Criterii de clasificare Dupa forma axei geometrice

3. ARBORI SI OSII Arborii sunt organe de masini simple aflate în miscare de rotatie, solidarizate cu piesele montate pe acestea (roti, volanti) si care se sprijina prin intermediul lagarelor pe structuri relativ fixe (sasiuri, batiuri, carcase). Tronsoanele arborilor care se sprijina pe lagare de rostogolire (rulmenti) sau pe cuzinetii lagarelor cu alunecare cu ungere mixta sau fluida se numesc fusuri. Arborii sunt solicitati la torsiune si la încovoiere, spre deosebire de osii care au doar solicitarea de încovoiere. Osiile pot fi fixe sau rotitoare. În primul caz rotile aflate pe osii se rotesc în raport cu acestea, iar în al doilea caz osiile se rotesc împreuna cu rotile cu care sunt solidarizate. În Tabelul 3.1 sunt prezentate criteriile de clasificare si categoriile de arbori si de osii. Criterii de clasificare Dupa forma axei geometrice Dupa variatia sectiunii Dupa forma sectiunii Tabelul 3.1 Categorii Arbori si osii cu axa dreapta Arbori si osii cu axa curba Arbori si osii cu axa frânta (arbori cotiti) Arbori si osii de sectiune constanta Arbori si osii de sectiune variabila (cazul cel mai frecvent) Arbori si osii cu sectiune circulara plina Arbori si osii cu sectiune inelara 3.1 Materiale Materialele pentru arbori si osii trebuie sa îndeplineasca urmatoarele conditii: - rezistenta mecanica ridicata; - modul de elasticitate ridicat, pentru ca deformatiile flexionale si torsionale sa fie cât mai mici si vibratiile sa aiba amplitudine redusa; - prelucrabilitate buna si cost redus. Pentru solicitari usoare sunt utilizate oteluri carbon obisnuite de rezistenta ridicata (OL 50, OL 60), pentru ca asigura o mare rigiditate arborilor si osilor si prezinta avantajul costului minim. Pentru solicitari medii sunt recomandate otelurile de calitate OLC 35, OLC 45, OLC 50 îmbunatatite, având avantajul tehnologicitatii superioare; în plus, prin tratamente termice de calire si revenire joasa se poate obtine o rezistenta ridicata la rupere (de peste 800 MPa) si, simultan, se mareste duritatea superficiala a fusurilor. Pentru solicitari importante se recomanda oteluri aliate, ca de exemplu: 30Mn16, 33MoCrNi11, 31MoCr11 îmbunatatite. Atunci când fusurile trebuie durificate si rectificate întreg arborele se realizeaza din OLC15, 18MnCr10 sau 18MoCrNi13. Arborii de forma complicata (arborii cotiti, de exemplu) se realizeaza din oteluri turnate sau din fonte cu grafit nodular, de mare rezistenta. Avantajul utilizarii fontelor rezulta din urmatoarele: - sunt mai putin sensibile la efectul concentratorilor de tensiuni; 107

- amortizeaza mai bine vibratiile; - sunt mai apte decât otelurile sa preia abateri de forma (de coaxialitate, de exemplu). 3. Calculul osiilor În figura 3.1 este reprezentat ansamblul cuprinzând osia unui vehicul, inclusiv lagarele care permit realizarea miscarii relative. Evident ca exista osii fixe, ca în cazul mentionat, dar exista si osii rotitoare în jurul axei proprii (figura 3.). Osie Lagar Lagar Roti pentru rulare a l a M i a igura 3.1 Se admite ipoteza ca osia din figura 3.1 este încarcata cu doua forte concentrate. Ca urmare, pe baza diagramei de momente încovoietoare, se poate calcula tensiunea maxima cu relatia 108

σ = a π d 3 3 σ a i (3.1) Punând conditia ca tensiunea de încovoiere sa atinga tensiunea admisibila, relatia de mai sus devine relatie de dimensionare, pentru sectiunea cea mai solicitata aflata în trosonul central. Pentru sectiunea de încastrare a fusului, dimensionarea se face în aceleasi conditii, tinând cont de valoarea locala a momentului de încovoiere. Dupa dimensionarea fusului la încovoiere, urmeaza verificarea la strivire si verificarea puterii specifice pierdute prin frecare (produsul presiune-viteza: p v), asa-numita verificare la încalzire [1]. Roata dintata Osie Lagar Lagar x l l M i l 4 igura 3. Pentru osia reprezentata în figura 3. pentru care s-a adoptat ipoteza încarcarii cu o singura forta concentrata, se poate pune conditia de egala rezistenta pentru sectiunea centrala cu diametrul d (cu solicitare maxima) si o sectiune oarecare de diametrul d x l 3 π d 3 = x 3 π d 3 x (3.) 109

b a igura 3.3 Rezulta legea de variatie a diametrului osiei: d x x l = d 3 (3.3) unctia astfel obtinuta este caracteristica osiei de egala rezistenta reprezentata în figura 3.3.a). Întrucât aceasta forma este greu de obtinut tehnologic si inutilizabila practic, osiile, si prin extindere arborii, se realizeaza în trepte (fig. 3.3.b). 3.3 Calculul arborilor 3.3.1 Predimensionarea la solicitarea de rasucire Pentru determinarea momentului de rasucire care se transmite prin arbore se pleaca de la una dintre relatiile cunoscute: M M t t D1 = t1 ; = 9,55 10 6 D M t = t P n (3.4) în care D 1 si D sunt diametrele rotilor montate pe arbore. Urmeaza determinarea diametrului arborelui într-o sectiune în care exista atât solicitarea de torsiune cât si cea de încovoiere: d 16 M 3 t (3.5) π τat Pentru ca arborele este solicitat si la încovoiere, iar dimensiunile longitudinale ale acestuia nu sunt cunoscute în aceasta faza a dimensionarii, predimensionarea la torsiune se face adoptând o valoare foarte mica pentru tensiunea admisibila, astfel: τ at = 15... 30 MPa. 110

3.3. Predimensionarea la deformatie torsionala Arborii sistemelor tehnice de precizie (arbori pentru masini-unelte, arbori cu came, arbori de comanda etc.) trebuie sa aiba deformatii torsionale cât mai mici, strict controlate. Ca urmare, determinarea diametrului acestor arbori se face punând conditia nedepasirii unghiului de rasucire admisibil? a, astfel: d 3 M l 4 t (3.6) π G θa 1 1 θa =... o pentru arbori obisnuiti 4 m θ = 5 ' a m pentru arbori de masini-unelte. 3.3.3 Proiectarea constructiva Predimensionarea tronsoanelor intermediare poate fi facuta constructiv, tinând cont de necesitatile de montaj. În figura 3.4 este reprezentat un arbore cu doua roti dintate rezemat pe doua lagare de capat. Dupa cum s-a aratat, s-a determinat initial diametrul d pentru sectiunea cea mai solicitata (tronsonul central, în exemplul luat). Urmeaza, apoi, faza proiectarii comstructive, adica stabilirea diametrelor pentru toate tronsoanele arborelui, pornind de la constatarea ca momentul de încovoiere scade dinspre tronsonul central spre capete, ceea ce înseamna ca solicitarea compusa (încovoiere si torsiune) scade, de asemenea. Proiectarea constructiva înseamna si proiectarea canalelor de pana, a degajarilor si altor forme care permit pozitionarea rotilor dintate si a lagarelor. 3.3.4 Calculul de verificare la solicitare compusa Pentru arbori de turatie redusa, este suficienta verificarea la solicitare compusa, adica încovoierea si rasucirea, folosind una dintre teoriile de rezistenta pentru compunerea de eforturi, pentru aflarea tensiunii echivalente s ech. Se calculeaza si se traseaza diagrama momentului de rasucire si diagramele momentelor de încovoiere în plan vertical si în plan orizontal, ca în exemplul din figura 3.4. Se calculeaza, apoi, pentru fiecare sectiune momentul echivalent cu o relatie preluata din teoria a III-a de rezistenta, astfel: ech i tot ( α M ) ; M = M M t i tot i V M = M + + (3.7) Relatia 3.7 include factorul de corectie a care tine cont de faptul ca momentul de încovoiere se produce dupa un ciclu alternant simetric (indice III) asa cum este sugerat în figura 3.5, iar momentul de torsiune este constant (indice I) sau pulsatoriu (indice II). Ca urmare, a < 1 având în vedere ca cele doua solicitari au cicluri diferite. i H 111

t1 d r1 A D1 D B 1 a r t M t VA r1 r V B M = a D M iv HA t1 t H B M ih igura 3.4 11

igura 3.5 Se defineste factorul de corectie: ciclul încovoierii σai III α = (3.8) σ ai I, II ciclul torsiunii Urmeaza verificarea la solicitare compusa: 3 Mech σ ech = σ 3 ai III (3.9) π d 3.3.5 Calculul de verificare la oboseala Pentru arbori de turatie medie sau ridicata, de peste 600 rot/min, verificarea la oboseala se face în toate sectiunile cu concentratori de tensiune (salturi de diametru, canale de pana, degajari etc.). Pentru sectiunea de calcul aleasa, se determina momentul de încovoiere total, pe baza caruia se calculeaza tensiunea de încovoiere maxima ca amplitudine a ciclului alternant simetric s v. Tensiunea de încovoiere medie s m este nula. Corespunzator ciclului de variatie al momentului de torsiune, de exemplu pentru ciclul pulsator, se determina tensiunile t max, t v si t m. În final, se calculeaza coeficientii de siguranta la oboseala pentru solicitarea de încovoiere c s, respectiv de torsiune c t. Coeficientul de siguranta echivalent c se compara cu valorarea admisibila c a. 3 Mi max (total) σ V = σimax = ; 3 π d σm = 0 (3.10) τmax 16 M t τ V = τm = ; τmax = 3 π d (3.11) σ 1 1 cσ = ; c = β τ Kσ βkτ τ V τ σ m V + ε γ ε γ τ τ (3.1) c = σ τ 1 c cσ c τ ca = 1,5...,5 (3.13) c + c σ τ 113

Câtiva dintre coeficientii concentratorilor de tensiuni sunt prezentati în Tabelul 3.. Concentratorul de tensiuni Tabelul 3. Reprezentarea grafica b ks b kt Caneluri triunghiulare 1,4 3 Caneluri dreptunghiulare 1,3 1,5,7 Canal pentru pana paralela 1,7 (freza disc),5 (freza deget) 1,9 Strângerea cu pene inelare 1,8 1, Butuc presat 1,7 1,5 Gaura transversala Crestatura inelara d g g/d 0,1 50 1,7,5,5 Canal inelar, 1,8 114

3.3.6 Solutii constructive pentru micsorarea concentratorilor de tensiune În figura 3.6.a - i sunt prezentate câteva solutii pentru micsorarea concentratorilor de tensiune dati de prezenta saltului de diametru, solutii care permit cu usurinta montarea rotilor pe arbori. 60 a) b) c) d) e) f) g) h) i) igura 3.6 În figurile 3.7 3.10 sunt prezentate solutii pentru diminuarea efectului concentratorului de tensiuni dat de strângerea dintre butuc si arbore. σ s max igura 3.7 igura 3.8 115

igura 3.9 igura 3.10 3.3.7 Calculul la deformatii elastice torsionale Cunoscând valorile admisibile pentru unghiul de rasucire? a (vezi paragraful 3.3.), pe baza diagramei momentului de rasucire ca, de exemplu, cea prezentata în figura 3.11 se calculeaza unghiul efectiv? care se compara cu valoarea admisibila impusa de necesitati functionale. l 1 l l 3 M t M t3 M t1 igura 3.11 θ = 1 G M I t1 l p1 1 M + I t p l + L (3.14) 116

3.3.8 Calculul la deformatii elastice flexionale Majoritatea arborilor trebuie dimensionati astfel încât sa nu se derformeze sub actiunea sarcinilor transversale mai mult decât limitele acceptate de functionalitatea ansamblului din care face parte arborele respectiv. Prin metodele cunoscute din rezistenta materialelor, în functie de încarcare si de rezemare se determina sageata maxima pe care o are arborele în sectiunile în care sunt montate roti dintate sau alte organe de masini care sunt sensibile la deplasari transversale. Valorile obtinute se compara, apoi, cu sagetile admisibile f a. f a 10 5 3... 10 5 l, unde l este distanta dintre reazeme De asemenea, se calculeaza unghiul de rotire în reazeme f care se compara cu valoarea admisibila: ϕ a 0,001rad 3.3.9 Calculul la vibratii flexionale Se ia în considerare, pentru exemplificare, un arbore de sectiune constanta cu reazeme simple la capete (reazeme libere, articulatii sau încastrari) ca în figura 3.1. A B M T A & y& B T T + dx dx M M + dx igura 3.1 Aplicând principiile lui D Alembert: T dx + i = 0 (3.15) M(x) y T = ; i = A dx ρ (3.16) t Întroducând pe (3.16) în (3.15) rezulta M(x) y = ρ A t (3.17) olosind ecuatia fibrei medii deformate: 117

y M(x) = E I zz (3.18) Rezulta prin integrare y M(x) = E I zz (3.19) si înlocuind în (3.17) se obtine în care y y E I zz = ρ A (3.0) t Solutia ecuatiei este ( x,t) = X(x) cos( ω t + θ) 4 y n care, înlocuita în (3.0), conduce la d X 4 = k X (3.1) 4 dx k 4 ρ A = ωn (3.) E I zz Solutia ecuatiei (3.) este: X = A + C [ cos( k x) + ch( k x) ] + B [ cos( k x) ch( k x) ] [ sin ( k x) + sh( k x )] + D [ sin ( k x) + sh( k x) ] Pentru determinarea constantelor A, B, C si D se cunosc: - sageata este proportionala cu X si este nula pe reazeme; - rotirea este proportionala cu X si nula pe reazemul încastrat; - momentul încovoietor este proportional cu X si este nul pe capatul liber sau articulat; - forta taietoare este proportionala cu X si este nula pe capatul liber. Pentru conditii la limita obisnuite, doua dintre constante sunt nule, ramânând în discutie doua ecuatii omogene cu doua constante. Din conditia de existenta a unor solutii diferite de cea nula se obtine ecuatia pulsatiilor având necunoscuta marimea k. Dupa rezolvare, se introduce k în relatia (3.) si se determina valorile frecventelor proprii E Izz ω n = k (3.3) ρ A Arborii pot functiona în regimuri cu frecvente subcritice sau supracritice, trecerea prin frecventele de rezonanta facându-se în timp foarte scurt. + 118

3.3.10 Vibratiile flexionale ale unui arbore verical fara masa proprie solidar cu un disc cu masa excentrica Conform figurii 3.13, discul de masa m este montat accidental excentri cu excentricitatea e. orta centrifuga duce la aparitia sagetii dinamice f din care este echilibrata de forta elastica. l CM m l f din e ρ ( f e) igura 3.13 cf = m ω ρ = m ω din + (3.4) el 48 E I = c fdin ; c = (3.5) 3 l în care c este rigiditatea flexionala. Egalând cf cu el, rezulta: f din m ω e = (3.6) c m ω Atunci când f din ; ω = ω cr Pulsatia critica este, deci, la rezonanta: c ω cr = (3.7) m Reprezentarea din figura 3.14 pune în evidenta faptul ca, pentru arborii rigizi, sageata dinamica relativa creste odata cu cresterea turatiei, iar pentru arborii elastici aceasta scade cu cresterea turatiei, pâna la valoarea f din = e. 119

f din e REZONANTA 1 0 ω arbori elastici ω cr 1 ω arbori rigizi igura 3.14 f din Atunci când = 1, se produce autocentrarea. e ω Pentru a se evita fenomenul de rezonanta se recomanda ca 1, 0, 8. ωcr Observatii care permit completarea celor deja prezentate: 1. Arborele are de obicei masa, uneori distribuita excentric;. Sageata dinamica apare chiar daca arborele este orizontal; 3. Daca masa m nu este concentrata în planul de simetrie transversal al discului apar si vibratii în raport cu alte axe; 4. Rezemarea influenteaza frecventa critica; 5. Turatia critica nu depinde de excentricitate; 6. Sageata dinamica depinde de excentricitate. Pentru arbori orizontali, turatia critica de determina cu relatia: n cr 30 g = (3.8) π f static 3.3.11 Aspecte constructive privind arborii Capetele de arbori sunt standardizate: STAS 874/1-71, STAS 874/-71, STAS 874/4-71 (capete cilindrice) si STAS 874/3-71 (capete conice). d igura 3.15 igura 3.16 10

Gaurile de centrare care se practica la capetele arborilor au menirea de a asigura precizia la strunjire, dar si la rectificarea fusurilor sunt standardizate prin: STAS 1361-8 (gauri nefiletate) si SR ISO 8189-1995 (gauri filetate). Inele elastice (STAS 5848/-88) din figura 3.15 sunt folosite pentru fixarea axiala a rotilor, ca în reprezentarea din figura 3.16. Exista doua tipuri de inele elastice: inele elastice pentru arbori si inele elastice pentru alezaje. 3.4 Bibliografie 1. Pavelescu, D., Radulescu, Gh., Gafitanu, M., Gheorghiu, N., Organe de masini, Editura didactica si pedagogica, Bucuresti, 1985.. Manolescu, N., Andrian, A., Costinescu, V., Manualul inginerului mecanic, Editura tehnica, Bucuresti, 1976. 3. Manea, Gh., Organe de masini, Vol. I, Editura Tehnica, Bucuresti, 1970. 4. Decker, K. H., Machienenelemente, Carl Hanser Verlag München Wien, 1997. 5. Shigley, J. E., Mechanical Engineering Design, McGraw-Hill Book Company, New York, 1986. 6. Mladinescu, T., Rizescu, E., Weinberg, H., Organe de masini si mecanisme, Editura didactica si pedagogica, Bucuresti, 197. 7. Buzdugan, Gh., Rezistenta materialelor, Editura Academiei Române, Bucuresti, 1986. 8. ilipoiu, I. D., Raseev, M., Voica, I., Organe de masini, Vol. I, Universitatea POLITEHNICA Bucuresti, 1994. 11