ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ & ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Τομέας Επικοινωνιών, Ηλεκτρονικής & Συστημάτων Πληροφορικής Εργαστήριο Διαχείρισης και Βέλτιστου Σχεδιασμού Δικτύων - NETMODE Ηρώων Πολυτεχνείου 9, Ζωγράφου, 157 80 Αθήνα, Τηλ: 210.772.2503, Fax: 210.772.1452 URL http://www.netmode.ntua.gr/ Γραπτή Εξέταση στο Μάθημα "ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ" 6ο Εξάμηνο Ηλεκτρολόγων Μηχ. & Μηχ. Υπολογιστών 19.06.2018 Θέμα 1 (20%) Θέματα και Λύσεις (3 ώρες) Θεωρείστε απλό call center το οποίο αποτελείται από τους δύο εξυπηρετητές 1 και 2 με δυνατότητα αναμονής έως μία κλήση (σύστημα Μ/Μ/2/3). Όταν και οι δύο εξυπηρετητές είναι διαθέσιμοι, μία κλήση δρομολογείται στον εξυπηρετητή 1 με πιθανότητα p = 0.4 και στον εξυπηρετητή 2 με πιθανότητα 1 p. Σε περίπτωση που και οι δύο εξυπηρετητές είναι κατειλημμένοι, το σύστημα διαθέτει δυνατότητα αποθήκευσης μίας ακόμα κλήσης, ενώ περισσότερες κλήσεις απορρίπτονται. Οι εξυπηρετήσεις κλήσεων έχουν εκθετική χρονική διάρκεια με μέση διάρκεια 2 min. Οι εισερχόμενες στο σύστημα κλήσεις ακολουθούν την κατανομή Poisson με μέσο ρυθμό 1/2 κλήσεις/min. α) Να σχεδιάσετε το διάγραμμα ρυθμών μεταβάσεων του συστήματος, όταν εκείνο ισορροπεί. Για τις παραμέτρους του συστήματος ισχύει: λ = 0.5 πελάτες/min, μ = 0.5 πελάτες/min Συμβολίζοντας με 1a την κατάσταση στην οποία στο σύστημα υπάρχει ένας πελάτης που εξυπηρετείται από τον εξυπηρετητή 1 και με 1b την κατάσταση στην οποία στο σύστημα υπάρχει ένας πελάτης που εξυπηρετείται από τον εξυπηρετητή 2, το διάγραμμα καταστάσεων φαίνεται παρακάτω: pλ 1α λ μ μ 0 λ (1-p)λ μ 1b λ 2 3 2μ μ
β) Να βρείτε τις εργοδικές πιθανότητες των καταστάσεων του συστήματος, όταν εκείνο ισορροπεί, καθώς και την πιθανότητα απόρριψης πελάτη από το σύστημα. Οι εξισώσεις ισορροπίας δίνονται παρακάτω: λp 0 = μp 1a + μp 1b (λ + μ)p 1a = pλp 0 + μp 2 (λ + μ)p 1b = (1 p)λp 0 + μp 2 Η εξίσωση κανονικοποίησης: λp 2 = 2μP 3 P 0 + P 1a + P 1b + P 2 + P 3 = 1 Λύνοντας, προκύπτουν οι εργοδικές πιθανότητες του συστήματος στην κατάσταση ισορροπίας: P 0 = 4 11, P 1a = 1.8 11, P 1b = 1 5, P 2 = 2 11, P 3 = 1 11 Η πιθανότητα απόρριψης πελάτη από το σύστημα: P blocking = 1 11 γ) Να υπολογίσετε την πιθανότητα ένας πελάτης να χρειαστεί να παραμείνει στην ουρά του συστήματος πριν εξυπηρετηθεί. Η πιθανότητα αναμονής πελάτη στην ουρά του συστήματος είναι: P waiting = P 2 + P 3 = 3 11 δ) Να υπολογίσετε τη ρυθμαπόδοση γ 1 του εξυπηρετητή 1. Η ρυθμαπόδοση του εξυπηρετητή 1 είναι: Θέμα 2 (25%) γ 1 = μ(1 P 0 P 1b ) = 0.218 πελάτες/min Θεωρείστε το απλό δίκτυο μεταγωγής πακέτων του παρακάτω σχήματος. Το δίκτυο περιλαμβάνει 4 κόμβους (Α, Β, C, D), οι οποίοι διασυνδέονται με τους συνδέσμους (γραμμές) χωρητικότητας C i, των οποίων οι τιμές (σε Kbits/sec) φαίνονται στο παρακάτω σχήμα. Ροή πακέτων με ρυθμό γ AD = 2 πρόκειται να δρομολογηθεί από τον κόμβο Α προς τον κόμβο D, ενώ ροή πακέτων με ρυθμό γ BD = 1 πακέτο/sec πρόκειται να δρομολογηθεί από τον κόμβο Β προς τον κόμβο D (προς μία κατεύθυνση μόνο, όπως δείχνουν τα βέλη των συνδέσμων). Το μέσο μήκος πακέτου είναι 125 Βytes. Να υποθέσετε ότι στον κόμβο Β, τα πακέτα δρομολογούνται με πιθανότητα 1/4 από το σύνδεσμο χωρητικότητας C 2, α/4 από το σύνδεσμο χωρητικότητας C 3 και (3-α)/4 από το σύνδεσμο χωρητικότητας C 4.
γ BD = 1 πακέτο/sec C 2 = 3 Kbits/sec γ AD = 2 C 1 = 8 Kbits/sec 1/4 C 5 = 3.25 Kbits/sec A B C D (3-α)/4 α/4 C 3 = 2.5 Kbits/sec C 4 = 4 Kbits/sec α) Να αναφέρετε τις απαραίτητες παραδοχές ώστε οι σύνδεσμοι (γραμμές) να μπορούν να μοντελοποιηθούν σαν Μ/Μ/1 ουρές. Τυχαίες εξωτερικές αφίξεις Poisson. Τυχαία δρομολόγηση πακέτων βάσει των πιθανοτήτων 1, α, 3 α. 4 4 4 Ανεξάρτητες εκθετικές εξυπηρετήσεις πακέτων, παραδοχή Kleinrock ανεξαρτησίας εξυπηρετήσεων. Άπειρες ουρές FIFO, χωρίς απώλειες. β) Να βρείτε την τιμή της παραμέτρου α που ελαχιστοποιεί το μέσο χρόνο καθυστέρησης πακέτου από άκρο σε άκρο του δικτύου. Αρχικά, το μέσο μήκος πακέτου είναι E(L) = 125 Bytes = 1000 bits Στη συνέχεια, οι σύνδεσμοι μοντελοποιούνται σαν ουρές Μ/Μ/1 με μέσο ρυθμό εξυπηρέτησης μ i = Άρα, μ 1 = 8, μ 2 = 3, μ 3 = 2.5, μ 4 = 4, μ 5 = 5 () Βάσει των εξωτερικών ροών και των πιθανοτήτων διάσπασης, κάθε ουρά του συστήματος δέχεται: λ 1 = γ AD = 2 C i E(L). λ 2 = 1 4 (γ AD + γ BD ) = 3 4 λ 3 = α 4 (γ AD + γ BD ) = 3α 4 λ 4 = 3 α (γ 4 AD + γ BD ) = 3(3 α) = 9 3α 4 4 λ 5 = λ 2 + λ 3 = 3α+3 4
Η ένταση του φορτίου που δέχεται κάθε ουρά του συστήματος είναι ρ i = λ i μ i και άρα: ρ 1 = 1, ρ 4 2 = 1, ρ 4 3 = 3α, ρ 10 4 = 9 3α, ρ 16 5 = 3α+3 13 (Erlangs) Ο μέσος αριθμός πακέτων σε κάθε ουρά είναι E(n i ) = ρ i 1 ρ i και άρα: Ε(n 1 ) = 1 3, E(n 2) = 1 3, Ε(n 3) = 3a, Ε(n 10 3a 4) = 9 3a, E(n 7+3a 5) = 3+3a 10 3a (πακέτα) Ο μέσος αριθμός πακέτων στο σύστημα είναι: 5 E(n) = E(n i ) i=1 = 2 3 + 6a + 3 10 3a + 9 3a 7 + 3a Η μέση καθυστέρηση πακέτου από άκρη σε άκρη του δικτύου είναι Ε(Τ) = ελαχιστοποιείται για: dε(τ) da = 0 de(n) da = 0 63a2 + 1926a 473 = 0 a = 0. 2436 Ε(n) γ AD +γ BD, η οποία γ) Για την τιμή του α που προσδιορίσατε στο προηγούμενο ερώτημα, να βρείτε το μέσο χρόνο καθυστέρησης πακέτου από άκρο σε άκρο του δικτύου, καθώς και το μέσο χρόνο καθυστέρησης πακέτου από τον κόμβο Β προς τον κόμβο D. Για a = 0.2436, η μέση καθυστέρηση πακέτου από άκρο σε άκρο είναι ίση με Ε(Τ) = 2.218 3 = 0.74 sec. E(n) γ AD +γ BD = Ο μέσος χρόνος καθυστέρησης πακέτου σε μια ουρά αναμονής είναι E(T i ) = 1 μ i λ i και, άρα Ε(Τ 2 ) = 0.4444, Ε(Τ 3 ) = 0.4315, Ε(Τ 4 ) = 0.5174, Ε(Τ 5 ) = 0.2459. Ο μέσος χρόνος καθυστέρησης πακέτου από τον κόμβο Β στον κόμβο D είναι: E(T B D ) = 1 4 (E(T 2) + E(T 5 )) + a 4 (E(T 3) + E(T 5 )) + 3 a 4 E(T 4) = 0.57 sec δ) Για το α που προσδιορίσατε στο προηγούμενο ερώτημα, να βρείτε ποιος σύνδεσμος αποτελεί τη στενωπό του δικτύου. Στη συνέχεια, με βάση αυτόν τον σύνδεσμο, να υπολογίσετε τη μέγιστη τιμή της παραμέτρου γ AD ώστε το σύστημα να παραμένει εργοδικό, θεωρώντας ότι η τιμή της παραμέτρου γ BD παραμένει σταθερή. Για a = 0.2436, οι τιμές των ρ i είναι: ρ 1 = 0.25, ρ 2 = 0.25, ρ 3 = 0.073, ρ 4 = 0.517, ρ 5 = 0.287 (Erlangs) Άρα, στενωπός του συστήματος είναι η ουρά 4. Με βάση αυτήν την ουρά, η μέγιστη τιμή της παραμέτρου γ AD είναι:
Θέμα 3 ο (25 μονάδες) ρ 4 = 1 λ 3 α 4 = 1 4 (γ AD + γ BD ) = 1 μ 4 μ 4 γ AD = 4.8 () 3 0.2436 (γ 4 AD + 1) = 1 4 Θεωρείστε ένα υπολογιστικό σύστημα που εξυπηρετεί εντολές προερχόμενες από δυο ενεργά τερματικά (παράθυρα). Ένα απλό μοντέλο του συστήματος παρατίθεται στο σχήμα που ακολουθεί σαν κλειστό δίκτυο τριών ανεξαρτήτων υποσυστημάτων: το υποσύστημα των δύο τερματικών Q 1, το υποσύστημα επεξεργασίας (CPU) Q 2, και το υποσύστημα εισόδου-εξόδου (I/O) Q 3. Μετά την ολοκλήρωση εξυπηρέτησης (CPU και I/O) οι εντολές επανέρχονται σαν απαντήσεις σε όποιο παράθυρο είναι διαθέσιμο το οποίο καταθέτει νέα εντολή μετά από παρέλευση τυχαίας καθυστέρησης (thinking time). γ N = 2 πελάτες Q 1 (Τερματικά) Q 2 (CPU) Q 3 (I/O) μ 1 λ 1 μ 2 μ 3 μ 1 1-p p Να θεωρήσετε τις ακόλουθες παραδοχές: 1) Τα δύο ενεργά παράθυρα εισάγουν εκθετική καθυστέρηση (thinking time) 1/μ 1 = 1 sec κατά μέσο όρο, από την στιγμή της απόκρισης μέχρι την κατάθεση νέας εντολής. 2) Κάθε εντολή για να εξυπηρετηθεί χρειάζεται έναν τυχαίο αριθμό τεμαχίων (CPU quanta), το καθένα με ανεξάρτητες εκθετικές απαιτήσεις εξυπηρέτησης. Κατά μέσο όρο μια εντολή απαιτεί 3 επιπλέον εξυπηρετήσεις (ανάδραση) τεμαχίων πέραν της αρχικής προτού εξέλθει από το υποσύστημα επεξεργασίας. Συνολικά μια εντολή χρειάζεται 4 CPU quanta (τεμάχια) κατά μέσο όρο. Η συνολική επεξεργασία εντολών (CPU) αναπαρίσταται με μια ουρά με εκθετική εξυπηρέτηση μέσου ρυθμού μ 2 = 5 τεμάχια/sec. Η ανάδραση τεμαχίων γίνεται με πιθανότητα 1 p. 3) Το υποσύστημα I/O αναπαρίσταται με μια ουρά με εκθετική εξυπηρέτηση μέσου ρυθμού μ 3 = 2 εντολές/sec. Να απαντήσετε στις ακόλουθες ερωτήσεις: α) Για ποιες τιμές της πιθανότητας p είναι το παραπάνω σύστημα εργοδικό;
Ένα κλειστό σύστημα είναι πάντα εργοδικό. Συνεπώς, το παραπάνω σύστημα είναι εργοδικό για κάθε τιμή της πιθανότητας p. β) Να σχεδιάσετε το διάγραμμα ρυθμών μεταβάσεων του συστήματος, όταν εκείνο ισορροπεί. Η κατάσταση του συστήματος δίνεται από το διάνυσμα n = (n 1, n 2, n 3 ) όπου n k αριθμός πελατών στο υποσύστημα k, k = 1,2,3 και n 1 + n 2 + n 3 = 2. Οι δυνατές μεταβάσεις και οι μέσοι ρυθμοί στην εργοδική κατάσταση περιγράφονται στο κατωτέρω διάγραμμα: μ 3 μ3 pμ 2 1,0,1 μ 1 2μ 1 μ 1 pμ 2 pμ 2 2,0,0 0,2,0 0,1,1 0,0,2 μ 3 γ) Να υπολογίσετε τις εργοδικές πιθανότητες των καταστάσεων του συστήματος, όταν εκείνο ισορροπεί. H πιθανότητα ανάδρασης είναι 1 p = 3 4 p = 1 4. Με P(n 1, n 2, n 3 ) τις εργοδικές πιθανότητες των καταστάσεων οι εξισώσεις ισορροπίας μεταβάσεων στο διάγραμμα μεταβάσεων δίνουν: 2μ 1 P(2,0,0) = μ 3 P(1,0,1) μ 3 P(0,0,2) = pμ 2 P(0,1,1) pμ 2 P(0,2,0) = μ 1 P(1,1,0) (μ 1 + pμ 2 )P(1,1,0) = 2μ 1 P(2,0,0) + μ 3 P(0,1,1) (μ 3 + pμ 2 )P(0,1,1) = μ 1 P(1,0,1) + pμ 2 P(0,2,0) Επίσης ισχύει πως: P(2,0,0) + P(1,1,0) + P(1,0,1) + P(0,2,0) + P(0,1,1) + P(0,0,2) = 1 και για τις δεδομένες τιμές των μ 1, μ 2, μ 3, p προκύπτει πως: P(2,0,0) = 0.16181, P(1,0,1) = 0.16181, P(0,0,2) = 0.08091, P(0,1,1) = 0.12945, P(0,2,0) = 0.20712, P(1,1,0) = 0.25890
δ) Να βρείτε το μέσο αριθμό εντολών σε κάθε ουρά του συστήματος: Για το υποσύστημα 1: Ε(n 1 ) = 1 (P(1,0,1) + P(P(1,1,0)) + 2 P(2,0,0) = 0.74434 Ε(n 2 ) = 1 (P(0,1,1) + P(P(1,1,0)) + 2 P(0,2,0) = 0.80259 Ε(n 3 ) = 1 (P(0,1,1) + P(P(1,0,1)) + 2 P(0,0,2) = 0.45307 ε) Να υπολογίσετε τη ρυθμαπόδοση του συστήματος: γ = μ 3 [1 P(2,0,0) P(0,2,0) P(1,1,0)] = 0.74434 εντολές/sec στ) Να προσδιορίσετε το υποσύστημα που αποτελεί τη στενωπό (bottleneck) του συστήματος. H χρησιμοποίηση των επιμέρους υποσυστημάτων είναι: Τερματικά: 1 P(0,2,0) P(0,1,1) P(0,0,2) = 0.58252 CPU: 1 P(1,0,1) P(2,0,0) P(0,0,2) = 0.59547 I/O: 1 P(2,0,0) P(1,1,0) P(0,2,0) = 0.37212 Κατά συνέπεια, στενωπός του συστήματος είναι τα τερματικά. ζ) Αν θεωρήσουμε το thinking time σαν παράμετρο, για ποία τιμή του 1 μ 1 το σύστημα θα οδηγηθεί στη μέγιστη ρυθμαπόδοση; Το σύστημα θα οδηγηθεί στη μέγιστη ρυθμαπόδοση, όταν το thinking time γίνει ίσο με το μηδέν, δηλαδή όταν οι χρήστες υποβάλλουν εντολές, χωρίς καμία καθυστέρηση. Άρα, 1 μ1 0