Lucian Maticiuc CURS I II. 1 Matrice şi determinanţi. Sisteme de ecuaţii liniare. 1.1 Matrice şi determinanţi

Transcript

1 Facultatea de Electronică, Telecomunicaţii şi Tehnologia Informaţiei Algebră, Semestrul I, Lector dr Lucian MATICIUC CURS I II Matrice şi determinanţi Sisteme de ecuaţii liniare Matrice şi determinanţi Definiţia Se numeşte matrice reală cu m linii şi n coloane (şi se va numi matrice de tip (m, n)), o funcţie care asociază fiecărei perechi (i, j) cu i, m, j, n un unic număr real notat a ij Se foloseşte notaţia a a 2 a n a 2 a 22 a 2n A sau A (a i,j) i,m j,n a m a m2 a mn Mulţimea tuturor matricelor reale de tip (m, n) o vom nota prin M m,n (R) Numerele a ij cu i, m, j, n se numesc elementele matricei Fie A M m,n (R) Dacă m n, atunci matricea A se numeşte matrice pătratică iar M n,n (R) se va nota prin M n (R) Dacă m, atunci matricea A se numeşte matrice linie şi deci A [ a a 2 a n ] iar dacă n, atunci matricea A se numeşte matrice coloană şi deci A a a 2 a m Spunem că A este matricea nulă dacă are toate elementele 0 Matricea pătratică I n : 0 0 se numeşte matricea unitate de ordinul n Definiţia 2 Prin suma a două matrice A, B M m,n (R) înţelegem o nouă matrice C A + B M m,n (R) ale cărei elemente sunt suma elementelor corespunzătoare din cele două matrice Astfel dacă A (a i,j ) i,m iar B (b i,j ) i,m atunci C A + B este definită de C (c i,j ) i,m cu j,n j,n j,n c ij : a ij + b ij, i, m, j, n

2 Definiţia 3 Prin produsul matricei A M m,n (R) cu scalarul α R se înţelege o nouă matrice, de aceleaşi dimensiuni, obţinută prin înmulţirea tuturor elementelor lui A cu scalarul α Astfel dacă A (a i,j ) i,m iar α R este un scalar oarecare, atunci αa este definită de j,n αa αa 2 αa n αa 2 αa 22 αa 2n αa (αa i,j) i,m j,n αa m αa m2 αa mn Teorema 4 Fie A, B, C M m,n (R) şi α R Atunci au loc următoarele afirmaţii: (a) A + B B + A; (b) (A + B) + C A + (B + C); (c) A + 0 A; (d) α(a + B) αa + αb; (e) (α + β)a αa + βa; (f) α(βa) (αβ)a Definiţia 5 Prin produsul matricelor A (a i,j ) i,m M m,n (R) şi B (b j,k ) j,n M n,p (R) se j,n înţelege o nouă matrice C (c i,k ) i,m : AB, ale cărei elemente sunt date prin: k,p c ik : n a ij b jk, i, n, k, p j Remarca 6 Prin urmare, c i,k este produsul liniei i din A cu coloana k din B, adică elementul c i,k (situat la intersecţia liniei i cu coloana k) se obţine din sumarea produselor elementelor liniei i a matricei A cu elementele coloanei k a matricei B Exerciţiul 7 Fie A [ a b c ] x şi B y Calculaţi AB [ a b c ] x y [ax + by + cz] z z şi că x BA y [ a b c ] ax bx cx ay by cy z az bz cz Exerciţiul 8 Fie A A n : } A A {{ A } ) de n ori k,p Calculaţi A n, unde n N (matricea A n este, prin definiţie, Exerciţiul 9 Să se efectueze diverse operaţii cu următoarele matrice: [ ] 2 0 A, B 7 [ ] [ ] , C, D Teorema 0 Fie trei matrice A, B şi C astfel încât dimensiunile lor permit efectuarea operaţiilor indicate mai jos şi α R Atunci au loc următoarele afirmaţii: (a) A(BC) (AB)C; (b) A(B + C) AB + AC; (c) (B + C)A BA + CA; (d) α(ab) (αa)b A(αB); (e) I m A AI n A 2

3 (amconsiderat că A M m,n (R)) Remarca Înmulţirea matricelor nu este comutativă Astfel, dacă A, B M n (R), atunci se pot efectua produsele AB şi BA, dar există exemple pentru care AB BA [ Exerciţiul 2 Fie A ] [ 0 şi B 0 2 ] Calculaţi AB şi BA Calculaţi şi AI 2 şi I 2 B Definiţia 3 Pentru o matrice A M m,n (R) se numeşte transpusa matricei A (şi o vom nota prin A t ) matricea obţinută prin interschimbarea liniilor şi coloanelor lui A, adică a a 2 a m A t a 2 a 22 a m2 M n,m(r) a n a 2n a mn Exerciţiul 4 Fie A t Scrieţi A t Teorema 5 Fie două matrice A, B şi C astfel încât dimensiunile lor permit efectuarea operaţiilor indicate mai jos şi α R Atunci au loc următoarele afirmaţii: (a) (A t ) t A; (b) (αa) t αa t ; (c) (A + B) t A t + B t ; (d) (AB) t B t A t Definiţia 6 O matrice pătratică A care are proprietatea că A A t se numeşte matrice simetrică Definiţia 7 Fie o matrice pătratică A M n (R) Se numeşte determinant al matricei A, şi se notează cu det A sau cu A, un număr real definit recurent în modul următor: (a) dacă n 2, atunci det A a a 2 a 2 a 22 : a a 22 a 2 a 2 ; (b) dacă n > 2, atunci det A n ( ) +i a i D i a D a 2 D ( ) +n a n D n, i unde D i este determinantul matricei pătratice de ordinul n obţinută prin eliminarea primei linii si a coloanei i din matricea A, pentru i, n Remarca 8 Prin definiţia de mai sus, calcularea unui determinant de ordin n se reduce la calcularea a n determinanţi de ordin n Remarca 9 În cazul particular A M 3 (R) obţinem: a a 2 a 3 a 2 a 22 a 23 ( ) + a a 22 a 23 a 3 a 32 a 33 a 32 a 33 + a ( )+2 a 2 a 23 2 a 3 a 33 + a ( )+3 a 2 a 22 3 a 3 a 32 a a 22 a 23 a 32 a 33 a 2 a 2 a 23 a 3 a 33 + a 3 a 2 a 22 a 3 a 32 3

4 Pentru n 3 se obţine regula lui Sarrus (copiind primele două linii sub matricea A): a a 2 a 3 a 2 a 22 a 23 a 3 a 32 a 33 a a 2 a 3 a 2 a 22 a 23 a 3 a 32 a 33 a a 2 a 3 a 2 a 22 a 23 a a 22 a 33 + a 2 a 32 a 3 + a 3 a 2 a 23 a 3 a 22 a 3 a 23 a 32 a a 33 a 2 a 2 Remarca 20 În definiţia de mai sus de calcul a unui determinant s-a considerat dezvoltarea după prima linie, dar se poate considera (în mod echivalent) şi dezvoltarea după orice altă linie sau coloană Numărul A ij ( ) i+j D ij se numeşte complementul algebric corespunzător liniei i şi coloanei j, pentru i, j, n Mai precis, în matricea A, suprimăm linia i şi coloana j şi obţinem o matrice de ordin (n ) al cărei determinant este D ij Folosind complemenţii algebrici corespunzători unei linii sau unei coloane, putem calcula determinantul unei matrice printr-o formulă asemănătoare celei din definiţie, dezvoltând după o linie sau coloană oarecare a matricei Teorema 2 Fie A M n (R) Atunci pentru i, j {, 2,, n} fixaţi avem: det A n a ik A ik a i A i + a i2 A i2 + + a in A in k n a kj A kj a j A j + a 2j A 2j + + a nj A nj, k unde A ik este complementul algebric corespunzător liniei i şi coloanei k 2 0 Exerciţiul 22 Calculaţi det A, unde A Este avantajos să considerăm dezvoltarea după a treia coloană deoarece conţine două zerouri Astfel 2 0 det A 0 ( ) +3 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) + ( ) + ( )2+ + ( )3+ ( 2) ) ( + ( ) + + ( ) ( )+3 0 ) 2 ( ) ( ) Teorema 23 Fie A, B M n (R) Atunci au loc următoarele afirmaţii: (a) det A t det A; (b) det (AB) det A det B; 4

5 (c) det (αa) α n det A (d) dacă matricea A are o linie (sau o coloană) formată numai din zerouri, atunci det A 0; (e) dacă matricea A are două linii (sau două coloane) egale sau proporţionale, atunci det A 0; (f) dacă matricea B este obţinută prin adăugarea la o linie a lui A a unei alte linii înmulţită cu un scalar, atunci det B det A; (g) dacă matricea B este obţinută prin interschimbarea a două linii ale lui A, atunci det B det A; (h) dacă matricea B este obţinută prin înmulţirea unei linii a lui A cu un scalar α R, atunci det B α det A Remarca 24 Proprietăţile (f), (g) şi (h) enunţate mai sus rămân valabile dacă operaţiile precizate se efectuează asupra coloanelor matricei A Definiţia 25 O matrice pătratică A M n (R) se numeşte nesingulară dacă are determinantul nenul, şi se numeşte singulară dacă are determinantul nul Definiţia 26 O matrice pătratică A M n (R) spunem că este inversabilă dacă există o matrice notată A M n (R) (numită matricea inversă a lui A) cu proprietatea că unde I n este matricea unitate de ordinul n AA A A I n, Teorema 27 O matrice pătratică A M n (R) este inversabilă dacă şi numai dacă este matrice nesingulară În acest caz, inversa acesteia este dată de formula: A det A A, unde A se numeşte matricea adjunctă a lui A şi este definită de A A 2 A n A A 2 A 22 A n2 : A n A 2n A nn iar A ij este complementul algebric corespunzător liniei i şi coloanei j Remarca 28 Adjuncta A se obţine înlocuind fiecare element al lui A t prin complementul său algebric; mai precis, în matricea A t, suprimăm linia i şi coloana j şi obţinem o matrice de ordin (n ) al cărei determinant este D ij, iar A i,j : ( ) i+j D ij este complementul algebric al elementului a i,j [ ] 2 Exerciţiul 29 Fie A Calculaţi det A, A 3 4 t, A şi A Vom obţine det A 2 şi A [ ] Exerciţiul 30 Fie A Calculaţi det A, A t, A şi A Vom obţine det A şi A A 4 3 5

6 Definiţia 3 Fie A M m,n (R) şi p min(m, n) (a) Se numeşte minor de ordinul p al matricei A, orice determinant de ordin p al unei matrice obţinute prin intersectarea a p linii şi p coloane din A; (b) Se numeşte rangul matricei A (şi se notează cu rang (A)), ordinul maxim al minorilor nenuli ai lui A Remarca 32 Prin urmare, r min(m, n) este rangul matricei A dacă aceasta are un minor de ordin r nenul şi toţi minorii de ordin mai mare decât r (dacă există) sunt nuli Remarca 33 Operaţiile care păstrează rangul unei matrice se numesc transformări elementare şi sunt următoarele: - înmulţirea unei linii (coloane) cu o constantă nenulă - interschimbarea a două linii (coloane) - adunarea unei linii (coloane) înmulţită cu o constantă la o altă linie (coloană) Remarca 34 Pentru calculul rangului unei matrice se foloseşte teorema lui Kronecker: dacă întro matrice A M m,n (R) există un minor de ordin r min(m, n) nenul şi toţi minorii de ordin (r + ) ce se pot forma cu aceştia, prin bordarea cu o nouă linie şi coloană sunt nuli, atunci rang (A) r 2 0 Exerciţiul 35 Fie A 2 Calculaţi rang (A) 2 Astfel, şi şi , deci rang (A) 2 2 Sisteme de ecuaţii liniare Definiţia 36 Se numeşte sistem de ecuaţii liniare un sistem de forma a x + a 2 x a n x n b a 2 x + a 22 x a 2n x n b 2 a m x + a m2 x a mn x n b m Definiţia 37 Matricele formate cu ajutorul coeficienţilor sistemului a a 2 a n a a 2 a n b a 2 a 22 a 2n A :, Ā : a 2 a 22 a 2n b 2 a m a m2 a mn a m a m2 a mn b m se numesc matricea sistemului, respectiv matricea extinsă a sistemului Remarca 38 Sistemul () este un sistem algebric liniar de m ecuaţii cu n necunoscute Folosind notaţiile precedente, acesta se poate scrie sub forma restrânsă (matriceală) a a 2 a n x b a 2 a 22 a 2n x 2 b 2 AX B, a m a m2 a mn x n b m () 6

7 unde X : x x 2 x n [ ] t x x 2 x n Mn, (R) iar B : M m, (R) reprezintă matricea necunoscutelor şi, respectiv, matricea termenilor liberi b b 2 b m [ ] t b b 2 b m Propoziţia 39 Dacă A este matrice pătratică nesingulară, atunci soluţia sistemului este dată de X A B Definiţia 40 Dacă toţi termenii liberi sunt nuli, ie B 0 (sau b b 2 b m 0), atunci sistemul se numeşte omogen Definiţia 4 Dacă B 0, atunci sistemul se numeşte neomogen Definiţia 42 (a) Rangul matricei A se numeşte rangul sistemului (b) Dacă există valorile reale x, x 2,, x n R care verifică ecuaţiile sistemului (), spunem că n uplul (x, x 2,, x n ) R n este o soluţie a sistemului () Remarca 43 A rezolva un sistem de ecuaţii înseamnă a găsi soluţii (x, x 2,, x n ) R n Definiţia 44 (a) Sistemul () este compatibil dacă admite cel puţin o soluţie (b) Sistemul () este incompatibil dacă nu admite nici o soluţie (c) Sistemul () este compatibil determinat dacă admite o singură soluţie (d) Sistemul () este compatibil nedeterminat dacă admite mai multe soluţii În cazul în care numărul ecuaţiilor este egal cu numărul necunoscutelor (m n), pentru rezolvarea sistemului se poate folosi regula lui Cramer Teorema 45 (Regula lui Cramer) Fie sistemul cu n ecuaţii şi n necunoscute a x + a 2 x a n x n b a 2 x + a 22 x a 2n x n b 2 a n x + a n2 x a nn x n b n Dacă det A 0, atunci sistemul este compatibil şi are soluţia unică dată de x D D, x 2 D 2 D,, x n D n D, unde D det A, iar D i este determinantul matricei obţinută prin înlocuirea în matricea A a coloanei i cu coloana termenilor liberi, pentru i, n Exerciţiul 46 Să se rezolve sistemul: x + 2y + 3z 0 2x y + z 5 x + y z 4 (2) 7

8 Scriem A şi Ā Observăm că det (A) 5 0, deci 4 sistemul are soluţie unică dată de regula lui Cramer Calculăm D , D , D şi deci (x, y, z) (45, 30, 5) (3, 2, ) 5 Definiţia 47 Fie r rang (A) min {m, n} Se numeşte determinant principal al sistemului (), orice minor de ordin r nenul al matricei A Definiţia 48 Fie r rang (A) min {m, n} Se numeşte determinant caracteristic asociat determinantului principal, orice minor de ordin (r + ) al matricei extinse Ā obţinut prin bordarea determinantului principal cu una dintre liniile rămase şi cu coloana termenilor liberi corespunzători Remarca 49 Se pot forma m r determinanţi caracteristici Remarca 50 Ecuaţiile şi necunoscutele corespunzătoare determinantului principal se numesc ecuaţii şi, respectiv, necunoscutele principale, celelalte numindu-se necunoscute secundare Teorema 5 (Kronecker Capelli) Sistemul () este compatibil dacă şi numai dacă matricele A şi Ā au acelaşi rang, adică rang (A) rang ( Ā ) Remarca 52 Întrucât matricea extinsă Ā este obţinută prin adăugarea unei coloane la matricea A, în general avem că rang(a) rang(ā) Aşadar un sistem este incompatibil dacă prin adăugarea coloanei termenilor liberi se măreşte rangul matricei Remarca 53 În concluzie, notând cu r : rang(a) şi cu m şi n numărul de linii, respectiv de coloane ale sistemului, au loc următoarele cazuri: (a) Dacă r m, atunci sistemul este compatibil şi atunci: (a ) Dacă m n, atunci sistemul este compatibil determinat (şi atunci soluţia sistemului se obţine aplicând regula de calcul a lui Cramer) (a 2 ) Dacă m < n, atunci sistemul este compatibil nedeterminat şi admite o infinitate de soluţii (şi atunci soluţiile sistemului se obţin parametrizând necunoscutele secundare şi rezolvând sistemul format din ecuaţiile principale şi necunoscutele principale) (b) Dacă r < m, atunci aplicăm teorema lui Kronecker Capelli Remarca 54 Deci compatibil determinat dacă: rang(a) rang(ā) n, Un sistem este compatibil nedeterminat dacă: rang(a) rang(ā) < n, incompatibil dacă: rang(a) < rang(ā), unde n este numărul de necunoscute Remarca 55 Practic: se scriu matricele A şi Ā şi se calculează rangul lor Dacă rang(a) < rang(ā), atunci sistemul este incompatibildacă rang(a) rang(ā), atunci sistemul este compatibil Acum, dacă rangul obţinut este egal cu numărul de necunoscute, atunci sistemul este compatibil determinat cu soluţia dată de regula lui Cramer Dacă rangul obţinut este mai mic strict decât numărul de necunoscute, atunci 8

9 sistemul este compatibil nedeterminat; pentru a găsi soluţia, determinăm, folosind minorul principal (cel care dă rangul), ecuaţiile principale şi necunoscutele principale Celelate necunoscute se vor numi secundare şi se vor renota cu alte litere (vor deveni parametri), urmând ca necunoscutele principale să se determine în funcţie de aceste necunoscute secundare Exerciţiul 56 Să se rezolve şi să se discute sistemul: x 4y 3z 3x + 2y 3z 2 Scriem mai întâi matricea sistemului şi matricea extinsă: [ ] [ ] A, Ā Observăm că rang (A) rang ( Ā ) 2, deci, conform teoremei lui Kronecker Capelli, sistemul este compatibil dar nedeterminat (admite o soluţie dar aceasta nu este unică) Determinantul principal (cel care dă rangul) este , deci necunoscutele x şi z sunt necunoscutele principale, iar y este necunoscuta secundară Vom nota y α şi rescriem sistemul sub forma x 3z + 4α 3x 3z 2 2α care are soluţia unică (x, z) (4α /4, 5/2), deci soluţia sistemului iniţial este (x, y, z) (4α /4, α, 5/2), cu α R Remarca 57 În cazul particular al sistemelor liniare şi omogene avem următoarele concluzii: (a) Un sistem liniar omogen este întotdeauna compatibil, el admiţând cel puţin soluţia banală X 0, ie x x 2 x n 0 Evident rang(a) rang(ā) (b) Un sistem liniar omogen admite şi alte soluţii (diferite de cea banală) dacă şi numai dacă rang(a) este mai mic decât numărul de necunoscute (c) Prin urmare, un sistem liniar omogen în care numărul de ecuaţii este egal cu numărul de necunoscute admite şi alte soluţii (diferite de cea banală) dacă şi numai dacă det(a) 0 Exerciţiul 58 Să se rezolve şi să se discute următorul sistem omogen: x + 2x 2 + 2x 3 x 4 0 2x x 3 + 3x 4 0 x 2x 2 3x 3 + 4x 4 0 Scriem A şi calculăm , deci rang A Apoi prin bordarea minorului 2 obţinem doi minori de ordin superior şi Deoarece sunt nuli deducem că rang (A) 2 Evident rang Ā rang A, 2 4 9

10 deci sistemul este compatibil dar nedeterminat; astfel necunoscutele principale sunt x şi x 2 iar ecuaţiile principale sunt primele două Necunoscutele secundare sunt celelalte două şi le vom parametriza: α : x 3 şi β : x 4 Sistemul devine x + 2x 2 2α + β 2x α 3β care are soluţia x (α 3β) /2, x 2 5 (α β) /4 Sistemul iniţial are atunci soluţia (x, x 2, x 3, x 4 ) ((α 3β) /2, 5 (α β) /4, α, β), unde α, β R Exerciţiul 59 (metoda lui Gauss) Să se rezolve prin metoda lui Gauss sistemul x + y + 3z 0 2x + 3y z 5 x 2y + 3z 6 Evident, problema se rezolvă calculând cele două ranguri de matrici, rang (A) şi rang ( Ā ) ; apoi trebuie văzut dacă sunt sau nu egale şi apoi trebuie găsit determinantul principal şi ecuaţiile şi necunoscutele principale Există însă şi o metodă alternativă de a studia sistemul Aceasta este metoda lui Gauss pe care o prezentăm în continuare Matricea extinsă a sistemului este Ā şi vom face transformări convenabile pentru a obţine zerouri sub diagonala principală Astfel vom aduna prima linie înmulţită cu constante convenabile la celelalte linii (ştim că în urma acestor transformări aplicate unor matrici pătratice, rangul noii matrice obţinute nu se modifică) Apoi vom aduna a doua linie înmulţită cu constante convenabile la următoarele linii, şamd Astfel vom obţine zerouri pe coloane şi sistemul obţinut va fi unul triunghiular care se rezolvă imediat plecând de la ultima ecuaţie În cazul nostru, notând formal liniile cu L i, scriem L 2 + L 2, L + L 2, apoi L 2 /5 + L 3 şi obţinem şi sistemul este echivalent cu următorul sistem triunghiular: x + y + 3z 0 5y + 5z 25 7z 2 Soluţia lui este imediată (x, y, z) (, 2, 3) Remarca 60 Evident, metoda lui Gauss este utilă şi pentru determinarea rangului unei matrice şi pentru calcul de determinanţi Menţionăm, în plus, că, pentru a aplica metoda lui Gauss, nu contează numărul de ecuaţii şi de necunoscute ale sistemului 0

11 3 Exerciţii Să se efectueze diverse operaţii cu matricele: [ ] 2 0 A, B 7 [ 5 4, C Avem 2 2 ], D 2 0 [ ] 2 0 AB 7 [ ] şi BA 7 [ ] Calculaţi şi: A t + B, BC, DE şi ED [ ] [ ] Fie A, B Determinaţi k astfel încât AB BA 3 3 k, E [ 2 3 ] Avem [ ] [ ] [ ] k AB şi 3 3 k k [ ] [ ] [ ] BA 3 k 3 6 3k 5 + k 0 + 5k 5 Acum ecuaţia dată iniţial AB BA care are soluţia k 5 (a ambelor 6 3k 9 ecuaţii) [ ] [ ] [ Fie A, B şi C B C Explicaţi Avem [ ] [ ] [ ] AB şi [ ] [ ] [ ] AC ] Să se verifice că AB AC, deşi Dacă matricea A ar fi nesingulară, ie det A 0, atunci, echivalent, ar fi inversabilă, deci există inversa A Înmulţind egalitatea cu A în partea stângă obţinem A AB A AC I 2 B I 2 C B C Dar det A 0 deci A nu admite inversă

12 4 Să se calculeze determinanţii: 0 0 (a) ; (b) ; (c) (a) Avem (dezvoltăm după prima linie care conţine două zerouri) ( ) ( ) ( (3 ( 49) ) + ( ) 26 (b) Avem (dezvoltăm după a patra coloană care conţine două zerouri) (c) Avem (se va dezvolta după prima linie, apoi după a doua linie, apoi după a treia linie) 5 Să se calculeze determinanţii:! 2! 3!! 2! 3! 4! (a) 2! 2! 3! 3! 3! 3! ; (b) 2! 2! 3! 4! 3! 3! 3! 4! şi 4! 4! 4! 4! ) 2

13 (c) ; (d) Aplicăm metoda de calcul a unui determinant: dacă matricea B este obţinută prin adăugarea la o linie a lui A a unei alte linii înmulţită cu un scalar, atunci det B det A (a) Înmulţind coloana a doua cu 3 şi adunând-o la a treia coloană, obţinem! 2! 3! 2! 2! 3! 3! 3! 3!! 2! 0 2! 2! 0 (dezvoltăm după coloana a treia) 3! 3! 3! 3 3! (3 ) 3!! 2! 2! 2! 2 3! (2! 2 2!) 2 3! 2! ( )3+ (3 )! 3! 2!! (b) Înmulţind coloana a treia cu 4 şi adunând-o la a patra coloană, obţinem! 2! 3! 4!! 2! 3! 0 2! 2! 3! 4! 3! 3! 3! 4! 2! 2! 3! 0 3! 3! 3! 0 (dezvoltăm după coloana a patra) 4! 4! 4! 4! 4! 4! 4! 4! 4 4!! 2! 3! (4 ) 4! 2! 2! 3! 3! 3! 3! (4 ) 4! ( )3+ (3 )! 3! 2!! ( ) 4+ (4 )! 4! 3! 2!! (c) Înmulţind coloana a doua cu şi adunând-o la a treia coloană (scădem coloana a doua din coloana a treia), obţinem, dezvoltând şi după ultima coloană, valoarea 2 (d) Înmulţind coloana a doua cu şi adunând-o la a patra coloană (scădem coloana a doua din coloana a patra), obţinem, dezvoltând şi după ultima coloană, vloarea 4 6 Să se calculeze determinanţii Vandermonde V 3 (a, b, c) a b c a a 2 a 3 a 4 şi V 4 (a, a 2, a 3, a 4 ) a 2 b 2 c 2 a 2 a 2 2 a 2 3 a 2 4 a 3 a 3 2 a 3 3 a 3 4 Aplicăm metoda de calcul a unui determinant: dacă matricea B este obţinută prin adăugarea la o linie a lui A a unei alte linii înmulţită cu un scalar, atunci det B det A Se va obţine, adunând la o line, linia precedentă înmulţită cu a şi dezvoltând apoi după linie sau coloană convenabilă, V 3 (a, b, c) a a b a c a 0 b a c a b a c a b 2 ab c 2 ac a 2 a 2 b 2 ab c 2 ac 0 b 2 ab c 2 ac 3

14 Acum, putem calcula direct sau putem aplica o metodă de calcul a unui determinant: dacă matricea B este obţinută prin înmulţirea unei linii (sau coloane) a lui A cu un scalar α, atunci det B α det A Deci b a c a V 3 (a, b, c) (b a) (c a) b 2 ab c 2 ac b c (b a) (c a) V 2 (b, c) (b a) (c a) (c b) Aceeaşi tehnică se poate aplica acum şi pentru determinanţi Wandermonde de ordin superior Astfel a a a 2 a a 3 a a 4 a V 4 (a, a 2, a 3, a 4 ) a 2 a 2 a 2 2 a a 2 a 2 3 a a 3 a 2 4 a a 4 a 3 a 3 a 3 2 a a 2 2 a 3 3 a a 2 3 a 3 4 a a a 2 a a 3 a a 4 a a 2 a a 3 a a 4 a 0 a 2 2 a a 2 a 2 3 a a 3 a 2 4 a a 4 a 2 2 a a 2 a 2 3 a a 3 a 2 4 a a 4 a 3 0 a 3 2 a a 2 2 a 3 3 a a 2 3 a 3 4 a a 2 2 a a 2 2 a 3 3 a a 2 3 a 3 4 a a (a 2 a ) (a 3 a ) (a 4 a ) a a 2 a 3 a 2 a 2 2 a 2 (a 2 a ) (a 3 a ) (a 4 a ) V 4 (a, a 2, a 3 ) 3 (a 2 a ) (a 3 a ) (a 3 a 2 ) (a 4 a ) (a 4 a 2 ) (a 4 a 3 ) Remarca 6 Se poate şi aduna la fiecare coloană, prima coloana înmulţită cu şi vom obţine: 0 0 V 3 (a, b, c) a b a c a a b a c b b a c b b 2 a 2 c 2 b 2, a 2 b 2 a 2 c 2 a 2 a 2 b 2 a 2 c 2 b 2 precum şi a a 2 a a 3 a a 4 a a 2 a a 3 a a 4 a V 4 (a, a 2, a 3, a 4 ) a 2 a 2 2 a 2 a 2 3 a 2 a 2 4 a 2 a 2 2 a 2 a 2 3 a 2 a 2 4 a 2 a 3 a 3 a 3 2 a 3 a 3 3 a 3 a 3 4 a 3 2 a 3 a 3 3 a 3 a 3 4 a 3 7 Să se calculeze determinantul 3α 2α + β α + 2β 3β 3α 2 α 2 + 2αβ 2αβ + β 2 3β 2, α, β R α 3 α 2 β αβ 2 β 3 4

15 3α 2α + β 3α α + 2β 3α 3β 3α 3α 2 α 2 + 2αβ 3α 2 2αβ + β 2 3α 2 3β 2 3α 2 α 3 α 2 β α 3 αβ 2 α 3 β 3 α 3 β α 2β 2α 3β 3α 2α (β α) (β α) (2α + β + α) 3β 2 3α 2 α 2 (β α) α ( β 2 α 2) β 3 α (β α) 3 2α 3α + β 3 (β + α) α 2 α (β + α) β 2 + βα + α (β α) 3 2α 3α + β 4α 3 (β + α) 6α α 2 α (β + α) 2α 2 β 2 + βα + α 2 3α 2 β α 3β 3α (β α) 3 3 (β αβ α 2 β 2 + βα 2α 2 α)5 α β + α + α (β α)6 8 Să se determine dacă matricea A este singulară sau nu Dacă este nesingulară, atunci calculaţi inversa A Calculăm det A , deci matricea este nesingulară şi deci inversabilă Inversa este dată de formula A det A A Pentru calculul adjunctei A scriem mai întâi 4 3 transpusa A t şi apoi A şi deci A /3 /3 /3 8/3 3/3 0/3 9 Să se determine valorile parametrului m R astfel încât matricea A inversabilă pentru orice x R 0 x 2 x m să fie 5

16 Calculăm det A 0 x 2 x m x2 2x+m care este diferit de zero pentru orice x R dacă şi numai dacă discriminantul este strict negativ, adică matricea A este inversabilă dacă şi numai dacă discriminantul 4 4 (m ) 4 (2 m) < 0 m > 2 0 Să se calculeze inversele următoarelor matrice: (a) A ; (b) B ; (c) C (d) D ; (e) E ; (f) F ; (g) G ; (h) H /5 (a) A ; (b) B (c) C ; (d) D (e) E ; (f) F ; ; ; (g) G ; (h) H Să se calculeze rangul următoarelor matrice pentru diferite valori ale lui α: (a) A 0 ; (b) B α α 2 α 6

17 (a) Calculăm un minor de ordin doi: ,deci rang (A) 2 Cal culăm şi minorul de ordinul al treilea (singurul care există): α 3 4α Deci, dacă α 3/4, atunci rang (A) 2, iar dacă α 3/4, atunci rang (A) 3 (b) Calculăm un minor de ordin doi: ,deci rang (B) 2 Calculăm (este suficient conform teoremei lui Kronecker) şi cei doi minori de ordinul al treilea α 3 2 obţinuţi prin bordarea celui diferit de zero: α α2 + 6α 5 şi α 3α 5 Prin urmare, dacă α, atunci 3 0 şi şi deci rang (B) 3; dacă α 5, atunci şi deci rang (B) 2; dacă α R {, 5}, atunci 3 0 şi 3 0 şi deci rang (B) 3 2 Să se calculeze rangul matricelor: (a) A ; (b) B ; (c) C Avem rang (A) 3, rang (B) 2, rang (C) Să dau matricele A 2 m 0 şi B 2 m n 0 Să se determine m şi n astfel încât încât cele două matrice să aibă acelaşi rang 2 m Avem rang (A) 2 şi rang (A) m+3 0 m 3 Pe de altă m parte rang (B) 2 şi m + 3 şi 2 n 3 0 n Prin urmare 2 2 rang (B) 3 (m 3 sau n ) Deci dacă m 3, atunci rang (A) rang (B) 2 doar dacă n, iar dacă m 3, atunci rang (A) rang (B) 3 4 Să se rezolve ecuaţia matriceală XA B, unde A [ şi B ] 7

18 Deoarece det A inversă Înmulţind la dreapta egalităţii cu A obţinem 2 0, matricea A admite inversă şi fie A această XAA BA X BA, deci a [ găsi X, înseamnă ] a găsi inversa lui A şi a calcula apoi produsul BA Se va obţine 0 2 X 2 5 Să se rezolve matriceal sistemul x + 2y + 4z 3 2x y + 3z 6 x + y 2z 2 Matricea sistemului este A , matricea necunoscutelor este X x y 2 z iar matricea termenilor liberi este B 3 6 Deci sistemul se rescrie matriceal sub forma AX B Deoarece det A , matricea A admite inversă şi 2 fie A această inversă Înmulţind la stânga egalităţii cu A obţinem AA X A B X A B, deci a găsi X, înseamnă a găsi inversa lui A şi a calcula apoi produsul A B Se va obţine X, adică x, y şi z 6 Folosind regula lui Cramer, să se rezolve următorul sistem de ecuaţii liniare: 2x + 3y + 5z 38 3x + 5y + 2z 3 5x + 2y + 3z Calculăm mai întâi det A , deci, sistemul având numărul de ecuaţii egal cu numărul necunoscutelor, este (conform regulii lui Cramer) compatibil determinat (admite o soluţie şi aceasta este unică) Trebuie să mai calculăm şi determinanţii D , D , D

19 iar x , y , x şi deci soluţia este (x, y, z) (2, 3, 5) 7 Să se rezolve şi să se discute următoarele sisteme omogene: x 3y + 4z 0 x + 2y + z 0 (a) x + 2y z 0 ; (b) x 2y + 2z 0 2x y + 3z 0 3x 2y + 5z 0 În cazul oricărui sistem omogen este evident că rang Ā rang A (matricea Ā conţine în plus o coloană cu zerouri), şi deci orice sistem omogen este compatibil În cazul m n, dacă det A 0, atunci soluţia este unică dată de regula lui Cramer Dar orice sistem omogen admite, evident, soluţia banală deci ea este singura soluţie Dacă m n şi det A 0, atunci soluţia nu este unică şi trebuie să determinăm necunoscutele principale şi pe cele secundare (a) Avem det A 0, şi deci sistemul compatibil este nedeterminat Un determinant principal este ,deci rang A 2 Atunci acest determinant principal determină ecuaţiile şi necunoscutele principale; astfel primele două ecuaţii sunt ecuaţii principale, x, y sunt necunoscute principale iar z, notat cu α, este necunoscuta secundară Sistemul devine x 3y 4α x + 2y α care are soluţia x α şi y α, deci soluţia sistemului iniţial este (x, y, z) ( α, α, α), cu α R (b) Avem det A 0 Un determinant principal este şi deci primele două ecuaţii sunt ecuaţii principale, x, y sunt necunoscute principale iar z, notat cu α, este necunoscuta secundară Sistemul devine x + 2y α x 2y 2α care are soluţia x 3α/2 şi y α/4, deci soluţia sistemului iniţial este (x, y, z) ( 3α/2, α/4, α), cu α R 8 Să se rezolve şi să se discute sistemul omogen: x + 2y + 3z 0 4x + 5y + 6z 0 x + λ 2 z 0 Avem det A 3 ( + λ 2) 0, λ R, deci sistemul este compatibil determinat, şi fiind sistem omogen, admite doar soluţia banală 9

20 9 Să se rezolve şi să se discute sistemul omogen: x + x 2 + mx 3 x 4 0 2x + x 2 x 3 + x 4 0 3x x 2 x 3 x 4 0 mx 2x 2 2x 3 2x 4 0 m Avem det A m Rezolvăm acum ecuaţia det A 0 m m 0 Deci, dacă m 6, atunci sistemul este compatibil determinat, şi fiind sistem omogen, admite doar soluţia banală Dacă m 6, sistemul este compatibil dar nu admite 6 soluţie unică Un determinant principal este şi deci primele 3 trei ecuaţii sunt ecuaţii principale, x, x 2 şi x 3 sunt necunoscute principale iar x 4, notat cu α, este necunoscuta secundară Sistemul devine x + x 2 + 6x 3 α 2x + x 2 x 3 α 3x x 2 x 3 α care are soluţia unică dată de regula lui Cramer Trebuie să mai calculăm determinanţii α 6 D α α 4α, D α α 3 α 3α, D α 3 2 α 3 α 0α iar x 4α 33, x 2 3α 33, x 3 0α 33 şi deci soluţia sistemului iniţial este (x, x 2, x 3, x 4 ) (4α, 3α, 0α, 33α), cu α R Să se rezolve şi să se discute sistemul: x + λy + z λx y + z x + y z 2 Scriem A λ λ şi Ā λ λ Observăm că det (A) ( + λ) 2, 2 deci, dacă λ R { }, atunci det A 0 şi deci sistemul are soluţie unică dată de regula lui Cramer Calculăm λ D 2 3λ+3, D 2 λ 2 3λ 3, D λ 3 λ 2 2λ2 +2λ 2 20

21 şi deci ( (x, y, z) 3λ + 3, 3λ 3, 2λ 2 ( + λ) 2 + 2λ 2 ) Dacă λ, atunci det A 0 şi scriem A şi Ā 2 Calculăm rang (A) 2 şi rang ( Ā ) 3, deci, conform teoremei lui Kronecker Capelli, sistemul este incompatibil 2 Să se rezolve şi să se discute sistemul: x 4y 3z x + 2y + z 2 2x + 4y + 2z 3 Scriem mai întâi matricea sistemului şi matricea extinsă: A 2, Ā Observăm că rang (A) 2, deoarece , iar Pe de altă parte, rang ( Ā ) 3 deoarece , iar celălalt minor obţinut prin bordarea lui 2 este Deci rang (A) rang ( Ā ) şi, conform teoremei lui Kronecker Capelli, sistemul este incompatibil (α ) x + αy + (α + ) z 22 Să se rezolve şi să se discute sistemul (β ) x + βy + (β + ) z x + y + z 2 Avem A α α α + β β β +, Ā α α α + β β β + 2 Observăm că 2 α α β β α β iar α α α + 3 β β β + 0 Deci dacă α β, atunci rang (A) 2 În ceea ce priveşte pe Ā, calculăm 2 α α β β α β 2

22 iar 3 α α α + β β β + 0 şi 3 α α β β 2 2β 2α 0 pentru α β Deci rang (A) 2 3 rang ( Ā ), prin urmare sistemul este incompatibil Dacă α β, atunci calculăm 2 α α 0 iar α α α + 3 α α α + 0, deci rang (A) 2 În ceea ce priveşte pe Ā α α α + α α α +, calculăm 2 2 α α 0 iar 3 este nul, oricum l-am alege Deci rang ( Ā ) 2 rang (A), prin urmare sistemul este compatibil nedeterminat Determinantul principal (cel care dă rangul) este 2 α α, deci prima şi a treia ecuaţie sunt cele principale, necunoscutele x şi y sunt necunoscutele principale, iar z este necunoscuta secundară Vom nota z a şi rescriem sistemul sub forma (α ) x + αy (α + ) a x + y 2 a care are soluţia unică (x, y) ( 2α + a, + 2α 2a), deci soluţia sistemului iniţial este (x, y, z) ( 2α + a, + 2α 2a, a), cu a R 23 Să se rezolve şi să se discute sistemele: şi 2x + x 2 + x 3 2 x + 3x 2 + x 3 5 (a) x + x 2 + 5x 3 7 2x + 3x 2 3x 3 4 (3 2λ)x + (2 λ)x 2 + x 3 λ ; (b) (2 λ)x + (2 λ)x 2 + x 3 x + x 2 + (2 λ)x 3 2x + 4x 2 3x 3 x 2x 2 + 3x 3 4x 4 4 7x 3x 2 + 5x 3 6 x 2 x 3 + x 4 3 (c) (d) 3x + x 2 8x 3 5 x + 3x 2 3x 4 6x 5x 2 + x 3 4 7x 2 + 3x 3 + x 4 3 x + 2x 2 + 3x 3 + 4x 4 2x + 3x 2 + 4x 3 + x 4 2 (e) 3x + 4x 2 + x 3 + 2x 4 3 4x + x 2 + 2x 3 + 3x 4 4 Scriem, mai întâi, matricea sistemului şi matricea extinsă Calculăm rangurile lor şi vedem dacă sunt sau nu egale Dacă nu sunt egale atunci sistemul este incompatibil Dacă sunt egale atunci se determină necunoscutele principale şi pe cele secundare ; ; 22

23 (a) A , Ā Deoarece det Ā , deducem că rang ( Ā ) 3 Pe de altă parte, rang A 2, rang A 3 şi 5 rang Ā 3, deci obţinem rang (A) 3 rang ( Ā ), adică sistemul este compatibil Determinantul principal este 3 deci primele trei ecuaţii sunt cele principale iar x, x 2, x 3 sunt necunoscutele principale Sistemul devine 2x + x 2 + x 3 2 x + 3x 2 + x 3 5 x + x 2 + 5x 3 7 care are soluţia dată de regula lui Cramer Se va obţine (x, x 2, x 3 ) (, 2, 2) (b) Avem 3 2λ 2 λ 3 2λ 2 λ λ A 2 λ 2 λ, Ā 2 λ 2 λ 2 λ 2 λ şi 3 2λ 2 λ det A 2 λ 2 λ 2 λ λ3 + 5λ 2 7λ + 3 Iar det A 0 λ 3 + 5λ 2 7λ Rădăcinile (rădăcinile întregi se găsesc printre divizorii termenului liber) sunt λ, λ 2 şi λ 3 3 (adică λ 3 + 5λ 2 7λ + 3 ( λ) 2 (3 λ)) Deci dacă λ R \ {, 3} atunci det A 0 deci sistemul este compatibil determinat, soluţia unică fiind găsită cu regula lui Cramer: λ 2 λ x det A 2 λ 2 λ ( λ)2 (λ 3) ( λ) 2 (3 λ) 3 2λ λ x 2 det A 2 λ 2 λ ( λ)2 (4 λ) ( λ) 2 (3 λ) 4 λ 3 λ 3 2λ 2 λ λ x 3 det A 2 λ 2 λ ( λ) 2 ( λ) 2 (3 λ) 3 λ Dacă λ atunci det A 0 şi sistemul devine x + x 2 + x 3 x + x 2 + x 3 x + x 2 + x 3 23

24 Acum rang (A) rang ( Ā ) deci sistemul este compatibil nedeterminat şi, plecând de la minorul principal, găsim că necunoscutele principale şi ecuaţiile principale sunt x respectiv prima ecuaţie Sistemul devine, notând necunoscutele secundare x 2 α şi x 3 β, { x α β, adică soluţia sistemului iniţial este (x, x 2, x 3 ) ( α β, α, β), α, β R Dacă λ 3 atunci det A 0 şi sistemul devine 3x x 2 + x 3 3 x x 2 + x 3 x + x 2 x 3 Acum rang (A) 2 şi rang ( Ā ) 3 deci sistemul este incompatibil (c) Avem A , Ā Deoarece rang A 3 În ceea ce priveşte pe Ā, calculăm deci rang ( Ā ) 3, prin urmare rang ( Ā ) 3 (deoarece există minorul 3 0) Obţinem rang (A) 3 rang ( Ā ) şi deci sistemul este compatibil nedeterminat Determinantul principal (cel care dă rangul) este 3, deci necunoscutele x, y şi z sunt necunoscute principale iar primele trei ecuaţii sunt ecuaţiile principale Sistemul devine 2x + 4x 2 3x 3 7x 3x 2 + 5x 3 6 3x + x 2 8x 3 5 care este cu trei ecuaţii şi trei necunoscute şi care are determinantul matricei sistemului nenul Deci se poate rezolva cu regula lui Cramer Calculăm determinanţii , , şi deci (x, x 2, x 3 ) (2,, ) (d) Avem rang (A) 3 rang ( Ā ) şi apoi (x, x 2, x 3, x 4 ) ( 8, 3 + α, 6 + 2α, α), α R (e) Avem rang (A) 4 rang ( Ā ), iar soluţia este dată de regula lui Cramer, (x, x 2, x 3, x 4 ) (2,,, ) 24

25 24 Să se rezolve prin metoda lui Gauss sistemele: x + y + z t 2 x + 2y 3z 0 2x + y z + 2t 9 (a) 2x y + z 3 ; (b) x + 2y + 2z t 5 y + 2z 4 x + 3y z 2t 4 şi x + x 2 + x 3 + x 4 (c) 2x x 2 + x 3 x 4 2 x 2x 2 2x 4 x + 2y + z 3 ; (d) 2x y + 3z 2 x 3y + 2z 0 x 2y + z 4 ; (e) 4x + 3y 2z 2x + 3y + 4z 2 3 (a) Avem că det A şi numărul de ecuaţii este egal cu numărul 0 2 de necunoscute Obţinem rang (A) 3 rang ( Ā ) şi deci sistemul este compatibil determinat cu soluţia dată de regula lui Cramer Există însă o metodă alternativă de a studia un sistem (nu contează numărul de ecuaţii şi de necunoscute) Aceasta este metoda lui Gauss Scriem matricea extinsă Ā şi vom face transformări convenabile pentru a obţine zerouri sub diagonala principală Astfel vom aduna prima linie înmulţită cu constante convenabile la celelalte linii (ştim că în urma acestor transformări aplicate unor matrici pătratice, determinantul nu se modifică) Apoi vom aduna a doua linie înmulţită cu constante convenabile la următoarele linii, şamd Astfel obţinem zerouri pe coloane şi sistemul devine unul triunghiular Avem /5 4 3/ /5 7/5 şi deci sistemul iniţial este echivalent cu următorul sistem triunghiular: x + 2y 3z 0 5y + 7z 3 7z/5 7/5 Soluţia lui este imediată (x, y, z) (, 2, ) 2 (b) Matricea Ā şi vom face transformări convenabile pentru

26 a obţine zerouri sub diagonala principală Obţinem /3 76/3 şi sistemul este echivalent cu următorul sistem triunghiular: x + y + z t 2 y 3z + 4t 5 6z + 0t 22 9t/3 76/3 Soluţia lui este imediată (x, y, z, t) (, 2, 3, 4) (c) Avem, citind matricea extinsă, şi sistemul este echivalent cu următorul sistem triunghiular: x + x 2 + x 3 + x 4 3x 2 x 3 3x 4 0 0x 3 + 0x 4 2 care nu are soluţii deoarece am obţinut 0 2, care este o contradicţie Deci sistemul iniţial este incompatibil Se poate observa, calculând pentru sistemul iniţial cele două ranguri, că rang (A) 2 (deoarece 2 0 şi 3, 3 0) şi rang ( Ā ) 3 (deoarece 2 0 şi 3, 3 0 dar există şi 3 6 0) Deci rang (A) < rang ( Ā ) ceea ce înseamnă că sistemul dat este incompatibil 26