1 η Άσκηση στο Χρονοπρογραμματισμό Έργων Θεωρείστε ένα έργο που απαιτεί τις δραστηριότητες του Πίνακα 1. Για κάθε δραστηριότητα αναγράφονται οι προαπαιτούμενες δραστηριότητες αν υπάρχουν, και οι εκτιμήσεις χρόνου ανά εβδομάδα (αισιόδοξη, πιθανή, απαισιόδοξη). Δραστηριότητα Προαπαιτούμενες Διάρκεια (εβδομάδες) Αισιόδοξη (a) Πιθανή (m) Απαισιόδοξη (b) A - 2 3 5 Β Α 3 5 8 C A 4 6 9 D Β 1 2 4 Ε C 3 4 7 F D 1 2 4 G D 2 3 5 H G 1 2 3 J B, E 4 6 8 K E, F, H 2 4 7 L J 2 3 6 Ερώτημα Α - Δίκτυα, CPM, GANTT 1. Να σχεδιάσετε τα δίκτυα Activity-On-Arrow (ΑΟΑ) και Activity-On-Node (AON). 2. Χρησιμοποιώντας τη μέθοδο CPM, να εκτελέσετε ανάλυση κρίσιμου μονοπατιού στο δίκτυο με βάση την πιθανή διάρκεια κάθε δραστηριότητας και να υπολογίσετε το κρίσιμο μονοπάτι, και τη συνολική διάρκεια του έργου. 3. Να σχεδιάσετε το διάγραμμα Gantt χρησιμοποιώντας τη νωρίτερη έναρξη (ES) κάθε δραστηριότητας και να απεικονίσετε στο διάγραμμα το συνολικό χρονικό περιθώριο (total slack) κάθε δραστηριότητας. Θεωρείστε ως ημερομηνία έναρξης του έργου την 20/4/2015. 1
Απάντηση 1. Δίκτυα ΑΟΑ και ΑΟΝ Το ζητούμενο δίκτυο ΑΟΑ είναι το παρακάτω: Το ζητούμενο δίκτυο ΑΟΝ είναι το παρακάτω: 2. Ανάλυση CPM Με βάση τον παραπάνω πίνακα δραστηριοτήτων και λαμβάνοντας την πιθανή διάρκεια κάθε δραστηριότητας, εμπλουτίζουμε το δίκτυο ΑΟΝ, στο οποίο απεικονίζονται οι εξής παράμετροι: Νωρίτερη έναρξη (Early Start, ES). Νωρίτερη λήξη (Early Finish, EF). Αργότερη έναρξη (Late Start, LS). Αργότερη λήξη (Late Finish, LF). ES EF k L(k) 3 8 8 10 10 12 LS LF B 5 D 2 F 2 6 11 11 13 16 18 start 0 3 A 3 10 13 13 15 15 19 0 3 G 3 H 2 K 4 13 16 16 18 18 22 end 3 9 9 13 13 19 19 22 C 6 E 4 J 6 L 3 3 9 9 13 13 19 19 22 Από την παραπάνω ανάλυση είναι φανερό ότι το κρίσιμο μονοπάτι είναι το A C E J L, ενώ η συνολική διάρκεια του έργου είναι 22 εβδομάδες. 3. Διάγραμμα Gantt Το ζητούμενο διάγραμμα Gantt είναι το παρακάτω, όπου με κόκκινο χρώμα φαίνεται η κρίσιμη διαδρομή, και με μπλε το συνολικό χρονικό περιθώριο κάθε δραστηριότητας. 2
3
Ερώτημα Β PERT, Υπολογισμός πιθανοτήτων 1. Να χρησιμοποιήσετε την τεχνική PERT για να υπολογίσετε την αναμενόμενη συνολική διάρκεια του έργου. 2. Να υπολογίσετε την πιθανότητα να ολοκληρωθεί το έργο μεταξύ 2 εβδομάδων νωρίτερα και 4 εβδομάδων αργότερα από την αναμενόμενη διάρκεια του έργου. Απάντηση 1. PERT Για την απάντηση στο ερώτημα πρέπει να ακολουθήσουμε τα εξής βήματα: 1. Υπολογισμός της αναμενόμενης (μέσης) διάρκειας κάθε δραστηριότητας 2. Εφαρμογή της CPM θεωρώντας ως χρονική διάρκεια κάθε δραστηριότητας τον αντίστοιχο αναμενόμενο χρόνο. Δραστηριότητα Προαπαιτούμενες Διάρκεια (εβδομάδες) Αναμενόμενος χρόνος Τυπική απόκλιση Αισιόδοξη (a) Πιθανή Απαισιόδοξη (m) (b) ΤΕ (a+4m+b)/6 σ (b-a)/6 A - 2 3 5 3,17 0,5 Β Α 3 5 8 5,17 0,83 C A 4 6 9 6,17 0,83 D Β 1 2 4 2,17 0,5 Ε C 3 4 7 4,33 0,67 F D 1 2 4 2,17 0,5 G D 2 3 5 3,17 0,5 H G 1 2 3 2 0,33 J B, E 4 6 8 6 0,67 K E, F, H 2 4 7 4,17 0,83 L J 2 3 6 3,33 0,67 Υπολογίζουμε εκ νέου το δίκτυο με τις τιμές του αναμενόμενου χρόνου. 4
ES EF k L(k) 3,17 8,34 8,34 10,51 10,51 12,68 LS LF B 5,17 D 2,17 F 2,17 6,32 11,49 11,49 13,68 16,66 18,83 start 0 3,17 A 3,17 10,51 13,68 13,68 15,68 15,68 19,85 0 3,17 G 3,17 H 2 K 4,17 13,68 16,83 16,83 18,83 18,83 23 end 3,17 9,34 9,34 13,67 13,67 19,67 19,67 23 C 6,17 E 4,33 J 6 L 3,33 3,17 9,34 9,34 13,67 13,67 19,67 19,67 23 Και άρα η συνολική αναμενόμενη διάρκεια είναι 23 εβδομάδες. 2. Πιθανότητες Με βάση τον προηγούμενο πίνακα για την τυπική απόκλιση έχουμε: σ 2 έργου= σ 2 Α+ σ 2 C+ σ 2 E+ σ 2 J+ σ 2 L =0,25 + 0,69 + 0,44 + 0,44 + 0,44 = 2,26 σ έργου = 1,50 εβδομάδες Γνωρίζουμε ότι: Για 2 εβδομάδες νωρίτερα από την αναμενόμενη διάρκεια Ζ=(21-23)/1,50=-2/1,50=-1,33 Για 4 εβδομάδες αργότερα από την αναμενόμενη διάρκεια Ζ=(27-23)/1,50=4/1,50=2,67 Με χρήση του πίνακα αθροιστικής πιθανότητας της κανονικής κατανομής (Παράρτημα τόμου Δ), έχουμε: Όπως φαίνεται και στο παρακάτω σχήμα. P(-1,33 x 0) = 0,4082 και P(0 x 2,67) = 0,4962 Συνολική επιφάνεια = 0,4082 + 0,4961 = 0,9044. Δηλαδή, η πιθανότητα να ολοκληρωθεί το έργο μεταξύ 2 εβδομάδων νωρίτερα και 4 εβδομάδων αργότερα από την αναμενόμενη διάρκεια είναι περίπου 90%. Εναλλακτικά, επειδή το παράρτημα του τόμου Δ έχει την αθροιστική πιθανότητα κανονικής κατανομής για P(x<Z) θα μπορούσαμε να το εκφράσουμε και ως εξής: P(x<Z) = P(x<-1,33) = 1 - P(x<1,33) = 1-0,9082 = 0,0918 δηλ. περίπου 9% 5
P(x<Z) = P(x<2,67) = 0,9962 δηλαδή περίπου 99% Επομένως η πιθανότητα να τελειώσει το έργο μεταξύ της 21ης και 27ης εβδομάδας είναι 99%-9%=90%. 6
2 η Άσκηση στο Χρονοπρογραμματισμό Έργων Δίνεται ο παρακάτω πίνακας δραστηριοτήτων: Κωδικός Δραστηριότητας Προηγείται των Διάρκεια (ημέρες) 100 201,202 12 101 301 13 102 203,204 9 201 302 10 202 301 21 203 301 8 204 303,304 15 301 401 23 302 401 11 303 401 10 304-10 401-9 Με βάση τον πίνακα δραστηριοτήτων δημιουργούμε το ακόλουθο δίκτυο ΑΟΝ, στο οποίο απεικονίζονται οι εξής παράμετροι: Νωρίτερη έναρξη (Early Start, ES). Νωρίτερη λήξη (Early Finish, EF). Αργότερη έναρξη (Late Start, LS). Αργότερη λήξη (Late Finish, LF). Χρονικό περιθώριο (SLack, SL). 7
Με βάση το δίκτυο ΑΟΝ ο πίνακας αποκτά την ακόλουθη μορφή: Κωδικός Δραστηριότητας Προηγείται των Διάρκεια (ημέρες) ES EF LS LF SL 100 201,202 12 0 12 0 12 0 101 301 13 0 13 20 33 20 102 203,204 9 0 9 16 25 16 201 302 10 12 22 35 45 23 202 301 21 12 33 12 33 0 203 301 8 9 17 25 33 16 204 303,304 15 9 24 31 46 22 301 401 23 33 56 33 56 0 302 401 11 22 33 45 56 23 303 401 10 24 34 46 56 22 304-10 24 34 55 65 31 401-9 56 65 56 65 0 Κρίσιμο μονοπάτι: 100, 202, 301, 401 Ο χρόνος ολοκλήρωσης του έργου μπορεί να υπολογιστεί αν αθροίσουμε τη διάρκεια κάθε δραστηριότητας που βρίσκεται στο κρίσιμο μονοπάτι. Δηλαδή: Χρόνος ολοκλήρωσης = L(100) + L(202) + L(301) + L(401) = 12+21+23+9 = 65 ημέρες. 8
Ερώτημα Α Εναλλακτικό Σενάριο Χρονοδιαγράμματος α) Πως θα επηρεαστεί το συνολικό χρονοδιάγραμμα εάν η δραστηριότητα 202 καθυστερήσει κατά 6 ημέρες και γιατί; β) Αντίστοιχα, τι θα αλλάξει στο χρονοδιάγραμμα εάν η δραστηριότητα 102 απαιτήσει 12 ημέρες για την υλοποίησή της αντί για 9; Απάντηση α) Επειδή η δραστηριότητα 202 ανήκει στο κρίσιμο μονοπάτι, οποιαδήποτε καθυστέρηση θα επηρεάσει το συνολικό χρόνο εκτέλεσης του έργου. Συνεπώς αν θεωρήσουμε καθυστέρηση 6 ημερών θα έχει ως αποτέλεσμα την ολοκλήρωση του έργου σε 65 + 6 = 71 ημέρες. β) Αν η δραστηριότητα 102 απαιτήσει 12 ημέρες, δεδομένου ότι η δραστηριότητα δεν ανήκει στο κρίσιμο μονοπάτι, δε μπορούμε να υπολογίσουμε άμεσα τις συνέπειες της καθυστέρησης. Για το λόγο αυτό θα πρέπει να επαναϋπολογίσουμε το slack (SL). ES EF k L(k) LS LF 0 12 100 12 0 12 12 22 201 10 35 45 12 33 202 21 12 33 22 33 302 11 45 56 Αρχ 0 13 101 13 20 33 12 20 33 56 301 23 33 56 56 65 401 9 56 65 Τέλο 203 8 0 12 102 12 13 25 25 33 12 27 27 37 303 10 46 56 204 15 31 46 27 37 304 10 55 65 9
Κωδικός Δραστηριότητας Προηγείται των Διάρκεια (ημέρες) ES EF LS LF SL 100 201,202 12 0 12 0 12 0 101 301 13 0 13 20 33 20 102 203,204 12 0 12 13 25 13 201 302 10 12 22 35 45 23 202 301 21 12 33 12 33 0 203 301 8 12 20 25 33 13 204 303,304 15 12 27 31 46 19 301 401 23 33 56 33 56 0 302 401 11 22 33 45 56 23 303 401 10 27 37 46 56 19 304-10 27 37 55 65 28 401-9 56 65 56 65 0 Το κρίσιμο μονοπάτι παραμένει: 100, 202, 301, 401 Παρατηρούμε ότι η καθυστέρηση της δραστηριότητας 102 κατά 12 ημέρες δεν επηρεάζει το συνολικό χρόνο του έργου. Ερώτημα Β - Τροποποίηση χρονοδιαγράμματος Σε σύσκεψη που πραγματοποιήθηκε 16 ημέρες μετά την έναρξη του έργου διαπιστώθηκαν τα ακόλουθα: Οι δραστηριότητες 100, 101 και 102 είχαν πραγματοποιηθεί σύμφωνα με τον αρχικό προγραμματισμό. Οι δραστηριότητες 201 και 202 βρίσκονταν σε εξέλιξη και απαιτούσαν ακόμα 6 και 10 ημέρες για να ολοκληρωθούν. Οι δραστηριότητες 203 και 204 ομοίως βρίσκονταν σε εξέλιξη και απαιτούσαν ακόμα 3 και 21 ημέρες για να τελειώσουν. Επανεκτιμήθηκε ο χρόνος που απαιτείται για τη δραστηριότητα 303 από 10 σε 12 ημέρες, ενώ για τη δραστηριότητα 304 εκτιμήθηκε ότι μπορεί να υλοποιηθεί σε 5 ημέρες αντί 10. Όλες οι υπόλοιπες δραστηριότητες υπολογίζεται ότι θα εκτελεστούν σύμφωνα με τον αρχικό προγραμματισμό. Με βάση τα νέα δεδομένα, να αναθεωρήσετε το δίκτυο δραστηριοτήτων και να υπολογίσετε το νέο χρόνο ολοκλήρωσης του έργου και τη νέα κρίσιμη διαδρομή. Απάντηση Με βάση τα νέα δεδομένα το δίκτυο ΑΟΝ έχει την ακόλουθη μορφή. 10
ES EF k L(k) LS LF 16 16 100 0 16 16 16 22 201 6 32 38 16 26 202 10 16 26 22 33 302 11 38 49 Αρχ ή 16 16 101 0 26 26 16 16 102 0 16 16 16 19 203 3 23 26 16 37 204 21 16 37 26 49 301 23 26 49 37 49 303 12 37 49 37 42 304 5 53 58 49 58 401 9 49 58 Τέλο ς Κωδικός Δραστηριότητας Προηγείται των Διάρκεια (ημέρες) ES EF LS LF SL 100 201,202 0 16 16 16 16 0 101 301 0 16 16 26 26 10 102 203,204 0 16 16 16 16 0 201 302 6 16 22 32 38 16 202 301 10 16 26 16 26 0 203 301 3 16 19 23 26 7 204 303,304 21 16 37 16 37 0 301 401 23 26 49 26 49 0 302 401 11 22 33 38 49 16 303 401 12 37 49 37 49 0 304-5 37 42 53 58 16 401-9 49 58 49 58 0 Πλέον έχουμε 2 κρίσιμα μονοπάτια: Το 100, 202, 301, 401 και το 102, 204, 303, 401 11
Ο νέος χρόνος ολοκλήρωσης είναι χρόνος οποιουδήποτε εκ των 2 κρίσιμων μονοπατιών (θα πρέπει να είναι ίδιος). Αθροίζοντας τη διάρκεια κάθε δραστηριότητας που βρίσκεται στα κρίσιμα μονοπάτια έχουμε: Μονοπάτι 1 = L(100) + L(202) + L(301) + L(401) = 0+10+23+9 = 42 ημέρες. Μονοπάτι 2 = L(102) + L(204) + L(303) + L(401) = 0+21+12+9= 42 ημέρες Άρα ο νέος (πλέον των 16 ημερών) χρόνος ολοκλήρωσης του έργου είναι 42 ημέρες. 12