Unidade 12: Variables aleatorias

Transcript

1 Udde : Vrles letors Vrles letors dscrets.. Defcó.. Fucós de ms de proldde e de dstrucó..3 Med, vrz e desvcó típc duh vrle dscret. modelo oml.. Fucó de ms de proldde duh vrle oml.. Med, vrz e desvcó típc duh vrle oml. 3 Vrles letors cotus. 3. Defcó. 3. Fucó de desdde e fucó de dstrucó. 3.3 Med, vrz e desvcó típc duh vrle cotu. 4 A dstrucó orml. 4. Fucós de desdde e de dstrucó duh vrle orm 4. Prámetros duh dstrucó orml. 4.3 A orml estádr: tpfccó duh vrle 5 Aproxmcó d oml pol orml. Vrles esttístcs Itroduccó U dos oxectvos d Esttístc é o estudo de crácteres socdos uh cert poocó: so s vrles esttístcs. Exemplo: O exme de selectvdde de Flosofí cost de tems elxdos ó chou de etre 7. U lumo só estudou 4 e quere ser cl é ot que pode esperr o exme. Pr vergulo vlorou cl serí o seu resultdo s 5 últms pros: Que ot pode esperr o exme? Preguts que s Not frec. frec. reltv 0 0 /5 5 /5 0 /5

2 Solucó: ) A ot do exme é uh vrle esttístc. A ot med deses exmes é ot que pode esperr: x = x f = = E mots ocsós, o podemos utlzr os dtos d poocó; e porque desexemos fcer o estudo tes de recoller os dtos; e porque sex dfícl ou costos recolld de dtos (o método do lumo do exemplo teror só proporco uh de proxmd pos de os resultdos pode vrr segudo e cts pros comproe cl serí sú ot). Ness e e mots outrs stucós é preferle descrr stucó cu modelo teórco que podemos costruír sgádolle cd vlor d vrle uh medd teórc ds sús poslddes: uh proldde. Exemplo: No exemplo teror podemos estudr cles so s poslddes teórcs de oter cd uh ds ots o que os permtrá coñecer cl é ot que pode esperr o lumo pro de Flosofí. Est clro que só pode scr u 0 (se o estudou gú dos utores), u 5 (se estudou só u) ou u 0 (se estudou ós dous), pero s tres ots o teñe s mesms poslddes. Expermeto letoro: Elxr ó chou utores etre 7. Espco mostrl: Coxuto de resultdos do expermeto. 7 7! {(,),(,3),(,4),...,(,3),(,4),(3,4),...} e totl: C 7, = = = (7 )!! Proldde: Como tódolos exmes teñe mesm proldde de sír podemos utlzr s prolddes de Lplce:. Proldde de scr 0 (o ser gú dos utores):. Proldde de scr 5 (ser u dos utores): C P{Not = 0} = C C4, C P{Not = 5} = C C 3. Proldde de scr 0 (ser os dous utores): P{Not = 0} = C Podemos clculr ot med, ot esperd, utlzdo s prolddes e lugr ds frecuecs reltvs: 3 6 x = x p = = 5'7 Se ós vlores duh vrle lle socmos o frecuec duh sere de pros seó proldde de ese resultdo oteremos uh vrle letor (o exemplo teror, ot d pro é uh vrle letor). A Le dos Grdes Números estlece que proldde é o límte ds frecuecs reltvs cdo o úmero de dtos tede fto. Podemos cosderr uh vrle letor como o límte ds vrles esttístcs cdo o úmero de tegrtes d poocó tede fto, e med d vrle letor ot med que cdrmos de fcer ftos exmes. 7, 4, 7, 3, = 3, 7, = = 6 3

3 Vrles letors Vrles letors As vrles letors so modelos teórcos, equvletes ás vrles esttístcs cutttvs, s que e lugr de sgrlle cd vlor uh frecuec, sgrémoslle uh proldde. N Le dos Grdes Números dcmos que proldde é o límte ds frecuecs reltvs cdo o úmero de dtos que tommos tede fto. Do mesmo xeto, podemos cosderr ás vrles letors como límte ds vrles esttístcs correspodetes uh poocó que ted fto. Vrle dscret: Aquel que só tom vlores lldos. Vrle cotu: Tom vlores u tervlo [,]. Pr dcr como se dstrurí teorcmete os dsttos vlores duh vrle letor X costruímos fucó de dstrucó socádolle cd úmero rel proldde de que vrle letor tome u vlor meor ou gul que ese úmero: F( x) = P{ X x} A fucó de dstrucó estlece uh relcó etre vrle letor e proldde. Resultdos Vrle letor Números res Expermeto letoro Proldde Fucó de dstrucó Vrles dscrets Uh vrle letor X é dscret cdo só tom vlores lldos. Desgremos ese os vlores por x =,, 3,... Á fucó que soc cd vlor duh vrle letor dscret c sú proldde chámselle fucó de ms de proldde: p = P { X = x } A fucó de ms de proldde equvle frecuec reltv ds vrles esttístcs. A sum dos p é sempre : p P { X x } ( E) = = = Pr = Exemplo: EPA rexstrou, o º trmestre 999, u 40% de pro etre s persos de 6 9 os. Queremos estudr cl é stucó s fmls co dous memros etre 6 e 9. Expermeto letoro: Elexr dús persos de 6 9 os. Vrle letor: Número de prdos etre ess dús persos. A vrle tom os vlores x=0, x= e x3=. 3

4 Fucó de ms de proldde: p=p{x=0}= =0 36 p=p{x=}= =0 48 p3=p{x=}= =0 6 Fíxte que sum de tódolos p é. Fucó de dstrucó: F (x) 0 0'36 = 0'84 se x < 0 se 0 x < se x < se x Med e desvcó típc De xeto semellte ás vrles esttístcs dscrets, podemos defr med, vrz e desvcó típc duh vrle letor dscret se más que susttuír s frecuecs reltvs polos p : Med: µ = x p = σ = x µ Vrz: ( - ) p = Desvcó típc: σ = σ = ( x µ ) = Tmé dspoñemos de dús fórmuls pr clculr vrz duh vrle letor dscret: = ( x ) σ = µ p desevolvedo o cdrdo qued: ( x x ) p ( x p xp p ) σ = µ + µ = µ + µ = = = = = = = = = x p µµ + µ = x p µ = = σ = x - µ p = x p µ = = = x p µ xp + µ p = x p µ xp + µ p Vrz: ( ) p Exemplo: No exemplo teror µ = 0 0'36 + 0'48 + 0' 6 = 0'8 4

5 A med represet o úmero de prdos que podemos esperr, de í que e ocsós med tmé se lle chme esperz mtemátc. Exemplo: A vrz e desvcó típcs d vrle X= úmero de prdos so: σ = x σ = = p µ 0'48 = 0'69 = 0 0'36 + 0'48 + 0' 6 0'8 = 0'48 O modelo oml É u modelo teórco dscreto (vrle letor dscret) que se plc stucós s que: Relzmos u expermeto co só dous resultdos: A e B : P( A) = p P( B) = p = q O expermeto repítese de xeto depedete u certo úmero de veces. A vrle letor X dc o úmero de veces que se produce o resultdo A (tom vlores turs de 0 ). Exemplo: U 5% dos cemetos correspode mulleres e u 48% homes. Uh prell decdu trer 3 fllos. Cl é proldde de que gú sex muller, de que só sex muller,...? Solucó: Supoñemos que sexo de cd fllo é depedete do dos dems. X= úm. de mulleres é uh vrle oml, pos: Cd fllo é u expermeto co dous resultdos excluítes: ser home ou ser muller. Podemos cosderr que o sexo du fllo é depedete do dos demís. Cd cemeto é depedete dos outros. A vrle letor cot o úmero de veces que se produce u dos resultdos: ser muller. Pr Pr Pr Pr A fucó de ms de proldde é: 3 3 { X = 0} = 0'48 0'48 0'48 = 0'48 = 0'48 { X = } = 0'5 0'48 0'48 + 0'48 0'5 0'48 + 0'5 0'5 0'48 = 3 0' 5 0'48 { X = } = 0'5 0'5 0'48 + 0'5 0'48 0'5 + 0'48 0'5 0'5 = 3 0'5 0' { X = 3} = 0'5 0' 5 0'5 = 0' 5 = 0'5 Fíxte que os úmeros, 3, 3 e, que prece s expresós fs dess prolddes, correspode ós xetos 5

6 dferetes que h de elexr 0 mulleres etre 3 cemetos, muller etre 3 cemetos, mulleres etre 3 e 3 mulleres etre 3 e dcr ás comcós de 3 oxectos elexdos de 0 e 0, 3 de e, 3 de e e 3 de 3 e 3. E xerl: C { X = } = 0'5 0' 3, = Pr 48 Dstrucó oml Fucó de ms de proldde duh oml: vé dd pol expresó: { = } = p ( p) P X Temos que compror que fucó de ms de proldde está e defd: p p ( ) = = 0 Dt sum comprédese co desevolvemeto do Bomo ( ) de Newto: potec do omo p + ( ) = 0 p ( p) = = p 0 ( p) + p p [ p + ( p) ] = ( p + p) = = 0 ( p) +... = Idcmos por B(, p) ás vrles letors oms de prámetros (úmero de veces que se repte o expermeto) e p (proldde do resultdo que se cot). Med e desvcó típc duh vrle letor oml: Med: µ = p Desvcó típc: σ = p ( p) Exemplo: Etrevístse 0 persos du grupo de 00, do que 60 so mulleres. Cl é proldde de que 5 sex mulleres? Solucó: A vrle X= úmero de mulleres etrevstds o é oml, pos o se verfc s hpóteses do modelo, e prtculr depedec dos expermetos. P P { ºmuller } { } = º muller { ºmuller } 60 { º home } = 99 Ess prolddes so dferetes, os expermetos o so depedetes. Se emrgo, como dferec é

7 peque, podemos usr o modelo oml otedo uh proxmcó { = 5} = 0'6 0'4 = 0' 007 P X Vrles letors cotus Pr mexr vrles esttístcs cotus grupmos os dtos e clses trsformádos e vrles dscrets e represetmos eses dtos grupdos utlzdo hstogrms de frecuecs. Esto colev uh perd de formcó e rs d smplcdde do trtmeto. Os hstogrms so dgrms de áres e cumpre: Tódls rrs teñe ltur mor ou gul 0. Áre totl ds rrs é. A fucó de dstrucó F(x) é áre xo ds rrs t ese vlor de x. Supoñmos que poocó correspodete es vrle esttístc fse cd vez mor. Pr evtr perd de formcó, deemos elxr mots más clses (resultrá u hstogrm como o d fgur) e áre de cd rr é gor cse 0. Extrpoldo o proceso t o fto: A vrle esttístc trsformrse uh vrle letor cotu. As rrs redúcese lñs e sú áre fse 0. O perfl do hstogrm é gráfc duh fucó. Es fucó rece o ome de fucó de desdde e porémoos el pr defr s prolddes socds á vrle letor. A fucó de desdde sgue cumprdo s mesms propeddes que os hstogrms pero, como estmos fldo de áres dexo duh gráfc, deemos utlzr lguxe ds tegrs: ) ) c) f(x) 0 f(x)dx = F(x) = x f(t)dt Se f(x) é cotu, do Teorem Fudmetl do Cálculo Itegrl dedúcese que F(x) é uh prmtv de f(x). Hstogrm: Hstogrm: Fucó de desdde: 7

8 k Áre= f(x) = k Exemplo: Pr elxr ó chou uh dreccó. Sex vrle letor X= u águlo etre 0º e 360º. Cl é fucó de desdde de X? Solucó: Ddo que tódolos vlores o tervlo [0,360] dee ter mesm proldde de sír, f(x) dee ser costte ese tervlo e 0 for del. k se x [ 0,360] f (x) = 0 outro cso Clculmos o vlor de k tedo e cot que áre xo gráfc de f(x) dee ser : A = 360 k = k =. 360 Tmé presetdo tegrl: f(x)dx = kdx = ( kx] = 360k = k = 360 Med e desvcó típc Utlzdo o mesmo rzometo teror, podemos defr s meds, vrzs e desvcós típcs duh vrle letor cotu: Vrle esttístc: Med: x = = x f Vrz e desvcó típc: s = ( x x ) f Ns vrles trtds por tervlos, f é áre d rr correspodete á clse de x. = Ó teder o úmero de rrs fto. A se é cd vez meor, u ftésmo que represetmos por dx.. A ltur de cd rr tede f(x). 3. A áre de cd rr ps ser f(x)dx 4. A sum ds fts rrs f(x)dx é uh tegrl defd. Polo tto, defmos: Med: µ = x f(x)dx Vrz: σ = (x - µ ) f(x)dx Desvcó típc: σ = (x - µ ) f(x)dx s = Dspoñemos de dús fórmuls pr clculr vrz: s 8

9 σ = x (x - µ ) f(x)dx = f(x)dx µ µ + µ x f(x)dx µ = x f(x)dx + µ x f(x)dx µ f(x)dx = A dstrucó orml A dstrucó oml é útl pr descrcó duh gr ctdde de stucós pero, cdo o úmero de csos é mo elevdo, o cálculo ds prolddes socds é mo complexo. De Movre ( ) descuru que se póde proxmr s prolddes socds uh oml cos áres correspodetes xo d fucó: f(x) = e π Posterormete comproouse que mots vrles letors cotus teñe fucós de desdde so semelltes es fucós. So s vrles letors orms. Cdo u feómeo físco que tom vlores u tervlo está fluído por mots vrles de xeto que fluec de cd uh sex peque e relcó ás dems, segurmete pode ser descrto por uh dstrucó orml (estturs, pesos, esperz de vd, erros ó medr uh mgtude, durcó duh máqu, etc. so exemplos de procesos que pode ser descrtos por vrles letors orms). Formlmete, uh vrle letor orml é uh vrle cotu, defd e todo R, e que te fucó de desdde: (x-µ) f(x) = - e σ σ π x (µ med, σ desvcó típc) A fucó de desdde d orml o te uh prmtv elemetl polo que, pr clculr prolddes socds, trsfórmse vrle outr de med 0 e desvcó típc (tpfícse) e fse uso duhs táos d fucó de dstrucó d N(0,) (se o se f trsformcó, ecestrmos uhs táos pr cd orml o que é clrmete mposle) N(0,) N(0,) - - N(3,) N(3,) As orms so: Smétrcs respecto med A gráfc é más pld cto mor é desvcó típc. A proldde (áre) loxe d med é mor cto mor é mor é desvcó típc. U tervlo cetrdo med e mpltude σ coté uh proldde de

10 Tpfcr uh vrle Cosste e trsforml outr co mesmo tpo de dstrucó pero de med 0 e desvcó típc. Cdo uh vrle letor X de med µ e desvcó típc σ, se lle sum uh costte ou se multplc por u úmero otemos uh ov vrle cos segutes crcterístcs: Y = X +, te med µ + e vrz σ. X T =, te med µ e vrz σ. X µ E prtculr, Z = te med 0 e desvcó típc. σ A Z chmrémoslle vrle tpfcd. F(x) N(0,) O vlor d fucó de dstrucó u puto x é áre xo fucó de desdde t ese vlor x. x Exemplo: O dámetro dos prfusos fetos por uh máqu segue uh dstrucó orml de med 5 mm e desvcó típc mm. Se só so váldos os prfusos cuh medd etre 4 98 e 5 05 Cl é porcetxe de prfusos váldos? Solucó: As prolddes socds á orml clcúlse prtr d fucó de dstrucó N(0,), pr o que é ecesro tpfcr vrle: X 5 X N(5,0'0) Z = N(0,) 0'0 4'98 5 5'04 5 P{ 4'98 < X 5'04} = P < Z = P{ < Z } = F() F( ) 0'0 0'0 F() prece drectmete s táos: F(-) o fgur s táos, o seu vlor clcúlse prtr d smetrí d fucó de desdde: F(-)=-F()=-0 843=0 587 Polo tto: P{4 98<X 5 04}= =0 885 A porcetxe de pezs válds é 8 85% 0

11 Vrles letors Sítese Modelos teórcos equvletes ás vrles esttístcs cutttvs s que, e lugr de frecuecs reltvs, utlzmos prolddes. Fucó de dstrucó duh vrle letor X: F( x) = P{ X x} Vrles dscrets: Aquel que só tom vlores lldos. Fucó de ms de proldde: cd vlor sóclle sú proldde p = P { X x} p = Pr{ X = x} = P( E) = Med: µ = x p = =. A sum dos p é : Desvcó típc: σ = ( x - µ ) p = x p µ = Vrles cotus: tom vlores u tervlo [,] e teñe uh fucó de desdde socd cumprdo ) ) c) f(x) 0 f(x)dx = F(x) = x f(t)dt Se f(x) é cotu, F(x) é uh prmtv de f(x). Med: µ = Desvcó típc: xf (x)dx = σ = (x - µ ) f(x)dx = x f(x)dx µ O modelo oml B(,p) Modelo teórco dscreto (vrle letor dscret) plcle stucós s que:. Relzmos u expermeto co dous resultdos excluítes, A e B: P(A)=p, P(B)= p. O expermeto repítese de xeto depedete veces. 3. X é o úmero de veces que se produce o resultdo A. (X=0,,..., ).

12 Fucó de ms de proldde: { X } Med: µ = p Desvcó típc: σ = p ( p) Pr = = p ( p) A dstrucó orml Vrle letor orml é uh vrle cotu, defd e todo R, e que te fucó de desdde: (x-µ) f(x) = - e σ (µ med, σ desvcó típc) σ π É smétrc e relcó á med As prolddes correspodetes vlores loxdos d med so cse 0. A fucó de desdde d orml o te prmtv elemetl; pr clculr prolddes socds tpfícse e ússe s táos d N(0,). Tpfcr uh vrle Cosste e trsforml outr co mesmo tpo de dstrucó pero de med 0 e desvcó típc. Se X é uh vrle letor de med µ e X µ desvcó típc σ, Z = é uh ov vrle (vrle tpfcd) co σ med 0 e desvcó típc.

13 Amplcó A dstrucó orml Uh vrle letor cotu é u modelo teórco pr descrcó de vrles esttístcs de Hstogrm de pesos de mexs de Crrl Fucó de desdde tpo cotuo. Pr vetr uh vrle letor plcle u certo proceso deemos topr uh fucó de desdde que se proxme ós hstogrms des vrle esttístc. Vexmos cl poderí ser o proceso co dstrucó orml. H u gr úmero de feómeos físcos que teñe hstogrms de frecuecs reltvs semelltes ó d fgur (peso de mexs de Crrl). Deemos topr uh fucó de desdde cuh gráfc semellte ó perfl deses hstogrms. Temos vrs fucós elemets que teñe uh gráfc cuh form semellte:. Frccós lxércs, como f(x) = x + f(x) = x Prte d gráfc d fucó expoecl (cdo o expoñete é egtvo): f (x) = x e As frccós lxércs preset dous prolems x f(x)=e slvles, polo que deemos rexetls: pode o ter med desvcó típc e s áres xo d fucó loxe d med o so uls, e cotr do que cotece cos vrles esttístcs que pretede descrr x f(x) = e Pr que gráfc d expoecl se xuste ó hstogrm deemos fcer que o expoñete sempre sex - - egtvo, elevdo ó cdrdo e cmádolle o sgo: f(x) = e Dese xeto cosegumos tmé que sex smétrc ó psr ser uh fucó pr. Result uh fucó smétrc e relcó á orxe, co vlores sempre postvos e defd e todo R, cous que o sucedí cos vrles esttístcs ds que prtmos, 3

14 pero os seus vlores tede 0 rpdmete ó loxros d orxe e áre xo d gráfc loxe d orxe é desprecle. Pr que sex fucó de desdde, áre xo d gráfc dee ser. Como fucó o te prmtv elemetl (o é posle plcr Brrow), clculmos áre medte tegrcó por métodos umércos utlzdo uh clculdor: e 0 dx e 0 dx = ' O vlor que otvemos d áre é certmete curoso: elevdo ó cdrdo: ( ' ) = ' e x dx = Dvddo fucó por ese vlor cosegumos que áre sex : 0 π f(x) = e π Es fucó x é uh fucó de desdde, med e desvcó típc so: σ µ = xe dx xe dx = = x e dx = σ = = x e dx 0' Serí moto mellor se desvcó típc fose (vrle tpfcd), pr o que deemos fcer uh ov trsformcó: f(x) = e, X N(0, ). π x Por exemplo, áre etre 0 e 000 é: e dx = '

15 Exerccos e ctvddes O úmero de pchzos que sofre uh x cclet de motñ cd 50 km ve p ddo pol vrle letor dscret que prece táo. ) Clcul med, med e desvcó típc. ) Proldde de que sufr meos de 4 pchzos. c) Se tvo meos de 4 pchzos, cl é proldde de que pchse dús veces? Uh vrle letor dscret te fucó de ms de proldde que prece táo, ode k é uh costte descoñecd. ) Clcul o vlor de k. ) Clcul med e desvcó típc des vrle. c) Escre fucó de dstrucó des vrle. x k 4k 3k k k p 3 U mo de cs comproou que u certo rtgo está de ofert o supermercdo A de cd 3 dís, o supermercdo B de cd 5 e de cd 4 o C. Cosderdo vrle letor dscret que dc o úmero de supermercdos os que está de ofert ese rtgo u dí clquer, pídese: ) Fucó de ms de proldde des vrle. ) Med e desvcó típc. c) Proldde de que este de ofert polo meos u supermercdo. d) Sedo que est de ofert e u, cl é proldde de que sex o A? 4 Nuh cx h o mesmo úmero de crmelos que de omós. Se u eo colle ses doces d cx Cl é proldde de que collese lomeos dous omós? E cl de que collese o meos de dous más de ctro? 5 Clculr k pr que fucó f(x) = k x co 0 x sex uh fucó de desdde. Cl serí fucó de dstrucó correspodete? 6 A fucó de desdde duh vrle letor cotu é: 3 3 x + se x [, ] f(x) = outro cso ) Clcul med e desvcó típc de X. ) Atop fórmul d fucó de dstrucó de X. c) Clcul P{0<X 0 5} 7 A fucó de desdde duh vrle letor cotu X defd o tervlo [0,] é: ( x) f(x) = k x ode k é uh costte descoñecd ) Clcul o vlor de k. ) Clcul med e desvcó típc de X. c) Clcul o vlor tl que P{X }=/ (med de X). d) Atop fórmul d fucó de dstrucó de X. 8 A porcetxe de glegos que vve e cocellos co meos de 0000 httes é do 55%. Elxdo oto ó chou, clculr proldde de que etre 3 e 5 (ámolos dous cluídos) vv e cocellos co meos de 0000 httes, plcdo: ) Dstrucó oml. ) Aproxmcó pol orml d oml. 5

16 9 A proldde de que cus du ccdete utomolístco sex o lcohol é de 0'6. ) Se u f de sem prodúcese 0 ccdetes cl é proldde de que polo meos 3 sex dedos ó lcohol? ) Ctos deses 0 ccdetes podes estmr que se dee á xestó de lcohol? c) Se e todo o o prodúcese 000 ccdetes cl é proldde proxmd de que más de 580 sex dedos ó lcohol? 0 Sáese que 3% dos lros de texto teñe defectos de mpresó. ) Cl é proldde de que dos 0 lros de texto du lumo, gú teñ defectos? ) Se u lrero f u peddo de 000 lros, clcul proldde de que 30 ou más sex defectuosos. Nuh cdde estímse c tempertur máxm o mes de xuño sgue uh orml de med 3º e desvcó típc 5º. Clculr o úmero de dís do mes os que se esper lczr máxms etre º e 7º. As ots du exme segue so orms de med 6'5 e desvcó típc '5. ) Clcul porcetxe de lumos e lums cuh clfccó feror 5. ) Se o profesor v clfcr co soresíte u 0% d clse, prtr de que ot se cosegurá est clfccó? 3 O peso ds mexs recollds uh rí gleg segue uh dstrucó orml de med 0 grs. e desvcó típc 4 grs. ) Pr uh fárc coserver so válds quels mexs que pes etre 8 e 35 grs. Que proporcó de mexs cumpre est crcterístcs? ) Nu lote de ses mexs cl é proldde de que tods sex válds pr fárc? E proldde de que lomeos uh mex do lote sex váld? 4 A putucó med ds ots ds pros de cceso é 5.5 e desvcó típc 0.5. Supoñedo que dstrucó ds ots segue uh orml, pídese: ) Que porcetxe de lumos super o 5? ) Pr que vlor d desvcó típc o 40% dos lumos superrí o 6, supoñedo que med for mesm? 5 O tempo que empreg u estudte d sú cs ó sttuto segue uh dstrucó orml de med 40 mutos e uh desvcó típc de 5 mutos. Se se d sú cs tódolos dís ás 8:30 e dee estr ás 9:00 Ctos dís do o é de esperr que chegue trde supoñedo que f 00 vxes us? 6 Idc como serí s gráfcs ds fucós de desdde ds vrles letors orms X, Y, Z e T cos segutes prámetros. X Y Z T Med D. Típc Prolem: O prtdo A fxo uh equs etrevstdo 00 persos pr coñecer que resultdos podí esperr uhs eleccós próxms, se o 0% d poocó v votr ó prtdo A. Cl é proldde de que o resultdo d equs correspod stucó rel cu erro meor ou gul ó 3%? 6