ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΑΝΑΚΛΑΣΗ & ΔΙΑΔΟΣΗ ΚΥΜΑΤΩΝ ΣΕ ΑΣΥΝΕΧΕΙΑ ΧΟΡΔΗΣ

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 69 96778 ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΑΝΑΚΛΑΣΗ & ΔΙΑΔΟΣΗ ΚΥΜΑΤΩΝ ΣΕ ΑΣΥΝΕΧΕΙΑ ΧΟΡΔΗΣ Σγγαφή Επιμέλεια: Παναγιώτης Φ. Μοίας ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 69 96778

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 69 96778 ΘΕΜΑ και τείνεται με τάση για Μια χοδή απείο μήκος έχει γαμμική πκνότητα x 0, ενώ έχει γαμμική πκνότητα και τείνεται με τάση για 0 x. Ένα αμονικό ημιτονικό κύμα διαδίδεται από αιστεά και ποσπίπτει στην ασνέχεια στο x=0. α Δείξτε ότι η εγκάσια δύναμη επαναφοάς στο σημείο ένσης x=0 ικανοποιεί τη σνθήκη: x x όπο και είναι οι κματοσνατήσεις τν σνιστάμενν κμάτν στις δύο πειοχές. β Αν δείξτε ότι: R όπο γ Αν Λύση R, ο σντελεστής ανάκλασης και οι κματάιθμοι τν και και δείξτε ότι η σχέση τν μηκών κύματος είναι c λ c. λ.,τ,τ x=0 t θ F F θ Α x x=0 α Έστ ότι x, είναι η μετατόπιση της χοδής στο διάστημα x 0 και x, η μετατόπισή της στο 0 x αντίστοιχα. Στο σημείο ένσης Α, δηλαδή για x=0, οι μετατοπίσεις ακιβώς αιστεά και ακιβώς δεξιά, λόγ σνέχειας πέπει να είναι ίσες: ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 69 96778

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 69 96778 0, 0, F και Στο σημείο ένσης Α ασκούνται εφαπτομενικά οι δνάμεις από τα δύο τμήματα της χοδής. Λόγ ισοοπίας της χοδής στη διεύθνση x, οι οιζόντιες σνιστώσες τν ισούνται με τις τάσεις πο τείνον τα δύο τμήματα της χοδής. Δηλαδή: F και F και θ F cos θ F / cos και F cos θ F / cos θ Επίσης κατά τη διεύθνση της κίνησης της χοδής, σύμφνα με το ο νόμο το Newton η ολική δύναμη F sn θ F sn θ, όπο η βαύτητα αμελείται ισούται: F α F sn θ F sn θ F όπο η μάζα το σημείο Α, η οποία είναι αμελητέα εφόσον δεν πάχει τοποθετημένη σημειακή μάζα στο σημείο Α. Δηλαδή, οπότε η λόγ και τν δίνει: 0 F sn θ sn θ sn θ F sn θ 0 0 cos θ cos θ tan θ tan θ 0 Αλλά οι εφαπτομένες tan θ, tan θ δίνον την κλίση της χοδής εκατέθεν το σημείο Α. Δηλαδή είναι: tan θ και x x0 tan θ 5 x x0 Άα τελικά η λόγ τν 5 παίνει τη μοφή: x x0 x x0 6 t x β Θεώντας το αμονικό κύμα x, e πο ποσπίπτει στην ασνέχεια x=0 από τα αιστεά, τότε στο σημείο ατό δημιογείται το ανακλώμενο κύμα φ ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 69 96778

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 69 96778 t x φ x, Be πο διαδίδεται πος τα αιστεά και το μεταδιδόμενο κύμα t x t x, Ce πο διαδίδεται πος τα δεξιά. Σνεπώς η ολική μετατόπιση της χοδής στο τμήμα x 0 ισούται με το άθοισμα x, x,, ενώ στο τμήμα 0 x ισούται με το. Δηλαδή: φ t x, x, x, x, και x, x, 7 Αντικαθιστώντας τις πααπάν στην οιακή σνθήκη ποκύπτει: 0, 0, 0, 0, 0, t t e t φ tφ tφ φ φ φ Be Ce e Be Ce 8 Επίσης αντικαθιστώντας τις 7 στην οιακή σνθήκη 6 για ποκύπτει: x x x [ x, x, ] x x, t x0 x0 x0 x0 t xφ e B txφ e x0 C e t xφ x0 t φ tφ tφ e e C e φ e B e Ce φ φ 9 Επομένς από τις 8 και 9 ποκύπτει: φ φ e B e e Be φ φ φ φ e Be φ Be B φ φ e φ e 0 Από τη σχέση 0 φαίνεται ότι το δεύτεο μέλος είναι παγματικό άα πέπει να είναι παγματικό και το πώτο μέλος. ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 69 96778

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 69 96778 φ φ Επειδή e cos φ φ sn φ φ ατού είναι το cos φ φ και αν φ π. Άα: φ R B παατηείται ότι το παγματικό μέος είναι, ενώ αν είναι φ φ R 0 Παατηείται ότι αν τότε είναι ποσπίπτον κύμα είναι σε φάση, ενώ αν φ R 0 δηλαδή το ανακλώμενο και το τότε έχον διαφοά φάσης π. φ γ Η σύνθετη αντίσταση Ζ της χοδής σνδέεται με τη φασική ταχύτητα μέσ της σχέσης: Ζ = Αλλά: π / λ π λ οπότε: π λ Άα αν και c σύμφνα με την ποκύπτει: π π λ λ λ λ λ cλ λ cλ ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 69 96778

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 69 96778 ΘΕΜΑ Χοδή τεντώνεται κατά μήκος το άξονα τν x με τάση Τ και έχει γαμμική πκνότητα x και για 0 x. Το εγκάσιο κύμα x, cos t x κινείται στο αιστεό τμήμα της χοδής και ποσπίπτει στο σημείο x=0. α Γάψτε το ποκύπτον κύμα στην πειοχή x 0 ς επαλληλία δύο στάσιμν κμάτν. β Ποια είναι η διαφοά φάσης ποσπίπτοντος ανακλώμενο και ποσπίπτοντος μεταδιδόμενο κύματος; γ Δείξτε ότι η μέση μεταδιδόμενη ισχύς στην πειοχή x>0 ισούται με τη διαφοά της μέσης ισχύος το ποσπίπτοντος κύματος μείον τη μέση ισχύ το ανακλώμενο. για 0 Λύση α Στην πειοχή x 0 πάχον δύο κύματα, το ποσπίπτον: x, cos t x και το ανακλώμενο: x, R cos t x όπο R είναι ο σντελεστής ανάκλασης το κύματος στο x=0 και, εί- ναι οι χαακτηιστικές σύνθετες αντιστάσεις τν δύο τμημάτν της χοδής για τις οποίες ισχύει : και Άα το ποκύπτον κύμα ολ x, στην πειοχή x 0 είναι:, ολ x, x, x, cos t x R cos t x cos t cos x sn t sn x Rcos t cos x R sn t sn x ολ x, Rcos x cos t Rsn x sn t Δηλαδή είναι επαλληλία δύο στάσιμν κμάτν. ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 69 96778

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 69 96778 β Αν τότε επειδή είναι κι επομένς, οπότε η διαφοά φάσης ποσπίπτοντος και ανακλώμενο κύματος είναι μηδέν. Αντίστοιχα αν τότε είναι κι επομένς, δηλαδή η διαφοά φάσης θα ισούται με π. R 0 Το μεταδιδόμενο κύμα είναι: x, cos t x t R R 0 Αλλά επειδή είναι 0, ποκύπτει ότι η διαφοά φάσης πσπίπτοντος μεταδιδόμενο κύματος είναι πάντα μηδέν. γ Η μέση ισχύς ενός κύματος πο διαδίδεται σε ομογενή χοδή είναι: P t Άα η μέση ισχύς το ποσπίπτοντος, το ανακλώμενο και το μεταδιδόμενο κύματος θα είναι αντίστοιχα: P sn t x t P R sn t x t R t Pt sn t x t Άα: P P R P t όπο: R ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 69 96778

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 69 96778 ΘΕΜΑ και Δύο χοδές από το ίδιο λικό έχον κκλικές διατομές με ακτίνες, είναι ενμένες στο σημείο Α και είναι τεντμένες με κοινή τάση Τ. Ένα αμονικό εγκάσιο κύμα με πλάτος Α και κκλική σχνότητα, ποσπίπτει από αιστεά στο σημείο Α της ασνέχειας και η μέση τιμή της ισχύος πο μεταφέει είναι <P>. α Ποια είναι τα πλάτη το μεταδιδόμενο και το ανακλώμενο κύματος; β Ποιες είναι οι μέσες τιμές τν ισχύν πο μεταφέει καθένα από ατά τα κύματα; γ Βείτε το λόγο τν διαμέτν ώστε το 5% της ποσπίπτοσας ισχύος <P> να ανακλάται, ενώ το 75% να μεταδίδεται. Λύση / α Το ποσπίπτον κύμα έχει τη μοφή: x, cos t x Άα το πλάτος το ανακλώμενο κύματος είναι, όπο R και R R και το μεταδιδόμενο κύματος β Όπς πολογίστηκαν και στο Θέμα η μέση ισχύς κάθε κύματος είναι: P, P R, Pt γ Αν ανακλάται το 5% της ποσπίπτοσας ισχύος θα πέπει: R P P R R Αν, είναι οι γαμμικές πκνότητες τν δύο χοδών και η πκνότητα το λικού από το οποίο είναι κατασκεασμένες οι χοδές θα ισχύει: ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 69 96778

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 69 96778 π και π Και επειδή οι χοδές τείνονται με κοινή τάση Τ οι σύνθετες αντιστάσεις τος είναι: π π και π π Άα η λόγ τν δίνει: π π π π ή ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 69 96778

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 69 96778 ΘΕΜΑ Σημειακή μάζα είναι τοποθετημένη σε χοδή απείο μήκος και χαακτηιστικής tx αντίστασης Ζ. Εγκάσιο κύμα x, e ανακλάται και εν μέει διαδίδεται όταν σναντά τη μάζα. Από τις οιακές σνθήκες σνέχειας της χοδής και τν δνάμεν επαναφοάς στη θέση της μάζας, πολογίστε τος σντελεστές ανάκλασης και διάδοσης σνατήσει το tan θ /. Λύση φ F F φ,z 0, x=0,z x Έστ ότι κάποια χονική στιγμή t η μάζα έχει μετατοπιστεί κατά 0, από τη θέση ισοοπίας και F, F είναι οι δνάμεις πο ασκούν τα δύο τμήματα της χοδής στη μάζα. Λόγ ισοοπίας της χοδής στη διεύθνση x, οι οιζόντιες σνιστώσες τν ισούνται με την τάση Τ πο τείνει τα δύο τμήματα της χοδής. Δηλαδή: F cos φ F / cos και F cos φ F / cos φ φ F και F Επίσης κατά τη διεύθνση της κίνησης, αμελώντας τη βαύτητα, ο ος νόμος το Newton δίνει: F α F sn φ F sn φ x, t x0 tαnφ tαnφ x, t x0 ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 69 96778

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 69 96778 όπο x, t x0 είναι η επιτάχνση της μάζας. Αλλά επειδή x, tan φ και x x0 x, tan φ είναι οι κλίσεις της χοδής x x0 εκατέθεν της μάζας η σχέση γάφεται: x, x x0 x, x x0 x, t x0 x, Η μετατόπιση αιστεά της μάζας είναι το άθοισμα το ποσπίπτοντος και το ανακλώμενο κύματος, δηλαδή: tx tx x, e Be ενώ η μετατόπιση x, δεξιά της μάζας είναι το διαδιδόμενο κύμα, δηλαδή: tx x, Ce 5 όπο ο κματάιθμος είναι ο ίδιος και στα δύο τμήματα της χοδής γιατί έχον την ίδια σύνθετη αντίσταση. Επομένς λόγ της οιακής σνθήκης της σνέχειας της μετατόπισης στο σημείο x=0 ισχύει:, 5 t t t 0, 0, e Be Ce B C 6 Ενώ η σχέση λόγ τν και 5 δίνει: t t Ce e Be C t e t C B C C B C 6 B B B B B B ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 69 96778

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 69 96778 ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 69 96778 B B 7 Και η 6 λόγ της 7 δίνει: 7 C B C B C 8 Οι σχέσεις 7 και 8 δίνον τος σντελεστές ανάκλασης και διάδοσης. Από τον οισμό της σύνθετης αντίστασης κι επειδή ποκύπτει: 9 Άα οι σχέσεις 7 και 8 λόγ της 9 γίνονται: B θ θ θ θ θ θ θ tan tan tan tan tan tan tan 0 όπο θ / tan Και: C

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 69 96778 ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 69 96778 θ tαn tαnθ θ tαn C θ tαn tαnθ θ tαn θ tαn

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 69 96778 ΘΕΜΑ 5 Χοδή απείο μήκος πο τείνεται πό τάση Τ, αποτελείται από δύο τμήματα γαμμικής πκνότητας μάζας πο ενώνονται στη θέση x=0. Αν στη θέση ατή πάχει επιπλέον σημειακή μάζα, να πολογίσετε τος σντελεστές ανάκλασης και διάδοσης ενός κύματος πο κινείται πος τα θετικά το άξονα x. Λύση και Τ, x=0 t Τ, x Ομοίς όπς και στο Θέμα βίσκεται ότι η εξίσση της κίνησης της μάζας δίνεται από τη σχέση: x t x t x t,,, x x t x0 x0 x0 Αλλά τώα είναι : t x t x x, e Be και t x x, Ce Σημειώνεται ότι το ποσπίπτον και το ανακλώμενο κύμα έχον τον ίδιο κματάιθμο, γιατί διαδίδονται στο ίδιο μέσο, ενώ το διαδιδόμενο κύμα έχει κματάιθμο γιατί διαδίδεται σε διαφοετικό μέσο. Επίσης τα τία ατά κύματα έχον την ίδια σχνότητα της πηγής πο εκπέμπει το ποσπίπτον κύμα. Επομένς λόγ της οιακής σνθήκης της σνέχειας της μετατόπισης στο σημείο x=0 ισχύει: t t t 0, 0, e Be Ce B C Ενώ η σχέση λόγ τν δίνει: t t t t e C e e B e C ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 69 96778

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 69 96778 ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 69 96778 C B C C B C B B B B B ] [ ] [ B Επίσης η λόγ της δίνει: C B C B C C 5 Οι σχέσεις και 5 δίνον τος σντελεστές ανάκλασης και διάδοσης.

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 69 96778 ΘΕΜΑ 6 Χοδή σύνθετης αντίστασης Ζ και μήκος έχει σταθεά άκα και τείνεται πό τάση Τ. Αν στη θέση είναι τοποθετημένη σημειακή μάζα, γάψτε τις μετατοπίσεις στα δύο μέη της χοδής, εφαμόστε τις οιακές σνθήκες και βείτε τη σνθήκη πο ικανοποιεί ο κματάιθμος. Λύση x / x / x=0 x Επειδή η χοδή έχει σταθεά άκα, οι μετατοπίσεις της στις δύο πειοχές 0 x / και / x θα έχον τη μοφή στάσιμν κμάτν: x, sn x B cos x e t Δηλαδή είναι: t x, sn x B cos x e για 0 x / t x, sn x B cos x e για / x Εφαμόζοντας πώτα τις οιακές σνθήκες στα σταθεά άκα της χοδής x=0 και ποκύπτον: x t 0, 0 0 B e 0 B 0 δηλαδή : t x, sn xe t, 0 sn B cos e 0 sn B cos 0 B sn B cos tαn ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 69 96778

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 69 96778 Επίσης οι οιακές σνθήκες στο σημείο ασνέχειας x / δίνον: sn B cos, t t /, /, sn e e sn sn B cos 5 και x x t x/ x / x / cos B sn cos sn cos B sn sn cos 6 Διαιώντας κατά μέλη τις σχέσεις 6 και 5 και λόγ της ποκύπτει: sn cos sn cos B sn sn B cos tan B cos B sn sn cos tαn B tαn B tαn tαn tαn tαn tαn tαn ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 69 96778

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 69 96778 tαn tαn tαn tαn tαn Η σχέση ατή αποτελεί τη σνθήκη πο ικανοποιεί ο κματάιθμος. ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 69 96778

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 69 96778 ΘΕΜΑ 7 και Δύο ημιάπειες χοδές γαμμικών πκνοτήτν σνδέονται στο σημείο x=0 και τείνονται με τάση Τ. Στο ίδιο σημείο σνδέεται ελατήιο σταθεάς s με το άλλο το σημείο στηιγμένο σε ακλόνητο σημείο. Όταν η χοδή ηεμεί το ελατήιο έχει το φσικό το μήκος. Από τη μία πλεά της χοδής διαδίδεται το οδεύον κύμα πος το σημείο x=0, όπο εν μέει ανακλάται και εν μέει διαδίδεται. α Γάψτε τις οιακές σνθήκες πο εκφάζον τη σνέχεια της χοδής και τη δναμική ισοοπία στο σημείο x=0. β Υπολογίστε τος σντελεστές ανάκλασης και μετάδοσης πλάτος το κύματος στο σημείο μεταβολής της πκνότητας. Λύση F φ φ F F ελ t Τ, x=0 Τ, 0, x s α Το ποσπίπτον κύμα είναι δημιογείται το ανακλώμενο κύμα t x t x x, e οπότε στο σημείο της σύνδεσης x=0 t x x, Be και το διαδιδόμενο κύμα t x, Ce όπο, δηλαδή ο κματάιθμος είναι διαφοετικός στις δύο πειοχές επειδή. Επομένς η μετατόπιση της χοδής σε κάθε ημιάπειη χοδή είναι: t x t x x, x, x, x, e Be t x x, x, x, Ce t Έστ η τχαία θέση της χοδής μια χονική στιγμή t. Λόγ της οιακής σνθήκης της σνέχειας της μετατόπισης της χοδής στο σημείο x=0 ισχύει: ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 69 96778

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 69 96778, t t t 0, 0, e Be Ce B C Στο σημείο ένσης τν δύο χοδών ασκούνται οι εφαπτομενικές δνάμεις δύο χοδές αντίστοιχα και η δύναμη το ελατηίο F ελ s 0,. Λόγ ισοοπίας της χοδής στη διεύθνση x, οι οιζόντιες σνιστώσες τν ίσες με την τάση Τ πο τείνει τις χοδές. Δηλαδή: F cos φ φ F, F F, F F / cos και F cos φ F / cos φ Ενώ κατά τη διεύθνση της κίνησης της χοδής, ο ος νόμος το Newton δίνει: από τις είναι F α F sn φ F sn φ F ελ x, t x0 0 tαnφ tαnφ s 0, x, Αλλά επειδή δεν πάχει τοποθετημένη σημειακή μάζα στο σημείο Α και οι εφαπτομένες δίνον την κλίση της χοδής εκατέθεν το σημείο Α, οπότε η τελεταία σχέση γάφεται: t x0,,, x t x t s 0, 0 x x0 x x0 t t t Ce e Be sce 0 C B sc 5 t β Άα από τις σχέσεις και 5 ποκύπτον οι σντελεστές ανάκλασης και διάδοσης ς: B s s και C s 6 Κι επειδή =/ και / / ποκύπτει ότι / δηλαδή και, οπότε οι σχέσεις 6 τελικά γίνονται: / ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 69 96778

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 69 96778 ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 69 96778 s s B και s C

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 69 96778 ΘΕΜΑ 8 Μία χοδή ημιάπειο μήκος τείνεται πό τάση Τ και έχει το άκο της x=0 σταθεό. Το τμήμα της χοδής 0<x<α έχει γαμμική πκνότητα α x έχει, ενώ το τμήμα t x γαμμική πκνότητα. Ένα εγκάσιο κύμα x, e ποσπίπτει στο σημείο ασνέχειας x=α από τα δεξιά της χοδής. Να ποσδιοιστεί η εξίσση κίνησης της χοδής σε κάθε τμήμα. Λύση t Τ, x=α Τ, x=0 Όταν το κύμα t x, t x ποσπίπτει στο σημείο x=α δημιογείται το ανακλώμενο κύμα x, Be πο διαδίδεται πος τα δεξιά της χοδής και το διαδιδόμενο κύμα t x x, Ce πο διαδίδεται πος τα αιστεά. Επίσης το διαδιδόμενο κύμα t x, καθώς ποσπίπτει στο σταθεό άκο x=0 ανακλάται και δημιογείται το ανακλώμενο κύμα x, De t x, πο διαδίδεται πος τα δεξιά. Επομένς σε κάθε τμήμα της χοδής θα πάχον δύο κύματα, ένα διαδιδόμενο πος τα αιστεά και ένα πος τα δεξιά. Άα η μετατόπιση της χοδής στο τμήμα α x είναι: t x t x x, x, x, e Be Ενώ η μετατόπιση της χοδής στο τμήμα 0<x<α είναι: t t x t x x, x, x, Ce De Εφαμόζοντας τις οιακές σνθήκες το ποβλήματος ποκύπτον: Στο σταθεό άκο x=0 : 0, 0C D 0 Στο σημείο x=α λόγ σνέχειας της μετατόπισης της χοδής: ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 69 96778

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 69 96778, α α α α Be α, α, Ce De e Στο σημείο x=α λόγ δναμικής ισοοπίας: x, x xα x, x xα Ce α α α De e Be α α α α α Ce De e Be 5 Από τις σχέσεις,, 5 πολογίζονται τα πλάτη B, C, D σνατήσει το Α: B α tαn α e tαn α 6 και D sn e α C tαn α α tαn α Άα η εξίσση κίνησης της χοδής δίνεται από τις, όπο τα πλάτη δίνονται από τις σχέσεις 6. ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 69 96778

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 69 96778 ΘΕΜΑ 9 Μία χοδή απείο μήκος τείνεται με τάση Τ και έχει γαμμική πκνότητα εκτός από tx το τμήμα 0<x<d πο είναι. Ένα αμονικό κύμα x, e ποσπίπτει από τα αιστεά στο σημείο x=0. Να πολογιστεί ο σντελεστής διάδοσης το κύματος. Λύση,Τ x=0 t,τ t x=d,τ x Όταν το κύμα t tx x, ποσπίπτει στο σημείο x=0 δημιογείται το ανακλώμενο κύμα x, Be πο διαδίδεται πος τα αιστεά και το διαδιδόμενο κύμα tx x, Ce με δεξιά. Στη σνέχεια όταν το κύμα λόγ αλλαγής της πκνότητας πο διαδίδεται πος τα t δημιογείται το ανακλώμενο κύμα και το διαδιδόμενο κύμα t x, ποσπίπτει στο άλλο σημείο ασνέχειας x=d tx x, De πο διαδίδεται πος τα αιστεά tx x, Ee πο διαδίδεται πος τα δεξιά. Άα το σνιστάμενο κύμα στο τμήμα x 0 είναι: tx tx x, x, x, e Be ενώ στο τμήμα 0<x<d είναι: tx tx x, x, x, Ce De t και στο τμήμα d x είναι: tx x, t x, Ee Εφαμόζοντας τις οιακές σνθήκες σνέχειας στα σημεία x=0 και x=d ποκύπτον: ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 69 96778

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 69 96778, 0, 0, e Be Ce De t t t t B C D B C D, t d td td d, d, Ce De Ee d d d Ce De Ee 5 Επίσης στα σημεία x=0 και x=d επειδή δεν πάχον σημειακές μάζες, αλλά απλή ασνέχεια της γαμμικής πκνότητας η οιακή σνθήκη της δναμικής ισοοπίας δίνει: x x 0 x x x0 x0 x0 x0 e t Be t Ce t De t B C D B D C 6 Και: x xd x xd 0 x xd x xd Ce t d td td De Ee Ce d De d Ee d d d d De C Ee e 7 Από τις σχέσεις 5 και 7 πολογίζονται τα πλάτη C, D σνατήσει το Ε ς: d C E e και d D E e 8 ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 69 96778

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 69 96778 ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 69 96778 Αντικαθιστώντας την στην 6 και λόγ τν 8 τελικά ποκύπτει: 8 D C C D D C e E e E d d d d e e E

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 69 96778 ΘΕΜΑ 0 Χοδή απείο μήκος τείνεται πό τάση Τ και αποτελείται από τία τμήματα με διαφοετικές γαμμικές πκνότητες, δηλαδή είναι για x 0, για και για x. Ένα αμονικό κύμα διαδίδεται από τα αιστεά και ποσπίπτει στο σημείο ασνέχειας x=0. Να ποσδιοιστούν τα, ώστε να αποφεχθεί η ανάκλαση στο σημείο x=0. Λύση 0 x,τ t x=0 t,τ,τ x x Έστ ότι το ποσπίπτον κύμα πο διαδίδεται από τα αιστεά και φτάνει στο σημείο x=0 tx είναι x, e. Επειδή δεν πάχει ανάκλαση στο x=0 το κύμα ατό δεν ανακλάται στο x=0, αλλά διαδίδεται στο τμήμα της χοδής και ποκύπτει το t x διαδιδόμενο κύμα x, Be. t 0 x Στη σνέχεια το κύμα t x, ποσπίπτει στο άλλο σημείο ασνέχειας x και δημιογείται το ανακλώμενο κύμα t t x x, De. t x Άα τα σνιστάμενα κύματα στα τία μέη της χοδής είναι: x, Ce και το μεταδιδόμενο κύμα Για x 0: t x x, x, e Για Για 0 x : x : t x t x x, x, x, Be Ce t t t x x, x, De Εφαμόζοντας τις οιακές σνθήκες στα σημεία x=0 και x ποκύπτον:, 0, 0, B C,,, Be Ce De 5 ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 69 96778

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 69 96778 x x0 x x0, B C C B 6 x x x, x Be Ce De Be Ce De 7 Αντικαθιστώντας στην 6 την ποκύπτει: C B C C B B C 8 B Ενώ διαιώντας κατά μέλη τις 7 και 5 ποκύπτει: Ce Be De Be Ce De Ce Be Be Ce C e e B e e C B e e e e C e 9 B Εξισώνοντας τις σχέσεις 8 και 9 ποκύπτει: e e 0 Αλλά e cos sn κι επειδή το δεύτεο μέλος της 0 είναι παγματικό άα θα πέπει να είναι και το πώτο παγματικό, οπότε η 0 γίνεται: cos ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 69 96778

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 69 96778 ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 69 96778 Ένας τόπος για να ικανοποιείται η εξίσση είναι να ισχύει: π λ π π π π π π π λ / / π και τότε η σχέση δίνει: π cos

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 69 96778 ΘΕΜΑ και Δύο χοδές με γαμμικές πκνότητες σνδέονται στο x=0 με σημειακό σνδετήα μάζας και τεντώνεται ς μια χοδή με κοινή τάση Τ. Στην αιστεή χοδή σύνδεσης εν μέει ανακλάται και εν μέει διαδίδεται στη δεύτεη χοδή. Αν τα κύματα στις δύο σνδεδεμένες χοδές είναι: tx tx x, e e, x<0 διεγείεται ένα δεξιά οδεύον αμονικό κύμα σχνότητας το οποίο στο σημείο t x x, Be, x>0 απαντήστε στα ακόλοθα ετήματα: α Ποια είναι η σημασία το λόγο και ; β Γιατί στα οίσματα τν εκθετικών όν η σχνότητα είναι κοινή ενώ ο κματάιθμος διαφοετικός; γ Γάψτε την εξίσση σνέχειας της χοδής στο x=0 για κάθε χονική στιγμή. δ Γάψτε την εξίσση κίνησης το σημειακού σνδετήα. ε Χησιμοποιώντας τα αποτελέσματα τν γ και δ πολογίστε τος σντελεστές / ανάκλασης και διάδοσης πλάτος R και αντίστοιχα, στο σημείο x=0. στ Ποσδιοίστε τις τιμές πο λαμβάνον οι σντελεστές και στις πειπτώσεις: και και Λύση 0 0 α Ο λόγος / εκφάζει το λόγο το πλάτος το ανακλώμενο κύματος πος το πλάτος το ποσπίπτοντος κύματος και λέγεται σντελεστής ανάκλασης πλάτος R. Ενώ ο λόγος B/ εκφάζει το λόγο το πλάτος το διαδιδόμενο κύματος πος το πλάτος το ποσπίπτοντος κύματος και λέγεται σντελεστής διάδοσης πλάτος Τ. β Η σχνότητα στα οίσματα τν εκθετικών όν και τν δύο κμάτν είναι η ίδια γιατί η σχνότητα εξατάται μόνο από την πηγή πο εκπέμπει το ποσπίπτον κύμα tx e και επομένς και το ανακλώμενο και το διαδιδόμενο κύμα έχον την ίδια σχνότητα. Αντίθετα το ποσπίπτον και το ανακλώμενο κύμα έχον το ίδιο κματάιθμο διαδίδονται στο ίδιο μέσο, ενώ το διαδιδόμενο κύμα έχει κματάιθμο γιατί διαδίδεται σε διαφοετικό μέσο κι επομένς. γ Η εξίσση σνέχειας της χοδής στο σημείο x=0 δίνει: B/ R 0, 0, e e Be t t t B B γιατί ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 69 96778

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 69 96778 δ Η εξίσση κίνησης το σημειακού σνδετήα, όπς έχει αποδειχθεί στο Θέμα είναι: x x t x0 x0 x0 t t B e e e B e t t B B ε Αντικαθιστώντας την στην ποκύπτει: B B B B B B [ ] B Και η λόγ της δίνει: B B Αλλά επειδή / και =/ είναι: / / / Δηλαδή: / / και 5 Οπότε οι και λόγ τν 5 δίνον τος σντελεστές ανάκλασης και διάδοσης ς: R R 6 ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 69 96778

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 69 96778 B / 7 στ Αν και 0 οι 6, 7 γίνονται: R και Αν και =0 οι 6, 7 γίνονται : R και ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 69 96778

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 69 96778 ΘΕΜΑ x με Ιδανική ελαστική χοδή με γαμμική πκνότητα εκτείνεται από x=0 ές τάση Τ. Το άκο της χοδής πο βίσκεται στο x=0 είναι σνδεδεμένο σε μια έλξη από την οποία φίσταται εγκάσια δύναμη, όπο b μια θετική σταθεά και η F b εγκάσια ταχύτητα της χοδής στο x=0. Στη χοδή διαδίδεται, από το x=0, ένα αιστεά οδεύον αμονικό κύμα cos t x. α Δείξτε ότι η οιακή σνθήκη πο πέπει να ικανοποιεί η σνάτηση απομάκνσης της χοδής από την κατάσταση ισοοπίας =x, στο σημείο x=0 είναι: x x0 b t x0 x πος το β Αν το ανακλώμενο κύμα στο x=0 έχει τη μοφή Bcos t x, να πολογιστεί ο σντελεστής ανάκλασης Β/Α. γ Υπολογίστε ένα κατάλληλο b, σνατήσει τν Τ και, ώστε να μην πάχει καθόλο ανακλώμενο κύμα. Δίνεται: / /. Λύση Τ x=0 θ x x F b α Επειδή δεν πάχει σημειακή μάζα =0 στο άκο της χοδής το οποίο είναι σνδεδεμένο με την έλξη, ο ος νόμος το Newton στην κατακόφη διεύθνση της κίνησης της χοδής δίνει: F α 0 F 0 F 0 b sn θ b Αλλά η x ισούται με την τάση Τ πο τείνει τη χοδή οπότε: x cos θ / cos θ Επομένς η λόγ της γάφεται: ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 69 96778

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 69 96778 sn cos θ θ b tαnθ b όπο tαnθ είναι η κλίση της χοδής στο σημείο x=0 x x0 και είναι η εγκάσια ταχύτητα της χοδής στο x=0. t x0 Άα η παίνει τη μοφή: x x0 b t x0 και αποτελεί την οιακή σνθήκη της απομάκνσης της χοδής στο σημείο x=0. β Η απομάκνση της χοδής x, σε κάθε σημείο είναι η επαλληλία το ποσπίπτοντος και το ανακλώμενο κύματος. Δηλαδή: x, x, x, x, x, x, cos t x Bcos t x 5 Επομένς η οιακή σνθήκη στο άκο της χοδής x=0 λόγ της 5 δίνει: [ sn t x B sn t x] b [ sn t x Bsn t x] x0 x0 sn t B sn b sn t Bsn B b B b B bb t B b B b b B b 6 b b ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 69 96778

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 69 96778 γ Ο σντελεστής ανάκλασης μποεί να πάει τη μοφή: R B b / R b / b b 7 όπο =/ η φασική ταχύτητα το κύματος. Για να μην πάχει καθόλο ανακλώμενο κύμα πέπει: 7 Τ R 0 b 0 b b / b Δηλαδή για να μην παατηείται ανάκλαση στο x=0 θα πέπει η σταθεά b να είναι ίση με τη χαακτηιστική σύνθετη αντίσταση της χοδής. ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 69 96778

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 69 96778 ΘΕΜΑ Ένας παλμός με εύος σχνοτήτν Δ κινείται πος τα δεξιά πάν σε μια ιδανικά ελαστική χοδή πο έχει γαμμική πκνότητα σνδεδεμένη με μια άλλη ιδανική χοδή πο έχει γαμμική πκνότητα και ολόκληο το σύστημα τείνεται με σταθεή τάση Τ. α Δείξτε με ποιοτικά επιχειήματα ότι ο παλμός κατά την κίνησή το στη χοδή δεν αλλάζει σχήμα. Υπολογίστε το χικό εύος Δx το παλμού και την ταχύτητά το. β Υπολογίστε την ταχύτητα και το μέγιστο ύψος το ανακλώμενο και το διαδιδόμενο παλμού σε σχέση με τα αντίστοιχα μεγέθη το αχικού παλμού. Τι μοφή θα έχει ο ανακλώμενος και ο διαδιδόμενος παλμός; γ Δείξτε ότι το χικό εύος το ανακλώμενο παλμού είναι ίσο, ενώ το διαδιδόμενο είναι το μισό το εύος το εισεχόμενο παλμού. Λύση. Η χοδή στο σημείο x=0 είναι α Ένας παλμός δημιογείται από την πέθεση απλών αμονικών κμάτν με διαφοετικά πλάτη και σχνότητες πο βίσκονται σνεχώς κατανεμημένες σε μια πειοχή σχνοτήτν Δ. Όταν ο παλμός διαδίδεται στη χοδή, όλες οι αμονικές σνιστώσες το διαδίδονται με την ίδια ταχύτητα, επειδή η φασική ταχύτητα στην ομογενή ιδανική χοδή είναι / δηλαδή ανεξάτητη το κματάιθμο, άα και της σχνότητας αφού =/. Επομένς το σχήμα το παλμού δεν αλλάζει καθώς κινείται στη χοδή. Η ταχύτητα διάδοσης το παλμού είναι: / Σύμφνα με το θεώημα εύος ζώνης αν Δt είναι η χονική διάκεια το παλμού και Δ το εύος σχνοτήτν το τότε ισχύει: π t π t Ενώ αν Δx είναι το χικό εύος το παλμού τότε η ταχύτητά το είναι: x t, π x t x ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 69 96778

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 69 96778 β Ο σντελεστής ανάκλασης σχέσεις: R και ο σντελεστής διάδοσης δίνονται από τις R R 5 Επομένς αν h είναι το ύψος το αχικού ποσπίπτοντος παλμού και το ανακλώμενο και το διαδιδόμενο παλμού αντίστοιχα ποκύπτει: h, h t είναι το ύψος R h h h h h h 6 h 5 t h t h h h t h 7 Το ανητικό πόσημο στην 6 σημαίνει ότι ο ανακλώμενος παλμός είναι ανεσταμμένος. Η ταχύτητα το ανακλώμενο παλμού είναι ίδια με την ταχύτητα το ποσπίπτοντος /, επειδή κινείται στη χοδή, ενώ η ταχύτητα το διαδιδόμενο παλμού είναι / επειδή κινείται στη χοδή. γ Επειδή η ταχύτητα διάδοσης το παλμού στη χοδή είναι /, ένα σημείο Α της χοδής ατής κινείται κατά την πόσπτση το παλμού στο x=0 επί χόνο: x t t x 8 Τόσο χόνο θα κινηθεί και το σημείο Α, όσο και τα σημεία αιστεά το Α λόγ το ανακλώμενο παλμού, όσο και τα σημεία δεξιά το Α λόγ το διαδιδόμενο. Έτσι αν ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 69 96778

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 69 96778 x είναι το χικό εύος το ανακλώμενο παλμού και διαδιδόμενο θα ισχύει: x t το χικό εύος το t x x x 8 x t x x 9 t x t x t t 8 x t x x x x x t 0 x x Άα ο ανακλώμενος παλμός έχει χικό εύος μήκος όσο και ο ποσπίπτν, ύψος h/ και είναι ανεσταμμένος. Ενώ ο διαδιδόμενος παλμός έχει μήκος το μισό το ποσπίπτοντος x t x/ και ύψος h/. Το στιγμιότπο μετά την πλήη ανάκλαση το παλμού φαίνεται στο ακόλοθο σχήμα. Δx Δx/ διαδιδόμενος παλμός h Ποσπίπτον παλμός h/ Δx h/ ανακλώμενος παλμός x ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 69 96778

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 69 96778 ΘΕΜΑ Δύο ημιάπειες ιδανικές χοδές, με γαμμικές πκνότητες, σνδέονται στο σημείο x=0 και τείνονται με τάση Τ. Στην αιστεή ημιχοδή διαδίδεται πος τα δεξιά ένας τεταγνικός παλμός ύψος ο 0 και πλάτος x o, το οποίο το δεξιό μέτπο έναξη φτάνει στο σημείο x=0 τη χονική στιγμή t=0. Κατά τη χονική στιγμή t x / 5 / δώστε τις τιμές ύψος και πλάτος το ποσπίπτοντος στην o o και ασνέχεια, το ανακλώμενο και το διεχόμενο παλμού ς σνατήσεις τν x o. Σχεδιάστε την αντίστοιχη εικόνα διατααχής τν δύο χοδών για Λύση Τη χονική στιγμή t=0 το σχήμα το ποσπίπτοντος παλμού είναι: t t o. o και x o o / Τ, x=0 Τ, x Τα ύψη το ανακλώμενο και το διεχόμενο παλμού ποσδιοίζονται, όπς έγινε και στο Θέμα, από τος σντελεστές ανάκλασης και διάδοσης και είναι πάλι: και o / t o / Αλλά τώα κατά τη χονική στιγμή t o x o / 5 το πλάτος το ανακλώμενο και το διεχόμενο παλμού είναι: t o x x o x t o x x o 5 5 και t o x t x t t o x 5 o 5 x o / x o x o x t x ο 5 5 5 ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 69 96778

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 69 96778 Άα κατά τη χονική στιγμή το σημείο x=0 πάχει ο διαδιδόμενος παλμός πλάτος t o ο ποσπίπτν παλμός έχει ανακλαστεί μεικώς και δεξιά x o / 5 αιστεά το σημείο x=0 πάχει ανακλώμενος παλμός πλάτος o / o ανεσταμμένος και τατόχονα ποσπίπτον παλμός πλάτος και ύψος x o / 5 x o / 5 o /, ενώ και ύψος και ύψος. Δηλαδή σνολικά αιστεά το x=0 πάχει παλμός πο ποκύπτει με πόσθεση το ποσπίπτοντος και το ανακλώμενο πλάτος x o / 5 και -o/ για πλάτος x o / 5. x o / 5 και ύψος o / για πλάτος Δx o /5 o ποσπίπτον παλμός x=0 Δx o 5 o / ανακλώμενος παλμός Σνεπώς η σνολική εικόνα διατααχής είναι: Δx o / 5 Δx o 5 o / o / Δx o 5 ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 69 96778

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 69 96778 ΘΕΜΑ 5 Ένας τεταγνικός παλμός πλάτος L και ύψος h διαδίδεται σε χοδή με ταχύτητα πος τα δεξιά. Η χοδή παοσιάζει σύνθετη αντίσταση Ζ και το δεξιό άκο h της είναι ακλόνητο. Να σχεδιαστεί το στιγμιότπο όταν: L α Έχει ανακλαστεί μήκος L/ το παλμού. β Έχει ανακλαστεί μήκος L/ το παλμού. γ Έχει ανακλαστεί πλής ο παλμός. δ Να επαναληφθεί το εώτημα α όταν το δεξιό άκο της χοδής είναι ελεύθεο. Λύση Επειδή το ακλόνητο άκο ισοδναμεί με χοδή άπειης σύνθετης αντίστασης και η χοδή έχει αντίσταση οι σντελεστές ανάκλασης και διάδοσης είναι: / R R / / / 0 επειδή για και είναι : / 0 Δηλαδή ο ανακλώμενος παλμός ποκύπτει με αναστοφή το ποσπίπτοντος, ενώ διαδιδόμενος παλμός δεν πάχει. α Το ύψος το ανακλώμενο παλμού είναι: R h h h h h Τη χονική στιγμή πο έχει ανακλαστεί μήκος L/ το ποσπίπτοντος παλμού πάχει ο ανακλώμενος και ο ποσπίπτν παλμός πο φαίνεται στο ακόλοθο σχήμα: h ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 69 96778

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 69 96778 h ανακλώμενος παλμός L/ h L/ ποσπίπτον παλμός Ποσθέτοντας τος δύο ατούς παλμούς ποκύπτει το στιγμιότπο όταν έχει ανακλαστεί μήκος L/ και φαίνεται στο ακόλοθο σχήμα: h β Τη μεταγενέστεη χονική στιγμή πο έχει ανακλαστεί μήκος L/ το ποσπίπτοντος παλμού πάχει ο ανακλώμενος και ο ποσπίπτον παλμός το σχήματος. L/ h ανακλώμενος παλμός L/ h ποσπίπτον παλμός L/ ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 69 96778

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 69 96778 Ποσθέτοντας τος δύο ατούς παλμούς ποκύπτει το στιγμιότπο όπο έχει ανακλαστεί μήκος L/ το αχικού παλμού και φαίνεται στο ακόλοθο σχήμα. γ Όταν έχει ανακλαστεί πλής ο παλμός ποφανώς ποκύπτει το ακόλοθο στιγμιότπο. h L δ Όταν το δεξιό άκο της χοδής είναι ελεύθεο, ατό ποσομοιάζει σαν η χοδή να έχει σνδεθεί στο σημείο ατό με άλλη χοδή μηδενικής αντίστασης, δηλαδή είναι και 0. Οπότε οι σντελεστές ανάκλασης και διάδοσης τώα είναι: R R 0 0 Δηλαδή ο ανακλώμενος παλμός έχει τα ίδια χαακτηιστικά με τον ποσπίπτοντα και δεν είναι ανεσταμμένος. Άα όταν έχει ανακλαστεί μήκος L/ πάχει ο ανακλώμενος και ο ποσπίπτν παλμός το ακόλοθο σχήματος: ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 69 96778

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 69 96778 h ανακλώμενος παλμός L/ h ποσπίπτον παλμός L/ Πόσθεση τν δύο πααπάν παλμών δίνει το στιγμιότπο της χοδής όταν έχει ανακλαστεί μήκος L/. h L Παατηείται ότι σε οποιαδήποτε χονική στιγμή, δηλαδή όσο μήκος και να έχει ανακλαστεί η επαλληλία το ποσπίπτοντος και το ανακλώμενο παλμού δίνον πάντα το στιγμιότπο το πααπάν σχήματος. ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 69 96778