VIII. ESPAZO EUCLÍDEO TRIDIMENSIONAL: Ángulos, perpendicularidade de rectas e planos

Transcript

1 VIII. ESPZO EULÍDEO TRIDIMENSIONL: Áglos perpediclaridade de rectas e plaos.- Áglo qe forma dúas rectas O áglo de dúas rectas qe se corta se defie como o meor dos áglos qe forma o plao qe determia. O áglo de dúas rectas qe se cra é o áglo formado por dúas rectas secates paralelas ás dadas. Se e so ectores direccioais das rectas r e s depededo do setido dos ectores de direcció das rectas podemos iderar os áglos o. Para asegraros qe o tomamos o áglo obtso basta esixir qe o eo sexa o egatio é dicir tomalo e alor absolto: (. arc 0. Expresió ectorial arc Expresió aalítica Dúas rectas so perpediclares cado 0 0 Dúas rectas so paralelas cado.- Áglo qe forma dos plaos Dos plaos secates forma o espao catro áglos diedros igais dos a dos. Defíese o áglo de dos plaos secates como o meor dos áglos diedros qe determia. Segdo o setido dos ectores ormais aos plaos coicidirá o o os áglos formados polos plaos e os formados polos ectores e ( ( ( ( VIII /

2 VIII / Matemáticas II XEOMETRÍ polo tato: ( 0 arc Expresió ectorial Expresió aalítica Dos plaos so perpediclares cado 0 0 Dos plaos so paralelos cado.- Áglo qe forma ha recta e plao O áglo dha recta e plao defíese como o áglo qe forma a recta coa proxecció desta sobre o plao. Sexa r a proxecció da recta r sobre o plao e sexa o ector de direcció de r e o ector característico o ormal do plao. ( - se ( ( - se e polo tato se ( se 0 arc se Expresió ectorial Expresió aalítica Uha recta e plao so perpediclares cado Uha recta e plao so paralelos cado 0 0

3 EXERIIOS. osiderado o plao : ax 0 i Disctir segdo os alores do parámetro a a súa posició relatia respecto a OXY ii alclar o alor o alores de a para qe a recta ormal (perpediclar a pasado pola orixe forme co plao OXY áglo igal a /.. Disctir segdo os alores de m a posició relatia do plao: x+my-4+m0 e a recta x t+ defiida por y t. alclar se é posible os alores de m para qe o plao e a recta for- t+ me áglo de / 6.. Qérese atar ha corda qe pasa por ha argola sitada o pto ( a dos postes r x t+ x e s de ecaciós: r y t ; s y de modo qe a loxitde da corda empregada sexa a meor posible. t+ a char os ptos sobre r e sobre s aos qe debe atarse a corda b Qe áglo forma as rectas e? 4. a char a ecació da recta qe pasado polo pto ( forme áglos igais eixes coordeados. b char a ecació do plao qe pase polo pto ( 4 e coteña á recta do apartado a. x y+ x y+ 5. Dadas as rectas r e s x 5y 4 i Estda a súa posició relatia ii Determia a ecació implícita do plao qe as coté iii alcla o áglo qe forma as rectas. 6. osidérese a recta r de R de ector director ( 0 qe pasa pola orixe. Escribir as ecaciós paramétricas de tódalas rectas qe pasa pola orixe está cotidas e x - y 0 e forma ademais áglo de 60º co r. 7. Sexa (-40 (6 e (- os tres értices d triáglo: a alcla a ecació do plao qe coté ao triáglo. b alcla o eo de cada dos tres áglos do triáglo. c alcla a área do triáglo. y 8. Dada a recta r de ecació x e o plao de ecació x y 6 0 : a calclar o áglo qe forma a recta r e o plao. b determiar a ecació cotia da recta s proxecció ortogoal de r sobre o plao. 9. Dado o plao x e a recta r x y 0 a Determiar a súa posició o espao b alclar se existe o pto P itersecció de e r. c char o áglo qe forma e r. d Dado o pto Q( 0 - de r achar o se simétrico respecto do plao e a ecació da recta simétrica a r respecto de. 0. osidera a recta r do espao dada polas ecaciós: ( a x y 0 ode a é x 0 parámetro e a recta r qe te ( - como ector director e pasa por (b - c. Determia os alores de ab e c tales qe r e r se corte a orixe formado áglo de 45º. ÁNGULOS PERPENDIULRIDDE DE RETS E PLNOS VIII /

4 . cha a ecació do plao qe coté á recta r e é paralelo á recta s; sedo y 4 r ; s x 0 0 y x 8 Determia o pto de corte do plao aterior co cada ha das rectas bisectrices dos áglos formados por dos dos eixes coordeados. x 0 x 0. osidérase as rectas r : ; s : e o plao qe pasa polos y 0 y 0 ptos ( 0 ( e ( 0. I Dar a ecació xeral o implícita de II Uha das dúas rectas corta a. Determiala e achar o pto de corte co alclar o seo do áglo qe forma dita recta e o plao III omprobar qe a otra recta é paralela a. alclar a ecació xeral do plao qe a coté e é paralelo a.. Nha oa cha de eadas frecetes pretédese trír ha casa cha plata segdo o esqema adxto. Para o tellado optase por facelo a ha soa aga ( formado plao! e as altras co respecto ao cha escollidas so: metros e e e 0 metros e. a Determiar a altra do tellado e D. b Determiar qe áglo forma a perpediclar ao tellado coa perpediclar ao cha. 4. N cbo calcla o áglo qe forma a recta coa recta qe e co pto medio do lado D y x x y 5. Dadas as rectas r : e s : ecotra ha recta x bisectri de r e s (ha recta bisectri de otras dúas pasa polo pto de itersecció de estas está o mesmo plao qe elas e forma o mesmo áglo co ambas. 6. Spoñer qe o plao coordeado 0 é espello (reflectite e ambas caras. Desde (4 parte raio de l qe reflectídose o espello ilmia o pto (0- a E qe pto do espello debe icidir o citado raio? b char a ecació xeral do plao qe coté aos raios icidete e reflectido. 7. base dha pirámide é cadrado D de metros de lado e o se értice V está sitado a ha altra de metros sobre o cetro da base. alclar o áglo qe forma os plaos V e V. 0. a Defiició e cálclo do áglo qe forma dúas rectas. odició de perpediclaridade. b Determíese o áglo qe forma a recta r e o plao de ecaciós: x : 6 x y 6 r : y 08. Estdar a posició relatia das rectas r e s e calclar o áglo qe forma. x λ x y r: s: y λ 4 x 4 λ 0. osidérese o plao o triáglo de értices (0 (0 e (--. alclar os áglos e a área deste triáglo VIII / 4 Matemáticas II XEOMETRÍ

5 6.. Áglo qe forma dúas rectas.. Determie o áglo qe forma a recta r qe pasa polo pto (-0 e tal qe o se ector director é x 6 (-0 e a recta s de ecació: 7 y Determie o ector (o ectores itarios (abc (co a>0 b>0 c>0 qe forma áglo de / 6 radiás co ector ( e áglo de / 4 radiás co w(0.. Deda as ecaciós ectorial paramétricas e implícita (o xeral d plao determiado por pto e dos ectores directores.. Dados os ptos P(4 e Q(77 determie a ecació xeral do plao qe é perpediclar ao segmeto PQ e qe pasa polo pto medio dese segmeto 4.. Áglo qe forma ha recta e plao. Determie o áglo qe forma o plao : x y 4 0 e a recta r : x y 0 y 8.. Áglo qe forma dúas rectas. odició de perpediclaridade. Determie o áglo qe forma a recta qe pasa polos ptos (0- e (0- e a recta y de ecació x.. Qe codició debe cmprir os coeficietes das ecaciós xerais de dos plaos para qe estes sexa perpediclares?. che o áglo qe forma os plaos : x y 0 e : x y ÁNGULOS PERPENDIULRIDDE DE RETS E PLNOS VIII / 5