Η ανατοµία ενός λανθασµένου ορισµού

Η ανατοµία ενός λανθασµένου ορισµού Όταν σε έναν ορισµό της Φυσικής εµπλέκεται ποσοτική σχέση, είναι πολύ πιο δύσκολο να δοθεί αυτός ο ορισµός, από ότι ένας αντίστοιχος ορισµός στα Μαθηµατικά Για πολλούς λόγους. Αποµονώνουµε έναν από τους λόγους, αυτόν που ιδιαίτερα προτιµάµε να τονίζουµε µε κάθε ευκαιρία: Κατά τον ορισµό ενός φυσικού µεγέθους ή µιας έννοιας της Φυσικής στην οποία εµπλέκεται µαθηµατική σχέση, πρέπει: Να εξασφαλίσουµε ότι η σχέση αυτή εξαντλεί όλη την αυστηρότητα η οποία θα α- παιτούνταν, αν ετίθετο και στα Μαθηµατικά, ικανοποιώντας όλα τα αξιώµατα, τις προτάσεις και τα θεωρήµατα της πανίσχυρης λογικής τους συνέπειας. Να φροντίσουµε ο ορισµός να µην έρθει σε σύγκρουση µε το εννοιολογικό και λεκτικό υλικό µε το οποίο προσπαθούµε να διαβάσουµε τη Φύση και συνεπώς να φροντίσουµε να µη δηµιουργηθούν αντιφάσεις και αδικαιολόγητοι (χωρίς δηλαδή καµιά αξία) περιορισµοί. Για παράδειγµα, ας επιχειρήσουµε να αναλύσουµε τον παρακάτω ορισµό και το συµπέρασµα µε το οποίο αξιοποιείται ο ορισµός: «Ένα υλικό σηµείο ισορροπεί ως προς ένα αδρανειακό σύστηµα αναφοράς, αν κάθε στιγµή η κινητική του κατάσταση παραµένει αναλλοίωτη ως προς το σύστηµα αυτό. Με βάση το ορισµό αυτόν προκύπτει ότι, αν για το υλικό σηµείο κάθε στιγµή ισχύει η σχέση F = 0, τότε αυτή αποτελεί την αναγκαία και ικανή συνθήκη για ισορροπία του υλικού ολ σηµείου...» Ο ορισµός είναι «Ένα υλικό σηµείο ισορροπεί ως προς ένα αδρανειακό σύστηµα αναφοράς, αν κάθε στιγµή η κινητική του κατάσταση παραµένει αναλλοίωτη ως προς το σύστηµα αυτό.» Το συµπέρασµα είναι «Με βάση το ορισµό αυτόν προκύπτει ότι, αν για το υλικό σηµείο κάθε στιγµή ισχύει η σχέση Fολ = 0, τότε αυτή αποτελεί την αναγκαία και ικανή συνθήκη για ισορροπία του σηµείου» Ο παραπάνω ορισµός δε παίρνει καθόλου υπόψη του το εννοιολογικό και λεκτικό υλικό µε το οποίο προσπαθούµε να διαβάσουµε τη Φύση και το οποίο έχουµε ήδη ορίσει, δοκιµάσει και χρησιµοποιήσει, κατά την προσπάθειά µας να δοµήσουµε µια ολόκληρη επιστήµη, την Φυσική. Έτσι αυτόµατα ο παραπάνω ορισµός περιορίζεται και ασφυκτιά, µε αποτέλεσµα την άµεση αχρήστευσή του και κατά συνέπεια την αυτοκατάρρευσή του. Ας επιχειρηµατολογήσουµε για όσα ισχυριζόµαστε. Πράγµατι, ο παραπάνω ορισµός: α) Αναφέρεται µόνο σε αδρανειακά συστήµατα, αποκλείοντας την έννοια της ισορροπίας από τα µη αδρανειακά συστήµατα ή υπονοώντας ότι γι αυτά τα συστήµατα θα πρέπει να δοθεί για την ισορροπία άλλος ορισµός. 1

Εµείς όµως ξέρουµε ότι και σε µη αδρανειακά συστήµατα (π.χ. σε µια διαστηµική αποικία που περιστρέφεται), µπορούµε να κάνουµε θαυµάσιες ασκήσεις ισορροπίας ακόµη και για µαθητές της Α διαστηµικής τάξης Λυκείου. β) Χρησιµοποιεί αόριστες, µη µαθηµατικοποιήσιµες εκφράσεις, τη στιγµή που φιλοδοξεί να µαθηµατικοποιήσει το συµπέρασµά του, να γράψει δηλαδή τελικά µια µαθηµατική σχέση την Fολ = 0. Πιο συγκεκριµένα χρησιµοποιεί την αόριστη έννοια κινητική κατάσταση, όταν πουθενά στη Σύγχρονη Φυσική δεν έχει ορισθεί τέτοια έννοια. Ενώ όµως δεν υπάρχει στη Φυσική σχέση που να ορίζει ως φυσικό µέγεθος την κινητική κατάσταση, στο συµπέρασµα του παραπάνω ορισµού η αόριστη αυτή έννοια συνδέεται µε τη δύναµη (λέει: δεν αλλάζει η κινητική κατάσταση άρα Fολ = 0 ). Αλήθεια πως γίνεται να συνδέουµε κάτι που δεν έχουµε ορίσει µε κάτι που έχουµε ορίσει; Αυτό θα οδηγήσει ή σε κατάρρευση των ορισµών ή σε πλήρη επαναπροσδιορισµό όλων των εννοιών. Συνδέοντας την δύναµη µε κάτι αόριστο η έννοια της δύναµης χάνει όλη τη µαθηµατική της αυστηρότητα και άρα την ισχύ της. γ) Περιέχει τη φράση «για κάθε στιγµή» που δηµιουργεί νέα ρευστότητα, µιας και ε- πιβάλλει στην έννοια της ισορροπίας την αιωνιότητα. δ) Εξαιρεί από την έννοια της ισορροπίας ολόκληρες κατηγορίες δυνάµεων: Εξαιρούνται οι χρονοεξαρτώµενες δυνάµεις, µιας και καθώς κυλά ο χρόνος, οι δυνάµεις αυτές αλλάζουν και µπορεί να αλλάξει µαζί τους άρδην όλη η κατάσταση και το υλικό σηµείο από ακίνητο να µπει σε κίνηση. Εξαιρούνται αρκετοί συνδυασµοί δυνάµεων που εξαρτώνται από την ταχύτητα µε δυνάµεις που είναι χωροεξαρτώµενες ή χρονοεξαρτώµενες ε) Κατηγοριοποιεί τις δυνάµεις, καθώς κάποιες από αυτές εµπλέκονται προνοµιακά και χωρίς λόγο στην έννοια της ισορροπίας και κάποιες σκανδαλωδώς αποκλείονται από αυτήν. Υπάρχουν δηλαδή δυνάµεις, που ενώ ελέγχουν κινήσεις και άρα εµπλέκονται καθοριστικά στο δεύτερο νόµο του Νεύτωνα, δεν ελέγχουν, δεν εµπλέκονται και συνεπώς απογυµνώνονται από την έννοια της ισορροπίας κάθε είδους. Τέτοια δύναµη είναι π.χ. η F =-bυ. Όµως ένας τέτοιος διαχωρισµός των δυνάµεων στη Φυσική, εµένα τουλάχιστον, δε µου είναι γνωστός. εν τον έχω πουθενά συναντήσει και µου φαίνεται αδύνατο να τον συναντήσω, γιατί θα δηµιουργεί σπατάλη και άρα αχρήστευση εννοιών. στ) ηµιουργεί θέσεις των οποίων τον χαρακτηρισµό ως θέσεις ισορροπίας καταργεί η κίνηση αυτή καθεαυτή και όχι οι δυνάµεις που την ελέγχουν. Έστω και αν οι δυνάµεις παραµείνουν ίδιες. Έτσι αρχίζει να απειλεί και δοκιµασµένους ορισµούς της Θεωρητικής Μηχανικής. (Αυτή την ιδέα την δανείστηκα από µια κουβέντα µε το ιονύση) Π.χ. Υλικό σηµείο που δέχεται µόνο δύναµη F=-Dx, µπορεί να παραµείνει ακίνητο στη θέση x=0 για πάντα, αρκεί στη θέση x=0 να τοποθετηθεί χωρίς αρχική ταχύτητα. Η θέση αυτή x=0 χαρακτηρίζεται ως θέση ευσταθούς ισορροπίας. Μια διαταραχή στο υλικό σηµείο θα το αναγκάσει να εκτελέσει απλή αρµονική ταλάντωση γύρω από το x=0. Βάσει όµως του ορισµού ισορροπίας που αναλύουµε, εφόσον δεν υπάρχει αναλλοίωτη «κινητική κατάσταση» δεν υπάρχει και θέση ισορροπίας. Κατά συνέπεια µόλις ξεκινήσει η ταλάντωση (ή αν δεν ξεκίνησε ποτέ αλλά πάντα υπήρχε), η θέση x=0 δεν 2

είναι πια θέση ισορροπίας, µιας και θα συµβαίνει συνεχώς αλλαγή κινητικής κατάστασης. εν είναι ούτε (σκέτης) ισορροπίας θέση, ούτε ευσταθούς ισορροπίας. Όµως όπως έγραψα και σε προηγούµενη ανάρτησή µου, σε συντηρητικά πεδία δυνάµεων (και µόνο σε αυτά) µια θέση χαρακτηρίζεται ως θέση ευσταθούς ισορροπίας, όταν στη θέση αυτή η U(x) παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο, όταν δηλαδή µια αρχική διαταραχή του υλικού σηµείου που βρίσκεται στη θέση x=0, θα το οδηγήσει σε φραγµένη κίνηση γύρω από τη θέση αυτή. Τι σηµαίνει αυτό; Από ορισµό, µια θέση (σε συντηρητικό πεδίο, όπως αυτό της απλής αρµονικής ταλάντωσης) είναι θέση ευσταθούς ισορροπίας όταν γύρω από αυτή τη θέση µπορεί να εξελιχτεί φραγµένη κίνηση. Ο ορισµός όµως που αναλύουµε προβλέπει ότι µόλις αρχίσει η κίνηση δεν έχουµε δικαίωµα να µιλάµε για θέση ισορροπίας. Με λίγα λόγια ο ορισµός «Ένα υλικό σηµείο ισορροπεί ως προς ένα αδρανειακό σύστηµα αναφοράς, αν κάθε στιγµή η κινητική του κατάσταση παραµένει αναλλοίωτη ως προς το σύστηµα αυτό» όχι µόνο είναι διάτρητος, αλλά καταργεί δοκιµασµένο, καθιερωµένο ορισµό της Θεωρητικής Φυσικής. Τελικά ο παραπάνω ορισµός µιλά για αδρανειακά συστήµατα µιλά για την αιωνιότητα χρησιµοποιεί µια έννοια (την κινητική κατάσταση) που δεν ορίζεται στη Φυσική. Όµως αποφεύγοντας να µιλήσει άµεσα για δυνάµεις και αφήνοντάς τα όλα τόσο ρευστά από άποψης Φυσικής, στο τέλος αυτοκαταργείται και καταρρέει στα πόδια της Θεωρητικής Μηχανικής που δοκίµασε να αλλάξει και να απειλήσει. Έρχοµαι τώρα σε πιο συγκεκριµένους προβληµατισµούς δίνοντας ένα παράδειγµα την ιδέα του οποίου δανείστηκα από το Γιάννη Κυριακόπουλο. Υλικό σηµείο ηρεµεί σε οριζόντιο επίπεδο που δεν είναι λείο. Ασκούµε στο σηµείο οριζόντια δύναµη F r που το µέτρο της αυξάνεται µε το χρόνο αρχίζοντας από το µηδέν (ασκούµε δηλαδή δύναµη χρονοεξαρτώµενη). Αρχικά το υλικό σηµείο θα είναι ακίνητο, αλλά καθώς περνά ο χρόνος κάποια στιγµή θα αρχίσει να κινείται. Αφού λοιπόν δεν ισχύει το «για κάθε χρονική στιγµή F ολ = 0», το ση- µείο δε µπορεί να θεωρηθεί ότι ισορρόπησε ποτέ, ούτε να θεωρηθεί ότι πρόκειται ποτέ να ισορροπήσει. Έτυχε στο υλικό σηµείο να µην ισχύσει το Fολ = 0, έστω και µια φορά στη ζωή του. Ο παραπάνω ορισµός λέει ότι ένα υλικό σηµείο ισορροπεί όταν η «κινητική του κατάσταση» παραµένει αναλλοίωτη κάθε στιγµή. Συνεπώς αν αλλάξει η «κινητική του κατάσταση», έστω και µια στιγµή, τότε το υλικό σηµείο δεν µπορεί να θεωρηθεί ότι ισορροπεί. Με δεδοµένο ότι στον ορισµό ισορροπίας που εξετάζουµε δε γίνεται καθόλου αναφορά στις δυνάµεις αλλά µόνο στο συµπέρασµα που «βγαίνει» από τον ορισµό, µπο- 3

ρούµε να πούµε ότι η παρουσία της έννοιας της δύναµης στον ορισµό της ισορροπίας δεν είναι απαραίτητη. Όσο και να φαίνεται εξεζητηµένο, αυτό µε τη σειρά του σηµαίνει, ότι αν όλα εκεί που ήταν ήσυχα γύρω από το υλικό σηµείο που ισορροπούσε φυσήξει ξαφνικά ένας αέρας, πέσει πάνω στο υλικό σηµείο ένας µετεωρίτης, αυξηθεί το πεδίο βαρύτητας ή συµβεί ό,τι άλλο φανταστούµε και το υλικό σηµείο αλλάξει κινητική κατάσταση, τότε µπορούµε άφοβα βάσει του ορισµού να πούµε ότι το σηµείο ποτέ δεν ισορροπούσε, γιατί ο ορισµός θέλει την κινητική κατάσταση αναλλοίωτη κάθε χρονική στιγµή, µέχρι την αιωνιότητα. Έτσι όµως µπορούµε να πούµε µε σιγουριά ότι κανένα υλικό σηµείο ποτέ δεν ισορρόπησε, ούτε πρόκειται ποτέ να ισορροπήσει, γιατί σίγουρα κάποια στιγµή στη «ζωή του» κουνήθηκε ή θα κουνηθεί από τη θέση του. Στο συµπέρασµα που ακολουθεί τον ορισµό τα πράµατα γίνονται ακόµη χειρότερα. Εισάγεται µια αναγκαία και ικανή συνθήκη από το πουθενά, µε δυνάµεις που δεν καθορίζεται ούτε ποιες είναι, ούτε ποια µορφή έχουν, ούτε πως συνδέονται µε την «κινητική κατάσταση», ούτε αν µεταβάλλονται ή όχι. Ας δούµε την Αναγκαία και Ικανή συνθήκη που προκύπτει(;) από τον ορισµό Κάθε στιγµή F = 0 Ισορροπία υλικού σηµείου ολ Άρα είτε προστίθενται είτε αφαιρούνται δυναµεις, είτε αυξάνουν ή ελαττώνονται τα µέτρα τους, είτε αλλάζουν ή δεν αλλάζουν όλα τα χαρακτηριστικά τους, εφόσον ισχύει Fολ = 0 τότε το υλικό σηµείο ισορροπεί. Αν όµως έστω και για µια στιγµή πάψει να ισχύει το Fολ = 0 τότε το σηµείο δεν ισορροπεί. Και το χειρότερο δεν δικαιούµαστε να πούµε ότι ισορρόπησε ποτέ γιατί δεν θα ισχύει το κάθε (χρονική) στιγµή. Εποµένως η κατάργηση του Fολ = 0έστω και για µια στιγµή µας στέρησε τη δυνατότητα να πούµε ότι το σηµείο ισορρόπησε κάποτε, καθώς µας αφαίρεσε και το δικαίωµα να πούµε ότι το σηµείο θα ισορροπήσει κάποτε. ηλαδή ένα σηµείο βάσει του ορισµού της έννοιας της ισορροπίας που αναλύουµε ή είναι καταδικασµένο να ισορροπεί στην αιωνιότητα ή να µην ισορροπεί ποτέ. Μια και µόνο στιγµή δηλαδή µπορεί να καθορίσει ένα χαρακτηρισµό. Γαντζωµένοι στον λανθασµένο ορισµό µας Μήπως αν ξεφεύγαµε από αυτό το «κάθε χρονική στιγµή» και το περιορίζαµε στο «σε ένα χρονικό διάστηµα» θα ήταν πιο αισιόδοξα τα πράµατα για την τύχη του ορισµού; Μήπως δηλαδή θα ήταν πιο σωστό να θέταµε ως συµπέρασµα του ορισµού την παρακάτω Αναγκαία και Ικανή συνθήκη; Υπάρχει χρονικό διάστηµα που Fολ = 0 Ισορροπία υλικού σηµείου σε αυτό το χρονικό διάστηµα Ας µη ξεχνάµε ότι ακόµη και ένα τέτοιο συµπέρασµα, µε µια τέτοια αναγκαία και ικανή συνθήκη, δεν παύει να είναι πάλι συµπέρασµα και όχι ορισµός. Συνεπώς δε µπορεί να γλιτώσει το ορισµό από όλα εκείνα τα τρωτά που προαναφέραµε και που δεν συνδέονται µε το χρόνο. Π.χ. ε γλιτώνει τον ορισµό από το να έχει µέσα του τη ρευστή φράση «κινητική κατάσταση», δε τον γλιτώνει από το ότι κάνει νύξη µόνο για αδρανειακά συστήµατα, δεν τον γλιτώ- 4

νει από το ότι δεν αναφέρεται καθόλου σε δυνάµεις αφήνοντας την έννοια της δύναµης συνδεµένη µε κάτι που ποτέ δεν ορίστηκε κ.λ.π. Μιλώντας λοιπόν για χρονικό διάστηµα, ενώ δε λύνεται κανένα από τα προηγούµενα προβλήµατα, δηµιουργείται καινούριο ερώτηµα: Πόσο είναι αυτό το χρονικό διάστηµα; Μπορεί να γίνει οσονδήποτε µικρό ή πρέπει να του δώσουµε µια τιµή; Αν δώσουµε τιµή στο χρονικό διάστηµα, θα πρέπει να εξηγήσουµε το λόγο που επιλέξαµε αυτή την τιµή, αλλιώς θα είναι κάτι τελείως αυθαίρετο, περιοριστικό χωρίς λόγο και πολλά είδη δυνάµεων θα αρχίσουν πάλι να εξαιρούνται. Ακολουθώντας τον ίδιο προβληµατισµό όπως και παραπάνω, θα µπορούσαµε να βρούµε µια χρονοεξαρτώµενη δύναµη που θα έβαζε σε κίνηση το υλικό σηµείο πολύ πριν λήξει το «χρονικό διάστηµα» που δώσαµε ως τιµή στην έννοια της ισορροπίας. Οπότε θα µπορούµε πάλι να λέµε ότι ποτέ δεν ισορρόπησε το υλικό σηµείο, έστω και αν το βλέπαµε ακίνητο για χρονικό διάστηµα λίγο µικρότερο από αυτό που ορίσαµε. Εκτός και αν πούµε ότι παρόλο που βλέπουµε το υλικό σηµείο τελείως ακίνητο, εµείς δε δικαιούµαστε να ορίσουµε την έννοια της ισορροπίας, γιατί εµπλέκεται χρονοεξαρτώµενη δύναµη. Πολύ περιοριστικό για ορισµό ισορροπίας. Αν δε δώσουµε τιµή στο χρονικό διάστηµα, µπορούµε οριακά να φτάσουµε από το χρονικό διάστηµα στη χρονική στιγµή, οπότε δε χρειαζότανε καθόλου η εµπλοκή του χρόνου ούτε στον ορισµό, ούτε στο συµπέρασµα, µιας και µπορούµε να µιλάµε από µια αιωνιότητα µέχρι µια χρονική στιγµή. Και άλλα ολισθήµατα Η αποµάκρυνση από την απαιτούµενη αυστηρότητα ενός ορισµού, µπορεί να δηµιουργήσει και άλλα ολισθήµατα, όπως για παράδειγµα να ονοµάσουµε κάποιες θέσεις όπου στιγµιαία ισχύει Fολ = 0 «ψευδοθέσεις ισορροπίας». Η δυσανασχέτηση µας σε τέτοια ακούσµατα θα είναι χειρότερη τώρα. Τι σηµαίνει ψευδοθέση; Μήπως ψεύτικη θέση; Θέση που δεν ισχύει ο ορισµός της θέσης; Μήπως θα έπρεπε να τις πούµε «θέσεις ψευδοϊσορροπίας»; Αλλά τότε τι θα σήµαινε ψεύτικη ισορροπία; Γιατί είναι ψεύτικη; Ποιος την κάνει να είναι ψεύτικη; Η σχέση Fολ = 0 πάντως όχι. Άρα η χρονική διάρκεια. ηλαδή η χρονική διάρκεια αποφασίζει για τις σχέσεις των δυνάµεων και τους χαρακτηρισµούς καταστάσεων; Τότε µήπως και στις άλλες σχέσεις δυνάµεων και στους ορισµούς θα πρέπει να βάλουµε τη χρονική διάρκεια ως προαπαιτούµενο; Συµπέρασµα γενικό: εν παίζουµε µε τους ορισµούς για να φτιάχνουµε δικά µας γινάτια. Και το κυριότερο δεν προκαλούµε µε στάση αυθεντίας γενιές ανθρώπων που καταστάλαξαν σε δοκιµασµένους ο- ρισµούς και συναδέλφους που αγωνιούν να κάνουν τη διδασκαλία της Φυσικής πιο διάφανη, όχι καταργώντας τη, αλλά εντοπίζοντας προβλήµατα και παλεύοντας για να τα ξεπεράσουν. Ισορροπία είναι ισορροπία δυνάµεων πρώτα από όλα. ηλαδή είναι F = 0 ολ. Και αυτό µπορεί να εφαρµοστεί είτε για µια στιγµή, είτε για µια αιωνιότητα, είτε για αδρανειακό σύστηµα είτε όχι, είτε γι αυτή τη δύναµη είτε για κείνη. Αν θελήσουµε να αναφερθούµε σε ειδικές περιπτώσεις ισορροπίας, τότε δίνουµε στην ι- σορροπία ένα ειδικό όνοµα. Για παράδειγµα: 5

Σε πεδία δυνάµεων συντηρητικά και µόνο σε αυτά ισχύουν οι έννοιες ευσταθής, ασταθής και αδιάφορη ισορροπία Αν οι δυνάµεις είναι σταθερές µπορούµε να µιλάµε για στατική ισορροπία Αν η σχέση F ολ = 0 ισχύει για κάποιο χρονικό διάστηµα, τότε µπορούµε να πούµε ότι το υλικό σηµείο ισορροπεί κατά τη διάρκεια αυτού του χρονικού διαστήµατος. Αν η σχέση F ολ = 0 ισχύει µόνο για µια χρονική στιγµή, µπορούµε να µιλάµε για θέση ισορροπίας (δυνάµεων) κ.λ.π. Επιγραµµατικά, η ισορροπία υλικού σηµείου ως έννοια, πρέπει να συνδέεται άµεσα µε µηδενισµό των αιτίων που προκαλούν µεταβολές στην ταχύτητα του σηµείου, δηλαδή µε τις δυνάµεις. Και αυτό µπορεί να είναι υπόθεση µιας στιγµής ή µιας αιωνιότητας. Η ισορροπία αν θέλουµε να είναι κάτι αυστηρό και καλά ορισµένο πρέπει να συνδεθεί µε κάτι αυστηρό και καλά ορισµένο. Αλλιώς θα µιλάµε διαλέκτους, αλλά όχι γλώσσα. Μετά από όλα αυτά, ποια θα είναι τα µαθηµατικά περιθώρια του ορισµού που αναλύσαµε και του συµπεράσµατος που παράγει; Μαθηµατική ανάλυση του ορισµού και του συµπεράσµατος Ο ορισµός δεν περιέχει καµιά µαθηµατική σχέση. Άρα ο ορισµός δεν αφορά τον µαθηµατικό για τον οποίο τα πράµατα γίνονται απελπιστικά εύκολα, µιας και ο µαθηµατικός περιορίζεται να εξετάσει µόνο το συµπέρασµα. Το συµπέρασµα λοιπόν: Περιέχει µια µαθηµατική σχέση Fολ = 0 η οποία ως διανυσµατική γραφή αντέχει στις µαθηµατικές δοκιµασίες. Περιέχει έναν µαθηµατικό περιορισµό κάθε (χρονική) στιγµή, ο οποίος µπορεί να τεθεί, µιας και ο µαθηµατικός δεν έχει λόγους να αντιδράσει αν δεν του τορπιλίζεται η σχέση Fολ = 0 Επιµέρους συµπεράσµατα: Για το ίδιο θέµα ένας µαθηµατικός πάντα θα είναι πιο γρήγορα χαρούµενος από έναν φυσικό. Όταν δώσουµε έναν ορισµό πρέπει ή να έχει προοπτικές ή να προσδιορίσουµε την ισχύ του και άρα τους λόγους που τον χρειαζόµαστε. Αλλιώς τι να τον κάνουµε; Θέσεις ισορροπίας είναι οι θέσεις που ισορροπούν (εξουδετερώνονται) οι δυνά- µεις, δεν υπάρχει επιτάχυνση, δεν αλλάζει η ταχύτητα, µηδενίζονται οι ρυθµοί µεταβολής κινητικής ενέργειας, αποκτά ακρότατο το µέτρο της ταχύτητας κ.λ.π. Υπάρχει η θέση ισορροπίας στην απλή αρµονική ταλάντωση. Γιατί βαλθήκαµε να τη χαλάσουµε και να συνδέσουµε τον ορισµό της µε ασάφειες; Μετά από αυτά το µόνο που µου µένει είναι να συµφωνήσω απόλυτα µε την ανάρτηση του Θοδωρή Παπασγουρίδη περί ισορροπίας, και να ευχαριστήσω τους συναδέλφους που συµ- µετέχουν στο διάλογο γιατί µε τις θέσεις και τους προβληµατισµούς τους, µου έδωσαν αφορ- µή και ιδέες όχι µόνο γι αυτή µου την τοποθέτηση, αλλά και για την προηγούµενη. Τρίτη 5-1-2010 Θρασύβουλος Κων. Μαχαίρας Φυσικός Άγιος Βλάσιος Πηλίου 6