Matrice. Determinanti. Sisteme liniare

Transcript

1 Matrice 1 Matrice Adunarea matricelor Înmulţirea cu scalar. Produsul 2 Proprietăţi ale determinanţilor Rangul unei matrice 3 neomogene omogene Metoda lui Gauss (Metoda eliminării)

2 Notiunea de matrice Matrice Adunarea matricelor Înmulţirea cu scalar. Produsul Fie Γ corpul comutativ al numerelor reale Γ = R sau complexe Γ = C. Definiţie Numim matrice cu elemente din Γ cu m linii şi n, coloane (m, n N) tabelul A = a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn = (a ij), i = 1, m j = 1, n. Notăm mulţimea matricelor cu M m,n (Γ). Dacă m = n notăm M n (Γ)

3 Matrice particulare Matrice Adunarea matricelor Înmulţirea cu scalar. Produsul Matrice linie Vom nota A M 1,n (Γ). Matrice coloană. Vom nota A M m,1 (Γ). A = ( a 11 a 12 a 1n ). A = a 11 a 21 a m1.

4 Matrice Adunarea matricelor Înmulţirea cu scalar. Produsul A M n (Γ) este diagonală dacă are forma: A = a a a nn = diag (a 11, a 22,, a nn ). A M n (Γ) este triunghiulară inferior sau superior dacă are forma: a a 11 a 12 a 1n A = a 21 a 22 0 A = 0 a 22 a 21 a n1 a n1 a nn 0 0 a nn

5 Matrice Egalitate şi suma de matrice Adunarea matricelor Înmulţirea cu scalar. Produsul Definiţie Matricele A = (a ij ), B = (b ij ) M mn (Γ), i = 1, m j = 1, n se numesc egale dacă a ij = b ij, i = 1, m j = 1, n Definiţie Date matricele A = (a ij ), B = (b ij ) M mn (Γ), i = 1, m j = 1, n numim suma, matricea A + B M mn (Γ) de forma A + B = (a ij + b ij ), i = 1, m j = 1, n

6 Grupul M mn (Γ) Matrice Adunarea matricelor Înmulţirea cu scalar. Produsul Mulţimea M mn (Γ) formează grup comutativ fată de adunare, adică satisface axiomele 1 A, B M mn (Γ), A + B M mn (Γ) 2 A, B, C M mn (Γ), (A + B) + C = A + (B + C) 3 O mn M mn (Γ) astfel ca A + O mn = O mn + A = A, A M mn (Γ) 4 A M mn (Γ), A M mn (Γ) astfel ca A + ( A) = ( A) + A = O mn 5 A, B M mn (Γ), A + B = B + A

7 Matrice Înmulţirea cu scalar. Produsul. Adunarea matricelor Înmulţirea cu scalar. Produsul Definiţie Dacă A = (a ij ), i = 1, m j = 1, n este o matrice şi α Γ, matricea α A M mn (Γ) este prin definiţie α A = (α a ij ), i = 1, m j = 1, n. Definiţie Dacă A M mn (Γ), B M np (Γ) atunci prin definiţie produsul este matricea A B M mp A B = ( n a ik b kj ), i = 1, m, j = 1, p. k=1

8 Structura de inel Matrice Adunarea matricelor Înmulţirea cu scalar. Produsul Mulţimea matricelor pătratice M n (Γ), n 2 formează inel cu unitate necomutativ, adică 1 M n (Γ) este grup aditiv comutativ 2 A, B, C M n (Γ), (A B) C = A (B C) 3 înmulţirea este distributivă faţă de adunare A (B + C) = A B + A C (A + B) C = A C + B C 4 există I n element faţă de înmulţire

9 Element neutru Matrice Adunarea matricelor Înmulţirea cu scalar. Produsul Definiţie Elementul I n M n (Γ) se numeşte element neutru fată de înmulţire dacă A M n (Γ) are loc Elementul neutru are forma I n = A I n = I n A = A

10 Inversa unei matrice Matrice Adunarea matricelor Înmulţirea cu scalar. Produsul Definiţie Matricea A M n (Γ), se numeşte inversabilă dacă există A 1 M n (Γ) astfel ca A A 1 = A 1 A = I n

11 Matrice Transpusa unei matrice Adunarea matricelor Înmulţirea cu scalar. Produsul Definiţie Fie A = (a ij ), i = 1, m j = 1, n o matrice. Numim transpusa matricei A A t = (a ji ), i = 1, m j = 1, n Obervăm că dacă A M mn (Γ) atunci A t M nm (Γ) Au loc 1 (A + B) t = A t + B t 2 (AB) t = B t A t 3 (A t ) t = A

12 Definiţia generală Matrice Proprietăţi ale determinanţilor Rangul unei matrice Fie A M n (Γ). Definiţie Numim determinant al matricei A numărul a 11 a 1n a n1 a nn = ( 1) Inv(σ) a 1σ(1) a 2σ(2) a nσ(n) σ P n unde P n este grupul permutărilor unei mulţimi cu n elemente, iar Inv(σ) este numărul inversiunilor permutării σ.

13 Cazuri particulare Matrice Proprietăţi ale determinanţilor Rangul unei matrice Determinant de ordin 2 a 11 a 12 a 21 a 22 = a 11a 22 a 12 a 21 Determinant de ordin 3 a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 = = a 11 a 22 a 33 +a 13 a 21 a 32 +a 12 a 23 a 31 a 13 a 22 a 31 a 11 a 23 a 32 a 12 a 21 a 33.

14 Matrice Proprietăţi ale determinanţilor Proprietăţi ale determinanţilor Rangul unei matrice 1 det(αa) = α n det(a), A M n (Γ), α Γ 2 det(a B) = det(a)det(b), A, B M n (Γ) 3 dacă schimbăm două linii sau două coloane între ele, atunci determinantul îşi schimbă semnul 4 dacă la o linie (coloană) adunăm o altă linie (coloană) înmulţită cu un scalar valoarea determinantului nu se schimbă 5 det(a) = det(a t )

15 Minori Matrice Proprietăţi ale determinanţilor Rangul unei matrice Fie A M n (Γ) o matrice şi 1 p n, un număr natural. Definiţie Numim minor de ordinul p al matricei A determinantul matricei de ordinul p format cu elementele situate la intersecţia a p linii şi p coloane ale matricei A. Definiţie Numim minor complementar al minorului M de ordin p al matricei A determinantul M c de ordinul n p al matricei extrase din A prin suprimarea celor p linii şi p coloane corespunzătoare lui M.

16 Matrice Proprietăţi ale determinanţilor Rangul unei matrice Definiţie Numim complement algebric al minorului M al matricei A elementul din Γ definit de C = ( 1) s M c, unde s = (i 1 + i i p ) + ( j 1 + j j p ), adică suma indicilor liniilor şi coloanelor matricei A utilizate în M. Teoremă (Teorema lui Laplace) Determinantul matricei A este egal cu suma produselor minorilor de ordinul p ce se pot construi cu elementele a p linii (coloane) fixate ale matricei A prin complemenţii lor algebrici.

17 Matrice Calculul inversei unei matrice Proprietăţi ale determinanţilor Rangul unei matrice Teoremă Matricea A M n (Γ) este inversabilă dacă şi numai dacă det(a) 0. Teoremă Inversa matricei A este A 1 = unde A este matricea adjunctă. 1 det(a) A Matricea adjunctă A se obţine înlocuind elementele matricei A t prin complemenţii algebrici.

18 Rangul unei matrice Matrice Proprietăţi ale determinanţilor Rangul unei matrice Definiţie Matricea nenulă A M m,n (Γ) are rangul r dacă există în A cel puţin un minor de ordinul r diferit de zero şi toţi minorii de ordin mai mare decât r, dacă există, sunt egali cu zero. Notăm rang(a) = r. Pentru matricea nulă, convenim ca rang(0 m,n ) = 0. rang A min(m, n). Teoremă Rangul produsului a două matrice este mai mic sau egal decât rangul fiecărei matrice.

19 Matrice neomogene neomogene omogene Metoda lui Gauss (Metoda eliminării) Forma generală este A = a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2 a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn, X = x 1 x 2 x n B = b 1 b 2 b m Sistemul se scrie AX = B.

20 Matrice neomogene omogene Metoda lui Gauss (Metoda eliminării) Matricea A = a 11 a 12 a 1n b 1 a 21 a 22 a 2n b 2 a m1 a m2 a mn b m se numeşte matrice lărgită (extinsă). Teoremă (Teorema Kronecker -Capelli) Sistemul este compatibil dacă şi numai dacă rang A = rang A

21 Consecinţe Matrice neomogene omogene Metoda lui Gauss (Metoda eliminării) 1. Sistemul este compatibil unic determinat dacă şi numai dacă rangul matricei coincide cu rangul matricei lărgite şi cu numărul de necunoscute, adică rang A = rang A = n 2. Dacă rang A = rang A < n sistemul este compatibil nedeterminat.

22 Matrice neomogene omogene Metoda lui Gauss (Metoda eliminării) Presupunem că matricea A are rangul r şi fie 0 un minor de ordin r. Definiţie Numim determinant caracteristic, un determinant obţinut prin bordarea lui cu coloana termenilor liberi şi cu una dintre liniile rămase. Teoremă (Teorema lui Rouche) Sistemul este compatibil dacă şi numai dacă toţi determinanţii caracteristici sunt nuli.

23 Regula lui Cramer Matrice neomogene omogene Metoda lui Gauss (Metoda eliminării) Dacă m = n şi rang A = rang A = n necunoscutele se pot determina cu formulele x i = i unde este determinantul sistemului, iar i determinantul obţinut prin înlocuirea coloanei i cu coloana termenilor liberi.

24 Matrice omogene neomogene omogene Metoda lui Gauss (Metoda eliminării) Dacă b i = 0, i = 1, n sistemul se numeşte omogen. Deci forma generală este a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = 0 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = 0 a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = 0 Un sistem omogen este totdeauna compatibil.

25 Consecinţe Matrice neomogene omogene Metoda lui Gauss (Metoda eliminării) 1. Sistemul omogen este compatibil unic determinat dacă şi numai dacă rangul matricei coincide cu numărul de necunoscute, adică rang A = n 2. Dacă rang A < n sistemul este compatibil nedeterminat. 3. Dacă m = n obţinem: i. Sistemul este compatibil unic determinat dacă şi numai dacă det(a) 0 ii. Sistemul este compatibil nedeterminat dacă şi numai dacă det(a) = 0

26 Metoda lui Gauss Matrice neomogene omogene Metoda lui Gauss (Metoda eliminării) Consideăm sistemul liniar a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2 a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m Pas I. Dacă toţi a ij = 0 analizăm b 1, b m. I.1 Dacă b 1 = = b m = 0 sistemul este compatibil nedeterminat I.2. Dacă există b i 0 sistemul este incompatibil

27 Matrice neomogene omogene Metoda lui Gauss (Metoda eliminării) Pas II Dacă există a ij 0 Pas II.1 Alegem max a ij. Aducem elementul pe linia i=1,m;j=1,n 1 şi coloana 1 Pas II.2 Înmulţim linia 1 cu a k1 a 11 şi adunăm la linia k = 2,, m. Sistemul devine a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 22 x a 2n x n = b 2 a m2 x a mnx n = b m Pas II.3 Reluam pasul I pentru sistemul a 22 x a 2n x n = b 2 a m2 x a mnx n = b m

28 Matrice neomogene omogene Metoda lui Gauss (Metoda eliminării) După un numar finit de paşi se ajunge la un sistem de forma a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 22 x a 2n x n = b 2 a rr x r + + a rnx n = b r 0 = b r+1 0 = b m I Dacă cel puţin unul dintre b r+1,, b m 0 sistemul este incompatibil II. Dacă toţi b r+1 = = b m = 0 sistemul este compatibil. II.1 Dacă r = n sistemul este unic determinat II.2 Dacă r < n sistemul este compatibil nedeterminat