Mehānikas fizikālie pamati

Transcript

1 1.5. Viļņi Viļņu veidošanās Cietā vielā, šķidrumā, gāzē vai plazmā, tātad ikvienā vielā starp daļiņām pastāv mijiedarbība. Ja svārstošo ķermeni (svārstību avotu) ievieto vidē (pieņemsim, ka vide ir nepārtraukta un elastīga), tad tam tuvākās vides daļiņas arī sāk svārstīties. Šo daļiņu svārstības tiek pārnestas (ar elastības spēku starpniecību) uz citām vides daļiņām, kuras atrodas tālāk no svārstību avota, t. i. svārstību kustība nepaliek lokalizēta vienā vietā, bet izplatās vidē, taču tās notiks dažādās fāzēs jo tālāk daļiņa atrodas no svārstību avota, jo vēlāk tā sāk svārstīties un jo vairāk atpaliek tās svārstību fāze. Svārstību izplatīšanos telpā, sauc par viļņu procesu jeb viļņiem. Viļņu kustības piemērs ir viļņi uz ūdens virsmas, kas sākas no vietas, kur iekritis akmens, un izplatās ap to koncentrisku riņķu veidā. Viļņus klasificē pēc dažādām pazīmēm: 1) pēc viļņu dabas tos iedala: mehāniskie viļņi jeb viļņi elastīgā vidē (skaņas un virsmas viļņi), elektromagnētiskie viļņi (radio un gaismas viļņi, rentgenstarojums un - starojums), De Brojī viļņi. Mehāniskie un elektromagnētiskie viļņi ir praksē visbiežāk sastopamie viļņi. Teorētiski ir paredzama arī gravitācijas viļņu eksistence, bet eksperimentāli tie vēl nav konstatēti; ) atkarībā no iespējamajiem viļņu izplatīšanas virzieniem iedala: viendimensionāli viļņi (izplatās vienā noteiktā virzienā, piemēram, pa stīgu), divdimensionāli viļņi (izplatās dažādos virzienos pa kādu virsmu, piemēram, pa ūdens virsmu), trīsdimensionāli viļņi (izplatās no viļņu avota visos telpas virzienos, piemēram, skaņas viļņi gaisā vai ūdenī); 3) Tā kā visi telpas punkti, līdz kuriem kādā laika momentā t ir nonākuši viļņi no viļņu avota, veido viļņa fronti, tad atkarībā no viļņa frontes veida atšķir plakanos (viļņi, kuru fronte ir plakne) un sfēriskos viļņus (viļņi ar sfērisku fronti); 4) atkarībā no svārstību virziena novietojuma attiecībā pret viļņa izplatīšanās virzienu viļņus iedala garenviļņos jeb longitudinālajos viļņos (viļņi, kuros svārstības notiek viļņa izplatīšanās virzienā) un šķērsviļņos jeb transversālajos viļņos (viļņi, kuros svārstības notiek perpendikulāri viļņu izplatīšanās virzienam); 1

2 vides daļiņu pārvietošanās virziens vides daļiņu pārvietošanās virziens viļņa izplatīšanās virziens a) att. viļņa izplatīšanās virziens b) 5) atkarībā no enerģijas pārneses veida iedala: skrejviļņi (viļņi pārnes telpā enerģiju, bet viela netiek pārnesta) un stāvviļņi (enerģijas un masas pārnese šādā svārstību procesā nenotiek) Garenviļņi un šķērsviļņi Analizējot attēlā (a) shematiski attēloto daļiņu kustību, tā parāda, ka vidē izplatās šķērsvilnis. Šāds viļņu veidošanās mehānisms būs tikai tad, ja videi piemitīs bīdes elastība, kad no līdzsvara stāvokļa nobīdītu daļiņu slānis iedarbojas uz blakus esošo slāni, tādēļ šķērsviļņi iespējami cietos ķermeņos (stīgās, stieņos, plēvēs) vai arī uz šķidruma virsmas, jo virsmas spraiguma spēku dēļ šķidruma virskārta ir līdzīga nostieptai elastīgai plēvei. Savukār, attēlā (b) shematiski attēlota daļiņu kustība, ja vidē izplatās garenvilnis. Katras daļiņas novirze no līdzsvara stāvokļa garenviļņu izplatīšanās gadījumā notiek pa viļņa izplatīšanās taisni (t. i., sakrīt ar viļņa virzienu). Tad vidē izveidojas daļiņu sablīvējumi un retinājumi; tie pārvietojas ar viļņa izplatīšanās ātrumu. Tā kā garenviļņi var izplatīties vidē, kurai piemīt tilpuma vai spiedes stiepes elastība, tad tie var rasties gan cietās vielās, gan arī šķidrumos un gāzēs. Piemēram, uzsitot ar āmuru pa stieņa galu (stieņa ass virzienā), tos var ierosināt metāla stienī.

3 Viļņu virsma un viļņu fronte Līdz šim mēs aplūkojām viļņus, kas izplatās tikai vienā noteiktā virzienā (pa vienu taisni, t. i., plakanos viļņus). Praksē šādus viļņus novēro lielos attālumus no viļņu avota. Viļņu avota tuvumā viļņi izplatās visos virzienos. To punktu kopu telpā, līdz kurai kādā laika momentā ir nokļuvušas svārstības no dotā svārstību avota, sauc par viļņa fronti. Viļņa frontes forma ir atkarīga no svārstību avota formas un no vides īpašībām. Homogēnā vidē punktveida svārstību avota S radītajai viļņa frontei ir sfēras forma (1.31. att.), ar raustītām līnijām parādīti viļņa frontes R stāvokļi iepriekšējos laika momentos). Acīmredzot sfēras rādiuss R = vt, S kur v viļņa izplatīšanās ātrums, t tā izplatīšanās laiks. Viļņus, kas veido sfērisku fronti, sauc par sfēriskiem viļņiem. Sfēriska viļņu fronte izotropā vidē vienlaikus ir arī fāzes jeb viļņa virsma, t. i., virsma, kuras visos punktos svārstībām ir vienāda fāze. Viļņu virsmas var būt bezgalīgi att. daudz, bet viļņa fronte katrā laika momentā tikai viena. Ja viļņa fronte ir plakne, tad vilni sauc par plakanu vilni. Nelielu sfēriskas viļņu frontes sektoru, kas atrodas pietiekami tālu no svārstību avota, var praktiski uzskatīt par plakanu (var neievērot frontes liekumu). Nehomogēnā vidē, kur viļņa ātrums dažādos virzienos nav vienāds, viļņa frontei var būt sarežģīta forma. Izotropā vidē viļņu izplatīšanās virziens ir perpendikulārs viļņa frontei. Tad plakanai viļņa frontei var atbilst tikai viens viļņa izplatīšanās virziens Heigensa princips Risinot uzdevumus par viļņu izplatīšanos, bieži nepieciešams konstruēt viļņa fronti kādā laika momentā, skaitot no laika sākuma momenta. To var izdarīt, izmantojot metodi, kuru sauc par Heigensa principu (metodi gadā ieteica holandiešu zinātnieks H. Heigenss). Kā redzējām, no kāda viļņu avota izejošo viļņu priekšgala punkti veido t. s. viļņu fronti. Noteikt viļņa izplatīšanos nozīmē noteikt, kā pārvietojas viļņa fronte. Pēc Heigensa principa no katra pašreizējās viļņu frontes punkta vienlaikus uz visām pusēm izplatās sekundārie viļņi, kuru apliecošā virsma ir viļņu fronte kādā nākamajā viļņu kustības momentā. Ja ir zināms viļņa frontes stāvoklis vienā laika momentā, tad, lietojot Heigensa principu, var atrast, kāds būs viļņa 3

4 stāvoklis (fronte) kādā nākamajā momentā attēlā ir parādīts, kā saskaņā ar Heigensa viļņa fronte laika momentā t 1.3. att. principu zinot veco viļņa fronti (laika momentā t), var atrast jauno viļņa fronti (laika momenta (t + Δt)) sfērisku viļņu gadījumā. Raustītās līnijas attēlā parāda sekundāro viļņu frontes., ko ģenerē vecās (primārās) viļņu frontes punkti. Šo principu var pielietot, aprakstot jebkuru viļņu (skaņas, gaismas utt.) izplatīšanos. Tieši gaismas viļņiem Heigenss sākotnēji formulēja šo principu. Mehānisko viļņu gadījumā Heigensa principam ir uzskatāms izskaidrojums vielas daļiņas, līdz kurām nonāk svārstības, savukārt svārstīdamās iekustina blakus esošās vides daļiņas, ar kurām tās savstarpēji iedarbojas. viļņa fronte laika momentā (t+t) Skrejviļņa kinemātiskais vienādojums Var uzrakstīt viena vides punkta svārstību kinemātisko vienādojumu x Acos( t 0 ), kas rāda novirzes x atkarību no laika. Uzrakstītais vienādojums ir viena argumenta laika t periodiska funkcija. Matemātiski skrejvilni var aprakstīt, uzrādot atkarībā no laika t novirzes visiem viļņu procesā iesaistītajiem telpas punktiem ar dažādām koordinātēm x, y, z, tādēļ skrejviļņa kinemātiskais vienādojums ir koordinātu un laika periodiska funkcija. Ja ir konstantas koordinātes (kādā noteiktā telpas punktā), tad šis vienādojums pārvēršas par laika funkciju punkta svārstību vienādojumu, bet kādā noteiktā laika momentā (t = const) par koordinātu funkciju, kas izsaka novirzi katrā telpas punktā atkarībā no tā koordinātēm šajā laika momentā. Noteiksim sakarību starp viļņu kustībā esošo vides daļiņu novirzi ξ un šo daļiņu attālumu x līdz svārstību avotam O jebkurā laika momentā t. Labākas uzskatāmības nolūkā izvēlēsimies šķērsvilni, kaut gan visi tālākie spriedumi attiecas arī uz garenvilni. 4

5 Plakana harmoniska skrejviļņa kinemātiskais vienādojums Lai uzrakstītu skrejviļņa kinemātisko vienādojumu - sakarību starp viļņu kustībā esošo vides daļiņu novirzi ξ un šo daļiņu attālumu x līdz svārstību avotam O jebkurā laika momentā t, apskatīsim plakanu vilni. Pieņemsim, ka svārstības ir harmoniskas, un X ass sakrīt ar viļņa izplatīšanās virzienu (1.33. att.). Šajā gadījumā viļņu virsmas ir perpendikularas X asij, bet, tā kā visi viļņu virsmas punkti svārstās vienādi, ξ tad novirze ξ ir atkarīga tikai no x un t, t. i., ξ v = ξ (x, t). Viļņa grafiks ārēji līdzīgs harmonisku C O X svārstību grafikam (sk att.), bet būtībā 3 tie ir atšķirīgi. Svārstību grafiks attēlo dotās x daļiņas novirzes atkarībā no laika. Viļņa grafiks attēlo visu daļiņu novirzes atkarībā att. no attāluma līdz svārstību avotam dotajā laika momentā: tas ir it kā viļņa momentfotogrāfija. Aplūkosim kādu daļiņu C, kas atrodas attālumā x no svārstību avota (daļiņas O). Ja daļiņa O svārstās t sekundes, tad daļiņa C svārstās tikai (t τ) sekundes, kur τ laiks, kurā svārstības izplatās no O līdz C, t. i., laiks, kurā vilnis ar izplatīšanas ātrumu v, noiet ceļu x (τ = x/v). Tātad daļiņas C svārstību vienādojums jāraksta šādi: ( x, t) Acos( t x / v). (1.19) Ja vilnis izplatās negatīvajā X ass virzienā, tad ( x, t) Acos( t x / v). (1.193) Vispārīgajā gadījumā plakana monohromatiska skrejviļņa kinemātiskais vienādojums (ja vilnis izplatās pozitīvajā X ass virzienā un ja vidē nenotiek viļņu absorbcija) ir šāds : 0 ( x, t) Acos ( t x / v), (1.194) kur A = const viļņa amplitūda, ω cikliskā frekvence, φ 0 viļņu sākuma fāze, 0 ( t x / v) - plakana viļņa fāze. Izmantojot vienādojumu (1.194) iespējams aprēķināt novirzi jebkurā viļņa punktā un jebkurā laika momentā. Ja vilnis izplatās negatīvajā X ass virzienā, tad vienādojums ir 0 ( x, t) Acos ( t x / v). (1.195) 5

6 Sfēriska skrejviļņa kinemātiskais vienādojums Sfēriska skrejviļņa gadījumā svārstību amplitūda A ir atkarīga no attāluma r līdz avotam, A ~ 1/r, tādēļ var rakstīt B ( r, t) cos ( t r / v) 0, (1.196) r kur B proporcionalitātes koeficients, kas vienāds ar svārstību amplitūdu attālumā r = 1 m no svārstību avota. Tas ir sfēriska skrejviļņa kinemātiskais vienādojums Viļņa garums Mazāko attālumu starp diviem punktiem viļņa izplatīšanās virzienā (X ass virzienā), kuri svārstās vienādās fāzēs, t. i. vienlaikus sasniedz gan maksimālās, gan minimālās, gan arī visas citas atbilstošās novirzes un ātrumus (1.34. att.) sauc par viļņa garumu. Šo attālumu vilnis, kas izplatās ar ātrumu v, noiet viena svārstību perioda laikā T. Tādēļ Tā kā T 1, kur υ svārstību frekvence, tad Viļņu izplatīšanās ātrumu nosaka vides blīvums un tās elastība. vt. (1.197) v un v. (1.198) Ievietojot vienādojumā (1.194) v = λ/t, un ievērojot, ka ω = π/t = πυ, iegūsim plakana viļņa vienādojuma citus pieraksta veidus: ξ O t x x ( x, t) Acos ( ) 0 Acos ( t ) 0 T x Acos( t ) 0 v λ att. 4 λ X (1.199) 6

7 Lielums Viļņu skaitlis un viļņu vektors k (1.00) ir cikliskais viļņu skaitlis jeb, īsāk, vienkārši viļņu skaitlis. Tas parāda viļņa garumu skaitu, kas ietilpst garuma vienībās, kas atliktas viļņa izplatīšanās virzienā. Ja vienādības (1.00) labo pusi reizina un dala ar υ, un ievērojot, ka πυ = ω, bet λυ = v, tad iegūst k. (1.01) v Vektors k kn (1.0) ir viļņu vektors (šeit n - vienības vektors ( n 1) viļņa virsmas normāles virzienā). Ja izmanto viļņu skaitli, vienādojumu (1.194) var pārrakstīt šādi: x, t) Acos( t kx ). (1.03) ( 0 Ja plakans vilnis izplatās virzienā, kas veido ar X, Y un Z asīm leņķus, un, tad vienādojumu var uzrakstīt, izmantojot viļņu vektoru. Tādējādi Acos( t kr 0 ), (1.04) kur kr k x k y k z un k x k cos ; k y k cos ; k z k cos. x y z Superpozīcijas princips Ja lineārā vidē (lineāra vide ir tāda vide, kuras īpašību izmaiņas ir proporcionālas iedarbībai uz to) atrodas vairāki svārstību avoti, tad no tiem viļņu avoti izejošie viļņi izplatās neatkarīgi cits no cita un pēc savstarpējas krustošanās aiziet tālāk bez jebkādām notikušās sadursmes sekām. To var ilustrēt viļņu izplatīšanās pa ūdens virsmu no diviem ūdenī att. iesviestiem akmeņiem (1.35. att.). Viļņu krustošanas vietās vides svārstības, ko rada katrs vilnis, summējas (var sacīt viļņi summējas) saskaņā ar paragrāfā aplūkotajiem likumiem. Tātad, lineārā vidē vienlaikus izplatoties vairākiem viļņiem, daļiņas rezultējošā novirze ir vienāda ar atsevišķu viļņu radīto 7

8 noviržu ģeometrisku summu. Šis apgalvojums ir viļņu superpozīcijas (pārklāšanās) princips. Saskaņā ar šo principu saskaita arī daļiņu kustības ātrumus un paātrinājumus.atsevišķos gadījumos iespējams novērot arī atkāpes no superpozīcijas principa, piemēram, intensīvos ultraskaņas viļņos, stipros lāzera laukos, u. c., kad to iedarbībā mainās vides fizikālās īpašības. Summēšanās rezultāts (rezultējošais vilnis) ir atkarīgs no krustojošos viļņu fāžu, svārstību periodu un amplitūdu attiecības. Lielu praktisku interesi izraisa gadījums, kad summējas divi vai vairāki viļņi, kuriem fāžu starpība laikā nemainās un ir vienādas svārstību frekvences. Tādus viļņus un svārstību avotus, kuri tos rada, sauc par koherentiem. Ja pārklājas koherenti viļņi, tad dažās vietās novērojama viļņu savstarpēja pastiprināšanās, bet citās pavājināšanās. Šī parādība ir viļņu interferenei Viļņu interference. Stāvviļņi Analizēsim divu pretēja virziena skrejviļņu interferenci, kurā rodas stāvviļņi. Var pieņemt, ka pa X asi pretējos virzienos izplatās divi nerimstoši viendimensionāli garenviļņi ar vienādu amplitūdu un frekvenci, pie tam koordinātu sākumpunktā abu viļņu svārstību fāzes laika momentā t = 0 ir vienādas ar nulli. Tad šo viļņu vienādojumi ir bet 1 Acos( t kx) un Acos( t kx), 1 A cos( t kx) cos( t kx) un tā kā cos cos cos cos, tad kxcos t Acos, (1.05) 1 Izteiksme (1.05) ir stāvviļņu vienādojums, no kura redzams, ka katrā stāvviļņa punktā svārstības notiek ar skrejviļņu frekvenci, savukārt svārstību amplitūda ir atkarīga no apskatāmā punkta koordinātes x. Tajos punktos, kuros A ST Acos kx (1.06) kx m un m = 0; 1; ;, reizinātājs cos(kx) = 1, un svārstību amplitūda ir A. Tie ir stāvviļņa blīzumi (1.36. att.). Par cik k, tad blīzumu koordinātes 8

9 xb m, t. i., attālums starp blakus esošiem blīzumiem ir vienāds ar skrejviļņa viļņa garuma pusi. kuros Savukārt tajos punktos, kx (m 1) un m = 1; ; 3;..., reizinātājs cos(kx) = 0, un svārstību amplitūda ir vienāda A O λ/4 λ/ X ar nulli. Tie ir stāvviļņa mezgli. To koordinātes ir x m m, bet attālums 4 blīzums att. mezgls starp blakus esošiem mezgliem ir, un starp mezglu un tuvāko blīzumu attālums ir ( att.). Ja vidē izplatās skrejvilnis, tad tajā visi punkti svārstās ar vienādām amplitūdām, bet dažādās fāzēs (atkarībā no koordinātes x). Ja izplatās stāvvilnis, tad visi punkti starp diviem blakus esošiem mezgliem svārstās vienā fāzē (reizinātājs cos(ωt) nesatur koordināti x), bet nākamajā posmā starp diviem blakus esošiem mezgliem svārstību fāze mainās par π, jo mainās reizinātāja cos(kx) zīme, tātad abās pusēs no mezgla svārstības notiek pretējos virzienos (1.36. att.). Skrejviļņa izplatīšanās virzienā tiek pārnesta enerģija. Savukārt, stāvviļņi rodas, pārklājoties diviem pretēja virziena, bet vienādas amplitūdas un frekvences skrejviļņiem, tāpēc enerģijas pārnese abos virzienos savstarpēji kompensējas, un stāvviļņa pilnā enerģija starp diviem mezgliem ir nemainīga. Šajā gadījumā tikai kinētiskā enerģija pāriet potenciālajā enerģijā, un otrādi. Stāvviļņus var iegūt, izmantojot skrejvilni un atstaroto vilni (piem., stīgā, auklā vai stienī). Mūzikas koncerta laikā stāvviļņi veidojas mūzikas instrumentu ierosinātajās stīgās Jēdziens par viļņu difrakciju Kā Heigensa principa izmantošanas piemēru aplūkosim gadījumu, kad plakans vilnis krīt uz šķērsli ar spraugu, kuras izmēri lielāki nekā viļņa garums (1.37. att.). Kad viļņu fronte ir 9

10 sasniegusi šķērsli, katrs spraugas punkts kļūst par sekundāro svārstību avotu. Konstruējot sekundāros viļņus (pussfēras frontes kustības virzienā) un novelkot apliecēju, iegūsim caur spraugu izgājušā viļņa fronti. Tā ir plakana tikai vidusdaļā, bet pie spraugas robežām viļņa fronte apliecas ap šķērsli. Šo parādību sauc par viļņu difrakciju. Difrakcijas izskaidrojums, izmantojot Heigensa principu, nav pilnīgs, jo tas nerada priekšstatu par dažādos virzienos aizejošo viļņu amplitūdām, un, attiecīgi par intensitātes sadalījumu viļņa frontē. Šo Heigensa principa trūkumu gadā izlaboja franču fiziķis O. Frenels, papildinot principu ar postulātu par sekundāro viļņu koherenci un interferenci: visi viļņa virsmas elementi ir koherenti un vienfāzi sekundāro viļņu avoti, tādēļ jebkurā punktā viļņu intensitāti var noteikt, aplūkojot tajā pienākošo sekundāro viļņu interferenci. Heigensa princips ar Freneļa papildinājumu nosaukts par Heigensa Freneļa principu. Tas ir ļoti efektīvs daudzu viļņu izplatīšanās att. uzdevumu risināšanā (plašāk par to lasiet 6. nodaļā Viļņu optika ) Viļņu enerģija Var analizēt plakanu garenvilni, kas izplatās X ass virzienā. Šāda viļņa vienādojums ir A cos( t kx ) 0. Ja izvēlas vides slāni ar laukumu S starp plaknēm x un daļiņām, kuru līdzsvara koordinātes ir x un x x, tad kādā laika momentā t x x, atbilst novirzes un, t. i., slāņa x absolūtā deformācija ir, bet vidējā relatīvā deformācija ir. Ja slāņa biezumu samazina x neierobežoti x 0, tad šādā robežgadījumā iegūst vides relatīvo deformāciju šķēlumā x d d laika momentā t, tātad. Un vides daļiņu svārstību ātrums ir. dx dt Mazā tilpumā ΔV (lai tā robežās daļiņu svārstību ātrumi un vides relatīvās deformācijas būtu visos punktos vienādas) vides daļiņu svārstību kinētisko enerģijau uzraksta W K mv d dt V, (1.07) 10

11 kur ρδv tilpumā ΔV esošo daļiņu masa (ρ vielas blīvums). Tā paša elastīgi deformētā slāņa potenciālā enerģija (saskaņā ar sakarību 1.88.) Viļņu pilnā mehāniskā enerģija W P k v d ( ) V. (1.08) dx W W K W P d dt d v dx V, (1.09) bet viļņu enerģijas blīvums Var iegūt W d d v. V dt dx (1.10) A sin ( t kx 0 ). (1.11) Formula (1.11) der arī plakaniem šķērsviļņiem. Dažādos telpas punktos katrā laika momentā enerģijas blīvums ir atšķirīgs, bet kādā noteiktā punktā tas laikā mainās pēc sinusa kvadrāta likuma. Par cik sinusa kvadrāta vidējā vērtība vienāda ar ½, tad enerģijas blīvuma vidējā vērtība 1 A. (1.1) Viļņu enerģijas plūsma Ja elastīgā vidē izplatās viļņi, tad tai piemīt papildu enerģija. Katrā vides punktā tā nonāk no svārstību avota ar viļņu palīdzību, t. i., viļņi pārnes enerģiju. To enerģiju, ko viļņi pārnes caur apskatāmo virsmu laika vienībā, sauc par viļņu enerģijas plūsmu P: Enerģijas plūsmas vienība SI sistēmā ir vats (W). dw P. (1.13) dt Dažādos telpas punktos viļņu enerģijas plūsmas koncentrācija var būt dažāda. Lai to raksturotu, katrā telpas punktā izmanto vektoru U, ko sauc par viļņu enerģijas plūsmas blīvumu. Ja var pieņemt, ka caur virsmu, kas perpendikulāra viļņu izplatīšanās virzienam, un kuras laukums ir ds, iet viļņu enerģijas plūsma dp, tad dp U, (1.14) ds 11

12 un tā vienība SI sistēmā ir vats uz kvadrātmetru (1 W/m ). Vektora U virziens sakrīt ar viļņa izplatīšanās virzienu. Var parādīt, ka Par cik U v, tad U v. (1.15) U v. (1.16) Tā kā pirmais šādu vektoru ieviesa krievu fiziķis N. Umovs ( ), tad šo vektoru sauc par Umova vektoru. Vektora U skaitliskā vērtība (modulis) dažādos telpas punktos ir dažāda, bet noteiktā telpas punktā tā mainās laikā, tāpat kā mainās enerģijas blīvums un tās vidējā vērtība U 1 v A v. (1.17) 1