ιοίκηση Παραγωγής και Υπηρεσιών Προγραµµατισµός Παραγωγής Εισαγωγή Ορισµοί Προβλήµατα µίας µηχανής Γιώργος Ιωάννου, Ph.D. Αναπληρωτής Καθηγητής
Σύνοψη διάλεξης Ορισµός Προγραµµατισµού Παραγωγής Είδη προβληµάτων Κριτήρια µέτρησης επιδόσεων Αλγόριθµοι επίλυσης Ερευνητική δραστηριότητα Μοντελοποίηση προβληµάτων Παραδοχές µοντέλων Βελτιστοποίηση προβληµάτων Προβλήµατα µίας µηχανής Χρόνοι προετοιµασίας 2
Ορισµός Η διαδικασίαοργάνωσης, επιλογής και χρονισµού της χρησιµοποίησης των πόρων για να πραγµατοποιηθούν οι απαραίτητες ενέργειες ώστε να περατωθεί η παραγωγή έγκαιρα, ικανοποιώντας παράλληλα ένα µεγάλο αριθµό περιορισµών 3
Προγραµµατισµός Παραγωγής Μια παραγωγική διαδικασία ορίζεται από: Εργασίες που πρέπει να γίνουν Μηχανέςστιςοποίεςθαγίνουνοιεργασίες Ορισµένες αρχές που ορίζουν τη σειρά µε την οποία πρέπει να γίνουν οι εργασίες στις µηχανές Οπρογραµµατισµός παραγωγής αποτελεί δύσκολη διαδικασία καθώς πρέπει να ικανοποιηθούν αντικρουόµενοι στόχοι Ο στόχος του προγραµµατισµού παραγωγής είναι το ζύγισµα των επιµέρους παραµέτρων µε βάση κάποια κριτήρια 4
Προγραµµατισµός Παραγωγής Από τον ορισµό προκύπτει ότι αν έχουµε άπειρη δυναµικότητα, το πρόβληµα τουπρογραµµατισµού Παραγωγής ουσιαστικά δεν υφίσταται Ηάπειρηδυναµικότητα στην πράξη δεν υπάρχει. Συνήθως έχουµε µηχανές µε πεπερασµένη δυναµικότητα Κάθε εργασία έχει συγκεκριµένο χρόνο επεξεργασίας (processing time) Σε µερικές περιπτώσεις µια εργασία µπορεί να εξαρτάται από µια άλλη 5
Είδη Προβληµάτων Με βάση τον αριθµό και τη διασύνδεση µεταξύ µηχανών, διακρίνουµε ταεξήςπροβλήµατα: Προβλήµατα µιας µηχανής (single-machine problem) Προβλήµατα παράλληλων µηχανών (parallel machines) Flowshop Jobshop Openshop 6
Είδη Προβληµάτων Με βάση δυναµικές παραµέτρους λειτουργίας, διακρίνουµε ταεξήςπροβλήµατα: Στατικά: Όλες οι εργασίες φτάνουν ταυτόχρονα στη µηχανή που είναι ελεύθερη Ντετερµινιστικά: Όλες οι παράµετροι γνωστές και σταθερές υναµικά, αν οι εργασίες φτάνουν µε τυχαίασειράστις µηχανές Στοχαστικά, αν η διάρκεια κάθε εργασίας δεν είναι σταθερή 7
Κατάταξη Προβληµάτων Όλα τα προβλήµατα σχεδιασµού παραγωγής µπορούν να χαρακτηριστούν σαν n/m/a/b όπου: n -> ο αριθµός των εργασιών m -> ο αριθµός των µηχανών Α-> το είδος της παραγωγικής διαδικασίας (πχ F για flowshops, G για general jobshops) Β-> το µέτρο βελτιστοποίησης 8
Κριτήρια Μέτρησης Επιδόσεων ιακρίνονται σε: Ικανοποίηση των προθεσµιών (due dates) Τον αριθµό των καθυστερηµένων παραδόσεων (tardy jobs) Τη µεγιστοποίηση της χρησιµοποίησης των πόρων Την ελαχιστοποίηση συνολικού χρόνου επεξεργασίας (total flowtime) καθώς και την ελαχιστοποίηση του συνολικού χρόνου αποπεράτωσης εργασιών (makespan) Τη µείωση αποθεµάτων ηµιετοίµων (WIP) και χρόνων στο σύστηµα (cycle time) 9
Αλγόριθµοι Επίλυσης Αποτελούν τη συνταγή για την επίλυση µοντέλων Η διαδικασία επίλυσης ενός µοντέλου περιλαµβάνει τα εξής στάδια: Κατάστρωση του µοντέλου Επιλογή δεδοµένων για τις παραµέτρους του προβλήµατος ηµιουργία αλγορίθµου 10
Αλγόριθµοι Επίλυσης (2) Χωρίζονται σε: Ακριβείς αλγορίθµους (exact algorithms). ίνουν πάντα τη βέλτιστη λύση αλλά σε µη πρακτικό συνήθως χρόνο Ευρετικούς αλγορίθµους (Heuristics). Λύσεις κοντά στις βέλτιστες σε σύντοµο χρόνο Μεταευρετικούς αλγορίθµους (Metaheuristics). Πιο γρήγοροι από τους ακριβείς, πιο αποδοτικοί από τους απλούς ευρετικούς 11
Ερευνητική ραστηριότητα Οπρογραµµατισµός παραγωγής εµφανίστηκε σαν ερευνητικό πεδίο στις αρχές του 20 ου αιώνα Παρουσίασε σηµαντική ανάπτυξη τη δεκαετία του 60 λόγω της ανάπτυξης των Η/Υ Μία από τις παλαιότερες εφαρµογές είναι το MRP του Joseph Orlicky Η µεγάλη πλειοψηφία των ερευνητών επικεντρώνεται στη µελέτη µαθηµατικών µοντέλων 12
Μοντελοποίηση Προβληµάτων Οι ερευνητές προβαίνουν σε υποθέσεις-παραδοχές ώστε να απλουστεύσουν τα µοντέλα και να είναι έτσι δυνατή η µελέτη τους Με την υιοθέτηση των παραδοχών αυτών, τα αντίστοιχα προβλήµατα δε µπορούν να χαρακτηριστούν κλασσικές εφαρµογές στο βιοµηχανικό τοµέα Εντούτοις, προσφέρουν σηµαντικά στοιχεία στην κατανόηση πολυπλοκότερων προβληµάτων 13
Παραδοχές Μοντέλων Μία εργασία να διεκπεραιώνεται µόνο σε µία µηχανή και όχι ταυτόχρονα σε περισσότερες. Όλες οι εργασίες είναι δυνατόν να ξεκινήσουν στην αρχή του προβλήµατος (δεν καταφτάνουν νέες αφού αρχίσει η επεξεργασία) Μόνο µια εργασία µπορεί να διεκπεραιώνεται σε κάθε µηχανή Από την στιγµή πουµία εργασία ξεκινήσει σε µία µηχανή θα πρέπει να ολοκληρωθεί, δεν µπορεί να διακοπεί µία εργασία (no preemption) 14
Παραδοχές Μοντέλων (2) Οι χρόνοι περάτωσης των εργασιών είναι γνωστοί (deterministic) και ανεξάρτητοι από την σειρά µε την οποία θα γίνουν οι εργασίες (δηλαδή δεν υπάρχουν χρόνοι προετοιµασίας) Οι µηχανές δεν παρουσιάζουν ποτέ βλάβη Ησειράµε την οποία πρέπει οι εργασίες να περάσουν από τις µηχανές είναι προκαθορισµένη Υπάρχει µόνο µια µηχανή από τον κάθε τύπο 15
Παραδοχές Μοντέλων (3) Όλες οι εργασίες µπορούν να ξεκινήσουν στον αρχικό χρόνο Μία εργασία µπορεί να περάσει από µία µηχανή µόνο όταν η µηχανή είναι ελεύθερη και η διεργασία στην προηγούµενη µηχανή έχει τελειώσει Οχρόνοςµεταφοράς από τη µία µηχανή στην άλλη είναι αµελητέος Υπάρχει η δυνατότητα διατήρησης αποθέµατος κατά τη διάρκεια της διαδικασίας 16
Βελτιστοποίηση Προβλήµατος Προκειµένου να βρούµε βέλτιστηλύσησεένα πρόβληµα θα πρέπει να καθορίσουµε το µέτρο της βελτιστοποίησης Συνήθως χρησιµοποιούµε: Μέγιστος χρόνος περάτωσης / ροής (Fmax) Μέγιστος χρόνος ολοκλήρωσης (Cmax) Μέσοςχρόνοςπεράτωσης/ ροής (Fbar) Μέσος χρόνος ολοκλήρωσης (Cbar) Μέσος σταθµισµένος χρόνος ολοκλήρωσης Μέση καθυστέρηση (Lbar) 17
Βελτιστοποίηση Προβλήµατος Επίσης χρησιµοποιούµε: Μέγιστη καθυστέρηση (Lmax) Μέση αργοπορία (Tbar) Μέγιστη αργοπορία (Tmax) Αριθµός αργοπορηµένων εργασιών Μέσος αριθµός εργασιών σε αναµονή Μέσος αριθµός εργασιών που δεν έχουν ολοκληρωθεί (WIP) Μέσος αριθµός εργασιών που έχουν ολοκληρωθεί Μέσοςχρόνοςπουοιµηχανές µένουν ανενεργές (Ibar) Μέγιστος χρόνος που οι µηχανές µένουν ανενεργές(imax) 18
Παράδειγµα Έστω ότι έχουµε δύο εργασίες, Ε1 και Ε2 οι οποίες πρέπει να περάσουν από δύο µηχανές πρώτα από τη Μ1 και στην συνέχεια από τη Μ2 Οι χρόνοι επεξεργασίας είναι: Ε1 Ε2 Μ1 Με ποια σειρά θα πρέπει να περάσουν οι εργασίες από τις µηχανές ώστε να ελαχιστοποιηθεί ο χρόνος της παραγωγής; 2 5 Μ2 7 3 19
Λύση (1) Αν γίνει πρώτα η Ε1 και στην συνέχεια η Ε2, έχουµε: Μ1 Μ2 Χρόνος στην Μ1 Χρόνος στην Μ2 Ε1 1-2 Ε2 Ε1 3-7 3-9 Ε2 10-12 Η διαδικασία θα ολοκληρωθεί τη χρονική στιγµή 12 Ο χρόνος που οι µηχανές µένουν αχρησιµοποίητες θα είναι: 2 για τη Μ2 και 5 για τη Μ1 20
Λύση (2) Αν γίνει πρώτα η Ε2 και στην συνέχεια η Ε1, έχουµε: Μ1 Μ2 Χρόνος στην Μ1 Χρόνος στην Μ2 Ε2 1-5 Ε1 Ε2 6-7 6-8 Ε1 9-15 Η διαδικασία θα ολοκληρωθεί τη χρονική στιγµή 15 Ο χρόνος που οι µηχανές µένουν αχρησιµοποίητες θα είναι: 5 για τη Μ2 και 8 για τη Μ1 21
Προβλήµατα µίας Μηχανής Τα προβλήµατα µίας µηχανής έχουν τη µορφή n/1//b όπου n ο αριθµός των εργασιών και Β το µέτρο βελτιστοποίησης Τα προβλήµατα µίας µηχανής σπάνια συναντώνται στην πράξη Εντούτοις, προσφέρουν σηµαντικά στοιχεία στην κατανόηση πολυπλοκότερων προβληµάτων Λόγω της απλούστερης δοµής τους, χρησιµοποιούνται για την επίλυσή τους ακριβείς αλγόριθµοι ή απλοί ευρετικοί 22
ΜέσοςΧρόνοςΠεράτωσηςF bar Αποδεικνύεται πως η βέλτιστη λύση προκύπτει από την εφαρµογή του SPT κανόνα Σύµφωνα µε τονspt (shortest processing time), γίνονται πρώτα οι εργασίες µετο µικρότερο χρόνο επεξεργασίας Ο κανόνας SPT βελτιστοποιεί επίσης: Το συνολικό χρόνο παραµονής στο σύστηµα (makespan) Το µέσο αριθµό εργασιώνσεαναµονή Τη συνολική καθυστέρηση (total lateness) 23
Επεκτάσεις του Κανόνα SPT O αλγόριθµος SPT, µπορεί να επεκταθεί και για προβλήµατα σταθµισµένης ροής των εργασιών Η επέκταση του είναι ο WSPT ( Weighted Shortest Processing Time first) Σύµφωνα µε αυτό τον κανόνα, κάθε εργασία έχει διαφορετική προτεραιότητα Στην αξιολόγηση των χρόνων επεξεργασίας δε λαµβάνεται υπόψη µόνο ο χρόνος επεξεργασίας αλλά και η προτεραιότητα 24
Μέγιστη Καθυστέρηση Περάτωσης (L max ) Αποδεικνύεται πως η βέλτιστη λύση (ελαχιστοποίηση µέγιστης καθυστέρησης) προκύπτει από την εφαρµογή του EDD κανόνα Σύµφωνα µε τονedd (earliest due date), γίνονται πρώτα οι εργασίες µε την πιο κοντινή προθεσµία παράδοσης Ο κανόνας EDD βελτιστοποιεί επίσης τη µέγιστη αργοπορία (T max ) 25
Αριθµός Καθυστερηµένων Εργασιών (Ν Τ ) Ηβέλτιστηλύσηµπορεί να βρεθεί ακολουθώντας τα βήµατα του αλγόριθµου του Hodgson: 1. Κατατάσσουµε τις εργασίες µε βάση την αλληλουχία EDD 2. Ανδενυπάρχουνκαθυστερηµένες εργασίες τότε το πρόγραµµα αυτό είναι βέλτιστο. Αν υπάρχουν, υπολογίζουµε την αργοπορία για κάθε εργασία 3. Βρίσκουµε τηνπρώτηκαθυστερηµένη εργασία (εργασία k) 4. Από 1 j k επιλέγουµε την εργασία µε τονµεγαλύτερο χρόνο επεξεργασίας και την τοποθετούµε στην τελευταία θέση. 5. Επαναλαµβάνουµε τοβήµα 3 26
Επεκτάσεις του Αλγορίθµου του Hodgson Αν στις εργασίες αποδοθούν προτεραιότητες, τότε το πρόβληµα καθίσταται εξαιρετικά πολύπλοκο και δεν επιλύεται µε ακριβή αλγόριθµο Ένας προφανής ευρετικός είναι η επέκταση του αλγορίθµου του Hodgson Αντί να µετακινείται η εργασία µε τοµεγαλύτερο χρόνο επεξεργασίας να µετακινείται η εργασία µε το µεγαλύτερο λόγο χρόνου επεξεργασίας βάρους 27
ΜέσοςΧρόνοςΡοήςχωρίς Καθυστερήσεις Στην περίπτωση που είναι δυνατόν να παραδοθούν όλες οι εργασίες έγκαιρα, η εφαρµογή του κανόνα EDD έχει ως αποτέλεσµα την έγκαιρη παράδοση όλων των εργασιών Για την παράλληλη ελαχιστοποίηση του χρόνου ροής ακολουθούµε ταεξήςβήµατα: Έστω το σύνολο των εργασιών µε προθεσµία µεγαλύτερη ή ίση µε τοάθροισµα των χρόνων επεξεργασίας. Αν το σύνολο αυτό είναι κενό τότε καµία εργασία δεν µπορεί να παραδοθεί έγκαιρα 28
ΜέσοςΧρόνοςΡοήςχωρίς Καθυστερήσεις (2) Αν το σύνολο δεν είναι κενό, µεταθέτουµε τηνεργασία µε τοµεγαλύτερο χρόνο επεξεργασίας στο τέλος της αλληλουχίας Αφαιρούµε τηνεργασίααυτή Επαναλαµβάνουµε τα προηγούµενα βήµατα Οαλγόριθµος αυτός εξασφαλίζει την ελαχιστοποίηση του χρόνου ροής χωρίς αργοπορηµένες εργασίες 29
Συνολική Αργοπορία Το πρόβληµα αυτό είναι εξαιρετικά πολύπλοκο και µπορεί να προσεγγιστεί µε ευρετικούς αλγορίθµους Εντούτοις, υπάρχουν κάποιες περιπτώσεις όπου η λύση µπορεί να υπολογιστεί: Αν όλες οι εργασίες έχουν την ίδια προθεσµία, η αλληλουχία SPT δίνει τη βέλτιστη λύση Αν όλες οι εργασίες έχουν τον ίδιο χρόνο επεξεργασίας, η αλληλουχία EDD είναι η βέλτιστη Αν το αποτέλεσµα των SPT και EDD ταυτίζεται, τότε αυτή είναι η βέλτιστη πολιτική 30
Συνολική Αργοπορία (2) Αν η αλληλουχία EDD έχει ως αποτέλεσµα µία το πολύ αργοπορηµένη εργασία, τότε είναι η βέλτιστη αλληλουχία Αν όλες οι εργασίες παραδοθούν εκπρόθεσµα, η αλληλουχία SPT είναι η βέλτιστη Και σε αυτή την περίπτωση, αν οι εργασίες δεν έχουν την ίδια βαρύτητα, µπορούν να χρησιµοποιηθούν συντελεστές-βάρη που καθορίζουν τη σηµαντικότητα της κάθε εργασίας 31
Ελαχιστοποίηση Αργοπορίας και Νωρίτερης Περάτωσης µε κοινή Προθεσµία Αν µία εργασία ολοκληρωθεί πριν από την προθεσµία της, ενδέχεται να επιφέρει παρόµοια κόστη µε την περίπτωση που παραδιδόταν καθυστερηµένα Σε αυτή την περίπτωση, ένα κατάλληλο µέτρο είναι το άθροισµα αργοπορίας και νωρίτερης περάτωσης: n Z = ( E i + T i i= 1 ) 32
Ελαχιστοποίηση Αργοπορίας και Νωρίτερης Περάτωσης µε κοινή Προθεσµία (2) Χρησιµοποιούµε πρόγραµµα παραγωγής µε µορφή V Χρησιµοποιούµε συνδυασµό αλληλουχιών SPT και LPT (longest processing time) τοποθετούµε πρώτη την εργασία µε τοµεγαλύτερο χρόνο επεξεργασίας τελευταία την εργασία µε το δεύτερο µεγαλύτερο δεύτερη την εργασία µε τοντρίτοµεγαλύτερο Προτελευταία την εργασία µε τον τέταρτο µεγαλύτερο κοκ Υπάρχει µια εργασία έστω j* όπου Cj*=D 33
Ελαχιστοποίηση Αργοπορίας και Νωρίτερης Περάτωσης µε κοινή Προθεσµία (3) Έστω = p1+p3+p5...+pj* Αν D τότεεισάγουµε όσο νεκρό χρόνο χρειάζεται ώστε Cj*=D Αν D τοπρόβληµα καθίσταται εξαιρετικά πολύπλοκο και επιλύεται προσεγγιστικά µε ευρετικούς αλγορίθµους Ένας αλγόριθµος που χρησιµοποιείται ευρύτατα είναι ο αλγόριθµος των Sundararaghavan και Ahmed Ηεργασίαµε τοµεγαλύτερο χρόνο επεξεργασίας n τοποθετείται πρώτη αν και µόνο αν D -D Αλλιώς τοποθετείται τελευταία i= 1 p i 34
Παράδειγµα Έστω ότι έχουµε τις παρακάτω εργασίες και επιθυµούµε να βρούµε τη βέλτιστη αλληλουχία που ελαχιστοποιεί το άθροισµα αργοπορίας και νωρίτερης περάτωσης µε κοινή προθεσµία D=80 Εργασία Α Β Γ Ε Ζ Η Θ Ι Κ Χρόνος Επεξεργασίας 9 16 12 6 17 7 24 27 8 18 35
Λύση Κατασκευάζουµε τον παρακάτω πίνακα µε βάσηταβήµατα που αναφέρθηκαν Εργασία 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Χρόνοι επεξεργασίας 27 24 18 17 16 12 9 8 7 6 Αλληλουχία (V) 1 3 5 7 9 10 8 6 4 2 Χρόνοι 27 18 16 9 7 6 8 12 17 24 Άθροισµα 27 45 61 70 77 83 91 103 120 144 Περάτωση 30 48 64 73 80 86 94 106 123 147 Νωρίτερη παράδοση 50 32 16 7 0 0 0 0 0 0 Αργοπορία 0 0 0 0 0 6 14 26 43 67 36
Λύση (2) Παρατηρούµε ότι εφόσον έχουµε n=10 εργασίες, το κέντρο της αλληλουχίας V θα είναι η εργασία 9 µε χρόνο επεξεργασίας 7 Άρα = p1+p3+p5+p7+p9 = 77 και συνεπώς D = 80 Εισάγουµε D- = 3 µονάδες νεκρού χρόνου Στην προκειµένη περίπτωση έχουµε: n Zmin = =261 i= 1 ( E i + T i ) 37
Χρόνοι Προετοιµασίας Ο χρονικός προγραµµατισµός των εργασιών παρουσιάζει µια πρόσθετη δυσκολία η οποία είναι ο µεταβαλλόµενος χρόνος προετοιµασίας Οχρόνοςπροετοιµασίας είναι µη παραγωγικός Ένας από τους στόχους του χρονοπρογραµµατισµού είναι η ελαχιστοποίηση του χρόνου προετοιµασίας 38
Ελαχιστοποίηση Χρόνων Προετοιµασίας (Setup) Αν οι χρόνοι προετοιµασίας είναι ανεξάρτητοι της αλληλουχίας των εργασιών τότε µπορούν να ενσωµατωθούν στους χρόνους επεξεργασίας Αν ο χρόνος προετοιµασίας για την επεξεργασία µιας εργασίας j εξαρτάται από την εργασία i που προηγήθηκε τότε το πρόβληµα είναιπιοπολύπλοκο Το πρόβληµα αυτό είναι παρόµοιο µε το γνωστό πρόβληµα του πλανόδιου πωλητή (traveling salesman problem) Είναι εξαιρετικά πολύπλοκο υπολογιστικά Η βέλτιστη λύση µπορεί µόνο να προσεγγιστεί µε ευρετικούς αλγορίθµους 39