AUTOMĀTISKĀS VADĪBAS PAMATI

Transcript

1 Latvijas Lauksaimncības universitāte Tehniskā fakultāte Lauksaimncības enerăētikas institūts Andris Šnīders AUTOMĀTISKĀS VADĪBAS PAMATI Jelgava 008

2 Latvijas Lauksaimncības universitāte Tehniskā fakultāte Lauksaimncības enerăētikas institūts Andris Šnīders AUTOMĀTISKĀS VADĪBAS PAMATI Mācību līdzeklis automātikas amatos Jelgava 008

3 Mācību līdzeklis sagatavots un dots ESF rojekta InženrzinātĦu studiju satura modernācija Latvijas Lauksaimncības universitātē tvaros, rojektu līdzfinansē Eiroas Savnība. Šnīders A. Automātiskās vadības amati: Mācību līdzeklis automātikas amatos. Jelgava: LLU, l. Mācību līdzeklis sagatavots atbilstoši LLU lauksaimncības enerăētikas, datorzinātnes-datorvadības un kokastrādes tehnoloăijas studiju rogrammu bakalaura studiju rkšmetu Automātikas amati, Automātiskās vadības amati un Automatācijas amati rogrammām. To varēs mantot kā alīglīdzekli arī citu LLU bakalaura studiju inženrtehnisko secialitāšu studenti tehnoloăisko rocesu automatācijas rkšmetu aguvei, kā arī lauksaimncības enerăētikas un informācijas tehnoloăiju secialitāšu maăistranti raktisko darbu strādei rkšmetos Automātisko sistēmu modelēšana un Ražošanas datorvadības sistēmas. daĝa. Tehnoloăisko rocesu vadības sistēmas. Recenzenti: Rīgas Tehniskās universitātes rofesors Dr.habil.sc.ing. Jānis Greivulis LEEA valdes loceklis, energofirmas Jauda rezidents Jānis Šimins ISBN Andris Šnīders LLU Tehniskā fakultāte

4 SATURS Ievads...5. Automātiskās vadības amatrincii Automātikas visārīgi jēdzni un definīcijas Vnkārši un komlicēti automātiskās vadības objekti Automātiskās vadības rincii un sistēmas Programmvadības rincis Perturbāciju komensācijas rincis Atgrzeniskās saites rincis Kombinētās - invariantās vadības rincis Adatīvās vadības rincis Automātiskās vadības sistēmu klasifikācija Automātiskās vadības sistēmu komonentu klasifikācija Ražošanas rocesu automātiskā vadība Ražošanas rocesu automatācijas amatjēdzni Ražošanas rocesu datorētā vadība Ražošanas automatācijas ekonomiskais amatojums AVS komonentu statiskās un dinamiskās īašības Lineāras rīces to statiskās raksturlīknes Nelineāras rīces to statiskās raksturlīknes Nelineāru statisko raksturlīkħu analītiskā linearācija Astatiskas rīces to īašības un ātruma koeficnts Statisko raksturlīkħu ekserimentāla uzħemšana Statisko vnādojumu sastādīšanas un analīzes mēri Termistora statisko raksturojumu arēėins un modelēšana Elektriska sildelementa statisko raksturojumu modelēšana AVS statisko raksturojumu analīze AVS komonentu raksturīg slēgumi un to īašības AVS statisma koeficnts un statiskā kĝūda Dinamisk rocesi automātiskās vadības sistēmās Dinamikas vnādojumu sastādīšana un analīze Nelineāru rīču dinamikas vnādojumi Diferenciālvnādojumu formālā algebrācija Oeratoru metode AVS dinamisko rocesu ētīšanai Jēdzns ar Lalasa transformāciju, oriăināls un attēls Oeratoru rēėinu galvenās teorēmas Dinamiskais ārvades koeficnts - ārvades funkcija Dinamikas vnādojumu sastādīšanas mēri Temeratūras mērīšanas ārveidotāja vnādojums Metāla termorezistoru dinamisk raksturojumi Metāla termoāru dinamisk raksturojumi TMP ārejas rocesu saidojoš faktori...7 3

5 .0.5. Rezervuāra kā vadības objekta dinamikas vnādojumi AVS raksturīg tiveida osmi un to slēgumi Bezinerces roorcionālais osms Frekvenču ārveidotāja kā bezinerces osma modelēšana Pirmās kārtas aeriodisks, statisks (inerciāls) osms Elektriska sildelementa silšanas rocesa modelēšana Otrās kārtas aeriodisks, statisks (inerciāls) osms Žāvēšanas kameras ar elektrisku sildėermeni modelēšana Svārstību osms Centrbēdzes regulatora ārejas rocesu modelēšana Transortkavējuma osms Ūdens cauruĝvada kā transortkavējuma osma modelēšana Integrējošs osms Ideāls integrējošs osms Inerciāls integrējošs osms Integrējoša ildmehānisma ar motorreduktoru modelēšana Diferencējošs osms Ideāls diferencējošs osms Inerciāls diferencējošs osms Diferencējošas CR ėēdes ārejas rocesu modelēšana Automātiskās vadības sistēmas osmu slēgumi Automātiskās vadības algoritmi un to realācija Proorcionālais P regulators Integrālais I regulators Proorcionāli integrālais PI regulators Proorcionāli diferenciālais PD regulators Proorcionāli integrālais diferenciālais PID regulators Regulatora vēle statiskm objektm ar transortkavējumu Vadības algoritma vēles nosacījumi - Lernera diagramma Vadības algoritma arametru statīšanas nosacījumi AVS stabilitāte un darbības kvalitāte AVS brīvās kustības vnādojums un stabilitātes modeĝi AVS ārvades funkcija un raksturīgais vnādojums AVS algebrisk stabilitātes un kvalitātes kritēriji AVS olu vtojuma s-laknē vtojuma kritēriji Trešās kārtas AVS analīzes mērs Hurvica kritēriji un stabilitātes robežlīkne AVS stabilitātes un kvalitātes frekvenču kritēriji VaĜējas AVS frekvenču raksturlīknes Mihailova hodogrāfs un AVS stabilitāte Naikvista hodogrāfs un AVS stabilitāte Bodē logaritmiskās frekvenču raksturlīknes...54 Literatūra

6 Ievads Tehnoloăisko kārtu un rocesu automatācija ir mūsdnu ražošanas objektīva necšamība. Lai vstu un efektīvi mantotu ražošanas rocesu automātiskās vadības tehnoloăijas, katram inženrim jāagūst visārīgi rkšstati ar tām. Šādus rkšstatus dod automātikas amatu studēšana. Mācību līdzeklis sastādīts atbilstoši LLU lauksaimncības enerăētikas, datorzinātnes - datorvadības un kokastrādes tehnoloăijas secialitāšu bakalaura studiju rogrammām rkšmetos Automātikas amati un Automatācijas amati. Tajā askatīti lineāro (linearēto) automātiskās vadības sistēmu (AVS) teorētisk amati, kā arī statisko un dinamisko rocesu modelēšana Windows vidē. Frekvenču raksturlīknes askatītas tikai saistībā ar AVS stabilitātes un darbības kvalitātes analīzi. AVS sintēzes metodes ir tikai minētas, jo tās nav kĝautas LLU bakalaura studiju rkšmetu rogrammās. Pirmajā nodaĝā askatīti automātikas un ražošanas rocesu automatācijas amatjēdzni, automātiskās vadības rincii, dota AVS un to komonentu klasifikācija un automatācijas ekonomiskais novērtējums. Otrā nodaĝa veltīta AVS un to komonentu statisko un dinamisko raksturojumu analīzei, askatīta oeratoru metode AVS dinamisko rocesu ētīšanai, dota AVS dinamikas vnādojumu sastādīšanas metodika un mēri. Trešajā nodaĝā askatīti AVS raksturīg osmi, to algoritmi un ārejas rocesu analīzes mēri, mantojot uz algoritmiskajām blokshēmām balstīto Matlab aakšrogrammu Simulink, kas aredzēta dinamisko rocesu modelēšanai. Ceturtā nodaĝa veltīta automātiskās vadības algoritmu analīzei, askatīti automātisko regulatoru vēles un to arametru statīšanas kritēriji statiskm vadības objektm ar transortkavējumu, doti ārejas rocesu modelēšanas mēri. Pktā nodaĝa veltīta AVS stabilitātes un darbības kvalitātes analīzei. Askatīti algebrisk un frekvenču stabilitātes kritēriji un kvalitātes rādītāji, doti frekvenču raksturlīkħu arēėina mēri, mantojot Matlab. Autors saka ateicību RTU EEF Industriālās elektronikas un elektrotehnikas institūta rofesoram Jānim Greivulim ar vērtīgm adomm un rosinājumm, kas deva sēju uzlabot mācību līdzekĝa kvalitāti. 5

7 . Automātiskās vadības amatrincii.. Automātikas visārīgi jēdzni un definīcijas Termins automātika cēls no sengrėu vārda automatos aškustošs. Ar to jau sirmā senatnē azīmēja tehniskas rīces, kas ilda tām uzdotās kustības bez cilvēka tšas līdzdalības. Pirmo automātu arakstus atstājis azīstamais sengrėu mehāniėis Aleksandrijas Herons (m.ē. l. gs.). Savā grāmatā "Pneimatika" viħš araksta vairākas automātikas rīces, kuras ltoja antīkajā asaulē, mēram, temĝa durvju atvēršanas automātu. Līdz ar smalkmehānikas attīstību 6. gadsimtā arādās irm cilvēkveidīg automātimehānisk roboti (androīdi), kurus darbināja ulksteħa mehānisms. Visaugstākās virsotnes šajā jomā sasndza Šveices ulksteħmeistari. Pēc mehāniskā robota kustību sarežăītības un dabiskuma srda ar smalkmehāniėa meistarību. Tikai ēc šāda robota gatavošanas varēja saħemt ulksteħmeistara dilomu. Kaut arī šīm strādnēm savā laikā nebija raktiskā ltojuma, tomēr ulksteħmeistaru radīt smalkmehānismi vēlāk tika mantoti mehāniskajās stellēs un veicināja strauju aušanas manufaktūru attīstību. Par irmajm rūnciskajm automātm (8. gs.) uzskata Polzunova gudroto ludiħa tia statisko regulatoru ūdens līmeħa automātiskai regulēšanai tvaika mašīnas katlā un Džeimsa Vata centrbēdzes regulatoru, kas bija aredzēts tvaika mašīnas ātruma stabilācijai. Kā zinātnes un tehniskas nozare automātika noformējās 0. gadsimta 30-tajos gados, kad tika strādāta automātikas materiālā bāze, tās terminoloăija un lineāro sistēmu teorija. Automātikas kārtu un teorijas ilnveidošana īaši aktualējās ēc otrā asaules kara sakarā ar strauju raėešu tehnikas, reaktīvās aviācijas un rūncības attīstību. Tk strādāta nelineāro sistēmu, otimālo sistēmu un kibernētisko sistēmu teorija. Mūsdnās automātika ir laši vērsta un attīstīta zinātnes un tehnikas nozare, kas sastāv no divām daĝām: automātikas tehniskajm līdzekĝm; automātiskās vadības teorijas. Pirmajā daĝā tk askatīti automātikas elementi un rīces, to uzbūve, darbības rincii, tehniskais raksturojums un rojektēšana. Automātiskās vadības teorija ir zinātne ar automātiskās vadības sistēmu (AVS) veidošanas rincim un tajās notkošo rocesu likumsakarībām. Šīs zinātnes galven uzdevumi ir sekojoši: ētīt AVS un to komonenšu statiskās un dinamiskās īašības; mantojot dinamisko rocesu matemātiskās un imitāciju modelēšanas metodes, veidot otimālas vai tuvas otimālām (kvaziotimālas) AVS atbilstoši uzdotajm to darbības kvalitātes kritērijm. Rezumējot rkš teikto, automātiku var definēt kā zinātnes un tehnikas nozari, kas atver automātiskās vadības sistēmu teoriju, raksi un veidošanas rincius. Automātikai, tāat kā jebkurai zinātnes nozarei, ir savi jēdzni un termini, kas atsoguĝo tajā uzkrātās zināšanas. Askatīsim dažus ar tehnoloăisko rocesu automatāciju saistītus amatterminus. P tādm der šādi jēdzni: automātiskā vadība, automātiskās vadības objekts (AVO) jeb vnkārši vadības objekts (VO), automātiskās vadības kārta (AVI), ildkārta (II), automātiskās vadības sistēma (AVS), mērīšanas ārveidotājs, sensors, vadības algoritms, darbe, erturbācija. Par tehnoloăiskā rocesa automātisko vadību sauc kāda fikāla lluma (ātruma, temeratūras, līmeħa, sdna u.c.) maiħu ēc noteikta likuma tehnoloăiskajos objektos (darbgaldos, ūdensagādes objektos, enerăijas ražošanas un mantošanas objektos, 6

8 transorta mašīnās un mehānismos u.c.), kuru veic ar automātiski vadāmām kārtām bez tšas cilvēka līdzdalības. Šaurākā nozīmē automātiskai vadībai atbilst termins automātiskā regulēšana, kuru lto, ja tk automātiski stabilēts kāds tehnoloăiskais arametrs, mēram, temeratūra roduktu žāvēšanas kamerā. Tehnoloăiskajās kārtās, kuras manto enerăētikā, rūncībā, lauksaimncībā, komunālajā saimncībā vai transortā, arasti tk automātiski regulēti, kontrolēti vai koriăēti visu šo kārtu sastāvdaĝu arametri vai darba režīmi. Tātad tk vadīts viss to darbības rocess, ko recīzāk un atverošāk definē termins automātiskā vadība. TādēĜ turmāk galvenokārt ltosim šo alašinātas nozīmes terminu. Automātisko vadību realē ar automātiskās vadības kārtu, kas vada ildkārtu, kura darbojots uz vadības objektu, nodrošina tajā necšamo darba režīmu un fikālos arametrus. Prkšrakstu koumu, ēc kurm notk vadības darbes formēšana uz vadības objektu, sauc ar vadības likumu jeb algoritmu. Matemātiski vadības likumu nosaka AVI vnādojums. Tas var būt algebrisks vnādojums, diferenciālvnādojums vai integrodiferenciālvnādojums. Par vadības objektu sauc tehnoloăisku kārtu (zāămašīna, siltumnīca, asildes katls, koăenerācijas kārta u.c.), kuras darba režīms un arametri tk uzturēti ar seciāli organētām regulējošām darbēm. Uz katru reālu vadības objektu darbojas traucējumi jeb erturbācijas, kas tši vai netši tekmē ejas llumus. Tā, mēram, ūdens līmeni rezervuārā tekmē mainīgā erturbācija - atēriħš, kas rkš nav zināms un var mainīts lašās robežās. Gatera elektrodzinēja slodzes strāvu saido vairākas erturbācijas, mēram, mainīgais stumbra diametrs, koksnes blīvums, mitrums un zarainība. Vadīt objektu nozīmē strādāt vadības darbi ar tādu arēėinu, lai vadāmais llums mainītos ēc uzdotā likuma ar noteiktu kvalitāti neatkarīgi no erturbācijām. Lai vadītu objektu, necšama informācija ar tā stāvokli, notkošajm rocesm un ejas arametrm. Lai gūtu un ārvadītu šo informāciju uz automātiskās vadības kārtu, manto jutīgas rīces, ko sauc ar mērīšanas ārveidotājm. Mērīšanas ārveidotāji mēra stabilējamos tehnoloăiskos arametrus un ārveido tos tāda veida signālos vai arametros (arasti elektriskos), kurus sēj identificēt un astrādāt automātiskās vadības kārta. Loăiskajās rogrammvadības sistēmās (rogrammvadības darbgaldi, robottehnisk komleksi) manto jutīgas rīces, kas kontrolē kādas loăiskās vadības komandas ildi vai vadības arametra atbilstību uzdotajm nosacījumm un nodrošina informatīvu saiti star automātiskās vadības kārtu un vadības objektm. Šādas rīces arasti sauc ar sensorm. Mērīšanas ārveidotāji un sensori faktiski ir automātiskās vadības kārtas sastāvdaĝa, jo bez tās šī kārta nevar veikt savas funkcijas. Taču, lai ilnīgāk rastu AVS struktūru un darbību, funkcionālajās shēmās šīs rīces arasti arāda atsevišėi. ĥemot vērā rkš teikto, noformulēsim AVS jēdznu. Par automātiskās vadības sistēmu sauc vadības objekta, automātiskās vadības kārtas un ildkārtas koumu, kas darbojas vns uz otru atbilstoši uzdotajam vadības likumam jeb algoritmam... Vnkārši un komlicēti automātiskās vadības objekti Automātiskās vadības objekti ir Ĝoti daudzveidīgi. Taču tos var sagruēt ēc dažām koīgām azīmēm. Vadības objektus, kuru ejas arametri ir atkarīgi tikai no ariori (rkš) uzdotām ejas darbēm, sauc ar determinētm objektm. Pmēram, gaisa temeratūra nellā žāvēšanas kamerā, kura atrodas asildāmā telā, ir atkarīga tikai no 7

9 elektriskā sildītāja siltuma lūsmas. Uz šādu objektu ar labu siltuma olāciju un stabilu akārtējās vides temeratūru darbojas rkš zināmas (determinētas) erturbācijas, mēram, siltuma nolūde caur termostata snām, kuras darbi var rkš aredzēt un recīzi arēėināt. Šādu objektu vadība arasti nesagādā roblēmas. Daudz sarežăītāk ir vadīt objektus ar nenoteikti mainīgām erturbācijām. Objektus, kuru arametrus un darbību vērojami tekmē nerognozējamas nejaušas erturbācijas, sauc ar stohastiskm objektm. Kā mēru var minēt siltumnīcas mikroklimata automātiskās stabilācijas sistēmu vai kombaina gaitas vadības sistēmu. Uz lauksaimncības objektm galvenokārt darbojas nejaušas erturbācijas, kuras rkš grūti aredzēt. Tāēc šādu objektu otimālu vadīšanu nevar nodrošināt ar vnkāršām, tradicionālām vadības metodēm. Vadības objektus var klasificēt arī ēc to sarežăītības. Vadības objektus ar vnu mainīgu ejas darbi (t), kura tši darbojas uz vnu vadāmo ejas arametru (t), sauc ar vnkāršm objektm (.. att.). Objekta ejas un ejas llumus sauc arī ar koordinātām. Tātad vnkāršu objektu raksturo ejas koordināta un ejas koordināta. Bez tam uz to darbojas ārējās darbes erturbācijas P(t) (akārtējās vides faktori un slodze), kas sauc nelānotas ejas koordinātas maiħas. Pastāv divu veidu erturbācijas: tšās erturbācijas, kuras tši sauc vadības objekta ejas lluma maiħu; arametriskās erturbācijas, kuras akāeniski maina aša objekta arametrus. P(t) (t) (t) Vnkāršs objekts.. att. Vnkārša vadības objekta funkcionālā shēma Pmēram, ēkas kā mikroklimata regulēšanas objekta tšās erturbācijas ir ārgaisa temeratūra un mitrums, saules radiācija, vēja ātrums un virzns, cilvēku skaits un to ārvtošanās. Parametriskā erturbācija ir ēkas ārsnu siltumtehnisko arametru akāeniska maiħa ilgstošas eksluatācijas laikā, mēram, siltuma retestības samazināšanās. Vnkāršs vadības objekts, mēram, ir rezervuārs, kurā tk automātiski uzturēts noteikts ūdens līmenis. Rezervuāra ejas darbe ir sūkħa ražīgums Q s (t), bet ejas arametrs - ūdens līmenis rezervuārā H(t) (.. att.). Uz rezervuāru kā vadības objektu darbojas vna tšā erturbācija ūdens atēriħš Q (t), kas raisa nelānotas ejas arametra H(t) maiħas. Vnkāršs objekts strukturāli var būt arī samērā komlicēts un sastāvēt no vairākām komonentēm. Kā mēru askatīsim dēĝu gatera zāăēšanas agregātu (.3. att.), kas sastāv no zāău bloka, ārvada un trīsfāzu asinhronā elektrodzinēja. Kā regulējošo darbi uz zāăēšanas agregātu vēlams stumbra adeves ātrumu uz zāăm v (t). Izejas stabilējamais llums ir zāău dziħas elektrodzinēja strāva I(t). Starllumu momentu uz elektrodzinēja vārstas M(t) arasti nekontrolē. Līdz ar to dēĝu gatera zāăēšanas agregātu var askatīt kā vnkāršu objektu ar vnu ejas koordināti un 8

10 vnu ejas koordināti. Taču,atšėirībā no ūdens līmeħa regulēšanas rezervuāra, uz zāăēšanas agregātu darbojas vairākas stohastiskas erturbācijas, kas sarežăī šī objekta vadīšanu. Q(t), l/s Qs(t), l/s H(t), m Rezervuārs.. att. Ūdens līmeħa regulēšanas rezervuārs Momentu uz elektrodzinēja vārstas tši saido tādas būtiskas erturbācijas, kā koksnes blīvums γ(t), stumbra diametrs d(t) un koksnes mitrums W(t). Savukārt elektrodzinēja strāvu I(t) saido sējamās barošanas srguma U(t) svārstības un slodzes moments M(t). Visas askatītās erturbācijas saido objekta ejas koordināti I(t). γ(t), kg/m 3 d(t), cm W(t), % U(t), V v(t), m/s M(t), Nm I(t), A Zāăi Elektrodzinējs.3. att. DēĜu gatera zāăēšanas agregāts Šāda objekta, ar vairākām būtiskām erturbācijām, kvalitatīvu vadību var nodrošināt, mantojot augstāka līmeħa vadības algoritmu salīdzinājumā ar ūdens līmeħa regulēšanu rezervuārā, uz kuru darbojas tikai vna erturbācija. Vadības objekti ar divām vai vairākām ejas darbēm (t), (t),... un divm vai vairākm regulējamm ejas llumm (t), (t),... skaitāmi komlicētm objektm (.4. att.), kuru vadību agrūtina tas, ka star ejas darbēm un ejas llumm veidojas krusteniskas saites. Arī erturbācijas saido abus komlicētā objekta ejas arametrus. To arāda daudzfaktoru sakarības f(,, P) un f(,, P). Tātad jebkura darbe maina visus ejas arametrus. Kā komlicēta objekta mēru askatīsim siltumnīcu (.5. att.). Vnkāršotajā siltumnīcas funkcionālajā shēmā arādītas divas ejas darbes vadītā siltuma lūsma Q(t) un gaisa amaiħas daudzums L g (t) un divi kontrolējam ejas llumi siltumnīcas gaisa temeratūra θ s (t) un relatīvais mitrums φ s (t). Kā redzams, katrai objekta ejas darbei ir saites ar abm ejas llumm. Līdz ar to notk abu šo arametru saistītā regulēšana, kas būtiski asliktina rocesa kvalitāti. Lai to novērstu, jāveido sarežăīta vadības kārta ar 9

11 komensējošām saitēm star abām regulējošajām darbēm. JāĦem vērā, ka uz objektu darbojas vairākas nejaušas erturbācijas, kas maina vnu vai abus ejas arametrus, mēram, vēja ātrums v(t), ārējās vides temeratūra θ v (t), ārējās vides relatīvais mitrums φ v (t) u.c. P(t) (t) (t) (t) (t) Komlicēts objekts.4. att. Komlicēts objekts ar divām ejas un divām ejas koordinātām Perturbāciju sarežăītā darbe, kā arī kšējās krusteniskās saites star vadības objekta ejām un ejām uzstāda augstas rasības vadības kārtai. Šāda komlicēta objekta kvalitatīva vadība realējama ar adatīvm regulējošm daudzkanālu kontrollerm..5. att. Siltumnīcas kā komlicēta objekta funkcionālā shēma.3. Automātiskās vadības rincii un sistēmas Vns no automātiskās vadības sistēmu veidošanas uzdevumm ir informācijas ārvadīšana, kas necšama vadības mērėa sasngšanai. Neskatots uz tehnoloăisko rocesu daudzveidību, to automātikās vadības sistēmu veidošana amatojas uz vairākm koējm rincim. Kā galvenos no tm var minēt: rogrammvadības rinciu; erturbāciju komensācijas rinciu; novirzes jeb atgrzeniskās saites rinciu; kombinētas invariantās vadības rinciu; adatācijas rinciu. Automātiskās vadības rincis nosaka kā, un uz kādu informāciju balstots, tk formēta regulējošā darbe uz objektu. 0

12 .3.. Programmvadības rincis Par rogrammvadību sauc tādu automātiskās vadības rinciu, kad vadības darbe uz tehnoloăisko objektu tk formēta kā laika funkcija ēc rkš uzdotas, noteiktas rogrammas. Programmvadību realē ar loăiskās vadības kārtu (.6. att.), kura formē vadības komandas ildkārtai atbilstoši rkš vadītai darba rogrammai. Savukārt ildkārta darbojas uz vadības objektu ar mērėi nodrošināt necšamo darba režīmu un ejas arametrus. Vnkāršākajā gadījumā rogrammvadībai var mantot vnkanāla vai daudzkanālu laika relejus. Mūsdnās šim nolūkam laši manto rogrammējamos loăiskos kontrollerus. Programmvadības sistēma nekoriăē savu darbību ēc darba rezultāta, roti, tā nekontrolē objekta ejas arametrus. Šādu sistēmu sauc ar vaĝēju sistēmai, jo tai nav galvenās atgrzeniskās saites no ejas uz eju. Taču, lai rogrammmvadības sistēma droši darbotos, necšama katra rogrammas soĝa ildes kontrolē. Šim nolūkam manto kšējās atgrzeniskās saites, kas kontrolē atsevišėu sistēmas kārtu darbību un rogrammēto oerāciju ildi (.6. att.). Rodots atteicei kādā no sistēmas komonentēm, tās darbība tk automātiski bloėēta līdz kĝūmes novēršanai..6. att. Programmvadības sistēmas funkcionālā shēma Lauksaimncībā rogrammvadības rinciu manto objektos ar stingri noteiktm darba režīmm un konstantām erturbācijām, kā arī gadījumos, ja nav augstas rasības attcībā uz tehnoloăisko arametru stabilācijas recitāti, mēram, mākslīgā agaismojuma automātiskai slēgšanai un slēgšanai utnu kūtīs un siltumnīcās, akumulācijas tia elektrisko ūdenssildītāju slēgšanai elektriskā tīklā atslodzes stundās, ganību laistīšanas kārtu eriodiskai slēgšanai un slēgšanai atbilstoši statītai darba rogrammai. Kā mēru askatīsim ganību laistīšanas automatāciju, mantojot rogrammvadības rinciu. Laistīšanas rogrammvadības sistēma sastāv no trim galvenajm funkcionālajm blokm: rogrammvadības kārtas, sūkħa ar elektrodzinēja dziħu kā ildkārtas un laistāmās latības kā vadības objekta. Laistīšanas rogrammu stata oerators, amatojots uz savu rofesionālo redzi, laika astākĝu novērtēšanu un augsnes mitruma mērījumm. Atbilstoši vadītajai rogrammai, rogrammvadības kārta eriodiski slēdz un slēdz sūkħa kārtu atbilstoši rogrammētajam darba laikam t d un auzes laikam t ar darbības cikla eriodu T t d +t. Darba un auzes laiku attcību vēlas tā, lai sūkħa vidējais ražīgums erioda laikā nodrošinātu necšamo augsnes mitrumu. Taču jāħem vērā, ka to saido vairākas stohastiski mainīgas erturbācijas (gaisa temeratūra un relatīvais mitrums, atmosfēras nokrišħi, saules radiācija, u.c.), uz kurām rogramvadības kārta nereaăē, jo tā nekontrolē savas darbības rezultātu, roti, reālo augsnes mitrumu. Līdz ar to objekta ejas arametra stabilācijas recitāte nav augsta, kas ir šīs rogrammvadības sistēmas galvenais trūkums.

13 Rūncībā rogrammvadības rinciu laši manto darbgaldu un rūncības robotu automātiskai vadībai. Pēc šī rincia darbojas neadatīv irmās aaudzes rūncības roboti ar noteiktu (determinētu) maniulatora kustības trajektoriju. Kā mēru askatīsim metālastrādes robottehniskā komleksa vadības sistēmu (.7. att.). Tā sastāv no rogrammējama loăiskā kontrollera, robota maniulatora, sagatavju satvērēja, adeves kārtas servomehānismm un sagatavju astrādes darbgalda štances kā vadības objekta. Darba rodukts ir gatavotā detaĝa ar noteiktm arametrm. Sistēma koumā realē loăiskajā kontrollerī rogrammētās oerācijas. Lai aaugstinātu robottehniskā komleksa rogrammvadības sistēmas darbības drošumu un recitāti, manto kšējās atgrzeniskās saites, kas kontrolē rogrammas soĝu secīgu un recīzu ildi, kā arī robota servomehānismu, astrādes darbgalda un darba rodukta kustības koordinātas..7. att. Metālastrādes robottehniskā komleksa rogrammvadība.3.. Perturbāciju komensācijas rincis Vadības rinciu ēc erturbācijām jeb erturbāciju komensācijas rinciu realē tā, ka vadības darbe uz objektu tk strādāta, amatojots uz erturbāciju mērīšanas rezultātm. Parasti uz vadības objektu darbojas vairākas erturbācijas. Lai realētu visu erturbāciju komensāciju, jāveido sarežăīta vadības sistēma, kas neattaisnojas nedz tehnoloăiski, nedz ekonomiski. TādēĜ arasti vēlas vnu galveno erturbāciju, kura visbūtiskāk saido objekta darbību. Sistēmas, kas veidotas ēc šī rincia, ir vaĝējas, t.i., tām nav galvenās atgrzeniskās saites. Vadības objekta ejas arametri tši netk kontrolēti. To stabilācija notk netši, vadots ēc erturbāciju saida uz tm. Tā kā arasti tk komensēta tikai vna galvenā erturbācija, tad šāda sistēma nevar retendēt uz augstu recitāti, jo ārējās erturbācijas netk Ħemtas vērā. Perturbāciju komensācijas sistēmas galvenā rkšrocība ir ātrdarbība, jo tā reaăē uz cēloni( erturbāciju), kas tuvākajā nākotnē raisīs objekta ejas arametra maiħu, un savlaicīgi komensē šī cēloħa saidu uz vadības objektu. Askatīto rinciu var raksturot sekojoši: galvenā rkšrocība ir komensācijas ėēžu llā ātrdarbība, jo sistēma reaăē nevis uz sekām, bet uz cēloni, kas raisa novirzes objektā; galvenais trūkums ir selektivitāte, jo arasti tk komensēta tikai vna erturbācija, bet ne visas. Sistēma, kas darbojas ēc erturbāciju komensācijas rincia, sastāv no erturbācijas mērīšanas ārveidotāja, automātiskās vadības kārtas, ildkārtas un automātiskās vadības objekta (.8. att.). Uz vadības objektu darbojas erturbācija P(t), kas tši maina regulējamo llumu (t). Perturbāciju mēra ar jutīgu mērīšanas ārveidotāju, kurš to ārveido roorcionālā elektriskā signālā (t).

14 Diferenciālā shēma salīdzina (t) ar uzdoto llumu o, kurš roorcionāls uzdotajam erturbācijas llumam P o, un formē lāgojuma signālu (t) o (t), kas koriăē automātiskās vadības kārtas ejas signālu (t) o ± (t)..8. att. Perturbācijas komensācijas sistēmas funkcionālā shēma Automātiskās vadības kārta formē vadības komandu ildkārtai, kura savukārt rada regulējošo darbi uz vadības objektu ar mērėi nodrošināt nemainīgu ejas arametru (t) neatkarīgi no erturbācijas P(t) maiħas. Kā erturbāciju komensācijas mēru askatīsim adeves ātruma automātisku korekciju dēĝu zāăēšanas gaterī atkarībā no baĝėa diametra maiħas (.9. att.)..9. att. Zāăēšanas agregāta elektrodzinēja strāvas I(t) automātiska stabilācija ar baĝėa diametra d(t) saida komensāciju Zāăēšanas agregāta vadības sistēma sastāv no baĝėa diametra mērīšanas ārveidotāja, vadības kontrollera, frekvenču ārveidotāja, adeves mehānisma ar adeves valčm un mazas jaudas (3 5 kw) trīsfāžu asinhrono elektrodzinēju un zāăēšanas agregāta kā vadības objekta ar zāău bloku un llas jaudas (50 00 kw) trīsfāžu asinhrono elektrodzinēju. Elektrodzinēja strāvu I(t) saido ne tikai mainīgais baĝėa diametrs d(t), bet arī vairākas citas erturbācijas, kā, mēram, koksnes zarainība, blīvums γ(t) un mitrums W(t), kuras netk komensētas. Līdz ar to sistēma nenodrošina augstu strāvas I(t) stabilācijas recitāti. Taču tā ir tkama no raktiskā vdokĝa, jo tk automātiski komensēta galvenā erturbācija d(t), kura visbūtiskāk saido vadības objekta ejas arametru I(t). Perturbāciju d(t) mēra ar elektromehānisko vai fotoelektronisko mērīšanas ārveidotāju, kurš to ārveido roorcionālā elektriskā srgumā U d (t). Diferenciālā shēma salīdzina mainīgo srgumu U d (t) ar uzdoto atbalsta srgumu U do, kurš roorcionāls uzdotajam baĝėa diametram d o, un formē lāgojuma srgumu U d (t) U do U d (t), kas automātiski koriăē vadības kontrollera ejas srgumu U (t) U o ± U (t). Vadības kontrolleris formē vadības srgumu U v (t) frekvenču ārveidotājam. Frekvenču ārveidotāja ejā formējas trīsfāzu maiħsrgums kura llums U f (t) un 3

15 frekvence f(t) ir tši roorcionāli srgumam U v (t). Tā kā adeves mehānisma elektrodzinēja vārstas rotācijas ātrums mainās tši roorcionāli barošanas srguma frekvencei f(t), tad tāat mainās arī baĝėa adeves ātrums v (t) uz zāăm. Savukārt v (t), kā regulējošā darbe uz vadības objekta zāăēšanas agregāta elektrodzinēju, nodrošina tā strāvas I(t) stabilāciju mainots baĝėa diametram d(t) Atgrzeniskās saites rincis Ja regulējošā darbe r (t) uz vadības objektu tk strādāta amatojots uz informāciju ar regulējamā lluma (t) novirzi no uzdotās vērtības, tad saka, ka sistēma darbojas ēc novirzes, jeb atgrzeniskās saites rincia. Atgrzenisko saiti realē ar jutīgo elementu - mērīšanas ārveidotāju, kurš mēra regulējamo arametru, mēram, temeratūru, ārveido to elektriskā signālā as (t), kas roorcionāls sistēmas ejas llumam (t) un adod uz diferenciālo shēmu. Tā salīdzina atgrzeniskās saites signālu as (t) ar sistēmas ejas signālu o un formē novirzes signālu (t) o as (t). Automātiskās vadības kārta savukārt formē vadības signālu v (t) ildkārtai, kas maina regulējošo darbi uz vadības objektu tā, ka ejas arametrs tk uzturēts uzdotajā līmenī neatkarīgi no erturbāciju maiħas (.0. att.). Redzam, ka vadības sistēma ar atgrzenisko saiti veido noslēgtu informācijas ārvades kontūru, kas dod sēju neārtraukti kontrolēt vadības objektā notkošos rocesus un formēt atbilstošas regulējošās darbes. Tāēc sistēmas ar atgrzenisko saiti sauc ar slēgtām sistēmām, kurās informācijas ārvade no sistēmas ejas uz tās eju notk caur galveno atgrzenisko saiti. Atgrzeniskā saite var būt negatīva vai ozitīva atkarībā no novirzes jeb kĝūdas signāla formēšanas veida. Ja novirzes signāls (t) formējas kā sistēmas ejas signāla un atgrzeniskās saites signāla starība ( (t) o as (t)), sistēmai ir negatīva atgrzeniska saite. Visās tehnoloăisko arametru (temeratūras, sdna, līmeħa, ātruma u.c.) automātiskās stabilācijas sistēmās lto tikai negatīvu atgrzenisko saiti, jo tā likvidē stabilējamā arametra novirzi no uzdotā lluma un aaugstina sistēmas darbības stabilitāti un recitāti. Ja novirzes signāls (t) formējas kā sistēmas ejas signāla un atgrzeniskās saites signāla summa ( (t) o + as (t)), tad sistēmai ir ozitīva atgrzeniska saite. Pozitīva atgrzeniskā saite aaugstina sistēmas jutību un adara to nestabilu, jo kontrolējamā arametra novirzi no uzdotā lluma nevis samazina, bet vēl astirina. Tāēc ozitīvu atgrzenisko saiti galvenokārt manto nestabilās (svārstīgās) sistēmās, mēram, imulsu ăeneratoros. Automātiskās stabilācijas sistēmās ozitīvu atgrzenisko saiti manto tikai kā negalveno (vtējo) saiti, ar kuru atver atsevišėus sistēmas blokus, lai aaugstinātu to jutību. Pēc funkcionēšanas algoritma rakstura slēgtas vadības sistēmas ar negatīvu atgrzenisko saiti dala: automātiskās stabilācijas sistēmās; rogrammētas darbības automātiskās stabilācijas sistēmās; sekošanas jeb koēšanas sistēmās. Automātiskās stabilācijas sistēmas aredzētas attcīgā tehnoloăiskā arametra (temeratūras, mitruma, līmeħa, sdna u.c.) uzturēšanai noteiktā līmenī ar uzdoto recitāti ( o const). Programmētas darbības automātiskās stabilācijas sistēmās uzdotais tehnoloăiskais arametrs tk automātiski mainīts ēc noteiktas rogrammas ( f(p)), mēram, žāvēšanas aăenta uzdotās temeratūras automātiska ārstatīšana zāămateriālu žāvētavā atkarībā no rocesa ilguma. 4

16 Sekošanas (koēšanas) sistēmās ejas koordināta atkārto ejas koordinātas maiħu, kas ir rkš nezināma laikā mainīga funkcija ( f(t); f( )). 0. att. Slēgtas sistēmas ar atgrzenisko saiti funkcionālā shēma. Kā mēru var minēt transorta un celšanas mehānismu ar hidraulisko maniulatoru sekošanas sistēmu, ar kuras alīdzību maniulatora kinemātisk locekĝi koē un atkārto vadības roktura stāvokli un kustību. Atgrzeniskās saites rinciu var raksturot sekojoši: galvenā rkšrocība ir ejas arametra stabilācijas recitāte, jo sistēma komensē visu erturbāciju saidu uz vadības objektu; galvenais trūkums ir reakcijas inerce, jo sistēma ar atgrzenisko saiti reaăē uz sekām (maiħām vadības objektā) nevis uz cēloni (erturbācijām), kas tās raisījis. Kā mēru askatīsim automātiskās vadības sistēmu ar atgrzenisko saiti tvaika sdna automātiskai stabilācijai tvaika katlā (.. att.). PĦemsim, ka tvaika katls ir vnkāršs vadības objekts ar vnu regulējošo darbi siltuma lūsmu Q, kas tk adota no kurtuves, vnu ejas stabilējamo arametru tvaika sdnu un mainīgo tvaika atēriħu P, kā slodzi, kas tši saido tvaika sdnu un darbojas kā erturbācija. Tvaika katlm, kurus manto ārtikas ražošanas uzħēmumos ir nevnmērīga (stohastiska) slodze, ko rada mainīgais tvaika atēriħš karstā ūdens guvei, kā arī roduktu sterilācijai un asterācijai... att. Tvaika katla automātiskās vadības sistēma ar atgrzenisko saiti 5

17 Mainots tvaika atēriħam, mainās tvaika sdns tvaika katlā. Lai komensētu šīs erturbācijas saidu uz vadības objektu, automātiskās vadības sistēma maina siltuma lūsmu Q. Pmēram, azeminots tvaika sdnam, tk automātiski allināta siltuma lūsma Q tā, lai tvaika sdnu aceltu uzdotajā līmenī. Taču tas notk tikai ēc sdna novirzes no uzdotā lluma, jo sistēma tši nereaăē uz tvaika atēriħa maiħu. Atgrzenisko saiti realē sdna mērīšanas ārveidotājs, kurš mēra regulējamo arametru tvaika sdnu un ārveido to roorcionālā elektriskā srgumā U s. Diferenciālā shēma salīdzina atgrzeniskās saites srgumu U s ar atbalsta srgumu U o un formē novirzes signālu U U o U s, kurš tk adots uz kontrollera eju. Vadības kontrolleris formē vadības srgumu U v, kas tk adots uz sistēmas ildkārtu. Tā sastāv no servomehānisma ar elektrodzinēju un reduktoru, gaisa un degvlas vārstm degmaisījuma gūšanai, degĝm un kurtuves degmaisījuma sadedzināšanai un siltuma lūsmas Q gūšanai. Pallinots tvaika atēriħam, samazinās tvaika sdns un vadības kontrolleris darbina servomehānismu. Tā ejas vārsta agržas ar leħėi α, atveras degvlas un gaisa vārsti un allina degmaisījuma q adevi uz degĝm. Līdz ar to allinās siltuma lūsma Q uz tvaika katlu un tvaika sdns aaugstinās līdz uzdotajam llumam Kombinētās - invariantās vadības rincis Automātiskās vadības sistēmas ar ātru asteidzošu reakciju un augstu recitāti veido ēc kombinētās vadības rincia, kas avno sevī vadības rincius ēc novirzes un erturbāciju komensācijas. Šādās sistēmās bez noslēgta kontūra ar negatīvu atgrzenisko saiti ir vnas vai vairāku galveno erturbāciju komensācijas ėēdes. Vnkāršības labad arasti komensē vnu galveno erturbāciju, bet ārējo mazāk svarīgo erturbāciju saidu uz vadības objekta ejas llumu novērš atgrzeniskās saites kontūrs. Regulējošā darbe uz vadības objektu tk formēta kā funkcija no regulējamā lluma (t) novirzes no uzdotā lluma o un erturbācijas P (t) novirzes no arēėinātā vai normētā lluma P 0. Kombinēto vadību arasti realē mantojot invariances rinciu, kuru definē dažādi atkarībā no tā ltošanas uzdevuma un komensējamās darbes veida. Turmāk askatīsim šī rincia ltojumu attcībā uz ārējo erturbāciju, res., akārtējās vides faktoru un slodzes saida uz vadības objektu komensāciju. Tādā gadījumā invariances rinciu varam definēt sekojoši. Ja automātiskās vadības sistēmas darbības laikā mainīgā erturbācija P(t) neraisa vadības objekta ejas arametra ārregulējumu, res., novirzi no stacionārā lluma o, tad sistēma realē invariances rinciu. Praksē invariances rinciu ilnībā nav sējams realēt vairāku meslu dēĝ. Pirmkārt, erturbācijas komensācijas kārtas arametrm jābūt ideāli saskaħotm ar vadības objekta arametrm. Tas sējams tikai nosacījuma, ka vadības objekts ir stacionārs, roti, ar konstantm arametrm. Reāl tehnoloăisk objekti llāko tsu ir nestacionāri ar mainīgu jutību un inerci, kas atkarīga no regulējošās darbes un erturbācijām. Lai realētos invariances rincis, erturbācijas komensācijas kārtas arametrm jāskaħojas mainīgajm vadības objekta arametrm. Tas sējams tikai tad, ja vadības sistēma ir adatīva. Otrkārt, kā jau minēts rkš, komensēta arasti tk tikai vna galvenā erturbācija, neħemot vērā ārējās mazsvarīgākās. Līdz ar to invariances rincia ideālu ildi var attcināt tikai uz stacionārm objektm ar vnu erturbāciju. Šādi objekti raksē sastoami reti. Reālm tehnoloăiskm vadības objektm invariances rincia ilde sējama tikai daĝēji. Ar svešvārdu to sauc ar kvaziinvarianci. Taču arī kvaziinvariantā vadība daudzos gadījumos Ĝauj būtiski uzlabot vadības sistēmas recitāti un darbības stabilitāti, kā arī samazināt enerăijas atēriħu. 6

18 Kombinēto invarianto vadību var realēt tā, ka erturbācijas komensācijas signālu adod uz sistēmas eju (.. att.). Perturbāciju P(t) mēra ar mērīšanas ārveidotāju un ārvērš roorcionālā elektriskā signālā (t), kuru astrādā erturbācijas komensācijas kārta... att. Kombinētās invariantās vadības sistēma ar atgrzeniskās saites signāla asteidzošu korekciju ēc erturbācijas Tās ejas signālu k (t) adod uz diferenciālo shēmu, kas formē novirzes signālu ( t) k k ( t), kur o roorcionāls uzdotajam erturbācijas llumam P o o. t koriăē atgrzeniskās saites signālu Komensācijas signāls k ( ) ( t) ( t) ± ( t) as as k un līdz ar to maina arī automātiskās vadības kārtas ejas signālu (t). Tā rezultātā tk aktivēta ildkārta, kas maina regulējošo darbi r (t), tā lai savlaicīgi komensētu erturbācijas P(t) saidu uz vadības objektu. Tātad erturbācijas komensācijas ėēde asteidzoši koriăē regulējošo darbi uz vadības objektu ar mērėi novērst vai vērojami samazināt ejas lluma (t) maiħu erturbācijas saidā. Tā kā erturbācijas komensācijas ėēde atver automātiskās vadības kārtu, ildkārtu un automātiskās vadības objektu, tad, lai realētos invariances rincis, erturbāciju komensācijas kārtas algoritmam un tā arametrm recīzi jāatbilst rkš minēto kārtu algoritmm un to arametrm. Ja manto regulējamu ildkārtu ar autonomu vadības bloku, mēram, ildmehānisma (sūkħa, komresora, droseĝvārsta) elektrisko dziħu ar frekvenču ārveidotāju, tad erturbācijas komensācijas ėēdes asteidzošās darbes signālu k (t) var adot tši uz ildkārtu (.3. att.) aejot automātiskās vadības kārtu. Tas vnkāršo erturbācijas komensācijas kārtas algoritmu un aaugstina tās ātrdarbību un recitāti, jo īaši nestacionārm vadības objektm. Vnkāršojas arī adatācijas ltošana, roti, komensācijas ėēdes arametru automātiska skaħošana mainīgm vadības objekta arametrm. Kombinētās - invariantās vadības sistēmu var raksturot sekojoši: galvenā rkšrocība ir augsta ātrdarbība, recitāte un stabilitāte; galvenais trūkums ir komensācijas ėēdes arametru cšā korelācija ar vadības objekta arametrm, kas rada roblēmas nestacionāru objektu gadījumos. 7

19 Kombinētās - invariantās vadības rinciu var efektīvi mantot kokastrādes darbgaldu, zāămateriālu žāvētavu, elektroenerăētisko un siltuma enerăētisko kārtu, notekūdeħu aerācijas kārtu un citu tehnoloăisko objektu automatācijā..3. att. Kombinētās invariantās vadības sistēma ar ildkārtas ejas signāla asteidzošu korekciju ēc erturbācijas Kā raktiskas realācijas mēru askatīsim tvaika katla kombinētās invariantās vadības sistēmu ar tvaika atēriħa kā slodzes saida uz sdnu tvaika katlā asteidzošu komensāciju (.4. att.). Tradicionālā vadības sistēma ar atgrzenisko saiti (.. att.) aildināta ar erturbācijas P komensācijas ėēdi un sastāv no tvaika atēriħa mērīšanas ārveidotāja un šī atēriħa saida komensācijas kārtas, kas formē asteidzošu korekcijas signālu (srgumu U k ) servomehānisma ejā. Lai šo korekciju realētu, jāmanto regulējams servomehānisms (asinhronais elektrodzinējs ar frekvenču ārveidotāju, līdzstrāvas elektrodzinējs ar srguma regulatoru, soĝa elektrodzinējs ar imulsu modulācijas kārtu) ar atgrzenisko saiti ēc ejas vārstas agrzna leħėa α. Ja tvaika atēriħš atbilst nominālajam llumam P 0, servomehānisms nedarbojas (U m U v U α 0). Ja atēriħš allinās (P > P o ), servomehānisma ejā rodas srgums U k U k U so > 0 un darbina servomehānismu, kurš allina degmaisījuma adevi q uz kurtuves degĝm un līdz ar to allina siltuma lūsmu Q, lai neĝautu tvaika sdna azemināšanos. Servomehānismam darbojots, allinās atgrzeniskās saites srgums U α, kurš vērsts retēji srgumam U k. Kad U α augums U α komensē srgumu U k ( U α U k ) servomehānisms beidz darbots. Atgrzeniskā saite nodrošina servomehānisma vārstas agrzna leħėa α maiħu roorcionāli srgumam U k. Savukārt komensācijas srgums U k ir roorcionāls tvaika atēriħa maiħai P P P 0. Bez atgrzeniskās saites servomehānisms neastātos, bet turinātu allināt degmaisījuma adevi uz kurtuvi. Tā rezultātā sdns tvaika katlā aaugstinātos virs uzdotā lluma un sāktu darbots galvenās atgrzeniskās saites kontūrs, lai to samazinātu. Līdz ar to invariances nosacījumi netiktu ildīti. Tātad servomehānisma atgrzeniskajai saitei ir būtiski svarīga nozīme, lai realētu invariances rinciu askatītajā sistēmā. 8

20 .4. att. Tvaika katla kombinētās invariantās vadības sistēma ar tvaika atēriħa kā slodzes saida asteidzošu komensāciju.3.5. Adatīvās vadības rincis Askatīt automātiskās vadības rincii ilgu laiku bija vnīg. Tikai attīstots jaunai zinātnes un tehnikas nozarei - kibernētikai, kas ēta un salīdzina vadības rocesus dzīvajos organismos un tehniskajās kārtās, radās sēja ltot jaunu vadības rinciu - adatācijas (lāgošanās) rinciu. Kibernētiskajās sistēmās erturbācijas un vadības objekta arametri nav ariori uzdoti. Darba rocesā t var mainīts ēc jebkura rkš nezināma likuma. Tāēc necšams neārtraukti kontrolēt maiħas vadības objekta ejā un ejā, lai strādātu otimālu darbības stratēăiju, mainots objekta darba režīmm un arametrm. Adatīva vadības sistēma sastāv no galvenā vadības kontūra ar negatīvu atgrzenisko saiti un ašħoskaħošanās kārtas adatācijas rincia realācijai. Tās amatā ir slēgta sistēma ar atgrzenisko saiti, kurā tilst automātiskās vadības kārta, ildkārta un automātiskās vadības objekts. Tā aildināta ar adatācijas kārtu, kura realē vadības objekta identifikāciju un automātiskās vadības kārtas arametru skaħošanu mainīgajm vadības objekta arametrm (.3. att.). Nestacionāra vadības objekta identifikāciju visilnīgāk var realēt vnlaicīgi kontrolējot tā ejas un ejas koordinātas, kādu no svarīgākajām erturbācijām, mēram, mainīgo slodzi, kā arī sistēmas ejas signālu. Sistēmas ejā reē ar derīgo signālu o nonāk traucējumi ξ(t). Bez tam ejas signāls var būt laika funkcija, mēram, rogrammētas darbības automātiskās stabilācijas sistēmās. Vnlaicīgi uz vadības objektu darbojas erturbācijas, kas būtiski var mainīt nestacionāra objekta statiskās un dinamiskās īašības. 9

21 Lai nodrošinātu necšamo sistēmas darbības kvalitāti (recitāti, stabilitāti, ātrdarbību) vadības kārtas un vadības objekta arametrm jābūt stingri saskaħotm. Nestacionāru objektu gadījumā to var realēt ar adatācijas kārtu, kura identificē objektu un skaħo vadības kārtu tā mainīgajm arametrm. Adatācijas kārta Adatācijas ildkārta Vadības objekta identifikācija r (t) P(t) o (t) + - (t) as(t) Automātiskās vadības kārta v (t) Izildkārta Automātiskās vadības objekts (t) Mērīšanas ārveidotājs.3. att. Adatīvas automātiskās vadības sistēmas funkcionālā shēma Atkarībā no adatācijas akāes adatācijas kārta var mainīt vadības kārtas arametrus, arametrus un struktūru vai arametrus, struktūru un arī vadības algoritmu. Lai sasngtu necšamo vadības rocesa kvalitāti, adatācijas kārta novērtē sistēmas ejas signāla īašības, mēram, ejas darbes o (t) maiħas ātrumu un aātrinājumu, kā arī nosaka traucējumu ξ(t) sektrālo blīvumu vai attcību γ o (t) / ξ(t). Tāda analīze necšama, lai vēlētos sistēmas otimuma kritēriju. Bez tam tk veikta vadības objekta statisko un dinamisko īašību novērtēšana. Analējot sakarību f( ) un f(t), tk noteikta vadības objekta jutība un inerce. Ja, mēram, regulējošā darbe vai erturbācija maina vadības objekta jutību, tad tā tk novērtēta kvantitatīvi ar koeficntu K /, bet mainīgā inerce ar laika konstanti T. Izmantojot informāciju ar rocesa norisi, adatācijas kārta nosaka, kā jāmaina vadības kārtas arametrus, struktūru, vai darbības algoritmu, lai nodrošinātu uzdoto kvalitātes kritēriju ildi. Balstots uz vadības objekta identifikācijas rezultātm, adatācijas kārta skaħo (adatē) vadības kārtu jaunajm darbības astākĝm. Tātad vadības kārtas ašnoskaħošanās darbe ir daudzu mainīgo funkcija f( o, r,, P). Tās uzdevums ir noskaħot automātiskās vadības kārtu tā, lai jebkuros astākĝos sasngtu virzīto vadības mērėi. Adatīvās vadības sistēmu var raksturot sekojoši: galvenā rkšrocība ir lāgošanās sēja rkš nezināmām maiħām nestacionārā vadības objektā, kas dod sēju nodrošināt vnlīdz augstu sistēmas darbības kvalitāti mainīgas darba vides astākĝos; kombinējot adatācijas rinciu ar invariantās vadības rinciu var gūt visaugstākos nestacionāru tehnoloăisko rocesu ar stohastiskām darbēm tehniskos un ekonomiskos rādītājus. 0

22 Pēc adatācijas rincia tk vadīti jaunāko aaudžu rūncības roboti, kuros informatīvo saiti ar akārtējo vidi realē jūtīg elementi sensori. Kā mēru var minēt adatīvo transorta robotu, kurš ar lokatora alīdzību uzħem akārtējās vides anorāmu un vēlas otimālu ārvtošanās ceĝu a cehu vai noliktavu. Kā mēru askatīsim vnkāršotu tvaika katla adatīvās vadības sistēmu (.4. att.). Vadības kārta ir adatīvs kontrolleris ar roorcionāli integrālo diferenciālo (PID) vadības algoritmu, kura arametrus automātiski noskaħo adatācijas bloks. Lai to realētu, tk analēts tvaika sdna mērīšanas ārveidotāja ejas signāla llums un maiħas ātrums. Adatācijas uzdevums ir samazināt tvaika sdna svārstīgumu un maksimālo novirzi no uzdotā lluma. Otimāl PID arametri tk noskaħoti meklēšanas ceĝā, tos akāeniski otimējot 5 līdz 0 ārejas rocesu laikā (tvaika sdna ilnas svārstības a uzdoto llumu). Vadības kārtas arametru ašnoskaħošanās notk neārtraukti visā sistēmas darbības laikā, nodrošinot atbilstošu sdna regulēšanas kvalitāti neatkarīgi no rkš nearedzētām maiħām vadības objektā..4. att. Tvaika katla vadības sistēma ar adatīvu kontrolleri.3.6. Automātiskās vadības sistēmu klasifikācija Automātiskās vadības sistēmas (AVS) var klasificēt ēc vairākām azīmēm: ēc regulējamā arametra (strāvas, frekvences, sdna, temeratūras u.c.); ēc mantotās enerăijas veida (elektriskās, hidrauliskās, neimatiskās); ēc darbības veida (stabilācijas, rogrammvadības, sekošanas u.c.); ēc vadības signālu veida analogās un ciaru (digitālās) sistēmas; ēc vadības algoritmu veida statiskās (roorcionālās) P, astatiskās (integrālās) I, odromās (roorcionāli-integrālās) PI, (roorcionāli-diferenciālās)pd, (roorcionāli-integrālās-diferenciālās) PID, loăiskās, u.c.; ēc diferenciālvnādojumu veida, ar kurm araksta ārejas rocesus lineārās (araksta lineāri diferenciālvnādojumi) un nelineārās (araksta nelineāri diferenciālvnādojumi);

23 sistēmās ar laikā nemainīgm arametrm (stacionārās) un laikā mainīgm arametrm (nestacionārās). Taču ar galveno AVS klasifikācijas nosacījumu teicams vēlēts mantotās informācijas daudzumu un veidu. Šis dalījums devīgs tāēc, ka, veidojots jaunām sistēmām, klasēm un aakšklasēm, sējams aildināt esošo klasifikācijas shēmu, nemainot tās amatstruktūru (.5. att.). Pēc mantojamās informācijas veida un daudzuma AVS dala determinētajās sistēmās un adatīvajās sistēmās. Determinētajās sistēmās manto arioro sākuma informāciju ar visu tajās tilstošo komonentu īašībām, t.i., uzskata to īašības kā laika gaitā nemainīgas, rkš stingri noteiktas un zināmas. Pēc šāda rincia tk veidotas daĝa tehnoloăisko rocesu AVS, veidojot darbgaldus automātus, kā arī temeratūras, mitruma, sdna un citu arametru regulēšanas sistēmas. Determinētās AVS dalās divās galvenajās aakšklasēs: slēgtās AVS, kas darbojas ēc novirzes jeb atgrzeniskās saites rincia; vaĝējās AVS, kas darbojas ēc erturbāciju komensācijas vai rogrammētās vadības rincia..5. att. Automātiskās vadības sistēmu klasifikācija P vaĝējo sistēmu aakšklases skaitāmas arī automātiskās kontroles un reăistrācijas sistēmas, kuru uzdevums ir mērīt vai reăistrēt tehnoloăiskos arametrus un signalēt ar to maiħām objektā. Adatīvo sistēmu veidošanā manto rkš arakstīto adatācijas rinciu.

24 PašnoskaĦojošās sistēmas, amatojots uz darba informācijas analīzi, ārskaħo vadības kārtas arametrus (ārvades koeficntus, laika konstantes u.tml.), atbilstoši mainīgajm vadības objekta arametrm. Pašorganējošās sistēmas ārkārto elementu konfigurāciju vai vnu bloku nomaina ar citu atbilstoši maiħām objektā ar mērėi otimēt tā vadības stratēăiju. Pašamācošās sistēmas ir adatīvās vadības augstākais līmenis ar vadības kārtas arametru, struktūras un algoritma maiħu. Tās, mēram, lto transorta robotu adatīvai vadīšanai mainīgos akārtējās vides astākĝos. Šādi roboti ir arīkoti ar tehniskās redzes un taustes sensorm, kas dod sēju orntēts rkš nezināmos astākĝos un koriăēt savas darbības stratēăiju. Ekstremālās sistēmas ir īašs ašnoskaħošanās sistēmu aveids, kuras meklēšanas ceĝā atrod tādas regulējošās darbes uz objektu, kas nodrošina kvalitātes rādītāja ekstremālu vērtību neatkarīgi no objekta arametru un erturbācijas maiħas. Par kvalitātes rādītāju var būt minimāls enerăijas atēriħš, maksimāls ātrums vai ražīgums, maksimāls ekonomiskais efekts u.c. Pmēram, sakarībai star elektrokalorifera ventilatora ražīgumu L (m 3 /h) un sildītāja atērēto elektroenerăiju A (kwh) ir ekstremāls raksturs nemainīgas vadītā siltuma lūsmas Q (kw). Vnu un to ašu siltuma lūsmu objektam var vadīt dažādm A un L. Visllākās maksas sastāda elektriskā sildītāja atērētā elektroenerăija. Tāēc galvenais otimuma kritērijs šajā gadījumā ir minimāls elektroenerăijas atēriħš necšamās siltuma lūsmas gūšanai. Skaidrs, ka otimuma unkti ir reē raksturlīkħu ekstrēma unkti. Tā kā, mainots ārējm astākĝm (mēram, ārgaisa temeratūrai), ekstrēma unkts ārvtojas, tad ekstremālās sistēmas uzdevums ir neārtraukti meklēt šo unktu. Adatīvo sistēmu galvenā rkšrocība salīdzinājumā ar determinētajām sistēmām tāda, ka tās var darbots neilnīgas sākuma informācijas ar vadāmo objektu. Tās šo informāciju gūst un astrādā tši darba rocesā. TādēĜ nav necšama vadības objekta visusīga rkšēja ētīšana Automātiskās vadības sistēmu komonentu klasifikācija Lai uzskatāmi arādītu AVS struktūru, sastāda tās funkcionālo shēmu, kas sastāv no funkcionālajm blokm. T ir funkcionāli vai konstruktīvi avnotas un loăiskā secībā saistītas AVS daĝas (komonentes), kas ilda noteiktas funkcijas. Funkcionālos blokus attēlo kā taisnstūrus, kuros raksta to nosaukumus atbilstoši ildāmajai funkcijai. Saites star funkcionālajm blokm azīmē ar līnijām un bultām, kas arāda darbju virznu. Askatot automātiskās vadības rincius, konstatējām, ka slēgta AVS sastāv no automātiskās vadības kārtas, ārus kuras nesta diferenciālā salīdzināšanas shēma, ildkārtas, automātiskās vadības objekta un atgrzeniskas saites ar mērīšanas ārveidotāju. Mērīšanas ārveidotāja uzdevums ir mērīt regulējamo llumu (t) un ārveidot to roorcionālā elektriskā vai cita veida signālā as (t), kas caur atgrzenisko saiti tk adots uz sistēmas eju, lai salīdzinātu ar uzdoto sistēmas ejas signālu o, kuru sauc arī ar atbalsta signālu. Salīdzināšanas vai diferenciālā shēma konstruktīvi tilst automātiskās vadības kārtā, bet AVS funkcionālajās shēmās to arasti arāda kā atsevišėu funkcionālu bloku. Tas dod sēju uzskatāmi arādīt novirzes signāla (t) formēšanu. Diferenciālā shēma salīdzina AVS ejas signālu o ar atgrzeniskās saites signālu as (t), kurš roorcionāls vadības objekta ejas llumam (t). Šīs salīdzināšanas rezultātā formējas novirzes signāls: (t) o - as (t). 3

25 Automātiskās vadības kārta analē novirzes signālu (t) un formē vadības komandu v (t) ildkārtai, kura savukārt tši darbojas uz vadības objektu. Izildkārta formē regulējošo darbi r (t) uz vadības objektu ar mērėi likvidēt ejas lluma (t) novirzi no uzdotās vērtības o. Komonentes, no kurām sastāv automātiskās vadības sistēma, var klasificēt ēc to darbības fikālajm rincim, mēram, mehāniskās, elektromehāniskās, elektriskās, feromagnētiskās, elektroniskās un fotoelektroniskās, hidrauliskās un neimatiskās rīces. Racionālāk AVS komonentes klasificēt ēc to funkcionālās nozīmes un atrašanās vtas sistēmas funkcionālajā shēmā (.6. att.). Izmantojot šādu eju, AVS komonentes var dalīt trīs galvenajos blokos: tehnoloăisko arametru mērīšanas, kontroles un statīšanas rīces; vadības signālu ārveidošanas un komandu formēšanas rīces; vadības komandas ildrīces regulējošo darbju formēšanai uz vadības objektu. Praksē vislatītākās AVS ejas komonentes ir tehnoloăisko arametru (temeratūras, sdna, līmeħa, strāvas stiruma u.c.) mērīšanas ārveidotāji automātiskās stabilācijas sistēmās un loăiskā stāvokĝa (aktīvs asīvs, augsts līmenis zems līmenis, ir ozīcijā nav ozīcijā, komanda ildīta komanda nav ildīta) kontroles sensori loăiskās vadības sistēmās. Nākošā komonenšu grua ir AVS smadzenes, kas astrādā ejas informāciju un formē vadības komandas ildrīcēm. Mūsdnās kā vadības komandu formēšanas rīces manto regulējošos rogrammējamos kontrollerus (automātiskās stabilācijas sistēmās) un loăiskos rogrammējamos kontrollerus (loăiskās vadības sistēmās). Automātiskās vadības sistēmu komonentes Parametru kontroles un statīšanas rīces Vadības komandu formēšanas rīces Vadības komandu ildrīces Tehnoloă. aram. mērīšanas ārveidotāji; Datu logeri; Loăiskās vadības sensori gala (ceĝa) slēdži, rotācijas slēdži, taktil un redzes sensori; Vadības algoritmu un komandu statīšanas rīces Vadības signālu astirinātāji un ārveidotāji oerac. astirinātāji; analogciaru (ACP) un ciaru-analog (CAP) ārveidotāji; Loăisk rogrammējam kontrolleri; Vadības datori Izildmehānismi ar mehānisku, elektrisku, neimatisku vai hidraulisku dziħu SūkĦi, komresori, ventilatori, konveijeri, maniulatori, kurināmā degĝi, droseĝvārsti.6. att. Automātiskās vadības sistēmu komonentu klasifikācija 4

26 Trešā komonenšu grua ir ildrīces, kuras atbilstoši komandai no rocesa vadības kārtas formē regulējošo darbi uz vadības objektu, lai nodrošinātu tajā necšamos darba režīmus un ejas llumus. Šī rīču grua ir daudzveidīga gan ēc dziħas veida, gan konstruktīvā veidojuma, darbības rincim un ltojuma dažādās tehnoloăiskajās kārtās. Lai uzlabotu AVS dinamiskās īašības, bez jau minētajm funkcionālajm blokm manto seciālas korekcijas rīces. Atkarībā no slēgšanas veida šėir virknes un aralēlās korekcijas rīces. Virknes korekcijas rīces arasti veido kā RC vai RLC signālu korekcijas ėēdes, kas slēgtas virknē ar automātiskās vadības kārtas komonentēm un aaugstina AVS stabilitāti. Paralēlās korekcijas rīces veido kā vtējas tšās vai atgrzeniskās saites, kas atver AVS komonentes ar llu inerci, mazu jutību vai netkamu stabilitāti. Atkarībā no uzdevuma, aralēlās korekcijas rīces aaugstina AVS recitāti, ātrdarbību vai stabilitāti..4. Ražošanas rocesu automātiskā vadība Mūsdnu ražošanas objektīva necšamība ir tehnoloăisko rocesu automātiska vadība, kas veicina darba ražīguma celšanu, rodukcijas kvalitātes uzlabošanu, ejvlu, materiālu un enerăijas atēriħa samazināšanu, akalojošā ersonāla darba astākĝu uzlabošanu. Modernajām tehnoloăiskajām kārtām raksturīgs augsts ražīgums, lls oerāciju ildes ātrums un sarežăīti darbības likumi. Cilvēkam kĝūst arvn grūtāk vadīt ražošanu, bet novirzes no uzdotā tehnoloăiskā režīma, kas nebēgamas, mantojot neautomatēto vadību, var novest vērojamm rodukcijas kvalitātes un kvantitātes zudumm. Informācijas astrādes un ārvades tehnoloăiju straujā attīstība dod sēju realēt ražošanas rocesu automātisko vadību, kurā visas vadības oerācijas ilda automātiskas kārtas, skaitot oeratīvo vadību, uzskaiti un lānošanu. Tātad ar ražošanas rocesu automātisko vadību sauc mašinētas ražošanas augstāko formu, kam raksturīga cilvēka atbrīvošana no tšas ražošanas rocesu vadības funkciju ildes un šo funkciju nodošana automātiskām kārtām..4.. Ražošanas rocesu automatācijas amatjēdzni Ražošanas rocess ir tehnoloăisko rocesu koums, kas nodrošina gala rodukcijas gūšanu un realāciju. Savukārt tehnoloăiskais rocess sastāv no tehnoloăiskām oerācijām, kuras tk veiktas noteiktā kārtībā. Sadalot tehnoloăisko rocesu oerācijās, to ir sējams algoritmēt, t.i. noteikt tehnoloăisko oerāciju ildes ilgumu, secību, savstarējo saistību, cikliskumu, režīmus un realēt to otimālu norisi. Jebkura tehnoloăiskā oerācija tk veikta, darbojots uz noteiktu darba objektu, mēram, štancēšanas oerācijā darba objekts ir sagatave, no kuras jāveido kāda mehānisma detaĝa. Darbības, kuras veic cilvēks, arasti sastāv no šādām divām galvenajām oerācijām: informatīvās jeb vadības oerācijas; enerăētiskās oerācijas. P informatīvajām oerācijām der cilvēka garīgās darbības oerācijas, mēram, darbības lāna strāde, enerăētisko oerāciju vadīšana un kontrole, darba rezultātu novērtēšana. Ar enerăētiskajām oerācijām sarot tšu, fisku darbību uz darba objektu. 5

27 Nemehanētajā ražošanā gan vadības, gan enerăētiskās oerācijas ilda cilvēks. Šajā gadījumā cilvēks visirms domā darbības lānu, lai ātri, kvalitatīvi un ar minimālu sēka atēriħu veiktu attcīgo enerăētisko oerāciju un vēlas atbilstošus darba instrumentus. Pēc tam tši darbojas uz darba objektu un gūst darba roduktu (.7. att.). Cilvēks Vadības un enerăētiskās oerācijas Darba objekts Darba rodukts.7. att. Nemehanēts darbs Ievšot tehnoloăiskajā rocesā mašīnas un mehānismus, cilvēks tk atbrīvots no enerăētiskajām oerācijām. Cilvēka ārziħā alk vadības oerācijas, roti, tehnoloăisko kārtu slēgšana un slēgšana, režīmu regulēšana, darbības kontrole un uzraudzība, kā arī enerăētisko alīgoerāciju ilde, mēram, sagatavju adeve uz darbgaldu (.8. att.). Mašīnu un mehānismu všanu ražošanā, lai cilvēku atbrīvotu no enerăētiskajām oerācijām, sauc ar tehnoloăisko rocesu mehanāciju. Cilvēks Vadības oerācijas Mašīna - mehānisms Enerăētiskās oerācijas Darba objekts Darba rodukts.8. att. Tehnoloăiskā rocesa mehanācija Automātiskās vadības kārtu všanu ražošanā, lai atbrīvotu cilvēku arī no galvenajām informatīvajām oerācijām (tšas līdzdalības tehnoloăisko kārtu vadīšanā), sauc ar tehnoloăisko rocesu automatāciju. Šajā gadījumā tehnoloăiskās kārtas (metālastrādes darbgalds, ūdensagādes sūkħu stacija, tvaika katls) vadības oerācijas ilda automātiskās vadības kārta. Cilvēks šajā shēmā veic uzraudzības funkcijas (vada vai koriăē darba rogrammu un kontrolē rocesa norisi), bet tši nedalās tehnoloăiskā rocesa vadīšanā un ildē (.9. att.). Tehnoloăisko rocesu automatāciju realē automātiskās vadības sistēmas..9. att. Tehnoloăiskā rocesa automatācija Pēc automatācijas līmeħa šėir daĝēju, komleksu un ilnīgu automatāciju. Automatācijas sākuma stadijai atbilst daĝēja automatācija, kad tk automatētas 6

28 atsevišėas tehnoloăiskās oerācijas, mēram, všot detaĝu štancēšanas robottehnisko komleksu metālastrādes cehā. Pārējās oerācijas, mēram, virošana, frēzēšana un slīēšana ir tikai mehanētas. DaĜēja automatācija atvglo cilvēku darbu un veicina tehnoloăisko rocesu ilnveidošanu, bet tā nevar būtiski uzlabot ražošanas vadīšanu, jo tai trūkst koēja vadības mērėa. DaĜēja automatācija galvenokārt dod sociālo efektu, roti, atbrīvo cilvēku no monotona nogurdinoša darba, kas nerasa augstas rofesionālās maħas un intelektuālo kometenci, mēram, detaĝu štancēšana. TādēĜ štancēšanas robottehnisk komleksi bija vni no irmajm, ko vsa ražošanā. Ekonomiskais efekts arasti bija negatīvs, jo ll kaitālguldījumi neatmaksājās normatīvajā laikā. Tas skaidrojams ar to, ka robotētā cirkħa darbības ātrums ir vērojami llāks ar ārējo mehanēto cirkħu darbības ātrumu, kas rada automatētās kārtas bžas dīkstāves. Lai šāda kārta atelnītu tajā guldītos līdzekĝus, tā intensīvi jānoslogo. Komleksā automatācija ir augstāka stadija, kad automatētas tk visas galvenās tehnoloăiskā rocesa oerācijas. Komleksajā automatācijā ražošanas cirknis funkcionē kā vnota sistēma, kas ilda visas rocesa oerācijas tā, ka tk nodrošināti dotajm darba astākĝm visaugstāk tehniski ekonomisk rādītāji. Tas tk anākts otimāli saskaħojot visu oerāciju ildes ātrumu un secību. Attīstots komleksajai automatācijai, cilvēka vadības uzdevumi un funkcijas arvn vairāk tk nodotas automātiskajām kārtām. Pilnīgā automatācija nodrošina visa ražošanas rocesa kontroli un vadību, t.sk., arī oeratīvo vadību, uzskaiti un lānošanu. Pilnīgi automatēta uzħēmuma sekmīgas darbības rkšnosacījumi arādīti blokshēmas veidā. Tos var raksturot sekojoši: vadības sistēmu augsts drošums un ātrdarbība; augsta adatācijas sēja konkurences un mainīgas ražošanas vides astākĝos; ilgtsējīga attīstība un inovatīva rīcībsēja. Pilnīgu ražošanas automatāciju var realēt tikai ar datorvadības sistēmām. Izmantojot rūnciskos datortīklus, ražošanas amatrocesus var sasaistīt vnotā komleksā. Ar ražošanas datorēto automatāciju tk veidots vnots ražošanas uzħēmums, kura sekmīgu darbību nosaka vairāki rkšnosacījumi. Pilnīgi automatēta uzħēmuma sekmīgas darbības rkšnosacījumi Visu elektronisko un skaitĝošanas sistēmu augsts drošums un lla ātrdarbība Augsta konkurences sēja ātri veikt jaunu roduktu rojektēšanu, gatavošanu un latīšanu Neārtrauktas ilnveides un attīstības sēja ersonāla augsta kvalifikācija un inovatīva rīcībsēja 7

29 .4.. Ražošanas rocesu datorētā vadība Datortehnikas galven uzdevumi rodukcijas ražošanas rocesos arādīti blokshēmas veidā. Ražošanas rocesos datortehnika ilda vadības un kontroles funkcijas. Tās amatuzdevumi ir: vadības mērėu realācija; tehnoloăisko un ekonomisko rādītāju kvalitātes vadība; rodukcijas arites vadība. Vadības mērėu ildes kvalitāte arasti tk novērtēta matemātisko funkcionālu veidā, kuru minimālās vai maksimālās vērtības raksturo visracionālāko rocesa norisi. Pmēram, veicot rodukcijas funkcionālās vērtības analīzi, tk noskaidrotas ražošanas rocesa neilnības, otimēti ražojuma tehnoloăisk, enerăētisk un drošuma rādītāji, kas Ĝauj samazināt to ražošanas un eksluatācijas maksas. Svarīga ražošanas sastāvdaĝa ir materiālā sagāde, rodukcijas uzglabāšana un realācija. Datortehnika tajā ilda rodukcijas uzskaiti un ltojuma trenda analīzi, materiālo gāžu necšamo rezervju noteikšanu un laika diagrammu sastādīšanu, kā arī nodrošina noliktavu terminālu automātisku saskaħotu vadību. Datortehnikas uzdevumi rodukcijas ražošanas rocesos Vadības mērėu realācija: nodrošināt rocesu norisi minimālā laikā; nodrošināt rocesu norisi ēc uzdota algoritma; koordinēt vairāku rocesu vnlaicīgu sinhronētu norisi un otimēt tos ēc uzdotm kritērijm Procesu kvalitātes vadība: ražošanas ekonomisko rādītāju otimāla vadība; ražošanas rocesa kvalitātes sistēmas darbības nodrošināšana; rodukcijas funkcionālās vērtības analīze, lai samazinātu tās ašmaksu Ražojumu arites vadība: rodukcijas uzskaite un ltojuma trenda noteikšana; materiālu gāžu necšamo rezervju un laika diagrammu noteikšana; noliktavu terminālu saska Ħota vadība Pilnīgi automatēta ražošanas uzħēmuma vadības hrarhija arādīta blokshēmas veidā. Tā sastāv no četrm galvenajm līmeħm: lānošanas vadības; otimācijas vadības; koordinācijas vadības (tehnoloăisko kārtu vadība); rocesu vadības (ildrīču vadība). Ražošanas lānošanas (rognozēšanas) vadība tver vairākas svarīgas vadības oerācijas, mēram, ražošanas galvenā lāna sastādīšanu, materiālo resursu un gāžu lānošanu, ražošanas jaudu lānošanu, ražojumu rasījuma analīzi u.c. Datortehnika dod sēju avnot vnotā datu bāzē informāciju ar ražojuma konstrukciju, tā gatavošanas tehnoloăiju, gatavošanas vadību un kontroli, kā arī veikt ražošanas ekonomisko analīzi un grāmatvedības uzskaiti. Tas dod sēju modelēt automatētas ražošanas rocesus reālā laika mērogā. Iegūtā informācija tālāk tk mantota ražošanas vadības zemāko līmeħu realācijai. Ja lānošanas vadība tk realēta visa uzħēmuma līmenī, tad otimācijas vadība notk ražošanas ceha līmenī. Tā nodrošina visu tehnoloăisko cirkħu saskaħotu otimālu darbību, kur visu tehnoloăisko kārtu savstarējās sadarbības vadība notk no vnota 8

30 datorēta vadības un uzraudzības centra. Datorētais vadības centrs risina vadības otimācijas uzdevumu, mēram, vadots no nākošās informācijas ar rocesu norisi ražošanas cirkħos, tk noteikta tehnoloăisko kārtu akales secība un ātrums, tā lai summārais laika atēriħš būtu minimāls. UzĦēmums vadāmais objekts Plānošanas vadība Sagatavošanas cehs Instrumentu cehs Ražošanas cehs Otimācijas vadība Montāžas cirknis Metināšanas cirknis Metālastrādes cirknis Koordinācijas vadība Tehnoloăiskās kārtas Štancēšanas rese Rūnciskais robots Sagatavju darbgalds Procesu vadība Izildrīces Sagatavju satvērējs Pneimatiskā dziħa Elektromagnētiskā kasete Produkcijas tšās gatavošanas un šī rocesa nodrošināšanas vadības objekti ir tehnoloăiskās kārtas, mēram, rūncisk roboti, rogrammvadības darbgaldi, enerăētiskās kārtas (tvaika katli, koăenerācijas kārtas, komresoru un sūkħu kārtas), kurās tk realēta vairāku ildkārtu koordinēta (saskaħota) darbība. Tāēc šo vadības līmeni sauc ar koordinācijas vadību. Zemākā līmeħa vadām objekti ir elektrodzinēji, neimocilindri, hidrocilindri, satvērēji, elektromagnēti u.c., kas nodrošina tehnoloăisko kārtu darbību. Tā kā minēto rīču darbības rezultātā tk mainīts kāds fikālais arametrs ārvtojums, materiāla lūsma, sdns, temeratūra u.c., tad šo vadību sauc ar rocesu vadību. 9

31 Turmākajā kursā askatīsim tikai tehnoloăisko kārtu un rocesu vadības līmeni. Augstāko līmeħu vadība ir ārus klasiskās automātikas kometences. To askata ražošanas datorvadības sistēmu kursos Ražošanas automatācijas ekonomiskais amatojums Automatējot ražošanu, visirms veic rūīgu rodukcijas ašmaksas analīzi, kas llā mērā raksturo tehnoloăijas kvalitāti. P tam norāda automatācijas akāenību, dala cirkħus, kur automatācija var dot visllāko efektu, nosaka ražošanas rocesa šaurās vtas, kas rasa tehnoloăijas ilnveidošanu un kārtu modernāciju. Tehnoloăisko rocesu automatācijas ekonomiskā efekta gūšanas visārīgā shēma arādīta.0. attēlā. Automatācijas ekonomisko efektu nosaka devumu un Ħēmumu bilance. Izdevumus veido galven un aildus kaitālguldījumi, kas necšami automātikas rīču gādei, montāžai, statīšanai, tehnoloăisko kārtu ilnveidošanai, telu rekonstrukcijai, kā arī automātikas rīču eksluatācijas devumi. IeĦēmumus veido tehnoloăiskais, materiāli enerăētiskais un sociāli strukturālais efekts, kuru gūst no automatācijas. Tehnoloăisko efektu raksturo: rodukcijas laides daudzuma augums, allinots ražošanas rocesa intensitātei; rodukcijas kvalitātes uzlabošanās, ko veicina automātiskās kontroles un vadības objektivitāte; rodukcijas ašmaksas azemināšanās, samazinots ražošanas cikla ilgumam un ražošanas laukumam. Materiāli enerăētisko efektu nosaka: materiālu un ejvlu tauījums sakarā ar astrādes rocesa uzlabošanu; rimārās enerăijas atēriħa tauījums, aaugstinots automatēto kārtu ltderības koeficntam; kārtu eksluatācijas drošuma aaugstināšanās sakarā ar to darbības režīmu otimāciju, slodzes un citu faktoru saida kontroli un stabilāciju. Sociāli strukturālo efektu nosaka: darbasēka ekonomija (strādājošo skaita samazināšanās), ražošanas sanitāri higiēnisko astākĝu uzlabošanās, strādnku darba atvglošana; dnesta telu un ražošanas laukumu, kā arī inženrkomunikāciju samazināšanās. Salīdzinot neautomatētas un automatētas ražošanas tehnoloăiski ekonomiskos un sociāli ekonomiskos rādītājus (kaitālguldījumus, eksluatācijas devumus, reducētos devumus, darbasēka atēriħu u.c.), nosaka automatācijas všanas ekonomisko efektivitāti. Gada ekonomisko efektu no tehnoloăiskās kārtas vai rocesa automatācijas var arēėināt ēc formulas: A P + E ( I ' I ' ) + E ( K ' K ' ) a n n n a n n a E ( C + E K ) + ( C + E K g n n n a n A P + E P + E n a n a n a ), (.) kur C n, C a - rodukcijas vnības ašmaksa irms un ēc automatācijas, Ls; E n - kaitālguldījumu normatīvais efektivitātes koeficnts (elektrokārtām Ħem 0, gads - ); 30

32 K n, K a - īatnēj kaitālguldījumi irms un ēc automatācijas všanas, Ls uz rodukcijas vnību; A n, A a - gada rodukcijas ajoms irms un ēc automatācijas všanas; P n, P a - atskaitījumu daĝa no kārtu bilances vērtības to renovācijai(atjaunošanai) irms un ēc automatācijas všanas, kuru arēėina kā agrztu llumu kārtas resursam T r, Ħemot vērā tās morālo novecošanos, gads - ; K ' n, K ' a - aildus kaitālguldījumi kārtas montāžai un alaišanai, Ls; I ' n, I ' a neautomatētās un automatētās tehnoloăiskās kārtas eksluatācijas devumi, Ls/gadā..0. att. Automatācijas všanas ekonomiskā novērtējuma kategorijas Automatācijas kaitālguldījumu atmaksāšanās laiku arēėina ēc šādas formulas: T a I K n a I a K + n P g, (.) kur K n, K a - galven kaitālguldījumi neautomatētajā un automatētajā ražošanā (K a >K n ),Ls; I n, I a - neautomatētās un automatētās kārtas gada eksluatācijas devumi (I n >I a ), Ls/gadā; P g - gada aildu nākumi, uzlabojot rodukcijas kvalitāti, samazinot zudumus un tauot materiālus un enerăiju, Ls/gadā. 3

33 Divu automatācijas variantu (vecā un jaunā) efektivitātes salīdzināšanai var mantot nevnādību: E n K v +C v > E n K j + C j + P, (.3) kur K v, K j vecā un jaunā automatācijas varianta īatnēj kaitālguldījumi uz rodukcijas vnību, Ls; C v, C j rodukcijas vnības ašmaksa, mantojot veco un jauno automatācijas variantu, Ls; P - aildus nākumi uz rodukcijas vnību, aaugstinot tās vnoto vērtību, darbības kvalitāti un resursu, kā arī samazinot eksluatācijas devumus (akoes, ejvlu un enerăijas atēriħš), Ls. Jaunā automatācijas varianta atmaksāšanās laiku var arēėināt ēc formulas: T K K (.4) j v a C C + v j No divm vai vairākm jaunajm automatācijas variantm vēlas to, kuram ir vismazākais kaitālguldījumu atmaksāšanās laiks. Nosakot aildus nākumus P, īaša uzmanība jāvērš salīdzināmo variantu eksluatācijas drošuma ekonomiskā efekta vērtēšanai. Par drošuma otimācijas kritēriju var mantot aildus ekonomisko efektu E, ko gūst attcīgās rīces vai sistēmas kalošanas laikā T k :. P E ( C - E n K) T k, (.5) kur K aildus kaitālguldījumi drošuma aaugstināšanai, Ls; C gada ekonomija sakarā ar rodukcijas ašmaksas samazināšanos, Ls; E n kaitālguldījumu normatīvais atmaksāšanās koeficnts, kura llumu nosaka Ħemtais normatīvais kaitālguldījumu atmaksāšanas laiks T n, ja T n 5 gadi, tad E n /5 0,. Augot kārtas eksluatācijas laikam (0 < t T k ), tās sākuma drošuma aaugstināšanas efektivitāte samazinās. Reducējot amortācijas laikā T k gūto koējo efektu uz drošuma aaugstināšanas sākuma momentu, var Ħemt, ka laika vnībā gūtais efekts ir konstants llums, un arēėināt tam atbilstošo ekvivalento kalošanas laiku T e : T e T / T T ( e k n ). (.6) n RedzamS, ka T k, T e T n. Tātad neatkarīgi no kārtas reālā kalošanas laika, ekvivalentais laiks vnmēr būs mazāks ar normatīvo laiku T n. Otimālu sistēmas drošumu gūst otimējot visu tās komonentu drošumu. SaskaĦā ar arēėina metodiku nosaka katras komonentes drošuma aaugstināšanas efektu, mantojot formulu: kur R i vidēj zaudējumi no i-tas komonentes atteices, Ls; λ komonentes sākuma atteices intensitāte, gads - ; oi E R ( λ λ ) T i i io i e λio Si In, λ i (.7) 3

34 λi komonentes atteices intensitāte ēc otimācijas, gads - ; S i komonentes cenas augums ēc atteices intensitātes samazināšanas e,7 rees (drošuma aaugstināšanas devumu konstante), Ls. Atteices zaudējumus R i var arēėināt ēc formulas: R i BT ai + H i + C ai, (.8) kur B dīkstāves zaudējumi laika vnībā, Ls/h; T ai i-tās komonentes vidējais atjaunošanas vai nomaiħas laiks, h; H i tš zaudējumi no i-tās komonentes atteices, Ls; C ai komonentes vidēj atjaunošanas devumi, Ls. Izmantojot teiksmi (.7), arēėinātas raksturlīknes E f ( λ ) i i drošuma aaugstināšanas efekta noteikšanai R i 00 Ls, S i 0 Ls (.. att.). E f λ ir ekstrēma unkts, kuram atbilst maksimālais Redzam, ka raksturlīknei ( ) aildus ekonomiskais efekts atteices intensitāte λ. i ot i E i max i, ko gūst, ja dotajai AVS komonentei ir otimāla.. att. AVS komonentes drošuma aaugstināšanas efekta atkarība no atteices intensitātes Jo llāks komonentes ekvivalentais kalošanas laiks T e un sākuma atteices intensitāte λ jo llāku ekonomisko efektu gūst no tās drošuma aaugstināšanas. Samazinot, io komonentes atteices intensitāti zem λ, E kĝūst negatīvs, kas skaidrojams ar relatīvi i min llu aildus kaitālguldījumu necšamību. i 33

35 Otimālo atteices intensitāti gūstam, atvasinot teiksmi (.7) ēc λ i un gūto atvasinājumu līdzinot nullei: S i λ i ot. (.9) R i Te Ekonomiskais efekts no sistēmas drošuma aaugstināšanas un tam necšam aildus kaitālguldījumi: E i n i E n i max K Kiot., i kur n - sistēmas komonentu skaits, kuru drošums tk otimēts. ; (.0) Otimāla drošuma rognozēšanu var vērojami aātrināt un recēt, ltojot automatētās rojektēšanas sistēmas. Tas dod sēju arī veikt rojektējamās kārtas funkcionālās vērtības analīzi, kam ir svarīga nozīme gan tās konstruktīvo arametru, gan eksluatācijas rādītāju otimēšanā un maksu samazināšanā.. AVS komonentu statiskās un dinamiskās īašības Lai ētītu automātiskās vadības sistēmu stabilitāti un darbības kvalitāti, jāzina to sastāvdaĝu (komonentu) statiskās un dinamiskās īašības, kuras araksta atbilstoši statikas un dinamikas vnādojumi. Tos atrisinot gūst statiskās un dinamiskās raksturlīknes, kas uzskatāmi arāda ētāmās rīces īašības noteiktā arametru maiħas agabalā. Nosakot AVS komonentu statiskos un dinamiskos raksturojumus, var veikt visas sistēmas analīzi koumā un otimēt tās darbības stabilitātes un kvalitātes rādītājus... Lineāras rīces to statiskās raksturlīknes Statika alūko automātiskās vadības sistēmu komonentu stacionāros režīmus, kad savstarēji saistīt ejas un ejas mainīg llumi ir nostabilējušs un atrodas stacionārā līdzsvara stāvoklī. Tā kā AVS komonentes ir tehniskas rīces (vadības rīces, ildrīces, mērīšanas ārveidotāji, tehnoloăisk vadības objekti u.c.), tad turmāk askatīsim šādu rīču statiskās īašības. To ētīšanai manto statiskās raksturlīknes, kas grafiski attēlo funkcionālo sakarību star rīces ejas un ejas llumm. Statiskās raksturlīknes var uzħemt ekserimentāli vai gūt analītiski, sastādot rīces statikas vnādojumu. Visārīgi statisko režīmu var arakstīt ar sekojošu funkciju: f( ), kur ejas lluma nostabilējuss vērtība, kad beidzs ārejas rocess no vna stacionāra stāvokĝa otrā, kuru raisījusi ejas darbes maiħa. Šo vnādojumu sauc ar rīces statikas vnādojumu. Pēc statiskajām raksturlīknēm AVS komonentes dalās: ) lineārās, ) nelineārās, 3) astatiskās. Lineāras rīces statisko raksturlīkni visārīgi saka vnādojums: K. Izejas lluma attcību ret ejas llumu stacionārā režīmā sauc ar rīces statisko ārvades koeficntu vai vnkārši ārvades koeficntu. Izmantojot lineāras rīces statisko raksturlīkni (.. att.), kas t caur koordinātu sistēmas nullunktu, tās statisko ārvades koeficntu K var arēėināt no sekojošas teiksmes: 34

36 µ K tgα, (.) µ kur α statiskās raksturlīknes nolces leħėis attcībā ret abscisu asi; µ, µ ejas un ejas llumu mēroga koeficnti. Tātad lineāras rīces statiskais ārvades koeficnts K ir tši roorcionāls statiskās raksturlīknes nolces leħėa α ret abscisu asi tangensam. Ja llumi un ir ar vnādu mērvnību dimensiju un atlikti uz asīm vnādos mērogos, tad K tgα, jo µ µ (.. att.). Sakarība (.) mantojama nosacījuma, ja raksturlīkne t caur koordinātu sākumunktu. Koeficnts K raksturo rīces galveno statisko īašību jutību. Jo llāks K, jo augstāka rīces jutībā. Vuāli to var novērtēt ēc statiskās raksturlīknes nolces leħėa ret abscisu asi. Jo llāks α, jo augstāka jutība... att. Lineāras rīces statiskā raksturlīkne K (reduktoram ω K ω ) Kā lineāru rīču raksturīgus mērus, kuru statiskās raksturlīknes t caur koordinātu sākumunktu, var minēt: neelastīgu sviru, kuras lecm likt sēki ir agrzti roorcionāli lecu garumm ( F, N; F, N; F K F ); mehāniskos ārvadus, t.sk., zobratu reduktoru ar tši roorcionālu sakarību star ejas un ejas vārstu rotācijas ātrumm ω un ω, rad/s (.. att.), kuru araksta statikas vnādojums ω K ω ; līdzstrāvas tahoăenerators, kura ăenerētais srgums ir tši roorcionāls enkura vārstas rotācijas ātrumam ( U K ω, kur K U / ω, V/ (rad/s)); otenciometriskais mērīšanas ārveidotājs, kura ejas srgums ir tši roorcionāls slīdkontakta agrzna leħėim (U K α, kur KU /α,v/ rad). Ja raksturlīkne net caur koordinātu sākumunktu (.. att.), ārvades koeficntu atrod kā ejas un ejas llumu augumu attcību: K / vai K ( - o )/, ja raksturlīkne šėērso ordinātu asi, un K /( - o ), ja raksturlīkne šėērso abscisu asi. 35

37 Kā lineāru rīču mērus, kuru statiskās raksturlīknes net caur koordinātu sistēmas sākumunktu, var minēt sekojošus temeratūras mērīšanas ārveidotājus: vara termorezistoru, kura elektriskā retestība R θ aug tši roorcionāli temeratūrai θ (R θ R 0 + R 0 α θ R 0 + K θ), kur ārvades koeficnts K R 0, α (R θ - R 0 )/ θ, Ω/ o C, R 0 elektriskā retestība 0 o C temeratūrā, α 3,6 0-3 / o C retestības temeratūras koeficnts; metāla termoāri, kurš sastāv no divu dažādu metālu vai metālu sakausējumu ar atšėirīgām elektrovadītsējām stlēm, kuru vni gali sametināti, veidojot termoāra darba karsto galu, bet divm brīvajm aukstajm galm vno jutīgu galvanometru vai milivoltmetru. Termoāris ir ăeneratora tia temeratūras mērīšanas ārveidotājs. Uzturot temeratūru starību star termoāra darba galu θ d un brīvajm galm θ b, mērinstruments uzrāda elektrodzinējsēku E θ (.. att.). Šo elektrodzinējsēku sauc ar termoelektrodzinējsēku, jo to rada minētā temeratūru starība... att. Vara konstantāna termoāra statiskā raksturlīkne Metāla termoāra statiskā raksturlīkne ir ideāli lineāra un to araksta sekojošs vnādojums: E θ K (θ d θ b ), (.) kur K E θ /(θ d θ b ) termoāra statiskais ārvades (jutības) koeficnts, mv/ o C. Metāla vai metālu sakausējuma stles, no kurām gatavots termoāris sauc ar termoelektrodm. Tos dala termoozitīvos un termonegatīvos. Termoelektroda olaritāti nosaka attcībā ret latīnu. Termoāri sastāda no termoozitīva un termonegatīva materiāla. Jo llāka termootenciālu starība, jo augstāka termoāra jutība. Atbilstoši.. tabulas datm, visjutīgākais ir hromeĝa koeĝa termoāris. Askatīsim vara konstantāna (5% vara + 48% niėeĝa sakausējums) termoāri (.. att.), kas sastāv no vara un konstantāna termoelektrodm. Varš ir termoozitīvs, jo dod ozitīvu termootenciālu attcībā ret latīnu + (6,5 7,5) mikrovolti/ o C, bet konstantāns termonegatīvs, jo dod negatīvu termootenciālu (33 35) mikrovolti/ o C. Pēc šo otenciālu 36

38 starības var noteikt vara-konstantāna termoāra vidējo jutības koeficntu, ko arasti saka milivoltos uz o C (K 0,04 mv/ o C). Termoāra statiskā raksturlīkne šėērso abscisu asi temeratūras θ d θ b, jo tad E θ 0. Termoāra statiskā raksturlīkne t caur koordinātu sākumunktu, ja brīvo galu temeratūra θ b 0 o C... tabula Termoelektrodu materiālu fikāl arametri Materiāls Termootenciāls attcībā ret latīnu, µ V/ o C Tiluma Īatnējā siltumtilība masa γ, c, 0 3 kg/m 3 kj/(kg oc) Īatnējā retestība ρ, 0-6 Ω m Alumīnijs +4,0,7 0,699 0,05...0,08 Alumels 95%Ni+ +5% (Al,Si,Co,Mn) Tīra dzelzs -(0,...3,8) 8,5 0,94 0,33...0,35 +8,0 7,86 0,50 0,09 Konstantāns 5% -35,0 8,9 0,40 0,45...0,5 Cu+48% Ni Koels 55% Cu + -40,0 9,0 0,430 0,49 +45% Ni Elektrotehniskais varš +7,5 8,9 0,39 0,07 Nihroms +(5...5) 8, 0,50 0,95...,05 80% Ni+0%Cr Niėelis -(5,0...5,4) 8,75 0,45 0,8...0,38 Platīns +0,00,3 0,34 0, ,06 Platīnrodijs 70% Pt+30%Rh 90% Pt+0%Rh Hromels 89%Ni+9,8%Cr+ +%Fe + 0,% Mn +6,4 +3, ,90 - +(7,...3,3) 8,7 0,60 0,7 Rezumēsim askatīto lineāro rīču galvenās ozitīvās īašības: lineāras statiskās raksturlīknes, līdz ar to nemainīga jutība un konstanti statisk ārvades koeficnti visā ejas arametru maiħas agabalā; lineāru rīču un līdz ar to arī lineāru sistēmu, kuras sastāv no šādām rīcēm, dinamiskos rocesus araksta diferenciālvnādojumi ar konstantm koeficntm, kas vērojami atvglo dinamisko rocesu analīzi un modelēšanu... Nelineāras rīces to statiskās raksturlīknes Reālas AVS komlektējas no lineārām un nelineārām komonentēm. Nelineārai rīcei vnmērīgai ejas lluma maiħai atbilst nevnmērīga ejas lluma maiħa. Tad statisko sakarību f( ) araksta nelineārs vnādojums un grafiski attēlo nelineāra 37

39 raksturlīkne. Atšėirībā no lineārām rīcēm, nelineāru rīču statiskais ārvades koeficnts ir mainīgs llums un atkarīgs no. Tātad nelineārai rīcei K f( ). Llākā daĝa AVS komonentu ir nelineāras un to dinamiskās īašības araksta nelineāri diferenciālvnādojumi ar mainīgm koeficntm, kuru atrisināšana ir samērā sarežăīta un dažre at nesējama. TādēĜ svarīgi noskaidrot nelineāro statisko raksturlīkħu linearācijas sējas. Nelineāras (reālās) un linearētās (ideālās) raksturlīknes sakritību ēta intervālā, kurā reālos astākĝos mainās dotais ejas llums. Ja atšėirība star avtojamo līklīnijas un linearētu taisnes raksturlīkni ir neĝaujami lla, necšams vai nu samazināt ejas lluma maiħas agabalu, vai atteikts no linearācijas un ltot nelineāro sistēmu analīzes metodes. Nelineāru statisko raksturlīkħu linearācijas sējas nosaka Dirihlē nosacījumi. Nelineāra funkcija ir analītiski linearējama robežotā arametru maiħas agabalā, ja: tā ir vnmērīga neārtraukta šajā agabalā bez ārrāvumm un lūzumm; tās irmās kārtas atvasinājums arī ir neārtraukts. Tātad nelineāru rīču statiskās raksturlīknes var būt neārtrauktas un ārtrauktas. Askatīsim nelineāru rīču mērus. Praksē laši ltota rīce ar ārtrauktu statisko raksturlīkni ir elektromagnētiskais relejs (.3. att.). Tā ejas llums ir srgums U, kas tk vadīts releja solei K, bet ejas llums ir srgums U, kas tk vadīts atērētājam (signālsuldzei HL). Visu releju raksturīga īatnība, ka, mainots ejas signālam vnmērīgi, ejas signāls mainās lēcnveidīgi. Pakāeniski allinot soles srgumu no U 0 līdz U U, ejas srgums nemainās U 0. Sasndzot U U, notk ārejas rocess un relejs slēdzas. Saslēdzas tā kontakts K. un degas signālsuldze HL, jo releja ejas srgums U aug lēcnveidīgi no nulles līdz nominālajai vērtībai (.3. att.). Elektromagnētisko releju soĝu nominālo srgumu U nom, U vēlas no standartsrgumu rindas 6,, 4, 36, 48, 60, 0, 0 V. U, V U,V K U K. HL U,V 0 U a U U nom U,V.3. att. Elektromagnētiskā releja statiskā raksturlīkne U f(u ) Pakāeniski samazinot soles srgumu no U U līdz U U a, notk releja slēgšanās. Pārtraucas tā kontakts K. un signālsuldze HL nodzst, jo srgums uz tās samazinās lēcnveidīgi no nominālās vērtības līdz nullei. Tātad elektromagnētiskajam relejam nav vnnozīmīgas sakarības star ejas un ejas srgumu maiħu. Līdz ar to tā statiskā raksturlīkne nav analītiski linearējama, jo neamrina Dirihlē nosacījumus. 38

40 Atšėirībā no lineārām rīcēm (termoāris, termorezistors, tahoăenerators), kuru jutību raksturo statiskais ārvades koeficnts, releju jutību raksturo atgršanas koeficnts: K a U a /U U/U, kur U ir releja nejutības zona. Jo mazāks U, jo relejam augstāka jutība. Zemas jutības relejm K a 0, 0,3; vidēji jutīgm relejm K a 0,4 0,5, bet relejm ar augstu jutību K a 0,8 0,9. No zemas jutības relejm veido laika relejus, vidējas jutības releji galvenokārt tk mantoti kā elektrisko ėēžu komutācijas releji, bet augstas jutības relejus manto minimālā srguma kontrolei. Automātikā elektromagnētiskos relejus askata kā nelineārus jaudas astirinātājus, jo vadot releja solei relatīvi mazas jaudas elektrisko signālu P (W), no tā kontaktm var noħemt vērojami llākas jaudas signālu P (W). To saka ar jaudas astirinājuma koeficntu: K P /P U I /U I, kur I un I ir attcīgi releja soles un kontaktu strāvas. Pmērs. Dots: U 4V, I 0mA, U 0V, I A. Ievtojot skaitliskos llumus, gūstam: K 0V A/4V 0,0A 97. Askatīsim rīces ar neārtrauktu nelineāru statisko raksturlīkni (.4. att.). Šāda statiskā raksturlīkne ir fotorezistoram, ja tā ejas llums ir agaismojums E(lx), bet ejas llums fotostrāva I f (ma). Pallinot agaismojumu E, fotostrāvas augums akāeniski samazinās, jo darbojas sātinājuma efekts. Tas nozīmē, ka augot agaismojumam fotorezistora jutība samazinās, res., samazinās tā statiskais ārvades koeficnts K. Projektējot fotoreleju ar fotorezistoru nevar Ħemt, ka K const. visā arametru maiħas agabalā. Jāvēlas robežots rīces darba agabals, kurā fotorezistora statisko raksturlīkni I f f(e) var linearēt, res., astāt nelineāro raksturlīkni ar lineāru (.4. att.)..4. att. Nelineāras statiskās raksturlīknes grafoanalītiska linearācija Lai gūtu rīces statiskos raksturojumus robežotam darba agabalam, linearē tās statisko raksturlīkni šī agabala robežās. Ja statiskā raksturlīkne uzħemta ekserimentāli, manto grafoanalītisko metodi. Ja statiskā raksturlīkne uzdota matemātiskas teiksmes veidā, tad manto analītisko metodi, virzot nelineāru funkciju Teilora rindā. 39

41 Visirms askatīsim grafoanalītisko metodi (.4. att.). Linearēsim neārtraukto nelineāro statisko raksturlīkni f( ) unkta akārtnē. Šai nolūkā caur unktu velkam skari un astājam reālo (nelineāro) raksturlīkni ar idealētu (lineāru) raksturlīkni. Redzam, ka attālinots no unkta, idealētā raksturlīkne arvn vairāk attālinās no reālās raksturlīknes un linearācijas kĝūda allinās. Tas nozīmē, ka nelineāro raksturlīkni var astāt ar lineāru raksturlīkni robežotā agabalā, kura centra koordinātas azīmējam ar o un o. Linearācijas relatīvā kĝūda uz agabala robežām sakāma sekojoši: γ ( r - i )/ r 00%, (.3) kur i ejas arametra idealētā vērtība uz agabala robežas; r - ejas arametra reālā vērtība uz agabala robežas. Atbilstoši inženrraksē Ħemtām rasībām vēlas γ ± 5%. Izmantojot linearēto raksturlīkni, noteiksim rīces statisko ārvades koeficntu agabalā a unktu. Šai nolūkā atlkam uz skares divus brīvi vēlētus unktus un 3. Novelkam šo unktu rojekcijas uz abscisas un ordinātas asīm, un nosakām ejas un ejas llumu augumus un. Tad statisko sakarību star mainīgo llumu augumm var teikt sekojoši: K, (.4) kur K / ~ tgα rīces statiskais ārvades koeficnts zīmētajā agabalā ir tši roorcionāls skares nolces leħėa ret abscisas asi tangensam. Ārus zīmētā agabala koeficnta K llumu nākss mainīt: irms agabala allināt, a agabala samazināt, jo būtiski mainīss skares nolces leħėis ret abscisas asi..3. Nelineāru statisko raksturlīkħu analītiskā linearācija Askatīsim nelineāras statiskās raksturlīknes (.4. att.) analītisko linearāciju. PĦemsim, ka tā uzdota ar analītisku funkciju, kas amrina Dirihlē nosacījumus. Tad var ltot mazo noviržu metodi, ēc kuras uzdoto analītisko funkciju virza Teilora rindā kāda unkta akārtnē, kurā dotais ejas llums mainās rīces darbības rocesā. Jo mazāks būs ejas un ejas llumu maiħas agabals, jo augstāka būs linearācijas recitāte. PĦemsim, ka rīce darbojas agabalā, kura centrs ir unktā ar koordinātām o un o, kas ir linearācijas sākuma nosacījumi. Izvirzot nelineāro funkciju f( ) Teilora rindā, gūst sekojošu teiksmi: n d + n d o d + d o ( o n! o ( ) n ;! o ) d + d 0 d + d o ( o! o + N, ) +... (.5) 40

42 kur N Teilora rindas nelineārais atlikums, kas nosaka linearācijas kĝūdu. Atmetot Teilora rindas nelineāro atlikumu gūst lineāru funkciju: d d + ;, o o d d (.6 ) o no kurnes atrod rīces statisko ārvades koeficntu K robežotā agabalā a unktu : d. (.7) K o d No teiksmēm (.4 un.7) redzams, ka grafoanalītiski un analītiski noteiktās statiskā ārvades koeficnta K vērtības raksturlīknes unktā sakrīt..4. Astatiskas rīces, to īašības un ātruma koeficnts Līdz šim askatījām rīces, kurām stacionārā režīmā ir noteikta nostabilējuss sakarība star ejas un ejas arametrm. Taču AVS struktūrā tk mantotas arī tādas rīces, kurām nav statisko raksturlīkħu un statiskas sakarības star ejas un ejas llumm. Šādas rīces sauc ar astatiskām (integrējošām) rīcēm, kurām konstanta ejas signāla ejas signāls stacionārā stāvoklī aug ar nemainīgu ātrumu vai aātrinājumu. Astatiskām rīcēm (elektriskajm vai hidrauliskajm ildmehānismm, integratorm u.c.) nav statisko raksturlīkħu, kas attēlo funkciju f( ). To raksturošanai manto sakarību v f( ), kur v ejas lluma maiħas ātrums kā funkcija no ejas lluma. Tātad astatiskām rīcēm ir statiska sakarība star ejas lluma maiħas ātrumu un ejas llumu, nevis star ašm ejas un ejas llumm. Kā tiiskas astatiskas rīces mēru askatīsim elektrisku ildmehānismu, kurš sastāv no līdzstrāvas elektrodzinēja, zobratu reduktora ārvada, ejas vārstas rotācijas ātruma samazināšanai, un droseĝvārsta šėidruma vai gāzes lūsmas regulēšanai cauruĝvadā (.5. att.). Izildmehānisma ejas llums ir līdzstrāvas elektrodzinēja enkura srgums U (V), bet ejas llums lūsmas regulēšanas vārsta agrzna leħėis φ(rad). Stacionārā režīmā ildmehānisma darbību araksta sekojošs vnādojums: ω k ω U, (.5) kur ω φ/t ildmehānisma ejas vārstas rotācijas ātrums, rad/s; k ω ω /U - ildmehānisma darbības ātruma koeficnts (rad/s)/v; t tekošais laiks, s. No teiksmes (.5) gūstam sakarību star ildmehānisma ejas llumu U un ejas llumu φ: φ k ω t U. (.6) Tā kā dotajam ildmehānismam k ω const., tad nemainīga ejas srguma U ejas llums φ aug roorcionāli laikam t. Pallinot elektrodzinēja barošanas srgumu no U U uz U U roorcionāli allinās φ augšanas ātrums Uzskatāmi to arāda astatiskās raksturlīknes nolces leħėa augums no α uz α, jo ω k ω U ~ tg α, bet ω k ω U ~ tg α (.5. att.). 4

43 .5. att. Elektriska ildmehānisma astatiskā raksturlīkne φ f(t): U > U Astatiskas rīces kĝaušana AVS struktūrā aaugstina tās darbības recitāti, jo samazina vai ilnīgi likvidē statisko kĝūdu, taču vnlaicīgi samazina sistēmas stabilitāti, res., allina tās svārstīgumu..5. Statisko raksturlīkħu ekserimentāla uzħemšana Lai nodrošinātu necšamo AVS darbības kvalitāti un vēlētos atbilstošas vadības un ildes kārtas, necšams zināt vadības objekta statiskos un dinamiskos raksturojumus. Tos var noteikt analītiski, sastādot statikas vai dinamikas vnādojumus, vai ekserimentāli uzħemot statiskās vai dinamiskās raksturlīknes. P kam ekserimentāli gūtās raksturlīknes vnmēr ir ticamākas. Vadības objekta ekserimentālās ētīšanas metodes vēle atkarīga no: ekserimenta ildes astākĝm; ētāmā lluma maiħas robežām; tehnoloăiskajām rasībām un erturbāciju rakstura. Necšamos ekserimentālos datus var gūt asīvā vai aktīvā ekserimenta veidā. Pasīvā ekserimenta metode amatojas uz kontrolējamo arametru reăistrāciju vadības objekta normālas darbības režīmā. Aktīvā ekserimenta metode amatojas uz seciālu mākslīgu darbju likšanu ēc rkš lānotas rogrammas. Taču daudzm objektm šādu mākslīgu darbju likšana nav Ĝaujama, jo var jaukt tehnoloăiskā rocesa areu norisi. Pmēram, ētīt darbībā esoša tvaika katla reakciju uz mākslīgi organētu tvaika atēriħa maiħu, jo tas var traucēt tvaika atērētāju normālu darbību. Tāēc zināmas rkšrocības ir asīvajam ekserimentam. Pirms ekserimenta sākšanas ēta vadības objekta uzbūvi un tā darbības tehnoloăiskos režīmus, kam noskaidro, kādas galvenās regulējošās un ārējās darbes liktas objektam, kā arī kādi arametri jākontrolē objekta ejā. Pamatojots uz šīm rkš savāktajām ziħām, sastāda objekta struktūrshēmu, kurā arāda galvenos ejas un ejas llumus. 4

44 UzĦemot vadības objekta statiskās raksturlīknes ar aktīvā ekserimenta metodi, ēc noteiktm laika srīžm t dod augumu vnam no ejas llumm, uzturot ārējos ejas llumus konstantus. Novērojumu laiku vēlas ēc nosacījuma t t, kur t ārejas rocesa laiks (mainīgā ejas lluma nostabilēšanās laiks). Ieejas llumu akāeniski maina no minimālās līdz maksimālajai vērtībai, reăistrējot ejas lluma maiħu katrā laika intervālā t. Pēc tam līdzīgu ekserimentu sēriju veic mainot citu ejas llumu. Kad ētītas visu ejas llumu darbes uz vism ejas llumm, noskaidro erturbāciju P i saidu uz objektu, konstantm ejas llumm const. Vnkāršm objektm arasti ir vns ejas llums, vns ejas llums un vna galvenā erturbācija. Pārējās mazsvarīgākās erturbācijas neħem vērā. Parea galveno darbju vēle rasa zināmu redzi un inženra intuīciju. Mazsvarīgāko darbju atmešana vērojami samazina ekserimentālā darba ajomu. Pasīvā ekserimenta gaitā tk reăistrēts lls daudzums informācijas. Iegūtos datus ēc tam astrādā ar korelācijas un regresijas analīzes metodēm. Gala rezultātā gūst vadības objekta vidējās statiskās raksturlīknes..6. Statisko vnādojumu sastādīšanas un analīzes mēri.6.. Termistora statisko raksturojumu arēėins un modelēšana Termistori ir usvadītāju termorezistori ar augstu jutību ret temeratūru, kas reižu ārsndz metāla termorezistoru (vara, latīna) ar vnādu sākuma retestību (0 o C temeratūrā) jutību. Termistoru īašības skaidrojamas ar usvadītāju struktūru. Normālos astākĝos usvadītājos ir mazs brīvo lādiħnesēju (elektronu) daudzums. Paugot temeratūrai, to skaits strauji allinās, kas sauc elektriskās retestības samazināšanos. Termistorus gatavo no vara-mangāna, kobalta-mangāna, vara-kobalta-mangāna vai niėeĝa-kobalta-mangāna oksīdu usvadītājm. Statisko sakarību star termistora retestību R θ un temeratūru θ saka eksonenciāla sakarība: B / T (.7) R θ A e, kur A un B skaitliski koeficnti, kas raksturo termistora materiāla jutību un tā konstruktīvo veidojumu; T - temeratūra, teikta Kelvina grādos ( T θ + 73 ), o K; Θ temeratūra, teikta Celsija grādos, o C. Termistora statiskā raksturlīkne R θ f(θ) (.6. att.) ir neārtraukta nelineāra līkne, ko araksta eksonenciāla funkcija (.7). Ja ekserimentāli uzħemti termistora statiskās raksturlīknes divi unkti R θ temeratūrā θ un R θ temeratūrā θ, tad ārējos unktus var arēėināt, mantojot teiksmi (.7). Visirms arēėina koeficntu B. Šai nolūkā uzraksta termistora retestību teiksmes temeratūrām θ un θ : R kur T (θ + 73), o K; T (θ + 73), o K. un B / T B / T θ Rθ A e, A e (.8) 43

45 Dalām irmo teiksmi ar otro teiksmi un logaritmējam gūtā vnādojuma abas uses. Pēc tam, darot attcīgus matemātiskus ārveidojumus, gūstam teiksmi koeficnta B arēėināšanai: B [ T T ( T T )] ln( R T / R ). (.9) / T Koeficnta B mērvnība ir Kelvina grāds, o K. Koeficnts A vnāds ar dotā termistora retestību ja θ un raksturo materiāla elektriskās īašības. Koeficntu A var arēėināt no teiksmēm (.8): B / T B / T A R θ e vai A R e, (.0) Koeficntam A ir elektriskās retestības mērvnība, Ω. Atvasinot teiksmi (.7) ēc temeratūras, gūstam termistora statisko ārvades koeficntu, kas raksturo tā jutību dažādās temeratūrās: B/ T drθ d( A e ) B K R, θ α Rθ (.) dt dt T kur α -B/T termistora retestības temeratūras koeficnts,/ o K. Mīnusa zīme teiksmē (.) norāda, ka aaugstinots temeratūrai termistora retestība samazinās. Redzam, ka koeficnts K nav konstants llums, bet mainās atkarībā no temeratūras. Paaugstinots temeratūrai, termistora jutība būtiski samazinās. No automātiskās vadības vdokĝa svarīgāk termistora kā mērīšanas ārveidotāja raksturllumi ir statiskais ārvades koeficnts K un laika konstante T. Laika konstanti var noteikt ekserimentāli vai arēėināt analītiski. Šo jautājumu sīkāk alūkosim, analējot mērīšanas ārveidotāju dinamiskās īašības. ĥemot vērā termistora raksturlīkħu nelinearitāti, koeficntu K jāarēėina noteiktam darba unktam. To veic ēc rkš gūtās analītiskās teiksmes vai arī grafoanalītiski, velkot skari darba unktā ret raksturlīkni R θ f(θ) (.6. att.). Noteiksim termistora statisko jutību unktos un. Šai nolūkā caur vēlētajm unktm velk skares, uz kurām atlk divus brīvi vēlētus unktus a, b un c, d. Atrod šo unktu rojekcijas uz abscisas θ un ordinātas R θ asīm un nosaka atbilstošās temeratūru un retestību maiħas. Pēc tam arēėina termistora statiskos ārvades koeficntus K un K robežotm statiskās raksturlīknes agabalm a unktm un : K R θ / θ ; K R θ / θ. Redzam, ka K < K. Tātad augot temeratūrai termistora jutība būtiski samazinās. Termistora statisko raksturlīkni var linearēt vērojami lašākā temeratūru intervālā, veidojot linearācijas ėēdes no aktīvo rezistoru virknes un aralēlā slēguma vai oeracionālā astirinātāja shēmas. Pmērs. Noteikt termistora CT3-4 galvenos raksturllumus, ja R θ, k Ω T θ o C o K un R θ 70 Ω T θ o C o K. Atrisinājums. 373 B ln 00 /70 366, θ 93 o 3498 / 93 K. A 00 e 0,04 Ω. Statisk ārvades koeficnti: K -3498/ ,6 Ω / o K (unktā ); K / ,3 Ω / o K (unktā ). 44

46 Koeficntu skaitliskās vērtības nemainās, nomainot Kelvina skalu ar Celsija skalu, jo temeratūras grāda vērtība abās skalās ir vnāda..6. att. Termistora statiskās raksturlīknes R θ f(θ) linearācija unktos un Redzam, ka aaugstinots temeratūrai no 0 o C līdz 00 o C, termistora CT3-4 jutība samazinās vairāk nekā 0 rees. Plašu termistoru ltošanu recīzos temeratūras mērījumos robežo to raksturlīkħu llā klde un nestabilitāte. Standarti Ĝauj termistoru nominālās retestības kldi ar ±0%. Izturot termistorus ilgstoši maksimāli Ĝaujamās temeratūras, to retestība var mainīts ar ±3%. Atrodots glabāšanā 8 mēnešus, termistora retestības maiħa neārsndz ±(...3)%, bet 0 gadu laikā tā jau sasndz ±30%. Prakse arāda, ka normālos eksluatācijas astākĝos irmo...3 tūkst. stundu laikā termistoru retestība mainās ar 3...5%. Taču nākošajās 0 tūkst. stundās tā mainās tikai ar dažām rocenta desmitdaĝām. Tas lcina, ka necšama termistoru trenēšana (mākslīga arametru stabilēšana) zem slodzes. RaksturlīkĦu llās kldes un nelinearitātes dēĝ termistoru mērīšanas ārveidotāji nav savstarēji amaināmi. Tas nozīmē, ka necšams individuāls termistoru ārveidotājs katram temeratūras kontroles aarātam. Ja mērīšanas ārveidotājs t no rindas, to nevar tši astāt ar tās ašas markas un nomināla termistoru. Rezerves elements seciāli jāmeklē vai tā raksturlīkne mākslīgi jākoriăē. Askatīsim termistora linearētās statiskās raksturlīknes modelēšanu nellā temeratūras θ maiħas agabalā a unktu ar koordinātēm θ un R θ. Šim nolūkam var mantot Matlab aakšrogramma Simulink. Tā ir uz blokshēmām balstīta datorrogramma, kas dod sēju modelēt tehnisku rīču un inženrsistēmu statiskos un dinamiskos režīmus. PĦemsim, ka termistors ir būvēts elektroasildāmās grīdas anelī tā temeratūras kontrolei, kas mainās robežās θ θ ± θ / ar maksimālo maiħas diaazonu θ, kam atbilst retestības maiħa ārvades koeficnts K R θ Rθ / θ, Ω. Termistora retestība unktā ir R o / C. (.6. att.). θ, bet statiskais 45

47 Reālā kārtā oerē nevis ar mainīgo llumu augumm, bet ar to absolūtajām vērtībām. TādēĜ modelēšanas shēmu veido tā, lai gūtu sakarību star kontrolējamās vides temeratūru un termistora elektrisko retestību R θ f ( θ ) (.7. att.). Šai nolūkā modelēšanas blokshēmas ejā uzstāda lineāri augoša signāla ăeneratoru, kurš ăenerē dažādas temeratūras skaitliskās vērtības uzdotajā maiħas agabalā θ θ 0 + v θ t, kur v θ - vēlētais temeratūras maiħas ātrums, o C/s, bet temeratūras maiħas agabals: θ θ θ θ θ θ + θ / min ( ) ( ). / max.7. att. Termistora linearētās raksturlīknes R θ f(θ) modelēšanas blokshēma Modelēšanas shēmas ejā vnots divkoordinātu loteris ar divām ejām. Uz vnu no tām adod neatkarīgo mainīgo ejas llumu temeratūru θ, bet uz otru atkarīgo mainīgo ejas llumu elektrisko retestību R θ. Ploteris formē statisko R f. Modelēšanas shēmā kĝauti divi summatori un termistors, raksturlīkni θ ( θ ) θmin θ θ max kura statiskās īašības araksta koeficnts K. Tā kā augot temeratūrai termistora elektriskā retestība samazinās, tad koeficnta K skaitliskā vērtība jāvada ar mīnusa zīmi, mēram, K -35 Ω / o C. Modelēšanas shēmā notk sekojoši ārveidojumi: ( θ θ ) θ θ K Rθ ( Rθ + Rθ ) Rθ. (.) Simulētā linearētā termistora statiskā raksturlīkne f ( θ ) θ R robežotā θ maiħas agabalā vualējas koordinātu un Y sistēmā, kur θ, Υ Rθ. Modelēšanas blokshēmas (.7. att.) sastādīšanai no Simulink standarta bloku bibliotēkas vēlas sekojošus blokus: lineāra signāla ăeneratoru Ram ; summatoru Sum ; konstanta signāla ăeneratoru Constant ; divkoordinātu loteri Y Grah. Termistora elektriskās retestības maiħas Rθ modelēšanai teicams vēlēts slīdħa astirinātāju Slider Gain, jo tam ērti mainīt koeficnta K skaitlisko vērtību vēlētajās robežās K K, ārbīdot statīšanas slīdni. min K max Lai modelētu linearētu statisko raksturlīkni unktā, modelēšanas blokshēmā jāvada koordinātu θ un R θ skaitlisk llumi. Temeratūras recīza mērīšana, kontrole un automātiska regulēšana ir necšama daudzos tehnoloăiskos rocesos. Kā tiiskus mērus var minēt: ēku asildes, ventilācijas un gaisa kondicionēšanas sistēmas; roduktu un materiālu hidrotermiskās astrādes un žāvēšanas rocesi; 46

48 tvaika katli, tvaika ăeneratori un ūdens asildes katli; metālu un citu materiālu kausēšanas krāsnis; siltuma enerăijas atēriħa uzskaites kārtas. Modern temeratūras mērīšanas ārveidotāji sastāv no temeratūras jutīga elementa sensora un elektroniska ārveidotāja, kurš sensora signālu ārveido unificētā signālā (0 0 ma, 4 0 ma vai 0 0 V). Tas dod sēju dažāda tia mērīšanas ārveidotājus savtot ar vadības kontrollerm. Dažu, raksē laši dāvātu, temeratūras mērīšanas ārveidotāju tehnisk dati doti.. tabulā... tabula Temeratūras mērīšanas ārveidotāju tehnisk dati Nosaukums Termoāri Platīna termorezistori Azīmējums Platīns - latīnrodijs Hromels - koels Pt00(R 0 o C 00Ω) Pt500(R 0 o C 500Ω) Pt000(R 0 o C 000Ω) Mērāmo temeratūru diaazons, o C Jutība 6,4µV/ o C 69 µv/ o C 0,4 Ω/ o C Ω/ o C 3,85 Ω/ o C Temeratūras mērīšanas kĝūda ±(0,3 o C+ +0,7% θ ) ±(0,3 o C+ +0,5% θ ) Pusvadītāju termistors NTC-0K (R 5 o C 0KΩ) ,8-,0 KΩ/ o C ±(0,3 o C+ +% θ ).6.. Elektriska sildelementa statisko raksturojumu modelēšana Elektriskos sildelementus raksē lto samērā laši, sākot ar sadzīves tehniku un beidzot ar elektriskajm akures katlm. Tradicionāli elektrisks sildelements sastāv no augstomīgas nihroma stles, kas vtota nekorodējoša metāla (tērauda, misiħa) korusā ar resēta keramiska ulvera olācijas slāni (.8. att.). Elektriskos sildelementus vēlas ēc necšamās elektriskās jaudas P, Ħemot, ka barošanas srgums U U nom, kas arasti ir 0 V. Ja asildes kārtā (elektriskais kalorifers, elektriskais asildes katls) manto neregulējamus sildelementus (U const.), tad šādu elementu statiskās īašības ēta, nosakot sakarību star vadīto elektrisko jaudu P(W) un sildelementa virsmas nostabilējošos virstemeratūru τ ( o C), kuru var teikt sekojoši: τ θ θ, (.3) s v kur θ s - sildelementa reālā nostabilējuss virsmas temeratūra, o C; θ v - akārtējās vides temeratūra, o C. Stacionārā līdzsvara stāvoklī visa elektriskā jauda ārvēršas siltuma lūsmā, kuru savukārt var arēėināt zinot sildelementa siltuma atdeves un ăeometriskos arametrus. Tas dod sēju noteikt statisko sakarību star virstemeratūru un elektrisko jaudu: P K P, v v P Q ; Q α S τ ; kur Q v videi atdotā siltuma lūsma, W; α siltuma atdeves koeficnts, W/(m o C); α S τ (.4) 47

49 S sildelementa virsmas laukums, m ; K /(α. S) sildelementa statiskais ārvades koeficnts ēc jaudas, o C/W. Izteiksme (.4) arāda, ka sildelementa stacionārā virstemeratūra ir tši roorcionāla vadītajai elektriskajai jaudai. TādēĜ statiskā raksturlīkne τ f (P) ir lineāra visā jaudas maiħas agabalā (.8. att.), bet statiskais ārvades koeficnts K ir konstants llums..8. att. Statiskā sakarība star elektriska sildelementa virsmas virstemeratūru τ un vadīto elektrisko jaudu P Pmērs. Sildelementam vadītā jauda P 500 W. Tā virsmas laukums S 0,04 m. Siltuma atdeves koeficnts gaisa vidē ar cirkulācijas ātrumu 0, m/s ir α 5 W/(m oc). Arēėināsim statisko ārvades koeficntu K un nostabilējušos virstemeratūru τ. Atrisinājums: K /(α S) /(0,04. 5) o C/W; τ K P o C/W. 500W 500 o C. Jāzīmē, ka reālā statiskā raksturlīkne nebūs ideāli lineāra, jo augstām temeratūrām allināss sildelementa elektriskā retestība, kā rezultātā samazināss elektriskā jauda un raksturlīkne nolkss abscisas ass virznā. Kā zināms no elektrotehnikas, elektriskā jauda sakās sekojoši: U P, (.5) R kur U sildelementa barošanas srgums, V; R sildelementa nominālā retestība aukstam stāvoklim, Ω. Nihroma stlei uzkarstot, tās elektriskā retestība allinās: kur R θ R ( + α τ ), (.6) n n α n - nihroma retestības temeratūras koeficnts, / o C; τ >τ n - nihroma stles virstemeratūra, kas augstāka ar sildelementa virsmas virstemeratūru τ, o C. 48

50 Pallinots elektriskajai retestībai, sildelementa elektriskā jauda samazinās ( nosacījuma U const): P θ P + α τ, (.7) kur Pθ - koriăētā jauda ēc temeratūras, W. Lai gan nihromam α n ir vairākkārt mazāks salīdzinājumā ar varu vai latīnu, tomēr llām τ n vērtībām jaudas maiħa var ārsngt 0%, kas jāħem vērā nosakot sildelementa reālo statisko raksturlīkni: τ r n n K P, (.8) + α τ n n kur τ r - reālā virstemeratūra, kas mazāka ar arēėināto. Ievedot teiksmē (.8) korekciju τ n a τ r, kur a> un darot matemātiskus ārveidojumus, gūstam kvadrātvnādojumu: K P τ r + τ r 0, (.9) a α a α kura atrisinājums araksta sildelementa reālo statisko raksturlīkni: n n τ ( + 4 a K ) a P r α n. (.0) α n Sakarība τ r f (P) atšėirībā no τ f (P ) ir nelineāra funkcija, kas araksta reālo sildelementa virstemeratūru atkarībā no elektriskās jaudas PU /R (W) un statiskā vades koeficnta K /(α. S), o C/W. Augstas recitātes arēėinos jāħem vērā arī tas, ka siltuma atdeves koeficnts α allinās aaugstinots temeratūrai, jo aug vides siltumvadāmība un konvekcija. Pmērs. No (.0), arēėināsim reālo sildelementa virstemeratūru, ja a,; α n 0, / o C; K o C/W; P 500 W. Atrisinājums τ r ( + 4, 0, ) 36 (,88 ) 36 0,37 40, 0,4 Tātad, Ħemot vērā temeratūras saidu, sildelementa reālā virstemeratūra salīdzinājumā ar ideālo τ 500 o C ir ar atuveni 6 % zemāka. Neregulējamās sildrīcēs elektrisk sildelementi tk automātiski slēgti un slēgti divozīciju režīmā (U const., P const.). Regulējamās kārtās siltuma lūsma uz asildes objektu tk vadīta un regulēta neārtraukti atkarībā no objekta temeratūras, mantojot srguma regulatorus (U var, P var). Šādā gadījumā sildelementa ejas llums ir mainīgais elektriskais srgums U, atkarībā no kura mainās sildelementa ejas llums - virstemeratūra τ. Ideālā gadījumā, neħemot vērā sildelementa retestības maiħu no temeratūras, gūstam sekojošu statisko vnādojumu: o C. 49

51 τ U k U, α S R (.) kur k /(α. S. R) konstants koeficnts, o C/V. Redzam, ka sakarība star virstemeratūru un srgumu ir nelineāra, jo to araksta araboliska funkcija (.9. att.). Tā kā tā ir neārtraukta, tad to var linearēt robežotā darba agabalā. Izvirzot nelineāro funkciju τ f(u) Teilora rindā un atmetot augstākās kārtas nelineāro atlikumu, gūstam teiksmi, kas araksta linearēto statisko raksturlīkni vēlētā unkta a akārtnē: dτ kur d( k U )/ dt ku kur K a 0 ( U U o ) τ o + K a ( U U o ), τ τ o + (.) dt u uo sildelementa statiskais ārvades koeficnts, o C/V. Koeficntu K a var arēėināt arī grafoanalītiski no raksturlīknes τ f ( U ) K a τ U τ U U un τ - ejas un ejas llumu augumi. τ, U (.9. att.): (.3).9. att. Statiskā sakarība star elektriska sildelementa virsmas virstemeratūru τ un vadīto elektrisko srgumu U τ uzħemtu ekserimentāli, manto autotransformatoru T, ar kuru eriodiski ārstata srgumu U. Šī erioda laikam t jābūt llākam ar sildelementa EK virstemeratūras τ nostabilēšanās laiku t nost. Nevērojot šo nosacījumu, gūtā raksturlīkne nebūs korekta. Askatīsim nelineārās statiskās raksturlīknes τ f (U ) modelēšanu, mantojot Matlab aakšrogrammu Simulink. Uzrakstīsim teiksmi (.) sekojošā formā: Lai raksturlīkni f ( U ) 50

52 τ U U K ( U ) U, α S R (.4) kur K(U) U/(α. S. R) ārvades koeficnts, kas mainās roorcionāli srgumam, o C/V. Šādā gadījumā sildelementa dinamisko silšanas rocesu araksta nelineārs diferenciālvnādojums, kura atrisināšana, mantojot tradicionālas matemātiskās metodes, ir roblemātiska. Izmantojot Matlab Simulink modelēšanas tehnoloăiju, sējams arēėināt mainīgo ārvades koeficntu K(U) jebkurā laika momentā, kā arī atrisināt nelineāro diferenciālvnādojumu, kas araksta sildelementa silšanas dinamisko rocesu visā srguma U maiħas agabalā. Pašlaik askatīsim tikai nelineārās statiskās raksturlīknes modelēšanas blokshēmu (.0. att.). Tās ejā uzstāda lineāra signāla ăeneratoru Ram mainīga srguma gūšanai robežās 0 U U nom. Šis srgums tk adots uz ārvades koeficnta K(U) formēšanas bloku. Ja koeficnta k skaitliskais llums rkš arēėināts un tas var mainīts robežās k min a k max, tad uzstāda bloku Slider Gain. Ja k jāarēėina atkarībā no mainīgm llumm α, S vai R, tad šo bloku kombinē no vairākām Matlab funkcijām Matlab Functions. Nākamais ir reināšanas bloks Product, kas sareina K(U) ar U un arēėina τ. Vides temeratūru θ v uzdod ar konstanta signāla ăeneratoru Constant, bet virsmas temeratūras noteikšanai manto summatoru Sum. Izejā uzstādīts divkanālu loteris Y θ f U. Grah, kas formē statisko raksturlīkni ( ) s.0. att. Elektriska sildelementa statiskās raksturlīknes τ f(u) modelēšanas blokshēma Modelēšanas blokshēmā notk sekojoši ārveidojumi: U k K U Iegūtā raksturlīkne θ f ( U ) θ s ( ) K( U) U τ + θ θ ; } θ f ( U) τ. (.5) v s s U s ir idealēta, jo neħem vērā temeratūras saidu uz sildelementa elektrisko retestību R. Lai gūtu recētu raksturlīkni, jāmanto teiksme (.0), kurā vto U / R. θ τ + θ f U. P Tad ( ) sr r v.7. AVS statisko raksturojumu analīze Automātiskās vadības sistēmu struktūru veido komonentes, kas savnotas noteiktos slēgumos. Komonentu statiskās īašības un slēguma veids llā mērā nosaka AVS jutību un 5

53 darbības recitāti. Pēc komonentu statiskajm raksturojumm var noteikt visas sistēmas statiskās īašības, mēram, statisko kĝūdu ar kādu tk statīts stabilējamais llums vadības objekta ejā. TādēĜ svarīgi noskaidrot atsevišėo komonentu statisko raksturojumu un slēguma veidu saidu uz AVS darbību koumā..7.. AVS komonentu raksturīg slēgumi un to īašības Izlatītāk ir AVS komonentu virknes, aralēlais un atgrzeniskās saites slēgumi. Virknes slēgumā katras rkšējās AVS komonentes ejas llums ir katras nākošās komonentes ejas llums. Rezultējošo statisko raksturlīkni f( ) var arēėināt analītiski vai grafoanalītiski. Grafoanalītiskās metodes lto tad, ja elementu statiskās raksturlīknes ir nelineāras. Turmāk askatīsim analītisko metodi, Ħemot, ka visu komonentu statiskās raksturlīknes ir lineāras. Tad visam virknes slēgumam var uzrakstīt sekojošus statiskos vnādojumus: K ; K ;...; K n n-, (.6) kur n virknē slēgto komonentu skaits; K, K,... K n komonentu statisk ārvades koeficnti (.. att.). Izslēdzot starllumus (,,..., n- ), gūstam sakarību star virknes slēguma ejas un ejas llumm, t.i., atrodam virknes slēguma statisko vnādojumu: (K K... K n ) K v, (.7) kur K v K K... K n AVS ar virknē slēgtām komonentēm koējais statiskais ārvades koeficnts. Tātad virknes slēguma statiskais ārvades koeficnts K v vnāds ar atsevišėo komonentu statisko ārvades koeficntu reinājumu... att. Automātiskās vadības sistēmas komonentu virknes slēgums Paralēlajā slēgumā visu AVS komonentu ejās tk adots vns un tas ats signāls, bet ejas signāli summējas ( n ). Tad komonentu aralēlajam slēgumam varam uzrakstīt sekojošus statikas vnādojumus: K ; K ;...; n K n, (.8) kurus summējot, gūstam sistēmas koējo statisko vnādojumu: (K + K K n ) K, (.9) kur K K + K K n AVS ar aralēli slēgtām komonentēm statiskais ārvades koeficnts. Tātad aralēlā slēguma statiskais ārvades koeficnts K vnāds ar atsevišėo komonentu ārvades koeficntu summu. 5

54 .. att. Automātiskās vadības sistēmas komonentu aralēlais slēgums AVS ar komonentu virknes, aralēlo vai jaukto slēgumu sauc ar vaĝējām sistēmām. Tās arasti darbojas ēc rkš askatītajm rogrammētās vadības un erturbāciju komensācijas rincim (rūncības robotu, darbgaldu, laistīšanas un siltuma akumulācijas kārtu rogrammētas vadības sistēmas). Dažādu tehnoloăisko arametru (temeratūras, līmeħa, sdna) automātiskai regulēšanai manto slēgtas sistēmas ar atgrzenisko saiti. Slēgtai sistēmai sakarību star ejas llumu un ejas llumu nosaka Ħemot vērā atgrzeniskās saites signālu as. Askatīsim slēgtu sistēmu, kas sastāv no automātiskās vadības kārtas ar statisko ārvades koeficntu K v, ildkārtas ar statisko ārvades koeficntu K i, vadības objekta ar statisko ārvades koeficntu K obj, un atgrzeniskās saites ar statisko ārvades koeficntu K as (.3. att.). Askatīsim divus gadījumus: ar ozitīvu atgrzenisko saiti, kad kĝūdas signāls + as ; ar negatīvu atgrzenisko saiti, kad - as. Pozitīva atgrzeniska saite aaugstina sistēmas jutību un svārstīgumu, tātad adara to nestabilu. Negatīva atgrzeniska saite samazina sistēmas jutību, tots aaugstina stabilitāti, jo samazina svārstīgumu. Pozitīvu atgrzenisko saiti manto nestabilās sistēmās svārstību ăeneratoros. Ar negatīvu atgrzenisko saiti darbojas automātiskās stabilācijas sistēmas. Automātiskās stabilācijas sistēmās kĝūdas, jeb novirzes signāls tk vnmēr formēts kā sistēmas ejas signāla un atgrzeniskās saites signāla as starība. Tātad tās darbojas ar negatīvu galveno atgrzenisko saiti. Pozitīvo saiti reēm manto tikai kā negalveno vtējo atgrzenisko saiti, ar kuru atver kādu no sistēmas komonentēm, ja necšams aaugstināt tās jutību. Turmāk askatīsim tikai sistēmas ar negatīvu atgrzenisko saiti. Visām sistēmas komonentēm var uzrakstīt sekojošus statikas vnādojumus: - as ; v K v ; r K i v; K obj i ; as K as, (.30) kur i r darbe uz vadības objektu, kas veidojas kā ildkārtas regulējošās darbes r un erturbācijas saida starība. PĦemam, ka 0 ( r i ). Tad, slēdzot no gūtajm vnādojumm starllumus, as, v un r, gūstam slēgtas sistēmas statisko vnādojumu: 53

55 K v K i K obj K K s, (.3) + K K K K + K K as v i kur K K v K r K obj vaĝējas sistēmas statiskais ārvades koeficnts; K s K/(I + K as K) slēgtas sistēmas ārvades koeficnts. obj as.3. att. Statiska automātiskās vadības sistēma ar atgrzenisko saiti Vnādojums (.3) araksta statisko sakarību star sistēmas ejas un ejas llumm, ja uz vadības objektu nedarbojas mainīgas erturbācijas. Redzam, ka negatīva atgrzeniskā saite samazina slēgtas sistēmas ārvades koeficntu, tātad samazina tās jutību ret ārējām darbēm..7.. AVS statisma koeficnts un statiskā kĝūda Novērtēsim statiskas sistēmas (.3. att.) ejas lluma stabilācijas statisko kĝūdu stacionārā režīmā. PĦemsim, ka vadības objekta ejas lluma uzdotā vērtība ir o, bet reālā vērtība nosacījuma, ka erturbējošā darbe vadības objekta ejā 0. Noteiksim sistēmas ejas signāla novirzes radīto absolūto kĝūdu vadības objekta ejā: o -, (.3) kur o /K as nosacījuma, ka 0, bet K/( + K as K). Veicot matemātiskus ārveidojumus, gūstam teiksmi absolūtās statiskās kĝūdas arēėināšanai: K ( K as as ( + K + as K K as K ) ) K Nosakām relatīvo statisko kĝūdu no ejas signāla: ( + K as K ) S 00 %, + K K o. (.33) ε (.34) o as 54

56 kur S /( + K as K) sistēmas statisma koeficnts. No teiksmes (.34) redzam, ka ejas signāla radītā relatīvā kĝūda ir jo llāka, jo llāks sistēmas statisma koeficnts S, kura llumu nosaka sistēmas komonentu ārvades koeficnti. Sistēmai ar negatīvu atgrzenisko saiti statisma koeficntu S un relatīvo statisko kĝūdu ε var samazināt, allinot sistēmas komonentu ārvades koeficntus. Pmērs. Noteiksim sistēmas relatīvo statisko kĝūdu ε dažādām koeficntu K as un K vērtībām: K as 0,5, K 0; K as 0,5, K 0; K as3, K 3 0. Atrisinājums. ε /(+0,5. 0). 00% 7%, ε /(+0,5. 0). 00% 9%, ε 3 /(+. 0). 00% 4,8 %. Ja (K as. K)», tad relatīvā statiskā kĝūda ε ir agrzti roorcionāla visu sistēmas komonentu ārvades koeficntu reinājumam. Uz reālm vadības objektm darbojas mainīgas erturbācijas, kas sistēmās ar roorcionālajm (statiskajm) regulatorm rada ejas lluma aildus statisko regulēšanas kĝūdu ēc erturbācijas. Lai novērtētu erturbācijas saidu uz ejas lluma stabilācijas kĝūdu, manto suerozīcijas rinciu, t.i., Ħem, ka 0. Tad, mantojot.3. attēla blokshēmu, sastāda statikas vnādojumus vism sistēmas blokm un, slēdzot starllumus, atrod sakarību, kas arāda erturbācijas saidu uz vadības objekta ejas llumu, ko azīmējam ar : K obj, (.35) + K K kur K K v. K i. K obj vaĝējas sistēmas ar ārtrauktu atgrzenisko saiti statiskais ārvades koeficnts. Regulēšanas relatīvā statiskā kĝūda no erturbācijas saida: as K obj ε S K obj 00 %, (.36) + K K o as Reālā sistēmā vnlaicīgi darbojas abi kĝūdu raisoš faktori, tādēĝ nosakām summāro absolūto statisko kĝūdu no ejas signāla un erturbācijas : K + + K obj as K + + o + K as K as K ( K ) o o + + K o obj Sistēmas summārā relatīvā statiskā kĝūda no ejas signāla un erturbācijas : ε ε + ε + K as K ( + ( + K K obj as K o K + + K obj as ) ( + K K obj o o ) ). ) S 00 %. (.37) (.38) 55

57 Pallinots erturbācijai, aug statiskā kĝūda. Jo jutīgāks vadības objekts (llāks K obj ), jo erturbācija vairāk saido tā ejas llumu. Redzam, ka visllākā statiskā kĝūda ir sistēmai bez atgrzeniskās saites (K as 0). Pallinot atgrzeniskās saites ārvades koeficntu, statiskā kĝūda samazinās. Automātiskās vadības sistēmas labumu statiskā režīmā novērtē ēc relatīvās statiskās kĝūdas. Jo mazāka relatīvā statiskā kĝūda, jo augstāka ir vadības objekta ejas lluma regulēšanas recitāte un līdz ar to sistēmai ir augstāks labums. Pmērs. Noteiksim ūdensagādes automātiskās vadības sistēmas ar roorcionālu (statisku) vadības kārtu summāro relatīvo statisko kĝūdu ar kādu tk regulēts sdns vadības objektā ūdensagādes maăistrālē, uz kuru darbojas ūdens atēriħš kā erturbācija vai slodze. Vadības kārtas statiskā sdna regulatora ārvades koeficnts K v 0. Izildkārta ir sūknis ar regulējamu trīsfāžu asinhronā elektrodzinēja dziħu, mantojot frekvenču ārveidotāju, kura ejas llums ir sdna regulatora ejas srgums - v U v (V), bet ejas llums ir mainīgais sūkħa ražīgums - r Q s (m 3 /min). PĦemsim, ka sūkħa nominālais ražīgums Q snom 0 m 3 /min un regulējamās ildkārtas ārvades koeficnts K i m 3 /(min V). Vadības objekts ir ūdensagādes maăistrāle ar ejas darbi i Q s Q, kur Q mainīgais ūdens atēriħš (m 3 /min) kā erturbācija, bet regulējamais ejas llums ir sdns, ko mēra bāros (bar). PĦemsim, ka necšamais sdns 0 4 bar un ārvades koeficnts K obj 0,5 bar/(m 3 /min). Atgrzeniskajā saitē slēgts sdna mērīšanas ārveidotājs ar ārvades koeficntu K as V/bar. Arēėināsim sdna regulēšanas relatīvo statisko kĝūdu dažādm ūdens atēriħm. Atrisinājums. Visirms arēėināsim sistēmas statisma koeficntu: S / ( + 0,5 0) 0,09. Statiskā relatīvā kĝūda, ja Q m 3 /min: ε ( + 0,5/4) 0,09 00% 0%. Statiskā relatīvā kĝūda, ja Q 4 m 3 /min: ε ( + 0,5 4/4) 0,09 00% 4%. Statiskā relatīvā kĝūda, ja Q 6 m 3 /min: ε ( + 0,5 6/4) 0,09 00% 6%. Arēėinu rezultāti arāda, ka augot atēriħam 3 rees, relatīvā statiskā kĝūda allinās,6 rees. Reālais sdns maăistrālē ir zemāks ar uzdoto llumu 0 : 0 ( ε/00). Statisko kĝūdu var vērojami samazināt vai ilnīgi likvidēt, astājot statisku vadības kārtu ar statiski astatisku (roorcionāli integrālu) vadības kārtu. Līdzīgu efektu gūst, ja statisku ildkārtu nomaina ar astatisku (integrālu) ildkārtu (.4. att.). Statiskas ildkārtas ejas llums mainās tši roorcionāli ejas llumam r K i v (.3. att.). Astatiskai ildkārtai ejas regulējošās darbes r maiħas ātrums ir tši roorcionāls ejas llumam: d dt r k ω. (.39) Ja v const., tad r k ω. t. v. Tātad astatiskas ildkārtas ārvades koeficnts K i k ω. t ir laika t funkcija. Noteiksim relatīvo statisko kĝūdu astatiskai sistēmai (.4. att.), vtojot teiksmē (.38) K i k ω. t un K K v. k ω. t. K obj : v 56

58 ε + ( + K + K as as K K v K obj v k ω k ω t t K obj K obj + o ) 00 %. (.40) Teorētiski stacionārs režīms stājas t. Tad ε t 0. Praktiski šis laiks ir daudz mazāks, jo augot laikam t relatīvā statiskā kĝūda ε strauji samazinās ēc hierbolas likuma. Tātad kĝaujot astatisku komonenti automātiskās vadības sistēmā, tās ejas arametra statiskā kĝūda regulēšanas rocesa beigās tk ilnīgi likvidēta. Šis agalvojums neildās gadījumā, ja astatisks ir ats vadības objekts, bet ārējā sistēmas daĝa ir statiska. Par to var ārlcināts analējot teiksmi (.40). Avtojam tajā (k. ω t) ar (K i const.), res., nomainām astatisku ildkārtu ar statisku, savukārt statisku vadības objektu (K obj const.) nomainām ar astatisku (K obj k 0 t)..4. att. Astatiska automātiskās vadības sistēma ar atgrzenisko saiti Augot laikam, relatīvās statiskās kĝūdas komonente, kuru rada sistēmas ejas signāls, strauji samazināss līdz nullei, taču tas nenotiks ar otru komonenti, kuru rada erturbācija, jo k o t ε 00 %. (.4) + K K K k t as v i Laikam t tcots uz bezgalību, alkošā minimālā statiskā kĝūda ēc erturbācijas ir llāka ar nulli: ε min 00 %. + K K K (.4) as v Izteiksme (.4) arāda, ka statiskā kĝūda saglabājas. Lai to ilnībā likvidētu, sistēmā jākĝauj vēl vna astatiska komonente, mēram, vadības kārtā vai ildkārtā, res., jāveido vadības sistēma ar otrās kārtas astatismu. Pmērs. Noteiksim rkšējā mērā askatītās ūdensagādes automātiskās vadības sistēmas ar roorcionālu (statisku) vadības kārtu summāro relatīvo statisko kĝūdu, nomainot statisku ildkārtu ar astatisku, t.i., frekvenču regulējamas sūkħa kārtas vtā mantojam neregulējamu sūkħa kārtu, bet ūdens lūsmas un sdna regulēšanai maăistrālē uzstādām elektrisku ildmehānismu ar droseĝvārstu (.5. att.). o i o o 57

59 Arēėinam mantojam datus no rkšējā mēra: K v 0; K obj 0.5 bar/(m 3 /min); K as V/bar; 0 4 bar; Q 6 m 3 /min; Q s 0 m 3 /min. PĦemsim, ka ūdens lūsmas maiħas ātruma koeficnts astatiskajai ildkārtai ir K ω 0,5 m 3 /(min V). Atrisinājums. Ievtojot teiksmē (.40) skaitliskos llumus, arēėinām astatiskas sistēmas relatīvo statisko kĝūdu laika intervālu t min, t 5min, t 3 0min beigās: ε t [/( ,5.. 0,5)+(0,5. 6/4)/( ,5.. 0,5)]. 00% 30%; ε t [/( , ,5)+(0,5. 6/4)/( , ,5)]. 00% 7%; ε t3 [/( , ,5)+(0,5. 6/4)/( , ,5)]. 00% 3,5%. Arēėinu rezultāti arāda statiskās kĝūdas samazināšanās dinamiku automātiskās vadības sistēmā ar astatisku ildkārtu. Jo llāks ir ildkārtas ātruma koeficnts k ω, jo ātrāk samazināss statiskā kĝūda..8. Dinamisk rocesi automātiskās vadības sistēmās AVS dinamisko analīzi veic, ētot to turēšanos, ja tk jaukts stacionārais līdzsvara stāvoklis. Par ētījumu rkšmetu tādā gadījumā kĝūst ejas lluma maiħas rocess laikā - tā saucamais ārejas rocess f(t) noteiktas ejas lluma (t) maiħas. Lai salīdzinātu AVS komonentu dinamiskās īašības, to ejās adod vnveidīgas organētas ejas darbes. Parasti ētāmās rīces ejā formē lēcnveida (kāħveida) ejas arametra (t) maiħu un noskaidro kā tā reaăē uz šādu darbi. Ja mainot ejas darbi (t) lēcnveidīgi, ejas llums (t) arī mainās lēcnveidīgi bez akavēšanās, tad ētāmā rīce darbojas bez inerces. Bezinerces rīces statiskās un dinamiskās īašības araksta vnādojums: (t) K (t), kur K ārvades koeficnts, kura llums kā statiskā, tā dinamiskā režīmā ir nemainīgs. Kā tiiskus mērus var minēt elektrisku ėēdi ar aktīvo retestību, neelastīgu sviru, oeracionālo astirinātāju ar aktīvajm elementm. Llākā daĝa AVS komonentu ir inerciālas. Inerciālās rīcēs ejas lluma maiħa akavējas attcībā ret ejas lluma maiħu. Šo akavēšanos sauc a ārejas rocesu, ko raisa rīces inerce (masa, siltumtilība, induktivitāte, kaacitāte u.c.). Jo llāka šī inerce, jo ilgāk turinās ārejas rocess. AVS raktiski nav sējams veidot tikai no bezinerces komonentēm. TādēĜ jebkura reāla AVS jāaskata kā inerciāla sistēma. Ja ārejas rocesa beigās AVS Ħem sākuma stāvokli, vai arī ārt jaunā stacionārā stāvoklī, tad saka, ka tā ir stabila. Turretī, ja ārejas rocess raisa sistēmas neārtrauktu attālināšanos no stacionārā sākuma stāvokĝa, tad sistēma ir nestabila. Formulēsim AVS dinamiskās analīzes galvenos uzdevumus: irmais uzdevums - sistēmas novērtēšana no stabilitātes vdokĝa (sistēmai obligāti jābūt stabilai, retējā gadījumā tā nav raktiski mantojama); otrais uzdevums - sistēmas ārejas rocesa kvalitātes rādītāju novērtēšana, to atbilstība uzdotajm kritērijm (stabilitātes rezerve, ārejas rocesa ilgums, statiskā kĝūda, rocesa svārstīgums u.c.); trešais uzdevums - noteikt AVS atsevišėo komonentu un to arametru saidu uz sistēmas stabilitāti un ārejas rocesa kvalitāti. 58

60 .8.. Dinamikas vnādojumu sastādīšana un analīze Pārejas rocesus automātiskās vadības sistēmās araksta diferenciālvnādojumi vai integrodiferenciālvnādojumi, kuri saka ejas lluma maiħu laikā dotajām ejas vai ārējām darbēm (erturbācijām). Lai sastādītu dinamikas vnādojumus, sistēmu sadala osmos un katram no tm sastāda vnādojumu, kas atsoguĝo tos fikālos rocesus, kas norisinās dotajā osmā. Vnādojumu koums, kas sastādīts vism sistēmas osmm, raksturo visu automātiskās vadības rocesu. AVS osmu dinamikas vnādojumus sastāda, mantojot enerăijas, jaudas, masas, momenta, lūsmas un tml. bilances vnādojumus. Ja lēcnveida ejas darbes (t 0, (t) 0; t>0, (t) const.) maiħas, ētāmās rīces ejas llums (t) mainās ēc eksonenciāla likuma, tad to sauc ar irmās kārtas inerciālu rīci (.5. att.): t / T ( t) ( )( e ), (.43) kur ( ) K ejas arametra nostabilējuss vērtība, ja t ; T - laika konstante, kas raksturo rīces darbības inerci, s. Reālais ejas lluma nostabilēšanās laiks ir vērojami mazāks ar teorētisko. Praksē ir Ħemts, ka ejas lluma nostabilēšanās laiks t nost. (3... 4) T. Šajā laikā ejas llums ārsndz 95% no nostabilējušās vērtības. Ja ārejas rocesa raksturlīkne f(t) const. uzħemta ekserimentāli lēcnveida konstantas darbes ejā, tad laika konstanti T var atrast grafiski, velkot kaut kādā brīvi vēlētā raksturlīknes unktā,mēram, koordinātu sākumunktā 0, skari līdz krustunktam ar ordināti ( ). Laika konstantes atrašana sarotama no.5. attēla. Laika konstante T ir laiks, kurā ejas llums (t) mainās ar 63% no tā maksimālās maiħas ( ) lēcnveida ejas darbes const. Pārejas rocesu (.43) araksta irmās kārtas homogēns diferenciālvnādojums: T d ( t ) + K ( t ) (.44) d t.5. att. Inerciālas rīces ārejas rocesa raksturlīknes f(t), f(t) 59

61 Mainīgajm llumm un koeficntm, kas t ārejas rocesa vnādojumā, ir noteiktas mērvnību dimensijas. Dažre tas rada neērtības sistēmu analīzē īaši vairāku sistēmu salīdzināšanas. TādēĜ ltderīgāka reēm rādās vnādojumu bezdimensiju raksta forma. Pārveidojot vnādojumu (.44) bezdimensiju formā, mainīgos llumus saka relatīvās vnībās, dalot tos ar konstantm bāzes llumm, kurm ir tāda ati dimensija kā attcīgajm mainīgajm. Izvēlams, mēram, bāzes llumus o, o, θ. Tad mainīgos llumus un konstantes vnādojumā (.44) var teikt relatīvās vnībās: λ / ; ϕ / ; θ t / T. Iegūtās teiksmes vtojam vnādojumā (.44). o o Pēc attcīgm ārveidojumm gūstam dinamikas vnādojumu relatīvās vnībās: kur κ ( K ) / o o dλ + λ κϕ, dθ - ārvades koeficnts, teikts bezdimensijas raksta formā. (.45).8.. Nelineāru rīču dinamikas vnādojumi Mēs jau rkš ārlcinājāms, ka llākā daĝa automātikas rīču un līdz ar to arī sistēmas ir nelineāras, tāēc dinamiskos rocesus tajās araksta nelineāri diferenciālvnādojumi ar mainīgm koeficntm. Šādu vnādojumu atrisināšana sagādā llas grūtības. TādēĜ raktiskām vajadzībām inženrtehniskos arēėinos lto linearētus vnādojumus. Vnādojumu linearācijas amatā ir mazo noviržu metode, t.i., tk Ħemts, ka attcīgās rīces vai sistēmas ejas llums vadības rocesa laikā samērā maz novirzās no stacionārās līdzsvara vērtības. Ienesot nelineārajā vnādojumā mainīgo llumu absolūto vērtību vtā to novirzes no līdzsvara stāvokĝa, dodas ārt uz lineārm vnādojumm augumos. Šai nolūkā dara sekojošas darbības: visirms sastāda dotās rīces diferenciālvnādojumu visārīgā veidā, mēram, T d / dt + K ; ēc tam atrod statikas vnādojumu stacionāram līdzsvara stāvoklim, mēram, K ; o o tad, Ħemot, ka līdzsvars tk jaukts, diferenciālvnādojumu ārraksta, dodot T d + / dt+ + K + ; mainīgajm augumus ( ) ( ) ( ) o no gūtā jaunā dinamikas vnādojuma atħem statikas vnādojumu un gūst diferenciālvnādojumu mainīgo llumu un augumos: d [ T dt no kurnes + o + d T dt K + o + K o. ] o o K o, (.46 ) Automātikas rīču un sistēmu dinamikas galven raksturllumi ir laika konstante un dinamiskais ārvades koeficnts jeb ārvades funkcija. AVS komonentu ārvades funkcijas manto kā matemātiskos modeĝus, lai sastādītu ārejas rocesu imitāciju modelēšanas algoritmiskās blokshēmas Windows vidē. 60

62 Lai gūtu automātikas rīču un sistēmu ārvades funkcijas, necšams algebrēt to diferenciālvnādojumus Diferenciālvnādojumu formālā algebrācija Formāli diferenciālvnādojumus var algebrēt astājot diferencēšanas oerācijas zīmi ar simbolu, mēram, d/dt, d/dt. Augstākas kārtas atvasinājumus attcīgi astāj ar simbolu, kāinātu atbilstošā akāē: d /dt,..., d n /dt n n. Jāvēro, ka diferencēšanas oerācijas astāšana ar formālu simbolu ir Ĝaujama tikai nulles sākuma nosacījumm (0, ja t0). Pretējā gadījumā šāda astāšana nav Ĝaujama. Simbola vešana nemaina lluma raksturu (tas tāat alk argumenta t funkcija), bet maina tikai diferenciālvnādojuma raksta formu. Parasti AVS dinamiku araksta ar linearētu diferenciālvnādojumu sistēmu. Lai gūtu sistēmas koējo diferenciālvnādojumu, lto mainīgo starllumu slēgšanas metodi. Tā ir darbtilīga metode, no kuras vairās, algebrējot diferenciālvnādojumus. Pmērs. Dota vaĝēja AVS, kas sastāv no divām inerciālām rīcēm ar ārvades koeficntm K un K. Pirmās rīces ejas darbi azīmēsim ar (t), bet ejas mainīgo llumu, kas vnlaicīgi ir otrās rīces ejas llums ar (t). Otrās rīces un visas sistēmas ejas llums ir (t). Vnkāršības labad turmāk argumentu t nerakstīsim, aturot rātā, ka visi minēt llumi ir laika funkcijas. Abu rīču dinamiku araksta linearēti irmās kārtas diferenciālvnādojumi ar konstantm koeficntm. Tad vaĝējo AVS araksta šo vnādojumu sistēma: kur T un T laika konstantes. d T dt d T dt + + K K, (.47) PĦemsim, ka sēkā ir nulles sākuma nosacījumi (t0, 0). Tad diferencēšanas funkciju varam astāt ar formālu simbolu d/dt. Līdz ar to gūstam divu diferenciālvnādojumu sistēmas vnkāršotu rakstu algebrisku vnādojumu formā: T + K T + K. (.48) Izslēdzot starllumu un darot elementārus ārveidojumus, gūstam vaĝējas AVS diferenciālvnādojumu simboliskā formā: T T + ( T + T ) + K, (.49) kur K K K vaĝējas sistēmas ārvades koeficnts. Pārejot atkal uz klasisko raksta formu, gūsim diferenciālvnādojumu: d d T T + ( T + T ) + K. (.50) dt dt 6

63 Lai gūtu ētāmās sistēmas ārejas rocesa raksturlīkni f(t) dotās ejas darbes (t), jāatrisina diferenciālvnādojums (.50), ltojot klasiskos diferenciālvnādojumu risināšanas aħēmnus. Kā redzams no mēra, formāla oeratora d/dt vešana Ĝauj vnkāršot dažādu stardarbību ildi ar diferenciālvnādojumm, bet neatvglo to atrisināšanu..9. Oeratoru metode AVS dinamisko rocesu ētīšanai Automātiskās vadības sistēmu analīzē manto citu diferenciālvnādojumu algebrācijas metodi, kas būtiski atšėiras no rkš askatītā formālā aħēmna, un kuras amatā ir tā saucamā Lalasa transformācija un oeratorrēėinu matemātika..9.. Jēdzns ar Lalasa transformāciju, oriăināls un attēls PĦemsim, ka ārejas rocesu kādā AVS rīcē, mēram, termorezistorā araksta funkcija f(t). Tad Lalasa transformācijas gūšanai funkciju f(t) reina ar reālā mainīgā t st komleksu funkciju e, kur visārīgā gadījumā s α + jω ir komlekss skaitlis, ko uzskatīsim kā arametru. Šo reinājumu integrēsim ēc t intervālā (0, ): st f ( t ) e dt. (.5) o Integrālis (.5) vairs nav integrācijas mainīgā t funkcija, bet gan komleksā mainīgā s α + jω funkcija, kas definēta tām s vērtībām, kurām integrālis konvergē. Integrālis saka īašu funkcionālu transformāciju, ko sauc ar Lalasa transformāciju, un kas funkciju f(t) transformē, t.i., ārveido funkcijā F(s). Šo transformāciju raksta šādi: st F f ( t) e dt (.5) o vai saīsināti F(s) L[f(t)], kur L[f(t)] Lalasa transformācija no funkcijas f(t). Funkciju f(t) zem integrāĝa zīmes sauc ar oriăinālfunkciju jeb oriăinālu, funkciju F(s), ko definē vnādība (.5), sauc ar atbilstošo attēlfunkciju jeb attēlu. Bži vn uzsver tikai ašu atbilstību star oriăinālu un attēlu, bet ne vnādību, kas tos saista. Tad var ltot šādu saīsinātu rakstu F(s) f(t) vai f(t) F(s), ko komentē sekojoši: attēlam F(s) atbilst oriăināls f(t) vai oriăinālam f(t) atbilst attēls F(s). Matemātikas metodi, kas aredzēta attcīgu uzdevumu atrisināšanai, mantojot sakarības star oriăinālm un attēlm, sauc ar oeratoru metodi. Ltojot šo metodi, diferenciālvnādojumi vai integrodiferenciālvnādojumi tk ārveidoti būtiski vnkāršākos algebriskos vnādojumos. Atrisinot šos algebriskos vnādojumus un atrodot gūtajm attēlm atbilstošos oriăinālus, gūst ētāmās rīces vai sistēmas analīzes uzdevuma atrisinājumu. Atšėirībā no formālās algebrācijas, Lalasa transformāciju var ltot jebkurm sākuma nosacījumm, t.i., kā nulles sākuma nosacījumm (ja t 0, 0), tā arī nenulles sākuma nosacījumm (ja t 0, 0). Taču vnkāršības labad, arasti cenšas vēlēts nulles sākuma nosacījumus. Askatīsim dažu funkciju attēlu gūšanu ar Lalasa transformāciju.. Konstantes attēls. Ja oriăināls ir konstants llums - f(t) c, tad, ltojot Lalasa transformāciju, gūstam sekojošu attēlu: 6

64 F ( 0 0 s st c st c s) c e dt e. (.53) s. Eksonentfunkcijas attēls. Oriăinālam f(t) e at atbilst attēls: ( s + a ) t at st ( s + a ) t e F ( s ) e e dt e dt 0 s + a 0 0. (.54) s + a Redzams, ka attēla funkcija F(s) nav vairs laika t funkcija, bet gan jauna argumenta s funkcija. Tātad, ltojot Lalasa transformāciju, rocesu arakstošā funkcija tk ārcelta no reālā laika t koordinātu sistēmas uz jaunu koordinātu sistēmu ar mainīgo argumentu s. Dažu raksturīgu funkciju Lalasa transformācijas dotas.3. tabulā..3. tabula Lalasa transformāciju mēri Funkcijas nosaukums Augoša Lineā eksonentfunkcija -funkcija Sinusa funkcija Kosinusa funkcija Rimstoša sinusa funkcija Rimstoša kosinusa funkcija Oriăināls f(t) at e at sin ωt cos ωt e -at sin ωt e -at cos ωt Attēls F(s) a L[f(t)] s s a s ω + ω s s + ω ω ( s+a) + ω s + a ( s + a) + ω Lineāras funkcijas f(t) at (.3. tab.) un tās transformācijas grafiskā interretācija arādīta.6. attēlā..6. att. Lalasa transformācija no lineāras funkcijas f(t) at Transformējot lineāru funkciju no reālā laika t koordinātu sistēmas uz argumenta s koordinātu sistēmu, tā ārveidojas otrās kārtas hierboliskā attēla funkcijā..9.. Oeratoru rēėinu galvenās teorēmas Tā kā esam azinušs ar Lalasa transformācijas amatjēdznm, tad varam askatīt svarīgākās oeratoru rēėinu teorēmas, kuras lto automātiskās vadības sistēmu analīzē. 63

65 Arobežosims ar teorēmu secinājumm bez to rādījumu klāsta, kas tk askatīts augstākās matemātikas oeratoru rēėinu seckursā.. Oriăināla sākuma lluma teorēma lim ( t) t 0 lim s F s. f (.55) Teorēma dod sēju arēėināt oriăināla sākuma llumu no tā transformācijas. Vnādība (.55) dod arī sēju ārbaudīt veiktās transformācijas areību. Askatīsim dažus mērus teorēmas ārbaudei mantojot.3. tabulas datus. Pmēri.. Oriăinālam f(t) a t atbilst attēls F(s) a/s. Tad atbilstoši oriăināla sākuma lluma teorēmai: lim (a t) t 0 0 un arī lim (s a/s ) s 0. Tātad teorēmas nosacījums ildās. To alcina arī grafiskais attēlojums (.6. att.).. Oriăinālam f(t) e a t atbilst attēls F(s) /(s-a). Tad lim (e a t ) t 0 un arī lim (s/(s a)) s. Līdzīgi varam ārbaudīt, ka teorēmas nosacījums ildās visām citām oriăinālu un atbilstošo attēlu teiksmēm.. Oriăināla beigu lluma teorēma lim ( t) t lim s F s 0. f (.56) Teorēma dod sēju arēėināt oriăināla beigu llumu (statisko nostabilējušos vērtību f( ) ārejas rocesa beigās) no tā transformācijas. Vnādība (.56) dod arī sēju ārbaudīt veiktās transformācijas areību. Askatīsim dažus mērus teorēmas ārbaudei mantojot.3. tabulas datus. Pmēri.. Oriăinālam f(t) a t atbilst attēls F(s) a/s. Tad atbilstoši oriăināla beigu lluma teorēmai: lim (a t) t un arī lim (s a/s ) s 0. Tātad teorēmas nosacījums ildās. To alcina arī grafiskais attēlojums (.6. att.).. Oriăinālam f(t) e -a t sin ωt, kurš araksta eksonenciāli rimstošu svārstību rocesu, atbilst attēls F(s) ω/((s+a) +ω ). Tad ārejas rocesa beigās gūstam, ka lim(e -a t sin ωt) t 0 un lim s [ω/((s+a) +ω )] s Oriăināla ārbīdes (novēlojuma) teorēma sτ L[ f ( t τ )] e F ( s ), (.57) kur τ novēlojuma vai akavēšanās laiks. Teorēma dod sēju noteikt Lalasa transformāciju funkcijai ar novēlotu argumentu. Tā kā šī funkcija arasti araksta dažādu materiālu vai enerăijas lūsmas transorta kavējumu, tad konstanti τ sauc arī ar transortkavējuma laiku. Teorēmas rādījums un raktiskais ltojums klāstīts 3. nodaĝā. Šeit askatām tikai visārējus jēdznus. Tātad Lalasa transformācija no oriăināla ar novēlotu argumentu f(t τ) sakās kā attēla F(s) reinājums ar eksonentfunkciju e -sτ (.57). Oriăināls ir singulāra funkcija, kuru raksturo sekojoši nosacījumi: 0, ja t < τ ; f(t) (.58) m, ja t τ, 64

66 kur m materiāla masas orcija, kuru no dozatora līdz uzkrāšanas bunkuram nogādā konveijers ar novēlojumu τ. 4. Linearitātes teorēma Oriăinālu reinot ar konstantu llumu c, arī attēls jāreina ar šo konstanti. Ja L[f(t)] F(s), tad L[c f(t)] c F(s). Ja oriăināls ir divu oriăinālfunkciju summa, tad attēls ir abu oriăinālfunkciju attēlu summa. Ja L[f (t)] F (s) un L[f (t)] F (s), tad L[f (t)+ f (t)] F (s)+ F (s). 5. Oriăināla atvasināšanas teorēma. Izmantojot oriăināla atvasināšanas teorēmu, var rādīt, ka funkcijas f(t) atvasinājuma attēli visārīgi sakās sekojoši: ( ) df t d f ( t) L s F( s) f (0); L s dt dt F( s) s f (0) f (0), (.59) kur f(0) un f (0) oriăināla un tā irmās kārtas atvasinājuma llums, ja neildās nulles sākuma nosacījumi (t 0, f(0) 0). Ja ir sēkā nulles sākuma nosacījumi (t 0, f(t) 0) gūstam sekojošus oriăināla atvasinājuma attēlus: ( t) d f ( t) d n f ( t) df L s F; L s F( s); dt dt L dt n dn f ( t) s dtn n F( s). (.60) No oriăināla atvasināšanas teorēmas var darīt sekojošus svarīgus secinājumus: līdzīgi kā rkš askatītās formālās algebrācijas gadījumā, arī ltojot Lalasa transformāciju, oriăināla atvasinājumi ārveidojas algebriskās teiksmēs, taču būtiska atšėirība ir tā, ka mainīg llumi vairs nav laika t funkcijas, bet gan jauna argumenta s funkcijas; atšėirībā no formālās algebrācijas, oriăināla atvasinājumu transformāciju var realēt arī nenulles sākuma nosacījumm, tomēr dinamisko rocesu analīzes raksē cenšas vēlēts nulles sākuma nosacījumus, jo gūtās teiksmes ir vnkāršākas un ērtākas raktiskai ltošanai; nulles sākuma nosacījumm oriăināla f(t) n reējai atvasināšanai atbilst attēla F(s) reināšana ar s n, kur n atvasinājuma kārta. Askatīsim diferenciālvnādojumu algebrācijas mērus, ltojot Lalasa transformāciju. Vnādojumus, kas araksta dinamiskos rocesus reālā laika atskaites sistēmā sauksim ar oriăinālvnādojumm, bet transformācijas rezultātā gūtos vnādojumus ar oeratorvnādojumm.. Pmērs. Izmantojot oriăināla atvasināšanas teorēmu (.60) nulles sākuma nosacījumm, uzrakstīsim irmās kārtas homogēna diferenciālvnādojuma (.44) ar konstantm koeficntm K un T oeratorvnādojumu: T s + K vai ( T s+ ) K, (.6) kur (s) un (s) ejas un ejas llumu attēli. Transformācijas rezultātā diferenciālvnādojums ārveidojas algebriskā vnādojumā, kurā mainīg llumi ir argumenta s funkcijas. SaskaĦā ar linearitātes teorēmu, konstant llumi ārvades koeficnts K un laika konstante T nemainās, t.i., saglabā savu skaitlisko 65

67 vērtību, mērvnību dimensiju un fikālo jēgu. Ar vnādojumu (.6) var veikt tādas ašas darbības un ārveidojumus, kā ar jebkuru algebrisku vnādojumu.. Pmērs. Uzrakstīsim otrās kārtas diferenciālvnādojuma (.50) ar konstantm koeficntm oeratorvnādojumu nulles sākuma nosacījumm: T + ( T + T ) s + K ( ), T s s (.6) kur K ārvades koeficnts; T un T inerci raksturojošās laika konstantes. Ārēji oeratorvnādojums (.6) neatšėiras no vnādojuma (.49), kuru guvām ar formālu algebrāciju. Taču būtiska ir funkcionālā atšėirība, jo vnādojumā (.49) mainīg llumi, ir laika t funkcijas, bet vnādojumā (.6) Lalasa argumenta s funkcijas. 6. Oriăināla integrēšanas teorēma. Ja f(t) ir integrējama funkcija intervālā (0, t), tad amatojots uz oriăināla integrēšanas teorēmu, var rādīt, ka t F L [ f ( t ) dt ]. (.63) s o Oriăināla f(t) integrēšanai intervālā (0,t) atbilst attēla F(s) dalīšana ar argumentu s. Pmērs. Astatiskas rīces darbību dinamiskā režīmā araksta integrālvnādojums: kur K ω astatiskās rīces ātruma koeficnts. t ω (.64) o ( t ) K ( t ) dt, Izmantojot oriăināla integrēšanas teorēmu, gūstam oeratorvnādojumu: K. ω (.65) Tātad ltojot Lalasa transformāciju, integrālvnādojums ārveidojas algebriskā vnādojumā, kas vnkāršo ārejas rocesu analīzi Dinamiskais ārvades koeficnts - ārvades funkcija s Automātiskās vadības sistēmu un to komonentu vns no galvenajm dinamiskajm rādītājm ir dinamiskais ārvades koeficnts jeb ārvades funkcija. Askatīsim tās gūšanu visārīgā veidā. PĦemsim, ka slēgtas AVS (ar atgrzenisko saiti) darbību araksta lineārs n tās kārtas diferenciālvnādojums: d ao dt n n m d d d an + an b bm dt dt dt kur a 0...a n un b 0...b m konstanti koeficnti. m + b (.66) Pltojot Lalasa transformāciju, nulles sākuma nosacījumm, gūstam AVS oeratorvnādojumu: n m a0 s an s ( s) + an ( s) b0 s ( s) bm s ( s) + bm ( s). (.67), 66

68 Vnādojumā (.67) attēla funkcijas (s) un (s) nesam irms kavām un atrodam to attcību: m b0s a s b +... a s + b m m n 0 n s + a n Q( s), D( s) (.68) kur skaitītāja olinomu Q(s) sauc ar darbes oeratoru, bet saucēja olinomu D(s) ar sistēmas ašoeratoru. Sistēma var funkcionēt tikai tad, ja m < n. Daudzām reālām sistēmām m 0. Kāinātājs n norāda sistēmas kārtu. Ir otrās, trešās un augstāku kārtu sistēmas. AVS ejas lluma attēla (s) attcību ret ejas lluma attēlu (s), sauc ar ārvades funkciju. Līdzīgi ārvades funkciju nosaka AVS komonentēm. AVS komonentu un vaĝēju AVS ārvades funkcijas arasti azīmē ar W(s), bet slēgtu AVS ārvades funkcijas ar Φ(s). Tad askatītās slēgtās AVS ārvades funkcija teikss sekojoši: Φ m b0 s a s 0 n b +... a m n s + b s + a n m. (.69) Koeficnti a 0...a n un b 0...b m tver analīzei necšamo informāciju ar visu AVS komonentu statiskajām un dinamiskajām īašībām. Līdz ar to ārvades funkcija Φ(s) ir slēgtas automātiskās vadības sistēmas darbības algoritms, kas dod sēju modelēt dinamiskos ārejas rocesus dotajā sistēmā un novērtēt tās darbības stabilitāti un kvalitāti, kā arī veikt tās darbības otimāciju.. Pmērs. Noteiksim irmās kārtas inerciālas rīces, mēram, elektriskas sildrīces, ārvades funkciju. Šāda tia rīces oeratorvnādojumu (.6) atradām rkš. ĥemot rīces ejas lluma attēla (s) attcību ret ejas lluma attēlu (s), gūstam ārvades funkciju: ( ) K W s. (.70) T s +. Pmērs. No oeratorvnādojuma (.6) atrodam otrās kārtas vaĝējas AVS ārvades funkciju: ( ) K W s, (.7) T T s + ( T + T ) s + kur K Q(s) AVS darbes oerators; ( T + T ) s + D T T s + - AVS ašoerators. Iedarbes oerators nosaka sistēmas jutību ret dažādām darbēm, mēram, ret ejas signālu un erturbācijām, kā arī būtiski saido sistēmas recitāti. Pašoerators nosaka sistēmas brīvo kustību ēc erturbācijas noħemšanas. To sauc arī ar sistēmas raksturīgo olinomu. Plīdzinot ašoeratoru nullei, gūst AVS raksturīgo vnādojumu: D(s) a 0 s + a s + a 0, kur a 0 T T, a T + T, a. Koeficnti a 0 un a nosaka ārejas rocesa inerci un raksturu. Pārvades funkcijas tk laši ltotas AVS analīzē (modelēšanā) un sintēzē (rojektēšanā). Tās dod sēju sastādīt AVS algoritmiskās blokshēmas un mantot dinamisko rocesu modelēšanas datorrogrammas, mēram, Matlab Simulink, lai veiktu AVS darbības stabilitātes un kvalitātes analīzi, kā arī risināt tehnoloăisko kārtu un rocesu vadības sistēmu otimācijas uzdevumus rojektēšanas stadijā. 67

69 .0. Dinamikas vnādojumu sastādīšanas mēri Askatīsim diferenciālvnādojumu sastādīšanas metodiku siltumtehniskm un hidrauliskm objektm. Siltumtehniskos objektos ārejas rocesus raisa siltuma ārneses inerce, bet hidrauliskos objektos šėidruma masas lūsmu inerce un hidraulisko tilumu maiħas inerce..0.. Temeratūras mērīšanas ārveidotāja vnādojums Izmantojot temeratūras jutīgās rīces (termorezistorus, termistorus, termoārus, termodiodes u.c.) kā temeratūras mērīšanas ārveidotājus (TMP) siltuma ārvades rocesu automātiskās vadības sistēmās, jāħem vērā to silšanas inerce, kas atkarīga no rīces masas, īatnējās siltumtilības un siltumamaiħas astākĝm ar akārtējo vidi. Silšanas inerce aaugstina temeratūras mērīšanas dinamisko kĝūdu, kas jāħem vērā vēlots TMP siltumtehniskm objektm vai rocesm ar relatīvi ātru temeratūras maiħu. TMP dinamikas vnādojuma sastādīšanai mantojam siltuma lūsmu bilances vnādojumu. PĦemsim, ka TMP ilgstoši atrodas vidē ar temeratūru θ v. Tad jutīgās rīces temeratūra θ t θ v Vides atdotā siltuma lūsma Q v vnāda ar rīces uzħemto siltuma lūsmu (Q t Q v ). Pārvtojot TMP no vides ar temeratūru θ v uz kontroles objektu ar temeratūru θ obj, tk jaukts siltuma lūsmu līdzsvars. Plūsmu lāgojums Q Q obj Q t, kur Q rīces akumulētā siltuma lūsma, astāv līdz ārejas rocesa beigām, kad stājas stacionārs līdzsvara stāvoklis (θ t θ obj ). Izsakot siltuma lūsmas ar temeratūrām un TMP fikālajm arametrm, gūstam diferenciālvnādojumu: dθ c dt θ /, α ( θ θ ; kur c m d dt Q S ) Q t s ( θ θ ) t m α s S obj t, (.7) obj t obj Q c TMP materiāla īatnējā siltumtilība, J/(kg o C); m TMP masa, kg; α s TMP virsmas siltuma ārvades koeficnts, W/(m. o C); S TMP virsmas laukums, m. Ltojot norādītās mērvnības, attcīgās siltuma lūsmas gūst vatos. Dalot vnādojuma (.7) abas uses ar α s S un darot vnkāršus ārveidojumus, atrodam, ka TMP silšanas rocesu araksta irmās kārtas diferenciālvnādojums: t d θ t T + θ t θ obj, (.73) dt kur T c m/( α s S) TMP laika konstante, kas raksturo silšanas inerci, s. Redzams, ka termorezistora silšanas laika konstante T ir tši roorcionāla tā masai m un materiāla īatnējai siltumtilībai c, bet agrzti roorcionāla siltuma atdeves virsmas laukumam S un siltuma ārvades koeficntam α s. Jo intensīvāka siltuma amaiħa star TMP un temeratūras kontroles objektu, jo mazāka TMP silšanas inerce. Tātad laika konstante T ir atkarīga no vides īašībām, kurā atrodas TMP. Dažādām vidēm α s var mainīts lašās robežās. 68

70 Nekustīgā gaisā α s W/( m. o C), stāvošā ūdenī W/( m. o C). Jo llāks ir gāzes vai šėidruma lūsmas, kurā vtots TMP, ātrums, jo llāks ir siltuma ārvades koeficnts α s un mazāka TMP inerce. Varam darīt secinājumu, ka llums T ir nosacīta konstante. Vnam un tam ašam TMP tā var būt Ĝoti dažāda atkarībā no kontrolējamās vides fikālajām īašībām. Atrisinot diferenciālvnādojumu (.73), gūstam TMP silšanas dinamisko raksturlīkni: ( t) θ ( e ), t / T θ t obj (.74) kas arāda, ka TMP silšanas rocess notk ēc eksonenciāla likuma. TMP temeratūra θ t sasndz kontroles objekta temeratūru θ obj ēc laika, kas atuveni vnāds ar trim laika konstantēm T. Askatīsim dažu temeratūras mērīšanas ārveidotāju dinamisko īašību analīzes mērus. Praksē laši latīti TMP, kuros kā temeratūras jutīgos elementus manto metāla termorezistorus un termoārus..0.. Metāla termorezistoru dinamisk raksturojumi Projektējot temeratūras automātiskās regulēšanas sistēmu, kurā manto TMP ar termorezistoru, necšams noteikt dinamisko sakarību star termorezistora retestību R θ un temeratūras regulēšanas objekta, mēram, gāzes asildes katla temeratūru θ obj. Askatot automātikas rīču statiku, noteicām sakarību star metāla termorezistora retestību un tā temeratūru θ t : R θ R 0 ( + α t θ t ), kur R 0 retestība 0 o C temeratūrā, Ω; α t - retestības temeratūras koeficnts, I/ o C. Izsakām θ t ar R θ un gūto teiksmi: θ t ( Rθ Ro )/( Ro. α t ) vtojam vnādojumā (.73). Veicot vnkāršus matemātiskus ārveidojumus, gūstam sekojošu diferenciālvnādojumu: d Rθ T + Rθ R o αt θobj K θobj, (.75) dt kur K R 0 α t termorezistora statiskais ārvades koeficnts, Ω / o C; R θ R θ - R 0 termorezistora retestības maiħa, Ω. Vnādojuma (.75) atrisinājums ir eksonentfunkcija: R R + K θ 0 obj t / T ( e ), θ (.76) kas arāda termorezistora retestības dinamisko maiħu lēcnveida temeratūras maiħas vadības objektā (.7. att.). Pltojot Lalasa transformāciju, no diferenciālvnādojuma (.75) gūstam termorezistora oeratorvnādojumu un ārvades funkciju: T s R + R K θ vai ( T s+ ) R K θ, θ θ obj θ obj no kurnes W ( s ) R θ obj θ ( s ) ( s ) T K. s + (.77) Lai, mantojot ārvades funkciju (.77), gūtu dinamisko raksturlīkni (.76), jāsastāda atbilstoša modelēšanas blokshēma (.7. att.). To sastādām no Simulink bibliotēkas 69

71 standartblokm: ėāħveida signāla ăeneratora Ste, kas formē lēcnveida darbi termorezistora ejā ar brīvi rogrammētu kavējumu t 0 ; termorezistora ārvades funkcijas (.77) formēšanas bloka Transfer function ; konstanta signāla ăeneratora Constant sākuma retestības R 0 statīšanai; summatora Sum retestības maiħas R θ (t) un sākuma retestības R 0 summēšanai; osciloskoa Scoe ārejas rocesa raksturlīkħu θ obj f(t) un R θ f(t) (.8. att.) vualācijai uz osciloskoa ekrāna..7. att. Termorezistora ārejas rocesa raksturlīkħu modelēšanas blokshēma.0.3. Metāla termoāru dinamisk raksturojumi Lai sastādītu termoāra dinamikas vnādojumu, mantojam rkš askatīto sakarību star metāla termoāra termoelektrodzinējsēku E θ (mv) un tā darba gala stacionāro temeratūru θ d ( o C): E θ K (θ d + θ b ), kur θ b termoāra brīvo galu temeratūra, o C; KE θ /(θ d + θ b ) termoāra ārvades (jutības) koeficnts, mv/ o C. Izsakām θ d ar E θ un gūto teiksmi θ d ( Eθ / K ) + θ b vtojam vnādojumā (.73). Veicot vnkāršus matemātiskus ārveidojumus, gūstam sekojošu diferenciālvnādojumu: de T dt kur T termoāra silšanas laika konstante, s; θ obj kontroles objekta temeratūra, o C. θ + E K( θ θ ) K θ, Vnādojuma (.78) atrisinājums ir eksonentfunkcija: E θ obj b (.78) /T K( θ θ )( e t ), obj b θ (.79) kas arāda termoāra TEDS ārejas rocesu lēcnveida temeratūras maiħas vadības objektā (.8. att.). Pltojot Lalasa transformāciju, no diferenciālvnādojuma (.78) gūstam termoāra oeratorvnādojumu un ārvades funkciju: T s E + E K θ( s) vai( T s + ) E K θ( s), θ θ θ no kurnes W ( s ) E θ ( s ) θ T ( s ) K s +. (.80) 70

72 R θ,ω Θ obj, 0 C R θ ( ) R θ ( ) R θ f(t) Θ obj, 0 C E θ, mv E θ ( ) T Θ obj Θ b + θ obj R 0 Θ obj const θ obj Θ obj Θ b T E θ f(t) 0 t 0 t t, s 0 t 0 t t, s.8. att. Termorezistora un termoāra ārejas rocesa raksturlīknes Lai, mantojot ārvades funkciju (.80), gūtu dinamisko raksturlīkni (.79), sastādām modelēšanas blokshēmu (.9. att.), mantojot Simulink bibliotēkas standartblokus. Blokshēma līdzīga rkš askatītajai (.7. att.). Atšėirība tāda, ka ėāħveida signāla ăenerators Ste formē divakāju ejas darbi, kuru stata rogrammējot bloka arametrus tā, lai gūtu.8. attēlā arādītās termoāra ārejas rocesa raksturlīknes. Šai nolūkā veic sekojošus bloka Ste statījumus: stata kontroles objekta sākuma temeratūras darbības laiku t 0 un llumu (ja 0 t< t 0, tad θ obj θ b ); stata kontroles objekta beigu temeratūras lēcnveida auguma llumu (ja t t 0, tad θ obj θ b + θ). Blokā Transfer function vada termistora ārvades koeficnta K un laika konstantes T skaitliskās vērtības. Lalasa arguments s ir standarta algoritma simbols, kas kvalitatīvi nosaka ārejas rocesa īašības un tam šajā modelī nav kvantitatīva lluma nozīmes. Veicot simulāciju, uz osciloskoa Scoe ekrāna gūst termoāra ārejas rocesa raksturlīknes θ obj f(t) un E θ f(t)..9. att. Termoāra ārejas rocesa raksturlīkħu modelēšanas blokshēma.0.4. TMP ārejas rocesu saidojoš faktori Divm vna un tā aša materiāla elementm ar vnādu masu un vnādm akārtējās vides astākĝm silšanas laika konstantes var vērojami atšėirts atkarībā no šo elementu 7

73 konstruktīvā veidojuma. Elementam ar lodveida formu ir visllākā silšanas laika konstante, jo tam ir minimāls siltuma amaiħas virsmas laukums. Tāēc visus TMP cenšas veidot ar cilindrisku formu. Vismazākā laika konstante ir mērīšanas ārveidotājm, kas gatavoti tvas stles veidā. Cilindriskas formas ārveidotājm ar diametru d c, garumu l c un materiāla blīvumu ρ laika konstanti T c arēėina ēc formulas: T c cρ d α c ( + d / l ). 4 c c (.8) Ja d c «l c, tad T c cρd c /(4α). Elementam ar lodveida formu silšanas laika konstanti arēėina ēc formulas: c ρ d l T l, (.8) 6 α kur d l lodes diametrs, m. Divu ekvivalentu lodveida un cilindrveida elementu ar vnādm c, ρ, un α laika konstanšu T l un T c salīdzināšanai manto sakarības: d l Tl lc d l d c d l ; +. (.83) 3l T 3d 3 l c Astājot elementa lodveida formu ar cilindrisku, var samazināt tā silšanas laika konstanti. Ražošanas astākĝos, ltojot standarta mērīšanas ārveidotājus, to silšanas inerci būtiski samazina, allinot kontrolējamās vides lūsmas ātrumu v. No teiksmēm (.8) un (.8) secinām, ka laika konstante ir agrzti roorcionāla siltuma ārvades koeficntam α. Ja gāzu mākslīgās konvekcijas lūsma vērsta erendikulāri cilindriska ārveidotāja asij, siltuma ārvades koeficntu α var arēėināt ēc formulas: c n l a λ v d c a λ α Re n, (.84) d ϑ d c kur λ - gāzes siltumvadāmība, W/(m 0 C); v gāzu kustības ātrums, m/s; ϑ gāzes kinemātiskā viskozitāte, m /s; a un n koeficnti, kurus vēlas ēc Reinoldsa kritērija Re v d/ϑ. Ja Re , a 0,93, n0,40. Ja Re , a 0,75, n 0,46. Gaisa siltumvadāmību λ un kinemātisko viskozitāti ϑ tekmē temeratūra. Šos llumus temeratūru diaazonā o C var arēėināt ēc emīriskām sakarībām: λ 0,04 (+0,006 θ); ν 3,7 (+0,0074 θ) 0-6. (.86) Visllāko α vērtību gūst, ja gaisa lūsma vērsta erendikulāri TMP asij, bet α samazinās amēram divas rees, ja lūsma vērsta a garenasi. P dažādm lūsmas virzna leħėm ϕ attcībā ret TMP garenasi siltuma ārvades koeficntu α arēėina ēc formulas: α λ n 0 α 0,5 Re ( + ϕ / 90 ). (.87) d c c c 7

74 Pmērs. Cilindrisks TMP, kura mēri d c 3 mm, l c 0 mm, vtots žāvēšanas kamerā ar temeratūru θ 80 o C. Gaisa lūsmas ātrums: v m/s; v 0, m/s. TMP materiālam c ρ,5 0 6 J/( m 3 0C). Jānosaka silšanas laika konstante. Atrisinājums. Visirms nosakām gaisa kinemātisko viskozitāti: ϑ 3,7 (+0, ),8 0-6 m /s. Atrodam Reinoldsa skaitli: Re /, ,6. Izvēlams a 0,75; n 0,46 un arēėinām gaisa siltumvadāmību: λ 0,04 (+0,006 80) 0,09 W/(m 0 C). No teiksmes (.87) atrodam siltuma ārvades koeficntu ϕ 90 o : 0,75 0,09 α 0,5 37,6 3 0 ( 90 / ) 66,6 W /( m ). 0,46 C 3 Pēc formulas (.8) arēėinām laika konstanti: 6 3, T 5 s. 4 66,6 ( + 3 / 0) Ja gaisa lūsmas ātrums v 0, m/s, Reinoldsa skaitlis Re 3,76, a 0,93, n0,40, tad ϕ 90 o atrodam, ka siltuma atdeves koeficnts: α 0 0,93 0,09 0,40 3,76 5,7 W /( m C) Šajā gadījumā laika konstante:, T 4 5,7 ( + 3/ 0) 63 s. Ja gaisa lūsmas ātrums v 0, m/s un tās virzna leħėis ret mērīšanas ārveidotāja garenasi ϕ 45 o, var ārlcināts, ka T 3 85 s. Salīdzinot gūtos rezultātus, secinām, ka TMP jānovto tā, lai to labi askalotu gaiss un ārveidotāja garenass būtu erendikulāra lūsmas virznam. Līdzīgus secinājumus varam darīt arī attcībā uz šėidruma temeratūru mērīšanu. Ja nav zināmi visi necšam arametri laika konstantes arēėināšanai, to var noteikt ekserimentāli, uzħemot TMP ārejas rocesa raksturlīkni. Pmēram, laika momentā t o termorezistoru ārnes no vides ar temeratūru θ v uz termostatu vai kontroles objektu ar temeratūru θ obj. Fiksējot termorezistora retestības R θ maiħu diskrētos laika momentos, gūst ārejas rocesa raksturlīkni R θ f(t). Laika konstanti T tad var noteikt grafoanalītiski, kā arādīts.8. attēlā. Jāvēro, ka ekserimentāli gūtā laika konstante būs adekvāta reālajai tikai tad, ja ekserimenta astākĝi sakritīs ar TMP darba astākĝm kontroles objektā Rezervuāra kā vadības objekta dinamikas vnādojumi Askatīsim ūdens rezervuāru kā automātiskās vadības objektu, kura ejas darbe ir ūdens lūsma Q, kuru sūknis caur ventiĝm adod uz rezervuāru. Tā ejas llums ir ūdens līmenis H, kuru saido mainīga erturbācija atēriħa lūsma Q (.0. att.). Sākumā atvērti rokas vadības ventiĝi V un V 3. Vadības objekts ir stacionārā līdzsvara stāvoklī: H H 0 const, Q Q 0 const. un Q Q 0 const., kur Q 0 Q 0. 73

75 Ieslēdzot elektromagnētisko ventili V, lēcnveidīgi tk jaukts lūsmu līdzsvars kā rezultātā ūdens līmenis sāk aaugstināts. Paaugstinots līmenim, allinās ūdens sdns, kas savukārt raisa atēriħa lūsmas allināšanos, jo Q f(h). Sakarā ar rocesa inerci, notk akāeniska ūdens līmeħa H H 0 + H(t) aaugstināšanās, kamēr stājas jauns stacionārs līdzsvara stāvoklis: H H H( ), kur H( ) nostabilējuss maksimālā līmeħa maiħa (.0. att.). Dinamisko ūdens līmeħa maiħas rocesu rezervuārā araksta sekojošs lūsmu bilances vnādojums: d H S ( Q0 + Q) ( Q 0 + Q ( H )), (.88) dt kur Q const. ūdens lūdes lēcnveida maiħa, m 3 /s; Q k H ūdens atēriħa maiħa atkarībā no līmeħa maiħas, m 3 /s; k Q / H ūdens atēriħa maiħas koeficnts, (m 3 /s)/m; S rezervuāra šėērsgrzuma laukums, m ; d H/dt līmeħa maiħas ātrums, m/s. Veicot vnkāršus matemātiskus ārveidojumus un Ħemot vērā, ka Q 0 Q 0 no (.88) gūstam rezervuāra, kā ūdens līmeħa automātiskās regulēšanas objekta, diferenciālvnādojumu normālformā: kur K obj T obj H / Q k T obj d H dt + H K obj Q, - rezervuāra statiskais ārvades koeficnts, m/(m 3 /s); S / k S H / Q - rezervuāra laika konstante, s. (.89) Laika konstante T obj raksturo līmeħa nostabilēšanās inerci. Tā ir tši roorcionāla ūdens līmeħa regulēšanas tilumam: V S H, bet agrzti roorcionāla ūdens atēriħa lūsmas maiħai Q. Arakstītajam objektam mīt ašlīdzināšanās sēja, t.i., katram noteiktam ūdens lūdes daudzumam Q atbilst noteikts stabils līmenis H. Tātad nosacījuma, ka aaugstinots ūdens līmenim roorcionāli aug atēriħa lūsma, rezervuārs ir statisks ūdens līmeħa regulēšanas objekts (.0. att.). Šāds objekts ir stabils bez regulatora. Tā stabilitāti raksturo ašlīdzināšanās koeficnts: ξ k Q / H. (.90) K obj Izteiksme (.90) arāda, ka jo llāka ir atēriħa lūsmas maiħa uz līmeħa maiħas vnību, jo llāks ir ašlīdzināšanās koeficnts un objekts ir stabilāks. Atrisinot vnādojumu (.89) un Ħemot vērā sākuma nosacījumus, gūstam teiksmi, kas araksta ūdens līmeħa maiħas rocesu rezervuārā, mainot lēcnveidīgi ūdens lūdi Q: 0 + K obj Q t / T ( e obj ) H H, (.9) kur K obj Q H( ) nostabilējuss (maksimālā) ūdens līmeħa maiħa ārejas rocesa beigās, m. 74

76 .0. att. Rezervuāra ārejas rocesa raksturlīknes mainīgam atēriħam Q f(h) Askatīsim to ašu ūdens rezervuāru tm ašm sākuma nosacījumm, bet ar atšėirīgu erturbējošo darbi atēriħa lūsmu Q. Ja rkšējā gadījumā ūdens atēriħš notika ašteces veidā un atēriħa lūsma mainījās roorcionāli līmenim, tad šajā gadījumā ūdens tk atsūknēts no rezervuāra ar sūkni, kas nodrošina konstantu atēriħa lūsmu: Q Q 0 const. (.. att.). Tāat kā rkš, sākumā atvērti abi rokas vadības ventiĝi V un V 3. Darbojas divi sūkħi, kas nodrošina konstantu ūdens lūdi un atēriħu. Stacionārā līdzsvara stāvoklī: H H 0 const, Q Q 0 const. un Q 0 Q 0. Ieslēdzot elektromagnētisko ventili V, lēcnveidīgi tk jaukts lūsmu līdzsvars. Tā kā lūde ir llāka ar nemainīgo atēriħu (QQ 0 + Q>Q 0 ), tad ūdens līmenis rezervuārā sāk vnmērīgi aaugstināts (H H 0 + H(t)). Tā kā ūdens lūsmu lāgojums ārejas rocesā alk nemainīgs ( Q Q - Q 0 const.), tad stacionārs līdzsvara stāvoklis nestājas un ūdens līmenis turina lineāri aaugstināts (.. att.). Dinamisko ūdens līmeħa maiħas rocesu rezervuārā araksta sekojošs lūsmu bilances vnādojums: d H S ( Q0 + Q) Q 0. (.9) dt Pārdalot mainīgos llumus un Ħemot vērā, ka Q 0 Q 0 no (.9) gūstam integrāli, kas araksta rezervuāra kā ūdens līmeħa automātiskās regulēšanas objekta dinamisko ārejas rocesu: t H Q dt. (.93) S 0 Atrisinot integrāli (.93) un Ħemot vērā sākuma nosacījumus, gūstam teiksmi, kas araksta līmeħa maiħas dinamisko rocesu: kur v H Q/S līmeħa maiħas ātrums, m/s. Q H H 0 + t H 0 + vh t, (.94) S 75

77 Izteiksmes (.93,.94) arāda, ka dotajā gadījumā rezervuārs ir astatisks (integrējošs) vadības objekts, kura ejas llums H neārtraukti allinās konstantas lēcnveida ejas darbes Q. P šādm nosacījumm vadības objektam nemīt ašlīdzināšanās sēja. Tā ašlīdzināšanās koeficnts vnāds ar nulli, jo no teiksmes (.90) gūstam: ξ Q / H 0 / H 0. Tā kā visu laiku saglabājas lūdes un atēriħa lūsmu starība, tad ūdens līmenis neārtraukti allināss līdz avārijas stāvoklim. Tātad vadības objekts, kuram nemīt ašlīdzināšanās sēja, nevar darbots bez sdu regulēšanas... att. Rezervuāra ārejas rocesa raksturlīknes konstantam atēriħam Q Q 0 3. AVS raksturīg tiveida osmi un to slēgumi Automātiskās vadības teorijā automātikas rīces un automātiskās vadības objektus gruē ēc statikas un dinamikas vnādojumu veida, kas araksta to darbību. Tas vērojami atvglo AVS analīzi un sintēzi, jo dod sēju sagruēt daudzveidīgās AVS komonentes ar atšėirīgu konstrukciju un fikālo dabu tiveida osmos, kuri funkcionāli atšėiras vns no otra ar darbības likumu jeb algoritmu. Automātikā laši tk mantots tā saucamās melnās kastes rincis, kad neinteresējas ar automātikas rīču un automātiskās vadības objektu konstruktīvo veidojumu, bet ēta to reakciju uz īaši organētām ejas darbēm un erturbācijām. Tā, mēram, rkš askatītais termorezistors un ūdens rezervuārs atšėiras ēc konstrukcijas un fikālās dabas, taču to statiskās un dinamiskās īašības araksta vnveidīgi irmās kārtas homogēni diferenciālvnādojumi ar konstantm koeficntm. Funkcionālā sakarība star abu kārtu ejas un ejas llumm ir vnāda, atšėiras tikai to fikālā daba. Termorezistora elektriskās retestības maiħu Rθ f(t) un ūdens līmeħa maiħu rezervuārā Hf(t) atbilstošm sākuma nosacījumm araksta vnādi algoritmi. Raksturīgāk tiveida osmi, kuros var sadalīt tehnoloăisko rocesu automātiskās vadības sistēmas ir sekojoši: 76

78 bezinerces( roorcionālais) osms; irmās kārtas aeriodisks statisks (inerciāls) osms; otrās kārtas aeriodisks statisks (inerciāls) osms; svārstību osms ar svārstīgu ārejas rocesu; transortkavējuma osms ar kavētu (novēlojušu) argumentu; ideāls vai inerciāls integrējošs osms; ideāls vai inerciāls diferencējošs osms. Turmāk askatīti AVS tiveida osmu dinamikas oriăinālvnādojumi, oeratorvnādojumi, ārvades funkcijas un raksturīgi osmu mēri to statiskās un dinamiskās raksturlīknes, kā arī ārejas rocesu simulācija Windows vidē, mantojot dinamisko rocesu modelēšanas rogrammu Simulink. Sastādītas modelēšanas algoritmiskās blokshēmas un askatīta modelēšanas metodika. 3. Bezinerces roorcionālais osms Ja osma ejā adod lēcnveida darbi, arī ejas llums mainās lēcnveidīgi bez akavēšanās. P kam ejas llums mainās tši roorcionāli ejas llumam. Tāēc šo osmu sauc arī ar roorcionālo osmu. Dinamisko ārejas rocesu araksta osma oriăinālvnādojums: (t) K (t), (3.) kur (t) osma ejas llums kā reālā laika funkcija; (t) osma ejas llums kā reālā laika funkcija; K s / s statiskais ārvades (astirinājuma) koeficnts; s un s ejas un ejas lluma statiskā nostabilējuss vērtība. Pltojot Lalasa transformāciju, no (3.) gūst osma oeratorvnādojumu: kur (s) osma ejas lluma attēls; (s) osma ejas lluma attēls; s Lalasa arguments. (s) K (s), (3.) Transformācijas rezultātā reālā laika t (kā argumenta) mainīg (t) un (t) (oriăināli) tk ārnesti citā koordinātu sistēmā ar argumentu s un ārvēršas attēlos (s) un (s). No oeratorvnādojuma (3.) gūst osma ārvades funkciju (dinamisko astirinājuma koeficntu): W(s) (s)/ (s) K. (3.3) Bezinerces osma īašības kā statiskā, tā dinamiskā režīmā nosaka ārvades koeficnts K, kurš raksturo osma jutību ret ejas darbi. Bezinerces osma raksturīgi mēri: elektriska ėēde ar aktīvo retestību; oeracionālais astirinātājs ar aktīvajm elementm; tahoăenerators inerciālā sistēmā; mehāniskais ārvads bez slīdes un brīvgājna; frekvenču ārveidotājs inerciālā sistēmā; šėidruma vai gāzes lūsmas regulēšanas droseĝvārsts. Ideālas bezinerces rīces faktiski neeksistē. To vai citu rīci var arakstīt ar bezinerces osmu nosacījuma, ka tās laika konstante T ir daudzkārt mazāka ar vadības objekta laika konstanti T obj (T«T obj ). Ar daudzkārt mazāku sarot vismaz ar vnu kārtu, t.i., desmit rees. Tātad, lai sistēmas modelis būtu adekvāts reālajai sistēmai, nosacītā bezinerces osma laika konstantei jāamrina sekojošs nosacījums: T 0. T obj. 77

79 Frekvenču ārveidotājā inerci rada elektrisk un elektromagnētisk ārejas rocesi elektromagnētiskās saderības, līdzstrāvas un motora filtros. Atkarībā no komlektācijas, frekvenču ārveidotāja laika konstante T f 0.05s, ko nedrīkst ignorēt vadot mazinerciālus objektus, mēram, daudzrizāămašīnu, kas sastāv no adeves mehānisma ar frekvenču regulējamu asinhrono dziħu un zāău agregāta ar neregulējamu asinhrono dziħu kā vadības objekta ar laika konstanti T obj 0.s.Tā kā šī laika konstante ir salīdzināma ar frekvenču ārveidotāja laika konstanti tad daudzrizāămašīnas vadības sistēmā frekvenču ārveidotājs jāaskata kā inerciāls osms. Arakstot to ar bezinerces osmu, var rasts būtiskas kĝūdas daudzrizāămašīnas AVS ārejas rocesu modelēšanā. Pilnīgi atšėirīga situācija ir llinerciālās sistēmās, mēram, notekūdeħu aerācijas komresoru ar frekvenču regulējamo asinhrono dziħu vadības sistēmās. Vadības objekts ir notekūdeħu aerācijas tvertne, kurā gaisa skābekĝa ārneses rocesa inerci nosaka laika konstante T obj 0 min., kas ir daudzkārt llāka ar frekvenču ārveidotāja laika konstanti. Šādā sistēmā frekvenču ārveidotājs darboss kā ideāls bezinerces osms. Redzam, ka vnas un tās ašas rīces darbību dažādās vadības sistēmās var arakstīt atšėirīgi algoritmi atkarībā no sistēmas ārējo osmu un, jo īaši, vadības objekta arametrm. Tas jāħem vērā sastādot sistēmas ārejas rocesu modelēšanas algoritmisko blokshēmu. 3.. Frekvenču ārveidotāja kā bezinerces osma modelēšana Askatīsim frekvenču ārveidotāju kā ideālu bezinerces osmu. Lai gūtu tā ārejas rocesa raksturlīknes, sastādām modelēšanas blokshēmu (3..a. att.), kas sastāv no Simulink bibliotēkas standartblokm: Ste, Slider gain un Scoe. Frekvenču ārveidotāja ejā adodam vadības srgumu: U (0 0) V. Proorcionāli ejas srgumam mainās ejas srguma frekvence: f (0 50) Hz. Sakarību star frekvenču ārveidotāja ejas un ejas llumm kā statiskā, tā dinamiskā režīmā araksta lineāra funkcija: f K U, kur K f/u 50/0 5 Hz/V frekvenču ārveidotāja ārvades koeficnts. Mainots vadības srgumam ar V, ejas srguma frekvence mainās ar 5 Hz. Konfigurējam blokus Ste, Slider gain un Scoe. Bloks Ste formē lēcnveida ejas srgumu. Iestatām sākuma laiku t 0 4 s un srgumu U 5 V. Bloks Slider gain modelē frekvenču ārveidotāju. Atveram bloku un ar slīdni statām K 5 Hz/V. Tad bloka ejā gūsim frekvenci f Hz. Veicot simulāciju, gūstam ejas un ejas lluma ārejas rocesa raksturlīknes: U(t) un f(t) (3..a. att.), kur t laiks, s. Lai modelētu frekvenču ārveidotāja statisko raksturlīkni f(u), ejā uzstāda lineāra signāla ăeneratoru Ram, bet ejā divkanālu loteri Y Grah. Veicot simulāciju, gūstam statisko raksturlīkni, kas arāda lineāro sakarību star frekvenču ārveidotāja ejas srgumu U ( ass) un ejas srguma frekvenci f (Y ass) (3..b. att.) Pirmās kārtas aeriodisks, statisks (inerciāls) osms Posma oriăinālvnādojums ir irmās kārtas homogēns diferenciālvnādojums ar konstantm koeficntm: T d ( t) + ( t) K ( t), (3.4) dt 78

80 kur T osma laika kostante, kas raksturo tā darbības inerci; K s / s - osma ārvades koeficnts, kas raksturo tā jutību; s un s osma ejas un ejas llumu nostabilējuss (statiskā) vērtība. a. b. 3.. att. Frekvenču ārveidotāja kā bezinerces osma modelēšanas blokshēmas un raksturlīknes: a ārejas rocesa raksturlīknes U(t), f(t); b statiskā raksturlīkne f(u) Pltojot Lalasa transformāciju nulles sākuma nosacījumm (t 0, 0), no (3.4) gūstam osma oeratorvnādojumu: s + K T. (3.5) ĥemot (s) irms kavām, no (3.5) gūstam irmās kārtas statiska inerciāla osma ārvades funkciju: W ( s ) ( s ) K ( s ) T s +. (3.6) Pārvades funkcija tver visu necšamo informāciju ar osma statiskajām un dinamiskajām īašībām un dod sēju modelēt tā darbību. Šai nolūkā teiksmē (3.6) vada ārvades koeficnta K un laika konstantes T skaitliskās vērtības. Lalasa arguments s t algoritmā kā simbols, kas nosaka osma darbības likumu. Atrisinot diferenciālvnādojumu (3.4), gūstam eksonenciālu (aeriodisku) funkciju, kas araksta irmās kārtas inerciāla osma ārejas rocesu: 79

81 t / T t / T ( t) ( e ) K ( e ). (3.7) s Ja rīces, kuru araksta irmās kārtas inerciāls osms, statiskā raksturlīkne net caur koordinātu sākumunktu vai tā ir neārtraukta nelineāra funkcija, tad arasti šāda osma darbību askata robežotā mainīgo llumu maiħas agabalā. Tad vnādojumu (3.4) un tā atrisinājumu (3.7) gūst mainīgo llumu augumm (sk.. nodaĝu): t / T t / T ( t) ( e ) K ( e ), (3.8) s kur s un s nostabilējuss ejas un ejas llumu maiħa; K s / s osma ārvades koeficnts robežotā darbības agabalā. Kā redzēsim turmāk, Simulink rogramma dod sēju modelēt neārtrauktus nelineārus dinamiskos rocesus visā to arametru maiħas agabalā. Pirmās kārtas inerciāls osms ir laši latīts. Tas araksta dinamiskos ārejas rocesus elektroniskajās, elektriskajās, elektromagnētiskajās, termodinamiskajās, mehāniskajās, hidrauliskajās un neimatiskajās kārtās. Pirmās kārtas inerciāla osma mēri: laika releji; elektrisk sildelementi, elektriskā ėēde ar aktīvo retestību un induktivitāti, elektriskā ėēde ar aktīvo retestību un kondensatoru, tahoăenerators un frekvenču ārveidotājs mazinerciālā sistēmā, mehānismu dziħas elektrodzinēji, elektroăeneratori, temeratūras mērīšanas ārveidotāji, ēku asildes katli, siltumagādes objekti, ūdensagādes objekti, kšdedzes dzinēji, hidraulisk un neimatisk mehānismi ar ctu atgrzenisko saiti Elektriska sildelementa silšanas rocesa modelēšana. Elektriska sildelementa modelēšana, ja ejas darbe ir elektriskā jauda P. Elektriska sildelementa nestacionāro silšanas rocesu araksta elektriskās jaudas un siltuma lūsmu bilances vnādojums: Q a + Q v P, kur Q a sildelementa akumulētā siltuma lūsma, kas aaugstina tā temeratūru θ s, W; Q v sildāmajai videi atdotā siltuma lūsma, W. Silšanas rocesa sākumā P Q a,q v 0, bet rocesa beigās, kad stājas stacionārs līdzsvara stāvoklis un sildelementa temeratūra sasndz maksimālo statisko vērtību (θ θ s const.), visa elektriskā jauda ārvēršas siltuma lūsmā, kas tk atdota sildāmajai videi P Q v,q a 0. Izmantojot sildelementa fikālos arametrus, gūstam tā silšanas dinamikas vnādojumu vērstā veidā: Q dτ c m, Qv α S τ, dt a c m + S P, s s dτ dt α τ (3.9) kur c sildelementa īatnējā siltumtilība, J/(kg o C); m sildelementa masa, kg; α siltuma atdeves koeficnts, W/(m oc); S sildelementa virsmas laukums, m ; τ (θ θ 0 ) sildelementa virstemeratūra (θ 0 sākuma temeratūra aukstam stāvoklim), o C. Dalot diferenciālvnādojuma (3.9) abas uses ar α S, gūstam sildelementa oriăinālvnādojumu normālformā: 80

82 T dτ + τ dt K P, (3.0) kur T c m/ (α. S) sildelementa silšanas laika konstante, s; K /(α. S) sildelementa statiskais ārvades koeficnts ēc jaudas, o C/W. Redzam, ka elektrisku sildelementu araksta irmās kārtas inerciāls statisks osms. Pltojot Lalasa transformāciju, gūstam sildelementa oeratorvnādojumu un ārvades funkciju: T τ s + τ K P ; W ( s ) τ P ( s ) K ( s ) T s +. (3.) Atrisinot diferenciālvnādojumu (3.0), gūstam eksonenciālu funkciju, kas araksta siltuma ārejas rocesu elektriskajā sildelementā: ( t) τ ( e s ) K P( e τ (3.) t / T t / T kur τ s K P sildelementa nostabilējuss (maksimālā) virstemeratūra, 0 C. Siltuma ārejas rocesa modelēšanai askatīsim konkrētu mēru ar skaitliski uzdotm vai arēėinātm sildelementa fikālajm arametrm. DaudzslāĦu cilindra veida sildelementa garums l m un diametrs d 3 mm. Virsmas laukums S π d l m. Arēėinātais siltuma atdeves koeficnts gaisa sdu cirkulācijas ātruma v.5 m/s ir α 9 W/(m o C). Tad ārvades koeficnts K /(α. S) /(9 0.04) 0.84 o C/W. Tā kā sildelements ir daudzslāħu cilindrs ar lineāru siltuma avotu nihroma sildsirāli, tad tā silšanas laika konstantes T arēėinam necšams zināt atsevišėo slāħu arametrus. Šai nolūkā askatīsim daudzslāħu cilindra šėērsgrzumu, kuru veido tērauda avalks ar ārējo rādiusu r 6.5 mm un kšējo rādiusu r 5 mm. Cilindra centrā atrodas nihroma sildsirāle ar rādiusu r mm. Starslāni ar bzumu (r - r ) 5 3 mm veido olācijas kārta resēta keramiska masa (kristāliskais magnija oksīds), kas vnlaicīgi ir labs siltuma vadītājs un elektroolācijas materiāls. Nihroma r stles diametrs d s 0.3 mm, īatnējā retestība ρ. 0-6 Ω m, garums l s 7. m. Sildelementa r nominālā jauda P nom 500 W, nominālais srgums U nom 0 V. r DaudzslāĦu cilindrveida sildelementa silšanas laika konstanti var arēėināt mantojot sekojošu formulu: ). T c t m t + c i m α S i + c s m s, kur c t 460 J/(kg o C) tērauda īatnējā siltumtilība; c i 800 J/(kg o C) olācijas materiāla īatnējā siltumtilība; c s 50 J/(kg o C) nihroma sildsirāles īatnējā siltumtilība; 8

83 m t, m i, m s tērauda avalka, olācijas slāħa un sildsirāles masa, kg. Attcīgo materiālu tiluma masa ir sekojoša: γ t 7800 kg/m 3 ; γ i 3600 kg/m 3 ; γ s 800 kg/m 3. Zinot tiluma masu un ăeometriskos mērus, varam arēėināt katra slāħa masu: m t γ t V t γ t π l (r -r ) (6.5-5 ) kg; m i γ i V i γ i π l (r -r ) (5 - ) kg; m s γ s V s γ s π l s r kg Tad T 335 s 5.6 min Ievtojot teiksmēs (3.) un (3.) konstanšu skaitliskos llumus, gūstam sildelementa ārvades funkcijas un ārejas rocesa raksturlīknes analītiskās teiksmes: 0.84 W ( s ) (3.3) 5.6 s + / 5.6 un τ ( t) 0.84 P( e t ). (3.4) Modelēšanas blokshēmas un raksturlīknes. Lai gūtu elektriska sildelementa ārejas rocesa raksturlīknes, sastādām modelēšanas blokshēmu (3..a. att.), kas sastāv no Simulink bibliotēkas standarta blokm: Ste, Transfer Function un Scoe. a. b. 3.. att. Elektriska sildelementa modelēšanas blokshēmas un raksturlīknes (ejas darbe jauda P, W): a ārejas rocesa raksturlīknes P f(t), τ f(t); b statiskā raksturlīkne τ s f(p) 8

84 PĦemsim, ka laika momentā t 0 0 min. sildelements tk slēgts nominālajam srgumam U nom 0 V un tajā dalās nominālā elektriskā jauda P nom 500 W, kas visa ārvēršas siltumā. Notk ārejas rocess, kura beigās sildelementa virstemeratūra sasndz maksimālo nostabilējušos llumu τ s K P o C. Konfigurējam blokus Ste, Transfer Function un Scoe. Bloks Ste formē lēcnveida ejas jaudu. Iestatām modelēšanas sākuma laiku t 0 0 min. un jaudu P nom 500 W. Laika t 0 vēle nav reglamentēta, taču, lai gūtu uzskatāmāku modelēšanas rezultātu, vēlas t 0 >0. Bloks Transfer Function modelē sildelementa silšanas dinamisko rocesu. Atveram bloku un statām K 0.84 o C/W un T 5.6 min. Lai gūtu ilnu ārejas rocesu, simulācijas laiku t sim vēlas llāku ar 3 T. Veicot simulāciju, gūstam sildelementa ejas lluma-jaudas un ejas lluma virstemeratūras ārejas rocesa raksturlīknes: P f(t) un τ f(t) (3..a. att.), kur t laiks, min. Lai modelētu sildelementa statisko raksturlīkni τ s f(p), ejā uzstāda lineāra signāla ăeneratoru Ram, bet ejā divkanālu loteri Y Grah. Statisko sakarību τ s f(p) modelē ar bloku Slider gain, kurā vadām K 0.84 o C/W. Konfigurējam bloku Ram, vadot tajā sākuma jaudu P 0 0 un beigu jaudu P b P nom 500 W, kā arī jaudas maiħas ātrumu 0 W/min. Jāzīmē, ka skaitlisko llumu mērvnības blokos netk vadītas. Veicot simulāciju, gūstam statisko raksturlīkni, kas arāda lineāro sakarību star elektriskā sildelementa jaudu P ( ass) un nostabilējušos virstemeratūru τ s (Y ass) (3..b. att.).. Elektriska sildelementa modelēšana, ja ejas darbe ir srgums U. Ja kā regulējamu ejas darbi manto srgumu U, tad elektriska sildelementa silšanas dinamisko rocesu araksta nelineārs diferenciālvnādojums: dτ T K U U dt + τ, (3.5) kur K U /(α S R) sildelementa ārvades koeficnts ēc srguma, o C/V ; R U nom /P nom 0 / Ω nihroma sildsirāles nominālā elektriskā retestība. Nelineāra diferenciālvnādojuma atrisināšana ar klasiskām metodēm ir dzgan roblemātiska. Izmantojot rkš askatīto linearācijas metodi, ārejas rocesu var ētīt tikai robežotā agabalā. Matlab Simulink tehnoloăija dod sēju modelēt nelineārus nestacionārus rocesus bez statisko raksturlīkħu linearācijas. Askatīsim šāda modeĝa sastādīšanu lēcnveida ejas darbes. Ievedam jaunu mainīgo: ζ τ τ/u īatnējo virstemeratūru, o C/V. Tad gūstam lineāru diferenciālvnādojumu ar konstantm koeficntm: d T ζ τ dt + ζ τ K U U, (3.6) kur, atbilstīgi dotā sildelementa arametrm, laika konstante T 5.6 min. un ārvades koeficnts K U /(α S R) /( ) o C/V. Vnādojuma (3.6) atrisinājums ir eksonenciāla funkcija, kas araksta īatnējās virstemeratūras ārejas rocesu: τ ζ τ s ( e ) K U( e ) U( e ζ (3.7) t / T t / T t /5.6 U kur ζ τs - īatnējās virstemeratūras nostabilējuss vērtība ārejas rocesa beigās. ), 83

85 Pltojot Lalasa transformāciju, no (3.6) gūstam ārvades funkciju: W U ( s ) ζ U kur ζ τ (s) - īatnējās virstemeratūras attēls; U(s) srguma attēls. τ ( s ) K U ( s ) T s s +, (3.8) Modelēšanas blokshēmas un raksturlīknes. Lai gūtu elektriska sildelementa ārejas rocesa raksturlīknes, sastādām modelēšanas blokshēmu (3.3.a. att.), kas sastāv no Simulink bibliotēkas standarta blokm: Ste, Transfer Function Product un Scoe. Bloks Product realē Matlab funkciju, kas necšama, lai gūtu sildelementa virstemeratūras ārejas rocesa raksturlīkni: τ ζ τ x U. (3.9) Bloks Product veic ζ τ un U reināšanu ar tādu ašu laika soli, ar kādu tk arēėināta funkcija ζ τ f(t) no teiksmes (3.7). a. b att. Elektriska sildelementa modelēšanas blokshēmas un raksturlīknes (ejas darbe srgums U, V): a ārejas rocesa raksturlīknes U f(t), τ f(t); b statiskā raksturlīkne τ s f(u) Modelēsim divus silšanas ārejas rocesus divm dažādm srgumm. PĦemsim, ka laika momentā t 0 0 sildelements tk slēgts srgumam U 00 V. 84

86 Notk ārejas rocess, kura beigās sildelementa virstemeratūra sasndz nostabilējušos llumu τ s ζ τ x U K U U o C. Kad irmais ārejas rocess beidzs, laika momentā t 0 min. (3.3.a. att.) srgumu lēcnveidīgi allinām līdz U 00 V. Notk ārejas rocess, kura beigās sildelementa virstemeratūra sasndz nostabilējušos llumu τ s ζ τ x U K U U o C. Konfigurējam blokus Ste, Transfer function un Scoe. Iestatām sākuma srgumu U 00 V, beigu srgumu U 00 V un otrās srguma akāes slēgšanas laiku t 0 min., kas ir tkams, lai beigtos irmais ārejas rocess. Atveram bloku Transfer function un statām K U o C/V un T 5.6 min. Veicot simulāciju, gūstam sildelementa ejas lluma-srguma un ejas lluma virstemeratūras ārejas rocesa raksturlīknes: U f(t) un τ f(t) (3.3.a. att.), kur t laiks, min. Lai modelētu sildelementa statisko raksturlīkni τ s f(u), ejā uzstādām lineāra signāla ăeneratoru Ram, bet ejā divkanālu loteri Y Grah. Statisko sakarību ζ τs f(u) modelē ar bloku Slider gain, kurā vadām K U o C/V. Lai gūtu statisko raksturlīkni τ s f(u) uzstādām bloku Product (3.3.b. att.). Konfigurējam bloku Ram, vadot tajā sākuma srgumu U 0 0 un beigu srgumu U b U nom 0 V, kā arī srguma augšanas ātrumu, mēram, 0 V/min. Jāzīmē, ka srguma augšanas ātruma vēli nosaka ārejas rocesa simulācijas laiks. Tas jāvēlas tkami lls, lai simulācijas laikā tiktu uzħemta ilna statiskā raksturlīkne. Veicot simulāciju, gūstam statisko raksturlīkni, kas arāda sakarību star elektriskā sildelementa ejas srgumu U ( ass) un nostabilējušos (statisko) virstemeratūru τ s (Y ass) (3.3.b. att.). Redzam, ka elektriskā sildelementa statiskā raksturlīkne τ s f(u) ir nelineāra, jo to araksta araboliska funkcija: τ s K U U, ar kuru jau azināms. nodaĝā Otrās kārtas aeriodisks statisks (inerciāls) osms Posms arasti araksta divu tilumu (masu) statiskus tehnoloăiskos objektus, mēram, zāămateriālu žāvētavu ar gaisa masu un žāgmateriālu masu. Tātad otrās kārtas aeriodisku osmu var sastādīt no divm virknē slēgtm irmās kārtas inerciālm osmm. Posma oriăinālvnādojums ir otrās kārtas diferenciālvnādojums ar konstantm koeficntm: T d ( t) d ( t) + T + ( t) K ( ), (3.0) dt t dt kur T laika kostante, kas raksturo osma darbības svārstīguma veicinošos faktorus; T laika kostante, kas raksturo osma darbības stabilitātes veicinošos faktorus; K s / s - osma ārvades koeficnts, kas raksturo tā jutību ret darbēm; s un s osma ejas un ejas llumu nostabilējuss (statiskā) vērtība. Posma ārejas rocess ir aeriodisks, ja stabilitāti veicinoš faktori ir ārsvarā ār svārstīgumu veicinošajm faktorm. Tas ildās nosacījuma, ka laika konstante T T. Pltojot Lalasa transformāciju nulles sākuma nosacījumm (t 0, 0), no (3.0) gūstam osma oeratorvnādojumu: T s + T s + K. (3.) 85

87 No oeratorvnādojuma (3.) gūstam osma ārvades funkciju: W K T s + Ts + (3.) Sadalām. kārtas statisko osmu divos virknē savnotos. kārtas statiskos osmos ar laika konstantēm T un T. Tad T T T un T T + T. Ievtojot vnādojumā (3.0) laika konstanšu T un T teiksmes ar laika konstantēm T un T un to atrisinot, gūstam saliktu eksonenciālu funkciju, kas araksta divu tilumu objekta ārejas rocesu: T T K ( + e e ). (3.3) T T T T Otrās kārtas inerciāla osma mēri: divakāju RC laika atures ėēde, elektriskais žāvēšanas skais ar masīvu sildėermeni, tvaika katls ar divfāžu vidi (ūdens un tvaiks), divu tilumu irigācijas kārtas, mēram, slūžu kaskāde un ėīmiskās rūncības objekti, mēram, reaktori, kas veido savnotos traukus. t T t T 3.6. Žāvēšanas kameras ar elektrisku sildėermeni modelēšana Žāvēšanas kamera, kā automātiskās vadības objekts ir divu tilumu tehnoloăiska kārta, kurus veido elektriskā sildėermeħa masa m un sildāmā gaisa masa m g (3.4. att.). Inerciālos siltuma ārejas rocesus abos tilumos araksta irmās kārtas aeriodiski osmi. Sastādīsim siltuma lūsmu bilances vnādojumus sildėermenim un gaisa tilumam. Izvēlams mainīgos llumus un sākuma nosacījumus: θ θ 0 τ 0 ; θ θ0 τ 0 ; 0 g kur θ g -gaisa temeratūra žāvēšanas kamerā, o C; θ-sildėermeħa virsmas temeratūra, o C; θ 0 - vides temeratūra, o C; P- sildsirāles elektriskā jauda, W. g P, (3.4). Elektriskā sildėermeħa siltuma lūsmu bilances vnādojums nestacionāram režīmam: Q a + Q P, (3.5) dτ kur Q a C m - sildėermenī akumulētā siltuma lūsma, W; dt Q α S τ - sildėermeħa atdotā siltuma lūsma, W; α s siltuma atdeves koeficnts, W/(m oc); S s sildėermeħa virsmas laukums, m. Ievtojot vnādojumā (3.5) mainīgo llumu vērstās teiksmes, gūstam sildėermeħa silšanas diferenciālvnādojumu: dτ T + τ K dt P, (3.6) 86

88 kur T (c m)/(α S)- sildėermeħa silšanas laika konstante, s; K /(α S) - sildėermeħa siltuma ārvades koeficnts, o C/W; c sildėermeħa īatnējā siltumtilība, J/(kg o C); m sildėermeħa masa, kg att. Elektriska žāvēšanas kamera ar masīvu sildėermeni. Gaisa masas siltuma lūsmu bilances vnādojums nestacionāram režīmam: kur Q Q ag z Q + Q Q, (3.7) ag z dτ g C g mg - gaisa masā akumulētā siltuma lūsma, W; dt α S τ - siltuma zudumu lūsma caur kameras snām, W; z z g Q α S ( τ τ g ) - kameras gaisa masas saħemtā siltuma lūsma, W; α z siltuma zudumu koeficnts, W/(m oc); S z siltuma zudumu virsmas laukums, m ; c g gaisa īatnējā siltumtilība, J/(kg o C); m g kameras gaisa masa, kg. Ievtojot vnādojumā (3.7) mainīgo llumu vērstās teiksmes, gūstam kameras gaisa masas silšanas diferenciālvnādojumu: dτ g T g + τ g K g τ, (3.8) dt 87

89 kur T g (c g m g )/(α S + α z S z )- kameras gaisa silšanas laika konstante, s; K g (α S) /(α S + α z S z ) kameras gaisa siltuma ārvades koeficnts. No diferenciālvnādojumu (3.6) un (3.8) sistēmas, gūstam žāvēšanas kameras koējo diferenciālvnādojumu, kas araksta kameras gaisa masas silšanas dinamisko rocesu atkarībā no sildėermenim vadītās elektriskās jaudas. 3. Žāvēšanas kameras kā vadības objekta diferenciālvnādojums: d τ g dτ g T + T + τ g K obj P, (3.9) dt dt kur K K K /( α S + α S ) - kameras siltuma ārvades koeficnts, o C/W; obj g z z T Tg un T T + T g T - siltuma ārvades inerces laika konstantes, s. Žāvēšanas kamera ir divu tilumu siltumtehnisks objekts ar ašlīdzināšanās sēju ( jebkuras sildītāja jaudas gaisa temeratūra kamerā sasndz noteiktu nostabilējušos vērtību). Tā kā ildās nosacījums T T, tad žāvēšanas kamera ir otrās kārtas aeriodisks inerciāls osms. Pltojot Lalasa transformāciju vnādojumam (3.9), gūstam žāvēšanas kameras oeratorvnādojumu un ārvades funkciju: T s + T τ s + τ K P τ g g g obj, (3.30) W obj τ g P K obj T s + T s +, (3.3) kur τ g (s) kameras gaisa virstemeratūras attēla funkcija; P(s) sildsirāles elektriskās jaudas attēla funkcija. Plīdzinot vnādojuma (3.30) kreiso usi nullei, gūstam žāvēšanas kameras raksturīgo vnādojumu, kas nosaka ārejas rocesa veidu un tā norises inerci: s + T τ s + τ 0 g g g T τ. (3.3) Ja vnādojuma (3.3) saknes ir reāli negatīvi skaitĝi, tad ārejas rocess ir aeriodisks. Tas ildās rkš minētā nosacījuma - T T. Ja T T, tad saknes ir vnādas: s s - a 0. Ja T > T, tad saknes ir dažādas: s - a ; s - b. Vnādojuma (3.9) atrisinājums ir analītiska funkcija, kas araksta žāvēšanas kameras ārejas rocesu τ g f(t): t T T T g T τ ( g g K obj P + e e ). (3.33) T T T T g Pārbaudīsim sākuma un beigu nosacījumus: ja t 0, tad τ g (0) K obj P( ) 0; ja t, tad τ g ( ) τ gs K obj P, kur τ gs nostabilējuss (maksimālā) gaisa virstemeratūra žāvēšanas kamerā, 0 C. Faktiskais τ g nostabilēšanās jeb ārejas rocesa laiks t ir daudz mazāks. Ar raksē Ħemamu kĝūdu ( 5%) var Ħemt, ka t 6 (T T g ) 0.5. Modelēšanas blokshēmas un raksturlīknes. Lai gūtu elektriskā žāvēšanas skaja ārejas rocesa raksturlīknes, sastādām modelēšanas blokshēmu (3.5.a. att.), kas sastāv no g t 88

90 Simulink bibliotēkas standarta blokm: Ste, Transfer Function, Transfer Function un Scoe. a. b att. Žāvēšanas kameras modelēšanas blokshēmas un raksturlīknes: a ārejas rocesa raksturlīknes P f(t), τ f(t), τ g f(t); b statiskā raksturlīkne τ gs f(p) Bloks Transfer Function modelē sildėermeħa dinamisko silšanas rocesu, bet bloks Transfer Function žāvēšanas kameras gaisa masas silšanas rocesu. Sildelementa nominālais srgums U nom 0 V, atbilstošā nominālā elektriskā jauda P nom 500 W un ārvades koeficnts K 0.8 o C/W. SildėermeĦa arēėinātā laika konstante T 0 min. PĦemsim, ka laika momentā t 0 sildėermenī būvētajam sildelementam tk vadīta elektriskā jauda P 50 W, kas visa ārvēršas siltumā. Notk ārejas rocess, kura beigās sildelementa virstemeratūra sasndz maksimālo nostabilējušos llumu τ s K P o C. Vnlaicīgi notk žāvēšanas kameras gaisa masas uzsilšanas rocess, kuru nosaka arēėināt ārvades koeficnti ēc jaudas un temeratūras: K 0.8 o C/W un K g 0.4 o C/ o C, kā arī silšanas laika konstantes: T 0 min. un T g 4 min. Pārejas rocesa beigās gaisa virstemeratūra sasndz maksimālo nostabilējušos llumu τ gs K K g P o C (3.5.a. att.). Konfigurējam modeĝa blokus Ste, Transfer Function, Transfer Function un Scoe. Iestatām modelēšanas sākuma laiku t 0 0. min. un jaudu P 50 W. Lai gūtu ilnu ārejas rocesu, vēlams simulācijas laiku t sim 6 (T T g )

91 Veicot simulāciju, gūstam žāvēšanas kameras ejas lluma jaudas, starlluma sildėermeħa virstemeratūras un ejas lluma gaisa virstemeratūras ārejas rocesa raksturlīknes: P f(t), τ f(t) un τ g f(t) (3.5.a. att.). Lai modelētu žāvēšanas kameras statisko raksturlīkni, ejā uzstāda lineāra signāla ăeneratoru Ram, bet ejā divkanālu loteri Y Grah. Statisko sakarību star vadīto elektrisko jaudu un gaisa virstemeratūru τ gs f(p) modelē ar bloku Slider Gain, kurā vadām žāvēšanas kameras ārvades koeficntu K obj K K g o C/W. Konfigurējam bloku Ram, vadot tajā sākuma jaudu P 0 0 un beigu jaudu P b 500W, kā arī tās maiħas ātrumu 0 W/min. Veicot simulāciju, gūstam statisko raksturlīkni, kas arāda sakarību star elektrisko jaudu P ( ass) un nostabilējušos gaisa virstemeratūru τ gs (Y ass) (3.5.b. att.). SidėermeĦa ārejas rocesa laiks t s 3T min. Žāvēšanas kameras gaisa uzsilšanas rocess notk lēnāk. Sākumā, kamēr nav uzsilis sildėermenis, gaisa temeratūra mainās lēni un silšanas raksturlīknei ir lkums (3.5.a. att.), kas, uzsilstot sildėermenim, līdzinās. Gaisa temeratūras ārejas rocesa laiks t 6 T T min Svārstību osms Svārstību osms araksta mehāniskas un elektriskas kārtas, kurās rodas svārstīgs ārejas rocess ar rimstošu svārstību amlitūdu, mēram, atseres svārsts, kurā notk enerăijas amaiħa star divm elementm atseri un atsvaru. Atseres elastības enerăija ārt atsvara kinētiskajā enerăijā un otrādi. Šīs amaiħas rezultātā rodas rimstošs svārstību rocess. Svārstību osma oriăinālvnādojums, tāat kā otrās kārtas aeriodiskam osmam, ir otrās kārtas diferenciālvnādojums ar konstantm koeficntm: T t g d ( t) d ( t) + T + ( t) K ( ), (3.34) dt dt kur T laika kostante, kas raksturo svārstīgumu veicinošos inerces sēkus ; T laika kostante, kas raksturo svārstības slāējošos viskozās berzes sēkus; K s / s - osma ārvades koeficnts; s un s osma ejas un ejas llumu nostabilējuss (statiskā) vērtība. Posma ārejas rocess ir svārstīgs, ja inerces sēki ir ārsvarā ār viskozās berzes sēkm. Tas ildās nosacījuma, ka laika konstante T < T. Lai uzskatāmāk raksturotu ārejas rocesa svārstīgumu, vnādojumu (3.34) saka sekojošā veidā: T d ( t) d ( t) + ξ T + ( t) K ( ), (3.35) dt dt t kur ξ T /T svārstību rimšanas konstante. Ja ξ <, ārejas rocess ir svārstīgs. Ja ξ, ārejas rocess ir aeriodisks. Pltojot Lalasa transformāciju vnādojumam (3.35) nulles sākuma nosacījumm (t 0, 0), gūstam osma oeratorvnādojumu un ārvades funkciju s + T s + K T ξ (3.36) g 90

92 W K T s + T s ξ +. (3.37) Plīdzinot vnādojuma (3.36) kreiso usi nullei, gūstam svārstību osma raksturīgo vnādojumu, kas nosaka ārejas rocesa dinamiku: T s + ξ T s + 0. (3.38) Ja ārejas rocess ir rimstoši svārstīgs, tad vnādojuma (3.38) saknes ir saistīti komleksi skaitĝi: s - α + jω un s - α jω, (3.39) kur α ξ/t - svārstību rimšanas koeficnts, s - ; ω ξ - svārstību leħėiskā frekvence, s -. / T Vnādojuma (3.35) atrisinājums ir analītiska funkcija, kas araksta svārstību osma ārejas rocesu f(t) lēcnveida ejas darbes (3.6. att.): α αt ( t) K [ ( sin ωt + cos ωt) e )]. (3.40) ω Svārstību osma darbības stabilitāti un ārejas rocesa kvalitāti raksturo vairāki rādītāji, kā, mēram, svārstīgums, svārstību rimšanas akāe, svārstību eriods, maksimālais ārregulējums un ārejas rocesa laiks. Svārstīgums: m ω / α ξ / ξ mainīgā ejas lluma āreju skaits ār stacionāro līdzsvara stāvokli līdz šanai 5 % stabilācijas zonā (3.6. att.) att. Svārstību osma ārejas rocesa raksturlīknes f(t), f(t) Svārstību rimšanas akāe: ψ A3 / A - raksturo svārstību amlitūdas A A max e -αt rimšanas ātrumu. Svārstību eriods: T π / ω πt / ξ -saka vnas ilnas svārstības vidējo laiku, s. 9

93 Maksimālais ārregulējums: σ max A / 0 00% - irmā ārregulējuma amlitūdas A attcība ret ejas arametra uzdoto llumu 0, kas arasti tk Ħemts vnāds ar tā reālo nostabilējušos statisko llumu s (3.6. att.). Pārejas rocesa laiks: t / α ) ln[( )/ ] ( T / ξ) ln[( )/ ], ( s t s s t s kur t ejas arametra llums ārejas rocesa beigās. Parasti vēlas t 0.95 s. Tad t - (T /ξ) ln Svārstību osma mēri: rotācijas ātruma centrbēdzes regulators ar svārstību slāētāju; RLC radiotehniskais svārstību kontūrs, šėidruma līmeħa kontroles ludiħš, mehāniskais svārsts Centrbēdzes regulatora ārejas rocesu modelēšana Askatīsim rotācijas ātruma regulēšanas sistēmu, kas sastāv no degvlas vārsta, svārstību slāētāja ar regulējamu droseli 3, centrbēdzes regulatora 4, ārvada 5 un vadības objekta dīzeĝmotora 6 (3.7. att.). Centrbēdzes regulatora ejas llums ir vārstas rotācijas ātrums ω 0 ± ω (rad/s), ejas llums degvlas vārsta ārvtojums 0 ± (mm), kur ω 0 un 0 uzdot stacionār llumi, ± ω un ± to maiħa regulēšanas rocesā. PĦemsim, ka aug slodze uz dīzeĝmotora vārstas, kā rezultātā samazinās tās rotācijas ātrums. Līdz ar to samazinās centrbēdzes sēki uz regulatora lodītēm. Rotējošā uzmava koā ar tajā slīdošo buksīti atseres darbībā ārvtojas uz leju. Buksītei vnotā svira agržas un ārvto vārstu, kas allina degvlas adevi uz dīzeĝmotoru. Notk ārejas rocess, kura beigās statās uzdotais rotācijas ātrums ω 0. Lai samazinātu inerces sēku radītās svārstības, tk ltots hidrauliskais slāētājs, kurš sastāv no hidrocilindra un regulējamas droseles 3. Hidrocilindrs ildīts ar eĝĝu, kas caur droseli var ārlūst no kāta telas uz virzuĝa telu un otrādi. EĜĜai ārlūstot no vnas virzuĝa telas uz otru rodas viskozā berze, kas slāē inerces sēkus un samazina regulatora svārstīgumu att. DīzeĜmotors ar centrbēdzes rotācijas ātruma regulatoru: - degvlas vārsts; svārstību slāētājs; 3 regulējama drosele; 4 centrbēdzes regulators; 5 ārvads; 6 dīzeĝmotors 9

94 Samazinot droseles atvērumu, aug viskozās berzes sēki un allinās svārstību slāēšanas efektivitāte, taču vnlaicīgi samazinās regulatora ātrdarbība. TādēĜ jāmeklē otimālais komromiss star regulatora darbības stabilitāti un ātrdarbību. Lai modelētu centrbēdzes regulatora ārejas rocesus Windows vidē, mantojot modelēšanas rogrammu Simulink, sastādīsim tā diferenciālvnādojumu. Tā kā centrbēdzes regulatora statiskā raksturlīkne s f(ω s ) ir nelineāra, tad askatīsim tā darbību robežotā agabalā a uzdoto koordināti 0 (ω 0 ). Sastādīsim regulatora diferenciālvnādojumu mainīgo llumu augumm un ω: d ( t) d ( t) T + ξ T + ( t) K ( t) r ω, (3.4) dt dt kur K r s / ω s centrbēdzes regulatora ārvades koeficnts, mm/(rad/s). Pltojot Lalasa transformāciju vnādojumam (3.4) nulles sākuma nosacījumm (t 0, 0), gūstam oeratorvnādojumu un ārvades funkciju s + ξt s + K T r ω (3.4) W ω K r T s + ξt s +. (3.43) Pārejas rocesu modelēšanai vēlams centrbēdzes regulatora arametrus T, K r, ξ. Arēėinātā inerces sēku laika konstante T 0. s un statiskais ārvades koeficnts K r mm/(rad/s). Svārstību rimšanas konstante ξ mainās atkarībā no droseles 3 atvēruma. Koeficnta K r negatīvā zīme norāda, ka regulatora ejas un ejas llumi mainās retēji. Ja rotācijas ātrums samazinās, tad degvlas adeves vārsta atvērums allinās un otrādi. Modelēšanas blokshēmas un raksturlīknes. Lai gūtu centrbēdzes regulatora ārejas rocesa raksturlīknes, sastādām modelēšanas blokshēmu (3.8.a. att.), kas sastāv no Simulink standarta blokm: Ste, Transfer Function un Scoe. Bloks Transfer function modelē dinamiskos rocesus regulatorā. Konfigurējam bloku, vadot tajā centrbēdzes regulatora ārvades funkciju (3.43) un tās koeficntu skaitliskos llumus: K r mm/(rad/s); T 0.0 s ; ξ 0.5. Svārstību rimšanas konstante ξ ir maza, kas nozīmē, ka drosele 3 (3.7. att.) ir atvērtā stāvoklī un regulatora inerces sēki ir vērojamā ārsvarā ār viskozās berzes sēkm. P šādm nosacījumm regulatoram ir augsts svārstīgums, res., zema darbības stabilitāte. To arāda arī simulētā ārejas rocesa raksturlīkne (3.8.a. att.). Ierobežotā agabalā ( ω ± 30 rad/s) a uzdoto darba unktu (ω 0, 0 ) var Ħemt, ka statiskā sakarība f( ω) ir lineāra (3.8.b. att.). Negatīvai rotācijas ātruma maiħai ( ass) attcībā ret līdzsvara llumu ω 0 seko ozitīva degvlas vārsta stāvokĝa maiħa (Y ass) attcībā ret līdzsvara llumu 0. Noteiksim dažus regulatora darbības stabilitātes un kvalitātes rādītājus, ja svārstību rimšanas konstante ξ 0.5: svārstīgums: m ω / α ξ / ξ 0.5 / ; maksimālais ārregulējums: σ A 00% 4.5 /0 00% 45% ; max / 0 ārejas rocesa laiks: t ( T / ξ ) ln / 0.5 ln s. Regulatoram ir lls svārstīgums, jo stabilējamais llums degvlas vārsta atvērums 4 rees mainās a līdzsvara stāvokli, kamēr nostabilējas līdz 5% novirzei no necšamās 93

95 statiskās vērtības. Degvlas vārsta maksimālais ārregulējums vērojami ārsndz Ĝaujamo llumu 0%. a. b att. Centrbēdzes regulatora modelēšanas blokshēmas un raksturlīknes: a ārejas rocesa raksturlīknes ω f(t) un f(t), ja svārstību rimšanas konstante ξ 0.5; b statiskā raksturlīkne f( ω) Sakarā ar llo svārstīgumu arī ārejas rocesa laiks ir ārāk lls. Varam secināt, ka regulatora darbības kvalitāte ir neamrinoša. Lai to uzlabotu, vērsim droseli 3, res., allināsim viskozo berzi, kas slāē regulatora inerces sēkus. PĦemsim, ka šīs darbības rezultātā svārstību rimšanas konstante ξ allinās no 0.5 līdz 0.6. Centrbēdzes regulatora ejas lluma auguma simulētā ārejas rocesa raksturlīkne f(t) lēcnveida rotācijas ātruma maiħas (t 0, ω 0; t > 0, ω - 5 rad/s) un ξ 0.6 arādīta 3.9.a. attēlā. Redzam, ka regulatora darbības stabilitāte un kvalitāte ir vērojami uzlabojuss. Salīdzināšanai novērtēsim ārejas rocesu raksturojošos rādītājus: svārstīgums: m ξ / ξ 0.6 / 0.6 ; maksimālais ārregulējums: σ A 00% /0 00% 0% ; max / 0 ārejas rocesa laiks: t ( T / ξ ) ln / 0.6 ln s. Salīdzinājumā ar rkšējo variantu, svārstīgums samazinājs 4 rees, maksimālais ārregulējums rees un ārejas rocesa laiks.5 rees. Pārejas rocess vairs nav 94

96 svārstīgs, tas ir monotons ar nellu ārregulējumu. Šādu ārejas rocesu var Ħemt ar otimālu kā no stabilitātes, tā ātrdarbības vdokĝa. a. b att. Centrbēdzes regulatora ārejas rocesa modelēšanas raksturlīknes ω f(t) un f(t): a monotons ārejas rocess ar vnu ārregulējumu (ξ 0.6); b aeriodisks ārejas rocess (ξ >) Pvērsim droseli līdz ξ.5. Ja ξ, ārejas rocess kĝūst aeriodisks (3.9.b. att.). Tad m 0 un σ max 0. Centrbēdzes regulatora raksturīgā vnādojuma saknes nav vairs komleksi skaitĝi, bet reāli skaitĝi. Tā dinamiku vairs nearaksta svārstību osms, bet otrās kārtas aeriodisks osms, kuram ārejas rocesa laiku arēėina sekojoši: t ( T /( ξ ξ ) ln /(.5.5 ) s. Regulators kĝuvis lēndarbīgāks. Izejas llums sasndz statisko stāvokli ēc 0.6 sekundēm Transortkavējuma osms Ja kādas rīces ejā adod lēcnveida darbi, uz kuru tā reaăē ar zināmu akavēšanos, tad saka, ka tā darbojas ar transortkavējumu. Šādas rīces ārejas rocesu araksta transortkavējuma osms, kuru sauc arī ar kavējumosmu. Raksturīgs šāda osma mērs ir dažādu materiālu vai detaĝu transortris (konveijers), mēram, koka skaidu transortris. Skaidu orcija, kuru uz transortra nomet dozators, nonāk līdz nākošajai tehnoloăiskajai kārtai ar novēlojumu, ko sauc ar transorkavējumu. Ja attālums no 95

97 dozatora līdz tehnoloăiskajai kārtai ir l (m) un transortra lentes kustības ātrums ir v (m/s), tad transortkavējuma laiks τ l/v (s). Visārīgi osma ar transortkavējumu ārejas rocesu (3.0. att.) araksta vnādojums: kur τ transortkavējuma laiks, s; K / ārvades koeficnts. ( t) K ( t τ), (3.44) Koeficntu K Ħem vnādu ar, jo arasti tīrā transortkavējuma kārtu statisk ejas un ejas llumi ir vnādi (visa skaidu masa, kas tk adota transortra sākumā, nonāk līdz transortra beigām). IzĦēmuma gadījumos, ja Ħem vērā transortējamā materiāla zudumus, K<. Turmākajā analīzē Ħemsim, ka K. Tad osma ejas llums atkārto ejas llumu ar novēlojumu laikā τ. P šādm nosacījumm osma oriăinālfunkciju raksta sekojoši: C, ja t τ ( t) (t - τ) (3.45) 0, ja t < τ Funkciju (t-τ) sauc ar oriăinālu ar novēlojušu argumentu τ. Lai gūtu transortkavējuma osma oeratorvnādojumu un ārvades funkciju, atradīsim funkcijas (t - τ) attēlu, ltojot Lalasa transformāciju. Attēla atrašanas amatā ir oriăināla novēlojuma teorēma, kuru var formulēt sekojoši: oriăinālam (t τ) ar novēlojušu argumentu ar llumu τ atbilst attēls e sτ (s) att. Transortkavējuma osma ārejas rocesa raksturlīknes f(t) un f(t) Prādījums. Transformāciju saka ar sekojošu Lalasa integrāli: L s( t τ) ( e ( t τ) dt 0 [ t τ) ] (3.46) 96

98 ĥemam substitūciju t τ θ, vedot t vtā jaunu integrācijas mainīgo θ. Tad t θ + τ; dt d(θ + τ) dθ, dτ 0, jo τ const. Ja t 0, tad θ -τ. Atrisinot Lalasa integrāli, gūstam oriăināla ar kavētu argumentu attēla funkciju: L[ 0 e (θ)] sθ e sτ 0 s(θ+ τ) -s(θ+ τ) e (θ) dθ e (θ) dθ + τ -τ 0 (θ) dθ s sτ 0 e sθ (θ) dθ e -sτ e s(θ+ τ) No (3.47) gūstam transortkavējuma osma oeratorvnādojumu un ārvades funkciju (θ) dθ (3.47) sτ e (3.48) W sτ e (3.49) Transortkavējuma osma ārvades funkcija ir eksonenciāla funkcija ar mainīgo argumentu s, kurš visārīgi ir komlekss skaitlis. Tas rada roblēmas šāda osma modelēšanā. Lai tās novērstu, eksonentfunkciju saka ar tuvinātu olinomālu teiksmi, mantojot, mēram, Padē aroksimāciju. To realē virzot funkciju (3.49) Padē olinomālajā rindā, kas sakās ar daĝveida olinomu: e sτ 3 k τ τ τ 3 k τ s + s s ( ) s a a a3 ak 3 k τ τ τ 3 τ k + s + s + s s a a a a kur a, a, a 3,...a k reāli skaitĝi ( mēram, a, a,...); τ transortkavējuma laiks, s; k olinoma kārta. 3 k k, (3.50) Matlab funkcija ade, vadot τ un k, nodrošina Padē aroksimācijas olinoma koeficntu automātisku arēėināšanu. Amrinošus rezultātus dod jau otrās kārtas aroksimācija (k ). Ievērojami augstāku modelēšanas recitāti gūst ar ceturtās kārtas (k 4) Padē aroksimāciju, ko arasti lto modelēšanas raksē. Kā mēru askatīsim otrās kārtas Padē aroksimāciju, ja τ s: τ e s τ τ s + s τ τ + s + s 6 s + s + 6 s + s. (3.5) Iegūtā modeĝa simulācijai var mantot Simulink bibliotēkas bloku Transfer function, to konfigurējot atbilstoši teiksmei (3.5). Transortkavējuma osma mēri: materiālu un detaĝu neimotransorta kārtas, robottehnisko komleksu transorta moduĝi, siltuma, gāzes un šėidruma ārvades cauruĝvadi, transortri un konveijeri. 97

99 3.0. Ūdens cauruĝvada kā transortkavējuma osma modelēšana Tiisks transortkavējuma osms ir ūdens ārneses cauruĝvads (3.. att.). Ja cauruĝvada garums no sūkħa līdz rezervuāram ir l (m) un ūdens lūsmas ātrums v (m/s), tad ūdens tiluma (masas) ārneses transortkavējuma laiks no sūkħa slēgšanas momenta līdz ūdens lūdei rezervuārā ir τ l/v (s). Azīmējot sūkħa ražīgumu ar Q (l/s) un cauruĝvada šėērsgrzumu ar S (m ), transortkavējuma laiku τ (s) var teikt sekojoši: l S Q 3 τ 0. (3.5) PĦemot, ka cauruĝvadā lūsmas zudumu nav (Q Q ), gūstam cauruĝvada oriăinālvnādojumu: Q ( t) Q ( t τ). (3.53) Pltojot Lalasa transformāciju, no (3.53) gūstam oeratorvnādojumu un ārvades funkciju sτ Q e Q (3.54) W Q Q sτ e. (3.55) 3.. att. SūkĦa kārta ar cauruĝvadu kā ūdens ārneses transortkavējuma osmu Modelēšanas blokshēma un raksturlīknes. CauruĜvada kā transortkavējuma osma modelēšanai vēlams bloku Transort Delay no Simulink bibliotēkas (3..a. att.). PĦemsim, ka cauruĝvada garums l 45 m, ūdens lūsma Q Q 5 l/s, cauruĝvada šėērsgrzuma laukums S m. Tad atbilstoši teiksmei (3.5) ūdens transortkavējuma laiks τ (45 5)/5 5 s. Konfigurējam bloku Transort Delay, vadot tajā τ 5 s un Padē aroksimācijas kārtu k 4. Blokā Ste vadām Q 5 l/s. Veicot simulāciju, gūstam ārejas rocesa raksturlīknes, kas arāda ūdens tiluma lūsmas ārneses dinamiku cauruĝvadā (3..b. att.). No sūkħa slēgšanas brīža līdz ūdens lūdei rezervuārā at 5 sekundes, kas ir ūdens ārneses rocesa kavējuma laiks. 98

100 a. b. Kā redzams no 3..b. attēla, ejas lluma ārejas rocesa raksturlīkne nav ideāla, jo Padē aroksimācija araksta ārvades funkciju (3.55) ar zināmu tuvinājumu. Novirze neārsndz 3%, kas no rakses vdokĝa ir Ĝaujama. 3.. Integrējošs osms Integrējošas rīces var arakstīt ar ideālu vai inerciālu integrējošu osmu, kura vēli nosaka AVS ārējo komonentu inerce. Īaši jāħem vērā vadības objekta inerce. Ja vadības objekta inerce ir ar kārtu llāka, nekā integrējošās rīces inerce, tad tās modelēšanai vēlas ideālu integrējošu osmu. Ja inerces ir salīdzināmas, tad vēlas inerciālu integrējošu osmu Ideāls integrējošs osms Padodot ideāla integrējoša osma ejā lēcnveida darbi, tā ejas llums aug lineāri ar konstantu ātrumu. Tātad integrējošam osmam nav statiskas sakarības star ejas un ejas llumm, tādēĝ to sauc arī ar astatisku osmu. Posma oriăinālvnādojums ir integrovnādojums: T t ( t) ( t) dt vai t) ki i 0 t ( ( t) dt (3.56) kur T i integrācijas laika kostante, kas raksturo ejas lluma augšanas inerci, s (jo llāks T i, jo lēnāk aug ); k i (d /dt) / ātruma koeficnts, kas raksturo ejas lluma maiħas ātrumu, s - (jo llāks k i, jo ātrāk aug ). Jāzīmē, ka dotās mērvnības ir areas nosacījuma, ja un ir vnādi fikāl llumi, mēram, elektrisk srgumi. 0 99

101 Pirmo raksta formu ar T i manto elektroniskām rīcēm, mēram, oeracionālajam astirinātājam ar kondensatora atgrzenisko saiti, kuram ejas un ejas llums ir elektriskais srgums. Otro raksta formu ar k i manto elektriskm ildmehānismm, kurm ejas llums - elektriskais srgums U (V), un ejas llums vārstas agrzna ĜeĦėis α (rad) ir atšėirīgi fikāli llumi. Tad koeficnta k i mērvnība ir (rad/s)/v. Posma oeratorvnādojums nulles sākuma nosacījumm (t 0, 0): Posma ārvades funkcija: W ( ) s vai T s i vai W T s i ki. (3.57) s ki s. (3.58) Atrisinot vnādojumus (3.56) lēcnveida ejas darbes (t 0, 0; t > 0, const.), gūstam teiksmi, kas araksta integrējoša osma ārejas rocesu: ( t) t vai ( t) ki t. (3.59) T i Posma mēri: elektrisk, hidraulisk un neimatisk ildmehānismi bez atgrzeniskās saites, kurus manto inerciālās inženrsistēmās (tvaika agāde, ūdensagāde, siltumagāde,); integrāl regulatori, astatisk vadības objekti Inerciāls integrējošs osms Mazas inerces sistēmās, mēram, ātrdarbīgās sekošanas sistēmās, ārejas rocesa ilgums ir tikai dažas desmitdaĝas sekundes. Izmantojot, mēram, elektrisku ildmehānismu, kuru mēs askatījām kā ideālu integrējošu osmu inerciālā sistēmā, mazas inerces sistēmā, jāħem vērā tā elektromehāniskā inerce. Proti, adodot tā ejā lēcnveida darbi, mēram, slēdzot srgumu, vārstas rotācijas ātrums aug akāeniski (aeriodiski) un tikai ēc zināma laika sasndz maksimālo (nostabilējušos) vērtību. Šīs akavēšanās inerci raksturo laika konstante T, s. Mazjaudas ildmehānismm un integrējošm elektroniskajm astirinātājm T s, taču mazinerciālās sistēmās arī šāda relatīvi maza inerce var būtiski saidot dinamiskos ārejas rocesus. Ja neħem to vērā, var rasts būtiskas kĝūdas rocesu modelēšanā. Integrējoša inerciāla osma oriăinālvnādojums, kas araksta tajā notkošos ārejas rocesus ir otrās kārtas diferenciālvnādojums bez brīvā locekĝa: d ( t) d( t) d ( t) d( t) T + k ( t) i, vai T + ( t). (3.60) dt dt dt dt T Posma oeratorvnādojums nulles sākuma nosacījumm (t 0, 0): T Posma ārvades funkcija: s + s k vai s + i T s T i i. (3.6) 00

102 W ( ) ki s vai W T s + s T ( T s + s). (3.6) Atrisinot vnādojumus (3.60), gūstam teiksmes, kas araksta inerciāla integrējoša osma ar lēcnveida ejas darbi ārejas rocesu: t/t / T ( t) ki [ t T ( e )] vai ( ) [ ( t t t T e )] T i i. (3.63) 3.. Integrējoša ildmehānisma ar motorreduktoru modelēšana Askatīsim ildkārtu, kas sastāv no motorreduktora ildmehānisma un vārsta, ar kuru automātiski regulē gāzes adevi uz koăenerācijas kārtas gāzmotoru, lai stabilētu tā ejas vārstas rotācijas ātrumu (3.3. att.) att. Izildmehānisms ar divfāžu asinhrono elektrodzinēju un reduktoru Motorreduktora ildmehānisms sastāv no divfāžu asinhronā elektrodzinēja un zobratu reduktora. Ieejas llums ir regulējams maiħsrgums U (V), kuru adod uz vadības tinumu. Ierosmes tinumam slēdz konstantu maiħsrgumu U i (V). Izejas llums ir reduktora vārstas agrzna leħėis φ (rad), kas nosaka vārsta stāvokli un gāzes adeves daudzumu q (l/s) uz gāzmotoru. Dinamisko sakarību star ejas llumu φ un ejas llumu U araksta ārvades funkcija: ϕ ( ) k i k i W s, (3.64) U s T s + s s T s + ( ) kur k i ω/u motorreduktora ātruma koeficnts, (rad/s)/v; T m motorreduktora elektromehāniskā laika konstante, s. m Motorreduktoru var arakstīt ar ideāla integrējoša osma un irmās kārtas aeriodiska osma ar ārvades koeficntu K virknes slēgumu (3.64). Elektromehānisko laika konstanti galvenokārt nosaka rotējošo masu inerces moments, kas reducēts m 0

103 elektrodzinēja vārstas J r (kg m ), nominālais rotācijas ātrums ω nom (rad/s) un nominālā jauda P nom (W). Zinot minētos arametrus, var atuveni novērtēt motorreduktora elektromehānisko inerci: T m (J r ω nom )/P nom. Ja vadības objekta laika konstante T obj»t m, tad ēdējo var neħemt vērā un motorrreduktoru var askatīt kā ideālu integrējošu osmu. Mazinerciālm vadības objektm, kā, mēram, gāzmotoram, kura laika konstante ir salīdzināma ar motorreduktora laika konstanti, jāħem vērā ildmehānisma elektromehāniskā inerce. Pretējā gadījumā var rasts būtiskas kĝūdas koăenerācijas kārtas vadības sistēmas ārejas rocesu modelēšanā. Motorreduktora modelēšanas blokshēmas un raksturlīknes. Kā rototiu vēlams motorreduktoru DKIR ar sekojošm arametrm: mehāniskā jauda uz elektrodzinēja vārstas P nom W; nominālais vadības srgums U nom 4 V; rosmes srgums U i 0 V; elektrodzinēja vārstas sinhronais rotācijas ātrums ω s 57 rad/s; reduktora ejas vārstas rotācijas ātrums ω nom.57 rad/s; elektromehāniskā laika konstante T m 0.s; ātruma koeficnts k i ω nom / U nom.57/ (rad/s)/v. Ievtojot dotos un arēėinātos llumus T m un k i ārvades funkcijā (3.64), sastādām motorreduktora ārejas rocesa modelēšanas blokshēmas (3.4. att.). Vnkāršības labad, turmāk sauksim motorreduktoru ar ildmehānismu (IM). a. b att. Motorreduktora modelēšanas blokshēmas un ārejas rocesa raksturlīknes: a ideālam un inerciālam integrējošam osmam (U f(t), φ` f(t), φ f(t, T m )); b inerciāla integrējoša osma komonentēm (φ` f(t), φ f(t), φ f(t, T m )) 0

104 Konfigurējam bloku Ste, vadot tajā IM vadības srgumu (t<0, U 0V; t 0, U5 V). Veicot simulāciju, uz osciloskoa Scoe ekrāna gūstam ārejas rocesa raksturlīknes: U f(t), ϕ` f(t) un ϕ f(t, T m ) (3.4.a. att.). Raksturlīkne ϕ` f(t) arāda IM ejas vārstas agrzna leħėa idealēto (lineāro) maiħu. ĥemot vērā IM elektromehānisko inerci (laika konstanti T m ), gūstam reālo ārejas rocesa raksturlīkni ϕ f(t, T m ). Pārejas rocesa beigās reālais agrzna leħėis φ akavējas ret idealēto ar llumu ϕ ω 0.s 0.98rad / s 0. rad, kur ω ϕ k i U ildmehānisma vārstas max T m ϕ nostabilējs leħėiskais ātrums, rad/s. Lai uzskatāmi arādītu sakarību star idealēto raksturlīkni ϕ` f(t) un reālo raksturlīkni ϕ(t) ϕ (t) ϕ(t), sastādām modelēšanas blokshēmu (3.4.b. att.). Konfigurējam blokus Ste un Ste, vadot tajos attcīgi U5 V un ϕ max -0. rad. Veicot simulāciju gūstam ārejas rocesa raksturlīknes ϕ` f(t), ϕ f(t) un ϕ(t) ϕ (t) ϕ(t) (3.4.b. att.). Izmantojot idealēto IM modeli reālā inerciālā modeĝa vtā, rodas IM vārstas agrzna leħėa modelēšanas nostabilējuss relatīvā statiskā kĝūda, ko var arēėināt sekojoši: ( ϕ ϕ ) 00% ( 0, / ) 00% 0%, kur ϕ max rad IM ejas ε ϕ max / max vārstas maksimālais agrzna leħėis Diferencējošs osms Diferencējošs osms reaăē uz mainīgu ejas signālu. Ja ejas signāls const., tad ejas signāls 0. Tātad diferencējoša osma ejas signāls ir roorcionāls ejas signāla maiħas ātrumam Ideāls diferencējošs osms Ideāls diferencējošs osms darbojas bez inerces. Šādu osmu araksta sekojošs oriăinālvnādojums, oeratorvnādojums un ārvades funkcija: d ( t) ( t) k dt, k s, W kur k ekvivalentais ārvades koeficnts. k s, (3.65) Padodot šāda osma ejā lēcnveida signālu (t < 0, 0; t 0, const.), ejā rodas imulss ar bezgalīgi llu amlitūdu ( (0) ), kurš momentāni sabrūk. Šādu imulsu nesēj ăenerēt nevna tehniska rīce, tādēĝ ideāls diferencējošs osms nav tehniski realējams. Turmāk askatīsim reālu (inerciālu) diferencējošu osmu darbības algoritmus un to tehniskās realācijas mērus Inerciāls diferencējošs osms Tiisks osma mērs ir CR elektriskā ėēde, kuras ejas elements ir kondensators ar kaacitāti C, bet ejas elements, no kura noħem ejas srgumu rezistors ar elektrisko retestību R. Lai varētu mainīt diferencējošās CR ėēdes jutību, vēlams tās ejas elementu R ar maināmu retestību otenciometru. (3.5. att.). Ieslēdzot slēdzi S, diferencējošās ėēdes ejā tk adots lēcnveida līdzstrāvas srgums (t < 0, U 0; t 0, U const.). Tās ejā gūst srguma imulsu ar amlitūdu U max U, kurš aeriodiski norimst līdz nullei. 03

105 Askatīsim CR ėēdes kā inerciāla diferencējoša osma algoritmus. Posma ārejas rocesu araksta diferenciālvnādojums ar konstantm koeficntm: du ( t) du ( t) Td + U ( t) K Td, (3.66) dt dt kur K U max / U R / R - osma ārvades koeficnts, kas raksturo tā jutību ret lēcnveida ejas darbi (arasti K ); T d R C - diferencēšanas laika konstante, kas nosaka ejas imulsa rimšanas inerci, [Ω F s] att. Diferencējošas CR ėēdes elektriskā shēma un ārejas rocesa raksturlīknes Pltojot Lalasa transformāciju vnādojumam (3.66) nulles sākuma nosacījumm (t 0, U 0), gūstam osma oeratorvnādojumu: T Posma ārvades funkcija: d s + U K T s U U. (3.67) W U U d K Td s T s + d. (3.68) Atrisinot vnādojumu (3.66), gūstam teiksmi, kas araksta diferencējošas CR ėēdes ar lēcnveida ejas darbi ārejas rocesu (3.5. att.): U ( t) t / T K U d e. (3.69) Citi osma mēri: diferencējošais transformators, tahoăenerators (ja tā ejas llums ir vārstas agrzna leħėis), diferenciālais žiroskos, virknes korekcijas ėēde ar diferencējošo filtru Diferencējošas CR ėēdes ārejas rocesu modelēšana Modelēšanas blokshēma un raksturlīknes. Elektriskas CR ėēdes kā inerciāla diferencējoša osma ārejas rocesu modelēšanai vēlams bloku Transfer Function no Simulink standartbloku bibliotēkas (3.6.a. att.). 04

106 Izvēlams elektrolītisko kondensatoru ar kaacitāti C 00 µf un otenciometru ar nominālo retestību R 0 kω. Tad diferencēšanas laika konstante T d C R F Ω s. Iestatām ėēdes ejas srgumu U 0 V un ārvades koeficntu K Tad atbilstoši teiksmei (3.69) diferencējošās ėēdes ejas srguma imulsa amlitūda U max K U V. Konfigurējam bloku Transfer Function, vadot tajā ārvades funkciju (3.68) un skaitliskos llumus T d s, U max 5 V (3.6.a. att). Veicot simulāciju, gūstam ārejas rocesa raksturlīknes, kas arāda diferencējošās ėēdes reakciju uz lēcnveida ejas darbi (3.6.b. att.). Ieslēdzot slēdzi S (3.5. att.), uz otenciometra ejas sailēm rodas srguma imulss ar amlitūdu U max 5V, kas eksonenciāli norimst atbilstoši teiksmei (3.69). Imulsa rimšanas laiku t r nosaka CR ėēdes laika konstante T d (t r 3 T d 3 6 s). a. b Automātiskās vadības sistēmas osmu slēgumi AVS algoritmisko blokshēmu var sastādīt no raksturīgo osmu dažādm slēgumm. Izlatītāk ir virknes, aralēlais un atgrzeniskās saites slēgumi. Posmu ejas un ejas llumi ir reālo mainīgo llumu attēli, kas teikti kā funkcijas no Lalasa argumenta s. Posma dinamiskās īašības araksta ārvades funkcija, kas ir vnāda ar osma ejas un ejas attēlu attcību. Askatīsim osmu galveno slēgumu raksturīgās īašības. Virknē slēgtu osmu (3.7. att.) ārvades funkcija W v (s) ir vnāda ar atsevišėo osmu ārvades funkciju reinājumu. Posmu virknes slēgumu araksta sekojoša oeratorvnādojumu sistēma: (s) W (s) (s) ; (s) W (s) (s);...; (s) W n (s) n- (s), (3.70) no kurnes, slēdzot starllumus (s); (s);... n- (s), gūst virknes slēguma oeratorvnādojumu: 05

107 (s) [W (s) W (s)... W n (s)] (s) jeb (s) W v (s) (s), (3.7) kur virknes slēguma ārvades funkcija ir vnāda ar atsevišėo osmu ārvades funkciju reinājumu: W v (s) W (s) W (s)... W n (s). (3.7) 3.7. att. Automātiskās vadības sistēmas osmu virknes slēgums Posmu virknes slēgumu araksta sekojoša oeratorvnādojumu sistēma: (s) W (s) (s) ; (s) W (s) (s);...; (s) W n (s) n- (s), (3.70) no kurnes, slēdzot starllumus (s); (s);... n- (s), gūst virknes slēguma oeratorvnādojumu: (s) [W (s) W (s)... W n (s)] (s) jeb (s) W v (s) (s), (3.7) kur virknes slēguma ārvades funkcija ir vnāda ar atsevišėo osmu ārvades funkciju reinājumu: W v (s) W (s) W (s)... W n (s). (3.7) Paralēli slēgtu osmu (3.8. att.) ārvades funkcija W (s) ir vnāda ar atsevišėo osmu ārvades funkciju summu. Paralēlajā slēgumā visu osmu ejās tk adots vns un tas ats signāls. Tā kā katrs osms uz to reaăē dažādi, tad osmu ejās gūst atšėirīgus signālus, kurus saskaita ar summatoru (3.8. att.). Posmu aralēlo slēgumu araksta sekojoša oeratorvnādojumu sistēma: (s) W (s) (s) ; (s) W (s) (s);...; n (s) W n (s) (s); (s) (s) + (s) n (s), (3.73) no kurnes gūst osmu aralēlā slēguma oeratorvnādojumu: (s)[w (s) + W (s) W n (s)] (s) jeb (s)w (s) (s), (3.74) kur aralēlā slēguma ārvades funkcija ir vnāda ar atsevišėo aralēli savnoto osmu ārvades funkciju summu: W (s) W (s) + W (s) W n (s). (3.75) 06

108 3.8. att. Automātiskās vadības sistēmas osmu aralēlais slēgums Dažādu tehnoloăisko arametru (temeratūras, līmeħa, sdna, ātruma u.c.) automātiskai stabilācijai manto slēgtas AVS ar negatīvu atgrzenisko saiti. Atgrzeniskā saite ir negatīva, ja novirzes jeb kĝūdas signāls formējas kā ejas signāla un atgrzeniskās saites signāla starība. Askatīsim slēgtu sistēmu, kas sastāv no vadības kārtas ar ārvades funkciju W v (s), ildkārtas ar ārvades funkciju W i (s), vadības objekta ar ārvades funkciju W obj (s) un atgrzeniskās saites ar ārvades funkciju W as (s) (3.9. att.). Uz vadības objektu darbojas erturbācija (s), kas tši saido regulējošo darbi r (s) un maina tā ejas llumu (s) att. Automātiskās vadības sistēma ar negatīvu atgrzenisko saiti Doto slēgto AVS ar negatīvu atgrzenisko saiti araksta oeratorvnādojumi, kas sastādīti vism tās osmm un signālu summatorm (3.9. att.): (s) (s) - as (s); v (s) W v (s) (s); i (s) W i (s) v (s); r (s) i (s) - (s); (s) W obj (s) r (s); as (s) W as (s) (s). (3.76) 07

109 Atrisinot vnādojumu sistēmu, gūstam slēgtas AVS ar negatīvu atgrzenisko saiti oeratorvnādojumu, kas saka funkcionālo sakarību (s) f[ (s), (s)]: W + W as W W obj, (3.77) kur W(s) W v (s) W i (s) W obj (s) vaĝējas sistēmas ārvades funkcija. No oeratorvnādojuma (3.77) gūstam slēgtas sistēmas ārvades funkciju jeb dinamisko astirinājuma koeficntu, ko arasti azīmē ar Φ(s): W W obj Φ ( s ), (3.78) ( s ) + W W kur (s) erturbējošā darbe uz vadības objektu, ko rada akārtējā vide vai slodze; (s) vadības sistēmas ejas darbe, kas nosaka regulējamā arametra (s) llumu vadības objekta ejā. Izteiksme (3.78) araksta slēgtas sistēmas uzssto kustību, kam ar meslu ir erturbācija (s), kas raisa vadības objekta ejas arametra novirzi no uzdotā lluma. Perturbācija (s) samazina vadības sistēmas dinamisko astirinājuma koeficntu Φ(s) un līdz ar to arī asliktina tās darbības kvalitāti. NoĦemot erturbāciju ( (s) 0), gūstam ārvades funkciju, kas araksta sistēmas brīvo kustību. Lai vnkāršotu AVS analīzi, bži vn erturbācijas neħem vērā. Tad ar sistēmas darbības kvalitāti srž ēc tās brīvās kustības. Negatīva atgrzeniskā saite aaugstina sistēmas stabilitāti un recitāti, tādēĝ to manto visās slēgtajās tehnoloăisko kārtu automātiskās vadības sistēmās. as 4. Automātiskās vadības algoritmi un to realācija Tehnoloăisko kārtu vadību mūsdnās realē mantojot rogrammējamos kontrollerus, kuru uzdevums ir kontrolēt un automātiski regulēt tajās notkošos rocesus. Regulēšana ir sašaurināts vadības jēdzns. Parasti ar to sarot vadības objekta vna vai dažu tehnoloăisko arametru automātisku stabilāciju. Pmēram, tvaika katlā galven regulējam arametri ir tvaika sdns un ūdens līmenis, bet galvenā ārējā darbe jeb erturbācija ir tvaika atēriħš (slodze uz vadības objektu), kuru nosaka atērētāju skaits un atēriħa raksturs. Bži vn slodze ir stohastiska (nenoteikti mainīga), kas sarežăī rocesu vadību un tehnoloăisko arametru stabilāciju. Tehnoloăisko kārtu vadībai un tajās notkošo rocesu regulēšanai mūsdnās manto: loăiskos kontrollerus (regulējošā darbe uz objektu tk adota eriodiski); regulējošos kontrollerus (darbe uz objektu tk regulēta neārtraukti); seciālos imulsregulēšanas kontrollerus (darbe uz objektu tk regulēta imulsveidīgi). Tehnoloăisko kārtu neārtrauktai vadībai vislašāk tk mantoti regulējoš kontrolleri. Askatīsim to darbības likumus un īašības. 08

110 4.. Proorcionālais P - regulators Proorcionālais regulēšanas likums ir visvnkāršākais. P regulatora ejas signāls mainās tši roorcionāli ejas signālam. Tā dinamiskās īašības novērtē ēc reakcijas uz lēcnveida ejas darbi. Padodot lēcnveida signālu ideāla P regulatora ejā, arī ejas signāls mainās lēcnveidīgi bez akavēšanas. Tātad ideāls P regulators darbojas kā bezinerces osms, kas nosaka tā galveno ozitīvo īašību llo ātrdarbību. P regulatora galvenais trūkums ir statiskā kĝūda, ar kādu tas stata vadības objekta ejas llumu salīdzinājumā ar tā uzdoto vērtību. Statisko kĝūdu var samazināt, allinot P regulatora jutību, bet nav sējams to ilnībā likvidēt. P regulatora darbību araksta bezinerces osma algoritmi (oriăinālvnādojums, oeratorvnādojums un ārvades funkcija): (t) K (t); (s) K (s); W (s) (s)/ (s) K, (4.) kur K / P-regulatora ārvades (astirinājuma) koeficnts. P-regulatora darbību kā statiskā, tā dinamiskā režīmā nosaka koeficnts K, ko saka ar ejas un ejas signālu vai to attēlu attcību. Jo llāks K, jo jutīgāka regulatora reakcija uz ejas signālu. Tā kā P regulators stata regulējamo arametru ar noteiktu nostabilējošos kĝūdu, tad to sauc arī ar statisko regulatoru. Ierkš noskaidrojām, ka relatīvo statisko kĝūdu var raksturot ar statisma koeficntu, kuru saka rocentos: ε / (+ K. K s ). 00%, kur K s tehnoloăiskās sistēmas ārvades koeficnts. Ja K s uzdots kā konstants llums, tad AVS ar P-regulatoru statisko kĝūdu var samazināt, allinot K, taču tas adara sistēmu svārstīgāku un nestabilāku. Elektroniskais P regulators sastāv no oeracionālā astirinātāja DA, ejas rezistora R un atgrzeniskās saites rezistora R (4..a. att). Tā astirinājuma jeb ārvades koeficntu var teikt ar oeracionālā astirinātāja ejas ėēdes retestību R un atgrzeniskās saites retestību R : K U /U R /R. (4.) a. b. 4.. att. Elektroniskais P regulators: a elektriskā rincishēma; b ārejas rocesa raksturlīknes U f(t), U f(t) 09

111 Padodot elektroniskā P regulatora ejā lēcnveida srgumu U const., arī ejas srgums U aug lēcnveidīgi bez akavēšanās, jo oeracionālā astirinātāja ārējā ėēdē ir tikai aktīv elementi. P regulatora īašības uzskatāmi var novērtēt ēc hidrauliskā ūdens līmeħa regulatora darbības, ko sauc arī ar ūdens līmeħa statisko regulatoru (4..a. att.). a. b. 4.. att. Hidrauliskais P regulators: a hidrauliskā rincishēma; b ūdens līmeħa statiskā raksturlīkne H f(q ) Statiskais līmeħa regulators, kuru manto aūdeħošanas sistēmās, sastāv no līmeħa kontroles ludiħa, sviras un avara 3 (4..a. att.). PludiĦš ir regulatora jutīgais elements (līmeħa mērīšanas ārveidotājs), svira mehāniskais astirinātājs, bet avars ildrīce, kas tši maina ūdens lūdi Q x un regulē līmeni H. Paugot nolūdei Q, azeminās līmenis H. Tā rezultātā ludiħš ārvtojas uz leju, agrž sviru un ārvto uz augšu avaru 3 ar llumu. Līdz ar to allinās lūde Q x un tālāka līmeħa krišanās tk aturēta. Taču reālais līmenis H atšėiras no uzdotā līmeħa H 0 un tk statīts ar kĝūdu H H 0 H. Jo llāka nolūde Q, jo llāka būs statiskā kĝūda H (4..b. att.). Statisko kĝūdu ± H rada ctā saite (svira ), kas savno ludiħu ar avaru un robežo tā ārvtošanos. Hidrauliskā P regulatora darbību araksta vnādojums: 0 - K H, kur - avara atvērums, m; H līmeħa novirze, m; K / H L a /L regulatora arvades koeficnts; L a, L sviras lecu garumi avara usē un ludiħa usē, m. 4.. Integrālais I - regulators I regulatora ejas signāls mainās tši roorcionāli integrālim no ejas signāla. Tā dinamiskās īašības novērtē ēc reakcijas uz lēcnveida ejas darbi. Padodot lēcnveida signālu ideāla I regulatora ejā, tā ejas signāls aug vnmērīgi ar konstantu ātrumu. Tātad I regulatoram mīt visas integrējoša osma īašības un star tā ejas un ejas signālm nav statiskas sakarības. TādēĜ I regulatoru sauc arī ar astatisku regulatoru. I regulators ir vērojami lēndarbīgāks ar P regulatoru, taču tam mīt būtiski svarīga ozitīva īašība - tas likvidē statisko kĝūdu un līdz ar to nodrošina augstu regulēšanas recitāti. I regulatora kā integrējoša osma oriăinālvnādojumu, oeratorvnādojumu un ārvades funkciju var uzrakstīt divējādi: 0

112 T t ( t) ( t) dt vai t) ki W I i 0 ( ) s vai T s i vai W T s i ( ( t) dt ; (4.3) t 0 ki ; (4.4) s ki s, (4.5) I kur T i integrācijas laika kostante, kas raksturo ejas signāla augšanas inerci, s; k i (d /dt) / ātruma koeficnts, kas saka ejas signāla maiħas ātruma atkarību no ejas signāla lluma, s -. Lēcveida ejas darbes gadījumā (t<0, 0; t 0, const.), ejas signāls aug roorcionāli laikam t, tad k i ( /t) /, no kurnes gūstam ekvivalento ārvades koeficntu: k e / k i. t. I regulatora relatīvā statiskā kĝūda: ε / (+ k i. t. K s ). 00%, kur K s tehnoloăiskās sistēmas ārvades koeficnts. Tātad augot laikam t, I regulators akāeniski likvidē regulēšanas statisko kĝūdu. Elektroniskais I regulators sastāv no oeracionālā astirinātāja, kura ejas ėēdē slēgts rezistors R, bet atgrzeniskajā saitē - kondensators C (4.3.a. att.). Dinamiskos rocesus tajā araksta ārvades funkcija (4.5): W(s) U (s)/ U (s) /(T i s), kur integrācijas laika konstanti saka sekojoši: T i C R (F Ω s). a. b att. Elektroniskais I regulators: a elektriskā rincishēma; b ārejas rocesa raksturlīknes U f(t), U f(t) Atrisinot I regulatora oriăinālvnādojumu nulles sākuma nosacījumm un lēcnveida ejas srguma maiħas, gūst ārejas rocesa raksturlīknes analītisko teiksmi: U (/T i ) U t (4.3.b. att.). Padodot elektroniskā I regulatora ejā lēcnveida srgumu U const., notk akāeniska kondensatora C uzlāde caur rezistoru R ar laika konstanti T i C R. Lai I regulators nodrošinātu kvalitatīvu ārejas rocesu vadības objektā, integrācijas laika konstantei T i jābūt atbilstoši saskaħotai ar vadības objekta laika konstanti T obj. Llākai vadības objekta laika konstantei T obj, jāvēlas roorcionāli llāka integrācijas laika konstante T i.

113 Lai veidotu ūdens līmeħa I regulatoru, cto saiti star ludiħu un avaru astāj ar elastīgu saiti, mantojot astatisku elektrisku ildmehānismu, kas sastāv no trīsfāzu asinhronā elektrodzinēja M un skrūves mehānisma. Tad statiskā līmeħa regulatora vtā gūstam astatisku elektrohidraulisku regulatoru (4.4.a. att.). Tātad astatiskais līmeħa regulators atšėiras no statiskā ar to, ka līmeħa kontroles ludiħam ar avaru 3 nav ctas saites, kas robežo avara ārvtojumu. PludiĦš savnots ar otenciometra R slīdkontaktu. Potenciometra ejas srgums U, ko noħem no slīdkontakta un vidusunkta, tk adots uz fāzjutīgu astirinātāju FJP, kura divās ejās vnoti elektromagnētisk releji un. Releji darbina asinhrono elektrodzinēju M, kurš ar skrūves mehānisma ārvadu ārvto avaru 3. Avara atvēruma maiħas dinamiku lēcnveida līmeħa maiħas H araksta integrējoša funkcija: k i H t, kur k i (d /dt)/ H līmeħa regulatora ātruma koeficnts, s -. Lai gūtu uzdoto līmeħa regulēšanas stabilitāti, I regulatora ātruma koeficnts k i jāsaskaħo ar vadības objekta (irigācijas kanāla) reakcijas inerci. a. b att. Elektrohidrauliskais I regulators: a elektrohidrauliskā rincishēma; b ūdens līmeħa regulēšanas rocesa raksturlīknes H f(t), f(t) un Q f(t) Paugot nolūdei Q, azeminās līmenis H. Tā rezultātā ludiħš ārvtojas uz leju un ārvto slīdkontaktu. Potenciometra R ejā arādās srgums U. Pēc srguma fāzes nobīdes fāzjutīgais astirinātājs FJP atšifrē līmeħa maiħas virznu un dod komandu atbilstošajam ejas relejam darbināt elektrodzinēju M. Avars tk vnmērīgi acelts, kamēr reālais līmenis H sasndz uzdoto llumu H 0. Tad otenciometra slīdkontakts nostājas ret vidusunktu, srgums U 0 un elektrodzinējs M slēdzas. Tā kā saite star ludiħu un avaru ir elastīga, tad tā nerobežo avara ārvtošanos un statiskā kĝūda tk likvidēta. Izmantojot I regulatoru, ūdens līmenis H svārstās a uzdoto llumu H 0 (4.4.b. att.), ko raisa vairāki faktori: ūdens lūsmas Q x darbes inerce, kas raisa līmeħa H maiħas akavēšanos attcībā ret avara ārvtojumu ; nolūdes lūsmas Q atkarība no līmeħa H. Tā rezultātā ārejas rocess ir nerimstoši svārstīgs. I - regulatoru vnu ašu raksē manto reti, jo tas adara sistēmu lēndarbīgu un svārstīgu. I regulēšanas likuma galvenais uzdevums ir novērst statisko kĝūdu, tādēĝ to arasti kombinē ar citm regulēšanas veidm, mēram, ar roorcionālo.

114 4.3. Proorcionāli integrālais PI - regulators Avnojot roorcionālo un integrālo vadības likumu gūst PI regulatoru. PI regulatora ejas signāls mainās tši roorcionāli ejas signālam un integrālim no tā. Tā dinamiskās īašības novērtē ēc reakcijas uz lēcnveida ejas darbi. Padodot lēcnveida signālu ideāla PI regulatora ejā, visirms sāk darbots roorcionālā ėēde, kas formē ejas signāla lēcveida komonenti. Pēc tam sāk darbots integrējošā ėēde, kura ir daudz lēndarbīgāka un akāeniski likvidē regulēšanas statisko kĝūdu. Tātad PI regulatoram mīt roorcionālā un integrālā regulatora ozitīvās īašības lla ātrdarbība un augsta recitāte. TādēĜ PI regulators ir augstākas klases regulators salīdzinājumā ar rkš askatītajm un nodrošina augstāku regulēšanas rocesa stabilitāti un kvalitāti. PI regulatora struktūru veido roorcionālā un integrējošā osma aralēlais slēgums. Izmantojot šo osmu aralēlā slēguma īašības, gūstam PI regulatora oriăinālvnādojumu, oeratorvnādojumu un ārvades funkciju: t ( t) K ( t) + ki ( t) dt vai + ( t) K ( t) ( t) dt; (4.6) T W K ) 0 ( s + k vai i ( ) ki s K vai WPI s PI + s t i 0 K + ; (4.7) T s K + T s kur T i integrējošās ėēdes laika kostante, s; k i (d /dt) / ejas signāla maiħas ātruma koeficnts s - ; K s / s roorcionālās ėēdes ārvades koeficnts. i i, (4.8) Lēcveida ejas darbes gadījumā (t<0, 0; t 0, const.), ejas signāls aug lēcnveidīgi līdz llumam: K, ēc tam turina allināts roorcionāli laikam t: K + k i t vai K + (/T i ) t. PI regulatora relatīvā statiskā kĝūda: ε /(+ K k i. t. K s ). 00%, kur K s tehnoloăiskās sistēmas ārvades koeficnts. Tātad augot laikam t, PI regulators, tāat kā I regulators akāeniski likvidē regulēšanas statisko kĝūdu. Elektroniskais PI regulators sastāv no oeracionālā astirinātāja, ejas rezistora R, atgrzeniskās saites kondensatora C un rezistora R (4.5.a. att.). Dinamiskos rocesus elektronoskajā PI - regulatorā araksta ārvades funkcija: W PI U U T s + K + K T s T s i, (4.9) kur K R /R roorcionālās ėēdes ārvades koeficnts; T i C R integrējošās ėēdes laika konstante, s; T T i K C R R /R C R odroma laiks, s; K un T ir PI regulatora statīšanas arametri. Mainot K, vnlaicīgi jamaina T. Padodot elektroniskā PI regulatora ejā lēcnveida srgumu (t<0, U 0; t 0, U const.), visirms sāk darbots roorcionālā ėēde, kas formē ejas srguma lēcnveida komonenti (U K U ). Pēc tam sāk darbots integrējošā ėēde, kura akāeniski 3

115 aaugstina ejas srgumu roorcionāli laikam t (U K U + (/T i ) U t), kamēr likvidē regulēšanas statisko kĝūdu (4.5.b. att.). a. b att. Elektroniskais PI regulators: a elektriskā rincishēma; b ārejas rocesa raksturlīknes U f(t), U f(t) Lai veidotu elektrohidraulisku PI regulatoru ūdens līmeħa automātiskai regulēšanai irigācijas sistēmā, avno vnā kārtā roorcionālo un integrālo regulatoru. Cto roorcionālo saiti star ludiħu un avaru 3 veido svira, bet elastīgo integrējošo saiti - astatisks elektrisks ildmehānisms, kas sastāv no trīsfāzu asinhronā elektrodzinēja M un skrūves mehānisma. (4.6.a. att.). a. b att. Elektrohidrauliskais PI regulators: a elektrohidrauliskā rincishēma; b ūdens līmeħa un avara atvēruma regulēšanas raksturlīknes H f(t), f(t) LīmeĦa regulēšana notk divās akāēs. Paugot nolūdei Q, uz līmeħa H azemināšanos visirms reaăē roorcionālais osms - ludiħš ar sviru tši darbojas uz avaru 3 un allina lūdi Q x, veicot atuveno regulēšanu. Pēc tam sāk darbots integrējošais osms elektriskais ildmehānisks, kurš aildus ārvto avaru 3 attcībā ret sviru. Avars tk vnmērīgi acelts tik ilgi, kamēr reālais līmenis sasndz uzdoto 4

116 llumu H 0. Tad otenciometra slīdkontakts nostājas ret vidusunktu, srgums U 0 un elektrodzinējs M slēdzas. PĦemsim, ka irigācijas sistēmas darbināšanas brīdī ūdens līmenis vadības objektā irigācijas kanālā ir H 0 un regulatora roorcionālais osms (,, 3) nodrošina maksimālo avara atvērumu max. Vnlaicīgi sāk darbots integrējošais ildmehānisms M, kurš turina vnmērīgi allināt avara atvērumu. Tā kā irigācijas kanāls ir inerciāls objekts, tad līmeħa H maiħa notk ar kavējumu. Tā rezultātā, sasndzot uzdoto līmeni H 0, avara atvērums ārsndz necšamo llumu 0, kas raisa avara stāvokĝa un ūdens līmeħa ārregulēšanos. Vna vai vairāku ārregulējumu beigās PI-regulators stata uzdoto līmeni H 0 (4.6.b. att.) Proorcionāli diferenciālais PD regulators Tradicionāli roorcionāli diferenciālo PD-regulatoru realē kā roorcionālā osma un diferencējoša osma aralēlo slēgumu. Askatot AVS raksturīgos osmus, konstatējām, ka ideālu diferencējošo osmu nav sējams realēt. TādēĜ askatīsim reālu roorcionāli diferenciālo inerciālo PD regulatoru, kura darbību araksta sekojošs oriăinālvnādojums, oeratorvnādojums un ārvades funkcija: T d d ( t) ( K + ) T ; d ( t) + ( t) K ( t) + d (4.0) dt dt ( T s+ ) K + ( K + ) T s ; (4.) d Td s WPD K +, (4.) T s + kur K / roorcionālā osma ārvades koeficnts; s s T d diferencēšanas laika konstante, s. PD regulators formē asteidzošu darbi uz vadības objektu. Padodot tā ejā lēcnveida darbi, ejā rodas imulsveida signāls, kura amlitūda formējas no roorcionālās ėēdes un diferencējošās ėēdes signālu summas, jo tās savnotas aralēli. ĥemot ar amatu teiksmi (4.), sastādīsim elektroniska PD regulatora ārvades funkciju: d U Td s WPD K +, (4.3) U T s + kur U (s) un U (s) ejas un ejas srgumu attēli. Iznesot K irms kavām un veicot matemātiskus ārveidojumus, ārvades funkciju (4.3) gūstam sekojošā formā: d T s + WPD K, (4.4) T s + kur T T d + T d /K T d (+/K ) koriăētā diferencēšanas laika konstante, s; Attcību T d /K T a sauc ar asteidzes laiku. Jo llāks asteidzes laiks T a, jo efektīvāk darbojas diferencējošā ėēde, kas formē asteidzošu darbi uz vadības objektu un aātrina tajā notkošos rocesus. d d 5

117 Pārvades funkcijas (4.3 un 4.4) arāda, ka PD- regulatoru var realēt divējādi: kā roorcionālā osma un diferencējošā osma aralēlo slēgumu; kā roorcionālā osma un diferencējošā filtra virknes slēgumu. Vglāk realējams ir otrais variants, kur diferencējošais filtrs tk mantots kā virknes korekcijas kārta, kas Ĝauj uzlabot vadības sistēmas ātrdarbību un statisko recitāti. PD regulatoru, kuru araksta ārvades funkcija (4.4), var mantot inerciālu objektu, mēram, siltumtehnisku kārtu vadīšanai. Askatīsim PD regulatora ar asteidzošu darbi raktisko realāciju un modelēšanu. PD regulatora rincishēma sastāv no oeracionālā astirinātāja DA ar ejas retestību R un aktīvu atgrzenisko saiti R, un virknē slēgtu diferencējošo CR filtru (C, R3, R4), kā virknes korekcijas ėēdi (4.7. att.) att. Elektroniskā PD regulatora ar asteidzošu darbi rincishēma: DA, R, R roorcionālais osms; C, R3, R4 diferencējošais filtrs Pmērs. Dots: oeracionālā astirinātāja ārvades koeficnts K U /U R/R; diferencējošā filtra laika konstantes T d 0.5 min. un T T d (+/K ) 0.5(+/)0.74 min. Laika konstantes var teikt ar diferencējošā filtra arametrm: T R4 C R 3 ; T d T. T d un T dotos llumus gūsim, ja C 300 µf; R 3 50 kω; R4 + R3 R kω. PD regulatora ar asteidzošu darbi modelēšana. Sastādām modelēšanas blokshēmu (4.8.a. att.), kas sastāv no Simulink standartblokm Slider Gain un Transfer Function, kas modelē oeracionālo astirinātāju un diferencējošo filtru. Lēcnveida srgumu regulatora ejā formē ar bloku Ste. Veicot simulāciju, gūstam PD regulatora ar asteidzošu darbi ārejas rocesa raksturlīkni U f(t) lēcnveida ejas srguma maiħas: U 0, t < 0. min; U 3V, t 0. min (4.8.a. att.). Redzam, ka ejas srguma sākuma amlitūda (U max 9 V) ārejas rocesa beigās samazinās līdz statiskam llumam (U s 6 V). Šo aeriodiski rimstošo sākuma imulsu rada diferencējošā ėēde. 6

118 PD regulatora ejas srguma sākuma un beigu llumus var arēėināt analītiski no ārvades funkcijas (4.4), mantojot 3. nodaĝā askatītās oeratoru rēėinu teorēmas nulles sākuma nosacījumm (ja t 0, s ; ja t, s 0): T s + T 0.75 U lim K U K U 3 9V, max s T s + T 0.5 d d U T s + lim s 0 K U K U 3 6V. T s + s d Asteidzes srguma imulsa rimšanas laiku nosaka laika konstante T d 0.5 min. a. b att. PD regulatoru modelēšanas blokshēmas un ārejas rocesa raksturlīknes U f(t), U f(t): a ar asteidzošu darbi; b ar kavējošu darbi Ātrdarbīgās sistēmās, mēram, dēĝu gatera un daudzrizāămašīnu vadības sistēmās manto cita veida PD regulatoru ar kavējošu darbi, kas aaugstina sistēmas stabilitāti un samazina statisko kĝūdu, jo Ĝauj allināt roorcionālā osma ārvades koeficntu K. Šāds PD regulators sastāv no roorcionālā osma, kuru atver negatīva diferencējoša atgrzeniskā saite (4.9.a. att.). Tad regulatoru var askatīt kā slēgtu kontūru, kura ārvades funkciju arēėina ēc formulas: 7

119 U K Td s + WPD K, T s (4.5) U d T s + + K T s + kur filtra laika konstante T (T d +K T d )T d (+K ). Arī šajā gadījumā PD regulatoru var realēt ar oeracionālā astirinātāja un diferencējošā filtra virknes slēgumu. Atšėirīga ir diferencējošā filtra shēma un arametri. To var realēt ar virknes korekcijas kārtu (4.9.b. att.), kas sastāv no kondensatorm C, C un rezistorm R, R. Zinot kondensatoru kaacitātes un rezistoru retestības, var arēėināt filtra laika konstantes: R C Td C R ; T Td. R R C + + d a. b att. Elektroniskais PD regulators ar kavējošu darbi: a algoritmiskā blokshēma; b diferencējošā filtra rincishēma PD regulatora ar kavējošu darbi modelēšana. Dots: oeracionālā astirinātāja ārvades koeficnts K 4; diferencēšanas laika konstante T d 0.s, filtra laika konstante T T d (+K ) 0. (+ 4) 0.5 s. Modelēšanas blokshēmā (4.8.b. att.) vadām K 4, T d 0. s un T 0.5 s. Ieejā adodam lēcnveida srgumu (U 0, ja t < 0. s; U V, ja t 0. s). Veicot simulāciju, gūstam ārejas rocesa raksturlīkni U f(t), kas arāda, ka lēcnveida ejas darbe tk robežota. Izejā ir nells srguma lēcns U 0 < V, kas ārejas rocesa laikā akāeniski allinās līdz stacionāram llumam Arī šajā gadījumā PD regulatora ejas srguma sākuma un beigu llumus var arēėināt analītiski no ārvades funkcijas (4.5): 8

120 Td s + Td 0. U min lims K U K U 4.6V, T s + T 0.5 U Td s + lim s 0 K U K U 4 8V. T s + s Kavējuma srguma imulsa rimšanas laiku nosaka laika konstante T 0.5 s. Šāds PD regulators nodrošina zāămašīnas stabilu darbību teikti svārstīgas slodzes, jo nolīdzina zāămateriāla mainīgo arametru (zarainības, ctības, mitruma, ăeometrisko mēru u.c.) ekstremālu saidu uz slodzes momenta strauju maiħu, kas astirina zāău dziħas elektrodzinēja strāvas svārstības un asliktina zāămašīnas automātiskās vadības sistēmas darbības stabilitāti un recitāti Proorcionāli integrālais diferenciālais PID - regulators Avnojot roorcionālo (P), integrālo (I) un diferenciālo (D) vadības likumu gūst PID vadības algoritmu, ēc kura darbojas PID regulators. PID algoritma struktūru veido roorcionālā, integrējošā un diferencējošā osma aralēlais slēgums. PID regulatora ejas signālu sastāda trīs komonentes. Tās mainās tši roorcionāli ejas signāla amlitūdai, tā maiħas ātrumam (atvasinājumam no ejas signāla) un integrālim no tā. PID regulatora dinamiskās īašības novērtē ēc reakcijas uz lēcnveida ejas darbi. Padodot lēcnveida signālu regulatora ejā, visirms sāk darbots diferencējošā ėēde, kas dod asteidzošu imulsveida ejas signāla komonenti, kuras amlitūda ir atkarīga no ejas signāla maiħas ātruma. Diferencējošās ėēdes ăenerētais imulss ātri norimst. Tālāko rocesa gaitu nosaka roorcionālā un integrējošās ėēde. Pēdējā akāeniski likvidē regulēšanas statisko kĝūdu. PID regulators nodrošina visaugstāko rocesa vadības kvalitāti, jo regulējošā darbe uz objektu tk formētā atkarībā no trim faktorm ejas signāla amlitūdas, tā maiħas ātruma un integrāĝa. Idealēta PID regulatora dinamiskos ārejas rocesus araksta sekojošs oriăinālvnādojums, oeratorvnādojums un ārvades funkcija: t d ( t) ( t) K ( t) + ( t) dt + Td T, (4.6) dt W i 0 K + + Td s, (4.7) T s PID K i + + T T s kur T i integrējošās ėēdes laika kostante, s; T d difererencējošās ėēdes laika konstante, s; K s / s roorcionālās ėēdes ārvades koeficnts. Parasti ārvades funkciju (4.8) ārveido, nesot irms kavām K : i d s, (4.8) 9

121 W PID kur T K. T i odroma laiks, s; T a T d / K - asteidzes laiks, s; Td K ( + + s) K( + + Ta s) K T s K T s i, (4.9) PID regulatora odroma laiks ir K rees llāks ar integrācijas laika konstanti T i, bet asteidzes laiks ir K rees mazāks ar diferencēšanas laika konstanti T d. Mainot K, vnlaicīgi jāmaina T un T a. Mūsdnu analogajos un ciaru kontrolleros instalētā PID regulatora darbības algoritms vērojami atšėiras no ideālā, jo ideālu diferencējošu ėēdi tehniski nav sējams realēt. Tas jāħem vērā modelējot AVS ar PID regulatoru. Izvēlots idealēto algoritmu, modelēšanas rezultāts var būtiski atšėirts no reālā rocesa. Reālu PID regulatoru visadekvātāk araksta sekojoša ārvades funkcija: W kur T f filtra laika konstante, s. K T (+ ) ( T s T s + ) s+ a PIDr, (4.0) f Laika konstanti T f var vēlēts diaazonā ( ) T a, ko teicams sašaurināt līdz (0. 0.) T a, lai diferencēšanas signāla amlitūda kĝautos reālajās robežās neatkarīgi no vēlētā kontrollera markas. Elektroniskā PID regulatora vnkāršota rincishēma arādīta 4.0. attēlā. Tā sastāv no oeracionālā astirinātāja DA, diferencējošās ėēdes rezistora R un kondensatora C, integrējošās atgrzeniskās saites kondensatora C un rezistora R. Izmantojot teiksmes (4.9 un 4.0) un veicot matemātiskus ārveidojumus, sastādīsim idealēta un reāla elektroniska PID regulatora ārvades funkcijas: W W PIDi PIDr U U T s + K ( + + Ta s) K ( + Ta s) T s T s Ta s+ T s+ Ta s+ K (+ ) ( ) K T s T s+ T s T s+, (4.) U U f f. (4.) Idealētā un reālā modeĝa koeficntus var teikt ar elektroniskās ėēdes arametrm (4.0. att.). Pārvades koeficnts K R /R, diferencēšanas laika konstante T d C. R un asteidzes laiks T a T d /K (C. R )/(R /R ) C. R, integrēšanas laika konstante T i C R un odroma laiks T T i. K C R R /R C R. Idealēta PID regulatora modelēšana. Modelēšanas blokshēma (4..a. att.), sastāv no Simulink blokm Slider Gain, Transfer Function, Slider Gain un Derivative, kas modelē roorcionālo ėēdi, integrējošo ėēdi un diferencējošo ėēdi. Lēcnveida srgumu regulatora ejā formē ar bloku Ste. Dots: roorcionālās ėēdes ārvades koeficnts K ; integrējošās ėēdes laika konstante T i s un odroma laiks T T i K 4 s; diferencējošās ėēdes laika konstante T d s un asteidzes laiks T a T d / K / 0.5 s. 0

122 4.0. att. Elektroniskā PID regulatora vnkāršota rincishēma Veicot simulāciju, gūstam idealēta PID regulatora ārejas rocesa raksturlīkni U f(t) lēcnveida ejas srguma maiħas: U 0, t < 0. s; U V, t 0. s (4..a. att.). a. b. 4.. att. PID regulatora modelēšanas blokshēmas un ārejas rocesa raksturlīknes U f(t), U f(t): a idealēts modelis; b reāla regulatora modelis Redzam, ka ejas srguma sākuma amlitūda ir nerobežoti lla (U max ), kas momentāni sabrūk līdz statiskam llumam (U s 4 V). Vnlaicīgi sāk darbots integrējošā ėēde un ejas srgums akāeniski aaugstinās.

123 Idealētā PID regulatora ejas srguma sākuma llumu U 0 (t 0) un beigu llumu U b brīvi vēlēta laika erioda beigās (mēram, t b 4 s), Ħemot nulles sākuma nosacījumus, var arēėināt analītiski no ārvades funkcijas (4.), mantojot oeratoru rēėinu sakarības (ja t 0, s ; ja t t b, s / t b ): U T s + U 0 lim ( + ) + +, ( 0) s K t Ta s U K U T s T s ( 4 ) lim s 0. 5 K ( + Ta s) U ( ) 8.5V. t s T s b b Veikto arēėinu areību alcina ārejas rocesa modelēšanas oscilogrammas (4..a. att.). Izmantojot idealēto modeli, gūstam neadekvātu rezultātu, jo reāls PID-regulators nevar ăenerēt srguma imulsu ar bezgalīgi llu amlitūdu un bezgalīgi stāvu rimšanas fronti. Reāla PID regulatora modelēšana. Modelēšanas blokshēma sastādīta atbilstoši ārvades funkcijai (4.). Tā sastāv no Simulink blokm Slider Gain3, Transfer Function un Transfer Function3, kas modelē roorcionālo ėēdi, integrējošo ėēdi un diferencējošo ėēdi. Lēcnveida srgumu regulatora ejā formē ar bloku Ste (4..b. att.). Lai korekti salīdzinātu reālo modeli ar idealēto modeli, vēlams vnādus to arametrus: ārvades koficntu K ; odroma laiku T 4 s un asteidzes laiku T a 0.5 s. Reālajā modelī aildus jāvada filtra laika konstante, ko vēlams no nosacījuma: T f 0.T a s. Veicot simulāciju, gūstam reāla PID regulatora ārejas rocesa raksturlīkni U f(t) lēcnveida ejas srguma maiħas: U 0, t < 0. s; U V, t 0. s (4..b. att.). Redzam, ka ejas srguma imulsa amlitūda ir robežota. Tā norimst aeriodiski ar laika konstanti T f 0. s. Imulsa laikā vnlaicīgi darbojas diferencējošā, integrējošā un roorcionālā ėēde. Pēc tam, kad beidzs diferencējošās ėēdes ārejas rocess, integrējošā ėēde akāeniski augstina regulatora ejas srgumu. Reālā PID regulatora ejas srguma sākuma llumu U 0 (t 0) un beigu llumu U b modelēšanas laika erioda beigās t b 4 s, nulles sākuma nosacījumm, var arēėināt analītiski no ārvades funkcijas (4.), mantojot oeratoru rēėinu sakarības (ja t 0, s ; ja t t b, s / t b ): T s + Ta s + Ta 0.5 U 0 lim K U K U 0V, ( 0) s t T s T s + T 0. f f U T s + Ta s ( 4 ) lims 0. 5 K U 8.8V. t s T s T s b b f Pārejas rocesa sākumā, kad darbojas diferencējošā ėēde, būtiski atšėiras reālā modeĝa ejas srgums un tā maiħas raksturs salīdzinājumā ar idealēto modeli. Proorcionālās un integrējošās ėēdes darbību abi modeĝi araksta vnādi. Modelēšanas laika beigās abu modeĝu ejas srgums atšėiras tikai ar 3.4%. Koăenerācijas kārtas gāzmotora rotācijas ātruma automātiskās stabilācijas sistēmas modelētā ārejas rocesa raksturlīkne ω f(t), mantojot reāla PID regulatora modeli, dota

124 4.. attēlā. Gāzmotora slodzes momenta M sl modelēšanai mantoti konstanta signāla, determinēti mainīga signāla un stohastiski mainīga signāla ăeneratori. Uzdotais nominālais rotācijas ātrums ω nom 57 rad/s. Gāzmotora darbināšanas laikā (0< t 0 s) uzdots konstants slodzes moments, nākošajā laika eriodā (0s< t 30 s) determinēti mainīgs slodzes moments un modelēšanas beigu osmā (30s< t 50 s) stohastiski mainīgs slodzes moments. Izmantojot PID regulatoru ar atbilstoši statītm un ar vadības objektu saskaħotm arametrm, var gūt augstu rocesa vadības kvalitāti. Askatītajā gadījumā, neatkarīgi no slodzes momenta maiħas rakstura, rotācijas ātruma novirze no uzdotā lluma ir mazāka ar ± %. Regulatora vēles un tā arametru statīšanas nosacījumi askatīti 4.6.nodaĜā. 4.. att. Koăenerācijas kārtas gāzmotora rotācijas ātruma automātiskās stabilācijas sistēmas ar PID regulatoru ārejas rocesa modelēšanas raksturlīkne ωf(t) 4.6. Regulatora vēle statiskm objektm ar transortkavējumu Vairāk kā 80% tehnoloăisko sistēmu dinamiskos rocesus araksta otrās un augstāku kārtu aeriodisk osmi, kurus aroksimācijas ceĝā var astāt ar irmās kārtas aeriodiska osma un kavējumosma virknes slēgumu. Tas dod sēju unificēt daudzu tehnoloăisko kārtu darbības algoritmus un strādāt vnotus nosacījumus to vadības algoritmu vēlei Vadības algoritma vēles nosacījumi - Lernera diagramma Askatīsim tehnoloăisko objektu, mēram, tvaika katlu, kā otrās kārtas aeriodisku osmu, kuru araksta sekojoša ārvades funkcija: K obj W ( s ), (4.3) T s + T s kur K obj vadības objekta ārvades koeficnts; T un T - vadības objekta laika konstantes, s. + 3

125 PĦemsim, ka vadības objekta ārejas rocesa raksturlīkne f(t) uzħemta ekserimentāli, adodot ejā konstantu lēcnveida darbi const. (4.3. att.) att. Otrās kārtas statiska tehnoloăiskā objekta ārejas rocesa raksturlīknes: f(t) un f(t) (t < 0, 0; t 0; const.) Raksturlīknei f(t) ir ārlkuma unkts. Lai grafoanalītiski noteiktu laika konstantes T un T, velkam šajā unktā skari. Atzīmējam skares krustunktu ar ordināti 0. Uz laika ass t atlkam trīs nogržħus, kas azīmēti ar τ obj, T obj un T. Pēdējā ir meklētā laika konstante T. Laika konstanti T arēėina ēc sekojošas formulas: T τ ( T τ ). obj obj Iegūtās laika konstantes τ obj un T obj dod sēju otrās kārtas aeriodisko osmu aroksimēt kā irmās kārtas aeriodisku osmu ar transortkavējumu (4.4. att.). Aroksimētā osma ārvades funkciju saka sekojoši: W ( s ) kur τ obj vadības objekta transortkavējuma laiks, s; T obj vadības objekta laika konstante, s. obj K T obj obj e s s τ + obj, (4.4) Veiktā aroksimācija dod sēju mantot Lernera un Zīglera Nikolsa kritējus, lai vēlētos tehnoloăiskā objekta vadības kontrollera darbības algoritmu un otimāli statītu tā arametrus. Minēt kritēriji sastādīti tehnoloăiskajm objektm, kurus araksta irmās kārtas aeriodisks osms ar transortkavējumu. Transortkavējums sarežăī tehnoloăiskā rocesa vadību. Jo llāks objekta transorkavējuma laiks τ obj attcībā ret tā laika konstanti T obj, jo llākas roblēmas rada rocesa vadības kvalitātes nodrošināšana. Tāēc llākm τ obj jāvēlas augstākas klases kontrolleris ar sarežăītāku vadības algoritmu (4.. tab.). 4

126 4.4. att. Aroksimētā irmās kārtas aeriodiskā osma ar transortkavējumu ārejas rocesa raksturlīkne: f(t) (t < 0, 0; t 0; const.) 4..tabula Kontrolleru vēles kritēriji statiskm objektm ar transortkavējumu τ obj T obj 0,5 Izmantojami diskrētās vadības kontrolleri ar divozīciju algoritmu 0. τ obj Tobj 0.5 Izmantojami analogās vadības kontrolleri ar PI vai PID algoritmu 0.5 τ obj Tobj 0.5 Izmantojami diskrētās vadības kontrolleri ar imulsregulēšanas algoritmu Kontrollera algoritma vēle. Pirmās kārtas statiska objekta ar transortkavējumu vadības algoritma vēlei var mantot Lernera diagrammu (4.5. att.). Uz diagrammas asīm atlikti relatīv laiki. Uz vertikālo asi laika konstantes attcība ret transortkavējumu, uz horontālo asi - ārejas rocesa (regulēšanas) laika attcība ret transortkavējumu. Horontālās līnijas nodala vadības algoritmu ltošanas agabalus. P regulatora ltošanas agabalu nosaka stabilējamā tehnoloăiskā arametra statiskā lluma s Ĝaujamā relatīvā novirze γ no uzdotā lluma 0, kur γ ( 0 - s )/ 0. Jo llāks Ĝaujamais γ, jo lašāks P regulatora ltošanas agabals (4.5. att.). Automātiskās regulēšanas algoritmu vēles rekomendācijas dotas 4.. tabulā. 4.. tabula Regulēšanas algoritma vēles nosacījumi ψ T / τ ; ψ t / τ, kur t ārejas rocesa laiks, s; s obj obj obj T obj vadības objekta laika konstante, s; τ obj - transortkavējuma laiks, s < ψ s < 4 Izvēlas imulsregulēšanas algoritmus 4 < ψ s < 6 Ieteicama PID vadība 6 < ψ s < 0 Var vēlēts P, PI vai PID vadību ψ > 0 Var vēlēts divozīciju regulēšanu s 5

127 4.5. att. Lernera diagramma statiska tehnoloăiskā objekta ar transortkavējumu vadības algoritma vēlei (I integrālais regulators; P roorcionālais regulators; PI roorcionāli integrālais regulators; PID roorcionāli integrālais diferenciālais regulators; SR seciālais imulsregulators) Vadības algoritma arametru statīšanas nosacījumi 0. gs. 40-tajos gados Cīglers un Nikolss strādāja kritērijus analogo regulatoru arametru otimālai statīšanai, kas galvenokārt bija aredzēti statisku tehnoloăisko objektu ar transortkavējumu vadības realācijai. Kritēriju amatā ir vadības objekta reakcija uz regulējošo darbi vai erturbāciju, kas visārīgi tk teikta rocentuāli attcībā ret maksimālo vērtību. Pamatojots uz raksē ārbaudītm kritērijm, sastādītas matemātiskas teiksmes (4.3. tab.), kas dod sēju arēėināt dažāda tia analogo regulatoru ar roorcionālo (P), integrālo (I), roorcionāli integrālo (PI) un roorcionāli integrālo diferenciālo (PID) vadības algoritmu otimālos arametru statījumus atkarībā no automātiskās vadības objekta arametrm: statiskā ārvades koeficnta K obj, transortkavējuma laika τ obj un laika konstantes T obj. Visirms ēc Lernera diagrammas vēlas vadības algoritmu. Pēc tam vēlas ārejas rocesa veidu - aeriodisku; ar maksimālo ārregulējumu, kas neārsndz 0% vai ēc minimālā integrālā kvalitātes kritērija I min, kur ε (t) ir regulēšanas dinamiskā relatīvā kĝūda. Pēc tam veic regulatora arametru statījumu arēėinu. Augstāku kārtu inerciālm statiskm objektm kā otimālu arasti vēlas ārejas rocesu ar vnu ārregulējumu, kurš mazāks ar 0%. Ja ārregulējums neārsndz 0%, tad ārejas rocesa kvalitāte ir atbilstoša kā no stabilitātes, tā ātrdarbības vdokĝa. ĥemot vērā to, ka tehnoloăiskā objekta modelis nav ideāls, arī arēėināt vadības algoritma statījumi nebūs otimāli. TādēĜ sistēmas modelēšanas rocesā t ir vairākkārt jārecē, vadots ēc ārejas rocesa kvalitātes rādītājm. 6

128 Regulatora tis P I PI 4.3. tabula Vadības algoritma arametru statīšanas kritēriji un arēėina formulas K aeriodisks T 0. 3 K τ obj obj obj obj ki 4.5K T obj obj obj 0.6 Tobj K, T 0. 6T K τ obj Pārejas rocesa veids ar 0% ārregulējumu K. 7 T ar minimālu integrālo 0 kritēriju I ε ( t) min 0 T obj obj K 0. 9 Kobjτ K obj objτ obj ki.7k T obj obj obj obj 0.7 Tobj K, T 0. 7T K τ obj ki.7k T obj obj obj obj dt Tobj K, T T K τ obj PID K T 0.95 T K τ obj.4τ, T obj a obj, 0.4τ K T. T K τ obj τ, T a obj obj, 0.4τ K T.4 T K τ obj obj obj.3τ, T a, 0.5τ 5. Automātiskās vadības sistēmu stabilitāte un darbības kvalitāte Automātiskās vadības sistēmas labumu raksturo divas kategorijas: stabilitāte un darbības kvalitāte. AVS dinamiskās analīzes irmais uzdevums ir sistēmas novērtēšana no stabilitātes vdokĝa. Ja ārejas rocesa beigās sistēma Ħem sākuma līdzsvara stāvokli, tad tā ir stabila. Turretī, ja ārejas rocess raisa sistēmas neārtrauktu attālināšanos no stacionārā sākuma stāvokĝa, tad tā ir nestabila. Nestabila sistēma nav raktiski mantojama. Projektējot (sintezējot) jaunu AVS, visirms nodrošina tās stabilitāti, t.i., vēlas atbilstošu sistēmas struktūru un tās komonentu arametrus, amatojots uz noteiktm stabilitātes kritērijm. Pēc tam risina AVS otimāciju, kuras mērėis nodrošināt necšamo uzdoto sistēmas ārejas rocesa kvalitāti. Turmāk galvenokārt askatīsim AVS stabilitātes un darbības kvalitātes analīzi, galvenos stabilitātes un kvalitātes novērtēšanas kritērijus un kvalitātes rādītāju uzlabošanas sējas. 5.. AVS brīvās kustības vnādojums un stabilitātes modeĝi Automātiskās vadības sistēma ir stabila, ja tā sēj galīgā laika intervālā atgrzts sākuma līdzsvara stāvoklī ēc tam, kad erturbācija, kas to virzīja no šī stāvokĝa, beigusi darbots. 7

129 Visārīgi jebkuras AVS ārejas rocesa raksturlīkne (t) sastāv no divām komonentēm uzsstās komonentes u (t) un brīvās komonentes br (t), kur ( t ) ( t ) ( t ). u + br Linearētām AVS, kas sastāv no lineārām un linearētām komonentēm (sk..nodaĝu), ārejas rocesa raksturs maz atkarīgs no erturbācijas lluma. Tāēc ar šādu sistēmu stabilitāti var srst ēc to brīvās kustības. Ja mainīgā erturbācija, kas jauc sistēmas līdzsvara stāvokli, ēc tam tk ātri noħemta, tad sistēmas kustību nosaka tikai brīvā komonente: ( t) 0 un ( t) ( t). Pamatojots uz šo nosacījumu, linearētas u br slēgtas AVS ar negatīvu atgrzenisko saiti brīvās kustības ētīšanai var mantot tās raksturīgo vnādojumu: n n n D s) a s + a s + a s a s + a 0, (5.) ( o n n kur a 0, a, a,..., a n- konstanti koeficnti ar laika dimensiju; a n nenosaukts konstants koeficnts; s Lalasa arguments ar agrzta laika dimensiju; n sistēmas raksturīgā vnādojuma kārta. Reāla AVS arasti satur kādu nelineāru osmu. Determinētas AVS nelineārais osms tk linearēts un tā darbību askata robežotā agabalā. Tad saka, ka dotā sistēma realē rocesa vadību mazumā. Adatīva AVS var nodrošināt nelineāra rocesa vadību visā tā arametru maiħas agabalā. Tad saka, ka dotā sistēma realē rocesa vadību llumā. Stabilas AVS modelis arādīts 5..a. attēlā. Tas sastāv no iltuvveidīga trauka ar stāvām gludām malām, kurā vtota metāla lodīte. Stacionārā līdzsvara stāvoklī lodīte atrodas ozīcijā 0`- 0. Plkot lodītei īslaicīgu sēka imulsu F i, kas darbojas kā erturbācija, tā novirzās no līdzsvara stāvokĝa ar maksimālo amlitūdu A max. Neatkarīgi no erturbācijas lluma lodīte cenšas atgrzts līdzsvara stāvoklī smaguma sēka saidā. Taču šī atgršanās var notikt dažādi atkarībā no inerces sēku un retestības sēku samēra. PĦemsim, ka traukā atrodas gaiss. Tad lodītes inerces sēki ir vērojamā ārsvarā ār vides retestības sēkm. Inerces sēku saidā lodītes ārejas rocess ir svārstīgs ar rimstošu amlitūdu (raksturlīkne (t), 5..b. att.). Pārejas rocesa beigās lodīte Ħem stacionāro sākuma stāvokli (0` - 0). Svārstību amlitūda norimst ēc eksonenciālas sakarības A A max e -αt, kur α svārstību rimšanas koeficnts, s -. Ielsim traukā mazas viskozitātes šėidrumu, mēram, sirtu vai ūdeni. Tad lodītes inerces sēki būs samērojami ar vides retestības sēkm. Plkot lodītei tādu ašu sēka imulsu, kā rkšējā gadījumā, tās maksimālās novirzes no līdzsvara stāvokĝa amlitūda būs mazāka un ārejas rocess noritēs lēnāk. Taču, salīdzinājumā ar rkšējo gadījumu, lodīte ātrāk atgrzīss līdzsvara stāvoklī 0`- 0, jo būtiski samazināss rocesa svārstīgums. Pārejas rocess ar vnu ārregulējumu ( raksturlīkne (t), 5..b. att.) bži vn tk Ħemts kā otimāls no kvalitātes vdokĝa, jo tajā ir sabalansēta sistēmas ātrdarbība ar dinamisko recitāti. Ja ārejas rocess ir rimstoši svārstīgs ar vnu vai vairākm ārregulējumm, tad AVS raksturīgā vnādojuma (5.) saknes ir komleksas ( s i α i ± jω i ), kur i...n saknes kārtas skaitlis; α i svārstību rimšanas koeficnti, s - ; ω i svārstību leħėiskās frekvences, s -. Tad raksturīgā vnādojuma (5.) atrisinājumu, kas araksta sistēmas ārejas rocesu, gūstam sekojošā formā: 8

130 n α it ( t) A e sin ( ω t + ϕ ), i kur A i i-tās komonentes amlitūda; ϕ i - sākuma fāze, rad. i i i (5.) a. b. 5.. att. Stabila sistēma: a modelis; b - ārejas rocesa raksturlīknes (F i sēka imulss, (t) rimstošs svārstīgs ārejas rocess, (t) ārejas rocess ar vnu ārregulējumu, 3 (t) monotons aeriodisks ārejas rocess) Ja α i «ω i, tad ārejas rocess ir teikti svārstīgs (raksturlīkne (t)). Ja α i ω i, tad ārejas rocess ir tuvs aeriodiskam (raksturlīkne (t)). Jāatzīmē, ka visu komlekso sakħu reālās daĝas (svārstību rimšanas koeficnti) ir negatīvi skaitĝi. Askatīsim trešo gadījumu, roti, lsim traukā (5..a. att.) llas viskozitātes šėidrumu, mēram, eĝĝu. Tad vides retestības sēki būs ārsvarā ār lodītes inerces sēkm. Plkot lodītei tādu ašu sēka imulsu, kā rkšējā gadījumā, tās maksimālās novirzes no līdzsvara stāvokĝa amlitūda būs vēl mazāka un ārejas rocess noritēs vēl lēnāk. Taču, salīdzinājumā ar rkšējo gadījumu, lodīte atgrzīss līdzsvara stāvoklī (0`- 0) monotoni (aeriodiski) bez ārregulējuma (raksturlīkne 3 (t), 5..b. att.). Kaut gan ārejas rocess notk bez ārregulējuma, tomēr tas ir kĝuvis vērojami lēnāks. Tā kā sistēmas ātrdarbība ir vns no tās kvalitātes kritērijm, tad aeriodisku ārejas rocesu vēlas reti. Ja ārejas rocess ir aeriodisks, tad AVS raksturīgā vnādojuma (5.) saknes ir reāli negatīvi skaitĝi ( si α i ), kur α i AVS ejas lluma (t) novirzes no līdzsvara stāvokĝa (0`- 0) rimšanas koeficnti, s -. Raksturīgā vnādojuma (5.) atrisinājumu, kas araksta sistēmas ārejas rocesu, gūstam sekojošā formā: ( t) n i A e i α t i. (5.3) 9

131 Pamatojots uz rkš veikto analīzi, formulēsim vnu no AVS stabilitātes amatnosacījumm: AVS ir stabila, ja tās raksturīgā vnādojuma visas reālās saknes un visu komlekso sakħu reālās daĝas ir negatīvi skaitĝi. Nestabilas sistēmas modelis arādīts 5..a. attēlā. Plkot lodītei sēka imulsu F i, tā novirzās no līdzsvara stāvokĝa (0` - 0) un, riojot a slīo virsmu, arvn vairāk attālinās no tā. Lodītes atgršanās līdzsvara stāvoklī nav sējama. Paugošās novirzes amlitūdas maiħu laikā visārīgi attēlo raksturlīkne A f(t) (5..b. att.). a. b. 5.. att. Nestabila sistēma: a modelis; b - ārejas rocesa raksturlīknes ( f (t) nerimstošs svārstīgs ārejas rocess ar augošu amlitūdu, A f(t) regulējamā lluma augošās novirzes no līdzsvara stāvokĝa amlitūda) Reālās sistēmās šāds režīms ir maz varbūtisks. Tas var rasts vnīgi avārijas gadījumos. Kā mēru var minēt AVS, kuras ildkārtā mantots līdzstrāvas elektrodzinējs ar aralēlo rosmi. Ja sistēmas darbības laikā kaut kādu meslu dēĝ ārtrūkst rosmes ėēde, elektrodzinējs var sākt joħot, jo nekontrolēti aug tā rotācijas ātrums. Taču tas sējams vnīgi tad, ja elektrodzinējs darbojas tukšgaitā. Noslogots elektrodzinējs nosrūdīs un nekāda tā rosināšanās nenotiks. Modelējot augstākas kārtas AVS, kuras arametri vēlēti nestabilitātes agabalā, gūst svārstīgu ārejas rocesa raksturlīkni f(t) ar augošu amlitūdu (5..b. att.). Ja ārejas rocess ir nerimstoši svārstīgs ar augošu amlitūdu, tad AVS raksturīgā vnādojuma (5.) saknes ir komleksas ( si ± α i ± jω i ) un vismaz vnas saknes reālā daĝa ir ozitīvs skaitlis. PĦemsim, ka sakne s α + jω. Tad atbilstošo sistēmas ārejas rocesa raksturlīknes komonenti (t) gūsim sekojošā formā: α t ( t) A e sin( ω t + ϕ), kur A sākuma amlitūda; ω leħėiskā frekvence, s - ; φ - sākuma fāze, rad. (5.4) Tā kā α ir ozitīvs skaitlis, tad, augot laikam, svārstību amlitūda aeriodiski allinās: α t A ( t) A e. (5.5) 30

132 Neskatots uz to, ka raksturīgā vnādojuma visas ārējās komonentes ir rimstošas, galīgo ārejas rocesu nosaka augošā komonente (t). Rezumējot veikto analīzi, varam formulēt AVS nestabilitātes nosacījumus. Ja kaut vna AVS raksturīgā vnādojuma reālā sakne, vai komleksās saknes reālā daĝa ir ozitīvs skaitlis, tad sistēma ir nestabila un jebkuras erturbācijas saidā tā attālinās no uzdotā līdzsvara stāvokĝa. Ja lodīti novto uz horontālas virsmas stāvoklī (0`-0), kam atbilst uzdotais līdzsvara stāvoklis, un uz to darbojas ar sēka imulsu F i, tad notk ārejas rocess un lodīte Ħem jaunu līdzsvara stāvokli (`-). Šāds modelis araksta indiferentu sistēmu (5.3. att.). Ja sākuma stāvoklī (0`-0) uz lodīti darboss ar llāku sēka imulsu F i, tad lodītes novirzes amlitūda būs llāka (A max > A max ) un tā Ħems citu līdzsvara stāvokli (`-). Tātad indiferentas sistēmas līdzsvara stāvokli nosaka erturbācijas llums. Ar indiferentas sistēmas modeli definē AVS, kas atrodas uz stabilitātes robežas. Mainot sistēmas arametrus, res., lcot horontālo virsmu uz leju vai lcot uz augšu, gūstam stabilas vai nestabilas sistēmas modeĝus. a. b att. Indiferenta sistēma: a modelis; b - ārejas rocesa raksturlīknes ( (t) āreja jaunā līdzsvara stāvoklī, lkot sēka imulsu F i ; (t) āreja jaunā līdzsvara stāvoklī, lkot sēka imulsu F i, kur F i > F i ) Reālas AVS stabilitātes robežu atbilstošāk un recīzāk definē svārstīgs modelis, mēram, idealēts mehāniskais svārsts, kura inerces sēki ir vērojamā ārsvarā ār retestības sēkm (5.4.a. att.). Iedarbojots ar sēka imulsu F i, tk rosinātas nerimstošas sinusoidālas svārstības (A sin ωt) ar konstantu amlitūdu (A const.) (5.4.b. att.). Ja ārejas rocess ir nerimstoši svārstīgs ar konstantu amlitūdu, tad svārstību rimšanas koeficnts α 0 un AVS raksturīgā vnādojuma (5.) saknes ir imagināras ( s i ± jω i ). Līdz ar to raksturīgā vnādojuma (5.) atrisinājumu, kas araksta sistēmas ārejas rocesu, gūstam sekojošā formā: n ( t) Ai sin ( ω i t ), (5.6) i 3

133 kur A i i-tās komonentes amlitūda; ω i i-tās komonentes leħėiskā frekvence, s -. Var definēt sekojošus AVS stabilitātes robežnosacījumus. Sistēma atrodas uz stabilitātes robežas, ja tās raksturīgā vnādojuma saknes ir imagināri skaitĝi. a. b att. Sistēma uz stabilitātes robežas: a mehāniskā svārsta modelis; b nerimstoši svārstīgs ārejas rocess f(t) ar konstantu svārstību amlitūdu A const. Projektējot automātiskās vadības sistēmas, to arametrus vēlas stabilitātes agabalā un tkami tālu no stabilitātes robežas, lai nodrošinātu necšamo stabilitātes rezervi gadījumos, kad erturbācijas sasndz kritiskus llumus un sistēma var kĝūt nestabila vai tās darbības kvalitāte neamrina minimālās rasības. 5.. AVS ārvades funkcija un raksturīgais vnādojums Kā mēru askatīsim lineāru AVS ar inerciālu negatīvu atgrzenisko saiti, kas sastāv no roorcionālā regulatora ar ārvades koeficntu K, inerciālas ild-kārtas ar ārvades koeficntu K i un laika konstanti T i, statiska automātiskās vadības objekta (AVO) ar ārvades koeficntu K obj un laika konstanti T obj. Atgrzeniskajā saitē slēgts inerciāls mērīšanas ārveidotājs ar ārvades koeficntu K as un laika konstanti T as (5.5. att.). Diferenciālā ejas shēma formē novirzes signālu as. Sastādīsim vaĝējas sistēmas ārvades funkciju W(s). Šai nolūkā ārtraucam atgrzenisko saiti. Tad gūstam vaĝēju sistēmu, kas sastāv no trim virknē slēgtm blokm: P regulatora, ildkārtas un AVO. Izmantojot AVS osmu virknes slēguma īašības, sastādām vaĝējas sistēmas ārvades funkciju: W K K i K obj ( T s + )( T s + ), kur K K K i K obj vaĝējas sistēmas ārvades koeficnts. i obj K ( T s + )( T s + ) i obj (5.7) 3

134 5.5. att. Lineāras AVS ar inerciālu atgrzenisko saiti algoritmiskā blokshēma Sastādīsim slēgtas sistēmas ārvades funkciju Φ(s). Šai nolūkā atjaunojam atgrzenisko saiti. Tad gūstam slēgtu sistēmu, kas sastāv no trim virknē slēgtm blokm (P regulatora, ildkārtas, AVO) un atgrzeniskās saites bloka. Izmantojot atgrzeniskās saites slēguma īašības, sastādām slēgtas sistēmas ārvades funkciju: Φ W + W W as + W W, kur W as (s) K as /(T as s+) atgrzeniskās saites ārvades funkcija. Uzrakstīsim teiksmi (5.8) vērstā veidā: Φ s) + ( T s + )( T s + ) ( i obj ( T s + )( T i obj K { Tas { K + T K ( Tas s + ) s + )( T s + ) + K as as as as K + K as (5.8).(5.9) Izdarot matemātiskus ārveidojumus un vedot jaunus azīmējumus, gūstam sekojošu teiksmi: Q( s) D( s) 0 ( s ), a 0 s 3 b s + b + a s + a Φ (5.0) s + a kur Q(s) b 0 s + b slēgtas sistēmas darbes oerators; D(s) a 0 s 3 + a s + a s + a 3 - slēgtas sistēmas ašoerators; b 0 K T as, b K, a 0 T i T obj T as, a T i T obj + T i T as + T obj T as, a T i + T obj + T as, a 3 + K as K konstanti koeficnti. Plīdzinot nullei darbes oeratoru Q(s), gūst vnādojumu, kura saknes sauc ar nullēm. Dotajai sistēmai ir vna nulle (b 0 s + b 0, s 0 - b / b 0 - /T as ). Plīdzinot nullei slēgtas sistēmas ašoeratoru D(s), gūst tās raksturīgo vnādojumu, kura saknes sauc ar olm. Dotajai sistēmai ir trīs oli - s, s un s 3, kurus gūst atrisinot algebrisku vnādojumu: a 0 s 3 + a s + a s + a

135 Veiktā analīze Ĝauj darīt secinājumu, ka atverot otrās kārtas vaĝēju AVS ar negatīvu inerciālu atgrzenisko saiti gūst trešās kārtas slēgtu AVS. Tātad inerciāla atgrzeniskā saite maina slēgtas AVS dinamiskās īašības AVS algebrisk stabilitātes un kvalitātes kritēriji Analējot AVS stabilitātes modeĝus (5.. nodaĝa) noskaidrojām, ka lineāras sistēmas stabilitāti nosaka tās raksturīgā vnādojuma saknes (oli). Pamatojots uz gūtajm rezultātm, formulējām sekojošu stabilitātes nosacījumu: AVS ir stabila, ja tās raksturīgā vnādojuma visas reālās saknes un komlekso sakħu reālās daĝas ir negatīvi skaitĝi. Augstāku kārtu AVS raksturīgais vnādojums arasti satur komleksas saknes. Tad AVS stabilitāti var novērtēt ēc tās raksturīgā vnādojuma sakħu vtojuma komleksajā laknē, ko sauc arī ar s-lakni. Turmāk, kā irmo, askatīsim AVS stabilitātes algebrisko kritēriju, kas balstās uz raksturīgā vnādojuma sakħu (olu) vtojumu s-laknē. Lai mantotu AVS olu vtojuma s-laknē kritēriju, necšams atrisināt sistēmas raksturīgo vnādojumu. Vācu matemātiėis Rauss un šveicšu matemātiėis Hurvics, neatkarīgi vns no otra, 9. gs. beigās veda AVS stabilitātes kritērijus, kas nerasa sistēmas raksturīgā vnādojuma atrisināšanu. T amatojas uz algebrisku determinantu analīzi, kuri tk sastādīti no sistēmas ašoeratora koeficntm, mantojot formālus algoritmus. Turmāk, kā otro, askatīsim AVS stabilitātes algebrisko kritēriju, kas balstās uz Hurvica determinanta analīzi AVS olu vtojuma s-laknē kritēriji Askatīsim trešās kārtas slēgtu AVS, kuras brīvo kustību araksta raksturīgais vnādojums: a 0 s 3 + a s + a s + a 3 0, kur a 0, a un a konstanti koeficnti; a 3 +K as K brīvais loceklis, kurš mainās atkarībā no vaĝējas AVS ārvades koeficnta K. Visārīgi trešās kārtas raksturīgajam vnādojumam ir vna reāla sakne un divas komleksi saistītas saknes. Analēsim trīs variantus dažādām koeficnta K vērtībām.. Ja K K, AVS ir stabila. Tad raksturīgā vnādojuma reālā sakne un komlekso sakħu reālā daĝa ir negatīvi skaitĝi: s - α ; s - α + j ω ; s 3 - α - j ω, kur α, α rimšanas koeficnti, s - ; ω - svārstību leħėiskā frekvence, s -.. Ja K K K kr > K (K kr kritiskā vērtība), AVS ir uz stabilitātes robežas. Tad raksturīgais vnādojums satur imagināras saknes: s - α ; s + j ω ; s 3 - j ω. Sistēmā rodas nerimstošas svārstības. 3. Ja K K 3 > K kr, AVS ir nestabila. Tad raksturīgā vnādojuma komlekso sakħu reālā daĝa ir ozitīvs skaitlis: s 3 - α 3 ; s 3 + α 3 + j ω 3 ; s 33 + α 3 - j ω 3. Sistēmā rodas svārstības ar augošu amlitūdu. Attēlosim gūtās saknes komleksajā s-laknē. Uz imaginārās ass (Im) atlkam sakħu imaginārās komonentes, uz reālās ass (Re) reālās komonentes (5.6.att.). Formulēsim AVS stabilitātes nosacījumus atkarībā no raksturīgā vnādojuma sakħu (sistēmas olu) vtojuma komleksajā s-laknē. Slēgta AVS ir stabila, ja tās oli vtojas komleksās s-laknes kreisajā uslaknē. Ja kaut vns ols vtojas uz imaginārās ass - AVS atrodas uz stabilitātes robežas, ja a labi no imaginārās ass AVS ir nestabila. 34

136 5.6. att. Stabilas ( ), uz stabilitātes robežas ( ) un nestabilas ( ) trešās kārtas AVS olu vtojums komleksajā s-laknē Mainot kādu AVS arametru, mēram, ārvades koeficntu K, kas saido sistēmas stabilitāti un darbības kvalitāti, gūst olu saimi, kas attēlojas komleksajā s-laknē. Savnojot AVS olus, gūstam trajektoriju, ko sauc ar sakħu (Evansa) hodogrāfu. Hodogrāfs attēlo sakarību: s i f(k i ), kur K i mainīgais AVS ārvades koeficnts; s i tam atbilstošā raksturīgā vnādojuma sakne (ols), kas atrodas vistuvāk stabilitātes robežai un nosaka sistēmas ārejas rocesa raksturu un stabilitāti (5.6. att.). Evanss strādāja grafoanalītisku metodi, kas deva sēju uzskatāmā veidā ētīt AVS stabilitāti un darbības kvalitāti, kā arī arēėināt korekcijas kārtas AVS darbības kvalitātes uzlabošanai, mantojot sakħu hodogrāfu. Metode amatojas uz AVS ārvades funkciju mantošanu. Askatot vaĝējas un slēgtas AVS ārvades funkcijas un raksturīgos vnādojumus, var atrast sakarības star sistēmas nullēm un olm dažādām kāda sistēmas arametra vērtībām. NedziĜinots metodes būtībā, kas rasa adziĝinātas zināšanas automātiskās vadības teorijā, askatīsim tās mantošanas mēru. Noteiksim dažus trešās kārtas AVS stabilitātes un darbības kvalitātes kvantitatīvos rādītājus stabilai sistēmai. Stabilas AVS ar ārvades koeficntu K K (5.6. att.) stabilitātes akāi η raksturo attālums no imaginārās ass Im līdz tuvākajai saknei, kas dotajā gadījumā ir komlekso sakħu āris: s -α +j ω ; s 3 -α -j ω. Tā kā Im asij tuvākais ir komlekso sakħu āris, tad stabilitātes akāe ir svārstīga. Tātad η α, kur α - svārstību rimšanas koeficnts, s -. Jo llāks α salīdzinājumā ar svārstību leħėisko frekvenci ω, jo augstāka AVS stabilitāte. Trešās kārtas AVS olu vtojums s-laknē dod sēju atuveni novērtēt arī galvenos kvalitātes rādītājus: svārstīgumu m; svārstību rimšanas akāi ψ; svārstību eriodu T; maksimālo ārregulējumu σ max ; ārejas rocesa laiku t. Novērtējumu gūst tkami recīzu nosacījuma, ja reālā sakne ir vērojami llāka ar komlekso sakħu reālo daĝu ēc absolūtās vērtības α» α, jo tad aeriodiskā komonente strauji norimst un AVS ārejas rocesu nosaka tikai svārstīgā komonente. 35

137 . Svārstīgums: m - mainīgā ejas lluma (t) āreju skaits ār stacionāro līdzsvara stāvokli līdz šanai 5 % stabilācijas zonā.. Svārstību rimšanas akāe: ψ ctgγ / m α / ω - raksturo svārstību amlitūdas (A A max e -αt ) rimšanas ātrumu ( nulles sākuma nosacījumm A max s, kur s regulējamā arametra nostabilējuss beigu vērtība). 3. Svārstību eriods: T π / ω - saka vnas ilnas svārstības vidējo laiku, s. tgγ ω /α σ π α ω 4. Maksimālais ārregulējums: max A / s 00% e 00% - irmā ārregulējuma amlitūdas A attcība ret regulējamā ejas arametra nostabilējušos statisko llumu s. t 5. Pārejas rocesa laiks: t ln( ), kur α t ejas arametra s ln0.05 llums ārejas rocesa beigās (vēlams t 0.95 s, tad t ). Pallinot stabilitātes akāi η, samazinās AVS svārstīgums m. Samazinās arī maksimālais ārregulējums σ max un ārejas rocesa laiks t. Tātad uzlabojas visi minēt darbības kvalitātes rādītāji. Jāvēro, ka kvalitātes rādītāju vnkāršotās teiksmes mantojamas tikai otrās un trešās kārtas AVS analīzē. Augstāku kārtu AVS kvalitātes analīzei jāmanto turmāk askatītās frekvenču metodes vai modelēšanas ceĝā gūtas ārejas rocesa raksturlīknes. Pallinot ārvades koeficntu K, AVS kĝūst jutīgāka un svārstīgāka. Līdz ar to asliktinās tās stabilitāte. Samazinot K, allinās statiskā kĝūda. Izvēlots koeficntu K, jāmeklē komromiss star sistēmas stabilitāti un recitāti Trešās kārtas slēgtas AVS analīzes mērs Lai veiktu AVS analīzi, mantojam slēgtas sistēmas ārvades funkciju (5.0). Dots: T i 0.s; T obj 0.5s; T as 0.05s; K as 0.5; K 0, kur s laika mērvnība, sekunde. PĜaujamais ārregulējums σ max 0%, statiskā kĝūda ε 0%. Arēėinām ārvades funkcijas (5.0) koeficntus: b 0 K T as s; b K 0; a 0 T i T obj T as s 3 ; a T i T obj + T i T as + T obj T as s ; a T i + T obj + T as s; a 3 + K as K Ievtojot skaitliskos koeficntus, gūstam sekojošu ārvades funkciju: Φ 0.5 s s s + 6 ( s ) s 3 Arēėinus veicam, mantojot Matlab. Atveram Matlab komandlogu un sastādām AVS analīzei necšamo rogrammu (5.7. att.), aredzot sekojošus soĝus: AVS olu un nuĝĝu arēėinu; olu un nuĝĝu attēlojumu s-laknē (5.8. att.); AVS ārejas rocesa raksturlīknes arēėinu; ārejas rocesa raksturlīknes grafisku attēlojumu (5.9. att.). Plīdzinot nullei sistēmas darbes oeratoru - Q(s) 0.5s + 0 0, gūst vnu sakni (nulli): s 0 - α 0-0. α 36

138 Atrisinot raksturīgo vnādojumu, gūst trīs saknes (olus): s - α - 5.5; s - α + jω j 9.4; s 3 - α - jω j 9.4, no kurām vna sakne ir reāla, bet divas komleksi saistītas. Komentāri: lai noteiktu AVS olus un nulles, to attēlojumu s-laknē un ārejas rocesa raksturlīkni f(t), atver Matlab komandlogu un sastāda rogrammu, mantojot Matlab funkcijas un standartkomandas; visirms vada AVS ārvades funkcijas Fs arametrus darbes oeratora Q(s) un ašoeratora D(s) koeficntus, ar <Enter>ārt uz nākamo komandu olu S arēėinu, ar <Enter> gūst olu skaitliskās teiksmes; ar komandu Sozero(Fs) gūst AVS nulli, ar zma(fs) AVS olu un nulles attēlojumu s-laknē, ar [,t]ste(fs,t) AVS ārejas rocesa raksturlīkni un ar lot(t,) tās grafisko attēlojumu att. Matlab rogramma trešās kārtas slēgtas AVS stabilitātes analīzei ēc ārvades funkcijas olu un nuĝĝu vtojuma komleksajā s-laknē Pzīme. Tekstā turams rkš Ħemtās komlekso skaitĝu raksta formas ar j. NuĜĜu saids uz AVS stabilitāti un ārejas rocesu ir sarežăīts. To nosaka vairāki faktori, mēram, sākuma nosacījumi (nulles vai nenulles), erturbāciju llums un darbes raksturs, AVS veids (statiska vai astatiska). Koumā nulles asliktina AVS darbības kvalitāti, sevišėi, ja tās vtojas tuvu stabilitātes robežai. Taču ir arī Ħēmumi, mēram, kĝaujot sistēmā diferencējošo filtru kā virknes korekcijas ėēdi, kas allina nuĝĝu skaitu, AVS darbības kvalitāte būtiski uzlabojas. Dotajā gadījumā nulle s 0 tāat kā ols s vtojas tālu no stabilitātes robežas (5.8. att.), tādēĝ raktiski nesaido AVS ārejas rocesu un tos var neħemt vērā. 37

139 5.8. att. Trešās kārtas stabilas AVS olu un nuĝĝu vtojums komleksajā s- laknē AVS ārejas rocesu nosaka komleks oli s un s, kuri atrodas vistuvāk stabilitātes robežai. Balstots uz šo secinājumu, AVS darbības rādītāju arēėinm var mantot tuvinātas teiksmes.. Svārstīgums: m ω / α 9.4/ Svārstību rimšanas akāe: ψ / m / Svārstību eriods: T π / ω 3.4/ s. σ Pārregulējums: e 00% e 00% 3.7%. max π α ω ln0.05 ln Pārejas rocesa laiks: t 0.9s. α 3.5 Izmantojot slēgtas sistēmas ārvades funkciju, var arēėināt AVS ejas arametra statisko nostabilējušos vērtību: lim Φ( s) 0 0/6.67. s s Var secināt, ka arēėini, kas gūti ar tuvinātām teiksmēm, labi sakrīt ar datora arēėinu rezultātm, mēram, svārstību rimšanas akāe (Daming), un maksimālais ārregulējums (Overshoot) (5.8. att.), kā arī svārstību eriods T un ārejas rocesa laiks t (5.9. att.). Ar Frequency azīmēts attcīgās saknes modulis, mēram, s (5.8. att.). Svarīgs AVS kvalitātes rādītājs ir recitāte, ar kādu sistēma stata regulējamo arametru s atbilstoši uzdotajam llumam 0. Reālā lluma s neatbilstību uzdotajam llumam 0 raksturo relatīvā statiskā kĝūda ε (sk.. nodaĝu). 38

140 Noteiksim dotās AVS relatīvo statisko kĝūdu ēc ejas darbes, neħemot vērā 00 % 00 % erturbācijas: ε 7 %. + K K as 5.9. att. Trešās kārtas slēgtas AVS ārejas rocesa raksturlīkne: f(t) Kosavilkums. Analējamā AVS ir stabila, taču neamrinoša ir tās darbības kvalitāte: maksimālais ārregulējums σ max 3.7% ārsndz Ĝaujamo 0%; statiskā kĝūda ε 7% ir vērojami llāka ar Ĝaujamo 0%. Komentārs. Lai samazinātu maksimālo ārregulējumu, nemainot AVS struktūru, jāsamazina tās ārvades koeficnts K. Taču samazinot K, allināss statiskā kĝūda. Tātad mainot K, nevar nodrošināt necšamo kvalitāti. Secinājums. Lai būtiski uzlabotu AVS darbības kvalitāti, P-regulators jānomaina ar augstākas klases regulatoru PI, PD vai PID (sk. 4. nodaĝu) Hurvica kritēriji un stabilitātes robežlīkne Hurvica kritēriji dod sēju novērtēt slēgtas AVS stabilitāti, nerisinot tās raksturīgo vnādojumu. Hurvica metodes amatā ir algebriska determinanta analīze, kurš sastādīts no slēgtas AVS ašoeratora koeficntm, mantojot formālu algoritmu. Askatīsim Hurvica determinanta H sastādīšanas metodiku ceturtās kārtas slēgtai AVS, kuras brīvo kustību araksta ceturtās kārtas ašoerators: D(s) a 0 s 4 + a s a s + a 3 s + a 4. Visirms ailda galveno diagonāli, sākot ar koeficntu a līdz a 4 (5.0. att.). Kolonnās zem galvenās diagonāles raksta koeficntus ar dilstošu indeksāciju, bet virs diagonāles ar augošu indeksāciju. Trūkstošo koeficntu vtā lk 0. Determinantu H sadala diagonālajos minoros: ; ; 3 ; 4. 39

141 5.0. att. Hurvica determinants slēgtai ceturtās kārtas automātiskās vadības sistēmai Hurvics rādīja un formulēja AVS stabilitātes necšamo un tkamo nosacījumu: necšamais stabilitātes nosacījums (nav tkams) - vism AVS ašoeratora koeficntm jābūt ozitīvm skaitĝm; tkamais stabilitātes nosacījums - vism Hurvica determinanta H diagonālajm minorm jābūt ozitīvm skaitĝm. Ja kaut vns AVS ašoeratora koeficnts ir negatīvs skaitlis, tad sistēma ir strukturāli nestabila un tās tālākai analīzei nav jēgas. Visirms jānomaina nestabilais osms un tad var turināt sistēmas analīzi. Askatīsim ceturtās kārtas AVS stabilitātes nosacījumus: necšamais stabilitātes nosacījums a 0 >0, a >0, a >0, a 3 >0, a 4 >0; tkamais stabilitātes nosacījums - a > 0, a a -a 0 a 3 > 0, 3 a 3 - a a 4 > 0, 4 a 4 3 > 0. Nav grūti rādīt, ka, ildots necšamajam stabilitātes nosacījumam, jāārbauda tikai (n-) kārtas minors. Ja 3 > 0, tad arī ( un 4 )>0. Tas dod sēju sašaurināt stabilitātes nosacījumus: AVS ir stabila, ja tās ašoeratora visi koeficnti un Hurvica determinanta (n-) kārtas diagonālais minors ir ozitīvi skaitĝi, kur n ašoeratora kārta. Trešās kārtas slēgtas AVS stabilitātes analīzes mērs. Trešās kārtas slēgtas AVS stabilitātes nosacījumi atbilstoši Hurvica kritērijm ir sekojoši: a 0 > 0, a > 0, a > 0, a 3 > 0; a a a 0 a 3 > 0. Uz stabilitātes robežas a a a 0 a 3 0, no kurnes a a a 0 a 3. Analīzei mantojam nodaĝas datus: a s 3 ; a 0.08 s ; a 0.65 s; a 3 + K as K, kur K as 0.5 atgrzeniskās saites ārvades koeficnts, K 0 vaĝējas sistēmas ārvades koeficnts. Hurvica kritērijs dod sēju arēėināt AVS stabilitātes robežlīkni arametru K un K as laknē un uzskatāmi arādīt sistēmas stabilitātes rezervi ēc vna no arametrm, mēram, K. Sistēmas stabilitātes robežnosacījumā vtojam a 3 +K as K. Veicot vnkāršus matemātiskus ārveidojumus, gūstam sakarību: Kf(K as ), kur K (a a - a 0 )/(a 0 K as ). Ievtojot koeficntu skaitliskās vērtības, atrodam stabilitātes robežlīknes vnādojumu: K 9.8/K as. 40

142 Konstruējot sakarību K f(k as ) (5.. att.), gūstam sistēmas stabilitātes robežlīkni, kas sadala arametru K un K as lakni stabilitātes un nestabilitātes agabalos. 5.. att. Trešās kārtas slēgtas AVS stabilitātes robežlīkne arametru K un K as laknē Agabalā virs līknes K f(k as ) un a labi no tās sistēma ir nestabila, bet agabalā zem līknes un a kreisi no tās stabila. Jo tālāk vēlētais darba unkts atrodas no stabilitātes robežas stabilitātes agabala kšnē, jo llāka sistēmas stabilitātes akāe. Hurvica kritērijs dod sēju uzskatāmi arādīt AVS darba unkta stāvokli arametru laknē, taču neĝauj novērtēt kvantitatīvi sistēmas stabilitātes akāi un darbības kvalitāti. Sistēmas statīšanas arametra, mēram, K vēle notk ēc intuīcijas vairāk aĝaujots uz redzi, nevis uz recīzm arēėinm. Atuveni ar AVS darbības kvalitāti var srst ēc sistēmas statīšanas arametra K relatīvās rezerves attcībā ret tā kritisko robežvērtību K kr, ko saka rocentos: h K (K kr - K)/ K kr 00%. Dotajai AVS : h K (40-0)/ 40 00% 75%. Iestatīšanas arametra (K 0) rezerve ret tā kritisko vērtību (K kr 40) lkas vērojama, taču, kā noskaidrojām rkš, šādas rezerves AVS darbības kvalitāte ir neamrinoša AVS stabilitātes un kvalitātes frekvenču kritēriji Frekvenču metodes automātiskās vadības sistēmu ētīšanā sāk vsts 0. gs. 30-tajos gados. To asācēji ir Naikvists, Bodē un Mihailovs. Vēlāk frekvenču metodes laši všas AVS analīzē (stabilitātes un darbības kvalitātes ētījumos), kā arī AVS sintēzē (AVS rojektēšanā atbilstoši uzdotm kvalitātes nosacījumm). Frekvenču metožu amatā ir AVS reakcija uz harmonisku (arasti sinusoidālu) ejas signālu ar konstantu amlitūdu un mainīgu frekvenci. AVS ejas signālam ir tāda 4

143 ati frekvence, kā ejas signālam, bet sākuma fāzes nobīde (akavēšanās) attcībā ret ejas signāla sākuma fāzi un amlitūda ir atkarīgi no sistēmas bloku inerces un jutības, kā arī no ejas signāla frekvences. Analējot ejas harmoniskā signāla arametru atkarību no ejas harmoniskā signāla frekvences un AVS arametrm var novērtēt tās stabilitāti un darbības kvalitāti. NodaĜā dota AVS frekvenču funkciju un frekvenču raksturlīkħu sastādīšanas metodika. Askatīti Mihailova, Naikvista un Bodē frekvenču kritēriji AVS stabilitātes un kvalitātes novērtēšanai. Naikvista un Bodē frekvenču raksturlīkħu ltojums askatīts skaitliskos mēros, mantojot Matlab rogrammaketi VaĜējas AVS frekvenču raksturlīknes Kā redzēsim vēlāk, ēc vaĝējas sistēmas frekvenču raksturlīknes var novērtēt slēgtas sistēmas stabilitāti un arī tās darbības kvalitāti. Lai gūtu vaĝējas AVS frekvenču raksturlīknes, nosacīti ārtraucam galveno atgrzenisko saiti (5.. att.), kuras īašības araksta atgrzeniskajā saitē slēgtā bloka ārvades funkcija W as (s). Pēc statiskajām un dinamiskajām īašībām atgrzeniskās saites blokus var dalīt sekojoši: cta bezinerces atgrzeniskā saite:w as (s) K as const., kur K as as / s ; cta bezinerces vninka atgrzeniskā saite: W as (s) K as ; inerciāla atgrzeniskā saite: W as (s) K as /(T as s+), kur T as - darbības inerces laika konstante, s; elastīga atgrzeniskā saite: W as (s) K as (T d s+)/(t as s+), kur T d diferencēšanas laika konstante, s. Cta atgrzeniskā saite reaăē uz AVS ejas signāla amlitūdu, bet elastīga arī uz tā maiħas ātrumu. Lai korekti novērtētu slēgtas AVS īašības ēc vaĝējas sistēmas frekvenču raksturlīknēm, nevar neħemt vērā atgrzeniskās saites saidu, īaši, ja tā ir inerciāla vai elastīga. Parasti vaĝējas AVS frekvenču raksturlīknes sastāda, Ħemot, ka tā tk atverta ar ctu atgrzenisko saiti. Nosakot slēgtas AVS ar inerciālu vai elastīgu atgrzenisko saiti kvalitātes rādītājus ēc vaĝējas AVS frekvenču raksturlīknēm, tuvinātajās usemīriskajās teiksmēs aildus korekcija. jāved 5.. att. AVS ar ārtrauktu atgrzenisko saiti reakcija uz harmonisku ejas signālu Analītisko sakarību gūšanai, askatīsim vnkāršu mēru. Dota otrās kārtas statiska AVS ar vninka atgrzenisko saiti W as (s) K as, kuras ārvades funkcija: 4

144 W, a K 0 s + a s + kur (s), (s) ejas un ejas signālu attēli; K vaĝējas sistēmas ārvades koeficnts; a 0, a, konstanti koeficnti, kas tver sistēmas bloku laika konstantes. (5.) AVS ejā tk adots sinusoidāls signāls: A sin ω t, (5.) kur A const. ejas signāla amlitūda; ω leħėiskā frekvence, rad/s(turmāk tekstā mantosim saīsinātu rakstu, s - ). AVS ejā arī gūst sinusoidālu signālu ar tādu ašu leħėisko frekvenci ω, bet atšėirīgu amlitūdu un sākuma fāzi (5.. att.): A ( ω ) sin( ω t ϕ ( ω )), (5.3) kur A (ω) ejas signāla amlitūda ( mainās atkarībā no leħėiskās frekvences ω); φ(ω) ejas signāla fāze, rad ( mainās atkarībā no leħėiskās frekvences ω). Izejas signāls atalk fāzē no ejas signāla ar leħėi φ(ω). Šo akavēšanos rada AVS osmu inerce. Pallinot ejas signāla leħėisko frekvenci ω, aug arī φ(ω). Ja AVS ārejas rocess ir nerimstoši svārstīgs, tad raksturīgā vnādojuma saknes ir imagināras( s ±j ω). Ievtojot ārvades funkcijā (5.) s j ω, gūstam vaĝējas AVS frekvenču funkciju: W ( jω) ( jω) ( jω) a K ( jω) + a ( jω) + ( a K ω ) + j( a 0 0 ω. ) (5.4) Redzams, ka frekvenču funkcijas saucējā ir komlekss skaitlis. Dalīt ar komleksu skaitli nav sējams. Lai no tā atbrīvotos, skaitītāju un saucēju reinām ar saistītu komleksu skaitli: (-a 0 ω ) j(a ω). Kā zināms saistītu komleksu skaitĝu reinājums ir reāls skaitlis, mēram, (a + jb) (a - jb) a + b. Izdarot darbības ar komleksm skaitĝm, gūstam frekvenču funkcijas vērstu teiksmi: W ( jω) K [( a0 ω ) j( a ω)] jϕ( ω) U( ω) jv( ω) W( ω) e, ( a ω ) + ( a ω) (5.5) 0 kur U(ω) - vaĝējas AVS frekvenču funkcijas reālā komonente: K ( a0 ω ) ( ω) ( a ω ) + ( a ω) U ; (5.6) V(ω) - vaĝējas AVS frekvenču funkcijas imaginārā komonente: 0 ( ω) ( a 0 K a ω ω ) + ( a ω) V ; (5.7) 43

145 W(ω) vaĝējas AVS frekvenču funkcijas modulis (ejas un ejas signālu amlitūdu attcība, astirinājuma koeficnts ēc amlitūdas): A ( W( ω ) U( ω) + V( ω) A ; (5.8) ω φ(ω) - vaĝējas AVS frekvenču funkcijas arguments (ejas signāla fāzes leħėis): ϕ ( ω ) V U ( ω ) arctg arctg (5.9) ( ω ) a0 ω ) a ω Frekvenču funkcija (5.5) ir komleksa funkcija, kuru var attēlot komleksajā laknē ar koordinātām [±U(ω), ±jv(ω)]. Ievtojot teiksmē (5.5) AVS arametrus (K, a 0, a ) un mainot ejas signāla leħėisko frekvenci ω no 0 līdz, gūst vaĝējas AVS amlitūdas fāzes frekvenču raksturlīkni (AFFR) (5.3. att.) att. Otrās kārtas vaĝējas AVS amlitūdas-fāzes frekvenču raksturlīkne (AFFR) AFFR trajektoriju araksta vektora W(j ω) W(ω) e -j φ(ω) galaunkts, vektoram agržots retēji komleksās laknes kvadrantu secībai no reālo ozitīvo skaitĝu ass + U(ω) ar leħėi φ(ω). Ievtojot teiksmēs (5.5, 5.9) ω 0 un ω gūstam, ka otrās kārtas sistēmai, mainots ejas signāla leħėiskajai frekvencei no 0 līdz, vektors W(j ω) agržas ar leħėi φ( ) π radiāni (80 0 ), bet tā modulis W(ω) samazinās no W(0) K līdz W( ) 0. AVS ejas signāla amlitūda samazinās no A (0) W(0) A K A līdz A ( ) W( ) A 0 A 0. VaĜējas AVS amlitūdas-fāzes frekvenču raksturlīknes manto: lai ētītu un novērtētu sistēmas stabilitāti; lai noteiktu sistēmas stabilitātes rezervi ēc fāzes un amlitūdas; lai noteiktu sistēmas ārejas rocesa raksturu un kvalitāti; lai sintezētu sistēmas korekcijas ėēdes. 44

146 5.4.. Mihailova hodogrāfs un AVS stabilitāte Krvu zinātnks A.Mihailovs strādāja kritērijus (938. g.), kas deva sēju noteikt slēgtas AVS stabilitāti, analējot tās brīvās kustības frekvenču funkciju, kuras gūšanai tk mantots slēgtas AVS ašoerators. Ja slēgtas AVS ejā adod harmonisku (sinusoidālu) signālu, tad tajā rodas nerimstošas harmoniskas svārstības. P šāda nosacījuma n - tās kārtas slēgtas AVS ašoeratora olinomā D(s) a o s n + a s n a n- s + a n var vtot s jω un gūt komleksu frekvenču funkciju: n n D( jω) ao ( jω) + a ( jω) + + an ( jω) + an A( ω) + j B( ω kas sakās kā komlekss skaitlis ar reālo daĝu A(ω ) un imagināro daĝu j B(ω ). Otrās kārtas slēgtas AVS frekvenču funkcija: ), (5.0) D jω) a ( jω) + a ( jω) + a A( ω) + j B( ), (5.) ( 0 ω kur A(ω ) a a 0 ω ; B(ω ) a ω. Trešās kārtas slēgtas AVS frekvenču funkcija: 3 D jω) a ( jω) + a ( jω) + a ( jω) + a A( ω) + j B( ), (5.) ( 0 3 ω kur A(ω ) a 3 a ω ; B(ω ) a ω - a 0 ω 3. Ceturtās kārtas slēgtas AVS frekvenču funkcija: 4 3 D jω) a ( jω) + a ( jω) + a ( jω) + a ( jω) + a A( ω) + j B( ), (5.3) ( ω kur A(ω ) a 4 a ω + a 0 ω 4 ; B(ω ) a 3 ω - a ω 3. Frekvenču funkcijas (5., 5. un 5.3) varam attēlot grafiski komleksajā laknē ar koordinātām: ±A(ω ),±j B(ω ). Uzdodot dažādas ω vērtības (0 ω < ) un atlkot arēėinātos llumus A(ω ) uz horontālās ass, bet B(ω ) uz vertikālās ass, gūsim frekvenču raksturlīkħu trajektorijas, kuras sauc ar Mihailova hodogrāfm (5.4. att.). Mihailova hodogrāfu araksta vektora D(jω ) galaunkts. Mainots ω no 0 līdz, vektors agržas no reālo ozitīvo skaitĝu ass +A(ω ) ozitīvā virznā (laknes kvadrantu secības virznā) ar maksimālo leħėi φ max n π / radiāni ω, kur n slēgtas AVS ašoeratora kārta. Otrās kārtas sistēmai (n ): φ max π radiāni (80 o ). Trešās kārtas sistēmai (n 3): φ max 3 π/ radiāni (70 o ). Ceturtās kārtas sistēmai (n 4): φ max π radiāni (360 o ). Definēsim slēgtas AVS stabilitātes nosacījumus atbilstoši Mihailova kritērijm. Pirmais formulējums. Slēgta AVS ir stabila, ja, mainots ejas signāla leħėiskajai frekvencei ω no 0 līdz, vektors D(jω ) agržas ozitīvā virznā attcībā ret reālo ozitīvo skaitĝu asi ar leħėi φ max n π / radiāni, kur n sistēmas ašoeratora kārta. Otrais formulējums. 45

147 Slēgta AVS ir stabila, ja, mainots ejas signāla leħėiskajai frekvencei ω no 0 līdz, hodogrāfs D(jω ) sākas uz reālo ozitīvo skaitĝu ass un secīgi t caur n kvadrantm, kur n sistēmas ašoeratora kārta (5.4. att.,, 3). Mihailova kritērijs stabilitātes robežai. Slēgta AVS ir uz stabilitātes robežas, ja hodogrāfs D(jω ) t caur komleksās laknes koordinātu nullunktu (5.4. att. 4). Mihailova kritērijs nestabilai sistēmai. Slēgta AVS ir nestabila, ja hodogrāfs D(jω ) net secīgi caur n kvadrantm att. Mihailova hodogrāfi D(jω):,,3 stabilām sistēmām; 4 sistēmai uz stabilitātes robežas; 5 nestabilai sistēmai Nestabilas trešās kārtas AVS hodogrāfs (5.4. att. 5) sākas uz reālo ozitīvo skaitĝu ass un, augotω, nonāk 3. kvadrantā caur 4. kvadrantu, nešėērsojot. kvadrantu. Lai nestabila sistēma (5) kĝūtu stabila, jāsamazina tās ašoeratora D(s) brīvā locekĝa a n a 3 vērtība. Tādā gadījumā Mihailova hodogrāfs ārbīdās a reālo skaitĝu asi negatīvo vērtību virznā (a kreisi) bez deformācijas. Izvēlots atbilstošu a 3 vērtību, hodogrāfs (5) atvers unktu ar koordinātām (0; j0) un šėērsos. kvadrantu. Līdz ar to sistēma kĝūs stabila. Mihailova hodogrāfi Ĝauj uzskatāmā veidā arādīt AVS stabilitāti, taču nedod sēju kvantitatīvi novērtēt stabilitātes akāi un kvalitātes rādītājus. Kā mēru askatīsim 3. kārtas statiskas AVS frekvenču hodogrāfus dažādām brīvā locekĝa a n vērtībām (5.5. att.). Tā kā slēgtai statiskai AVS a n +K K as, tad tās stabilitāti var koriăēt, mainot vaĝējas AVS un atgrzeniskās saites ārvades koeficntus K un K as. 46

148 5.5. att. Mihailova hodogrāfi D(jω) trešās kārtas statiskai AVS: sistēma uz stabilitātes robežas ; stabila sistēma ar netkamu stabilitātes akāi; 3 sistēma ar atbilstošu stabilitātes akāi Mihailova hodogrāfa svarīga ozitīva īašība ir tā, ka, mainot a n, tas ārbīdās a reālo skaitĝu asi bez deformācijas, roti, nemainās hodogrāfa forma. Tātad, veicot AVS stabilitātes grafo-analītisko novērtēšanu, vnre arēėinātu hodogrāfu var mantot kā trafaretu, kuru ārbīda gar reālo asi A(ω) atbilstoši a n vērtībai (5.5. att.). Ja a n a n, tad sistēma ir uz stabilitātes robežas. Ja a n a n < a n, tad sistēma ir stabila, bet ar netkamu stabilitātes akāi. Samazinot a n līdz a n3, sistēma ir stabila ar tkamu stabilitātes akāi, t.i., ar atbilstošu darbības kvalitāti un tās hodogrāfs nešėērso algto agabalu ar rādiusu h (5.5. att.). Šī agabala noteikšana vairāk balstās uz intuīciju un zināmu redzi, nevis uz objektīvm arēėinm, tāēc nevar būt ar amatu AVS darbības kvalitātes objektīvai novērtēšanai. Formulēsim Mihailova kritērija galvenās rkšrocības: samērā vnkārši var ētīt sarežăītu daudzkontūru AVS stabilitāti; frekvenču metodes rkšrocība vuālā uzskatāmība; mainot AVS komonentu ārvades koeficntus, Mihailova hodogrāfs ārvtojas a reālo skaitĝu asi bez deformācijas (nav jāveic ārrēėins). Trūkums: Mihailova metode, tāat kā Hurvica metode, nedod sēju kvantitatīvi novērtēt AVS darbības kvalitātes rādītājus Naikvista hodogrāfs un AVS stabilitāte AmerikāĦu radioinženris G.Naikvists strādāja frekvenču kritērijus (93. g.), kas deva sēju novērtēt slēgtu AVS stabilitāti ēc vaĝējas AVS (ar nosacīti ārtrauktu atgrzenisko saiti) amlitūdas-fāzes frekvenču raksturlīknes (AFFR). P kam tika sastādīti slēgtas AVS stabilitātes novērtēšanas kritēriji divm gadījumm: vaĝēja AVS ir stabila; vaĝēja AVS ir nestabila. 47

149 Turmāk askatīsim slēgtas AVS stabilitātes novērtēšanas kritērijus, ja vaĝēja sistēma ir stabila, roti, tā nesatur strukturāli nestabilus osmus. Askatīsim n-tās kārtas statisku AVS ar vninka atgrzenisko saiti, kuru nosacīti ārtraucot, gūstam vaĝējas sistēmas ārvades funkciju visārīgā veidā: b s Q( s) D( s) 0 m m ( ), W s a s 0 m + b s n m + a s n + + b + + a n s + b s + kur Q(s) un D(s) vaĝējas sistēmas darbes oerators un ašoerators. (5.4) PĦemsim, ka vaĝēja sistēma ir stabila. Tad jāildās nosacījumam m n, roti, darbes oeratora kārta nedrīkst būt augstāka ar ašoeratora kārtu. Pretējā gadījumā sistēma ir nestabila. Ievtojot ārvades funkcijā (5.4) s jω, gūstam vaĝējas sistēmas amlitūdas fāzes frekvenču raksturlīkni (AFFR): m m ( jω) + b ( jω) n ( jω) + a ( j ) bo + + bm ( jω) + bm jϕ( ω) W( jω) U( ω) + jv( ω) W( ω) e, n (5.5) a ω + + a ( jω) + o n kur U(ω) - vaĝējas AVS reālā frekvenču raksturlīkne; V(ω) - vaĝējas AVS imaginārā frekvenču raksturlīkne; W ( ω) ω + ω U( ) V( ) - vaĝējas AVS amlitūdas frekvenču raksturlīkne (AFR); V( ω) ϕ( ω) arctg - vaĝējas AVS fāzes frekvenču raksturlīkne (FFR). U( ω) Komlekso funkciju (5.5) var attēlot komleksajā laknē ar koordinātām [±U(ω), ±jv(ω)]. Ievtojot teiksmē (5.5) AVS arametrus un mainot ejas signāla leħėisko frekvenci ω no 0 līdz, gūst vaĝējas sistēmas amlitūdas fāzes frekvenču raksturlīkni (AFFR). AFFR trajektoriju, kuru araksta vektora W(j ω) W(ω) e -j φ(ω) galaunkts, tam agržots retēji komleksās laknes kvadrantu secībai (negatīvā virznā) no reālo ozitīvo skaitĝu ass + U(ω) ar leħėi φ(ω), sauc ar vektora W(jω) hodogrāfu jeb Naikvista hodogrāfu. Dažādu vaĝēju AVS Naikvista hodogrāfi arādīti 5.6. attēlā. Tā kā sistēmas ejā tk adots harmonisks (sinusoidāls) signāls, tad vektora W(jω) modulis jeb vaĝējas sistēmas astirinājuma koeficnts ēc amlitūdas sakās kā ejas un ejas harmonisko signālu amlitūdu A (ω) un A const. attcība: W(ω) A (ω)/ A, kur ejas signāla amlitūda mainās atkarībā no ejas signāla leħėiskās frekvences ω. Ja ω 0, tad A (0) W(0) A, kur W(0) K. Savukārt K b m, kur b m darbes oeratora Q(s) brīvais loceklis. Ja ω, tad A 0, jo W( ) 0. Tātad mainots leħėiskajai frekvenci ω no 0 līdz, ejas signāla amlitūda samazinās no A (0) K A līdz A ( ) 0. Definēsim bez rādījuma slēgtas AVS stabilitātes nosacījumus atbilstoši Naikvista frekvenču kritērijm, ja vaĝēja AVS ir stabila. Pirmais formulējums. Slēgta AVS ir stabila, ja stabilas vaĝējas sistēmas hodogrāfs W(jω ) (amlitūdas-fāzes frekvenču raksturlīkne), mainots ejas signāla leħėiskajai frekvencei ω no 0 līdz, neatver unktu ar koordinātām (-, j0) (skat.5.6. att. ). 48

150 Otrais formulējums. Slēgta AVS ir stabila, ja stabilas vaĝējas sistēmas hodogrāfs W(jω ), mainots ejas signāla leħėiskajai frekvencei ω no 0 līdz, nešėērso negatīvo reālo skaitĝu asi intervālā (-, -), vai arī to šėērso āra skaita reižu (skat.5.6. att. ) att. Naikvista hodogrāfi W(jω) dažādām AVS:, stabilām sistēmām; 3 sistēmai uz stabilitātes robežas; 4 nestabilai sistēmai Naikvista hodogrāfs ar vairākām ārejām ir sarežăītām sistēmām. Negatīva āreja (-) ir tad, ja hodogrāfs šėērso negatīvo reālo skaitĝu asi no aakšas uz augšu, ja otrādi, tad āreja ir ozitīva (+). Tātad AVS ir stabila, ja negatīvo un ozitīvo āreju skaits ār negatīvo reālo skaitĝu asi intervālā (-, -) ir vnāds. Naikvista kritērijs stabilitātes robežai. Slēgta AVS ir uz stabilitātes robežas, ja vaĝējas sistēmas hodogrāfs W(jω ) t caur unktu ar koordinātām (-; j0) (skat.5.6. att. 3). Naikvista kritērijs nestabilai sistēmai. Slēgta AVS ir nestabila, ja vaĝējas sistēmas hodogrāfs W(jω ) atver unktu ar koordinātām (-, j0) (skat.5.6. att. 4.). Naikvista kritērijs dod sēju novērtēt kvantitatīvi AVS stabilitātes rezervi, kas ir tā galvenā rkšrocība salīdzinājumā ar Mihailova un Hurvica kritērijm. Jo llāka stabilitātes rezerve, jo llāka garantija, ka, nelānoti mainots AVS arametrm un erturbācijām, sistēma saglabās stabilitāti un nodrošinās darbības kvalitātes minimālās rasības. Pēc Naikvista kritērija AVS stabilitāti nosaka hodogrāfa W(jω) vtojums attcībā ret kritisko unktu (-, j0). Acīmredzot stabilitāte būs jo llāka, jo hodogrāfs atradīss tālāk no šī unkta. Novērtēsim vnas un tās ašas AVS stabilitātes rezervi, salīdzinot bāzes variantu () un otimēto variantu () ar uzlabotm stabilitātes un kvalitātes rādītājm (5.7. att.). 49

151 5.7. att. Naikvista hodogrāfi stabilai AVS: bāzes variantam; ēc otimācijas Nosakot AVS stabilitātes rezervi, manto divus tās jēdznus: stabilitātes rezervi ēc amlitūdas jeb moduĝa W(ω) - h; stabilitātes rezervi ēc fāzes jeb argumenta φ(ω) - γ. Stabilitātes rezerve ēc amlitūdas ir vnāda ar attālumu no hodogrāfa W(jω) krustunkta ar negatīvo reālo skaitĝu asi līdz kritiskajam unktam (-, j0) (5.7. att.). Stabilitātes rezervi ēc amlitūdas saka rocentos: h % h 00 %. (5.6) Ja, mēram, h 0.6, tad h % 60%. Ja h 0, tad AVS atrodas uz stabilitātes robežas. Svarīga nozīme ir stabilitātes rezervei ēc fāzes. Augot AVS ejas signāla leħėiskajai frekvencei ω, allinās fāze φ(ω), res., allinās fāzes nobīdes leħėis star ejas un ejas signālu. Ja sistēma ir uz stabilitātes robežas, tad vektors W(j ω) U(ω) + jv(ω) -+j0, tā modulis W(ω) W(j ω), bet arguments φ(ω) 80 o. Izejas signāls ir retfāzē attcībā ret ejas signālu. Ja moduĝa vērtības W(ω), argumenta vērtība ir mazāka ar 80 o, tad sistēmai ir stabilitātes rezerve ēc fāzes, ko saka kā argumenta aildinājumu līdz 80 o : γ + φ(ω) 80 o, kur γ 80 o - φ(ω) ir stabilitātes rezerve ēc fāzes. Stabilitātes rezervi ēc fāzes arī saka rocentos: γ γ 00 %. (5.7) % 80 O Ja, mēram, γ 54 o, tad γ % 30%. Ja γ 0, tad AVS atrodas uz stabilitātes robežas. Stabilitātes rezervi uzskatāmi var arādīt grafiskā veidā (5.7. att.). Stabilitātes rezervi ēc amlitūdas var attēlot kā nogržħus h un h, no AVS hodogrāfu un krustunkta ar reālo negatīvo skaitĝu asi līdz unktam (-, j0). 50

152 Lai attēlotu AVS stabilitātes rezervi ēc fāzes kā hodogrāfu un argumentu aildleħėus γ un γ līdz 80 o, velkam riħėi ar rādiusu R un gūtos krustunktus savnojam ar koordinātu sistēmas nullunktu. Frekvences, kurām ejas un ejas signālu amlitūdas ir vnādas, sauc ar nogršanas frekvencēm ω n un ω n (5.7. att.). Tātad, ja ejas signāla leħėiskā frekvence ω ω n, tad AVS astirinājuma koeficnts ēc amlitūdas W(ω n ). Statisku AVS darbības kvalitāte arasti ir amrinoša, ja h % 60% un γ % 30%. Redzam, ka otimētās AVS stabilitātes rezerve ēc amlitūdas un fāzes ir llāka salīdzinājumā ar bāzes variantu (h > h un γ > γ ). Tas anākts samazinot vaĝējas sistēmas ārvades koeficntu (K < K ). Kvalitātes rādītāju noteikšana. Pēc AVS stabilitātes rezerves rādītājm var arēėināt arī dažus galvenos kvalitātes rādītājus, mēram, maksimālo ārregulējumu σ max% un ārejas rocesa laiku t. Svārstīgam ārejas rocesam ar ārregulējumu σ max% (0 40)% var mantot tuvinātas usemīriskas teiksmes. Maksimālais ārregulējums, %: σ max % b γ a (5.8) kur γ % stabilitātes rezerve ēc fāzes, rocenti; a 49, b.4 - sistēmai ar bezinerces atgrzenisko saiti (W as (s) K as const.); a 93, b. - sistēmai ar inerciālu atgrzenisko saiti (W as (s) K as /(T as + )). Pārejas rocesa laiks, s: t %, π ( + k σ max % ω ), k (5.9) n kur ω n vaĝējas AVS nogršanas frekvence, s - ; k 0.5, k 0.4 korekcijas koeficnti bezinerces atgrzeniskajai saitei; k 0., k 0.5 korekcijas koeficnti inerciālai atgrzeniskajai saitei. Analējot teiksmes (5.8 un 5.9), varam darīt secinājumus, ka, aaugstinot AVS stabilitātes rezervi, samazinās maksimālais ārregulējums un ārejas rocesa laiks. AVS ātrdarbību var arī allināt, aaugstinot nogršanas frekvenci. Naikvista kritērija galvenās rkšrocības: var ētīt slēgtu AVS stabilitāti, mantojot vaĝēju sistēmu AFFR; frekvenču metodes rkšrocība vuālā uzskatāmība; var noteikt kvantitatīvi AVS stabilitātes rezervi ēc fāzes un amlitūdas, kas dod sēju arēėināt arī galvenos kvalitātes rādītājus. Trūkums: Mainot AVS arametrus, Naikvista hodogrāfs deformējas, tādēĝ jāveic tā ārrēėins katrai arametru maiħai. Statiskas AVS stabilitātes un darbības kvalitātes analīzes mērs. Noteiksim statiskas AVS ar inerciālu atgrzenisko saiti (5.5. att.) dažus stabilitātes un kvalitātes rādītājus, mantojot Naikvista hodogrāfu (5.8. att). 5

153 5.8. att. Naikvista hodogrāfs stabilai statiskai AVS ar ārtrauktu atgrzenisko saiti Pārtraucot atgrzenisko saiti, gūstam vaĝēju AVS, kuru araksta ārvades funkcija W(s) (5.7, 85. l.). Veicot nellus algebriskus ārveidojumus, funkciju (5.7) uzrakstām sekojošā formā: W T i T obj s kur K vaĝējas sistēmas ārvades koeficnts; T i ildkārtas laika konstante, s; T obj vadības objekta laika konstante, s. K K + ( Ti + Tobj ) s + a0 s + a, s + (5.30) Ievtojot teiksmē (5.30) s jω, kur ω AVS ejas signāla leħėiskā frekvence, gūstam vaĝējas AVS frekvenču funkciju W(j ω) (5.5, 00. l.), kas, mainots ω no 0 līdz, araksta rotējošu vektoru W(j ω) W(ω) e φ(ω), kura galaunkts attēlo vaĝējas AVS amlitūdas fāzes frekvenču raksturlīkni(affr) jeb Naikvista hodogrāfu. Lai gūtu Naikvista hodogrāfa attēlu komleksajā laknē [±U(ω), ±jv(ω)], Matlab komandlogā vadām vaĝējas AVS ārvades funkcijas (5.30) koeficntus n [K] un m[a 0 a ], kā arī Naikvista hodogrāfa arēėina un vualācijas komandfunkcijas sys tf (n,m) un nyquist (sys) (5.9. att.). Koeficntu skaitliskos llumus vēlams no rkš veiktās analīzes (90. l.), kur K 0; a 0 T i T obj s ; a T i +T obj s. Veicot simulāciju, Matlab komandlogā gūstam Naikvista hodogrāfa attēlu (5.8. att.). Dotā vaĝējā AVS ir otrās kārtas statiska sistēma, jo tās ašoerators ir otrās kārtas olinoms: D(s) a 0 s + a s +. VaĜēja AVS ir stabila, jo ašoeratora visi koeficnti a 0 un a ir ozitīvi skaitĝi un tā kārta (n) ir augstāka ar darbes oeratora Q(s) K kārtu (m 5

154 0). Tā kā vaĝējas AVS hodogrāfs neatver unktu ar koordinātām (-, j0), tad, atbilstoši Naikvista kritērijam, arī slēgta sistēma ir stabila. VaĜējas AVS astirinājuma koeficnts jeb modulis W(ω) ir vnāds ar vektora W(jω) garumu un to var arēėināt ēc vektora galaunkta koordinātām: W ( ω) U( ω) + V( ω). Ja ejas signāla leħėiskā frekvence ω 0, tad U(0) K 0, V(0)0 un W(ω)0. Pallinot ω, W(ω) samazinās. Ja ω, W(ω) 0 (sk att.). Redzam, ka vaĝējās AVS hodogrāfs nešėērso negatīvo reālo skaitĝu asi: -U(ω). Līdz ar to dotajai sistēmai stabilitātes rezerve ēc amlitūdas ir maksimāla: h % (/) 00% 00%. Tas nozīmē, ka sistēmas stabilitāti un darbības kvalitāti nosaka nogršanas frekvence (ω n.4 s - ), kuras W(ω), un stabilitātes rezerve ēc fāzes: γ % (γ 0 /80 0 ) 00% (48. 0 /80 0 ) 00% 6.7% (sk att.). Noteiksim slēgtas AVS ar inerciālu atgrzenisko saiti kvalitātes rādītājus maksimālo ārregulējumu σ max% un ārejas rocesa laiku t, mantojot tuvinātas usemīriskas teiksmes (5.8 un 5.9).. Maksimālais ārregulējums: σ. γ % 34%.. Pārejas rocesa laiks: t π ( σ. ω max% max % 0 n 93 % ) 3.4 ( ) s. Ierkš noteicām dotās AVS kvalitātes novērtējumus ēc slēgtas sistēmas raksturīgā vnādojuma sakħu vtojuma komleksajā laknē (sk. 93. l.), kur guvām σ max% 3.7% un t 0.9 s. Arēėinu rezultātm, kas gūti mantojot algebriskos un frekvenču kritērijus ir tkami laba sakritība att. Matlab komandlogā sastādīta rogramma Naikvista un Bodē frekvenču raksturlīkħu arēėinam un vualācijai 53

155 Bodē logaritmiskās frekvenču raksturlīknes Hendriks V. Bodē 0. gs. 40-tajos gados strādāja AVS analīzes un sintēzes metodoloăiju, kura balstās uz vaĝēju un slēgtu automātiskās vadības sistēmu logaritmisko frekvenču raksturlīkħu (LFR) ētīšanu. Ierkš askatītā amlitūdas fāzes frekvenču raksturlīkne (AFFR): W(jω) W(ω) e -jφ(ω) saista trīs llumus amlitūdu, fāzi un frekvenci. Līdz ar to amlitūdas W(ω) un fāzes φ(ω) atkarība no frekvences ω ir komlekss rādītājs, kurā katrs no atkarīgajm mainīgajm llumm kĝauts aslētā veidā. Lai uzskatāmi arādītu amlitūdas un fāzes atkarību no frekvences, AFF raksturlīkni sadala divās autonomās raksturlīknēs: W(ω) f (ω) amlitūdas frekvenču raksturlīknē (AFR); φ(ω) f (ω) - fāzes frekvenču raksturlīknē(ffr). Lai arādītu AVS ejas signāla amlitūdas un fāzes maiħu lašā frekvenču diaazonā, leħėisko frekvenci saka logaritmiskā mērogā. Paildus leħėiskās frekvences mērvnībairadiāni/sekundē, lto arī divas citas mērvnības oktāvu un dekādi. Oktāvai atbilst divkārtīga frekvences maiħa (no ω līdz ω), mēram, ω 0 s -, ω 0 s -, bet dekādei desmitkārtīga frekvences maiħa (no ω līdz 0ω), mēram, ω 0 s -, ω 0 3 s -. Kā oktāvas, tā dekādes nogržħa garums jebkurā abscisas (frekvenču) ass diaazonā ir nemainīgs llums: oktāva lg ( ω) lg ω lg + lg ω lg ω lg 0.3; dekāde lg (0 ω) lg ω lg 0 + lg ω lg ω lg 0 kur lg decimālais logaritms. Oktāvai un dekādei, kā leħėiskās frekvences mērvnībām, ir nozīmīga loma AVS sintēzes uzdevumu risināšanā, rojektējot atbilstošas korekcijas kārtas. AVS ejas signāla fāzes nobīdes leħėi φ(ω) attcībā ret ejas signālu saka leħėa grādos, bet ejas un ejas signālu amlitūdu attcību jeb moduli W(ω)A (ω)/a decibelos. Logaritmiskās amlitūdas frekvenču raksturlīknes (LAFR) moduĝa W(ω) mērvnība - decibels agūta no akustikas un sakaru tehnikas. Tajās divu signālu jaudu salīdzināšanai manto mērvnības Bels (B) un decibels (db): divu signālu jaudas P un P atšėiras ar vnu Belu, ja lg (P/P) jeb P/P 0; divu signālu jaudas atšėiras ar vnu decibelu, ja lg (P/P) 0. jeb P/P.6. Tātad vns Bels vnāds ar desmit decibelm (B 0 db). Šīs akustikā mantotās mērvnības nosauktas ar godu telefona gudrotājam A. Bellam. Automātiskās vadības raksē arasti kā informācijas nesējs tk mantota signālu amlitūda (strāvas stirums, srgums, temeratūra, rotācijas ātrums u.tml.), nevis jauda, t.i.,tk salīdzinātas AVS un to komonentu ejas un ejas signālu amlitūdas. Vnkāršā mērā varam ārlcināts, ka allinot signāla amlitūdu 0 kārtīgi, tā jauda aug 00 kārtīgi. PĦemsim, ka regulējamas elektriskās krāsns ejas srgums ir U (V) un atbilstošā ejas jauda ir P U / R (W), kur R elektriskā retestība (Ω). Pallināsim ejas signāla amlitūdu 0 rees. Tad U 0 U un P U / R 00 U / R. 54

156 Izteiksim srgumu un jaudu attcību kā logaritmiskas funkcijas: L L U P U lg U P lg P 0 U lg U 00 P lg P lg0 B 0 db, lg 00 B 0 db. (5.3) Lai saglabātu akustikā un automātiskās vadības teorijā ltoto mērvnību fikālo ekvivalenci, logaritmisko amlitūdas frekvenču funkciju L(ω), kas araksta AVS logaritmisko amlitūdas frekvenču raksturlīkni (LAFR), saka decibelos mantojot ārrēėina koeficntu 0: A ( ω ) L( ω ) 0 lg 0 lg W ( ω ). A (5.3) Ja AVS darbes oerators Q(s) K, tad frekvences ω 0, modulis W (ω) K un L( 0) 0 lg K. Skaitliski mēri: W (ω 0) K 0, L (0) 0 lg K 0 lg0 0 db; W (ω ω n ), L (ω n ) 0 lg W (ω n ) 0 lg 0 db; W (ω >ω n ) 0., L (ω ) 0 lg W (ω ) 0 lg0. -0 db, kur ω n nogršanas frekvence, s -. Lai ārrēėinātu signālu amlitūdu attcību no decibelm L (ω) uz absolūtajām vērtībām W (ω), mantojam sakarību: L (ω ) Skaitliski mēri: L (ω 0) 0 db, W (0) 0 L(0)/0 0 0/0 0; L (ω ω n ) 0 db, W (ω n ) 0 L(ωn)/0 0 0/0 ; 0 W ( ω ) 0. (5.3) L (ω >ω n ) -0 db, W (ω ) 0 L(ω)/0 0-0/0 0.. Par godu AVS sintēzes frekvenču metožu amatlicējam H.V.Bodē, logaritmiskās amlitūdas un fāzes frekvenču raksturlīknes tk sauktas viħa vārdā ar Bodē diagrammām jeb raksturlīknēm. Tā kā dotajā kursā netk askatīti AVS sintēzes jautājumi, tad vērsīsims tikai Bodē raksturlīkħu ltojumam AVS analīzē. Visirms askatīsim vaĝējas otrās kārtas statiskas AVS (5.5. att.) Bodē raksturlīknes (5.0. att.), mantojot atbilstošas Matlab funkcijas arēėinm un vualācijai. Matlab komandlogā vadām vaĝējas AVS ārvades funkcijas (5.30) koeficntus n[0] un m[ ], kā arī Bodē raksturlīkħu arēėina un vualācijas komandfunkcijas sys tf (n, m) un bode (sys) (5.9. att.). Ar Enter gūstam Bodē frekvenču raksturlīknes (5.0. att.), kas attēlojas Matlab komandlogā. Frekvences-ω (Frequency), amlitūdas-l(ω) (Magnitude) un fāzes φ(ω) (Phase) diaazoni tk uzstādīti automātiski atbilstoši AVS inercei un jutībai. Pastāv sēja Bodē diagrammu astrādāt, ārveidot un aildināt ar informāciju, mantojot aildfunkcijas, mēram, Proerts. 55

157 Bodē raksturlīknes tk gūtas, mantojot atbilstošo frekvenču funkciju matemātiskās teiksmes: K 0 L ( ω) 0lgW ( ω) 0lg 0lg, (5.33) 4 ( a ω ) + ( aω) + 0.6ω kur a s, a 0.60s konstanti koeficnti; ϕ ( ω ) 0 ω a ω arctg a0 ω 0.60 ω 0.05 ω arctg. (5.34) 5.0. att. Bodē logaritmiskā amlitūdas frekvenču raksturlīkne L(ω) un fāzes frekvenču raksturlīkne φ(ω) vaĝējai statiskai otrās kārtas vadības sistēmai Ievtojot teiksmēs (5.33 un 5.34) brīvi vēlētas frekvences ω, gūsim Bodē raksturlīknes. Visu frekvenču agabalu var sadalīt trīs diaazonos- zemo frekvenču diaazonā, vidējo frekvenču diaazonā un augsto frekvenču diaazonā. Zemo frekvenču diaazonu nosacīti vēlas sākot no ω 0 līdz frekvencei, kuras sistēmas astirinājuma koeficnts W(ω) samazinās ar 3 db. Dotajā gadījumā varam Ħemt, ka zemo frekvenču diaazons ir 0 < ω z < (s - ). 56

158 Zemo frekvenču diaazons faktiski nesaido AVS ārejas rocesu, jo attcas uz tā beigu osmu, kad sistēma tuvojas stacionāram režīmam. Tas galvenokārt nosaka AVS recitāti stacionārā stāvoklī, mēram, statisko kĝūdu. AVS stabilitāti un darbības kvalitāti nosaka vidējo frekvenču diaazons a nogršanas frekvenci ω n. Dotajai sistēmai nogršanas frekvence, kam atbilst logaritmiskais astirinājuma koeficnts L (ω n ) 0 db ir.4 s - (5.0. att.). Nosacīti vēlams vidējo frekvenču diaazonu agabalā a nogršanas frekvenci, mēram, 3<ω v <30 (s - ). Atzīmējot nogršanas frekvencei ω n.4 s - atbilstošo unktu uz fāzes frekvences raksturlīknes, gūstam sistēmas stabilitātes rezervi ēc fāzes (Phase Margin): γ 48. o, kam atbilst laika rezerve (Delay Margin): t r (π γ)/(ω n 80 o ) ( o )/(.4 80 o ) s. Izsakot rocentos: γ % (48. o /80 o ) 00% 6.7%. Rezultāti sakrīt ar tm, kurus guvām mantojot Naikvista hodogrāfu (5.8. att.). Savukārt sistēmas ejas signāla fāze jeb akavēšanās leħėis attcībā ret ejas signālu ir φ(ω n ) 80 o 48. o 3.9 o. Lai noteiktu maksimālo ārregulējumu σ max% un ārejas rocesa laiku t slēgtai AVS ar inerciālu atgrzenisko saiti, var mantot tuvinātās formulas (5.8 un 5.9). VaĜējas sistēmas LAFR nolce ret abscisas asi nogršanas frekvences dod sēju novērtēt ārejas rocesa raksturu. Šo nolci saka decibelos uz oktāvu vai dekādi. Ja, mēram, raksturlīknes nolce ir - 0 db/dekādi, tad ārejas rocess ir tuvs aeriodiskam vai ar nellu ārregulējumu. Dotās sistēmas LAFR nolce nogršanas frekvences ir llāka ar - 0 db/dekādi, tāēc ārejas rocess ir svārstīgs. Augstās frekvences ω a >00 (s - ) nedaudz saido AVS ārejas rocesa sākumu, roti, tā akavēšanos irms aātrināšanās, kuru savukārt nosaka vidējās frekvences. Atverot otrās kārtas statisku AVS ar inerciālu atgrzenisko saiti, gūst trešās kārtas slēgtu sistēmu, kuru araksta ārvades funkcija (5.0) ar darbes oeratoru Q(s) b 0 s + b un ašoeratoru D(s) a 0 s 3 + a s + a s + a 3, kur b s; b 0; a s 3 ; a 0.08 s ; a 0.65 s; a 3 6 konstanti koeficnti. Ievtojot ārvades funkcijā (5.0) s jω un darot matemātiskus ārveidojumus, gūstam slēgtas AVS frekvenču funkciju, kas araksta slēgtas sistēmas AFFR: Ф(jω) Ф(ω) e -jφs(ω), kur Ф(ω) A s (ω)/a slēgtas sistēmas modulis jeb astirinājuma koeficnts; A s (ω) slēgtas sistēmas ejas signāla amlitūda; φ s (ω) - slēgtas sistēmas arguments jeb fāze, rad. Bodē raksturlīknes slēgtai sistēmai arādītas 5.. attēlā. Lai tās gūtu, Matlab komandlogā vadām slēgtas AVS ārvades funkcijas (5.0) koeficntus n[0.5 0] un m[ ], kā arī Bodē raksturlīkħu arēėina un vualācijas komandfunkcijas sys tf (n, m) un bode (sys) (5.9. att.). Matlab komandlogā gūstam Bodē diagrammu, kas sastāv no slēgtas sistēmas logaritmiskās amlitūdas frekvenču raksturlīknes (LAFR) L s (ω) 0 lg Ф(ω) (decibelos) un logaritmiskās fāzes frekvenču raksturlīknes (LAFR) - φ s (ω) f(ω) (leħėa grādos), kur leħėiskā frekvence ω(rad/s) atlikta logaritmiskā mērogā (5.. att.). Slēgtas sistēmas LAF raksturlīknei raksturīgs maksimuma īėis: L s (ω r ) 8.69 db frekvences ω r 8.54 s -, ko sauc ar rezonanses frekvenci. P ω 0 sistēmas logaritmiskais astirinājuma koeficnts: L s (0) 4.44 db ir minimāls. Izmantojot sakarību (5.3), noteiksim slēgtas AVS absolūtos astirinājuma koeficntus: L s ( 0 ) Φ ( 0) , L s ( ω r ) Φ ( ω ) 0 0 r.7. Slēgtas AVS stabilitātes rezervi un kvalitāti var novērtēt ar svārstīguma rādītāju: MФ(ω r )/Ф(0).7/ AVS stabilitātes rezerve ir tkama un kvalitāte ir laba, ja. M.5. Redzam, ka dotās AVS kvalitāte nav tkami laba. 57

159 Rezonanses īėis norāda, ka ārejas rocess ir svārstīgs. Jo llāks M, jo AVS ir svārstīgākā. Ja M, ārejas rocess ir aeriodisks. Izmantojot slēgtas sistēmas LAFR, var atuveni novērtēt svārstīga ārejas rocesa kvalitātes rādītājus: σ max % 0.8 Φ( ω ) Φ(0) (0.9 ) π Φ( ω ) r r 00% un t (5.35) Φ(0) ωr 5.. att. Bodē logaritmiskā amlitūdas frekvenču raksturlīkne L s (ω) un fāzes frekvenču raksturlīkne φ s (ω) slēgtai AVS ar inerciālu atgrzenisko saiti 58