ATTĒLOJUMI UN FUNKCIJAS. Kopas parasti tiek uzskatītas par fiksētiem, statiskiem objektiem.

Transcript

1 2005, Pēteris Daugulis 1 TTĒLOJUMI UN FUNKCIJS Kopas parasti tiek uzskatītas par iksētiem, statiskiem objektiem Lai atļautu kopu un to elementu pārveidojumus, ievieš attēlojuma jēdzienu ttēlojums ir kāda darbība vai operācija, kas pārveido, pārstrādā dotās kopas elementus par kādas citas (vai tās pašas) kopas elementiem DEFINĪCIJ Par attēlojumu no kopas uz kopu B ( : B vai B ) sauc atbilstības likumu, kas katram kopas elementam a piekārto kādu kopas B apakškopu (a) sauc par elementa a attēlu attiecībā uz, ko Kopas elementi, kuru attēli ir netukšas kopas, veido attēlojuma deinīcijas apgabalu D ( ) Par kopas apakškopas X -attēlu (apzīmē ar pierakstu Im(,X),Im() vai (X ) ) sauc kopu U a X ( a)

2 2005, Pēteris Daugulis 2 Par attēlojuma vērtību kopu sauc kopu () Par kopas B elementa b inverso attēlu 1 ( b) sauksim kopas apakškopu { a b ( a)} Par kopas B apakškopas ' 1 ( B) B inverso attēlu sauksim kopas apakškopu U b B ' 1 ( b) ttēlojuma jēdziens ir viens no undamentālākajiem matemātikas jēdzieniem, bez kura mūsdienu matemātika nav iedomājama, un kuru, tāpat kā kopas, cilvēki izmanto daudz biežāk nekā viņi to apzinās PIEMĒRI a) skaitļu unkcijas, ar kurām lasītāji ir pazīstami no skolas matemātikas kursa, ir attēlojumi no kādas reālu skaitļu kopas R apakškopas uz kādu (iespējams, citu) kopas R apakškopu;

3 2005, Pēteris Daugulis 3 b) pieņemsim, ka kopa ir visu cilvēku kopa, B ir visu cilvēku valodu kopa, katrs cilvēks principā ir spējīgs pārvaldīt vismaz vienu valodu, tāpēc apskatīsim attēlojumu, kas piekārto katram cilvēkam to valodu kopu, kuras viņš vai viņa pārvalda, ievērojiet, ka ir cilvēki, kuriem tiek piekārtota tukša kopa (tie ir cilvēki, kas nepārvalda nevienu valodu, piemēram, mazi bērni), ir cilvēki, kas pārvalda vienu valodu (tādu ir vairākums) un ir cilvēki, kas pārvalda vairākas valodas; c) (nenopietns piemērs) pieņemsim, ka ir Jūsu augstskolas studentu kopa un B ir studenšu kopa, katram studentam var patikt viena vai vairākas studentes, tāpēc varam deinēt attēlojumu, kas piekārto katram studentam to studenšu kopu, kas viņam patīk ttēlojuma uzdošanas veidi ttēlojumu var uzdot šādos veidos : a) tieši deinējot attēlu katram kopas elementam (šī metode der, ja kopas un ir galīgas kopas ar nelielu elementu skaitu); B

4 2005, Pēteris Daugulis 4 b) uzdodot attēlojuma raksturīgu īpašību, izmantojot matemātiskas vai citas dabas terminus, piemēram, ( x) = sin ttēlojumu ir lietderīgi vizualizēt šādā veidā: uz papīra lapas, tāeles vai monitora ekrāna atzīmē visus kopu un B elementus un katram x a zīmē vienu bultiņu no a uz katru elementu apakškopā (a), šādu zīmējumu sauc par attēlojuma grau vai diagrammu, kopu elementus sauc par graa virsotnēm un bultiņas - par šķautnēm Ja attēlojums ir deinēts no kopas uz (tādu attēlojumu sauc par attēlojumu sevī), tad pietiek atlikt tikai kopas elementus vienā eksemplārā : B un g : X Y sauc par vienādiem ( = g ) tad un = X, B = un katram a = X izpildās nosacījums ( a) = g( a) DEFINĪCIJ Divus attēlojumus tikai tad, ja Y DEFINĪCIJ Ja ir dots attēlojums : B, tad par tā apvērsto attēlojumu g : B sauc attēlojumu, kas katram nosacījumu g( b) = 1 ( b) (apzīmē ar b B ir deinēts ar 1 )

5 2005, Pēteris Daugulis 5 Par attēlojuma apvērsto attēlojumu ir lietderīgi domāt kā par attēlojumu, ko iegūst, izmainot uz pretējo visu bultiņu virzienus attēlojuma graā Pārejot uz apvērsto attēlojumu, deinīcijas apgabals un vērtību apgabals mainās vietām ( 1 ) 1 =, jo, mainot bultiņu virzienu divas reizes, nonākam sākotnējā stāvoklī Piemēra a) apvērstais attēlojums ir attēlojums, kas katrai valodai piekārto to cilvēku kopu, kuri pārvalda šo valodu, utt DEFINĪCIJ Par attēlojuma G ( ) sauc apakškopu : B graiku {( a, b) B b ( a)} kopā B ttēlojumu kompozīcija DEFINĪCIJ Par attēlojumu : B un g : B C kompozīciju (reizinājumu) sauc

6 2005, Pēteris Daugulis 6 attēlojumu katram a g o : C ( g o )( a) = g( ( a)), kas ir deinēts šādi: Ja ir dots galīgs skaits attēlojumu 1 : 1 2, 2 : 2 3,, n : n n+ 1, tad par to kompozīciju 1 o 2 o o n sauc attēlojumu, kas katram 1 vienādību a ir deinēts ar 1 o 2 o o n )( a) = 1( (( n ( a)) ( 2, kur labajā pusē elementam a tiek pielietoti attēlojumi,,, n n 1 1 ttēlojumus, kuri piedalās kompozīcijā, sauc par kompozīcijas reizinātājiem o o o ttēlojuma n : n-kārtīgo kompozīciju sauksim par n-to pakāpi Ja attēlojums : B ir vienāds ar kompozīciju g o h, kur h : C un

7 2005, Pēteris Daugulis 7 g : C B, tad teiksim, ka attēlojums aktorizējas caur C TEORĒM (kompozīcijas asociativitātes īpašība) Jebkuriem trīs attēlojumiem : B, g : B C, h C D izpildās vienādība ( h o g) o = h o ( g o : ) PIERĀDĪJUMS Pierādīsim, ka katram izpildās vienādība (( h o g) o )( a) = ( h o ( g o ))( a) a Kopa pierādāmās vienādības kreisajā pusē ir (( h o g) o )( a) = ( h o g)( ( a)) = h( g( ( a))) Kopa labajā pusē ir ( h o ( g o ))( a) = h(( g o )( a)) = h( g( ( a))) un vienādība ir acīmredzama TTĒLOJUMU VEIDI (SPECIĀLGDĪJUMI)

8 2005, Pēteris Daugulis 8 DEFINĪCIJ ttēlojumu visur deinētu, ja D ( ) = : B sauc par ttēlojumu sauc par sirjektīvu, ja ) = B ( ttēlojumu sauc par unkciju, ja tas ir visur deinēts un katram a (a) satur tieši vienu elementu Funkciju sauc par injektīvu, ja jebkuriem dažādiem kopas elementiem a 1 un a 2 ir dažādi attēli, tas a1 a, tad ( a1) ( a2), citos terminos, b kopa 1 ( b ) ir, ja 2 katram ( ) elementu satur tieši vienu Funkciju, kas ir vienlaicīgi surjektīva un injektīva, sauc par bijektīvu (savstarpēji viennozīmīgu) unkciju (vai par permutāciju, ja iet runa par endounkciju) Jebkura kopā unkciju, kas katram deinēta ar ormulu a) = a attēlojumu ( id ), kas atbilst kopai a ( sauc par vienības Visplašāk pielietotais attēlojumu tips ir unkcijas

9 2005, Pēteris Daugulis 9 ttēlojumu, kas nav unkcija, bieži sauc par daudzvērtīgu unkciju Vairākas dabiski deinējamas unkcijas var atrast, sīkāk aplūkojot kopu teorijas pamatdeinīcijas un operācijas ar kopām: Ja i S S, tad ir deinēta injektīva unkcija : S, ko sauc par apakškopai S atbilstošo dabisko iekļaušanu (immersiju, iegremdēšanu), un kas s S ir deinēta ar ormulu i S ( s) = s, kur labajā pusē elements s tiek uzskatīts par kopas elementu Ja ir dots attēlojums : B, tad kompozīciju o is : S B sauc par attēlojuma sašaurināšanu uz apakškopu S Ja ir dots attēlojums attēlojums g : S B un ja eksistē : B, tāds, ka o i = S g, tad saka, ka ir attēlojuma g paplašinājums no apakškopas S uz

10 2005, Pēteris Daugulis 10 Katrai kopas apakškopai S deinēsim unkciju χ S : {0,1 } ar šādu ormulu: χ S ( a) = 1, ja a 1 un χ S ( a) = 0, ja a 1 Funkciju χ S sauc par apakškopas S raksturīgo (harakteristisko) unkciju = α } α I Ja I { ir kopas aktorkopa, tad ir deinēta surjektīva unkcija p : I, ko sauc par aktorkopai atbilstošo dabisko projekciju, un kas katram a α ir deinēta ar ormulu p ( a) = α Ja ir dotas divas kopas un B, tad ir deinētas divas surjektīvas unkcijas p : B un p B : B B, kuras sauc par dabiskajām projekcijām uz tiešā reizinājuma komponentēm (aktoriem, reizinātājiem), šīs unkcijas ir deinētas ar ormulām p ( a, b) = a, pb ( a, b) = b Ja attēlojumam : B izpildās īpašība a ( a) = b, kur b ir iksēts, tad tādu attēlojumu sauksim par konstantu attēlojumu Funkcijas starp mazām galīgām kopām ir ērti analizēt izmantojot unkciju graus

11 2005, Pēteris Daugulis 11 Tā, piemēram, unkcija : B ir surjektīva tad un tikai tad, ja katrā kopas B elementā ieiet vismaz viena - bultiņa Funkcija ir injektīva tad un tikai tad, ja katrā kopas B elementā ieiet ne vairāk kā viena bultiņa Bijektīvu unkciju no (visbiežāk galīgas) kopas sevī parasti sauc par permutāciju (pārkārtojumu) TEORĒM Divu unkciju kompozīcija ir unkcija Divu bijektīvu unkciju kompozīcija ir bijektīva unkcija Ja unkcija : B ir bijektīva 1 unkcija, tad tās apvērstā unkcija arī ir bijektīva unkcija un izpildās vienādības 1 1 o = id B, o = id PIERĀDĪJUMS Patstāvīgs darbs TEORĒM - galīga kopa, : 1) ja ir injektīva unkcija, tad tā ir bijektīva 2) ja ir sirjektīva unkcija, tad tā ir bijektīva PIERĀDĪJUMS Patstāvīgs darbs

12 2005, Pēteris Daugulis 12 Orbītas un invariantās kopas Pieņemsim, ka ir dots attēlojums : Orb ( a) U Kopu n= 1 elementa a orbītu attiecībā uz = n ( a) sauksim par pakškopai S Orb U ( S) = kopu n= sauksim par tās orbītu 1 n ( S) arī S sauksim par invariantu pakškopu (iksētu) apakškopu attiecībā uz, ja Orb ( S) S ( Orb ( S) = S ) Elementu a sauksim par iksētu punktu, ja tam atbilstošā vienelementa apakškopa ir iksēta, citiem vārdiem sakot - ( a) = a Katras apakškopas orbīta ir iksēta apakškopa Diviem kopas elementiem orbītas var sakrist ttēlojumu izomorisms Divus attēlojumus : B un g : X Y

13 2005, Pēteris Daugulis 13 sauksim par izomoriem, ja eksistē bijektīvas unkcijas ϕ : X un ψ : B Y ψ o = g oϕ Permutācijas un to struktūra Permutāciju pieraksta veidi: 1) attēlu saraksts; 2) vertikālais pieraksts; 3) horizontālais pieraksts tādas, ka - šajā gadījumā unkciju pieraksta divu rindu veidā, kas ir savienotas ar iekavām, augšējā rindā raksta kopas elementus kaut kādā noteiktā kārtībā, apakšējā rindā raksta kopas elementu attēlus attiecībā uz doto unkciju tā, ka katrā kolonnā apakšējais elements ir augšējā elementa attēls Piemēram, unkciju un :, ja = {1,2,3,4 } ( 1) = 3, (2) = 1, ( 3) = 4, (4) = 2 var pierakstīt šādi:, 1234 = ) diagrammas veidā

14 2005, Pēteris Daugulis 14 Divu permutāciju kompozīcijas, permutācijas inversās permutācijas noteikšana DEFINĪCIJ Ja ir dots permutācija :, tad divus kopas elementus x un y sauksim par - ekvivalentiem, ja x Orb ( y), citiem vārdiem k sakot eksistē k tāds, ka x = ( y) TEORĒM -ekvivalence ir ekvivalences attiecībā kopā (ekvivalences klases ir -orbītas) PIERĀDĪJUMS Nav grūts Pierādījām, ka kopa ir savstarpēji šķirtu orbītu apvienojums Tagad ir jāsaprot, kā darbojas katrā orbītā DEFINĪCIJ Funkciju : no galīgas kopas sevī sauc par ciklisku attēlojumu vai ciklu, ja 1) vai nu 2 un kopas elementus var sanumurēt noteiktā kārtībā [ a 1, a2,, an ] tā, ka ( a i ) = a i + 1, ja 1 i n 1 un ( an ) = a1, 2) vai arī = 1 un kopas vienīgais elements a apmierina vienādību ( a) = a

15 2005, Pēteris Daugulis 15 Ja ir galīga kopa un : ir unkcija no sevī, tad kopas apakškopu C sauc par - ciklu vai ciklu attiecībā uz unkciju, ja unkcijas sašaurinājums uz C ir ciklisks attēlojums - vai C un kopas C elementus var sanumurēt, c,, c c i ) c nu 2 noteiktā kārtībā [ c 1 2 k ] tā, ka ( = i + 1, ja 1 i k 1 un ( ck ) = c1, vai arī C = 1 un kopas C vienīgais elements c apmierina c) = c vienādību ( Elementu skaitu ciklā sauc par cikla garumu Ciklu, kura garums ir 1, sauc par unkcijas iksēto punktu Ciklu, kura garums ir 2 sauksim par transpozīciju Ja cikla garums ir stingri lielāks nekā 1, tad ciklu sauc par īstu (netriviālu) ciklu Funkciju eksistē apakškopa visi elementi kopā : sauc par vispārinātu ciklu, ja C, kas ir īsts - cikls un \ C ir iksēti punkti

16 2005, Pēteris Daugulis 16 Divus vispārinātus ciklus, kas uzdoti vienā kopā sauc, par neatkarīgiem vispārinātiem cikliem, ja to netriviālo ciklu šķēlums ir tukša kopa PIEMĒRS: = {1,2,3,4,5,6,7,8,9 }, unkcija : ir deinēta šādi: ( 1) = 1, (2) = 3, (3) = 2, (4) = 5, (5) = 6, (6) = ( 7) = 8, (8) = 9, (9) = 4 7 Viegli redzēt, ka šai unkcijai ir 3 cikli: 1 cikls C = {1} 1 ar garumu 1, 1 cikls C = {2,3 2 } ar garumu 2 un 1 cikls C = {4,5,6,7,8,9 6 } ar garumu 6 Ciklu ir viegli interpretēt unkcijas graa terminos: tas ir sakarīgs gras (gras, kuru nevar sadalīt divos vai lielākā skaitā graos), kurā katrai virsotnei ir tieši viena izejoša un tieši viena ieejoša šķautne Ja unkcija : ir cikls, un ( a1 ) = a2, ( a2 ) = a3,, ( an ) = a1, tad šādu unkciju ir pieņemts apzīmēt ar pierakstu = ( a1a2 an )

17 2005, Pēteris Daugulis 17 TEORĒM (permutācijas sadalījums ciklos) Galīgas kopas permutācija ir vienāda ar galīgu neatkarīgu vispārinātu ciklu kompozīciju Šādas kompozīcijas reizinātāji ir noteikti viennozīmīgi ar precizitāti līdz to kārtībai kompozīcijā PIERĀDĪJUMS Pieņemsim, ka ir dota galīgas kopas permutācija : un = n Interpretēsim galīgās kopas permutāciju grau kā Tā kā permutācija ir injektīva un surjektīva unkcija, tās graam piemīt īpašība, ka katrai virsotnei ir tieši viena ieejoša un tieši viena izejoša šķautne Tas nozīmē, ka sākot ar jebkuru virsotni a 1 šajā graā mēs iegūsim virsotņu kopu C 1 = { a 1, a k }, kas apmierinās vienādības ( a1 ) = a2, ( a2 ) = a3,, ( ak ) = a1 Ja k = n, tad permutācija ir cikls un teorēma ir k < n pierādīta Ja, tad izvēlēsimies jebkuru elementu kopā \ C1 un atradīsim otro ciklu C 2 Turpināsim šo procedūru tik ilgi, kamēr nebūsim ieguvuši kopas sadalījumu { C 1,, C m }, tādu,

18 2005, Pēteris Daugulis 18 ka permutācijas sašaurinājums uz katru apakškopu C i ir cikls Katrs kopas elements pieder vienam un tikai vienam ciklam, tāpēc šāds sadalījums ir noteikts viennozīmīgi Ja c 1, c2,, cm ir vispārināti cikli, kuru netriviālo ciklu šķēlums ir tukša kopa, tad visu šo ciklu kompozīcija nav atkarīga no reizinātāju kārtības, tas izriet no tiešas pārbaudes pzīmēsim permutācijas sašaurinājumu uz kopu C i ar i r tiešu pārbaudi var pārliecināties, ka kompozīcija o o o 1 2 m ir vienāda ar SECINĀJUMS (permutācijas cikliskais pieraksts) Teorēma rāda, ka permutāciju var uzdot pārskaitot tās ciklus un kārtību, kādā tiek sakārtoti elementi katrā ciklā, šo pierakstu sauc par permutācijas ciklisko pierakstu Šajā pierakstā ciklus ar garumu 1 parasti neuzrāda PIEMĒRS permutāciju =

19 2005, Pēteris Daugulis 19 var pierakstīt ormā = (23)(4567)(89) Funkcijas kārta Par unkcijas naturālo skaitli k tādu, ka : kārtu sauksim mazāko k = id TEORĒM Katra permutācija ir vienāda ar transpozīciju kompozīciju PIERĀDĪJUMS Tā kā jebkura permutācija ir neatkarīgu ciklu kompozīcija, pietiek pierādīt teorēmu, ja permutācija ir cikls Vienkāršības pēc uzskatīsim, ka ={1,2,,n} Pieņemsim, ka ir dots cikls =(1;2;;n-1;n) Var redzēt, ka = ( 1; n)(1; n 1)(13)(12) (paskatīties katra elementa attēlu) :, kas ir t t t TEORĒM Dota permutācija izteikta kā transpozīciju kompozīcija = 1 2 k Tad ir spēkā šādi apgalvojumi: k 1) skaitlis ε = ( 1) ir atkarīgs tikai no un nav atkarīgs no transpozīcijām (to sauksim par paritāti);

20 2005, Pēteris Daugulis 20 2) izpildās vienādība g g multiplikatīvā īpašība) ε = ε ε (paritātes PIERĀDĪJUMS Vienkāršības pēc uzskatīsim, ka ={1,2,,n} 1) Pieņemsim, ka eksistē vēl viens sadalījums = s1s2 s l, kur skaitļiem k un l ir dažādas paritātes veselo skaitļu teorijas nozīmē (atlikums t t t s s2 s pēc moduļa 2) Iegūstam, ka 1 2 k = 1 l Ievērosim, ka katras transpozīcijas kvadrāts ir t = id vienības attēlojums, tātad i Veidosim kompozīcijas ar t 1, t2, (no kreisās puses), beigās iegūsim vienādību id = tktk 1 t2t1s1s 2 sl, ievērosim, ka k+l ir nepāra skaitlis pēc pieņēmuma Pierādīsim šādu apgalvojumu: ja id = σ 1σ 2 σ m, kur visas σ i ir transpozīcijas, tad m ir pāra skaitlis, no tā sekos pretruna un teorēmas pirmā punkta pierādījums Šo apgalvojumu mēs pierādīsim, parādot, ka reizinājums id = σ 1σ 2 σ m ir vienāds ar m-2 transpozīciju reizinājumu, atkārtojot šo operāciju vairākas reizes, iegūsim, ka vienības attēlojums ir vienāds ar vienu transpozīciju, kas ir pretruna 2

21 2005, Pēteris Daugulis 21 Pieņemsim, ka visas transpozīcijas, sākot ar σ j+ 1, kur j ir iksēts, nesatur elementu 1 (1ir to iksētais punkts) Pieņemsim, ka σ j = ( 1p) ttiecībā uz σ j 1 ir iespējami 4 gadījumi: a) σ j 1 = (1 p) ; b) σ j 1 = (1q ), q p ; c) σ j 1 = ( pq), q p ; d) σ j 1 = ( qr), q p, r p Ja ir spēkā gadījums a) tad id = σ 1 σ 2 σ j 2σ j+ 1σ m σ σ j 1 j = id un Ja ir spēkā gadījums b), tad σ σ j 1 j = (1q )(1 p) = (1 p)( pq) Ja ir spēkā gadījums c), tad σ σ j 1 j = ( pq)(1 p) = (1q )( pq) Ja ir spēkā gadījums d), tad σ σ j 1 j = ( qr)(1 p) = (1 p)( qr) Gadījumā a) mēs jau esam samazinājuši transpozīciju skaitu par 2 Ja ir gadījumi b),c) vai

22 2005, Pēteris Daugulis 22 d), tad mēs varam panākt, ka elements 1 tiek kustināts transpozīcijā, kuras indekss ir par 1 mazāks, turpinām šo procesu, kamēr vai nu nonākam pie gadījuma a), vai arī panākam, ka id = σ ' 1σ ' 2 σ ' m, kur σ ' 1 = (1s ) un pārējās transpozīcijas nekustina elementu 1 Iegūstam, ka id ( 1) = ( σ ' σ ' 2 σ ' m )(1) = σ ' 1 (1) pretruna 1 t t t 1 t' t' 2 t', kas ir 2) Ja = 1 2 k un = 1 l, tad g = t t 1 2 tkt' 1 t' l un k + l k l ε g = ( 1) = ( 1) ( 1) = ε ε g g tkarībā no paritātes permutāciju sauksim par pāra vai nepāra permutāciju Operācijas DEFINĪCIJ Ja ir dota kopa, tad unkciju n sauc par n -vietīgu operāciju 1-vietīga operācija ir vienkārši unkcija

23 2005, Pēteris Daugulis 23 2-vietīga operācija (bināra operācija) ir unkcija, kas katram sakārtotam kopas elementu pārim piekārto kādu kopas elementu Bināru operāciju piemēri: skaitļu aritmētiskās operācijas, unkciju kompozīcija n - vietīgās operācijas ar > 2 relatīvi reti n tiek pielietotas