Īsi atrisinājumi Jā, piemēram, 1, 1, 1, 1, 1, 3, 4. Piezīme. Uzdevumam ir arī vairāki citi atrisinājumi Skat., piemēram, 1. zīm.

Transcript

1 Īsi atrisinājumi 5.. Jā, piemēram,,,,,, 3, 4. Piezīme. Uzdevumam ir arī vairāki citi atrisinājumi. 5.. Skat., piemēram,. zīm zīm. 4. zīm tbilde: piemēram, Ievērosim, ka 4 dalās ar, tātad arī dalās ar ; 8 un 800 dalās ar ; 35 dalās ar. Tātad =4835 dalās ar. Uzdevuma prasības apmierina arī daudzi citi skaitļi Skat., piemēram,. zīm. Uzdevuma atrisinājumu var iegūt, piemēram, šādi. Vispirms uz katras no diagonālēm uzraksta dažādus pirmskaitļus, un pēc tam katrā virsotnē ieraksta skaitļus, kas vienādi ar to pirmskaitļu reizinājumu, kas uzrakstīti uz no šīs virsotnes izejošajām diagonālēm. Tādējādi katras diagonāles galapunktos ierakstītajiem skaitļiem LKD vienāds ar uz šīs diagonāles uzrakstīto pirmskaitli, tātad lielāks nekā. Savukārt no virsotnēm, kas atrodas vienas malas galapunktos, iziet dažādas diagonāles, tāpēc tajās ierakstīto skaitļu LKD=. Piezīme. Uzdevuma atrisinājumam pietiek parādīt vienu pareizu piemēru tbilde: nē, nevar. Pieņemsim, ka to var izdarīt. Tad no katra no 3 punktiem iziet nepāra skaits nogriežņu. Tātad kopējais nogriežņu galapunktu skaits ir nepāra skaitlis, bet tas ir pretrunā ar to, ka nogrieznim ir tieši divi galapunkti. 6.. tbilde: piemēram,, 3, 9, 8. Piezīme. Uzdevumam ir arī vairāki citi atrisinājumi. 6.. a) Jā, piemēram: vispirms piecos gājienos iegūst (, ), (3, 4), (5, 6), (, 8), (9,0),,,,. Tad četros gājienos iegūst prasīto:,,,, 0, 0, 0,. b) Ievērosim, ka, veicot doto pārveidojumu, uz tāfeles palikušo skaitļu summas paritāte nemainās (jo un ir vienas paritātes skaitļi). Sākotnējo skaitļu summa 55 ir nepāra skaitlis; tātad rezultātā nevar iegūt pāra skaitli a) Skat., piem., 3. zīm. b) Nē, nevar. Lai 3-stūra malas krustotu riņķa līniju, jābūt virsotnēm, kas atrodas riņķa iekšpusē, un virsotnēm, kas atrodas riņķa ārpusē. r apzīmēsim 3-stūra virsotni, kas atrodas riņķa iekšpusē. Lai mala 0./03. m.g. Latvijas 63. matemātikas olimpiādes. posma uzdevumu atrisinājumi.

2 krustotu riņķa līniju, virsotnei jāatrodas riņķa ārpusē. Līdzīgi virsotnei 3 jāatrodas riņķa iekšpusē, virsotnei 4 riņķa ārpusē, virsotnei 5 riņķa iekšpusē, virsotnei 6 riņķa ārpusē, virsotnei riņķa iekšpusē, virsotnei 8 riņķa ārpusē, virsotnei 9 riņķa iekšpusē, virsotnei 0 riņķa ārpusē, virsotnei riņķa iekšpusē, virsotnei riņķa ārpusē, virsotnei 3 riņķa iekšpusē. et tādā gadījumā 3-stūra malu 3 riņķa līnija nekrusto. 4. zīm. 3. zīm a) Ja pirmais cipars ir, tad, pierakstot klāt divciparu skaitli, ar ko dalās 00, piemēram, 5, iegūstam meklēto skaitli 5. b) Spriežot līdzīgi un izmantojot jau a) gadījumā atrasto 3 ciparu skaitli, var iegūt skaitli 5, kas apmierina uzdevuma prasības. c) Var pamanīt, ka dalās ar 5, tāpēc der skaitlis 95. Piezīme. Uzdevumam katrā apakšpunktā ir arī vairāki citi atrisinājumi tbilde: var iekrāsot gan, gan 6 rūtiņas tā, lai uzdevuma prasības būtu izpildītas. 4. zīm. parādīts, kā var iekrāsot 6 rūtiņas; šajā zīmējumā iekrāsojot vēl vienu jebkuru rūtiņu, uzdevuma prasības tiks apmierinātas. Ir arī citi veidi, kā var iekrāsot rūtiņas... Izveidosim tabulu, ar ko pārī var būt apvienots katrs no dotajiem skaitļiem. 3, 8, 5 0 6, 5, 4 5, 4 3, 6, 3 4, 3 4 5, 3 3, 5 4, 4, 6 3, 0 5, 0, 9, , 8 9, 6 8 Ievērosim, ka 8 var būt apvienots pārī tikai ar, ar 8 un 6 ar 9. Tālāk pakāpeniski secinām, ka ir apvienots ar 4, ar 5, 4 ar, 3 ar 3, 6 ar 0 un ar 5. tbilde: ir apvienots pāri ar 5... tbilde: 6. =3 3, tāpēc vienam no skaitļiem x, x+ vai x+ jādalās ar 3. (Starp trīs pēc kārtas sekojošiem naturāliem skaitļiem viens noteikti dalās ar 3, tāpēc dotais reizinājums vienmēr dalās ar 3.) No līdz 03 ir 54 skaitļi, kas dalās ar 3 (lielākais 998). Tātad 54 veidos var izvēlēties tādu x, kas dalās ar 3, 54 veidos tādu x, ka x+ dalās ar 3 un 54 veidos tādu x, ka x+ dalās ar 3, t.i., pavisam ir =6 tādi skaitļi x, ka x x + x + dalās ar. ( )( ) 0./03. m.g. Latvijas 63. matemātikas olimpiādes. posma uzdevumu atrisinājumi.

3 .3. a) Ja -stūra 8 virsotnes atrodas uz vienas taisnes, tad 3 virsotnes uz tās neatrodas. pzīmēsim tās ar, un. Tad no pārējām 8 virsotnēm daļa atrodas starp un, daļa starp un un daļa starp un. Pēc Dirihlē principa kādā no šīm daļām ir vismaz 3 virsotnes un tās visas atrodas uz vienas taisnes pretruna. b) Jā, var; skat. piemēram, 5. zīm. 5. zīm. 6. zīm..4. Pieņemsim, ka to var izdarīt. Ievērosim, ka tādā gadījumā visu skaitļu paritātes ir vienādas. Ja visi skaitļi ir nepāra, tad tiem visiem pieskaitīsim, uzdevumā dotā īpašība joprojām izpildīsies (blakus esošo skaitļu starpība nemainīsies). Ja visi skaitļi ir pāra skaitļi (sākumā dotie vai iepriekš aprakstītās darbības rezultātā iegūtie), izdalīsim tos visus ar. Tagad blakus stāvošo skaitļu starpības būs 3, 5, vai 9. Ievērosim, ka tagad blakus stāvošo skaitļu paritātes ir dažādas, bet 3 skaitļu gadījumā tas nav iespējams..5. Sadalīsim sākotnējo trijstūri četros vienādmalu trijstūros ar malas garumu (skat. 6. zīm.). Tā kā ir četri šādi trijstūri (kas nepārklājas), un tajos ierakstīti 9 piecinieki, tad kādā no šiem trijstūriem būs vismaz trīs piecinieki, tāpēc tajā ierakstīto skaitļu summa būs vismaz = 8, k.b.j. 8.. Ievērosim, ka = = 3000 = ( 3000 ) ( ) = tbilde: = 30, = 90, = 60. Tā kā ML = LH un L ir bisektrise, tad H = M = un M ir vienādsānu un M = M (skat.. zīm.). Tā kā M=M=M=, tad M ir vienādmalu un M = M = M =60. H ir vienādmalu trijstūra M augstums, tātad arī bisektrise, tāpēc = H = 60 : = 30. = 80 ( + ) = 80 ( ) = M L H zīm. 8. zīm tbilde: 835. Pavisam ir 9000 četrciparu skaitļi. No tiem 5 4 = 65 skaitļi satur tikai nepāra ciparus. Tātad = 835 četrciparu skaitļu pierakstā ir vismaz viens pāra cipars To var izdarīt, piemēram, tā, kā parādīts 8. zīm. x+ y x y Izmantojot pakāpju īpašību a = a a, atrisinājumu var iegūt, tabulā ierakstot pakāpes ar vienādām bāzēm tā, lai kāpinātāju summa katrā rindiņā un katrā kolonnā būtu viena un tā pati. 0./03. m.g. Latvijas 63. matemātikas olimpiādes. posma uzdevumu atrisinājumi. 6 3

4 8.5. a) Sanumurēsim pozīcijas no līdz 0. Mums jāpanāk, ka pozīcijās no līdz 0 stāv zēni, bet no līdz 0 meitenes. plūkosim pirmo pozīciju. Ja tur stāv zēns, tad viss jau kārtībā. Ja meitene, tad kādā no pozīcijām līdz noteikti stāv kāds zēns (jo vēl ir tikai 9 meitenes), tātad to var samainīt vietām ar. pozīcijā stāvošo meiteni. Šādā veidā pirmajā solī ar vienu vai nevienu maiņu var panākt, ka pirmajā pozīcijā stāv zēns. Tālāk otrajā solī tieši tādā pašā veidā panāk, ka otrajā pozīcijā stāv zēns, trešajā solī ka trešajā pozīcijā stāv zēns utt. r 0 soļiem, t.i., ar ne vairāk kā 0 maiņām var panākt, ka visās pozīcijās no līdz 0 stāv zēni. b) plūkosim sākuma situāciju, kad meitenes stāv pozīcijās no līdz 0, bet zēni pozīcijās no līdz 0. Katrā maiņā piedalās tikai viens zēns ( zēnu mainīšana vietām neko nemaina), tāpēc pēc 9 maiņām noteikti būs vismaz viens zēns, kas savu vietu nebūs mainījis, tātad joprojām atradīsies kādā no pozīcijām no līdz Jā, piem., = pzīmēsim dotā regulārā trijstūra malas garumu ar a un augstumu ar h (skat..zīm.). Tad S = a KD + a KE + a KF = a ( KD + KE + KF). No otras puses = a h. Tātad KD + KE + KF = h neatkarīgi no punkta K S izvēles.. zīm Ja a un b, a b ir taisnstūra malu garumi, tad ab = a + b. Pārveidojot, iegūstam ab a b + 4 = 4 jeb ( a )( b ) = 4. Iegūtajam vienādojumam naturālos skaitļos ir divi atrisinājumi: a = b = jeb a = b = 4; a = 4 un b = jeb a = 6 un b = Tā kā visi a i (i=,,..., 03) ir naturāli skaitļi, to mazākā iespējamā vērtība ir. Ja kāds no dotajiem skaitļiem a k =, tad nevienādība a k = > ak + nav patiesa nevienam naturālam skaitlim a k+, Tātad mazākā iespējamā skaitļu a i vērtība ir. Viegli pārbaudīt, ka a = a =... = a03 = apmierina dotās nevienādības, tāpēc summas a + a a03 mazākā iespējamā vērtība ir = 03 = No trīs uzdevumiem var izveidot 8 dažādus atrisināto uzdevumu komplektus (t.sk., neviens atrisināts uzdevums). Ja katru komplektu būtu atrisinājuši ne vairāk kā skolēni, tad skolēnu kopējais skaits būtu ne vairāk kā 8 = 96 < 00. Tātad ir vismaz 3 skolēni, kas izrēķinājuši vienus un tos pašus uzdevumus. Piezīme. Dotā uzdevuma risinājumā izmantots Dirihlē princips. F E K D 0.. Tā kā visi a i (i=,,..., 0) ir naturāli skaitļi, to mazākā iespējamā vērtība ir. Ja kāds no dotajiem skaitļiem a k =, tad nevienādība a k = > ak + nav patiesa nevienam naturālam skaitlim a k+. Tātad mazākā iespējamā skaitļu a i vērtība ir. Viegli pārbaudīt, ka a =, 0./03. m.g. Latvijas 63. matemātikas olimpiādes. posma uzdevumu atrisinājumi. 4

5 a = 3, a = 4, a = 5, a = 6, a =, a = 8, a = 9, a = 0, a = 0 apmierina dotās nevienādības. Tā kā tie ir mazākie dažādie naturālie skaitļi, kas apmierina dotās nevienādības, tad summas a + a a0 mazākā iespējamā vērtība ir = tbilde: 36, 36, 08. Tā kā apvilktās un ievilktās riņķa līniju centri ir simetriski vienu trijstūra malām (apzīmēsim to ar ; skat.. zīm.), tad viens no tiem atrodas iekšpusē, bet otrs ārpusē. Tā kā ievilktās riņķa līnijas centrs O vienmēr atrodas trijstūra iekšpusē, tad apvilktās riņķa O līnijas centrs O atrodas ārpusē un ir platleņķa trijstūris. O=O kā apvilktās riņķa līnijas rādiusi, tad O ir O vienādsānu. pzīmēsim O= O=x. Tad O=80 x=. Tā kā O ir simetrisks O attiecībā pret taisni, tad O = O=x un O = O=x. n Ievilktās riņķa līnijas centrs atrodas bisektrišu krustpunktā,. zīm. tāpēc O = O =x un O = O =x. pskatām leņķus: = n = (360 (80 x)) = 90 + x, = =x. Tad 90 +x+x+x=80 jeb 5x=90 un x=8. Tātad = =36, = pzīmēsim piramīdas šķautņu garumus kā parādīts 3. zīm. Pieņemsim, ka a, b, c, d, e, f ir dažādi skaitļi. Tā kā visu skaldņu perimetri ir vienādi, tad a + b = d + f d f e a + c = e + f c a b b + c = d + e Saskaitot pirmos divus vienādojumus un no tiem atņemot trešo 3. zīm. vienādojumu, iegūstam a = f jeb a = f pretruna Pieņemsim, ka n ir skaitļa ciparu skaits, m skaitļa 5 ciparu skaits. Tad n 03 n m 03 m 0 < < 0 un 0 < 5 < 0. Sareizināsim šīs nevienādības: n + m 03 n+ m 0 < 0 < 0. Tātad n + m < 03 < n + m un vienīgā iespējamā n + m vērtība (t.i., uzrakstīto ciparu skaits) ir No septiņiem dažādiem skaitļiem var izveidot (6 ):= dažādus pārus. Dotie skaitļi ir dažādi, pie tam nav mazāki kā un nav lielāki kā, tāpēc divu šādu skaitļu starpības vērtība ir vismaz un nepārsniedz -=0. Tā kā starpības var pieņemt tikai 0 dažādas vērtības, bet pavisam var izveidot dažādu skaitļu pāri, tad vismaz divu pāru skaitļu starpības būs vienādas... tbilde: atrisinājumi ir (0; 0) un (; 0). Pārveidosim vienādojumu formā x ( x ) = y 0./03. m.g. Latvijas 63. matemātikas olimpiādes. posma uzdevumu atrisinājumi. 5

6 Ja x = 0 vai x =, tad y = 0 un atrisinājums eksistē. Pieņemsim, ka x >. Tad ir spēkā stingrā nevienādība ( x ) < x( x ) < x. Tā kā x(x ) atrodas starp divu secīgu veselu skaitļu kvadrātiem, tad tas nevar būt vesela skaitļa kvadrāts. R Līdzīgi, ja x < 0, tad ir spēkā stingrā nevienādība x < x( x ) < ( x ). Tātad arī šajā gadījumā x(x ) nevar būt vesela P skaitļa kvadrāts. S.. Novilksim diagonāli D; apzīmēsim PQD = α (skat. 4. zīm.). Tā kā četrstūris PQD ir ievilkts riņķa līnijā, tad PD = 80 PQD = 80 α. D No tā, ka D ir paralelograms un D seko, Q ka SD = PD = 80 α. Četrstūris SRD arī 4. zīm. ir ievilkts riņķa līnijā, tāpēc SR = 80 SD = 80 ( 80 α ) = α. tliek ievērot, ka taisnes PQ un RS veido vienādus leņķus α ar paralēlām taisnēm D un, tāpēc tās arī ir paralēlas..3. Var rīkoties, piemēram, šādi. Vispirms katrā svaru kausā novieto trīs monētas. Ja svari ir līdzsvarā, tad katra 9 g smagā monēta ir savā kausā. Tad izvēlas divas monētas no viena kausa un sver vēlreiz. Ja to masas ir vienādas, tad atlikusī monēta sver 9 g; ja nē, tad vieglākā no tām sver 9 g. Ja pirmajā svēršanā viens svaru kauss (apzīmēsim to ar ) bija vieglāks, tad abas 9 g monētas ir šajā svaru kausā. Tad izvēlas divas monētas no kausa un sver vēlreiz. Ja svari ir līdzsvarā, tad atrastas abas 9 g monētas, pretējā gadījumā vieglākā no tām sver 9 gramus..4. pzīmēsim F ( x) = P( x) 000. Tādā gadījumā a, b, c, d ir polinoma F(x) saknes un F( x) = ( x a)( x b)( x c)( x d) R( x). Ja P ( n) = 03, tad F( n) = 3 = ( n a)( n b)( n c)( n d) R( n). Taču skaitli 3 nevar izteikt kā ne mazāk kā 4 dažādu veselu skaitļu reizinājumu..5. plūkosim visas iespējamās slēgtās lauztās līnijas, kas katra sastāv no n posmiem un visi tās n lauzuma punkti ir dotajos punktos. Pierādīsim, ka no tām lauztā līnija ar vismazāko perimetru arī ir meklētais n-stūris. Pieņemsim pretējo, ka šādai lauztai līnijai kādi divi posmi un D krustojas punktā X, pie tam lauztā līnija turpinās no punkta uz D un no punkta uz (skat. 5. zīm.): D D X 5. zīm. 0./03. m.g. Latvijas 63. matemātikas olimpiādes. posma uzdevumu atrisinājumi. 6

7 Izdzēšam nogriežņus un D, un uzzīmējam nogriežņus un D. Pierādīsim, ka lauztās līnijas perimetrs samazinājās. No trijstūra nevienādības seko, ka < X + X un D < X + XD. Tāpēc + D < ( X + X) + ( X + XD) = ( X + X) + ( X + XD) = + D, un jaunās lauztās līnijas perimetrs ir mazāks nekā iepriekšējās, kas ir pretrunā ar pieņēmumu... Pārveidosim doto nevienādību: a + b ab > a + b > ab ( a + b) + > 4ab 4( a + b) ( a + b) 4( a + b) ( a b) + >. 4( a + b) Tā kā a un b ir divi dažādi naturāli skaitļi, tad ( a b) un 0 4( a + b) >, līdz ar to pēdējā nevienādība ir patiesa. Tā kā tika veikti ekvivalenti pārveidojumi, tad arī visas iepriekšējās, t.sk. dotā, nevienādības ir patiesas, k.b.j... No bisektrises īpašības iegūstam =. Tā kā M = un N = P, tad ir spēkā P P M =. Tāpēc P~ MN. No tā seko, ka NM = P. Savukārt P N NX = 80 NM un P = 80 P, tāpēc NX = P. No tā iegūstam vajadzīgo pēc pazīmes ll. N N M 6. zīm. X P P X M. zīm. Piezīme: punkts M var atrasties dažādās pusēs no P, kā arī sakrist ar to. Tomēr tas nekādi neietekmē uzdevuma risinājumu (piem., sk. 6. un. zīm.)..3. Ievērosim, ka n + 3n (mod ). Tātad skaitlis n + 3n + 3 dalās ar un tā pirmreizinātāji var būt tikai skaitlis vai arī tādi pirmskaitļi, kas nepārsniedz n + 3n + 3 Pamatosim, ka < n un < n. Tā kā n (mod) un n >, tad n 8. Taču tad n 8 >. n + 3n /03. m.g. Latvijas 63. matemātikas olimpiādes. posma uzdevumu atrisinājumi.

8 n + 3n + 3 Nevienādība < n ir ekvivalenta nevienādībai n + 3n + 3 < n n n > 0. tliek ievērot, ka funkcija f ( x) = x x = ( x )( x + ) pieņem pozitīvas vērtības intervālā ( ; + ), tātad n n > 0 visiem naturāliem skaitļiem n >..4. Sauksim par doto 6 trijstūru sānu malām tās malas, kas atrodas uz sešstūra malām. plūkosim šo trijstūru abu sānu malu garumu summas. Tā kā dotā sešstūra perimetrs ir vienāds ar 6, no Dirihlē principa seko, ka vismaz viena šāda summa nav lielāka kā (jo visas trijstūru sānu malas pilnībā nosedz visas sešstūra malas). pzīmēsim šo trijstūri ar un tā sānu malas ar a un b, tad a + b. No nevienādības starp vidējo aritmētisko un vidējo ģeometrisko seko: ab a + b a + b ab ab () 4 Trijstūra laukumu varam aprēķināt pēc formulas ab sin α, kur α ir leņķis starp malām a un b. Tā kā dots regulārs sešstūris, tad α = 0. Tāpēc trijstūra laukums ir vienāds ar 3 3 ab sin α = ab sin0 = ab = ab () 4 No () un () seko, ka trijstūra laukums nav lielāks kā = 3 6, k.b.j..5. Pierādīsim vispārīgāku apgalvojumu: ja parlamentā ir n deputāti un katram no viņiem ir domstarpības ar ne vairāk kā d citiem deputātiem, kur 0 d n, tad deputātus var sadalīt d + komisijā tā, lai vienas komisijas nekādiem diviem deputātiem nebūtu domstarpību savā starpā. Tādā gadījumā uzdevumā prasītais sekos no pierādītā apgalvojuma, ja n = 03. Pierādāmo apgalvojumu pamatosim ar matemātisko indukciju pēc n. Indukcijas bāze. Ja n = d +, tad katrā no d + komisijām iekļaujam tieši vienu deputātu. cīmredzami, ka tad starp vienas komisijas locekļiem nekādiem diviem deputātiem nebūtu domstarpību savā starpā. Induktīvais pieņēmums. Pieņemsim, ka gadījumā, ja parlamentā ir n deputāti, tad viņus var sadalīt vajadzīgajā veidā. Induktīvā pāreja. Pieņemsim, ka parlamentā ir n + deputāts; parādīsim, ka arī tad viņus var sadalīt d + komisijā vajadzīgajā veidā. Izvēlamies patvaļīgu deputātu. tlikušos n deputātus sadala d + komisijā tā, lai starp vienas komisijas locekļiem nekādiem diviem deputātiem nebūtu domstarpību savā starpā (ko var izdarīt, saskaņā ar induktīvo pieņēmumu). Deputātam ir domstarpības ar ne vairāk kā d citiem deputātiem, taču izveidota d + komisija. Tas nozīmē, ka ir vismaz viena tāda komisija, ka nav domstarpību ne ar vienu šīs komisijas deputātu. Tad varam iekļaut šajā komisijā, līdz ar ko arī n + deputāts ir sadalīts d + komisijā vajadzīgajā veidā. Induktīvā pāreja ir izdarīta, tātad apgalvojums ir pierādīts. 0./03. m.g. Latvijas 63. matemātikas olimpiādes. posma uzdevumu atrisinājumi. 8