Ecuatii exponentiale. Ecuatia ce contine variabila necunoscuta la exponentul puterii se numeste ecuatie exponentiala. a x = b, (1)

Transcript

1 Ecuatii exponentiale Ecuatia ce contine variabila necunoscuta la exponentul puterii se numeste ecuatie exponentiala. Cea mai simpla ecuatie exponentiala este de forma a x = b, () unde a >, a. Afirmatia. Pentru b ecuatia () nu are solutii, iar pentru b > ecuatia data are o solutie unica: x = log a b. Exemplul. Sa se rezolve ecuatiile a) x = 4, b) x = 4, c) x = 5. Rezolvare. a) Cum membrul din stanga ecuatiei este pozitiv pentru orice x R (a se vedea proprietatile functiei exponentiale), iar membrul din dreapta este negativ, ecuatia nu are solutii. b) Utilizand afirmatia se obtine x = log 4, adica x =. c) Similar exemplului precedent se obtine x = log 5. Nota. Din afirmatia rezulta ca ecuatia exponentiala de tipul unde a >, a si b >, este echivalenta cu ecuatia Exemplul. Sa se rezolve ecuatiile a f(x) = b, () f(x) = log a b a) sin x =, b) 3 x x = 9, c) ( 5) x = 5 45, x N. Rezolvare. a) Se tine seama de nota la afirmatia si se obtine ecuatia trigonometrica sin x = log. Cum log = log x = ( ) n+ π 6, n Z. b) Cum log 3 9 =, se obtine ecuatia = log = log =, rezulta sin x =, de unde x x =. Utilizand proprietatile modulului (a se vedea, de exemplu, []) se obtine x x = [ x x =, x x =, [ x x =, x x + =, [ x =, x =.

2 c) Logaritmand in baza 5 (ambii membri sunt pozitivi) se obtine ( x) = x = 45. Utilizand formula pentru suma primilor n termeni ai progresiei aritmetice se obtine de unde rezulta ecuatia patrata + x x = 45, x + x 9 = cu solutiile x = si x = 9. Cum x N, ramane x = 9. La rezolvarea ecuatiilor exponentiale se utilizeaza urmatoarea afirmatie de baza referitoare la echivalenta ecuatiilor (a se vedea, de exemplu, []). Afirmatia. Daca a > si a, atunci ecuatiile a f(x) = a g(x) (3) si sunt echivalente. Nota. Ecuatiile de tipul f(x) = g(x) se pot scrie astfel a f(x) = b g(x) (a >, a, b > ) a f(x) = a g(x) log a b si se rezolva utilizand afirmatia. Unele ecuatii exponentiale se reduc la ecuatiile de tipul ()-(3) cu ajutorul egalitatilor: E) a x a ( ) y = a x+y, E) ax a = y ax y, E3) (a x ) y = a x y, E4) ax a x b =, E5) ax b x = (ab) x. x b Exemplul 3. Sa se rezolve ecuatiile a) 3x+ 9 x+ ( ) = 43, b) 3x 4 x ( ) x =, c) 4 3x+ 65 x x = 64, d) 3 x = 7 x+. 9 Rezolvare. a) Se utilizeaza egalitatile E-E3, afirmatia si se obtine 3 x+ 9 x+ 7 x = 43 3x+ 3 (x+) 3 3x = 3 5 3x++(x+) 3 3x = x++(x+) 3x = 3 5 x + + x + 4 3x = 5 x =.

3 b) Cum a ( ( b 4 x b a) = (ab ), rezulta 9) ( 3 (x = ) ) E4, E3 si E se obtine 3 x ( ) 4 x ( ) 3 9 = x 9 ( ) 3 x ( 3 (x ) ) ( ) 3 9 = de unde, in baza afirmatiei, rezulta ecuatia patrata cu solutiile x = 3 si x = 5. x x 5 = si utilizand proprietatile ( 3 x (x ) ) ( ) 3 9 =, c) Cum 4 3x+ = 4 4 3x = 4 (4 3 ) x = 4 64 x, 65 x = (65 ) x = 5 x ecuatia devine 4 64 x 5 x = x 5 x = 6. Utilizand proprietatea E5 si afirmatia se obtine 6 x = 6, de unde x =. d) Se tine seama de nota la afirmatia si se obtine de unde rezulta ecuatia liniara cu solutia x = + log 3 7 log 3 7. Daca ecuatia exponentiala este de tipul 3 x = 3 log 3 7(x+) x = x log log 3 7 x( log 3 7) = log atunci prin intermediul substitutiei t = a f(x), se obtine ecuatia F (a f(x) ) =, (4) F (t) =, care de regula se rezolva mai simplu. In cele mai frecvente cazuri se intalnesc ecuatiile de tipul A a f(x) + B a f(x) + C =, A a f(x) + C a f(x) + B = (5) (A, B si C R), care cu ajutorul substitutiei t = a f(x) se reduc la ecuatia patrata At + Bt + C =. 3

4 Exemplul 4. Sa se rezolve ecuatiile: a) x + 3 x 4 = 76, b) 3 x x + 9 x+ + 9 x = 8, c) 4 x x =, d) +x 3 x = 5, e) 4 x x+ + = 9 x x. Rezolvare. a) x + 3 x 4 = 76 x + 3 x 4 = 76. Se noteaza t = x, si se obtine ecuatia liniara 6t + 3t = 76 6, de unde t = 64. Asadar x = 64 si x = 6. b) Ecuatia se scrie 3 x + 9 3x x x = 8. Se noteaza t = 3 x (atunci 9 x = t ), si se obtine ecuatia algebrica care se reduce (a se vedea []) prin substitutia t + 9t + 9t + 9t = 8, z = t + 9t (atunci 9t + 9t = (8t 9 + ) = [ ( ) ] t 9 t + 9t 8 = 9 z ) la ecuatia patrata z + 9 z = 8 z + 9z 9 =, de unde z = 5, z = 6. Cum t >, z = 5 nu verifica ecuatia si ramane de unde t + 9t = 6, 9t 6t + = cu solutia t = 3. Asadar 3x =, de unde x =. 3 c) Se noteaza t = x, atunci 4 x = ( ) x = ( x) = t si se obtine ecuatia patrata t t =, cu solutiile t = si t =. Cum t > (mai exact, deoarece x, t = x ), ramane t =, adica x = 4

5 de unde x = si deci x = ±. d) Cum +x = x, 3 x = 3 x, se noteaza t = x si ecuatia devine t 8 t = 5. Se multiplica ambii membri ai ecuatiei cu t (t > ) si se obtine ecuatia patrata t 5t 8 = cu solutiile t = si t = 8. Cum t <, ramane x = 8, de unde x = 3. e) Se noteaza t = x x (cum x x in x (, ] [, + ), rezulta t ) si se obtine ecuatia 4t 9t + = cu solutiile t = 4 si t =. Cum t < ramane de rezolvat ecuatia x x =, echivalenta cu x x =. Deoarece ambii membri ai ecuatiei sunt pozitivi, ridicand la patrat se obtine ecuatia echivalenta (a se vedea, de exemplu, []) x x = cu solutiile x = ±. Ecuatiile de tipul A a f(x) + B a f(x) b f(x) + C b f(x) =, (A, B, C R, A B C ) se numesc ecuatii exponentiale omogene. Prin multiplicare, de exemplu, cu ele se reduc la ecuatia patrata bf(x) ) f(x). ( a unde t = b Exemplul 5. Sa se rezolve ecuatiile At + Bt + C =, a) 64 9 x 84 x x =, b) 9 x x 3 x+4 =. Rezolvare. a) Ecuatia se scrie 64 3 x 84 3 x 4 x x = 5

6 si impartind la 4 x se obtine ( 9 x ) 3x 4 x (4 x ) + 7 = ( ) 3 x ( ) 3 x =. 4 4 ( ) 3 x Se noteaza t = si se obtine ecuatia patrata 4 64t 84t + 7 =. Discriminantul ecuatiei date este = = = 4 3 (49 48) = =, iar solutiile t = 9 6 si t = 3 4. Asadar ( ) 3 x = 9 4 6, ( ) 3 x = 3 4 4, de unde x = si x =. b) Ecuatia se scrie (multiplicand cu 9 3 x ) 36 x 45 x 3 x 8 3 x = ( ) x ( ) x =. 3 3 ( ) x Notand t = se obtine ecuatia patrata 3 4t 5t 9 = cu solutiile t =, t = 9 ( x 4 3). Cum t > ramane = 9 de unde x =. 4 Uneori se intalnesc ecuatii ce se rezolva prin metoda scoaterii factorului comun in afara parantezei. Exemplul 6. Sa se rezolve ecuatiile Rezolvare. a) Ecuatia se scrie a) x+ x + x x 3 = 9, b) x+ x+ x+3 = 5 x 5 x+, c) x x+ + x 3 + = x x x. x x + x 4 x 8 = 9 6

7 ( x + 4 ) = 9. 8 Efectuand operatiile din paranteze se obtine x 9 8 = 9, de unde x = 8 si x = 3. b) Similar rezolvarii ecuatiei precedente se obtine: x+ x+ x+3 = 5 x 5 x+ x x 4 x 8 = 5 x 5 x 5 x ( 4 8) = 5 x ( 5) x ( ) = 5 x ( 4) x ( ) = 4 5x ( ) x = 4 ( ) x ( ) 5 = x =. 5 5 c) Se trec toti termenii in partea stanga a ecuatiei si se grupeaza convenabil (x x+ x ) + ( x 3 + x x 3 +4 ) =. In fiecare paranteza se scoate factorul comun in afara parantezei x (4x ) + x 3 + ( 4x ) =, de unde rezulta (4x ) ( x x 3 + ) = si totalitatea de ecuatii [ 4x =, x = x 3 +. Prima ecuatie are solutiile x =, x =, iar a doua se rezolva utilizand proprietatile modulului: x = x 3 + x = x 3 + x 3 = x 3 x 3 x 3. Asadar, solutiile acestei ecuatii sunt x { ± } [3, + ). Unele ecuatii exponentiale se rezolva prin metode specifice. Exemplul 7. Sa se rezolve ecuatiile a) (4 + 5) + (4 5) x = 6, d) 4 x + (x ) x = 6 x, g) (x + ) 3 x +x+3 = 7, b) 5 x = 8 x, e) x + x + = x 4 x, h) 5 x x 8 x = 5, c) 3 x + 4 x = 5 x, f) 4 3+x x = x +, i) 5 x 8 x x = 5. x 7

8 Rezolvare. a) Se observa ca (4 + 5) x (4 5) x = x = si utilizand substitutia t = (4 + 5) x (atunci (4 5) x = ) se obtine ecuatia t t + t = 6 t 6t + = cu solutiile t = si t = Cum 3 ± 8 5 = (4 ± 5), se obtine totalitatea de ecuatii [ (4 + 5) x = (4 + 5), (4 + 5) x = (4 5), de unde x = si x = (se tine seama ca (4 5) = (4 + 5) ). b) Se observa ca x = 3 este solutie a ecuatiei date. Alte solutii ecuatia data nu are, deoarece membrul din stanga reprezinta o functie crescatoare, iar membrul din dreapta o functie descrescatoare, si cum graficele acestor functii pot avea cel mult un punct comun, rezulta ca x = 3 este unica solutie. c) Se observa ca x = este solutie a acestei ecuatii. Alte solutii ecuatia nu are. In adevar, ecuatia se scrie ( ) 3 x ( ) 4 x + =. 5 5 ( ) 3 x ( ) 4 x Se observa ca functia f(x) = + ca suma a doua functii descrescatoare este la fel 5 5 descrescatoare si, prin urmare, capata fiecare valoare a sa doar o singura data. d) Se noteaza t = x si se rezolva ecuatia patrata in t: t + (x )t + x 6 =. Discriminantul acestei ecuatii este = (x ) 4(x 6) = x x + 5 = (x 5), iar solutiile t = x x + 5 = 3 x, t = x + x 5 =. Cum solutia t = nu verifica conditia t >, ramane x = 3 x Se rezolva similar exemplului b) si se obtine x =. e) Ecuatia se scrie x + x + = x 4 x x + x + = ( x ), ( de unde rezulta, ca ecuatia nu are solutii. In adevar, cum x +x+ = x + x = ( x + ) + 3 membrul din stanga ecuatiei ia valori in multimea 4) [ 3 ; 4 + ), iar membrul din dreapta dreapta ecuatiei valori nepozitive. 8

9 f) Se observa ca ecuatia are solutii doar pentru x >. Atunci membrul din dreapta x + x = x + x, in plus semnul egalitatii se obtine pentru x = (se tine seama de inegalitatea a + a justa pentru orice a > ), pe cand membrul din stanga ecuatiei primeste valoarea maxima pentru x =. In adevar ( 4 ) 3+x x = ( 4 ) 4 +x x = ( 4 ) 4 ( x) 4 4 =. Astfel unica solutie a acestei ecuatii este x =. g) Se observa, ca pentru x (, ) ecuatia nu are solutii (in adevar, in asa caz membrul din stanga ia valori nepozitive). Pentru x ( ; + ) membrul din stanga reprezinta o functie strict crescatoare, ca produsul a doua functii strict crescatoare, si, prin urmare, primesc fiecare valoare a sa doar o singura data. Ramane de observat ca x = este solutie (unica) a ecuatiei. h) Domeniul valorilor admisibile al ecuatiei este multimea numerelor naturale, mai mari ca. Ecuatia se scrie 5 x 8 x x = 5. Se logaritmeaza, de exemplu, in baza 5 si se obtine x + log 5 3(x ) x = 3 + log 5 3(x ) x + log x 5 3 log 5 =, de unde se obtine ecuatia patrata x + x(log 5 3) 3 log 5 = cu solutiile x = 3 si x = log 5. Cum x DV A, rezulta ca unica solutie a ecuatiei este x = 3. i) DV A a ecuatiei este multimea x R \ {} si astfel (a se vedea exemplul precedent) solutiile ei sunt numerele 3 si log 5. Uneori se intalnesc ecuatii ce contin necunoscuta atat in baza cat si in exponentul puterii: [h(x)] f(x) = b ( [h(x)] f(x) = [h(x)] g(x)). (6) ( De regula, domeniul de definitie pentru functia [h(x)] ) f(x) [h(x)] g(x) se considera multimea tuturor valorilor x D(f) (x D(f) D(g)), unde d(f) desemneaza domeniul de definitie al functiei f (f si g), pentru care h(x) >. Astfel: [h(x)] f(x) = [h(x)] g(x) f(x) = g(x), h(x) >, h(x), { h(x) =, x D(f) D(g). 9

10 Exemplul 8. Sa se rezolve ecuatiile: a) x x +x+ = (x ), b) (x + x) x +x =, c) x lg x lg x = x 3. Rezolvare. a) Cum a = a ecuatia se scrie astfel si este echivalenta cu totalitatea de sisteme x x +x+ = x x >, x =, x + x + =, { x =, x DV A. de unde se obtin solutiile: x =, x = 3 si x =. b) Se scrie (x + x) =, si se obtine (x + x) x +x = (x + x) x +x = (x + x) x + x = x + x >, x + x, x + x =, x =, x = 5 x = + 5,. c) DV A al ecuatiei este multimea (; + ). In DV A ecuatia este echivalenta cu totalitatea x >, x =, lg x lg x = 3. { x =, x >. de unde rezulta solutiile x =, x = si x =. Nota. Uneori este necesar ca functiile din (6) sa fie examinate pe domenii mai largi: se tine seama ca functia h(x) f(x) are sens si atunci cand h(x) = si f(x) > (g(x) > ) h(x) < si f(x) (g(x)) ia valori in multimea numerelor intregi etc. (a se vedea []-[4]).. 8 (x ) x = 4 x.. 3 x+5 x 7 =, 5 8 x+7 x 3. 3., 5 4 x 3 = (, 5 ) x. Exercitii recapitulative Sa se rezolve ecuatiile

11 4. x + x + x = x+ + 3 x 3 x = x+3 3 x + 4 x 3 x+ = x+ 5 x+ = 3 x+4 5 x x 7 x 7 5 x x+ = x 3 x,5 = 3 x+,5 x.. 4 x x = x 3 x =.. +x x = x log 7 7 x +x =. ( x ( 8) + 3 x 8) = ( x ( 3) + + x 3) = x+3 3 x +x 6 = 3 x +x 5 x. 7. (x 3) 3x x+3 =. 8. x x 3x = x 3 x+ = 3 x 3 x x + 6 x+ = 7 4 x.. 6 cos x cos x = 3 5 cos x.. x 4 x + 4 x = 4 x+ + x x. 3. 3x 5 = 4 8 x x + 5 3( x) + 5(5 x + 5 x ) = x + 3 x = 7 x x + 3 x = 9 x x x x+ = (x + ) 9 x 3 + 4x 3 x 3 6 =.

12 x = x x x + = x 4 x. Bibliografie.. P. Cojuhari, A. Corlat. Ecuatii si inecuatii algebrice. Mica biblioteca a elevului. Seria matematica si informatica. Editura ASRM. Chisinau, P. Cojuhari. Ecuatii si inecuatii. Teorie si practica. Chisinau, Universitas, F.P. Iaremciuc, P. Rudcenco. Algebra i ălementarnîe funcţii. Kiev, Naucova Dumca, 987. (rus.) 4. V.A. Vişeniskii i dr. Zbirnik zadaci z matematiki. Kiev, Libidi, 993. (ucr.)