Lielumus, kurus nosaka tikai tā skaitliskā vērtība, sauc par skalāriem lielumiem.

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Lielumus, kurus nosaka tikai tā skaitliskā vērtība, sauc par skalāriem lielumiem."

Transcript

1 1. Vektori Skalāri un vektoriāli lielumi Lai raksturotu kādu objektu vai procesu, tā īpašības parasti apraksta, izmantojot dažādus skaitliskus raksturlielumus. Piemēram, laiks, kas nepieciešams, lai izlasītu šo paragrāfu, varētu būt 2 minūtes, telpas temperatūra, kurā atrodamies, varētu būt + 22, bet mācību klases grīdas laukums 24 m 2. prakstot tādus lielumus kā laiks, temperatūra, garums, tilpums, svars vai cena, ir pietiekami lietot situācijai atbilstošu skaitli un mērvienību, tādā veidā gūstot pilnīgu priekšstatu par apskatāmo lielumu. Lielumus, kurus nosaka tikai tā skaitliskā vērtība, sauc par skalāriem lielumiem. Tomēr ir procesi, kuru raksturošanai ne vienmēr pietiek tikai ar vienu skaitlisku raksturlielumu. Piemēram, apskatot tādus lielumus kā spēks, pārvietojums vai paātrinājums, bez to skaitliskās vērtības svarīgs ir arī virziens. Piemēram, pieliekot vienu un to pašu spēku, ķermeni var pārvietot dažādos virzienos, braucot ar vienu un to pašu ātrumu, var doties dažādos virzienos utt. Latīņu valodā scalaris kāpņveidīgs, ar pakāpieniem. Lielumus, kurus nosaka gan skaitliskā vērtība, gan virziens, sauc par vektoriāliem lielumiem. tšķirību starp skalāru un vektoriālu lielumu viegli saprast, piemēram, aplūkojot kādā kustībā veikto ceļu un pārvietojumu. eļš raksturo noieto attāluma vienību (piemēram, metru vai kilometru) daudzumu. Tas ir skalārs lielums, jo, sakot noieti 400 m, pilnīgi skaidrs, cik garš ceļš ir veikts. Savukārt, pārvietojums raksturo objekta attālumu no kustības sākumpunkta līdz kustības beigu punktam pa gaisa līniju. Pārvietojums ir vektoriāls lielums, jo, lai to raksturotu, svarīgi zināt, cik tālu no sākumpunkta kustības beigās atrodas objekts, kā arī tas, kādā virzienā šis pārvietojums noticis piemēram, 400 m dienvidaustrumu virzienā att. No latīņu valodas vector vedējs, nesējs. pārvietojums Uzdevumi 1.1. oti dažādi lielumu pāri. Izvirzi hipotēzi, kurš pāris šeit neiederas. Paskaidro to. a) arbs, paātrinājums; d) laukums, augstums; b) spēks, ceļš; e) ātrums, masa; c) pārvietojums, garums; f) svars, masa. ceļs 1.2. att. 3

2 Vektora jēdziens, vektora modulis Lai vektoriālus lielumus attēlotu grafiski, izmanto vektorus. Interesanti Vektora jēdzienu lieto arī medicīnā. Par vektoru medicīnā sauc organismu, kas satur noteiktu informāciju un pārnes NS vai RNS molekulas. To bieži izmanto gēnu inženierijā. Vektors ir orientēts nogrieznis, kuru raksturo noteikts garums un virziens. Katram vektoram ir sākumpunkts un galapunkts. Vektorus var apzīmēt: ar diviem lielajiem burtiem, liekot virs tiem bultiņu, ievērojot, ka pirmais burts atbilst vektora sākumpunktam, bet otrs tā galapunktam, piemēram,, ; ar vienu mazo burtu, liekot virs tā bultiņu, piemēram, a, n. a n 1.3. att. s = att. Ja ceļa sākumpunkts sakrīt ar galapunktu, tad pārvietojums ir 0. Uzdevumi Vektoram atbilstošā nogriežņa garumu sauc par vektora moduli jeb vektora garumu un apzīmē ar a. Ja a = 5 cm, tad vektors a ir 5 cm garš, ja = 10, tad vektors ir 10 vienības garš. Vektoru, kura sākumpunkts sakrīt ar galapunktu, sauc par nulles vektoru un pieraksta: 0. Nulles vektora (jeb nullvektora) garums ir vienāds ar 0: 0 = ik dažādus vektorus nosaka visi iespējamie punktu pāri, kurus veido romba virsotnes? Uzraksti tos Uzraksti atšķirību starp: a) nogriezni un vektoru; b) staru un vektoru; c) taisni un vektoru Taisnstūra mala = 3, = 4 (skat att.). Nosaki vektoru,,, garumus Uzzīmē dotos vektorus, ja 4 a) KL = 3, 5 cm, c) t = 0, b) c = 3 5 dm, d) = 2 un = att.

3 Vienādi, vienādi vērsti, pretēji un pretēji vērsti vektori Ja vektori un atrodas uz vienas vai uz paralēlām taisnēm un, ja stari un ir vienādi vērsti, tad vektorus un sauc par vienādi vērstiem vektoriem. Ja stari un ir pretēji vērsti, tad vektorus un sauc par pretēji vērstiem vektoriem. b d c 1.6 att. Vienādi vērsti vektori ir a un d, c un b ; pretēji vērsti vektori ir c un e, f un a. Vienādi vērsti un pretēji vērsti vektori var būt gan vienāda, gan dažāda garuma. Vektorus a un b, kuru moduļi un virzieni ir vienādi, sauc par vienādiem vektoriem un pieraksta a = b. Vektorus a un b, kuru moduļi ir vienādi, bet vērsumi pretēji, sauc par pretējiem vektoriem un pieraksta a = b. a f e F 3 F 1 F att. F 1 un F 2 vienādi vērsti vektori, bet, piemēram, F 2 un F 3 ir pretēji vērsti vektori. e g c a f d b h 1.8. att. Ja četrstūris ir rombs (skat att.), tad c = d, jo to vērsumi ir vienādi un c = d kā romba diagonāles puses. e = h, jo to vērsumi ir vienādi un e = h kā romba malas. Savukārt, vektori a un b, kā arī f un g ir pretēji vektori, jo to moduļi ir vienādi, bet vērsumi pretēji. Zini! Vektorus, kas atrodas vienā plaknē un uz paralēlām taisnēm, sauc arī par kolineāriem vektoriem. Uzdevumi 1.6. Izmantojot doto 1.9. attēlu, uzraksti vektorus, kas ir a) vienādi vērsti vektori, d a b) pretēji vektori, c) nulles vektori, d) vienādi vektori, e) pretēji vērsti vektori. f c b o e g 1.9. att. 5

4 arbības ar vektoriem ģeometriskā formā Pētniecisks uzdevums 1.7. Nepieciešamie materiāli. Klucītis vai kastīte (piemēram, sērkociņu kastīte), divas aukliņas. Uzdevums. Strādājot pārī, izveidojiet modeli no kastītes un aukliņām (skat att.) un to lēnām velciet aiz aukliņām. Vērojiet un mēģiniet uzzīmēt, kādā virzienā pārvietojas kastīte. Izvirziet hipotēzi par priekšmeta pārvietošanās virzienu, un kā tas rodas. Skats no augšas Vektoru saskaitīšana att. Šajā mācību kursā apskatīsim vektoru saskaitīšanu, atņemšanu un vektora reizināšanu ar skaitli. Šo darbību rezultāti atkarīgi gan no vektoru garumiem, gan no to savstarpējiem vērsumiem. 6 F 1 F att. Kādiem jābūt attēlā dotajiem spēkiem F 1 un F 2, lai meitene neiekristu ūdenī? attēlā parādīts tūristu grupas pārgājiena ceļš divu dienu garumā. Pirmajā dienā viņi nogāja ceļu no Stacijas līdz votam, bet otrajā veica ceļu no vota līdz Ezeram. Katras dienas veikto pārvietojumu var attēlot ar vektoriem a un b, kas attiecīgi savieno katras dienas maršruta sākumpunktu un galapunktu. c Stacija Ezers a vots att. cīmredzams, ka kopējo divu dienu pārgājienam atbilstošo pārvietojumu raksturo vektors c, kas savieno Staciju un Ezeru pārgājiena sākumpunktu un galapunktu. Šādā situācijā vektoru c sauc par vektoru a un b summu. Līdzīgi ir, ja uz kādu ķermeni darbojas vairāki spēki. Tādā gadījumā kopējais spēks atbilst atsevišķo spēku vektoru summai. Lai saskaitītu divus vektorus, var izmantot vai nu trijstūra likumu vai paralelograma likumu. b

5 Trijstūra likums. Ja vektori a un b atlikti viens otra galā, tad summas vektors c savieno pirmā vektora sākumpunktu ar otrā vektora galapunktu. Lai attēlā dotos vektorus saskaitītu pēc trijstūra likuma, rīkojas, kā parādīts attēlā. a b a b c att att. a + b = c. Saskaitot attēlā redzamos vektorus un, pēc trijstūra likuma, iegūst vektoru, kura sākumpunkts ir pirmā vektora sākumpunkts un galapunkts ir otrā vektora galapunkts att. + = + =. Ievēro! SK + KL = SL Paralelograma likums. Ja vektori a un b atlikti no kopīga sākumpunkta, tad summas vektors c iziet no vektoru kopīgā sākumpunkta un ir tāda paralelograma diagonāle, kura malas ir vektori a un b. Lai attēlā dotos vektorus saskaitītu pēc paralelograma likuma, rīkojas, kā parādīts attēlā. a b a att att. a + b = c. Saskaitot vektorus gan pēc trijstūra likumu, gan pēc paralelograma likuma, summā iegūst vienu un to pašu vektoru. Pārliecinieties par to paši! Vairāku vektoru summu iegūst, ja pakāpeniski pie pirmā vektora pieskaitot otro vektoru, pie to summas trešo vektoru, pie trīs vektoru summas nākamo vektoru utt. Līdz ar to vairākas reizes pēc kārtas tiek izmantots vektoru saskaitīšanas trijstūra likums. b c F 1 F 2 F att. Ja uz ķermeni darbojas divi spēki F 1 un F 2, tad kopspēka jeb rezultējošā spēka F virzienu un lielumu var noteikt ar paralelograma likumu. 7

6 1.19. attēlā doto vektoru summas vektora iegūšana attēlota attēlā. a c b b d a c s a + b a + b + c d Vektoru atņemšana att att. a + b + c + d = s. Praktiski izpildot vairāku vektoru saskaitīšanu, tos secīgi atliek vienu otram galā, nemeklējot starpsummas vektorus. Summas vektoru iegūst, savienojot pirmā vektora sākumpunktu un pēdējā vektora galapunktu. F E att E + EF = F Ievēro! b a b a b a Par divu vektoru a un b starpību sauc tādu vektoru c, pie kura pieskaitot vektoru b iegūst vektoru a, tātad a b = c, ja c + b = a. Praktiski, vektoru atņemšanu ērtāk aizstāt ar pretēja vektora pieskaitīšanu. Proti, a b = a + ( b ). Vektoru a un b starpības vektora c iegūšanas ceļš parādīts attēlos. a b b b c a att. otie vektori att. Vektora b pretējais vektors att. Izmantojot vektoru saskaitīšanas trijstūra likumu: a b = a + ( b ) = c Vektora reizināšana ar skaitli Par vektora a reizinājumu ar skaitli k (k 0) sauc vektoru b, kura garums b vienāds ar k a, pie tam a) vektori a un b ir vienādi vērsti, ja k > 0, b) vektori a un b ir pretēji vērsti, ja k < 0. 8

7 Vektora reizinājumu ar skaitli apzīmē: b k a =. Vektors a Skaitlis k k a k = 2 2 a a k = 3 3 a Uzdevumi 1.8. Konstruē attēlā doto vektoru saskaitīšanas, atņemšanas vai reizināšanas rezultātā iegūto vektoru. a a) a + b e) a c 1 i) c 2 c b b) a + c + b f) c b j) 2 b c) 2 a g) 2 a c k) 3 5 a + 2 c att ttēlos parādīts, kā uz dažādiem ķermeņiem darbojas dažādi spēki. Nosaki katram ķermenim pieliktā kopspēka virzienu un tā lielumu. a) b) 9 N k = N 15 N c) d) 10 N 1 2 a Ja kādu vektoru reizina ar 0, vienmēr iegūst 0. Ja nullvektoru reizina ar kādu skaitli, arī iegūst 0. d) c h) 0 c l) 23 N 20 N 12 N Zini! 1 2 c 2 b N(ņūtons) spēka vienība. Ja ķermeņa masa ir 1 kg, tad 1 N liels spēks tam piešķir paātrinājumu 1 m s, 2 1 N 1 kg = 1 m. 2 1 s 10 N Uzzīmē divus vektorus a un b. Uzzīmē vektorus a + b, 2 ( a + b), 2 a + 2 b. Ko vari secināt? Uzziņu literatūrā atrodi komutatīvās un asociatīvās īpašību formulējumus. Vai vektoru saskaitīšanai ir spēkā: a) komutatīvā īpašība; b) asociatīvā īpašība? 9

8 1.12. Uzzīmē vektoru a un summas vektoru a + b, izmantojot attēlā dotos vektorus. Uzzīmē vektoru b. a a + b att Uzzīmē divus vektorus. Pieņem, ka viens no tiem ir 2 a, bet otrs ir a + b. Konstruē vektoru b Uzskicē vektoru v. Pieņemsim, ka tas ir ātrums, kura modulis ir 10 km h. a) Uzskicē vektoru 2 v. Ko izsaka šis vektors? b) Uzskicē vektoru v. Ko izsaka šis vektors? oti punkti un. praksti punkta P atrašanās vietu, ja P = k (k 0). (Ieteicams apskatīt četrus gadījumus: k < 0; 0 < k < 1; k = 1; k > 1) Futbola spēles laikā bumbu vienlaicīgi spēra divi spēlētāji, kuri atradās bumbas pretējās pusēs. Kurā no gadījumiem bumbai tiks pielikts lielāks kopīgais spēks? Pamato atbildi. a) 75 N 70 N b) 50 N 25 N Lidoja trīs lidmašīnas. Pirmā lido ar ceļavēju, otrā lido pret vēju, bet uz trešo lidmašīnu pūš sānvējš (skat. a), b), c)). Vēja stiprums un lidmašīnas ātrums visos gadījumos ir vienāds. Uzskicē aptuvenu katras lidmašīnas lidojuma trajektoriju un nosaki, kura no lidmašīnām galamērķi sasniegs pirmā. a) b) c) Latīņu valodā navigatio kuģošana. Tā ir arī zinātne par kustīgu objektu vadīšanu. Trajektorija optimālais maršruts. Kurss virziens, kādā lidotu lidmašīna vai pārvietotos kuģis, ja nebūtu vēja vai straumes Peldētājs 100 metrus baseinā nopeld 50 sekundēs. ik ilgi peldētājs 100 m peldēs pa upi, kuras straumes ātrums ir 1,5 m, ja viņš peld s a) pa straumi, b) pret straumi? Lidmašīnas ātrums ir 480 km h. ik ilgi lidmašīna lidos 940 km, ja pūš 10 km h liels pretvējš? 10

9 prēķinus veikt ar precizitāti līdz desmitdaļām! Piemērs Motorlaivas vidējais ātrums stāvošā ūdenī ir 5 m, tās kurss ir austrumu virzienā. s Straume tek ar vidējo ātrumu 2,5 m, dienvidu virzienā. s a) ik liels ir motorlaivas rezultējošais ātrums, un kāds ir tā virziens? b) ik ilgā laikā motorlaiva šķērsos upi, ja upes platums ir 80 m? c) Par cik metriem no izbraukšanas punkta būs pārvietojusies motorlaiva, ja kustība notiek lejup pa straumi? a) Kurss ir OE virzienā (skat att.), bet straumes virziens ir OS virzienā (skat att.). O 5 m s E att. 2,5 m s S V Rezultējošā ātruma vektoru atrod pēc paralelograma likuma (1.26. att. OV). Rezultējošā ātruma lielums atbilst šī vektora garumam. Trijstūris EVO ir taisnleņķa trijstūris, tādēļ tg EOV = = EV 1 OE 2. Izmantojot kalkulatoru, nosakām leņķa EOV lielumu: 26,6. Tātad laivas trajektorija ir ,6 = 116,6, salīdzinot ar ziemeļu virzienu. Izmantojot Pitagora teorēmu, aprēķinām rezultējošā ātruma vektora garumu: OV = m +, = 31, 25 = 5, 6 ( s ) att. Kompass ir navigācijas instruments Zemes debespušu noteikšanai (no vācu val. kompaß, savukārt no itāļu val. compasso cirkulis un compassare mērīt soļiem). Grādus kompasā mēra, sākot no Ziemeļiem pulksteņrādītāja virzienā. b) Lai aprēķinātu laiku, kas nepieciešams upes šķērsošanai, izmanto trijstūru līdzību. Tā kā rezultējošā ātruma vektors nosaka, pa kādu trajektoriju laiva šķērsos upi, tad trijstūris OVS (skat att.), kura malas ir ātrumu vektoru garumi, ir līdzīgs trijstūrim (skat att.), kura mala atbilst laivas pārvietojumam no viena upes krasta uz otru, bet mala atbilst upes platumam, pēc taisnleņķa trijstūru līdzības pazīmes ll, t. i., ~ OVS att. 80 m s s Tā kā t = (no ātruma aprēķināšanas formulas v = ), tad laiku t var aprēķināt, izdalot veikto ceļu ar rezultējošo ātrumu OV, t. i.,. Tā kā ~ OVS, tad v t OV 80 m = = = 16 s, jeb šo trijstūru līdzības koeficients atbilst laikam t. OV SV m 5 s c) ttālums = 2,5 m s 16 s = 40 m. 11

10 Uzdevumi prēķinus veic ar precizitāti līdz desmitdaļām. Motorlaiva brauca ar vidējo ātrumu 6 m uz rietumiem, straumes vidējais ātrums s ir 3,8 m uz ziemeļiem. s a) Nosaki motorlaivas rezultējošo ātrumu. b) ik ilgi motorlaiva brauks no viena krasta līdz otram, ja upes platums ir 120 m? c) Par cik metriem no izbraukšanas punkta būs pārvietojusies motorlaiva, ja kustība notiek lejup pa straumi? prēķinus veic ar precizitāti līdz desmitdaļām. irētājs stāvošā ūdenī airē ar vidējo ātrumu 5 m s. Upe ir 200 m plata, un straumes vidējais ātrums ir 2 m straume (skat att.). s a) ik tālu straume aiznestu laivu, ja airētu perpendikulāri krastam? att. b) Kādā virzienā jāairē laiva (jānosaka kurss), lai Mezgls ātruma mērvienība jūrā. 1 mezgls = 1 jū- pretējā krastā tā nonāktu tieši pretī izbraukšanas punktam (punktā )? ik liels būs rezultējošais ātrums un cik ilgā laikā airētājs sasniegs pretējo ras jūdze (1,852 km) stundā jeb aptuveni 0,5 m s. c) Kādā virzienā jāairē laiva (kurss), lai visātrāk no- krastu? nāktu pretējā krastā? Uzskicē atbilstošu zīmējumu un aprēķini leņķi starp kursu un trajektoriju. a) Kuteris brauc ar vidējo ātrumu 10 mezgli, tā kurss ir 30 attiecībā pret ziemeļu virzienu. Straumes virziens ir 120 attiecībā pret ziemeļu virzienu, bet kutera rezultējošais ātrums ir 20 mezgli. b) Laivas trajektorija ar Ziemeļu virzienu veido 70 leņķi, tās rezultējošais ātrums ir 8 mezgli, straumes virziens ir 160 un tās ātrums ir 8 mezgli Vējš pūš dienvidrietumu virzienā. Lidmašīnai jālido uz ziemeļiem, lai no pilsētas aizlidotu uz pilsētu. Uzskicē pilsētas iespējamo atrašanās vietu. tpakaļceļā vēja ātrums un virziens nemainās, kā arī lidmašīnas ātrums ir tāds pats. Uzskicē, kāds kurss jānostāda, lai lidmašīna sasniegtu pilsētu prēķinus veic ar precizitāti līdz desmitdaļām. ivi velkoņi velk kuģi tā, kā parādīts attēlā. prēķini velkoņu kopējo rezultējošo spēku Punkti un E ir trijstūra malu un viduspunkti. plūko attēlu un uzraksti: a) kuri vektori ir vienādi; b) kuri vektori ir pretēji; c) kuri vektori ir vienādi vērsti ar vektoru kn kn att. E att.

11 1.26. Vienādsānu trapecē ( = ) novilktas diagonāles, kas krustojas punktā O. tzīmē vektorus,,,, O, O, O, O. Izraksti no dotajiem vektoriem tos vektorus, kas ir a) vienādi vērsti vektori, c) pretēji vektori, b) pretēji vērsti vektori, d) vienāda garuma vektori Uzzīmē trijstūri EF. Uzzīmē doto vektoru summas vektoru. a) F un FE b) E un FE c) F un E d) F un FE Trijstūrī malas = 5 un = 12, = 90. prēķini: a) + ; c) + ; e) + ; g) + ; b) ; d) ; f) ; h). Vektora izteikšana ar dotiem vektoriem plūkosim šaha galdiņu un figūru, kas novietota galdiņa kreisajā apakšējā stūrī (skat att.). Pieņemsim, ka vienā gājienā figūra var pārvietoties vai nu vienu rūtiņu uz augšu, vai vienu rūtiņu pa labi. a O l att. a gājiens uz augšu l gājiens pa labi O = 2l + 3a O = 5a + 6l Lai no sākumpunkta nokļūtu punktā, figūra tiek pārvietota 2 lauciņus pa labi un 3 uz augšu, savukārt, lai nokļūtu punktā, figūru pārbīda 5 lauciņus uz augšu un 6 pa labi. Ja vienu figūras pārvietojumu uz augšu apzīmējam ar vektoru a, bet pārvietojumu pa labi ar vektoru l, tad šajā spēlē katru figūras kopējo pārvietojumu (vektoru) var izteikt, izmantojot šos divus vektorus. Ja plaknē doti divi vektori a un b, kas neatrodas uz paralēlām taisnēm, tad katru citu šīs plaknes vektoru c var izteikt ar dotajiem vektoriem a un b, t. i., vektoru c iespējams uzrakstīt formā c = m a + n b, kur m, n R. Vektoru izteikšanā izmanto vektoru saskaitīšanas, atņemšanas, kā arī reizināšanas ar skaitli likumus att. Izsaki attēlā redzamā šaha zirdziņa vienu gājienu, izmantojot vektorus a un l. Ievēro! Lai izteiktu kādu vektoru, tā ceļš no sākumpunkta līdz galapunktam jāapraksta ar nosacījumos dotajiem vektoriem. 13

12 Piemēri 1. Izteikt vektoru O ar vektoriem a un b. 1) praksta ceļu no uz O. O b risināšanas veids 2. risināšanas veids a a a 1 O b O b b O = O + O = O + 2) Novērtē katru no summas vektoriem O un attiecībā uz vektoriem a un b. O vērsums sakrīt ar b vērsumu un O ir 1,5 reizes garāks par a, tāpēc O = 1,5 a. vērsums sakrīt ar b. Lai izteiktu, piemēram, vektoru un b, ērti izmantot doto risināšanas secību. 1 O vērsums sakrīt ar b vērsumu un O ir 3 reizes garāks par b, tāpēc O = 3 b. vērsums nesakrīt ne ar vektora a, ne ar vektora b vērsumu. pskatīsim daļu no vektora vektoru 1. Vektors 1 = +. ir b pretējs vektors = b, bet 1 sakrīt ar vektoru a, tad 1 = b + a. = 1, 5 = 1 5( b + a) 1,. 3) Summā O = O + vektorus O un aizstāj ar iegūtajām izteiksmēm. O = O + = 1, 5a + 1, 5b. O = O + = 3 b + 1, 5 ( b + a) = 1, 5 b + 1, 5 a. a ar vektoriem a 1) praksta ceļu no uz, kā atsevišķu vektoru summu: = n n n k 2) Novērtē katru no summas vektoriem n i attiecībā uz dotajiem vektoriem a un b, atbildot uz jautājumiem: vai n i vērsums sakrīt ar doto vektoru vērsumu? vai n i ir daļa no dotajiem, vai to daudzkārtnis? vai n i (vai tā daļu) var izteikt kā doto vektoru summu vai starpību? 3) n n n = k summā n i aizstāj ar iegūtajām izteiksmēm.

13 2. ots taisnstūris (skat att.), kurā novilktas diagonāles, kas krustojas punktā O, un vektori O = a un O = b. Izteikt prasītos vektorus ar vektoriem a un b : att. a) ; b) ; c) E, kur E un sadala to attiecībā E : E = 3 : 2. a) Izsaka. Pēc taisnstūra īpašībām = 2O. Tā kā vektoriem un O vērsumi ir pretēji, iegūst: = 2 b. b) Izsaka. praksta ceļu no uz : = O + O. Tā kā O = a un O = b, tad = O + O = a + b = b a. c) Izsaka E. eļu no uz E var aprakstīt vairākos veidos. pskatīsim vienu no tiem: E = + E. = 2 a (skat. a) piemēru). Ja E : E = 3 : 2, tad E = 3 5. Izsaka. praksta ceļu no uz : = O + O = a b 3 3 Tad E = = ( a b). Līdz ar to, E = + E = 2a + a b 2a a b 1 2 a ( ) = = 3 5 b. b a b a b a b a O O O O E Uzdevumi No punkta O atlikti vektori O = a, O = b, O = c, O = d. Izsaki prasītos vektorus ar vektoriem a, b, c un d : a) ; b) ; c) ; d) ; e) ; f) O ; i) vienkāršo izteiksmi O ; j) ja punkts E ir nogriežņa viduspunkts, izsaki vektorus g) ; h) ; E, E, OE ots paralelograms, O tā diagonāļu krustpunkts. Pārbaudi, vai dotie apgalvojumi ir patiesi. a) + = d) O = O g) + = 0 b) O = e) + = h) O = 0,5 c) O = O f) = i) ( + ) + = 15

14 1.31. Trijstūrī punkts atrodas uz malas un = 2. Punkts E atrodas uz trijstūra malas un E = 2E. = un E = y. Izsaki prasītos vektorus ar vektoriem un y : a) ; b) ; c) E ; d) Trijstūra mediānu krustpunkts ir punkts M. Izsaki M ar E un F ar FM (skat att.). Kādas vienādības vēl var uzrakstīt? M E F att Četrstūris RSTU ir taisnleņķa trapece, MN tās viduslīnija. MR = a, MT = b un MN c = (skat att.). Izsaki prasītos vektorus ar vektoriem a, b un c : a) RS ; b) ST; c) TN; d) RU; e) US! S M R att. T N U Vektora projekcija F att. plūkosim situāciju, kad aiz auklas tiek vilktas ragaviņas (skat att.). Skaidrs, ka vilkšanas spēks tiek pielikts auklas virzienā, taču ragaviņas, kurās kāds sēd, slīd uz priekšu pa zemi. Ja būtu zināms vilcējspēka lielums un arī leņķis, ko tas veido ar zemei paralēlu taisni, varētu aprēķināt vektora projekciju lielumu, kas raksturo ragaviņu kustību uz priekšu. Fizikā apskata divus atšķirīgus jēdzienus vektora ģeometriskā projekcija un vektora projekcija. Vektora ģeometriskā projekcija ir vektors, kuru iegūst, no vektora galapunktiem pret apskatāmo taisni velkot perpendikulus. Vektora galapunkta projekcija atbilst ģeometriskās projekcijas galapunktam, vektora sākumpunkta projekcija atbilst ģeometriskās projekcijas sākumpunktam. a a t Projekcija (no latīņu valodas proiectio mešana uz priekšu) kāda priekšmeta attēls uz plaknes. 16 a t att. Vektora a ģeometriskā projekcija ir vektors a t. a att. Vektora a ģeometriskā projekcija ir vektors a. Ievēro: ass vietā var būt izmantota jebkura cita ass, piemēram, y ass.

15 Vektora a projekcija uz ass ir skaitlis, kurš vienāds ar vektora ģeometriskās projekcijas a garumu a, ja ģeometriskās projekcijas un ass vērsumi sakrīt, ir pretējs skaitlis ģeometriskās projekcijas a garumam, ja ģeometriskās projekcijas un ass vērsumi ir a pretēji att. Vektora, att. Vektora projekcija ir, jo projekcija ir, jo ģeometriskās projekcijas ģeometriskās projekcijas un ass vērsumi sakrīt. un ass vērsumi pretēji. Ja zināms vektora a garums a un leņķis α, ko vektors veido ar ass pozitīvo virzienu, tad var aprēķināt vektora projekcijas garumu, izmantojot formulu a a cosα. = Renārs, velkot rotaļu automašīnu aiz saites, kas vērsta 30 leņķī pret horizontu, pieliek saitei 8 N lielu spēku. ik liela ir horizontālā vilcējspēka projekcija? Ja F = 8 N, tad F = F 3 cos30 = 8 N = 4 3 N. 2 y y y y y att. Vektora projekcija ir y y vektora projekcija ir y y. α a F 30 F a att. cosα = a a att. Piemērs Uzdevumi Uzzīmē (skat att.): a) vektoru ģeometrisko projekciju uz un y asīm; b) vektoru ģeometrisko projekciju uz taisnes y =. y k m 1 s a att. 17

16 1.35. prēķini attēlā doto vektoru projekcijas uz un y asīm Kādā gadījumā: a) vektora projekcija uz ass ir vienāda ar nulli; b) vektora projekcijas modulis uz ass ir vienāds ar vektora garumu? Lidmašīnas ātrums ir 700 km un tās nospraustais kurss ir 60 attiecībā pret ziemeļu virzienu. h prēķini ātruma vektora projekcijas uz un y asīm (y ass sakrīt ar ziemeļu virzienu). 18 c = 2 Novietosim vektoru koordinātu plaknē tā, lai tā sākumpunkts sakrīt ar koordinātu plaknes sākumpunktu O (skat att.). Uz O ass atliksim vektoru i, kurš ir 1 vienību garš, bet uz ass Oy atliksim 1 vienību garu vektoru j. Tā kā katru plaknes vektoru var izteikt ar diviem citiem vektoriem, kas nav paralēli, tad arī vektoru var izteikt ar vektoriem i un j. Pēc paralelograma likuma = i + yj. Šādi izteikta vektora koeficientus un y sauc par vektora koordinātām. Vektoru, kas uzdots koordinātu formā pieraksta: = (; y). Zinot, ka vektora sākumpunkts sakrīt ar koordinātu plaknes sākumpunktu, vektora koordinātas atbilst tā galapunkta koordinātām (skat att.). Zinot vektora koordinātas, var aprēķināt tā garumu. Ja dots vektors = (; y), tad tā moduli (garumu) aprēķina pēc formulas = 2 + y 2. y a = 3 30 b = att Ragaviņas, kurās sēž bērns, velk aiz auklas, kas veido 60 lielu leņķi ar zemi. a) prēķini horizontālo un vertikālo vilcējspēka projekciju, ja ragaviņas tiek vilktas ar 40 N lielu spēku. b) Ja vilcējspēku pieliktu 30 leņķī attiecībā pret horizontu, ragaviņas vilktos vieglāk. Pamato savu atbildi Kā jānovieto projekciju ass, lai divu dažādu vektoru projekcijas uz tās būtu vienādas? Vektora koordinātas y j y 0 y j 0 i i att. (; y) att. Vektora garuma aprēķināšanas formulu, ja dotas tā koordinātas, iegūst, izmantojot Pitagora teorēmu. y Piemērs prēķināt vektora a = (6; 8) garumu. Vektora a = (6; 8) garums jeb modulis ir a 2 2 = = 10.

17 Vektora koordinātas var aprēķināt arī tad, ja tā galapunktu koordinātas neatrodas koordinātu plaknes sākumpunktā. Ja vektora sākumpunkts un galapunkts ir punkti ar koordinātām ( 1 ; y 1 ) un ( 2 ; y 2 ), tad vektora koordinātas ir ( 2 1 ; y 2 y 1 ). y 2 y 1 y 2 y 1 y ( 1 ; y 1 ) ( 2 ; y 2 ) att. Izmantojot zīmējumu, pamato vektora koordinātu aprēķināšanas formulu. Ievēro! Vektoru un koordinātas ir pretēji skaitļi. 1 2 Formulu viegli iegūt, ja vektoru novieto uz tam paralēlas taisnes, kas novilkta caur koordinātu sākumpunktu, tā, lai tā sākumpunkts sakrīt ar koordinātu plaknes sākumpunktu. oti punkti (3; 2) un ( 1; 0). prēķināt vektoru un koordinātas (skat att.). = ( 1 3; 0 2) = ( 4; 2), bet = (3 ( 1); 2 0) = (4; 2). ( 1; 0) Piemērs y (3; 2) att. 0 1 arbības ar vektoriem koordinātu formā Ja vektori doti koordinātu formā, tad tos var gan saskaitīt, gan atņemt, gan reizināt ar skaitli. To dara, ievērojot šādus likumus: Ja doti vektori a = ( 1 ; y 1 ) un b = ( 2 ; y 2 ), tad a + b = ( ; y 1 + y 2 ) a b = ( 1 2 ; y 1 y 2 ) k a = (k 1 ; k y 1 ) y 1 + y 2 y 2 y 1 y 1 y 0 b 2 a a + b b 1 2 Izmantojot attēlu, pamato formulu: a + b = ( ; y 1 + y 2 )! att. 19

18 Piemērs attēlā doti vektori a = (2; 2) un b = (3; 0) un skaitļi k = 3 un m = 0,75. prēķināt vektoru a + b, b a, k a un m b koordinātas. 1) a + b = (2 + 3; 2 + 0) = (5; 2) 2) b a = (3 2; 0 ( 2)) = (1; 2) 3) k a = (3 2; 3 ( 2)) = (6; 6) 4) m b = ( 0,75 3; 0,75 0) = ( 2,25; 0) y 3 a b att. Uzdevumi Koordinātu plaknē atliec dotos vektorus: a) vektoru, ja (4; 5), ( 1; 2); c) vektoram c vienādi vērstu vektoru; b) vektoru c = (2; 3); d) vektoram pretēju vektoru utomašīna brauc no punkta uz E caur punktiem,, (skat att.). a) Izsaki koordinātu formā vektorus,, un E. b) Izsaki koordinātu formā vektoru E. c) prēķini koordinātu formā vektoru summu E. Salīdzini iegūto E summas vektoru ar vektoru E att ots, ka a = (2; 4), b = (3; 6), c = (6; 12) un d = (1;3). prēķini skaitļus k, m un n, 20 ja tas ir iespējams. a) c = k a b) c = m b c) a = n d Konstruē dotos vektorus. Ko var secināt? Zināms, ka: a) = (3; 2) un (4; 0). Nosaki punkta koordinātas. b) = (0; 2) un (4; 5). Nosaki punkta koordinātas. Uzzīmē šos vektorus ots vektors ( 2; 4) un vektors, kuram ( 1; 3) un ( 1; 2). Uzzīmē šos vektorus. a) aprēķini abu vektoru moduļus; b) aprēķini punkta E koordinātas, ja vektori EF un ir vienādi un punkta F koordinātas ir (4; 5); c) izmantojot zīmējumu nosaki abu vektoru viduspunkta koordinātas. Izvirzi hipotēzi kā var aprēķināt vektora viduspunkta koordinātas.

19 1.45. ots v = (1; 2) un u = (3; 0). prēķini: a) 3 v ; b) v + u ; c) v u ; d) 2 v + 3 u oti punkti K(2; 1), L(8; 1) un M(6; 4). prēķini vektoru KL, KM, LM, MK garumus oti punkti (4; 0), (5; 4), ( 3; 1) un (1; 3). Nosaki: a) vektoru un koordinātas; b) un ; c) 1 4 ; d) tāda punkta K koordinātas, kurš sadala nogriezni attiecībā 1 : 3, skaitot no punkta PQRS ir taisnstūris, kuram PQ = 4 cm, QR = 3 cm. prēķini vai izsaki: a) PQ + QR b) PQ + QR c) PQ + RS Punkti (2; 3), (4; 1) un (2; 8) ir trijstūra virsotnes. X ir nogriežņa viduspunkts, bet Y ir nogriežņa viduspunkts. Uz taisnes XY atlikts punkts T tā, lai XY = YT. prēķini punkta T koordinātas. Nosaki un pamato figūras XT veidu oti vektori a = (2; 4) un, kur (1; 1) un ( 2; 2). Uzzīmē vektoru ģeometriskās projekcijas un nosaki to projekcijas uz asīm Vektora a ģeometriskās projekcijas uz asīm ir vektori c = (4; 0) un d = (0; 2). Uzzīmē vektoru a un nosaki tā koordinātas. Uzdevumi par nodaļu No punkta O atlikti divi vektori: O = a un O = b. Punkts M ir nogriežņa viduspunkts, bet N ir nogriežņa O viduspunkts. a) Uzzīmē aprakstam atbilstošu zīmējumu. b) Izsaki vektorus, M, OM, ON un N ar vektoriem a un b.. Izsaki vektoru OH ar vek- c) Punkts H atrodas uz nogriežņa N un H = 2 N 3 toriem a un b. d) punkts P ir nogriežņa O viduspunkts. Pierādi, ka punkti, H, P atrodas uz vienas taisnes prēķinus veic ar precizitāti līdz veseliem grādiem. Sākot ceļojumu no ostas, kuģis virzienā uz rietumiem nobrauca 200 km un pēc tam vēl 240 km virzienā uz dienvidiem. Tad tas salūza. Uzzīmē virzienu, izmantojot vektorus. Uzzīmē virzienu, kādā jādodas glābējiem no ostas, lai pēc iespējas ātrāk nokļūtu pie kuģa un nosaki leņķi starp to un rietumu virziemu. 21

20 1.54. oti punkti (1; 3) un (4; 2). Kādas ir punkta koordinātas, ja vektoru iegūst no punkta ( 2; 3) atliekot vektoru 3. Kāds ir iegūtās figūras veids? tbildi pamato Vektors p ir perpendikulārs vektoram p + q. ots, ka p = 5 un q = 13. prēķini p + q Uzzīmē O = a, O = 5 a, O = b, O = 5 b, O, O. Izsaki ar Peldētājs startēja no viena upes krasta un peldēja tai pāri virzienā uz dienvidiem ar ātrumu 2 km h. Upe ir 200 m plata un tek uz austrumiem ar ātrumu 1 km h. a) ttēlo peldētāja pārvietojumu, izmantojot vektorus. b) prēķini peldētāja rezultējošo ātrumu. c) ik ilgā laikā viņš pārpeldēs upi? ik tālu uz austrumiem no starta vietas viņš būs aizpeldējis? Laura un Laila lūdz izšķirt viņu strīdu. Viņas, saskaitot divus spēka vektorus, kuru lielumi ir 4 N un 3 N, ieguvušas dažādus rezultējošos spēkus. Lauras atbilde ir 7 N, bet Lailas atbilde 5 N. Kurai meitenei ir taisnība? Pamato savu atbildi ots: (0; 4) un (6; 1). Punkts P sadala nogriezni attiecībā 2 : 1, skaitot no punkta. Nosaki punkta P koordinātas. Punkts Q sadala nogriezni attiecībā 5 : 1 skaitot no punkta. Nosaki punkta Q koordinātas Nosaki punkta M koordinātas, ja zināms, ka tas atrodas vienādā attālumā no punktiem (7; 1), ( 2; 2) un ( 1; 5) F 1 ir 3 N liels spēks, kas iedarbojas uz ķermeni vertikāli uz augšu un F 2 ir 3 N liels spēks, kura virziens ir 60 attiecībā pret vertikālo virzienu. a) Uzzīmē gan vektorus F 1 un F 2, gan to summas vektoru. b) prēķini vektoru F 1 un F 2 summas vektora garumu. c) Nosaki vektora F 3 garumu un tā virziena leņķi, ja zināms, ka F 1 + F 2 + F 3 = No viena punkta atlikti vektori a + b, 2 a b un 5 a + 13 b. Pierādi, ka to galapunkti atrodas uz vienas taisnes Uzskicē zīmējumu, kas parāda, ka 2v = 2 v Pierādi, ka kv = k v. Paškontroles uzdevumi 1. oti vektori a un b (skat att.). 22 Uzzīmē a + b, a b, a 2 b! a b att.

21 2. Uzzīmē attēlā doto vektoru b y c d ģeometriskās projekcijas un nosaki a 1 to projekcijas uz koordinātu asīm! ots paralelograms, tā diagonāļu krustpunkts ir punkts O, = a Izsaki ar vektoru a un b palīdzību vektorus: a) ; b) ; c) O ; d) O + O att. un = b. 4. Pastaigājoties suns pārvietojas pa trajektoriju EFG (skat att.), toties suņa saimnieks devās taisni no punkta uz punktu G. Izsaki vektorus,,, E, EF, FG un G koordinātu formā! G E F att. 5. oti punkti (1; 6), (4; 8) un ( 2; 5). Nosaki vektoru, un koordinātas un garumu! 6. ots: ka = a un = b. Izsaki ar vektoriem a un b! Izsaki ar vektoriem a un b! 7. ots u = (3; 1), v = ( 8; 4), w = ( 6; 2). prēķini: a) u + v ; c) 3 u + w ; e) u + 1 w 2 ; g) u + 1 w 2 b) u v ; d) 3u + w ; f) u + 1 w ; h) v. 2 v ; 8. Paralelograma virsotnes atrodas punktos (1; 2), (3; 8), (9; 10) un (; y). prēķini un y! 9. Punkta koordinātas ir (4; 0). trodi punkta P koordinātas, lai P = 2! 10. prēķinus veic ar precizitāti līdz desmitdaļām! Ieva vēlas pārpeldēt upi, kuras straumes ātrums ir 2 km h 3,5 km h. prēķini:. Ieva peld ar ātrumu a) kādā leņķī attiecībā pret krastu viņai jāpeld, lai upi šķērsotu perpendikulāri krastam; b) peldētājas rezultējošo ātrumu! 11. prēķinus veic ar precizitāti līdz vieniem! aļķa vidū ir piesietas divas troses, kuras uz augšu velk divi ceļamkrāni. Vienu trosi ceļamkrāns velk ar 65 kn lielu spēku, bet otru trosi velk otrs ceļamkrāns ar 75 kn lielu spēku. Spēki ar vertikāli veido attiecīgi 46 un 44 lielus leņķus. ik liels ir abu ceļamkrānu rezultējošais spēks? 23

Rīgas Tehniskā universitāte. Inženiermatemātikas katedra. Uzdevumu risinājumu paraugi. 4. nodarbība

Rīgas Tehniskā universitāte. Inženiermatemātikas katedra. Uzdevumu risinājumu paraugi. 4. nodarbība Rīgas Tehniskā univesitāte Inženiematemātikas kateda Uzdevumu isinājumu paaugi 4 nodabība piemēs pēķināt vektoa a gaumu un viziena kosinusus, ja a = 5 i 6 j + 5k Vektoa a koodinātas i dotas: a 5 ; a =

Διαβάστε περισσότερα

1. uzdevums. 2. uzdevums

1. uzdevums. 2. uzdevums 1. uzdevums Reaktīvā pasažieru lidmašīna 650 km lielu attālumu bez nosēšanās veica 55 minūtēs. Aprēķini lidmašīnas kustības vidējo ātrumu, izteiktu kilometros stundā (km/h)! 1. solis Vispirms pieraksta

Διαβάστε περισσότερα

ESF projekts Pedagogu konkurētspējas veicināšana izglītības sistēmas optimizācijas apstākļos Vienošanās Nr. 2009/0196/1DP/

ESF projekts Pedagogu konkurētspējas veicināšana izglītības sistēmas optimizācijas apstākļos Vienošanās Nr. 2009/0196/1DP/ ESF projekts Pedagogu konkurētspējas veicināšana izglītības sistēmas optimizācijas apstākļos Vienošanās Nr. 009/0196/1DP/1...1.5/09/IPIA/VIAA/001 ESF projekts Pedagogu konkurētspējas veicināšana izglītības

Διαβάστε περισσότερα

LATVIJAS RAJONU 33. OLIMPIĀDE. 4. klase

LATVIJAS RAJONU 33. OLIMPIĀDE. 4. klase Materiāls ņemts no grāmatas:andžāns Agnis, Bērziņa Anna, Bērziņš Aivars "Latvijas matemātikas olimpiāžu (5.-5.).kārtas (rajonu) uzdevumi un atrisinājumi" LATVIJAS RAJONU 33. OLIMPIĀDE 4. klase 33.. Ievietot

Διαβάστε περισσότερα

ATRISINĀJUMI LATVIJAS REPUBLIKAS 32. OLIMPIĀDE

ATRISINĀJUMI LATVIJAS REPUBLIKAS 32. OLIMPIĀDE Materiāls ņemts no grāmatas: Andžāns Agnis, Bērziņa Anna, Bērziņš Aivars "Latvijas Republikas 6.-5. matemātikas olimpiādes" LATVIJAS REPUBLIKAS. OLIMPIĀDE ATRISINĀJUMI.. Pirmā apskatāmā skaitļa ciparu

Διαβάστε περισσότερα

Īsi atrisinājumi Jā, piemēram, 1, 1, 1, 1, 1, 3, 4. Piezīme. Uzdevumam ir arī vairāki citi atrisinājumi Skat., piemēram, 1. zīm.

Īsi atrisinājumi Jā, piemēram, 1, 1, 1, 1, 1, 3, 4. Piezīme. Uzdevumam ir arī vairāki citi atrisinājumi Skat., piemēram, 1. zīm. Īsi atrisinājumi 5.. Jā, piemēram,,,,,, 3, 4. Piezīme. Uzdevumam ir arī vairāki citi atrisinājumi. 5.. Skat., piemēram,. zīm. 6 55 3 5 35. zīm. 4. zīm. 33 5.3. tbilde: piemēram, 4835. Ievērosim, ka 4 dalās

Διαβάστε περισσότερα

M.Jansone, J.Blūms Uzdevumi fizikā sagatavošanas kursiem

M.Jansone, J.Blūms Uzdevumi fizikā sagatavošanas kursiem DINAMIKA. Dinmik prkst pātrinājum ršnās cēloħus un plūko tā lielum un virzien noteikšns pħēmienus. Spēks (N) ir vektoriāls lielums; ts ir ėermeħu vi to dĝiħu mijiedrbībs mērs. Inerce ir ėermeħu īpšīb sglbāt

Διαβάστε περισσότερα

Rekurentās virknes. Aritmētiskā progresija. Pieņemsim, ka q ir fiksēts skaitlis, turklāt q 0. Virkni (b n ) n 1, kas visiem n 1 apmierina vienādību

Rekurentās virknes. Aritmētiskā progresija. Pieņemsim, ka q ir fiksēts skaitlis, turklāt q 0. Virkni (b n ) n 1, kas visiem n 1 apmierina vienādību Rekurentās virknes Rekursija ir metode, kā kaut ko definēt visbiežāk virkni), izmantojot jau definētas vērtības. Vienkāršākais šādu sakarību piemērs ir aritmētiskā un ǧeometriskā progresija, kuras mēdz

Διαβάστε περισσότερα

Mehānikas fizikālie pamati

Mehānikas fizikālie pamati 1.5. Viļņi 1.5.1. Viļņu veidošanās Cietā vielā, šķidrumā, gāzē vai plazmā, tātad ikvienā vielā starp daļiņām pastāv mijiedarbība. Ja svārstošo ķermeni (svārstību avotu) ievieto vidē (pieņemsim, ka vide

Διαβάστε περισσότερα

GATAVOSIMIES CENTRALIZĒTAJAM EKSĀMENAM MATEMĀTIKĀ

GATAVOSIMIES CENTRALIZĒTAJAM EKSĀMENAM MATEMĀTIKĀ Profesionālās vidējās izglītības programmu Lauksaimniecība un Lauksaimniecības tehnika īstenošanas kvalitātes uzlabošana 1.2.1.1.3. Atbalsts sākotnējās profesionālās izglītības programmu īstenošanas kvalitātes

Διαβάστε περισσότερα

Ķermeņa inerce un masa. a = 0, ja F rez = 0, kur F visu uz ķermeni darbojošos spēku vektoriālā summa

Ķermeņa inerce un masa. a = 0, ja F rez = 0, kur F visu uz ķermeni darbojošos spēku vektoriālā summa 2.1. Ķereņa inerce un asa Jebkurš ķerenis saglabā iera stāvokli vai turpina vienērīgu taisnlīnijas kustību ar neainīgu ātruu (v = const) tikēr, kaēr uz to neiedarbojas citi ķereņi vai ta pieliktie ārējie

Διαβάστε περισσότερα

Temperatūras izmaiħas atkarībā no augstuma, atmosfēras stabilitātes un piesārħojuma

Temperatūras izmaiħas atkarībā no augstuma, atmosfēras stabilitātes un piesārħojuma Temperatūras izmaiħas atkarībā no augstuma, atmosfēras stabilitātes un piesārħojuma Gaisa vertikāla pārvietošanās Zemes atmosfērā nosaka daudzus procesus, kā piemēram, mākoħu veidošanos, nokrišħus un atmosfēras

Διαβάστε περισσότερα

Agnis Andžāns, Julita Kluša /95. m.g. matemātikas olimpiāžu uzdevumi ar atrisinājumiem

Agnis Andžāns, Julita Kluša /95. m.g. matemātikas olimpiāžu uzdevumi ar atrisinājumiem Agnis Andžāns, Julita Kluša 994./95. m.g. matemātikas olimpiāžu uzdevumi ar atrisinājumiem Rīga, 997 Anotācija Šajā izstrādnē apkopoti 994./95. mācību gadā notikušo Latvijas mēroga matemātikas sacensību

Διαβάστε περισσότερα

LATVIJAS REPUBLIKAS 45. OLIMPIĀDE

LATVIJAS REPUBLIKAS 45. OLIMPIĀDE Materiāls ņemts no grāmatas: Andžāns Agnis, Bērziņa Anna, Bērziņš Aivars "Latvijas Republikas 6.-. matemātikas olimpiādes" LATVIJAS REPUBLIKAS 4. OLIMPIĀDE ATRISINĀJUMI 4.. Dotās nevienādības > abas puses

Διαβάστε περισσότερα

FIZIKĀLO FAKTORU KOPUMS, KAS VEIDO ORGANISMA SILTUMAREAKCIJU AR APKĀRTĒJO VIDI UN NOSAKA ORGANISMA SILTUMSTĀVOKLI

FIZIKĀLO FAKTORU KOPUMS, KAS VEIDO ORGANISMA SILTUMAREAKCIJU AR APKĀRTĒJO VIDI UN NOSAKA ORGANISMA SILTUMSTĀVOKLI Mikroklimats FIZIKĀLO FAKTORU KOPUMS, KAS VEIDO ORGANISMA SILTUMAREAKCIJU AR APKĀRTĒJO VIDI UN NOSAKA ORGANISMA SILTUMSTĀVOKLI P 1 GALVENIE MIKROKLIMATA RĀDĪTĀJI gaisa temperatūra gaisa g relatīvais mitrums

Διαβάστε περισσότερα

Lai atvēru dokumentu aktivējiet saiti. Lai atgrieztos uz šo satura rādītāju, lietojiet taustiņu kombināciju CTRL+Home.

Lai atvēru dokumentu aktivējiet saiti. Lai atgrieztos uz šo satura rādītāju, lietojiet taustiņu kombināciju CTRL+Home. 5.TEMATS FUNKCIJAS Temata apraksts Skolēnam sasniedzamo rezultātu ceļvedis Uzdevumu piemēri M UP_5_P Figūras laukuma atkarība no figūras formas Skolēna darba lapa M UP_5_P Funkcijas kā reālu procesu modeļi

Διαβάστε περισσότερα

LATVIJAS REPUBLIKAS 38. OLIMPIĀDE

LATVIJAS REPUBLIKAS 38. OLIMPIĀDE Materiāls ņemts o grāmatas: Adžās Agis, Bērziņa Aa, Bērziņš Aivars "Latvijas Republikas 6.-5. matemātikas olimpiādes" LATVIJAS REPUBLIKAS 8. OLIMPIĀDE UZDEVUMI 8. klase 8.. Vai eksistē tāda kvadrātfukcija

Διαβάστε περισσότερα

Tēraudbetona konstrukcijas

Tēraudbetona konstrukcijas Tēraudbetona konstrukcijas tēraudbetona kolonnu projektēšana pēc EN 1994-1-1 lektors: Gatis Vilks, SIA «BALTIC INTERNATIONAL CONSTRUCTION PARTNERSHIP» Saturs 1. Vispārīga informācija par kompozītām kolonnām

Διαβάστε περισσότερα

Komandu olimpiāde Atvērtā Kopa. 8. klases uzdevumu atrisinājumi

Komandu olimpiāde Atvērtā Kopa. 8. klases uzdevumu atrisinājumi Komandu olimpiāde Atvērtā Kopa 8. klases uzdevumu atrisinājumi 1. ΔBPC ir vienādmalu trijstūris, tādēļ visi tā leņķi ir 60. ABC = 90 (ABCDkvadrāts), tādēļ ABP = 90 - PBC = 30. Pēc dotā BP = BC un, tā kā

Διαβάστε περισσότερα

LU A.Liepas Neklātienes matemātikas skola /2011.m.g. sagatavošanās olimpiāde matemātikā

LU A.Liepas Neklātienes matemātikas skola /2011.m.g. sagatavošanās olimpiāde matemātikā 2010.26.11. LU A.Liepas Neklātienes matemātikas skola 2010./2011.m.g. sagatavošanās olimpiāde matemātikā Katra metodiskā apvienība pati nolemj, vai un kad tā rīkos vai nerīkos šādu olimpiādi un, ja rīkos,

Διαβάστε περισσότερα

FIZ 2.un 3.daļas standartizācija 2012.gads

FIZ 2.un 3.daļas standartizācija 2012.gads FIZ.un 3.daļas standartizācija 0.gads Uzd. Uzdevums Punkti Kritēriji Uzraksta impulsu attiecību: m Lieto impulsa definīcijas formulu. Uzraksta attiecību. Pareizi izsaka meklējamo kr vkr lielumu. Iegūst

Διαβάστε περισσότερα

10. klase 1. uzdevuma risinājums A. Dēļa garums l 4,5 m. sin = h/l = 2,25/4,5 = 0,5 = (2 punkti) W k. s = 2,25 m.

10. klase 1. uzdevuma risinājums A. Dēļa garums l 4,5 m. sin = h/l = 2,25/4,5 = 0,5 = (2 punkti) W k. s = 2,25 m. 0. klase. uzdevuma risinājums A. Dēļa garums l 4,5 m. sin = h/l =,5/4,5 = 0,5 = 0 0. ( punkti) B. v o = 0 m/s. Tādēļ s = at / un a = s/t Ja izvēlas t = s, veiktais ceļš s = 4m. a = 4/ = m/s. ( punkti)

Διαβάστε περισσότερα

Lai atvēru dokumentu aktivējiet saiti. Lai atgrieztos uz šo satura rādītāju, lietojiet taustiņu kombināciju CTRL+Home.

Lai atvēru dokumentu aktivējiet saiti. Lai atgrieztos uz šo satura rādītāju, lietojiet taustiņu kombināciju CTRL+Home. 3.TEMTS PIRMĪD Temata apraksts Skolēnam sasniedzamo rezultātu ceļvedis Uzdevumu piemēri M_12_SP_03_P1 Dažādas piramīdas Skolēna darba lapa M_12_SP_03_P2 Dažādas piramīdas Skolēna darba lapa M_12_SP_03_P2

Διαβάστε περισσότερα

Lai atvēru dokumentu aktivējiet saiti. Lai atgrieztos uz šo satura rādītāju, lietojiet taustiņu kombināciju CTRL+Home.

Lai atvēru dokumentu aktivējiet saiti. Lai atgrieztos uz šo satura rādītāju, lietojiet taustiņu kombināciju CTRL+Home. 6. VIRKNES Temata apraksts Skolēnam sasniedzamo rezultātu ceļvedis Uzdevumu piemēri Stundas piemērs M_10_UP_06_P1 Iracionāla skaitļa π aptuvenās vērtības noteikšana Skolēna darba lapa M_10_LD_06 Virknes

Διαβάστε περισσότερα

Latvijas Skolēnu 62. fizikas olimpiādes III posms

Latvijas Skolēnu 62. fizikas olimpiādes III posms Latvijas Skolēnu 62 fizikas olimpiādes III posms Vērtēšanas kritēriji Teorētiskā kārta 212 gada 12 aprīlī 9 klase Uzdevums Caurplūdums, jeb ūdens tilpums, kas laika vienībā iztek caur šķērsgriezumu S ir

Διαβάστε περισσότερα

GRAFOANALITISKO DARBU UZDEVUMI ELEKTROTEHNIKĀ UN ELEKTRONIKĀ VISPĀRĪGI NORĀDĪJUMI

GRAFOANALITISKO DARBU UZDEVUMI ELEKTROTEHNIKĀ UN ELEKTRONIKĀ VISPĀRĪGI NORĀDĪJUMI GRAFOANALITISKO DARBU UZDEVUMI ELEKTROTEHNIKĀ UN ELEKTRONIKĀ VISPĀRĪGI NORĀDĪJUMI Kursa Elektrotehnika un elektronika programmā paredzēta patstāvīga grafoanalītisko uzdevumu izpilde. Šajā krājumā ievietoti

Διαβάστε περισσότερα

Gaismas difrakcija šaurā spraugā B C

Gaismas difrakcija šaurā spraugā B C 6..5. Gaismas difrakcija šaurā spraugā Ja plakans gaismas vilnis (paralēlu staru kūlis) krīt uz šauru bezgalīgi garu spraugu, un krītošās gaismas viļņa virsma paralēla spraugas plaknei, tad difrakciju

Διαβάστε περισσότερα

Compress 6000 LW Bosch Compress LW C 35 C A ++ A + A B C D E F G. db kw kw /2013

Compress 6000 LW Bosch Compress LW C 35 C A ++ A + A B C D E F G. db kw kw /2013 Ι 55 C 35 C A A B C D E F G 47 17 21 18 19 19 18 db kw kw db 2015 811/2013 Ι A A B C D E F G 2015 811/2013 Izstrādājuma datu lapa par energopatēriņu Turpmākie izstrādājuma dati atbilst ES regulu 811/2013,

Διαβάστε περισσότερα

ATTĒLOJUMI UN FUNKCIJAS. Kopas parasti tiek uzskatītas par fiksētiem, statiskiem objektiem.

ATTĒLOJUMI UN FUNKCIJAS. Kopas parasti tiek uzskatītas par fiksētiem, statiskiem objektiem. 2005, Pēteris Daugulis 1 TTĒLOJUMI UN FUNKCIJS Kopas parasti tiek uzskatītas par iksētiem, statiskiem objektiem Lai atļautu kopu un to elementu pārveidojumus, ievieš attēlojuma jēdzienu ttēlojums ir kāda

Διαβάστε περισσότερα

Logatherm WPS 10K A ++ A + A B C D E F G A B C D E F G. kw kw /2013

Logatherm WPS 10K A ++ A + A B C D E F G A B C D E F G. kw kw /2013 51 d 11 11 10 kw kw kw d 2015 811/2013 2015 811/2013 Izstrādājuma datu lapa par energopatēriņu Turpmākie izstrādājuma dati atbilst S regulu 811/2013, 812/2013, 813/2013 un 814/2013 prasībām, ar ko papildina

Διαβάστε περισσότερα

Komandu olimpiāde Atvērtā Kopa Atrisinājumi 7. klasei

Komandu olimpiāde Atvērtā Kopa Atrisinājumi 7. klasei 01 Komandu olimpiāde Atvērtā Kopa Atrisinājumi 7. klasei 1. Varam pieņemt, ka visos darbos Kristiāna strāda piecu darba dienu nedēļu, tātad 40 stundas nedēļā (drīkst arī pieņemt, ka Kristiāna strādā nedēļas

Διαβάστε περισσότερα

LATVIJAS REPUBLIKAS 35. OLIMPIĀDE

LATVIJAS REPUBLIKAS 35. OLIMPIĀDE Materiāls ņemts o grāmatas: Adžās Agis, Bērziņa Aa, Bērziņš Aivars "Latvijas Republikas 26.-5. matemātikas olimpiādes" LATVIJAS REPUBLIKAS 35. OLIMPIĀDE UZDEVUMI 8. klase 35. Atrisiāt vieādojumu x + 2x

Διαβάστε περισσότερα

Kontroldarba varianti. (II semestris)

Kontroldarba varianti. (II semestris) Kontroldarba varianti (II semestris) Variants Nr.... attēlā redzami divu bezgalīgi garu taisnu vadu šķērsgriezumi, pa kuriem plūst strāva. Attālums AB starp vadiem ir 0 cm, I = 0 A, I = 0 A. Aprēķināt

Διαβάστε περισσότερα

LATVIJAS RAJONU 43. OLIMPIĀDE

LATVIJAS RAJONU 43. OLIMPIĀDE Materiāls ņemts no grāmatas:andžāns Agnis, Bērziņa Anna, Bērziņš Aivars "Latvijas matemātikas olimpiāžu (5-5) kārtas (rajonu) uzdevumi un atrisinājumi" LATVIJAS RAJONU 43 OLIMPIĀDE ATRISINĀJUMI 43 Pārlokot

Διαβάστε περισσότερα

2. PLAKANU STIEŅU SISTĒMU STRUKTŪRAS ANALĪZE

2. PLAKANU STIEŅU SISTĒMU STRUKTŪRAS ANALĪZE Ekspluatācijas gaitā jebkura reāla būve ārējo iedarbību rezultātā kaut nedaudz maina sākotnējo formu un izmērus. Sistēmas, kurās to elementu savstarpējā izvietojuma un izmēru maiņa iespējama tikai sistēmas

Διαβάστε περισσότερα

ATTIECĪBAS. Attiecības - īpašība, kas piemīt vai nepiemīt sakārtotai vienas vai vairāku kopu elementu virknei (var lietot arī terminu attieksme).

ATTIECĪBAS. Attiecības - īpašība, kas piemīt vai nepiemīt sakārtotai vienas vai vairāku kopu elementu virknei (var lietot arī terminu attieksme). 004, Pēteris Daugulis ATTIECĪBAS Attiecības - īpašība, kas piemīt vai nepiemīt sakārtotai vienas vai vairāku kopu elementu virknei (var lietot arī terminu attieksme). Bināra attiecība - īpašība, kas piemīt

Διαβάστε περισσότερα

P A atgrūšanās spēks. P A = P P r P S. P P pievilkšanās spēks

P A atgrūšanās spēks. P A = P P r P S. P P pievilkšanās spēks 3.2.2. SAITES STARP ATOMIEM SAIŠU VISPĀRĪGS RAKSTUROJUMS Lai izprastu materiālu fizikālo īpašību būtību jābūt priekšstatam par spēkiem, kas darbojas starp atomiem. Aplūkosim mijiedarbību starp diviem izolētiem

Διαβάστε περισσότερα

Atrisinājumi Latvijas 64. matemātikas olimpiāde 3. posms x 1. risinājums. Pārveidojam doto izteiksmi, atdalot pilno kvadrātu:

Atrisinājumi Latvijas 64. matemātikas olimpiāde 3. posms x 1. risinājums. Pārveidojam doto izteiksmi, atdalot pilno kvadrātu: trisiājumi Latvijas 6 matemātikas olimpiāde posms 9 Kādu mazāko vērtību var pieņemt izteiksme 0, ja > 0? risiājums Pārveidojam doto izteiksmi, atdalot pilo kvadrātu: 0 ( ) 0 0 0 0 0 Tā kā kvadrāts viemēr

Διαβάστε περισσότερα

fizikā Mācību satura un valodas apguve Mācību līdzeklis skolēnam Ata Krūmiņa Raisa Stunžāne

fizikā Mācību satura un valodas apguve Mācību līdzeklis skolēnam Ata Krūmiņa Raisa Stunžāne 7.-9. Mācību satura un valodas apguve Ata Krūmiņa Raisa Stunžāne fizikā Mācību līdzeklis skolēnam Projekts «Atbalsts valsts valodas apguvei un bilingvālajai izglītībai» Nr. 2008/0003/1DP/1.2.1.2.1/08/IPIA/VIAA/002

Διαβάστε περισσότερα

AGNIS ANDŽĀNS, DACE BONKA, ZANE KAIBE, LAILA ZINBERGA. Matemātikas sacensības klasēm uzdevumi un atrisinājumi 2009./2010.

AGNIS ANDŽĀNS, DACE BONKA, ZANE KAIBE, LAILA ZINBERGA. Matemātikas sacensības klasēm uzdevumi un atrisinājumi 2009./2010. AGNIS ANDŽĀNS, DACE BONKA, ZANE KAIBE, LAILA ZINBERGA Matemātikas sacensības 4.-9. klasēm uzdevumi un atrisinājumi 009./00. mācību gadā Rīga 0 A. Andžāns, D. Bonka, Z. Kaibe, L. Zinberga. Matemātikas sacensības

Διαβάστε περισσότερα

Laboratorijas darbu apraksts (I semestris)

Laboratorijas darbu apraksts (I semestris) Laboratorijas darbu apraksts (I semestris) un mērījumu rezultātu matemātiskās apstrādes pamati 1. Fizikālo lielumu mērīšana Lai kvantitatīvi raksturotu kādu fizikālu lielumu X, to salīdzina ar tādas pašas

Διαβάστε περισσότερα

5. un 6.lekcija. diferenciālvienādojumiem Emdena - Faulera tipa vienādojumi. ir atkarīgas tikai no to attāluma r līdz lodes centram.

5. un 6.lekcija. diferenciālvienādojumiem Emdena - Faulera tipa vienādojumi. ir atkarīgas tikai no to attāluma r līdz lodes centram. Parasto diferenciālvienādojumu nelineāras robežproblēmas 5. un 6.lekcija 1. Robežproblēmas diferenciālvienādojumiem ar neintegrējamām singularitātēm 1.1. Emdena - Faulera tipa vienādojumi Piemērs 5.1.

Διαβάστε περισσότερα

3.2. Līdzstrāva Strāvas stiprums un blīvums

3.2. Līdzstrāva Strāvas stiprums un blīvums 3.. Līdzstrāva Šajā nodaļā aplūkosim elektrisko strāvu raksturojošos pamatlielumus un pamatlikumus. Nodaļas sākumā formulēsim šos likumus, balstoties uz elektriskās strāvas parādības novērojumiem. Nodaļas

Διαβάστε περισσότερα

LATVIJAS RAJONU 39. OLIMPIĀDE

LATVIJAS RAJONU 39. OLIMPIĀDE Materiāls ņemts o grāmatas:adžās Agis, Bērziņa Aa, Bērziņš Aivars "Latvijas matemātikas olimpiāžu (-) kārtas (rajou) uzdevumi u atrisiājumi" LATVIJAS RAJONU 9 OLIMPIĀDE ATRISINĀJUMI 9 Ir jāaprēķia 00-ais

Διαβάστε περισσότερα

1. Testa nosaukums IMUnOGLOBULĪnS G (IgG) 2. Angļu val. Immunoglobulin G

1. Testa nosaukums IMUnOGLOBULĪnS G (IgG) 2. Angļu val. Immunoglobulin G 1. Testa nosaukums IMUnOGLOBULĪnS G (IgG) 2. Angļu val. Immunoglobulin G 3. Īss raksturojums Imunoglobulīnu G veido 2 vieglās κ vai λ ķēdes un 2 smagās γ ķēdes. IgG iedalās 4 subklasēs: IgG1, IgG2, IgG3,

Διαβάστε περισσότερα

MATEMĀTIKA klase MĀCĪBU PRIEKŠMETA PROGRAMMA

MATEMĀTIKA klase MĀCĪBU PRIEKŠMETA PROGRAMMA MATEMĀTIKA 7. 9. klase MĀCĪBU PRIEKŠMETA PROGRAMMA Mācību priekšmeta programmu matemātikā veidoja Programmu izstrādāja Aira Kumerdanka, Indra Muceniece, Inga Riemere, Jānis Vilciņš, Aivars Ančupāns, Jeļena

Διαβάστε περισσότερα

Taisnzobu cilindrisko zobratu pārvada sintēze

Taisnzobu cilindrisko zobratu pārvada sintēze LATVIJAS LAUKSAIMNIECĪBAS UNIVERSITĀTE Tehniskā fakultāte Mehānikas institūts J. SvētiĦš, Ē. Kronbergs Taisnzobu cilindrisko zobratu pārvada sintēze Jelgava 009 Ievads Vienkāršs zobratu pārvads ir trīslocekĝu

Διαβάστε περισσότερα

4. APGAISMOJUMS UN ATTĒLI

4. APGAISMOJUMS UN ATTĒLI 4. APGAISMJUMS UN ATTĒLI ptisko mikroskopu vēsture un nākotne Gaismas avota stiprums. Gaismas plūsma Apgaismojums Elektriskie gaismas avoti. Apgaismojums darba vietā Ēnas. Aptumsumi Attēla veidošanās.

Διαβάστε περισσότερα

Lai atvēru dokumentu aktivējiet saiti. Lai atgrieztos uz šo satura rādītāju, lietojiet taustiņu kombināciju CTRL+Home.

Lai atvēru dokumentu aktivējiet saiti. Lai atgrieztos uz šo satura rādītāju, lietojiet taustiņu kombināciju CTRL+Home. 1.TEMATS EKSPONENTVIENĀDOJUMI UN NEVIENĀDĪBAS Temata apraksts Skolēnam sasniedzamo rezultātu ceļvedis Uzdevumu piemēri M_12_SP_01_P1 Eksponentvienādojumu atrisināšana Skolēna darba lapa M_12_SP_01_P2 Eksponentvienādojumu

Διαβάστε περισσότερα

PREDIKĀTU LOĢIKA. Izteikumu sauc par predikātu, ja tas ir izteikums, kas ir atkarīgs no mainīgiem lielumiem.

PREDIKĀTU LOĢIKA. Izteikumu sauc par predikātu, ja tas ir izteikums, kas ir atkarīgs no mainīgiem lielumiem. 005, Pēteris Daugulis PREDIKĀTU LOĢIKA Izteikumu sauc par predikātu, ja tas ir izteikums, kas ir atkarīgs no mainīgiem lielumiem. Par predikātiem ir jādomā kā par funkcijām, kuru vērtības apgabals ir patiesumvērtību

Διαβάστε περισσότερα

MARUTA AVOTIĥA, LAURA FREIJA. Matemātikas sacensības klasēm 2010./2011. mācību gadā

MARUTA AVOTIĥA, LAURA FREIJA. Matemātikas sacensības klasēm 2010./2011. mācību gadā MARUTA AVOTIĥA, LAURA FREIJA Matemātikas sacesības 9 klasēm 00/0 mācību gadā RĪGA 0 M AvotiĦa, L Freija Matemātikas sacesības 9 klasēm 00/0 mācību gadā Rīga: Latvijas Uiversitāte, 0 56 lpp Grāmatā apkopoti

Διαβάστε περισσότερα

Fizikas valsts 66. olimpiāde Otrā posma uzdevumi 12. klasei

Fizikas valsts 66. olimpiāde Otrā posma uzdevumi 12. klasei Fizikas valsts 66. olimpiāde Otrā posma uzdevumi 12. klasei 12-1 Pseido hologramma Ievēro mērvienības, kādās jāizsaka atbildes. Dažus uzdevuma apakšpunktus var risināt neatkarīgi no pārējiem. Mūsdienās

Διαβάστε περισσότερα

6.2. Gaismas difrakcija Gaismas difrakcijas veidi

6.2. Gaismas difrakcija Gaismas difrakcijas veidi 6.. Gaismas difrakcija Ļoti pierasts un katram pilnīgi saprotams liekas priekšstats par gaismas taisnvirziena izplatīšanos homogēnā vidē. Tomēr, daudzos gadījumos gaismas intensitātes sadalījums uz robežas,

Διαβάστε περισσότερα

Andrejs Rauhvargers VISPĀRĪGĀ ĶĪMIJA. Eksperimentāla mācību grāmata. Atļāvusi lietot Latvijas Republikas Izglītības un zinātnes ministrija

Andrejs Rauhvargers VISPĀRĪGĀ ĶĪMIJA. Eksperimentāla mācību grāmata. Atļāvusi lietot Latvijas Republikas Izglītības un zinātnes ministrija Andrejs Rauhvargers VISPĀRĪGĀ ĶĪMIJA Eksperimentāla mācību grāmata Atļāvusi lietot Latvijas Republikas Izglītības un zinātnes ministrija Rīga Zinātne 1996 UDK p 54(07) Ra 827 Recenzenti: Dr. chem. J. SKRĪVELIS

Διαβάστε περισσότερα

MAZĀ UNIVERSITĀTE. 5. nodarbība, gada 31. marts. Mazā matemātikas universitāte

MAZĀ UNIVERSITĀTE. 5. nodarbība, gada 31. marts. Mazā matemātikas universitāte MAZĀ MATEMĀTIKAS UNIVERSITĀTE Mazā matemātikas universitāte 5. nodarbība, 2012. gada 31. marts Statistiskais eksperiments varbūtību teorijā. Kā vēl var aprēėināt notikumu varbūtības? Mazā matemātikas universitāte

Διαβάστε περισσότερα

Lai atvēru dokumentu aktivējiet saiti. Lai atgrieztos uz šo satura rādītāju, lietojiet taustiņu kombināciju CTRL+Home.

Lai atvēru dokumentu aktivējiet saiti. Lai atgrieztos uz šo satura rādītāju, lietojiet taustiņu kombināciju CTRL+Home. 7.TEMATS Trigonometriskie vienādojumi un nevienādības Temata apraksts Skolēnam sasniedzamo rezultātu ceļvedis Uzdevumu piemēri Stundas piemērs M SP_07_0_P Trigonometrisko izteiksmju pārveidojumi Skolēna

Διαβάστε περισσότερα

"Profesora Cipariņa klubs" 2005./06. m.g. 1. nodarbības uzdevumu atrisinājumi. A grupa

Profesora Cipariņa klubs 2005./06. m.g. 1. nodarbības uzdevumu atrisinājumi. A grupa "Profesora Cipariņa klubs" 005./06. m.g.. nodarbības udevumu atrisinājumi A grupa. Viegli pārbaudīt, ka 3 4=44. Tātad meklējamie skaitļi var būt ; 3; 4. Pierādīsim, ka tie nevar būt citādi. Tiešām, ivēloties

Διαβάστε περισσότερα

Interferometri

Interferometri 6..6. Interferometri Interferometri ir optiskie aparāti, ar kuriem mēra dažādus fizikālus lielumus, izmantojot gaismas interferences parādības. Plānās kārtiņās koherentie interferējošie stari atrodas relatīvi

Διαβάστε περισσότερα

Bioloģisko materiālu un audu mehāniskās īpašības. PhD J. Lanka

Bioloģisko materiālu un audu mehāniskās īpašības. PhD J. Lanka Bioloģisko materiālu un audu mehāniskās īpašības PhD J. Lanka Mehāniskās slodzes veidi: a stiepe, b spiede, c liece, d - bīde Traumatisms skriešanā 1 gada laikā iegūto traumu skaits (dažādu autoru dati):

Διαβάστε περισσότερα

Testu krājums elektrotehnikā

Testu krājums elektrotehnikā iļānu 41.arodvidusskola Sergejs Jermakovs ntons Skudra Testu krājums elektrotehnikā iļāni 2007 EOPS SOCĀLS FONDS zdots ar ESF finansiālu atbalstu projekta Profesionālās izglītības programmas Elektromontāža

Διαβάστε περισσότερα

Ievads Optometrija ir neatkarīga redzes aprūpes profesija primārās veselības aprūpes sfērā. Šī profesija vairumā attīstīto valstu tiek regulēta ar

Ievads Optometrija ir neatkarīga redzes aprūpes profesija primārās veselības aprūpes sfērā. Šī profesija vairumā attīstīto valstu tiek regulēta ar Ievads Optometrija ir neatkarīga redzes aprūpes profesija primārās veselības aprūpes sfērā. Šī profesija vairumā attīstīto valstu tiek regulēta ar likumu (tās piekopšanai nepieciešama licence un reģistrēšanās).

Διαβάστε περισσότερα

6. LATVIJAS UNIVERSITĀTES ĶĪMIJAS FAKULTĀTES JAUNO ĶĪMIĶU KONKURSA 2.KĀRTAS UZDEVUMU ATBILDES 8.-9.klases uzdevumi

6. LATVIJAS UNIVERSITĀTES ĶĪMIJAS FAKULTĀTES JAUNO ĶĪMIĶU KONKURSA 2.KĀRTAS UZDEVUMU ATBILDES 8.-9.klases uzdevumi 6. LATVIJAS UNIVERSITĀTES ĶĪMIJAS FAKULTĀTES JAUNO ĶĪMIĶU KONKURSA 2.KĀRTAS UZDEVUMU ATBILDES 8.-9.klases uzdevumi 1. uzdevums Vai tu to vari? Gāzes Ķīmisko reakciju vienādojumi Ūdeņradis, oglekļa dioksīds,

Διαβάστε περισσότερα

1. MAIŅSTRĀVA. Fiz12_01.indd 5 07/08/ :13:03

1. MAIŅSTRĀVA. Fiz12_01.indd 5 07/08/ :13:03 1. MAIŅSRĀVA Ķeguma spēkstacija Maiņstrāvas iegūšana Maiņstrāvas raksturlielumumomentānās vērtības Maiņstrāvas raksturlielumu efektīvās vērtības Enerģijas pārvērtības maiņstrāvas ķēdē Aktīvā pretestība

Διαβάστε περισσότερα

Laboratorijas darbu apraksts (II semestris)

Laboratorijas darbu apraksts (II semestris) Laboratorijas darbu apraksts (II semestris).5. Zemes magnētiskā lauka horizontālās komponentes noteikšana ar tangensgalvanometru. Katrā zemeslodes vietā Zemes magnētiskā lauka indukcijas vektors attiecībā

Διαβάστε περισσότερα

KOMBINATORIKAS UN VARBŪTĪBU TEORIJAS ELEMENTI. matemātikas profīlkursam vidusskolā

KOMBINATORIKAS UN VARBŪTĪBU TEORIJAS ELEMENTI. matemātikas profīlkursam vidusskolā Jānis Cīrulis KOMBINATORIKAS UN VARBŪTĪBU TEORIJAS ELEMENTI matemātikas profīlkursam vidusskolā ANOTĀCIJA Šī izstrādne ir mācību līdzeklis (tā pirmā puse) nosaukumā minēto tēmu apguvei, ko varētu gan vairāk

Διαβάστε περισσότερα

12. klase. Fizikas 64. valsts olimpiādes III posms gada 10. aprīlī

12. klase. Fizikas 64. valsts olimpiādes III posms gada 10. aprīlī Fizikas 64. valsts olimpiādes III posms 2014. gada 10. aprīlī 12. klase Jums tiek piedāvāti trīs uzdevumi. Par katru uzdevumu maksimāli iespējams iegūt 10 punktus. Katra uzdevuma risinājumu vēlams veikt

Διαβάστε περισσότερα

TROKSNIS UN VIBRĀCIJA

TROKSNIS UN VIBRĀCIJA TROKSNIS UN VIBRĀCIJA Kas ir skaņa? a? Vienkārša skaņas definīcija: skaņa ir ar dzirdes orgāniem uztveramās gaisa vides svārstības Fizikā: skaņa ir elastiskas vides (šķidras, cietas, gāzveida) svārstības,

Διαβάστε περισσότερα

Atlases kontroldarbs uz Baltijas valstu ķīmijas olimpiādi 2013.gada 07.aprīlī

Atlases kontroldarbs uz Baltijas valstu ķīmijas olimpiādi 2013.gada 07.aprīlī Atlases kontroldarbs uz Baltijas valstu ķīmijas olimpiādi 2013.gada 07.aprīlī Atrisināt dotos sešus uzdevumus, laiks 3 stundas. Uzdevumu tēmas: 1) tests vispārīgajā ķīmijā; 2) ķīmisko reakciju kinētika;

Διαβάστε περισσότερα

6. TEMATS GĀZU LIKUMI. Temata apraksts. Skolēnam sasniedzamo rezultātu ceļvedis. Uzdevumu piemēri. Elektrodrošība izmantojot aizsargzemējumu (PE)

6. TEMATS GĀZU LIKUMI. Temata apraksts. Skolēnam sasniedzamo rezultātu ceļvedis. Uzdevumu piemēri. Elektrodrošība izmantojot aizsargzemējumu (PE) 6. TEMATS GĀZU LIKUMI Temata apraksts Skolēnam sasniedzamo rezultātu ceļvedis Uzdevumu piemēri F_11_UP_06_P1 Noplūdes strāvu automātu izmantošana Skolēna darba lapa F_11_UP_06_P2 Elektrodrošība izmantojot

Διαβάστε περισσότερα

Rīgas Tehniskā universitāte Materiālu un Konstrukciju institūts. Uzdevums: 3D- sijas elements Beam 189. Programma: ANSYS 9

Rīgas Tehniskā universitāte Materiālu un Konstrukciju institūts. Uzdevums: 3D- sijas elements Beam 189. Programma: ANSYS 9 Rīgas Tehniskā universitāte Materiālu un Konstrukciju institūts Uzdevums: 3D- sijas elements Beam 189 Programma: ANSYS 9 Autori: E. Skuķis 1 ANSYS elements: Beam 189, 3-D Quadratic Finite Strain Beam Beam

Διαβάστε περισσότερα

C 1 D 1. AB = a, AD = b, AA1 = c. a, b, c : (1) AC 1 ; : (1) AB + BC + CC1, AC 1 = BC = AD, CC1 = AA 1, AC 1 = a + b + c. (2) BD 1 = BD + DD 1,

C 1 D 1. AB = a, AD = b, AA1 = c. a, b, c : (1) AC 1 ; : (1) AB + BC + CC1, AC 1 = BC = AD, CC1 = AA 1, AC 1 = a + b + c. (2) BD 1 = BD + DD 1, 1 1., BD 1 B 1 1 D 1, E F B 1 D 1. B = a, D = b, 1 = c. a, b, c : (1) 1 ; () BD 1 ; () F; D 1 F 1 (4) EF. : (1) B = D, D c b 1 E a B 1 1 = 1, B1 1 = B + B + 1, 1 = a + b + c. () BD 1 = BD + DD 1, BD =

Διαβάστε περισσότερα

Lielais dānis Nilss Bors

Lielais dānis Nilss Bors Lielais dānis Nilss Bors No kā sastāv atoms? Atoma kodola atklāšana Atoma planetārais modelis. Bora teorija Orbitālais kvantu skaitlis Magnētiskais kvantu skaitlis. Magnētiskā mijiedarbība atomā Elektrona

Διαβάστε περισσότερα

SKICE. VĪTNE SATURS. Ievads Tēmas mērķi Skice Skices izpildīšanas secība Mērinstrumenti un detaļu mērīšana...

SKICE. VĪTNE SATURS. Ievads Tēmas mērķi Skice Skices izpildīšanas secība Mērinstrumenti un detaļu mērīšana... 1 SKICE. VĪTNE SATURS Ievads... 2 Tēmas mērķi... 2 1. Skice...2 1.1. Skices izpildīšanas secība...2 1.2. Mērinstrumenti un detaļu mērīšana...5 2. Vītne...7 2.1. Vītņu veidi un to apzīmējumi...10 2.1.1.

Διαβάστε περισσότερα

Fizikas 63. valsts olimpiādes. III posms

Fizikas 63. valsts olimpiādes. III posms Fizikas 63. valsts olimpiādes III posms 2013. gada 14. martā Fizikas 63. valsts olimpiādes III posms Uzdevumi Eksperimentālā kārta 2013. gada 14. martā 9. klase Jums tiek piedāvāti divi uzdevumi: eksperiments

Διαβάστε περισσότερα

AUTOCEĻU PROJEKTĒŠANA

AUTOCEĻU PROJEKTĒŠANA RĪGAS TEHNISKĀ UNIVERSITĀTE TRANSPORTBŪVJU INSTITŪTS AUTOCEĻU PROJEKTĒŠANA Trases plāna, garenprofila un ceļa klātnes izveidojums Rīga - 006 Autors... Profesors, dr.sc.ing Juris Naudžuns RTU Transportbūvju

Διαβάστε περισσότερα

Jauna tehnoloģija magnētiskā lauka un tā gradienta mērīšanai izmantojot nanostrukturētu atomārās gāzes vidi

Jauna tehnoloģija magnētiskā lauka un tā gradienta mērīšanai izmantojot nanostrukturētu atomārās gāzes vidi Projekts (vienošanās ) Jauna tehnoloģija magnētiskā lauka un tā gradienta mērīšanai izmantojot nanostrukturētu atomārās gāzes vidi Izveidotā jaunā magnētiskā lauka gradienta mērīšanas moduļa apraksts Aktivitāte

Διαβάστε περισσότερα

JAUNO ĶĪMIĶU KONKURSA 2.KĀRTAS UZDEVUMI

JAUNO ĶĪMIĶU KONKURSA 2.KĀRTAS UZDEVUMI C4. LATVIJAS UNIVERSITĀTES ĶĪMIJAS FAKULTĀTES JAUNO ĶĪMIĶU KONKURSA 2.KĀRTAS UZDEVUMI Atrisināt tālāk dotos sešus uzdevumus un atbildes ierakstīt MS Word atbilžu datnē, ko kā pievienoto dokumentu līdz

Διαβάστε περισσότερα

4. TEMATS ELEKTRISKIE LĀDIŅI UN ELEKTRISKAIS LAUKS. Temata apraksts. Skolēnam sasniedzamo rezultātu ceļvedis. Uzdevumu piemēri

4. TEMATS ELEKTRISKIE LĀDIŅI UN ELEKTRISKAIS LAUKS. Temata apraksts. Skolēnam sasniedzamo rezultātu ceļvedis. Uzdevumu piemēri 4. TEMATS ELEKTRISKIE LĀDIŅI UN ELEKTRISKAIS LAUKS Temata apraksts Skolēnam sasniedzamo rezultātu ceļvedis Uzdevumu piemēri F_11_SP_04_01_P1 Elektriskais lādiņš un lādētu ķermeņu mijiedarbība Skolēna darba

Διαβάστε περισσότερα

Spektrālaparā un spektrālie mērījumi Lekciju konspekts. Linards Kalvāns LU FMF gada 7. janvārī

Spektrālaparā un spektrālie mērījumi Lekciju konspekts. Linards Kalvāns LU FMF gada 7. janvārī Spektrālaparā un spektrālie mērījumi Lekciju konspekts Linards Kalvāns LU FMF 014. gada 7. janvārī Saturs I. Vispārīga informācija 4 I.1. Literatūras saraksts..........................................

Διαβάστε περισσότερα

Latvijas Universitāte Fizikas un matemātikas fakultāte datorzinātņu nodaļa

Latvijas Universitāte Fizikas un matemātikas fakultāte datorzinātņu nodaļa Latvijas Univesitāte Fizikas un matemātikas fakultāte datozinātņu nodaļa Eksāmena biļešu atbildes Fizikā (Teoētiskā mehānika, elektomagnētisms, optika) NEPABEIGTS Rīga,. Šis dabs i nācis no http://datzb.intelctuals.net/

Διαβάστε περισσότερα

6.4. Gaismas dispersija un absorbcija Normālā un anomālā gaismas dispersija. v = f(λ). (6.4.1) n = f(λ). (6.4.2)

6.4. Gaismas dispersija un absorbcija Normālā un anomālā gaismas dispersija. v = f(λ). (6.4.1) n = f(λ). (6.4.2) 6.4. Gaismas dispersija un absorbcija 6.4.1. Normālā un anomālā gaismas dispersija Gaismas izplatīšanās ātrums vakuumā (c = 299 792,5 ±,3 km/s) ir nemainīgs lielums, kas nav atkarīgs no viļņa garuma. Vakuumā

Διαβάστε περισσότερα

Elektronikas pamati 1. daļa

Elektronikas pamati 1. daļa Egmonts Pavlovskis Elektronikas pamati 1. daļa Mācību līdzeklis interešu izglītības elektronikas pulciņu audzēkņiem un citiem interesentiem Mācību līdzeklis tapis Eiropas reģionālās attīstības fonda projekta

Διαβάστε περισσότερα

6. TEMATS MEHĀNISKĀS SVĀRSTĪBAS UN VIĻŅI. Temata apraksts. Skolēnam sasniedzamo rezultātu ceļvedis. Uzdevumu piemēri

6. TEMATS MEHĀNISKĀS SVĀRSTĪBAS UN VIĻŅI. Temata apraksts. Skolēnam sasniedzamo rezultātu ceļvedis. Uzdevumu piemēri 6. TEMATS MEHĀNISKĀS SVĀRSTĪBAS UN VIĻŅI Temata apraksts Skolēnam sasniedzamo rezultātu ceļvedis Uzdevumu piemēri F_10_SP_06_P1 Uzdevums grupai Skolēna darba lapa F_10_UP_06_P1 Seismogrāfa darbības shēma

Διαβάστε περισσότερα

Latvijas Universitāte Fizikas un matemātikas fakultāte. Inese Bula MIKROEKONOMIKA (MATEMĀTISKIE PAMATI)

Latvijas Universitāte Fizikas un matemātikas fakultāte. Inese Bula MIKROEKONOMIKA (MATEMĀTISKIE PAMATI) Latvijas Universitāte Fizikas un matemātikas fakultāte Inese Bula MIKROEKONOMIKA (MATEMĀTISKIE PAMATI) LEKCIJU KONSPEKTS 2007 SATURS Priekšvārds 3 Lekcija nr. 1. Ievads mikroekonomikas teorijā 4 Lekcija

Διαβάστε περισσότερα

BŪVJU TEORIJAS PAMATI

BŪVJU TEORIJAS PAMATI BŪVJU TEORIJAS PAMATI Pamatjēdzieni: (atkārtojumam, turpmākam plānam)) nedeformējami ķermeņi, to mehānika (teorētiskā mehānika), cieti deformējami ķermeņi, to mehānika: pieņēmumi (hipotētiski) - materiāla

Διαβάστε περισσότερα

Satura rādītājs Apmācīšanās piemērs... 44

Satura rādītājs Apmācīšanās piemērs... 44 Satura rādītās. Neironu tīkli skaitļošanas paradigma... 3.. Neironu tīkls kā skaitļošanas sistēma... 3.. Bioloģiskie neironu tīkli... 4. Mākslīgais neirons... 7.. Neirona uzbūves un darbības pamatprincipi...

Διαβάστε περισσότερα

MULTILINGUAL GLOSSARY OF VISUAL ARTS

MULTILINGUAL GLOSSARY OF VISUAL ARTS MULTILINGUAL GLOSSARY OF VISUAL ARTS (GREEK-ENGLISH-LATVIAN) Χρώματα Colours Krāsas GREEK ENGLISH LATVIAN Αυθαίρετο χρώμα: Χρϊμα που δεν ζχει καμία ρεαλιςτικι ι φυςικι ςχζςθ με το αντικείμενο που απεικονίηεται,

Διαβάστε περισσότερα

Rīgas Tehniskā universitāte Enerģētikas un elektrotehnikas fakultāte Vides aizsardzības un siltuma sistēmu institūts

Rīgas Tehniskā universitāte Enerģētikas un elektrotehnikas fakultāte Vides aizsardzības un siltuma sistēmu institūts Rīgas Tehniskā universitāte Enerģētikas un elektrotehnikas fakultāte Vides aizsardzības un siltuma sistēmu institūts www.videszinatne.lv Saules enerģijas izmantošanas iespējas Latvijā / Seminārs "Atjaunojamo

Διαβάστε περισσότερα

Latvijas 53. Nacionālā ķīmijas olimpiāde

Latvijas 53. Nacionālā ķīmijas olimpiāde 9. klases teorētiskie uzdevumi Latvijas 53. Nacionālā ķīmijas olimpiāde 2012. gada 28. martā 9. klases Teorētisko uzdevumu atrisinājumi 1. uzdevums 7 punkti Molekulu skaitīšana Cik molekulu skābekļa rodas,

Διαβάστε περισσότερα

DEKLARĀCIJA PAR VEIKSTSPĒJU

DEKLARĀCIJA PAR VEIKSTSPĒJU LV DEKLARĀCIJA PAR VEIKSTSPĒJU DoP No. Hilti HIT-HY 270 33-CPR-M 00-/07.. Unikāls izstrādājuma tipa identifikācijas numurs: Injicēšanas sistēma Hilti HIT-HY 270 2. Tipa, partijas vai sērijas numurs, kā

Διαβάστε περισσότερα

Lai atvēru dokumentu aktivējiet saiti. Lai atgrieztos uz šo satura rādītāju, lietojiet taustiņu kombināciju CTRL+Home.

Lai atvēru dokumentu aktivējiet saiti. Lai atgrieztos uz šo satura rādītāju, lietojiet taustiņu kombināciju CTRL+Home. 6. MEHĀNISKĀS SVĀRSTĪBAS UN VIĻŅI Temata apraksts Skolēnam sasniedzamo rezultātu ceļvedis Uzdevumu piemēri Stundas piemērs F_10_SP_06_P1 Uzdevums grupai Skolēna darba lapa F_10_UP_06_P1 Seismogrāfa darbības

Διαβάστε περισσότερα

Elektrozinību teorētiskie pamati

Elektrozinību teorētiskie pamati LTVJS LKSMNEĪS NVESTĀTE TEHNSKĀ FKLTĀTE Lauksainiecības enerăētikas institūts.galiħš Elektrozinību teorētiskie paati Elektrisko ėēžu aprēėini Jelgava 8 LTVJS LKSMNEĪS NVESTĀTE TEHNSKĀ FKLTĀTE Lauksainiecības

Διαβάστε περισσότερα

Norādījumi par dūmgāzu novadīšanas sistēmu

Norādījumi par dūmgāzu novadīšanas sistēmu Norādījumi par dūmgāzu novadīšanas sistēmu Kondensācijas tipa gāzes apkures iekārta 6 720 619 607-00.1O ogamax plus GB072-14 GB072-20 GB072-24 GB072-24K Apkalpošanas speciālistam ūdzam pirms montāžas un

Διαβάστε περισσότερα

Palīgmateriāli gatavojoties centralizētajam eksāmenam ėīmijā

Palīgmateriāli gatavojoties centralizētajam eksāmenam ėīmijā Palīgmateriāli gatavojoties centralizētajam eksāmenam ėīmijā CE ietverto tēmu loks ir Ĝoti plašs: ėīmijas pamatjautājumi (pamatskolas kurss), vispārīgā ėīmija, neorganiskā ėīmija, organiskā ėīmija, ėīmija

Διαβάστε περισσότερα

2. ELEKTROMAGNĒTISKIE

2. ELEKTROMAGNĒTISKIE 2. LKTROMAGNĒTISKI VIĻŅI Radio izgudrošana Svārstību kontūrs Nerimstošas elektriskās svārstības lektromagnētisko viļņu iegūšana lektromagnētiskais šķērsvilnis lektromagnētisko viļņu ātrums lektromagnētisko

Διαβάστε περισσότερα

Latvijas 44. Nacionālā ķīmijas olimpiāde (2003. gads) Teorētiskie uzdevumi.

Latvijas 44. Nacionālā ķīmijas olimpiāde (2003. gads) Teorētiskie uzdevumi. Latvijas 44. Nacionālā ķīmijas olimpiāde (2003. gads) Teorētiskie uzdevumi. 1. 9 5 p. Pilnībā izkarsēja 5,0g kalcija karbonāta, kas saturēja 3,0% piemaisījumu. Izdalīto gāzi saistīja ar iepriekš nosvērtu

Διαβάστε περισσότερα

Pašmācības materiāli izklājlapu lietotnes OpenOffice.org Calc apguvei

Pašmācības materiāli izklājlapu lietotnes OpenOffice.org Calc apguvei Pašmācības materiāli izklājlapu lietotnes OpenOffice.org Calc apguvei Guntars Lācis guntars_l@inbox.lv Saturs Izklājlapu lietotnes OpenOffice.org Calc darba vide... 4 Aprēķinu veikšana, izmantojot lietotni

Διαβάστε περισσότερα

VĒJA ENERĢIJAS ROKASGRĀMATAS SATURS. Ievads.. Īsa vēja enerģētikas attīstības vēsture... Vēju daba un dažādība...

VĒJA ENERĢIJAS ROKASGRĀMATAS SATURS. Ievads.. Īsa vēja enerģētikas attīstības vēsture... Vēju daba un dažādība... VĒJA ENERĢIJAS ROKASGRĀMATAS SATURS Ievads.. Īsa vēja enerģētikas attīstības vēsture... Vēju daba un dažādība... 1. Latvijas vēja enerģijas kadastrs 1.1. Informatīvās bāzes raksturojums.... 1.2. Klimatiskie

Διαβάστε περισσότερα

MK noteikumi Nr.273 "Mērvienību noteikumi" ("LV", 49 (4241), ) [spēkā ar ]

MK noteikumi Nr.273 Mērvienību noteikumi (LV, 49 (4241), ) [spēkā ar ] Lapa 1 no 10 VSIA "Latvijas Vēstnesis", 2005-2010 23.03.2010. MK noteikumi Nr.273 "Mērvienību noteikumi" ("LV", 49 (4241), 26.03.2010.) [spēkā ar 27.03.2010.] Redakcija uz 27.03.2010. Mērvienību noteikumi

Διαβάστε περισσότερα

Isover tehniskā izolācija

Isover tehniskā izolācija Isover tehniskā izolācija 2 Isover tehniskās izolācijas veidi Isover Latvijas tirgū piedāvā visplašāko tehniskās izolācijas (Isotec) produktu klāstu. Mēs nodrošinām efektīvus risinājumus iekārtām un konstrukcijām,

Διαβάστε περισσότερα