Προσοµοίωση (Simulation)

Προσοµοίωση (Simulation) Η παρουσίαση προετοιµάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Επιχειρησιακή Έρευνα

Περιεχόµενα Παρουσίασης 1. Εισαγωγικά Στοιχεία 2. Βασικές Μέθοδοι Προσοµοίωσης 3. Παράδειγµα Ελέγχου Αποθεµάτων 4. Προσοµοίωση στη Βιοµηχανική Παραγωγή 5. Λογισµικό 2

Εισαγωγικά Στοιχεία Προσοµοίωσης 3

Γενική Εισαγωγή Εισαγωγικά Στοιχεία στην Προσοµοίωση Προσο- µοίωση Προσοµοίωση είναι η διαδικασία κατά την οποία ένα µαθηµατικό µοντέλο (υπόδειγµα) τίθεται σε λειτουργία για κάποιο χρονικό διάστηµα µε σκοπό να ληφθούν αποτελέσµατα σχετικά µε τοφυσικόσύστηµα πάνω στο οποίο βασίζεται το µοντέλο Πρόκειται για πειραµατικό κλάδο της Επιχειρησιακής Έρευνας και των Μαθηµατικών Στηρίζεται σε µεγάλο βαθµό στους ηλεκτρονικούς υπολογιστές 4

Είδη Προσοµοίωσης Εισαγωγικά Στοιχεία στην Προσοµοίωση Ντετερµινιστική προσοµοίωση (deterministic simulation) Λύνει συστήµατα εξισώσεων (διαφορών διαφορικών κλπ.) σαν συναρτήσεις χρόνου (και παρακολουθεί έτσι την εξέλιξη φυσικών συστηµάτων) Πιθανολογική προσοµοίωση (probabilistic simulation) Προσοµοιώνει και τα πιθανολογικά φαινόµενα που οφείλονται στις τυχαίες µεταβλητές που επηρεάζουν το φυσικό σύστηµα Ονοµάζεται και προσοµοίωση «τύπου Monte Carlo» 5

Εισαγωγικά Στοιχεία στην Προσοµοίωση Βασική ιάκριση Μοντέλων Επιχειρησιακής Έρευνας Αναλυτικά Μοντέλα Μοντέλα Προσοµοίωσης 6

Εισαγωγικά Στοιχεία στην Προσοµοίωση Βασικά Στάδια σε Μία Τυπική Προσοµοίωση Προσδιορισµός Προβλήµατος & Στόχων Συλλογή και Επεξεργασία Πληροφοριών Προετοιµασία του Μαθηµατικού Μοντέλου Αρχική Εκτίµηση Μοντέλου Προετοιµασία Προγράµµατος Η/Υ ιόρθωση & Επαλήθευση Προγράµµατος Τεκµηρίωση & εφαρµογή Προγραµµατισµός Πειραµάτων (Testing) Ανάλυση Αποτελεσµάτων 7

Ορισµένα Θέµατα που θα Συζητηθούν Εισαγωγικά Στοιχεία στην Προσοµοίωση Παραγωγή τυχαίων αριθµών Προσοµοίωση τυχαίων φαινοµένων (ήτυχαίων µεταβλητών) Τεχνικές προσαυξήσεως χρόνου Γλώσσες προγραµµατισµού Ανάλυση ευαισθησίας, στατιστική ανάλυση & σηµασία, επαλήθευση αποτελεσµάτων Πλεονεκτήµατα & µειονεκτήµατα προσοµοίωσης 8

Παραγωγή Τυχαίων Αριθµών Εισαγωγικά Στοιχεία στην Προσοµοίωση Η ύπαρξη πηγής τυχαίων αριθµών είναι απαραίτητη στην πιθανολογική προσοµοίωση. Τυχαίοι αριθµοί δηµιουργούνται µε: Χρήση πινάκων (πχ. πίνακας 1,000,000 τυχαίων αριθµών της RAND Corporation, 1955) Χρήση ηλεκτρονικού υπολογιστή (γεννήτρια ψευδοτυχαίων αριθµών) 9

Εισαγωγικά Στοιχεία στην Προσοµοίωση Παραγωγή Τυχαίων Αριθµών µε Υπολογιστή Ο γενικός τύπος που χρησιµοποιείται είναι ο εξής: xn+1 = (α xn + c) (modulo m) Τα µεγέθη που χρησιµοποιούνται είναι τα ακόλουθα: α, c, m σταθεροί αριθµοί µε α<m, c<m xn και xn+1 ο n-στος και (n+1)-στος τυχαίος αριθµός αντιστοίχως Είναι δυνατό να χρησιµοποιηθούν και άλλες µορφές του παραπάνω γενικού τύπου 10

Ένα Παράδειγµα... Εισαγωγικά Στοιχεία στην Προσοµοίωση εδοµένα:α=5, c=7, m=8 και έστω x 0 =4 Παραγόµενη ακολουθία: n Xn 5Xn+7 (5Xn+7)/8 Xn+1 0 4 27 3+3/8 3 1 3 22 2+6/8 6 2 6 37 4+5/8 5 3 5 32 4+0/8 0 4 0 7 0+7/8 7 5 7 42 5+2/8 2 6 2 17 2+1/8 1 7 1 12 1+4/8 4 x n+1 = α x n + c (modulo m) Η ακολουθία είναι πεπερασµένη και µετάαπόέναορισµένο σηµείο, απλώς επαναλαµβάνεται Για µεγάλο m και µεγάλα c και x0 δεν τίθεται πρόβληµα λόγω της πεπερασµένης ακολουθίας 11

Επιθυµητά Χαρακτηριστικά Ακολουθιών Τυχαίων Αριθµών Εισαγωγικά Στοιχεία στην Προσοµοίωση Οι αριθµοί είναι κατανεµηµένοι οµοιόµορφα Οι αριθµοί είναι στατιστικά ανεξάρτητοι Οι ακολουθίες αριθµών µπορούν να αναπαραχθούν Η ακολουθία δεν αυτο-επαναλαµβάνεται για µεγάλα διαστήµατα Η παραγωγή τυχαίων αριθµών είναι ταχύτατη εν απαιτείται πολύ µνήµη από τον υπολογιστή 12

Εισαγωγικά Στοιχεία στην Προσοµοίωση Στο Υπόλοιπο της Παρουσίασης Θεωρούµε Ότι: Η µέθοδος παραγωγής ακολουθιών τυχαίων αριθµών µε τις επιθυµητές ιδιότητες υπάρχει (µέσω πίνακα ή ηλεκτρονικού υπολογιστή) Με R ή Ri συµβολίζουµε τυχαίουςαριθµούς που είναι οµοιόµορφα κατανεµηµένοι µεταξύ του 0 και του 1 13

Βασικές Μέθοδοι Προσοµοίωσης 14

Βασικές Μέθοδοι Προσοµοίωσης Παραγωγή ειγµάτων από Τυχαίες Μεταβλητές (ή Προσοµοίωση Τυχαίων Φαινοµένων) Χρησιµοποιώνταςτουςτυχαίουςαριθµούς R είναι δυνατό να προσοµοιώσουµε (τουλάχιστον κατά προσέγγιση) σχεδόν οποιαδήποτε τυχαία µεταβλητή. Με άλλα λόγια, µπορούµε να λάβουµε δείγµατα από οποιαδήποτε συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας (σ.π.π.). ιακρίνουµε 2 περιπτώσεις προσοµοίωσης: Παραγωγή ειγµάτων ιακριτών Τυχαίων Μεταβλητών Παραγωγή ειγµάτων Συνεχών Τυχαίων Μεταβλητών 15

Παράδειγµα Προσοµοίωσης - ιακριτές Τυχαίες Μεταβλητές Βασικές Μέθοδοι Προσοµοίωσης 30% των πελατών ενός καταστήµατος µεταξύ 9 και 10 π.µ. είναι άντρες και 70% Ν=1000 Παραγωγή Νέου R ΑΡΧΗ γυναίκες. Οι πελάτες είναι στατιστικά ανεξάρτητοι. Ναι R<=30? Όχι Να προσοµοιωθεί η άφιξη Άνδρας Γυναίκα 1,000 πελατών Σηµείωση: Το πρόβληµαθα µπορούσε να έχει περισσότερες από 2 τιµές Όχι Ν=Ν-1 Ν=0 Ναι ΤΕΛΟΣ 16

Βασικές Μέθοδοι Προσοµοίωσης Μέθοδοι Προσοµοίωσης Συνεχών (ή Μικτών) Τυχαίων Μεταβλητών ιακρίνουµε τέσσερις βασικές τεχνικές: Μέθοδος της αντιστροφής (η βασικότερη) Μέθοδος χρησιµοποίησης σχέσεων µεταξύ τυχαίων µεταβλητών Μέθοδος προσεγγίσεως (εφαρµογή Κ.Ο.Θ.) Μέθοδος απορρίψεως (χρησιµοποιείται κυρίως µε ασυνήθιστες σ.π.π.) 17

Μέθοδος Αντιστροφής Βασικές Μέθοδοι Προσοµοίωσης Πρόκειται για την πιο βασική µέθοδο προσοµοίωσης συνεχών τυχαίων µεταβλητών Βασίζεται στο γεγονός ότι για κάθε τυχαία µεταβλητή x, η αθροιστική συνάρτηση κατανοµής Fx(x) έχει την ιδιότητα ότι 0<=Fx(x)<=1 για όλες τις τιµές του x 18

Παράδειγµα ΜεθόδουΑντιστροφής Βασικές Μέθοδοι Προσοµοίωσης Να παραχθούν δείγµατα t s, της τυχαίας µεταβλητής t, µε αρνητική εκθετική σ.π.π. f t (T) = λ e -λt, για Τ>=0 F t (T) 1 T T F t (T) = f t (τ) dt = λ e -λt dt = 1- e -λt, για Τ>=0 0 0 R 1-e -λt Θέτουµε: R = 1- e -λτ Οπότε:t s = -[ln(1-r)]/λ (1) 0 t s t s =F t -1 (R) T Η (1) µας δίνει δείγµατα της µεταβλητής t 19

Τεχνικές Προσαυξήσεως Χρόνου Βασικές Μέθοδοι Προσοµοίωσης Προσαύξηση του χρόνου κατά κανονικά διαστήµατα Ο χρόνος αυξάνεται κατά τακτά διαστήµατα (πχ. κάθε µία ώρα) ανάλογα µε τοπρόβληµα Ηπροσοµοίωση παρακολουθεί τα γεγονότα που συµβαίνουν µεταξύ κάθε ζεύγους αυτών των προκαθορισµένων χρονικών σηµείων Προσαύξηση του χρόνου ανάλογα µε τα γεγονότα Ηπροσοµοίωση πραγµατοποιεί «άλµατα» µεταξύ των διαδοχικών στιγµών κατά τις οποίες ορισµένα σηµαντικάγεγονότασυµβαίνουν (πχ. άφιξη ή αναχώρηση πελατών κλπ.) 20

Βασικές Μέθοδοι Προσοµοίωσης Παράδειγµα Προσαύξησης του Χρόνου Κατά Κανονικά ιαστήµατα Κατάστηµα ηλεκτρικών ειδών πουλά τηλεοράσεις και θέλει να χαράξει στρατηγική παραγγελιών µιας συγκεκριµένης µάρκας εδοµένα: Πωλήσεις κάθε ηµέρας (0 έως 4 µε ίση πιθανότητα) Υλοποίηση παραγγελίας: 10 ή 15 ηµέρες µε ίση πιθανότητα 300 ηµέρες προσοµοίωσης Τρέχον απόθεµα: 80 τηλεοράσεις µε κόστος ρχ 40 την ηµέρα Κόστος νέας παραγγελίας: 400+Q (Q=αριθµός TVs που παραγγέλθηκαν) Κόστος καθυστέρησης άφιξης παραγγελίας: ρχ 2000 21

Περί Στρατηγικής... Βασικές Μέθοδοι Προσοµοίωσης Προσδιορισµός επιπέδου παραγγελίας, S Κάθε φορά που το επίπεδο του αποθέµατος πέφτει κάτω από το επίπεδο παραγγελίας S, ο καταστηµατάρχης θα πρέπει να πραγµατοποιήσει νέα παραγγελία Προσδιορισµός µεγέθους παραγγελίας Q Κάθε φορά που γίνεται νέα παραγγελία θα πρέπει να παραγγέλλεται ποσότητα Q 22

Χρησιµοποιούµενοι Συµβολισµοί Βασικές Μέθοδοι Προσοµοίωσης R: Τυχαίος αριθµός µεταξύ 0 και 1 S: Επίπεδο παραγγελίας Q: Ποσότητα παραγγελίας D: Αύξων αριθµός ηµερών (1 έως 300) TV: Αριθµός TVs που ζητούνται µία ηµέρα (0 έως 4) Ζ: Συνολικός αριθµός ηµερών χωρίς αποθέµατα Τ: Αύξων αριθµός ηµέρας κατά την οποία θα φτάσει η παραγγελία C: Συνολικό κόστος αποθεµατικής στρατηγικής Ι: Αποθέµατα κάθε ηµέρα 23

Λογικό ιάγραµµα Παραδείγµατος Βασικές Μέθοδοι Προσοµοίωσης Καθορισµός αρχικών τιµών των διαφόρων µεταβλητών Αποτελέσµατα/ Τέλος Υπολογισµός του αριθµού TV που πωλούνται την ηµέρα D Ναι Τέλειωσαν οι 300 µέρες? Όχι Εξαντλήθηκαν τα αποθέµατα σήµερα? Όχι Ναι Ενηµέρωση µεταβλητών Όχι Ενηµέρωση µεταβλητών Αύξηση αποθεµάτων Ναι Ηµέρα παράδοσης παραγγελίας Όχι Ναι Ενηµέρωση του Ι Είναι το Ι κάτω του επιπέδου παραγγελιών? Ναι Έχει γίνει ήδη παραγγελία? Όχι Παραγγελία & ενηµέρωση µεταβλητών Αύξηση Ηµ/νίας D στον χρόνο αφίξεως νέας παραγγελίας Τέλειωσαν οι 300 µέρες? Ναι Αποτελέσµατα/ Τέλος Όχι 24

Βασικές Μέθοδοι Προσοµοίωσης Παράδειγµα Προσαύξησης του Χρόνου Ανάλογα µε ταγεγονότα(1/3) Αφίξεις Υπηρεσία Αναχωρήσεις σ.π.π. για χρόνο µεταξύ αφίξεων σ.π.π. για διάρκεια εξυπηρετήσεως Z 1/2 0 2 t(mins) 0 1/2 1 t(mins) 25

Βασικές Μέθοδοι Προσοµοίωσης Παράδειγµα Προσαύξησης του Χρόνου Ανάλογα µε ταγεγονότα(2/3) Ορίσουµε ταακόλουθαγεγονότα: tnc: χρόνος αφίξεων νέου πελάτη tss: χρόνος ενάρξεως νέας εξυπηρετήσεως tsf: χρόνος λήξεως εξυπηρετήσεως t1: χρόνος λήξεως προσοµοίωσης (600 λεπτά) I: αριθµός πελατών σε αναµονή N: 0 εάν η υπηρεσία δεν είναι απασχοληµένη, 1 αλλιώς 26

Βασικές Μέθοδοι Προσοµοίωσης Παράδειγµα Προσαύξησης του Χρόνου Ανάλογα µε ταγεγονότα(3/3) Για την καλύτερη κατανόηση της προσοµοίωσης, χρησιµοποιείται απεικόνιση σε λογικό διάγραµµα Τα δύο βασικά µεταβαλλόµενα µεγέθη που εµφανίζονται είναι τα εξής: t: Χρόνος R: Τυχαίος αριθµός µεταξύ του 0 και του 1 που παράγεται από τον ηλεκτρονικό υπολογιστή Θεωρούµε ότι εµφανίστηκε η εξής ακολουθία τυχαίων αριθµών: 0.6, 0.1, 0.4, 0.15, 1.0, 0.8, 0.6, 0.45 κλπ. 27

Λογικό ιάγραµµα Παραδείγµατος Αρχή I=0 N=0 t 1 =600 t nc =2*R t ss =999 t sf =999 t sf =t+0.5+0.5*r T=min(t nc, t ss, t sf,t 1 ) t ss t 1 t sf Β Βασικές Μέθοδοι Προσοµοίωσης t sf =999 Α t nc t ss =999 N=0 Ναι Ν=0 Όχι Α Ι>0? Ν=1 Β Ναι t ss =t t nc =t+2*r I=I+1 Υπολογισµός στατιστικών στοιχείων αποτελεσµάτων προσοµοίωσης t ss =t N=1 Όχι I=I-1 Α Τέλος 28 Α

Καταγραφή της ιαδικασίας Βασικές Μέθοδοι Προσοµοίωσης (0.6) Tnc(0.1) Tnc(0.15) tnc 1.2 1.4 1.4 1.7 3.7 3.7 3.7 3.7 3.7 tss 999 1.2 999 999 999 1.9 999 2.8 999 tsf 999 tnc 999 tss 1.9 tnc 1.9 tnc 1.9 tsf 999 tss 2.8 tsf 999 tss 3.6 tsf t1 600 600 Tss(0.4) 600 600 600 600 600 600 600 N 0 1 1 1 1 1 1 1 1 I 0 0 0 1 2 1 1 0 0 t 1.2 1.2 1.4 1.7 1.9 2.8 2.8 3.6 3.7 Αριθµός πελατών σε αναµονή 2 Σύστηµα εξυπηρέτησης απασχοληµένο 1 0 1.2 1.4 1.7 1.9 2.8... 3.6 3.7 29 t(mins)

Γλώσσες Προγραµµατισµού Προσοµοίωσης Βασικές Μέθοδοι Προσοµοίωσης Γενικές Γλώσσες Fortran Visual Basic Visual C Ειδικές γλώσσες προγραµµατισµού GPSS (General Purpose Simulation System) SIMAN SIMSCRIPT DYNAMO Γραφικό περιβάλλον προγραµµατισµού ARENA 30

Παράδειγµα Γλώσσας Προγ/µού Προσοµοίωσης 1 FUNCTION RN1, C2 0.0, 0.0/1.0, 0.8 GENERATE 4, FN1 QUEUE 1 SEIZE 1 DEPART 1 ADVANCE 3, FN2 RELEASE 1 TERMINATE 1 FUNCTION RN2, C2 2 0.0, 2.0/1.0, 4.0 START 2400 Βασικές Μέθοδοι Προσοµοίωσης Παράδειγµα σεgpss Μία προσοµοίωση για την οποία θα απαιτούνταν περίπου 100 εντολές προγ/µού σε µια συµβατική γλώσσα, εκτελείται σε λίγες γραµµές σε µια εξειδικευµένη γλώσσα προσοµοίωσης (και σε καµία σε ένα visual περιβάλλον...) 31

Βασικές Μέθοδοι Προσοµοίωσης Προβλήµατα Στατιστικής Αναλύσεως & Αναλύσεως Ευαισθησίας των Αποτελεσµάτων Προσοµοιώσεων Αρχική κατάσταση του συστήµατος που προσοµοιώνεται Στοχαστική σύγκλιση τιµών Ερµηνεία αποτελεσµάτων από προσοµοιώσεις πολύπλοκων ή πολυσύνθετων φυσικών συστηµάτων Τοπική ή γενική βελτιστοποίηση 32

Παράδειγµα Ελέγχου Αποθεµάτων 33

Παράδειγµα Ελέγχου Αποθεµάτων Παράδειγµα Ελέγχου Αποθεµάτων Ανάλυση συστήµατος σταθερής ποσότητας παραγγελίας (Fixed Order Quantity System ή Lot Size System) Πραγµατοποιούνται παραγγελίες σταθερής ποσότητας κάθε φορά που το απόθεµα γίνεταιµικρότερο ή ίσο µιας ορισµένης ποσότητας (σηµείο παραγγελίας) Το σηµείο παραγγελίας καθορίζεται όταν υπάρχει καθυστέρηση αφίξεως των παραγγελιών και στοχαστική ζήτηση, ώστε να περιλαµβάνει ένα απόθεµα ασφαλείας Η βέλτιστη τιµή της σταθερής ποσότητας παραγγελίας εξαρτάται από τη σχετική τιµή του κόστους παραγγελίας και του κόστους διατηρήσεως αποθέµατος 34

Υπολογισµός Ποσότητας Παραγγελίας Παράδειγµα Ελέγχου Αποθεµάτων q op = Q = 2C 0 S C u i S: Ολική ετήσια ζήτηση C0: Κόστος παραγγελίας Cu: Αξία µονάδος αποθέµατος i%: Κόστος διατήρησης αποθέµατος (% κόστους µονάδας ανά έτος) 35

Χρησιµότητα Προσοµοίωσης Παράδειγµα Ελέγχου Αποθεµάτων Το απόθεµα ασφαλείας µπορεί να υπολογισθεί αναλυτικά µε τη βοήθεια των Πιθανοτήτων & της Στατιστικής µόνον σε ορισµένες περιπτώσεις: Προβλήµατα εµφανίζονται όταν: Η ζήτηση δεν ακολουθεί µια γνωστή κατανοµή (κανονική, Poisson κλπ.) Ο χρόνος άφιξης παραγγελίας δεν είναι σταθερός αλλά στατιστικό µέγεθος που ακολουθεί εµπειρική κατανοµή Ηπροσοµοίωση µπορεί να δώσει µια πρακτικά ικανοποιητική λύση σε όλες τις περιπτώσεις 36

εδοµένα Παραδείγµατος Παράδειγµα Ελέγχου Αποθεµάτων Η ζήτηση ακολουθεί κατανοµή Poisson µε µέση τιµή Dm=0.6 µονάδες ανά περίοδο Οχρόνοςάφιξηςπαραγγελίαςακολουθείεµπειρική κατανοµή µε µέση τιµή Tm=4.3 περίοδοι Οι προσεγγιστικές τιµές των κατανοµών δίνονται σε διαγράµµατα (µε δείκτηx ορίζονται οι τυχαίες µεταβλητές και µε δείκτη m οι µέσες τιµές) Με βάση τις κατανοµές προκύπτουν οι αθροιστικές κατανοµές που χρησιµοποιούνται µαζί µε τυχαίουςαριθµούς για την παραγωγή στατιστικών στοιχείων της διαδικασίας) 37

Παράδειγµα Ελέγχου Αποθεµάτων Κατανοµή Ζήτησης & Χρόνου Άφιξης Παραγγελίας 0.549 0.329 D m =0.6 0.400 0.300 T m =4.3 0.099 0.200 0.100 0.020 0.009 0 1 2 3 4 Dx 3 4 5 6 T x 38

Παράδειγµα Ελέγχου Αποθεµάτων Αθροιστικές Καµπύλες Πιθανότητας Ζήτησης & Χρόνου Αφίξεως Παραγγελίας 0.878 0.977 0.997 1.000 0.900 1.000 0.549 0.600 0.200 0 1 2 3 4 D x 3 4 5 6 T x 39

Ορισµένα Ακόµη Στοιχεία... Παράδειγµα Ελέγχου Αποθεµάτων Αντικειµενικός σκοπός της προσοµοίωσης είναι: Ο καθορισµός του σηµείου παραγγελίας που δίνει τη συνολική δαπάνη εκµετάλλευσης της αποθήκης, που περιλαµβάνει: Την δαπάνη διατήρησης του αποθέµατος στην αποθήκη συµπεριλαµβανοµένου σε αυτήν και το κόστος του δεσµευµένου κεφαλαίου Τηνδαπάνηλόγωαπώλειαςπωλήσεωνόταναυτέςδενείναιδυνατόννα εξυπηρετηθούν αφού η αποθήκη είναι κενή (εδώ περιλαµβάνεται και το κόστος απώλειας πελατών λόγω δυσαρέσκειάς τους από την κακή εξυπηρέτηση) 40

ιαδικασία που Ακολουθείται Παράδειγµα Ελέγχου Αποθεµάτων Η σταθερή ποσότητα παραγγελίας υπολογίζεται αναλυτικά από τον γνωστό τύπο (και προκύπτει ίση µε 12) Γιαναβρεθείηβέλτιστητιµή τουσηµείου παραγγελίας δίνονται δοκιµαστικές τιµές και µε προσοµοίωση υπολογίζεται το συνολικό κόστος εκµετάλλευσης Επιλέγεται το σηµείο που δίνει το ελάχιστο κόστος 41

Ο κύκλος ολοκληρώνεται όταν πραγµατοποιείται ξανά παραγγελία Βασικός Πίνακας Προσοµοίωσης Χρονική περίοδος (µέρα, εβδοµάδα κλπ.) Κύκλος (Α) Τυχαίος αριθµός χρόνου άφιξης Περίοδος (Β) Αρχικό Απόθεµα (Γ) Τ ( ) D (Ε) 1 1 3 4 0 3 2 3 1 2 3 2 0 2 4 2 0 14 5 14 1 13 6 13 0 13 7 13 1 12 8 12 1 11 9 11 2 9 10 9 0 9 11 9 0 9 12 9 0 9 13 9 1 9 14 9 3 8 15 8 1 5 16 5 1 4 17 4 0 3 2 1 3 5 0 3 2 3 1 3 3 3 0 2 Παράδειγµα Ελέγχου Αποθεµάτων Τυχαίος αριθµός µονάδων ζήτησης Τελικό Απόθεµα (Ε) 42

Παράδειγµα Ελέγχου Αποθεµάτων ιάγραµµα Προσοµοίωσης Μεταβολής Αποθέµατος 16 14 12 10 8 6 4 2 0 43

Επεξήγηση Βηµάτων (1/2) Παράδειγµα Ελέγχου Αποθεµάτων Ηπροσοµοίωση αρχίζει µε απόθεµα 3 µονάδες Το σηµείο παραγγελίας είναι 3 µονάδες Στην αρχή κάθε περιόδου ελέγχουµε αντοαπόθεµα είναι µικρότερο ή ίσο του σηµείου παραγγελίας. Αν ναι, πραγµατοποιούµε παραγγελία ίση µε ένα σταθερό µέγεθος (12 µονάδες) Όταν πραγµατοποιείται παραγγελία, παράγεται µία τιµήτου χρόνου παραλαβής από την αθροιστική καµπύλη πιθανότητας παραγγελίας Σε κάθε περίοδο, παράγεται µια τιµή της ζήτησης από την αθροιστική καµπύλη πιθανότητας ζήτησης 44

Επεξήγηση Βηµάτων (2/2) Παράδειγµα Ελέγχου Αποθεµάτων Η ζήτηση κάθε περιόδου αφαιρείται από το αρχικό απόθεµα, οπότε προκύπτει το τελικό απόθεµα της περιόδου Το τελικό απόθεµα µιαςπεριόδουείναιτοαρχικότηςεπόµενης Η διαδικασία αυτή συνεχίζεται µέχρι το απόθεµα ναγίνει µικρότερο ή ίσο µε τοσηµείο παραγγελίας, οπότε και ξεκινά η προσοµοίωση ενός καινούργιου κύκλου Η διαδικασία της προσοµοίωσης ολοκληρώνεται µετά την ολοκλήρωση ικανοποιητικού αριθµού κύκλων που εξασφαλίζει την «σταθεροποίηση των αποτελεσµάτων» Αυτή η διαδικασία επαναλαµβάνεται για πολλές διαφορετικές τιµές του σηµείου παραγγελίας, ώστε να βρεθεί η οικονοµικότερη λύση 45

Παράδειγµα Ελέγχου Αποθεµάτων Πίνακας Στατιστικών Στοιχείων Προσοµοίωσης Κύκλος (Α) Px (B) Pm (Γ) Ix ( ) Im (Ε) Sx (Ζ) Sm (Η) 1 17 17,000 135 135,000 0 0,000 2 20 18,500 163 149,000 0 0,000 3 25 20,667 176 158,000 0 0,000 4 27 22,250 233 176,750 0 0,000 5 17 21,200 115 164,400 0 0,000 6 30 22,667 214 172,667 0 0,000 7 16 21,714 129 166,429 0 0,000 8 17 21,125 108 159,125 0 0,000 9 22 21,222 174 160,333 0 0,000 10 18 20,900 101 134,400 0 0,000 Οι κύκλοι από 11 έως 989 παραλείπονται 990 47 20,208 410 141,283 0 0,581 991 13 20,201 65 141,206 2 0,582 992 26 20,207 217 141,282 0 0,582 993 25 20,211 162 141,303 0 0,581 994 24 20,215 119 141,281 5 0,586 995 26 20,221 129 141,339 0 0,585 996 20 20,221 199 141,334 0 0,584 997 20 20,211 142 141,335 0 0,584 998 21 20,211 119 181,313 3 0,586 999 21 20,222 140 141,311 0 0,586 1000 19 20,221 135 141,305 0 0,585 P x : αριθµός περιόδων ανά κύκλο P m : τρέχουσα µέση τιµή του P x κατά τους εκάστοτε προηγούµενους κύκλους του πειράµατος Ι x : ολικός αριθµός µονάδων αποθέµατος κάθε κύκλου Ι : τρέχουσα µέση τιµή του Ι m x : ολικός αριθµός µονάδων που S x ελλείπουνσεκάθεκύκλο S m : τρέχουσα µέση τιµή του S x 46

Ολοκλήρωση Προσοµοίωσης Παράδειγµα Ελέγχου Αποθεµάτων Οι τιµές των Pm, Im, Sm κατά τον 1000στό κύκλο αποτελούν εκτιµήσεις των αναµενόµενων (µέσων) τιµών των τυχαίων µεταβλητών Px, Ix, Sx Η σταθεροποίηση των τιµών αποτελεί σηµαντικό κριτήριο για την επάρκεια της διάρκειας του πειράµατος (οι 1000 κύκλοι θα µπορούσαν να είναι 2000 ή 500 σε κάποιο άλλο παράδειγµα) Υπάρχουν συγκεκριµένοι τρόποι εκτίµησης των κύκλων που απαιτούνται για την ολοκλήρωση της προσοµοίωσης Υπάρχει η δυνατότητα πραγµατοποίησης µίας µόνο προσοµοίωσης που να περιλαµβάνει 1000 κύκλους εφόσον εξασφαλιστεί ότι δεν εµφανίζονται φαινόµενα αυτοσυσχέτισης (autocorrelation) 47

Υπολογισµός Κόστους Παράδειγµα Ελέγχου Αποθεµάτων Από τις τιµές 141.305 και 0.585 των Im και Sm προκύπτουν τόσο το συνολικό απόθεµα της αποθήκης κατά τους 1000 κύκλους (141.305 µονάδες), όσο και το συνολικό ελλείπον απόθεµα (505 µονάδες) Γνωρίζοντας το κόστος διατήρησης µιας µονάδας αποθέµατος C1 και το κόστος έλλειψης αυτής από την αποθήκη όταν ζητηθεί C2 µπορούµε εύκολα να υπολογίσουµε το ολικό κόστος εκµετάλλευσης της αποθήκης από την σχέση C = 141.305 * C1 +585 * C2 Εκτελώντας την προσοµοίωση για διαφορετικές τιµές του σηµείου παραγγελίας βρίσκουµε τηντιµή για την οποία το ανωτέρω ολικό κόστος C είναι ελάχιστο 48

Εφαρµογή Προσοµοίωσης σε Συστήµατα Παραγωγής Προσοµοίωση στη Βιοµηχανική Παραγωγή Ένα σύστηµα παραγωγήςµοντελοποιείται ως ένα σύνολο από σταθµούς εξυπηρέτησης (εργαλειοµηχανές, µεταφορικός εξοπλισµός, ροµπότ κλπ.) και πελάτες (προϊόντα, παραγγελίες) Μπροστά από κάθε σταθµό εξυπηρέτησηςυπάρχειµια περιοχή προσωρινής αποθήκευσης (buffer) Οι λεπτοµέρειες λειτουργίας του εξοπλισµού συνήθως αγνοούνται Το ενδιαφέρον επικεντρώνεται στη διάρκεια και το αποτέλεσµα της διαδικασίας που πραγµατοποιεί κάθε συσκευή Συνήθως χρησιµοποιείται η προσοµοίωση διακριτών γεγονότων (discrete event simulation) 49

Προσοµοίωση στη Βιοµηχανική Παραγωγή Τυπικά Αποτελέσµατα Εκτέλεσης Προσοµοίωσης Μέγιστος, µέσος και ελάχιστος χρόνος επεξεργασίας κάθε εξαρτήµατος Αριθµός εξαρτηµάτων (οντοτήτων) µέσα στο σύστηµα Συνολικός αριθµός ετοίµων εξαρτηµάτων Ποσοστό χρήσης εργατικού δυναµικού, µηχανηµάτων και µεταφορικών συσκευών Μέγιστος, µέσος και ελάχιστος χρόνος που ένα εξάρτηµα περιµένει να εξυπηρετηθεί από µία µηχανή Μέγιστος, µέσος και ελάχιστος χρόνος εξαρτηµάτων στις περιοχές προσωρινής αποθήκευσης (µπροστά από µία µηχανή) 50

Προσοµοίωση στη Βιοµηχανική Παραγωγή Φάση Εφαρµογής Προσοµοίωσης Φάση σχεδιασµού ή ανασχεδιασµού ενός συστήµατος Σκοπός είναι η βελτιστοποίηση (ή βελτίωση) του αριθµού και της δυναµικότητας των στοιχείων και της διάταξης του συστήµατος Φάση λειτουργίας ενός συστήµατος Σκοπός είναι ο έλεγχος του εφικτού διαφόρων σεναρίων προγραµµατισµού παραγωγής και η εκτίµηση των συνεπειών των αποκλίσεων από αυτά 51

Παράδειγµα Εφαρµογής Προσοµοίωσης Προσοµοίωση στη Βιοµηχανική Παραγωγή Κατασκευαστής κοπτικών εργαλείων δεν είναι ικανοποιηµένος µε τη συνολική απόδοση του συστήµατος παραγωγής και ιδιαίτερα µε το χρόνο διεκπεραίωσης και την αξιοπιστία του χρόνου παράδοσης. Η εταιρεία αποφάσισε να διαπιστώσει ποιες από τις επόµενες κινήσεις θα είχαν τη µεγαλύτερη θετική επίδραση στο χρόνο διεκπεραίωσης. Τροποποίηση Μεγέθους Παρτίδων Εγκατάσταση Πρόσθετων Μηχανών Αναδιάταξη Στοιχείων Παραγωγής & ηµιουργία Νέων Γραµµών Παραγωγής Απόρριψη Μικρών Παραγγελιών & Αποκλειστική Ικανοποίηση Μεγάλων Παραγγελιών 52

Προσοµοίωση στη Βιοµηχανική Παραγωγή Ανάπτυξη Μοντέλου Προσοµοίωσης Καθορισµός Προβλήµατος ηµιουργία Μοντέλου Συγκέντρωση εδοµένων Επαλήθευση/ Επικύρωση Πειράµατα Εκτίµηση Αποτελεσµάτων Βελτιστοποίηση Μοντέλου Ερµηνεία / Εφαρµογή Το µοντέλο περιελάµβανε τα οκτώ τµήµατα παραγωγής, από την κοπή έως τη συσκευασία Μοντελοποιήθηκαν οι µηχανές, οι περιοχές προσωρινής αποθήκευσης, οι µεταφορικές συσκευές και το εργατικό δυναµικό Συµπεριλήφθηκαν απρόβλεπτες διαταραχές, όπως διακοπές µηχανών, έλλειψη πρώτων υλών και απουσία µέρους του εργατικού δυναµικού 53

Προσοµοίωση στη Βιοµηχανική Παραγωγή Επικύρωση Μοντέλου Προσοµοίωσης Καθορισµός Προβλήµατος ηµιουργία Μοντέλου Συγκέντρωση εδοµένων Επαλήθευση/ Επικύρωση Πειράµατα Εκτίµηση Αποτελεσµάτων Οι παραγγελίες των πελατών του τελευταίου τριµήνου τροφοδοτήθηκαν στο µοντέλο Ελέγχθηκε εάν το µοντέλο παρήγαγε αποτελέσµατα παρόµοια µε τα αποτελέσµατα που είχε παράγει στο παρελθόν το φυσικό σύστηµα Βελτιστοποίηση Μοντέλου Ερµηνεία / Εφαρµογή 54

Πραγµατοποίηση Πειραµάτων Προσοµοίωση στη Βιοµηχανική Παραγωγή Καθορισµός Προβλήµατος ηµιουργία Μοντέλου Συγκέντρωση εδοµένων Επαλήθευση/ Επικύρωση Πειράµατα Εκτίµηση Αποτελεσµάτων Βελτιστοποίηση Μοντέλου Ερµηνεία / Εφαρµογή Πραγµατοποιήθηκαν τροποποιήσεις µε σκοπό την εκτίµηση των επιδράσεων των αλλαγών. Κατόπιν, το µοντέλο τροφοδοτήθηκε µε τις ίδιες παραγγελίες αλλά: στην πρώτη παραλλαγή άλλαξαν τα µεγέθη των παρτίδων στη δεύτερη προστέθηκαν νέες µηχανές στη γραµµή παραγωγής στην τρίτη έγινε αναδιάταξη της γραµµής παραγωγής και ριζική αλλαγή της ροής των υλικών στην τέταρτη είχαν απορριφθεί όλες οι µικρές παραγγελίες 55

Εκτίµηση Αποτελεσµάτων Προσοµοίωση στη Βιοµηχανική Παραγωγή Καθορισµός Προβλήµατος ηµιουργία Μοντέλου Συγκέντρωση εδοµένων Επαλήθευση/ Επικύρωση Πειράµατα Εκτίµηση Αποτελεσµάτων Βελτιστοποίηση Μοντέλου Ερµηνεία / Εφαρµογή Καµία από τις κινήσεις δεν είχε σηµαντική επίδραση στη διεκπεραιωτική ικανότητα Παρόλα αυτά, γεννήθηκε η ιδέα χρήσης εργατικού δυναµικού µε πιο ευέλικτο τρόπο, η οποία είχε τα εξής αποτελέσµατα: Ο χρόνος διεκπεραίωσης ελαττώθηκε κατά 50% το αποθεµατικό στοκ ελαττώθηκε σηµαντικά Η αξιοπιστία του χρόνου παράδοσης αυξήθηκε κατά 10% 56

Προσοµοίωση στη Βιοµηχανική Παραγωγή Βελτιστοποιήσεις - Τροποποιήσεις Καθορισµός Προβλήµατος ηµιουργία Μοντέλου Συγκέντρωση εδοµένων Επαλήθευση/ Επικύρωση Πειράµατα Εκτίµηση Αποτελεσµάτων Βελτιστοποίηση Μοντέλου Χρειάστηκε προεργασία για την προσαρµογή του προσωπικού σε έναν πιο ευέλικτο τρόπο εργασίας Η ευελιξία ενέπλεκε πιο ευέλικτες ώρες εργασίας Το κόστος της προτεινόµενης λύσης ήταν πολύ µικρότερο σε σχέση µε το κόστος αγοράς νέου εξοπλισµού Ερµηνεία / Εφαρµογή 57

Εφαρµογή & Αποτελέσµατα Προσοµοίωση στη Βιοµηχανική Παραγωγή Καθορισµός Προβλήµατος ηµιουργία Μοντέλου Συγκέντρωση εδοµένων Επαλήθευση/ Επικύρωση Πειράµατα Εκτίµηση Αποτελεσµάτων Βελτιστοποίηση Μοντέλου Αποφεύχθηκε η πραγµατοποίηση άσκοπων επενδύσεων Επιτεύχθηκε η εξοικονόµηση ενός κόστους της τάξεως των 500 ΚECU µέσα στα δύο πρώτα χρόνια Αυξήθηκε η ικανοποίηση των πελατών Το συνολικό κόστος της µελέτης προσοµοίωσης ήταν µόλις 30 KECU Ερµηνεία / Εφαρµογή 58

Προσοµοίωση στη Βιοµηχανική Παραγωγή Κόστος & Οφέλη Προσοµοίωσης Ανάπτυξη ικανοτήτων εταιρείας στην προσοµοίωση απαιτεί: Ειδικό λογισµικό (US$ 2,000 - US$ 100,000) Υπολογιστή ( ρχ 600,000 έως ρχ. 1,000,000) Προσωπικό µε γνώσεις στην προσοµοίωση (εκ. ρχ. 6-10) Κόστος κάθε µελέτης: είναι το κόστος των ανθρωποωρών του προσωπικού Παρότι το κόστος µπορεί κατά προσέγγιση να υπολογιστεί, το όφελος είναι πολύ δυσκολότερο να προσδιορισθεί. Μπορεί να λεχθεί ότι: Η µέση σχέση κόστους-οφέλους κυµαίνεται από 1:6 έως 1:10 ενώ µπορεί να φτάσει µέχρι το 1:100 Η Βρετανική κατασκευαστική βιοµηχανία θα µπορούσε να εξοικονοµήσει έως και GBP 300 εκ. και η Γερµανική έως και DM 9 δις 59

Πλεονεκτήµατα από την Εφαρµογή Προσοµοίωσης Περικοπή κόστους λειτουργίας Μειωµένος κίνδυνος Προσοµοίωση στη Βιοµηχανική Παραγωγή Βαθύτερη κατανόηση των παραµέτρων της διαδικασίας Ελαχιστοποίηση χρόνου διεκπεραίωσης Ευκολότερη και ταχύτερη εισαγωγή νέων τεχνολογιών στα συστήµατα παραγωγής Μικρότερες επενδύσεις Το 90% των εταιρειών που χρησιµοποιούν προσοµοίωση σε βιοµηχανικές εφαρµογές δηλώνουν ικανοποιηµένοι (50-60% για συστήµατα ERP) 60

Προσοµοίωση στη Βιοµηχανική Παραγωγή Εφαρµογή στην Κατασκευαστική Βιοµηχανία Υπάρχει µεγάλη ποικιλία Αµερικάνικων και Ευρωπαϊκών πακέτων προσοµοίωσης µε πολλά πεδία εφαρµογών Οβαθµός εφαρµογής της προσοµοίωσης στην Ευρωπαϊκή βιοµηχανία είναι µόλις 10% Το ποσοστό είναι µικρότερο στις µικροµεσαίες επιχειρήσεις Ακόµα δεν υφίσταται ικανοποιητική γνώση της προσοµοίωσης και διάχυση των θετικών αποτελεσµάτων της Ηπροσοµοίωση µόλις τελευταία συνδυάζεται µε άλλες µεθοδολογίες 61

Ενδεικτικά Παραδείγµατα Προσοµοίωση στη Βιοµηχανική Παραγωγή Προµηθευτής µεταφορικών ταινιών: Απόδειξη ικανοτήτων προϊόντος σε πελάτη Κατασκευαστική εταιρεία ηλεκτρικών οικιακών συσκευών: Συνδυασµός προϊόντων για µια νέα γραµµή συναρµολόγησης Airbus: Βελτιστοποίηση µεταφορών σε Αγγλία, Γαλλία, Γερµανία Προµηθευτής βιοµηχανίας αυτοκινήτων: Εγκατάσταση συστήµατος συναρµολόγησης ιάφορες βιοµηχανίες: ιάταξη εξοπλισµού εργοστασίου 62

Συµπεράσµατα Προσοµοίωση στη Βιοµηχανική Παραγωγή Ηπροσοµοίωση είναι µια τεχνική µε µεγάλες δυνατότητες στην αύξηση της βιοµηχανικής παραγωγής Μπορεί να εφαρµοστεί σε µεγάλο εύρος προβληµάτων: στην φάση της σχεδίασης ενός συστήµατος κατά τη διάρκεια της λειτουργίας του Η χρήση της προσοµοίωσης στη βιοµηχανία είναι περιορισµένη παρότι τα αποτελέσµατά της, όπου έχει εφαρµοστεί, είναι θετικότατα Απαιτείται περισσότερη διάχυση και γνώση της προσοµοίωσης 63

Ενδεικτικά Ονόµατα Λογισµικού Προσοµοίωση στη Βιοµηχανική Παραγωγή ARENA Pro Model (και Process Model) SIMPLE ++ (SIMulation in Production, Logistics, Engineering) Q+ (AT&T) ( ιακριτά Συστήµατα) Array Processor Design Tool (Σήµατα, Εικόνα) SNNS (Stuttgart Neural Network Simulator) (Νευρωνικά ίκτυα) Great SPN (Petri Nets) 64

Optima! Λογισµικό Προσοµοίωσης Κατηγοριοποιεί τις δραστηριότητες ανά τµήµα ή αρµοδιότητα εντός του οργανισµού Παρέχει τη δυνατότητα δηµιουργίας χαρακτηριστικών (attributes) και µεταβλητών (variables) Προσφέρει ικανοποιητικές δυνατότητες στατιστικής ανάλυσης Οπτική απεικόνιση των σχέσεων µεταξύ των τµηµάτων και animation Προσφέρεται σε χαµηλό κόστος

Παράδειγµα Optima! (Time Card) Λογισµικό Προσοµοίωσης

Process Model Λογισµικό Προσοµοίωσης Προσοµοιώνει τα συστήµατα µε χρήσηγραφικών εικονιδίων Απεικονίζει στην οθόνη βασικούς δείκτες απόδοσης περιλαµβάνοντας activity-based costing, ανάλυση δυναµικότητας, και αξιολόγηση της διαδικασίας Χρησιµοποιεί στατιστικές αναφορά και διαγράµµατα Παριστάνει ανθρώπους, γραφική εργασία και ροή αντικειµένων κατά µήκος της διαδικασίας Επιτρέπει ιεραρχική µοντελοποίηση Προσφέρεται σε χαµηλό κόστος

Λογισµικό Προσοµοίωσης Process Model (Sheet Metal)

Witness Λογισµικό Προσοµοίωσης Παρέχει γραφικό περιβάλλον προσοµοίωσης ιαθέτει τις δυνατότητες υποστήριξης για τη λήψη αποφάσεων Προσοµοιώνει διαδικασίες διακριτών γεγονότων (discrete event processes) και και συνεχών διαδικασιών (continuous manufacturing processes) ιασυνδέεται µε πακέταµοντελοποίησης όπως το πακέτο µοντελοποίησης ProSim IDEF3 της KBSI

Παράδειγµα Witness Λογισµικό Προσοµοίωσης

ARENA Λογισµικό Προσοµοίωσης Παρέχει ένα από τα καλύτερα γραφικά περιβάλλοντα προσοµοίωσης Προσφέρει ένα ευέλικτο περιβάλλον µοντελοποίησης µέσω ενός φιλικού για τον χρήστη περιβάλλοντος Συνδυάζει όλα τις σχετικές µε την προσοµοίωση διαδικασίες όπως: animation, ανάλυση δεδοµένων εισόδου, model verification, και ανάλυση αποτελεσµάτων - σε ένα ολοκληρωµένο περιβάλλον προσοµοίωσης ιαθέτει εξειδικευµένα templates που υποστηρίζουν την κατασκευή µοντέλων εξειδικευµένων εφαρµογών

Παράδειγµα ARENA (Robot Cell) Λογισµικό Προσοµοίωσης

Service Model Λογισµικό Προσοµοίωσης ιαθέτει γραφικό περιβάλλον προσοµοίωσης Παρέχει απαντήσεις σε συγκεκριµένα ερωτήµατα που αφορούν τη δυναµικότητα της υπηρεσίας, την περιοχή αναµονής, τους χρόνους εξυπηρέτησης των πελατών την παραγωγικότητα των υπαλλήλων, τα δροµολόγια των οχηµάτων κλπ. Συνδέεται µε το πρόγραµµα µοντελοποίησης Design/IDEF modeling της Meta Software Corporation. Εξειδικεύεται στην προσοµοίωση διαδικασιών υπηρεσιών

Παράδειγµα Service Model (Banking) Λογισµικό Προσοµοίωσης

ProSim Λογισµικό Προσοµοίωσης

Θέµατα για συζήτηση - Συµπεράσµατα Ερωτήσεις... 76