Σ.Δ.Ι. ΚΔΝΣΡΙΚΗ ΜΑΚΔΓΟΝΙΑ ΥΟΛΗ ΣΔΥΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΔΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΜΗΜΑ ΥΔΓΙΑΜΟΤ ΚΑΙ ΣΔΥΝΟΛΟΓΙΑ ΔΝΓΤΗ ΣΑΣΙΣΙΚΗ ΚΛΩΣΟΫΦΑΝΣΟΤΡΓΙΑ & ΔΝΓΤΗ (ΔΠΙΠΛΔΟΝ ΗΜΔΙΩΔΙ)

Σ.Δ.Ι. ΚΔΝΣΡΙΚΗ ΜΑΚΔΓΟΝΙΑ ΥΟΛΗ ΣΔΥΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΔΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΜΗΜΑ ΥΔΓΙΑΜΟΤ ΚΑΙ ΣΔΥΝΟΛΟΓΙΑ ΔΝΓΤΗ ΣΑΣΙΣΙΚΗ ΚΛΩΣΟΫΦΑΝΣΟΤΡΓΙΑ & ΔΝΓΤΗ (ΔΠΙΠΛΔΟΝ ΗΜΔΙΩΔΙ) Γ ΔΞΑΜΗΝΟΤ ΑΝΣΩΝΙΟ Π. ΒΑΛΑΡΙΣΟ ΚΙΛΚΙ 0

ΠΔΡΗΔΥΟΜΔΝΑ. ΔΗΑΓΧΓΖ ΣΖ ΣΑΣΗΣΗΚΖ... 5. Πξνέιεπζε... 5. Οξηζκφο - Υαξαθηεξηζηηθά... 5. Ζ ηαηηζηηθή ζηηο αλάγθεο ηεο επηρείξεζεο... 6. Δπηρεηξεκαηηθά Πξνβιήκαηα θαη Βαζηθέο ηαηηζηηθέο Μέζνδνη... 6.5 Μεηαβιεηφηεηα... 6.6 ηάδηα ηαηηζηηθήο Αλάιπζεο... 6.7 ηαηηζηηθφο Πιεζπζκφο θαη Γείγκα... 7.8 Πεξηγξαθηθή θαη Δπαγσγηθή ηαηηζηηθή... 7.9 Δίδε (Καηεγνξίεο) Γεδνκέλσλ... 7.0 πγθέληξσζε ηαηηζηηθψλ ηνηρείσλ... 8. θάικα Γεηγκαηνιεςίαο θαη πζηεκαηηθφ θάικα... 8. ΠΔΡΗΓΡΑΦΗΚΖ ΣΑΣΗΣΗΚΖ.... Γξαθηθή Παξάζηαζε ησλ Γεδνκέλσλ..... Ηζηνγξάκκαηα..... Γηάγξακκα Μίζρνπ-Φχιινπ...8.. Κπθιηθά Γηαγξάκκαηα...0. ηαηηζηηθέο ζπλαξηήζεηο Υαξαθηεξηζηηθά Γείγκαηνο..... Μέηξα ζέζεο θαη θεληξηθήο ηάζεο...... Αξηζκεηηθφο Μέζνο...... Γηάκεζνο- Σεηαξηεκφξηα Πνζνζηηαία εκεία... 5... Δπηθξαηνχζα ηηκή... 9.. Μέηξα Γηαζπνξάο...0... Δχξνο...... Δλδνηεηαξηεκνξηαθφ Δχξνο...... Γηαθχκαλζε...... Σππηθή Απφθιηζε... 6.. Μέηξα Αζπκκεηξίαο...7.. Θεθφγξακκα...9. Παξαδείγκαηα.... Αζθήζεηο...6. ΣΟΗΥΔΗΑ ΘΔΧΡΗΑ ΠΗΘΑΝΟΣΖΣΧΝ...8. Γεληθά...8. Σπραίν Πείξακα - Δλδερφκελα...8. Γεηγκαηηθφο ρψξνο...8. Πξάμεηο κε ελδερφκελα...9.5 Οξηζκφο θαη Ηδηφηεηεο ηεο Πηζαλφηεηαο...50

.6 Γεζκεπκέλε Πηζαλφηεηα...5.6. Θεψξεκα Οιηθήο Πηζαλφηεηαο...5.6. Θεψξεκα ηνπ Bayes...5.7 Μέζνδνη Απαξίζκεζεο...55.7. Ζ Πνιιαπιαζηαζηηθή αξρή...55.7. Μεηαζέζεηο...55.7. Γηαηάμεηο...56.7. πλδπαζκνί...57.8 Παξαδείγκαηα...60.9 Αζθήζεηο...66. ΣΤΥΑΗΔ ΜΔΣΑΒΛΖΣΔ...69. Γεληθά - Οξηζκνί...69. Αλακελφκελε Σηκή...7. Γηαθχκαλζε...7. Πεξηζζφηεξεο Σπραίεο κεηαβιεηέο...7.5 Αζθήζεηο...76 5. ΚΑΝΟΝΗΚΖ ΚΑΣΑΝΟΜΖ...77 5. Οξηζκφο θαη Ηδηφηεηεο...77 5. Σππηθή Καλνληθή θαηαλνκή...78 5. Γχν Αλεμάξηεηεο Καλνληθέο Σπραίεο Μεηαβιεηέο...8 5. Πεξηζζφηεξεο Αλεμάξηεηεο Καλνληθέο Σπραίεο Μεηαβιεηέο...8 5.5 Αζθήζεηο...85 6. ΠΔΡΗ ΓΔΗΓΜΑΣΟΛΖΦΗΑ...86 6. Γεηγκαηνιεςία...86 6. Απιή Σπραία δεηγκαηνιεςία...86 6. πζηεκαηηθή δεηγκαηνιεςία...86 6. Γεηγκαηνιεςία θαηά ζηξψκαηα ή ζηξσκαηνπνηεκέλε...87 6.5 Γεηγκαηνιεςία θαηά δεζκίδεο (ζπζηνηρίεο)...88 6.6 Γεηγκαηνιεςία κεξηδίσλ...89 6.7 Γεηγκαηνιεςία ζε πνιιά ζηάδηα...89 6.8 Δπηθαλεηαθή δεηγκαηνιεςία...89 6.9 Δπθαηξηαθή δεηγκαηνιεςία...89 Βηβιηνγξαθία...90 ηαηηζηηθφο Πίλαθαο Σππηθήο Καλνληθήο Καηαλνκήο...9

. ΔΗΑΓΧΓΖ ΣΖ ΣΑΣΗΣΗΚΖ. Πποέλεςζη Ο φξνο ζηαηηζηηθή πξνέξρεηαη απφ ηε ιαηηληθή ιέμε status θαη ηελ αληίζηνηρε αγγιηθή state=πνιηηεία, θξάηνο. State-stcs, ινηπφλ, θαηά ην 8ν αηψλα ήηαλ ε ζπιινγή ζηνηρείσλ θαη αξηζκψλ πνπ ζρεηίδνληαλ κε ηελ πνιηηεία (γελλήζεηο, ζάλαηνη, θφξνη θιπ.). Με ηελ πάξνδν ηνπ ρξφλνπ επεθηάζεθε ζε πνιιά άιια θνηλσληθά θαη νηθνλνκηθά θαηλφκελα απνθηψληαο έλα κεζνδνινγηθφ θαη επηζηεκνληθφ ραξαθηήξα. Ο ππξήλαο ηεο λεφηεξεο ζηαηηζηηθήο είλαη ε ζηαηηζηηθή ζπκπεξαζκαηνινγία. Με ηε βνήζεηα απηήο ζπλάγνπκε ζπκπεξάζκαηα γηα έλα πιεζπζκφ, εμεηάδνληαο κφλν έλα κέξνπο απηνχ, ηνπ ιεγφκελνπ δείγκαηνο (επαγσγηθφο ραξαθηήξαο). ε αληίζεζε κε ηε ζεσξία Πηζαλνηήησλ φπνπ κε αθεηεξία ηε κειέηε ηνπ πιεζπζκνχ ζπλάγνπκε ζπκπεξάζκαηα γηα ην δείγκα (απαγσγηθφο ραξαθηήξαο). Ο ηξφπνο επηινγήο ηνπ δείγκαηνο απνηειεί έλα απφ ηα ζεκαληηθφηεξα θεθάιαηα ηεο ζηαηηζηηθήο θαη βαζίδεηαη ζε κεγάιν πνζνζηφ ζηελ ηπραηφηεηα. πρλά φκσο δελ απνθιείεηαη θαη ε παξέκβαζε ζην βαζκφ πνπ εμαζθαιίδεηαη ε ακεξνιεςία ηνπ δείγκαηνο.. Οπιζμόρ - Υαπακηηπιζηικά ηαηηζηηθή είλαη ε επηζηήκε πνπ αλαθέξεηαη ζηε ζπιινγή, ζηελ παξνπζίαζε, ζηελ αλάιπζε θαη ζηε ρξεζηκνπνίεζε αξηζκεηηθψλ πιεξνθνξηψλ κε ζθνπφ λα θαηαλνήζνπκε ηα πνηνηηθά θαη ηα πνζνηηθά ραξαθηεξηζηηθά ελφο ζπζηήκαηνο (νηθνλνκηθνχ, θνηλσληθνχ, βηνινγηθνχ, θιπ) (Γ. Υάιθνο). ηαηηζηηθή είλαη κηα καζεκαηηθή γιψζζα, ε νπνία κε εξγαιείν ηε ζεσξία ησλ πηζαλνηήησλ καο θαζηζηά ηθαλνχο λα ζπκπεξάλνπκε γηα δηάθνξα ζέκαηα, εληφο θάπνησλ ινγηθψλ νξίσλ ζθαικάησλ, απφ ηε ρξεζηκνπνίεζε πιεξνθνξηψλ κε ηε κνξθή δεδνκέλσλ (Γ. Υάιθνο). «ηαηηζηηθή είλαη ν πην επηζηεκνληθφο ηξφπνο λα πεηο ςέκαηα. Οη θπληθνί ιέλε φηη ππάξρνπλ ςέκαηα, δαηκνληζκέλα ςέκαηα θαη ε ηαηηζηηθή. Καη θαζεκεξηλά βνκβαξδηδφκαζηε κε ζηαηηζηηθά κεγέζε, απφ ηε ζπλαιιαγκαηηθή ηζνηηκία ηεο ζηεξιίλαο ή ηνπο ηειεπηαίνπο δείθηεο αλεξγίαο κέρξη ηνπο κέζνπο φξνπο απφδνζεο ησλ αζιεηψλ. Όκσο πφζν πνιχ κπνξνχκε λα εκπηζηεπφκαζηε ηε ηαηηζηηθή;» (New Scetst). ηαηηζηηθή είλαη κηα επηζηεκνληθή κέζνδνο πνπ απνζθνπεί ζηελ «πεξηγξαθή» πνιχκνξθσλ ζπλφισλ (Γ. Γξφζνο). Statstcs s what statstcas do! (P. Newbold) Characterstcs: Μakg sese of umercal formato Dealg wth ucertaty Samplg Aalyzg relatoshps Forecastg Decso makg a ucerta evromet 5

. Η ηαηιζηική ζηιρ ανάγκερ ηηρ επισείπηζηρ Ζ ηαηηζηηθή ζηε Λνγηζηηθή (ηζνινγηζκνί, ηζνδχγηα) Ζ ηαηηζηηθή αγνξψλ (πξνεγνχκελεο αγνξέο, αλάγθεο επηρείξεζεο) Ζ ηαηηζηηθή πσιήζεσλ (πξφβιεςε κειινληηθψλ πσιήζεσλ, παιαηψλ θαη λέσλ πξντφλησλ, έξεπλα αγνξάο) Ζ ηαηηζηηθή ζηελ παξαγσγή (stock, εξγαηηθά ρέξηα) Ζ ηαηηζηηθή ζηνλ πνηνηηθφ έιεγρν (αμηνπηζηία, πιήζνο ειαηησκαηηθψλ κνλάδσλ) Ζ ηαηηζηηθή ζηε ρξεκαηνδνηηθή ιεηηνπξγία (δηαρείξηζε θεθαιαίνπ, δάλεηα, επελδχζεηο, ρξεκαηνδνηήζεηο). Δπισειπημαηικά Πποβλήμαηα και Βαζικέρ ηαηιζηικέρ Μέθοδοι Παξνπζίαζε θαη Πεξηγξαθή Γεδνκέλσλ Γηεμαγσγή πκπεξαζκάησλ Πξνβιέςεηο κεγεζψλ (Μεηαβιεηψλ) Δίδε θαη Σξφπνη πιινγήο Γεδνκέλσλ Πίλαθεο θαη Γηαγξάκκαηα Πεξηγξαθηθή ηαηηζηηθή Βαζηθέο Καηαλνκέο Πηζαλνηήησλ Καλνληθή Καηαλνκή θαη Καηαλνκέο Γεηγκαηνιεςίαο Δθηηκεηηθή Απιή πζρέηηζε θαη Παιηλδξφκεζε Πνιιαπιή πζρέηηζε θαη Παιηλδξφκεζε Αλάιπζε Υξνλνινγηθψλ εηξψλ Έιεγρνη Τπνζέζεσλ.5 Μεηαβληηόηηηα Ζ αλαγθαηφηεηα ζπιινγήο θαη επεμεξγαζίαο πιεξνθνξηψλ θαη ζπλεπψο ηεο ηαηηζηηθήο πξνθχπηεη απφ ηελ αλάγθε λα γλσξίζνπκε ραξαθηεξηζηηθά κε κεηαβιεηφηεηα. Ζ μεηαβληηόηηηα (varablty) ζε έλα ραξαθηεξηζηηθφ ζεκαίλεη φηη ζε κηα κέηξεζε κπνξνχλ λα πξνθχςνπλ πεξηζζφηεξεο απφ κία ηηκέο θαη θαηά ζπλέπεηα γηα λα ην γλσξίζνπκε πξέπεη λα δηαζέηνπκε πεξηζζφηεξεο απφ κία κεηξήζεηο. Γηα παξάδεηγκα, ε απφιπηε νκνηνγέλεηα ελφο πξντφληνο δε κπνξεί λα εμαζθαιηζηεί αθφκα θαη ζε ζπλζήθεο απηνκαηνπνηεκέλεο παξαγσγήο. Δπίζεο κεηαβιεηφηεηα πξνθχπηεη απφ ηελ αηέιεηα ησλ νξγάλσλ κέηξεζεο. Ο κφλνο ηξφπνο λα γλσξίζνπκε θαη λα απνθαλζνχκε ζρεηηθά κε έλα ραξαθηεξηζηηθφ κε κεηαβιεηφηεηα είλαη ε ζηαηηζηηθή αλάιπζε..6 ηάδια ηαηιζηικήρ Ανάλςζηρ Έλα ζηαηηζηηθφ πείξακα, δειαδή κηα δηαδηθαζία παξαηήξεζεο ή κέηξεζεο ηνπ ραξαθηεξηζηηθνχ απφ ηελ νπνία ζα πξνθχςεη έλα ζχλνιν πιεξνθνξηψλ πνπ νλνκάδνληαη παξαηεξήζεηο (observatos) ή δεδνκέλα (data). Σελ νξγάλσζε, παξνπζίαζε θαη αλάιπζε δεδνκέλσλ. Σελ εμαγσγή ζπκπεξαζκάησλ. 6

.7 ηαηιζηικόρ Πληθςζμόρ και Γείγμα Σν ζχλνιν φισλ ησλ παξαηεξήζεσλ, ηηο νπνίεο ζα ήζειε θαλείο λα έρεη γηα λα γλσξίζεη θάπνην ραξαθηεξηζηηθφ κε κεηαβιεηφηεηα, νλνκάδεηαη πιεζπζκφο (populato). Έλα νπνηνδήπνηε ππνζχλνιν ηνπ πιεζπζκνχ νλνκάδεηαη δείγκα (sample). Ζ δηαδηθαζία ζπιινγήο φισλ ησλ παξαηεξήζεσλ ηνπ πιεζπζκνχ νλνκάδεηαη απνγξαθή (cesus). Ζ απνγξαθή είλαη δπλαηή κφλν φηαλ ν πιεζπζκφο είλαη απαξηζκήζηκνο (eumeratve), δειαδή θαιά νξηζκέλνο, πεπεξαζκέλνο θαη ακεηάβιεηνο. ηελ πεξίπησζε απηή κε ηερληθέο πεξηγξαθηθήο ηαηηζηηθήο, ε γλψζε γηα ηνλ πιεζπζκφ είλαη θαζνιηθή. Αθφκε θαη ζε απαξηζκήζηκνπο πιεζπζκνχο πξνηηκάηαη ε κειέηε δείγκαηνο απφ ηελ απνγξαθή. Ζ απνγξαθή θνζηίδεη αθξηβά, είλαη ρξνλνβφξα θαη κπνξεί λα πεξηέρεη ιάζε, απαηηεί εηδηθεπκέλα άηνκα, κπνξεί αθφκα θαη λα ζπλεπάγεηαη θαηαζηξνθή ηεο αληίζηνηρεο κνλάδαο..8 Πεπιγπαθική και Δπαγυγική ηαηιζηική Ζ Πεξηγξαθηθή ηαηηζηηθή (Descrptve Statstcs) πεξηγξάθεη ηα βαζηθά ραξαθηεξηζηηθά ελφο ζπλφινπ δεδνκέλσλ δίρσο λα εμάγεη ζπκπεξάζκαηα γηα ηνλ πιεζπζκφ. Δηδηθφηεξα πεξηιακβάλεη ηηο κεζφδνπο πνπ αζρνινχληαη κε ηε ζπιινγή, παξνπζίαζε θαη ραξαθηεξηζκφ (ηαμηλφκεζε) ησλ δεδνκέλσλ αλάινγα κε ην είδνο ησλ ραξαθηεξηζηηθψλ πνπ πεξηγξάθνπλ (κεηξνχλ). Ζ Δπαγσγηθή ηαηηζηηθή (Iferetal or Iductve Statstcs) ρξεζηκνπνηεί ηηο πιεξνθνξίεο πνπ αληινχληαη απφ ηα δείγκαηα. Ώζηε λα κπνξέζεη λα πξνβιέςεη ηα βαζηθά ραξαθηεξηζηηθά ηνπ πιεζπζκνχ. Δηδηθφηεξα πεξηιακβάλεη ηηο κεζφδνπο πνπ καο βνεζνχλ λα εθηηκήζνπκε ηα ραξαθηεξηζηηθά ελφο πιεζπζκνχ κε βάζε ηα απνηειέζκαηα πνπ πξνθχπηνπλ απφ ηηο παξαηεξήζεηο ελφο δείγκαηνο..9 Δίδη (Καηηγοπίερ) Γεδομένυν Πνζνηηθά Υαξαθηεξηζηηθά Κιίκαθα Λφγνπ Αμία Όγθνο Μήθνο Δπηθάλεηα Σαρχηεηα Κιίκαθα Γηαζηήκαηνο Θεξκνθξαζία Βαζκνί Tests Tests Πξνζσπηθφηεηαο Πνηνηηθά Υαξαθηεξηζηηθά Κιίκαθα Ηεξάξρεζεο Βαζκνινγία Scores Έληαζε Γλψκεο 7 Ολνκαζηηθή Κιίκαθα Δπάγγεικα Οηθνγελεηαθή θαηάζηαζε Κιάδνο νηθνλνκίαο

ε κηα ζηαηηζηηθή κειέηε εμεηάδνπκε είηε έλα ζεκειηψδεο ζχλνιν (πιεζπζκφο) είηε έλα κέξνο ηνπ (δείγκα). Κάζε ζηνηρείν απηνχ ηνπ ζπλφινπ ην θαινχκε παξαηήξεζε ή ζηαηηζηηθή κνλάδα ή δεδνκέλν. Σα δεδνκέλα πξνθχπηνπλ είηε απφ δεκνζηεπκέλα ζηνηρεία (Δζληθή ηαηηζηηθή Τπεξεζία Διιάδαο, ηαηηζηηθή Τπεξεζία ησλ Δπξσπατθψλ Κνηλνηήησλ, Γηεζλέο Κέληξν Δκπνξίνπ, νξγαληζκνί, δεκφζηεο θαη ηδησηηθέο ππεξεζίεο) θαη θαινχληαη δεπηεξνγελή, είηε είλαη δεδνκέλα πνπ εκείο ζπιιέγνπκε (δεηγκαηνιεπηηθέο έξεπλεο, έξεπλεο αγνξάο, πνιηηηθέο, θνηλσληθέο) θαη θαινχληαη πξσηνγελή. Δπεηδή ηα ραξαθηεξηζηηθά ησλ δεδνκέλσλ δηαθέξνπλ (κεηαβάιινληαη) κέζα ζην δείγκα ηα νλνκάδνπκε κεηαβιεηέο. Μάιηζηα, ζην βαζκφ πνπ νη ηηκέο ηνπο είλαη ηπραίεο, θαινχληαη θαη ηπραίεο κεηαβιεηέο. Μειινληηθά ζα ρξεζηκνπνηνχκε ηνπο φξνπο δεδνκέλα, ηηκέο κεηαβιεηήο θαη ηηκέο κηαο ηπραίαο κεηαβιεηήο, ελλνψληαο ηηο ηηκέο ηνπ ραξαθηεξηζηηθνχ πνπ εμεηάδνπκε. Οη πνζνηηθέο κεηαβιεηέο δηαθξίλνληαη ζε δηαθξηηέο (αζπλερείο) πνπ παίξλνπλ ηηκέο ζε ζπγθεθξηκέλα ζεκεία ελφο θάζκαηνο ηηκψλ (π.ρ. αθέξαηνη αξηζκνί) θαη ζε ζπλερείο νη νπνίεο πεξηιακβάλνπλ νπνηαδήπνηε ηηκή ελφο θάζκαηνο ηηκψλ..0 ςγκένηπυζη ηαηιζηικών ηοισείυν Δμαληιεηηθέο Έξεπλεο Απνγξαθέο (ζπγθέληξσζε πιεξνθνξηψλ απφ φιεο ηηο κνλάδεο ελφο πιεζπζκνχ). Ο ζπληνληζκφο γίλεηαη ζπλήζσο απφ ππνπξγεία, επηκειεηήξηα, δηεζλείο νξγαληζκνχο, ζηαηηζηηθέο ππεξεζίεο. πλερείο Καηαγξαθέο (ζπγθέληξσζε πιεξνθνξηψλ ζε εηδηθά έληππα ή βηβιία ζηα νπνία θαηαρσξνχληαη δηάθνξεο κεηαβνιέο φηαλ απηέο εκθαλίδνληαη. Γηα παξάδεηγκα ζηα ιεμηαξρεία, ππνζεθνθπιαθεία, ηεισλεία, λνζνθνκεία, ζχγρξνλεο επηρεηξήζεηο). Δίδε Γεηγκαηνιεςίαο Σπραία Γεηγκαηνιεςία (απιή ηπραία δεηγκαηνιεςία) πζηεκαηηθή Γεηγκαηνιεςία Γεηγκαηνιεςία θαηά ζηξψκαηα ή ζηξσκαηνπνηεκέλε Γεηγκαηνιεςία θαηά δεζκίδεο (ζπζηνηρίεο) Γεηγκαηνιεςία κεξηδίσλ Γεηγκαηνιεςία ζε πνιιά ζηάδηα Δπηθαλεηαθή Γεηγκαηνιεςία Δπθαηξηαθή Γεηγκαηνιεςία (θαηεπζπλφκελε δεηγκαηνιεςία). θάλμα Γειγμαηολητίαρ και ςζηημαηικό θάλμα ηε δεηγκαηνιεςία επηζπκνχκε ην δείγκα λα είλαη αληηπξνζσπεπηηθφ ηνπ πιεζπζκνχ (κηα κηθξνγξαθία ηνπ πιεζπζκνχ). Αγλνψληαο φκσο ηα ραξαθηεξηζηηθά ηνπ πιεζπζκνχ είλαη αδχλαην λα πξνζδηνξίζνπκε ην αληηπξνζσπεπηηθφ δείγκα θαη λα ην επηιέμνπκε. Απνδεηθλχεηαη φηη φηαλ ε δεηγκαηνιεςία είλαη ηπραία, ηφηε ε πηζαλφηεηα λα πξνθχςεη αληηπξνζσπεπηηθφ δείγκα είλαη κεγαιχηεξε. πκπεξαίλνληαο γηα ηνλ πιεζπζκφ κε βάζε ηηο πιεξνθνξίεο ηνπ δείγκαηνο ζα θάλνπκε αλαπφθεπθηα έλα ζθάικα, ην νπνίν νλνκάδεηαη δεηγκαηνιεπηηθφ ή ζθάικα δεηγκαηνιεςίαο (samplg error). Όηαλ φκσο ε δεηγκαηνιεςία γίλεηαη κε βάζε ηηο αξρέο ηεο πηζαλνζεσξίαο, ην αλακελφκελν ζθάικα δεηγκαηνιεςίαο κπνξεί λα κεηξεζεί. ε νξηζκέλεο πεξηπηψζεηο ηα ζπκπεξάζκαηα καο γηα ηνλ πιεζπζκφ πεξηέρνπλ θαη άιινπ είδνπο ζθάικα, ην νπνίν κπνξεί λα νθείιεηαη ζηελ θαθή κεζνδνινγία ή ζηε κε ηπραηφηεηα ηνπ δείγκαηνο. Έλα ηέηνην ζθάικα νλνκάδεηαη ζπζηεκαηηθφ ή ζθάικα κεξνιεςίαο (systematc or bas error) θαη δε κπνξεί λα κεηξεζεί. 8

Γηο δξρ. αριθμόες εργαζομένων Παξάδεηγκα Οη 00 εξγαδφκελνη ζηε επηρείξεζε ΑΛΦΑ ηαμηλνκήζεθαλ ζηνλ αθφινπζν πίλαθα κε ηα ρξφληα ηεο ζρνιηθήο ηνπο εθπαίδεπζεο Δθπαίδεπζε ζε ρξφληα < 9 9- > Αξηζκφο εξγαδνκέλσλ 8 50 Άζξνηζκα 00 0 0 00 80 60 0 0 0 Ραβδφγξακκα <9 9- > Εκπαίδεσζη ζε τρόνια Παξάδεηγκα Ζ δηαρξνληθή εμέιημε ησλ δεκφζησλ επελδχζεσλ ζηελ πεξίνδν 977-98 Έηνο Γεκφζηεο Δπελδχζεηο (δηο. δξρ.) 50 977 9. 00 978 6.6 979 8. 50 980 95.8 98 98.5 9.8 0 977 978 979 980 98 98 έηνο Ραβδφγξακκα 9

Παξάδεηγκα Καηαλνκή ηνπ Πξνζσπηθνχ αλά Καηεγνξία Καηεγνξία Δξγαδνκέλσλ Αξηζκφο Δξγαδνκέλσλ Πνζνζηφ (%) Τπάιιεινο 80.% Δθπαηδεπφκελνο 58 0.5% Αζθάιεηα 7.7% Πηπρηνχρνο 0 0.5% Πηπρηνχρνο ΜΒΑ 5 7.9% Αλαιπηήο.% Πξντζηάκελνο 6.% ύνολο 90 00.0% 7,9%,%,% 0,5%,7% 0,5%,% Τπάιιεινο Δθπαηδεπφκελνο Αζθάιεηα Πηπρηνχρνο Πηπρηνχρνο κε ΜΒΑ Αλαιπηήο Πξντζηάκελνο Κπθιηθφ δηάγξακκα 0

ςσνόηηηα. ΠΔΡΗΓΡΑΦΗΚΖ ΣΑΣΗΣΗΚΖ. Γπαθική Παπάζηαζη ηυν Γεδομένυν Ζ γξαθηθή παξάζηαζε ηνπ ζπλφινπ ησλ δεδνκέλσλ καο γίλεηαη γηα λα αληηιεθζνχκε θαη λα αλαγλσξίζνπκε ηελ θαηαλνκή ηνπο θαη λα ειέγμνπκε αλ ππάξρνπλ αθξαίεο ηηκέο πνπ κπνξεί λα επεξεάζνπλ ηε ζηαηηζηηθή αλάιπζε. ηελ επνρή ησλ ππνινγηζηψλ είλαη γλσζηφ φηη νπνηαδήπνηε δεδνκέλα είλαη πιαηζησκέλα θαη απφ ηα αληίζηνηρν δηάγξακκα. Ζ θαηαζθεπή ηνπο είλαη γεληθά πνιχ απιή ρξεζηκνπνηψληαο έλα απφ ηα πνιιά ζρεδηαζηηθά πξνγξάκκαηα πνπ θπθινθνξνχλ. Σα πνηνηηθά δεδνκέλα (νλνκαζηηθήο θιίκαθαο) κπνξνχλ λα παξαζηαζνχλ γξαθηθά κε ξαβδνγξάκκαηα ή θπθιηθά δηαγξάκκαηα. Σα πνζνηηθά δεδνκέλα (θιίκαθαο ιφγνπ θαη δηαζηήκαηνο) παξίζηαληαη ζπλήζσο κε ηζηνγξάκκαηα. Οη ηξεηο απηνί ηχπνη δηαγξακκάησλ (ξαβδνγξάκκαηα, θπθιηθά δηαγξάκκαηα θαη ηζηνγξάκκαηα) ζα κειεηεζνχλ δηεμνδηθά ακέζσο πην θάησ. Τπνζέηνπκε φηη ηα δεδνκέλα καο είλαη νκαδνπνηεκέλα έηζη ψζηε λα έρνπκε ηε ζπρλφηεηα εκθάληζεο θάπνηνπ αξηζκνχ ή ραξαθηεξηζηηθνχ (δηαθξηηά δεδνκέλα) ή ηε ζπρλφηεηα εκθάληζεο κέζα ζε κηα ηάμε (ζπλερή δεδνκέλα). Αξθεηέο θνξέο είλαη ρξήζηκν λα εθθξάζνπκε ηηο ζπρλφηεηεο ζε πνζνζηά επί ηνπ ζπλφινπ. Γηα ην ζθνπφ απηφ αξθεί λα δηαηξέζνπκε θάζε ζπρλφηεηα κε ην πιήζνο ησλ δεδνκέλσλ. Σφηε κηιάκε γηα θαηαλνκή ζρεηηθψλ ζπρλνηήησλ ή πνζνζηηαία θαηαλνκή. Γηα παξάδεηγκα έζησ φηη δίλεηαη ν αξηζκφο ησλ παηδηψλ ζε 0 ηπραία επηιεγκέλεο νηθνγέλεηεο: 0 5 0 0 Γηα λα εξκελεχζνπκε ηα δεδνκέλα κε κεγαιχηεξε αθξίβεηα θαη επθνιία, ζπρλά ηα παξνπζηάδνπκε κε ηε κνξθή θαηαλνκήο ζπρλφηεηαο: Αξηζκφο παηδηψλ ζε 0 5 κηα νηθνγέλεηα πρλφηεηα f 5 8 χλνιν = 0 Σα παξαπάλσ κπνξνχλ λα παξαζηαζνχλ ζην εμήο ξαβδφγξακκα: 0 8 6 0 0 5 Απιθμόρ παιδιών

Ζ θαηαλνκή ζρεηηθψλ ζπρλνηήησλ ηνπ πξνεγνχκελνπ παξαδείγκαηνο έρεη σο εμήο: Αξηζκφο παηδηψλ ζε κηα 0 5 νηθνγέλεηα ρεηηθή ζπρλφηεηα f 0. 0.7 0.7 0.7 0.06 0.0 χλνιν = ε πνιιέο πεξηπηψζεηο καο ελδηαθέξεη ην πιήζνο ησλ παξαηεξήζεσλ νη νπνίεο έρνπλ ηηκή κέρξη θαη. ηελ πεξίπησζε απηή αξθεί λα πξνζζέζνπκε ζηε ζπρλφηεηα ηεο ηηο ζπρλφηεηεο φισλ ησλ κηθξφηεξσλ ηεο ηηκψλ. Σν άζξνηζκα πνπ πξνθχπηεη νλνκάδεηαη αζξνηζηηθή ζπρλφηεηα θαη ζπκβνιίδεηαη κε F. Πξνθαλψο ηζρχεη F F f. Ο πίλαθαο πνπ ζε θάζε ηηκή αληηζηνηρεί ηελ αζξνηζηηθή ηεο ζπρλφηεηα νλνκάδεηαη πίλαθαο ή θαηαλνκή αζξνηζηηθψλ ζπρλνηήησλ. Ζ θαηαλνκή αζξνηζηηθψλ ζπρλνηήησλ ηνπ πξνεγνχκελνπ παξαδείγκαηνο έρεη σο εμήο: Αξηζκφο παηδηψλ ζε κηα 0 5 νηθνγέλεηα πρλφηεηα f 5 8 χλνιν = 0 Αζξνηζηηθή ζπρλφηεηα F 8 9 7 9 0 ην επφκελν παξάδεηγκα ζα δνχκε άιιεο κνξθέο δηαγξακκάησλ. Έζησ φηη καο δίλεηαη ν ζπγθξηηηθφο πίλαθαο ησλ πσιήζεσλ ελφο θαηαζηήκαηνο ξνπρηζκνχ, γηα ηα έηε 99, 000 θαη 006: 99 000 006 χλνιν Μπινχδεο 00 50 850 00 Παληειφληα 780 00 50 0 Φνχζηεο 690 850 050 590 Λνηπά Δίδε 90 70 850 980 χλνιν 900 00 900 00 Μπνξνχκε λα πεξηγξάςνπκε ηα παξαπάλσ κε ηνπο ηξεηο παξαθάησ δηαθνξεηηθνχο ηξφπνπο: 00% 90% 80% 70% 60% 50% 0% 0% 0% 0% 0% 90 70 850 690 850 050 780 00 50 00 50 850 99 000 006 ΛΟΘΠΑ ΕΘΔΗ ΦΟΥΣΤΕΣ ΠΑΝΤΕΛΟΝΘΑ ΜΠΛΟΥΖΕΣ

006 000 ΛΟΘΠΑ ΕΘΔΗ ΦΟΥΣΤΕΣ ΠΑΝΤΕΛΟΝΘΑ ΜΠΛΟΥΖΕΣ 99 0 500 000 500 000 000 800 600 00 00 000 800 600 00 00 0 850 50 00 50 00 050 850 850 780 690 70 90 99 000 006 ΜΠΛΟΥΖΕΣ ΠΑΝΤΕΛΟΝΘΑ ΦΟΥΣΤΕΣ ΛΟΘΠΑ ΕΘΔΗ θεθηείηε θαη ζπδεηείζηε κεηαμχ ζαο, ηα πιενλεθηήκαηα ηνπ θάζε δηαγξάκκαηνο. Δίλαη θαλεξφ φηη φηαλ καο δίλεηαη έλαο κεγάινο αξηζκφο απφ πξσηνγελή δεδνκέλα, ηφηε ε απαξίζκεζε απηψλ δελ είλαη δπλαηή ή θαη αλ είλαη δελ έρεη λφεκα. Υξεηάδεηαη ινηπφλ νη ηηκέο απηέο λα ζπγθεληξσζνχλ ζε ηάμεηο (δηαζηήκαηα) πξνθεηκέλνπ ε εηθφλα ηεο θαηαλνκήο ηνπο λα είλαη πην ζπλνπηηθή θαη εχρξεζηε. Έηζη, αλ ζηα δεδνκέλα ππάξρνπλ πνιιέο δηαθνξεηηθέο ηηκέο, ηφηε κπνξνχκε λα δεκηνπξγήζνπκε νκάδεο ή ηάμεηο ηηκψλ θαη ζηε ζπλέρεηα λα νξγαλψζνπκε ηα δεδνκέλα ζε κηα θαηαλνκή ζπρλνηήησλ. Δηδηθφηεξα αο ππνζέζνπκε φηη έρνπκε ζπιιέμεη ην αθφινπζν ζχλνιν δεδνκέλσλ θαη πξέπεη λα ηα ρσξίζνπκε ζε ηνπιάρηζηνλ πέληε ηάμεηο. 55 90 8 70 6 9 5 75 8 99 60 7 8 67 58 75 90 89 5 58 58 69 5 70 8 5 8 6 87 6 69 9 5 66 5 7 60 86 5 7 55 89 56 7 5 78 55 5 6 5 8 50 5 79 5 60 9 58 5 6 55 7 8 69 5 59 50 50 50 50 Αξρηθά νη αξηζκνί δηαηάζζνληαη ζε αχμνπζα ζεηξά. ηε ζπλέρεηα βξίζθνπκε ην εύπορ ησλ κεηξήζεσλ πνπ είλαη ε δηαθνξά αλάκεζα ζηε κεγαιχηεξε θαη ηε κηθξφηεξε κέηξεζε. Δδψ έρνπκε 7 κεηξήζεηο ηεο ππφ εμέηαζε ηπραίαο κεηαβιεηήο. Ο κηθξφηεξνο είλαη ην θαη ν κεγαιχηεξνο ην 99. Σν εχξνο, δειαδή ε απφζηαζε αλάκεζα ζηε κηθξφηεξε θαη ηε κεγαιχηεξε κέηξεζε ηζνχηαη κε 99 65. Καηφπηλ δηαηξνχκε ην εχξνο ησλ κεηξήζεσλ κε

ηνλ αξηζκφ ησλ ηάμεσλ πνπ έρνπκε ζθνπφ λα δεκηνπξγήζνπκε. Σέινο ζηξνγγπινπνηνχκε ηνλ αξηζκφ πνπ βξίζθνπκε, γηα επθνιία ζηνπο ππνινγηζκνχο. ην παξάδεηγκα δηαηξψληαο κε ην 65 κε ην 7, βξίζθνπκε 9.9 θαη επνκέλσο επηιέγνπκε 0 ηάμεηο. Πνιχ ιίγεο ηάμεηο νδεγνχλ ζε απφθξπςε ζεκαληηθψλ ραξαθηεξηζηηθψλ ησλ ζπιιερζέλησλ ζηνηρείσλ ελψ πάξα πνιιέο ηάμεηο δεκηνπξγνχλ ζχγρπζε θαη δπζθνιία ζηνπο ππνινγηζκνχο. Σάμεηο πρλφηεηεο f ρεηηθέο ζπρλφηεηεο f Αζξνηζηηθέο ζπρλφηεηεο F Αζξνηζηηθέο ζρεηηθέο ζπρλφηεηεο 0 θαη θάησ απφ 0 0.0 0.0 0 θαη θάησ απφ 50 0.06 6 0.08 50 θαη θάησ απφ 60 7 0.7 0.6 60 θαη θάησ απφ 70 0.8 6 0.6 70 θαη θάησ απφ 80 0 0. 56 0.78 80 θαη θάησ απφ 90 0.5 67 0.9 90 θαη θάησ απφ 00 5 0.07 7.00 Έλαο ρξήζηκνο εκπεηξηθφο θαλφλαο γηα ην πφζεο ηάμεηο ηειηθά λα ρξεζηκνπνηήζνπκε, δίλεηαη απφ ηε ζρέζε k. log. ην παξαπάλσ παξάδεηγκα, φπνπ ν αξηζκφο ησλ δεδνκέλσλ ηζνχηαη κε 7, ν ελδεδεηγκέλνο αξηζκφο ηάμεσλ είλαη πεξίπνπ k. log 7 7.. Δπνκέλσο ε επηινγή καο γηα 7 ηάμεηο θαίλεηαη θπζηνινγηθή... Ιζηογπάμμαηα Σν ηζηφγξακκα (hstogram) απνηειεί κηα απφ ηηο πην ζεκαληηθέο γξαθηθέο παξαζηάζεηο δεδνκέλσλ. Δίλαη κηα αθνινπζία παξαιιεινγξάκκσλ φζα θαη νη ηάμεηο ηεο θαηαλνκήο. Κάζε παξαιιειφγξακκν έρεη πιάηνο θαη χςνο ίζα κε ην εχξνο θαη ηε ζπρλφηεηα ηεο αληίζηνηρεο ηάμεο. ρεδηάδνληαη φκσο έηζη ψζηε ην εκβαδφλ ηνπο λα είλαη αλάινγν ηεο ζπρλφηεηαο. Ηζηνγξάκκαηα κε ίζα ηαμηθά δηαζηήκαηα Παξάδεηγκα: Σα κήθε 0 δεηγκάησλ πθαζκάησλ κεηξήζεθαλ θαη βξέζεθε λα είλαη: Μήθνο (cm) 0-5 5-0 0-5 5-0 πρλφηεηα 8 7 Αθνχ ην εχξνο ησλ δηαζηεκάησλ είλαη ίζν, ην εκβαδφλ θάζε παξαιιεινγξάκκνπ ζα ηζνχηαη κε ην γηλφκελν ηεο βάζεο πνπ είλαη 5 επί ην χςνο ηνπ θάζε παξαιιεινγξάκκνπ. Αξθεί ινηπφλ λα ζεσξήζνπκε σο χςνο θάζε παξαιιεινγξάκκνπ ηελ αληίζηνηρε ζπρλφηεηα: πρλφηεηα f 0 8 6 0 5 0 5 0 Μήθνο πθάζκαηνο

Ηζηνγξάκκαηα κε άληζα ηαμηθά δηαζηήκαηα Παξάδεηγκα: Σα κήθε 5 δεηγκάησλ πθαζκάησλ κεηξήζεθαλ θαη βξέζεθε λα είλαη: Μήθνο (cm) 6-9 9- -8 8- -0 πρλφηεηα 6 0 ε απηήλ ηελ πεξίπησζε ηα κήθε ησλ δηαζηεκάησλ δελ είλαη ίζα, πξέπεη ινηπφλ ηα χςε ησλ παξαιιεινγξάκκσλ λα πξνζαξκνζηνχλ, έηζη ψζηε ην εκβαδφλ θάζε παξαιιεινγξάκκνπ λα είλαη αλάινγν ηεο ζπρλφηεηαο. Έλαο ηξφπνο λα γίλεη απηφ, είλαη λα ππνινγίζνπκε ηελ Σστνότητα Γιορθωμένη Σστνότητα Δύρος διαστήματος Έηζη θαηαιήγνπκε ζηνλ παξαθάησ πίλαθα: Μήθνο (cm) Δχξνο δηαζηήκαηνο πρλφηεηα Γηνξζσκέλε πρλφηεηα 6-9 6 9-6 0-8 6 0 6 8- -0 9 9 Γηνξζσκέλε πρλφηεηα f 6 9 8 0 Μήθνο πθάζκαηνο Ζ πνιπγσληθή γξακκή ή πνιχγσλν ζπρλνηήησλ (frequecy polygo) είλαη κηα ηεζιαζκέλε γξακκή πνπ απνηειείηαη απφ έλα ζχλνιν επζπγξάκκσλ ηκεκάησλ, θαζέλα απφ ηα νπνία ελψλεη ηα κέζα ησλ επάλσ πιεπξψλ δχν δηαδνρηθψλ παξαιιεινγξάκκσλ ηνπ ηζηνγξάκκαηνο. Σν εκβαδφλ πνπ πεξηθιείεηαη απφ ην πνιχγσλν ζπρλνηήησλ θαη ηνλ άμνλα ησλ δεδνκέλσλ ηζνχηαη θαηά πξνζέγγηζε κε ην εκβαδφλ ηνπ ηζηνγξάκκαηνο. 5

Παξάδεηγκα: Να θαηαζθεπαζηεί ην ηζηφγξακκα θαη ην πνιχγσλν ζπρλνηήησλ ηεο παξαθάησ θαηαλνκήο ζπρλνηήησλ: Απάληεζε: Σάμεηο 0-0 0-50 50-80 80-0 0-0 πρλφηεηα 60 0 60 0 0 Σάμεηο Δχξνο δηαζηήκαηνο πρλφηεηα Γηνξζσκέλε πρλφηεηα 0-0 0 60 60 0 0-50 0 0 0 0 50-80 0 60 60 0 80-0 0 0 0 0 0-0 0 0 0 0 Γηνξζσκέλε πρλφηεηα f 0 0 50 80 0 0 Σάμεηο Παξάδεηγκα: ηνλ παξαθάησ πίλαθα παξνπζηάδεηαη ην κεληαίν εηζφδεκα 0 νηθνγελεηψλ, πνπ επηιέρηεθε ηπραία απφ κηα πεξηνρή. Οηθνγέλεηα Μεληαίν εηζφδεκα ζε Μεληαίν εηζφδεκα ζε Οηθνγέλεηα.00.00.500.00.600.600.00.00 5.600 5.800 6.000 6.000 7.800 7.800 8.000 8.00 9.00 9.500 0.00 0.600 Ο πίλαθαο ζπρλνηήησλ ησλ ηηκψλ ηεο κεηαβιεηήο κεληαίν εηζφδεκα, νκαδνπνηεκέλσλ ζε έμη ηάμεηο, είλαη: 6

πρλφηεηεο ρεηηθέο πρλφηεηεο πρλφηεηεο ρεηηθέο πρλφηεηεο Σάμεηο f F <900 0 0 [900, 00) [00, 00) 5 [00, 500) 6 [500, 700) 5 [700, 900) 8 [900, 00) 0 7 6 5 0 800 000 00 00 600 800 000 00 0,5 0, 0,5 0, 0,5 0, 0,05 0 Δπηζεκαίλνπκε φηη θάζε νξζνγψλην ηνπ ηζηνγξάκκαηνο ζρεδηάδεηαη έηζη, ψζηε, ην εκβαδφλ ηνπ λα ηζνχηαη κε ηε ζπρλφηεηα ηεο αληίζηνηρεο ηάμεο. Δπνκέλσο ην ζπλνιηθφ εκβαδφλ ησλ νξζνγσλίσλ είλαη ίζν κε ην πιήζνο ησλ παξαηεξήζεσλ. Οπνηνδήπνηε ηκήκα απηνχ ηνπ εκβαδνχ κπνξεί λα εθηηκεζεί, δίλνληάο καο ην πνζνζηφ ησλ παξαηεξήζεσλ πνπ βξίζθνληαη κεηαμχ δχν ηηκψλ ηεο κεηαβιεηήο ή αξηζηεξά κηαο ηηκήο ή δεμηά κηαο ηηκήο. Αλ ην πιάηνο ησλ θιάζεσλ είλαη πνιχ κηθξφ ην πνιχγσλν ζπρλνηήησλ παίξλεη κνξθή ιείαο θακπχιεο ε νπνία νλνκάδεηαη θακπχιε ζπρλνηήησλ. 7 6 5 0 800 000 00 00 600 800 000 00 0,5 0, 0,5 0, 0,5 0, 0,05 0 7

.. Γιάγπαμμα Μίζσος-Φύλλος Σν δηάγξακκα Μίζρνπ-Φχιινπ (Stem-ad-Leaf Plot) ή θπιινγξάθεκα είλαη έλαο απιφο αιιά πεξηγξαθηθφο ηξφπνο παξνπζίαζεο ησλ δεδνκέλσλ κε ηξφπν πνπ λα ππνδειψλεη ηελ θαηαλνκή ηνπο. Σν πιενλέθηεκα ηνπ θπιινγξαθήκαηνο είλαη Γηα λα δεκηνπξγήζνπκε ην Γηάγξακκα Μίζρνπ-Φχιινπ ρσξίδνπκε θαηαξρήλ θάζε παξαηήξεζε ζε δχν κέξε, ην κίζρν θαη ην θχιιν. ηε ζπλέρεηα θάλνπκε κηα θαηαθφξπθε γξακκή θαη αξηζηεξά ηεο ηνπνζεηνχκε ηηο ηηκέο ησλ κίζρσλ ηηο νπνίεο θαηαηάζζνπκε θαηά αχμνπζα ηάμε κεγέζνπο θαη δεμηά ηεο ηα αληίζηνηρα θχιια. εκεηψλεηαη φηη ε επηινγή ηνπ θχιινπ θαη ηνπ κίζρνπ γίλεηαη έηζη ψζηε ηα δεδνκέλα λα παξνπζηάδνληαη κε ηνλ θαιχηεξν δπλαηφ ηξφπν. Αο ππνζέζνπκε φηη ζέινπκε λα θαηαζθεπάζνπκε ην δηάγξακκα Μίζρνπ-Φχιινπ γηα ηα παξαθάησ δεδνκέλα: 9 9 9 0 9 6 8 6 9 0 7 5 7 6 7 9 0 9 9 0 0 Υσξίδνπκε θάζε παξαηήξεζε ζε δχν κέξε ην κίζρν θαη ην θχιιν. ηελ πξνθεηκέλε πεξίπησζε κίζρνο είλαη ην ςεθίν ησλ δεθάδσλ θαη θχιιν ην ςεθίν ησλ κνλάδσλ. Υαξάζζνπκε κηα θαηαθφξπθε γξακκή θαη αξηζηεξά ηεο ηνπνζεηνχκε ηνπο κίζρνπο θαη δεμηά ηεο ηα αληίζηνηρα θχιια (ζε αχμνπζα ζεηξά). Γηα θαιχηεξε δηαρείξηζε ησλ δεδνκέλσλ ζεσξνχκε ηα δεδνκέλα δηαηεηαγκέλα ζε 6 ηάμεηο, ηηο εμήο: - -5 6-7 8-9 0- - Έηζη θαηαιήγνπκε ζην αθφινπζν δηάγξακκα: 5 6 6 6 7 7 7 8 9 9 9 9 9 9 9 9 0 0 0 0 0 Κιεηδί: ζεκαίλεη Παξαηεξνχκε φηη ε ρξήζε ηνπ «θιεηδηνχ» είλαη απαξαίηεηε δηφηη καο δίλεη ηελ πξαγκαηηθή εηθφλα ησλ δεδνκέλσλ, θάηη δελ είλαη πάληα πξνθαλέο, φπσο ζα δνχκε ζηα παξαθάησ παξαδείγκαηα. Παξάδεηγκα: Να ζρεδηαζηεί ην δηάγξακκα κίζρνπ-θαη-θχιινπ γηα ηνπο παξαθάησ βαζκνχο ησλ 0 θνηηεηψλ ζηηο δχν πξνφδνπο ηνπ καζήκαηνο Μάξθεηηλγθ. Καηφπηλ λα ζρνιηάζεηε ηα απνηειέζκαηα. Πξφνδνο Πξφνδνο (Οη βαζκνί είλαη ζηελ θιίκαθα 0-00) 75 69 58 58 6 50 5 78 8 6 6 5 5 66 7 57 5 58 68 77 8 85 56 65 65 79 7 8 7 6 69 7 79 8

Απάληεζε: Πξφνδνο Πξφνδνο 8 7 6 5 8 8 7 0 5 6 8 9 6 6 5 5 8 9 8 5 7 7 9 9 8 5 Κιεηδί (Πξφνδνο ): 8 5 ζεκαίλεη 58 Κιεηδί (Πξφνδνο ): 6 ζεκαίλεη 6 Απφ ην δηάγξακκα παξαηεξνχκε φηη ε ηάμε πήγε θαιχηεξα ζηελ πξφνδν φπνπ θαη ππάξρνπλ πςειφηεξνη βαζκνί. Παξάδεηγκα: Γίλνληαη νη εβδνκαδηαίεο πσιήζεηο (ζε ), ελφο θαηαζηήκαηνο ξνχρσλ ζηε δηάξθεηα 0 εβδνκάδσλ. Να ζρεδηάζεηε ην δηάγξακκα κίζρνπ-θχιινπ. 976 7 69 56 76 5 06 87 759 76 0 00 06 67 97 86 0 89 8 67 95 90 56 6 5 99 77 Απάληεζε: Αξρηθά ζηξνγγπινπνηνχκε ηα δεδνκέλα ζηελ θνληηλφηεξε δεθάδα. Έηζη θαηαιήγνπκε ζηνλ παξαθάησ πίλαθα: 980 70 70 60 80 50 00 80 0 760 70 0 0 00 0 060 70 90 850 00 90 80 70 500 90 560 0 50 00 80 Απνθφβνληαο ην ηειεπηαίν ςεθίν πνπ είλαη πάληα 0, θαηαιήγνπκε ζην αθφινπζν θπιινγξάθεκα: 7 8 9 8 0 6 7 9 5 5 8 8 0 7 7 8 6 5 0 6 6 7 6 8 5 Κιεηδί: ζεκαίλεη 0 9

.. Κςκλικά Γιαγπάμμαηα Σα θπθιηθά δηαγξάκκαηα (crcular ή pe dagrams) ρξεζηκνπνηνχληαη κφλν φηαλ νη ηηκέο ηεο κεηαβιεηήο έρνπλ έλα ζηαζεξφ άζξνηζκα (ζπλήζσο 00%, φηαλ κηιάκε γηα ζρεηηθέο ζπρλφηεηεο). Δίλαη ρξήζηκα κφλν φηαλ ππάξρνπλ απνθιίζεηο ζηηο ζπρλφηεηεο ηεο κεηαβιεηήο απφ ηε κία θαηεγνξία ζηελ άιιε. Έλα θπθιηθφ δηάγξακκα κε 7 θαηεγνξίεο πνπ έρνπλ ηελ ίδηα ζπρλφηεηα δε καο είλαη ρξήζηκν. Ο αξηζκφο ησλ θαηεγνξηψλ δε ζα πξέπεη λα είλαη πνιχ κεγάινο. ηα θπθιηθά δηαγξάκκαηα νη ζπρλφηεηεο παξηζηάλνληαη κε θπθιηθνχο ηνκείο, φπνπ ην εκβαδφ θάζε ηνκέα είλαη αλάινγν ηεο ζπρλφηεηαο. Παξάδεηγκα: Οη πσιήζεηο ζε είδε ξνπρηζκνχ ελφο θαηαζηήκαηνο θαηαγξάθεθαλ κηα ζπγθεθξηκέλε εβδνκάδα ηνπ πξνεγνχκελνπ ρξφλνπ, ζε ηεκάρηα σο εμήο: Ζκέξεο Γεπηέξα Σξίηε Σεηάξηε Πέκπηε Παξαζθεπή άββαην Σεκάρηα 0 5 0 5 0 5 Θα απεηθνλίζνπκε απηή ηελ πιεξνθνξία ζε έλα θπθιηθφ δηάγξακκα. Γεπηέξα άββαην % % Γεπηέξα Σξίηε Σξίηε 0% Σεηάξηε Σεηάξηε Πέκπηε 7% Παξαζθεπή Παξαζθεπή % Πέκπηε % άββαην Σα παξαπάλσ δηάγξακκα, θαηαζθεπάζηεθε ζην Ecel. Πξαθηηθά απηφ πνπ ρξεηαδφκαζηε είλαη νη επίθεληξεο γσλίεο πνπ θαζνξίδνπλ ην εκβαδφ θάζε ηνκέα. Σν ζχλνιν ησλ ηεκαρίσλ 0 είλαη 0 5 0 5 0 5 5, πνπ αληηζηνηρνχλ ζε επίθεληξε γσλία 60. ηε ζπλέρεηα κε απιή αλαγσγή εληνπίδνπκε ηηο επηκέξνπο γσλίεο γηα θάζε ηνκέα. Γειαδή: Γεπηέξα: 0 5 60 0 9.66 Σξίηε: 5 5 60 0 7. Σεηάξηε: 0 5 60 0.8 Πέκπηε: 5 5 60 0 86.90 Παξαζθεπή: 0 5 60 0 7.8 άββαην: 5 5 60 0 86.90 Υξεηάδεηαη πξνζνρή ζηελ παξνπζίαζε φηαλ ζπγθξίλνπκε δχν ή πεξηζζφηεξα ζχλνια νκνεηδψλ δεδνκέλσλ, φπσο θαίλεηαη ζην παξαθάησ παξάδεηγκα. 0

Παξάδεηγκα: ην πξνεγνχκελν παξάδεηγκα, ππνζέηνπκε φηη ππάξρεη θαη δεχηεξν θαηάζηεκα ξνχρσλ θαη επηζπκνχκε λα αληηπαξαβάιινπκε ηηο πσιήζεηο ζε δχν θπθιηθά δηαγξάκκαηα. Έηζη έρνπκε: Καηάζηεκα Α: Ζκέξεο Γεπηέξα Σξίηε Σεηάξηε Πέκπηε Παξαζθεπή άββαην Σεκάρηα 0 5 0 5 0 5 Καηάζηεκα Β: Ζκέξεο Γεπηέξα Σξίηε Σεηάξηε Πέκπηε Παξαζθεπή άββαην Σεκάρηα 0 9 8 5 60 5 Σν ζχλνιν ησλ ηεκαρίσλ ζην θαηάζηεκα Α είλαη 5, ελψ ζην θαηάζηεκα Β είλαη 0 9 8 5 60 5 0. Ζ δηαθνξά απηή πξέπεη λα απεηθνλίδεηαη ζην κέγεζνο (εκβαδφλ) ησλ θχθισλ. Αλ ππνζέζνπκε φηη ν θχθινο ηνπ θαηαζηήκαηνο Α έρεη αθηίλα ίζε κε, ηφηε επεηδή ην εκβαδφλ θχθινπ αθηίλαο r, είλαη πr, ε αθηίλα ηνπ θχθινπ ηνπ πr 0 0 0 θαηαζηήκαηνο Β ζα είλαη: r r π 5 5 5. Άξα ε ηειηθή εηθφλα ζα είλαη: Καηάζηεκα Α: Γεπηέξα άββαην % % Γεπηέξα Σξίηε Σξίηε 0% Σεηάξηε Σεηάξηε Πέκπηε 7% Παξαζθεπή % Πέκπηε % Παξαζθεπή άββαην Καηάζηεκα Β: άββαην % Παξαζθεπή 6% Γεπηέξα 5% Σξίηε 9% Σεηάξηε % Πέκπηε % Γεπηέξα Σξίηε Σεηάξηε Πέκπηε Παξαζθεπή άββαην

. ηαηιζηικέρ ζςναπηήζειρ Υαπακηηπιζηικά Γείγμαηορ Έλα ηπραίν δείγκα αλακέλεηαη λα είλαη αληηπξνζσπεπηηθφ ηνπ γελλήηνξα πιεζπζκνχ ππφ ηελ έλλνηα φηη νη ραξαθηεξηζηηθέο ηηκέο (παξάκεηξνη) ηεο θαηαλνκήο ηνπ πιεζπζκνχ ζα αληαλαθιψληαη ζηηο αληίζηνηρεο ηππηθέο ηηκέο ζπλαξηήζεηο ηνπ δείγκαηνο. Μία ζπλάξηεζε ηνπ δείγκαηνο,,...,, (ρσξίο άγλσζηεο παξακέηξνπο) θαιείηαη ζηαηηζηηθή ζπλάξηεζε ή δεηγκαηνζπλάξηεζε. Σα κέηξα πνπ ρξεζηκνπνηνχληαη δηαθξίλνληαη ζε κέηξα ζέζεο θαη θεληξηθήο ηάζεο, δηαζπνξάο θαη αζπκκεηξίαο... Μέηπα θέζηρ και κενηπικήρ ηάζηρ Θα κειεηήζνπκε ηα πην ζεκαληηθά απφ ηα κέηξα ζέζεο θαη θεληξηθήο ηάζεο (measures of locato ad cetral tedecy), πνπ είλαη ν αξηζκεηηθφο κέζνο, ε δηάκεζνο κε ηα ηεηαξηεκφξηα θαη ηα πνζνζηηαία ζεκεία θαη ε επηθξαηνχζα ηηκή. Άιια κέηξα ζέζεο απνηεινχλ ν γεσκεηξηθφο κέζνο θαη ν αξκνληθφο κέζνο, πνπ φκσο δελ αλαιχνληαη ζηηο ζεκεηψζεηο απηέο.... Απιθμηηικόρ Μέζορ Ο αξηζκεηηθφο κέζνο (δεηγκαηηθφο κέζνο, κέζνο φξνο, κέζε ηηκή, κέζνο, mea)ησλ παξαηεξήζεσλ,,..., ζπκβνιίδεηαη κε θαη νξίδεηαη σο εμήο:...,,,..., Παξάδεηγκα: Να ππνινγηζηεί ν αξηζκεηηθφο κέζνο ησλ 6, 65, 67, 68, 69. 5 Απάληεζε: Δίλαη 5, 5 6 65 67 68 69 θαη 66. 5 5 Όηαλ νη ηηκέο,..., ζρέζε ηνπ κέζνπ ζα πάξνπκε, εκθαλίδνληαη κε ζπρλφηεηεο, f, f,..., f k αληίζηνηρα, ηφηε ζηε f θνξέο ηελ αληίζηνηρε ηηκή. Γειαδή έρνπκε: f f f f f k k f k k k f f Παξάδεηγκα: ε κηα ζπγθεθξηκέλε δηαδηθαζία παξαγσγήο, κηα κεραλή εξγάδεηαη κε ξπζκφ 00 ζηξνθέο αλά ιεπηφ γηα 0 m, θαηφπηλ ζηηο 00 ζηξνθέο αλά ιεπηφ γηα 0 m θαη ηέινο ζηηο 500 ζηξνθέο αλά ιεπηφ γηα 0 m. Να ππνινγηζηεί ε κέζε ηαρχηεηα ηεο κεραλήο ζε ζηξνθέο αλά ιεπηφ (rev/m). ηξνθέο αλά ιεπηφ () 00 00 500 πρλφηεηα (f) 0 0 0 Απάληεζε:

k f f 00 0 000 00 0 6000 500 0 5000 f 000 8. rev/m. k 60 f f 60 f 000 ηελ πεξίπησζε πνπ έρνπκε νκαδνπνηεκέλα δεδνκέλα ζε ηάμεηο θαη δελ γλσξίδνπκε ηηο αθξηβείο ηηκέο ηνπο, κπνξνχκε λα δψζνπκε κηα εθηίκεζε ηνπ αξηζκεηηθνχ κέζνπ, παίξλνληαο σο ραξαθηεξηζηηθφ ζεκείν ηνπ δηαζηήκαηνο ην κέζν ηνπ. Παξάδεηγκα: Σα κήθε 0 δεηγκάησλ πθαζκάησλ κεηξήζεθαλ θαηά πξνζέγγηζε εθαηνζηνχ θαη βξέζεθε λα είλαη: Μήθνο (cm) -8 9- -8 9- -8 9- πρλφηεηα 7 8 5 Να ππνινγηζηεί ην κέζν κήθνο πθάζκαηνο. Απάληεζε: Σάμεηο Κεληξηθή ηηκή πρλφηεηα, f f -8 6 9- -8 6 7 9-9 -8 6 8 08 9-5 55 k f 85 0.6 cm k 0 f f 0 f 85

Ηδηφηεηεο αξηζκεηηθνχ κέζνπ Έζησ φηη έρνπκε παξαηεξήζεηο, (α) m ma (β) νη παξαηεξήζεηο,,...,,, κε αξηζκεηηθφ κέζν.,,..., y λ, λ R, έρνπλ αξηζκεηηθφ κέζν y λ. Γειαδή, αλ νη παξαηεξήζεηο,,, κέζνο ηνπο ζα πνιιαπιαζηαζζεί κε ηελ ίδηα πνζφηεηα. (γ) νη παξαηεξήζεηο πνιιαπιαζηαζζνχλ κε ηελ ίδηα πνζφηεηα λ, ηφηε ν αξηζκεηηθφο y λ, λ R, έρνπλ αξηζκεηηθφ κέζν y λ. Γειαδή, αλ ζηηο παξαηεξήζεηο,,, ν αξηζκεηηθφο κέζνο ηνπο ζα απμεζεί (ή ζα κεησζεί) θαηά ηελ ίδηα πνζφηεηα. πξνζζέζνπκε κηα ζηαζεξή πνζφηεηα λ (ζεηηθή ή αξλεηηθή), ηφηε (δ) 0, ην άζξνηζκα ησλ απνζηάζεσλ (απνθιίζεσλ) ησλ παξαηεξήζεσλ,,, απφ ηε κέζε ηηκή ηνπο, είλαη 0. Γειαδή, ε κέζε ηηκή είλαη ην ζεκείν ηζνξξνπίαο ηεο θαηαλνκήο ησλ δεδνκέλσλ. (ε) ( ) ( λ) γηα θάζε λ R. Γειαδή, ην άζξνηζκα ησλ ηεηξαγψλσλ ησλ απνθιίζεσλ ησλ παξαηεξήζεσλ,,, απφ ηε κέζε ηηκή ηνπο, είλαη κηθξφηεξν απφ ην άζξνηζκα ησλ ηεηξαγψλσλ ησλ απνθιίζεψλ ηνπο απφ νπνηαδήπνηε άιιε ηηκή λ. Ή αιιηψο, ην άζξνηζκα ( λ) γίλεηαη ειάρηζην αλ θαη κφλν αλ λ. (ζη) αλ παξαηεξήζεηο έρνπλ αξηζκεηηθφ κέζν θαη άιιεο παξαηεξήζεηο έρνπλ αξηζκεηηθφ κέζν, ηφηε ν αξηζκεηηθφο κέζνο ησλ παξαηεξήζεσλ ηζνχηαη κε: Απφ ηνλ νξηζκφ ηεο κέζεο ηηκήο, είλαη θαλεξφ φηη αλ νη ηηκέο,,, είλαη φιεο κεηαμχ ηνπο ίζεο, ζα είλαη ίζεο κε ηε κέζε ηηκή ηνπο. Φαίλεηαη, δειαδή, φηη κε ηε κέζε ηηκή επηδηψθεηαη λα νξηζζεί έλαο «ηππηθφο εθπξφζσπνο» ησλ παξαηεξήζεσλ. Σν γεγνλφο, φκσο, φηη ζηνλ ππνινγηζκφ ηεο ζπκκεηέρεη ην άζξνηζκα φισλ ησλ παξαηεξήζεσλ, ηελ θαζηζηά επαίζζεηε ζε αθξαίεο-έθηξνπεο (outlyg ή uusual) παξαηεξήζεηο. Καηά ζπλέπεηα, ε κέζε ηηκή απνθξχπηεη (απφ ηνλ αλππνςίαζην) ηηο έθηξνπεο παξαηεξήζεηο. Γειαδή, φηαλ ππάξρνπλ έθηξνπεο παξαηεξήζεηο, ε κέζε ηηκή δίλεη παξαπιαλεηηθή εηθφλα αλ ζεσξεζεί «ηππηθφο εθπξφζσπνο» ησλ παξαηεξήζεσλ. Βέβαηα, αλ πάξνπκε ηηο δηαθνξέο ησλ παξαηεξήζεσλ απφ ηε κέζε ηηκή ηνπο, νη αθξαίεο ηηκέο απνθαιχπηνληαη. Παξάδεηγκα: Ο ηδηνθηήηεο κηαο κηθξήο επηρείξεζεο πνπ απαζρνιεί πέληε εξγαδνκέλνπο ηζρπξίζζεθε ζε δεκνζηνγξάθν ηνπηθήο εθεκεξίδαο φηη νη εξγαδφκελνη ζηελ επηρείξεζή ηνπ είλαη πνιχ θαιά ακεηβφκελνη αθνχ ν κέζνο κηζζφο ηνπο είλαη.000. Ο «ππνςηαζκέλνο» δεκνζηνγξάθνο εξεχλεζε ιεπηνκεξέζηεξα ην ζέκα θαη βξήθε φηη νη κηζζνί ησλ εξγαδνκέλσλ ήηαλ 00, 00, 500, 700 θαη 8.000 αληίζηνηρα!... πλνπηηθά, ε κέζε ηηκή είλαη απφ ηα πην ζεκαληηθά κέηξα ζέζεο, δηφηη είλαη κνλαδηθή γηα θάζε ζχλνιν δεδνκέλσλ, εχθνια θαηαλνεηή, ν ππνινγηζκφο ηεο είλαη ζρεηηθά εχθνινο θαη γηα ηνλ ππνινγηζκφ ηεο ρξεζηκνπνηνχληαη φιεο νη ηηκέο. Πην ζεκαληηθφ φκσο είλαη φηη αμηνπνηείηαη ζηε ζηαηηζηηθή ζπκπεξαζκαηνινγία θαη απνηειεί ζεκαληηθφ εθηηκεηή. ηα κεηνλεθηήκαηα ζεκεηψλνπκε φηη επεξεάδεηαη πνιχ απφ αθξαίεο ηηκέο θαη δελ ππνινγίδεηαη γηα πνηνηηθά δεδνκέλα.

... Γιάμεζορ- Σεηαπηημόπια Ποζοζηιαία ημεία Θεσξνχκε έλα δηαηεηαγκέλν δείγκα,...,,, θαηά αχμνπζα ηάμε κεγέζνπο. Έρνπκε, δειαδή,.... Σφηε ε δηάκεζνο (meda) πνπ ζπκβνιίδεηαη κε ή Q θαη νλνκάδεηαη θαη δηρνηφκνο ή δεχηεξν ηεηαξηεκφξην (secod quartle), νξίδεηαη σο ε κεζαία ηηκή ηεο θαηαλνκήο, δειαδή ε παξαηήξεζε πνπ βξίζθεηαη ζηε ζέζε. Απφ ηνλ νξηζκφ ζπκπεξαίλνπκε φηη αλ: πεξηηηφο, ηφηε ππάξρεη κεζαία ηηκή, ε θαη είλαη ε δηάκεζνο Q άξηηνο, ηφηε ππάξρνπλ δχν κεζαίεο ηηκέο, νη Άξα: Q θαη, θαη ε δηάκεζνο είλαη ( ),, πεξηηηφο άξηηνο Tν πξψην ηεηαξηεκφξην Q είλαη ε παξαηήξεζε πνπ βξίζθεηαη ζηε ζέζε, ελψ ην ( ) ηξίην ηεηαξηεκφξην Q είλαη ε παξαηήξεζε πνπ βξίζθεηαη ζηε ζέζε. Όηαλ ν αξηζκφο δελ είλαη αθέξαην πνιιαπιάζην ηνπ, ηα Q θαη Q πξνζδηνξίδνληαη κε ηε κέζνδν ηεο παξεκβνιήο. Γηα παξάδεηγκα, αο ππνζέζνπκε φηη θαη επνκέλσο. Σφηε. 5 θαη ην πξψην ηεηαξηεκφξην είλαη ν αξηζκφο πνπ βξίζθεηαη κεηαμχ ηεο εο θαη εο παξαηήξεζεο θαη ζε απφζηαζε 0. 5 απφ ηελ ε ( ) 9 παξαηήξεζε. Παξφκνηα, 9 9. 75, ην δε ηξίην ηεηαξηεκφξην είλαη ν αξηζκφο πνπ βξίζθεηαη κεηαμχ ηεο 9 εο θαη 0 εο παξαηήξεζεο θαη ζε απφζηαζε 0. 75 απφ ηελ 9 ε παξαηήξεζε. ηα πιενλεθηήκαηα ηεο δηακέζνπ θαηαρσξνχληαη φηη είλαη εχθνια θαηαλνεηή θαη δελ επεξεάδεηαη απφ αθξαίεο ηηκέο. Δπίζεο, ν ππνινγηζκφο ηεο είλαη απιφο ελψ είλαη κνλαδηθή ζε θάζε ζχλνιν δεδνκέλσλ. Απφ ηελ άιιε κεξηά, είλαη δχζθνιε ε αμηνπνίεζή ηεο ζηε ζηαηηζηηθή ζπκπεξαζκαηνινγία θαη γηα ηνλ ππνινγηζκφ ηεο ρξεηάδεηαη ζπρλά παξεκβνιή. Παξάδεηγκα: Να βξεζνχλ: ε δηάκεζνο, ην πξψην ηεηαξηεκφξην θαη ην ηξίην ηεηαξηεκφξην ζηα παξαθάησ ζχλνια δεδνκέλσλ: (α) 7, 7,,,,, 7, 9, (β) 6,, 7,, 9, 8, 9, 5

Απάληεζε: (α) Σαμηλνκνχκε ηα δεδνκέλα ζε αχμνπζα ζεηξά,,,, 7, 7, 7, 9, θαη επεηδή 9, 9 9 ( ) (9 ) έρνπκε φηη 5,. 5 θαη 7. 5. Δπνκέλσο Q 7, Q (0.5). 5 θαη Q 7 (0.5) 8 7 7. 5. (β) Σαμηλνκνχκε ηα δεδνκέλα ζε αχμνπζα ζεηξά 7, 9,, 6, 8, 9,, θαη επεηδή 8 8 ( ) (8 ) 8, έρνπκε φηη. 5,. 5 θαη 6. 75. Δπνκέλσο Q 9 (0.5) 9 9. 75 Q 6 8 7 Q 9 (0.75) 9 0.5. Παξάδεηγκα: Οη βαζκνί 00 καζεηψλ ζε έλα δηαγψληζκα ηαηηζηηθήο, πνπ βαζκνινγήζεθε κε άξηζηα ην 0, ζπλνςίδνληαη ζηνλ παξαθάησ πίλαθα: Βαζκφο 9 0 5 6 7 8 9 Αξηζκφο καζεηψλ 5 8 9 0 Να ππνινγηζηνχλ: ε δηάκεζνο, ην πξψην ηεηαξηεκφξην θαη ην ηξίην ηεηαξηεκφξην. Απάληεζε: Δπεηδή 00, ε δηάκεζνο ηζνχηαη κε ην εκηάζξνηζκα ηεο 50 εο θαη 5 εο παξαηήξεζεο. Απφ ηνλ πίλαθα ηεο αζξνηζηηθήο ζπρλφηεηαο Βαζκφο 9 0 5 6 Αζξνηζηηθή ζπρλφηεηα 5 0 8 50 7 Βιέπνπκε φηη ε 50 ε παξαηήξεζε είλαη 5 θαη ε 5 ε παξαηήξεζε είλαη 6. Δπνκέλσο ε δηάκεζνο είλαη Q 5 6 5. 5. Δπεηδή έρνπκε 00 0 00 δεδνκέλα, 5. 5 θαη επνκέλσο ην πξψην ηεηαξηεκφξην είλαη Q (0.5)( ), κηαο θαη νη παξαηεξήζεηο ζηηο ζέζεηο 5 θαη 6 έρνπλ ηηκή. Με ηνλ ίδην ηξφπν βξίζθνπκε φηη ( ) (00 ) 0 75. 75 θαη ην ηξίην ηεηαξηεκφξην είλαη Q 7 (0.75)(7 7) 7, κηαο θαη νη παξαηεξήζεηο ζηηο ζέζεηο 75 θαη 76 έρνπλ ηηκή 7. 6

Παξάδεηγκα: ηνλ παξαθάησ πίλαθα δίλνληαη νη εηήζηεο απνδφζεηο 8 ακνηβαίσλ θεθαιαίσλ πνπ δηέζεζε κηα ηξάπεδα ηελ ρξνληά ηνπ 006: 6.% 9.8%.%.8% %.6% 5.5%.6% Να ππνινγηζηνχλ: ε δηάκεζνο, ην πξψην ηεηαξηεκφξην θαη ην ηξίην ηεηαξηεκφξην. Απάληεζε: Αξρηθά ηνπνζεηνχκε ηα 8 δεδνκέλα ζε αχμνπζα ζεηξά: 9.8%,.8%, %,.6%,.%, 5.5%, 6.%,.6%.6. 7.9 Ζ δηάκεζνο είλαη ν κέζνο εο θαη 5 εο παξαηήξεζεο, δει. Q.95% 8 9 Δπεηδή έρνπκε 8 δεδνκέλα,. 5 ηεηαξηεκφξην είλαη Q.8 (0.5) (.8) 7.5%. θαη επνκέλσο ην πξψην ( ) (8 ) 7 Με ηνλ ίδην ηξφπν βξίζθνπκε φηη 6. 75 θαη ην ηξίην ηεηαξηεκφξην είλαη Q 5.5 (0.75) 6. 5.5.60%. Γηα ηελ εχξεζε ηεο δηακέζνπ νκαδνπνηεκέλσλ παξαηεξήζεσλ εξγαδφκαζηε σο εμήο: Ζ δηάκεζνο αλήθεη ζηελ πξψηε ηάμε ηεο νπνίαο ε αζξνηζηηθή ζπρλφηεηα είλαη ίζε ή κεγαιχηεξε απφ. Τπνζέηνληαο φηη νη f ηηκέο ηεο ηάμεο απηήο θαηαλέκνληαη νκνηφκνξθα, ε δηάκεζνο c ππνινγίδεηαη απφ ηε ζρέζε Q L F f φπνπ L ην θαηψηεξν φξην ηεο ηάμεο πνπ πεξηιακβάλεη ηε δηάκεζν c ην εχξνο ηεο ηάμεο πνπ πεξηιακβάλεη ηε δηάκεζν. f ε ζπρλφηεηα ηεο ηάμεο πνπ πεξηιακβάλεη ηε δηάκεζν F ε αζξνηζηηθή ζπρλφηεηα ησλ ηάμεσλ πνπ βξίζθνληαη πξηλ απφ ηελ ηάμε ηεο δηακέζνπ. Γηα ην πξψην θαη ηξίην ηεηαξηεκφξηα, πνπ είλαη νη παξαηεξήζεηο, θάησ απφ ηηο νπνίεο βξίζθεηαη ην 5% θαη 75% ησλ παξαηεξήζεσλ αληίζηνηρα, ηζρχνπλ ηα παξαθάησ: c Q L F Q L F f f c 7

Γεληθά, ζεκεηψλνπκε φηη ηα ηεηαξηεκφξηα Q k κε k,, ρσξίδνπλ ηελ θαηαλνκή ζπρλνηήησλ ζε ίζα κέξε θαη δίλνληαη απφ ηε ζρέζε Q k L c f k Κιείλνληαο, ζα νξίζνπκε ηα πνζνζηηαία ζεκεία ή πνζνζηεκφξηα ηνπ δείγκαηνο, ηα νπνία ζπκβνιίδνπκε κε p. Απνηεινχλ γελίθεπζε ηεο δηακέζνπ θαη δίλνπλ αλαιπηηθφηεξε πεξηγξαθή ηεο ζέζεο ηεο θαηαλνκήο ησλ παξαηεξήζεσλ. Σν πνζνζηεκφξην p είλαη ην ζεκείν ηεο θαηαλνκήο γηα ην νπνίν ην α% ησλ παξαηεξήζεσλ είλαη κηθξφηεξεο ή ίζεο απφ απηφ θαη ην ππφινηπν (-α)% ησλ παξαηεξήζεσλ είλαη κεγαιχηεξεο ή ίζεο απφ απηφ. Δηδηθφηεξα έρνπκε: Δθαηνζηεκφξηα (percetles) p, p,..., p99 Γεθαηεκφξηα (decles) αλ p 0, p0,..., p90 Σεηαξηεκφξηα (quartles) p 5 Q, p 50 Q, p 75 Q F Παξάδεηγκα: Ζ θαηαλνκή ζπρλνηήησλ ησλ παξαηεξήζεσλ ηνπ βάξνπο γελλήζεσλ 60 βξεθψλ δίλεηαη ζηνλ πίλαθα πνπ αθνινπζεί. Να πξνζδηνξίζεηε ηα ηεηαξηεκφξηα ησλ παξαηεξήζεσλ απηψλ. Σάμεηο f F 00-800 800-00 6 8 00-600 5 600-000 9 000-00 00-800 6 800-00 8 5 00-600 6 60 Άζξνηζκα 60 Απάληεζε: Ζ πξψηε ηάμε ζηελ νπνία ε αζξνηζηηθή ζπρλφηεηα είλαη κεγαιχηεξε απφ 0 είλαη ε ηάμε [ 000 00 ]. Δπνκέλσο L 000, c 00, f θαη F. Αληηθαζηζηψληαο ηηο ηηκέο απηέο έρνπκε c Q L F 000 f έρνπλ βάξνο κέρξη 90. 9 gr. 00 0 Αληίζηνηρα γηα ηα άιια ηεηαξηεκφξηα βξίζθνπκε: Q L c F f 600 00 9 5 90.9, δειαδή ηα κηζά απφ ηα 60 βξέθε 688.88 Q L c F f 800 00 8 5 850 8

Παξάδεηγκα: ηνλ παξαθάησ πίλαθα ζπρλνηήησλ δίλεηαη ε θαηαλνκή ηεο βαζκνινγίαο 50 θνηηεηξηψλ ηνπ ηκήκαηνο ΠΔ ζε κηα εξγαζία πνπ βαζκνινγήζεθε κε άξηζηα ην 0. Να βξεζνχλ ηα ηξία ηεηαξηεκφξηα. Αλ ζην 5% ησλ θνηηεηξηψλ κε ηελ πςειφηεξε βαζκνινγία δνζεί ππνηξνθία, ηη βαζκφ πξέπεη λα έρεη κηα θνηηήηξηα γηα λα πάξεη ππνηξνθία; Σάμεηο f F [0 ) 5 5 [ ) 0 5 [ 6) 0 5 [6 8) 0 5 [8 0) 5 50 Απάληεζε: χκθσλα κε ηα παξαπάλσ έρνπκε: Q L c F f 0.5 5.5 Q L c F f 0 5 5 5 Q L c F f 6 0 7.5 5 Σν δεηνχκελν είλαη ην πνζνζηεκφξην είλαη ην p L c 0.95 F 95 f 8 5 7.5 5 6.5 9... Δπικπαηούζα ηιμή Ζ επηθξαηνχζα ηηκή (θνξπθή, ηχπνο, mode) είλαη ε ηηκή πνπ εκθαλίδεηαη πην ζπρλά ζε έλα ζχλνιν δεδνκέλσλ, δειαδή ε ηηκή κε ηε κεγαιχηεξε ζπρλφηεηα θαη ζπκβνιίδεηαη κε T. Μπνξεί λα κελ ππάξρεη, αιιά θαη φηαλ ππάξρεη δελ είλαη απαξαίηεην λα είλαη κνλαδηθή. ηα πιενλεθηήκαηα ηεο θαηαρσξνχληαη φηη ππνινγίδεηαη εχθνια θαη απφ ειιηπή δεδνκέλα, είλαη εχθνια θαηαλνεηή, δελ επεξεάδεηαη απφ αθξαίεο ηηκέο θαη ππνινγίδεηαη θαη γηα πνηνηηθά δεδνκέλα. Παξάδεηγκα: Οη παξαηεξήζεηο, 5, 7,, 6, 8, δελ έρνπλ επηθξαηνχζα ηηκή. Παξάδεηγκα: Οη παξαηεξήζεηο, 5, 5, 6, 6, 5, έρνπλ επηθξαηνχζα ηηκή T 5. Παξάδεηγκα: Οι παπαηηπήζειρ,, 7,, 6, 8, 7 έσοςν δύο επικπαηούζερ ηιμέρ, ηιρ T και T 7. Παξάδεηγκα: ε δείγκα 0 νηθνγελεηψλ, κεηξήζακε ηνλ αξηζκφ παηδηψλ αλά νηθνγέλεηα θαη βξήθακε: Αξηζκφο παηδηψλ ζε κηα νηθνγέλεηα 0 5 πρλφηεηα 5 8 Ζ επηθξαηνχζα ηηκή είλαη ην, αθνχ εκθαλίδεηαη θνξέο. 9

ηηο νκαδνπνηεκέλεο ζε θαηαλνκή ζπρλνηήησλ κεηξήζεηο ην ηαμηθφ δηάζηεκα κε ηε κεγαιχηεξε ζπρλφηεηα νλνκάδεηαη επικπαηούζα ηάξη (modal class). Φπζηθά, γηα λα καο δίλεη νπζηαζηηθή πιεξνθνξία ε έλλνηα ηεο επηθξαηνχζαο ηάμεο, πξέπεη ηα δηαζηήκαηα ησλ ηάμεσλ λα είλαη ίζα. Γηα ηνλ ππνινγηζκφ ηεο ζε νκαδνπνηεκέλεο παξαηεξήζεηο κπνξεί λα ρξεζηκνπνηεζεί ε ζρέζε: T L c φπνπ, L είλαη ην θάησ άθξν ηεο επηθξαηνχζαο ηάμεο, c είλαη ην πιάηνο ηεο επηθξαηνχζαο ηάμεο, f f ε δηαθνξά ηεο ζπρλφηεηαο ηεο πξνεγνχκελεο ηάμεο απφ ηε ζπρλφηεηα ηεο επηθξαηνχζαο ηάμεο θαη f f ε δηαθνξά ηεο ζπρλφηεηαο ηεο επφκελεο ηάμεο απφ ηε ζπρλφηεηα ηεο επηθξαηνχζαο ηάμεο. εκεηψλνπκε φηη ε πνζφηεηα παίξλεη ηηκέο πάληα κεηαμχ 0 θαη, εμαζθαιίδνληαο φηη ε επηθξαηνχζα ηηκή ζα βξίζθεηαη ζηελ επηθξαηνχζα ηάμε... Μέηπα Γιαζποπάρ ηνλ παξαθάησ πίλαθα, θαίλνληαη νη ρξφλνη αλακνλήο ζε m, ησλ πειαηψλ κηαο ηξάπεδαο πνπ παξαηεξήζεθαλ ζε ηέζζεξα δηαθνξεηηθά δείγκαηα πειαηψλ κεγέζνπο πέληε ην θαζέλα: Γείγκα Η Γείγκα ΗΗ Γείγκα ΗΗΗ Γείγκα ΗV 8 9 7 5 0 0 0 0 5 7 6 9 9 Σα ηέζζεξα δείγκαηα έρνπλ ίζεο δηακέζνπο θαη ίζεο κέζεο ηηκέο ( δ 0 ). Αλ, φκσο, παξαηεξήζνπκε ηα αληίζηνηρα ζεθνγξάκκαηα, αβίαζηα πξνθχπηεη φηη νη θαηαλνκέο ηνπο είλαη δηαθνξεηηθέο. Πην ζπγθεθξηκέλα, νη απνθιίζεηο ησλ παξαηεξήζεσλ απφ ηε κέζε ηηκή ή ηε δηάκεζν έρνπλ πνιχ δηαθνξεηηθή κεηαβιεηφηεηα ζηα ηέζζεξα δείγκαηα. Σα κέηξα δηαζπνξάο νξίζζεθαλ γηα λα πεξηγξάθνπλ κε αξηζκεηηθά κεγέζε απηή ηε κεηαβιεηφηεηα. 0 6 8 0 I II III IV Σα πιένλ ρξεζηκνπνηνχκελα κέηξα δηαζπνξάο είλαη ην εχξνο, ην ελδνηεηαξηεκνξηαθφ εχξνο, ε δηαθχκαλζε θαη ε ηππηθή απφθιηζε. 0

... Δύπορ Σν εχξνο (rage) νξίδεηαη σο ε δηαθνξά κεηαμχ ηεο κέγηζηεο θαη ηεο ειάρηζηεο ηνπ ζπλφινπ ησλ παξαηεξήζεσλ θαη ζπκβνιίδεηαη κε R : R ma m Δίλαη ην πην απιφ κέηξν δηαζπνξάο, εχθνιν ζηνλ ππνινγηζκφ θαη ρξεζηκνπνηείηαη ζηνλ έιεγρν πνηφηεηαο. Απφ ηελ άιιε, δε ζεσξείηαη αμηφπηζην κέηξν δηαζπνξάο, επεηδή βαζίδεηαη κφλν ζηε κηθξφηεξε θαη ζηε κεγαιχηεξε παξαηήξεζε θαη ζπλεπψο είλαη επαίζζεην ζε έθηξνπεο ηηκέο θαη δε ρξεζηκνπνηείηαη γηα πεξαηηέξσ ζηαηηζηηθή αλάιπζε. Αλ ρξεζηκνπνηήζνπκε ην εχξνο γηα ηελ αξηζκεηηθή πεξηγξαθή ηεο κεηαβιεηφηεηαο ζηα ηέζζεξα δείγκαηα ηνπ παξαπάλσ παξαδείγκαηνο, βιέπνπκε φηη ελψ αληρλεχεη ηε δηαθνξά ζηε κεηαβιεηφηεηα κεηαμχ π.ρ. ησλ δεηγκάησλ Η θαη ΗΗ (ην Η έρεη εχξνο 8 ελψ ην ΗΗ έρεη εχξνο 6 ) εληνχηνηο, δελ αληρλεχεη ηε δηαθνξά πνπ ππάξρεη ζηε κεηαβιεηφηεηα κεηαμχ ησλ δεηγκάησλ ΗΗΗ θαη ΗV (θαη ην III θαη ην ΗV έρνπλ εχξνο 9 8 ). Γειαδή, ππάξρνπλ θαηαλνκέο πνπ έρνπλ ίζεο κέζεο ηηκέο, ίζεο δηακέζνπο θαη ίδην εχξνο θαη εληνχηνηο, δηαθέξνπλ ζεκαληηθά. Γελ αξθεί επνκέλσο ην εχξνο γηα λα απνηππσζεί αξηζκεηηθά ε κεηαβιεηφηεηα κηαο θαηαλνκήο. Δίλαη θαλεξφ φηη απηφ νθείιεηαη ζην φηη ζηνλ ππνινγηζκφ ηνπ εκπιέθνληαη κφλν δπν παξαηεξήζεηο.... Δνδοηεηαπηημοπιακό Δύπορ Γηα λα αληηκεησπίζνπκε ην πξφβιεκα πνπ κφιηο αλαθέξακε, κπνξνχκε λα ρξεζηκνπνηήζνπκε σο κέηξν ηεο κεηαβιεηφηεηαο ηε δηαθνξά Q Q γηα ηνλ ππνινγηζκφ ηεο νπνίαο ζπκκεηέρνπλ ζαθψο πεξηζζφηεξεο παξαηεξήζεηο. Ζ δηαθνξά απηή νλνκάδεηαη ελδνηεηαξηεκνξηαθφ εχξνο (terquartle rage) ή ελδνηεηαξηεκνξηαθή απφθιηζε (terquartle devato) θαη ζπκβνιίδεηαη κε IR : IR Q Q Δπεηδή κεηαμχ ησλ Q θαη Q βξίζθεηαη ην 50% ησλ παξαηεξήζεσλ είλαη θαλεξφ φηη φζν κηθξφηεξε είλαη ε ελδνηεηαξηεκνξηαθή απφθιηζε ηφζν κηθξφηεξε είλαη ε κεηαβιεηφηεηα ησλ παξαηεξήζεσλ. Δπίζεο, ην ελδνηεηαξηεκνξηαθφ εχξνο δελ επεξεάδεηαη απφ αθξαίεο ηηκέο. Αλ ην ρξεζηκνπνηήζνπκε γηα ηελ αξηζκεηηθή πεξηγξαθή ηεο κεηαβιεηφηεηαο ζηα ηέζζεξα δείγκαηα ηνπ παξαδείγκαηφο καο, βιέπνπκε φηη πιένλ αληρλεχνληαη φιεο νη ππάξρνπζεο δηαθνξέο κεηαμχ ησλ ηεζζάξσλ δεηγκάησλ.

... Γιακύμανζη Αλ,...,, είλαη έλα δείγκα παξαηεξήζεσλ κε αξηζκεηηθφ κέζν, ηφηε ε δηαθχκαλζε (δηαζπνξά) ηνπο ζπκβνιίδεηαη κε s θαη ηζνχηαη κε ην άζξνηζκα ησλ ηεηξαγσληθψλ απνθιίζεσλ δηαηξεκέλν δηα. Δίλαη δειαδή: s ( ),,,..., Παξάδεηγκα: ε θηαιίδηα κε δηαιπηηθή νπζία κεηξήζακε ηνλ φγθν ηνπ πεξηερνκέλνπ θαη πήξακε ηα αθφινπζα απνηειέζκαηα (ζε ml): 0.75.0.0.75.5.55.60.80.95.05.05.0 Να ππνινγηζηεί ν αξηζκεηηθφο κέζνο θαη ε δηαθχκαλζε ησλ παξαηεξήζεσλ. Απάληεζε: 7.5 Ο αξηζκεηηθφο κέζνο ησλ παξαηεξήζεσλ είλαη. 8. Ζ δηαθχκαλζε ηνπο είλαη ) 0.75.8.0.8 s ( Τπάξρεη κηα ελαιιαθηηθή ζρέζε πνπ κπνξνχκε λα ρξεζηκνπνηνχκε γηα ηνλ ππνινγηζκφ ηεο δηαθχκαλζεο κε κηθξφηεξε ππνινγηζηηθή πνιππινθφηεηα. Ζ ζρέζε απηή είλαη s.0,,..., Ζ παξαπάλσ ζρέζε πξνθχπηεη εχθνια απφ ηνλ αξρηθφ ηχπν ηεο δηαθχκαλζεο, αλαπηχζζνληαο ηα ηεηξάγσλα. Οη ιεπηνκέξεηεο αθήλνληαη σο άζθεζε ζηνλ αλαγλψζηε.,.8 0.68

Παξάδεηγκα: Να ππνινγηζηεί ε δηαθχκαλζε ησλ παξαθάησ παξαηεξήζεσλ θαη κε ηηο δχν ζρέζεηο: Απάληεζε: 5 5 6 9 0 5 0 0 56 Ο αξηζκεηηθφο κέζνο ησλ παξαηεξήζεσλ είλαη 5. 60. 0 0 Ζ δηαθχκαλζε ησλ παξαηεξήζεσλ είλαη 5 5.60 5 5.60 6 5.60 9 s 0 9 5.60 0 0 ( ) 0 5.60 0.9 Με ηελ ελαιιαθηηθή ζρέζε ε δηαθχκαλζε ησλ παξαηεξήζεσλ είλαη s 5 5 6 9 0 5 9 0 0 0 (5.6) 0.9 Αλ νη ηηκέο,,, f, f,, f αληίζηνηρα, ηφηε ζηνλ f θνξέο ηελ ηεηξαγσληθή απφθιηζε ηεο απφ ηνλ παξαηεξνχληαη κε ζπρλφηεηεο ηχπν ηεο δηαθχκαλζεο παίξλνπκε αξηζκεηηθφ κέζν. Δπνκέλσο: s k f ( ) φπνπ k f θαη ηα δεδνκέλα είλαη νκαδνπνηεκέλα ζε k ηάμεηο θαη s k f φπνπ k f θαη ηα δεδνκέλα είλαη νκαδνπνηεκέλα ζε k ηάμεηο

Παξάδεηγκα: ηνλ παξαθάησ πίλαθα δίλεηαη ν αξηζκφο ησλ παηδηψλ ζε 0 ηπραία επηιεγκέλεο νηθνγέλεηεο: Αξηζκφο Παηδηψλ ζε κηα νηθνγέλεηα 5 πρλφηεηα 8 Ζ κέζε ηηκή ησλ παηδηψλ αλά νηθνγέλεηα είλαη.90. Να ππνινγηζηεί ε δηαθχκαλζε. Απάληεζε:. 90.90 f -.9.6 0.8-0.9 0.8. 0. 0.0 8 0.08... 5... 5 f.90 9.80 Άξα: s. 57 0 9 5 f.90 f 0 f.90 9. 80 5 Αλ εξγαζηνχκε κε ηελ ελαιιαθηηθή ζρέζε, έρνπκε: f f 6 9 8 7 6 5 5 75 5 5 f 0 f 98 5 f 0(.90) 98-68. Άξα s. 57 0 9 Ηδηφηεηεο ηεο δηαθχκαλζεο Έζησ φηη έρνπκε παξαηεξήζεηο,,...,,, κε αξηζκεηηθφ κέζν θαη δηαθχκαλζε s. (α) Αλ..., ηφηε..., νπφηε ( ) 0 θαη s 0. (β) νη παξαηεξήζεηο y λ, λ R, έρνπλ δηαθχκαλζε s λ s. (γ) νη παξαηεξήζεηο y λ, λ R, έρνπλ δηαθχκαλζε s s.

Ο δηάζεκνο Ρψζνο καζεκαηηθφο P.L. Chebychev (8-89) απέδεημε φηη αλεμάξηεηα απφ ην είδνο ηεο θαηαλνκήο ησλ δεδνκέλσλ, ην δηάζηεκα ms [ ms, ms] πεξηιακβάλεη ηνπιάρηζηνλ ην 00( m ) % ησλ παξαηεξήζεσλ, γηα θάζε πξαγκαηηθφ αξηζκφ m. Δηδηθά γηα m θαη m απφ ην ζεψξεκα πξνθχπηεη φηη: Σν δηάζηεκα s [ s, s] πεξηιακβάλεη ηνπιάρηζηνλ ην 75% ησλ παξαηεξήζεσλ. Σν δηάζηεκα s [ s, s] πεξηιακβάλεη ηνπιάρηζηνλ ην 89% ησλ παξαηεξήζεσλ. Αξγφηεξα, φηαλ ζα κειεηήζνπκε ηελ θαλνληθή θαηαλνκή, ζα δνχκε φηη ηα πνζνζηά ζηηο δχν παξαπάλσ παξαηεξήζεηο, είλαη πεξίπνπ 95% θαη 00% αληίζηνηρα. Ζ δηαθχκαλζε, σο κέηξν κεηαβιεηφηεηαο, είλαη ηδηαίηεξα ρξήζηκν κέηξν ζηε ηαηηζηηθή. Παξφηη, έρεη ην κεηνλέθηεκα φηη δελ εθθξάδεηαη ζηηο ίδηεο κνλάδεο κε ηελ κεηαβιεηή ηεο νπνίαο ηε κεηαβιεηφηεηα κεηξάεη, εληνχηνηο, ρξεζηκνπνηείηαη επξχηαηα. Δηδηθά ζηε ζηαηηζηηθή ζπκπεξαζκαηνινγία απνηειεί βαζηθφ εθηηκεηή θαη απηφο είλαη θαη ν βαζηθφο ιφγνο πνπ επέβαιε ηνλ νξηζκφ ηεο. Με βάζε ηελ ηεηξαγσληθή ξίδα ηεο δηαθχκαλζεο (ηππηθή απφθιηζε) θαη ηε κέζε ηηκή, κπνξνχλ λα νξηζζνχλ δηαζηήκαηα ζηα νπνία βξίζθεηαη γλσζηφ πνζνζηφ παξαηεξήζεσλ. Παξαηήξεζε: γηαηί ζηνλ νξηζκφ ηεο δηαθχκαλζεο δηαηξνχκε κε θαη φρη κε ; ε δεηγκαηηθή δηαθχκαλζε εθηηκά ηελ άγλσζηε δηαθχκαλζε ηνπ πιεζπζκνχ. Οη παξαηεξήζεηο ηείλνπλ λα είλαη πην θνληά ζην παξά ζην θη άξα νη ππνινγηζκνί κε βάζε ηηο απνθιίζεηο δίλνπλ κηθξφηεξεο ηηκέο απ' φηη αλ ρξεζηκνπνηνχζακε ηηο απνθιίζεηο. Γηα λα αληηζηαζκίζνπκε απηήλ ηελ ηάζε γηα ππνεθηίκεζε ηεο δηαζπνξάο ηνπ πιεζπζκνχ δηαηξνχκε κε αληί κε. Μία άιιε πην ηερληθή εμήγεζε βαζίδεηαη ζηνπο βαζκνχο ειεπζεξίαο (degrees of freedom). Οη «ειεχζεξεο» παξαηεξήζεηο απνηεινχλ ηνπο βαζκνχο ειεπζεξίαο. Γηα ηνλ ππνινγηζκφ ηνπ ζρεκαηίδνπκε ην κέζν φξν δηαηξψληαο ην άζξνηζκα ησλ παξαηεξήζεσλ κε ηνπο βαζκνχο ειεπζεξίαο αθνχ δελ έρνπκε θακηά ζπλζήθε γηα ηηο παξαηεξήζεηο πνπ ρξεζηκνπνηνχκε. Γηα ηνλ ππνινγηζκφ ηνπ s φκσο έρνπκε ηεο ζπλζήθε ( ) 0, δειαδή αλ μέξνπκε απφ ηηο απνθιίζεηο κπνξνχκε λα βξνχκε απηήλ πνπ απνκέλεη. Άξα γηα ηνλ ππνινγηζκφ ηνπ s νη βαζκνί ειεπζεξίαο είλαη θαη γη απηφ δηαηξνχκε κε. Έηζη ε δεηγκαηηθή δηαθχκαλζε γίλεηαη έλαο ακεξφιεπηνο εθηηκεηήο ηεο δηαθχκαλζεο ηνπ πιεζπζκνχ. 5

... Σςπική Απόκλιζη Ζ Σππηθή Απφθιηζε (stadard devato) είλαη ην πην δηαδεδνκέλν απφ ηα κέηξα ηεο δηαζπνξάο, ζπκβνιίδεηαη κε s θαη γηα έλα δείγκα αξηζκψλ,,..., νξίδεηαη σο ε ζεηηθή ηεηξαγσληθή ξίδα ηεο δηαθχκαλζεο: s ηππηθή απφθιηζε δηαθχκαλζε s Δίλαη θαλεξφ φηη ε ηππηθή απφθιηζε απαληά ζην εξψηεκα: πφζν καθξηά απφ ηε κέζε ηηκή ηνπο βξίζθνληαη νη παξαηεξήζεηο; Έηζη, φηαλ νη παξαηεξήζεηο δε δηαθέξνπλ πνιχ απφ ηε κέζε ηηκή ηνπο, ε ηππηθή απφθιηζε είλαη κηθξή, ελψ αληίζεηα, ε ηππηθή απφθιηζε κεγαιψλεη, φζν πεξηζζφηεξν «δηαζθνξπίδνληαη» νη παξαηεξήζεηο γχξσ απφ ηε κέζε ηηκή ηνπο. Γειαδή, ε ηππηθή απφθιηζε καο δίλεη έλα κέηξν ηεο κέζεο απφζηαζεο-απφθιηζεο ησλ παξαηεξήζεσλ απφ ηε κέζε ηηκή ηνπο. πλεπψο, έρεη λφεκα λα ρξεζηκνπνηείηαη, κφλν ζε ζπλδπαζκφ κε ηε κέζε ηηκή. Παξάδεηγκα: Γχν κεραλέο, Α θαη Β, ρξεζηκνπνηνχληαη γηα λα ηπιίγνπλ λήκα. Έλα δείγκα απφ 0 ηφπηα χθαζκα απφ θάζε κεραλή, δπγίζηεθε ζε γξακκάξηα, θαη ηα απνηειέζκαηα θαηαγξάθεθαλ ζηνλ παξαθάησ πίλαθα: Α 960 980 980 990 000 000 00 00 00 050 Β 90 90 950 980 000 00 00 00 060 070 Να ππνινγηζηεί ε ηππηθή απφθιηζε ησλ καδψλ ζηελ θάζε πεξίπησζε θαη λα ζρνιηαζηεί ην απνηέιεζκα. 0000 Απάληεζε: Γηα ηε κεραλή Α: 000. 0 y 0000 Γηα ηε κεραλή Β: y 000. 0 Οη δχν κεραλέο παξνπζηάδνπλ ηελ ίδηα κέζε ηηκή. 0 0 0 ( ) ( 000) 5600 Μεραλή Α: s 6.. 95. 9 9 0 ( y y) ( y 000) 000 Μεραλή Β: sy 666.67 5. 6. 9 9 Ζ ηππηθή απφθιηζε γηα ηε κεραλή Α είλαη.95 gr, ελψ γηα ηε Β 5.6 gr. Απηφ δείρλεη φηη ε κεραλή Α είλαη πην αμηφπηζηε. 6

.. Μέηπα Αζςμμεηπίαρ Με ηα κέηξα ζέζεο θαη θεληξηθήο ηάζεο θαζψο θαη κε ηα κέηξα δηαζπνξάο, ιακβάλνπκε κηα πξψηε εηθφλα ηεο κνξθήο ηεο θαηαλνκήο ησλ δεδνκέλσλ. Ζ εηθφλα απηή ζπκπιεξψλεηαη κε ηα κέηξα αζπκκεηξίαο. Με απηά πξνζδηνξίδνπκε ηελ θαηεχζπλζε θαη ην κέγεζνο ηεο απφθιηζεο ηεο ππφ εμέηαζε θαηαλνκήο απφ κηα πιήξσο ζπκκεηξηθή θαηαλνκή. Ζ αζπκκεηξία (ή ινμφηεηα) κπνξεί λα είλαη ζεηηθή ή αξλεηηθή. Μηα θαηαλνκή είλαη ζεηηθά αζπκκεηξηθή φηαλ παξνπζηάδεη εμφγθσζε πξνο ηα αξηζηεξά θαη επηκήθπλζε ηνπ άθξνπ ηεο πνπ αληηζηνηρεί ζηηο κεγαιχηεξεο ηηκέο πξνο ηα δεμηά. Αληίζεηα, αξλεηηθά αζπκκεηξηθή είλαη κία θαηαλνκή φηαλ παξνπζηάδεη εμφγθσζε πξνο ηα δεμηά θαη επηκήθπλζε ηνπ άθξνπ ηεο πνπ αληηζηνηρεί ζηηο κηθξφηεξεο ηηκέο πξνο ηα αξηζηεξά. ηελ πεξίπησζε απηή, ε κεγάιε ζπγθέληξσζε ησλ παξαηεξήζεσλ βξίζθεηαη ζηηο κεγάιεο ηηκέο ηεο κεηαβιεηήο. Όηαλ ε θακπχιε ζπρλνηήησλ ηεο θαηαλνκήο είλαη ζπκκεηξηθή (symmetrcal dstrbuto) ηφηε νη ηηκέο ηνπ κέζνπ, ηεο δηακέζνπ θαη ηεο θνξπθήο ζπκπίπηνπλ, δειαδή δ T θαη Q ( Q ). Q Όηαλ ε θακπχιε ζπρλνηήησλ ηεο θαηαλνκήο παξνπζηάδεη ζεηηθή αζπκκεηξία (postve skew), ηφηε ν κέζνο κεηαθηλείηαη πξνο ηε ζεηηθή θαηεχζπλζε θαη ηζρχεη δ T θαη Q ( Q ). Q Όηαλ ε θακπχιε ζπρλνηήησλ ηεο θαηαλνκήο παξνπζηάδεη αξλεηηθή αζπκκεηξία (egatve skew), ηφηε ν κέζνο κεηαθηλείηαη πξνο ηελ αξλεηηθή θαηεχζπλζε θαη ηζρχεη δ T θαη Q ( Q ). Q πκκεηξία Θεηηθή Αζπκκεηξία Αξλεηηθή Αζπκκεηξία Ζ δηάκεζνο, γεληθά θείηαη κεηαμχ ηνπ κέζνπ θαη ηεο επηθξαηνχζαο ηηκήο θαη ηζρχεη ε πξνζεγγηζηηθή ζρέζε κέζνο επηθξαηνχζα ηηκή (κέζνο δηάκεζνο), δει. T ( δ). 7

Έλα κέηξν ηνπ βαζκνχ ηεο αζπκκεηξίαο (δει. πφζν πνιχ ηξαβηέηαη ε θαηαλνκή πξνο κηα θαηεχζπλζε), δίλεηαη απφ ηνλ ζπληειεζηή ηνπ Pearso, θαη ηζνχηαη κε μέσος - επικρατούσα τιμή Σσντελεστή ς Pearso ή τσπικήαπόκλιση Όηαλ ν κέζνο είλαη κεγαιχηεξνο ηεο επηθξαηνχζαο ηηκήο, δειαδή S p 0, ηφηε έρνπκε ζεηηθή αζπκκεηξία. Όηαλ ν κέζνο είλαη κηθξφηεξνο ηεο επηθξαηνχζαο ηηκήο, δειαδή S p 0 αξλεηηθή αζπκκεηξία. S P T s, ηφηε έρνπκε Όηαλ ν κέζνο είλαη ίζνο κε ηεο επηθξαηνχζα ηηκή, δειαδή S p 0, ηφηε έρνπκε ζπκκεηξία (κεδεληθή αζπκκεηξία). Ζ δηαίξεζε ηεο δηαθνξάο ηεο επηθξαηνχζαο ηηκήο απφ ην κέζν, κε ηελ ηππηθή απφθιηζε θαζηζηά ην κέηξν αλεμάξηεην απφ ηε κνλάδα κέηξεζεο ηνπ ραξαθηεξηζηηθνχ θαη επηηξέπεη ηε ρξήζε ηνπ γηα ζχγθξηζε θαηαλνκψλ πνπ είηε αλαθέξνληαη ζε ραξαθηεξηζηηθά κε δηαθνξεηηθέο κνλάδεο κέηξεζεο είηε έρνπλ δηαθνξεηηθή δηαζπνξά. Οη ηηκέο πνπ παίξλεη απηφο ν ζπληειεζηήο είλαη κεηαμχ ηνπ - θαη ηνπ. Έλα δεχηεξν κέηξν αζπκκεηξίαο νξίδεηαη απφ ηα ηεηαξηεκφξηα. Ο ζπληειεζηήο αζπκκεηξίαο ησλ ηεηαξηεκφξησλ νξίδεηαη απφ ηε ζρέζε πληειεζηήο αζπκκεηξίαο ησλ ηεηαξηεκφξησλ ( Q Q ) ( Q Q ) Q Όηαλ Q Q Q Q, δειαδή ν ζπληειεζηήο αζπκκεηξίαο ησλ ηεηαξηεκφξησλ ηζνχηαη κε κεδέλ ηφηε έρνπκε ζπκκεηξηθή θαηαλνκή: Q Q Q Q Q Q Q Q Q Όηαλ Q Q Q Q, δειαδή ν ζπληειεζηήο αζπκκεηξίαο ησλ ηεηαξηεκφξησλ είλαη ζεηηθφο, ηφηε έρνπκε ζεηηθή αζπκκεηξία: Q Q Q Σέινο, φηαλ Q Q Q Q, δειαδή ν ζπληειεζηήο αζπκκεηξίαο ησλ ηεηαξηεκφξησλ είλαη αξλεηηθφο, ηφηε έρνπκε αξλεηηθή αζπκκεηξία: Q Q Q 8

.. Θηκόγπαμμα Σν ζεθφγξακκα (δηάγξακκα ησλ πέληε αξηζκψλ) απεηθνλίδεη ηηο ηηκέο νξηζκέλσλ κέηξσλ θεληξηθήο ηάζεο θαη δηαζπνξάο πνπ παξνπζηάδνπλ αλζεθηηθφηεηα, δειαδή δελ επεξεάδνληαη απφ αθξαίεο ηηκέο ησλ δεδνκέλσλ ή απφ ηπρφλ κεηαβνιέο ζε θάπνηα απφ ηα δεδνκέλα. Σέηνηα κέηξα είλαη ε δηάκεζνο θαη ηα ηεηαξηεκφξηα. Δπηπιένλ ζπλδπάδεη ηα αλζεθηηθά απηά κέηξα κε ηηο πιεξνθνξίεο πνπ πεξηέρνληαη ζηηο αθξαίεο ηηκέο; ησλ δεδνκέλσλ δίλνληαο έηζη κηα πιεξέζηεξε εηθφλα ηεο θαηαλνκήο ηνπο. πγθεθξηκέλα, ην ζεθφγξακκα ρξεζηκνπνηεί ηηο παξαθάησ πέληε ραξαθηεξηζηηθέο ηηκέο ησλ δεδνκέλσλ: m = ειάρηζηε ηηκή ησλ δεδνκέλσλ Q = πξψην ηεηαξηεκφξην Q Q = δεχηεξν ηεηαξηεκφξην (δηάκεζνο) = ηξίην ηεηαξηεκφξην ma = κέγηζηε ηηκή ησλ δεδνκέλσλ Πξφθεηηαη γηα έλα νξζνγψλην κε δχν θεξαίεο (whskers) ην νπνίν θαηαζθεπάδεηαη σο εμήο: ε θάησ βάζε ηνπ νξζνγσλίνπ βξίζθεηαη ζην Q θαη ε πάλσ ζην Q. Δπνκέλσο ην κήθνο ηνπ νξζνγσλίνπ εθθξάδεη ην ελδνηεηαξηεκνξηαθφ εχξνο ησλ παξαηεξήζεσλ. Ζ δηάκεζνο Q αλαπαξηζηάλεηαη κε έλα νξηδφληην επζχγξακκν ηκήκα κέζα ζην νξζνγψλην. Σν 50% ησλ παξαηεξήζεσλ βξίζθεηαη ζην εζσηεξηθνχ ηνπ νξζνγσλίνπ. Σν 5% ησλ παξαηεξήζεσλ (νη κηθξφηεξεο ηηκέο) βξίζθνληαη ζηελ αξηζηεξή απφιεμε, δειαδή κεηαμχ ηεο ειάρηζηεο ηηκήο θαη ηνπ αξηζηεξνχ άθξνπ ηνπ νξζνγσλίνπ. Αληίζηνηρα ην ππφινηπν 5% ησλ παξαηεξήζεσλ (νη κεγαιχηεξεο παξαηεξήζεηο βξίζθνληαη ζηε δεμηά απφιεμε, δειαδή κεηαμχ ηνπ δεμηνχ άθξνπ ηνπ νξζνγσλίνπ θαη ηεο κέγηζηεο ηηκήο. Σν κήθνο ησλ βάζεσλ ηνπ νξζνγσλίνπ ιακβάλεηαη απζαίξεηα. Ζ πάλσ θαη ε θάησ θεξαία (κχζηαθαο) πνπ έρνπλ ηε κνξθή Σ θαη αλεζηξακκέλνπ Σ αληίζηνηρα, εθηείλνληαη κέρξη ηηο νξηαθέο ηηκέο πνπ κπνξεί λα είλαη: α) ε κέγηζηε θαη ε ειάρηζηε παξαηήξεζε β) ε κεγαιχηεξε παξαηήξεζε πνπ είλαη κηθξφηεξε ή ίζε απφ ην αλψηεξν εζσηεξηθφ θξάγκα Q,5 ( Q ) θαη ε κηθξφηεξε παξαηήξεζε πνπ είλαη κεγαιχηεξε ή ίζε απφ ην θαηψηεξν Q εζσηεξηθφ θξάγκα Q,5 ( Q ) Q γ) ε κεγαιχηεξε παξαηήξεζε πνπ είλαη κηθξφηεξε ή ίζε απφ ην αλψηεξν εμσηεξηθφ θξάγκα Q ( Q ) θαη ε κηθξφηεξε παξαηήξεζε πνπ είλαη κεγαιχηεξε ή ίζε απφ ην θαηψηεξν Q εμσηεξηθφ θξάγκα Q ( Q ) Q 9

Παξάδεηγκα: Σα παξαθάησ δεδνκέλα αλαθέξνληαη ζηηο ψξεο απνπζίαο 8 εξγαδνκέλσλ απφ ηελ εξγαζία ηνπο ην ηειεπηαίν ηξίκελν ηνπ 007. 5,,,,, 9,, 7,,,, 6, 8, 5, 9, 0,, 9, 0,, 0, 6, 7,, 0, 8,. 0 5 0 5 0 5 Δχθνια βξίζθνπκε φηη Q 9. 5, Q θαη Q. Σν αλψηεξν εζσηεξηθφ θξάγκα είλαη Q.5 ( Q Q ).5 ( 9.5) 6. 5 άξα ε πάλσ νξηαθή ηηκή είλαη ε παξαηήξεζε πνπ είλαη ίζε κε 6 (ε κεγαιχηεξε παξαηήξεζε πνπ είλαη ίζε ή κηθξφηεξε απφ 6.5). Σν θαηψηεξν εζσηεξηθφ θξάγκα είλαη Q.5 ( Q Q ) 9.5.5 ( 9.5). 065 άξα ε θάησ νξηαθή ηηκή είλαη ε παξαηήξεζε πνπ είλαη ίζε κε 6 (ε κηθξφηεξε παξαηήξεζε πνπ είλαη ίζε ή κεγαιχηεξε απφ.065). 8 0 6 Αο δνχκε ηη πιεξνθνξίεο καο δίλεη ην ζεθφγξακκα γηα ηελ θαηαλνκή ησλ σξψλ απνπζίαο ησλ εξγαδνκέλσλ. Ζ θαηαλνκή παξνπζηάδεη κηα κηθξή αξλεηηθή αζπκκεηξία δηφηη ε δηάκεζνο βξίζθεηαη πην θνληά ζηελ πάλσ πιεπξά ηνπ νξζνγσλίνπ. Σν 50% ησλ παξαηεξήζεσλ βξίζθεηαη ζε έλα δηάζηεκα ίζν κε ην χςνο ηνπ νξζνγσλίνπ ην νπνίν είλαη αξθεηά «ζπκπηεζκέλν» θαη, επηπιένλ, ηνπνζεηείηαη πεξίπνπ ζηε κέζε ηνπ εχξνο ησλ παξαηεξήζεσλ (εμαηξνπκέλσλ ησλ αθξαίσλ). Ζ θαηαλνκή παξνπζηάδεη κηα αθξαία ηηκή, ην 7 (κηα ηηκή ραξαθηεξίδεηαη αθξαία αλ βξίζθεηαη εθηφο ησλ εζσηεξηθψλ θξαγκάησλ) θαη κηα εμαηξεηηθά αθξαία ηηκή, ην (κηα ηηκή ραξαθηεξίδεηαη εμαηξεηηθά αθξαία αλ βξίζθεηαη εθηφο θαη ησλ εμσηεξηθψλ θξαγκάησλ). Κιείλνληαο, λα ζεκεηψζνπκε φηη νη ηηκέο πνπ βξίζθνληαη έμσ απφ ηνλ εζσηεξηθφ θξάρηε, ζεσξνχληαη χπνπηεο γηα αθξφηεηα θαη εμεηάδνληαη κε πξνζνρή. Οη ηηκέο πνπ βξίζθνληαη έμσ απφ ηνλ εμσηεξηθφ θξάρηε θξίλνληαη σο αθξαίεο ή παξάηππεο ηηκέο θαη ζα πξέπεη ε ζηαηηζηηθή αλάιπζε λα επαλαιακβάλεηαη νπσζδήπνηε θαη ρσξίο απηέο. Σν ζεθφγξακκα είλαη κηα εμαηξεηηθά ρξήζηκε γξαθηθή παξάζηαζε δηφηη πξνζδηνξίδεη κε άκεζν ηξφπν ηε ζέζε ησλ δεδνκέλσλ κε ηε δηάκεζν, ηε δηαζπνξά ηνπο κε ην κήθνο ηνπ θνπηηνχ θαη ησλ κπζηάθσλ θαη ηελ χπαξμε ηηκψλ νη νπνίεο είλαη αθξαίεο ή χπνπηεο γηα αθξφηεηα. Σέινο, ηα ζεθνγξάκκαηα δχν ή πεξηζζνηέξσλ κεηαβιεηψλ φηαλ δίλνληαη ζπγρξφλσο επηηξέπνπλ ηε κεηαμχ ηνπο ζχγθξηζε. 0

Γηα παξάδεηγκα, ζεσξνχκε ηνλ παξαθάησ πίλαθα. ε απηφλ έρνπλ θαηαγξαθεί νη ρξφλνη αληίδξαζεο ζε δέθαηα δεπηεξνιέπηνπ αγνξηψλ θαη θνξηηζηψλ ζην πάηεκα ελφο πιήθηξνπ ηνπ ππνινγηζηή. Q Q Q M Ma Κνξίηζηα 0 7 6 Αγφξηα 0 8 5 6 9 Θεθφγξακκα γηα θνξίηζηα: -5-0 -5 0 5 0 5 0 5 0 5 Θεθφγξακκα γηα αγφξηα: -0-0 0 0 0 0 0 Παξαηεξνχκε φηη ε δηάκεζνο ηζνχηαη κε 0 θαη ζηηο δχν πεξηπηψζεηο. Παξφια απηά νη ρξφλνη ησλ θνξηηζηψλ είλαη πην ζπκκεηξηθά θαηαλεκεκέλνη θαη ζε κηθξφηεξν εχξνο. Γηα ηα αγφξηα ππάξρεη κεγαιχηεξε δηαζπνξά ησλ ρξφλσλ θαη ε θαηαλνκή ηνπο είλαη ζεηηθά αζχκκεηξε. Άξα ηα θνξίηζηα έρνπλ γεληθψο θαιχηεξν ρξφλν αληίδξαζεο.

. Παπαδείγμαηα () ηνλ παξαθάησ πίλαθα απεηθνλίδνληαη νη κεληαίεο αμίεο ησλ πσιήζεσλ ελφο πνιπθαηαζηήκαηνο ζε ρηιηάδεο επξψ. Εεηείηαη: 5.8.7. 6. 0.5 0. 8.0 8.5 6.7 9.0 6. 6.8 9.7 8.0 6.5 6.. 9. 6.9.5 7. 9..6.8 0. 0.7.8.5.5 8.. 8. 5..6 7.0. 7.8. 8..8.9..0 9.. 8..7.5 5.7 8.5.8 8. 9.6. 7. 6. 5. 0.0 0..5 8.7 5.6.9 5.8 7.6 0.9 9...7 9..9 9.0 0.5.7.0.5 7.6 7.6 0.7 9. (α) Να νκαδνπνηεζνχλ ηα δεδνκέλα ζε κηα θαηαλνκή ζπρλνηήησλ. (β) Να γίλεη ην ηζηφγξακκα θαη ε πνιπγσληθή γξακκή ζπρλνηήησλ (γ) Να ππνινγηζηνχλ απφ ηελ θαηαλνκή νη αθφινπζνη παξάκεηξνη: αξηζκεηηθφο κέζνο, δηαθχκαλζε, ηππηθή απφθιηζε, πξψην ηεηαξηεκφξην, δεχηεξν ηεηαξηεκφξην (δηάκεζνο), ηξίην ηεηαξηεκφξην θαη επηθξαηνχζα ηηκή. Απάληεζε (α) Πξνζεγγίδνπκε ηνλ αξηζκφ ησλ ηάμεσλ θ κε ηνλ εκπεηξηθφ θαλφλα: k.log.log 80..90 Θα νκαδνπνηήζνπκε ηα δεδνκέλα ζε κία θαηαλνκή κε 7 ηάμεηο. Σν εχξνο ησλ δεδνκέλσλ ηζνχηαη κε.8 6. 5. 7. Γηα θ=7 ην εχξνο ησλ ηάμεσλ ζα ηζνχηαη κε ma m 7.8 5.7 7.67. Δπηιέγνπκε ηελ ηηκή θαη δηακνξθψλνπκε ηνλ παξαθάησ πίλαθα: Σάμεηο πρλφηεηα 5-9 9-0 -7 7-5 -5 7 5-9 9 9- Άζξνηζκα 80

(β) 0 5 0 5 0 5 0 5 9 7 5 9 (γ) Σάμεηο f F f f 5-9 7 7 9-0 0 0-7 7 5 0 50 7-5 5 9 75 905-5 7 69 9 899 5-9 9 78 7 656 9-80 6 9 f 80 f 5 f 008 5 008 80 (8.9) 8.9 s 0. 775 s 0.775 5. 58 80 79 80 80 Q 5 Q 7 7 9. 08 5 Q 7 80 5.88 T 7 (5 5 ) (5 7) 7 9 9.6

() Γίλεηαη δείγκα απφ ην ρξφλν ιεηηνπξγίαο κεηαμχ ησλ δηαδνρηθψλ βιαβψλ ελφο κεραλήκαηνο, ζε ψξεο: 5 5 6 8 7 9 6 6 5 55 57 58 59 6 6 66 67 67 85 9 98 00 0 5 0 75 78 8 90 9 95 0 Εεηείηαη: (α) Να νκαδνπνηεζνχλ ηα δεδνκέλα ζε κηα θαηαλνκή ζπρλνηήησλ κε ηάμεηο. (β) Να γίλεη ην ηζηφγξακκα. (γ) Να ππνινγηζηεί ην ν, ν θαη ν ηεηαξηεκφξην απφ ηηο πξσηνγελείο παξαηεξήζεηο θαη ζηε ζπλέρεηα απφ ηελ θαηαλνκή. (δ) Να ππνινγηζηεί ν αξηζκεηηθφο κέζνο θαη ε δηαθχκαλζε, αξρηθά, απφ ηα πξσηνγελή δεδνκέλα θαη ζηε ζπλέρεηα απφ ηελ θαηαλνκή. (ε) Αλ απφ ιάζνο ζηελ θαηαρψξεζε ησλ ζηνηρείσλ ε ηειεπηαία παξαηήξεζε αληηθαηαζηαζεί απφ ηελ 0+λ φπνπ λ έλαο πνιχ κεγάινο αξηζκφο πνηα απφ ηα πξνεγνχκελα ζηαηηζηηθά ζα κεηαβιεζνχλ θαη πνηα φρη; Απάληεζε: (α) Σν εχξνο ησλ δεδνκέλσλ ηζνχηαη κε 0-=90 ην νπνίν ρσξίδεηαη ζε 7 ηάμεηο κε ηαμηθφ εχξνο 90 7 7.. Θεσξνχκε ην εχξνο λα είλαη 0. Ζ θαηαλνκή ζπρλνηήησλ θαη ε θαηαλνκή αζξνηζηηθψλ ζπρλνηήησλ δίλεηαη ζηνλ παξαθάησ πίλαθα: Σάμεηο πρλφηεηα Αζξνηζηηθή πρλφηεηα 0-0 9 9 0-60 0 60-90 6 6 90-0 9 0-50 50-80 5 80-0 5 0 Άζξνηζκα 0 (β) 0 8 6 0 0 0 60 90 0 50 80 0 (γ) Σα δεδνκέλα είλαη ζε αχμνπζα ζεηξά. Απφ ηηο πξσηνγελείο παξαηεξήζεηο, γηα 0 δεδνκέλα, έρνπκε:

Σν πξψην ηεηαξηεκφξην βξίζθεηαη ζηε ζέζε 0. 5 Σν δεχηεξν ηεηαξηεκφξην βξίζθεηαη ζηε ζέζε 0. 5 ( ) Σν ηξίην ηεηαξηεκφξην βξίζθεηαη ζηε ζέζε 0. 75 Δπνκέλσο: Q (0.5)( ). 5 Q Q 59 0 (0.5)(6 (0.75)( 59) 60 0) Απφ ηα νκαδνπνηεκέλα δεδνκέλα, έρνπκε αληίζηνηρα: Q 0 0 0 9.7 Q 0 0 0 9 60 Q 0 0 0 9 (δ) Απφ ηα πξσηνγελή δεδνκέλα, έρνπκε: 5 5 6 0 95 0 7.5 8 0 ( 5 5 6 95 s 9 8. 0 ) 0 (8.) Γηα ηα νκαδνπνηεκέλα δεδνκέλα θαηαζθεπάδνπκε ηνλ παξαθάησ πίλαθα: Σάμεηο f f f 0-0 5 9 5 05 0-60 5 95 75 560-90 75 6 50 750 90-0 05 5 075 0-50 5 50 7900 50-80 65 0 550 80-0 95 5 975 905 f 0 f 0 f 08600 65.95 7 f f 0 08600 0 8 8 s 7. 69. 7 0 9 f 7 (ε) Αλ ε ηειεπηαία παξαηήξεζε αληηθαηαζηαζεί απφ ηελ 0+ι, ηφηε ζα κεηαβιεζνχλ ε κέζε ηηκή θαη ε δηαθχκαλζε κφλν. Σα ηεηαξηεκφξηα ζα παξακείλνπλ ακεηάβιεηα δηφηη δελ επεξεάδνληαη απφ ηηο αθξαίεο ηηκέο. 5

. Αζκήζειρ. Σν πνζνζηφ ηνπ θσζθνξηθνχ αιαηηνχ πνπ βξέζεθε ζε δείγκαηα ζρηζηφιηζνπ κηαο πεξηνρήο ήηαλ: %P O 5-6 6-8 8-0 0- - -6 6-8 8-0 Πιήζνο 8 5 56 9 Να ππνινγηζηνχλ (α) ε κέζε ηηκή θαη ε δηάκεζνο (β) ε δηαζπνξά θαη ε ηππηθή απφθιηζε. (γ) ην ελδνηεηαξηεκνξηαθφ εχξνο.. Πήξακε ηπραία 6 άηνκα θαη κεηξήζακε ηνπο δείθηεο γηα ρνιεζηεξίλε:.9.95.5.9.59.9.59.5.70.75.65.09.55.5.8. Να ππνινγηζηνχλ (α) ε κέζε ηηκή θαη ε δηάκεζνο (β) ε δηαζπνξά θαη ε ηππηθή απφθιηζε. (γ) ην ελδνηεηαξηεκνξηαθφ εχξνο θαη ην εχξνο.. Μεηξήζακε ην βάξνο 0 θνηηεηψλ θαη βξήθακε ηα παξαθάησ απνηειέζκαηα ζε kgr: 6 6 66 68 70 7 70 70 78 75 70 7 7 75 75 70 69 65 66 66 70 7 7 7 78 75 76 7 70 7 Να ππνινγηζηνχλ (α) ε κέζε ηηκή θαη ε δηάκεζνο (β) ε δηαζπνξά θαη ε ηππηθή απφθιηζε (γ) ην ελδνηεηαξηεκνξηαθφ εχξνο θαη ην εχξνο.. Ο παξαθάησ πίλαθαο θαηαλνκήο αλαθέξεηαη ζηελ ειηθία ησλ ζπνπδαζηψλ ζε έλα θνιέγην: Ζιηθία ζε ρξφληα Αξηζκφο ζπνπδαζηψλ 6-7 80 7-8 50 8-9 0 9-0 0-8 Να ζρεδηαζηεί ην ηζηφγξακκα πνπ παξηζηάλεη ηα παξαπάλσ δεδνκέλα. 5. Μεηξήζακε ην βάξνο απφ έλα δείγκα 600 αλζξψπσλ νξηζκέλεο ειηθίαο θαη πήξακε ηνλ παξαθάησ πίλαθα θαηαλνκήο: Βάξνο ζε kgr Κέληξν ηάμεο Πιήζνο αηφκσλ 65-67 66 0 67-69 68 60 69-7 70 80 7-7 7 50 7-75 7 00 75-77 76 90 77-79 78 80 6

Να ππνινγηζηνχλ (α) ε κέζε ηηκή θαη ε δηάκεζνο (β) ε δηαζπνξά θαη ε ηππηθή απφθιηζε. 6. Γηα ηηο αθφινπζεο κεηξήζεηο ππνινγίζηε ηα βαζηθά ζηαηηζηηθά κεγέζε θαη ζρνιηάζηε ηα απνηειέζκαηα: 5 7 9 7 7 s 7. Οξίδνπκε ην ζςνηελεζηή μεηαβληηόηηηαρ γηα έλα δείγκα ηνλ αξηζκφ w 00. Υακειέο ηηκέο ηνπ w θαλεξψλνπλ νκνηνγέλεηα, κηθξή κεηαβιεηφηεηα ησλ δεδνκέλσλ. Πνην απφ ηα παξαθάησ ζχλνια δείγκαηα παξνπζηάδεη ηε κηθξφηεξε κεηαβιεηφηεηα; A,5,,9,6 ή B 0,,59,6, 77 8. Γηα ηα παξαθάησ νκαδνπνηεκέλα δεδνκέλα ππνινγίζηε ηνλ αξηζκεηηθφ κέζν, ηελ επηθξαηνχζα ηάμε, ηε δηάκεζν, ηελ ηππηθή απφθιηζε θαη ηε δηαθχκαλζε: Σάμεηο πρλφηεηεο 0-9 0-9 7 0-9 9 0-9 0-9 6 50-59 7

. ΣΟΗΥΔΗΑ ΘΔΧΡΗΑ ΠΗΘΑΝΟΣΖΣΧΝ. Γενικά Όπσο είδακε, θχξην έξγν ηεο ηαηηζηηθήο είλαη ε εμαγσγή ζπκπεξαζκάησλ απφ ην δείγκα γηα ηνλ πιεζπζκφ θαηά ηξφπν πνπ λα επηηξέπεη ηνλ ππνινγηζκφ ηεο αβεβαηφηεηαο ησλ ζπκπεξαζκάησλ πνπ ζπλάγνληαη. Ζ αβεβαηφηεηα απηή εθθξάδεηαη πνζνηηθά κε ηελ πηζαλφηεηα ηα ζπκπεξάζκαηα λα είλαη ζσζηά ή ιάζνο. Γη απηφ ε ζεσξία ησλ Πηζαλνηήησλ παίδεη θεληξηθφ ξφιν ζηε ηαηηζηηθή.. Σςσαίο Πείπαμα - Δνδεσόμενα Βαζηθή έλλνηα ζηε ζεσξία πηζαλνηήησλ είλαη ην πείξακα ηχρεο (radom epermet). Σπραίν πείξακα ή πείξακα ηχρεο είλαη θάζε δηαδηθαζία ε νπνία κπνξεί λα νδεγήζεη ζε δχν ή πεξηζζφηεξα απνηειέζκαηα κε αβεβαηφηεηα φζνλ αθνξά ζην πνην ζα πξαγκαηνπνηεζεί. Γηα παξάδεηγκα: Ζ ξίςε ελφο λνκίζκαηνο Ζ ξίςε ελφο δαξηνχ Ζ επηινγή ελφο θαηαλαισηή κεηαμχ δηαθφξσλ πξντφλησλ Ο αξηζκφο ησλ ειαηησκαηηθψλ πξντφλησλ πνπ παξάγνληαη απφ κηα κεραλή ζε ζπγθεθξηκέλε ρξνληθή πεξίνδν Ζ επηινγή ελφο αξηζκνχ ζηελ ηχρε απφ θιεξσηίδα πνπ πεξηέρεη ηνπο αξηζκνχο,, 9 Σν πιήζνο παηδηψλ πνπ θάλεη κηα νηθνγέλεηα Κνηλφ ραξαθηεξηζηηθφ φισλ ησλ παξαπάλσ παξαδεηγκάησλ είλαη φηη αλ ηα επαλαιάβνπκε θάησ απφ ηηο ίδηεο ζπλζήθεο, δελ παίξλνπκε πάληα ην ίδην απνηέιεζκα. Κάζε κηα απφ ηηο επαλαιήςεηο νλνκάδεηαη δνθηκή. ηελ πξάμε ε επαλάιεςε ελφο πεηξάκαηνο θάησ απφ ηηο ίδηεο αθξηβψο ζπλζήθεο είλαη δχζθνιε έσο αδχλαηε. Π.ρ. είλαη δπλαηφ λα επαλαιάβνπκε πνιιέο θνξέο κε ίδηεο αξρηθέο ζπλζήθεο ηε ξίςε ελφο δαξηνχ, αιιά είλαη αδχλαην φκσο λα παξαθνινπζήζνπκε ηελ ίδηα νηθνγέλεηα λα μαλαδεί, γηα λα κεηξήζνπκε πφζα παηδηά ζα θάλεη θάζε θνξά. Θεσξνχκε φκσο ηηο δηάθνξεο νηθνγέλεηεο πνπ δνπλ ζηνλ ίδην ηφπν θαη ρξφλν σο επαλαιήςεηο ηνπ πεηξάκαηνο απηνχ. Σν απνηέιεζκα ελφο πεηξάκαηνο ηχρεο ιέγεηαη απιφ γεγνλφο ή απιφ ελδερφκελν (smple evet), θαη έλα ζχλνιν απιψλ γεγνλφησλ ιέγεηαη γεγνλφο ή ελδερφκελν (evet). Οξίδνπκε φηη έλα ελδερφκελν πξαγκαηνπνηείηαη ή ζπκβαίλεη (occurs), φηαλ ην απιφ γεγνλφο πνπ πξνθχπηεη απφ ηελ εθηέιεζε ηνπ πεηξάκαηνο πεξηέρεηαη ζην ελδερφκελν απηφ. Οη εθθξάζεηο πνπ αθνινπζνχλ είλαη ελδερφκελα ζρεηηθά κε ηα πεηξάκαηα ηχρεο πνπ αλαθέξζεθαλ πξνεγνχκελα: ε νηθνγέλεηα θάλεη ηνπιάρηζηνλ έλα παηδί, ε νηθνγέλεηα θάλεη πάλσ απφ ηέζζεξα παηδηά, ην δάξη ζα θέξεη πεξηηηφ αξηζκφ.. Γειγμαηικόρ σώπορ Σν ζχλνιν φισλ ησλ δπλαηψλ απνηειεζκάησλ ελφο πεηξάκαηνο ηχρεο, ην ζχλνιν δει. φισλ ησλ απιψλ ελδερνκέλσλ ηνπ, ιέγεηαη δεηγκαηνρψξνο ή δεηγκαηηθφο ρψξνο (sample space) ηνπ πεηξάκαηνο θαη ζπκβνιίδεηαη κε S, ελψ θαζέλα απφ ηα απνηειέζκαηα είλαη έλα δεηγκαηηθφ ζεκείν. Έηζη έλα ελδερφκελν νξίδεηαη ζαλ έλα ππνζχλνιν ηνπ δεηγκαηνρψξνπ. ηε ζπλέρεηα θάζε ελδερφκελν κέζα ζην ζπγθεθξηκέλν ρψξν δπλαηφηεηαο ζπζρεηίδεηαη κε κηα ηηκή: ηελ πηζαλφηεηα φηη ην ελδερφκελν ζα ζπκβεί Αλ κε s,,,,ζπκβνιίζνπκε ηα απιά ελδερφκελα ηνπ πεηξάκαηνο ηφηε: 8

S s, s,, s, Αλ ην πιήζνο ησλ απιψλ ελδερνκέλσλ είλαη πεπεξαζκέλν, ηφηε ην S είλαη πεπεξαζκέλν ζχλνιν θαη ν δεηγκαηνρψξνο ιέγεηαη επίζεο πεπεξαζκέλνο ε θάζε άιιε πεξίπησζε αλαθεξφκαζηε ζε ρψξνπο άπεηξα αξηζκήζηκνπο πνπ ζα ηνπο δηαθξίλνπκε ζε αξηζκήζηκνπο θαη κε-αξηζκήζηκνπο δεηγκαηoρψξoπο. Απαξαίηεην ζηνηρείν ζηελ δηαηχπσζε ελφο πηζαλνθξαηηθνχ πξνβιήκαηνο είλαη ν πξνζδηνξηζκφο ηνπ ζπλφινπ ησλ δπλαηψλ ελδερνκέλσλ ελφο θαηλφκελνπ θαζψο θαη ηνπ ελδερνκέλνπ πνπ καο ελδηαθέξεη.. Ππάξειρ με ενδεσόμενα Έζησ A, A δχν ελδερφκελα ηνπ δεηγκαηηθνχ ρψξνπ S. Ζ έλσζε ησλ A θαη A, ζπκβνιίδεηαη κε A A θαη είλαη ην ελδερφκελν ην νπνίν πεξηέρεη ηα απνηειέζκαηα πνπ είλαη ζηνηρεία ηνπιάρηζηνλ ηνπ ελφο απφ ηα δχν ελδερφκελα. Γειαδή, ην A A ζπκβαίλεη φηαλ ζπκβαίλεη ην A ή ην A ή θαη ηα δχν: A A A A A Ζ ηνκή ησλ A θαη A, ζπκβνιίδεηαη κε A A θαη είλαη ην ελδερφκελν ην νπνίν πεξηέρεη ηα απνηειέζκαηα πνπ είλαη ζηνηρεία ηνπ A θαη ηνπ A. Γειαδή, ην A A ζπκβαίλεη φηαλ ζπκβαίλεη θαη ην A θαη ην A : A A A A A A Σν ζπκπιεξσκαηηθφ ελφο ελδερνκέλνπ A ηνπ δεηγκαηηθνχ ρψξνπ S, ζπκβνιίδεηαη κε A θαη είλαη ην ελδερφκελν πνπ πεξηέρεη ηα απνηειέζκαηα ηνπ S πνπ δελ αλήθνπλ ζην A : A A A Ζ δηαθνξά ησλ A θαη A ή ην ζρεηηθφ ζπκπιήξσκα ηνπ A πξνο ην A, ζπκβνιίδεηαη κε A A ή A A θαη απνηειείηαη απφ ηα απνηειέζκαηα πνπ αλήθνπλ ζην A θαη δελ αλήθνπλ ζην A. A A A A A A 9

Αλ ηα ελδερφκελα A, A,, A απνηεινχλ έλα δηακεξηζκφ ηνπ S, δειαδή j j θαη A S, ηφηε γηα θάζε άιιν ελδερφκελν B ηνπ S ηζρχεη B S B ( A A A ) B ( A B) ( A B) ( A B) Γεληθά ηζρχεη: A ( B C) ( A B) ( A C) A ( B C) ( A B) ( A C) A A γηα.5 Οπιζμόρ και Ιδιόηηηερ ηηρ Πιθανόηηηαρ.5. Κλαζικόρ οπιζμόρ ηηρ Πιθανόηηηαρ Έζησ φηη ν δεηγκαηνρψξνο S απνηειείηαη απφ πεπεξαζκέλν αξηζκφ δεηγκαηνζεκείσλ θαη φηη ην θαζέλα απφ απηά έρεη ην ίδην βαζκφ βεβαηφηεηαο γηα λα πξαγκαηνπνηεζεί. Γηα παξάδεηγκα, θαηά ηε ξίςε ελφο ακεξφιεπηνπ δαξηνχ, S,,,,5, 6 θαη θάζε αξηζκφο έρεη ην ίδην βαζκφ βεβαηφηεηαο λα πξαγκαηνπνηεζεί. Σφηε ε πηζαλφηεηα ελφο ελδερνκέλνπ A, ζπκβνιίδεηαη κε P (A), θαη νξίδεηαη σο εμήο: P ( A) επλντθέο πεξηπηψζεηο γηα λα πξαγκαηνπνηεζεί ην A ζχλνιν φισλ ησλ δπλαηψλ απνηειεζκάησλ.5. Οπιζμόρ ηηρ Πιθανόηηηαρ ζαν ζσεηική ζςσνόηηηα Έζησ έλα πείξακα ηχρεο κε δεηγκαηνρψξν S θαη A έλα ελδερφκελν ηνπ. Δπαλαιακβάλνπκε ην πείξακα N θνξέο, έηζη ψζηε κεηά απφ θάζε επαλάιεςε, λα επηζηξέθνπκε ζηηο αξρηθέο ζπλζήθεο θαη ηα απνηειέζκαηα λα κελ επεξεάδνληαη απφ πξνεγνχκελα. Αλ ζπκβνιίζνπκε κε N A ηε ζπρλφηεηα πξαγκαηνπνίεζεο ηνπ ελδερνκέλνπ N A A, ηφηε ν ιφγνο f A εθθξάδεη ηε ζρεηηθή ζπρλφηεηα ηνπ A. Όηαλ ην N ηείλεη ζην N άπεηξν, ηφηε ην φξην ηεο ζρεηηθήο ζπρλφηεηαο ηζνχηαη κε ηελ πηζαλφηεηα ηνπ A : P ( A ) lm N A N N ηελ πξάμε φζν κεγαιχηεξνο αξηζκφο είλαη ην N, ηφζν θαιχηεξε πξνζέγγηζε ηεο πηζαλφηεηαο έρνπκε..5. Αξιυμαηικόρ Οπιζμόρ ηηρ Πιθανόηηηαρ Έζησ S ν δεηγκαηνρψξνο ελφο πεηξάκαηνο θαη U A : A S ην ζχλνιν ησλ δπλαηψλ ελδερνκέλσλ ηνπ. Σφηε ε πηζαλφηεηα P είλαη κηα ζπλνινζπλάξηεζε P : U R, ε νπνία ηθαλνπνηεί ηα εμήο αμηψκαηα: 0 P ( A), γηα θάζε A U P (S) Αλ A θαη A είλαη αζπκβίβαζηα ελδερφκελα, δει. A B P ( A B) A) B), ηφηε 50

.5. Κανόνερ Πιθανοηήηυν Έζησ S ν δεηγκαηνρψξνο θαη A, B,C ελδερφκελα ηνπ S. Σφηε απνδεηθλχεηαη φηη ηζρχνπλ:. 0 P ( A), δειαδή θάζε ελδερφκελν πξαγκαηνπνηείηαη κε πηζαλφηεηα ην πνιχ.. P ( ) 0, δειαδή ε πηζαλφηεηα ηνπ αδχλαηνπ ελδερνκέλνπ είλαη 0.. Αλ A B ηφηε P ( A) B).. P ( A) A) ή P ( A) ( A), δειαδή ε πηζαλφηεηα ηνπ ζπκπιεξσκαηηθνχ ελφο ελδερφκελνπ A ηζνχηαη κε κείνλ ηελ πηζαλφηεηα ηνπ A. 5. A ή B ) A) B) A θαη B ) ή 6. P ( A B) A) B) A B), P ( A B C) A) B) C) A B) B C) A C) P ( A B C) 7. Αλ ηα ελδερφκελα A, A,, A απνηεινχλ έλα δηακεξηζκφ ηνπ S, δειαδή A A j γηα j θαη A S ( B P B) B A ) B A ), ηφηε γηα θάζε άιιν ελδερφκελν B ηνπ S ηζρχεη 8. Αλ ηα ελδερφκελα A θαη B είλαη αζπκβίβαζηα (ακνηβαίσο απνθιεηφκελα) δειαδή δελ κπνξνχλ λα ζπκβνχλ ζπγρξφλσο θαη άξα A B, ηφηε P ( A B) A) B), αθνχ P ( A B) 0. A ) 9. Αλ A B, ηφηε P ( B A) B) A), φπνπ θπζηθά P ( A) B)..6 Γεζμεςμένη Πιθανόηηηα Σελ πηζαλφηεηα ελφο γεγνλφηνο A, κε δεδνκέλε ηελ πξαγκαηνπνίεζε ηνπ γεγνλφηνο Β, ιέκε δεζκεπκέλε πηζαλφηεηα (codtoal probablty) ή ππφ ζπλζήθε πηζαλφηεηα, ζπκβνιίδνπκε κε P ( A / B) θαη δηαβάδνπκε «πηζαλφηεηα ηνπ A δνζέληνο ηνπ B». ε ζρέζε κε ηελ αξρηθή πηζαλφηεηα P (A) πνπ νλνκάδεηαη θαη «a prory», ε δεζκεπκέλε πηζαλφηεηα P ( A / B) νλνκάδεηαη «a posterory», δηφηη πξνυπνζέηεη κία εθ ησλ πζηέξσλ γλψζε. Ζ δεζκεπκέλε πηζαλφηεηα ελφο γεγνλφηνο A, δνζέληνο ηνπ γεγνλφηνο B (κε κε-κεδεληθή πηζαλφηεηα), νξίδεηαη σο εμήο: A/ B) 5 A B) B) Ζ πξαγκαηνπνίεζε ηνπ γεγνλφηνο B επεξεάδεη, ηελ πηζαλφηεηα πξαγκαηνπνίεζεο ηνπ άιινπ γεγνλφηνο A. Πξάγκαηη κε ηε γλψζε ηεο πξαγκαηνπνίεζεο ηνπ B, ε πηζαλφηεηα ηνπ A απφ P (A) κεηαβάιιεηαη ζε P ( A / B). Οη δπν απηέο πηζαλφηεηεο είλαη γεληθά δηαθνξεηηθέο. Τπάξρνπλ φκσο θαη πεξηπηψζεηο ζηηο νπνίεο ηζρχεη: P ( A/ B) A). ηηο πεξηπηψζεηο απηέο, πνπ είλαη ηδηαίηεξα ελδηαθέξνπζεο ζηηο πηζαλφηεηεο, ην γεγνλφο A ιέγεηαη (ζηνραζηηθά) αλεμάξηεην) (stochastcally depedet) ηνπ B. A B) Δθαξκφδνληαο ηνλ νξηζκφ P ( A/ B), ε ζρέζε P ( A/ B) A), καο δίλεη B) P ( A B) A) B). ηελ πξάμε απηή ηελ ηειεπηαία ζρέζε ρξεζηκνπνηνχκε γηα έιεγρν αλεμαξηεζίαο.

.6. Θεώπημα Ολικήρ Πιθανόηηηαρ ε νξηζκέλεο πεξηπηψζεηο έλα (ζχλζεην) ζηνραζηηθφ πείξακα κπνξεί λα ζεσξεζεί φηη απνηειείηαη απφ δχν βήκαηα (πεηξάκαηα). Σα δχν απηά πεηξάκαηα είλαη έηζη ψζηε, νη πηζαλφηεηεο ησλ ελδερνκέλσλ πνπ αθνξνχλ ην δεχηεξν πείξακα λα εμαξηψληαη απφ ην απνηέιεζκα ηνπ πξψηνπ πεηξάκαηνο. Δίλαη ελδηαθέξνλ ζε απηή ηελ πεξίπησζε λα δνχκε πσο κπνξεί λα γίλεη ν ππνινγηζκφο ηεο πηζαλφηεηαο ελφο ελδερνκέλνπ πνπ αθνξά ην δεχηεξν πείξακα (ή ζπλνιηθά θαη ηα δχν πεηξάκαηα). Γηα παξάδεηγκα, έζησ φηη αξρηθά ξίρλνπκε έλα λφκηζκα. Αλ έξζεη θεθαιή ηφηε επηιέγνπκε ηπραία κία ζθαίξα απφ έλα θνπηί πνπ πεξηέρεη 5 καχξεο θαη ιεπθέο ζθαίξεο. Αλ έξζεη γξάκκαηα ηφηε επηιέγνπκε ηπραία κία ζθαίξα απφ έλα άιιν θνπηί πνπ πεξηέρεη 6 καχξεο θαη ιεπθέο ζθαίξεο. Πνηα ζα είλαη ε πηζαλφηεηα εθινγήο καχξεο ζθαίξαο αλ δνχκε απηά ηα δχν βήκαηα ζαλ έλα πείξακα; Αξρηθά ζέηνπκε K ην ελδερφκελν λα θέξνπκε θεθαιή θαη Γ ην ελδερφκελν λα θέξνπκε γξάκκαηα ζηε ξίςε ηνπ λνκίζκαηνο. Αλ Μ είλαη ην ελδερφκελν επηινγήο καχξεο ζθαίξαο ηφηε ζα ηζρχεη φηη M) P (M K) (M Γ) M K) M Γ) M/K) Έρνπκε φηη P ( M K) 5 8, M Γ) 6 8, K) Γ) πλεπψο 5 6 P (M ). 8 8 6 K) M Γ) Γ) Ζ ζπγθεθξηκέλε κέζνδνο κπνξεί λα ρξεζηκνπνηεζεί θαη ζηελ πεξίπησζε πνπ ηα απνηειέζκαηα ηνπ πξψηνπ βήκαηνο είλαη πεξηζζφηεξα απφ δχν. Αθφκε γεληθφηεξν είλαη ην επφκελν ζεψξεκα πνπ είλαη γλσζηφ θαη σο ζεψξεκα νιηθήο πηζαλφηεηαο. Θεψξεκα νιηθήο πηζαλφηεηαο: Έζησ δεηγκαηηθνχ ρψξνπ S, κε S A A, A, A μέλα αλά δχν ελδερφκελα ελφο A A. Αλ B είλαη έλα ελδερφκελν ηνπ S, ηφηε P B) B/ A ) A ) B/ A ) A ) B/ A ) A ) ( Παξάδεηγκα: Οη θνηηήηξηεο κηαο ζρνιήο θξίλνληαη ηθαλέο ή κε ηθαλέο λα πεξάζνπλ έλα κάζεκα βάζεη γξαπηψλ εμεηάζεσλ. Ζ πηζαλφηεηα λα θξηζεί ηθαλή κία άξηζηε ( A ), πνιχ θαιή ( B ), θαιή ( C ), κέηξηα ( D ) θαη θαθή ( E ) θνηηήηξηα είλαη 95%, 75%, 50%, 5%, 5% αληίζηνηρα. Αλ ην πνζνζηφ ησλ A, B, C, D, E αλάκεζα ζηηο θνηηήηξηεο ηεο ζρνιήο είλαη %, 7%, 0%, 0%, 0% αληίζηνηρα, λα βξεζεί ε πηζαλφηεηα κία ηπραία επηιεγκέλε θνηηήηξηα λα πεξάζεη ην κάζεκα. Πνηα είλαη ε πηζαλφηεηα θάπνηα λα είλαη άξηζηε δεδνκέλνπ φηη πέξαζε ην κάζεκα; Απάληεζε: Γηα λα βξνχκε ηελ πηζαλφηεηα λα πεξάζεη ην κάζεκα κία θνηηήηξηα ζα πξέπεη πξψηα λα γλσξίδνπκε ζε πνηα απφ ηηο πέληε θαηεγνξίεο αλήθεη. Έζησ A, B, C, D, E ηα ελδερφκελα λα αλήθεη ζηηο άξηζηεο, πνιχ θαιέο, θαιέο, κέηξηεο, θαθέο θνηηήηξηεο αληίζηνηρα. Αλ I είλαη ην ελδερφκελν λα θξηζεί ε θνηηήηξηα ηθαλή, απφ ην ζεψξεκα νιηθήο πηζαλφηεηαο ζα ηζρχεη φηη P ( I) I / A) A) I / B) B) I / C) C) I / D) D) I / E) E) ( 0.95)(0.0) Δπίζεο, P ( A/ I) (0.75)(0.7) A I) I) (0.50)(0.0) I / A) A) I) (0.5)(0.0) (0.95)(0.0) 0.6 (0.05)(0.0) 0.065 6.5% 0.6.6% 5

.6. Θεώπημα ηος Bayes Έζησ S A, A, A μέλα αλά δχν ελδερφκελα ελφο δεηγκαηηθνχ ρψξνπ S, κε A A A. Αλ B είλαη έλα ελδερφκελν ηνπ S, ηφηε A / B) B / A ) A ) B / A ) A B / A ) A ) ) B / A ) A,,,. ) Παξάδεηγκα: Όηαλ θάπνηνο παίξλεη ιεσθνξείν γηα ηε δνπιεηά ηνπ πεγαίλεη θαζπζηεξεκέλνο ζην 0% ησλ πεξηπηψζεσλ θαη φηαλ παίξλεη ηαμί πεγαίλεη θαζπζηεξεκέλνο ζην 0% ησλ πεξηπηψζεσλ. Πξνηηκά ιεσθνξείν ζην 80% θαη ηαμί ζην 0% ησλ πεξηπηψζεσλ. (α) Πνηα ε πηζαλφηεηα λα πάεη θαζπζηεξεκέλνο ζηε δνπιεηά ηνπ κηα εκέξα; (β) Αλ κία εκέξα πήγε θαζπζηεξεκέλνο ζηε δνπιεηά ηνπ, πνηα ε πηζαλφηεηα λα πήγε κε ιεσθνξείν; Απάληεζε: Αο νξίζνπκε ηα ελδερφκελα K = θαζπζηεξεκέλνο, Λ: παίξλεη ιεσθνξείν, Σ: παίξλεη ηαμί. Ζ πηζαλφηεηα λα πάεη θαζπζηεξεκέλνο ζηε δνπιεηά ηνπ κηα εκέξα είλαη K) K / B) B) K / T) T) (0.)(0.8) (0.)((0.) 0.6. Ζ πηζαλφηεηα λα πήγε κε ιεσθνξείν δεδνκέλνπ φηη πήγε θαζπζηεξεκέλνο είλαη B / K) K / B) B) K) (0.)(0.8) 0.6 0.9 Παξάδεηγκα: Ζ ηηκή ελφο πξντφληνο απμνκεηψλεηαη ζην ρξφλν. Σν ηειεπηαίν δηάζηεκα έρεη κε θάπνην ηξφπν εθηηκεζεί φηη φηαλ ε ηηκή αιιάδεη, απηή είηε κεηψλεηαη κε πηζαλφηεηα 5% είηε απμάλεηαη κε πηζαλφηεηα 85%. Έλαο αλαιπηήο πξνβιέπεη φηη ε επφκελε θίλεζε ηεο ηηκήο ζα είλαη θαζνδηθή ελψ έλαο αλεμάξηεηνο δεχηεξνο φηη ζα είλαη αλνδηθή. Πνηνλ αλαιπηή λα εκπηζηεπηνχκε αλ ν πξψηνο θάλεη θαζνδηθή ελψ έλαο αλεμάξηεηνο δεχηεξνο φηη ζα είλαη αλνδηθή. Πνηνλ αλαιπηή λα εκπηζηεπηνχκε αλ ν πξψηνο θάλεη ζσζηή πξφβιεςε ζην 90% θαη ν δεχηεξνο ζην 70% ησλ πεξηπηψζεσλ; Απάληεζε: Έζησ A ην ελδερφκελν λα απμεζεί ε ηηκή θαη M ην ελδερφκελν λα κεησζεί. Αο ζπκβνιίζνπκε κε A, M ηα ελδερφκελα λα πξνβιέςεη ν αλαιπηήο αχμεζε, κείσζε αληίζηνηρα ηεο ηηκήο. Ζ πηζαλφηεηα λα απμεζεί ε ηηκή δεδνκέλνπ φηη ν πξψηνο αλαιπηήο πξνέβιεςε κείσζε θαη ν δεχηεξνο αχμεζε είλαη P ( A/ M A ) M Οη δχν αλαιπηέο είλαη αλεμάξηεηνη, άξα P ( M A / A) M / A) A / A) θαη P ( M A / M ) M / M ) A / M ) M A A / A) A) (0.)(0.7) (0.9)(0.) / A) A) M A / M ) M ) Δπνκέλσο ηειηθά, P (0.07)(0.85) ( A / M A ) 0.595 59.5% (0.07)(0.85) (0.7)(0.5) Άξα δεδνκέλσλ ησλ ζηνηρείσλ πνπ έρνπκε (νη εηζεγήζεηο ησλ δχν αλαιπηψλ) είλαη πηζαλφηεξν λα έρνπκε αχμεζε (59.5%) αληί κείσζε (0.5%) ηεο ηηκήο. ηε ζπγθεθξηκέλε πεξίπησζε ινηπφλ, ίζσο ζα πξέπεη λα εκπηζηεπηνχκε ην δεχηεξν αλαιπηή αλ θαη δελ είλαη ηφζν αμηφπηζηνο φζν ν πξψηνο. 5

Παξάδεηγκα: Απφ έλα θνπηί πνπ πεξηέρεη θνπκπηά ρξσκάησλ θαη ζπγθεθξηκέλα 0 θφθθηλα, 5 καχξα, 5 πξάζηλα θαη 0 θίηξηλα, επηιέγνπκε κε ηπραίν ηξφπν έλα θνπκπί. Να βξεζεί ε πηζαλφηεηα φηη ην θνπκπί είλαη (α) καχξν (β) νχηε πξάζηλν νχηε θίηξηλν (γ) φρη θίηξηλν (δ) θφθθηλν είηε πξάζηλν είηε καχξν (ε) φρη κπιε Απάληεζε: Σν θνπηί πεξηέρεη 0 θνπκπηά ζπλνιηθά. Δπνκέλσο: 5 (α) καχξν ) 0. 75 0 5 (β) νχηε πξάζηλν νχηε θίηξηλν ) 0. 65 0 0 (γ) φρη θίηξηλν ) 0. 75 0 0 (δ) θφθθηλν είηε πξάζηλν είηε καχξν ) 0. 75 0 (ε) φρη κπιε ) Παξάδεηγκα: (α) Να βξεζεί ε πηζαλφηεηα λα πάξνπκε έλα ηνπιάρηζηνλ «6» φηαλ ξίμνπκε 5 δάξηα. (β) Να βξεζεί ε πηζαλφηεηα λα πάξνπκε έλα ηνπιάρηζηνλ «6» φηαλ ξίμνπκε δάξηα. (γ) Πφζα δάξηα πξέπεη λα ξίμνπκε ψζηε ε πηζαλφηεηα λα πάξνπκε έλα ηνπιάρηζηνλ «6» λα είλαη ηνπιάρηζηνλ 0.99; Απάληεζε: (α) Αλ ξίμνπκε έλα δάξη P ( έλα ηνπιάρηζηνλ 6) P (6) θαη 6 θαλέλα 6) P (6) 5 6 5 5. Όηαλ ξίμνπκε 5 δάξηα 6 0.598 (β) Όηαλ ξίμνπκε δάξηα έλα ηνπιάρηζηνλ 6) 5 6 5 (γ) Πξέπεη λα βξνχκε ην έηζη ψζηε 0. 99 ή 5 0. 0 6 6. Λνγαξηζκίδνληαο ηα δχν κέιε ηεο παξαπάλσ ζρέζεο παίξλνπκε 5 log(0.0) log log( 0.0) 5.. Δπνκέλσο πξέπεη λα ξίμνπκε 6 δάξηα 6 5 log 6 έηζη ψζηε ε πηζαλφηεηα λα πάξνπκε έλα ηνπιάρηζηνλ «6» λα είλαη ηνπιάρηζηνλ 0.99. 5

.7 Μέθοδοι Απαπίθμηζηρ Γηα ηνλ ππνινγηζκφ ηεο πηζαλφηεηαο ρξεηάδεηαη λα απαξηζκήζνπκε φινπο ηνπο δπλαηνχο ηξφπνπο κε ηνπο νπνίνπο κπνξνχλ λα πξαγκαηνπνηεζνχλ ηα ελδερφκελα. Γηα ην ζθνπφ απηφ ζα παξαζέζνπκε ζπλνπηηθά θάπνηα ζηνηρεία πλδπαζηηθήο Αλάιπζεο..7. Η Πολλαπλαζιαζηική απσή Αλ θαηά ηελ απαξίζκεζε ησλ ζηνηρείσλ ελφο ζπλφινπ ε δηαδηθαζία ηεο απαξίζκεζεο κπνξεί λα ρσξηζζεί ζε δηαθνξεηηθά βήκαηα ηα νπνία πξέπεη λα εθηειεζηνχλ δηαδνρηθά ην έλα κεηά ην άιιν θαη ην πιήζνο ησλ δπλαηψλ επηινγψλ ζε θάζε βήκα είλαη πιήξσο θαζνξηζκέλν φηαλ είλαη γλσζηά ηα απνηειέζκαηα φισλ ησλ πξνεγνχκελσλ βεκάησλ, ηφηε ε απαξίζκεζε κπνξεί λα γίλεη κε ρξήζε ηεο πνιιαπιαζηαζηηθήο αξρήο ε νπνία δηαηππψλεηαη σο εμήο: «Αλ κηα δηαδηθαζία πεξηιακβάλεη k ζηάδηα θαη ην πξψην κπνξεί λα εθηειεζηεί κε ηξφπνπο, ην δεχηεξν κε ηξφπνπο,, θαη ην ηειεπηαίν κε k ηξφπνπο, ηφηε ε δηαδηθαζία κπνξεί λα εθηειεζηεί ζπλνιηθά κε k δηαθνξεηηθνχο ηξφπνπο». Παξάδεηγκα: Έλα πξντφλ πεξλάεη απφ ζηάδηα πνηνηηθνχ ειέγρνπ: ζην πξψην ζηάδην ραξαθηεξίδεηαη κε ηξφπνπο, ζην δεχηεξν ζηάδην κε ηξφπνπο θαη ζην ηξίην ζηάδην κε ηξφπνπο. Να πξνζδηνξηζηεί ν αξηζκφο ησλ ηξφπσλ κε ηνπο νπνίνπο κπνξεί λα ραξαθηεξηζηεί ε πνηφηεηα ηνπ πξντφληνο. Απάληεζε: Με βάζε ηελ πνιιαπιαζηαζηηθή αξρή, ν αξηζκφο ησλ δπλαηψλ ηξφπσλ ραξαθηεξηζκνχ ηεο πνηφηεηαο ηνπ πξντφληνο είλαη..7. Μεηαθέζειρ Έζησ φηη έρνπκε έλα ζχλνιν δηαθνξεηηθψλ ζηνηρείσλ. Οη κεηαζέζεηο (permutatos) ησλ ζηνηρείσλ είλαη νη δηαθνξεηηθέο δηαηεηαγκέλεο άδεο πνπ ζρεκαηίδνληαη ηνπνζεηψληαο ηα ζηνηρεία ζε κηα γξακκή. Σν πιήζνο ησλ κεηαζέζεσλ P ελφο ζπλφινπ ζηνηρείσλ, φπσο πξνθχπηεη εχθνια απφ ηελ πνιιαπιαζηαζηηθή αξρή, ηζνχηαη κε! ( ) ( ).... Απηφ νλνκάδεηαη παξαγνληηθφ, νξίδεηαη γηα θάζε κε αξλεηηθφ αθέξαην αξηζκφ θαη είλαη ην γηλφκελν φισλ ησλ δηαδνρηθψλ αθεξαίσλ απφ ην έσο ην. Δμ νξηζκνχ ηζρχεη 0!!. Παξάδεηγκα: Να πξνζδηνξηζηνχλ ν αξηζκφο ησλ κεηαζέζεσλ ηνπ ζπλφινπ,,,. Πηζηνπνηείζηε ην απνηέιεζκα θαηαγξάθνληαο φιεο ηηο δπλαηέο κεηαζέζεηο. Απάληεζε: Ο αξηζκφο ησλ κεηαζέζεσλ ηζνχηαη κε P!. Απηέο είλαη: Παξάδεηγκα: Πφζεο δηαθνξεηηθέο πηλαθίδεο απηνθηλήησλ κπνξνχκε λα θηηάμνπκε κε ηα γξάκκαηα,, αθνινπζνχκελα απφ ηνπο αξηζκνχο,,, ; Απάληεζε: Τπάξρνπλ! ηξφπνη κεηαζέζεσλ ησλ γξακκάησλ θαη! ηξφπνη κεηαζέζεσλ ησλ αξηζκψλ. Άξα!! 6 δηαθνξεηηθέο πηλαθίδεο. 55

Έζησ ηψξα φηη έρνπκε έλα ζχλνιν ζηνηρείσλ, απφ ηα νπνία είλαη ελφο είδνπο, ελφο δεχηεξνπ είδνπο,, k είλαη ελφο k είδνπο, έηζη ψζηε k. Σφηε ην πιήζνο! ησλ κεηαζέζεσλ ησλ ζηνηρείσλ ηζνχηαη κε!!!. k Παξάδεηγκα: Με πφζνπο ηξφπνπο κπνξνχκε λα κεηαζέζνπκε ηα γξάκκαηα ηεο ιέμεο ΣΑΣΗΣΗΚΖ; Απάληεζε: Τπάξρνπλ 0 γξάκκαηα απφ ηα νπνία είλαη, «Σ», «Η», «Α», «Κ» 0! θαη «Ζ». Δπνκέλσο έρνπκε 500 κεηαζέζεηο.!!!!!! Παξάδεηγκα: Γέθα θνηηεηέο ηνπνζεηνχληαη ζηε ζεηξά, ζε κία γξακκή. Πνηα ε πηζαλφηεηα νη δχν λεφηεξνη ζε ειηθία λα κε βξίζθνληαη ν έλαο δίπια ζηνλ άιιν. Απάληεζε: Τπάξρνπλ 0! ηξφπνη λα βάινπκε ηνπο θνηηεηέο ζηε ζεηξά. Έζησ N λα ζπκβνιίδεη ην γεγνλφο φηη νη δχν λεφηεξνη ζε ειηθία θνηηεηέο βξίζθνληαη ν έλαο δίπια ζηνλ άιιν. Αλ ρεηξηζηνχκε απηφ ζαλ έλα «αληηθείκελν», ηφηε κπνξνχκε λα δηαηάμνπκε ηα 9 αληηθείκελα κε 9! ηξφπνπο. Οη δχν λεφηεξνη ζε ειηθία θνηηεηέο κπνξνχλ λα δηαηαρζνχλ κε! ηξφπνπο. Δπνκέλσο P (N)!9! 0!. Άξα 5 P (N ) λεφηεξνη ζε ειηθία λα κε βξίζθνληαη ν έλαο δίπια ζηνλ άιιν είλαη 5. 5, δειαδή ε πηζαλφηεηα νη δχν 5.7. Γιαηάξειρ Έζησ ηψξα φηη έρνπκε έλα ζχλνιν δηαθνξεηηθψλ ζηνηρείσλ, απφ ηα νπνία ζέινπκε λα πάξνπκε k ζηνηρεία θαη καο ελδηαθέξεη ε ζεηξά εκθάληζεο. Αλ θαλέλα ζηνηρείν δε κπνξεί λα επαλαιακβάλεηαη (ρσξίο επαλαηνπνζεηήζεηο) ηφηε κηιάκε γηα δηαηάμεηο ησλ ζηνηρείσλ αλά k. Σν πιήζνο ησλ δηαηάμεσλ ησλ ζηνηρείσλ αλά k ζπκβνιίδεηαη κε P, ή P (, k) θαη ηζνχηαη κε: k!, ( ) ( )... ( k ( k)! P k ) Αλ θάζε ζηνηρείν κπνξεί λα επαλαιακβάλεηαη κέρξη θαη k θνξέο (κε επαλαηνπνζεηήζεηο), ηφηε κηιάκε γηα επαλαιεπηηθέο δηαηάμεηο ησλ ζηνηρείσλ αλά k. Σν πιήζνο ησλ R k επαλαιεπηηθψλ δηαηάμεσλ ησλ ζηνηρείσλ αλά k ζπκβνιίδεηαη κε P, θαη ηζνχηαη κε. Πξνθαλψο, αλ k, ηφηε ν αξηζκφο ησλ επαλαιεπηηθψλ δηαηάμεσλ είλαη k. Παξάδεηγκα: Θέινπκε λα ζρεκαηίζνπκε έλα κπζηηθφ θψδηθα κε ηα ςεθία 0 θαη. Αλ θάζε θψδηθαο απνηειείηαη απφ ςεθία, πφζνπο ηέηνηνπο θψδηθεο κπνξνχκε λα θηηάμνπκε; Απάληεζε: Αθξηβψο 6 θψδηθεο. Οξίζηε πνηνη είλαη: 0000 00 00 0 000 00 00 0 000 00 00 0 000 000 0 56

Παξάδεηγκα: Σέζζεξηο θίινη ζπκθσλνχλ λα ζπλαληεζνχλ ζην μελνδνρείν «Άλεζηο» ηεο Θεζζαινλίθεο. πκβαίλεη φκσο λα ππάξρνπλ μελνδνρεία κε ην ίδην φλνκα. Αλ θάζε έλαο απφ ηνπο θίινπο δηαιέμεη ζηελ ηχρε λα πάεη ζε έλα απφ απηά, πνηα ε πηζαλφηεηα λα κε ζπλαληεζεί θαλείο κε θαλέλα;! Απάληεζε: Ζ πηζαλφηεηα είλαη 0. 0975 (γηαηί;) 56 Παξάδεηγκα: Έζησ φηη δηαζέηνπκε 0 δηαθνξεηηθά θιεηδηά κφλν έλα απφ ηα νπνία αλνίγεη κηα ζπγθεθξηκέλε πφξηα. Γνθηκάδνληαο έλα-έλα θαη κε ηπραία ζεηξά θαζέλα απφ ηα θιεηδηά, πνηα είλαη ε πηζαλφηεηα λα αλνίμνπκε ηελ πφξηα απηή ζηελ (α) πξψηε δνθηκή, (β) πέκπηε δνθηκή, (γ) ηειεπηαία δνθηκή; (0 )! 9! Απάληεζε: ε θάζε πεξίπησζε ε πηζαλφηεηα είλαη 0. (γηαηί;) 0! 0! 0.7. ςνδςαζμοί Έζησ ηψξα φηη έρνπκε έλα ζχλνιν δηαθνξεηηθψλ ζηνηρείσλ, απφ ηα νπνία ζέινπκε λα πάξνπκε k ζηνηρεία θαη δελ καο ελδηαθέξεη ε ζεηξά εκθάληζεο. Αλ θαλέλα ζηνηρείν δε κπνξεί λα επαλαιακβάλεηαη (ρσξίο επαλαηνπνζεηήζεηο) ηφηε κηιάκε γηα ζπλδπαζκνχο ησλ ζηνηρείσλ αλά k. Σν πιήζνο ησλ ζπλδπαζκψλ ησλ ζηνηρείσλ αλά k ζπκβνιίδεηαη κε C, ή C (, k) θαη ηζνχηαη κε: k C, k k! k!( k)! Αλ θάζε ζηνηρείν κπνξεί λα επαλαιακβάλεηαη κέρξη θαη k θνξέο (κε επαλαηνπνζεηήζεηο), ηφηε κηιάκε γηα επαλαιεπηηθνχο ζπλδπαζκνχο ησλ ζηνηρείσλ αλά k. Σν πιήζνο ησλ R επαλαιεπηηθψλ ζπλδπαζκψλ ησλ ζηνηρείσλ αλά k ζπκβνιίδεηαη κε C, θαη ηζνχηαη κε: k C R, k k k ( k k!( )! )! Παξάδεηγκα: Οη δπλαηνί επαλαιεπηηθνί ζπλδπαζκνί ησλ γξακκάησλ,,, αλά δχν κε επαλάιεςε είλαη νη εμήο: R 5 5! Πξάγκαηη, ην πιήζνο ηνπο είλαη 0, αθνχ C, 0!! Παξάδεηγκα: Πφζεο ρεηξαςίεο ζα πξαγκαηνπνηεζνχλ θαηά ηε ζπλάληεζε 5 πνιηηηθψλ; 5 5! Απάληεζε: 0 δηαθνξεηηθέο ρεηξαςίεο.!! 57

Παξάδεηγκα: Απφ 5 δηνηθεηηθνχο ππαιιήινπο θαη 6 νηθνλνκνιφγνπο ζρεκαηίδνπκε κηα επηηξνπή δηνηθεηηθψλ θαη νηθνλνκνιφγσλ. Πφζεο δηαθνξεηηθέο επηηξνπέο κπνξνχκε λα ζρεκαηίζνπκε, αλ (α) δελ επηβιεζνχλ πεξηνξηζκνί, (β) δχν ζπγθεθξηκέλνη δηνηθεηηθνί πξέπεη λα είλαη ζηελ επηηξνπή, (γ) έλαο ζπγθεθξηκέλνο νηθνλνκνιφγνο δελ κπνξεί λα είλαη ζηελ επηηξνπή. 5 6 5! 6! Απάληεζε: (α) 0 5 50!!!! 6! 6! (β) 5 5!!!! 5 5 5! 5! (γ) 0 0 00!!!! Παξάδεηγκα: Καηξφο λα ζηακαηήζεηε λα παίδεηε ΛΟΣΣΟ ή ηνπιάρηζηνλ λα μέξεηε ηηο πηζαλφηεηεο λα θεξδίζεηε! ηελ θιήξσζε ηνπ ΛΟΣΣΟ θιεξψλνληαη 6 δηαθνξεηηθνί αξηζκνί κέζα απφ 9 αξηζκνχο (,,, 9). (α) Πφζεο είλαη νη δπλαηέο εμάδεο πνπ είλαη δπλαηφ λα θιεξσζνχλ; (β) Πνηα ε πηζαλφηεηα λα θεξδίζεη ε εμάδα πνπ έρεηε επηιέμεη; (γ) Έζησ φηη παίδεηε πιήξεο ζχζηεκα 0 αξηζκψλ. Πνηα ε πηζαλφηεηα λα θεξδίζεηε () εμάξη, () πεληάξη, () ηεζζάξη; 9 9! Απάληεζε: (α) 9886 6 6!! (β) 0. 00000007 9886 0 0! 6 (γ) () 6!! 0!6!! 0.0077776 0.% 9 9! 6!!9! 6 6!! 9 0 0! 5 9 0!6!! () 5!5! 9 0.056.% 9 9! 5!5!9! 6 6!! 9 0 9! 0! 9!0!6!! ()!7!!6! 0.0668 % 9 9!!7!!6!9! 6 6!! 58

πλνπηηθφ Γηάγξακκα Γηαηάμεσλ θαη πλδπαζκψλ Γείγκα Δλδηαθέξεη ε ζεηξά εκθάληζεο «Γηαηάμεηο» Γελ ελδηαθέξεη ε ζεηξά εκθάληζεο «πλδπαζκνί» Με επαλαηνπνζέηεζε: Δπαλαιεπηηθέο δηαηάμεηο ησλ αλά Υσξίο επαλαηνπνζέηεζε: Γηαηάμεηο ησλ αλά Με επαλαηνπνζέηεζε Δπαλαιεπηηθνί ζπλδπαζκνί ησλ αλά Υσξίο επαλαηνπνζέηεζε πλδπαζκνί ησλ αλά 59

.8 Παπαδείγμαηα Παξάδεηγκα : Αλ A θαη B είλαη δχν αλεμάξηεηα ελδερφκελα ηέηνηα ψζηε b a P ( A B) b, κε b a, λα δείμεηε φηη B). a P ( A) a θαη Απάληεζε: Δθφζνλ ηα A θαη B είλαη αλεμάξηεηα ελδερφκελα, P ( A B) A) B). Δπνκέλσο: A A b b a a B) B) B) B) B) b A) A) a a a ( B) a) B) B) A A) B) B) Παξάδεηγκα : Γχν αλεμάξηεηα ελδερφκελα A θαη B είλαη ηέηνηα ψζηε P (A) 0. 5 θαη P (B) 0.. (α) Να ππνινγίζεηε ηηο P ( A B), P ( A B) θαη P ( A B). (β) Δίλαη ηα A θαη B αλεμάξηεηα ελδερφκελα; (γ) Έλα ηξίην ελδερφκελν C κε πηζαλφηεηα P (C) 0., είλαη αζπκβίβαζην ηνπ B. Δίλαη ηα B θαη C αζπκβίβαζηα; Απάληεζε: (α) Δθφζνλ ηα A θαη B είλαη αλεμάξηεηα ελδερφκελα, P ( A B) A) B) (0.5)(0.) 0.. A B) A) B) A B) A) B) A) ( B) 0.5 0. 0. 0.7 P ( A B) A B) 0.7 0.. (β) P ( A) B) ( 0.5)( 0.) (0.5)(0.6) 0. A B) είλαη αλεμάξηεηα ελδερφκελα. (γ) Σα B θαη C είλαη αζπκβίβαζηα αλ ηζρχεη P ( B C) 0., επνκέλσο ηα A θαη B Αιιά B C) B C) [ B) C)] (0. 0.) 0. 0. Άξα ηα B θαη C δελ είλαη αζπκβίβαζηα ελδερφκελα. Παξάδεηγκα : ε έλα εξγνζηάζην κεραλέο A, B θαη C θφβνπλ ηφπηα πθάζκαηνο ηνπ ηδίνπ κήθνπο. Απφ ηε ζπλνιηθή παξαγσγή ηνπ εξγνζηαζίνπ, ε κεραλή A παξάγεη ην 5%, ε B ην 5% θαη ε C ην 0%. Δίλαη επίζεο γλσζηφ φηη ε A παξάγεη % ειαηησκαηηθά ηφπηα πθαζκάησλ, ελψ ηα αληίζηνηρα πνζνζηά ησλ B θαη C είλαη 6% θαη 5% αληίζηνηρα. (α) Να βξεζεί ε πηζαλφηεηα () έλα ηπραία επηιεγκέλν ηφπη χθαζκα λα θφπεθε απφ ηε κεραλή A θαη λα είλαη ειαηησκαηηθφ. () έλα ηπραία επηιεγκέλν ηφπη χθαζκα λα είλαη ειαηησκαηηθφ. (β) Γεδνκέλνπ φηη έλα ηπραία επηιεγκέλν ηφπη χθαζκα είλαη ειαηησκαηηθφ λα βξεζεί ε πηζαλφηεηα λα θφπεθε απφ ηε κεραλή C.

(γ) Γεδνκέλνπ φηη έλα ηπραία επηιεγκέλν ηφπη χθαζκα δελ είλαη ειαηησκαηηθφ λα βξεζεί ε πηζαλφηεηα λα θφπεθε είηε απφ ηε κεραλή A είηε απφ ηε κεραλή B. Απάληεζε: Ξέξνπκε φηη P (A) 0. 5, P (B) 0. 5 θαη P (C) 0. 0. Δπίζεο, αλ E είλαη ην ελδερφκελν γηα ην ειαηησκαηηθφ ηφπη χθαζκα θαη E γηα ην κε ειαηησκαηηθφ, κπνξνχκε λα θαηαζθεπάζνπκε ην πην θάησ δέληξν: 0.5 0.5 0.0 A B C (α) () P ( A E) 0. 005 P (E) 0.005 0.0 0.97 0.06 0.9 0.05 0.95 0.05 E E E E E E E 0.0 C E) 0.0 (β) P ( C E) 0. E) 0.055 0.055 P ( A E) P ( B E) P ( C E) 0.005 0.05 0.0 A E ) B E ) (0.5)(0.97) (0.5)(0.9) (γ) P ( A ή B E ) 0. 60 E ) 0.055 Παξάδεηγκα : Αλ A θαη B είλαη δχν ελδερφκελα ηέηνηα ψζηε P ( B A), λα ππνινγηζηνχλ ηα P ( B A) θαη P ( A B). Απάληεζε: Έρνπκε φηη P ( B A) B A), επνκέλσο Δπίζεο, P ( B A) B A). B A) A) P ( A B). B) P (A), P (B) θαη Παξάδεηγκα: Έλα δνρείν Α πεξηέρεη 5 θφθθηλεο θαη πξάζηλεο κπίιηεο θαη έλα άιιν δνρείν Β πεξηέρεη θφθθηλεο θαη 5 πξάζηλεο κπίιηεο. Δπηιέγνπκε ηπραία κηα κπίιηα απφ ην δνρείν Α θαη ηελ ηνπνζεηνχκε ζην δνρείν Β. ηε ζπλέρεηα επηιέγνπκε ηπραία κηα κπίιηα απφ ην δνρείν Β. Έζησ φηη θαη (, ) ζπκβνιίδνπλ ηα γεγνλφηα φηη ε κπάια πνπ επηιέρηεθε είλαη θφθθηλε ή πξάζηλε αληίζηνηρα. 5 (α) Να δεηρηεί φηη P ( ). 8 6

(β) Να βξεζεί ε πηζαλφηεηα ε δεχηεξε κπίιηα πνπ επηιέγεηαη λα είλαη θφθθηλε. (γ) Να ππνινγηζηεί ε P ). ( Απάληεζε: Α Β 5Κ Π Κ 5Π Ζ κπίιηα πνπ παίξλνπκε απφ ην Α θαη ηνπνζεηνχκε ζην Β κπνξεί λα είλαη θφθθηλε ή πξάζηλε. Αλαιχνπκε ζρεκαηηθά ηα δχν ζελάξηα. Α Β ή Α Β Κ Π Κ 5Π 5Κ Π Κ 6Π (α) (β) P ( ) 5 8 9 5 8 P ( ) θαη επνκέλσο 8 9 8 P ( ) ) ) (γ) 9 P ( ) ) θαη 7 7 5 8 ) 8 P ( ). ) 7 8 9 7 P ( ) 8 6 9, επνκέλσο Παξάδεηγκα 6: 8 θνκκάηηα πθάζκαηνο δηαθνξεηηθψλ ρξσκάησλ πξφθεηηαη λα ηνπνζεηεζνχλ ζηε ζεηξά ην έλα κεηά ην άιιν θαη λα θνιιεζνχλ, ζηα πιαίζηα κηαο εξγαζίαο παηδηψλ ζε λεπηαγσγείν. Γεδνκέλνπ φηη είλαη θφθθηλα, είλαη καχξα θαη είλαη άζπξα, λα ππνινγίζεηε: (α) ην ζπλνιηθφ αξηζκφ ησλ κεηαζέζεσλ, δειαδή κε πφζνπο δηαθνξεηηθνχο ηξφπνπο κπνξνχκε λα ηνπνζεηήζνπκε ηα πθάζκαηα (β) ηνλ αξηζκφ ησλ κεηαζέζεσλ, έηζη ψζηε ην πξψην θαη ην ηειεπηαίν θνκκάηη πθάζκαηνο λα είλαη άζπξν (γ) ηνλ αξηζκφ ησλ κεηαζέζεσλ, έηζη ψζηε κεηαμχ ησλ άζπξσλ λα ππάξρνπλ αθξηβψο δχν θνκκάηηα χθαζκα, έλα θφθθηλν θαη έλα καχξν. Απάληεζε: Έζησ θφθθηλα, καχξα θαη άζπξα θνκκάηηα πθάζκαηνο. 8! (α) ζπλνιηθφο αξηζκφο κεηαζέζεσλ 560!!!. 6

(β) Οπζηαζηηθά έρνπκε λα βξνχκε ην ζπλνιηθφ αξηζκφ κεηαζέζεσλ γηα Κ, Μ θνκκάηηα 6! πθαζκάησλ, άξα 0.!! (γ) Μεηαμχ δχν άζπξσλ δεηάκε θφθθηλν θαη καχξν, άξα έρνπκε δχν πηζαλά ζρήκαηα, ΑΚΜΑ ή ΑΜΚΑ. Θεσξνχκε πξψηα ηελ πεξίπησζε ΑΚΜΑ θαη δεηάκε λα βξνχκε ηνλ αξηζκφ ησλ κεηαζέζεσλ γηα 5 θνκκάηηα, δειαδή ηα Κ, ηα Μ θαη ην ΑΚΜΑ πνπ ην βιέπνπκε ζαλ έλα 5! αληηθείκελν. Άξα νη ηξφπνη είλαη 0. Παξνκνίσο έρνπκε 0 ηξφπνπο ζεσξψληαο ηελ!! άιιε πεξίπησζε κε ην ΑΜΚΑ πνπ επίζεο βιέπνπκε ζαλ έλα αληηθείκελν. Δπνκέλσο ππάξρνπλ ζπλνιηθά 60 ηξφπνη λα ηνπνζεηήζνπκε ηα θνκκάηηα πθαζκάησλ αλ ζέινπκε κεηαμχ ησλ άζπξσλ λα ππάξρνπλ αθξηβψο δχν θνκκάηηα χθαζκα, έλα θφθθηλν θαη έλα καχξν. Παξάδεηγκα 7: Μηα επηηξνπή θνηηεηψλ πνπ ζα απνηειείηαη απφ άηνκα θαη πην ζπγθεθξηκέλα έλα πξφεδξν, έλα γξακκαηέα θαη δχν κέιε πξφθεηηαη λα επηιεγεί κε ηπραίν ηξφπν απφ 0 άηνκα. Να βξεζεί ν αξηζκφο ησλ πηζαλψλ επηινγψλ (α) γηα ηηο ζέζεηο ηνπ πξνέδξνπ θαη ηνπ γξακκαηέα (β) γηα ηηο ζέζεηο ησλ δχν κειψλ (γ) γηα ηηο ζέζεηο ησλ πξνέδξνπ, γξακκαηέα θαη δχν κειψλ. Απάληεζε: (α) 0 9 80 0 0 9 (β) 90 8 (γ) 0 9 80 5 580 Παξάδεηγκα 8: Ζ ηειεπηαία νηθνλνκηθή θξίζε έπιεμε ζνβαξά θαη ηελ ηξάπεδα «Easymoey» κε απνηέιεζκα λα μεθηλήζνπλ νη απνιχζεηο ππαιιήισλ. Ο δηεπζπληήο ηνπ πεξηθεξεηαθνχ θαηαζηήκαηνο, πνπ απνηειείηαη απφ πξνζσπηθφ ππαιιήισλ (5 άληξεο θαη 7 γπλαίθεο, αλάκεζα ηνπο ηνλ θ. Γεσξγίνπ θαη ηελ θ. Ησάλλνπ), έιαβε έλα γξάκκα απφ ηε δηνίθεζε γηα ηελ απφιπζε ππαιιήισλ. Ο δηεπζπληήο ζεσξψληαο φηη φινη έρνπλ ηηο ίδηεο ηθαλφηεηεο απνθάζηζε λα επηιέμεη ηνπο ππφ απφιπζε κε ηπραίν ηξφπν. () Πφζεο δηαθνξεηηθέο επηινγέο έρεη γηα ηελ απφιπζε ησλ αηφκσλ; () Πφζεο απφ απηέο ηηο επηινγέο πεξηιακβάλνπλ ηνλ θ. Γεσξγίνπ θαη ηελ θ. Ησάλλνπ; () Πνηα ε πηζαλφηεηα ν θ. Γεσξγίνπ θαη ε θ. Ησάλλνπ λα απνιπζνχλ θαη νη δχν; Νεφηεξν γξάκκα πνπ θζάλεη ζην δηεπζπληή απφ ηε δηνίθεζε, αλαθέξεη φηη γηα ιφγνπο εζσηεξηθήο πνιηηηθήο ηεο ηξάπεδαο πξέπεη λα είλαη δχν άληξεο θαη δχν γπλαίθεο ζηα ππφ απφιπζε άηνκα. Ο δηεπζπληήο ινηπφλ απνθαζίδεη λα επηιέμεη κε ηπραίν ηξφπν θαη πάιη απφ ηνπο άληξεο θαη απφ ηηο γπλαίθεο. (v) Πφζεο δηαθνξεηηθέο επηινγέο ππάξρνπλ ηψξα γηα ηελ απφιπζε ησλ αηφκσλ; (v) Πνηα ε πηζαλφηεηα ν θ. Γεσξγίνπ θαη ε θ. Ησάλλνπ λα πεξηιακβάλνληαη θαη νη δχν ζηε ιίζηα ησλ ππφ απφιπζε ζηελ ηειεπηαία πεξίπησζε; 6

Απάληεζε: () Δίλαη νη ζπλδπαζκνί κε ηνπο νπνίνπο επηιέγνπκε απφ άηνκα, δειαδή! 95.!8! () Δίλαη νη ηξφπνη κε ηνπο νπνίνπο επηιέγνπκε απφ ηα ελαπνκείλαληα 0 άηνκα αθνχ 0 0! ν θ. Γεσξγίνπ θαη ε θ. Ησάλλνπ βξίζθνληαη ήδε ζηε ιίζηα, δειαδή 5.!8! () Απφ ηα παξαπάλσ, ν θ. Γεσξγίνπ θαη ε θ. Ησάλλνπ λα απνιπζνχλ θαη νη δχν 5 ) 0.09. 95 5 5! (v) Οη άληξεο κπνξνχλ λα επηιεγνχλ κε 0 ηξφπνπο.!! 7 7! Οη γπλαίθεο κπνξνχλ λα επηιεγνχλ κε ηξφπνπο. Άξα ζπλνιηθά κε!5! 0 0 ηξφπνπο. (v) Αλ ν θ. Γεσξγίνπ θαη ε θ. Ησάλλνπ πξφθεηηαη λα απνιπζνχλ θαη νη δχν, ηφηε έρνπκε λα επηιέμνπκε αθφκε άληξα θαη αθφκε γπλαίθα. Δπνκέλσο: (v) Ο άληξαο κπνξεί λα επηιεγεί κε ηξφπνπο, ελψ ε γπλαίθα κε 6 ηξφπνπο. Άξα ζπλνιηθά κε ηξφπνπο. Άξα: ν θ. Γεσξγίνπ θαη ε θ. Ησάλλνπ λα απνιπζνχλ θαη νη δχν ) 0.. 0 5 Παξάδεηγκα 9: Οη εθδφηεο ελφο πεξηνδηθνχ κφδαο ζπλέηαμαλ κηα έξεπλα απφ έλα δείγκα ζπλδξνκεηψλ ηνπο θαη βξήθαλ φηη ην 60% ήηαλ γπλαίθεο. ηελ ίδηα έξεπλα νη ζπλδξνκεηέο θαηαρσξήζεθαλ ζε κία απφ ηηο παξαθάησ θαηεγνξίεο: θνηηεηέο/ηξηεο, εξγαδφκελνη/εο πιήξνπο απαζρφιεζεο, εξγαδφκελνη/εο κεξηθήο απαζρφιεζεο θαη άλεξγνη/εο. Απφ ηηο γπλαίθεο ζπλδξνκήηξηεο ην 0% ήηαλ θνηηήηξηεο, ην 0% εξγαδφκελεο πιήξνπο απαζρφιεζεο, ην 5% εξγαδφκελεο κεξηθήο απαζρφιεζεο θαη ην 5% άλεξγεο. Σα αληίζηνηρα πνζνζηά ζηνπο άληξεο ζπλδξνκεηέο ήηαλ 0%, 5%, 5% θαη 0%. (α) Να βξεζεί ε πηζαλφηεηα αλ επηιέμνπκε ηπραία θάπνην ζπλδξνκεηή λα είλαη () γπλαίθα θνηηήηξηα () άλεξγνο/ε () γπλαίθα ή θνηηεηήο/ηξηα (v) άληξαο κε δεδνκέλν φηη είλαη εξγαδφκελνο/ε πιήξνπο απαζρφιεζεο. (β) Να βξεζεί ε πηζαλφηεηα έλα ηπραίν δείγκα απφ ζπλδξνκεηέο/ηξηεο λα πεξηιακβάλεη αθξηβψο θνηηεηέο/ηξηεο. Απάληεζε: Έζησ " " άληξαο, " " γπλαίθα, " " θνηηεηήο/ηξηα, " " εξγαδφκελνο/ε πιήξνπο απαζρφιεζεο, " " εξγαδφκελνο/ε κεξηθήο απαζρφιεζεο θαη " " άλεξγνο/ε. Σφηε P ( ) 0., P ( ) 0. 6 θαη 0. 0. 0. 05 0. 5 0. 0. 5 0. 5 0. 6

(α) () ) ) (0.5) (0.6) (0.) (0.) ) 0.7 (0.) (0.6) 0.8 () ) ) ) ) ) ) () ) ) ) ) ) ) (0.) (0.6) (0.) (0.) P ( ) ) ) (v) ) ) ) 0.6 ) 0.6 0.6 (0.)(0.5) (0.)(0.5) (0.6)(0.) 0.8 (β) P ( ) ) ) 0.8 0.08 0. 6 P ( ) 0.6 0.7 0. 0.8 0.68 0.68 Ζ πηζαλφηεηα λα έρνπκε θνηηεηέο/ηξηεο θαη κε θνηηεηέο/ηξηεο ζε δείγκα αηφκσλ είλαη! (0.6) (0.7) 0..!! ) ) Παξάδεηγκα 0: Γχν ελδερφκελα A θαη B είλαη ηέηνηα ψζηε P (A), P (B) θαη 5 P ( B A). Να ππνινγίζεηε ηηο P ( A B), P ( A B), P ( A B) θαη P ( A B). 0 Απάληεζε: P ( A) A) θαη P ( B A) 0 B A) A) P ( B A) A). Δπνκέλσο P ( A B) B) A B) 0 0 0 δειαδή P ( A B). 5 0 0 P ( A B) A) B) A B) P ( A B) A B) B) 0 5 5 0 0 7 0 P ( A B) A B) B) 0 0 5 65

.9 Αζκήζειρ. Να δείμεηε φηη ε πηζαλφηεηα ηεο έλσζεο δχν ελδερνκέλσλ A θαη B κπνξεί λα γξαθεί P ( A B) A) B) A B).. Μηα αζθαιηζηηθή εηαηξεία ππνιφγηζε φηη ην 0% ησλ απηνθηλεηηζηηθψλ αηπρεκάησλ πξνθαινχληαη απφ θαθέο θαηξηθέο ζπλζήθεο θαη φηη ην 0% ησλ απηνθηλεηηζηηθψλ αηπρεκάησλ εκπιέθνπλ ζσκαηηθέο βιάβεο. Δπίζεο ππνιφγηζε φηη απφ ηα απηνθηλεηηζηηθά αηπρήκαηα πνπ εκπιέθνπλ ζσκαηηθέο βιάβεο ην 0% πξνθιήζεθε απφ θαθέο θαηξηθέο ζπλζήθεο. (α) Πνηα ε πηζαλφηεηα έλα ηπραία επηιεγκέλν απηνθηλεηηζηηθφ αηχρεκα λα πξνθιήζεθε απφ θαθέο θαηξηθέο ζπλζήθεο θαη λα πξνμέλεζε ζσκαηηθέο βιάβεο; (β) Δίλαη ηα ελδερφκελα «πξφθιεζε απφ θαθέο θαηξηθέο ζπλζήθεο» θαη «εκπινθή ζσκαηηθήο βιάβεο» αλεμάξηεηα; (γ) Αλ έλα ηπραία επηιεγκέλν απηνθηλεηηζηηθφ αηχρεκα πξνθιήζεθε απφ θαθέο θαηξηθέο ζπλζήθεο πνηα ε πηζαλφηεηα λα πξνμέλεζε ζσκαηηθέο βιάβεο; (δ) Πνηα ε πηζαλφηεηα έλα ηπραία επηιεγκέλν απηνθηλεηηζηηθφ αηχρεκα λα κελ πξνθιήζεθε απφ θαθέο θαηξηθέο ζπλζήθεο νχηε λα πξνμέλεζε ζσκαηηθέο βιάβεο;. Έλαο ηδηνθηήηεο θαηαζηήκαηνο πψιεζεο δίζθσλ θαη CD αλέθεξε φηη απφ ηνπο πειάηεο πνπ κπαίλνπλ ζην καγαδί ηνπ ην 0% είλαη καζεηέο, ην 50% θνηηεηέο θαη ην 0% κεγαιχηεξεο ειηθίαο. Δπηπιένλ ην 0% απφ ηνπο καζεηέο πειάηεο πξαγκαηνπνηνχλ αγνξά, ελψ ηα πνζνζηά ησλ άιισλ θαηεγνξηψλ είλαη 60% γηα ηνπο θνηηεηέο θαη 80% γηα ηνπο πειάηεο κεγαιχηεξεο ειηθίαο. (α) Πνηα ε πηζαλφηεηα έλαο ηπραία επηιεγκέλνο πειάηεο πνπ κπαίλεη ζην καγαδί λα πξαγκαηνπνηήζεη αγνξά; (β) Αλ έλαο ηπραία επηιεγκέλνο πειάηεο πνπ κπαίλεη ζην καγαδί πξαγκαηνπνηήζεη αγνξά, πνηα ε πηζαλφηεηα λα είλαη καζεηήο; (γ) Αλ έλαο ηπραία επηιεγκέλνο πειάηεο πνπ κπαίλεη ζην καγαδί πξαγκαηνπνηήζεη αγνξά, πνηα ε πηζαλφηεηα λα κελ είλαη καζεηήο;. ην κάζεκα ηεο ηαηηζηηθήο, ην 0% ησλ θνηηεηψλ έρεη ηειηθφ βαζκφ κεγαιχηεξν ή ίζν ηνπ 8.5, δειαδή άξηζηα. Απφ απηνχο πνπ παίξλνπλ άξηζηα ζηνλ ηειηθφ βαζκφ ην 70% παίξλεη άξηζηα θαη ζηηο αζθήζεηο πξάμεο. Δπίζεο ην 0% απφ απηνχο πνπ δελ παίξλνπλ άξηζηα ζηνλ ηειηθφ βαζκφ είραλ πάξεη άξηζηα ζηηο αζθήζεηο πξάμεο. Πνηα ε πηζαλφηεηα έλαο θνηηεηήο πνπ πήξε άξηζηα ζηηο αζθήζεηο πξάμεο λα πάξεη άξηζηα ζηνλ ηειηθφ βαζκφ; 5. Οη ζπλδξνκέο ζην πεξηνδηθφ κφδαο Fasho θαηαρσξνχληαη σο δψξν, πξνεγνχκελε αλαλέσζε, εηδηθή έθπησζε θαη νκαδηθή απνζηνιή. Σνλ Ηαλνπάξην ηνπ 00 ην 8% ησλ ζπλδξνκψλ πνπ έιεγαλ ήηαλ θαηαρσξεκέλεο σο δψξν, ην % σο πξνεγνχκελε αλαλέσζε, ην 6% σο εηδηθή έθπησζε θαη ην 5% σο νκαδηθή απνζηνιή. Σα πνζνζηά ησλ αλαλεψζεσλ πνπ έγηλαλ ζηηο παξαπάλσ θαηεγνξίεο ήηαλ 8%, 79%, 60% θαη % αληίζηνηρα. Σν Φεβξνπάξην ηνπ 00 ην 0% ησλ ζπλδξνκψλ πνπ έιεγαλ ήηαλ θαηαρσξεκέλεο σο δψξν, ην 57% σο πξνεγνχκελε αλαλέσζε, ην % σο εηδηθή έθπησζε θαη ην 9% σο νκαδηθή απνζηνιή. Σα πνζνζηά ησλ αλαλεψζεσλ πνπ έγηλαλ ζηηο παξαπάλσ θαηεγνξίεο ήηαλ 80%, 76%, 5% θαη % αληίζηνηρα. (α) Βξείηε ηελ πηζαλφηεηα κηα ηπραία επηιεγκέλε ζπλδξνκή πνπ έιεγε ηνλ Ηαλνπάξην ηνπ 00 λα αλαλεψζεθε. 66

(β) Βξείηε ηελ πηζαλφηεηα κηα ηπραία επηιεγκέλε ζπλδξνκή πνπ έιεγε ην Φεβξνπάξην ηνπ 00 λα αλαλεψζεθε. (γ) Πηζηνπνηείζηε φηη ε πηζαλφηεηα ζην (β) είλαη πςειφηεξε απηήο ζην (α) Θα έπξεπε νη εθδφηεο ηνπ πεξηνδηθνχ λα δνπλ απηή ηελ αιιαγή απφ ηνλ Ηαλνπάξην ζην Φεβξνπάξην ζαλ ζεηηθφ λέν ή φρη; 6. Πνηα ε πηζαλφηεηα λα θέξεηε 7 ή ξίρλνληαο δχν δάξηα; 7. Με πφζνπο ηξφπνπο κπνξνχλ λα δηαηαρζνχλ θαη ηα θνκκάηηα ηεο ζθαθηέξαο ζε κηα ζεηξά; 8. Τπνζέζηε φηη ληχλεζηε ζε έλα ζθνηεηλφ δσκάηην θαη φηη ζην ζπξηάξη κε ηηο θάιηζεο ζαο βξίζθνληαη θφθθηλεο, κπιε θαη θαθέ θάιηζεο. Αλ πηάζεηε ζηελ ηχρε δχν θάιηζεο πνηα ε πηζαλφηεηα λα κε γίλεηε ξεδίιη φηαλ βγείηε έμσ; 9. Αλ ξίμεηε δάξηα πνηα ε πηζαλφηεηα λα θέξεηε ηνλ ίδην αξηζκφ θαη ζηα ηξία; 0. ε κηα ηάμε 0 θνηηεηψλ, πεγαίλνπλ ζην παλεπηζηήκην κε ηα πφδηα, 0 κε ην ιεσθνξείν, 6 κε ην πνδήιαην θαη κε ην απηνθίλεην. Αλ επηιέμνπκε θνηηεηέο κε ηπραίν ηξφπν πνηα ε πηζαλφηεηα (α) λα ρξεζηκνπνηνχλ φινη ην ιεσθνξείν θαη (β) λα ρξεζηκνπνηνχλ φινη ην ίδην κέζν. Αλ επηιέμνπκε θνηηεηέο κε ηπραίν ηξφπν πνηα ε πηζαλφηεηα λα ρξεζηκνπνηνχλ δηαθνξεηηθφ κέζν.. ηελ πφιε Talad ππάξρνπλ δηαθνξεηηθέο εηαηξείεο ξαδηνηαμί νη, Y, Z. 0% ησλ ηειεθσλεκάησλ δέρεηαη ε, 50% ε Y θαη 0% ε Z. Απφ ηα ηαμί ηεο 9% θζάλνπλ κε θαζπζηέξεζε, ελψ ηα πνζνζηά ησλ Y θαη Z είλαη 6% θαη 0% αληίζηνηρα. (α) Να βξεζεί ε πηζαλφηεηα φηη ε επφκελε θιήζε ηαμί ζα είλαη γηα ηελ θαη δελ ζα έρεη θαζπζηέξεζε. (β) Να βξεζεί ε πηζαλφηεηα φηη ην επφκελν ηαμί πνπ ζα θιεζεί ζα έρεη θαζπζηέξεζε. (γ) Με δεδνκέλν φηη έγηλε θιήζε γηα ηαμί θαη απηφ ήξζε κε θαζπζηέξεζε λα βξεζεί ε πηζαλφηεηα φηη πξνέξρεηαη απφ ηελ εηαηξεία Y.. Μία ηζάληα πεξηέρεη θφθθηλεο θαη θίηξηλεο κπάιεο ελψ κία δεχηεξε ηζάληα πεξηέρεη θφθθηλεο θαη θίηξηλεο κπάιεο. Παίξλνπκε κία κπάια απφ ηελ πξψηε ηζάληα θαη ηελ ηνπνζεηνχκε ζηε δεχηεξε θαη ζηε ζπλέρεηα αθνχ αλαθαηέςνπκε θαιά ηηο κπάιεο ζηε δεχηεξε ηζάληα, παίξλνπκε κία κπάια θαη ηελ ηνπνζεηνχκε ζηελ πξψηε ηζάληα. Αλ ηψξα πάξνπκε κία κπάια απφ ηελ πξψηε ηζάληα πνηα ε πηζαλφηεηα λα είλαη θφθθηλε;. ε έλα δηαγψληζκα ηαηηζηηθήο ππήξραλ εξσηήζεηο πνιιαπιήο επηινγήο κε 5 δπλαηέο απαληήζεηο απφ ηηο νπνίεο κία ήηαλ ζσζηή. Γηα θάπνηνλ θνηηεηή ππάξρεη πηζαλφηεηα φηη μέξεη ηε ζσζηή απάληεζε ζε νπνηαδήπνηε εξψηεζε. Αλ θπζηθά δελ μέξεη ηε ζσζηή απάληεζε επηιέγεη ζηελ ηχρε κία απφ απηέο. ε θάπνηα εξψηεζε ν εμεηαδφκελνο απάληεζε ζσζηά. Πνηα ε πηζαλφηεηα φηη ήμεξε ηε ζσζηή απάληεζε; 67

. ε κηα πξνζπάζεηα ηφλσζεο ηεο θξίζεο ζην ρψξν αιιά θαη γηα δηαθεκηζηηθνχο ιφγνπο ε αεξνπνξηθή εηαηξεία Wgs κνίξαζε θνππφληα-ιαρλνχο ζε πειάηεο ηεο. Απφ ηα θνππφληα απηά ην 5 θεξδίδνπλ δσξεάλ ηαμίδη κεη επηζηξνθήο ζε ρψξα πνπ πεηά ε εηαηξεία. Πφζα ηέηνηα θνππφληα ζα έπξεπε λα ζπγθεληξψζεη θάπνηνο γηα λα έρεη πηζαλφηεηα 50% λα θεξδίζεη; 5. Αλ ππνζέζνπκε φηη ε πηζαλφηεηα ν γεληθφο δείθηεο ηνπ ρξεκαηηζηεξίνπ λα είλαη αλνδηθφο κία νπνηαδήπνηε εκέξα είλαη 0.5 θαη αλεμάξηεην ηνπ ηη ζπλέβε ηηο πξνεγνχκελεο εκέξεο, πνηα ε πηζαλφηεηα ν γεληθφο δείθηεο ηνπ ρξεκαηηζηεξίνπ λα είλαη αλνδηθφο γηα ηέζζεξηο δηαδνρηθέο εκέξεο; Πνηα ε πηζαλφηεηα φηη ζα παξακείλεη ζηαζεξφο ή ζα είλαη θαζνδηθφο ζε ηνπιάρηζηνλ κία απφ απηέο ηηο εκέξεο; 6. ε έλα ρσξηφ 000 θαηνίθσλ νη 00 έρνπλ γξίπε θαη ζε έλα άιιν ρσξηφ 000 θαηνίθσλ νη 50 έρνπλ γξίπε. Δπηιέγνπκε έλα ρσξηφ ηπραία θαη παίξλνπκε ηπραία δχν θαηνίθνπο ηνπ. Αλ θαη νη δχν βξέζεθαλ πγηείο πνηα ε πηζαλφηεηα λα πξνήξζαλ απφ ην πξψην ρσξηφ; 7. Πφζα παηδηά πξέπεη λα έρεη κηα νηθνγέλεηα ψζηε λα έρεη έλα ηνπιάρηζηνλ αγφξη θαη έλα ηνπιάρηζηνλ θνξίηζη κε πηζαλφηεηα 95%; 8. Ζ πηζαλφηεηα λα βξέμεη κηα κέξα είλαη 0.8 αλ είρε βξέμεη ηελ πξνεγνχκελε θαη 0. αλ δελ είρε βξέμεη ηελ πξνεγνχκελε. Σελ πξψηε κέξα έβξεμε. (α) Πνηα ε πηζαλφηεηα λα βξέμεη ηελ ηξίηε κέξα; (β) Πνηα ε πηζαλφηεηα λα βξέμεη ηελ πέκπηε κέξα; (γ) Αλ έβξεμε ηελ πέκπηε κέξα πνηα ε πηζαλφηεηα λα έβξεμε ηελ ηξίηε; (δ) Πνηα ε πηζαλφηεηα λα βξέμεη ηελ ηξίηε ή ηελ πέκπηε κέξα; 0. ηηο εθινγέο ελφο ζπιιφγνπ είλαη ππνςήθηνη ηξεηο γηα πξφεδξνη, 5 γηα ηακίεο θαη γηα γξακκαηείο. Με πφζνπο δηαθνξεηηθνχο ηξφπνπο κπνξεί λα ςεθίζεη έλαο ςεθνθφξνο έλα πξφεδξν, έλα ηακία θαη έλα γξακκαηέα;. Μηα επηηξνπή απφ 5 εθπξνζψπνπο ζα εθιεγεί ζην ηκήκα καο, κέζα απφ θαζεγεηέο θαη 0 θνηηήηξηεο. Με πφζνπο ηξφπνπο κπνξεί λα γίλεη ε επηηξνπή φηαλ: (α) Ζ επηηξνπή πεξηέρεη θαζεγεηέο θαη θνηηήηξηεο; (β) Ζ επηηξνπή πεξηέρεη ηνπιάρηζηνλ θαζεγεηέο;. Σέζζεξα γξάκκαηα ηνπνζεηνχληαη θαηά ηχρε ζε ηέζζεξηο θαθέινπο. Πνηα είλαη ε πηζαλφηεηα θαλέλα γξάκκα λα κελ πάεη ζην ζσζηφ θάθειν;. ε κηα αίζνπζα ππάξρνπλ 6 άηνκα. Να βξεζεί ε πηζαλφηεηα φηη δχν ηνπιάρηζηνλ άηνκα έρνπλ γελέζιηα ηελ ίδηα εκέξα. 68

. ΣΤΥΑΗΔ ΜΔΣΑΒΛΖΣΔ. Γενικά - Οπιζμοί Σπραία κεηαβιεηή νλνκάδνπκε θάζε πξαγκαηηθή ζπλάξηεζε κε πεδίν νξηζκνχ έλα δεηγκαηηθφ ρψξν S θαη πεδίν ηηκψλ αξηζκεηηθέο ηηκέο αλάινγα κε ηα δπλαηά απνηειέζκαηα ελφο πεηξάκαηνο ηχρεο. Οη ηπραίεο κεηαβιεηέο ζπκβνιίδνληαη κε θεθαιαία γξάκκαηα, Y, Z, θαη νη ηηκέο πνπ παίξλνπλ κε κηθξά γξάκκαηα. Γηα παξάδεηγκα P ( ) ζπκβνιίδεη ηελ πηζαλφηεηα ε ηπραία κεηαβιεηή λα πάξεη ηελ ηηκή. Οη ηπραίεο κεηαβιεηέο δηαθξίλνληαη ζε δηαθξηηέο θαη ζπλερείο. Γηαθξηηέο ηπραίεο κεηαβιεηέο είλαη απηέο πνπ ην ζχλνιν ηηκψλ ηνπο είλαη πεπεξαζκέλν ή αξηζκήζηκν. πλερείο ηπραίεο κεηαβιεηέο είλαη απηέο πνπ ην ζχλνιν ηηκψλ ηνπο είλαη νη πξαγκαηηθνί αξηζκνί ή θάπνηα δηαζηήκαηα απηψλ. Παξαθάησ ζα κειεηήζνπκε κφλν ηηο δηαθξηηέο ηπραίεο κεηαβιεηέο θαη ηα βαζηθά ραξαθηεξηζηηθά ηνπο. Οη ζπλερείο νξίδνληαη θαη κειεηψληαη αλάινγα, κε εηδνπνηφ δηαθνξά φηη ν ηειεζηήο ηνπ «αζξνίζκαηνο» αληηθαζίζηαηαη απφ ηνλ ηειεζηή ηνπ «νινθιεξψκαηνο». Αλ ε ηπραία κεηαβιεηή είλαη δηαθξηηή, ηφηε ε ζπλάξηεζε πνπ δίλεη ηελ πηζαλφηεηα ε ηπραία κεηαβιεηή λα πάξεη ηελ ηηκή, ιέγεηαη ζπλάξηεζε (ππθλφηεηαο) πηζαλφηεηαο ηεο ηπραίαο κεηαβιεηήο θαη ζπκβνιίδεηαη κε f ( ) ). Οπζηαζηηθά ν ξφινο ηεο f () είλαη λα θαηαλέκεη κηα πηζαλφηεηα ζε θάζε ηηκή ηεο. Χο ηέηνηα έρεη ηηο εμήο ηδηφηεηεο: f () 0 γηα θάζε ηηκή f ( ) (φπνπ ην δηαηξέρεη φιεο ηηο ηηκέο ηεο η.κ. ) Σν ζχλνιν ησλ δεπγψλ, f ( ) νλνκάδεηαη θαηαλνκή πηζαλφηεηαο ηεο η.κ. θαη ζπρλά ην εκθαλίδνπκε κε ηε κνξθή πίλαθα φπσο θαίλεηαη ζην παξάδεηγκα πνπ αθνινπζεί: Παξάδεηγκα: Αλ ξίμνπκε έλα λφκηζκα θνξέο, ε φςε «θνξψλα» (Κ) κπνξεί λα εκθαληζηεί 0, ή θνξέο. Οη πηζαλφηεηεο γηα απηέο ηηο πεξηπηψζεηο είλαη: θακία θνξψλα ) κία θνξψλα ) ) δχν θνξψλεο ) ) ) (0.5)(0.5) ) (0.5)(0.5) 0.5 (0.5)(0.5) 0.5 (0.5)(0.5) Μπνξνχκε λα ζπλνςίζνπκε ηα παξαπάλσ απνηειέζκαηα ζε έλα πίλαθα ηεο κνξθήο: 0.5 Αξηζκφο φςεσλ «θνξψλα» 0 Πηζαλφηεηα 0.5 0.5 0.5 πλάξηεζε (αζξνηζηηθήο) θαηαλνκήο νλνκάδεηαη ε ζπλάξηεζε F () πνπ νξίδεηαη απφ ηε ζρέζε F ( ) ), δίλεη δειαδή ηελ πηζαλφηεηα ε η.κ. λα πάξεη φιεο ηηο ηηκέο κέρξη ην ζεκείν. ε θάζε ηπραία κεηαβιεηή αληηζηνηρεί κνλνζήκαληα κηα ζπλάξηεζε θαηαλνκήο F () κε ηηο παξαθάησ ηδηφηεηεο πνπ πξνθχπηνπλ απφ ηνλ νξηζκφ: lm F ( ) 0 θαη lm ( ), δειαδή 0 F ( ) γηα θάζε ηηκή F ε F () είλαη αχμνπζα ζπλάξηεζε ηνπ ε F () είλαη δεμηά ζπλερήο ζπλάξηεζε lm F ( h) F ( ) h 0 69

a b) F ( b) F ( a) Παξάδεηγκα: Ρίρλνληαο έλα λφκηζκα έρνπκε έμη πηζαλά απνηειέζκαηα, ηηο φςεηο κε αξηζκνχο,,,,5,6, κε πηζαλφηεηα εκθάληζεο γηα ην θαζέλα ίζε κε. Έζησ ε η.κ. πνπ εθθξάδεη 6 ην απνηέιεζκα ηεο ξίςεο ηνπ λνκίζκαηνο. Σφηε, αλ, επεηδή ε η.κ. δελ κπνξεί λα πάξεη ηελ ηηκή 0, F ( 0) 0) 0, γηα 0. Αλ 0, ηφηε εκθαλψο θαη F ( 0 ) 0 ) ). Αλ 0, ηφηε εκθαλψο θαη 6 F ( 0 ) 0 ) ) ). πλερίδνληαο κε ηνλ ίδην ηξφπν 6 6 6 γξάθνπκε ηε ζπλάξηεζε θαηαλνκήο σο κηα θιηκαθσηή ζπλάξηεζε F ( ) j 0 6 αλ j 0 αλ αλ j 6 F () 5 6 Παξάδεηγκα: Ζ ηπραία κεηαβιεηή έρεη ζπλάξηεζε ππθλφηεηαο πηζαλφηεηαο πνπ θαζνξίδεηαη απφ ηνλ παξαθάησ πίλαθα: Να βξεζνχλ: - - - 0 P ( ) 0. 0.5 0. 0.5 d (α) ε ηηκή ηνπ d (β) P ( 0) (γ) P ( ) (δ) P ( ) Απάληεζε: (α) Δπεηδή φια ηα ζπλεπάγεηαη φηη d. f ( ) ), έρνπκε..5..5 d, απφ φπνπ φια ηα (β) P ( 0) ) ) )..5.. 65 (γ) P ( ) 0) ).5.. 5 (δ) P ( ) 0). 5 70

. Αναμενόμενη Σιμή Ζ καζεκαηηθή ειπίδα ή κέζε ηηκή ή αλακελφκελε ηηκή κηαο δηαθξηηήο ηπραίαο κεηαβιεηήο ζπκβνιίδεηαη κε E ( ) ή θαη νξίδεηαη απφ ηε ζρέζε E( ) φια ηα ) φια ηα Παξάδεηγκα: Μία ηζάληα πεξηέρεη θφθθηλεο θαη κπιε κπάια. Μία δεχηεξε ηζάληα πεξηέρεη θφθθηλε θαη κπιε κπάια. Δπηιέγνπκε ηαπηφρξνλα ηπραία κία κπάια απφ θάζε ηζάληα θαη ηηο ηνπνζεηνχκε ζηελ άιιε ηζάληα. Πνηνο είλαη ν αλακελφκελνο αξηζκφο απφ θφθθηλεο κπάιεο ζηελ πξψηε ηζάληα; Απάληεζε: Έζησ ε ηπραία κεηαβιεηή πνπ εθθξάδεη ηνλ ηειηθφ αξηζκφ απφ θφθθηλεο κπάιεο ζηελ πξψηε ηζάληα. Σφηε ε κπνξεί λα πάξεη ηηο ηηκέο, ή. ) θφθθηλε απφ ηελ πξψηε,κπιε απφ ηε δεχηεξε) P ( ) θφθθηλε απφ ηελ πξψηε, θφθθηλε απφ ηε δεχηεξε) P ( κπιε απφ ηελ πξψηε,κπιε απφ ηε δεχηεξε) ) κπιε απφ ηελ πξψηε, θφθθηλε απφ ηε δεχηεξε) Ζ θαηαλνκή πηζαλνηήησλ ζα είλαη Δπνκέλσο E( ) P ( ) φια ηα 8 ) 8 8 8 p. Άξα ν αλακελφκελνο αξηζκφο απφ θφθθηλεο κπάιεο ζηελ πξψηε ηζάληα είλαη κπάιεο.. 8. 8 Γεληθά αλ g ( ) είλαη κηα νπνηαδήπνηε ζπλάξηεζε ηεο δηαθξηηήο ηπραίαο κεηαβιεηήο, ηφηε E g( ) g( ) ). Γηα παξάδεηγκα: φια ηα E φια ηα ), E( ) ( ) ). φια ηα Ηδηφηεηεο: Αλ a ζηαζεξά, ηφηε E ( a) a. Αλ a ζηαζεξά, ηφηε E ( a ) ae( ). Αλ a θαη b ζηαζεξέο, ηφηε E ( a b) ae( ) b. Αλ f θαη f είλαη ζπλαξηήζεηο ηεο ηπραίαο κεηαβιεηήο ηφηε E f ) f ( ) E f ( ) E f ( ). ( 7

Παξάδεηγκα: Ζ ηπραία κεηαβιεηή έρεη ζπλάξηεζε ππθλφηεηαο πηζαλφηεηαο πνπ θαζνξίδεηαη απφ ηνλ παξαθάησ πίλαθα: Να βξεζνχλ: (α) E ( ), (β) Απάληεζε: 0 P ( ) 0.05 0.5 0.50 E, (γ) E 5 (α) E( ) ) 0(0.05) (0.5) (0.50). 5 φια ηα (β) E ) 0 (0.05) (0.5) (0.50). 5 φια ηα (γ) E 5 5E E( ) 5(.5) (.5). 5. Γιακύμανζη Ζ δηαθχκαλζε ή δηαζπνξά κηαο δηαθξηηήο ηπραίαο κεηαβιεηήο ζπκβνιίδεηαη κε Var ( ) ή θαη νξίδεηαη απφ ηε ζρέζε Var( ) E ( φια ηα ) ) ( φια ηα ) p Var( ) Δλαιιαθηηθά, E E E E E E E ( ) E( ) E Παξάδεηγκα: Ζ ηπραία κεηαβιεηή έρεη ζπλάξηεζε ππθλφηεηαο πηζαλφηεηαο πνπ θαζνξίδεηαη απφ ηνλ παξαθάησ πίλαθα: 5 P ( ) 0. 0. 0. 0. 0. Να βξεζνχλ: (α) E ( ), (β) Var ( ) απφ ηε ζρέζε απφ ηε ζρέζε E E ( ) Απάληεζε: φια ηα E, (γ) E, (δ) Var ( ) (α) E( ) ) (0.) (0.) (0.) (0.) 5(0.), θάηη πξνθαλέο ιφγσ ζπκκεηξίαο. (β) Var( ) παίξλνπκε: θαη ηειηθά E E ( φια ηα ) 5 - - 0 ( ) 0 P ( ) 0. 0. 0. 0. 0. ). Απφ ηνλ παξαθάησ πίλαθα 7

Var ( ) E (0.) (0.) 0(0.) (0.) (0.). (γ) E ) (0.) (0.) (0.) (0.) 5 (0.) 0. φια ηα (δ) Var ( ) E E ( ) 0.. Ηδηφηεηεο: Αλ a ζηαζεξά, ηφηε Var (a) 0. Αλ a ζηαζεξά, ηφηε Var ( a) a Var( ). Αλ a θαη b ζηαζεξέο, ηφηε Var ( a b) a Var( ). Παξάδεηγκα: Ζ ηπραία κεηαβιεηή έρεη ζπλάξηεζε ππθλφηεηαο πηζαλφηεηαο πνπ θαζνξίδεηαη απφ ηνλ παξαθάησ πίλαθα: 0 0 0 P ( ) 0. 0.6 0. Να βξεζνχλ: (α) Var ( ), (β) Var ( ) Απάληεζε: (α) E( ) ) 0(0.) 0(0.6) 0(0.). φια ηα E φια ηα ) 0 (0.) 0 (0.6) 0 (0.) 50. Var ( ) E E ( ) 50 6. (β) Var ( ) Var( ) Var ( ) 6.. Πεπιζζόηεπερ Σςσαίερ μεηαβληηέρ Αλ θαη Y είλαη δχν δηαθξηηέο ηπραίεο κεηαβιεηέο, ηφηε E ( Y) E( ) E( Y), ελψ αλ νη θαη Y είλαη αλεμάξηεηεο ηζρχεη θαη Var ( Y) Var( ) Var( Y). Παξάδεηγκα: Έζησ ε ηπραία κεηαβιεηή «ην απνηέιεζκα ηεο ξίςεο ελφο ηεηξάεδξνπ δαξηνχ» θαη Y ε ηπραία κεηαβιεηή «ν αξηζκφο ησλ θεθαιψλ φηαλ ξίρλνληαη δχν λνκίζκαηα». (α) Να βξείηε ηηο θαηαλνκέο πηζαλνηήησλ ησλ θαη Y. (β) Να βξείηε ηα E ( ), E (Y ), Var ( ), Var (Y ). (γ) Να βξείηε ηελ θαηαλνκή πηζαλνηήησλ ηεο ηπραίαο κεηαβιεηήο (δ) Να βξείηε ηα E ( Y) θαη Var ( Y). Απάληεζε: (α) Οη θαηαλνκέο πηζαλνηήησλ είλαη: Y. y 0 P ( ) P ( Y y) 7

(β) E ( ). 5 θαη E (Y ) 0 E ( ) 9 6 7.5 θαη E ( Y ) 0. 5 Var ( ) Var ( Y) E( E( Y (γ) Ζ ηπραία κεηαβιεηή ) ) E ( ) E ( Y).5 7.5 () (.5) 0.5.5 Y παίξλεη ηηο ηηκέο,,,, 5 θαη 6. Δχθνια ν αλαγλψζηεο κπνξεί λα επηβεβαηψζεη φηη θαη άξα P ( Y ), 6 P ( Y ), 6 E ( Y ) E ( Var ( P ( Y ), 6 P ( Y 5), 6 P ( Y P ( Y ) 6) 6 6. Δπνκέλσο: y 5 6 P ( Y y) 6 6 6 6 6 6 Y ) Y) 6 6 6 (.5) 6 6 9.75 6 6 6 5 6 6 5 Δδψ λα αλαθέξνπκε φηη ηα E ( Y) θαη Var ( Y) ζα κπνξνχζαλ λα ππνινγηζηνχλ απεπζείαο απφ ηηο ζρέζεηο E ( Y) E( ) E( Y).5.5 Var ( Y) Var( ) Var( Y).5 0.5.75 αθνχ νη θαη Y είλαη αλεμάξηεηεο ηπραίεο κεηαβιεηέο. 6 6 6 6.5 6 Γεληθά ηζρχεη φηη αλ θαη Y είλαη ηπραίεο κεηαβιεηέο θαη a, b ζηαζεξέο E ( a by ) ae( ) be( Y) Αλ επηπιένλ νη θαη Y είλαη αλεμάξηεηεο ηφηε Var ( a by) a Var( ) b Var( Y) Αλ ηψξα ζεσξήζνπκε ηελ θαηαλνκή ηεο φπνπ, δχν αλεμάξηεηεο παξαηεξήζεηο ηεο ίδηαο θαηαλνκήο, ηφηε E ) E( ) E( ) E( ) E( ) E( ) θαη ( Var ) Var( ) Var( ) Var( ) Var( ) Var ( ) θαη γεληθά E ( ( ) E( ) E( ) E( ) E( ) θαη Var( ) Var( ) Var( ) Var( ) Var( ) 7

Παξάδεηγκα: Όηαλ ξίρλνπκε έλα ηεηξάεδξν δάξη είδακε ζε πξνεγνχκελν παξάδεηγκα φηη ε θαηαλνκή πηζαλφηεηαο είλαη κε E ( ). 5 θαη Var ( ). 5. P ( ) (α) Να βξείηε ηελ θαηαλνκή πηζαλνηήησλ ηεο D, φπνπ ε ηπραία κεηαβιεηή D είλαη ην δηπιάζην ηνπ αξηζκνχ πνπ βιέπνπκε φηαλ ξίρλνπκε ην ηεηξάεδξν δάξη, θαζψο θαη ηα E (D), Var (D). (β) Να βξείηε ηελ θαηαλνκή πηζαλνηήησλ ηεο S, φπνπ ε ηπραία κεηαβιεηή S είλαη ην άζξνηζκα ησλ αξηζκψλ πνπ βιέπνπκε φηαλ ξίρλνπκε ην ηεηξάεδξν δάξη δχν θνξέο, δειαδή S, θαζψο θαη ηα E (S), Var (S). Απάληεζε: (α) Οη θαηαλνκή πηζαλνηήησλ ηεο D είλαη: d 6 8 D d) κε E (D) ( 6 8) 5, E ( D ) ( 6 6 6) 0 θαη Var ( D) 0 5 5. Σα παξαπάλσ απνηειέζκαηα ζα κπνξνχζαλ ζαθψο λα βξεζνχλ απφ ηηο ζρέζεηο E ( D) E( ) E( ) (.5) 5 θαη Var ( D) Var( ) Var( ) (.5) 5 (β) Οη πηζαλέο ηηκέο ηεο ηπραίαο κεηαβιεηήο S κπνξνχλ εχθνια λα εληνπηζηνχλ απφ ην παξαθάησ δηάγξακκα: Γεχηεξε ξίςε 5 6 7 8 5 6 7 5 6 5 Ζ θαηαλνκή πηζαλνηήησλ ηεο S είλαη s 5 6 7 8 P ( S s) 6 6 6 6 6 6 6 Δπνκέλσο E (S) 5 Πξψηε ξίςε, φπσο θαίλεηαη ιφγσ ζπκκεηξίαο ή θπζηθά κεηά ηηο πξάμεηο. ηε ζπλέρεηα ( E S ) 7. 5 θαη Var ( S) 7.5 5. 5. Σα παξαπάλσ απνηειέζκαηα ζα κπνξνχζαλ ζαθψο λα βξεζνχλ απφ ηηο ζρέζεηο E S) E( ) E( ) E( ) E( ) (.5) 5 θαη ( Var( S) Var( ) Var( ) Var( ) Var ( ) (.5).5. 75

.5 Αζκήζειρ. Έλα δνρείν πεξηέρεη 9 θνπκπηά απφ ηα νπνία είλαη θφθθηλα, είλαη άζπξα θαη είλαη κπιε. Δπηιέγνπκε απφ ην δνρείν θνπκπηά κε ηπραίν ηξφπν θαη ρσξίο επαλαηνπνζέηεζε. Να ππνινγίζεηε: (α) ηελ πηζαλφηεηα ε ζεηξά εκθάληζεο λα είλαη θφθθηλν άζπξν κπιε (β) ηελ πηζαλφηεηα λα εκθαληζηνχλ φια ηα ρξψκαηα (γ) ηελ πηζαλφηεηα ην ηξίην θνπκπί λα είλαη θφθθηλν (δ) ηελ πηζαλφηεηα λα κελ εκθαληζηεί θφθθηλν θνπκπί (ε) ηελ αλακελφκελε ηηκή απφ θφθθηλα θνπκπηά πνπ ζα εκθαληζηνχλ, θαζψο θαη ηε δηαθχκαλζε ηνπο. Δπηζηξέθνληαο ζην ζπίηη εηνηκάδεζηε λα αλνίμεηε ηελ εμψπνξηα κε έλα απφ ηα ηξία θιεηδηά πνπ έρεηε καδί ζαο. Δπηιέγεηε έλα θιεηδί ζηελ ηχρε θαη αλ απνηχρεηε επηιέγεηε ην επφκελν θαη νχησ θαζεμήο κέρξη λα αλνίμεηε ηελ πφξηα. Πνηνο είλαη ν αλακελφκελνο αξηζκφο θιεηδηψλ πνπ ζα ρξεζηκνπνηήζεηε έσο φηνπ ε πφξηα αλνίμεη;. ε θάπνην παηρλίδη ν παίθηεο ξίρλεη ηξία λνκίζκαηα. Αλ εκθαληζηνχλ θεθαιέο θεξδίδεη 0, αλ εκθαληζηνχλ θεθαιέο θεξδίδεη, αλ εκθαληζηεί θεθαιή θεξδίδεη θαη αλ δελ εκθαληζηεί θεθαιή θεξδίδεη. Πνην είλαη ην αλακελφκελν θέξδνο θάζε παηρληδηνχ ζπλαξηήρεη ηνπ ; Αλ ν παίθηεο πιεξψλεη.5 γηα λα παίμεη θάζε παηρλίδη, γηα πνηα ηηκή ηνπ ην παηρλίδη είλαη δίθαην; Αλ παίμεη 00 παηρλίδηα πνην είλαη ην αλακελφκελν θέξδνο ή ε αλακελφκελε δεκηά;. ε θάπνηα εμέηαζε δίλνληαη ζηνλ ππνςήθην εξσηήζεηο θαη απαληήζεηο, ρσξίο λα μέξεη πνηα απάληεζε αληηζηνηρεί ζε θάζε εξψηεζε. Σνπ δεηάλε λα γξάςεη θάησ απφ θάζε εξψηεζε ηε ζσζηή απάληεζε. (α) Με πφζνπο δηαθνξεηηθνχο ηξφπνπο κπνξεί λα θαηαγξάςεη ηηο απαληήζεηο; (β) Αλ ν ππνςήθηνο δε γλσξίδεη ηηο ζσζηέο απαληήζεηο θαη επηιέγεη λα απαληήζεη κε ηπραίν ηξφπν, πνηνο είλαη ν αλακελφκελνο αξηζκφο ησλ ζσζηψλ απαληήζεσλ πνπ ζα γξάςεη; Πνηα είλαη ε δηαθχκαλζε ηνπο; 5. Ζ ηπραία κεηαβιεηή παίξλεη ηηο ηηκέο -, 0, θαη κε πηζαλφηεηεο ¼, ½ θαη ¼ αληίζηνηρα. Να βξεζνχλ ηα E ( ) θαη Var ( ). Ζ ηπραία κεηαβιεηή Y νξίδεηαη σο Y, φπνπ θαη είλαη αλεμάξηεηεο παξαηεξήζεηο ηεο κεηαβιεηήο. Να βξεζνχλ ηα E (Y ) θαη Var (Y ). 76

5. ΚΑΝΟΝΗΚΖ ΚΑΣΑΝΟΜΖ 5. Οπιζμόρ και Ιδιόηηηερ H θαλνληθή θαηαλνκή (ormal dstrbuto) ζεσξείηαη ε ζπνπδαηφηεξε θαηαλνκή ηεο Θεσξίαο Πηζαλνηήησλ θαη ηεο ηαηηζηηθήο. Οη ιφγνη πνπ εμεγνχλ ηελ εμέρνπζα ζέζε ηεο, είλαη βαζηθά δχν: (α) Πνιιέο ηπραίεο κεηαβιεηέο πεξηγξάθνληαη ηθαλνπνηεηηθά απφ ηελ θαλνληθή θαηαλνκή ή πεξηγξάθνληαη απφ θαηαλνκέο πνπ κπνξνχλ λα πξνζεγγηζζνχλ απφ ηελ θαλνληθή θαηαλνκή. (β) Οη ηδηφηεηεο ηεο θαλνληθήο θαηαλνκήο αμηνπνηνχληαη ζηε ηαηηζηηθή πκπεξαζκαζκαηνινγία. Οπζηαζηηθά, ε θαλνληθή θαηαλνκή, απνηειεί ην ζεκέιην ηεο ηαηηζηηθήο πκπεξαζκαζκαηνινγίαο. ην πιαίζην ηνπ καζήκαηνο, δε κπνξνχκε λα αλαθεξζνχκε πεξηζζφηεξν ζηνλ δεχηεξν απφ ηνπο παξαπάλσ ιφγνπο κηαο θαη ε χιε δελ ζα επεθηαζεί ζε απηφ ην αληηθείκελν. Αο εμεγήζνπκε, ηνπιάρηζηνλ, γηαηί ε θαλνληθή θαηαλνκή βξίζθεη εθαξκνγή ζε κεγάιν πιήζνο θαηλνκέλσλ θαη πεηξακάησλ. Σν «κπζηηθφ» πνπ εμεγεί ην κεγάιν εχξνο εθαξκνγψλ ηεο θαλνληθήο θαηαλνκήο, βξίζθεηαη ζε έλα εθπιεθηηθά ηζρπξφ ζεσξεηηθφ απνηέιεζκα ηεο Θεσξίαο Πηζαλνηήησλ ην νπνίν επηβεβαηψλεηαη θαη πεηξακαηηθά. Πξφθεηηαη γηα ην Κεληξηθφ Οξηαθφ Θεψξεκα (Cetral Lmt Theorem) ηηο βάζεηο ηνπ νπνίνπ έζεζαλ δχν κεγάινη Μαζεκαηηθνί. Ο de Movre ην 78 θαη έλαλ αηψλα αξγφηεξα, ην 8, ν Laplace. ε απηφ ην ζεκείν, δε ζα δηαηππψζνπκε απζηεξά, νχηε ζα απνδείμνπκε, ην Κεληξηθφ Οξηαθφ Θεψξεκα. Θα πξνζπαζήζνπκε λα εμεγήζνπκε κφλν ην λφεκα θαη ηε ζεκαζία ηνπ. χκθσλα κε ην Κεληξηθφ Οξηαθφ Θεψξεκα, ην άζξνηζκα θαη -επνκέλσο- ε κέζε ηηκή, κεγάινπ αξηζκνχ αλεμάξηεησλ παξαηεξήζεσλ, αθνινπζεί θαηά πξνζέγγηζε θαλνληθή θαηαλνκή, αλεμαξηήησο απφ ην πνηα θαηαλνκή αθνινπζνχλ νη παξαηεξήζεηο. Πψο, φκσο, απηφ ην απνηέιεζκα εξκελεχεη ηε κεγάιε εθαξκνζηκφηεηα ηεο θαλνληθήο θαηαλνκήο; ε πνιιά θαηλφκελα θαη πεηξάκαηα, νη ηηκέο δηαθφξσλ ραξαθηεξηζηηθψλ (κεηαβιεηψλ), είλαη απνηέιεζκα αζξνηζηηθήο επίδξαζεο πνιιψλ αλεμάξηεησλ αηηηψλ-παξαγφλησλ θαλέλα απφ ηα νπνία δελ ππεξηζρχεη ησλ άιισλ. Γηα παξάδεηγκα, ν ρξφλνο αλακνλήο ζε κηα νπξά, είλαη απνηέιεζκα πνιιψλ παξαγφλησλ, φπσο, ε εκέξα ηεο εβδνκάδαο, ε ψξα ηεο εκέξαο, ε απνηειεζκαηηθφηεηα ηνπ ππαιιήινπ, ην είδνο ηεο ζπλαιιαγήο πνπ δηεθπεξαηψλεηαη, θ.ά. Καζέλαο απφ ηνπο παξάγνληεο απηνχο επηθέξεη έλα ζεηηθφ ή αξλεηηθφ απνηέιεζκα θαη φινη καδί αζξνηζηηθά ζπληεινχλ ζηε δηακφξθσζε ηνπ ηειηθνχ απνηειέζκαηνο. Σέηνηα ραξαθηεξηζηηθά (κεηαβιεηέο), εκθαλίδνληαη ζε πνιιά θαηλφκελα θαη πεηξάκαηα. Σν Κεληξηθφ Οξηαθφ Θεψξεκα ιέεη φηη απηά αθξηβψο ηα ραξαθηεξηζηηθά πεξηγξάθνληαη ηθαλνπνηεηηθά απφ ηελ θαλνληθή θαηαλνκή. Δπηπιένλ, ην Κεληξηθφ Οξηαθφ Θεψξεκα ζπλδέεη ηελ θαλνληθή θαηαλνκή κε νπνηαδήπνηε άιιε θαηαλνκή (αθνχ δελ πξνυπνζέηεη λα αθνινπζνχλ νη παξαηεξήζεηο ηελ θαλνληθή θαηαλνκή), γεγνλφο ην νπνίν, απαληάεη, επίζεο, ζην εξψηεκα, γηαηί ε θαλνληθή θαηαλνκή βξίζθεη εθαξκνγή ζε κεγάιν πιήζνο θαηλνκέλσλ θαη πεηξακάησλ. Ζ θαλνληθή θαηαλνκή, ινηπφλ, είλαη ε πην ζεκαληηθή απφ ηηο ζπλερείο θαηαλνκέο. ηε βηβιηνγξαθία αλαθέξεηαη θαη σο «Νφκνο ησλ ζθαικάησλ» ή «θαηαλνκή ηνπ Gauss». Αλ κηα ζπλερήο η.κ. έρεη ζπλάξηεζε ππθλφηεηαο πηζαλφηεηαο πνπ δίλεηαη απφ ηε ζρέζε ( μ) σ f() e, γηα, ηφηε ιέκε φηη ε αθνινπζεί ηελ θαλνληθή θαηαλνκή σ π κε παξακέηξνπο μ θαη σ θαη ηε ζπκβνιίδνπκε ~ N( μ, σ ). Ζ f () σο ζπλάξηεζε ππθλφηεηαο πηζαλφηεηαο ηθαλνπνηεί φηη f () 0 γηα θαη f ( ) d. 77

Απνδεηθλχεηαη φηη αλ ~ N( μ, σ ), ηφηε ε αλακελφκελε ηηκή θαη ε δηαθχκαλζε ηεο, δίλνληαη αληίζηνηρα απφ ηηο ζρέζεηο E ( ) f ( ) d μ θαη Var ( ) f ( ) d E( ) σ. Ζ γξαθηθή παξάζηαζε ηεο f () είλαη κηα θακπχιε ζε ζρήκα θακπάλαο θαη νλνκάδεηαη θαλνληθή θακπχιε: Ζ θαλνληθή θακπχιε είλαη ζπκκεηξηθή γχξσ απφ ηελ θάζεην ζην ζεκείν μ. Δπνκέλσο ε κέζε ηηκή, ε δηάκεζνο θαη ε επηθξαηνχζα ηηκή ζπκπίπηνπλ. Δπίζεο έρεη κέγηζην ζην ζεκείν μ θαη ηζνχηαη κε f ( ). Σα ζεκεία θακπήο βξίζθνληαη ζηα μ σ θαη σ π μ σ. Σν δηάζηεκα Σν δηάζηεκα Σν δηάζηεκα ζρεδφλ φιεο. μ σ πεξηέρεη πξνζεγγηζηηθά ην 68% απφ φιεο ηηο κεηξήζεηο. μ σ πεξηέρεη πξνζεγγηζηηθά ην 95% απφ φιεο ηηο κεηξήζεηο. μ σ πεξηέρεη πξνζεγγηζηηθά ην 99.8% απφ φιεο ηηο κεηξήζεηο, δειαδή 5. Σςπική Κανονική καηανομή Ζ ηπραία κεηαβιεηή Z ιέκε φηη αθνινπζεί ηελ ηππηθή ή ηππνπνηεκέλε θαλνληθή θαηαλνκή, φηαλ αθνινπζεί ηελ θαλνληθή θαηαλνκή κε παξακέηξνπο μ 0 θαη σ. ηελ πεξίπησζε απηή, ππνινγίδνπκε ηηο πηζαλφηεηεο δειαδή ηα εκβαδά θάησ απφ ηελ θαλνληθή θακπχιε απφ ηνπο πίλαθεο ησλ αζξνηζηηθψλ πηζαλνηήησλ πνπ βξίζθνληαη ζην παξάξηεκα. Παξάδεηγκα: Αλ Z ~ N(0,) λα βξεζνχλ: (α) P (Z 0.85) (β) P (Z 0.85). Απάληεζε: (α) P (Z 0.85) 0. 80 (β) P (Z 0.85) 0.80 0. 98 78

Ηδηφηεηεο: () P ( Z a) Z a) Z a) () P ( Z a) Z a) () P ( a Z b) Z b) Z a) (v) P ( a Z b) Z b) Z a) Z b) Z a) (v) P ( a Z b) Z b) Z a) Z a) Z b) (v) P ( Z a) a Z a) Z a) (v) P ( Z a) Z a) [ Z a)] Παξάδεηγκα: Αλ Z ~ N(0,) λα βξεζνχλ: (α) P (Z.96) (β) P (Z.96) (γ) P (.96 Z.96) (δ) P (.8 Z 0.65) (ε) P ( Z.76) (ζη) P (.87 Z.) Απάληεζε: 79