Δ.Φουσκάκης- Πολυδιάστατες Τυχαίες Μεταβλητές 1 ΠΟΛΥΔΙΑΣΤΑΤΕΣ ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ Συνάρτηση Κατανομής: Έστω Χ=(Χ 1,,Χ ) T τυχαίο διάνυσμα (τ.δ). Ονομάζουμε συνάρτηση κατανομής πιθανότητας (σ.κ.π.) του τ.δ. Χ την: F(x) = P(X 1 x 1,, X x ), x=(x 1,,x ) Ιδιότητες: 1. 0 F(x) 1, x.. Η F είναι μη φθίνουσα και δεξιά συνεχής ως προς κάθε μεταβλητή. 3. lim F(x) = 0 (i =1, ), F(+,,+)=1. xi P (α < X β ) = F(β, β,..., β ) F(α, β..., β )... F(β, β.., β, α ) + i=1 4. i i i 1 1 1-1 +F(α 1, α, β 3,..., β )+...+F(β 1, β,..., β -, α -1, α )-...+(-1) F(α 1, α,..., α ) 0. Διακριτά Τυχαία Διανύσματα: Ένα τ.δ. Χ=(Χ 1,,Χ ) T καλείται διακριτό αν παίρνει με πιθανότητα 1 πεπερασμένο ή αριθμήσιμο σύνολο τιμών {x 0, x 1,.} δηλαδή: P(X {x 0, x 1,.}) = P(X=xk) = k=0 P(X 1=x k,, X= x k ) = 1. 1 k=0 Η συνάρτηση f(x k ) = P(X=x k ), k=0,1,. καλείται συνάρτηση μάζας πιθανότητας (σ.μ.π.) του τ.δ. Χ ή από κοινού σ.μ.π. των τ.μ. Χ 1,,Χ και έχει τις ακόλουθες ιδιότητες:
Δ.Φουσκάκης- Πολυδιάστατες Τυχαίες Μεταβλητές 1. f(x k ) 0, k=0,1,,. f(xk) = 1. κ = 0 Η περιθώρια συνάρτηση πιθανότητας μιας εκ των συνιστωσών του τ.δ. Χ, έστω X i, δίνεται αθροίζοντας τις πιθανότητες για όλες τις δυνατές τιμές των άλλων συνιστωσών. f (x k ) = P(Xi=x ) = X i i k i k=0 1 k =0 i-1 P(X 1=x k,, Xi=x k,, X= 1 i i+1 k =0 k =0 x k ). Τέλος οι τ.μ. Χ 1,, Χ καλούνται ανεξάρτητες όταν: f(x k ) = P(X=x k ) = f X (x k ), x {x i i 0, x 1,.}. i=1 Συνεχή Τυχαία Διανύσματα: Ένα τ.δ. Χ=(Χ 1,,Χ ) T καλείται συνεχές αν υπάρχει πραγματική συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το : 1. f(x) 0 x.. f(x)dx = 1. και y,..., y με y < y, i = 1,.., 1 : 1 i i+ 1 y y P(y X y, y X y,..., y X y )... f (x,..., x )dx...dx. < < < = 1 1 3 4 1 1 1 y1 y 1 Η συνάρτηση f καλείται συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας (σ.π.π.) του τ.δ. Χ ή από κοινού σ.π.π. των τ.μ. Χ 1,,Χ. Ισχύουν οι εξής σχέσεις:
Δ.Φουσκάκης- Πολυδιάστατες Τυχαίες Μεταβλητές 3 F(x) = P(X 1 x 1,, X x ) = x 1 x f(y)dy, x F(x 1,..,x ) f(x)=, όπου η μικτή παράγωγος υπάρχει. x x 1 Η περιθώρια συνάρτηση πιθανότητας μιας εκ των συνιστωσών του τ.δ. Χ, έστω της X i, δίνεται ολοκληρώνοντας την σ.π.π. για όλες τις δυνατές τιμές των άλλων συνιστωσών. + f X (x)= i f(x)dx 1 dx. dx i-1 dx i+1 dx + + Τέλος οι τ.μ Χ 1,, Χ καλούνται ανεξάρτητες όταν: f(x) = f X (x), x. i i=1 Δεσμευμένες Κατανομές: A) Έστω Χ, Υ διακριτές τ.μ. με από κοινού συνάρτηση πιθανότητας f(x i, y j ), i, j=0, 1, Ορίζουμε την δεσμευμένη σ.π.π. μιας διακριτής τ.μ. X, όταν γνωρίζουμε ότι η τ.μ. Υ έχει την τιμή y j, j=0, 1,.. ως: f X Y (x i y j ) = f(x,y ) i j f Y(y j), όπου f (y ) είναι η περιθώρια συνάρτηση πιθανότητας της τ.μ. Y. Y j B) Έστω Χ, Υ συνεχείς τ.μ. με από κοινού συνάρτηση πιθανότητας f(x, y), x, y. Ορίζουμε την δεσμευμένη σ.π.π. μιας διακριτής τ.μ. X, όταν γνωρίζουμε ότι η τ.μ. Υ έχει την τιμή y ως:
Δ.Φουσκάκης- Πολυδιάστατες Τυχαίες Μεταβλητές 4 f X Y (x y) = f(x,y) f (y), Y όπου f Y (y) είναι η περιθώρια συνάρτηση πιθανότητας της Y. Παρατήρηση: Έστω το τ.δ. (Χ,Υ) Τ ακολουθεί τη διμεταβλητή Κανονική, δηλαδή: (x μx) (x μx)(y μy) (y μy) ρ + 1 1 σx σxσy σ Y exp πσ (1 ρ ) XσY f(x,y) = 1 p. Τότε η περιθώρια σ.π.π. της τ.μ. X είναι η N(μ X, σ X ) και η περιθώρια σ.π.π. της τ.μ. Y, είναι η N(μY, σ Y ). Επιπρόσθετα η δεσμευμένη σ.π.π. της τ.μ. X, όταν γνωρίζουμε ότι η τ.μ. Υ έχει την τιμή y, είναι η N(μ X +ρ(y-μ Y )σ X /σ Y, ), ενώ η δεσμευμένη σ.π.π. της Y, όταν γνωρίζουμε ότι η τ.μ. X έχει την τιμή x, είναι η N(μY+ρ(x-μ X )σ Y /σ X, σ Y ). σ X Παράμετροι κατανομής Πολυδιάστατων τ.μ. 1 : Α) Έστω Χ, Υ διακριτές τ.μ. με από κοινού συνάρτηση πιθανότητας f(x i, y j ), i, j=0,1, Αν z=g(x,y) είναι μια συνεχής συνάρτηση, τότε η μέση τιμή της τ.μ. Ζ=g(X,Y) δίνεται: E(Z) = g(x i, y i ) f(x i, y i ), j=0 i=0 με την προϋπόθεση ότι η διπλή σειρά συγκλίνει απολύτως. Β) Έστω Χ, Υ συνεχείς τ.μ. με από κοινού συνάρτηση πιθανότητας f(x,y), x, y. Αν z=g(x, y) είναι μια πραγματική συνάρτηση, τότε η μέση τιμή της τ.μ. Z=g(X,Y) δίνεται: E(Z) = g(x, y) f(x, y) dxdy, με την προϋπόθεση ότι το διπλό ολοκλήρωμα συγκλίνει απολύτως.
Δ.Φουσκάκης- Πολυδιάστατες Τυχαίες Μεταβλητές 5 Θεώρημα: Έστω Χ, Υ ανεξάρτητες τ.μ. με πεπερασμένες μέσες τιμές E(X), E(Y). Τότε Ε(ΧΥ)=Ε(Χ)Ε(Υ). Έστω X, Y τ.μ. με πεπερασμένες μέσες τιμές μ Χ =E(X), μ Υ =Ε(Υ). Ορίζουμε ως συνδιακύμανση των X, Y την ποσότητα: Cov(X, Y) = E{(X- μ Χ )(Y- μ Υ )}, εφόσον υπάρχει η τελευταία μέση τιμή. Ιδιότητες: Cov(X, c)=0, με c σταθερά, Cov(X, Y)=Cov(Y, X), Cov(X+Y, Z)=Cov(X, Z)+Cov(Y, Z), Cov(αΧ+β, γy+δ)=αγcov(x, Y), με α, γ, Cov(X, Χ)=V(X). Πρόταση: Αν η Cov(X, Y) είναι πεπερασμένη τότε: Cov(X, Y)=Ε(ΧΥ)-Ε(Χ)Ε(Υ). Όταν Cov(X, Y)=0 οι X, Y καλούνται ασυσχέτιστες. Άμεση συνέπεια της παραπάνω πρότασης είναι ότι αν X, Y ανεξάρτητες τότε X, Y ασυσχέτιστες. Το αντίστροφο δεν ισχύει πάντα. Θεώρημα: Αν οι X, Y έχουν από κοινού σ.π.π. τη διμεταβλητή Κανονική και είναι ασυσχέτιστες, τότε είναι και ανεξάρτητες. Θεώρημα: Έστω Χ, Υ τ.μ. με E(X ), E(Y ) <. Τότε: 1 Όλα τα παρακάτω που θα δώσουμε για διδιάστατες τ.μ. επεκτείνονται σε -διάστατες τ.μ.
Δ.Φουσκάκης- Πολυδιάστατες Τυχαίες Μεταβλητές 6 και γενικότερα: V(X+Y) = V(X)+V(Y)+Cov(X, Y), V(αX+βY) = α V(X)+β V(Y)+αβCov(X, Y), με α, β. Αν Χ,Υ ασυσχέτιστες τότε: V(X±Y)=V(X)+V(Y). Αν Χ,Υ τ.μ. με πεπερασμένες διασπορές τότε ορίζουμε ως συντελεστή συσχέτισης αυτών την ποσότητα: Ιδιότητες: ρ(x,y)= Cov(X,Y) V(X)V(Y). -1 ρ 1 (όταν ρ<0 οι X,Y καλούνται αρνητικά συσχετισμένες, όταν ρ>0 οι X,Y καλούνται θετικά συσχετισμένες, ενώ όταν ρ=0 οι X,Y είναι ασυσχέτιστες), ρ(x,x)=1, ρ(αx+β,γy+δ)= { ρ(x,y), αν αγ>0, με α,β,γ,δ : αγ 0. -ρ(x,y), αν αγ<0 Δεσμευμένη Μέση Τιμή και Δεσμευμένη Διασπορά: Α) Έστω Χ, Υ διακριτές τ.μ. και f X Y (x i y j ), i=0,1, η δεσμευμένη συνάρτηση πιθανότητας της X δεδομένου ότι Y=y j, j=0,1.τότε η δεσμευμένη μέση τιμή της X δεδομένου ότι Y=y j ορίζεται από την σχέση: μ X Y (y j )=E(X Y=y j )= x if X Y (x i y j ), i=0 με την προϋπόθεση ότι η σειρά συγκλίνει απολύτως. Όμοια ορίζουμε την μ Y X (x i ). Περαιτέρω αν z=g(x,y) μια συνεχής συνάρτηση, τότε η δεσμευμένη μέση τιμή της διακριτής τ.μ. Z=g(X,Y) δεδομένου ότι Y=y j δίδεται από την σχέση: μ Ζ Υ (y j )=E(Z Υ=y j )= g(x i,y j )f X Y (x i y i ), i=0
Δ.Φουσκάκης- Πολυδιάστατες Τυχαίες Μεταβλητές 7 με την προϋπόθεση ότι η σειρά συγκλίνει απολύτως. Με την προϋπόθεση ότι υπάρχει η δεσμευμένη μέση τιμή, ορίζουμε την δεσμευμένη διασπορά της τ.μ. X δεδομένου ότι Y=y j ως: σ X Y (y j )=V(X Υ=y j )=E{[X- μ X/Y (y j )] y j }, με την περαιτέρω προϋπόθεση ότι υπάρχει η μέση τιμή στο δεξιό μέλος. Όμοια ορίζουμε την σ (xi). Y X Β) Έστω Χ, Υ συνεχείς τ.μ. και f X Y (x y) η δεσμευμένη συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της X δεδομένου ότι Y=y. Τότε η δεσμευμένη μέση τιμή της X δεδομένου ότι Y=y ορίζεται από την σχέση: μ X Y (y)=e(x Υ=y)= xf X Y (x y)dx, με την προϋπόθεση ότι το ολοκλήρωμα συγκλίνει απολύτως. Όμοια ορίζουμε την μ Y X (x). Περαιτέρω αν z=g(x,y) μια πραγματική συνάρτηση, τότε η δεσμευμένη μέση τιμή της συνεχούς τ.μ. Z=g(X,Y) δεδομένου ότι Y=y δίδεται από την σχέση: μ Ζ Υ (y)=e(z Υ=y)= g(x,y)f X Y (x y)dx, με την προϋπόθεση ότι το ολοκλήρωμα συγκλίνει απολύτως. Με την προϋπόθεση ότι υπάρχει η δεσμευμένη μέση τιμή, ορίζουμε την δεσμευμένη διασπορά της X δεδομένου ότι Y=y ως: σ X Y (y)=v(x y)=e{[x- μ X/Y (y)] Υ=y}, με την περαιτέρω προϋπόθεση ότι υπάρχει η μέση τιμή στο δεξιό μέλος. Όμοια ορίζουμε την σ Y X (x). Η καμπύλη με εξίσωση y= μ Y X (x) καλείται καμπύλη παλινδρόμησης της Y στην X. Παρατήρηση: Παρατηρούμε ότι η δεσμευμένη μέση τιμή, π.χ. μ X Y είναι σύμφωνα με τους παραπάνω ορισμούς πραγματική συνάρτηση. Για την διακριτή περίπτωση π.χ. η συνάρτηση αυτή ορίζεται για κάθε y = y j, j=0,1. και εκχωρεί στο σημείο y j τον πραγματικό αριθμό μ X Y (y j )=E(X Y=y j ). Έτσι η W = E(X Y) είναι μία διακριτή τ.μ. η οποία παίρνει τις τιμές μ X Y (y j ). Γενικότερα η μ Ζ Υ (y j ) = E(Z Υ=y j ) = E(g(X,Y) Υ=y j ) είναι μια πραγματική συνάρτηση οριζόμενη για κάθε y = y j, j=0,1.,
Δ.Φουσκάκης- Πολυδιάστατες Τυχαίες Μεταβλητές 8 ενώ η W = E(g(X,Y) Y) είναι μία διακριτή τ.μ. η οποία παίρνει τις τιμές μ Z Y (y j ). Ανάλογα συμπέρασμα προκύπτουν και στην συνεχή περίπτωση, καθώς επίσης και για την δεσμευμένη διασπορά. Θεώρημα: Έστω Χ, Υ τ.μ. με E(X ) <. Τότε: και E(X)=E[E(X Y)] V(X)=E[V(X Y)]+V[E(X Y)]. Ιδιότητες: 1) Ε(α 1 Χ 1 + α Χ Y) = α 1 Ε(Χ 1 Υ) + α Ε(Χ Υ), α 1, α. ) Αν Χ = h(y) τότε Ε(Χ Υ) = Χ. 3) Αν Χ, Υ ανεξάρτητες τ.μ. τότε Ε(Χ Υ) = Ε(Χ).