P621 - HW 4. Scott Dietrick November 17, b = i 4 (σµ σ ν σ ν σ µ ) a b. L ) b. 1 2 ǫijk σ k and (S k0. = i 4 (σ ki + Iσ k ) = i 2 σ k

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Υπάτιος Αποστόλου
6 χρόνια πριν
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1 P6 - HW 4 Scott Dietrick November 7, Show tht S ν implies S i L S i L b i 4 σi σ σ σ i b b L ǫik σ k nd S k b i 4 σ σ ν σ ν σ b L b iσ k. SL k b i 4 σk σ σ σ k b i 4 σi ċ σċb σ ċ σiċb i 4 σ iσ + σ σ i i σ iσ i iǫik σ k SL k b i 4 σ ki + Iσ k i σ k S i L b ǫik σ k Fierz identities nd Dirc fields. Prove the Fierz identities. χ σ χ χ 3 σ χ 4 χ ȧ σȧb χ b χ 3ċ σċd χ 4d σ ȧb σċd χ ȧ χ 3ċ χ bχ 4d σ ḃσ cd ǫbǫȧḃǫdc ǫċ d χ ȧ χ 3ċ χ bχ 4d ǫ c ǫḃ d ǫbǫȧḃǫdc ǫċ d χ ȧ χ 3ċ χ bχ 4d χ ȧ ǫȧḃǫḃ d ǫċ d χ 3ċ ǫdc ǫ c ǫ b χ b χ 4d χ ȧ ǫȧḃǫḃ dǫ dċ χ 3ċ ǫdc ǫ c ǫ b χ b χ 4d χ ȧ χ ȧ 3 χd χ 4d χ σ χ χ 3 σ χ 4 χ χ 3 χ χ 4

2 χ σ χ χ 3 σ χ 4 χ χ 3 χ χ 4 χ χ 3 χ χ 4 χ χ 3 χ 4χ χ χ 3 χ 4χ χ χ 3 χ 4χ χ σ χ χ 3 σ χ 4 χ σ χ 4 χ 3 σ χ b Write the Fierz identities in terms of Dirc fields. Ψ γ P L Ψ Ψ 3 γ P L Ψ 4 [ ξ χ σ c ] δb χc ḃ ȧ σ ȧb [ ξ 3 χ c ] σ ḃ δb χ4c 3ȧ σȧb χ ȧ σȧb δ b c χ c χ 3ȧ σȧb δ b c χ 4c χ σ χ χ 3 σ χ 4 χ σ χ 4 χ 3 σ χ Ψ γ P L Ψ Ψ 3 γ P L Ψ 4 Ψ γ P L Ψ 4 Ψ 3 γ P L Ψ χ σ χ χ 3 σ χ 4 χ χ 3 χ χ 4 [ ξ χ ȧ [ χ ξ c δ ȧ δȧċ Ψ γ P L Ψ Ψ 3 γ P L Ψ 4 Ψ P R Ψ C 3 Ψ C P LΨ 4 ξ3c χ ċ 3 χ4c 4 ] ] 4

3 c Show tht Ψ γ P R Ψ Ψ C γ P L Ψ C, Ψ P L Ψ Ψ C P LΨ C nd Ψ P R Ψ Ψ C P R Ψ C. Ψ γ P R Ψ ξ χ σ ḃ χc ȧ σ ȧb δḃċ ξ ċ σ ḃδḃċξ σ ċ ξ ξ ȧ ǫc ǫċȧ σ ċ ξ c ξ ȧ ǫc ǫȧċ σ ċ ξ c ξ ȧ σȧc ξ c ξ ȧ σȧb δ b c ξ c χ ξ ȧ σ ḃ σ ȧb c δb ξc χ ċ Ψ γ P R Ψ Ψ C γ P L Ψ C Ψ P L Ψ ξ χ ȧ c δ χc Ψ P R Ψ ξ χ ȧ δȧċ χc ξ δ c χ c χ ċ ȧδȧċξ χ ξ ξ ȧ χ ȧ χ δ c ξ c χ ξ ȧ c δ ξc χ ċ ξ ċ ȧδȧċχ χ ξ ȧ δȧċ ξc χ ċ Ψ P L Ψ Ψ C P LΨ C Ψ P R Ψ Ψ C P R Ψ C 3

4 Symmetries of fermion fields. Stte the invrince group for the following Lgrngins. N Weyl fields with common mss m. L iψ σ ψ }{{} mψ ψ }{{} +ψ ψ }{{} UN ON ON ON b N mssless Morn fields. L i ΨT Cγ Ψ i ψ ψ ȧ ǫ b ǫȧḃ σ bċ σ ḃc ψc ψ ċ i ψ ǫ b σ bċ ψ ċ + ψ ȧ ǫ ȧḃ σḃc ψ c i ψb σ bċ ψ ċ + ψ ḃ σḃc ψ c i ψ σ ψ }{{} +ψ σ ψ }{{} UN UN UN c N Morn fields with common mss m. L i ΨT Cγ Ψ }{{} mψt CΨ UN Ψ T CΨ ψ ψ ȧ ǫ b ǫȧḃ ψ b ψ ḃ ON ψ ǫ b ψ b + ψ ȧ ǫ ȧḃψ ḃ ψ bψ b + ψ ḃψ ḃ ψ ψ }{{} +ψ ψ }{{} ON ON 4

5 d N mssless Dirc fields. L i Ψ γ Ψ i ξ b χ ḃ σ bċ σ ḃc χc iξ b σ bċ + χ ḃ σḃc χ c iξ σ ξ +χ σ χ }{{} iψ i σ ψ i }{{}, i, UN UN e N Dirc fields with common mss, m. L i Ψ γ Ψ m Ψ Ψ Ψ Ψ ξ χ ȧ χ ξ ȧ ON ξ χ + χ ȧ ξ ȧ ξ χ + ξ χ ψ iψ i }{{} +ψ i ψ i, i, ON 5

6 Verify 38.5 γ βγ β γ γ σ σ σ ḃ σ ȧb σ ḃ σ bȧ σ σ S ν βs ν β β i 4 [γ, γ ν ] β i 4 βγ γ ν γ ν γ β i 4 βγν γ γ γ ν β i 4 βγν ββγ γ ββγ ν β i 4 γν γ γ γ ν i 4 γν γ γ γ ν S ν S ν iγ 5 β 4 ǫ νρσγ γ ν γ ρ γ σ β iγ 5 iγ 5 4 ǫ νρσβγ σ γ ρ γ ν γ β 4 ǫ νρσβγ σ ββγ ρ ββγ ν ββγ β 4 ǫ σρνγ σ γ ρ γ ν γ 4 ǫ σρνγ σ γ ρ γ ν γ 6

7 γ γ 5 β iγ iγ 5 β iβiγ 5 γ β iβiγ 5 ββγ β iiγ 5 γ iiγ 5 γ iiγ 5 γ I σ σ σ σ σ σ γ γ 5 γ γ 5 iγ 5 S ν βiγ 5 S ν β βs ν iγ 5 β βs ν ββiγ 5 β S ν iγ 5 S ν iγ 5 S ν i L S ν R S ν i L S ν R i iγ 5 S ν iγ 5 S ν S ν L S ν R 7

8 Show tht ū s p γ v s p nd v s p γ u s p. p + mv s p γ p γ i p i + mv s p γ p + γ i p i + mv s p γ p v s p γ i p i + mv s p γ p v s p p + mv s p ū s pγ v s pp ū s p p + mv s p ū s pγ v s p p + mu s p +γ p + γ i p i + mu s p +γ p γ i p i + mu s p γ p u s p γ i p i + mu s p γ p u s p p + mu s p v s pγ u s pp v s p p + mu s p v s pγ u s p 8

9 Show tht ū s p [p + p is ν p p ν ]γ u s p nd v s p [p + p is ν p p ν ]γ v s p. p + p is ν p p ν γ p + p γ [p + p is ν p p ν ]γ 5 γ p + p γ γ 5 ū s p [p + p is ν p p ν ]γ 5 u s p ū s p γ p + p γ γ 5 u s p ū s p [p + p is ν p p ν ]γ 5 u s p ū s p γ pγ 5u s p ū s p p γ γ 5 u s p ū s p γ mγ 5 u s p ū s p p γ γ 5 u s p ū s p γ p + mγ 5 u s p ū s p γ p + mv s ps v s p [p + p is ν p p ν ]γ 5 v s p v s p γ p + p γ γ 5 v s p v s p [p + p is ν p p ν ]γ 5 v s p v s p γ pγ 5v s p v s p p γ γ 5 v s p v s p γ pγ 5v s p ū s p mγ γ 5 v s p v s p γ p + mγ 5 v s p ū s p γ p + mu s ps 9

Σχετικά έγγραφα

Srednicki Chapter 36

Srednicki Chapter 36 QFT Problems & Solutions A. George March 1, 13 Srednicki 36.1. Using the results of problem.9, show that, for a rotation by an angle θ about the z axis, we have: DΛ = exp iθs 1 and