Μαθηματικά 'Λυκείου Προσανατολισµού Θετικών Σπουδών Μαρίνος Παπαδόπουλος
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΟΣ 5 Σελ. ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΣ ΛΟΙΣΜΟΣ Ενότητα 1 Η έννοια του διανύσµατος 7 Πράξεις διανυσµάτων 11 Ενότητα 2 Πολλαπλασιασµός αριθµού µε διάνυσµα 19 1 η Συνθήκη παραλληλίας διανυσµάτων 19 Ενότητα 3 Συντεταγµένες στο επίπεδο 30 Μέτρο διανύσµατος 33 2 η Συνθήκη παραλληλίας διανυσµάτων 34 Συντελεστής διεύθυνσης διανυσµάτων 35 Ενότητα 4 Εσωτερικό γινόµενο διανυσµάτων 44 Προβολή διανύσµατος σε διάνυσµα 46 Ενότητα 5 Ερωτήσεις επανάληψης 61 Ασκήσεις επανάληψης 63 Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΟ Ενότητα 6 Συντελεστής διεύθυνσης ευθείας Καθετότητα Παραλληλία ευθειών 70 Εξίσωση ευθείας 72 Ενότητα 7 ενική µορφή εξίσωσης ευθείας 84 ιάνυσµα παράλληλο κάθετο σε ευθεία 85 Ενότητα 8 Απόσταση σηµείου από ευθεία 94 Εµβαδόν τριγώνου 94 Ενότητα 9 Ερωτήσεις επανάληψης 104 Ασκήσεις επανάληψης 106
ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ Ενότητα 10 Εξισώσεις κύκλου 112 Εφαπτοµένη κύκλου 113 Ενότητα 11 Εξισώσεις παραβολής 130 Εφαπτοµένη παραβολής 132 Ενότητα 12 Εξίσωση έλλειψης 147 Εφαπτοµένη έλλειψης 150 Ενότητα 13 Εξίσωση υπερβολής 165 Ασύµπτωτες υπερβολής 167 Εφαπτοµένη υπερβολής 168 Ενότητα 14 Ερωτήσεις Επανάληψης 180 Ασκήσεις Επανάληψης 182 Ενότητα 14 Μεταφορά Αξόνων 186 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ενότητα 15 Η µαθηµατική επαγωγή 192 Ενότητα 16 Ευκλείδεια διαίρεση 198 Ενότητα 17 ιαιρετότητα 205 Ενότητα 18 Ερωτήσεις Επανάληψης 210 Ασκήσεις Επανάληψης 210 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 212 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 223 ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 1999-2004 268 ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ Ο.Ε.Φ.Ε. 2000-2014 310 ΙΛΙΟΡΑΦΙΑ 374
. Πριν πέντε έξι χρόνια ξεκίνησε η συγγραφή του βιβλίου που κρατάς στα χέρια σου. Απευθύνεται στους µαθητές της Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης της Λυκείου, «φιλτράροντας» την ύλη µέσα από εµπειρία και διδασκαλία ετών σε φροντιστηριακά τµήµατα. Αποτελείται από τέσσερα κεφάλαια, τα οποία χωρίζονται σε επιµέρους ενότητες, καθεµιά από τις οποίες περιέχει: Ανάπτυξη της θεωρίας µε παρατηρήσεις σχόλια Λυµένες ασκήσεις Ερωτήσεις Κατανόησης Άλυτες ασκήσεις Μετά την ανάπτυξη κάθε κεφαλαίου υπάρχουν ερωτήσεις επανάληψης και ασκήσεις επανάληψης. Στο τέλος του βιβλίου θα βρείτε: Επαναληπτικές ασκήσεις όλων των κεφαλαίων (κύρια από τον ΕΥΚΛΕΙΗ, το περιοδικό της Ε.Μ.Ε.), µε τις απαντήσεις τους. Τις απαντήσεις όλων των Άλυτων Ασκήσεων του βιβλίου. Τα θέµατα των Πανελλήνιων εξετάσεων από το 1999 έως και το 2004. Τα θέµατα των εξετάσεων Προσοµοίωσης της ΟΕΦΕ από το 2002 έως και σήµερα. Από τη θέση αυτή θα ήθελα να ευχαριστήσω τον συνάδελφο Μαρίνο Παπαδόπουλο για την συµβολή του στις Ερωτήσεις Κατανόησης όπως και τον φίλο Παναγιώτη Τσαούση που είχε τη γενική ηλεκτρονική επιµέλεια του βιβλίου. Ανττώνης Μπαλάφας Μαθηµατικά Προσανατολισµου Λυκείου, Προλογικό Σηµείωµα
Μάθηµα 1 Κεφάλαιο : ιανυσµατικός Λογισµός Θεµατικές ενότητες : 1. Η έννοια του διανύσµατος 2. Πράξεις διανυσµάτων 1. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Ορισµός : ΙΑΝΥΣΜΑ είναι το προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα µε διατεταγµένα άκρα. A B Το Α λέγεται αρχή του διανύσµατος και το πέρας του διανύσµατος. Συµβολίζεται: AB (πολλές φορές και για πρακτικούς λόγους ένα διάνυσµα συµβολίζεται µόνο µε ένα µικρό γράµµα: πχ. α : 1 ο. Επειδή δύο σηµεία του επιπέδου ορίζουν µοναδική ευθεία η ευθεία αυτή ονοµάζεται Φ Ο Ρ Ε Α Σ ή Ι Ε Υ Θ Υ Ν Σ Η του διανύσµατος! 2 ο. Επειδή το ζεύγος των σηµείων είναι διατεταγµένο (δηλ.καθορίζεται η σειρά των σηµείων ) µας ορίζει τη Φ Ο Ρ Α! 3 ο. Το µήκος του ευθυγράµµου τµήµατος (Α) ορίζει το Μ Ε Τ Ρ Ο!, Α 0 ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ 1 ο. Αν η αρχή και το πέρας του διανύσµατος συµπίπτουν τότε λέµε το διάνυσµα είναι µηδενικό! ράφουµε Α= 0 2 ο. Αν το ευθύγραµµο τµήµα έχει µέτρο 1 τότε λέµε το διάνυσµα µοναδιαίο γράφουµε Α = 1 1
3 ο. Αν δύο διανύσµατα έχουν την ίδια διεύθυνση τότε τα λέµε συγγραµµικά ή παράλληλα. Αυτό σηµαίνει ότι βρίσκονται πάνω στην ίδια ευθεία ή σε παράλληλες ευθείες. Α A B Συµβολίζουµε AB // και λέµε ότι αυτά τα διανύσµατα έχουν ΙΙΑ ΙΕΥΘΥΝΣΗ. 4 ο. Αν έχω συγγραµµικά διανύσµατα µε την ίδια φορά τα λέµε οµόρροπα αν έχουν αντίθετες φορές τα λέµε αντίρροπα. γράφουµε α β για τα οµόρροπα α β για τα αντίρροπα α β Α A B α β Α A B Το µηδενικό διάνυσµα δεν έχει συγκεκριµένη φορά και διεύθυνση! Και γράφουµε πάντα 0 και όχι 0 2
Το µοναδιαίο δεν είναι 1 δηλ. δεν γράφουµε Α= 1αλλά Α = 1 ΙΣΑ ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ύο διανύσµατα θα τα λέµε Ι Σ Α αν έχουν και τα τρία στοιχεία τους ίσα δηλ. διεύθυνση, φορά, µέτρο. Α Συµβολίζουµε AB = και προφανώς ισχύουν: AB = : BA= Α= = Α ΜΕΣΟ ΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ i) Αν Μ µέσο του Α τότε: AΜ =Μ και αν AΜ =Μ τότε το Μ είναι το µέσο του Α Α Μ ii) Αν A = τότε το τετράπλευρο Α είναι παραλληλόγραµµο (γιατί οι απέναντι πλευρές του Α και είναι ίσες και παράλληλες). ΑΝΤΙΘΕΤΑ ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ύο µη µηδενικά διανύσµατα λέγονται ΑΝΤΙΘΕΤΑ όταν έχουν ΑΝΤΙΘΕΤΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΚΑΙ ΙΣΑ ΜΕΤΡΑ. Α = Συµβολίζουµε: A και προφανώς ισχύει: = A Α 3
ΩΝΙΑ ΥΟ ΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ Αν έχω δύο µη µηδενικά διανύσµατα µε κοινή αρχή Ο δηλ. ΟΑ= α, Ο= β Τη κυρτή γωνία των διευθύνσεών τους την ονοµάζω γωνία των διανυσµάτων και γράφω : ( α, β ) θ 0, = [ π] α θ β Επίσης: i) Αν α β τότε ^ω=0 ii) Αν α β τότε ^ω=π iii) Αν α β τότε ^ ω=π/2 ΣΧΟΛΙΑ: i) Αν κάποιο από τα α,β είναι το µηδενικό διάνυσµα 0 τότε γωνία των α,β µπορούµε να θεωρήσουµε οποιαδήποτε γωνία (µε 0 ω π). ii) Το µηδενικό διάνυσµα 0 θεωρείται ότι είναι παράλληλο ή κάθετο µε οποιοδήποτε άλλο διάνυσµα. 4
2. ΠΡΑΞΕΙΣ ΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ Ι. ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ Έστω τα διανύσµατα α και β α ω β Το άθροισµα των δύο διανυσµάτων είναι και αυτό διάνυσµα και προκύπτει µε ένα από τους παρακάτω τρόπους: i) (κανόνας παραλληλογράµµου α β α+β διανύσµατα µε κοινή αρχή) ii) Ο α Α α+β β (κανόνας διαδοχικών διανυσµάτων) λέπουµε: ΟΑ + Α=Ο ΣΧΟΛΙΟ: Ο β τρόπος µπορεί να εφαρµοστεί και για άθροισµα παραπάνω των 2 διανυσµάτων: π.χ.: Α + + = Α 5
ΙI. ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ Έστω τα διανύσµατα α και β α β Η διαφορά των διανυσµάτων α και β είναι προφανώς το άθροισµα των διανυσµάτων α και β. Ισχύει δηλαδή α β= α+ ( β). Έτσι : Α -β α β Ο α Παρατήρηση : Αν θέλω να δω στο ίδιο σχήµα και το άθροισµα και τη διαφορά τότε σχηµατίζω το παραλληλόγραµµο : β α+β α β Ο α Α ΙΙΟΤΗΤΕΣ ΠΡΟΣΘΕΣΗΣ ΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ i) α+ β= β+ α (αντιµεταθετική ιδιότητα) ii) (α+ β) + γ= α+ (β+ γ) (προσεταιριστική ιδιότητα) iii) α+ 0= 0+ α= α (ουδέτερο στοιχείο) iv) α+ ( α) = ( α) + α= 0 (αντίθετο στοιχείο) v) α β α+ β α + β (τριγωνική ανισότητα) Σχόλιο : Αν α+ β = α + β τότε α β 6
ενώ αν α β = α+ β τότε α β και αντιστρόφως ΙΑΝΥΣΜΑ ΘΕΣΕΩΣ Αν Ο είναι το σηµείο αναφοράς όλων των διανυσµάτων, διάνυσµα θέσης ή, διανυσµατική ακτίνα του σηµείου Μ ονοµάζουµε το διάνυσµα ΟΜ, άρα αναλύοντας ένα τυχαίο διάνυσµα θα έχω Α=Ο ΟΑ, ( η ΟΑ +Α=Ο ) Ο Α ΟΑ + Α =Ο Α = Ο ΟΑ το οποίο µας δείχνει ότι κάθε διάνυσµα ισούται µε την διανυσµατική ακτίνα του τέλους του µείον την διανυσµατική ακτίνα της αρχής του. ενικότερα για τυχαία σηµεία του επιπέδου µπορώ να έχω : ΑΚ=Α+++Ε+... ΙΚ ( το τέλος του πρώτου η αρχή του επόµενου! ) Π.χ. Σε τυχαίο τετράπλευρο Α δείξτε ότι Α =Α Έχω δύο τρόπους να εργασθώ : 1 ος : Α =Α Α+=Α+ Α=Α 2 ος : Αναλύω σύµφωνα µε το διάνυσµα θέσης Α =Α ΟΑ Ο ( Ο Ο ) =ΟΑ Ο ( Ο Ο) 0= 0 7
Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ Μ Ε Α Π Α Ν Τ Η Σ Η 1) ια τέσσερα τυχαία σηµεία Α,,, του επιπέδου να δείξετε ότι ΑB + =+Α. ΛΥΣΗ: Α τρόπος (µε πρόσθεση αφαίρεση διανυσµάτων) ΑB + =+Α Α -Α= = που ισχύει. τρόπος (µε χρήση σηµείου αναφοράς) Α + =Ο ΟΑ+Ο Ο=Ο Ο+Ο ΟΑ=+Α 2) ίνεται σηµείο αναφοράς Ο και α,β, γ,δ τα αντίστοιχα διανύσµατα θέσεως των σηµείων Α,,, και. Τι συµπέρασµα βγάζετε αν: i) α+γ= β+δ ii) α-γ = β-δ ΛΥΣΗ: i) α+γ= β+δ ΟΑ + Ο=Ο+Ο ΟΑ - Ο=Ο Ο Α = ηλαδή το τετράπλευρο Α έχει τις απέναντι πλευρές του και ίσες και παράλληλες άρα είναι παραλληλόγραµµο. ii) α-γ= ΟΑ Ο=Α β-δ= Ο Ο= Έτσι: Α =. ηλαδή το τετράπλευρο Α έχει ίσιες διαγώνιες. α β 3) ίνονται διανύσµατα α,β, γ µη µηδενικά για τα οποία ισχύουν α+β = 5γ. είξτε ότι τα α,β. είναι οµόρροπα ( α β) = γ 3 2 = και ΛΥΣΗ: Έχουµε: α = β γ 3 2 = έτσι α = 3γ και β = 2γ. Άρα α + β = 3γ + 2γ = 5γ. Αλλά επίσης α+β = 5γ. Έτσι α+β = α + β α β., δηλαδή ( ) 8
4) Αν ισχύει Κ+ ΑΛ= ΚΛ να αποδείξετε ότι τα σηµεία Α και ταυτίζονται. ΛΥΣΗ: Έχουµε από την δοθείσα σχέση: Κ+ ΑΛ= ΚΛ Κ ΚΛ= ΑΛ Λ= ΛΑ Λ ΛΑ= 0 Λ+ ΑΛ= 0 ΑΛ+ Λ= 0 Α= 0 το οποίο µας λέει ότι τα σηµεία Α, ταυτίζονται. 5) Παίρνουµε παραλληλόγραµµο Α. Να υπολογίσετε τις παρακάτω παραστάσεις: i)α+ ii) Α+ iii) Α Ο Ο iv) Α+ Ο v) Α+ Ο+Ο Α i) Α+ = Α ii) Α+ = Α+ Α= ΑΑ= 0 iii) Α Ο= Ο= + Ο= Ο iv) Α+ Ο= + Ο= Ο+ = Ο v) Α+ Ο+Ο= + Ο+Ο= Ο+ Ο= 0 6) Έστω τα σηµεία Κ, Λ, Μ, Ν. ρείτε σηµείο Ρ τέτοιο ώστε: ΛΡ+ ΚΜ= ΛΝ ΜΝ ΛΥΣΗ: Έχουµε διαδοχικά: ΛΡ+ ΚΜ= ΛΝ ΜΝ ΛΡ ΛΝ= ΚΜ ΜΝ ΝΡ= ΚΜ+ ΜΝ ΝΡ= ΚΝ ΝΡ=ΝΚ ( ) Άρα το Ρ ταυτίζεται µε το Κ. 9
Ε Ρ Ω Τ Η Σ Ε Ι Σ Κ Α Τ Α Ν Ο Η Σ Η Σ Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ-ΛΑΘΟΥΣ Σε κάθε µία από τις παρακάτω προτάσεις να σηµειώσετε το σωστό(σ) ή λάθος(λ). 1. Τα AB και AM είναι διαδοχικά. Σ Λ 2. Αν τα διανύσµατα α, β είναι αντίρροπα, τότε έχουν την ίδια διεύθυνση. Σ Λ 3. Α=Α Σ Λ 4. α=β α β και α = β Σ Λ 5. α+β = α +β 6. Αν α+β = 0 τότε τα διανύσµατα είναι αντίθετα. Σ Λ Σ Λ 10
B. ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΙΣΗΣ Αντιστοιχίστε τα στοιχεία της στήλης (Α) µε τα στοιχεία της στήλης (). ΣΤΗΛΗ (Α) ΣΤΗΛΗ () 1. Α 2. Α+Α 3. Α+Α 4. Α 5. ΑΜ+Μ 6. Α + Α 7. α+β = α + β, α, β 0 8. α+β = α + β, α, β 0 Α. αրւ β. 0. Α. Α Ε. Α Ζ. (3, -1) Η. αրր β Θ. 0 Ι. 2 Α 11
Α Λ Υ Τ Ε Σ Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ 1. Αν α, β, γ, δ οι αντίστοιχες διανυσµατικές ακτίνες των σηµείων Α,,, τι συµπεράσµατα βγάζετε για το Α αν ισχύουν (1) α γ = β δ (2) α + γ = β+ δ και α γ = β δ 2. Αν για δύο τρίγωνα Α, ΑΕ ισχύει Α+Α=Α+ΑΕ να δείξετε ότι το Ε είναι παραλ/µο 3. ίνονται τα σηµεία Α,, και Ο το µέσο του Α. είξτε ότι ισχύει Ο+Ο=Α 4. ίνεται κανονικό εξάγωνο ΑΕΖ και Α= α, = β να εκφράσετε το διάνυσµα ως συνάρτηση των α, β 5. ίνονται τα παραλ/µα Α και Α.είξτε ότι και το παραλ/µο. 6. ίνονται τα σηµεία Α,,,.Να συγκριθούν τα διανύσµατα χ =Α+ και ψ=α+ (δηµιουργήστε τη διαφορά) 7. Αν για τα σηµεία ισχύει η σχέση : Α+Α=Κ+Λ να δείξετε ότι τα σηµεία Κ, Λ ταυτίζονται. 8. ίνεται τετράπλευρο Α και Μ, Ν τα µέσα των πλευρών Α, αντίστοιχα.είξτε ότι ΜΝ=ΑΜ+Ν 9. Αν για τα σηµεία Α,, ισχύει ότι 2 Α = 3 = 6 Α δειξτε ότι τα σηµεία Α,, είναι συνευθειακά. 10. ίνονται τα σηµεία Κ, Λ, Μ, Ν τέτοια ώστε: ΚΛ ΝΛ=ΝΜ ΚΜ. Να αποδείξετε ότι τα σηµεία Κ και Ν ταυτίζονται. 12
11. Αν Α τυχαίο τρίγωνο να δείξετε ότι Α++Α= 0. 12. ίνονται τα σηµεία Α,,, και τα σηµεία,ε τέτοια ώστε =Α και Ε=Α. Να αποδείξετε ότι το Α είναι µέσο του Ε. 13. ίνεται ισόπλευρο τρίγωνο Α και το ύψος του Α. Υπολογίστε τις γωνίες: i) Α,A ii) Α,B iii) Α, iv) Α, A ( ) ( ) ( ) ( ) 14. Υπολογίστε τα αθροίσµατα: i) ΛΝ+ΜΟ+ΝΜ ii) ΚΙ-ΚΜ+ΛΜ iii) ΛM-KM-ΛΟ iv) AK KB+AΝ BΝ v) OK+ AΛ ΚΛ ΑΚ 15. ίνεται το ισόπλευρο τρίγωνο Α. BA= α, Α= β και B= γ A α β B Μ γ Συµπληρώστε τα κενά: i) α+β= ii) Μ+Μ = iii) Μ+ Α= iv) ( β, α) = v) ΜΑ,-β ( ) 13
16. Συµπληρώστε τα κενά: µε το Α παραλληλόγραµµο A 40 70 50 i) Α,Α = ( ) ( ) ii), = iii) Α+ = iv) Ο +... = Ο v) + Α = 17. ίνονται τα τρίγωνα Α και ΕΖ. Να αποδείξετε ότι: Α+ Ε+ Ζ= ΑΕ +Ζ+ 18. ίνεται παραλληλόγραµµο Α και σηµεία Ε και Ζ τέτοια ώστε ΑΕ= Ζ. Να δείξετε ότι το ΕΖ είναι παραλληλόγραµµο. 19. ίνεται παραλληλόγραµµο Α και Κ τυχαίο σηµείο. Να δείξετε ότι: i) Α+ Κ= Κ ii) ΑΚ +Κ= Κ+ Κ 20. Αν α = 1 και β = 4, να αποδείξετε ότι: 3 α β 5 14