Óïðàæíåíèÿ ê Ëåêöèè 6. Ïîëå Äèðàêà Ðåøåíèÿ

Óïðàæíåíèÿ ê Ëåêöèè 6. Ïîëå Äèðàêà Ðåøåíèÿ Óïðàæíåíèÿ èäóò ïî õîäó ãëàâû 3 Ïåñêèíà Øðåäåðà, êàæäîå óïðàæíåíèå îöåíèâàåòñÿ â.5 áàëëà. 3. Ëîðåíö èíâàðèàíòíîñòü âîëíîâûõ óðàâíåíèé.. Èñõîäÿ èç ôîðìóëû äëÿ ãåíåðàòîðîâ âðàùåíèÿ J µν ix µ ν x ν µ, ïîêàçàòü, òî äëÿ íèõ âûïîëíÿþòñÿ ñëåäóþùèå êîììóòàöèîííûå ñîîòíîøåíèÿ àëãåáðû Ëîðåíöà [J µν, J ρσ ] ig νρ J µσ g µρ J νσ g νσ J µρ + g µσ J νρ. Ðåøåíèå: Èñïîëüçóåì, òî µ x ν δ ν µ, îòêóäà µ x ν g µν, èìååì [J µν, J ρσ ] [x µ ν x ν µ, x ρ σ x σ ρ ] [x µ ν, x ρ σ ] +... òî è òåðáîâàëîñü ïîêàçàòü. 3. Óðàâíåíèå Äèðàêà. g νρ x µ σ + g µσ x ρ ν +... ig νρ ix µ ρ +... + ig µσ... ix ρ ν +... ig νρ J µσ g µρ J νσ g νσ J µρ + g µσ J νρ, 0.. Ïîêàçàòü, òî ãåíåðàòîðû àëãåáðû Ëîðåíöà â ïðåäñòàâëåíèè ãàììà-ìàòðèö: S µν i 4 [γµ, γ ν ], óäîâëåòâîðÿåò êîììóòàöèîííûì ñîîòíîøåíèÿì àëãåáðû Ëîðåíöà: [S µν, S ρσ ] ig νρ S µσ g µρ S νσ g νσ S µρ + g µσ S νρ. Ðåøåíèå: Èñïîëüçóåì, òî {γ µ, γ ν } g µν, èìååì [S µν, S ρσ ] 6 [γµ γ ν, γ ρ γ σ ] +... 6 γµ γ ν γ ρ γ σ γ ρ γ σ γ µ γ ν +... 6 γµ γ ν γ ρ γ σ + γ ρ γ µ γ σ γ ν g µσ γ ρ γ ν +... 6 γµ γ ν γ ρ γ σ γ µ γ ρ γ σ γ ν + g µρ γ σ γ ν g µσ γ ρ γ ν +... 6 γµ γ ν γ ρ γ σ + γ µ γ ρ γ ν γ σ g νσ γ µ γ ρ + g µρ γ σ γ ν g µσ γ ρ γ ν +... 6 gνρ γ µ γ σ g νσ γ µ γ ρ + g µρ γ σ γ ν g µσ γ ρ γ ν +... ig νρ S µσ g µρ S νσ g νσ S µρ + g µσ S νρ 0. 3. Ïîêàæèòå, òî â êèðàëüíîì ïðåäñòàâëåíèè ãàììà-ìàòðèö: γ 0 ãåíåðàòîðû àëãåáðû Ëîðåíöà S µν, äàþòñÿ âûðàæåíèÿìè σ i 0 0 σ i S 0i i 4 [γ0, γ i ] i 0 0, S ij i 4 [γi, γ j ] εijk σ k 0 0 σ k 0 σ, γ i i σ i 0 εijk Σ k.,

S 0i i 4 [γ0, γ i ] i 0 0 σ i 0 σ i 0 4 0 σ i 0 σ i 0 0 i σ i 0 σ i 0 i σ i 0 4 0 σ i 0 σ i 0 σ i È òàêæå íàõîäèì S ij i 4 [γi, γ j ] i 0 σ i 0 σ j 0 σ j 0 σ i 4 σ i 0 σ j 0 σ j 0 σ i 0 i σ i σ j 0 σ 4 0 σ i σ j j σ i 0 i [σ i, σ j ] 0 0 σ j σ i 4 0 [σ i, σ j ] σ k 0 εijk 0 σ k εijk Σ k, 0.4 ãäå ìû èñïîëüçîâàëè òî, òî [σ i, σ j ] iε ijk σ k è ε 3. 4. Ïîêàæèòå, òî [γ µ, S ρσ ] J ρσ µ νγ ν, ãäå J ρσ αβ iδ ρ αδ σ β δρ β δσ α. [γ µ, S ρσ ] i 4 [γµ, [γ ρ, γ σ ]] i 4 [γµ, γ ρ γ σ γ σ γ ρ ] i 4 [γµ, γ ρ γ σ ] [γ µ, γ σ γ ρ ] 5. Ïîêàæèòå, òî âåðíî ðàâåíñòâî i 4 γµ γ ρ γ σ γ ρ γ σ γ µ γ µ γ σ γ ρ + γ σ γ ρ γ µ i 4 γρ γ µ γ σ + g µρ γ σ γ ρ γ σ γ µ + γ σ γ µ γ ρ g µσ γ ρ + γ σ γ ρ γ µ i 4 gµσ γ ρ + g µρ γ σ + g µρ γ σ g µσ γ ρ ig µρ γ σ g µσ γ ρ 0.3 ig ρµ δ σ ν g σµ δ ρ νγ ν J ρσ µ νγ ν. 0.5 + i ω ρσs ρσ γ µ i ω ρσs ρσ i ω ρσj ρσ µ νγ ν. + i ω ρσs ρσ γ µ i ω ρσs ρσ γ µ + i ω ρσ[s ρσ, γ µ ] + Oω i ω ρσj ρσ µ νγ ν + Oω, 0.6 ãäå ìû èñïîëüçîâàëè ðåçóëüòàò ïðåäûäóùåãî óïðàæíåíèÿ. 6. Ïðîâåðüòå, òî S ij S ij, S 0i S 0i, S ij γ 0 γ 0 S ij, S 0i γ 0 γ 0 S 0i. Ðåøåíèå: Èñïîëüçóÿ ðåçóëüòàò óïðàæíåíèÿ 3, à òàêæå σ i σ i, î åâèäíî, òî S ij S ij, S 0i S 0i. Äàëåå, èñïîëüçóÿ, òî γ 0 γ 0, ìîæíî ïîëó èòü îñòàëüíûå ðàâåíñòâà. Òàêæå âñå ìîæíî áûëî ïîëó èòü íåïîñòðåäñòâåííî èç îïðåäåëåíèÿ S µν è èç òîãî, òî γ 0 γ 0 è γ i γ i. 7. Ïîêàæèòå, òî ψψ åñòü ëîðåíöåâñêèé ñêàëÿð, à ψγ µ ψ ëîðåíöåâñêèé âåêòîð, ãäå ψ ψ γ 0.

Ðåøåíèå: Ïðè ïðåîáðàçîâàíèè Ëîðåíöà x µ Λ µ νx ν, ñïèíîð ïðåîáðàçóåòñÿ êàê òîãäà èìååì äëÿ ψ ψx Λ ψx, ãäå Λ exp i ω µνs µν, 0.7 ψ ψ γ 0 ψ exp i ω µνs µν γ 0 ψ γ 0 exp i ω µνs µν ãäå ìû èñïîëüçîâàëè ðåçóëüòàòû óïðàæíåíèÿ 6. Äàëåå èìååì ψλ, 0.8 è òàêæå ψψ ψλ Λ ψ ψψ 0.9 ψγ µ ψ ψλ γ µ Λ ψ Λ µ ψγ ν ν ψ, 0.0 ãäå ìû èñïîëüçîâàëè ðåçóëüòàò óïðàæíåíèÿ 5. 8. Ïîêàæèòå, òî óðàâíåíèÿ Ýéëåðà-Ëàãðàíæà äëÿ ψ èëè ψ äëÿ ëàãðàíæèàíà L Dic ψiγ µ µ mψ ïðèâîäÿò ê óðàâíåíèþ Äèðàêà iγ µ µ mψx 0. Ðåøåíèå: Ïîëó àåì èç L ψ 0: iγ µ µ mψx 0. 0. 3. Âåéëåâñêèå ñïèíîðû. 9. Ïðîâåðüòå, òî äëÿ ëåâîãî ψ L è ïðàâîãî ψ R âåéëåâñêèõ ñïèíîðîâ, ïðè áåñêîíå íî ìûëûõ âðàùåíèÿõ θ θ i εijk ω jk è áóñòàõ β β i ω 0i, ïðåîáðàçîâàíèÿ èìåþò âèä ψl ψ R ψ L iθ σ β σ ψ L, ψ R iθ σ + β σ ψ R. ψ i ω µνs µν ψ iω 0i S 0i i ω ijs ij ψl ψ R ω0i σ i 0 0 ω 0i σ i i σ 4 ω ijε ijk k 0 0 σ k σ i βi + iθ i σi 0 ψl σ 0 β i i + iθ i σi ψ R ψl ψ R. 0. Â èòîãå ïîëó èì ïðåîáðàçîâàíèå ψ L iθ σ β σ ψ L, è ψ R iθ σ + β σ ψ R. 0. Äîêàæèòå òîæäåñòâî σ σ σσ, è ïîêàæèòå, òî âåëè èíà σ ψ L ïðåîáðàçóåòñÿ ïîäîáíî ïðàâîìó ñïèíîðó. 3

Ðåøåíèå: Èñïîëüçóÿ, òî σ σ, σ σ, σ 3 σ 3, à òàêæå {σ i, σ j } δ ij, ëåãêî ïðîâåðèòü, òî σ σ σσ. Äàëåå ïîëó àåì  èòîãå âèäèì, òî σ ψ L σ ψ L σ + iθ σ β σ ψ L iθ σ + β σ σ ψ L. 0.3 iθ σ + β σ σ ψ L, êàê è ψ R iθ σ + β σ ψ R. 3.3 Ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ Äèðàêà äëÿ ñâîáîäíûõ àñòèö. [ ] 0 η chη hη. Ïîêàæèòå, òî exp, è η 0 hη chη [ ] ησ exp 3 / 0 chη/ σ3 hη/ 0 0 ησ 3 / 0 chη/ + σ 3 hη/ 0 η η 0 n η n 0 0 η n  èòîãå ïîëó èì [ ] 0 η k 0 η exp η 0 k! η 0 k0 chη hη. hη chη Òàêæå èìååì ησ 3 / 0 0 ησ 3 / n η n 0 0 η n È àíàëîãè íî ïîëó àåì [ ] ησ exp 3 / 0 0 ησ 3 / n0,, 0 η η 0 η n 0 n! 0 η n n+ 0 η n+ η n+ 0 + ησ 3 / 0 0 ησ 3 / n0.. 0.4 0 η n+ n +! η n+ 0 0.5 n+ η n+ σ 3 0 0 η n+ σ 3 chη/ σ3 hη/ 0 0 chη/ + σ 3 hη/. Äîêàæèòå, òî p σp σ p m, ãäå σ, σ è σ, σ. 0.6., 0.7 p σp σ p µ p ν σ µ σ ν p µ p ν σµ σ ν + σ ν σ µ p µ p ν g µν p m, 0.8 ãäå ìû èñïîëüçîâàëè, òî σ µ σ ν + σ ν σ µ g µν, òî ëåãêî ïðîâåðèòü ïðÿìûì âû èñëåíèåì è ó èòûâàÿ, òî {σ i, σ j } δ ij. 3*. Íàéäèòå ñîáñòâåííûå èñëà è îáùèé âèä ìàòðèöû p σ. p p σ g µν p µ σ ν p 0 σ 0 pσ 0 p 3 p + ip p ip p 0 + p 3. 0.9 4

Íàõîäÿ ñîáñòâåííûå çíà åíèÿ λ, p 0 ± p, ëåãêî ïåðåïèñàòü äàííóþ ìàòðèöó â âèäå p p σ SΛS 3 p p 3 + p p 0 p 0 p 3 p p ip p ip 0 p 0 p p p +ip. 0.0 + p Òîãäà äëÿ p σ ïîëó èì p3 + p p p p +ip p p σ S ΛS 3 p p 3 + p p0 p 0 p 3 p p ip p ip p p p +ip 0 p0 + p p3 + p p p p +ip p p 3 p p p ip p p + ip p +p g 3 µν p µ σ µ p σ, p, p, 0. p p ãäå p 0 + p + p 0 p, p 0 + p p 0 p. p σξ 4. Ïðîâåðèòü, òî ψx e ipx åñòü ðåøåíèå óðàâíåíèÿ Äèðàêà. p σξ Ðåøåíèå: Ìû äîëæíû ïðîâåðèòü, òî γ µ p µ mup g µν γ µ p ν mup γ 0 p 0 γ i p i mup 0, 0. p σξ ãäå ñïèíîð up, γ-ìàòðèöû âçÿòû â êèðàëüíîì Âåéëåâñêîì ïðåäñòàâëåíèè: p σξ 0 0 σ γ 0, γ 0 i i. Èìååì σ i 0 γ µ m p p µ mup 0 σ 0 p i σ i m p σ p σξ p 0 σ 0 + p i σ i up m p σ m p σξ m p σ + p σ p σξ m p σ + p σ p σ p σξ m p σ + p σ p σξ m p σ + p σ p σ p σξ m p σ + p σmξ m p σ + 0, 0.3 p σmξ 5. Ïîêàæèòå, òî ūu mξ ξ, ãäå up ūp u pγ 0 ξ p σ ξ p σ 0 0 p σξ p σξ, à ūp u pγ 0. ξ p σ ξ p σ, 0.4 ãäå ìû èñïîëüçîâàëè, òî p σ p σ è p σ p σ. Äàëåå ïîëó àåì ūpup ξ p σ ξ p σ p σξ p σξ ξ p σ p σξ mξ ξ, 0.5 5

6. Ïîêàæèòå, òî v pv p mδ, v pv p E p δ, ãäå v p p ση p ση è η η δ,,,. v pv p η p σ η p σ p ση p ση mη η mδ. 0.6 Äàëåå v pv p η p σ η p σ p ση p ση p 0 η η E p δ, η p σ + p ση η p 0 σ 0 η 0.7 7. Ïðîâåðüòå, òî ū pv p v pu p 0 è u pv p v pu p 0. ū pv p ξ p σ ξ p σ p ση p ση ξ p σ p σ p σ p ση ξ m mη 0, v pu p η p σ η p σ p σξ p σξ η p σ p σ + p σ p σξ Äàëåå èìååì η m + mξ 0. u pv p ξ p σ ξ p σ p ση p ση 0.8 0, 0.9 äëÿ v pu p 0 ïðîâåðÿåòñÿ àíàëîãè íî. 8. Äîêàæèòå ôîðìóëó 0 ξ ξ, ãäå ξ, 0 ξ δ è ïîêàæèòå, òî u pū p γ p + m, v p v p γ p m Ðåøåíèå: Òàê êàê ξ,, îáðàçóþò îðòîíîðìèðîâàííûé áàçèñ: ξ ξ δ, òî âçÿâ ïðîèçâîëüíûé âåêòîð e e ξ + e ξ, èìååì ξ ξ e e ξ ξ ξ + e ξ ξ ξ e ξ δ + e ξ δ e ξ + e ξ e, 0.30,, îòêóäà ñëåäóåò, òî u pū p v p v p,, ξ ξ. Äàëåå ïîëó àåì,, p σξ p σξ ξ p σ ξ p σ m p σ γ p + m, p σ m p ση η p ση p σ η p σ m p σ γ p m, 0.3 p σ m 6

3.4 Ìàòðèöû Äèðàêà è áèëèíåéíûå ôîðìû Äèðàêà. 9. Ïðîâåðüòå, òî γ 5 iγ 0 γ γ γ 3 i 4! εµνρσ γ µ γ ν γ ρ γ σ, è ε 03 ε 03. Ðåøåíèå: Òàê êàê γ µ γ ν g µν γ ν γ ν, è g µν ñèììåòðè íûé òåíçîð, è ïðè ñâåðòêå ñ ε µνρσ îí ðàâåí íóëþ, òî ïðè ñâåðòêå ñ ε µνρσ ìîæíî ñ èòàòü, òî γ µ γ ν γ ν γ µ. Òîãäà γ µ γ ν γ ρ γ σ ε µνρσ γ 0 γ γ γ 3. Òàêèì îáðàçîì ïîëó àåì i 4! εµνρσ γ µ γ ν γ ρ γ σ i 4! εµνρσ ε µνρσ γ 0 γ γ γ 3 iγ 0 γ γ γ 3, 0.3 ãäå ìû âîñïîëüçîâàëèñü òåì, òî ε µνρσ ε µνρσ 4!. 0. Ïðîâåðüòå, òî γ µνρ iε µνρσ γ σ γ 5, ãäå γ µνρ γ [µ γ ν γ ρ] 3! γµ γ ν γ ρ γ ν γ µ γ ρ γ µ γ ρ γ ν +γ ν γ ρ γ µ + γ ρ γ µ γ ν γ ρ γ ν γ µ. Ðåøåíèå: Î åâèäíî, òî åñëè äâà êàêèõ-ëèáî èíäåêñà ñîâïàäàþò, òî γ µνρ 0. Ðàññìîòðèì ñëó àé, êîãäà âñå èíäåêñû µ, ν, ρ ðàçíûå. Òîãäà ãàììà-ìàòðèöû àíòèêîììóòèðóþò ìåæäó ñîáîé, îòêóäà γ µνρ γ µ γ ν γ ρ. Äàëåå ïóñòü σ åñòü èíäåêñ, êîòîðûé íå ðàâåí èíäåêñàì µ, ν, ρ íàïðèìåð µ, ν 3, ρ 0, òîãäà σ, òîãäà ìû ìîæåì çàïèñàòü, èñïîëüçóÿ, òî γ σ γ σ çäåñü íåò ñóììèðîâàíèÿ ïî èíäåêñó σ γ µνρ γ µ γ ν γ ρ γ σ γ σ γ σ γ µ γ ν γ ρ γ σ iε µνρσ γ σ iγ 0 γ γ 3 γ 4 iε µνρσ γ σ γ 5, 0.33 ãäå ìû èñïîëüçîâàëè, òî γ µ γ ν γ ρ γ σ ε µνρσ γ 0 γ γ 3 γ 4, òàê êàê âñå èíäåêñû ðàçíûå.. Ïðîâåðüòå, òî γ 5 γ 5, γ 5, {γ 5, γ µ } 0. Ðåøåíèå: Èñïîëüçóÿ, òî γ 0 γ 0, γ i γ i, i,, 3, èìååì: Òàêæå È â èòîãå γ 5 iγ 0 γ γ γ 3 iγ 3 γ γ γ 0 iγ 3 γ γ γ 0 iγ 0 γ γ γ 3 γ 5. 0.34 γ 5 iγ 0 γ γ γ 3 iγ 0 γ γ γ 3 γ γ γ 3 γ γ γ 3 γ γ 3 γ γ 3 γ 3 γ 3. 0.35 {γ 5, γ µ } iγ 0 γ γ γ 3 γ µ + iγ µ γ 0 γ γ γ 3 iγ µ γ 0 γ γ γ 3 + iγ µ γ 0 γ γ γ 3 0, 0.36 òàê êàê ïðè ïåðåíîñå γ µ åðåç ïðîèçâåäåíèå γ 0 γ γ γ 3, îíà àíòèêîììóòèðóåò ñ òðåìÿ ãàììà-ìàòðèöàìè è êîììóòèðóåò ñ ñîáîé, îòêóäà è ïîÿâëÿåòñÿ çíàê ìèíóñ.. Ïîêàæèòå, òî µ j µ 0, µ j µ5 im ψγ 5 ψ, ãäå j µ x ψxγ µ ψx, ó èòûâàÿ óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ. Ðåøåíèå: Óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ åñòü j µ5 x ψxγ µ γ 5 ψx, iγ µ µ mψ 0, i µ ψγ µ + m ψ 0, 0.37 äàëåå ïîëó àåì µ j µ µ ψxγ µ ψx µ ψxγ µ ψx + ψxγ µ µ ψx im ψxψx m ψxψx 0, 0.38 7

àíàëîãè íî èìååì µ j µ5 µ ψγ µ γ 5 ψ µ ψγ µ γ 5 ψ + ψγ µ γ 5 µ ψ im ψγ 5 ψ + im ψγ 5 ψ im ψγ 5 ψ, 0.39 3. Ïîêàæèòå, òî j µ x è j µ5 x ÿâëÿþòñÿ íåòåðîâñêèìè òîêàìè, ñîîòâåòñòâóþùèìè ïðåîáðàçîâàíèÿì ψx e iα ψx è ψx e iαγ5 ψx. L ψiγ µ µ mψ è ψ + iαψ, îòêóäà δψ iψ, è ïîëó èì äàëåå ψ + iαγ 5 ψ, îòêóäà δψ iγ 5 ψ è ïîëó èì j µ L µ ψ δψ ψγ µ ψ, 0.40 j µ5 L µ ψ δψ ψγ µ γ 5 ψ, 0.4 4. Èñïîëüçóÿ òîæäåñòâî Ôèðöà σ µ αβ σ µ γδ ε αγ ε βδ, ïîêàæèòå, òî ū R σ µ u R ū 3R σ µ u 4R ū R σ µ u 4R ū 3R σ µ u R. ū L σ µ σ ν σ λ u L ū 3L σ µ σ ν σ λ u 4L 6ū L σ µ u L ū 3L σ µ u 4L. Ðåøåíèå: Èñïîëüçóåì, òî σ µ αβ σ µ γδ ε αγ ε βδ ε αγ ε δβ σ µ αδ σ µ γβ, îòêóäà ū R σ µ u R ū 3R σ µ u 4R ū Rα u Rβ ū 3Rγ u 4Rδ σ µ αβ σ µ γδ ū Rα u Rβ ū 3Rγ u 4Rδ σ µ αδ σ µ γβ ū R σ µ u 4R ū 3R σ µ u R. 0.4 Äàëåå èìååì ū L σ µ σ ν σ λ u L ū 3L σ µ σ ν σ λ u 4L ɛ αγ ū Lα ū 3Lγ ɛ βδ σ ν σ λ u L β σ ν σ λ u 4L δ. 0.43 Òåïåðü ðàññìîòðèì îòäåëüíî ɛ βδ σ ν σ λ u L β σ ν σ λ u 4L δ ɛ βδ σ ν βρ σ λ ρσ u Lσ σ ν σ λ u 4L δ ɛ δβ σ ν βρ σ λ ρσ u Lσ σ ν σ λ u 4L δ σ ν βδ ɛ βρ σ λ ρσ u Lσ σ ν σ λ u 4L δ σ ν βδ σ λ ρβ ɛ ρσ u Lσ σ ν σ λ u 4L δ ɛ ρσ u Lσ σ λ ρβ σ ν βδ σ ν σ λ u 4L δ ɛ σρ u Lσ σ λ σ ν σ ν σ λ u 4L ρ 4 ɛ σρ u Lσ u 4Lρ, 0.44 ãäå ìû èñïîëüçîâàëè, òî ɛ αβ σ µ βγ σ µ βα ɛ βγ è σ µ σ µ σ µ σ µ 4. Òåïåðü ïîëó àåì ū L σ µ σ ν σ λ u L ū 3L σ µ σ ν σ λ u 4L ɛ αγ ū Lα ū 3Lγ ɛ βδ σ ν σ λ u L β σ ν σ λ u 4L δ 4 ɛ αγ ū Lα ū 3Lγ ɛ σρ u Lσ u 4Lρ 6ū Lα ū 3Lγ u Lσ u 4Lρ σ µ ασ σ µ γρ 6ū L σ µ u L ū 3L σ µ u 4L, 0.45 8

3.5 Êâàíòîâàíèå Äèðàêîâñêîãî ïîëÿ. 5. Ïîêàæèòå, òî ïëîòíîñòü Äèðàêîâñêîãî ãàìèëüòîíèàíà äàåòñÿ âûðàæåíèåì H ψ iγ + mψ. Ðåøåíèå: Äëÿ êàíîíè åñêîãî ìîìåíòà p èìååì Äàëåå äëÿ Ãàìèëüòîíîâîé ïëîòíîñòè ïîëó àåì p L 0 ψ ψiγ 0 iψ γ 0 γ 0 iψ. 0.46 H p 0 ψ L i ψγ 0 0 ψ ψiγ 0 0 + iγ i i mψ ψ iγ + mψ, 0.47 6. Ïîêàæèòå, òî äëÿ äàííîãî "íåïðàâèëüíîãî"äèðàêîâñêîãî ïîëÿ ψx e ipx π pu p + b pv p 3 Ep, âûïîëíÿþòñÿ ñîîòíîøåíèÿ [ψx, ψ y] δ 3 x y 4 4. Èñïîëüçóéòå êîììóòàöèîííûå ñîîòíîøåíèÿ [ p, q ] [b p, b q ] π 3 δ 3 p qδ. d [ψx, ψ 3 pd 3 q y] e ip x q y [ π 6 p, q ]u pū q + [b p, b q]v p v q γ 0 Ep E q, e ip x y[ γ 0 E π 3 p γ p + m + γ 0 E p + γ p m ] γ 0 E p δ 3 x y 4 4, 7. Ïîêàæèòå, òî äëÿ âîëíîâîé ôóíêöèè èç ïóíêòà 6, ãàìèëüòîíèàí äàåòñÿ âûðàæåíèåì H π 3 Ep E p p p b b p p. H 0.48 d 3 x ψ iγ + mψ, 0.49 ãäå ψx ψy ψ yγ 0 e ipx π 3 Ep d 3 q e iqy π 3 Eq,, pu p + b pv p, ū q + b q q v q. 0.50 9

Äàëåå ïîëó àåì H d 3 x ψ iγ + mψ d 3 q π 6 Ep E q π 3 δp q π 3 E p,, ū q + b q q v q γ p + m pu p + b pv p ū p + b p p v p γ p + m pu p + b pv p, 0.5 äàëåå èñïîëüçóåì èç óðàâíåíèé äâèæåíèÿ, òî γ p + mu p γ 0 E p u p è γ p + mv p γ 0 E p v p ïîëó èì H π 3, u p + b p pv p pu p b pv p, 0.5 òåïåðü èñïîëüçóåì, òî u pv p v pu p 0 è ïîëó èì H π 3, p pu pu p b pb pv pv p, 0.53 äàëåå èñïîëüçóÿ, òî u pu p v pv p E p δ, â èòîãå íàõîäèì H π 3 Ep E p p p b b p p, 0.54 8. Ïîêàæèòå, òî [ψ x, ψ b y] i x +m b [φx, φy], ãäå φx, φy ïîëÿ Êëåéíà-Ãîðäîíà, à ψ è ψ b ïîëÿ èç ïóíêòà 6 â Ãåéçåíáåðãîâñêîì ïðåäñòàâëåíèè. ψx ψx òîãäà ïîëó èì [ψ x, ψ b y] π 3 Ep, π 3 Ep π 3 E p,, p u pe ip x + b pv pe ip x, p ū pe ip x + b p v pe ip x, 0.55 u pū bpe ip x y + v p v bpe ip x y π 3 E p p + mb e ip x y + p m b e ip x y i x + m b e ip x y e ip x y π 3 E p i x + m b [φx, φy], 0.56 0

9. Ïîêàæèòå, òî äëÿ "ïðàâèëüíî"êâàíòîâàííîãî Äèðàêîâñêîãî ïîëÿ ψx π pu pe ip x + b v pe ip x ; 3 p Ep ψx π 3 ãàìèëüòîíèàí äàåòñÿ âûðàæåíèåì H Ep π 3 b p v pe ip x + p ū pe ip x, Ep p p + E p b p b p, ãäå îïåðàòîðû àíòèêîììóòèðóþò êàê { p, q } {b p, b q } π 3 δ 3 p qδ. H d 3 x ψ iγ + mψ, 0.57 äàëåå ïîëó àåì H d 3 x ψ iγ + mψ d 3 q π 6 Ep E q π 3 δp q π 3 E p,, ū q + b q q v q γ p + m pu p + b pv p ū p + b p p v p γ p + m pu p + b pv p, 0.58 äàëåå èñïîëüçóåì èç óðàâíåíèé äâèæåíèÿ, òî γ p + mu p γ 0 E p u p è γ p + mv p γ 0 E p v p ïîëó èì H π 3, u p + b p pv p pu p b pv p, 0.59 òåïåðü èñïîëüçóåì, òî u pv p v pu p 0 è ïîëó èì H π 3, p pu pu p b pb pv pv p, 0.60 äàëåå èñïîëüçóÿ, òî u pu p v pv p E p δ, â èòîãå íàõîäèì H π 3 Ep E p p p b pb p π 3 Ep p p + E p b p b p + áåñêîíå íàÿ êîíñòàíòà, 0.6

30. Ïîêàæèòå, òî óíèòàðíûé îïåðàòîð UΛ, ïðåîáðàçóåò p ïî ïðàâèëó UΛ pu Λ EΛp E p Λp. äëÿ îäíî àñòè íîãî ñîñòîÿíèÿ p, E p p 0 : îòêóäà ïîëó àåì UΛ p, Λp, E Λp Λp 0, 0.6 UΛ p, E p UΛ p 0 E p UΛ p U ΛUΛ 0 E Λp Λp 0, 0.63 ó èòûâàÿ, òî UΛ 0 0, ïîëó àåì, òî Ep UΛ p U Λ E Λp Λp, 0.64 îòêóäà íàõîäèì UΛ p U EΛp Λ E p Λp. 3. Ðàññìàòðèâàÿ ìàëåíüêèé ïîâîðîò âîêðóã îñè z, ïîêàæèòå, òî Λ i ω µνs µν i θσ3. Ðåøåíèå: Ïðè ïîâîðîòå âîêðóã îñè z, ω ω θ, îñòàëüíûå êîìïîíåíòû ω µν ðàâíû íóëþ. Òàêæå S ij εijk Σ k, ñëåäîâàòåëüíî Λ i ω µνs µν i ω S + ω S i θ Σ3 θ Σ3 i θσ3, 0.65 3*. Îïåðàòîð óãëîâîãî ìîìåíòà äëÿ ïîëÿ Äèðàêà ðàâåí J d 3 xψ ix + Σψ. Óïðîñòèòå îòäåëüíî âûðàæåíèå äëÿ ñïèíîâîé i êîìïîíåíòû J i pin d 3 xψ Σi ψ îïåðàòîðà óãëîâîãî ìîìåíòà è çàòåì äëÿ îðáèòàëüíîé J i obit d 3 xψ ix i ψ. Ïîêàæèòå, òî îïåðàòîð J J obit + J pin óíè òîæàåò âàêóóì, òî åñòü J 0 0. Ïîêàæèòå, òî J 0 0 ξ σ ξ 0 0. Ðåøåíèå: Èñïîëüçóåì, òî ψx π 3 e ipx Ep, p u p + b pv p, ψ e ipx x π 3 p u p + b pv p, 0.66 Ep, p σξ à òàêæå, òî u p ση p p σξ è v p, è p ση u pv p v pu p 0, è p p 3 p σ p σ m, è p σ p p p ip p p + ip p +p g 3 µν p µ σ µ p σ, p, p, p p ãäå p 0 + p + p 0 p, p 0 + p p 0 p îòìåòèì, òî, ñêàëÿðû, à íå âåêòîðû!. Ñïèíîâàÿ àñòü: Äëÿ ñïèíîâîé àñòè èìååì J i pin d 3 x d3 pd 3 q e ixq p π 6 Ep E q,, d 3 x d3 pd 3 q e ixq p π 6 Ep E q,, q u q + b qv q Σ i pu p + b pv p u q Σi u p q p + u q Σi v p q b p+ + v q Σi u pb q p + v q Σi v pb qb p. 0.67

Äàëåå èñïîëüçóÿ, òî d 3 xe ixq p π 3 δq p, ïîëó èì J i pin d 3 q π 3 δ 3 p q π 3 E p Ep E q,,,, u q Σi u p q p + u q Σi v p q b p+ + v q Σi u pb q p + v q Σi v pb qb u p Σi u p p p + u p Σi v p p b p+ p + v p Σi u pb p p + v p Σi v pb pb p. 0.68 Òåïåðü âû èñëÿåì èñïîëüçóåì, òî σ i σ j δ ij + iε ijk σ k è [σ i, σ j ] iε ijk σ k è p, ε 3 : u p Σi v p ξ p σ ξ p σ σ i 0 p ση 0 σ i p ση v p Σi u p Äàëåå èìååì ξ p σσ i p σ p σσ i p ση ξ σ0 σ p p σi σ0 + σ p p σ0 + σ p p σi σ0 σ p p η ξ 4 p [σi, σp]η ξ iɛ ijk σ k p j η iξ p σ i η, η p σ ξ p σ σ i 0 0 σ i p σξ p σξ η p σσ i p σ p σσ i p σξ iη p σ i ξ. 0.69 u p Σi u p ξ p σ ξ p σ σ i 0 0 σ i v p Σi v p ξ p σσ i p σ + p σσ i p σξ p σξ p σξ ξ σ0 σ p p σi σ0 σ p p + σ0 + σ p p σi σ0 + σ p p ξ ξ σi + p σpσi σpξ ξ mσ i + E p m σp p pi ξ, η p σ η p σ σ i 0 0 σ i p ση p ση η p σσ i p σ + p σσ i p ση η mσ i + E p m σp p pi η, 0.70 ãäå ìû èñïîëüçîâàëè, òî E p + m è E p m, à òàêæå σpσ i σp σ j σ i σ k p j p k δ ji + iε jil σ l σ k p j p k p i σp + iε jil σ l σ k p j p k p i σp + iε jil δ lk + iε lkm σ m p j p k p i σp + iε jil p j p l ε jil ε lkm σ m p j p k p i σp δ jk δ im δ jm δ ik σ m p j p k p i σp p σ i. 0.7 3

 èòîãå ïîëó àåì J i pin π 3 E p,, ξ mσ i + E p m σp p pi ξ p p + iξ p σ i η p b p iη p σ i ξ b p p + η mσ i + E p m σp p pi η b pb p. 0.7 Îðáèòàëüíàÿ àñòü: Äëÿ îðáèòàëüíîé êîìïîíåíòû èìååì J i obit d 3 xψ x ix i ψx d 3 x d3 q e ixq π 6 q u q + b qv q iε ijk x j Ep E q x eipx pu p + b pv p k,, d 3 q π 6 d3 x εijk x j e ixp q q u q + b qv q p k pu p + b pv p Ep E q d 3 q π 6 i,, iπ 3 ijk δ3p q ε p j Ep E q d 3 q π 3 Eq,,,, q u q + b qv q p k pu p + b pv p q u q + b qv q ε ijk q k q j q u q + b qv q, Eq 0.73 äàëåå ìû èñïîëüçóåì, òî ε ijk q k ε ijk δ jk 0 è òàêæå ε ijk q k f q ε ijk q k qj f q 0, q j q j q ãäå f ïðîèçâîëüíàÿ ôóíêöèÿ. Îòñþäà â àñòíîñòè ñëåäóåò, òî ε ijk q k 0, òàê êàê q j E q m + q.  èòîãå ìû ïîëó àåì çàìåíÿÿ q íà p J i obit i π 3 p u p + b E pv p ε ijk p j p p k p u p + b pv p, 0.74,, äàëåå èñïîëüçóÿ, òî u pu p v pv p E p δ, è u pv p v pu p 0, ïîëó àåì J i obit i ε ijk π 3 p p j p p + k b pp j b p p k, i ε ijk u pp j u p π 3 E p p k p p + u pp j v p p k p b p+,, Èñïîëüçóÿ, òî ε ijk p j ε ijk p j p k p0 p, ïîëó èì Eq + v pp j u p b p p k p + v pp j v p b p pb p. 0.75 k p k p 0, ãäå p 0 + p + p 0 p, p 0 + p ε ijk p j p σ ε ijk p j p k p k σ0 p pl σ l p εijk p j σ k p p σi, ε ijk p j p σ p k p εijk p j σ k p p σi, 0.76 4

îòêóäà íàõîäèì u pε ijk p j v p ξ p σε ijk p j p σ p σε ijk p j p ση p k p k p k ξ p εijk p j σ k η ξ ε ijk p j σ k η ξ p σ i η, v pε ijk p j u p η p σε ijk p j p σ p σε ijk p j p σξ p k p k p k η p εijk p j σ k ξ η ε ijk p j σ k ξ η p σ i ξ. 0.77 Äàëåå íàõîäèì u pε ijk p j u p ξ p σε ijk p j p σ + p σε ijk p j p k p k p σξ p k ξ p σpp σi ξ iξ E p mσ i E p m σp p pi ξ, v pε ijk p j v p η p σε ijk p j p σ + p σε ijk p j p k p k p ση p k η p σpp σi η iη E p mσ i E p m σp p pi η, 0.78 ãäå ìû èñïîëüçîâàëè, òî E p m, à òàêæå Â èòîãå ïîëó àåì J i obit i + σpp σ i ε ijk σ l σ k p l p j ε ijk δ lk + iε lkm σ m p l p j iε ijk ε mlk σ m p l p j π 3, π 3 E p iδ im δ jl δ il δ jm σ m p l p j i p σ i p i σp. 0.79 ε ijk p p j p,, Â èòîãå íàõîäè äëÿ J i : J i J i pin + J i obit i p + k b pp j b p p + k ξ E p mσ i E p m σp p pi ξ p p iξ p σ i η p b p+ + iη p σ i ξ b p p + η E p mσ i E p m σp p pi η b pb p. + π 3 π 3,,, ε ijk p p j p p + k b pp j b p p + k 0.80 ξ σi ξ p σi p + η η b pb p. 0.8 Àíòèêîììóòèðóÿ b pb p è âûêèäûâàÿ áåñêîíå íûå êîíñòàíòû, à òàêæå çàìåíÿÿ â äàííûõ ëåíàõ p p, ïîëó àåì J i i π 3, ε ijk p p j p p + k b p p j b p p + k 5 π 3,, ξ σi ξ p σi p η η b p bp. 0.8

Ýòî âûðàæåíèå ìîæíî ïåðåïèñàòü êàê J π 3 p ξ σ iδ p p ξ p b p η σ + iδ p p η b p. 0.83,, Äàëåå, î åâèäíî, òî J 0 0. Òåïåðü, òàê êàê J 0 0, èìååì J 0 0 [J, êîììóòàòîð [ p p, 0 ] π 3 δ 3 p íàõîäèì, òî J 0 0 ξ σ ξ 0 ] 0. Âû èñëÿÿ 0 δ, ìû âèäèì, òî äîëæíû âçÿòü âñå â òî êå p 0, îòêóäà 0 0. 33. Ïîêàæèòå, òî çàïàçäûâàþùàÿ ôóíêöèÿ Ãðèíà äëÿ óðàâíåíèÿ Äèðàêà åñòü SR b x y i x +m b D R x y, ãäå D R x y çàïàçäûâàþùàÿ ôóíêöèÿ Ãðèíà äëÿ óðàâíåíèÿ Êëåéíà-Ãîðäîíà. Ðåøåíèå: Ñ îäíîé ñòîðîíû ìû èìååì S b R x y θx 0 y 0 0 {ψ x, ψ b y} 0, 0.84 c äðóãîé ñòîðîíû ìîæíî âû èñëèòü 0 ψ x ψ b y 0 u π 3 E pū bpe ip x y i x + m b p, 0 ψ b yψ x 0 v π 3 E p v bpe ip y x i x + m b p îòêóäà 0 {ψ x, ψ b y} 0 i x + m b  èòîãå ïîëó àåì, π 3 E p e ip x y, π 3 E p e ip y x, 0.85 e ip x y e ip y x i π 3 x + m b 0 [φx, φy] 0. E p 0.86 S b R x y θx 0 y 0 0 {ψ x, ψ b y} 0 i x + m b θx 0 y 0 0 [φx, φy] 0 i x + m b D R x y, 0.87 34. Ïîêàæèòå, òî. γ µ µ γ ν ν γ µ γ ν µ ν γµ γ ν + γ ν γ µ µ ν g µν µ ν, 0.88 3.6 Äèñêðåòíûå ñèììåòðèè â òåîðèè Äèðàêà. 35. Ïðîâåðüòå, òî âñå âåëè èíû: ψψ, ψγ µ ψ, i ψ[γ µ, γ ν ]ψ, ψγ µ γ 5 ψ, i ψγ 5 ψ ÿâëÿþòñÿ ýðìèòîâûìè. 6

Ðåøåíèå: Èñïîëüçóÿ òî, òî γ 0 γ 0, γ 5 γ 5, γ i γ i, i,, 3, à òàêæå, òî {γ 5, γ µ } 0, {γ µ, γ ν } g µν èìååì: ψψ ψ γ 0 ψ ψ γ 0 ψ ψ γ 0 ψ ψψ, ψγ µ ψ ψ γ 0 γ µ ψ ψ γ µ γ 0 ψ ψ γ 0 γ µ ψ ψγ µ ψ, i ψ[γ µ, γ ν ]ψ iψ γ 0 [γ µ, γ ν ]ψ iψ γ ν γ µ γ µ γ ν γ 0 ψ i ψ[γ µ, γ ν ]ψ, ψγ µ γ 5 ψ ψ γ 5 γ µ γ 0 ψ ψ γ 5 γ 0 γ µ ψ ψγ µ γ 5 ψ, i ψγ 5 ψ iψ γ 5 γ 0 ψ iψ γ 5 γ 0 ψ i ψγ 5 ψ, 0.89 òî è òðåáîâàëîñü ïðîâåðèòü. 36. Ïîêàæèòå, òî γ 0 γ µ γ 0 { +γ µ, µ 0, γ µ, µ,, 3. Ðåøåíèå: Èñïîëüçóÿ òî, òî γ 0, à òàêæå {γ 0, γ i } 0, i,, 3, ïîëó àåì γ 0 γ 0 γ 0 γ 0, γ 0 γ i γ 0 γ i γ 0 γ 0 γ i, 0.90 37. Ïðîâåðüòå, òî T ψγ µ ψt { + ψγ µ ψ t, x, µ 0 ψγ µ ψ t, x, µ,, 3. Ðåøåíèå: Èñïîëüçóÿ, òî T c èñëî c èñëî T, è òàêæå T ψt, xt γ γ 3 ψ t, x, ïîëó èì T ψγ µ ψt T ψt γ µ T ψt ψ t, x[γ γ 3 ] γ 0 γ µ γ γ 3 ψ t, x ψ t, x γ γ 3 γ µ γ γ 3 ψ t, x. 0.9 Òåïåðü èñïîëüçóÿ, òî γ 0 γ 0, γ γ, γ 3 γ 3 è γ γ, {γ µ, γ ν } g µν, ïîëó èì òî è òðåáîâàëîñü ïðîâåðèòü. T ψγ 0 ψt ψ t, x γ γ 3 γ 0 γ γ 3 ψ t, x ψγ 0 ψ t, x, T ψγ ψt ψ t, x γ γ 3 γ γ γ 3 ψ t, x ψγ ψ t, x, T ψγ ψt ψ t, x γ γ 3 γ γ γ 3 ψ t, x ψγ ψ t, x, T ψγ 3 ψt ψ t, x γ γ 3 γ 3 γ γ 3 ψ t, x ψγ 3 ψ t, x, 0.9 38. Íàéäèòå åìó ðàâíî ïðåîáðàçîâàíèå çàðÿäîâîãî ñîïðÿæåíèÿ äëÿ áèëëèíåéíûõ ôîðì: C ψψc, C ψγ µ ψc, Ci ψ[γ µ, γ ν ]ψc, C ψγ µ γ 5 ψc, Ci ψγ 5 ψc. Ðåøåíèå: Èñïîëüçóÿ, òî CψxC i ψγ 0 γ T, è òàêæå C ψc iγ 0 γ ψ T èìååì: C ψψc iγ 0 γ ψ T i ψγ 0 γ T γ 0 bγ bcψ c ψd γ 0 deγ e ψ d γ 0 deγ eγ 0 bγ bcψ c ψγ γ 0 γ 0 γ ψ ψψ, Ci ψγ 5 ψc i iγ 0 γ ψ T γ 5 i ψγ 0 γ T i ψγ 5 ψ, 0.93 àíàëîãè íî ìîæíî ïðîâåðèòü äëÿ îñòàëüíûõ âûðàæåíèé. 7