των δεδομένων για τη Σητεία. Παρατηρείται ότι τα ιστογράμματα των παρατηρήσεων ανάμεσα στις μετρήσεις και στις τιμές του μοντέλου όπως επίσης και οι συναρτήσεις πυκνότητας πιθανότητας (PDF) της κατανομής που τις προσεγγίζει δείχνουν μία αρκετά καλή απόκριση (επιλέχθηκε η Weibull καθώς είναι 39

39 γνωστό από τη βιβλιογραφία πως η ταχύτητα του ανέμου στις περισσότερες περιπτώσεις προσεγγίζεται καλύτερα από αυτήν (Hennessey, 1977) ). Επίσης παρατηρείται πως οι τιμές που προέρχονται από το μοντέλο έχουν μεγαλύτερη συχνότητα εμφάνισης από τις παρατηρήσεις στις μικρές (<6m/s) και στις μεγαλύτερες ταχύτητες (>17m/s). Παρόλα αυτά, δεν μπορεί να εξαχθεί ασφαλές συμπέρασμα καθώς και να γίνει απολύτως αντιληπτή η συμπεριφορά των μοντέλων στις ακραίες τιμές της ταχύτητας του ανέμου. Για το λόγο αυτό έγινε μία άμεση σύγκριση των δεδομένων από το μοντέλο και των χρονοσειρών για κάθε σταθμό. Για τη Σητεία φαίνεται παρακάτω τμήμα της χρονοσειράς με επιλεγμένες ενδεικτικά κάποιες κορυφές. Εικόνα 12: Χρονοσειρές μετρήσεων - δεδομένων SKIRON-MARINA δεδομένων SKIRON-Operational Αυτό που παρατηρείται από την σύγκριση, είναι πως τα μοντέλα, όσον αφορά τις κορυφές των χρονοσειρών, έχουν καλή απόκριση. Δεν συμβαίνει πάντα το ίδιο όμως όσον αφορά την ένταση των τιμών αυτών. Υπάρχουν περιπτώσεις όπου παρατηρείται υπερεκτίμηση και αντιστρόφως, ανάλογα με τα τοπικά χαρακτηριστικά του κάθε σταθμού. Αυτό γίνεται ευκολότερα αντιληπτό από το παρακάτω διάγραμμα διασποράς. 40

40 Εικόνα 13: Διάγραμμα διασποράς παρατηρήσεων- τιμών από SKIRON-MARINA. Είναι εμφανές πως υπάρχει μία διαφοροποίηση στις τιμές της ταχύτητας του ανέμου που προέρχονται από το μοντέλο σε σχέση με αυτές των παρατηρήσεων. Αυτό οφείλεται στις παρακάτω αιτίες: Στο γεγονός ότι οι μετρήσεις προέρχονται από σταθμούς. Αυτό σημαίνει πως οι μετρήσεις θα επηρεάζονται από τοπικά χαρακτηριστικά τα οποία δεν αντιλαμβάνεται το μοντέλο λόγω κλίμακας. Στον τρόπο μέτρησης της ταχύτητας του ανέμου από του σταθμούς (κόμβοι) και στη στρογγυλοποίηση των τιμών στο ακέραιο κομμάτι. Σε χαρακτηριστικά του οργάνου όπως το κατώφλι μέτρησης όπως επίσης και σε σφάλματα που υπεισέρχονται τα ίδια τα όργανα. Σε σφάλματα που οφείλονται κατά κύριο λόγο στον ανθρώπινο παράγοντα. Είναι χαρακτηριστικό ότι κατά την αξιολόγηση των δεδομένων αφαιρέθηκαν εξεζητημένες τιμές και τιμές. Παράλληλα, παρατηρήθηκε πως σε κάποιες περιπτώσεις υπήρχαν σφάλματα σε ημερομηνίες. Στο γεγονός ότι οι μετρήσεις είναι ουσιαστικά οι μέσες τιμές δεκαλέπτου σε αντίθεση με τις τιμές που προέρχονται από το μοντέλο οι οποίες αποτελούν τη στιγμιαία ταχύτητα. Αυτό μεταξύ άλλων προσθέτει και μία άγνοια για τη συμπεριφορά του ανέμου στο χρονικό διάστημα της μέτρησης. Επομένως, 41

41 ένα ουσιαστικό ζήτημα το οποίο θα διευκόλυνε τη σύγκριση θα ήταν οι τιμές που προέρχονται από τους σταθμούς να συνοδεύονται και από κάποιο στατιστικό μέγεθος (π.χ. την τυπική απόκλιση) για το χρονικό διάστημα που διήρκησε η μέτρηση. Το τελευταίο θα έδινε σημαντικές πληροφορίες για τα δεδομένα και θα ήταν χρήσιμο για την περαιτέρω αξιολόγησή τους Στην επιλογή των συντεταγμένων για τις τιμές που χρησιμοποιούνται από τα μοντέλα. Οι συντεταγμένες είναι επιλεγμένες στην μικρότερη απόσταση από τους σταθμούς. Υπάρχουν βέβαια μικρές διαφοροποιήσεις που οφείλονται στην χωρική ανάλυση που χρησιμοποιούν τα μοντέλα. Στην εξομάλυνση της ταχύτητας του ανέμου από το μοντέλο. Θα πρέπει να αναφερθεί πως υπάρχει μία ομοιογένεια μεταξύ των σταθμών όσον αφορά αρκετά χαρακτηριστικά που προκύπτουν από την σύγκριση. Με αυτό σαν βάση, οι παρατηρήσεις που έγιναν παραπάνω για το σταθμό της Σητείας παίρνουν μία γενικότερη μορφή και χαρακτηρίζουν την πλειοψηφία των σταθμών. Δεδομένου ότι ο σταθμός που χρησιμοποιήθηκε ήταν στην περιοχή της Κρήτης, παρατίθενται ακολούθως ακόμη δύο περιπτώσεις, μία για το Αιγαίο και μία για το Ιόνιο με σκοπό να υπάρξει μία πιο ολοκληρωμένη εικόνα. Για το σταθμό της Μήλου προέκυψαν τα αποτελέσματα: Εικόνα 14: Ιστογράμματα παρατηρήσεων και τιμών του SKIRON-MARINA για το σταθμό της Μήλου. 42

42 Εικόνα 15: Διάγραμμα διασποράς παρατηρήσεων- τιμών από SKIRON-MARINA για το σατθμό της Μήλου. Εικόνα 16: Χρονοσειρές μετρήσεων - δεδομένων SKIRON-MARINA δεδομένων SKIRON-Operational για το σταθμό της Μήλου. 43

43 Εικόνα 17: PDF της κατανομής Weibull η οποία έχει εφαρμοσθεί στις ομάδες των δεδομένων που αντιστοιχούν στη Μήλο. Όπως αναφέρθηκε και νωρίτερα, οι παρατηρήσεις που έγιναν για την σύγκριση των τιμών του σταθμού της Σητείας με αυτών του μοντέλου μπορούν να γενικευτούν. Και στην περίπτωση της Μήλου, επομένως, υπάρχουν διαφοροποιήσεις στην τιμή της ταχύτητας του ανέμου. Παράλληλα η χρονική απόκριση των μεγίστων των τιμών είναι και σε αυτή την περίπτωση αρκετά καλή. Για την περιοχή του Αργοστολίου είχαμε τα αποτελέσματα που ακολουθούν: Εικόνα 18: Ιστογράμματα παρατηρήσεων και τιμών του SKIRON-MARINA για το σταθμό του Αργοστολίου (αριστερά). Διάγραμμα διασποράς παρατηρήσεων- τιμών από SKIRON-MARINA για τον ίδιο σταθμό (δεξιά). 44

44 Εικόνα 19: Χρονοσειρές μετρήσεων - δεδομένων SKIRON-MARINA δεδομένων SKIRON-Operational για το σταθμό του Αργοστολίου. Σε συνέχεια με τα προηγούμενα, και στο σταθμό του Αργοστολίου παρατηρούνται διαφοροποιήσεις της ταχύτητας του ανέμου τόσο στο κύριο κομμάτι της κατανομής όσο και στις ακραίες κυρίως τιμές. Δηλαδή, αν και σε μεγάλο βαθμό, το μοντέλο ανταποκρίνεται καλά, σε κάποιες περιπτώσεις εμφανίζεται μία υπερεκτίμηση σε σχέση με τις μετρήσεις. Εικόνα 20: PDF της κατανομής Weibull η οποία έχει εφαρμοσθεί και στα δεδομένα που αντιστοιχούν στο Αργοστόλι. Αυτό που θα πρέπει να αναφερθεί σε αυτό το σημείο είναι πως οι μεγαλύτερες ενδεχομένως διαφοροποιήσεις εμφανίζονται στο σταθμό της Χίου. Σε αυτή την περίπτωση η κατανομή της ταχύτητας του ανέμου από το μοντέλο είναι μετατοπισμένη προς μεγαλύτερες τιμές σε σχέση με τις παρατηρήσεις, πράγμα που γίνεται αντιληπτό και από τα ακόλουθα διαγράμματα. Εικόνα 21: Ιστογράμματα παρατηρήσεων και τιμών του SKIRON-MARINA για το σταθμό της Χίου. (αριστερά). PDF της κατανομής Weibull η οποία έχει εφαρμοσθεί στα δεδομένα που αντιστοιχούν στον ίδιο σταθμό (μέσον). Διάγραμμα διασποράς παρατηρήσεων- τιμών από SKIRON-MARINA για τον ίδιο σταθμό (δεξιά). 45

45 Εν κατακλείδι, ενισχύοντας τις παρατηρήσεις που έγιναν και σε προηγούμενη παράγραφο, το κοινό σημείο σε όλες τις περιπτώσεις είναι πως το μοντέλο ανταποκρίνεται αρκετά καλά χρονικά. Παρόλα αυτά, για κάποιους από τους σταθμούς, οι τιμές που προέρχονται από το μοντέλο τείνουν να είναι μεγαλύτερες. Αυτό με τη σειρά του σημαίνει πως σε συγκεκριμένες περιπτώσεις θα υφίσταται μία υπερεκτίμηση στις τιμές που αποτελούν τα μέγιστα του δείγματος. Έχοντας σαν κριτήριο ότι αυτές αποτελούν τα δεδομένα για την επεξεργασία και την εκτίμηση των T-year events, είναι αναμενόμενο πως από τα μοντέλα θα προκύπτει μεγαλύτερης έντασης άνεμος σε σχέση με τους σταθμούς. Το τελευταίο δεν έρχεται σε αντίθεση με το σκοπό της μελέτης αυτής. Αντιθέτως, σε τέτοιου είδους αναλύσεις που βρίσκουν εφαρμογή σε κατασκευαστικές μελέτες, η υποεκτίμηση των περιόδων επαναφοράς θα προβλημάτιζε περισσότερο. Σε κάθε περίπτωση, για να αποφευχθούν οι διαφοροποιήσεις που παρατηρήθηκαν θα ήταν χρήσιμο να γίνει μία τοπική προσαρμογή των τιμών του μοντέλου κάνοντας χρήση διάφορων τεχνικών όπως η μέθοδος Kalman (Galanis et al., 2006). Παράλληλα τίθενται θέματα που αφορούν την εγκυρότητα των μετρήσεων από τους σταθμούς και τα σφάλματα που πιθανώς υπάρχουν. Αυτό όμως δεν αποτελεί αντικείμενο της παρούσας εργασίας καθώς σε αυτή τη μελέτη σκοπός είναι να γίνει μία ανάλυση των μεθόδων εκτίμησης των περιόδων επαναφοράς και όχι διόρθωσης των δεδομένων. 46

46 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΤΩΝ ΠΕΡΙΟΔΩΝ ΕΠΑΝΑΦΟΡΑΣ Η διαδικασία που ακολουθήθηκε για την εκτίμηση των περιόδων επαναφοράς χωρίστηκε στις δύο βασικές μεθοδολογίες Annual Maxima και Peaks Over Threshold. Σε κάθε μία από αυτές έγινε η εφαρμογή του δείγματος της ταχύτητας του ανέμου και του τετραγώνου της. Το δείγμα, όπως προαναφέρθηκε, αντιστοιχεί σε 9 διαφορετικά σημεία (νησιά) και αποτελείται από 4 διαφορετικά σύνολα δεδομένων για κάθε σημείο. Η εκτίμηση των παραμέτρων των κατανομών είναι μείζουσας σημασίας για το αποτέλεσμα και κατά συνέπεια η μέθοδος εκτίμησης θα επηρεάζει τον υπολογισμό των περιόδων επαναφοράς. Για το λόγο αυτό θα γίνει ένας πρωταρχικός διαχωρισμός που βασίζεται στη μέθοδο που χρησιμοποιήθηκε για την εκτίμηση των συντελεστών. Όλα τα παραπάνω παρουσιάζονται στο γράφημα που ακολουθεί. Εικόνα 22: Δενδροδιάγραμμα της της διαδικασίας που ακολουθήθηκε για τη μελέτη των περιόδων επαναφοράς (για λόγους οικονομίας χώρου φαίνεται μόνο ο ένας κλάδος). 47

47 ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΤΩΝ ΠΕΡΙΟΔΩΝ ΕΠΑΝΑΦΟΡΑΣ ΜΕ ΒΑΣΗ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΩΝ ΡΟΠΩΝ (METHOD OF MOMENTS) ΓΙΑ EΥΡΕΣΗ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΩΝ ΤΩΝ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ Η εκτίμηση των περιόδων επαναφοράς μπορεί να γίνει με χρήση διαφορετικών εργαλείων για την εύρεση των συντελεστών των κατανομών που χρησιμοποιούνται. Η μέθοδος των ροπών είναι αξιόπιστη αλλά χρειάζεται να γίνει μία μελέτη για την καταλληλότητά της στη συγκεκριμένη εφαρμογή και αυτός είναι ο σκοπός του υποκεφαλαίου. Μέθοδος «Annual Maxima» Για την εφαρμογή της μεθόδου ακολουθήθηκε η μεθοδολογία που περιγράφεται στο δεύτερο κεφάλαιο της εργασίας για την ταχύτητα του ανέμου και το τετράγωνό της. Για την εφαρμογή χρησιμοποιήθηκε το πρόγραμμα easy fit (mathwave data analysis and simulation) όπως επίσης και το περιβάλλον εργασίας Matlab (Mathworks). Παρόλο που η εφαρμογή έγινε για όλα τα σημεία-σταθμούς, θα γίνει αναφορά μόνο για το σταθμό της Μήλου καθώς τα αποτελέσματα παρουσιάζουν ομοιογένεια και τα συμπεράσματα μπορούν να γενικευτούν. Μετά από την επεξεργασία των δεδομένων του SKIRON MARINA για τη δεκαετία προκύπτουν τα ακόλουθα διαγράμματα PDF και P-P τα οποία δίνουν μία πρώτη εικόνα για την εφαρμογή της κατανομής Gumbel στο δείγμα. Εικόνα 23: Διάγραμμα PDF της κατανομής Gumbel και ιστόγραμμα των Ετήσιων Μεγίστων (αριστερά) και P-P plot (δεξιά) για την περιοχή της Μήλου[Δεδομένα από το SKIRON-MARINA ( )]. Παρατηρείται και από το ιστόγραμμα πως ο αριθμός των δεδομένων είναι περιορισμένος για να υπάρξει μία καλή απεικόνιση της κατανομής. Παράλληλα, από το p-p plot παρατηρείται πως δεν είναι καλή η εφαρμογή της θεωρητικής καμπύλης. Στη συνέχεια μέσα από τον υπολογισμό της μέγιστης ταχύτητας του ανέμου και του αντίστοιχου διαστήματος εμπιστοσύνης για περιόδους επαναφοράς από 1 έως 50 έτη, σχεδιάστηκε το αντίστοιχο διάγραμμα (u return period), το οποίο παρουσιάζεται παρακάτω: 48

48 Εικόνα 24: Διάγραμμα των περιόδων επαναφοράς με τις αντίστοιχες τιμές της ταχύτητας του ανέμου με τη μέθοδο ΑΜ για την περιοχή της Μήλου [Δεδομένα από το SKIRON-MARINA ( )]. Η ίδια διαδικασία ακολουθήθηκε και για τις υπόλοιπες ομάδες δεδομένων που αφορούν το συγκεκριμένο σημείο. Τέλος, έγινε η εφαρμογή της μεθόδου για το τετράγωνο της ταχύτητας του ανέμου στο ίδιο σετ δεδομένων και τα αντίστοιχα γραφήματα ακολουθούν. Εικόνα 25: Διάγραμμα PDF της κατανομής Gumbel και ιστόγραμμα των Ετήσιων Μεγίστων (αριστερά) και P-P plot (δεξιά) για την περιοχή του Αργοστολίου [Δεδομένα από το SKIRON-MARINA ( )-u 2 ]. Οι παρατηρήσεις και σε αυτήν την περίπτωση όσο αφορά την εφαρμογή της Gumbel είναι ανάλογες. Παρατηρείται δηλαδή ότι το μέγεθος των δεδομένων είναι μικρό και η προσέγγιση δεν είναι ιδιαίτερα ικανοποιητική. Παρακάτω παρατίθεται και το διάγραμμα της μέγιστης ταχύτητας ανέμου σε συνάρτηση με τις περιόδους επαναφοράς. 49

49 Εικόνα 26: Διάγραμμα των περιόδων επαναφοράς με τις αντίστοιχες τιμές της ταχύτητας του ανέμου με τη μέθοδο ΑΜ για την περιοχή του Μήλου [Δεδομένα από το SKIRON-MARINA ( )-u 2 ]. Μέθοδος «Peaks Over Threshold» Ακολούθως, έγινε η εφαρμογή της μεθόδου Peaks Over Threshold για το ίδιο σημείο και σε αναλογία με τα προηγούμενα, τα αποτελέσματα είναι τα εξής. Για την εφαρμογή στην ταχύτητα του ανέμου: Εικόνα 27: Διάγραμμα PDF της κατανομής Exponential και ιστόγραμμα των Υπερβάσεων (αριστερά) και P-P plot (δεξιά) για την περιοχή του Αργοστολίου [Δεδομένα από το SKIRON-MARINA ( )]. Παρατηρείται από το ιστόγραμμα πως το δείγμα σε αυτή την περίπτωση έχει μεγαλύτερη ομοιότητα στην κατανομή στην οποία έγινε η εφαρμογή. Αντίστοιχα, από το P-P plot φαίνεται πως έχει γίνει μία αρκετά καλή προσέγγιση. Αυτό, όπως έχει σημειωθεί και στη θεωρία, οφείλεται στην ύπαρξη αρκετών τιμών έτσι ώστε να προκύπτει μια εμφανής σύγκλιση στην κατανομή από την οποία χαρακτηρίζεται το δείγμα. Στη συνέχεια ακολουθεί το διάγραμμα της ταχύτητας του ανέμου σε σχέση με τις περιόδους επαναφοράς. 50

50 Εικόνα 28: Διάγραμμα των περιόδων επαναφοράς με τις αντίστοιχες τιμές της ταχύτητας του ανέμου με τη μέθοδο ΡΟΤ για την περιοχή της Μήλου [Δεδομένα από το SKIRON-MARINA ( )]. Από την εφαρμογή στο τετράγωνο της ταχύτητας του ανέμου προκύπτουν: Εικόνα 29: Διάγραμμα PDF της κατανομής Exponential και ιστόγραμμα των Υπερβάσεων (αριστερά) και P-P plot (δεξιά) για την περιοχή της Μήλου [Δεδομένα από το SKIRON-MARINA ( )-u 2 ]. 51

51 Εικόνα 30: Διάγραμμα των περιόδων επαναφοράς με τις αντίστοιχες τιμές της ταχύτητας του ανέμου με τη μέθοδο ΡΟΤ για την περιοχή της Μήλου [Δεδομένα από το SKIRON-MARINA ( )-u 2 ]. Όσον αφορά τις τιμές της ταχύτητας του ανέμου για περίοδο 50 ετών, το οποίο είναι και το ζητούμενο στην παρούσα εργασία, τα δεδομένα είναι συγκεντρωμένα στον ακόλουθο πίνακα. Πίνακας 3: Συγκεντρωτικά αποτελέσματα τιμών ανέμου για περίοδο επαναφοράς 50 ετών με χρήση όλων των μεθόδων εκτίμησης για την περιοχή της Μήλου. 50 year WS POT (u) POT(u 2 ) AM(u) AM(u 2 ) 95% Confidence Interval 50 year WS 95% Confidence Interval 50 year WS 95% Confidence Interval 50 year WS 95% Confidence Interval Marina( full values) Marina( full values) Marina ( missing values) Station ( missing values) *Η μέθοδος Annual Maxima εφαρμόστηκε και στις χρονοσειρές διάρκειας 5 ετών (σκούρο γκρι χρώμα στον πίνακα) αν και κάτι τέτοιο δεν είναι δόκιμο σύμφωνα με τη θεωρία. Για να γίνει μία εκτίμηση των αποτελεσμάτων θα πρέπει να ληφθεί υπόψη η τιμή της ταχύτητας και το διάστημα εμπιστοσύνης στα 50 έτη σε συνδυασμό με τη συμπεριφορά της καμπύλης που προκύπτει από τα διαγράμματα. 52

52 Πιο συγκεκριμένα, για την εφαρμογή στο τετράγωνο της ταχύτητας του ανέμου προέκυψαν δύο παρατηρήσεις: Η πρώτη παρατήρηση είναι η καλή συμπεριφορά της ταχύτητας του ανέμου συναρτήσει των περιόδων επαναφοράς έπειτα από την εφαρμογή των μεθόδων στο u 2 και η ομοιότητα της ταχύτητας για 50 έτη με την εφαρμογή στο u. Παρατηρείται όμως και κάτι σημαντικό: το διάστημα εμπιστοσύνης είναι πολύ μεγάλο και φτάνει για τα 50 έτη στο 74 με 88 %. Η αίτια βρίσκεται στον τρόπο εύρεσης του διαστήματος εμπιστοσύνης. Για την ακρίβεια, μέσα από τον τετραγωνισμό των αρχικών τιμών και τον αποτετραγωνισμό στο τελευταίο κομμάτι της διαδικασίας, εισάγεται στο σύστημα θόρυβος που δεν είναι εύκολα προσδιορίσιμος. Αυτό οδηγεί στο συμπέρασμα πως για τα σημεία στα οποία έγινε η μελέτη, η εφαρμογή των μεθόδων στο τετράγωνο της ταχύτητας για την εύρεση των περιόδων επαναφοράς στις ακραίες τιμές της ταχύτητας του ανέμου, δεν είναι η κατάλληλη χρησιμοποιώντας τη Μέθοδο των Ροπών για την εκτίμηση των παραμέτρων. Για να γίνει μία εκτίμηση όσον αφορά τα αποτελέσματα για τις δύο περιπτώσεις για τις οποίες δεν έχει γίνει ακόμα αναφορά, θα πρέπει να γίνει και μία παράλληλη σύγκριση με τις ταχύτητες του ανέμου που υπήρξαν στο διάστημα των ετών που χρησιμοποιήθηκαν ως δεδομένα εισόδου (input). Ως συνέχεια των προηγουμένων, η σύγκριση θα γίνει για την περίοδο με τις τιμές που προέρχονται από το SKIRON-MARINA. Η γενικότερη συμπεριφορά είναι όμοια για όλες τις πηγές δεδομένων. Ακολουθεί ο πίνακας με τα μέγιστα της ταχύτητας του ανέμου ανά έτος για τη δεκαετία στο σταθμό της Μήλου. Πίνακας 4: Μέγιστη τιμή ανέμου ανά έτος, για το σταθμό της Μήλου (SKIRON-MARINA) Year Maximum Wind Speed (m/s) Όσον αφορά τη σύγκριση των δύο μεθόδων παρατηρείται καλή συμπεριφορά (εκθετικότητα) στις ακραίες τιμές του ανέμου σε σχέση με τις περιόδους επαναφοράς. Επίσης η τιμή που αντιστοιχεί στο 50-year event είναι 26.25±4.75 m/s και 27.22±2.22 m/s για την ΑΜ και την ΡΟΤ αντίστοιχα. Όπως φαίνεται και από τον Πίνακα 4 οι ακραίες τιμές είναι μεγαλύτερες από τις τιμές που χρησιμοποιήθηκαν για τη μελέτη. Για το λόγο αυτό μπορεί να θεωρηθεί αξιόπιστη. Ακόμα, παρατηρείται ότι το διάστημα εμπιστοσύνης για την ΑΜ είναι εμφανώς αυξημένο σε σχέση με την ΡΟΤ και είναι της τάξεως του 18% σε σχέση με την τιμή του ανέμου. 53

53 Κάτι τέτοιο είναι λογικό καθώς τα δεδομένα που χρησιμοποιήθηκαν για την εφαρμογή της ΑΜ ανέρχονται σε μόλις 10 τιμές, πολύ λιγότερες από τα αντίστοιχα για την ΡΟΤ. Συνοψίζοντας, το συμπέρασμα είναι πως η εφαρμογή και των δύο μεθόδων (ΡΟΤ-ΑΜ) στο τετράγωνο των τιμών του ανέμου δεν μπορεί να θεωρηθεί αποδοτική και αυτό οφείλεται κυρίως στο γεγονός ότι η συγκεκριμένη περιοχή με τα αντίστοιχα χαρακτηριστικά δεν την ευνοεί. Αντίστοιχα, για την εφαρμογή στην ταχύτητα του ανέμου, τα αποτελέσματα τα οποία αναλύθηκαν παραπάνω θεωρούνται ως λογικά και αξιόπιστα, πράγμα που καταδεικνύει ότι η μέθοδος είναι κατάλληλη και για μικρά δείγματα (βλ. ΑΜ). Οι υποεκτίμηση που εμφανίζεται σε αρκετές περιπτώσεις σε σχέση μέθοδο Maximum Likelihood (βλ. επόμενο υποκεφάλαιο). Επίσης έχει υποστηριχθεί πως τεχνικές Μέγιστης Πιθανοφάνειας μπορούν να προσαρμοστούν ώστε να περιλαμβάνουν επιδράσεις συμμεταβλητών, ή πρόσθετες επιρροές (Katz et al. 2002; Smith 1989; Zhang et al. 2004). Για τους δύο αυτούς λόγους αν και τα αποτελέσματα ήταν αξιόλογα δεν χρησιμοποιείται η συγκεκριμένη μέθοδος για την κατασκευή των χαρτών (βλ. Κεφ.5) και δεν γίνεται περαιτέρω αναφορά. 54

54 ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΤΩΝ ΠΕΡΙΟΔΩΝ ΕΠΑΝΑΦΟΡΑΣ ΜΕ ΒΑΣΗ ΤΗΝ ΤΕΧΝΙΚΗ ΤΗΣ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΦΑΝΕΙΑΣ (MAXIMUM LIKELIHOOD) ΓΙΑ EΥΡΕΣΗ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΩΝ ΤΩΝ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ Η μέθοδος της Μέγιστης Πιθανοφάνειας, σύμφωνα με τη θεωρία (βλ. Κεφ.2) θεωρείται καταλληλότερη για το πλήθος των δεδομένων τα οποία θα αξιοποιηθούν και τις κατανομές στις οποίες θα γίνει η εφαρμογή. Παράλληλα, μπορεί να χρησιμοποιηθεί και στις δύο μεθόδους εύρεσης των περιόδων επαναφοράς με μεγάλη αξιοπιστία. Για την εφαρμογή της μεθόδου ακολουθήθηκαν τα ίδια βήματα με πριν αλλά στη συγκεκριμένη περίπτωση η διαδικασία αυτοματοποιήθηκε μέσω ενός αλγορίθμου που κατασκευάστηκε σε περιβάλλον εργασίας Matlab (Mathworks). Η παρουσίαση των αποτελεσμάτων σε αυτό το μέρος θα ξεκινήσει αναφέροντας σε πρώτη φάση τις εφαρμογές που απορρίπτονται και τους λόγους που οδήγησαν σε αυτό και στη συνέχεια τις αποδεκτές, ενώ θα γίνει και μία πιο λεπτομερής ανάλυση των τελευταίων. Με βάση αυτήν τη λογική, η πρώτη αναφορά γίνεται για την εφαρμογή στο τετράγωνο των τιμών της ταχύτητας του ανέμου. Εφαρμογή στο τετράγωνο της ταχύτητας του ανέμου Μέθοδος «Annual Maxima» Ακολουθώντας το σκεπτικό που εφαρμόστηκε στη χρήση της μεθόδου των ροπών για την εκτίμηση των παραμέτρων, θα γίνει αναφορά στο σταθμό της Μήλου και στα δεδομένα που προέρχονται από το SKIRON-MARINA για τη 10ετία καθώς οι παρατηρήσεις μπορούν να γενικευτούν. Ακολουθούν τα διαγράμματα PDF και P-P που δημιουργήθηκαν από την εφαρμογή όπως επίσης και το διάγραμμα των τιμών του ανέμου συναρτήσει των περιόδων επαναφοράς. Εικόνα 31: Διάγραμμα PDF της κατανομής Gumbel και ιστόγραμμα των Ετήσιων Μέγιστων (αριστερά) και P-P plot (δεξιά) για την περιοχή της Μήλου [Δεδομένα από το SKIRON-MARINA ( )-u 2 ]. 55

55 Εικόνα 32: Διάγραμμα των περιόδων επαναφοράς με τις αντίστοιχες τιμές της ταχύτητας του ανέμου με τη μέθοδο ΑΜ για την περιοχή της Μήλου [Δεδομένα από το SKIRON-MARINA ( )-u 2 ]. Μέθοδος «Peaks Over Threshold» Έχοντας την ίδια πηγή δεδομένων με την προηγούμενη εφαρμογή παρατίθενται ακολούθως τα διαγράμματα που προκύπτουν από την ανάλυση για τη μέθοδο POT. Εικόνα 33: Διάγραμμα PDF της κατανομής Exponential και ιστόγραμμα των Υπερβάσεων (αριστερά) και P-P plot (δεξιά) για την περιοχή της Μήλου[Δεδομένα από το SKIRON-MARINA ( )-u 2 ]. 56

56 Εικόνα 34: Διάγραμμα των περιόδων επαναφοράς με τις αντίστοιχες τιμές της ταχύτητας του ανέμου με τη μέθοδο ΡΟΤ για την περιοχή της Μήλου[Δεδομένα από το SKIRON-MARINA ( )-u 2 ]. Συγκεντρωτικά, οι τιμές για την ταχύτητα ανέμου με περίοδο επαναφοράς τα 50 έτη από όλες τις πηγές δεδομένων και για τις δύο μεθόδους φαίνονται στον ακόλουθο πίνακα. Πίνακας 5: Αποτελέσματα τιμών ανέμου για περίοδο επαναφοράς 50 ετών με εφαρμογή στο τετράγωνο της ταχύτητας του ανέμου για την περιοχή της Μήλου. POT(u 2 ) AM(u 2 ) 50 year WS 95% Confidence Interval 50 year WS 95% Confidence Interval Marina( full values) Marina( full values) Marina ( missing values) Station ( missing values) *Η μέθοδος Annual Maxima εφαρμόστηκε και στις χρονοσειρές διάρκειας 5 ετών (σκούρο γκρι χρώμα στον πίνακα) αν και κάτι τέτοιο δεν είναι δόκιμο σύμφωνα με τη θεωρία. Παρατηρήσεις: Αυτό που παρατηρείται είναι καλή συμπεριφορά όσον αφορά την εκθετικότητα στο διάγραμμα Extreme wind speed-return periods. Επίσης, οι τιμές του ανέμου για 50 έτη συγκρινόμενες με τις μέγιστες τιμές της ταχύτητας του ανέμου όπως αυτές φαίνονται στον Πίνακα 5 είναι λογικές και δεν παρουσιάζουν κάποια υποεκτίμηση. Και σε αυτή την περίπτωση όμως, το διάστημα εμπιστοσύνης είναι εξαιρετικά μεγάλο, κάτι που οφείλεται στο θόρυβο που εισάγεται στο σύστημα από τον τετραγωνισμό των δεδομένων εισόδου και τον αποτετραγωνισμό των αποτελεσμάτων. Ενδεχομένως, σε αυτή την περίπτωση να είναι αναγκαία μία διαφορετική μέθοδος για την εκτίμηση του διαστήματος εμπιστοσύνης αλλά κάτι τέτοιο δεν προκύπτει από τις ήδη υπάρχουσες αναφορές. 57

57 Εφαρμογή στην ταχύτητα του ανέμου Στο τελευταίο σκέλος αυτής της μελέτης θα γίνει η εξέταση και ανάλυση των αποτελεσμάτων που προέκυψαν από την άμεση εφαρμογή της ταχύτητας του ανέμου στις δύο μεθόδους: Annual Maxima και Peaks Over Threshold. Μέθοδος «Annual Maxima» Ξεκινώντας από το σταθμό της Μήλου και με βάση τις διαφορετικές πηγές δεδομένων ακολουθούν τα παρακάτω αποτελέσματα. Θα πρέπει να αναφερθεί πως η μέθοδος εφαρμόστηκε και στις χρονοσειρές πενταετούς διάρκειας αν και από τη θεωρία κάτι τέτοιο δεν θεωρείται εφαρμόσιμο. Ο σκοπός ήταν να γίνει μία ολοκληρωμένη σύγκριση για όλες τις περιπτώσεις. Μήλος (SKIRON-MARINA) Εικόνα 35: Διάγραμμα PDF της κατανομής Gumbel και ιστόγραμμα των Ετήσιων Μέγιστων (αριστερά) και P-P plot (δεξιά) για την περιοχή της Μήλου. Εικόνα 36: Διάγραμμα των περιόδων επαναφοράς με τις αντίστοιχες τιμές της ταχύτητας του ανέμου με τη μέθοδο ΑΜ για την περιοχή της Μήλου. 58

58 Μήλος (SKIRON-MARINA) Εικόνα 37: Διάγραμμα PDF της κατανομής Gumbel και ιστόγραμμα των Ετήσιων Μέγιστων (αριστερά) και P-P plot (δεξιά) για την περιοχή της Μήλου. Εικόνα 38: Διάγραμμα των περιόδων επαναφοράς με τις αντίστοιχες τιμές της ταχύτητας του ανέμου με τη μέθοδο ΑΜ για την περιοχή της Μήλου. Μήλος (SKIRON-MARINA, ελλιπείς τιμές) Εικόνα 39: Διάγραμμα PDF της κατανομής Gumbel και ιστόγραμμα των Ετήσιων Μέγιστων (αριστερά) και P-P plot (δεξιά) για την περιοχή της Μήλου. 59

59 Εικόνα 40: Διάγραμμα των περιόδων επαναφοράς με τις αντίστοιχες τιμές της ταχύτητας του ανέμου με τη μέθοδο ΑΜ για την περιοχή της Μήλου. Σταθμός Μήλου ( ελλιπείς τιμές) Εικόνα 41: Διάγραμμα PDF της κατανομής Gumbel και ιστόγραμμα των Ετήσιων Μέγιστων (αριστερά) και P-P plot (δεξιά) για την περιοχή της Μήλου. Εικόνα 42: Διάγραμμα των περιόδων επαναφοράς με τις αντίστοιχες τιμές της ταχύτητας του ανέμου με τη μέθοδο ΑΜ για την περιοχή της Μήλου. 60

60 Μέθοδος «Peaks Over Threshold» Για τον ίδιο σταθμό (Μήλος) ακολουθούν τα αντίστοιχα διαγράμματα. Μήλος (SKIRON-MARINA) Εικόνα 43: Διάγραμμα PDF της κατανομής Exponential και ιστόγραμμα των Υπερβάσεων (αριστερά) και P-P plot (δεξιά) για την περιοχή της Μήλου. Εικόνα 44: Διάγραμμα των περιόδων επαναφοράς με τις αντίστοιχες τιμές της ταχύτητας του ανέμου με τη μέθοδο ΡΟΤ για την περιοχή της Μήλου. 61

61 Μήλος (SKIRON-MARINA) Εικόνα 45: Διάγραμμα PDF της κατανομής Exponential και ιστόγραμμα των Υπερβάσεων (αριστερά) και P-P plot (δεξιά) για την περιοχή της Μήλου. Εικόνα 46: Διάγραμμα των περιόδων επαναφοράς με τις αντίστοιχες τιμές της ταχύτητας του ανέμου με τη μέθοδο ΡΟΤ για την περιοχή της Μήλου. Μήλος (SKIRON-MARINA, ελλιπείς τιμές) Εικόνα 47: Διάγραμμα PDF της κατανομής Exponential και ιστόγραμμα των Υπερβάσεων (αριστερά) και P-P plot (δεξιά) για την περιοχή της Μήλου. 62

62 Εικόνα 48: Διάγραμμα των περιόδων επαναφοράς με τις αντίστοιχες τιμές της ταχύτητας του ανέμου με τη μέθοδο ΡΟΤ για την περιοχή της Μήλου. Σταθμός Μήλου (ελλιπείς τιμές) Εικόνα 49: Διάγραμμα PDF της κατανομής Exponential και ιστόγραμμα των Υπερβάσεων (αριστερά) και P-P plot (δεξιά) για την περιοχή της Μήλου. Εικόνα 50: Διάγραμμα των περιόδων επαναφοράς με τις αντίστοιχες τιμές της ταχύτητας του ανέμου με τη μέθοδο ΡΟΤ για την περιοχή της Μήλου. 63

63 Συγκεντρωτικά αποτελέσματα Παρατίθεται ακολούθως ένα συγκεντρωτικό διάγραμμα με τις τιμές των ακραίων ταχυτήτων του ανέμου σε συνάρτηση με τις περιόδους επαναφοράς για όλες τις παραπάνω περιπτώσεις, ένας πίνακας με τις αντίστοιχες τιμές για 50 έτη και ένας πίνακας με τις μέγιστες τιμές ανά έτος από τα δεδομένα που χρησιμοποιήθηκαν για την εφαρμογή σαν μέτρο σύγκρισης. Εικόνα 51: Συγκεντρωτικό διάγραμμα των περιόδων επαναφοράς με τις αντίστοιχες τιμές της ταχύτητας του ανέμου για την περιοχή της Μήλου. Πίνακας 6: Ταχύτητα ανέμου με διάστημα επαναφοράς 50 έτη και τα αντίστοιχα διαστήματα εμπιστοσύνης POT(u) 50 year WS 95% Confidence Interval AM(u) 50 year WS 95% Confidence Interval Marina( full values) Marina( full values) Marina ( missing values) Station ( missing values) *Η μέθοδος Annual Maxima εφαρμόστηκε και στις χρονοσειρές διάρκειας 5 ετών (σκούρο γκρι χρώμα στον πίνακα) αν και κάτι τέτοιο δεν είναι δόκιμο σύμφωνα με τη θεωρία. Πίνακας 7: Μέγιστες τιμές ταχύτητας ανέμου ανά έτος για όλες τις ομάδες δεδομένων Έτος Marina ( full values) Έτος Marina ( full values) Marina ( missing values) Station ( missing values) m/s m/s m/s m/s m/s m/s m/s m/s m/s m/s m/s m/s m/s m/s m/s m/s m/s m/s m/s m/s 64

64 Παρατηρείται πως για τα δεδομένα τα οποία αναφέρονται στη Μήλο υπάρχει μία σύγκλιση των διαφορετικών προσεγγίσεων σε ένα εύρος τιμών μεταξύ και m/s. Οι διαφοροποιήσεις που παρατηρούνται είναι περιορισμένες και καλύπτονται από το διάστημα εμπιστοσύνης που αντιστοιχεί σε κάθε περίπτωση ξεχωριστά. Αντίστοιχα για το σταθμό του Αργοστολίου και της Σητείας παρατίθενται για συντομία μόνο τα συγκεντρωτικά αποτελέσματα. Για το Αργοστόλι: Εικόνα 52: Συγκεντρωτικό διάγραμμα των περιόδων επαναφοράς με τις αντίστοιχες τιμές της ταχύτητας του ανέμου για την περιοχή του Αργοστολίου. Πίνακας 8: Ταχύτητα ανέμου με διάστημα επαναφοράς 50 έτη και τα αντίστοιχα διαστήματα εμπιστοσύνης POT(u) 50 year WS 95% Confidence Interval AM(u) 50 year WS 95% Confidence Interval Marina( full values) Marina( full values) Marina ( missing values) Station ( missing values) *Η μέθοδος Annual Maxima εφαρμόστηκε και στις χρονοσειρές διάρκειας 5 ετών (σκούρο γκρι χρώμα στον πίνακα) αν και κάτι τέτοιο δεν είναι δόκιμο σύμφωνα με τη θεωρία. 65

65 Πίνακας 9: Μέγιστες τιμές ταχύτητας ανέμου ανά έτος για όλες τις ομάδες δεδομένων Έτος Marina ( full values) Έτος Marina ( full values) Marina ( missing values) Station ( missing values) m/s m/s m/s m/s m/s m/s m/s m/s m/s m/s m/s m/s m/s m/s m/s m/s m/s m/s m/s m/s Στο Αργοστόλι παρατηρείται πως τα αποτελέσματα που προέρχονται από τα δεδομένα του μοντέλου παίρνουν τιμές μεταξύ και Η μεγάλη διαφοροποίηση συναντάται στα αποτελέσματα από τη χρήση των μετρήσεων. Σε αυτή την περίπτωση υπάρχουν μεγάλες αποκλίσεις και με τα προαναφερθέντα αποτελέσματα αλλά και μεταξύ των δύο μεθόδων (ΡΟΤ-ΑΜ). Η αποκλίσεις με τα αποτελέσματα του μοντέλου είναι αναμενόμενες από τη στατιστική ανάλυση που έχει προηγηθεί στο Κεφάλαιο 3. Οι μεγάλες διαφοροποιήσεις που παρατηρούνται ανάμεσα στις δύο μεθόδους (ΡΟΤ-ΑΜ) οφείλονται στα χαρακτηριστικά της χρονοσειράς που επηρεάζεται από την κλιματολογία της περιοχής. Για το σταθμό της Σητείας: Εικόνα 53: Συγκεντρωτικό διάγραμμα των περιόδων επαναφοράς με τις αντίστοιχες τιμές της ταχύτητας του ανέμου για την περιοχή της Σητείας. 66

66 Πίνακας 10: Ταχύτητα ανέμου με διάστημα επαναφοράς 50 έτη και τα αντίστοιχα διαστήματα εμπιστοσύνης POT(u) 50 year WS 95% Confidence Interval AM(u) 50 year WS 95% Confidence Interval Marina( full values) Marina( full values) Marina ( missing values) Station ( missing values) *Η μέθοδος Annual Maxima εφαρμόστηκε και στις χρονοσειρές διάρκειας 5 ετών (σκούρο γκρι χρώμα στον πίνακα) αν και κάτι τέτοιο δεν είναι δόκιμο σύμφωνα με τη θεωρία. Πίνακας 11: Μέγιστες τιμές ταχύτητας ανέμου ανά έτος για όλες τις ομάδες δεδομένων Έτος Marina ( full values) Έτος Marina ( full values) Marina ( missing values) Station ( missing values) m/s m/s m/s m/s m/s m/s m/s m/s m/s m/s m/s m/s m/s m/s m/s m/s m/s m/s m/s m/s Στα αποτελέσματα που αναλύθηκαν με σημείο αναφοράς το σταθμό της Σητείας είναι εμφανές πως οι τιμές κυμαίνονται από έως m/s. Και σε αυτή την περίπτωση η χρήση των παρατηρήσεων οδηγεί σε υποεκτίμηση σε σχέση με τη χρήση του ατμοσφαιρικού μοντέλου το οποίο είναι αναμενόμενο όμως στην πλειοψηφία τους οι τιμές καλύπτονται από τα διαστήματα εμπιστοσύνης. Ακολουθούν δύο χάρτες της Ελλάδος με τις ακραίες τιμές του ανέμου για 50 χρόνια όπως αυτές προέκυψαν από τα διαφορετικά δεδομένα εισόδου και για τις δύο μεθόδους. 67

67 68

68 69

69 ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ Το κατώφλι που χρησιμοποιήθηκε για την P.O.T. και στις δύο περιπτώσεις (Method of Moments, Maximum Likelihood) κυμάνθηκε από 96% έως 98.5%. Η επιλογή έγινε έπειτα από εφαρμογή του Smirnov-Kolmogorov test. Προβλήματα τα οποία αντιμετωπίστηκαν κατά την εφαρμογή είναι τα εξής: Στα δεδομένα του μοντέλου για τη Σούδα, η αλλαγή του κατωφλίου από 98% σε 97% οδήγησε σε μεγάλη διαφορά στο αποτέλεσμα. Η αιτία είναι ότι με τη μείωση του κατωφλίου εισήλθε στο δείγμα και δεύτερη οικογένεια ακραίων τιμών ανέμου, κάτι το οποίο είχε ως συνέπεια την υποτίμηση του αποτελέσματος. Στην εφαρμογή της μεθόδου στα δεδομένα από τους σταθμούς, στις περισσότερες περιπτώσεις η κατανομή δεν «περνούσε» οριακά το τεστ, ανεξάρτητα από την επιλογή του κατωφλίου. Οι περιπτώσεις αυτές αφορούν όλους τους σταθμούς με εξαίρεση αυτόν της Μήλου. Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι οι μετρήσεις από τους σταθμούς είναι στρογγυλοποιημένες σε κόμβους και με τη μετατροπή σε m/s δημιουργήθηκαν ουσιαστικά μη-συνεχείς χρονοσειρές. Αυτές προκάλεσαν δυσκολία στην εύρεση των συντελεστών των κατανομών. Τα παραπάνω γίνονται καλύτερα αντιληπτά από το διάγραμμα που ακολουθεί. Εικόνα 54: Ρ-Ρ plot για την περιοχή της Σαντορίνης 70

70 Συμπεράσματα / παρατηρήσεις στα αποτελέσματα 1. ΔΕΔΟΜΕΝΑ ΑΠΟ ΤΑ ΑΤΜΟΣΦΑΙΡΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ: Σε πρώτη φάση οι δύο τεχνικές θα αξιολογηθούν ξεχωριστά για τις διαφορετικές πηγές δεδομένων. Ξεκινώντας από τη μέθοδο ΡΟΤ, για τα αποτελέσματα που προκύπτουν με χρήση των δεδομένων από τα MARINA ( ) και MARINA ( ) δεν μπορεί να υπάρξει ένα μοτίβο. Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι τα 5 έτη δεδομένων είναι κοινά και στις δύο περιπτώσεις. Αν τα υπόλοιπα 5 έτη για την πρώτη περίπτωση παρουσιάζουν πιο έντονη δραστηριότητα, θα υπάρξει μία υπερεκτίμηση στις περιόδους επαναφοράς σε σχέση με τη δεύτερη και το αντίθετο. Αυτό που μπορεί να αξιολογηθεί όμως, είναι η αύξηση του διαστήματος εμπιστοσύνης όταν τα δεδομένα είναι 5ετή το οποίο είναι λογικό και αναμενόμενο καθώς λιγοστεύει το πλήθος των δεδομένων. Παρόλα αυτά στις περισσότερες περιπτώσεις οι δύο τιμές είναι εντός των ορίων εμπιστοσύνης. Αν συγκριθούν τα αποτελέσματα που προκύπτουν από τη χρήση των δεδομένων από το πρόγραμμα MARINA για τα 5 έτη με τη χρονοσειρά να είναι συνεχή και την αντίστοιχη με τις τιμές προσαρμοσμένες σε αυτές των μετρήσεων, μπορεί να παρατηρηθεί θα υπάρχει άλλοτε υποεκτίμηση και άλλοτε υπερεκτίμηση στις περιόδους επαναφοράς με την πρώτη περίπτωση να είναι η πιο συνηθισμένη. Αυτό συμβαίνει λόγω του ότι με την αφαίρεση των τιμών επηρεάζονται το κατώφλι, οι τιμές των υπερβάσεων αλλά και το πλήθος τους. Το αποτέλεσμα είναι να τροποποιείται ο συντελεστής που χαρακτηρίζει την εκθετική κατανομή. Σε γενικές γραμμές αυτό που θα πρέπει να αναφερθεί είναι πως το εύρος των αποτελεσμάτων από τις διαφορετικές πηγές δεδομένων (για την ίδια όμως περιοχή) είναι μικρό. Με βάση αυτό, η συγκεκριμένη μέθοδος θα μπορούσε να χαρακτηριστεί ως εύρωστη (robust). Όσον αφορά την μέθοδο ΑΜ, ισχύουν εν γένει τα ίδια με την παράγραφο 1.1 των παρατηρήσεων. Οι διαφορές που παρατηρούνται είναι ότι οι τιμές μεταβάλλονται σε μεγάλο βαθμό αν γίνει χρήση των 5ετών τιμών από το SKIRON-MARINA και των αντίστοιχων προσαρμοσμένων. Επομένως δεν μπορεί να χαρακτηριστεί από ευρωστία. Επίσης, με τη μείωση του δείγματος προς επεξεργασία αυξάνεται εξαιρετικά το διάστημα εμπιστοσύνης. Τα παραπάνω είναι αναμενόμενα καθώς οι τιμές που χρησιμοποιούνται για την εκτίμηση των περιόδων επαναφοράς είναι λίγες και όπως είναι γνωστό και από τη θεωρία η μέθοδος δεν είναι κατάλληλη για χρονοσειρές διάρκειας μικρότερης από δέκα έτη. Το αξιοσημείωτο βέβαια είναι πως για τη συγκεκριμένη μέθοδο είτε χρησιμοποιηθεί η Method of Moments είτε η Maximum Likelihood Method για την εκτίμηση των παραμέτρων, τα αποτελέσματα παρουσιάζουν ομοιότητα τόσο στην τιμή του ανέμου όσο και στα διαστήματα εμπιστοσύνης. Συγκρίνοντας τις τιμές που προκύπτουν με τις δύο μεθόδους για τη 10ετή χρονοσειρά παρατηρείται πως σε αρκετές περιπτώσεις με την ΡΟΤ μέθοδο υπάρχει υπερεκτίμηση της ταχύτητας του ανέμου σε σχέση με την ΑΜ. Αυτό όμως δεν μπορεί να γενικευτεί αλλά να εξεταστεί μόνο κατά περίπτωση. Επίσης, και στις δύο περιπτώσεις οι τιμές που προκύπτουν είναι αποδεκτές αν συγκριθούν με τις μέγιστες τιμές της ταχύτητας του ανέμου ανά έτος από τα δεδομένα. Η μεγάλη διαφορά όμως είναι ότι το μέγεθος του διαστήματος εμπιστοσύνης είναι πολύ αυξημένο στη μέθοδο AM, το οποίο όμως είναι λογικό εξαιτίας της ποσότητας των δεδομένων προς επεξεργασία. 71

71 2. ΔΕΔΟΜΕΝΑ ΑΠΟ ΤΟΥΣ ΣΤΑΘΜΟΥΣ Όσον αφορά τα δεδομένα από τους σταθμούς και την εφαρμογή της μεθόδου AM παρατηρείται πως το διάστημα εμπιστοσύνης αυξάνεται ιδιαιτέρως. Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι οι μετρήσεις είναι 5ετούς διάρκειας και αξιοποιούνται έτσι μόνο 5 τιμές. Στην ίδια αιτία οφείλεται το γεγονός της μεγάλης απόκλισης των δύο μεθόδων στην περίπτωση του Αργοστολίου. Για το λόγο αυτό δεν γίνεται περαιτέρω αξιολόγηση των αποτελεσμάτων. Στην εφαρμογή της μεθόδου POT, εμφανίζεται μία μείωση της τιμής του διαστήματος εμπιστοσύνης σε απόλυτες τιμές το οποίο είναι λογικό καθώς μειώνεται και η εκτίμηση για την ταχύτητα του ανέμου. Παρόλα αυτά ποσοστιαία δεν παρουσιάζεται κάποια ιδιαίτερη μεταβολή. Η μείωση της εκτιμώμενης ακραίας τιμής της ταχύτητας του ανέμου (σε σχέση με την εκτίμηση από τη χρήση των ατμοσφαιρικών μοντέλων) είναι απολύτως αναμενόμενη όπως προαναφέρθηκε και στο κομμάτι της ανάλυσης των δεδομένων. Ο λόγος είναι πως στις μετρήσεις, οι τιμές εισόδου ήταν μικρότερης έντασης από τις αντίστοιχες των τιμών που προέκυψαν από τα ατμοσφαιρικά μοντέλα. Έχοντας σαν δεδομένο πως αυτές είναι οι τιμές που χρησιμοποιήθηκαν για τη μελέτη, είναι κατανοητή η συμπεριφορά των αποτελεσμάτων. Το τελευταίο που αξίζει να σημειωθεί είναι πως το πρόβλημα που υπάρχει με την εκτίμηση από τις μετρήσεις είναι το κατά πόσο οι μετρήσεις αυτές αντιπροσωπεύουν την πραγματικότητα. Πολλές φορές τα όργανα δίνουν εσφαλμένες τιμές. Τυχόν σφάλματα που θα υπάρξουν στις ακραίες τιμές της ταχύτητας του ανέμου είναι δύσκολο να αξιολογηθούν και πόσο μάλλον να απορριφθούν. Έχοντας αυτό σαν δεδομένο, όπως επίσης και το πλήθος των τιμών που χρησιμοποιούνται σε κάθε περίπτωση, θα πρέπει να γίνει αντιληπτό το πόσο ευαίσθητες είναι οι μέθοδοι που χρησιμοποιούνται στα αρχικά δεδομένα. 72

72 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: ΧΑΡΤΕΣ ΑΠΟΤΥΠΩΣΗΣ ΤΗΣ ΤΑΧΥΤΗΤΑΣ ΑΝΕΜΟΥ ΜΕ ΠΕΡΙΟΔΟ ΕΠΑΝΑΦΟΡΑΣ 50 ΕΤΗ ΣΤΟ ΝΗΣΙΩΤΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΤΟΥ ΕΛΛΑΔΙΚΟΥ ΧΩΡΟΥ Με βάση τα αποτελέσματα του προηγούμενου κεφαλαίου προκύπτει πως τα δεδομένα που προέρχονται από τη βάση δεδομένων του προγράμματος MARINA ικανοποιούν τις προϋποθέσεις για την εφαρμογή τους σε μία ανάλυση με προσανατολισμό την εμφάνιση ακραίων τιμών ταχύτητας του ανέμου. Σκοπός του παρόντος κεφαλαίου είναι η αξιοποίηση της θεωρίας που αναπτύχθηκε και η εφαρμογή της για την κατασκευή ενός χάρτη που θα αποτυπώνει τις ακραίες τιμές ανέμου με περίοδο επαναφοράς 50 έτη σε ύψος 10 m. Ο χάρτης καλύπτει τη θαλάσσια περιοχή που περιβάλει τον Ελλαδικό χώρο όπως επίσης και τα νησιά της περιοχής ενδιαφέροντος. Το κομμάτι στο οποίο έγινε η εφαρμογή επιλέχθηκε με βάση τους σταθμούς που χρησιμοποιήθηκαν για τη μελέτη. Ένας δευτερεύον λόγος είναι πως η περιοχή που επιλέχθηκε δεν επηρεάζεται άμεσα από το ηπειρωτικό κομμάτι της Ελλάδας και κυρίως από τους ορεινούς της όγκους, όπου θα χρειαζόταν να γίνει μία περαιτέρω μελέτη για την εφαρμογή και τη γενίκευση της μεθόδου (για το ύψος των 10 m). Η μελέτη θα δώσει πληροφορία που αφορά την πιθανότητα εμφάνισης ισχυρών ανέμων, η οποία μπορεί να αξιοποιηθεί σε ανάλυση ρίσκου στον κατασκευαστικό τομέα. Μία χαρακτηριστική εφαρμογή θα μπορούσε να είναι στην κατασκευή αιολικών πάρκων είτε στη θάλασσα είτε σε κάποιο από τα νησιά που απεικονίζονται στο χάρτη. Σε κάθε περίπτωση όμως και κυρίως σε επίγειες εφαρμογές, η πληροφορία αυτή είναι ενδεικτική. Θα πρέπει να γίνει μία επιμέρους μελέτη στην περιοχή ενδιαφέροντος με σκοπό να ληφθεί υπόψιν η τοπογραφία και η επίδρασή της σε κλίμακες που δεν αναλύονται από το μοντέλο εξαιτίας της χωρικής ανάλυσης με την οποία έγινε η προσομοίωση. Προς αυτήν την κατεύθυνση θα μπορούσε να χρησιμοποιηθεί ένα μη υδροστατικό ατμοσφαιρικό μοντέλο, όπως το R.A.M.S. (Pielke et al., 1992) το οποίο δίνει τη δυνατότητα να γίνει η μελέτη με μεγαλύτερη ανάλυση. Παράλληλα θα μπορούσαν να χρησιμοποιηθούν και κάποιες στατιστικές μέθοδοι όπως η χρήση των copulas. Στις σελίδες που ακολουθούν παρουσιάζονται οι χάρτες ακραίων τιμών ανέμου με τη χρήση των δύο διαφορετικών μεθόδων οι οποίοι συνοδεύονται από τους αντίστοιχους με τα διαστήματα εμπιστοσύνης. Για την Annual Maxima χρησιμοποιήθηκαν τα ετήσια μέγιστα (σύνολο 10 τιμές), ενώ για την Peaks Over Threshold χρησιμοποιήθηκε ένα κατώφλι το οποίο κυμάνθηκε ανάμεσα στις τιμές 96%-98%. Η κατάλληλη επιλογή του κατωφλίου έγινε μετά την εφαρμογή της εκθετικής κατανομής στις υπερβάσεις και την πραγματοποίηση Smirnov- Kolmogorov τεστ. Το κεφάλαιο κλείνει με την παρουσίαση ενός χάρτη που απεικονίζονται οι διαφορές στην εκτίμηση μεταξύ των δύο μεθόδων. 73

73 Εικόνα 55: Χάρτης ακραίων τιμών ανέμου με περίοδο επαναφοράς 50 έτη (Peaks Over Threshold Method) Εικόνα 56: Χάρτης διαστήματος εμπιστοσύνης στην εκτίμηση των ακραίων τιμών ανέμου με περίοδο επαναφοράς 50 έτη (Peaks Over Threshold Method) 74

74 Εικόνα 57: Χάρτης ακραίων τιμών ανέμου με περίοδο επαναφοράς 50 έτη (Annual Maxima Method) Εικόνα 58: Χάρτης διαστήματος εμπιστοσύνης στην εκτίμηση των ακραίων τιμών ανέμου με περίοδο επαναφοράς 50 έτη (Annual Maxima Method) 75

75 Αυτό το οποίο παρατηρείται από τους χάρτες που προηγήθηκαν είναι τιμές του ανέμου που κυμαίνονται από m/s και φτάνουν τα m/s για τον πρώτο χάρτη, ενώ στο δεύτερο φτάνουν λίγο χαμηλότερα. Οι μικρότερες τιμές συναντώνται σε περιοχές που ο άνεμος περιορίζεται από την αλληλεπίδραση με τη στεριά όπως για παράδειγμα ο Κορινθιακός κόλπος, τα στενά μεταξύ της Εύβοιας και της Στερεάς Ελλάδας ή τα στενά των Δαρδανελίων. Μεγαλύτερες τιμές κάνουν την εμφάνισή τους κυρίως στην ανοιχτή θάλασσα εξαιτίας της μη ύπαρξης χερσαίων εμποδίων (βλέπε Ιόνιο), στις βόρειες ακτές των νησιών κυρίως στο Αιγαίο, σε μεγαλύτερα υψόμετρα όπως επίσης και σε περιοχές που η τοπογραφία επιβάλει ιδιαίτερα κλιματικά χαρακτηριστικά. Χαρακτηριστική είναι η συμπεριφορά στις Κυκλάδες όπου η σκίαση που προκαλούν οι συστάδες νησιών μειώνει την πιθανότητα εμφάνισης ακραίων γεγονότων όσον αφορά την ταχύτητα του ανέμου στην περιοχή που περικλείουν. Όπως αναφέρθηκε και νωρίτερα οι τιμές που προκύπτουν από τη χρήση των δύο μεθόδων παρουσιάζουν κάποιες διαφορές οι οποίες σε κάποιες περιπτώσεις είναι σημαντικές. Οι διαφορές αυτές οφείλονται κυρίως στον τρόπο με τον οποίο γίνεται η επεξεργασία στην κάθε περίπτωση, το μέγεθος των δεδομένων που χρησιμοποιούνται αλλά και τα κλιματικά χαρακτηριστικά της περιοχής που παρατηρείται η διαφοροποίηση. Στη συνέχεια παρουσιάζεται ένας χάρτης που αποτυπώνει τη διαφορά στα αποτελέσματα. Με κόκκινο χρώμα αποτυπώνονται οι περιπτώσεις που η μέθοδος POT υπερεκτιμά τον υπολογισμό της ταχύτητας του ανέμου σε σχέση με την ΑΜ και με μπλε το αντίθετο. Εικόνα 59: Διαφορές στην εκτίμηση των τιμών ανέμου με περίοδο επαναφοράς 50 έτη ανάμεσα στη μέθοδο ΡΟΤ και τη μέθοδο ΑΜ. 76

76 Παρατηρώντας τον τελευταίο χάρτη είναι πολύ πιο εμφανείς οι διαφοροποιήσεις μεταξύ των δύο μεθόδων. Το αίτιο των διαφοροποιήσεων αυτών οφείλεται στο γεγονός ότι η AM method λαμβάνει υπόψιν τις μόνο 10 τιμές (τις μέγιστες κάθε έτους) ενώ η ΡΟΤ περίπου τις δεκαπλάσιες (ανάλογα με το κατώφλι). Με βάση αυτό μπορεί να υπάρξουν δύο διαφορετικές ακραίες περιπτώσεις οι οποίες και παρουσιάζονται στη συνέχεια. Περίπτωση πρώτη Η περιοχή χαρακτηρίζεται από χαμηλές ταχύτητες ανέμου με εξαίρεση κάποια συγκεκριμένα γεγονότα. Τα γεγονότα αυτά μπορεί να βασίζονται στην κλιματολογία της περιοχής, για παράδειγμα ισχυροί άνεμοι κάποιο συγκεκριμένο χρονικό διάστημα του έτους, μπορεί όμως να οφείλονται και σε συνοπτικά αίτια όπως για παράδειγμα η διέλευση κάποιων συστημάτων με μικρή συχνότητα εμφάνισης. Τα παραπάνω γίνονται ευκολότερα κατανοητά από το παράδειγμα που ακολουθεί. Στην εικόνα παρουσιάζεται μία ενδεικτική χρονοσειρά της ταχύτητας του ανέμου για τρία έτη. Με πράσινα βέλη φαίνονται τα ετήσια μέγιστα τα οποία χρησιμοποιεί η μέθοδος ΑΜ. Με την μπλε γραμμή φαίνεται το κατώφλι ενώ με τους πράσινους κύκλους παρουσιάζονται κάποιες από τις τιμές που θα χρησιμοποιηθούν από την ΡΟΤ (μαζί με τα προαναφερθέντα ετήσια μέγιστα). Σε αυτήν την περίπτωση, τα αποτελέσματα από την ΑΜ θα παρουσιάζουν κάποια υπερεκτίμηση σε σχέση με τη δεύτερη μέθοδο. Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι η εκθετική κατανομή κάνοντας χρήση των συγκεκριμένων δεδομένων θα έχει μικρότερη ουρά (thin tailed) σε αντίθεση με την Gumbel που κάνει χρήση μόνο των μεγίστων, τα οποία όμως δεν αντιπροσωπεύουν τη μέση κατάσταση. Εικόνα 60: Παράδειγμα χρονοσειράς που θα οδηγήσει σε υπερεκτίμηση των ακραίων τιμών του ανέμου που προκύπτουν με χρήση της ΑΜ σε σχέση με την ΡΟΤ. 77

77 Περίπτωση δεύτερη Η περιοχή χαρακτηρίζεται από υψηλές ταχύτητες ανέμου ή και μέτριες με μεγάλη όμως συχνότητα. Σε αντιστοιχία με πριν τα αίτια μπορεί να είναι τοπικού χαρακτήρα ή συνοπτικού. Ακολούθως, παρουσιάζεται μία χρονοσειρά όπου έχουν διατηρηθεί ίδια τα ετήσια μέγιστα αλλά έχει αυξηθεί η δραστηριότητα του ανέμου. Ο λόγος για τον οποίο διατηρήθηκαν ίδιες οι τιμές που χρησιμοποιούνται από την ΑΜ είναι χάριν ευκολίας και σύγκρισης. Και σε αυτή τη χρονοσειρά με πράσινα βέλη παρουσιάζονται τα ετήσια μέγιστα, με πράσινους κύκλους κάποιες από τις τιμές που χρησιμοποιούνται από την ΡΟΤ, ενώ η γαλάζια γραμμή αντιπροσωπεύει το κατώφλι. Όπως προαναφέρθηκε είναι εμφανώς αυξημένα τα γεγονότα όπου παρουσιάζονται μεγάλες τιμές ταχύτητας ανέμου. Τα παραπάνω θα οδηγήσουν στα ίδια αποτελέσματα αν χρησιμοποιηθεί η μέθοδος ΑΜ. Στην περίπτωση που χρησιμοποιηθεί η ΡΟΤ όμως, τα αποτελέσματα θα παρουσιάζουν κάποια υπερεκτίμηση σε σχέση με πριν. Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι οι υπερβάσεις θα είναι αυξημένες σε μέγεθος (όχι απαραίτητα σε αριθμό αν διατηρηθεί το ίδιο ποσοστό στην επιλογή του κατωφλίου) το οποίο θα οδηγήσει στην αύξηση του πάχους της ουράς της εκθετικής κατανομής που θα προσαρμοστούν τα δεδομένα. Ο συντελεστής που θα προκύψει σε συνάρτηση με την αύξηση του κατωφλίου θα οδηγήσει σε εκτίμηση μεγαλύτερων ακραίων τιμών σε σχέση με πριν. Εικόνα 61: Παράδειγμα χρονοσειράς που θα οδηγήσει σε υπερεκτίμηση των ακραίων τιμών του ανέμου που προκύπτουν με χρήση της ΑΜ σε σχέση με την ΡΟΤ. Με βάση τα παραπάνω και λαμβάνοντας υπόψιν την εικόνα 54 μπορούν να εξηγηθούν οι διαφορές που παρατηρούνται. Ένα παράδειγμα είναι στην περιοχή του Θερμαϊκού κόλπου. Η περιοχή, πέρα από συνοπτικά φαινόμενα επηρεάζεται και σε τοπική κλίμακα από φαινόμενα που χαρακτηρίζονται από δυνατούς ανέμους. Τέτοια φαινόμενα είναι άνεμοι όπως ο Βαρδάρης και ο Χορτιάτης. 78

78 Ο Βαρδάρης είναι ξηρός και ψυχρός βόρειος άνεμος ο οποίος καναλίζεται στην κοιλάδα του Αξιού και καταλήγει στο Θερμαϊκό κόλπο παρουσιάζοντας αυξημένη ταχύτητα. Έχει μεγάλη συχνότητα εμφάνισης και παρατηρείται κυρίως το χειμώνα. Ο Χορτιάτης είναι ένας ισχυρός, ανατολικός άνεμος ο οποίος προέρχεται από το ομώνυμο βουνό και πνέει κυρίως το χειμώνα. Με βάση τα χαρακτηριστικά αυτά, προκύπτει το συμπέρασμα πως η περιοχή θα χαρακτηρίζεται από διαδοχικά συμβάντα με μέτρια προς μεγάλη ένταση. Με αυτό σαν βάση είναι εμφανές πως θα μπορούσε να καταταχθεί στη δεύτερη από τις κατηγορίες που προαναφέρθηκαν όπου η μέθοδος ΡΟΤ θα παρουσιάζει μία υπερεκτίμηση σε σχέση με την ΑΜ. Ανάλογα θα μπορούσε η Ελλάδα να χωριστεί σε περιοχές και να γίνει μία ανάλογη μελέτη που θα λαμβάνει υπόψιν τα τοπικά χαρακτηριστικά κάθε επί μέρους περιοχής. Αυτό όμως δεν είναι αντικείμενο της παρούσας μελέτης. Σε κάθε περίπτωση, δεν θα μπορούσε κανείς να υποστηρίξει την ορθότητα ή μη της κάθε μεθόδου ξεχωριστά και για το λόγο αυτό είναι δόκιμη η παράλληλη χρήση και των δύο. Αν η χρήση των αποτελεσμάτων θα ήταν στην ανάλυση ρίσκου για κάποια κατασκευή θα μπορούσε να επιλεχθεί το χειρότερο σενάριο για προφανείς λόγους. 79

79 Τελικά συμπεράσματα Στην παρούσα εργασία παρουσιάστηκαν διαφορετικές μεθοδολογίες για την εκτίμηση ακραίων τιμών της ταχύτητας του ανέμου και την πιθανότητα εμφάνισης τους μέσα από την έννοια των περιόδων επαναφοράς. Σκοπός ήταν η επιλογή κατάλληλων τεχνικών για τη μελέτη και η εφαρμογή τους για διαφορετικές περιπτώσεις. Οι κύριες μέθοδοι που επιλέχθηκαν για τον σκοπό αυτό ήταν οι Annual Maxima, Peaks Over Threshold, r- Largest Annual Events και Independent Storms με τις δύο πρώτες να χρησιμοποιούνται και σε συγκεκριμένες εφαρμογές στην ταχύτητα του ανέμου αλλά και στο τετράγωνο της με σκοπό να εξεταστεί η κατάλληλη μεθοδολογία για την περιοχή μελέτης. Οι δύο μέθοδοι που εξετάστηκαν μπορεί να διαφοροποιούνται στις εξής κύριες περιπτώσεις. Σε μία περιοχή μελέτης που χαρακτηρίζεται από χαμηλούς ανέμους αλλά παρουσιάζονται ακραία φαινόμενα με μικρή συχνότητα, η μέθοδος Annual Maxima (ΑΜ) θα παρουσιάζει υπερεκτίμηση στην ταχύτητα του ανέμου σε σχέση με την Peaks Over Threshold (ΡΟΤ). Το αντίθετο μπορεί να συμβεί όταν η περιοχή ενδιαφέροντος χαρακτηρίζεται από μικρές διαφοροποιήσεις στην ένταση των ανέμων (σχετικά ισχυροί άνεμοι). Για να μπορούν να εξεταστούν και να συγκριθούν οι περιπτώσεις αυτές, θα πρέπει οι δύο μέθοδοι εκτίμησης ακραίων τιμών να βασίζονται σε κοινά τεχνικά εργαλεία. Τα εργαλεία που παρουσιάζονται και είναι χρήσιμα για τη μελέτη, όπως για την εφαρμογή των δεδομένων στις κατανομές (Maximum Likelihood, Method of Moments κ.α.) ή τα goodness-of-fit τεστ (Smirnov-Kolmogorov test) είναι εξαιρετικής σημασίας. Η χρήση μη κατάλληλων τεχνικών ενδέχεται να αλλοιώσει το αποτέλεσμα αναλόγως με τη φύση και τον αριθμό των δεδομένων, την κατανομή που χρειάζεται να γίνει προσαρμογή με τον αντίστοιχο αριθμό συντελεστών κ.α.. Για την παρούσα εργασία, η ανάλυση έγινε με βάση δύο πηγές δεδομένων. Η πρώτη βασίζεται σε ένα σύνολο από μετεωρολογικούς σταθμούς που βρίσκονται σε νησιά του Ελλαδικού χώρου και η δεύτερη προέκυψε από τη χρήση ατμοσφαιρικού αριθμητικού μοντέλου για δεκαετή προσομοίωση. Οι μετεωρολογικοί σταθμοί βρίσκονται στα νησιά: Κέρκυρα, Κεφαλλονιά, Σκύρος, Χίος, Μύκονος, Μήλος, Σαντορίνη και για την Κρήτη στη Σούδα και στη Σητεία. Οι τιμές είναι τρίωρες, στρογγυλοποιημένες σε κόμβους ενώ παρατηρούνται και αλλοιώσεις ή ελλείψεις στις χρονοσειρές. Όσον αφορά τις τιμές που αντιστοιχούν στην προσομοίωση, αυτές προέρχονται από τη βάση δεδομένων που δημιουργήθηκε από την Ομάδα Ατμοσφαιρικών Μοντέλων και Πρόγνωσης Καιρού του Πανεπιστημίου Αθηνών στα πλαίσια του Ευρωπαϊκού προγράμματος Marina Platform. Για την προσομοίωση χρησιμοποιήθηκαν το παγκόσμιο ωκεανογραφικό μοντέλο HYCOM, το κυματικό μοντέλο WAM και το ατμοσφαιρικό μοντέλο SKIRON. Όλες οι τιμές που χρησιμοποιήθηκαν, είτε αυτές προέρχονται από μετρήσεις είτε από τη βάση δεδομένων, αντιστοιχούν στον άνεμο στα 10 m. Αρχικά δοκιμάστηκε η μέθοδος των ροπών σαν εργαλείο εύρεσης συντελεστών των κατανομών. Ανάμεσα στα αποτελέσματα ήταν η υποεκτίμηση των ακραίων τιμών ανέμου με τη μέθοδο ΡΟΤ συγκρινόμενα με τα δεδομένα εισόδου. Παράλληλα η εφαρμογή στο τετράγωνο της ταχύτητας του ανέμου οδήγησε στη μη εκθετικότητα των αποτελεσμάτων και την κατέστησε μη εφαρμόσιμη. Όσον αφορά την ΑΜ τα αποτελέσματα είναι ικανοποιητικά για την ένταση του ανέμου και την εκθετικότητα των αποτελεσμάτων για μεγαλύτερες περιόδους επαναφοράς. Παρόλα αυτά στην εφαρμογή στο τετράγωνο του ανέμου 80

80 παρουσιάζεται ιδιαίτερη αύξηση στο διάστημα εμπιστοσύνης. Τα παραπάνω αποτελέσματα οδηγούν στον αποκλεισμό της συγκεκριμένης προσέγγισης για την εφαρμογή στα σημεία ενδιαφέροντος. Στη συνέχεια επαναλήφθηκε η διαδικασία κάνοντας χρήση της μεθόδου της Μέγιστης Πιθανοφάνειας για την εκτίμηση των παραμέτρων των κατανομών. Και σε αυτή την περίπτωση η εφαρμογή στο τετράγωνο της ταχύτητας δεν απέδωσε για λόγους που έχουν να κάνουν με την αύξηση της έντασης των δεδομένων σε συνάρτηση με τις περιόδους επαναφοράς αλλά και του εξαιρετικά μεγάλου διαστήματος εμπιστοσύνης που προκύπτει. Ταυτόχρονα όμως από την εφαρμογή των δύο μεθόδων (ΑΜ και ΡΟΤ) στην ταχύτητα του ανέμου προκύπτουν αξιόπιστα αποτελέσματα. Με βάση τα παραπάνω έγινε η εφαρμογή των μεθόδων σε μία 5ετή χρονοσειρά από παρατηρήσεις, μία 10ετή χρονοσειρά προερχόμενη από τη βάση δεδομένων, μία πενταετή που αντιστοιχεί στην ίδια χρονική περίοδο με τις μετρήσεις και την ίδια συγχρονισμένη με τις ημερομηνίες των παρατηρήσεων. Το βασικό συμπέρασμα που προέκυψε είναι η σύγκλιση των μεθόδων για κάθε διαφορετικό πακέτο δεδομένων όσον αφορά τα αποτελέσματα από τις προσομοιώσεις του ατμοσφαιρικού μοντέλου. Σε όλες τις περιπτώσεις το διάστημα εμπιστοσύνης επικαλύπτει τις τυχόν διαφορές. Παράλληλα παρατηρούνται κάποιες διαφοροποιήσεις ανάλογα με τις αλλαγές και τις προσαρμογές που υφίστανται τα δεδομένα που αντιστοιχούν σε ένα σημείο αλλά κάτι τέτοιο είναι αναμενόμενο καθώς αλλάζει το δείγμα. Για τα δεδομένα των σταθμών, παρουσιάστηκαν μη τετριμμένες διαφορές σε κάποιες περιπτώσεις ανάμεσα στην ΑΜ και την ΡΟΤ για τον ίδιο σταθμό. Αυτές οι διαφοροποιήσεις οφείλονται στην μορφή των δεδομένων καθώς αποτελούνται από 3ωρες μετρήσεις ενώ έχει προηγηθεί και η στρογγυλοποίηση τους σε κόμβους (ακέραιο τμήμα). Το παραπάνω οδήγησε στην μη ικανοποιητική εφαρμογή των κατανομών στο δείγμα και οδήγησε σε τέτοιου είδους αποκλίσεις. Όσον αφορά τη σύγκριση των αποτελεσμάτων από τις μετρήσεις και το ατμοσφαιρικό μοντέλο παρουσιάζεται υπερεκτίμηση του δεύτερου. Αυτό οφείλεται εν μέρει στα παραπάνω αλλά και στο γεγονός ότι οι σταθμοί επηρεάζονται από φαινόμενα μικρής κλίμακας τα οποία δεν αναλύονται από το ατμοσφαιρικό μοντέλο (sub grid phenomena). Τα αποτελέσματα της εκτίμησης ακραίων τιμών καταγράφηκαν σε δύο χάρτες με βάση τις δύο διαφορετικές μεθόδους εκτίμησης περιόδων επαναφοράς ΑΜ και ΡΟΤ. Σε αυτούς παρουσιάζεται η τιμή ανέμου με περίοδο επαναφοράς 50 έτη ανά σημείο. Οι χάρτες συμπεριλαμβάνουν το θαλάσσιο και νησιωτικό τμήμα της Ελλάδας. Η χρήση του καθενός ξεχωριστά αλλά και η σύγκρισή τους, μπορεί να προσφέρει πολύτιμη πληροφορία σχετικά με κάποια κλιματικά χαρακτηριστικά της περιοχής που έγινε η εφαρμογή. 81

81 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Ιστογράμματα παρατηρήσεων δεδομένων του μοντέλου 82

82 83

83 84

84 85

85 Διαγράμματα διασποράς 86