Números reais. Obxectivos. Antes de empezar. 1. Os números reais... páx. 4 Números irracionais. Números reais

Transcript

1 Números reis Oectivos Nest quincen prenderás : Clsificr os números reis en rcionis e irrcionis. Aproimr números reis por truncmento e redondeo. Representr grficmente números reis. Comprr números reis. Relizr opercións sinels con rdicis. Antes de empezr.. Os números reis... pá. Números irrcionis Números reis Aproimcións Representción gráfic Vlor soluto Intervlos. Rdicis... pá. 7 Form eponencil Rdicis equivlentes. Propieddes ds ríces... pá. 8 Ordención de números reis Vlor soluto e distncis Intervlos e semirrects. Opercións con ríces... pá. 9 Introducir e etrer fctores Clculr ríces Sums e rests Produtos Cocientes Eercicios pr prcticr Pr ser máis Resumo Autovlición MATEMÁTICAS Orientds ás Ensinnzs Aplicds º ESO

2 MATEMÁTICAS Orientds ás Ensinnzs Aplicds º ESO

3 Números reis Antes de empezr Investig Segurmente relizches lgunh vez lgún cálculo co número pi; por eemplo, clculr lonitude dlgunh circunferenci ou áre dun círculo. Nestes cálculos terás utilizdo vlores como ', '6, '9,... Tmén é posile que lers nlgún ornl que se descuriu outr cifr do número pi ou que se coñecen con ectitude tnts cifrs do número pi. Todo o nterior result un pouco confuso. Cl ds cntiddes nteriores é o uténtico número pi? Como é posile que chmemos pi tods els se é ovio que son diferentes? Como é posile que se esten descurir índ cifrs de pi se o estmos usr dende hi un montón de nos? Intent dr unh respost ests pregunts. Se non o consegues gor, volve intentlo despois de ver este tem en profundidde. Pr finlizres propost, í vi outr pregunt: Cl é ou cl poderí ser últim cifr do número pi? MATEMÁTICAS Orientds ás Ensinnzs Aplicds º ESO

4 Números reis. Os números reis Números irrcionis N quincen nterior tes visto que os números rcionis poden escriirse en form deciml, producindo sempre un deciml ecto ou periódico. Tmén temos visto que todo deciml periódico pode escriirse en form de frcción. É dodo compror que hi números cu epresión deciml non é periódic, por eemplo: 0, Estes números non se poden escriir en form de frcción: non son rcionis. Chmmos irrcionis os números cu prte deciml non é periódic. REPRESENTACIÓN DE NÚMEROS IRRACIONAIS O feito de que os números irrcionis teñn infinits cifrs decimis que non se repiten de form periódic formul o prolem de cómo representr os devnditos números de form ect. Algúns destes números poden representrse de form ect. Por eemplo: son representcións ects dos números,6 ;,68098 ;, respectivmente (os puntos suspensivos indicn que non hi un finl). En cmio, outros números irrcionis non poden epresrse en form ect. Por eemplo, o cociente entre lonitude dunh circunferenci e o seu diámetro é unh cntidde constnte que é irrcionl, pero non pode ser descrito nunh form sinel como os números nteriores. Pr representr estes números de form ect, poñémoslle un nome. Neste cso trátse do número pi:. Pr fcer cálculos con estes números, usmos un vlor proimdo. O número é irrcionl (mplición) Como pode serse se un número é irrcionl? Non hi unh técnic erl, pero nlgúns csos pode usrse unh técnic de demostrción denomind redución o surdo que consiste en supoñer que o que se quere pror é flso e chegr, prtir des suposición, unh contrdición. Iso implic que o feito inicil non pode ser flso. O que queremos pror é que non é un número rcionl. Pr iso empezremos supoñendo que si o é. Polo tnto, pode escriirse en form de frcción que podemos converter en irredutile simplificndo todo o que se poid. Así pois, eistirín dous números enteiros, m e n, sen fctores primos comúns de form que Sendo p, p,,pr os fctores primos de n e q, q,,qr os fctores primos de m e tods s p son distints de tods s q. Elevndo o cdrdo qued: E n e m seguen sen ter fctores primos comúns. Polo tnto, n m, de onde se deduce que n é divisile por e, polo tnto, pode escriirse como nt. Así pois: E t e m non teñen fctores primos comúns. Elevndo de novo o cdrdo qued: Polo tnto, m tmén é divisile por. Prtindo de que n e m non teñen fctores primos comúns chegmos á conclusión de que mos son múltiplos de. Chegmos unh contrdición. Dquel, suposición de que este número é rcionl é fls e deducimos diso que é irrcionl. MATEMÁTICAS Orientds ás Ensinnzs Aplicds º ESO

5 Números reis Números reis IR O conunto dos números reis, denotdo pol letr R co form que ves á esquerd, está formdo por todos os números rcionis e todos os números irrcionis. É dicir, todos os números que poidn escriirse en form deciml, se est ect, periódic ou non periódic. Isto englo todos os tipos de números que coñecemos t o momento., < <,, < <, Aproimcións, < <,, < <, TRUNCAMENTO REDONDEO,,,,,,,,,,,,,,6,6,6 Un truncmento sempre é unh proimción por defecto; o redondeo pode ser por defecto ou por eceso. Como comproches, os números reis teñen infinits cifrs decimis, polo que, en erl, non é posile dr o seu vlor ecto. Nlgúns csos, como os rcionis (co frcción ertriz) e os rdicis, si é posile representlos de form ect. Pero en infinidde doutros csos (como o número π), isto non é posile. Cndo nun prolem necesitmos usr un número con infinits cifrs decimis, usmos n práctic un vlor proimdo que nos permit oter un resultdo ceptle índ que non se ecto. Unh proimción é por defecto se é menor que o número ecto e por eceso se é mior. Cndo nun deciml nos quedmos cos n primeirs cifrs decimis, dicimos que relizmos un truncmento con n cifrs significtivs. Relizmos un redondeo con n cifrs significtivs, se truncmos con n cifrs, deindo igul cifr n-ésim se seguinte é menor que, e umentndo últim cifr nunh unidde en cso contrrio. Oserv os eemplos d esquerd onde se tomn distints proimcións de. MATEMÁTICAS Orientds ás Ensinnzs Aplicds º ESO

6 Números reis Representción gráfic de números irrcionis Neste tem vimos s dificultdes de representr de form ect os números irrcionis, dificultdes que se trsldn á sú representción gráfic. Á dereit podes ver distints técnics usds pr representción en form gráfic de números irrcionis. Nlgún cso poden usrse métodos eométricos de grn ectitude, pero n miorí dos csos só podemos relizr unh representción proimd; iso si, co nivel de precisión que queirmos. Estes métodos grnten que pode socirse de eito único un punto d rect cd número rel e, reciprocmente, un número rel cd punto d rect. Por este motivo, doit identificrse o conunto R dos números reis cunh rect, á que se denomin rect rel. Vlor soluto A equivlenci entre puntos e números permite plicr conceptos eométricos o cálculo, en prticulr ide de distnci medinte o vlor soluto dun número. Chmmos vlor soluto dun número rel,, o mior dos números e -. O vlor soluto de represéntse sí:. π, Dest form podemos coutr π entre dous números rcionis, que semos representr, e que están cd vez máis próimos. Propieddes do vlor soluto ) 0 ) - ) + + ) ) O vlor soluto dun número represent distnci do mesmo o cero. Podemos enerlizr est ide: A distnci entre dous números reis, e, é o vlor soluto d sú diferenz: d(,) - -,688 --,688,688 -,688 Se e teñen o mesmo signo, distnci entre e é rest dos vlores solutos e, se o signo é distinto, sum. -,96,96,7,7 d(,)6,89,00,00,86,6 d(,),807 6 MATEMÁTICAS Orientds ás Ensinnzs Aplicds º ESO

7 Intervlo pechdo: Os etremos pertencen o intervlo. [,] { R / } Intervlo erto: Os etremos non pertencen o intervlo. ο (,) { R / < < } Intervlo semierto: Un etremo pertence o intervlo e outro non. ο (,] { R / < } Entorno simétrico de : ο ο (-r,+r) { R / r < < + r } Semirrect coutd superiormente (-,] { R / } Semirrect coutd inferiormente ο (,+ ) { R / < } ο Números reis Intervlos: segmentos e semirrects O concepto de intervlo está ligdo os conceptos eométricos de segmento e semirrect: un intervlo coutdo equivle un segmento e un intervlo non coutdo equivle unh semirrect. Ddos dous números reis e, chámse intervlo de etremos e o conunto de números reis comprendidos entre mos. A lonitude do intervlo é distnci(,) - Nos intervlos coutdos, dependendo de que os etremos pertenzn ou non o mesmo, distínguense os intervlos pechdos, ertos e semiertos (pol esquerd ou pol dereit). Se se constrúe un intervlo erto o redor dun punto, otense un entorno simétrico de de rio r, conunto de números reis cu distnci é menor que r. Un intervlo non coutdo é o conunto formdo por todos os números miores (ou ), ou menores (ou ) que un ddo, cot inferior ou superior respectivmente,. Represéntnse medinte unh semirrect e sú lonitude é infinit. EXERCICIOS resoltos. Indicr o menor dos conuntos numéricos o que pertencen os números: ), ) 6,0 c) d) ) R (deciml non periódico) ) Q (deciml periódico) c) Q (frcción non ect) d) Z (frcción ect negtiv) e) R (rdicl non ecto) f) N (rdicl ecto). O rio dunh circunferenci é de m. Clcul sú lonitude.. Truncndo o resultdo primeiro cm e logo m. 6 L π r,888...m 88 cm m.. Redondendo o resultdo primeiro cm e logo m L π r,888...m 88 cm m. Clcul o vlor soluto dos números - e, e distnci entre eles.. Clcul + - e /,, dist(,) - -(-) ; ; - - ; e) / -/ /. Indic que puntos pertencen o intervlo en cd cso:.. Intervlo (-7,-]. Puntos: ) ) 7 c) Respost:.. Intervlo (-,7]. Puntos: ) ) 7 c) 76 Respost: e. f) 6 MATEMÁTICAS Orientds ás Ensinnzs Aplicds º ESO 7

8 Números reis. Rdicis Form eponencil Chmmos ríz n-ésim dun número ddo,, o número que elevdo n nos dá. 8 por ser 8 n n Un rdicl é equivlente unh potenci de epoñente frccionrio n que o denomindor d frcción é o índice do rdicl e o numerdor d frcción é o epoñente do rdicndo. p n p n Rdicis equivlentes Dous ou máis rdicis dinse equivlentes se s frcciones dos epoñentes ds potencis socids son equivlentes. Ddo un rdicl, pódense oter infinitos rdicis semellntes, multiplicndo ou dividindo o epoñente do rdicndo e o índice d ríz por un mesmo número. Se se multiplic, chámse mplificr e, se se divide, chámse simplificr o rdicl. Rdicl irredutile, cndo frcción d potenci socid é irredutile. 6 son equivlentes por ser: Amplificr: Simplificr: 6 6 : : 6 6 Irredutile por ser m.c.d.(,) EXERCICIOS resoltos 6. Escrie os seguintes rdicis como potenci de epoñente frccionrio: ) ) X X 7. Escrie s seguintes potencis como rdicis: ) 7 7 ) 7 8. Escrie un rdicl equivlente, mplificndo o ddo: ) 6 6 ) 9. Escrie un rdicl equivlente, simplificndo o ddo. ) : : ) 8 8 :7 8: 7 8 MATEMÁTICAS Orientds ás Ensinnzs Aplicds º ESO

9 Números reis. Propieddes ds ríces Ríz dun produto A ríz n-ésim dun produto é igul o produto ds ríces n-ésims dos fctores Demostrción: n n n n n n n n n ( ) Ríz dun cociente A ríz n-ésim dun cociente é igul o cociente ds ríces n-ésims do dividendo e do divisor. Demostrción: n n n n n n n n n ( ) 8 7 ( ) 7 Ríz dunh potenci Pr chr ríz dunh potenci, clcúlse ríz d se e logo elévse o resultdo á potenci dd. n p n ( ) p p n p n Demostrción: ( ) n n p p Ríz dunh ríz A ríz n-ésim d ríz m-ésim dun número é igul á ríz nm-ésim dese número. n m n m Demostrción: n n m m n m n m MATEMÁTICAS Orientds ás Ensinnzs Aplicds º ESO 9

10 Números reis EXERCICIOS resoltos 0. Escrie cunh so ríz: ) ) 7 X. Escrie cunh so ríz: ) 7 ). Escrie cunh so ríz: X 7 8 ) ) Opercións con ríces Introdución e etrcción de fctores Pr introducir un fctor dentro dun rdicl, elévse o fctor á potenci que indic o índice e escríese dentro. Se lgún fctor do rdicndo ten por epoñente un número mior que o índice, pódese etrer fór do rdicl dividindo o epoñente do rdicndo entre o índice. O cociente é o epoñente do fctor que se fór e o resto é o epoñente do fctor que qued dentro. Introducir 8 Etrer: Cálculo de ríces Pr clculr ríz n-ésim dun número primeiro, fctorízse e escríese o número como produto de potencis; logo etráense todos os fctores. Se todos os epoñentes do rdicndo son múltiplos do índice, ríz é ect. Est técnic é moi útil pr chr ríces ects. Cndo ríz non é ect, est técnic trnsform o rdicl nunh epresión máis mnele MATEMÁTICAS Orientds ás Ensinnzs Aplicds º ESO

11 Números reis Sums e Rests Dús epresións rdicis son semellntes se teñen o mesmo índice e o mesmo rdicndo. Por eemplo: 8 Só se poden sumr ou restr rdicis semellntes. Pr iso sácse fctor común o rdicl correspondente e súmnse ou réstnse os coeficientes. En ocsións podemos sumr rdicis non semellntes etrendo lgún fctor que os convert en semellntes. Produtos Dús epresións rdicis poden multiplicrse só se teñen o mesmo índice. Neste cso o produto fise do seguinte eito: comprondo o finl se pode etrerse lgún fctor do rdicl. Se os rdicis non son do mesmo índice, primeiro úscnse rdicis equivlentes que teñn o mesmo índice e, logo, multiplícnse. Eemplo: Aquí só veremos rdicis cudráticos. Cocientes Dús epresións rdicis poden dividirse só se teñen o mesmo índice. Neste cso, o cociente fise como se ve n ime: N práctic non doitn deirse rdicis no denomindor e, en lugr de fcer sí división, utilízse outro método chmdo rcionlizción que consiste en encontrr unh frcción equivlente que non teñ rdicis no denomindor. No cdro dunto descriimos este método pr rdicis cudráticos. MATEMÁTICAS Orientds ás Ensinnzs Aplicds º ESO

12 Números reis EXERCICIOS resoltos. Introduce os fctores dentro do rdicl: ) 6 8 ) ( ). Etre os fctores do rdicl: ) 8 ) Clculr s seguintes ríces: ) 0 ) ( ) Indic qué rdicis son semellntes ) ; e Son semellntes ) ; e Non son semellntes, teñen distinto índice 7. Clculr sum: ) ) Clculr o produto: 6 7 ) ) 7 ( ) ( ) Clculr o cociente: MATEMÁTICAS Orientds ás Ensinnzs Aplicds º ESO

13 Números reis Pr prcticr. Considerndo 7, como o vlor ecto de 6, escrie s proimcións por defecto, por eceso e redondeos de orde primeir e segund (décims e centésims, respectivmente).. A cint métric que prece io ten unhs divisións t o medio cm. Utilizámol pr medir un vr e otemos o vlor que se mostr nel. Entre qué vlores ectos se encontr lonitude rel, supoñendo que ese vlor é: ) por defecto; ) por eceso; c) redondeo cm.. Determin os conuntos A B, AUB, A-B e -A nos csos seguintes:. A [-,-9] B (-,6). A [-,] B (,). A [-,7] B (-,6). Escrie como potenci de epoñente frccionrio: ) ) c) 6. Escrie como un rdicl: ) ) c) d) d) 7. Etrer todos os fctores posiles dos seguintes rdicis ) 8 ) 6 c) 9 d) 7 98 c 8. Introducir dentro do rdicl todos os fctores posiles que se encontren fór del. ) ) As proimcións poden utilizrse tmén con números enteiros. Pr enerlizr est ide, usremos o concepto de cifrs significtivs: Se un número N é un vlor proimdo doutro número P, diremos que N ten n cifrs significtivs se s primeirs n cifrs de N coinciden cos n primeirs cifrs de P. (Non se considern cifrs significtivs os ceros cu únic finlidde é situr com deciml). A definición nterior é stnte intuitiv pero non sempre é correct de todo, por iso precismos un pouco máis: Diremos que N ten n cifrs significtivs se o número formdo cos n primeirs cifrs de N difire do número formdo cos n primeirs cifrs de P (eliminndo s coms decimis se s houese) en menos de 0,.. Dinnos que pooción dunh cidde é de hitntes e que s primeirs cifrs dest cntidde son significtivs. Entre que vlores se ch relmente sú pooción? c) d) 9. Sum os seguintes rdicis indicdos. ) 0 ) c) d) Reliz s opercións seguintes: ) ( ) ) ( 7 + ) c) ( + ) d) ( + ) ( ). Divide os seguintes rdicis 6 7 y ) ) y MATEMÁTICAS Orientds ás Ensinnzs Aplicds º ESO

14 Números reis Pr ser máis Cuestións sore pi N presentción do tem mencionáse que o vlor de pi er ', '6,... e formulánse unh serie de pregunts o respecto: Cl ds cntiddes nteriores é o uténtico número pi? Segundo viches o longo do tem, en relidde ningunh ds nteriores cntiddes son o vlor ecto de pi, trátse de proimcións o número e poñer máis ou menos decimis depende d precisión que necesitemos n medid. Como é posile que chmemos pi tods els se é ovio que son diferentes? O feito de que chmemos pi clquer ds nteriores cntiddes déese que é imposile utilizr o vlor ecto d miorí dos números irrcionis, polo que nos temos que contentr con dr proimcións ese vlor. Como diemos ntes, o número de cifrs decimis con que se dá este número dependerá d precisión de medid desed e o feito de que, por eemplo, curt cifr deciml se un 6 en '6 e un en '9 déese que proimción se fi en cd cso por redondeo e, con ctro cifrs decimis, '6 está máis próimo do vlor ecto que '. Algúns números irrcionis, como ríz cdrd de, si poden representrse en form ect, pero se es cntidde queremos medir n práctic, non nos quedrá máis remedio que dr un vlor proimdo co precisión que deseemos. Como é posile que se esten descurir índ cifrs de pi se o estmos usndo dende hi un montón de nos? Os números irrcionis teñen infinits cifrs decimis que non se repiten de form periódic. Pr chr ests cifrs eisten distintos procedementos ou lgoritmos. Algúns destes lgoritmos son reltivmente sinelos, como o que se utiliz pr oter s cifrs decimis d ríz cdrd de (que ntigmente se ensin n escol primri); outros, en cmio, son tremendmente longos e compleos. O número pi está neste segundo grupo. Actulmente os lgoritmos pr o cálculo de cifrs decimis de pi eecútnse con potentes ordendores. Cl é ou cl poderí ser últim cifr do número pi? Como diemos ntes, os números irrcionis teñen infinits cifrs decimis; polo tnto, non eiste últim cifr do número pi. Como demis s sús cifrs non se repiten de form periódic, non se pode predicir de ntemán qué cifr será que ocupe un determindo lugr t que se consig clculr. MATEMÁTICAS Orientds ás Ensinnzs Aplicds º ESO

15 Números reis Lemr o máis importnte Os números reis Os números irrcionis son os decimis non periódicos. O conunto R dos números reis está formdo por todos os números rcionis e irrcionis. Aproimcións Pr representr decimis infinitos, usmos proimcións por defecto e por eceso, truncmentos e redondeos. Todos os números reis, tnto os rcionis como os irrcionis, se poden representr medinte un punto d rect e, reciprocmente, cd punto d rect lle corresponde un número rel. Propieddes dos rdicis Ríz n-ésim Rdicis equivlentes Epoñente frccionrio Rdicis semellntes Son rdicis co mesmo índice e o mesmo rdicndo, podendo diferir no seu coeficiente. A rect rel O vlor soluto dun nº, é o nº prescindindo do signo. A distnci entre dous puntos e é o vlor soluto d sú diferenz - - Intervlos: segmentos e semirrects Intervlo pechdo Intervlo erto [,] (,) Intervlo semierto (,] ou [,) Intervlo non coutdo como [,+ ) ou (-,) MATEMÁTICAS Orientds ás Ensinnzs Aplicds º ESO

16 Números reis Autovlición. Indic o menor conunto numérico o que pertence o número, Unh mill ingles son 609, m. Redonde km 7 mills.. Co clculdor, escrie un truncmento e un redondeo ás milésims de. Escrie o intervlo [-, ] (, 8).. Clcul seguinte ríz: Escrie en form de epoñente frccionrio: 0 7. Introduce o fctor no rdicl: 6 8. Etre os fctores do rdicl: 9. Clcul: Clcul e simplific: 0 y 9 y 6 MATEMÁTICAS Orientds ás Ensinnzs Aplicds º ESO

17 Solucións dos eercicios pr prcticr Números reis. ) De primeir orde: Por defecto: 7, Por eceso: 7, Redondeo: 7, ) De segund orde: Por defecto: 7,8 Por eceso: 7,9 Redondeo: 7,8. ) Entre,00 e,0 m ) Entre,09 e,00 m c) Entre,09 e,0 m. Entre 7800 e 7900 cunh cot de erro de 00 hitntes.. Cso ) A B Φ (leiro) ) A B ) A B [, 9] (,6 ) A [, 9] ) A (, ) ( 9, + ) Cso ) A B (,) ) A B ) A B [, ] [, ] [, ] ) A (, ) (, + ) Cso ) A B [,6) ) A B ) A B [,7 ] [ 6,7] ) A (, ) (7, + ). ) c) ) d) 6. ) ) c) d) 7. ) ) c) d) 7 c c 8. ) ) c) 8 d) 7 9. ) ) c) 7 d) 0. ) 6 ) + 0 c) d). ) ) y Solucións AUTOAVALIACIÓN. Q (deciml periódico). km. redon.:,8 trun.:,8. (,]. (78 7 ) y 7 MATEMÁTICAS Orientds ás Ensinnzs Aplicds º ESO 7