Παράρτηµα 3 Μέθοδοι Διαχρονικής Βελτιστοποίησης
|
|
- Κάρμη Τοκατλίδης
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Γιώργος Αλογοσκούφης, Δυναµική Μακροοικονοµική, Αθήνα 2015 Παράρτηµα 3 Μέθοδοι Διαχρονικής Βελτιστοποίησης Η βελτιστοποίηση (optimization) σε δυναµικά οικονοµικά προβλήµατα, δηλαδή σε προβλήµατα στα οποία οι µεταβλητές µεταβάλλονται στο χρόνο, δεν χρειάζεται νέες αρχές, σε σχέση µε τα στατικά προβλήµατα. Ωστόσο, τα δυναµικά οικονοµικά προβλήµατα έχουν µία ειδική διάρθρωση, που µας επιτρέπει να πούµε περισσότερα για την επίλυσή τους. Η πιο σηµαντική πλευρά αυτής της ειδικής διάρθρωσης είναι η σχέση µεταξύ αποθεµάτων και ροών. Κάποιες µεταβλητές (θα τις υποδηλώσουµε µε y) έχουν τη µορφή αποθεµάτων, ενώ άλλες µεταβλητές έχουν τη µορφή ροών (θα τις υποδηλώσουµε µε z). Στη µαθηµατική ορολογία τα αποθέµατα καλούνται µεταβλητές κατάστασης (state variables), και οι ροές καλούνται µεταβλητές ελέγχου (control variables). 1 Π3.1 Η Μορφή των Δυναµικών Προβληµάτων Βελτιστοποίησης Η µεταβολή των αποθεµάτων εξαρτάται τόσο από το ύψος των αποθεµάτων όσο και από την εξέλιξη των ροών. Μαθηµατικά, οι µεταβλητές ελέγχου ελέγχουν τις µεταβολές των µεταβλητών κατάστασης. Για παράδειγµα, οι αποταµιεύσεις στην περίοδο t, προσδιορίζουν τη µεταβολή του πλούτου ενός νοικοκυριού από την περίοδο t στην περίοδο t+1. Ο προσδιορισµός της εξέλιξης των µεταβλητών κατάστασης έχει τη µορφή, H y t +1 y t = Q (Π3.1) όπου t, t+1,... είναι διακριτές χρονικές περίοδοι, y είναι µεταβλητές κατάστασης (αποθέµατα) και z είναι µεταβλητές ελέγχου (ροές). Το Q είναι µία διανυσµατική συνάρτηση. Εκτός από τους περιορισµούς που προσδιορίζουν την εξέλιξη των µεταβλητών κατάστασης, µπορεί να υπάρχουν και άλλοι περιορισµοί µεταξύ όλων των µεταβλητών που αναφέρονται σε µία συγκεκριµένη χρονική περίοδο, της µορφής, H G 0 (Π3.2) όπου το G είναι µία διανυσµατική συνάρτηση. Στα περισσότερα δυναµικά οικονοµικά προβλήµατα υποθέτουµε ότι οι οικονοµικοί παράγοντες βελτιστοποιούν µία αντικειµενική συνάρτηση της µορφής, H F (Π3.3) t =0 Οι µέθοδοι δυναµικής βελτιστοποίησης αναλύονται σε µία σειρά από µαθηµατικά εγχειρίδια για οικονοµολόγους 1 όπως Intriligator (1971), Kamien and Schwartz (1981) και Dixit (1990).
2 Γιώργος Αλογοσκούφης, Δυναµική Μακροοικονοµική, Αθήνα 2015 Μαθηµατικό Παράρτηµα 3 υπό περιορισµούς της µορφής (Π3.1) και (Π3.2). Συναρτήσεις όπως η (Π3.3) καλούνται προσθετικά διαχωρίσιµες (additively separable), καθώς έχουν τη µορφή αθροίσµατος συναρτήσεων που εξαρτώνται από µεταβλητές στην ίδια χρονική περίοδο. Αξίζει να σηµειώσουµε ότι το χρονικό διάστηµα της βελτιστοποίησης αρχίζει την περίοδο t=0 και τελείωνει την περίοδο t=. Η τιµή των αρχικών αποθεµάτων στην περίοδο 0 θεωρείται δεδοµένη, όπως θεωρείται δεδοµένη και η τιµή των τελικών αποθεµάτων στην περίοδο Τ+1. Χρειάζεται δηλαδή µια αρχική και µία τελική συνθήκη για να µπορούµε να επιλύσουµε το πρόβληµα. Π3.2 Η Μέθοδος του Βελτίστου Ελέγχου Το πρόβληµα είναι να επιλέξουµε τις µεταβλητές yt για t=1,2,..., και zt για t=0,1,2,...,, προκειµένου να βρούµε τη βέλτιστη λύση της (3), υπό τους περιορισµούς (1) και (2). Μπορούµε να ορίσουµε σκιώδεις τιµές και να σχηµατίσουµε τη γνωστή συνάρτηση Lagrange. Ορίζουµε ως λt τους πολλλαπλασιαστές για τους περιορισµούς (Π3.2). Αυτοί έχουν τη συνήθη ερµηνεία των σκιωδών τιµών των περιορισµών για δραστηριότητες στην περίοδο t. Οι πολλαπλασιαστές (σκιώδεις τιµές) για τους περιορισµούς της (Π3.1) είναι διαφορετικοί από ό,τι στα στατικά προβλήµατα. Ορίζουν την αύξηση πρώτης τάξης στην αντικειµενική συνάρτηση αν χαλαρώσει ο περιορισµός στην αύξηση των αποθεµάτων, αν δηλαδή έχουµε µία οριακή αύξηση στο απόθεµα yt+1. Πρόκειται δηλαδή για τις σκιώδεις τιµές των αποθεµάτων στην περίοδο t+1, και τους υποδηλώνουµε µε πt+1. Ορίζουµε ως L τη συνάρτηση Lagrange του πλήρους διαχρονικού προβλήµατος, { } t =0 H L = F + π t +1 [y t + Q y t +1 ] λ t G (Π3.4) Οι συνθήκες πρώτης τάξης για τη βελτιστοποίηση της συνάρτησης Lagrange, σε σχέση µε τις µεταβλητές ελέγχου z είναι σχετικά απλές. L H F z + π t +1 Q z λ t G z = 0 (Π3.5) z t για t=0,1,...,. Fz, Qz, Gz υποδηλώνουν την πρώτη παράγωγο της σχετικής συνάρτησης ως προς το z. Σε σχέση µε τις µεταβλητές κατάστασης y, οι συνθήκες πρώτης τάξης είναι πιο σύνθετες, γιατί το κάθε y εµφανίζεται σε δύο όρους του αθροίσµατος. Στο όρο για την περίοδο t, αλλά και στον όρο για την περίοδο t-1. Μπορούµε να τροποποιήσουµε τη συνάρτηση Lagrange (4), ώστε κάθε y να εµφανίζεται σε ένα µόνον όρο του αθροίσµατος. Η συνάρτηση Lagrange παίρνει τότε τη µορφή, L = F(y H t + π t +1 Q + y t (π t +1 ) λ t G + (Π3.6) +F(y 0,z 0,0) + π 1 Q(y 0,z 0,0) + y 0 π 1 y +1 π +1 t =1 { } Οι όροι στη δεύτερη γραµµή της (Π3.6) αναφέρονται στο y0 και στο yτ+1 που δεν είναι µεταβλητές επιλογής. Οι συνθήκες πρώτης τάξης για το βέλτιστο της L, για yt, t=1,2,..., είναι, H2
3 Γιώργος Αλογοσκούφης, Δυναµική Μακροοικονοµική, Αθήνα 2015 Μαθηµατικό Παράρτηµα 3 L H F y + π t +1 Q y + π t +1 λ t G y = 0 (Π3.7) y t Η (Π3.7) µπορεί να γραφεί ως, H π t +1 = F y + π t +1 Q y λ t G y (Π3.8) Αυτές οι συνθήκες µπορούν να γραφούν µε ένα πιο περιεκτικό και οικονοµικά χρήσιµο τρόπο. Ορίζουµε µία νέα συνάρτηση, τη συνάρτηση του Hamilton, ως εξής, H H,π t+1 = F + π t+1 Q (Π3.9) Η (Π3.5) µας υποδεικνύει ότι οι µεταβλητές ελέγχου z πρέπει να επιλεγούν ώστε να βελτιστοποιηθεί η Η(y,z,π, υπό τον περιορισµό G(y,z 0. Ορίζουµε τη προσαρµοσµένη συνάρτηση Lagrange, ως εξής, H L ~ = H,π t +1 λ t G (Π3.10) Η (Π3.8) µπορεί να γραφεί πιο απλά, ως H π t +1 = L ~ y,π t +1 (Π3.11) Τέλος, από την (Π3.1) και την (Π3.9), λαµβάνοντας υπόψη το θεώρηµα του περιβλήµατος (envelope theorem), έχουµε ότι, H y t +1 y t = H π,π t +1 = Q (Π3.12) Αυτές οι ιδιότητες της συνάρτησης Hamilton (Χαµιλτονιανής) µπορούν να συνοψισθούν στην Αρχή του Βελτίστου. Η Αρχή του Βελτίστου: Οι αναγκαίες συνθήκες πρώτης τάξης για την βελτιστοποίηση της (Π3.3), υπό τους περιορισµούς (Π3.1) και (Π3.2), είναι οι εξής: 1. Για κάθε t, οι zt βελτιστοποιούν την συνάρτηση Hamilton (Π3.9), υπό τους στατικούς περιορισµούς (Π.2.2). 2. Οι µεταβολές των yt και πt στο χρόνο προσδιορίζονται από τις εξισώσεις διαφορών (Π3.11) και (Π3.12). Η αρχή του βελτίστου, η οποία προτάθηκε από τον Pontryagin, διευκολύνει σηµαντικά στην εξέυρεση των συνθηκών πρώτης τάξεως για προβλήµατα διαχρονικής βελτιστοποίησης. Ωστόσο, έχει και ένα µεγάλο πλεονέκτηµα για οικονοµικές εφαρµογές. Διευκολύνει την οικονοµική ερµηνεία των συνθηκών πρώτης τάξης. H3
4 H H Γιώργος Αλογοσκούφης, Δυναµική Μακροοικονοµική, Αθήνα 2015 Μαθηµατικό Παράρτηµα 3 Είναι προφανές ότι δεν θα θέλαµε τις µεταβλητές ελέγχου z να βελτιστοποιούν τη συνάρτηση F, διότι αυτό δεν θα λάµβανε υπόψη τις επιπτώσεις της επιλογής των z στην εξέλιξη των µεταβλητών κατάστασης y στην επόµενη περίοδο. Με τη βελτιστοποίηση της (Π3.9), αυτό λαµβάνεται υπόψη. Η επίπτωση του zt στο yt+1 ισούται µε την επίπτωσή του στο Q. Η µεταβολή που σηµειώνεται στην αντικειµενική συνάρτηση βρίσκεται από τον πολλαπλασιασµό της επίπτωσης στο Q µε τη σκιώδη τιµή πt+1 του yt+1. Αυτό το λαµβάνει υπόψη η συνάρτηση Hamilton (Π3.9). Η συνάρτηση Hamilton προσφέρει έναν απλό τρόπο µετατροπής της αντικειµενικής συνάρτησης της µίας περιόδου F, προκειµένου να λάβουµε υπόψη τις µελλοντικές επιπτώσεις της επιλογής των µεταβλητών ελέγχου z. Μια ανάλογη οικονοµική ερµηνεία µπορεί να δοθεί και στις συνθήκες πρώτης τάξης για τις µεταβλητές κατάστασης y. Μία οριακή µεταβολή στο y στην περίοδο t δίνει την οριακή µεταβολή Fy-λGy στην περίοδο t, λαµβάνοντας υπόψη τη σκιώδη τιµή του στατικού περιορισµού G, αλλά και ένα επιπλέον Qy στην επόµενη περίοδο, µε αξία πt+1. Αυτό µπορεί να ερµηνευτεί ώς µέρισµα. Η µεταβολή πt+1-πt είναι σαν κέρδος κεφαλαίου. Η (Π3.8) µας λέει ότι µέρισµα σύν το κέρδος κεφαλαίου θα πρέπει να ισούται µε το µηδέν. Δηλαδή, ότι στο βέλτιστο σηµείο δεν µπορεί να υπάρχει υπερβάλλουσα απόδοση από το y. Π3.3 Η Μέθοδος του Βελτίστου Ελέγχου σε Συνεχή Χρόνο Έως τώρα αντιµετωπίσαµε το χρόνο ως µία διακριτή ακολουθία περιόδων. Σε πολλές εφαρµογές όµως είναι πιο βολικό να χειριζόµαστε το χρόνο ως µία συνεχή µεταβλητή. Μπορούµε να σκεφθούµε το συνεχή χρόνο ως το όριο διακριτών περιόδων διάρκειας Δt, όταν το Δt τείνει στο µηδέν. Για παράδειγµα, η (Π3.1) µπορεί να γραφεί ως, y(t + Δt) y(t) = Q(y(t),z(t)Δt Διαιρώντας µε Δt και αφήνοντας το να τείνει στο µηδέν, έχουµε, H y (t) = Q(y(t),z(t) (Π3.13) Η τελεία πάνω από µία µεταβλητή υποδηλώνει την πρώτη της παράγωγο σε σχέση µε το χρόνο. Χρησιµοποιούµε επίσης τη διαδεδοµένη σύµβαση ότι το t γράφεται ώς υποδείκτης στην ανάλυση διακριτού χρόνου, και εντός παρένθεσης στην ανάλυση συνεχούς χρόνου. Η (Π3.2), που υποδηλώνει τους περιορισµούς στις µεταβλητές ελέγχου δεν αλλάζει. Σε συνεχή χρόνο γράφεται ώς, H G(y(t),z(t) 0 (Π3.14) Η µετατροπή του αθροίσµατος (Π3.3) σε συνεχή χρόνο είναι κάπως πιο πολύπλοκη. Ο συνολικός χρόνος από το 0 ως το χωρίζεται σε Τ/Δt µικρές διακριτές περιόδους. Η (Π3.3) µπορεί να γραφεί ως, /Δt i=0 F(y(iΔt), z(iδt),iδt)δt H4
5 Γιώργος Αλογοσκούφης, Δυναµική Μακροοικονοµική, Αθήνα 2015 Μαθηµατικό Παράρτηµα 3 Το όριο αυτού του αθροίσµατος καθώς το Δt τείνει στο µηδέν, είναι το ολοκλήρωµα, H F(y(t), z(t)dt (Π3.15) 0 Μπορούµε να ορίσουµε τη συνάρτηση Hamilton όπως και στην (Π3.9). H H = F(y(t),z(t) + π(t)q(y(t),z(t) (Π3.16) Οι συνθήκες πρώτης τάξης για τη βελτιστοποίηση της συνάρτησης Hamilton (Π3.16) υπό τους στατικούς περιορισµούς (Π3.14) είναι, H H (Π3.17a) z λ G z = 0 H H (Π3.17b) π = y H H (Π3.17c) y = π Οι (Π3.17a,b,c) είναι οι ανάλογες συνθήκες για συνεχή χρόνο των συνθηκών (Π3.5), (Π3.11) και (Π3.12) για τα προβλήµατα διακριτού χρόνου. Π3.4 Ο Δυναµικός Προγραµµατισµός και η Εξίσωση Bellman Ο Δυναµικός Προγραµµατισµός είναι µία εναλλακτική µέθοδος επίλυσης του προβλήµατος της βελτιστοποίησης µιάς συνάρτησης όπως η (Π3.3), υπό τους περιορισµούς (Π3.1) και (Π3.2). Ο Δυναµικός Προγραµµατισµός αποδεικνύεται ιδιαίτερα χρήσιµος για προβλήµατα που συνδυάζουν το χρόνο µε την αβεβαιότητα, όπως συµβαίνει πολύ συχνά στο οικονοµικά. Το πρόβληµά µας είναι η βελτιστοποίηση της, H F (Π3.3) υπό τους περιορισµούς, H y t +1 y t = Q (Π3.1) και t =0 H G 0 (Π3.2) για t=0,1,2,... Τα διανύσµατα των αρχικών αποθεµάτων y0 και των τελικών αποθεµάτων y+1 θεωρούνται ως δεδοµένα. H5
6 H Γιώργος Αλογοσκούφης, Δυναµική Μακροοικονοµική, Αθήνα 2015 Μαθηµατικό Παράρτηµα 3 Μπορούµε να ορίσουµε την βέλτιση τιµή που προκύπτει ως συνάρτηση των αρχικών αποθεµάτων y0. Υποδηλώνουµε αυτή τη συνάρτηση ως V(y0). Το διάνυσµα των πρώτων παραγώγων Vy(y0) είναι το διάνυσµα των σκιωδών τιµών αυτών των αρχικών αποθεµάτων. Η διαχωρισιµότητα της αντικειµενικής συνάρτησης (Π3.3) και των περιορισµών µας επιτρέπουν µία µεγάλη γενίκευση της παραπάνω σκέψης. Αντί να ξεκινήσουµε στο χρόνο µηδέν, ας υποθέσουµε ότι ξεκινάµε στο χρόνο t=τ. Για τις αποφάσεις που ξεκινούν στο τ, το µόνο που έχει σηµασία από το παρελθόν είναι το διάνυσµα των αποθεµάτων yτ, το οποίο είναι αποτέλεσµα παλαιοτέρων αποφάσεων. Το πρόβληµά µας είναι να βελτιστοποιήσουµε µία αντικειµενική συνάρτηση όπως η (Π3.3), υπό τους περιορισµούς (Π3.1) και (Π3.2), µε το χρόνο όµως να ξεκινά από το τ και όχι από το 0. Ορίζουµε ως V(yτ,τ) τη βέλτιση τιµή που προκύπτει ως συνάρτηση των αποθεµάτων yτ και της περιόδου τ. Το διάνυσµα των πρώτων παραγώγων Vy(yτ,τ) είναι η οριακή αύξηση της βέλτιστης τιµής για µία µικρή αύξηση των αποθεµάτων στην περίοδο τ, δηλαδή το διάνυσµα των σκιωδών τιµών των αρχικών αποθεµάτων για το πρόβληµα βελτιστοποίησης που ξεκινά στην περίοδο τ. Αυτό ισχύει για κάθε t. Ας επιλέξουµε οποιοδήποτε t, και ας εξετάσουµε την απόφαση επιλογής των µεταβλητών ελέγχου σε εκείνη την περίοδο. Οποιαδήποτε επιλογή για τις µεταβλητές ελέγχου zt θα οδηγήσει σε αποθέµατα yt+1 µέσω της (Π3.1). Αυτό που αποµένει είναι να λύσουµε το υποπρόβληµα που ξεκινά στην περίοδο t+1, και να επιτύχουµε τη βέλτιστη τιµή V(yt+1,t+1). Η συνολική αξία στην περίοδο t, µιας επιλογής για τις µεταβλητές ελέγχου zt, ξεκινώντας µε αποθέµατα yt, µπορεί να διαχωρισθεί σε δύο όρους: F(yt,zt που επέρχεται αµέσως, και V(yt+1,t+1) που επέρχεται στις επόµενες περιόδους. Η επιλογή του zt πρέπει να βελτιστοποιεί το άθροισµα αυτών των δύο όρων υπό τους σχετικούς περιορισµούς. Με άλλα λόγια, H V = max F + V +1,t + 1) (Π3.18) z t υπό τους περιορισµούς (Π3.1) και (Π3.2) για το συγκεκριµένο t. Αυτή η µέθοδος της διαχρονικής βελτιστοποίησης, ως µία διαδοχή στατικών προβληµάτων βελτιστοποίησης, προτάθηκε από τον Richard Bellman και ονοµάζεται Δυναµικός Προγραµµατισµός. Η ιδέα ότι όποια και να είναι η επιλογή στην περίοδο t, οι επόµενες επιλογές, για το υποπρόβληµα που ξεκινά από την περίοδο t+1, πρέπει να είναι βέλτιστες, είναι γνωστή ως η Αρχή της Βελτιστοποίησης του Bellman. Η συνάρτηση βέλτιστης αξίας V(yt ονοµάζεται η συνάρτηση αξίας Bellman, και η εξίσωση (Π3.18) η εξίσωση Bellman. Η εξίσωση Bellman µας δίνει µία αναδροµική (recursive) µέθοδο επίλυσης του αρχικού προβλήµατος βελτιστοποίησης. Η ιδέα είναι να αρχίσει κανείς από το τέλος και να προχωρήσει προς τα πίσω αναδροµικά. Στην περίοδο δεν υπάρχει µέλλον, παρά µόνο η απαίτηση για ένα δεδοµένο τελικό απόθεµα y+1. Άρα, υπό τους περιορισµούς, { } V(y, ) = max z F(y,z, ) H y +1 = y + Q(y,z, ), H G(y,z, ) 0 H6
7 H H Γιώργος Αλογοσκούφης, Δυναµική Μακροοικονοµική, Αθήνα 2015 Μαθηµατικό Παράρτηµα 3 Αυτό είναι ένα απλό πρόβληµα στατικής βελτιστοποίησης, το οποίο µας παρέχει την συνάρτηση βέλτιστης αξίας V(y,). Αυτή µε τη σειρά της µπορεί να χρησιµοποιηθεί στη δεξιά πλευρά της (Π3.18) για t=-1. Αυτό είναι ένα ακόµη στατικό πρόβληµα, και µας δίνει τη συνάρτηση βέλτιστης αξίας V(y-1,-1). Συνεχίζουµε µε αυτό τον τρόπο έως ότου φθάσουµε στο 0. Στην πράξη αυτό έχει αποτελέσµατα για τα απλούστερα προβλήµατα. Αναλυτικές λύσεις υπάρχουν όταν οι συναρτήσεις F, G και Q, έχουν πολύ απλή µορφή. Σε αντίθετη περίπτωση µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε υπολογιστικές λύσεις. Για πολλές οικονοµικές εφαρµογές υπάρχουν καλύτερες µέθοδοι από την αναδροµική µέθοδο για να βρούµε ή να χαρακτηρίσουµε τη λύση αυτών των προβληµάτων. Αξίζει να σηµειώσουµε τέλος, ότι σε περίπτωση αβεβαιότητας, η εξίσωση Bellman παίρνει τη µορφή, H V = max F + E t V +1,t + 1) (Π3.18 ) z t όπου E είναι ο τελεστής των µαθηµατικών προσδοκιών. Για να βρούµε την εξίσωση Bellman σε συνεχή χρόνο, παρατηρούµε ότι από την (Π3.18), H V(y(t) = max F(y(t),z(t)Δt + V(y(t + Δt),t + Δt) (Π3.19) z(t ) όπου Δt είναι ένα µικρό χρονικό διάστηµα. Αναπτύσσοντας τον τελευταίο όρο της δεξιάς πλευράς της (Π3.19) κατά aylor, έχουµε, H V(y(t + Δt),t + Δt) = V(y(t) + V y (y(t) y(t + Δt) y(t) (Π3.20) Από την (Π3.1), H y(t + Δt) y(t) = Q(y(t),z(t)Δt (Π3.21) Αντικαθιστώντας την (Π3.21) στην (Π3.20), και την εξίσωση που προκύπτει στην (Π3.19), έχουµε, V(y(t) = max z(t ) Διαιρώντας µε Δt, και παρατηρώντας ότι το V(y(t) εξαλείφεται από τις δύο πλευρές, έχουµε, H 0 = max F(y(t),z(t) + V y (y(t)q(y(t),z(t) (Π3.22) z(t ) υπό τον περιορισµό, { } { } [ ] + V t (y(t)δt { F(y(t),z(t)Δt + V(y(t) + V y (y(t)q(y(t),z(t)δt + V t (y(t)δt} { } + V t (y(t) G(y(t),z(t) 0 H (Π3.22) µας δίνει την εξίσωση Bellman για προβλήµατα συνεχούς χρόνου. H7
Μαθηµατικό Παράρτηµα 2 Εξισώσεις Διαφορών
Γιώργος Αλογοσκούφης, Δυναµική Μακροοικονοµική, Αθήνα 5 Μαθηµατικό Παράρτηµα Εξισώσεις Διαφορών Στο παράρτηµα αυτό εξετάζουµε τις ιδιότητες και τους τρόπους επίλυσης εξισώσεων διαφορών. Oι εξισώσεις διαφορών
Διαβάστε περισσότεραΜαθηµατικό Παράρτηµα 2 Εξισώσεις Διαφορών
Γιώργος Αλογοσκούφης, Δυναµική Μακροοικονοµική, Αθήνα 206 Μαθηµατικό Παράρτηµα 2 Εξισώσεις Διαφορών Στο παράρτηµα αυτό εξετάζουµε τις ιδιότητες και τους τρόπους επίλυσης εξισώσεων διαφορών. Oι εξισώσεις
Διαβάστε περισσότεραΠαράρτηµα 3 Εξισώσεις Διαφορών και Στοχαστικές Διαδικασίες
Γιώργος Αλογοσκούφης, Θέµατα Δυναµικής Μακροοικονοµικής, Αθήνα 0 Παράρτηµα 3 Εξισώσεις Διαφορών και Στοχαστικές Διαδικασίες Στο παράρτηµα αυτό εξετάζουµε τις ιδιότητες και τους τρόπους επίλυσης των εξισώσεων
Διαβάστε περισσότεραΟι ιδιότητες και οι µέθοδοι επίλυσης διαφορικών εξισώσεων παρουσιάζονται σε µία σειρά εγχειριδίων µαθηµατικών
Γιώργος Αλογοσκούφης, Δυναµική Μακροοικονοµική, Αθήνα 2015 Μαθηµατικό Παράρτηµα 1 Διαφορικές Εξισώσεις Στο µαθηµατικό αυτό παράρτηµα ορίζουµε και αναλύουµε την επίλυση απλών συστηµάτων γραµµικών διαφορικών
Διαβάστε περισσότεραΜαθηµατικό Παράρτηµα 5 Επίλυση Υποδειγµάτων µε Ορθολογικές Προσδοκίες
Γιώργος Αλογοσκούφης, Δυναµική Μακροοικονοµική, Αθήνα 2015 Μαθηµατικό Παράρτηµα 5 Επίλυση Υποδειγµάτων µε Ορθολογικές Προσδοκίες Στο παράρτηµα αυτό εξετάζουµε τις ιδιότητες και τις µεθόδους επίλυσης υποδειγµάτων
Διαβάστε περισσότεραΑκρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange
64 Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrage Ας υποθέσουµε ότι ένας δεδοµένος χώρος θερµαίνεται και η θερµοκρασία στο σηµείο,, Τ, y, z Ας υποθέσουµε ότι ( y z ) αυτού του χώρου δίδεται από
Διαβάστε περισσότεραΚυρτές Συναρτήσεις και Ανισώσεις Λυγάτσικας Ζήνων Βαρβάκειο Ενιαίο Πειραµατικό Λύκειο e-mail: zenon7@otenetgr Ιούλιος-Αύγουστος 2004 Περίληψη Το σχολικό ϐιβλίο της Γ Λυκείου ορίζει σαν κυρτή (αντ κοίλη)
Διαβάστε περισσότεραMEΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΤΗΣ ΜΟΡΦΗΣ Y= g( X1, X2,..., Xn)
MEΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΤΗΣ ΜΟΡΦΗΣ g( Έστω τυχαίες µεταβλητές οι οποίες έχουν κάποια από κοινού κατανοµή Ας υποθέσουµε ότι επιθυµούµε να προσδιορίσουµε την κατανοµή της τυχαίας µεταβλητής g( Η θεωρία των ένα-προς-ένα
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ
ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Θα ξεκινήσουµε την παρουσίαση των γραµµικών συστηµάτων µε ένα απλό παράδειγµα από τη Γεωµετρία, το οποίο ϑα µας ϐοηθήσει στην κατανόηση των συστηµάτων αυτών και των συνθηκών
Διαβάστε περισσότερατη µέθοδο της µαθηµατικής επαγωγής για να αποδείξουµε τη Ϲητούµενη ισότητα.
Αριστοτελειο Πανεπιστηµιο Θεσσαλονικης Τµηµα Μαθηµατικων Εισαγωγή στην Αλγεβρα Τελική Εξέταση 15 Φεβρουαρίου 2017 1. (Οµάδα Α) Εστω η ακολουθία Fibonacci F 1 = 1, F 2 = 1 και F n = F n 1 + F n 2, για n
Διαβάστε περισσότεραΤο Υπόδειγμα του Αντιπροσωπευτικού Νοικοκυριού
Το Υπόδειγμα του Αντιπροσωπευτικού Νοικοκυριού Ramsey-Cass-Koopmans 1 Το Υπόδειγμα του Ramsey To υπόδειγμα αντιπροσωπευτικού νοικοκυριού oφείλεται στον Ramsey (1928), ο οποίος είχε πρώτος αναλύσει τη βέλτιστη
Διαβάστε περισσότεραΔΥΝΑΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ
ΔΥΝΑΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Μαθηματική τεχνική για αντιμετώπιση προβλημάτων λήψης πολυσταδιακών αποφάσεων Συστηματική διαδικασία εύρεσης εκείνου του συνδυασμού αποφάσεων που βελτιστοποιεί τη συνολική απόδοση
Διαβάστε περισσότεραΕπίλυση Υποδειγμάτων με Ορθολογικές Προσδοκίες. Το Πρωτοβάθμιο και Δευτεροβάθμιο Υπόδειγμα
Επίλυση Υποδειγμάτων με Ορθολογικές Προσδοκίες Το Πρωτοβάθμιο και Δευτεροβάθμιο Υπόδειγμα Καθηγητής Γιώργος Αλογοσκούφης, Δυναμική Μακροοικονομική, 2014 Ορισμός των Ορθολογικών Προσδοκιών για Μία Περίοδο
Διαβάστε περισσότεραΟι πράξεις που χρειάζονται για την επίλυση αυτών των προβληµάτων (αφού είναι απλές) µπορούν να τεθούν σε µια σειρά και πάρουν µια αλγοριθµική µορφή.
Η Αριθµητική Ανάλυση χρησιµοποιεί απλές αριθµητικές πράξεις για την επίλυση σύνθετων µαθηµατικών προβληµάτων. Τις περισσότερες φορές τα προβλήµατα αυτά είναι ή πολύ περίπλοκα ή δεν έχουν ακριβή αναλυτική
Διαβάστε περισσότεραΜηχανική ΙI. Λογισµός των µεταβολών. Τµήµα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου 2/2000
Τµήµα Π Ιωάννου & Θ Αποστολάτου 2/2000 Μηχανική ΙI Λογισµός των µεταβολών Προκειµένου να αντιµετωπίσουµε προβλήµατα µεγιστοποίησης (ελαχιστοποίησης) όπως τα παραπάνω, όπου η ποσότητα που θέλουµε να µεγιστοποιήσουµε
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό. Χειμερινό Εξάμηνο
Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό Χειμερινό Εξάμηνο 2016-2017 Δεσμευτικοί περιορισμοί Πρόβλημα Βιομηχανική επιχείρηση γαλακτοκομικών προϊόντων Συνολικό μοντέλο Maximize z = 150x 1 + 200x 2 (αντικειμενική
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 6 Παράγωγος
Σελίδα από 5 Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Στο κεφάλαιο αυτό στόχος µας είναι να συνδέσουµε µία συγκεκριµένη συνάρτηση f ( ) µε µία δεύτερη συνάρτηση f ( ), την οποία και θα ονοµάζουµε παράγωγο της f. Η τιµή της
Διαβάστε περισσότερα[ ], σχηµατίζουµε το άθροισµα. Το άθροισµα αυτό είναι µια δυαδική πράξη η οποία αντιστοιχεί στις ακολουθίες f [ 1
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΣΥΝΕΛΙΞΗ 4.. ΣΥΝΕΛΙΞΗ Στην προηγούµενη παράγραφο εισαγάγαµε την ιδέα της συνέλιξης από τα συµφραζόµενα των γραµµικών συστηµάτων. Σ' αυτήν την παράγραφο ορίζουµε τη συνέλιξη σαν µια πράξη η οποία
Διαβάστε περισσότεραΜηχανική ΙI Ροή στο χώρο των φάσεων, θεώρηµα Liouville
Τµήµα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου 16/5/2000 Μηχανική ΙI Ροή στο χώρο των φάσεων, θεώρηµα Liouville Στη Χαµιλτονιανή θεώρηση η κατάσταση του συστήµατος προσδιορίζεται κάθε στιγµή από ένα και µόνο σηµείο
Διαβάστε περισσότεραΑρµονική Ανάλυση. Ενότητα: L p Σύγκλιση. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών
Ενότητα: L p Σύγκλιση Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creaive Commos. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε
Διαβάστε περισσότερα< 1 για κάθε k N, τότε η σειρά a k συγκλίνει. +, τότε η η σειρά a k αποκλίνει.
Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο 3: Σειρές πραγµατικών αριθµών Α Οµάδα. Εστω ( ) µια ακολουθία πραγµατικών αριθµών. Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς (αιτιολογήστε
Διαβάστε περισσότεραΕπίλυση Υποδειγμάτων με Ορθολογικές Προσδοκίες. Το Πρωτοβάθμιο Υπόδειγμα
Επίλυση Υποδειγμάτων με Ορθολογικές Προσδοκίες Το Πρωτοβάθμιο Υπόδειγμα Καθηγητής Γιώργος Αλογοσκούφης, Δυναμική Μακροοικονομική, 2014 Ορισμός των Ορθολογικών Προσδοκιών για Μία Περίοδο στο Μέλλον Η ορθολογική
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 3 Το Υπόδειγµα του Αντιπροσωπευτικού Νοικοκυριού
Γιώργος Αλογοσκούφης, Δυναµική Μακροοικονοµική, Αθήνα 2016 Κεφάλαιο 3 Το Υπόδειγµα του Αντιπροσωπευτικού Νοικοκυριού Το υπόδειγµα του αντιπροσωπευτικού νοικοκυριού είναι ένα δυναµικό υπόδειγµα γενικής
Διαβάστε περισσότεραΕπίλυση Γραµµικών Συστηµάτων
Κεφάλαιο 3 Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων 31 Εισαγωγή Αριθµητική λύση γενικών γραµµικών συστηµάτων n n A n n x n 1 b n 1, όπου a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A [a i j, x a n1 a n2 a nn x n, b b 1 b 2 b n
Διαβάστε περισσότεραΠερίγραμμα διάλεξης 8
Περίγραμμα διάλεξης 8 Βελτιστοποίηση,n μεταβλητές και m περιορισμοί Ένα συχνό πρόβλημα προς επίλυση στην οικονομική θεωρία (εισαγωγικό επίπεδο) είναι η βελτιστοποίηση (μεγιστοποίηση ή ελαχιστοποίηση) μίας
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 8 Ένα Δυναµικό Υπόδειγµα Επενδύσεων
Γιώργος Αλογοσκούφης, Δυναµική Μακροοικονοµική, Αθήνα 2015 Κεφάλαιο 8 Ένα Δυναµικό Υπόδειγµα Επενδύσεων Στο κεφάλαιο αυτό αναλύουµε το βασικό δυναµικό νεοκλασσικό υπόδειγµα επιλογής των επενδύσεων. Το
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο M4. Κίνηση σε δύο διαστάσεις
Κεφάλαιο M4 Κίνηση σε δύο διαστάσεις Κινηµατική σε δύο διαστάσεις Θα περιγράψουµε τη διανυσµατική φύση της θέσης, της ταχύτητας, και της επιτάχυνσης µε περισσότερες λεπτοµέρειες. Θα µελετήσουµε την κίνηση
Διαβάστε περισσότεραΓραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex
Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex Η πλέον γνωστή και περισσότερο χρησιµοποιηµένη µέθοδος για την επίλυση ενός γενικού προβλήµατος γραµµικού προγραµµατισµού, είναι η µέθοδος Simplex η οποία αναπτύχθηκε
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο M3. Διανύσµατα
Κεφάλαιο M3 Διανύσµατα Διανύσµατα Διανυσµατικά µεγέθη Φυσικά µεγέθη που έχουν τόσο αριθµητικές ιδιότητες όσο και ιδιότητες κατεύθυνσης. Σε αυτό το κεφάλαιο, θα ασχοληθούµε µε τις µαθηµατικές πράξεις των
Διαβάστε περισσότεραΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής:
ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: p( ) = a + a + a + a + + a, όπου οι συντελεστές α i θα θεωρούνται
Διαβάστε περισσότεραΤο Βασικό Κεϋνσιανό Υπόδειγμα και η Σταδιακή Προσαρμογή του Επιπέδου Τιμών. Καθ. Γιώργος Αλογοσκούφης
Το Βασικό Κεϋνσιανό Υπόδειγμα και η Σταδιακή Προσαρμογή του Επιπέδου Τιμών Καθ. Γιώργος Αλογοσκούφης Καθηγητής Γιώργος Αλογοσκούφης, Δυναμική Μακροοικονομική, 2014 Η Κεϋνσιανή Προσέγγιση Η πιο διαδεδομένη
Διαβάστε περισσότεραΟρισµός. (neighboring) καταστάσεων. ηλαδή στην περίπτωση αλυσίδας Markov. 1.2 ιαµόρφωση µοντέλου
200-04-25. ιαδικασίες γεννήσεων-θανάτων. Ορισµός Οι διαδικασίες γεννήσεων-θανάτων (birth-death rocesses) αποτελούν µια σπουδαία κλάση αλυσίδων Markov (διακριτού ή συνεχούς χρόνου). Η ιδιαίτερη συνθήκη
Διαβάστε περισσότερα( ) = inf { (, Ρ) : Ρ διαµέριση του [, ]}
7 ΙΙΙ Ολοκληρωτικός Λογισµός πολλών µεταβλητών Βασικές έννοιες στη µια µεταβλητή Έστω f :[ ] φραγµένη συνάρτηση ( Ρ = { t = < < t = } είναι διαµέριση του [ ] 0 ( Ρ ) = Μ ( ) όπου sup f ( t) : t [ t t]
Διαβάστε περισσότεραΓραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: ιανυσµατικοί χώροι. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών
Ενότητα: ιανυσµατικοί χώροι Ευάγγελος Ράπτης Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ: Έστω η οµογενής γραµµική διαφορική εξίσωση τάξης , (1)
1 ΘΕΩΡΙΑ: Έστω η οµογενής γραµµική διαφορική εξίσωση τάξης (1) όπου οι συντελεστές είναι δοσµένες συνεχείς συναρτήσεις ορισµένες σ ένα ανοικτό διάστηµα. Ορισµός 1. Ορίζουµε τον διαφορικό τελεστή µέσω της
Διαβάστε περισσότερα(S k R n ) (C k R m )
KΕΦΑΛΑΙΟ 7 υναµικός Προγραµµατισµός 7.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η θεωρία αποφάσεων διακρίνεται σε δύο µεγάλες κατηγορίες, µε βάση το αν ο υπεύθυνος απόφασης είναι µοναδικός φορέας ή πολλοί φορείς. Μέχρι τώρα αναπτύχθηκαν
Διαβάστε περισσότεραΤο Πρόβλημα Ελευθέρων Αρχικών & Τελικών: Χρόνου & Οριακών Συνθηκών
ο Πρόβλημα Ελευθέρων Αρχικών & ελικών: Χρόνου & Οριακών Συνθηκών Θεωρούμε το πρόβλημα της εύρεσης ακροτάτων του t συναρτησιακού f F = F(z) = f ( z( t), z ( t),t) dt Θεωρούμε την «γενική» περίπτωση όπου
Διαβάστε περισσότερα3.6 Μεικτά ορισμένα προβλήματα. 2. Γράφοµε τις ανωτέρω σχέσεις για q= 1,... Mσε διανυσµατική µορφή : G λ (3.30)
. Γράφοµε τις ανωτέρω σχέσεις για q=,... Mσε διανυσµατική µορφή : = G λ (3.30) 3. Επειδή ισχύει παράλληλα και d = G, αντικαθιστώντας το από την 3.30 στην αρχική εξίσωση παίρνοµε : d= G G λ / (3.3) 4. Εάν
Διαβάστε περισσότεραΟ Γραμμικός Τετραγωνικός Ρυθμιστής: Ευρεση Νόμου Ελέγχου
Ο Γραμμικός Τετραγωνικός Ρυθμιστής: Ευρεση Νόμου Ελέγχου Για την ανεύρεση της µορφής των λύσεων στρεφόµαστε προς τις αναγκαίες συνθήκες, αρχικά στις Εξισώσεις Euler-Lagrange: Τ Τ Τ! f d! f = 0 t t0, t
Διαβάστε περισσότεραΣτην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής θέµατα:
υναµικός Προγραµµατισµός Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής θέµατα: Σχεδιασµός αλγορίθµων µε υναµικό Προγραµµατισµό Το πρόβληµα του πολλαπλασιασµού πινάκων ΕΠΛ 3 Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα 3- υναµικός
Διαβάστε περισσότεραΓραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4
Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laihtml
Διαβάστε περισσότερα3. ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΜΗΚΩΝ
3. ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΜΗΚΩΝ 3. Διαφορά μετρήσεων από εκτιμήσεις μετρήσεων. Όταν επιλύοµε ένα αντίστροφο πρόβληµα υπολογίζοµε ένα διάνυσµα παραµέτρων est m το οποίο αντιπροσωπεύει
Διαβάστε περισσότεραΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ
ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ Ελαχιστοποίηση κόστους διατροφής Ηεπιχείρηση ζωοτροφών ΒΙΟΤΡΟΦΕΣ εξασφάλισε µια ειδική παραγγελίααπό έναν πελάτη της για την παρασκευή 1.000 κιλών ζωοτροφής, η οποία θα πρέπει
Διαβάστε περισσότεραΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών. ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών
54 ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών Ένας στέρεος ορισµός της παραγώγισης για συναρτήσεις πολλών µεταβλητών ανάλογος µε τον ορισµό για συναρτήσεις µιας µεταβλητής
Διαβάστε περισσότεραΌνοµα: Λιβαθινός Νικόλαος 2291
ΠΡΩΤΗ ΆΣΚΗΣΗ ΣΤΗΝ ΚΡΥΠΤΟΓΡΑΦΙΑ Όνοµα: Λιβαθινός Νικόλαος 9 Ηµεροµηνία: 3/5/003 Άσκηση ώστε όλες τις υποοµάδες των Z και Ζ 5 * Προκειµένου να δώσουµε τις υποοµάδες θα πρέπει αρχικά να ορίσουµε τα σύνολα
Διαβάστε περισσότεραΑριθµητική Ανάλυση. Ενότητα 5 Προσέγγιση Συναρτήσεων. Ν. Μ. Μισυρλής. Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών,
Αριθµητική Ανάλυση Ενότητα 5 Προσέγγιση Συναρτήσεων Ν. Μ. Μισυρλής Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών, Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Αριθµητική Ανάλυση - Ενότητα 5 1 / 55 Παρεµβολή Ας υποθέσουµε ότι δίνονται
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ I ιαγώνισµα 24 ιάρκεια εξέτασης: 2 ώρες Θεωρία. 2 (4 µονάδες)
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ I ιαγώνισµα 4 ιάρκεια εξέτασης: ώρες Θεωρία (4 µονάδες) (α) Μια συνάρτηση f() έχει την παράγωγο του f () γραφήµατος παραπλεύρως. Να βρεθεί η µέγιστη τιµή της για, υποθέτοντας
Διαβάστε περισσότερα, όπου οι σταθερές προσδιορίζονται από τις αρχικές συνθήκες.
Στην περίπτωση της ταλάντωσης µε κρίσιµη απόσβεση οι δύο γραµµικώς ανεξάρτητες λύσεις εκφυλίζονται (καταλήγουν να ταυτίζονται) Στην περιοχή ασθενούς απόσβεσης ( ) δύο γραµµικώς ανεξάρτητες λύσεις είναι
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΉ Ι (ΠΛΗ ) ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 4 Άσκηση. (8 µον.) (α) ίνεται παραγωγίσιµη συνάρτηση f για την οποία ισχύει f /
Διαβάστε περισσότερα3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ
20 3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ Μια πολύ σηµαντική έννοια στη θεωρία πιθανοτήτων και τη στατιστική είναι η έννοια της µαθηµατικής ελπίδας ή αναµενόµενης τιµής ή µέσης τιµής µιας τυχαίας
Διαβάστε περισσότερα4.3. Γραµµικοί ταξινοµητές
Γραµµικοί ταξινοµητές Γραµµικός ταξινοµητής είναι ένα σύστηµα ταξινόµησης που χρησιµοποιεί γραµµικές διακριτικές συναρτήσεις Οι ταξινοµητές αυτοί αναπαρίστανται συχνά µε οµάδες κόµβων εντός των οποίων
Διαβάστε περισσότεραΜετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις 2.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Όπως έχουµε δει, για να προσδιορίσουµε τις αποκρίσεις ενός κυκλώµατος, πρέπει να λύσουµε ένα σύνολο διαφορικών
Διαβάστε περισσότεραΣυνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών. ε > υπάρχει ( ) ( )
Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών 7 Η Ευκλείδεια απόσταση που ορίσαµε στον R επιτρέπει ( εκτός από τον ορισµό των ορίων συναρτήσεων και ακολουθιών και τον ορισµό της συνέχειας συναρτήσεων της µορφής
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1
ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης - Σ. Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt.html Τετάρτη 7 Φεβρουαρίου 03 Ασκηση. είξτε ότι
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 9 ο Κ 5, 4 4, 5 0, 0 0,0 5, 4 4, 5. Όπως βλέπουµε το παίγνιο δεν έχει καµιά ισορροπία κατά Nash σε αµιγείς στρατηγικές διότι: (ΙΙ) Α Κ
Κεφάλαιο ο Μεικτές Στρατηγικές Τώρα θα δούµε ένα παράδειγµα στο οποίο κάθε παίχτης έχει τρεις στρατηγικές. Αυτό θα µπορούσε να είναι η µορφή που παίρνει κάποιος µετά που έχει απαλείψει όλες τις αυστηρά
Διαβάστε περισσότεραΌρια συναρτήσεων. ε > υπάρχει ( ) { } = ± ορίζονται αναλόγως. Η διατύπωση αυτών των ορισµών αφήνεται ως άσκηση. x y = +. = και για κάθε (, ) ( 0,0)
Όρια συναρτήσεων.5. Ορισµός. Έστω, f : Α συνάρτηση συσσώρευσης του Α και b σηµείο. Λέµε ότι η f έχει ως όριο το διάνυσµα b καθώς το τείνει προς το και συµβολίζουµε li = ή f b f b αν και µόνο αν, για κάθε
Διαβάστε περισσότεραΤο Βασικό Κεϋνσιανό Υπόδειγμα και η Σχέση Μεταξύ Ανεργίας και Πληθωρισμού. Καθ. Γιώργος Αλογοσκούφης
Το Βασικό Κεϋνσιανό Υπόδειγμα και η Σχέση Μεταξύ Ανεργίας και Πληθωρισμού Καθ. Γιώργος Αλογοσκούφης Καθηγητής Γιώργος Αλογοσκούφης, Δυναμική Μακροοικονομική, 2014 Η Κεϋνσιανή Προσέγγιση Η πιο διαδεδομένη
Διαβάστε περισσότεραΤο θεώρηµα πεπλεγµένων συναρτήσεων
57 Το θεώρηµα πεπλεγµένων συναρτήσεων Έστω F : D R R µια ( τουλάχιστον ) C συνάρτηση ορισµένη στο ανοικτό D x, y D F x, y = Ενδιαφερόµαστε για την ύπαρξη µοναδικής και ώστε διαφορίσιµης συνάρτησης f ορισµένης
Διαβάστε περισσότεραΓραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 3 : ιανυσµατικοί Χώροι και Υπόχωροι. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής
Γραµµική Αλγεβρα Ενότητα 3 : ιανυσµατικοί Χώροι και Υπόχωροι Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.
Διαβάστε περισσότεραΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07)
ΤΕΙ ΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07) Επιµέλεια Σηµειώσεων : Βασιλειάδης Γεώργιος Καστοριά, εκέµβριος 2006
Διαβάστε περισσότεραΒασικές έννοιες και ορισµοί. Ευθεία
Βασικές έννοιες και ορισµοί Ευθεία a R n, a 0 = {x R n x = λa} Βασικές έννοιες και ορισµοί Ευθεία a R n, a 0 = {x R n x = λa} Υπερεπίπεδο α R, a R n P = {x R n ax = α} Βασικές έννοιες και ορισµοί Ευθεία
Διαβάστε περισσότεραΚανόνες παραγώγισης ( )
66 Κανόνες παραγώγισης Οι κανόνες παραγώγισης που ισχύουν για συναρτήσεις µιας µεταβλητής, ( παραγώγιση, αθροίσµατος, γινοµένου, πηλίκου και σύνθετων συναρτήσεων ) γενικεύονται και για συναρτήσεις πολλών
Διαβάστε περισσότερα1 Το ϑεώρηµα του Rademacher
Το ϑεώρηµα του Rademacher Νικόλαος Μουρδουκούτας Περίληψη Σε αυτήν την εργασία ϑα αποδείξουµε το ϑεώρηµα του Rademacher, σύµφωνα µε το οποίο κάθε Lipschiz συνάρτηση f : R m είναι διαφορίσιµη σχεδόν παντού.
Διαβάστε περισσότεραΜάθηµα Θεωρίας Αριθµών Ε.Μ.Ε
Μάθηµα Θεωρίας Αριθµών Ε.Μ.Ε 1. Να αποδειχθεί ότι κάθε ϑετικός ακέραιος αριθµός n 6, µπορεί να γραφεί στη µορφή όπου οι a, b, c είναι ϑετικοί ακέραιοι. n = a + b c,. Να αποδειχθεί ότι για κάθε ακέραιο
Διαβάστε περισσότεραΒασική Εφικτή Λύση. Βασική Εφικτή Λύση
Αλγεβρική Μορφή Γενική Μορφή Γραµµικού Προγραµµατισµού n µεταβλητών και m περιορισµών Εστω πραγµατικοί αριθµοί a ij, b j, c i R µε 1 i m, 1 j n Αλγεβρική Μορφή Γενική Μορφή Γραµµικού Προγραµµατισµού n
Διαβάστε περισσότεραΗ ΘΕΩΡΙΑ ΤΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΗΣ
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΚΩΣΤΑΣ ΒΕΛΕΝΤΖΑΣ Η ΘΕΩΡΙΑ ΤΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΗΣ. Μερικές έννοιες Η συνάρτηση παραγωγής (, ), όπου είναι το συνολικό προϊόν και και οι συντελεστές
Διαβάστε περισσότεραΣτην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής θέµατα:
υναµικός Προγραµµατισµός Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής θέµατα: Σχεδιασµός αλγορίθµων µε υναµικό Προγραµµατισµό Το πρόβληµα του πολλαπλασιασµού πινάκων ΕΠΛ 3 Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα 3- υναµικός
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή. Οπως είδαµε για την εκκίνηση της Simplex χρειαζόµαστε µια Αρχική Βασική Εφικτή Λύση. υϊσµός
Εισαγωγή Οπως είδαµε για την εκκίνηση της Simplex χρειαζόµαστε µια Αρχική Βασική Εφικτή Λύση Εισαγωγή Οπως είδαµε για την εκκίνηση της Simplex χρειαζόµαστε µια Αρχική Βασική Εφικτή Λύση Σε περιπτώσεις
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στην Τοπολογία
Ενότητα: Συνεκτικότητα Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε
Διαβάστε περισσότεραΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΠΕΡΣΕΦΟΝΗ ΠΟΛΥΧΡΟΝΙΔΟΥ ΤΜΗΜΑ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΤΕ
ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΠΕΡΣΕΦΟΝΗ ΠΟΛΥΧΡΟΝΙΔΟΥ ΤΜΗΜΑ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΤΕ 1 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται
Διαβάστε περισσότεραΣηµειώσεις. Eφαρµοσµένα Μαθηµατικά Ι. Nικόλαος Aτρέας
Σηµειώσεις Eφαρµοσµένα Μαθηµατικά Ι ικόλαος Aτρέας ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ 207 Περιεχόµενα Κεφάλαιο. Επισκόπηση γνωστών εννοιών. -8. Σειρές πραγµατικών αριθµών..2 Σειρές συναρτήσεων..3 Γενικευµένα ολοκληρώµατα. Κεφάλαιο
Διαβάστε περισσότεραΕΜΒΟΛΙΜΗ ΠΑΡΑΔΟΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. Μερικές βασικές έννοιες διανυσματικού λογισμού
ΕΜΒΟΛΙΜΗ ΠΑΡΑΔΟΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Μερικές βασικές έννοιες διανυσματικού λογισμού ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ 1. Oρισμοί Διάνυσμα ονομάζεται η μαθηματική οντότητα που έχει διεύθυνση φορά και μέτρο.
Διαβάστε περισσότερα1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών
ΜΑΣ 02. Απειροστικός Λογισµός Ι Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών Ορισµός.. Ονοµάζουµε ακολουθία πραγµατικών αριθµών κάθε απεικόνιση του συνόλου N των ϕυσικών αριθµών, στο σύνολο R των πραγµατικών
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΟΜαθηµατικός Προγραµµατισµός είναι κλάδος των εφαρµοσµένων µαθηµατικών που ασχολείται µε την εύρεση άριστης λύσης. ιαφέρει από την κλασική αριστοποίηση στο ότι προσπαθεί να
Διαβάστε περισσότεραΕπιχειρησιακή Έρευνα
Επιχειρησιακή Έρευνα Ενότητα 4: Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό (4 ο μέρος) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων & Τροφίμων
Διαβάστε περισσότεραΌρια συναρτήσεων. ε > υπάρχει ( ) { } = ± ορίζονται αναλόγως. Η διατύπωση αυτών των ορισµών αφήνεται ως άσκηση. x y = +. = και για κάθε (, ) ( 0,0)
Όρια συναρτήσεων 5 Ορισµός Έστω, : Α συνάρτηση συσσώρευσης του Α και b σηµείο Λέµε ότι η έχει ως όριο το διάνυσµα b καθώς το τείνει προς το και συµβολίζουµε li ή b b αν και µόνο αν, για κάθε ε > υπάρχει
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. nn n n
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 3 Ο αλγόριθµος Gauss Eστω =,3,, µε τον όρο γραµµικά συστήµατα, εννοούµε συστήµατα εξισώσεων µε αγνώστους της µορφής: a x + + a x = b a x + + a x = b a
Διαβάστε περισσότεραΠανεπιστήμιο Ιωαννίνων ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΤΟΥ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ Διδάσκων:
Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΤΟΥ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ Διδάσκων: Φάμπιο Αντωνίου Στοιχεία Επικοινωνίας: email: fantoniou@cc.uoi.gr Τηλ:651005954 Προσωπική Ιστοσελίδα: fantoniou.wordpress.com Γραφείο: Κτίριο
Διαβάστε περισσότεραΜηχανική ΙI. Μετασχηµατισµοί Legendre. της : (η γραφική της παράσταση δίνεται στο ακόλουθο σχήµα). Εάν
Τµήµα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου 7/5/2000 Μηχανική ΙI Μετασχηµατισµοί Legendre Έστω µια πραγµατική συνάρτηση. Ορίζουµε την παράγωγο συνάρτηση της : (η γραφική της παράσταση δίνεται στο ακόλουθο σχήµα).
Διαβάστε περισσότεραEΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΗΣ ΨΗΦΙΑΚΗΣ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑΣ ΣΗΜΑΤΩΝ Γραµµική Εκτίµηση Τυχαίων Σηµάτων Φίλτρο Kalman
EΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΗΣ ΨΗΦΙΑΚΗΣ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑΣ ΣΗΜΑΤΩΝ Γραµµική Εκτίµηση Τυχαίων Σηµάτων Φίλτρο Kalma Εµµανουήλ Ζ. Ψαράκης Πολυτεχνική Σχολή Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Ακολουθιακή Επεξεργασία Τα δείγµατα
Διαβάστε περισσότερα5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών
Κεφάλαιο 5 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Οταν ένα µεταβλητό µέγεθος εξαρτάται αποκλειστικά από τις µεταβολές ενός άλλου µεγέθους, τότε η σχέση που συνδέει
Διαβάστε περισσότεραΣτοχαστικές Στρατηγικές
Στοχαστικές Στρατηγικές 1 η ενότητα: Εισαγωγή στον Δυναμικό Προγραμματισμό Τμήμα Μαθηματικών, ΑΠΘ Ακαδημαϊκό έτος 2018-2019 Χειμερινό Εξάμηνο Παπάνα Αγγελική Μεταδιδακτορική ερευνήτρια, ΑΠΘ & Πανεπιστήμιο
Διαβάστε περισσότεραΓραμμικός Προγραμματισμός Μέθοδος Simplex
ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Επιχειρησιακή Έρευνα Γραμμικός Προγραμματισμός Μέθοδος Simplex Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου Περιεχόμενα Παρουσίασης 1. Πρότυπη Μορφή ΓΠ 2. Πινακοποίηση
Διαβάστε περισσότεραΑλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα
Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα Ν. Μ. Μισυρλής Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών, Πανεπιστήµιο Αθηνών Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής () Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα 28 Μαΐου 2015 1 / 45 Εισαγωγή Ο δυναµικός
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία. έχει το γράφηµα του παραπλεύρως σχήµατος.
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ I ιαγώνισµα 6 ιάρκεια εξέτασης: ώρες Θεωρία. (4 µονάδες) α) Να γίνει το γράφηµα µιας συνεχούς συνάρτησης f() της οποίας η παράγωγος f () έχει το γράφηµα του παραπλεύρως
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο
Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο Σύνοψη Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζεται η ιδέα του συμπτωτικού πολυωνύμου, του πολυωνύμου, δηλαδή, που είναι του μικρότερου δυνατού βαθμού και που, για συγκεκριμένες,
Διαβάστε περισσότεραu u u u u u u u u u u x x x x
Βασικοί συµβολισµοί και σχέσεις ϕ ϕ ui & ϕ=, ϕ, i=, ui, j= t x x u1 u1 u1 x1 x2 x u 3 1, 1 ui, j ui, j u1, 1 ui, j ui, j u u u u u u u u u u u i 2 2 2 i, j= = i, j 2, 2 i, j = i, j 2, 2 i, j = x j x1 x2
Διαβάστε περισσότεραΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ SIMPLEX
ΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ SIMPLEX Θεμελιώδης αλγόριθμος επίλυσης προβλημάτων Γραμμικού Προγραμματισμού που κάνει χρήση της θεωρίας της Γραμμικής Άλγεβρας Προτάθηκε από το Dantzig (1947) και πλέον
Διαβάστε περισσότεραΗ Μεγάλη Μεγάλη Ύφεση Ύφεση
Η Μεγάλη Ύφεση παρακίνησε πολλούς οικονοµολόγους να να αναρωτηθούν σχετικά µε µε την την εγκυρότητα της της Κλασικής Οικονοµικής Θεωρίας. Τότε Τότε δηµιουργήθηκε η πεποίθηση ότι ότι ένα ένα καινούριο υπόδειγµα
Διαβάστε περισσότεραΒασικές έννοιες και ορισµοί. Ευθεία
Βασικές έννοιες και ορισµοί Ευθεία a R n, a 0 = {x R n x = λa} Βασικές έννοιες και ορισµοί Ευθεία a R n, a 0 = {x R n x = λa} Υπερεπίπεδο α R, a R n P = {x R n ax = α} Βασικές έννοιες και ορισµοί Ευθεία
Διαβάστε περισσότεραΤο Υπόδειγμα του Αντιπροσωπευτικού Νοικοκυριού
Το Υπόδειγμα του Αντιπροσωπευτικού Νοικοκυριού Ramsey- Cass- Koopmans Το Υπόδειγμα του Ramsey To υπόδειγμα αντιπροσωπευτικού νοικοκυριού oφείλεται στον Ramsey (1928), ο οποίος είχε πρώτος αναλύσει τη βέλτιστη
Διαβάστε περισσότεραΜάθηµα 5ο. Το υπόδειγµα της Συνολικής Ζήτησης
Μάθηµα 5ο Το υπόδειγµα της Συνολικής Ζήτησης Η συνολική Ζήτηση και τα συστατικά της Είδαµε ότι ένας τρόπος µέτρησης του ΑΕΠ είναι αυτός της συνολικής δαπάνης της οικονοµίας µε την παρακάτω ταυτότητα GDP
Διαβάστε περισσότερα3.9 Πίνακας συνδιακύμανσης των παραμέτρων
Στην περίπτωσή µας έχοµε p= 1περιορισµό της µορφής : που γράφεται ως : ' = m + m z ' (3.47) 1 m Fm 1 = [1 z '] = [ '] = h m. (3.48) Η εξίσωση 3.46 στην περίπτωση αυτή χρησιµοποιώντας τους πίνακες που είδαµε
Διαβάστε περισσότεραΚαµπύλες στον R. σ τελικό σηµείο της σ. Το σ. σ =. Η σ λέγεται διαφορίσιµη ( αντιστοίχως
Καµπύλες στον R 9. Ορισµός Μια καµπύλη στον R είναι µια συνεχής συνάρτηση σ : Ι R R όπου Ι διάστηµα ( συνήθως κλειστό και φραγµένο ) στον R. Συνήθως φανταζόµαστε την µεταβλητή t Ι ως τον χρόνο και την
Διαβάστε περισσότεραΤμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Δυϊκότητα. Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα. τελευταία ενημέρωση: 1/12/2016
Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ 2016-2017 Δυϊκότητα Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα τελευταία ενημέρωση: 1/12/2016 1 Το δυϊκό πρόβλημα Για κάθε πρόβλημα Γραμμικού Προγραμματισμού υπάρχει
Διαβάστε περισσότεραΕθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Τομέας Υδατικών Πόρων και Περιβάλλοντος. Διαχείριση Υδατικών Πόρων
Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Τομέας Υδατικών Πόρων και Περιβάλλοντος Διαχείριση Υδατικών Πόρων Βελτιστοποίηση Μέρος b: Συμβατικές Μέθοδοι συνέχεια Σύνοψη προηγούμενου μαθήματος Στόχος βελτιστοποίησης: Εύρεση
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΉ Ι (ΠΛΗ 12) ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 3
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΉ Ι (ΠΛΗ ) ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Άσκηση. ( µον.). Έστω z ο µιγαδικός αριθµός z i, µε, R. (α) ίνεται η εξίσωση: z
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Τελεστών. Ενότητα: Το Φασµατικό Θεώρηµα - Εισαγωγή. Αριστείδης Κατάβολος. Τµήµα Μαθηµατικών
Ενότητα: Το Φασµατικό Θεώρηµα - Εισαγωγή Αριστείδης Κατάβολος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες,
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 8. Ροπή και Στροφορµή Μέρος δεύτερο
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 Ροπή και Στροφορµή Μέρος δεύτερο Στο προηγούµενο Κεφάλαιο εξετάσαµε την περιστροφή στερεού σώµατος περί σταθερό άξονα. Εδώ θα εξετάσοµε την εξίσωση κίνησης στερεού σώµατος γενικώς. Πριν το κάνοµε
Διαβάστε περισσότεραΑρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Το ϑεώρηµα παρεµβολής του Riesz και η ανισότητα Hausdorff-Young. Απόστολος Γιαννόπουλος.
Ενότητα: Το ϑεώρηµα παρεµβολής του Riesz και η ανισότητα Hausdorff-Young Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.
Διαβάστε περισσότερα