ΚΕΦΑΛΑΙΑ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΓΕΩΔΑΙΣΙΑΣ

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Σχολή Αγρονόμων και Τοπογράφων Μηχανικών Τομέας Τοπογραφίας Εργαστήριο Ανώτερης Γεωδαισίας ΚΕΦΑΛΑΙΑ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΓΕΩΔΑΙΣΙΑΣ Γ. ΒΕΗΣ Χ. ΜΠΙΛΛΗΡΗΣ Κ. ΠΑΠΑΖΗΣΗ Αθήνα 009

Αναβάθμιση Σημειώσεων που παράγονται στην Εκτυπωτική Μονάδα του ΕΜΠ Υποέργο: Ενίσχυση του Εκδοτικού Μηχανισμού του ΕΜΠ Έργο: Αναμόρφωση των Προπτυχιακών Προγραμμάτων Σπουδών ΕΜΠ, ΕΠΕΑΕΚ ΙΙ Ψηφιακή Επεξεργασία: Δρ. Μαρία Πηγάκη Γλωσσική Επιμέλεια: Καρολίνα Τακτικού, Φιλόλογος Μάρτιος 005 Συγκλητική Επιτροπή Πανεπιστημιακών Συγγραμμάτων και Εκδόσεων 005 Απαγορεύεται η με κάθε τρόπο δημοσίευση, αναπαραγωγή ή χρησιμοποίηση του κειμένου ή τμημάτων του χωρίς την έγγραφη έγκριση των συγγραφέων.

Οι Σημειώσεις αυτές, αποτελούν αναθεωρημένη και εμπλουτισμένη έκδοση παλαιότερων Σημειώσεων Ανώτερης Γεωδαισίας μέχρι το 005, διαδικασία η οποία συνεχίζεται μέχρι σήμερα με τίτλο Κεφάλαια Ανώτερης Γεωδαισίας και αποτελούνται από 7 Κεφάλαι και 3 Παραρτήματα. Ευχαριστούμε τους ΙΔΑΧ της ΣΑΤΜ Δρ. Μ. Πηγάκη, Δρ. Α. Καραμάνου και ΥΔ Ε. Ζαχαρή για τη βοήθειά τους στην επιμέλεια των Σημειώσεων. Αθήνα, Ιούλιος 011 Οι Συγγραφείς

1 Εισαγωγή

1 1. Εισαγωγή Η Γεωδαισία (Γη+Δαίω=μοιράζω) είναι η επιστήμη που ασχολείται με το σχήμα, το μέγεθος και το πεδίο βαρύτητας της Γης, με τις μεταβολές τους στο χρόνο, καθώς και με την αποτύπωση τμημάτων της επιφάνειάς της με όλα τα φυσικά ή/και τεχνικά χαρακτηριστικά της. Ως σχήμα της Γης στην περίπτωση αυτή θεωρείται το σχήμα του γεωειδούς, που ορίζεται ως η ισοδυναμική επιφάνεια του γήινου πεδίου βαρύτητας η οποία προσαρμόζεται καλύτερα στη μέση στάθμη των θαλασσών. Κατ επέκταση, καλύπτει σε ό,τι αφορά αυτούς τους γνωστικούς τομείς και τη Σελήνη και τους άλλους πλανήτες. Από τον ορισμό φαίνεται ότι η Γεωδαισία σχετίζεται άμεσα με την Αστρονομία και τη Γεωφυσική, καθώς και με την Χαρτογραφία, επιστήμες με τις οποίες έχει αρκετές επικαλύψεις. Ως επιστήμη η Γεωδαισία άρχισε να αναπτύσσεται κατά τον 17 ο αιώνα από Ευρωπαίους αστρονόμους, μαθηματικούς και φυσικούς. Οι μεγάλες εξελίξεις της γεωδαισίας σημειώθηκαν μετά το 1950, ύστερα από την τεχνολογική εξέλιξη των μικροκυμάτων και της ηλεκτρονικής, που επέτρεψε την κατασκευή νέων οργάνων για εύκολη και ακριβή μέτρηση αποστάσεων και την ανάπτυξη των ηλεκτρονικών υπολογιστών, που βοήθησαν την εκτέλεση μεγάλων και πολύπλοκων υπολογισμών. Σημαντική ώθηση στην επιστήμη της γεωδαισίας έδωσε η εκτόξευση τεχνητών δορυφόρων και η εφαρμογή της τεχνολογίας GPS που χρησιμοποιήθηκαν ως νέα γεωδαιτικά εργαλεία με νέες μεθοδολογίες και οδήγησαν σε τέτοιες εξελίξεις, ώστε να επικρατήσουν των κλασσικών μεθόδων και να δώσουν νέες δυνατότητες για την εξυπηρέτηση των στόχων της Γεωδαισίας. Για να επιτύχει τους σκοπούς της η Γεωδαισία στηρίζεται σε παρατηρήσεις και μετρήσεις που αναφέρονται κυρίως σε αποστάσεις, γωνίες, υψομετρικές διαφορές, ένταση και διεύθυνση της βαρύτητας. Δεδομένου ότι όλες οι μετρήσεις (εκτός της βαρύτητας) υλοποιούνται με τη χρήση Η/Μ κυμάτων και γίνονται πάνω στη Φυσική Γήινη Επιφάνεια και μέσα στην ατμόσφαιρα,

δέχονται τις επιδράσεις τόσο του πεδίου βαρύτητας της γης (γωνίες, υψομετρικές διαφορές) όσο και της ατμόσφαιρας (γωνίες, αποστάσεις). Χρειάζονται επομένως αναγωγές. Η κλασική Γεωδαισία χρησιμοποιεί τις μετρήσεις αυτές για να προσδιορίσει τις θέσεις ενός μεγάλου αριθμού σημείων (τριγωνομετρικά σημεία) χωρίζοντας τη γεωδαιτική διαδικασία, τόσο των μετρήσεων όσο και των υπολογισμών, σε οριζοντιογραφία και υψομετρία. Οι μέθοδοι που ακολουθούνται στην οριζοντιογραφία είναι του τριγωνισμού ή/και του τριπλευρισμού, ενώ στην υψομετρία της χωροστάθμησης. Αντίστοιχα υλοποιούνται δίκτυα οριζοντίου (γεωδαιτικά) ή κατακορύφου (χωροσταθμικά) ελέγχου με τελικό σκοπό την ίδρυση ενός Γεωδαιτικού Συστήματος Αναφοράς. Ο προσδιορισμός των συντεταγμένων των βασικών σημείων (τριγωνομετρικών), αποτελεί την κύρια πρακτική εφαρμογή της Γεωδαισίας και γίνεται με ευθύνη κρατικών υπηρεσιών. Οι θέσεις των σημείων προσδιορίζονται με σύνδεσή τους μέσω μετρήσεων, με τα βασικά σημεία και εκφράζονται και αυτές χωριστά για την οριζοντιογραφία και την υψομετρία. Κάθε σημείο προβάλλεται κάθετα πάνω σ ένα ελλειψοειδές εκ περιστροφής, που επιλέγεται έτσι, ώστε να προσαρμόζεται καλύτερα στο γεωειδές και επομένως να προσεγγίζει ικανοποιητικά τη μέση στάθμη των θαλασσών. Η θέση ενός σημείου στο χώρο χρησιμοποιώντας ως επιφάνεια αναφοράς το ελλειψοειδές ορίζεται με το γεωδαιτικό πλάτος (φ), το γεωδαιτικό μήκος (λ), καθώς και με το γεωμετρικό υψόμετρο (h). Τα υψόμετρα όμως που χρησιμοποιούνται στο Εθνικό Σύστημα Υψομετρίας ορίζονται ως προς το γεωειδές και, πρακτικά, ως προς τη μέση στάθμη της θάλασσας και ονομάζονται ορθομετρικά (Η ο ). Ο προσδιορισμός τους γίνεται με τον προσδιορισμό των ορθομετρικών υψομετρικών διαφορών, χρησιμοποιώντας τη μέθοδο της γεωμετρικής χωροστάθμησης. Επομένως, για να αναφερθούν τα υψόμετρα στην ίδια μαθηματική επιφάνεια αναφοράς (ελλειψοειδές) πρέπει να είναι γνωστές οι αποχές του γεωειδούς (Ν) από το ελλειψοειδές αναφοράς για τα αντίστοιχα σημεία. Έτσι τα γεωμετρικά υψόμετρα προκύπτουν από τη σχέση h=h o +N.

3 Οι μετρήσεις της κλασικής Γεωδαισίας ανάγονται στην επιφάνεια αναφοράς του Γεωδαιτικού Συστήματος Αναφοράς (Γ.Σ.Α), όπου προσδιορίζονται οι γεωδαιτικές συντεταγμένες (φ,λ) και στη συνέχεια στο προβολικό σύστημα, που εφαρμόζει το ΓΣΑ για τον υπολογισμό των επίπεδων ορθογώνιων συντεταγμένων (x,y) των σημείων για την δημιουργία χαρτών και τοπογραφικών διαγραμμάτων. Οι επιφανειακές συντεταγμένες (φ,λ) και (x,y) συμπληρώνονται συνήθως, σε ένα ΓΣΑ, από το υψόμετρο Η ο για να ορίσουν τη θέση του σημείου στο χώρο. Με τις κλασικές μεθόδους δεν είναι δυνατόν να καλυφθούν πολύ μεγάλες εκτάσεις της Γης, αφού είναι απαραίτητο να υπάρχει αμοιβαία ορατότητα ανάμεσα στα διάφορα τριγωνομετρικά σημεία, για να μπορούν να γίνουν μετρήσεις (γωνιών, μηκών). Αυτό είχε ως επακόλουθο η κάθε χώρα να έχει ανεξάρτητο τριγωνομετρικό δίκτυο και δικό της γεωδαιτικό σύστημα αναφοράς. Η χρήση των τεχνητών δορυφόρων και ιδιαίτερα του GPS επέτρεψε τις μετρήσεις πολύ μεγάλων αποστάσεων και τη δημιουργία τρισδιάστατων γεωδαιτικών δικτύων καθώς και τον ενιαίο προσδιορισμό στο χώρο των θέσεων των σημείων που εκφράζονται τώρα με καρτεσιανές συντεταγμένες (Χ,Υ,Ζ) σε ένα ενιαίο παγκόσμιο γήινο σύστημα αναφοράς (ITRF: International Terrestrial Reference Frame). Ιστορικά τα περισσότερο διαδεδομένα συστήματα της δορυφορικής γεωδαισίας υπήρξαν τα ειδικά φωτογραφικά τηλεσκόπια, το σύστημα TRANSIT που στηρίζεται στο φαινόμενο DOPPLER και εχρησιμοποιείτο κυρίως στην ναυσιπλοΐα, το σύστημα μέτρησης αποστάσεων με Laser (SLR: Satellite Laser Ranging) και σήμερα το σύστημα εντοπισμού GPS (Global Positioning System). Με το σύστημα αυτό ένας ειδικός δέκτης με μικροϋπολογιστή, που δέχεται τα σήματα των δορυφόρων NAVSTAR/GPS (Navigation System with Time and Ranging) μπορεί άμεσα να προσδιορίσει τη γεωκεντρική θέση του σημείου (εφόσον υπάρχει δίκτυο μόνιμων σταθμών GPS), ή τη σχετική του θέση ως προς έναν άλλον δέκτη που βρίσκεται σε απόσταση μέχρι μερικές εκατοντάδες χιλιόμετρα με ακρίβεια μέχρι 0,1ppm.

4 Οι υπολογισμοί από τα αποτελέσματα των μετρήσεων με δέκτες GPS είναι απλούστεροι, εφόσον γίνονται σε τρισδιάστατο σύστημα αναφοράς και οι συντεταγμένες μπορούν εύκολα να μετατραπούν σε γεωδαιτικές ελλειψοειδείς και στη συνέχεια, σε επίπεδες ορθογώνιες συντεταγμένες σύμφωνα με το ΓΣΑ και με την απεικόνιση που έχει επιλεγεί για τις εφαρμογές. Τα Γεωδαιτικά Συστήματα Αναφοράς σήμερα είναι γεωκεντρικά και τα δίκτυα που τα υλοποιούν αποτελούνται συνήθως από αριθμό σημείων-σταθμών GPS τα οποία λειτουργούν συνεχώς, με τα οποία μπορεί ο χρήστης να συνδεθεί σε αποστάσεις μερικών δεκάδων km και να προσδιορίσει την θέση του στο ΓΣΑ, σε πολύ μικρό χρόνο (της τάξεως του 1 λεπτού) με πολύ καλή ακρίβεια. Υπάρχουν επίσης αντίστοιχα συστήματα μέτρησης υψομέτρων με δορυφόρους (Satellite Altimetry) που προσδιορίζουν την τοπογραφία της επιφάνειας της θάλασσας με ακρίβεια cm. Τέλος, η Γεωδαισία χρησιμοποιεί Διαστημικής τεχνολογίας συστήματα που προσδιορίζουν τη θέση σημείων με πολύ μεγάλη ακρίβεια, χρησιμοποιώντας την αρχή της συμβολομετρίας πολύ μεγάλης βάσης VLBI (Very Long Baseline Interferometry). Με τα εξελιγμένα αυτά συστήματα η Γεωδαισία είναι δυνατόν να μετρήσει διηπειρωτικές αποστάσεις με ακρίβεια εκατοστού του μέτρου. Επειδή όμως οι θέσεις, άρα και οι συντεταγμένες των γεωδαιτικών σημείων, υπόκεινται σε τεκτονικές μετακινήσεις και μεταβάλλονται με το χρόνο, η Γεωδαισία πρέπει μαζί με τις συντεταγμένες των γεωδαιτικών σημείων να δίνει και το χρόνο (τέταρτη διάσταση) που τους αντιστοιχεί, ή και να δίνονται οι τεκτονικές μετακινήσεις (ταχύτητα και διεύθυνση) των σημείων των δικτύων.

Σχήμα και Μέγεθος της Γης Επιφάνειες Αναφοράς

Περιεχόμενα.1 Ιστορική ανασκόπηση. Επιφάνειες αναφοράς..1 Γενικά.. Φυσική Γήινη Επιφάνεια..3 Γεωειδές..4 Ελλειψοειδές αναφοράς..5 Σφαίρα..6 Άλλες επιφάνειες που χρησιμοποιούνται στη Γεωδαισία

Συμβολισμοί a : μεγάλος ημιάξονας ελλειψοειδούς f : επιπλάτυνση «R m: μέση ακτίνα καμπυλότητας της πραγματικής Γης h : γεωμετρικό υψόμετρο H : ορθομετρικό υψόμετρο N : υψόμετρο γεωειδούς φ : γεωδαιτικό πλάτος λ : γεωδαιτικό μήκος G :παγκόσμιος σταθερά έλξης M :μάζα της Γης J :συντελεστής της δεύτερης αρμονικής του γήϊνου ελλειψοειδούς ω : γωνιακή ταχύτητα περιστροφής της Γης γ o : τιμή της βαρύτητας στον ισημερινό (κανονική) U o :κανονικό δυναμικό της βαρύτητας, στο γήινο ελλειψοειδές W o : δυναμικό της βαρύτητας της πραγματικής Γης, στο ελλειψοειδές Ĥ : κανονικό υψόμετρο ζ : ανωμαλία υψομέτρου Συντμήσεις Φ.Γ.Ε. : Φυσική Γήινη Επιφάνεια Μ.Σ.Θ. : Μέση Στάθμη της θάλασσας G.R.S. : Geodetic Reference System W.G.S. :World Geodetic System p.p.m. : Parts per million A.M.S. : Army Map Service

7. Σχήμα και μέγεθος της Γης Επιφάνειες αναφοράς.1. Ιστορική ανασκόπηση Από πολύ παλιά οι Αρχαίοι Έλληνες ασχολήθηκαν με τη Γεωδαισία προσπαθώντας να προσδιορίσουν το σχήμα και το μέγεθος της Γης. Οι πρώτες αναφορές ξεκινούν από την εποχή του Ομήρου (900-800 π.χ.), ο οποίος πίστευε ότι η Γη είναι ένας κυρτός δίσκος που περιβάλλεται από τους ωκεανούς. Σύμφωνα με άλλους Έλληνες της ίδιας εποχής, η Γη είναι μία πλάκα που στηρίζεται σε τέσσερις ελέφαντες, οι οποίοι στέκονται πάνω σε μια τεράστια χελώνα, χωρίς όμως να προσδιορίζεται πως στηρίζεται αυτή. Αργότερα ο Θαλής ο Μιλήσιος (600 π.χ.), υποστήριξε ότι η Γη είναι ένας δίσκος που επιπλέει σαν ένα νησί στον απέραντο ωκεανό και πάνω της καμπυλώνεται ο ουράνιος θόλος. Ο Αναξίμανδρος ο Μιλήσιος (611-545 π.χ.) σύγχρονος του Θαλή, είχε λίγο διαφορετική αντίληψη. Πίστευε, δηλαδή, ότι η Γη είναι κυλινδρική με άξονα προσανατολισμένο κατά τη διεύθυνση ανατολή-δύση και 3 φορές μικρότερο από τη διάμετρο του κυλίνδρου. Συζήτησε πρώτος για ουράνιες σφαίρες και ανέφερε ότι η Γη είναι μετέωρη στο σύμπαν. Ο Αναξιμένης, οπαδός του Αναξίμανδρου, τροποποίησε τη θεωρία του Θαλή και φαντάστηκε τη Γη να είναι πλατιά στο σχήμα, περιτριγυρισμένη από ωκεανούς και να κρατιέται στο διάστημα από συμπιεσμένο αέρα. Ο Πυθαγόρας και η σχολή του, 580-500 π.χ., θεωρούνται οι πρώτοι που πίστεψαν σε μια σφαιρική Γη.

8 Ο Φιλόλαος αργότερα υποστήριξε ότι η Γη είναι ένας πλανήτης που περιστρέφεται, όπως και τα άλλα ουράνια σώματα, γύρω από μια εστία (κεντρική φωτιά). Ο Πλάτων παραδέχτηκε ότι η Γη είναι στρογγυλή, πολύ μεγάλη, απομονωμένη και ακίνητη στο κέντρο του κόσμου. Ο Αριστοτέλης (384-3 π.χ.) μαθητής του Πλάτωνα, υποστήριξε τη θεωρία του Πλάτωνα με επιχειρήματα που διατύπωσε στο έργο του «Περί ουρανού», μετά από παρατηρήσεις για το κυκλικό σχήμα της σκιάς της Γης, που διαγράφεται στη Σελήνη, κατά τη διάρκεια μιας έκλειψης και τις μεταβολές των θέσεων του Ήλιου και των άστρων που διαπίστωσαν, όσοι ταξίδευαν με κατεύθυνση βορρά-νότου. Ο τίτλος όμως του πατέρα της Γεωδαισίας αποδίδεται στον Ερατοσθένη (7619 π.χ.) πού είναι ο πρώτος που προσδιόρισε το μέγεθος της Γης, από μετρήσεις, θεωρώντας τη Γη σφαίρα. Σχ..1. Μέθοδος του Ερατοσθένη Ο Ερατοσθένης παρατήρησε ότι (Σχ..1) κατά το θερινό ηλιοστάσιο, οι ακτίνες του ήλιου πέφτουν κάθετα σ ένα πηγάδι της Σιήνης (σημερινό Ασσουάν). Την ίδια μέρα στην Αλεξάνδρεια που βρίσκεται περίπου στον ίδιο μεσημβρινό με την Σιήνη, ο Ερατοσθένης υπολόγισε με τη βοήθεια της σκιάς ενός πύργου,

9 ότι οι ακτίνες του Ήλιου σχηματίζουν γωνία 7 ο1 με την κατακόρυφο. Η απόσταση μεταξύ των δύο πόλεων εκτιμήθηκε ότι είναι 5000 στάδια υπολογίζοντάς την μ ένα καραβάνι καμήλων ή κατά άλλη εκδοχή εκτιμώντας την από Αιγυπτιακούς κτηματολογικούς χάρτες, που βασίζονταν σε βηματόμετρα. Επίσης αμφιβολίες υπάρχουν ως προς το ποιο στάδιο χρησιμοποίησε σαν μονάδα μήκους, το Αιγυπτιακό ή το Αττικό. Έτσι, αν δεχτεί κανείς σήμερα μια μέση σφαιρική Γη με ακτίνα καμπυλότητας Rm = 6371km (που δεν απέχει πολύ από τη μέση ακτίνα καμπυλότητας της πραγματικής Γης), οι ακτίνες της Γης κατά τον Ερατοσθένη έχουν τιμές 667 km με το Αιγυπτιακό στάδιο (= 157,5m) και 7380 km με το Αττικό (=185m), ενώ οι αποχές τους είναι μόλις % και +15.5% αντίστοιχα από τη μέση ακτίνα καμπυλότητας της Γης. Σύμφωνα όμως με τον Schwarz (1975) που έκανε μια μελέτη σχετικά με τον υπολογισμό της ακτίνας της Γης από τον Ερατοσθένη, εκτιμάται ότι η ακτίνα είναι 5950 km που σημαίνει αποχή 6%. Στη συνέχεια ο Ποσειδώνιος (135-51 π.χ.) χρησιμοποιώντας το μεσημβρινό τόξο μεταξύ Αλεξάνδρειας και Ρόδου προσδιόρισε την ακτίνα της Γης με απόκλιση 11% από την Rm. Κατά το μεσαίωνα, μετά την πτώση της Ρωμαϊκής αυτοκρατορίας, η γεωδαισία, όπως και τόσες άλλες επιστήμες δέχτηκε την επιζήμια επίδραση της έντονης θρησκοληψίας και έμεινε στάσιμη. Ένα παράδειγμα, της επίδρασης των γραφών στην επιστημονική σκέψη το μεσαίωνα στην Ευρώπη, είναι ο τρόπος που αντιλαμβανόταν τον κόσμο το 548 μ.χ. ο θαλασσοπόρος Κοσμάς. Γι αυτό οι πρώτες μετρήσεις, μετά την περίοδο αυτή, για τον υπολογισμό της ακτίνας της Γης παρουσιάζονται πάλι το 87 μ.χ., οπότε οι Άραβες υπό τον Χαλίφη Αλ Μαμούν μετρούν ένα τόξο βορειοδυτικά της προσδιορίζοντας την ακτίνα της Γης που απέχει από την Rm +10%. Βαγδάτης

10 Αλλά η επιστήμη άρχισε πάλι να προχωρεί κατά το μέσο του 14ου αιώνα, που είναι ο αιώνας των μεγάλων εξερευνήσεων (Μάρκο Πόλο, Κολόμβος, Βάσκο ντέ Γάμα, Μαγγελάνος) και χαρακτηρίζεται από τόλμη, περιέργεια και διάθεση για ανανέωση και αναζήτηση. Το 155 ο Γάλλος Fernel, αστρονόμος και γιατρός του Ερρίκου του ου, υπολόγισε με τη μέθοδο του Ερατοσθένη ένα μεσημβρινό τόξο μετρώντας τον αριθμό των περιστροφών των τροχών της άμαξάς του από την Αμιένη στο Παρίσι. Επίσης προσδιόρισε την αντίστοιχη γεωκεντρική γωνία του τόξου, από τη διαφορά των μεσημβρινών υψών του ήλιου, υπολογίζοντας την μεταβολή της απόκλισής του. Η ακτίνα της Γης που προσδιόρισε απέχει από την Rm μόλις +0,1%. Οι υπόλοιπες μετρήσεις τόξων που βασίστηκαν στην ιδέα της σφαιρικής Γης χαρακτηρίστηκαν από βασικές προόδους στην τεχνολογία των οργάνων, στις πειραματικές μεθόδους και στη θεωρία (Κοπέρνικος, Κέπλερ, Γαλιλαίος) αλλά και στη μεθοδολογία. Οι εξελίξεις αυτές σηματοδοτούν μια νέα εποχή για τη Γεωδαισία, με τη χρησιμοποίηση του τριγωνισμού στη Δανία, από τον Δανό αστρονόμο Tycho Brahe (1546-1601). Πρώτος όμως ο Ολλανδός Snellling (1580-166) χρησιμοποίησε τον τριγωνισμό στην Ευρώπη (1615, αλυσίδα 33 τριγώνων) για τον προσδιορισμό των διαστάσεων της Γης. Η ακτίνα της Γης που προσδιόρισε απέχει από την Rm -3,4%. Αργότερα, το 1670 μ.χ., ο Γάλλος Αστρονόμος Picard (160-1683) υπολόγισε ένα μεσημβρινό τόξο μεταξύ Malvoisine και Amiens με τη μέθοδο του τριγωνισμού (αλυσίδα 13 τριγώνων) χρησιμοποιώντας πρώτος τηλεσκόπιο με σταυρόνημα και έδωσε τιμή για την ακτίνα της Γης 637km, αποχή +0.01% από την Rm. Η τιμή αυτή της ακτίνας της Γης βοήθησε αργότερα τον Newton να επαληθεύσει το νόμο της βαρύτητας. Οι πρώτες αμφιβολίες για το σφαιρικό σχήμα της Γης, ξεκινούν την ίδια εποχή (167) από τις σημαντικές παρατηρήσεις του Γάλλου Αστρονόμου J. Richer, ότι το μήκος του εκκρεμούς που μετρούσε τα δευτερόλεπτα ήταν πιο μικρό

11 κατά,8mm στην Cayenne (Γαλλική Γούϊάνα, Ν. Αμερική, 5 ο Βόρειο Πλάτος) απ ότι στο Παρίσι, για να έρθει 15 χρόνια αργότερα ο Newton να διατυπώσει ότι, το σχήμα της Γης είναι ένα πεπλατυσμένο στους πόλους ελλειψοειδές, εφαρμόζοντας τους νόμους της βαρύτητας και της κίνησης. Έτσι, τα πρώτα μοντέλα της Γης, πεπλατυσμένα στους πόλους, ανήκουν στους Newton (1643-177) και Huygens (169-1695) (διατύπωση των αρχών της φυγόκεντρης δύναμης) και έδωσαν τιμές για την επιπλάτυνση αντίστοιχα 1/30 4Χ10-3 και 1/578 Χ10-3, ενώ σήμερα η τιμή της επιπλάτυνσης είναι περίπου 1/98 3Χ10-3. Την ίδια εποχή ο Ιταλός αστρονόμος Cassini, διευθυντής του αστεροσκοπείου του Παρισιού, συνεχίζοντας το τόξο του Picard βόρεια προς την Δουνκέρκη και νότια προς τα σύνορα της Ισπανίας έφθασε σε αντίθετα συμπεράσματα (προφανώς από λάθος) από τον Newton, δηλ. ότι η Γη είναι ένα ελλειψοειδές εξογκωμένο στους πόλους (σαν αυγό). Έτσι ξεκίνησε ένας διεθνής ιστορικός καυγάς μεταξύ Άγγλων και Γάλλων σχετικά με το σχήμα της Γης, διχάζοντας τους υποστηρικτές των θεωριών των Newton και Cassini σε «επιπλατυνστές της Γης» (Earth flatteners) και σε «επιμηκηντές της Γης» (Earth Elongators) αντίστοιχα. Η Γαλλική Ακαδημία των επιστημών το 1735 αποφάσισε να λύσει τη διαφωνία με μεγαλοπρεπή τρόπο, οργανώνοντας δύο μεγάλες γεωδαιτικές αποστολές : μία Βόρεια στη Λαπωνία, υπό τον P.L.M. de Maupertuis συνοδευόμενο από τον Clairaut κ.α., και μία νότια στο Περού, υπό τους P. Bouguer και C.M. La Condamine συνοδευομένους από τον Godin κ.α., για να μετρήσουν μεσημβρινά τόξα της 1ο και να τα συγκρίνουν μεταξύ τους. Οι αποστολές αυτές συγκέντρωσαν το ενδιαφέρον όλου, του τότε επιστημονικού και σκεπτόμενου κόσμου. Χαρακτηριστικά είναι τα σχόλια που διατύπωσε ο Γάλλος ποιητής Βολταίρος, γνωστός για τους πνευματώδεις και σκωπτικούς σαρκασμούς του, σχετικά με τις δυο αυτές αποστολές. Έτσι όταν ο αρχηγός της αποστολής από την Λαπωνία γύρισε πίσω, τον παίνευσε «σαν τον άνθρωπο που επιπλάτυνε τους πόλους και τους Cassinis» και όταν πολύ

1 αργότερα επέστρεψε μετά από εντατικές εργασίες και η αποστολή από το Περού, είπε ότι : «βρήκατε μετά από παρατεταμένο μόχθο ό,τι βρήκε ο Newton χωρίς να χρειαστεί να βγει από το δωμάτιό του». Τα αποτελέσματα των δύο αποστολών έδωσαν μέση τιμή για την επιπλάτυνση f = 1/ 10 και επιβεβαίωσαν στην πράξη τη θεωρία του Newton. Την ίδια εποχή (1740) οι Cassini de Thury και La Caille επαναπροσδιορίζουν το Γαλλικό μεσημβρινό τόξο για να δικαιωθεί και πάλι η θεωρία του Newton, ενώ ο Clairaut (1743) συνθέτοντας δυναμικά και γεωμετρικά δεδομένα για το ελλειψοειδές σχήμα της Γης, διατυπώνει το γνωστό θεώρημα, σύμφωνα με το οποίο ο προσδιορισμός της επιπλάτυνσης προκύπτει από μετρήσεις βαρύτητας σε δύο διαφορετικά πλάτη. Γενικά ο 18ος και 19ος αιώνας χαρακτηρίζονται από πολλές μετρήσεις τόξων, προσδιορισμούς τριγωνομετρικών δικτύων, που αποτελούν το γεωδαιτικό υπόβαθρο όλων των χαρτογραφικών εργασιών και συνοδεύονται από βελτιώσεις των γεωδαιτικών οργάνων και μεθόδων, καθώς και αναδείξεις λαμπρών επιστημόνων. Ως σημαντικότερες γεωδαιτικές εργασίες του 18 ου και 19ου αιώνα θεωρούνται οι παρακάτω και αναφέρονται με χρονολογική σειρά στη συνέχεια: Επαναπροσδιορίζεται (179-1799) από τους Delambre και Mechain το μεσημβρινό τόξο που περνά από το Παρίσι μεταξύ Βαρκελώνης και Δουνκέρκης με σκοπό τον ορισμό του μέτρου ως φυσική μονάδα μέτρησης του μήκους. Τα αποτελέσματα της εργασίας αυτής έδωσαν διαστάσεις για το γήινο ελλειψοειδές a = 6375653m και f = 1/334. Το 181-185 ο περίφημος μαθηματικός F. Gauss προσδιορίζει μετά από μετρήσεις ένα μεσημβρινό τόξο μεταξύ Gottingen και Altona με σκοπό τον τριγωνισμό του κρατιδίου του Αννόβερου, που συνόρθωσε σύμφωνα με τη μέθοδο των Ελαχίστων Τετραγώνων.

13 Το 1830 ο G. Everest βασιζόμενος σ ένα τόξο που μετρήθηκε στην Ινδία έδωσε διαστάσεις για το ελλειψοειδές a = 637776m και f = 1/ 300.8, ενώ την ίδια εποχή ο Airy βασιζόμενος στον τριγωνισμό της Μ. Βρετανίας έδωσε a = 637654m και f = 1/99,3. Το 1831-1833 οι Baeyer και Bessel μέτρησαν ένα τόξο λοξό προς τον μεσημβρινό, στην Ανατολική Πρωσία, για να δώσει αργότερα (1840) ο Bessel διαστάσεις για το ελλειψοειδές a = 637806m f = 1/99,15. και Το ελλειψοειδές αυτό χρησιμοποιήθηκε στην Ελλάδα στο Παλιό Ελληνικό Γεωδαιτικό Σύστημα Αναφοράς. Το 1866 ο Άγγλος συνταγματάρχης A.R. Clarke έδωσε διαστάσεις για το ελλειψοειδές a = 637806m και f = 1/94,98, ενώ αργότερα (1880) ξαναϋπολογίζοντάς το έδωσε : a = 637845m και f = 1/93,5 Τα τέλη του 19ου αιώνα και οι αρχές του 0ου χαρακτηρίζονται ως η περίοδος του γεωειδούς, γιατί ήταν πια δυνατόν (μετά από επινόηση νέων οργάνων για αστρονομικές, γεωδαιτικές και βαρυτομετρικές εργασίες) να προσδιορίζεται το γεωειδές και οι αποχές του από τα ελλειψοειδή αναφοράς. Τα κυριότερα ελλειψοειδή αναφοράς εκείνης της εποχής είναι : του μεγάλου γερμανού γεωδαίτη Helmert (1907) με διαστάσεις a = 637800m και f = 1/98,3 και του J.F. Ηayford (1909) με διαστάσεις a = 6378388m και f = 1/97,0. Επειδή, όμως, κάθε χώρα χρησιμοποιούσε το δικό της ελλειψοειδές, επικράτησε κάποια σύγχυση στη σύγκριση των αποτελεσμάτων στα σύνορα των διαφόρων χωρών. Γι αυτό η Διεθνής Ένωση Γεωδαισίας και Γεωφυσικής (IUGG) αποφάσισε να καθιερώσει (194) το ελλειψοειδές του Hayford ως Διεθνές Ελλειψοειδές για παγκόσμια αναφορά. Άλλο ελλειψοειδές αναφοράς εκείνης της περιόδου είναι αυτό του Krassowski που υιοθετήθηκε (194) και χρησιμοποιείται από τα κράτη της Ανατολικής Ευρώπης και της Ρωσίας με διαστάσεις a = 637845m και f = 1/98,3. Στα μέσα του 0ου αιώνα γίνεται η μεγάλη τεχνολογική επανάσταση (ηλεκτρονικές μετρήσεις αποστάσεων E.D.M., εμφάνιση των πρώτων ηλεκτρονικών

14 υπολογιστών, εκτόξευση πρώτου τεχνητού δορυφόρου 1957, εισαγωγή των διαστημικών μεθόδων), που έφερε ραγδαία εξέλιξη και στη γεωδαιτική επιστήμη. Ακολουθώντας χρονολογικά τα σημαντικότερα γεγονότα στον κόσμο της γεωδαιτικής επιστήμης σημειώνονται : Στον πρώτο ενιαίο Ευρωπαϊκό Τριγωνισμό, όπου οι συν/νες υπολογίστηκαν στο ονομαζόμενο Ευρωπαϊκό Datum 1950 (E.D. 50), ως γεωδαιτική επιφάνεια αναφοράς χρησιμοποιήθηκε το Ελλειψοειδές του Hayford με αρχή το Potsdam. Την ίδια εποχή η Αμερικάνικη χαρτογραφική στρατιωτική υπηρεσία (AMS the Army Map Service) μετά απο μετρήσεις ανέλυσε δύο πολύ μεγάλα τόξα, μεγαλύτερα των 100ο (Σχ...), και έδωσε διαστάσεις της Γης λίγο μικρότερες απ ό,τι πίστευαν διεθνώς. Αργότερα η ίδια υπηρεσία αναλύοντας τις πληροφορίες από τους πρώτους δορυφόρους, βρήκε και πάλι, ότι η Γη ήταν λιγότερο πλατυσμένη απ ό,τι αρχικά πιστεύετο. Σχ... Τα μεγάλα τόξα που μετρήθηκαν /10/ Έτσι, το 1967, η IUGG στη γενική συνέλευση της Λουκέρνης αντικατέστησε το διεθνές ελλειψοειδές του Hayford μ ένα καλύτερο ελλειψοειδές αναφοράς (μέσο γήινο ελλειψοειδές ή ισοδυναμικό ελλειψοειδές) γεωκεντρικό, το λεγόμενο Γεωδαιτικό Ελλειψοειδές του 67 (Geodetic Reference Ellipsoid 67) με διαστάσεις a = 6378160m και f = 1/98,47

15 Παρ όλα αυτά, μετέπειτα ελλειψοειδή αναφοράς που προσδιορίστηκαν (Παγκόσμιο Σύστημα Αναφοράς WGS7, Gaposhkin, 1973) με δορυφορικές μεθόδους έδειξαν ότι ο μεγάλος ημιάξονας που είχε υιοθετηθεί για το ελλειψοειδές αναφοράς του 67 ήταν 0-5 m ήταν μεγαλύτερος, ενώ συγχρόνως φαινόταν πως η επιπλάτυνση που είχε δοθεί ήταν πολύ κοντά στην πραγματικότητα. Έτσι το 1980 η XVII γενική συνέλευση της IUGG στην Καμπέρα υιοθέτησε ένα νέο γεωδαιτικό ελλειψοειδές αναφοράς διαστάσεων a = 6378137m και f = 1/98,57, το οποίο χρησιμοποιείται σήμερα τόσο διεθνώς όσο και στην Ελλάδα στο ΕΓΣΑ 87 και στο HEPOS. Το Σχ..3., δίνει την εξέλιξη του σχήματος και της μορφής της Γης, όπως την πίστευαν, μέσα στους αιώνες. Σχ..3. Εξέλιξη της θεώρησης του σχήματος της Γης μέσα στους αιώνες. Επιφάνειες Αναφοράς..1 Γενικά. Όπως είναι γνωστό, ένα από τα βασικά προβλήματα της Γεωδαισίας, είναι ο ακριβής προσδιορισμός του σχήματος και του μεγέθους της Γης. Η φυσική επιφάνεια της Γης είναι το όριο μεταξύ της συμπαγούς Γης και της υδάτινης επιφάνειάς της με την ατμόσφαιρα. Η φυσική επιφάνεια της Γης

16 καλύπτεται, όπως είναι γνωστό, κατά το 7% από νερό και μόνο κατά το 8% από στεριά. Έτσι η επιφάνειά της δεν είναι ούτε μια μάζα συμπαγής ούτε μια μάζα υγρή, αφού αποτελείται από ανομοιογενές υλικό και η συμπεριφορά της κυμαίνεται μεταξύ των δύο αυτών διαφορετικών μαζών. Συνήθως, όταν γίνεται αναφορά στον προσδιορισμό του σχήματος και του μεγέθους της Γης, η Γη θεωρείται "συμπαγής", δηλαδή απόλυτα άκαμπτη και στερεά, και οι μεταβολές του σχήματος και του μεγέθους της συναρτήσει του χρόνου μελετώνται ξεχωριστά. Η πραγματική Γη, λοιπόν, έχει μια πολύ ανώμαλη φυσική επιφάνεια και για να μπορέσει κανείς να προσδιορίσει μια περιβάλλουσα που να ανταποκρίνεται στο σχήμα και το μέγεθός της και να εκφράσει όλες τις γεωμετρικές, αλλά και τις μηχανικές ιδιότητές της, θα πρέπει να χρησιμοποιήσει αρκετά πολύπλοκες συναρτήσεις, με πάρα πολλούς όρους και σταθερούς συντελεστές που θα προσδιοριστούν από παρατηρήσεις. Επειδή σε πολλές εφαρμογές (αστρονομία, ουράνιος μηχανική, χαρτογραφία, διαστημική ναυσιπλοΐα, κ.λ.π.) δεν χρειάζεται κανείς πολύ μεγάλη ακρίβεια, το ευκολότερο που έχει να κάνει, είναι να επιλέξει ένα προσεγγιστικό "μοντέλο" (π.χ. μια σφαίρα), που θα χρησιμεύει σαν μια βοηθητική επιφάνεια αναφοράς και θα αντικαταστήσει την πραγματική Γη. Βέβαια, το μοντέλο αυτό για να είναι χρήσιμο, θα πρέπει να πλησιάζει κατά το δυνατό τη Γη, να έχει δηλαδή γεωμετρικές και μηχανικές ιδιότητες ίδιες με την πραγματική Γη, αλλά για να είναι συγχρόνως και εύχρηστο, θα πρέπει κατά το δυνατόν η επιφάνειά του να εκφράζεται με απλή σχετικά μαθηματική σχέση. Οι μικρές αποκλίσεις που θα προσδιορίζονται από τη σύγκριση της πραγματικής Γης και του μοντέλου αναφοράς, μπορούν να χρησιμεύσουν σε μια επιστημονική ανάλυση για την ερμηνεία διαφόρων φυσικών φαινομένων. Πράγματι, η Γη σε πρώτη προσέγγιση μπορεί να θεωρηθεί σφαίρα (με ομοιογενές υλικό και μάζα ίση με την μάζα της Γης), με ακτίνα 6371km περίπου. Λόγω όμως της περιστροφής της γύρω από τον άξονά της, η Γη έχει πάρει το σχήμα ενός ελλειψοειδούς εκ περιστροφής. Βέβαια, η Γη δεν αποτελείται από ομοιογενές υλικό και με την περιστροφή της θα ήταν πιο

17 σωστό να θεωρήσει κανείς, ότι παίρνει ένα σχήμα σφαιροειδούς πεπλατυσμένου στους πόλους. Η απόκλιση όμως από μια τέτοια παραδοχή δεν είναι τόσο μεγάλη, ώστε το σχήμα δεν αποκλίνει πολύ από ένα ελλειψοειδές εκ περιστροφής. Αν τελειοποιηθεί το μοντέλο, έτσι ώστε να έχει τις αυτές μηχανικές (φυσικές) ιδιότητες, αλλά πολύ λιγότερες επιφανειακές ανωμαλίες από την πραγματική επιφάνεια της Γης, θα πρέπει η περιβάλλουσα επιφάνεια να είναι μια ισοδυναμική (χωροσταθμική) επιφάνεια του πεδίου βαρύτητας της Γης. Η επιφάνεια αυτή, που επιλέγεται να πλησιάζει περισσότερο από κάθε άλλη ισοδυναμική επιφάνεια του πεδίου βαρύτητας της Γης τη μέση στάθμη της θάλασσας, είναι το γεωειδές. Έτσι λοιπόν οι βασικές επιφάνειες αναφοράς που χρησιμοποιούνται στη Γεωδαισία για να περιγράψουν το σχήμα της Γης είναι τρεις: το γεωειδές, το ελλειψοειδές εκ περιστροφής και η σφαίρα... Φυσική Γήινη Επιφάνεια Η φυσική γήινη επιφάνεια (Φ.Γ.Ε) είναι η πραγματική επιφάνεια της Γης και περιλαμβάνει την τοπογραφική επιφάνεια, καθώς και την επιφάνεια ή τον πυθμένα των ωκεανών, που θεωρείται το όριο μεταξύ της συμπαγούς και της υδάτινης επιφάνειας της Γης. Με τον όρο σφαιροειδές νοείται κάποια απλοποιημένη μορφή γεωειδούς. Στην Αγγλική βιβλιογραφία ο όρος σφαιροειδές συμπίπτει με το ελλειψοειδές εκ περιστροφής.

18 Σχ..4. Η φυσική γήινη επιφάνεια, το γεωειδές και το ελλειψοειδές εκ περιστροφής. Με την επιφάνεια των ωκεανών (τοπογραφία της θάλασσας Σχ..5), που είναι πολύπλοκη, ασχολείται σήμερα η Θαλάσσια Γεωδαισία και η Ωεκανογραφία ενώ οι εργασίες της κλασσικής Γεωδαισίας εστιάζονται στη ξηρά η οποία καλύπτει το 8% της επιφάνειας της Γης. Και πράγματι η τοπογραφική επιφάνεια υλοποιείται άμεσα στη φυσική μας εποπτεία και είναι η επιφάνεια πάνω στην οποία γίνονται όλες οι γεωδαιτικές μετρήσεις (ίδρυση γεωδαιτικών δικτύων). Σχ..5. Θαλάσσια Τοπογραφία (Καμπύλες σε cm)./3/ Η διεύθυνση που υλοποιείται στη φύση, ως γνωστό, είναι η κατακόρυφος (διεύθυνση της λιναίης) και σε κάθε σημείο που οριζοντιώνεται (ή κατακορυφώνεται) και προσανατολίζεται το θεοδόλιχο υλοποιείται ένα τοπικό αστρονομικό σύστημα. Μπορεί να οριστεί δηλαδή, Σχ..6, ένα τοπικό ορθομοναδιαίο τρίεδρο ( i1,i,i3 ) με διεύθυνση του άξονα i3 προς το ζενίθ, που υλοποιεί η κατακόρυφος, ενώ η αεροστάθμη του οργάνου υλοποιεί το οριζόντιο επίπεδο i1, i.. Με αστρονομικές μεθόδους προσδιορίζεται η διεύθυνση του i1 προς τον αστρονομικό βορρά, ενώ το διάνυσμα i είναι κάθετο στο επίπεδο των i1 i3 με διεύθυνση προς την ανατολή. Λόγω όμως της

19 καμπυλότητας της Γης, τα τοπικά αυτά συστήματα στα διάφορα σημεία της επιφάνειάς της, δεν είναι παράλληλα μεταξύ τους Σχ..6. Σχ..6. Τοπικά αστρονομικά συστήματα στη Φ.Γ.Ε. Η τοπογραφική επιφάνεια και ο πυθμένας των ωκεανών, αλλά και η επιφάνεια (στιγμιαία) των ωκεανών είναι πολύ ανώμαλες επιφάνειες και δεν είναι εύκολο να περιγραφούν από μία μαθηματική σχέση, παρά μόνο με τη βοήθεια αριθμητικών ή γραφικών μεθόδων (χρησιμοποιώντας υψομετρικές καμπύλες ή συντεταγμένες χαρακτηριστικών σημείων). Η συνήθης παρουσίαση της τοπογραφικής επιφάνειας δεν είναι τίποτα άλλο παρά ένας χάρτης, όπου εμφανίζονται τα υψόμετρα (ορθομετρικά) ως προς τη μέση στάθμη της θάλασσας (θεωρητικά ως προς το γεωειδές). Πολλές φορές όμως, για διάφορους λόγους, απαιτείται μια συνολική μαθηματική παρουσίαση της γήινης επιφάνειας. Αυτό επιτυγχάνεται αναλύοντας την τοπογραφία της Γης (Φ.Γ.Ε.) σε σφαιρικές αρμονικές (και όχι από σημείο σε σημείο), επειδή ως γνωστό, η Φ.Γ.Ε, είναι πολύ ανώμαλη επιφάνεια (Σχ..7).

0 Σχ..7. Τοπογραφία της Γης σε σφαιρικές αρμονικές (καμπύλες σε m) /3/..3 Γεωειδές. Ως γεωειδές ορίζεται η ισοδυναμική επιφάνεια έλξης και περιστροφής της Γης που πλησιάζει τη μέση στάθμη της θάλασσας (Μ.Σ.Θ. με ακρίβεια ±1m) διορθωμένη από τις επιδράσεις των μεταβολών της πυκνότητας του νερού, των κυμάτων, των παλιρροιών, των ρευμάτων και των ατμοσφαιρικών συνθηκών. Η επιφάνεια του γεωειδούς είναι εξ ορισμού κάθετη προς την διεύθυνση της βαρύτητας (αμφιμονοσήμαντη αντιστοιχία σημείου Ρ στη Φ.Γ.Ε. με σημείο ΡG στο γεωειδές, Σχ..8) και με την διαδικασία της χωροστάθμησης μετρούνται υψόμετρα ως προς αυτήν. Σχ..8. Αμφιμονοσήμαντη αντιστοιχία σημείου Ρ της Φ.Γ.Ε. με σημείο Ρ G στο γεωειδές. Και το γεωειδές είναι μια ανώμαλη επιφάνεια και προσδιορίζεται είτε με τη βοήθεια αστρογεωδαιτικών παρατηρήσεων ή μετρήσεων βαρύτητας (μέθοδοι

1 για λεπτομερή τοπικά γεωειδή, Σχ..9) είτε με την ανάλυση της κίνησης των τεχνητών δορυφόρων [απόδοση παγκοσμίου χάρτη του γεωειδούς, (Σχ..10)]. Σχ..9. Το γεωειδές στην Ελλάδα ως προς το GRS 80 (από στοιχεία του Εργαστηρίου) Τα σχήματα αυτά δεν είναι τίποτα άλλο παρά η "χαρτογράφηση" των αποχών του γεωειδούς (ή υψόμετρα γεωειδούς Ν) ως προς κάποιο ελλειψοειδές αναφοράς. Ο συνδυασμός βέβαια των υψομέτρων των τοπογραφικών χαρτών και των χαρτών του γεωειδούς δίνει το συνολικό υψόμετρο (γεωμετρικό h) της τοπογραφικής επιφάνειας από το ελλειψοειδές αναφοράς.

Σχ..10. Παγκόσμιος Χάρτης του γεωειδούς ως προς το GRS 1967 (καμπύλες σε m) /3/ Η σχέση h = H +N (Σχ..11) συνδέει τα υψόμετρα αλλά και τις επιφάνειες αναφοράς μεταξύ τους. Η κάθετη στο ελλειψοειδές, από το σημείο Ρ δεν ταυτίζεται φυσικά με την κατακόρυφη και η γωνία θ που σχηματίζουν μεταξύ τους λέγεται απόκλιση της κατακορύφου. Σχ..11. Σχετική θέση επιφανειών αναφοράς και υψομέτρων.. Επειδή το γεωειδές προσαρμόζεται στη μέση στάθμη της θάλασσας, μπορεί να θεωρηθεί ότι "χαρτογραφεί" (με ακρίβεια ±1m) το 7% της επιφάνειας της Γης, ενώ για το υπόλοιπο 8% θεωρείται ότι προεκτείνεται κάτω από τις ηπείρους (στη στάθμη της θάλασσας) π.χ. με κάποιο σύστημα στενών καναλιών. Βέβαια η επιφάνεια των ωκεανών είναι λιγότερο σταθερή από την

3 τοπογραφική επιφάνεια και μεταβάλλεται συνεχώς συναρτήσει του χρόνου από την επίδραση διαφόρων παραγόντων και γι αυτό χρησιμοποιείται κάποια "ακίνητη" κατά κάποιο τρόπο επιφάνεια, η Μ.Σ.Θ. Παρατηρήσεις της στιγμιαίας στάθμης της θάλασσας (Σ.Σ.Θ.) έδειξαν ότι μπορεί να μεταβάλλεται μέχρι 10m ημερήσια. Μηνιαία ο μέσος όρος (μ.ο.) δεν μεταβάλλεται περισσότερο από αρκετά δέκατα του μέτρου, ενώ ετήσια οι μ.ο. είναι σταθεροί, μέσα σε μερικά cm, για μια περίοδο αρκετών δεκαετιών. Από το γεγονός αυτό πηγάζει και ο ορισμός της Μ.Σ.Θ., που είναι ο μ.ο. των ωριαίων τιμών της στάθμης της θάλασσας για ένα μεγάλο χρονικό διάστημα. Συνήθως ως Μ.Σ.Θ. λαμβάνεται ο μ.ο. των ωριαίων υψών κατά τη διάρκεια ενός έτους, γιατί έτσι εμπεριέχεται όλος ο αριθμός των επιδράσεων των έλξεων Σελήνης και Ήλιου, που ο μ.ο. τους θα είναι μηδέν και προσδιορίζεται από την ανάλυση παλιρροιογραφικών στοιχείων με ακρίβεια μερικών mm. Βέβαια, η Μ.Σ.Θ. μπορεί να μεταβάλλεται από χρόνο σε χρόνο, εξαιτίας μετακινήσεων του στερεού φλοιού της Γης, υδροστατικών μετακινήσεων που αλλάζουν τη στάθμη της θάλασσας, λόγω μεταβολών των πολικών πάγων, βαρομετρικών αλλαγών, κ.λπ. Και πράγματι από την ανάλυση μακροχρόνιων παλιρροιογραφικών δεδομένων, φαίνεται μια βαθμιαία αύξηση της Μ.Σ.Θ. ως προς την επιφάνεια αναφοράς, που χρησιμοποιείται για την παρακολούθηση των μεταβολών της, η οποία έχει πραγματοποιηθεί στο πρώτο μισό του περασμένου αιώνα (Σχ..1). Σχ..1. Μέσες ετήσιες τιμές της ΜΣΘ για τη χρονική περίοδο 1860-1960./9/

4 Η Σ.Σ.Θ., καθώς και η Μ.Σ.Θ. σε παγκόσμια κλίμακα προσδιορίζονται σήμερα με τη βοήθεια των τεχνητών δορυφόρων με ακρίβεια λίγων εκατοστών (υψομετρία με δορυφόρους) μετά από κατάλληλες αναγωγές...4 Ελλειψοειδές αναφοράς. Σήμερα το γεωειδές μπορεί να προσδιοριστεί με ακρίβεια περίπου μερικών cm στις περιοχές, όπου υπάρχουν πολλά δεδομένα, π.χ. Ευρώπη, Β. Αμερική, Αυστραλία, ενώ όπου δεν υπάρχουν, η ακρίβεια είναι μικρότερη. Επειδή, όμως, το γεωειδές είναι μια αρκετά ανώμαλη επιφάνεια, θεωρείται ακατάλληλο για να χρησιμοποιηθεί ως επιφάνεια αναφοράς για τους υπολογισμούς. Έτσι στους συνήθεις γεωδαιτικούς υπολογισμούς (δύο διαστάσεις) η θέση των σημείων που βρίσκονται στη Φ.Γ.Ε. ορίζεται προσδιορίζοντας τις συντεταγμένες τους ως προς κάποια επιφάνεια αναφοράς, που εκλέγεται συμβατικά να πλησιάζει όσο το δυνατόν καλύτερα στο Γεωειδές και συγχρόνως να έχει και απλή μαθηματική έκφραση. Μια απλοποιημένη μορφή του γεωειδούς (χρησιμοποιώντας μόνο τους πρώτους σημαντικούς όρους από την ανάλυση του δυναμικού της Γης σε σφαιρικές αρμονικές), όπως αναφέρθηκε, είναι το σφαιροειδές, που είναι μια επιφάνεια ανώτερου βαθμού. Τέτοια σφαιροειδή μελετήθηκαν παλαιότερα (από τον Helmert και από τον Bruns) αλλά δεν βρήκαν πλατιά εφαρμογή γιατί, ενώ είναι πιο σύνθετες γεωμετρικές επιφάνειες από τα διαξονικά ελλειψοειδή αναφοράς, δεν απέχουν απ αυτά παρά μερικές δεκάδες μέτρα. Ως απλούστερο μαθηματικό μοντέλο (επιφάνεια μικρότερου βαθμού) από το σφαιροειδές, μπορεί να θεωρηθεί το τριαξονικό ελλειψοειδές αναφοράς. Τριαξονικά ελλειψοειδή αναφοράς προτάθηκαν κατά καιρούς από πολλούς επιστήμονες, που προσαρμόζονται μεν λίγο καλύτερα στο γεωειδές, αλλά δεν παύουν να κάνουν τους υπολογισμούς πιο πολύπλοκους. Έτσι η επιφάνεια αναφοράς που χρησιμοποιείται στη Γεωδαισία σήμερα, είναι το διαξονικό ελλειψοειδές, που προκύπτει με περιστροφή της έλλειψης γύρω από τον μικρό της ημιάξονα.

5 Κάθε σημείο Ρ της Φ.Γ.Ε. αντιστοιχεί αμφιμονοσήμαντα σ ένα σημείο στο ελλειψοειδές, που υλοποιείται με το ίχνος Ρ Ε της καθέτου από το σημείο Ρ πάνω σ αυτό, Σχ..11. Δηλαδή τα δύο αυτά σημεία Ρ και Ρ Ε εκφράζονται με τις ίδιες ελλειψοειδείς συντεταγμένες φ (γεωδαιτικό πλάτος) και λ (γεωδαιτικό μήκος), ενώ το μήκος της καθέτου ΡΡ Ε λέγεται γεωμετρικό υψόμετρο h του σημείου Ρ και συμπληρώνει την τριάδα των συντεταγμένων του σημείου Ρ της Φ.Γ.Ε. Το πρόβλημα της εύρεσης των διαστάσεων του καλύτερου ελλειψοειδούς εκ περιστροφής (best fitting biaxial ellipsoid), εκείνου που προσαρμόζεται όσο το δυνατόν καλύτερα στην πραγματική Γη - και γι αυτό ονομάζεται και γήινο ή μέσο γήινο ελλειψοειδές - είναι ένα από τα κλασικά προβλήματα της γεωδαισίας και απασχόλησε τους επιστήμονες από τον 18 ο αιώνα. Ως γήινο ελλειψοειδές ή γεωκεντρικό ελλειψοειδές θεωρείται εκείνο, το κέντρο του οποίου ταυτίζεται με το κέντρο μάζας της Γης, ο άξονας συμμετρίας του ταυτίζεται με τον άξονα περιστροφής της Γης και προσεγγίζει, όσο το δυνατόν καλύτερα (σε διαστάσεις) το γεωειδές. Η μέγιστη αποχή του από το γεωειδές είναι 100m, ενώ κατά μέσο όρο απέχει ±30m. Το γήινο ελλειψοειδές προσδιορίζεται από διάφορες γεωδαιτικές μετρήσεις που γίνονται για τον σκοπό αυτό. Ανάλογα με τις μετρήσεις που έχουν γίνει, έχουν προσδιοριστεί κατά καιρούς αντίστοιχα και διάφορα γήινα ελλειψοειδή, που ορίζονται από τον μεγάλο ημιάξονα a και, είτε από την επιπλάτυνση f είτε από τον μικρό ημιάξονα b. Η Γη, όμως, μπορεί να ορισθεί και από καθαρά δυναμικά στοιχεία, που προσδιορίζονται από παρατηρήσεις σε τεχνητούς δορυφόρους. Έτσι το γήινο ελλειψοειδές ορίζεται και δυναμικά από την σταθερά GM, όπου G η παγκόσμιος σταθερά έλξης και M η μάζα της Γης, από τον συντελεστή J της δεύτερης αρμονικής του γήινου ελλειψοειδούς ή από τη διαφορά (CA) των κύριων ροπών αδρανείας της Γης και συμπληρώνεται από την ταχύτητα περιστροφής της ω. Τα στοιχεία αυτά μαζί με τις γεωμετρικές διαστάσεις του ελλειψοειδούς εκ περιστροφής καθορίζουν και το δυναμικό

6 της βαρύτητας στο ελλειψοειδές U0 (κανονικό δυναμικό), που ταυτίζεται με το δυναμικό της βαρύτητας W0 της πραγματικής Γης (στο γεωειδές), και επομένως και τη κανονική τιμή της βαρύτητας στον ισημερινό γ 0. Για το γεωδαιτικό σύστημα αναφοράς GRS 1980, το οποίο χρησιμοποιεί το Ε.Ε.Π. GRS 80, οι τιμές αυτές είναι: GM= 3986005 108m3sec-, J=10863 10-8,ω=79115 10-11radsec-1,U0=W0=663686 10msec- και γ0=978033 10-5msec-. Υπάρχουν, όμως, και ελλειψοειδή αναφοράς που προσαρμόζονται καλύτερα στο γεωειδές μιας περιοχής και σε θέση και σε διαστάσεις και χρησιμοποιούνται ως επιφάνειες αναφοράς τοπικών γεωδαιτικών εργασιών (Σχ..13) και τα οποία έχουν προταθεί κατά καιρούς από διάφορους γεωδαίτες ή διεθνείς οργανισμούς. Κάθε κράτος επέλεγε συνήθως ως επιφάνεια αναφοράς εκείνο το ελλειψοειδές αναφοράς που προσήγγιζε καλύτερα το γεωειδές, στη συγκεκριμένη περιοχή που γίνονταν οι γεωδαιτικές εργασίες, ορίζοντας έτσι, το γεωδαιτικό του σύστημα αναφοράς (γεωδαιτικό datum). Σήμερα με προτροπή της IUGG επιλέγεται το GRS80. Σχ..13. Περιοχές της Γης που έχουν χρησιμοποιήσει διάφορα ελλειψοειδή σαν επιφάνειες αναφοράς./9/.

7 Ένα τέτοιο ελλειψοειδές, του οποίου οι διαστάσεις εκλέγονται εκ των προτέρων, λέγεται γεωδαιτικό ελλειψοειδές αναφοράς το κέντρο του δεν συμπίπτει με το κέντρο μάζας της Γης, ο μικρός του άξονας επιλέγεται να είναι παράλληλος με τον άξονα περιστροφής της Γης, με ακρίβεια μεγαλύτερη από 1ppm, ενώ η κατά το δυνατόν ταύτισή του με το γεωειδές επιτυγχάνεται με την κατάλληλη τοποθέτησή του στην περιοχή που μας ενδιαφέρει. Σχ..14. Γεωκεντρικά και Γεωδαιτικά ελλειψοειδή αναφοράς. Το Σχ..14, δείχνει τη σχέση μεταξύ ενός γεωκεντρικού και ενός γεωδαιτικού ελλειψοειδούς αναφοράς, ενώ στον Πίνακα 1, δίνονται οι παράμετροι γήινων ελλειψοειδών αναφοράς που έχουν χρησιμοποιηθεί κατά καιρούς. Πίνακας 1:Βασικές παράμετροι των κυρίως χρησιμοποιουμένων ελλειψοειδών Ελλειψοειδές Ε.Π. Everest (1830) a (m) 637776 1/f 300,8 Airy (1830) 637654 99,3 Bessel (1841) 6377397 99,15 Clarke (1866) 637806 94,98 Clarke (1880) 637845 93,5 Helmert (1907) 637800 98,3 Hayford International (194) 6378388 97,0 Krassowsky (194) 637845 98,3 GRS (1967) 6378160 98,47 WGS (197) 6378135 98,6 Gaposhkin (1973) 6378140 98,56 GRS (1980) 6378137 98,57

8 Όπως αναφέρθηκε, η χρησιμοποίηση των τεχνητών δορυφόρων για γεωδαιτικούς σκοπούς είχε ως αποτέλεσμα τον προσδιορισμό νέων ακριβέστερων τιμών των παραμέτρων του γήινου ελλειψοειδούς, αλλά και τη σύνδεση μεταξύ των διαφόρων επί μέρους γεωδαιτικών συστημάτων αναφοράς (datums), που μέχρι τότε ήταν πρακτικά αδύνατη και την δημιουργία και χρήση Παγκόσμιων Συστημάτων Αναφοράς...5 Σφαίρα. Η σφαίρα έχει την απλούστερη μαθηματική έκφραση από τις άλλες επιφάνειες αναφοράς, αλλά βεβαίως προσεγγίζει με μικρότερη ακρίβεια τόσο το Ε.Ε.Π. όσο και το γεωειδές στην περιοχή. Η μαθηματική σχέση που εκφράζει τη θέση ενός σημείου στην επιφάνεια της σφαίρας ακτίνας R, όταν κέντρο του συστήματος συντεταγμένων είναι το κέντρο της σφαίρας είναι ως γνωστό: X+Y+Z=R Η επιφάνεια της σφαίρας στη γεωδαισία χρησιμοποιείται τοπικά ως η επιφάνεια της εγγύτατης σφαίρας με ακτίνα ίση με την ακτίνα Gauss RG= Nρ, για να αντικαταστήσει το ελλειψοειδές, όταν οι γεωδαιτικές εργασίες γίνονται σε σχετικά μικρές περιοχές. Η μέση ακτίνα καμπυλότητας είναι R 6373 km, για το GRS 80, στην περιοχή της Ελλάδας. Με τον τρόπο αυτό οι υπολογισμοί γίνονται απλούστεροι χρησιμοποιώντας τους τύπους της σφαιρικής τριγωνομετρίας. Η σφαίρα επίσης ως επιφάνεια αναφοράς, χρησιμοποιείται, στις αναγωγές της τριγωνομετρικής υψομετρίας, αλλά και στη χαρτογραφία και στη ναυσιπλοΐα. Τέλος, από τη σύγκριση του γεωειδούς με την Φ.Γ.Ε. και τις διάφορες επιφάνειες αναφοράς που χρησιμοποιούνται προκύπτει ότι: το μεγαλύτερο υψόμετρο της Φ.Γ.Ε. ως προς το γεωειδές είναι Η max=104m, ενώ η αποχή του γεωειδούς από την Μ.Σ.Θ. είναι μόλις ±1m. Το γεωειδές πλησιάζει πολύ το γήινο ελλειψοειδές αναφοράς και οι μέγιστες αποχές του από αυτό είναι

9 Νmax 10m 1.6x10-5R. Αν χρησιμοποιηθεί σφαίρα αντί του ελλειψοειδούς αναφοράς, τότε 4 η μέγιστη αποχή του γεωειδούς από αυτή είναι -3 Νmax 1.6x10 m.4x10 R, πράγμα που σημαίνει ότι το ελλειψοειδές είναι καλύτερο από τη σφαίρα κατά δύο τάξεις μεγέθους...6 Άλλες επιφάνειες που χρησιμοποιούνται στην γεωδαισία. Στη Γεωδαισία σήμερα, χρησιμοποιούνται και άλλες επιφάνειες αναφοράς εκτός από το γεωειδές, το ελλειψοειδές και τη σφαίρα. Τέτοιες επιφάνειες, που πλησιάζουν πάρα πολύ το γεωειδές είναι το "παρα-γεωειδές" (co-geoid) και το "σχεδόν-γεωειδές" (quasi-geoid). Ως "σχεδόν-γεωειδές" ορίζεται η επιφάνεια εκείνη που απέχει υψόμετρο ζ (ή ανωμαλία υψομέτρου ζ) από το ελλειψοειδές αναφοράς. Το ζ μπορεί θεωρητικά να υπολογιστεί με ακρίβεια από πολύπλοκες σχέσεις και επομένως το "σχεδόν-γεωειδές" μπορεί να χαρτογραφηθεί ως προς κάποιο ελλειψοειδές αναφοράς. Η επιφάνεια αυτή προτάθηκε από τον Molodensky για την αντιμετώπιση πρακτικών προβλημάτων στον υπολογισμό του γεωειδούς από επίγειες μεθόδους. Κατά τον υπολογισμό των υψομέτρων του γεωειδούς (Ν), γίνονται διάφορες υποθέσεις για την κατανομή των μαζών της Γης στα ανώτερα στρώματα, ενώ το "σχεδόν-γεωειδές" προκύπτει χωρίς τέτοιες υποθέσεις στον υπολογισμό του υψομέτρου ζ. Βέβαια το "σχεδόν-γεωειδές" συγκρινόμενο με το γεωειδές, είναι μια επιφάνεια που δεν έχει καμιά φυσική έννοια, μια και δεν είναι κάποια ισοδυναμική επιφάνεια του πεδίου βαρύτητας της Γης, αλλά μια μαθηματική επιφάνεια που δημιουργήθηκε και χρησιμοποιείται ως επιφάνεια αναφοράς κάποιων ) υψομέτρων (των κανονικών υψομέτρων H ). Συμπίπτει με το γεωειδές στις θαλάσσιες περιοχές όπου Ν=ζ, αλλά στη στεριά η διαφορά Ν-ζ μεγαλώνει όσο μεγαλώνει το υψόμετρο της Φ.Γ.Ε. και είναι της τάξης μερικών dm.

30 Το "παραγεωειδές" είναι μια ισοδυναμική επιφάνεια που προκύπτει κατά τη διαδικασία του υπολογισμού των αναγωγών των μετρήσεων της τιμής της βαρύτητας. Προσδιορίζεται κάθε φορά και διαφορετικό, ανάλογα με τις παραδοχές (κατανομή μαζών της Γης στα ανώτερα στρώματα του φλοιού της) που έγιναν και βρίσκεται κάτω από το γεωειδές (μέχρι και 30m). Μια άλλη επιφάνεια που χρησιμοποιείται στη Γεωδαισία είναι το "τελλουροειδές" (telluroid). Ως "τελλουροειδές" (Σχ..15), ορίζεται σύμφωνα με τον Hirvonen η επιφάνεια εκείνη που τα σημεία της απέχουν από ένα γεωκεντρικό ελλειψοειδές αναφοράς, όσο απέχει η Φ.Γ.Ε. από το γεωειδές. Δηλαδή απέχει τόσο από την Φ.Γ.Ε., όσο το γεωειδές από το ελλειψοειδές και προσεγγίζει την Φ.Γ.Ε. με ±100m. Σχ..15. Φ.Γ.Ε., γεωειδές, ελλειψοειδές, τελλουροειδές και «σχεδόν γεωειδές». Σύμφωνα όμως με τον Molodensky ως "τελλουροειδές", ορίζεται η επιφάνεια, τα σημεία της οποίας απέχουν από ένα ελλειψοειδές αναφοράς, όσο απέχει η Φ.Γ.Ε. από το "σχεδόν-γεωειδές" (Σχ..15), χρησιμοποιεί δηλαδή το κανονικό ) ) υψόμετρο H, οπότε h = H +ζ = Η0+Ν.

31 Απ όσα ειπώθηκαν παραπάνω φαίνεται ότι τα δύο τελλουροειδή συμπίπτουν στις θαλάσσιες περιοχές. Επίσης μια άλλη επιφάνεια που πρέπει να αναφερθεί, είναι το "ελλειψοειδές υδροστατικής ισορροπίας". Αν η Γη ήταν μια μάζα ρευστή και ομοιογενής προς όλες τις κατευθύνσεις, θα βρισκόταν σε υδροστατική ισορροπία και η επιφάνειά της θα ήταν ένα ισοδυναμικό ελλειψοειδές. Ένα τέτοιο φανταστικό ελλειψοειδές έχει επιπλάτυνση λίγο μικρότερη (1/99.67) από το γήινο και χρησιμοποιείται ως επιφάνεια αναφοράς σε γεωφυσικές μελέτες.

3 Βασικές γνώσεις από τη γεωµετρία του ελλειψοειδούς

Περιεχόµενα 3.1 Το ελλειψοειδές 3. Μεσηµβρινή τοµή 3.3 Καρτεσιανές συντεταγµένες της µεσηµβρινής τοµής 3.4 Ακτίνες καµπυλότητας του ελλειψοειδούς 3.5 Μήκος τόξου µεσηµβρινού 3.6 Μήκος τόξου παραλλήλου 3.7 Εµβαδόν ελλειψοειδούς τραπεζίου 3.8 Γραµµές και σχήµατα στο ελλειψοειδές 3.8.1 Κάθετη τοµή 3.8. Γεωδαισιακή γραµµή 3.8.3 Σχήµατα στο ελλειψοειδές

Συµβολισµοί a : µεγάλος ηµιάξονας ελλειψοειδούς b : µικρός ηµιάξονας ελλειψοειδούς f : επιπλάτυνση ελλειψοειδούς e : πρώτη εκκεντρότητα ελλειψοειδούς e : δεύτερη εκκεντρότητα ελλειψοειδούς X,Y,Z : Συντεταγµένες σε καρτεσιανό σύστηµα αναφοράς φ : γεωδαιτικό πλάτος λ : γεωδαιτικό µήκος ψ : γεωκεντρικό πλάτος ρ : ακτίνα καµπυλότητας µεσηµβρινής τοµής Κ : καµπυλότητα γραµµής Ν : ακτίνα καµπυλότητας της κύριας κάθετης τοµής r : ακτίνα καµπυλότητας του παράλληλου κύκλου, τετµηµένη σηµείου A : µεσηµ γεωδαιτικό αζιµούθιο R A R G M L E θ d T S E u : ακτίνα καµπυλότητας κάθετης τοµής αζιµούθιου Α : ακτίνα καµπυλότητας του Gauss : µήκος τόξου µεσηµβρινού : µήκος τόξου παράλληλου : εµβαδόν ελλειψοειδούς τραπεζίου : γωνία µεταξύ δύο καθέτων τοµών : µέγιστη απόσταση µεταξύ δυο καθέτων τοµών : εµβαδόν επιπέδου τριγώνου : απόσταση µεταξύ δύο σηµείων στο ελλειψοειδές : σφαιρική υπεροχή : αναχθέν πλάτος

37 3 Βασικές γνώσεις από την γεωµετρία του ελλειψοειδούς 3.1 Το ελλειψοειδές. Το σχήµα της Γης (δηλαδή το γεωειδές) µπορεί να αντικατασταθεί εποµένως προσεγγιστικά µε ένα ελλειψοειδές εκ περιστροφής, αφού οι αποκλίσεις του από την επιφάνεια του γεωειδούς δεν υπερβαίνουν τα 100m. Με τον τρόπο αυτό γίνεται εύκολη η αναγωγή και ο υπολογισµός πάνω σ αυτό γεωδαιτικών µετρήσεων, λόγω της απλής µαθηµατικής περιγραφής της επιφάνειας του ελλειψοειδούς σε αντίθεση µε εκείνης του γεωειδούς. Είναι, εποµένως, χρήσιµο να δοθούν βασικές σχέσεις και γνώσεις σχετικές µε τη γεωµετρία του ελλειψοειδούς, που αφορούν στον προσδιορισµό σηµείων πάνω σ αυτό, στις ακτίνες καµπυλότητας σ ένα σηµείο, καθώς και στις γραµµές και στα σχήµατα πάνω στην επιφάνεια του ελλειψοειδούς, που αντιστοιχούν σε γραµµές και σχήµατα της Φ.Γ.Ε., καθώς και τη διαδικασία υπολογισµού µηκών και εµβαδών πάνω στο ελλειψοειδές. Ένα ελλειψοειδές εκ περιστροφής δηµιουργείται µε την περιστροφή µιας έλλειψης γύρω από τον µικρό της ηµιάξονα. Ένα τέτοιο ελλειψοειδές, που είναι διαξονικό (Σχ.3.1) ορίζεται αποκλειστικά µε δύο µόνο παραµέτρους τους δύο ηµιάξονές του, a (µεγάλο) και b (µικρό) ή συνηθέστερα µε τα a και f (επιπλάτυνση του ελλειψοειδούς). Επίσης χρησιµοποιούνται και οι παράµετροι e (πρώτη εκκεντρότητα του ελλειψοειδούς) και e (δεύτερη εκκεντρότητα του ελλειψοειδούς) που συνδέονται µε τους ηµιάξονες του ελλειψοειδούς µε τις σχέσεις: επιπλάτυνση ελλειψοειδούς: a -b f = a (3.1) πρώτη εκκεντρότητα: e = a -b a (3.) Στο κείµενο, όπου αναφέρεται ελλειψοειδές εννοείται ελλειψοειδές εκ περιστροφής.

38 δεύτερη εκκεντρότητα: e = a -b b (3.3) από όπου: 1- f = 1- e = 1/(1+e ) = b/a Για το γήινο ελλειψοειδές οι τιµές αυτές είναι περίπου: f=1/300, e =1/150 και e =1/149 Σε ένα καρτεσιανό σύστηµα συντεταγµένων Χ,Υ,Ζ η εξίσωση του ελλειψοειδούς είναι: X Y Z + + = 1 a a b (3.4) όπου ο άξονας Ζ ταυτίζεται µε τον άξονα συµµετρίας, ο άξονας Χ περνά από ένα βασικό (ή µηδενικό) µεσηµβρινό αναφοράς και ο άξονας Υ συµπληρώνει το δεξιόστροφο σύστηµα. (Η αρχή του ορθογωνίου συστήµατος Χ,Υ,Ζ βρίσκεται πάντα στο κέντρο βάρους του ελλειψοειδούς). Ως µηδενικό µεσηµβρινό επίπεδο, ορίζεται το επίπεδο που σχηµατίζουν οι άξονες Χ,Ζ. Σχ.3.1. Το Ελλειψοειδές εκ περιστροφής Η θέση ενός σηµείου πάνω στο ελλειψοειδές, Σχ.3.1, ορίζεται αµφιµονοσήµαντα από τις συντεταγµένες του Χ,Υ,Ζ, ως προς το ορθογώνιο σύστηµα που έχει αφετηρία το κέντρο του ελλειψοειδούς, ή από το

39 γεωδαιτικό (ή γεωγραφικό) πλάτος (φ) και το γεωδαιτικό (ή γεωγραφικό) µήκος (λ), όπου: γεωδαιτικό πλάτος φ είναι η δίεδρη γωνία που σχηµατίζει η κάθετη στο ελλειψοειδές, στο σηµείο Ρ, µε το επίπεδο (ΧΥ) του ισηµερινού. Το φ µετριέται από 0º µέχρι 90º θετικά από τον ισηµερινό µέχρι τον Β.Πόλο και αρνητικά από τον ισηµερινό µέχρι τον Ν.Πόλο, και γεωδαιτικό µήκος λ είναι η δίεδρη γωνία που σχηµατίζει το επίπεδο που περιέχει τον µεσηµβρινό του σηµείου Ρ, µε το επίπεδο που περιέχει τον βασικό µεσηµβρινό και µετριέται από 0º µέχρι 360º προς ανατολάς. 3. Μεσηµβρινή τοµή. Κάθε επίπεδη τοµή της επιφάνειας του ελλειψοειδούς είναι µία έλλειψη, εκτός από εκείνες που δηµιουργούνται από επίπεδα κάθετα στον άξονα περιστροφής, που είναι κύκλοι. Η τοµή που περιέχει τον άξονα περιστροφής, λέγεται µεσηµβρινή τοµή µήκους λ και είναι έλλειψη, Σχ.3., µε µεγάλο ηµιάξονα τον a και µικρό ηµιάξονα τον b µε εξίσωση: r a Z + =1 b όπου r = X + Y (3.5) Σχ.3.. Μεσηµβρινή τοµή µήκους λ.

40 Οποιοδήποτε σηµείο Ρ πάνω στη µεσηµβρινή τοµή προσδιορίζεται µε ένα από τα πλάτη φ,ψ, ή u (Σχ.3.3) όπου: ψ το γεωκεντρικό πλάτος, που σχηµατίζεται από την επιβατική ακτίνα ΟΡ και τον άξονα r, και u το αναχθέν πλάτος, που ορίζεται από την ακτίνα ΟΡ (κύκλος ακτίνας a) και τον άξονα r. Σχ.3. 3. Γεωδαιτικό, γεωκεντρικό και αναχθέν πλάτος Από το (Σχ.3.3) προκύπτει ότι: dz = tan(90+φ) = -cotφ dr (3.6) ενώ Z tanψ = r Οι σχέσεις αυτές, αν συνδυαστούν και µε την παραµετρική εξίσωση της µεσηµβρινής έλλειψης: r a cosu = Z b sinu (3.7)

41 δίνουν: b tanψ = a tanφ και b tanu = tanφ a ή b tanψ = a tanφ = (1- e )tanφ (3.8) b tanu = a tanφ = 1- e tanφ (3.9) b tanψ = a tanu = 1- e tanu (3.10) tanψ tanu = = 1- e tanu tanφ (3.11) Εάν οι προηγούµενες σχέσεις αναπτυχθούν σε σειρά, τότε: 3 m m ψ =φ -m sinφ+ sin4φ - sin6φ+... 8 όπου: e m = -e ή 4 e e e ψ =φ -( + +...)sinφ+( +...)sin4φ -... 4 8 ή e ψ φ - sinφ (3.1) Για ελλειψοειδή αναφοράς, όπως π.χ. το γήινο ισχύει:

4 ψ φ -11 sinφ (3.13) Επίσης: 3 n n u =φ-n sinφ+ sin4φ - sin6φ+... 3 όπου: 4 6 f e e 5e n = = + + +... - f 4 8 64 ή 4 4 e e e u =φ-( + +...)sinφ+( +...)sin4φ -... 4 8 3 ή f u φ - sinφ (3.14) Για ελλειψοειδή αναφοράς, όπως π.χ. το γήινο ισχύει: u φ -5.5 sinφ (3.15) 3.3 Καρτεσιανές συντεταγµένες της µεσηµβρινής τοµής. Οι καρτεσιανές συντεταγµένες της µεσηµβρινής τοµής συναρτήσει µόνο του γεωδαιτικού (ή γεωγραφικού) πλάτους, υπολογίζονται µε τη βοήθεια των σχέσεων: r a Z + =1και b dz = tan(90+φ) = -cotφ dr ιαφορίζοντας την πρώτη: r a Z + b dz = 0 dr ή dz b r = - dr a Z και tanφ = b a Z r