REZUMAT CURS 3. i=1. Teorema 2.2. Daca f este (R)-integrabila pe [a, b] atunci f este marginita

Transcript

1 REZUMAT CURS 3. Clse de uctii itegrbile Teorem.. Dc :, b] R este cotiu tuci este itegrbil pe, b]. Teorem.2. Dc :, b] R este mooto tuci este itegrbil pe, b]. 2. Sume Riem. Criteriul de itegrbilitte Riem Fie :, b] R, : = x 0 < x < < x i < x i < < x = b o diviziue itervlului, b] si ξ i x i, x i ] u puct orecre. Dc otm cu ξ = (ξ, ξ 2,..., ξ ), tuci sum Riem socit uctiei, diviziuii si puctelor itermedire ξ i se otez cu σ (; ξ) si este pri deiitie σ (; ξ) = (ξ i )(x i x i ). i= Deiitie 2.. :, b] R este (R)-itegrbil (itegrbil i sesul lui Riem)pe, b] dc exist u umr rel iit I cu propriette: ɛ > 0, δ ɛ stel ict cu < δ ɛ si ξ = (ξ,..., ξ ) σ (, ξ) I < ɛ. Teorem 2.2. Dc este (R)-itegrbil pe, b] tuci este mrgiit pe, b]. Teorem 2.3. Fie :, b] R mrgiit. Atuci este (R)- itegrbil pe, b] dc si umi dc este (D)-itegrbil pe, b] si otm I = (x)dx. Teorem 2.4 (Criteriul de itegrbilitte l lui Riem). Coditi ecesr si suiciet c :, b] R s ie itegrbil pe, b] este s existe I R(iit) cu propriette: { } diviziui le itervlului, b] cu 0 si ξ () orice puct itermedir petru s vem σ (, ξ () ) = I

2 2 REZUMAT CURS 3 Fie :, b] R itegrbil. : x i = + i b, i = 0,, h = b = h = b 0 cd ξ i = x i = + i b σ (, ξ) = i= = b ( + i b i= (x)dx = b k= ) ( ) b + i b i= ] (x)dx + i b ]. Exemplu 2.5. S se clculeze ( + k = + + ) O lt metod: k= + k = k= + k = = 0 k= dx x + + k = l ( )] = (c + l 2 + ɛ 2 c l ɛ ) = l 2 + (ɛ 2 ɛ ) = l Criteriul de itegrbilitte l lui Lebesgue Deiitie 3.. A R se umeste eglijbil (de msur Lebesgue ul) dc ɛ > 0, exist u sir {I } de itervle deschise stel

3 ict A REZUMAT CURS 3 3 = I si l(i ) < ɛ ude l(i ) este lugime itervlului I.(Uele itervle I pot i multime vid) Exemplu 3.2. Fie A = {x 0 }. Atuci A este o multime eglijbil. Fie I = ( x 0 ɛ, x ) ɛ, I = petru 2 si l(i ) = 2ɛ < ɛ. 3 = Observti 3.3. {x 0 } este eglijbil. Observti 3.4. B A si A este eglijbil, tuci si A este eglijbil. Observti 3.5. Dc A este eglijbil petru orice N tuci A este eglijbil. = I prticulr di observti 3.3 si di observti 3.5 rezult c orice multime iit este eglijbil. Teorem 3.6 (Criteriul de itegrbilitte l lui Lebesgue). Coditi ecesr si suiciet c :, b] R s ie itegrbil este: i) s ie mrgiit; ii) multime puctelor de discotiuitte lui s ie eglijbil. Deiitie 3.7. :, b] R este cotiu pe portiui dc exist = x 0 < x < < x i < x i < < x = b, stel ict este cotiu pe (x i, x i ) petru orice i =,, (x i 0) si (x i + 0) sut iite. Di teorem 3.6 rezult c uctiile cotiue pe portiui sut itegrbile. Teorem 3.8. Fie :, b] R itegrbil. Dc g :, b] R este o uctie stel ict exist A, b] iit stel ict g(x) = (x), x, b] A tuci g este itegrbil si g(x)dx = (x)dx. Di teorem 3.8 rezult c vlore uei itegrle deiite u se schimb dc modiicm ucti de sub itegrl itr-u umr iit de pucte. =

4 4 REZUMAT CURS 3 4. Proprietti le itegrlei deiite. Dc, g :, b] R sut itegrbile, tuci α + βg este itegrbil pe, b] si petru orice α, β R. α(x) + βg(x)]dx = α I (x)dx + β (x)dx : F, b] R, g(x)dx, ude F este multime uctiilor itegrbile pe, b], I() = (x)dx, I plictie liir. 2. Dc si g sut itegrbile tuci g este itegrbil. 3. Dc, g :, b] R sut itegrbile si g pe, b] tuci (x)dx g(x)dx. 4. Dc este itegrbil tuci este itegrbil si (x)dx (x) dx. 5. Teoreme de medie Teorem 5.. Fie :, b] R itegrbil, m = i{(x) : x, b]} si M = sup{(x) : x, b]}. Fie g :, b] R itegrbil cu propriette c g 0 (respectiv g 0), petru orice x, b]. Atuci exist µ cu m µ M stel ict (x)g(x)dx = µ g(x)dx. Corolrul 5.2. Fie :, b] R itegrbil, m = i{(x) : x, b]} si M = sup{(x) : x, b]}. Atuci exist µ cu m µ M stel ict (x)dx = µ(b ). Teorem 5.3. Dc si g sut c i teorem 5. si i plus este cotiu tuci exist ξ, b] stel ict (x)g(x)dx = (ξ) g(x)dx. Corolrul 5.4. Dc :, b] R este cotiu tuci exist ξ, b] stel ict (x)dx = (ξ)(b ).

5 REZUMAT CURS Formul Leibiz-Newto Teorem 6.. Fie :, b] R cotiu si ie F (x) = x (t)dt, petru orice x, b]. Atuci F (x) = (x), petru orice x (, b). Orice uctie cotiu dmite primitive. Teorem 6.2. (Formul Leibiz-Newto) Fie F :, b] R de cls C. Atuci F (b) F () = F (x)dx.