Cap.2. Sisteme de ecuaţii algebrice liniare - metode directe (II)
|
|
- Πολύκαρπος Αναγνώστου
- 5 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Cap.2. Sisteme de ecuaţii algebrice liniare - metode directe (II) Prof.dr.ing. Universitatea "Politehnica" Bucureşti, Facultatea de Inginerie Electrică, Departamentul de Electrotehnică Suport didactic pentru disciplina Metode numerice, /39
2 Cuprins Formularea problemei 1 Formularea problemei Rezolvarea unui sistem de ecuaţii algebrice liniare Cazul sistemelor multiple 2 Varianta Doolittle 3 Ce sunt? Adaptarea metodelor directe - exemplu 4 2/39
3 Formularea problemei Rezolvarea unui sistem de ecuaţii algebrice liniare Cazul sistemelor multiple Sistem de n ecuaţii algebrice liniare cu n necunoscute: a 11 x 1 + a 12 x 2 + +a 1n x n = b 1, a 21 x 1 + a 22 x 2 + +a 2n x n = b 2, a n1 x 1 + a n2 x 2 + +a nn x n = b n. (1) 3/39
4 Formularea problemei Rezolvarea unui sistem de ecuaţii algebrice liniare Cazul sistemelor multiple Se dă matricea coeficienţilor A = şi vectorul termenilor liberi a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a n1 a n2 a nn se cere să se rezolve sistemul unde x este soluţia IRn n (2) b = [ b 1 b 2 b n ] T IR n, (3) Ax = b, (4) x = [ x 1 x 2 x n ] T IR n. (5) 4/39
5 Buna formulare matematică Rezolvarea unui sistem de ecuaţii algebrice liniare Cazul sistemelor multiple Problema este bine formulată din punct de vedere matematic (soluţia există şi este unică) matricea A este nesingulară (are determinantul nenul). Se scrie formal: x = A 1 b trebuie citită ca: "x este soluţia sistemului algebric liniar Ax = b" şi NU "se calculează inversa matricei A care se înmulţeşte cu vectorul b". 5/39
6 Condiţionarea problemei Rezolvarea unui sistem de ecuaţii algebrice liniare Cazul sistemelor multiple κ(a) = A A 1 (6) număr de condiţionare la inversare al matricei A. ε x κ(a)ε b, (7) κ(a) 1: Cazul cel mai favorabil: n A = 1 şi ε x = ε b. (matrice ortogonală) Numărul de condiţionare este o proprietate a matricei şi nu are legătură nici cu metoda de rezolvare propriu-zisă, nici cu erorile de rotunjire care apar în mediul de calcul. În practică: Dacă κ(a) > 1/eps problema se consideră slab condiţionată. 6/39
7 Clasificarea metodelor Rezolvarea unui sistem de ecuaţii algebrice liniare Cazul sistemelor multiple 1 Metode directe - găsesc soluţia teoretică a problemei într-un număr finit de paşi. (Gauss, factorizare LU) 2 Metode iterative - generează un şir de aproximaţii ale soluţiei care se doreşte a fi convergent către soluţia exactă. staţionare: Jacobi, Gauss-Seidel, SOR, SSOR nestaţionare (semiiterative): gradienţi conjugaţi (GC), reziduu minim (MINRES), reziduu minim generalizat (GMRES), gradienţi biconjugaţi (BiGC), etc. 7/39
8 Formularea problemei Rezolvarea unui sistem de ecuaţii algebrice liniare Cazul sistemelor multiple Fie m sisteme de ecuaţii algebrice liniare Ax (1) = b (1), Ax (2) = b (2),, Ax (m) = b (m), (8) Se dau: A IR n n, b (k) IR n 1, k = 1, m Se cer: x (k) IR n 1, Notăm B = [b (1) b (2) b (m) ] IR n m (9) X = [x (1) x (2) x (m) ] IR n m (10) Se cere să se rezolve sistemul AX = B. (11) 8/39
9 Varianta I Formularea problemei Rezolvarea unui sistem de ecuaţii algebrice liniare Cazul sistemelor multiple Varianta I - aplicarea succesivă a algoritmului Gauss Efort de calcul: m(2n 3 /3+n 2 ) 2mn 3 /3. Etapa de eliminare este repetată inutil, de m ori. Cea mai proasta idee. 9/39
10 Varianta II Formularea problemei Rezolvarea unui sistem de ecuaţii algebrice liniare Cazul sistemelor multiple Varianta II - rezolvarea simultană prin adaptarea algoritmului Gauss procedură Gauss_multiplu(n, m, a, B, X) ; rezolvă simultan sistemele algebrice liniare ax = B prin metoda Gauss întreg n ; dimensiunea sistemului întreg m ; numărul de sisteme tabloureal a[n][n] ; matricea coeficienţilor - indici de la 1 tablou real B[n][m] ; matricea termenilor liberi tabloureal X[n][m] ; matricea soluţie întreg i, j, k real p, s ; etapa de eliminare pentru k = 1, n 1 ; parcurge sub-etape ale eliminării ; aici se poate introduce pivotarea pentru i = k + 1, n ; parcurge liniile p = a ik /a kk ; element de multiplicare pentru j = k + 1, n ; parcurge coloanele a ij = a ij + pa kj pentru j = 1, m ; parcurge coloanele termenilor liberi b ij = b ij + pb kj 10/39
11 Varianta II Formularea problemei Rezolvarea unui sistem de ecuaţii algebrice liniare Cazul sistemelor multiple ; etapa de retrosubstituţie pentru k = 1, m x nk = b nk /a nn pentru i = n 1, 1, 1 s = 0 pentru j = i + 1, n s = s + a ij x jk x ik = (b ik s)/a ii retur 11/39
12 Varianta II Formularea problemei Rezolvarea unui sistem de ecuaţii algebrice liniare Cazul sistemelor multiple Efort de calcul T e = n 1 n 1 [2(n k)+2m+1](n k) [2(n k) 2 + 2m(n k)] = k=1 (n 1)n(2n 1) = 2 + 2m n(n 1) 2n mn2. (12) k=1 n 1 T s = m [2(n i)+2] m i=1 n 1 i=1 [2(n i)] = 2m n(n 1) 2 T = O(2n 3 /3+2mn 2 ), mai mic decât în cazul variantei I. mn 2. (13) 12/39
13 Varianta III Formularea problemei Rezolvarea unui sistem de ecuaţii algebrice liniare Cazul sistemelor multiple Varianta III - rezolvarea succesivă a sistemelor folosind calculul inversei Se calculeză A 1 Se calculează x (k) = A 1 b (k) imediat ce este cunoscut termenul liber. 13/39
14 Varianta III Formularea problemei Rezolvarea unui sistem de ecuaţii algebrice liniare Cazul sistemelor multiple funcţie inva(n, a) ; calculează inversa matricei a întreg n ; dimensiunea matricei tabloureal a[n][n] ; matricea, indici de la 1 ; alte declaraţii... pentru i = 1, n pentru j = 1, n B ij = 0 B ii = 1 Gauss_multiplu(n, n, a, B, X) întoarce X ; X este inversa matricei Complexitatea calcului inversei: 2n 3 /3+2mn 2 = 8n 3 /3 COSTISITOR! 14/39
15 Varianta III Formularea problemei Rezolvarea unui sistem de ecuaţii algebrice liniare Cazul sistemelor multiple funcţie produs_mv (n, M, v) ; calculează produsul dintre o matrice pătrată M şi un vector coloană v întreg n ; dimensiunea problemei tabloureal M[n][n] ; matricea, indici de la 1 tablou real v[n] ; vectorul tablou real p[n] ; rezultatul p = Mv ; alte declaraţii... pentru i = 1, n p i = 0 pentru j = 1, n p i = p i + M ij v j întoarce p Complexitatea inmulţirii dintre o matrice şi un vector: 2n 2 Efortul total de calcul : O(8n 3 /3+2mn 2 ). Există o variantă mai eficientă bazată pe factorizarea matricei coeficienţilor. 15/39
16 Ideea metodei Formularea problemei Varianta Doolittle Ax = b, (14) A = LU, factorizare (15) A = L = U = LUx = b. (16) 16/39
17 Ideea metodei Formularea problemei Varianta Doolittle Ax = b, (17) A = LU, factorizare (18) LUx = b. (19) Notăm (50) y = Ux, (20) Ly = b, substituţie progresivă Ux = y. substituţie progresivă (21) 17/39
18 Varianta Doolittle Un exemplu simplu - pornind de la Gauss x 1 + 2x 2 x 3 = 1, 2x 1 + 3x 2 + x 3 = 0, 4x 1 x 2 3x 3 = 2. x 1 + 2x 2 x 3 = 1, 7x 2 x 3 = 2, 9x 2 + x 3 = 2. x 1 + 2x 2 x 3 = 1, 7x 2 x 3 = 2, 2/7x 3 = 4/7. x 3 = ( 4/7)/( 2/7) = 2, x 2 = ( 2+x 3 )/7 = 0, x 1 = 1 2x 2 + x 3 = 1. (22) (23) (24) (25) 18/39
19 Varianta Doolittle Un exemplu simplu - pornind de la Gauss Factorizare L = Verificare: LU = A U = / /1 9/7 1 A = /7 = (26) /7 1. (27). (28) 19/39
20 Varianta Doolittle Un exemplu simplu - pornind de la Gauss Substituţie progresivă Ly = b /7 1 y 1 y 2 y 3 = y 1 = 1 2y 1 + y 2 = 0 4y 1 9/7y 2 + y 3 = 2, (29) (30) y 1 = 1 y 2 = 2y 1 = 2 y 3 = 2 4y 1 + 9/7y 2 = 4/7. (31) 20/39
21 Varianta Doolittle Un exemplu simplu - pornind de la Gauss Substituţie regresivă Ux = y x x 2 = 2, (32) 0 0 2/7 x 3 4/7 x 1 + 2x 2 x 3 = 1 7x 2 x 3 = 2 (33) 2/7x 3 = 4/7. x 3 = ( 4/7)/( 2/7) = 2, x 2 = ( 2+x 3 )/7 = 0, x 1 = 1 2x 2 + x 3 = 1. (34) 21/39
22 Variante de factorizare Varianta Doolittle Factorizare nu este unică. Variante standard: Doolittle: l ii = 1 - se aplică la orice matrice nesingulară Crout: u ii = 1 - se aplică la orice matrice nesingulară Cholesky: L = U T - se aplică doar matricelor simetrice şi pozitiv definite [ ] [ ][ l11 0 u11 u = 12 l 21 l 22 0 u 22 l 11 u 11 = 3 l 12 u 12 = 2 l 21 u 11 = 6 l 21 u 12 + l 22 u 22 = 1 ]. (35) (36) Sistemul devine determinat doar dacă fixăm oricare două valori. 22/39
23 Variante de factorizare Varianta Doolittle Exemplu: [ ] = [ [ ] = ][ ] = [ 3 0 2/3 5/3 [ ][ 3 2/3 0 5/3 ][ 1 2/3 0 1 ]. ] (37). (38) 23/39
24 Algoritmul variantei Doolittle Varianta Doolittle A 0 = A, (39) A 1 = E 1 A 0, A 2 = E 2 A 1 = E 2 E 1 A 0, A n 1 = E n 1 A n 2 = E n 1 E n 2 E 2 E 1 A 0. (40) U = A n 1. (41) E = E n 1 E n 2 E 2 E 1, (42) U = EA. (43) Dar E este nesingulară şi: L = E 1. (44) 24/39
25 Algoritmul variantei Doolittle E 1 1 = Varianta Doolittle a 11 a 12 a 13 0 a 22 a 23 = E 1 a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 0 a 32 a 33 a 31 a 32 a 33 E 1 = a 21 /a a 31 /a a 21 /a a 31 /a , E 1 2 =. (45). (46) a 32 /a (47) E 1 = E 1 1 E 1 2 E 1 n 2 E 1 n 1. (48) E 1 = a 21 /a = L. (49) a 31 /a 11 a 32 /a /39
26 Algoritmul variantei Doolittle Varianta Doolittle ; etapa de eliminare din metoda Gauss cu memorarea opuselor elementelor ; de multiplicare în triunghiul inferior al matricei pentru k = 1, n 1 ; parcurge sub-etape ale eliminării pentru i = k + 1, n ; parcurge liniile p = a ik /a kk ; element de multiplicare pentru j = k + 1, n ; parcurge coloanele a ij = a ij + pa kj a ik = p procedură factorizare_lu(n,a) ; factorizează "in loc" matricea a ; varianta Doolittle ; declaraţii pentru k = 1, n 1 ; parcurge sub-etape ale eliminării pentru i = k + 1, n ; parcurge liniile a ik = a ik /a kk ; element de multiplicare pentru j = k + 1, n ; parcurge coloanele a ij = a ij a ik a kj ; Factorizare "pe loc" : "A = L + U I" retur 26/39
27 Varianta Doolittle Calculul soluţiei după factorizare Notăm (50) LUx = b. (50) y = Ux, (51) Ly = b, (52) Ux = y. (53) "y = L 1 b" se rezolvă prin substituţie progresivă: l 11 y 1 = b 1, l 21 y 1 + l 22 y 2 = b 2, l n1 y 1 + l n2 y 2 + l nn y n = b n, y 1 = b 1 /l 11, y 2 = (b 2 l 21 y 1 )/l 22, y n = (b n n 1 k=1 l nky k )/l nn. (54) 27/39
28 Varianta Doolittle Calculul soluţiei după factorizare y 1 = b 1 /l 11, (55) i 1 y i = b i l ij y j /l ii, i = 2,..., n. (56) j=1 "x = U 1 y" se rezolvă prin substituţie regresivă: x n = y n /u nn, (57) n x i = y i u ij x j /u ii, i = n 1,...,1. (58) j=i+1 28/39
29 Varianta Doolittle Calculul soluţiei după factorizare procedură rezolvă_lu(n, a, b, x) ; rezolvă sistemul de ecuaţii ax = b prin factorizare LU ; matricea este presupusă a fi deja factorizată în loc ; varianta Doolittle ; declaraţii ; substituţie progresivă y 1 = b 1 ; formula (55), unde l 11 = 1 pentru i = 2, n s = 0 pentru j = 1, i 1 s = s + a ij y j ; formula (56), unde L este memorat în a y i = b i s ; deoarce l ii = 1 ; substituţie regresivă x n = y n/a nn ; formula (57), unde U este memorat în a pentru i = n 1, 1, 1 s = 0 pentru j = i + 1, n s = s + a ij x j x i = (y i s)/a ii retur 29/39
30 Evaluarea algoritmului Varianta Doolittle Complexitate: Erori: Factorizarea propriu-zisă a: T f = O(2n 3 /3) Rezolvările: T s = O(2n 2 ). Necesarul de memorie: M = O(n 2 ) Nu există erori de trunchiere; Erorile de rotunjire pot fi micşorate dacă se aplică strategii de pivotare. 30/39
31 Cazul sistemelor multiple Varianta Doolittle Rezolvate cu factorizare: T = O(2n 3 /3+2mn 2 ), mai mic decât cel necesar calculului inversei. Efort de calcul pentru rezolvarea sistemelor multiple. Nr. sisteme Metoda Complexitate T 1 Gauss 2n 3 /3+n 2 LU 2n 3 /3+2n 2 m - simultan Gauss 2n 3 /3+2mn 2 m - succesiv folosind inversa 8n 3 /3+2mn 2 LU 2n 3 /3+2mn 2 31/39
32 Cazul matricelor rare Ce sunt? Adaptarea metodelor directe - exemplu Matrice rară = matrice care conţine un număr foarte mare de elemente nenule. O matrice care nu este rară se numeşte matrice densă sau plină. Densitatea unei matrice = raportul dintre numărul de elemente nenule şi numărul total de elemente al matricei. Dacă, pentru o anumită matrice care are şi elemente nule, se poate elabora un algoritm care exploatează această structură şi care, este mai eficient decât algoritmul conceput pentru matricea plină, atunci aceasta este o matrice rară. 32/39
33 Ce sunt? Adaptarea metodelor directe - exemplu Formate de memorare a matricelor rare Matricelor bandă (de exemplu matrice tridiagonală): q 1 r p 2 q 2 r p 3 q 3 r M = p n 1 q n 1 r n p n q n Memorare cu ajutorul a trei vectori (CDS - Compressed Diagonal Storage): 0 p 2 p 3 p n 1 p n M rar = q 1 q 2 q 3 q n 1 q n r 1 r 2 r 3 r n /39
34 Metode directe pentru matrice rare Ce sunt? Adaptarea metodelor directe - exemplu Gauss pentru matrice tridiagonală, matricea la subetapa k de eliminare: q k r k p k+1 q k+1 r k p k+2 q k+2 r k p n q n Un singur element de multiplicare m = p k+1 /q k. Singura modificare suferind-o ecuaţia k + 1: q k+1 = q k+1 + m r k, şi temenul liber corespunzător. 34/39
35 Metode directe pentru matrice rare Ce sunt? Adaptarea metodelor directe - exemplu Gauss pentru matrice tridiagonală, matricea după eliminare. q 1 r q 2 r q k r k q k+1 r k q n 1 0 r n q n Retrosubstituţie x n = b n /q n, (59) q i x i + r i x i+1 = b i x i = (b i r i x i+1 )/q i, i = n 1,..., 1. (60) 35/39
36 Metode directe pentru matrice rare Ce sunt? Adaptarea metodelor directe - exemplu procedură Gauss_tridiag(n, p, q, r, b, x) ; rezolvă sistemul algebric liniar ax = b prin metoda Gauss ; matricea a este tridiagonală, memorată în p, q, r întreg n ; dimensiunea sistemului tablou real p[n], q[n], r[n] ; "matricea" coeficienţilor - indici de la 1 tablou real b[n] ; vectorul termenilor liberi tablou real x[n] ; vectorul soluţie întreg i, k ; etapa de eliminare din metoda Gauss pentru k = 1, n 1 ; parcurge sub-etape ale eliminării m = p k+1 /q k ; element de multiplicare q k+1 = q k+1 + mr k ; modifică element în linia k + 1 b k+1 = b k+1 + mb k ; modifică termenul liber al ecuaţiei k + 1 ; etapa de retrosubstituţie x n = b n/q n pentru i = n 1, 1, 1 x i = (b i r i x i+1 )/q i retur T = O(8n), M = O(5n). 36/39
37 Metode directe pentru matrice rare Ce sunt? Adaptarea metodelor directe - exemplu Pentru matrice rare fără o structură particulară, algoritmii trebuie adaptaţi memorării de tip CRS sau CCS. La eliminare matricea se poate umple, a.î. pivotarea urmăreşte nu numai stabilitatea numerică, ci şi minimizarea umplerilor, adică a elementelor nenule nou apărute. La matrice rare inversarea este practic imposibilă datorită fenomen de umplere. 37/39
38 Metode directe pentru matrice rare Ce sunt? Adaptarea metodelor directe - exemplu Factorizarea unei matrice rare poate salva raritatea dacă matricea are o anumită structură. A 1 = A 2 = Matricea A 1 are factorii LU rari, în timp ce matricea A 2 are factorii LU plini. Structura matricei joacă deci un rol important în conceperea algoritmului de rezolvare. 38/39
39 Formularea problemei Pag din [3] - Algoritmi numerici pentru calcule ştiintifice în ingineria electrică, Editura MatrixROM, 2013, disponibil la gabriela/books/algnr_matrixrom2013.pdf Notă. nu este parcursă în mod obligatoriu la laborator, dar intră în chestiunile care se vor examina în sesiune. Pentru înţelegerea profundă a lucrurilor, vă recomand să implementaţi, să testaţi şi să analizaţi toţi algoritmii care au descrişi în pseudcod în acest curs. Pentru bonus, puteţi redacta un raport dedicat acestei teme. Doritorii sunt rugaţi să îşi anunţe intenţia. 39/39
Sisteme de ecuaţii algebrice liniare - metode directe (II)
Sisteme de ecuaţii algebrice liniare - metode directe (II) Prof.dr.ing. Universitatea "Politehnica" Bucureşti, Facultatea de Inginerie Electrică, Departamentul de Electrotehnică Suport didactic pentru
Διαβάστε περισσότεραSisteme diferenţiale liniare de ordinul 1
1 Metoda eliminării 2 Cazul valorilor proprii reale Cazul valorilor proprii nereale 3 Catedra de Matematică 2011 Forma generală a unui sistem liniar Considerăm sistemul y 1 (x) = a 11y 1 (x) + a 12 y 2
Διαβάστε περισσότεραSisteme liniare - metode directe
Sisteme liniare - metode directe Radu T. Trîmbiţaş 27 martie 2016 1 Eliminare gaussiană Să considerăm sistemul liniar cu n ecuaţii şi n necunoscute Ax = b, (1) unde A K n n, b K n 1 sunt date, iar x K
Διαβάστε περισσότεραCap2. Sisteme de ecuaţii algebrice liniare - metode iterative
Cap2. Sisteme de ecuaţii algebrice liniare - metode iterative Prof.dr.ing. Universitatea "Politehnica" Bucureşti, Facultatea de Inginerie Electrică, Departamentul de Electrotehnică Suport didactic pentru
Διαβάστε περισσότεραMetode iterative pentru probleme neliniare - contractii
Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii Problemele neliniare sunt in general rezolvate prin metode iterative si analiza convergentei acestor metode este o problema importanta. 1 Contractii
Διαβάστε περισσότεραMETODE NUMERICE: Laborator #5 Metode iterative pentru rezolvarea sistemelor: Jacobi, Gauss-Siedel, Suprarelaxare
METODE NUMERICE: Laborator #5 Metode iterative pentru rezolvarea sistemelor: Jacobi, Gauss-Siedel, Suprarelaxare Titulari curs: Florin Pop, George-Pantelimon Popescu Responsabil Laborator: Mădălina-Andreea
Διαβάστε περισσότεραCurs 1 Şiruri de numere reale
Bibliografie G. Chiorescu, Analiză matematică. Teorie şi probleme. Calcul diferenţial, Editura PIM, Iaşi, 2006. R. Luca-Tudorache, Analiză matematică, Editura Tehnopress, Iaşi, 2005. M. Nicolescu, N. Roşculeţ,
Διαβάστε περισσότεραCurs 14 Funcţii implicite. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi"
Curs 14 Funcţii implicite Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie F : D R 2 R o funcţie de două variabile şi fie ecuaţia F (x, y) = 0. (1) Problemă În ce condiţii ecuaţia
Διαβάστε περισσότεραMatrice. Determinanti. Sisteme liniare
Matrice 1 Matrice Adunarea matricelor Înmulţirea cu scalar. Produsul 2 Proprietăţi ale determinanţilor Rangul unei matrice 3 neomogene omogene Metoda lui Gauss (Metoda eliminării) Notiunea de matrice Matrice
Διαβάστε περισσότεραCurs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate.
Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie p, q N. Fie funcţia f : D R p R q. Avem următoarele
Διαβάστε περισσότεραSisteme de ecuaţii algebrice liniare - metode iterative nestaţionare (semiiterative)
Sisteme de ecuaţii algebrice liniare - metode iterative nestaţionare (semiiterative) Conf.dr.ing. Gabriela Ciuprina Universitatea "Politehnica" Bucureşti, Facultatea de Inginerie Electrică, Departamentul
Διαβάστε περισσότερα(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a.
Definiţie Spunem că: i) funcţia f are derivată parţială în punctul a în raport cu variabila i dacă funcţia de o variabilă ( ) are derivată în punctul a în sens obişnuit (ca funcţie reală de o variabilă
Διαβάστε περισσότεραPlanul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare
1 Planul în spaţiu Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru 2 Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Fie reperul R(O, i, j, k ) în spaţiu. Numim normala a unui plan, un vector perpendicular pe
Διαβάστε περισσότεραEsalonul Redus pe Linii (ERL). Subspatii.
Seminarul 1 Esalonul Redus pe Linii (ERL). Subspatii. 1.1 Breviar teoretic 1.1.1 Esalonul Redus pe Linii (ERL) Definitia 1. O matrice A L R mxn este in forma de Esalon Redus pe Linii (ERL), daca indeplineste
Διαβάστε περισσότεραSeminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare
Seminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare Noțiuni teoretice Criteriul Hurwitz de analiză a stabilității sistemelor liniare În cazul sistemelor liniare, stabilitatea este o condiție de localizare
Διαβάστε περισσότεραCurs 4 Serii de numere reale
Curs 4 Serii de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Criteriul rădăcinii sau Criteriul lui Cauchy Teoremă (Criteriul rădăcinii) Fie x n o serie cu termeni
Διαβάστε περισσότεραMetode directe pentru sisteme de ecuaţii liniare
Metode directe pentru sisteme de ecuaţii liniare Eliminare gaussiană, descompunere LU, Cholesky Radu T. Trîmbiţaş Universitatea Babeş-Bolyai March 26, 2008 Radu T. Trîmbiţaş (Universitatea Babeş-Bolyai
Διαβάστε περισσότεραRezolvarea ecuaţiilor şi sistemelor de ecuaţii diferenţiale ordinare. Cuprins. Prof.dr.ing. Gabriela Ciuprina
Rezolvarea ecuaţiilor şi sistemelor de ecuaţii diferenţiale ordinare Prof.dr.ing. Universitatea "Politehnica" Bucureşti, Facultatea de Inginerie Electrică Suport didactic pentru disciplina Metode numerice,
Διαβάστε περισσότεραCOLEGIUL NATIONAL CONSTANTIN CARABELLA TARGOVISTE. CONCURSUL JUDETEAN DE MATEMATICA CEZAR IVANESCU Editia a VI-a 26 februarie 2005.
SUBIECTUL Editia a VI-a 6 februarie 005 CLASA a V-a Fie A = x N 005 x 007 si B = y N y 003 005 3 3 a) Specificati cel mai mic element al multimii A si cel mai mare element al multimii B. b)stabiliti care
Διαβάστε περισσότεραMetode de interpolare bazate pe diferenţe divizate
Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate Radu Trîmbiţaş 4 octombrie 2005 1 Forma Newton a polinomului de interpolare Lagrange Algoritmul nostru se bazează pe forma Newton a polinomului de interpolare
Διαβάστε περισσότεραActivitatea A5. Introducerea unor module specifice de pregătire a studenţilor în vederea asigurării de şanse egale
Investeşte în oameni! FONDUL SOCIAL EUROPEAN Programul Operaţional Sectorial pentru Dezvoltarea Resurselor Umane 2007 2013 Axa prioritară nr. 1 Educaţiaşiformareaprofesionalăînsprijinulcreşteriieconomiceşidezvoltăriisocietăţiibazatepecunoaştere
Διαβάστε περισσότεραriptografie şi Securitate
riptografie şi Securitate - Prelegerea 12 - Scheme de criptare CCA sigure Adela Georgescu, Ruxandra F. Olimid Facultatea de Matematică şi Informatică Universitatea din Bucureşti Cuprins 1. Schemă de criptare
Διαβάστε περισσότερα5. FUNCŢII IMPLICITE. EXTREME CONDIŢIONATE.
5 Eerciţii reolvate 5 UNCŢII IMPLICITE EXTREME CONDIŢIONATE Eerciţiul 5 Să se determine şi dacă () este o funcţie definită implicit de ecuaţia ( + ) ( + ) + Soluţie ie ( ) ( + ) ( + ) + ( )R Evident este
Διαβάστε περισσότερα2 Transformări liniare între spaţii finit dimensionale
Transformări 1 Noţiunea de transformare liniară Proprietăţi. Operaţii Nucleul şi imagine Rangul şi defectul unei transformări 2 Matricea unei transformări Relaţia dintre rang şi defect Schimbarea matricei
Διαβάστε περισσότεραSEMINAR 14. Funcţii de mai multe variabile (continuare) ( = 1 z(x,y) x = 0. x = f. x + f. y = f. = x. = 1 y. y = x ( y = = 0
Facultatea de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC SEMINAR 4 Funcţii de mai multe variabile continuare). Să se arate că funcţia z,
Διαβάστε περισσότεραNoţiuni introductive
Metode Numerice Noţiuni introductive Erori. Condiţionare numerică. Stabilitatea algoritmilor. Complexitatea algoritmilor. Metodele numerice reprezintă tehnici prin care problemele matematice sunt reformulate
Διαβάστε περισσότεραV.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile
Metode de Optimizare Curs V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile Propoziţie 7. (Fritz-John). Fie X o submulţime deschisă a lui R n, f:x R o funcţie de clasă C şi ϕ = (ϕ,ϕ
Διαβάστε περισσότεραSpatii liniare. Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară. Mulţime infinită liniar independentă
Noţiunea de spaţiu liniar 1 Noţiunea de spaţiu liniar Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară 2 Mulţime infinită liniar independentă 3 Schimbarea coordonatelor unui vector la o schimbare
Διαβάστε περισσότεραR R, f ( x) = x 7x+ 6. Determinați distanța dintre punctele de. B=, unde x și y sunt numere reale.
5p Determinați primul termen al progresiei geometrice ( b n ) n, știind că b 5 = 48 și b 8 = 84 5p Se consideră funcția f : intersecție a graficului funcției f cu aa O R R, f ( ) = 7+ 6 Determinați distanța
Διαβάστε περισσότερα1. Sisteme de ecuaţii liniare Definiţia 1.1. Fie K un corp comutativ. 1) Prin sistem de m ecuaţii liniare cu n necunoscute X 1,...
1. Sisteme de ecuaţii liniare Definiţia 1.1. Fie K un corp comutativ. 1) Prin sistem de m ecuaţii liniare cu n necunoscute X 1,..., X n şi coeficienţi în K se înţelege un ansamblu de egalităţi formale
Διαβάστε περισσότεραTeme de implementare in Matlab pentru Laboratorul de Metode Numerice
Teme de implementare in Matlab pentru Laboratorul de Metode Numerice As. Ruxandra Barbulescu Septembrie 2017 Orice nelamurire asupra enunturilor/implementarilor se rezolva in cadrul laboratorului de MN,
Διαβάστε περισσότεραSeminariile Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reziduurilor
Facultatea de Matematică Calcul Integral şi Elemente de Analiă Complexă, Semestrul I Lector dr. Lucian MATICIUC Seminariile 9 20 Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reiduurilor.
Διαβάστε περισσότεραFunctii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor
Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi si spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe cu valori in daca fiecarui element
Διαβάστε περισσότεραa n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea
Serii Laurent Definitie. Se numeste serie Laurent o serie de forma Seria n= (z z 0 ) n regulata (tayloriana) = (z z n= 0 ) + n se numeste partea principala iar seria se numeste partea Sa presupunem ca,
Διαβάστε περισσότεραSERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0
SERII NUMERICE Definiţia 3.1. Fie ( ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 şirul definit prin: s n0 = 0, s n0 +1 = 0 + 0 +1, s n0 +2 = 0 + 0 +1 + 0 +2,.......................................
Διαβάστε περισσότεραFunctii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1
Functii definitie proprietati grafic functii elementare A. Definitii proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi X si Y spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe X cu valori in Y daca fiecarui
Διαβάστε περισσότεραAsupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006
Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 006 Mircea Lascu şi Cezar Lupu La cel de-al cincilea baraj de Juniori din data de 0 mai 006 a fost dată următoarea inegalitate: Fie x, y, z trei numere reale
Διαβάστε περισσότεραCriptosisteme cu cheie publică III
Criptosisteme cu cheie publică III Anul II Aprilie 2017 Problema rucsacului ( knapsack problem ) Considerăm un număr natural V > 0 şi o mulţime finită de numere naturale pozitive {v 0, v 1,..., v k 1 }.
Διαβάστε περισσότεραDISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE
DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE ABSTRACT. Materialul prezintă o modalitate de a afla distanţa dintre două drepte necoplanare folosind volumul tetraedrului. Lecţia se adresează clasei a VIII-a Data:
Διαβάστε περισσότεραDefiniţia generală Cazul 1. Elipsa şi hiperbola Cercul Cazul 2. Parabola Reprezentari parametrice ale conicelor Tangente la conice
1 Conice pe ecuaţii reduse 2 Conice pe ecuaţii reduse Definiţie Numim conica locul geometric al punctelor din plan pentru care raportul distantelor la un punct fix F şi la o dreaptă fixă (D) este o constantă
Διαβάστε περισσότεραIntegrarea numerică. Prof.dr.ing. Gabriela Ciuprina. Universitatea "Politehnica" Bucureşti, Facultatea de Inginerie Electrică
Prof.dr.ing. Universitatea "Politehnica" Bucureşti, Facultatea de Inginerie Electrică Suport didactic pentru disciplina Metode numerice, 017-018 1/35 Cuprins Introducere 1 Introducere Importanţa evaluării
Διαβάστε περισσότεραSubiecte Clasa a VII-a
lasa a VII Lumina Math Intrebari Subiecte lasa a VII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate
Διαβάστε περισσότεραSubiecte Clasa a VIII-a
Subiecte lasa a VIII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul
Διαβάστε περισσότεραsistemelor de algebrice liniarel
Uivesitatea Tehică a Moldovei Facultatea de Eergetică Catedra Electroeergetica Soluţioarea sistemelor de ecuaţii algebrice liiarel lect.uiv. Victor Gropa «Programarea si Utilizarea Calculatoarelor I» Cupris
Διαβάστε περισσότεραLucian Maticiuc CURS I II. 1 Matrice şi determinanţi. Sisteme de ecuaţii liniare. 1.1 Matrice şi determinanţi
Facultatea de Electronică, Telecomunicaţii şi Tehnologia Informaţiei Algebră, Semestrul I, Lector dr Lucian MATICIUC http://mathettituiasiro/maticiuc/ CURS I II Matrice şi determinanţi Sisteme de ecuaţii
Διαβάστε περισσότεραI. Noţiuni introductive
Metode Numerice Curs 1 I. Noţiuni introductive Metodele numerice reprezintă tehnici prin care problemele matematice sunt reformulate astfel încât să fie rezolvate numai prin operaţii aritmetice. Prin trecerea
Διαβάστε περισσότεραMetode directe pentru sisteme de ecuaţii liniare
Metode directe pentru sisteme de ecuaţii liniare Eliminare gaussiană, descompunere LU, Cholesky Radu T. Trîmbiţaş Universitatea Babeş-Bolyai March 27, 206 Radu T. Trîmbiţaş (Universitatea Babeş-Bolyai
Διαβάστε περισσότερα, m ecuańii, n necunoscute;
Sisteme liniare NotaŃii: a ij coeficienńi, i necunoscute, b i termeni liberi, i0{1,,..., n}, j0{1,,..., m}; a11 1 + a1 +... + a1 nn = b1 a11 + a +... + an n = b (S), m ecuańii, n necunoscute;... am11 +
Διαβάστε περισσότεραRezolvarea sistemelor liniare determinate
Seminar 2 Rezolvarea sistemelor liniare determinate Acest seminar este dedicat metodelor numerice de rezolvare a sistemelor liniare determinate, i.e. al sistemelor liniare cu numărul de ecuaţii egal cu
Διαβάστε περισσότεραInterpolarea funcţiilor.
Interpolarea funcţiilor.. Prof.dr.ing. Universitatea "Politehnica" Bucureşti, Facultatea de Inginerie Electrică Suport didactic pentru disciplina Metode numerice, 2017-2018 1/52 Cuprins Introducere 1 Introducere
Διαβάστε περισσότερα1.3. Erori în calculele numerice
Prof.dr.ing. Universitatea "Politehnica" Bucureşti, Facultatea de Inginerie Electrică, Departamentul de Electrotehnică Suport didactic pentru disciplina Metode numerice, 2017-2018 1/41 Cuprins Caracterizarea
Διαβάστε περισσότεραIII. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă.
III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. Definiţie. O serie a n se numeşte: i) absolut convergentă dacă seria modulelor a n este convergentă; ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar
Διαβάστε περισσότεραEcuaţia generală Probleme de tangenţă Sfera prin 4 puncte necoplanare. Elipsoidul Hiperboloizi Paraboloizi Conul Cilindrul. 1 Sfera.
pe ecuaţii generale 1 Sfera Ecuaţia generală Probleme de tangenţă 2 pe ecuaţii generale Sfera pe ecuaţii generale Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Numim sferă locul geometric al punctelor din spaţiu
Διαβάστε περισσότεραComponente şi Circuite Electronice Pasive. Laborator 3. Divizorul de tensiune. Divizorul de curent
Laborator 3 Divizorul de tensiune. Divizorul de curent Obiective: o Conexiuni serie şi paralel, o Legea lui Ohm, o Divizorul de tensiune, o Divizorul de curent, o Implementarea experimentală a divizorului
Διαβάστε περισσότεραIntegrala nedefinită (primitive)
nedefinita nedefinită (primitive) nedefinita 2 nedefinita februarie 20 nedefinita.tabelul primitivelor Definiţia Fie f : J R, J R un interval. Funcţia F : J R se numeşte primitivă sau antiderivată a funcţiei
Διαβάστε περισσότεραCurs 2 Şiruri de numere reale
Curs 2 Şiruri de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Convergenţă şi mărginire Teoremă Orice şir convergent este mărginit. Demonstraţie Fie (x n ) n 0 un
Διαβάστε περισσότεραMETODE NUMERICE: Laborator #7 Calculul valorilor proprii si vectorilor proprii prin metodele puterii. Metoda Householder
METODE NUMERICE: Laborator #7 Calculul valorilor proprii si vectorilor proprii prin metodele puterii. Metoda Householder Titulari curs: Florin Pop, George-Pantelimon Popescu Responsabil Laborator: Alexandru
Διαβάστε περισσότεραLaborator 6. Integrarea ecuaţiilor diferenţiale
Laborator 6 Integrarea ecuaţiilor diferenţiale Responsabili: 1. Surdu Cristina(anacristinasurdu@gmail.com) 2. Ştirbăţ Bogdan(bogdanstirbat@yahoo.com) Obiective În urma parcurgerii acestui laborator elevul
Διαβάστε περισσότεραExamen AG. Student:... Grupa:... ianuarie 2011
Problema 1. Pentru ce valori ale lui n,m N (n,m 1) graful K n,m este eulerian? Problema 2. Să se construiască o funcţie care să recunoască un graf P 3 -free. La intrare aceasta va primi un graf G = ({1,...,n},E)
Διαβάστε περισσότεραConcurs MATE-INFO UBB, 1 aprilie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ
UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ Concurs MATE-INFO UBB, aprilie 7 Proba scrisă la MATEMATICĂ SUBIECTUL I (3 puncte) ) (5 puncte) Fie matricele A = 3 4 9 8
Διαβάστε περισσότεραEcuatii exponentiale. Ecuatia ce contine variabila necunoscuta la exponentul puterii se numeste ecuatie exponentiala. a x = b, (1)
Ecuatii exponentiale Ecuatia ce contine variabila necunoscuta la exponentul puterii se numeste ecuatie exponentiala. Cea mai simpla ecuatie exponentiala este de forma a x = b, () unde a >, a. Afirmatia.
Διαβάστε περισσότεραPROBLEME DE VALORI ŞI VECTORI PROPRII
9 PROBLEME DE VALORI ŞI VECTORI PROPRII 81 Introducere Problema de valori proprii a unui operator liniar A: Ax = λx x vector propriu, λ valoare proprie În reprezentarea unei baze din < n problemă matricială
Διαβάστε περισσότεραCalculul valorilor proprii
Laborator 5 Calculul valorilor proprii 5.1 Valori şi vectori proprii Definiţia 5.1 Fie A C n n. Un vector x C n n este un vector propriu al matricei A, asociat valorii proprii λ C, dacă sunt satisfăcute
Διαβάστε περισσότεραLaborator 11. Mulţimi Julia. Temă
Laborator 11 Mulţimi Julia. Temă 1. Clasa JuliaGreen. Să considerăm clasa JuliaGreen dată de exemplu la curs pentru metoda locului final şi să schimbăm numărul de iteraţii nriter = 100 în nriter = 101.
Διαβάστε περισσότεραa. 11 % b. 12 % c. 13 % d. 14 %
1. Un motor termic funcţionează după ciclul termodinamic reprezentat în sistemul de coordonate V-T în figura alăturată. Motorul termic utilizează ca substanţă de lucru un mol de gaz ideal având exponentul
Διαβάστε περισσότεραSisteme de ecuaţii diferenţiale
Curs 5 Sisteme de ecuaţii diferenţiale 5. Sisteme normale Definiţie 5.. Se numeşte sistem normal sistemul de ecuaţii diferenţiale de ordinul întâi dx dt = f (t, x, x 2,..., x n ) dx 2 dt = f 2(t, x, x
Διαβάστε περισσότεραEcuatii trigonometrice
Ecuatii trigonometrice Ecuatiile ce contin necunoscute sub semnul functiilor trigonometrice se numesc ecuatii trigonometrice. Cele mai simple ecuatii trigonometrice sunt ecuatiile de tipul sin x = a, cos
Διαβάστε περισσότεραAproximarea funcţiilor prin metoda celor mai mici pătrate
Aproximarea funcţiilor prin metoda celor mai mici pătrate Prof.dr.ing. Universitatea "Politehnica" Bucureşti, Facultatea de Inginerie Electrică Suport didactic pentru disciplina i Numerici, 2016-2017 1/60
Διαβάστε περισσότεραMARCAREA REZISTOARELOR
1.2. MARCAREA REZISTOARELOR 1.2.1 MARCARE DIRECTĂ PRIN COD ALFANUMERIC. Acest cod este format din una sau mai multe cifre şi o literă. Litera poate fi plasată după grupul de cifre (situaţie în care valoarea
Διαβάστε περισσότεραAlgoritmi numerici pentru analiza circuitelor electrice rezistive neliniare
numerici pentru analiza circuitelor electrice rezistive neliniare Prof.dr.ing. Universitatea "Politehnica" Bucureşti, Facultatea de Inginerie Electrică, Departamentul de Electrotehnică Suport didactic
Διαβάστε περισσότεραAlgebra si Geometrie Seminar 9
Algebra si Geometrie Seminar 9 Decembrie 017 ii Equations are just the boring part of mathematics. I attempt to see things in terms of geometry. Stephen Hawking 9 Dreapta si planul in spatiu 1 Notiuni
Διαβάστε περισσότεραProfesor Blaga Mirela-Gabriela DREAPTA
DREAPTA Fie punctele A ( xa, ya ), B ( xb, yb ), C ( xc, yc ) şi D ( xd, yd ) în planul xoy. 1)Distanţa AB = (x x ) + (y y ) Ex. Fie punctele A( 1, -3) şi B( -2, 5). Calculaţi distanţa AB. AB = ( 2 1)
Διαβάστε περισσότεραLectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane
Subspatii ane Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia VI Subspatii ane Table of Contents 1 Structura de spatiu an E 3 2 Subspatii
Διαβάστε περισσότεραMetode iterative pentru rezolvarea sistemelor de ecuatii liniare
Metode iterative pentru rezolvarea sistemelor de ecuatii liniare 1 Metode iterative clasice Metodele iterative sunt intens folosite, in special pentru rezolvarea de probleme mari, cum sunt cele de discretizare
Διαβάστε περισσότεραAnaliza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro
Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM Seminar S ANALA ÎN CUENT CONTNUU A SCHEMELO ELECTONCE S. ntroducere Pentru a analiza în curent continuu o schemă electronică,
Διαβάστε περισσότεραProiectarea Algoritmilor 2. Scheme de algoritmi Divide & Impera
Platformă de e-learning și curriculă e-content pentru învățământul superior tehnic Proiectarea Algoritmilor 2. Scheme de algoritmi Divide & Impera Cuprins Scheme de algoritmi Divide et impera Exemplificare
Διαβάστε περισσότεραMetode Runge-Kutta. 18 ianuarie Probleme scalare, pas constant. Dorim să aproximăm soluţia problemei Cauchy
Metode Runge-Kutta Radu T. Trîmbiţaş 8 ianuarie 7 Probleme scalare, pas constant Dorim să aproximăm soluţia problemei Cauchy y (t) = f(t, y), a t b, y(a) = α. pe o grilă uniformă de (N + )-puncte din [a,
Διαβάστε περισσότεραLaborator 1: INTRODUCERE ÎN ALGORITMI. Întocmit de: Claudia Pârloagă. Îndrumător: Asist. Drd. Gabriel Danciu
INTRODUCERE Laborator 1: ÎN ALGORITMI Întocmit de: Claudia Pârloagă Îndrumător: Asist. Drd. Gabriel Danciu I. NOŢIUNI TEORETICE A. Sortarea prin selecţie Date de intrare: un şir A, de date Date de ieşire:
Διαβάστε περισσότεραProblema celor mai mici pătrate
Seminar 3 Problema celor mai mici pătrate Acest seminar este dedicat metodelor numerice pentru rezolvarea unei probleme numerice foarte importante întâlnită în multe aplicaţii, aşa numita problemă a celor
Διαβάστε περισσότερα1.4 Schimbarea bazei unui spaţiu vectorial
Algebră liniară, geometrie analitică şi diferenţială. Schimbarea bazei unui spaţiu vectorial După cum s-a văzut deja, într-un spaţiu vectorial V avem mai multe baze, iar un vector x V va avea câte un sistem
Διαβάστε περισσότεραIntegrarea numerică. Prof.dr.ing. Gabriela Ciuprina. Universitatea "Politehnica" Bucureşti, Facultatea de Inginerie Electrică
Prof.dr.ing. Universitatea "Politehnica" Bucureşti, Facultatea de Inginerie Electrică Suport didactic pentru disciplina Algoritmi Numerici, 016-017 1/40 Cuprins Introducere 1 Introducere Importanţa evaluării
Διαβάστε περισσότεραConf.dr.ing. Gabriela Ciuprina
Conf.dr.ing. Universitatea "Politehnica" Bucureşti, Facultatea de Inginerie Electrică, Departamentul de Electrotehnică Suport didactic pentru disciplina Algoritmi Numerici, 2012 Cuprins 1 2 3 4 5 6 În
Διαβάστε περισσότεραRĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii transversale, scrisă faţă de una dintre axele de inerţie principale:,
REZISTENTA MATERIALELOR 1. Ce este modulul de rezistenţă? Exemplificaţi pentru o secţiune dreptunghiulară, respectiv dublu T. RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii
Διαβάστε περισσότεραAplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal
Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal Principiul I al termodinamicii exprimă legea conservării şi energiei dintr-o formă în alta şi se exprimă prin relaţia: ΔUQ-L, unde: ΔU-variaţia
Διαβάστε περισσότεραAdriana-Ioana Lefter DIFERENŢIALE) Anul I, Facultatea de Chimie Note de curs
Adriana-Ioana Lefter MATEMATICĂ (ALGEBRĂ ŞI ECUAŢII DIFERENŢIALE) Anul I, Facultatea de Chimie Note de curs Cuprins Partea 1 ALGEBRĂ 1 Capitolul 1 Matrice şi determinanţi 3 11 Corpuri 3 12 Matrice 4 13
Διαβάστε περισσότερα5.1. Noţiuni introductive
ursul 13 aitolul 5. Soluţii 5.1. oţiuni introductive Soluţiile = aestecuri oogene de două sau ai ulte substanţe / coonente, ale căror articule nu se ot seara rin filtrare sau centrifugare. oonente: - Mediul
Διαβάστε περισσότερα3. Momentul forţei în raport cu un punct...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...4
SEMINAR 3 MMENTUL FRŢEI ÎN RAPRT CU UN PUNCT CUPRINS 3. Momentul forţei în raport cu un punct...1 Cuprins...1 Introducere...1 3.1. Aspecte teoretice...2 3.2. Aplicaţii rezolvate...4 3. Momentul forţei
Διαβάστε περισσότερα5.4. MULTIPLEXOARE A 0 A 1 A 2
5.4. MULTIPLEXOARE Multiplexoarele (MUX) sunt circuite logice combinaţionale cu m intrări şi o singură ieşire, care permit transferul datelor de la una din intrări spre ieşirea unică. Selecţia intrării
Διαβάστε περισσότεραOlimpiada Naţională de Matematică Etapa locală Clasa a IX-a M 1
Calea 13 Septembrie, r 09, Sector 5, 0507, București Tel: +40 (0)1 317 36 50 Fax: +40 (0)1 317 36 54 Olimpiada Naţioală de Matematică Etapa locală -00016 Clasa a IX-a M 1 Fie 1 abc,,, 6 şi ab c 1 Să se
Διαβάστε περισσότερα1.3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune
.3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune Definiţia.3. Se numeşte bază a spaţiului vectorial V o familie de vectori B care îndeplineşte condiţiile de mai jos: a) B este liniar independentă; b) B este
Διαβάστε περισσότεραNicolae Cotfas ELEMENTE DE EDITURA UNIVERSITĂŢII DIN BUCUREŞTI
Nicolae Cotfas ELEMENTE DE ALGEBRĂ LINIARĂ EDITURA UNIVERSITĂŢII DIN BUCUREŞTI Introducere Pe parcursul acestei cărţi ne propunem să prezentăm într-un mod cât mai accesibil noţiuni si rezultate de bază
Διαβάστε περισσότεραEDITURA PARALELA 45 MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ. Clasa a X-a Ediţia a II-a, revizuită. pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă
Coordonatori DANA HEUBERGER NICOLAE MUŞUROIA Nicolae Muşuroia Gheorghe Boroica Vasile Pop Dana Heuberger Florin Bojor MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă Clasa a
Διαβάστε περισσότεραCURS 11: ALGEBRĂ Spaţii liniare euclidiene. Produs scalar real. Spaţiu euclidian. Produs scalar complex. Spaţiu unitar. Noţiunea de normă.
Sala: 2103 Decembrie 2014 Conf. univ. dr.: Dragoş-Pătru Covei CURS 11: ALGEBRĂ Specializarea: C.E., I.E., S.P.E. Nota: Acest curs nu a fost supus unui proces riguros de recenzare pentru a fi oficial publicat.
Διαβάστε περισσότεραMatrici şi sisteme de ecuaţii liniare
Matrici şi sisteme de ecuaţii liniare 1. Matrici şi determinanţi Reamintim aici câteva proprietăţi ale matricilor şi determinanţilor. Definiţia 1.1. Fie K un corp (comutativ) şi m, n N. O funcţie A : {1,...,
Διαβάστε περισσότεραGheorghe PROCOPIUC PROBLEME DE ALGEBRĂ LINIARĂ GEOMETRIE
Gheorghe PROCOPIUC PROBLEME DE ALGEBRĂ LINIARĂ ŞI GEOMETRIE IAŞI, 005 CUPRINS 1 MATRICE ŞI SISTEME ALGEBRICE LINIARE 5 1.1 Matrice şi determinanţi.......................... 5 1. Sisteme de ecuaţii algebrice
Διαβάστε περισσότεραBARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 28 mai 2012 (barajul 3)
BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 8 mi 0 (brjul ) Problem Arătţi că dcă, b, c sunt numere rele cre verifică + b + c =, tunci re loc ineglitte xy + yz + zx Problem Fie şi b numere nturle nenule Dcă numărul
Διαβάστε περισσότεραT R A I A N ( ) Trigonometrie. \ kπ; k. este periodică (perioada principală T * =π ), impară, nemărginită.
Trignmetrie Funcţia sinus sin : [, ] este peridică (periada principală T * = ), impară, mărginită. Funcţia arcsinus arcsin : [, ], este impară, mărginită, bijectivă. Funcţia csinus cs : [, ] este peridică
Διαβάστε περισσότερα2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...3
SEMINAR 2 SISTEME DE FRŢE CNCURENTE CUPRINS 2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere...1 2.1. Aspecte teoretice...2 2.2. Aplicaţii rezolvate...3 2. Sisteme de forţe concurente În acest
Διαβάστε περισσότεραCapitolul 2 - HIDROCARBURI 2.3.ALCHINE
Capitolul 2 - HIDROCARBURI 2.3.ALCHINE TEST 2.3.3 I. Scrie cuvântul / cuvintele dintre paranteze care completează corect fiecare dintre afirmaţiile următoare. 1. Acetilena poate participa la reacţii de
Διαβάστε περισσότεραVectori liberi Produs scalar Produs vectorial Produsul mixt. 1 Vectori liberi. 2 Produs scalar. 3 Produs vectorial. 4 Produsul mixt.
liberi 1 liberi 2 3 4 Segment orientat liberi Fie S spaţiul geometric tridimensional cu axiomele lui Euclid. Orice pereche de puncte din S, notată (A, B) se numeşte segment orientat. Dacă A B, atunci direcţia
Διαβάστε περισσότερα